Formalismo Alterna

8/13/2019 Formalismo Alterna

http://slidepdf.com/reader/full/formalismo-alterna 1/4

Formalismo complejo para resolver circuitos en estado permanente de alterna

Vamos a presentar el formalismo complejo a partir de la resoluci on del circuito simple de la Figura 1.

Figura 1: Circuito R-L

La ecuacion de circuito es

E 0 cos(ωt) = Ri(t) + Ldi(t)

dt (1)

Conociendo la identidad de Euler ejθ = cos θ + j sen θ, vemos que el termino fuente de la ecuacion (1)puede escribirse como la parte real de

E 0ejωt = E 0 cos(ωt) + jE 0 sen(ωt) (2)

¿Que ocurrira si en la ecuacion (1) reemplazamos el termino fuente E 0 cos(ωt) por la expresion complejaE 0ejωt? Teniendo en cuenta la formula (2), estaremos agregando un termino fuente jE 0 sin(ωt). De estemodo, la solucion de la ecuacion ası modificada sera el resultado de la superposicion de los dos terminosfuente, el original del circuito y el agregado.Se plantean entonces dos cuestiones:

a) ¿Se puede recuperar la solucion del circuito a partir de la solucion de la ecuacion con termino fuentecomplejo?

b) ¿Es util hacer esto?

Vamos a ver que las dos preguntas tienen una respuesta afirmativa

a) Cuando el termino fuente sea la expresion compleja E 0ejωt

la solucion de la ecuacion sera, en general, unnumero complejo I(t) = I Re(t) + jI Im(t) (usaremos negrita para los numeros complejos), de maneraque se podra escribir

E 0ejωt = RI(t) + LdI(t)

dt

E 0 cos(ωt) + jE 0 sin(ωt) = R(I Re(t) + jI Im(t)) + Ld(I Re(t) + jI Im(t))

dt

E 0 cos(ωt) + jE 0 sin(ωt) =

RI Re(t) + L

dI Re(t)

dt

+ j

RI Im(t) + L

dI Im(t)

dt

(3)

Pero dos numero complejos son iguales si, y solo si, son iguales sus partes real e imaginaria, por lo cualde (3) resulta

E 0 cos(ωt) = RI Re(t) + L dI Re(t)dt

(4)

E 0 sin(ωt) = RI Im(t) + LdI Im(t)

dt (5)

De (4) podemos ver que la solucion de la ecuacion (1) es simplemente la parte real de la corrientecompleja que resulta de resolver la ecuacion con el termino fuente complejo. Si el termino fuente de laecuacion original hubiera sido E 0 sin(ωt), la solucion hubiera sido la parte imaginaria de I(t)

1



b) Desde un punto de vista puramente matematico, la ventaja del formalismo complejo consiste en que laecuacion diferencial (1) se transforma en una ecuacion algebraica, independiente del tiempo.Para esto se resuelve la ecuacion proponiendo una solucion

I(t) = I(ω)ejωt (6)

donde I(ω) es un numero complejo independiente del tiempo pero dependiente de la frecuencia ω, como

veremos enseguida. Reeplazando (6) en la ecuacion (3) queda

E 0ejωt = RI(ω)ejωt + LdI(ω)ejωt

dt

E 0ejωt = RI(ω)ejωt + LI(ω)dejωt

dt

E 0ejωt = ejωt (RI(ω) + jω LI(ω))

E 0 = RI(ω) + jω LI(ω) (7)

Vemos en (7) que quedo una ecuacion algebraica (con coeficientes complejos) para I(ω), la cual sepuede resolver facilmente

E 0 = RI(ω) + jωLI(ω)

E 0 = I(ω)(R + jωL) ⇒

I(ω) = E 0R + jω L

= E 0(R − jωL)

R2 + (ωL)2

= E 0R

R2 + (ωL)2 − j

E 0ωL

R2 + (ωL)2 (8)

Recordando ahora que un numero complejo z = a + j b se puede escribir tambien en forma polar

z = |z|ej(angulo(z)) donde

|z| =

a2 + b2 (9)

angulo(z) =

arctan(b/a) si a ≥ 0arctan(b/a) + π si a < 0

(10)

podemos escribir (8) en forma polar, para lo cual calculamos primero

|I(ω)| = E 0

R2 + (ωL)2

R2 + (ωL)2 =

E 0 R2 + (ωL)2

(11)

angulo(I(ω)) = arctan

ωL

R

(12)

Resulta entonces (ϕ ≡ arctanωLR

)

I(ω) =

E 0 R2 + (ωL)2 e

jϕ

I(t) = I(ω)ejωt

= E 0

R2 + (ωL)2ej(ωt+ϕ)

= E 0

R2 + (ωL)2(cos(ωt + ϕ) + j sen(ωt + ϕ)) (13)

2



Obteniendo finalmente la solucion deseada de la ecuacion (1)

i(t) = Re[I(t)]

= E 0

R2 + (ωL)2cos(ωt + ϕ) (14)

Desde un punto de vista fısico, el formalismo complejo introduce de forma natural los conceptos defasor e impedancia.Podemos verlo en la ecuacion (7): E 0 es un fasor de tension (o voltage), I (ω) es un fasor de corriente,ZR ≡ R es la impedancia de la resistencia R y ZL ≡ jωL es la impedancia de la inductancia L.Esto significa lo siguiente: cada corriente o tension compleja I(t) o V(t) tiene asociado un fasor decorriente o tension, el cual no es otra cosa que la magnitud compleja sin el factor ejωt .Por eso, si la corriente compleja es I(t) = I (ω)ejωt el fasor asociado a esta corriente es I (ω) y si latension compleja de la fuente es E(t) = E 0ejωt el fasor asociado a esta tension es E 0.Por otro lado, cada elemento pasivo R, L o C del circuito tiene asociada una impedancia ZR = R,

ZL = jωL o ZC = − j

ωC .

Usando fasores e impedancias, un circuito en estado estable de alterna puede resolverse como un circuitode continua, usando las leyes de Kirchoff y la ley de Ohm, si se reemplaza cada elemento pasivo por

su correspondiente impedancia, las fuentes de tension por su correspondiente fasor, y sabiendo que loque se obtiene como resultado son fasores de corriente.

Veamos con el siguiente ejercicio resolver un circuito directamente con el formalismo complejo.

Ejercicio:En el circuito de la figura calcular las corrientes i1(t), i2(t) e i3(t).

Figura 2: Circuito de ejemplo

E g(t) = 18 c os(2t)V

R1 = 6ΩR2 = 2Ω

R3 = 2Ω

L1 = 2H

L2 = 1H

C = 0,125F

Solucion:En primer lugar, reemplazamos cada elemento pasivo por su impedancia, y cada fuente por su fasor, comomuestra la figura 3. Ahora tratamos al circuito como si fuera un circuito de continua. Planteamos las corrientes

de rama, como tambien se observa en la figura 3.Las ecuaciones de Kirchoff de nodos y mallas son entonces:

E 0 − I1ZR1 − I1ZL1 − I2ZR2 = 0

I2ZR2 − I3ZR3 − I3ZL2 − I3ZC = 0

I1 − I2 − I3 = 0

3



Figura 3: Circuito de fasores e impedancias

Eg = 18V

ZR1 = 6Ω

ZR2 = 2Ω

ZR3 = 2Ω

ZL1 = j4Ω

ZL2 = j2Ω

ZC = − j4Ω

Reemplazando valores resulta el sistema

I1(6 + 4 j) + 2I2 = 18

2I2 − I3(2− 2 j) = 0

I1 − I2 − I3 = 0

Resolviendo el sistema lineal se obtiene

I1 = 2− j =√

5ej arctan(−1/2) √

5e−j0,46

I2 = 1

I3 = 1− j =√

2ej arctan(−1) =√

2e−jπ/4

Recordando que

ik(t) = Re [Ik(t)] = ReIkejωt

de donde podemos obtener

i1(t) = Re√

5ej(2t−0,46)

=√

5 cos(2t− 0,46) A

i2(t) = Re√

2ej(2t−π/4)

=√

2 cos(2t− π/4) A

i3(t) = Re

1ej(2t)

= cos(2t) A

4

Formalismo Alterna

Documents

Transcript of Formalismo Alterna