1

Apuntes de:

PROBABILIDAD Y

PROCESOS

ESTOCASTICOS

2

Elaborado por:

Andrés Sacoto C.

Nury Cornejo C.

1

Variable Aleatoria (V.A)

Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el

resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles

valores.

Ejemplo:

Número de llamadas que recibe un teléfono en una hora.

Tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado.

nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…).

Existen dos tipos de Variables Aleatorias:

Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a

experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.

Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los

valores de un intervalo. Son el resultado de medir.

Función Distribución de Probabilidad

Se denota por 𝐹𝑥 𝑥0 representa en cada punto x0 la probabilidad de que la variable tome

un valor menor o igual que dicho punto, es decir, 𝑃(𝑥 ≤ 𝑥0).

Ejemplo:

𝐹𝑥 (2) = 𝑃(𝑥 ≤ 2)

Propiedades

Dada una V.A X y 𝐹𝑥 𝑥 = lim휀→0 𝐹𝑥 𝑥 + 휀 , 𝐹𝑥 𝑥 = lim휀→0 𝐹𝑥 𝑥 − 휀

1. 0≤𝐹𝑥 𝑥 ≤1 𝐹𝑥 +∞ =1 𝐹𝑥 −∞ =0

2. 𝐹𝑥 𝑥 es una función no decreciente de x, esto es 𝐹𝑥 𝑥2 ≥ 𝐹𝑥 𝑥1 ; si 𝑥2 > 𝑥1 (siempre

creciente).

3. Si a<b =>𝐹𝑥 𝑎 ≤ 𝐹𝑥 𝑏

4. Si 𝐹𝑥 𝑥0 = 0 => 𝐹𝑥 𝑥 = 0 para todo x≤x0

5. P(x>x) = 1 – P(x ≤x) = 1 - 𝐹𝑥 𝑥

2

6. 𝐹𝑥 𝑥 es continua por la derecha, esto es 𝐹𝑥 𝑥+ = 𝐹𝑥 𝑥

7. P(x1<x< x2) = 𝐹𝑥 𝑥2 − 𝐹𝑥 𝑥1

8. P(x=x) = 𝐹𝑥 𝑥+ − 𝐹𝑥 𝑥− si x es una V.A continua entonces la P(x=x) = 0

9. P(x1≤ x≤ x2) = 𝐹𝑥 𝑥2 − 𝐹𝑥 𝑥1−

Función Densidad de Probabilidad

Describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la

probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la

integral de la función de densidad sobre dicho conjunto.

𝑓𝑥 𝑥 =𝑑𝐹𝑥 (𝑥)

𝑑𝑥

Propiedades

1) 𝑓𝑥 𝑥 ≥ 0

2) P(a≤ x ≤b) = 𝑓𝑥 (𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

3) 𝑓𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 1+∞

−∞ ; 𝑓𝑥 𝑥 = 1𝑥𝑖

4) 𝐹𝑥 𝑥 = 𝑓𝛼 (𝛼)𝑑𝛼𝑥

−∞

Ejemplo:

Verificar si las siguientes funciones son distribuciones de probabilidad

a) 𝑓𝑥 𝑥 = 𝑥−3

3 ; 𝑥 = 1,2,3,4,5

𝑓𝑥 𝑥 =𝑥 − 3

3= 1

4

𝑥=1

−2

3−

1

3+ 0 +

1

3+

2

3= 0

𝑓𝑥 1 𝑦 𝑓𝑥 2 < 0

∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

b) 𝑓𝑥 𝑥 = 2𝑒−2𝑥 ; 𝑥 > 0 0 ; 𝑥 ≤ 0

2𝑒−2𝑥𝑑𝑥∞

0

= 2 −1

2𝑒−2𝑥

0

∞

= 2 0 +1

2 = 1

3

∴ 𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

Ejemplo:

Dada 𝑓𝑥 𝑥 = 𝑎𝑒−3𝑥 ; 𝑥 > 0 0 ; 𝑥 ≤ 0

a) Determinar a para que sea fdp.

b) P(2<x<5)

c) P(x<3)

d) P(x>6)

e) Graficar 𝑓𝑥 𝑥 y 𝐹𝑥 𝑥

a)

𝑎𝑒−3𝑥𝑑𝑥∞

0

= 𝑎 −1

3𝑒−3𝑥

0

∞

= 𝑎 0 +1

3 = 1

∴ 𝑎 = 3

b) P(2<x<5)

3𝑒−3𝑥𝑑𝑥5

2

= 3 −1

3𝑒−3𝑥

2

5

= 3 −𝑒−15

3+

𝑒−6

3 = 𝑒−6 − 𝑒−15

P (2<x<5) = 2.47x10-3

c) P(x<3)

3𝑒−3𝑥𝑑𝑥3

0

= 3 −1

3𝑒−3𝑥

0

3

= 3 −𝑒−9

3+

𝑒0

3 =

1

3− 𝑒−9

P(x<3) = 0.333

d) P(x>6)

3𝑒−3𝑥𝑑𝑥∞

6

= 3 −1

3𝑒−3𝑥

6

∞

= 3 −𝑒−∞

3+

𝑒−18

3 = 𝑒−18 − 0

P(x>6) = 1.523x10-18

e) 𝐹𝑥 𝑥

4

3𝑒−3𝛼 𝑑𝛼𝑥

0

= 3 −1

3𝑒−3𝛼

0

𝑥

= −𝑒−3𝑥 + 1

𝐹𝑥 𝑥 = 1 − 𝑒−3𝑥 ; 𝑥 > 0 0 ; 𝑥 ≤ 0

Distribución Binomial

Existen solamente dos resultado posibles en cada ensayo

La probabilidad de un éxito es la misma en cada ensayoi

Hay n ensayos, donde n es constante

Los n ensayos son independientes

𝑏 𝑥; 𝑛, 𝑝 = 𝑛𝑥 𝑝𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 ; 𝑥 = 0,1,2,3, … , 𝑛

𝐵 𝑥; 𝑛, 𝑝 = 𝑏 𝑘; 𝑛, 𝑝 ; 𝑥 = 0,1,2,3, … , 𝑛

𝑥

𝑘=0

Identidades Binomiales

b(x; n, p) = b(n-x; n, 1-p)

B(x; n, p) = 1 – B(n-x-1; n; 1-p)

b(x; n, p) = B(x; n, p) – B(x-1; n, p)

b(x; n, p) = B(n-x; n, 1-p) – B(n-x-1; n, 1-p)

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3Funcion densidad de probabilidad

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Funcion distribucion de probabilidad

5

Ejemplo:

Se asegura que en una empresa de instalaciones eléctricas, en el 70% de las instalaciones se

reducen al menos una 3° parte de los gastos si se hacen con ciertos materiales de buena calidad.

De acuerdo con lo anterior, cuáles son las probabilidades de que se reduzcan al menos una 3°

parte en:

a) Cuatro de seis instalaciones

b) En al menos tres de seis instalaciones

a) P(x=4)

p = 0.7

𝑏 4; 6,0.7 = 64 0.74(0.3)2 = 0.324

b) P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6) ó 1- [P(x=1) + P(x=2)]

1 − 61 0.71 0.3 5 +

62 0.72 0.3 4 = 1 − 0.069 = 0.93

Determinación de probabilidades

Nos encontraremos casos en los que nos dan una gráfica de distribución de probabilidad y

nos piden calcular una serie de probabilidades lo cual veremos que se puede hacer solo con la

gráfica teniendo claros los conceptos de distribución de probabilidad.

Ejemplo:

Como tenemos los puntos en la gráfica

podemos determinar la función de

distribución de probabilidad de la siguiente

manera

𝐹𝑥 𝑥 =

0 ; 𝑥 < 0𝑥 + 1

4; 0 ≤ 𝑥 < 1

1 ; 𝑥 ≥ 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fx

x

6

Determinar:

a) P(x< -1/2)

b) P(1/4≤ x <1)

c) P(x≥ 5)

d) P(1/4≤ x ≤1)

e) P(x< 5)

f) P(x≤0)

g) P(x>1/2)

Solución:

a) En si nos están pidiendo Fx(-1/2) y esto es 0, como podemos observar en la gráfica y en la

función de distribución por tramos.

b) P(1/4≤ x <1)= Fx(1) - Fx(1/4), notemos que para ambos valores ¼ y 1 tenemos la función 𝑥+1

4 ya que el 1 no está incluido en la probabilidad que nos piden.

P (1/4≤ x <1)= 1/2 - 5/16 = 3/16

c) P(x≥ 5) = 1 – P(x<5) = 1 – Fx(5)

P (x≥ 5) = 1 – 1= 0

d) P(1/4≤ x ≤1) = Fx(1) – Fx(1/4), como ahora en la probabilidad que nos piden está incluido el

1 entonces Fx(1)=1 y tendríamos que

P (1/4≤ x ≤1) = 1 – 5/16 = 11/16

e) P(x<5) = Fx(5) = 1

f) P(x≤0) = Fx(0) , para lo cual usamos la ecuación 𝑥+1

4 y tenemos que

P(x≤0) = 1/4

g) P (x> 1/2) = 1 – P (x ≤ 1/2) = 1-Fx(1/2)

P (x> 1/2) = 1 – 3/8 = 5/8

7

Valor Esperado

En el caso que X sea una v.a. discreta, este valor es la media ponderada de los posibles

valores que puede tomar la variable X, en donde los pesos o ponderaciones son las probabilidades

de ocurrencia de los posibles valores de X. Luego el valor esperado de X se interpreta como una

media ponderada de los posibles valores de X, y no como el valor que se espera que tome X, pues

puede suceder que E [X] no sea uno de los posibles valores de X. En el caso de v.a. continua, E [X]

nos indica el centro de la función de densidad, es decir, nos indica el centro de gravedad de la

distribución.

𝑛𝑥 = 𝐸 𝑥 = 𝑥 𝑓𝑥 (𝑥)∞

−∞

𝑑𝑥 ; 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑉. 𝐴 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎

𝑛𝑥 = 𝐸 𝑥 = 𝑥𝑖 𝑃(𝑥 = 𝑥𝑖)

∞

𝑖= −∞

; 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑉. 𝐴 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎

Propiedades

E[ c ] = c -> donde c es una constante

E[ c g(x) ] = c E[ g(x) ]

E[ g1(x) + g2(x) + g3(x) + … + gn(x)] = E[ g1(x) ] + E[ g2(x) + + … + E* gn(x) ]

Si fx(x) es simétrica en x=a => E[ x ] = a

Si fx(x) es simétrica en x=0 => E[ x ] = 0

Varianza

La varianza de una variable aleatoria es una medida de su dispersión. Se trata de la

esperanza del cuadrado de la desviación de la variable frente su media y se mide en una unidad

diferente.

Var(x) = E[(x - nx)2]

Var(x) = 𝑥 − 𝑛𝑥 2∞

−∞𝑓𝑥 𝑥 𝑑𝑥 V.A Continua

Var(x) = 𝑥 − 𝑛𝑥 2𝑃 𝑥 = 𝑥𝑛 ∞−∞ V.A Discreta

Var(x) = E[ x2 ] – nx2

8

Propiedades

Var (c) = 0 ; c = constante

Var (x+c) = Var (x)

Var (cx) = c2 Var (x)

Ejemplo:

Una V.A. x puede tomar los valores -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, con igual probabilidad.

Determinar la varianza de Y=2x3

Solución:

Como es una variable discreta y todos los valores tienen la misma probabilidad, entonces

la probabilidad de cada valor seria 1/8.

Var (Y) = Var (2x3) = 4 Var( x3 )

Var (Y) = 4 {E [ x6 ] – E [ x3 ]2}

E [ x6] = 4*[(-4)6(1/8) + (-3)6(1/8) + (-2)6(1/8) + (-1)6(1/8) + (1)6(1/8) + (2)6(1/8) + (3)6(1/8) +

(4)6(1/8)]

Var (Y) = 4890

Probabilidad Condicional

El concepto de probabilidad condicional es muy sencillo. Está basado en una situación

particular que podemos resumir como sigue: “probabilidad de ocurrencia de un evento en un

escenario muy particular”

Vamos a explicar lo anterior. Suponga que se lanza un dado. Existe una clase de

escenarios exhaustivos y no traslapados como son: “el número del dado es par” y “el número del

dado es impar”. Entonces bajo la hipótesis de trabajar con esta clase de escenarios, uno se puede

preguntar la probabilidad de obtener algún determinado número bajo uno de estos escenarios.

P [ A/M] = 𝑃(𝐴∩𝑀)

𝑃(𝑀) ; P(M) ≠ 0

9

Función Distribución Condicional

Fx (x / M) = P (x≤x /M) = 𝑃{ 𝑥≤𝑥 ∩𝑀 }

𝑃 (𝑀)=

𝑃{ 𝑥≤𝑥 ,𝑀 }

𝑃 (𝑀)

Función Densidad Condicional

fx ( x/ M) = 𝑑 𝐹𝑥 (𝑥/ 𝑀)

𝑑𝑥 ; M en términos de x

Propiedades

Fx (+∞/ M) = 1

Fx (-∞/ M) = 0

P(x1 < x≤ x2) = Fx (x2 / M) - Fx (x1 / M) = P (x1<𝑥 ≤ x2 ; M)

P (M)

Ejemplo:

Determinar Fx (x/ M) y fx (x/ M); dado que M= ,x≤a-

Dato: Fx (x) = P (x≤x)

Solución:

Fx(x /M)= P (x≤x/M) = 𝑃 (x≤𝑥)∩𝑀

𝑃 (𝑀)=

𝑃 x≤𝑥 ∩(𝑥≤𝑎)

𝑃 (𝑀)

Dibujaremos en una recta numérica para poder visualizar lo que nos piden

b<x<a

a x a

a x<x x a

10

Como podemos ver la intersección de estas dos rectas sería P (x≤x) y tendríamos:

Fx(x /M) = P(x≤x)

P(x≤a)=

Fx (x)

Fx (a)

Ejemplo:

M = ,b<x≤a-; a>b

Solución:

En este ejemplo tendríamos tres casos que los representaremos en las siguientes rectas.

Caso 1: Donde a>b pero menor que x

b a x

Fx(x /M)= P (x≤x/M) = 𝑃 (x≤𝑥)∩𝑀

𝑃 (𝑀)=

𝑃 x≤𝑥 ∩(𝑏<𝑥≤𝑎)

𝑃 (𝑏<𝑥≤𝑎)

x<x

b a x

b<x<a

b a x

Como podemos observar la intersección de estas dos gráficas sería P(b<x≤a) y tendríamos:

Fx(x /M) = P(b<x≤a)

P(b<x≤a)= 1

Caso 2: Donde a>b pero mayor que x

x b a

Fx(x /M)= P (x≤x/M) = 𝑃 (x≤𝑥)∩𝑀

𝑃 (𝑀)=

𝑃 x≤𝑥 ∩(𝑏<𝑥≤𝑎)

𝑃 (𝑏<𝑥≤𝑎)

x<x

x b a

11

b<x<a

x b a

Como podemos observar la no existe intersección entre ambas graficas y tendríamos:

Fx (x /M) = 0

P(b<x≤a)= 0

Caso 3: Donde a>b pero x está entre ambos valores

b x a

Fx(x /M)= P (x≤x/M) = 𝑃 (x≤𝑥)∩𝑀

𝑃 (𝑀)=

𝑃 x≤𝑥 ∩(𝑏<𝑥≤𝑎)

𝑃 (𝑏<𝑥≤𝑎)

x<x

b x a

a>b

b x a

Como podemos observar la intersección de las dos gráficas sería P (x≤x)-P(x<b) y tendríamos:

Fx(x /M) = P x≤x −P x≤b

P(b<x≤a)=

Fx x − Fx b

Fx a −Fx b

Probabilidad Total

Ai ∩ Aj = Φ; i≠j = 1,2,3,.., n

𝐴𝑖 = 𝑆

𝒏

𝒊=𝟏

12

Teorema de la probabilidad total

Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de

ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades

condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

P (B) =P (B/A1)*P (A1) + P (B/A2)*P (A2) + P (B/A3)*P (A3) + … + P (B/An)*P (An)

P (x≤x) =P (x≤x/ A1)*P (A1) + P (x≤x/ A2)*P (A2) + … + P (x≤x/An)*P (An)

Fx(x) =Fx(x/ A1)*P (A1) + Fx(x/ A2)*P (A2) + … + Fx(x/An)*P (An)

fx(x)= fx(x/A1)*P (A1) + fx(x/A2)*P (A2) + … + fx(x/An)*P (A1)

P(A/B) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵) P(A/B)P(B) =P(B/A)P(A)

P(B/A) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴) P(A/B) =

𝑃(𝐵/𝐴)𝑃(𝐴)

𝑃(𝐵)

P(B/A) =𝑃(𝐴/𝐵)𝑃(𝐵)

𝑃(𝐴)

Valor esperado de Y =g(x)

E [Y] =E [g(x)] = 𝑔 𝑥 𝑓𝑥 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

Valor esperado Condicional

E [x/ M] = 𝑥𝑓𝑥 (𝑥 𝑀 )𝑑𝑥∞

−∞ ; V.A. Continua

E [x/ M] = 𝑥𝑛𝑃 [𝑥 = 𝑥𝑛 𝑀 ]∞𝑛=−∞ ; V.A. Discreta

Ejemplo:

Sea X la entrada a un canal de comunicaciones y Y la salida. La entrada al canal es +1 ó -

1con igual probabilidad. La salida del canal es la entrada más el de ruido N que está

uniformemente distribuido en el intervalo [-2,2] encuentre la probabilidad de P *x=+1, Y≤y+

13

Solución:

Siendo Y =X + N, fN(x) es uniforme en (-2,2), por tanto fY(y/ x=+1) es también uniforme en (-1,3), es

decir fY(y/ x=+1)=1

4

P(x=+1/ Y≤y) = 𝑓𝑦 𝑦 𝑥 = +1 𝑑𝑦 = 1

4

0

−1

Ejercicio Completo

a) Determinar y graficar Fx(x)

b) Determinar c para que P(|x-3|<c) =1/4

c) E[x] y Var(x)

d) Determinar y Graficar Fx(x/M) y fx(x/M) ; M =,x≥3-

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25fn

n

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25fy(y/x=+1)

y

0 1 2 3 4 5 6 70

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35fx

x

14

Solución:

a)

Para determinar Fx(x) primero debemos encontrar el valor de a

𝐹𝑥 𝑥 = 𝑓𝛼 𝛼 𝑑𝛼 = 𝑎 𝛼 − 1 𝑑𝛼𝑥

1

+ 𝑎𝑥

2

𝑑𝛼𝑥

0

+ −𝑎

2 𝛼 − 6 𝑑𝛼

𝑥

4

𝐹𝑥 𝑥 = 𝑎 𝛼2

2− 𝛼

1

𝑥

+ 𝛼 2𝑥 −

1

2 𝛼2

2− 6𝛼

4

𝑥

𝐹𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑥2

2− 𝑥 +

1

2 + 𝑎 𝑥 − 2 −

𝑎

2 𝑥2

2− 6𝑥 + 16

1 = 𝑎

2+ 3𝑎 =

7𝑎

2 → ∴ 𝑎 =

2

7

𝐹𝑥 𝑥 =

0 ; 𝑥 < 1

𝑥2

7−

2𝑥

7+

1

7 ; 1 ≤ 𝑥 < 2

2𝑥

7−

3

7 ; 2 ≤ 𝑥 < 4

−𝑥2

14+

6𝑥

7−

11

7 ; 4 ≤ 𝑥 < 6

1 ; 𝑥 ≥ 6

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Fx

x

15

b)

Resolvemos el valor absoluto y tenemos

P (|x-3|<c) =P (-c<x-3<c) =P(3-c<x<3+c)= Fx(3+c)- Fx(3-c) =1/4

Reemplazamos en la función del intervalo correspondiente de Fx que sería 2𝑥

7−

3

7 y

tenemos

2(3 + 𝑐)

7−

3

7−

2 3 − 𝑐

7+

3

7=

1

4 ⟹ 6 + 2𝑐 − 6 + 2𝑐 =

7

4

4c =7

4 ⟹ ∴ c =

7

16

c)

𝐸 𝑥 = 2

7𝑥(𝑥 − 1)𝑑𝑥

2

1

+ 2𝑥

7𝑑𝑥

4

2

− 1

7𝑥(𝑥 − 6)𝑑𝑥

6

4

𝐸 𝑥 =2

7 𝑥3

3−

𝑥2

2

1

2

+ 2

7 𝑥2

2

2

4

−1

7 𝑥3

3− 6

𝑥2

2

4

6

=5

21+

12

7+

4

3

E x =23

7

d) Fx(x /M)= P (x≤x/M) = 𝑃 (x≤𝑥)∩𝑀

𝑃 (𝑀)=

𝑃 x≤𝑥 ∩(𝑥≥3)

𝑃(𝑥≥3)

x≤x

3 x

x≥3

3 x

𝐹𝑋 𝑥 𝑀 = 𝐹𝑥 𝑥 − 𝐹𝑥 (3)

1 − 𝐹𝑥 (3)=

𝐹𝑥 𝑥 −37

47

𝐹𝑋 𝑥 𝑀 =

0 ; 𝑥 ≤ 3𝑥 − 3

2 ; 3 < 𝑥 ≤ 4

−𝑥2

8+

3𝑥

2−

7

2 ; 4 < 𝑥 ≤ 6

1 ; 𝑥 > 6

16

𝑓𝑥 𝑥 𝑀 =𝑑𝐹𝑥 (𝑥/𝑀)

𝑑𝑥

𝑓𝑥 𝑥 𝑀 =

0 ; 𝑥 < 31

2 ; 3 ≤ 𝑥 < 4

−𝑥

4+

3

2 ; 4 ≤ 𝑥 < 6

0 ; 𝑥 ≥ 6

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Fx(X/M)

x

0 1 2 3 4 5 6 70

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x

fx(X/M)

17

Determinación de fY(y) Teorema Fundamental

Para encontrar fY(y) para un Y específico, se resuelve la ecuación y= g(x) para x en términos

de y. Denotando las raíces por xn; y =g (x1) =g (x2) =…=g (xn)

𝑓𝑌 𝑦 = 𝑓𝑥 (𝑥1)

𝑔′(𝑥1) +

𝑓𝑥 (𝑥2)

𝑔′(𝑥2) + ⋯ +

𝑓𝑥 𝑥𝑛

𝑔′ 𝑥𝑛 ; 𝑔′ 𝑥 =

𝑑 𝑔(𝑥)

𝑑𝑥

𝑓𝑌 𝑦 = 𝑓𝑥 (𝑥)

𝑔′(𝑥)

Dos Variables

Si disponemos de dos variables aleatorias podemos definir distribuciones bidimensionales

de forma semejante al caso unidimensional.

FXY (x, y) =P ,X≤x; Y≤y-

fXY (x,y) = 𝑑𝐹𝑋𝑌 (𝑥 ,𝑦)

𝑑𝑥𝑑𝑦

Propiedades FXY (x, y)

𝐹𝑋𝑌 −∞, 𝑦 = 0

𝐹𝑋𝑌 𝑥, −∞ = 0

𝐹𝑋𝑌 −∞,∞ = 1

𝑃 𝑥1 < 𝑋 ≤ 𝑥2 , 𝑌 ≤ 𝑦 = 𝐹𝑋𝑌 𝑥2, 𝑦 − 𝐹𝑋𝑌 𝑥1, 𝑦

𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 , 𝑦1 < 𝑌 ≤ 𝑦2 = 𝐹𝑋𝑌 𝑥, 𝑦2 − 𝐹𝑋𝑌 𝑥, 𝑦1

𝑃 𝑥1 < 𝑋 ≤ 𝑥2 , 𝑦1 < 𝑌 ≤ 𝑦2 = 𝐹𝑋𝑌 𝑥2, 𝑦2 − 𝐹𝑋𝑌 𝑥1, 𝑦2 − 𝐹𝑋𝑌 𝑥2, 𝑦1 + 𝐹𝑋𝑌 𝑥1, 𝑦1

18

Propiedades fXY (x, y)

𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1∞

−∞ 𝐹𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑋𝑌 (𝛼, 𝛽)𝑑𝛼𝑑𝛽

𝒙

−∞

𝒚

−∞

Marginales

FX(x) =FXY (x,+∞) FY(y) =FXY (+∞,y)

𝑓𝑋 𝑥 = 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦+∞

−∞ 𝑓𝑌 𝑦 = 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

+∞

−∞

Ejemplo:

Sea X,Y V.A. con función de densidad

𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 = 1 𝑠𝑖 𝑦 < 𝑥 ; 0 < 𝑥 < 10 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

a) Comprobar que fXY(x,y) es una fdp.

b) Determinar la media de X e Y

c) Determinar la varianza de X e Y

d) Determinar las siguientes probabilides

P(x< ½ ; Y<0)

P(x>1/2 ; -1/2< Y <1/2)

Solución:

En el siguiente gráfico podemos visualizar la zona de integración que se obtuvo al despejar |y|<x,

y que se encuentra limitado por 0<x<1

-x<y<x -> en la zona de integración tendremos a los y>x y a los y<-x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y= x

y= -x

y

x

19

a) Para comprobar que sea una f.d.p usaremos 𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1∞

−∞

∞

−∞

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑦 −𝑥𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 = 2

𝑥2

2

0

1

= 1

1

0

1

0

𝑥

−𝑥

1

0

∴ 𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑓. 𝑑. 𝑝

b) Para determinar la media de X y Y primero debemos hallar la marginal de X y Y para lo cual

tenemos:

𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦∞

−∞

𝑓𝑥 𝑥 = 𝑑𝑦𝑥

−𝑥

= 2𝑥

E[x] = 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑥 3

3

0

11

0

E[x]= 2/3

𝑓𝑌 𝑦 = 𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥∞

−∞

𝑓𝑌 𝑦 = 𝑑𝑥1

𝑦

+ 𝑑𝑥1

−𝑦

= 1 − 𝑦 + (1 + 𝑦)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

x

20

𝑓𝑌 𝑦 = 1 + 𝑦 ; −1 < 𝑦 ≤ 01 − 𝑦 ; 0 < 𝑦 ≤ 1

𝐸 𝑦 = 𝑦 1 + 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑦 1 − 𝑦 = 𝑦2

2+

𝑦3

3 −1

0

+ 𝑦2

2−

𝑦3

3

0

11

0

0

−1

𝐸 𝑦 = −1

2+

1

3+

1

2−

1

3= 0

c)

Var (x) =E [x2] – E [x]2

𝐸 𝑥2 = 𝑥2 2𝑥 𝑑𝑥1

0

= 2 𝑥4

4

0

1

= 2 1

4 =

1

2

𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 1

2−

2

3

2

= 1

18

Var (y) =E [y2]– E [y]2

𝐸 𝑦2 = 𝑦2 1 + 𝑦 𝑑𝑦0

−1

+ 𝑦2 1 − 𝑦 𝑑𝑦1

0

= 𝑦3

3+

𝑦4

4 −1

0

+ 𝑦3

3−

𝑦4

4

0

1

=1

6

𝑉𝑎𝑟 𝑦 = 1

6− 0 =

1

6

d)

P(x<1/2; y>0)

P x < 1 2 ; y > 0 = dydx = x0.5

0

dx = x2

2

0

0.5

= 1

8

0

−x

0.5

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

x

21

P(x>1/2; -1/2<y<1/2)

P x > 1 2 ; −1/2 < 𝑦 < 1/2 = dydx = 10.5

0

dx =1

2

0.5

−0.5

1

0.5

Desigualdad de Chebyshev

La desigualdad de Chebyshev es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad

de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su valor

esperado.

𝑃 𝑥 − 𝑢 ≥ 𝑘𝜍 ≤1

𝑘2; 𝑘 > 0

Si una distribución de probabilidad tiene media 𝑢 y una desviación estándar 𝜍, la

probabilidad de obtener un valor que desvía de 𝑢 al menos en 𝑘𝜍 es a lo mucho1

𝐾2.

Ejemplo:

Suponga que el número de artículos producidos por una fábrica en una semana es una

variable aleatoria con media 50. Si la varianza de una semana de producción se sabe que es igual a

25, entonces ¿Que podemos decir acerca de la probabilidad de que en esta semana la producción

difiera en más de 10 a la media?

𝑢 = 50

𝜍 = 25

𝑥 − 50 = 10

10 ≥ 5𝑘 → 𝑘 ≤ 2

P =1

k2=

1

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

x

22

Ejemplo:

El número de clientes que visitan una sala exhibición de una empresa automotriz de un

sábado por la mañana es una variable aleatoria con media

𝑢 = 18 y 𝜍 = 25 ¿ Con que probabilidad podremos asegurar que habrá entre 8 28 clientes?.

𝑥 − 18 = 8

8 ≥ 2.5𝑘 → 𝑘 ≤ 3.2

𝑃 𝑥 − 𝑢 ≥ 𝑘𝜍 ≤ 1 −1

𝑘2

−𝑘𝜍 ≤ 𝑥 − 𝑢 ≤ 𝑘𝜍

−𝑘𝜍 + 𝑢 ≤ 𝑥 ≤ 𝑘𝜍 + 𝑢

−𝑘𝜍 + 𝑢 ≤ 𝑥 ≤ 𝑘𝜍 + 𝑢

−2.5𝑘 + 18 ≤ 𝑥 ≤ 2.5𝑘 + 18

−2.5𝑘 + 18 = 8

−2.5𝑘 = −10

𝑘 = 4

𝑃 = 1 −1

16=

15

16

Momento Respecto al Origen

𝑚𝑘 = 𝐸 𝑥𝑘 = 𝑥𝑘𝑓𝑥 𝑥 𝑑𝑥 ;

𝑚0 = 1

𝑚1 = 𝐸 𝑥

𝑚2 = 𝐸[𝑥2]

∞

−∞

Momento Central

𝜇𝑘 = 𝐸 (𝑥 − 𝑛𝑘)𝑘 = 𝑥 − 𝑛𝑘 𝑘𝑓𝑥 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝜇0 = 1𝜇1 = 0

𝜇2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑥)

∞

−∞

23

Variables Aleatorias Independientes

𝐹𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 = 𝐹𝑥 𝑥 ∗ 𝐹𝑌(𝑦)

𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑋 𝑥 ∗ 𝑓𝑌(𝑦)

𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 ; 𝑌 = 𝑦𝑖 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 ∗ 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑖)

Función de dos Variables Aleatorias

Dadas 2 V.A. y una función g(x,y), se forma la V.A z =g(x,y). Se requiere calcular fz(z) y Fz(z).

Ejemplo:

𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 = 16

3 𝑥 + 𝑦 ; 0.5 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0.5 ≤ 𝑥 ≤ 1

Dado Z=X-Y, encuentre fz(z)

24

𝐹𝑧 𝑧 = 𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑥−𝑧

−∞

∞

−∞

𝑓𝑍 𝑧 =𝑑 𝐹𝑧 𝑧

𝑑𝑧= 𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑥 − 𝑧 𝑑𝑥

∞

−∞

𝑓𝑍 𝑧 =16

3 𝑥 + 𝑥 − 𝑧 𝑑𝑥

1

0.5+𝑧

= 16

3 2𝑥 − 𝑧 𝑑𝑥

1

0.5+𝑧

𝑓𝑍 𝑧 = 16

3 𝑥2 − 𝑧𝑥 0.5+𝑧

1 =16

3 1 − 𝑧 − 0.5 + 𝑧 2 − 𝑧(0.5 + 𝑧)

𝑓𝑍 𝑧 =16

3 1 − 𝑧 − (0.25 + 𝑧 + 𝑧2 − 0.5𝑧 − 𝑧2) =

16

3 1 − 𝑧 − (0.25 + 0.5𝑧)

𝑓𝑍 𝑧 =16

3 3

4−

3𝑧

2 = 4 − 8𝑧 ; 0 ≤ 𝑧 ≤

1

2

DOS FUNCIONES DE DOS VARIABLES ALEATORIAS.

Dadas 2 V.A “x” e “y” las funciones g(x, y) y h(x, y), se forma sus V.A 𝑍 = 𝑔 𝑥, 𝑦 , 𝑊 = h(x, y).

𝐹𝑧𝑤 𝑧, 𝑤 = 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧, 𝑊 ≤ 𝑤

= 𝑃 g(x, y) ≤ 𝑧, h(x, y) ≤ 𝑤

= 𝑃 (x, y) ∈ D𝑧𝑤

𝐹𝑧𝑤 𝑧, 𝑤 = 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑧𝑤𝐷

𝑓𝑧𝑤 𝑧, 𝑤 =𝜕2𝐹𝑧𝑤 𝑧 ,𝑤

𝜕𝑍𝜕𝑤

Definición: Jacobino𝐽 𝑥, 𝑦 de la transformación𝑍 = 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑊 = h(x, y)es:

𝐽 𝑥, 𝑦 =

𝑑𝑔

𝑑𝑥

𝑑𝑔

𝑑𝑦𝑑𝑕

𝑑𝑥

𝑑𝑕

𝑑𝑦

25

Teorema

Para determinar 𝑃𝑧𝑤 𝑧, 𝑤 se resuelve el sistema:

𝑍 = 𝑔 𝑥, 𝑦

𝑊 = h x, y → 𝑥, 𝑦 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑧, 𝑤.

Sean(𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), … , (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) 𝑇𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.

𝑍 = 𝑔(𝑥1, 𝑦1) = 𝑔(𝑥2 , 𝑦2) = ⋯ = 𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛)

𝑤 = 𝑕(𝑥1, 𝑦1) = 𝑕(𝑥2, 𝑦2) = ⋯ = 𝑕(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛)

𝑓𝑧𝑤 𝑧, 𝑤 = 𝑓𝑥𝑦 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛)

𝐽(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛)

𝑛

𝑛=1

Ejemplo:

𝑅, 𝜃 → V.A Independientes

𝑓𝑅 𝑟 =𝑟

𝜍2𝑒

−𝑟2

2𝜍2 ; 𝑟 > 0

𝑓𝜃 𝜃 → 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑒𝑛 (−𝜋, 𝜋 )

Transformación:

𝑥e𝑦 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝜃

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃)

1. 𝑓𝑥𝑦 𝑥 , 𝑦 = ? ?

Solución:

𝑅 𝑦 𝜃 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑒𝑦

𝑥2 = 𝑅2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑦2 = 𝑅2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)

𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑅2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)

26

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)

𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 1

∴ 𝑅 = ± 𝑥2 + 𝑦2

𝑥

𝑦=

cos(𝜃)

𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑥

𝑦=

1

𝑡𝑎𝑛(𝜃)

tan 𝜃 =𝑦

𝑥

∴ 𝜃 = arctan 𝑦

𝑥

𝑓𝑅,𝜃 𝑟, 𝜃 =𝑟

𝜍2𝑒

−𝑟2

2𝜍2 ∙1

2𝜋

𝐽 𝑟, 𝜃 =

𝑑𝑥

𝑑𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝜃𝑑𝑦

𝑑𝑟

𝑑𝑦

𝑑𝜃

= cos(𝜃) −𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑅𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑅𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑅

𝐽 𝑟, 𝜃 = 𝑅

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑟 ,𝜃 (𝑟, 𝜃)

𝐽(𝑟, 𝜃)

𝑁

𝑛=1

=𝑟𝑒

−𝑟2

2𝜃2

𝑟∙

1

2𝜋𝜃2

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑒

− 𝑥 2+𝑦2

2𝜍2

2𝜋𝜍2+

𝑒−

𝑥 2+𝑦2

2𝜍2

2𝜋𝜍2

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑒

− 𝑥 2+𝑦2

2𝜍2

𝜋𝜍2

27

Función Característica

Si z=g(x,y) → Φz(w) =E[egwz]

Si z =x+y → Φz(w) =E[egw(x+y)]

Si x e y son independientes

Φz(w) =E[egwx] E[egwy+ = Φx(w)*Φy(w)

Si z=x+y → fz(z) = 𝑓𝑥𝑦 (𝑧 − 𝑦, 𝑦)𝑑𝑦∞

−∞

𝑓𝑧 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑧 − 𝑦 𝑓𝑦 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓𝑥 (𝑧) ⊛ 𝑓𝑦 (𝑧)∞

−∞

Probabilidad Condicional

𝐹𝑌 𝑦 𝑥 = 𝑥𝑘 =𝑃[𝑌 ≤ 𝑦, 𝑋 = 𝑥𝑘]

𝑃[𝑥 = 𝑥𝑘]

𝑓𝑌 𝑦 𝑥 = 𝑥𝑘 =𝑑 𝐹𝑌 𝑦 𝑥 = 𝑥𝑘

𝑑𝑥

𝑓𝑌 𝑦 𝑥 = 𝑥𝑘 =𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)

𝑓𝑥 (𝑥)

Si x e y son independientes

𝐹𝑌 𝑦 𝑥 = 𝑥𝑘 = 𝐹𝑌(𝑦)

Si x e y son V.A discretas

𝑃 𝑌 ≤ 𝑦, 𝑋 = 𝑥𝑘 = 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑘 , 𝑌 = 𝑦]

𝑃[𝑥 = 𝑥𝑘]

Momentos Condicionales

𝐸 𝑦 𝑋 = 𝑥 = 𝑦𝑓𝑦 𝑦 𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 → 𝑉. 𝐴 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎∞

−∞

𝐸 𝑦 𝑋 = 𝑥 = 𝑦𝑗 𝑃 𝑦 𝑥 = 𝑥 → 𝑉. 𝐴 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎

𝑁

𝑗 =1

28

Momentos Conjuntos

Dadas dos V.A x,y e fXY(x,y) y z=g(x,y)

𝐸 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

→ 𝑉. 𝐴 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎∞

−∞

𝐸 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑦)

𝑖 ,𝑘

𝑃 𝑥 = 𝑥𝑖 ; 𝑌 = 𝑦𝑘 → 𝑉. 𝐴 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎

Covarianza

𝐶𝑋𝑌 = 𝐸 x − 𝑛𝑥 y − 𝑛𝑦 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝑛𝑥𝑛𝑦

Coeficiente de covarianza

𝛾 =𝐶𝑋𝑌

𝜍𝑥𝜍𝑦 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 → 𝐶𝑋𝑌 ≤ 𝜍𝑥𝜍𝑦

Teorema

Dos V.A se dice que son no correlacionadas si CXY =0

E[XY] =nXnY =E[X]E[Y]

Ortogonalidad

Dos V.A se dice que son ortogonales si el E[XY]=0

Teorema

Si dos V.A son independientes entre sí entonces son no correlacionadas.

29

Función Característica Conjunta

𝜙𝑋𝑌 𝑤1,𝑤2 = 𝐸 𝑒𝑔 𝑤1𝑋+𝑤2𝑌 = 𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦 𝑒𝑔 𝑤1𝑋+𝑤2𝑌 𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

Por consiguiente 𝜙𝑋𝑌 𝑤1,𝑤2 es la transformada de Fourier de 𝑓𝑋𝑌 𝑥, 𝑦

Ejemplo:

Sea(X,Y) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad

𝑓𝑥 ,𝑦 𝑋, 𝑌 = 1 ; 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

0 ; 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

Determinar:

La función de densidad de S= (X + Y)/ 2.

La covarianza entre S y X.

La 𝑃(𝑋 ≤ 0.5 , 𝑠 ≤ 1).

Solución:

Si 𝑆 ∈ 0 ,1

2

𝑃 𝑆 ≤ 𝑠 = 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2𝑠 , 0 ≤ 𝑌 ≤ 2𝑠 − 𝑥)

𝑃 𝑆 ≤ 𝑠 = 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥2𝑠−𝑥

0

2𝑠

0

= 2𝑠 − 𝑥 𝑑𝑥2𝑠

0

𝑃 𝑆 ≤ 𝑠 = 2 𝑠2

Si 𝑆 ∈ 1

2 , 1

𝑃 𝑆 ≤ 𝑠 = 1 − 𝑃 𝑆 > 𝑠 = 1 − 𝑃(2𝑠 − 1 ≤ 𝑋 ≤ 1 , 2𝑠 − 𝑥 ≤ 𝑌 ≤ 1)

𝑃 𝑆 ≤ 𝑠 = 1 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥1

2𝑠−𝑥

1

2𝑠−1

𝑃 𝑆 ≤ 𝑠 = 1 − 2 𝑠 − 1 2

30

𝐹𝑠 𝑠 =

0 ; 𝑠 < 0

2𝑠2 ; 0 ≤ 𝑠 < 1/2

1 − 2 𝑠 − 1 2 ; 1

2≤ 𝑠 < 1

1 ; 𝑠 ≥ 1

𝑓𝑠 𝑠 =

4𝑠 ; 0 ≤ 𝑠 < 1/2

−4 𝑠 − 1 ; 1

2≤ 𝑠 < 1

0 ; 𝑅𝐸𝑆𝑇𝑂

b)

𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑆 = 𝐸 𝑋𝑆 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑆 = 𝐸 𝑋 𝑋 + 𝑌

2 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑆

𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑆 =1

2𝐸 𝑋2 +

1

2𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑆

𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥1

0

1

0

=1

2

𝐸 𝑋2 = 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥1

0

1

0

=1

3

𝐸 𝑋𝑌 = 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥1

0

1

0

=1

4

𝐸 𝑆 =1

2𝐸 𝑋 +

1

2𝐸 𝑌 =

1

2

𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑆 =1

24

Esto podemos resolverlo graficando la zona que nos

piden

𝑃 𝑥 ≤ 0.5 , 𝑥 + 𝑦 ≤ 2 =1

2

31

Secuencia de Variables Aleatorias

Sean 𝑛 variables aleatorias X1 , X2, … , Xn , entonces

𝐹X1 ,X2 ,…,Xn X1 , X2 , … , Xn = P(X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2, … , Xn ≤ xn )

𝑓𝑋1 ,𝑋2 ,…,𝑋𝑛 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 =

𝑑𝑛𝐹𝑋1 ,𝑋2 ,…,𝑋𝑛(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

𝑑𝑋1, 𝑑𝑋2, … , 𝑑𝑋𝑛

… 𝑓X1 ,X2 ,…,Xn X1 , X2, … , Xn dX1, dX2, … , dXn

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

= 1

𝑃 X1, X2 , … , Xn ∈ 𝐷𝑧 = … 𝑓X1 ,X2 ,…,Xn(X1, X2 , … , Xn )dX1, dX2, … , dXn

𝐷𝑧

Densidades Marginales

𝐹𝑋1 ,𝑋3 𝑋1, 𝑋3 = 𝐹𝑋1 ,𝑋2 ,𝑋3 ,𝑋4

𝑋1, ∞, 𝑋3, ∞

𝑓𝑋1 ,𝑋3 𝑋1, 𝑋3 = 𝑓𝑋1 ,𝑋2 ,𝑋3 ,𝑋4

𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 𝑑𝑋2𝑑𝑋4

∞

−∞

∞

−∞

Densidad Condicional

La distribución marginal de X es simplemente la ley de probabilidad de X haciendo caso

omiso de la información referente a Y

𝑓 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 𝑋𝑘+1, 𝑋𝑘+2, … , 𝑋𝑛 =𝑓(𝑋1, 𝑋2, 𝑋𝑘+1, 𝑋𝑘+2, … , 𝑋𝑛)

𝑓(𝑋𝑘+1 , 𝑋𝑘+2, … , 𝑋𝑛)

32

Ejemplo:

𝑓 𝑋1 𝑋2, 𝑋3 =𝑓(𝑋1, 𝑋2, 𝑋3)

𝑓(𝑋2, 𝑋3)

𝐹 𝑋1 𝑋2, 𝑋3 = 𝑓 ∝1 𝑋2, 𝑋3 𝑋1

−∞

𝑑 ∝1

Ejemplo:

𝑓 𝑋1, 𝑋3 𝑋2, 𝑋4 =𝑓(𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4)

𝑓(𝑋2, 𝑋4)

𝐹 𝑋1, 𝑋3 𝑋2, 𝑋4 = 𝑓 ∝1, ∝3 𝑋2, 𝑋4 𝑑 ∝1

𝑋3

−∞

𝑋1

−∞

𝑑 ∝3

Regla de la Cadena

𝑓 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋𝑛

= 𝑓 𝑋𝑛 𝑋𝑛−1, 𝑋𝑛−2, … , 𝑋1 ∗ 𝑓 𝑋𝑛−1 𝑋𝑛−2, 𝑋𝑛−3, … , 𝑋1 ∗ 𝑓 𝑋𝑛−2 𝑋𝑛−3, 𝑋𝑛−4, … , 𝑋1 ∗ …

∗ 𝑓 𝑋2 𝑋1 ∗ 𝑓 𝑋1

Remoción de Variables

Dado 𝑓 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 𝑋4, 𝑋5 ;

Notación:

𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 => 𝑉. 𝐴. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎

𝑋4, 𝑋5 => 𝑉. 𝐴. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑕𝑎

Para remover una V.A. de la “derecha” se multiplica por la densidad condicional de las variables

que desea remover, dado el resto de las variables de la derecha y se integra con respecto a ellas

de −∞ 𝑎 ∞

Para remover una V.A. de la “izquierda” se integra con respecto a esa variable.

33

Ejemplo:

Dado 𝑓 𝑋1, 𝑋2 𝑋3 , remover 𝑋2

𝑓 𝑋1 𝑋3 = 𝑓 𝑋1, 𝑋2 𝑋3 𝑑𝑋2

∞

−∞

Dado 𝑓 𝑋1 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 , hallar 𝑓 𝑋1 𝑋4

𝑓 𝑋1 𝑋4 = 𝑓 𝑋1 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 ∗ 𝑓 𝑋2, 𝑋3 𝑋4 𝑑𝑋2𝑑𝑋3

∞

−∞

∞

−∞

Variables Aleatorias Independientes

Supongamos que "X" e "Y" son variables aleatorias discretas. Si los eventos X = x / Y = y son

variables aleatorias independientes. En tal caso: P(X = x, Y = y) = P( X = x) P ( Y = y).

De manera equivalente: f(x,y) = f1(x).f2(y).

De manera general:

𝐹𝑋1 ,𝑋2 ,…,𝑋𝑛 𝑋1 , 𝑋2, … , 𝑋𝑛 = 𝐹𝑋1

𝑋1 ∗ 𝐹𝑋2 𝑋2 ∗ …∗ 𝐹𝑋𝑛

𝑋𝑛

𝑓𝑋1 ,𝑋2 ,…,𝑋𝑛 𝑋1 , 𝑋2, … , 𝑋𝑛 = 𝑓𝑋1

𝑋1 ∗ 𝑓𝑋2 𝑋2 ∗ …∗ 𝑓𝑋𝑛

𝑋𝑛

Suma de Variables Aleatorias

Sean 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 una secuencia de variables aleatorias.

En forma particular analizaremos 𝑆𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2

𝐸 𝑆𝑛 = 𝐸 𝑋1 + 𝑋2 = 𝐸 𝑋1 + 𝐸[𝑋2]

𝑉𝑎𝑟 𝑆𝑛 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑉𝑎𝑟 𝑋2 + 2𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋2)

En forma general

𝐸 𝑆𝑛 = 𝐸 𝑋1 + 𝐸 𝑋2 + ⋯ + 𝐸[𝑋𝑛 ]

𝑉𝑎𝑟 𝑆𝑛 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑘)

𝑛

𝑘=1

+ 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑗 , 𝑋𝑘)

𝑛

𝑘=1

𝑛

𝑗 =1

34

Teorema del Limite Central

Sea 𝑆𝑛 la suma de 𝑛 variables aleatorias independientes con igual distribución con

𝐸 𝑋 = 𝑢 y 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜍2

Siendo

𝑍𝑛 =𝑆𝑛 − 𝐸 𝑆𝑛

𝜍𝑆𝑛

=𝑆𝑛 − 𝑛𝑢

𝜍 𝑛

entonces

lim𝑛→∞

𝐹 𝑍𝑛 ≤ 𝑍 = 𝑒−𝑋2

2 𝑑𝑋𝑍

−∞

Nota: Se aplica independientemente de la distribución de las variables aleatorias equis. Es decir

que no importa si esta es binomial, exponencial, geométrica, etc.

Ejemplo:

Suponga que las ordenes en un comedor son variables aleatorias idénticamente

distribuidas con media igual a $8 y una desviación estándar de $2. Determine:

a) La probabilidad de que los primeros 100 clientes gasten un total de más de $860

b) La probabilidad de que los primeros 100 clientes gasten un total entre $760 y $840

c) Después de cuantas ordenes se puede estar un 95% seguro que el total gastado por todos

los clientes es mas de $1000

Solución:

𝑛 = 8 ; 𝜍 = 2

a)

𝑍𝑛 =860 − 100(8)

2 (10)= 3

Entonces

𝑃 𝑧 > 3 = 0.9987

b)

𝑍𝑛 =840 − 100(8)

2 (10)= 2

35

𝑍𝑛 =760 − 100(8)

2 (10)= −2

Entonces

𝑃 2 > 𝑧 > −2 = 0.544

c)

𝑍𝑛 =1000 − 𝑛(8)

2 ( 𝑛)

𝑃 𝑧 <1000 − 8𝑛

2 𝑛 = 0.95

Entonces

1000 − 8𝑛

2 𝑛= 1.6

1000000 − 16000𝑛 + 64𝑛2 = 10.24𝑛

1𝑀 − 16𝐾𝑛 − 10.24𝑛 + 64𝑛2 = 0

𝑛 =16010.24 ± 256327784.9 − 4 1𝑀 (64)

2(64)=

16010.24 ± 572.5

128= {

120.6129.5

→ 𝑛 = 120.6

Redondeando

𝑛 = 121 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠

Ejemplo:

Un estudiante usa lápices cuya duración es una variable aleatoria exponencial con media

de una semana. Use el teorema del límite central para determinar el mínimo numero de lápices

que debería comprar al inicio del semestre (15 semanas) para tener una probabilidad de 0.99 de

no quedarse sin lápices durante el semestre.

Solución:

𝑛 𝑙𝑎𝑝𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑆𝑛 15 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

𝑢 = 1 ; 𝜍 = 1 ; 𝑆𝑛 = 15

36

𝑃 𝑍 <15 − 𝑛

𝑛 = 0.99

15 − 𝑛

𝑛= 2.325

225 − 30𝑛 + 𝑛2 = 5.4056𝑛

225 − 35.4056𝑛 + 𝑛2 = 0

𝑛1 = 8.3

𝑛2 = 27.1

Entonces el número de lápices mínimo es 9.

Procesos Aleatorios o Estocasticos

Un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una

sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable,

generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función

de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios

constituye un proceso estocástico.

,X t

→ V.A. que nos proporciona información

𝐹𝑋 𝑡 𝑋(𝑡) = 𝑃 𝑋(𝑡) ≤ 𝑥(𝑡)

37

Ejemplo:

Hallar 𝑢𝑋 𝑡 y 𝑣𝑎𝑟 𝑋 𝑡 del siguiente proceso estocástico, si se sabe que A es una variable

aleatoria uniforme con intervalo (0,2)

𝑋 𝑡, 𝐴 = 𝐴𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡)

𝐴 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐴𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑉. 𝐴. 𝑈. → (0,2)

Se asume que wt es constante.

1era Forma de Resolverlo:

𝑢𝑋(𝑡) = 𝐸 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 = 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝐸 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝐴0.5∞

−∞

𝑑𝐴

= 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 0.5𝐴𝑑𝐴2

0

= 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 1

20.5𝐴2|0

2 = 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 0.5 2 2

2= 𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡)

𝑣𝑎𝑟 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑢𝑋 𝑡 2 = 𝐸 𝑋 𝑡 2 − 𝑢𝑋(𝑡)

2 = 𝐸 𝐴2𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡

= 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 𝐸 𝐴2 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 = 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 𝐴20.5 𝑑𝐴2

0

− 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡

= 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 0.5

3𝐴3|0

2 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 = 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 0.5 (8)

3 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡

= 4

3𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑤𝑡 =

1

3𝑆𝑒𝑛2(𝑤𝑡)

2da Forma de Resolverlo:

𝑓𝐴 𝑎 = 0,5 ; 0 ≤ 𝑎 ≤ 2

0 ; 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑎

𝐹𝐴 𝑎 = 1 ; 𝑎 ≥ 2

0.5𝐴 ; 0 ≤ 𝑎 < 20 ; 𝑎 < 0

38

𝐹𝑋 𝑡 (𝑋 𝑡 ) = 𝑃 𝑋 𝑡 ≤ 𝑥 𝑡 = 𝑃 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 ≤ 𝑥 𝑡 = 𝑃 𝐴 ≤𝑥 𝑡

𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 = 𝐹𝐴

𝑥 𝑡

𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝐹𝑋 𝑡 =

1 ; 𝑋 𝑡 ≥ 2𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡)

0.5 𝑋(𝑡)

𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡) ; 0 ≤ 𝑋(𝑡) < 2𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡)

0 ; 𝑋 𝑡 < 0

Para obtener los límites hacemos lo siguiente:

𝑋 𝑡 = 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 ; 𝐴 ∈ 0,2 → 𝑋 𝑡 ∈ 0,2𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡

Luego derivamos 𝐹𝑋(𝑡) para obtener 𝑓𝑋(𝑡):

𝑓𝑋(𝑡) =

0.5

𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡) ; 0 ≤ 𝑋(𝑡) ≤ 2𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡)

0 ; 𝑂𝑡𝑟𝑜 𝑋(𝑡)

Con lo que podemos hallar 𝑢𝑋(𝑡):

𝑢𝑋(𝑡) = 𝐸 𝑋 𝑡 = 𝑋 𝑡 0.5

𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑑𝑋 𝑡

2𝑆𝑒𝑛 (𝑤𝑡 )

0

=𝑋(𝑡)2

4𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡)|0

2𝑆𝑒𝑛 (𝑤𝑡 )=

4𝑆𝑒𝑛2(𝑤𝑡)

4𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡)

= 𝑆𝑒𝑛(𝑤𝑡)

Igual procedimiento se puede realizar para obtener la varianza de X(t).

Autocorrelación

La autocorrelación es la correlación cruzada de un señal consigo misma.

La función de autocorrelación resulta de gran utilidad para encontrar patrones repetitivos

dentro de una señal, como por ejemplo, la periodicidad de una señal enmascarada bajo el ruido o

para identificar la frecuencia fundamental de una señal que no contiene dicha componente, pero

aparecen numerosas frecuencias armónicas de esta.

𝑅𝑋 𝑡1 , 𝑡2 = 𝐸[𝑋 𝑡1 , 𝑋(𝑡2)]

39

Crosscorrelacion

La correlación cruzada es una medida de la similitud de dos formas de onda como una

función de un desfase aplicado a uno de ellos. Esto también se conoce como un deslizamiento

producto punto o corredera interior-producto.

𝑅𝑋𝑌 𝑡1 , 𝑡2 = 𝐸[𝑋 𝑡1 , 𝑌(𝑡2)]

Autocovarianza

Es el cálculo de la crosscovarianza de un proceso consigo mismo.

𝐶𝑋 𝑡1 , 𝑡2 = 𝐸[ 𝑋 𝑡1 − 𝑚𝑋(𝑡1) 𝑋 𝑡2 − 𝑚𝑋(𝑡2) ]

Crosscovarianza

El término covarianza transversal se utiliza para referirse a la covarianza cov (X, Y) entre

dos vectores aleatorios X y Y, con el fin de distinguir que el concepto de la "covarianza" de un

vector X al azar, que se entiende ser la matriz de covarianzas entre los componentes escalares de

X.

𝐶𝑋𝑌 𝑡1 , 𝑡2 = 𝐸[ 𝑋 𝑡1 − 𝑚𝑋(𝑡1) 𝑌 𝑡2 − 𝑚𝑌(𝑡2) ]

Simplificaciones para tener en cuenta:

𝐶𝑋 𝑡1 , 𝑡2 = 𝑅𝑋 𝑡1, 𝑡2 − 𝑚𝑋 𝑡1 𝑚𝑋(𝑡2)

𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑚𝑋 𝑡 2 = 𝐶𝑋 𝑡, 𝑡 = 𝐸 𝑋 𝑡 2 − 𝐸[𝑋(𝑡)]2 = 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝐸 𝑋 𝑡 2

= 𝑅𝑋(𝑡, 𝑡) − 𝐸[𝑋(𝑡)]2

40

Coeficiente de Correlación

El coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la relación lineal entre dos

variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es

independiente de la escala de medida de las variables.

𝜌𝑋 𝑡1, 𝑡2 =𝐶𝑋(𝑡1 , 𝑡2)

𝐶𝑋(𝑡1 , 𝑡1) 𝐶𝑋 (𝑡2 , 𝑡2) ; 𝜌𝑋(𝑡1, 𝑡2) ≤ 1

Ejemplo:

Dado un proceso estocástico X(t) y la variable aleatoria 𝜃. Hallar E[X(t)] y 𝑅𝑋(𝑡1 , 𝑡2)

𝑋 𝑡 = 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 + 𝜃

𝜃 => 𝑉. 𝐴. 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 0, 2𝜋

𝐴, 𝑤 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

Solución:

𝜃 =1

2𝜋

𝐸 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 + 𝜃 = 𝐸 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑆𝑒𝑛𝜃

= 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝐸 𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝐸 𝑆𝑒𝑛𝜃

= 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝐶𝑜𝑠𝜃2𝜋

0

1

2𝜋𝑑𝜃 − 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑆𝑒𝑛𝜃

2𝜋

0

1

2𝜋𝑑𝜃

= 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 1

2𝜋 𝑆𝑒𝑛𝜃 0

2𝜋 + 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡 1

2𝜋 𝐶𝑜𝑠𝜃 0

2𝜋 = 0

𝑅𝑋 𝑡1 , 𝑡2 = 𝐸 𝑋 𝑡1 𝑋 𝑡2

= 𝐸 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡1 𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡1 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡2 𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝐴𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡2 𝑆𝑒𝑛𝜃

= 𝐸 𝐴2𝐶𝑜𝑠2𝜃𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡1 𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡2 + 𝐴2𝑆𝑒𝑛2𝜃𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡1 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡2

− 𝐴2𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡1 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡2 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑆𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡1 𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡2 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑆𝑒𝑛𝜃

= 𝐴2𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡1 𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡2 𝐸 𝐶𝑜𝑠2𝜃 + 𝐴2𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡1 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡2 𝐸 𝑆𝑒𝑛2𝜃

− 𝐴2𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡1 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡2 + 𝐴2𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡1 𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡2 𝐸 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑆𝑒𝑛𝜃

41

𝐸 𝐶𝑜𝑠2𝜃 = 1

2𝜋

1

2+

1

2𝐶𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃

2𝜋

0

=1

2𝜋[1

2𝜃 +

1

4𝑆𝑒𝑛2𝜃]0

2𝜋 =1

2𝜋𝜋 =

1

2

𝐸 𝑆𝑒𝑛2𝜃 = 1

2𝜋

1

2−

1

2𝐶𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃

2𝜋

0

=1

2𝜋[1

2𝜃 −

1

4𝑆𝑒𝑛2𝜃]0

2𝜋 =1

2𝜋𝜋 =

1

2

𝐸 𝑆𝑒𝑛𝜃𝐶𝑜𝑠𝜃 = 1

2𝜋𝑆𝑒𝑛𝜃𝐶𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

2𝜋

0

=1

4𝜋 𝑆𝑒𝑛2𝜃 0

2𝜋 = 0

Entonces

𝑅𝑋 𝑡1 , 𝑡2 =𝐴2

2𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡1 𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡2 +

𝐴2

2𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡1 𝑆𝑒𝑛 𝑤𝑡2 =

𝐴2

2𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡1 − 𝑤𝑡2

=𝐴2

2𝐶𝑜𝑠(𝑤 𝑡1 − 𝑡2 )

Proceso Estacionario en Sentido Amplio (w.s.s.)

Se dice que un proceso estocástico es estacionario en sentido amplio cuando cumple con las

dos siguientes condiciones:

1. 𝐸 𝑋 𝑡 = 𝑚𝑋 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (sin 𝑡)

2. 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 = 𝑅𝑋 𝜏 ; 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝜏 (sin 𝑡)

Propiedades de un P.E.S.A. (w.s.s.)

a) 𝑅𝑋 0 = 𝐸[𝑋(𝑡)2]

b) 𝑅𝑋 𝜏 = 𝑅𝑋 −𝜏

c) 𝑅𝑋(𝜏) ≤ 𝑅𝑋 0 ; lim𝜏→∞ 𝑅𝑋(𝜏) = (𝑢𝑋)2

d) La grafica de 𝑅𝑋(𝜏) nos da información sobre el comportamiento temporal del proceso.

Nota: en algunos problemas utilizaremos 𝜏 = 𝑡1 − 𝑡2

42

Ejemplo:

Calcular:

a) Media y autocorrelación de X(t) y Y(t)

b) La varianza de X(t) y la varianza entre X(1) y X(2)

c) Función de probabilidad y de densidad de X(t); t>0

d) P(Y(1)≤1)

Si se conoce lo siguiente:

A y B => Variables Aleatorias Independientes

A => Distribución exponencial con media 1

B => Distribución uniforme (0,1)

X(t) y Y(t) son procesos estocásticos de la siguiente manera:

𝑋 𝑡 = 𝑒−𝐴𝑡 ; 𝑡 > 0

𝑌 𝑡 = 𝑒−𝐴𝑡+𝐵 ; 𝑡 > 0

Solución:

𝑓𝐵 = 1 ; 𝐵 ∈ 0,1

𝐹𝐵 = 𝐵 ; 𝐵 ∈ 0,1

𝑓𝐴 = 𝑒−𝐴 ; 𝐴 ∈ 0, ∞

𝐹𝐴 = 1 − 𝑒−𝐴 ; 𝐴 ∈ (0, ∞)

a)

𝐸 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑒−𝐴𝑡 = 𝑒−𝐴𝑡𝑒−𝐴𝑑𝐴∞

0

= 𝑒−𝐴 𝑡+1 𝑑𝐴∞

0

= −1

𝑡 + 1𝑒−𝐴 𝑡+1

0∞

=1

𝑡 + 1

𝐸 𝑌 𝑡 = 𝐸 𝑒−𝐴𝑡+𝐵 = 𝐸 𝑒−𝐴𝑡𝑒𝐵 = 𝑒−𝐴𝑡𝑒𝐵𝑒−𝐴𝑑𝐴𝑑𝐵∞

0

1

0

= 𝑒𝐵 𝑒−𝐴(𝑡+1)𝑑𝐴𝑑𝐵∞

0

1

0

= 𝑒𝐵 −1

𝑡 + 1𝑒−𝐴(𝑡+1)

∞0

𝑑𝐵1

0

=1

𝑡 + 1 𝑒𝐵𝑑𝐵

1

0

=1

𝑡 + 1𝑒𝐵

01

=𝑒

𝑡 + 1−

1

𝑡 + 1

=𝑒 − 1

𝑡 + 1

43

𝑅𝑋 𝑡1 , 𝑡2 = 𝐸 𝑋 𝑡1 𝑋 𝑡2 = 𝐸 𝑒−𝐴𝑡1𝑒−𝐴𝑡2 = 𝐸 𝑒−𝐴 𝑡1+𝑡2 = 𝑒−𝐴 𝑡1+𝑡2 𝑒−𝐴𝑑𝐴∞

0

= 𝑒−𝐴 𝑡1+𝑡2+1 𝑑𝐴∞

0

= −1

𝑡1 + 𝑡2 + 1𝑒−𝐴 𝑡1+𝑡2+1 ∞

0=

1

𝑡1 + 𝑡2 + 1

𝑅𝑌 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑌 𝑡1 𝑌 𝑡2 = 𝐸 𝑒−𝐴𝑡1+𝐵𝑒−𝐴𝑡2+𝐵 = 𝐸 𝑒−𝐴 𝑡1+𝑡2 +2𝐵

= 𝑒−𝐴(𝑡1+𝑡2)𝑒2𝐵𝑒−𝐴𝑑𝐴𝑑𝐵∞

0

1

0

= 𝑒2𝐵 𝑒−𝐴(𝑡1+𝑡2+1)𝑑𝐴∞

0

𝑑𝐵1

0

= 𝑒2𝐵 −1

𝑡1 + 𝑡2 + 1𝑒−𝐴(𝑡1+𝑡2+1)

0

∞

𝑑𝐵1

0

=1

𝑡1 + 𝑡2 + 1 1

2𝑒2𝐵

0

1

=𝑒2 − 1

2(𝑡1 + 𝑡2 + 1)

b)

𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑚𝑋(𝑡) 2 = 𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 − 𝐸[𝑋(𝑡)] 2

𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 =1

2𝑡 + 1 ; 𝐸[𝑋(𝑡)] 2 =

1

(𝑡 + 1)2

Entonces

𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑡 =1

2𝑡 + 1−

1

(𝑡 + 1)2

𝐶𝑜𝑣 𝑋 1 𝑋 2 = 𝐸 𝑋 1 − 𝑛𝑋 1 𝑋 2 − 𝑛𝑋 2 = 𝐸 𝑋 1 𝑋 2 − 𝑛𝑋(1)𝑛𝑋(2)

𝐸 𝑋 1 𝑋 2 = 𝐸 𝑒−𝐴𝑒−2𝐴 = 𝐸 𝑒−3𝐴 = 𝑒−3𝐴𝑒−𝐴𝑑𝐴∞

0

= 𝑒−4𝐴𝑑𝐴∞

0

=1

4

𝐸 𝑋 1 =1

2 ; 𝐸 𝑋 2 =

1

3

Entonces

𝐶𝑜𝑣 𝑋 1 𝑋 2 =1

4−

1

2

1

3=

6 − 4

24=

2

24=

1

12

c)

44

𝐹𝑋 𝑋 𝑡 = 𝑃 𝑋 𝑡 ≤ 𝑥 𝑡 = 𝑃 𝑒−𝐴𝑡 ≤ 𝑥 𝑡 = 𝑃 −𝐴𝑡 ≤ 𝑙𝑛𝑥 𝑡 = 𝑃 𝐴 ≥ −𝑙𝑛𝑥 𝑡

𝑡

= 1 − 𝐹𝐴 −𝑙𝑛𝑥 𝑡

𝑡

𝐹𝐴 = −𝑒−𝐴 ; 𝐴 > 0

0 ; 𝐴 < 0

𝐹𝑋 =

1 ; 𝑋(𝑡) ≥ 1

1 + 𝑒𝑙𝑛𝑋 (𝑡)

𝑡 = 1 + 𝑒ln𝑋(𝑡)1𝑡 = 1 + 𝑋(𝑡)

1𝑡 ; 0 ≤ 𝑋(𝑡) < 1

0 ; 𝑋(𝑡) < 0

𝑓𝑋 = 1

𝑡𝑋(𝑡)

1𝑡−1 ; 0 ≤ 𝑋 𝑡 ≤ 1

0 ; 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑋

d)

𝑃 𝑌 1 ≤ 1 = 𝑃 𝑒−𝐴+𝐵 ≤ 1 = 𝑃 −𝐴 + 𝐵 ≤ 0 = 𝑃 𝐵 ≤ 𝐴 = 𝐹𝐴,𝐵(𝐴)

𝑓𝐴 = 𝑒−𝐴 ; 𝑓𝐵 = 1 ; 𝐹𝐴 = 1 − 𝑒−𝐴 ; 𝐹𝐵 = 𝐵 ; 𝐹𝐴,𝐵 = 𝐵(1 − 𝑒−𝐴)

𝐹𝐴,𝐵 = 𝑒−𝐴𝑑𝐴∞

𝐵

𝑑𝐵1

0

= −𝑒−𝐴 𝐵∞𝑑𝐵

1

0

= 𝑒−𝐵𝑑𝐵1

0

= −𝑒𝐵01

= −𝑒−1 + 1 = 1 −1

𝑒

45

Ejemplo:

Hallar:

a) 𝐸 𝑌1 𝑡

b) 𝑅𝑌1 𝑡, 𝑡 + 𝜏

c) 𝐸 𝑌2 𝑡

d) 𝑅𝑌2 𝑡, 𝑡 + 𝜏

Si se conoce que X(t) es w.s.s. con 𝑅𝑋 𝜏 = 𝑒− 𝜏 ; 𝜏 ∈ 𝑅

𝑌1 𝑡 = 𝑋 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡

𝑌2 𝑡 = 𝑋 𝑡 − 𝑋(𝑡 − 𝑑)

Solución:

a)

𝐸 𝑌1 𝑡 = 𝐸 𝑋 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐸 𝑋 𝑡 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑚𝑋

𝑚𝑋2 = lim

𝜏→∞𝑅𝑋 𝜏 = 0 => 𝑚𝑋 = 0 => 𝐸 𝑌1 𝑡 = 0

b)

𝑅𝑌1 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = 𝐸 𝑌 𝑡 𝑌 𝑡 + 𝜏 = 𝐸 𝑋 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜏

= 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜏 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜏 𝑅𝑋 𝜏

= 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝑡 − 𝜏)𝑒− 𝜏

c)

𝐸 𝑌2 𝑡 = 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑋 𝑡 − 𝑑 = 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑑 = 0 − 0 = 0

d)

𝑅𝑌2 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = 𝐸 𝑌 𝑡 𝑌 𝑡 + 𝜏 = 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑋 𝑡 − 𝑑 𝑋 𝑡 + 𝜏 − 𝑋 𝑡 − 𝑑 + 𝜏

= 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 + 𝜏 − 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑑 𝑋 𝑡 + 𝜏 − 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝑑 + 𝜏

+ 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑑 𝑋 𝑡 − 𝑑 + 𝜏 = 𝑅𝑋 𝜏 + 𝑅𝑋 𝜏 − 𝑅𝑋 𝜏 − 𝑑 − 𝑅𝑋 𝜏 + 𝑑

= 2𝑅𝑋 𝜏 − 𝑅𝑋 𝜏 − 𝑑 − 𝑅𝑋 𝜏 + 𝑑 = 2𝑒− 𝜏 − 𝑒− 𝜏−𝑑 − 𝑒− 𝜏+𝑑

46

Ejemplo:

Determinar si X(t) es w.s.s., sabiendo que 𝜃 => 𝑉. 𝐴. 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 (−𝜋, 𝜋)

𝑋 𝑡 = 𝐴2𝐶𝑜𝑠2 𝑤𝑡 + 𝜃

Solución:

𝑓𝜃 =1

2𝜋 ; 𝐹𝜃 =

𝜃

2𝜋

𝐸 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝐴2𝐶𝑜𝑠2 𝑤𝑡 + 𝜃 = 𝐴2𝐸 1

2+

𝐶𝑜𝑠 2 𝑤𝑡 + 𝜃

2 =

1

2𝐴2 +

1

2𝐸 𝐶𝑜𝑠2 𝑤𝑡 + 𝜃

=1

2𝐴2 +

1

2𝐸 𝐶𝑜𝑠 2𝑤𝑡 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 − 𝑆𝑒𝑛 2𝑤𝑡 𝑆𝑒𝑛 2𝜃

=1

2𝐴2 +

1

2𝐶𝑜𝑠 2𝑤𝑡 𝐸 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 −

1

2𝑆𝑒𝑛 2𝑤𝑡 𝐸 𝑆𝑒𝑛 2𝜃

𝐸 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 = 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 1

2𝜋𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

=1

2𝜋 1

2𝑆𝑒𝑛 2𝜃

−𝜋

𝜋

= 0

𝐸 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 = 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 1

2𝜋𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

=1

2𝜋 −

1

2𝐶𝑜𝑠 2𝜃

−𝜋

𝜋

= −1

4𝜋 1 − 1 = 0

Entonces:

𝐸 𝑋 𝑡 =1

2𝐴2 => Independiente de t

𝑅𝑋 𝜏 = 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 = 𝐸 𝐴2𝐶𝑜𝑠2 𝑤𝑡 + 𝜃 𝐴2𝐶𝑜𝑠2 𝑤𝑡 − 𝑤𝜏 + 𝜃

= 𝐴4𝐸 𝐶𝑜𝑠2 𝑤𝑡 + 𝜃 𝐶𝑜𝑠2 𝑤𝑡 − 𝑤𝜏 + 𝜃

= 𝐴4𝐸 1

2+

1

2𝐶𝑜𝑠 2𝑤𝑡 + 2𝜃

1

2+

1

2𝐶𝑜𝑠 2𝑤 𝑡 − 𝜏 + 2𝜃

=𝐴4

4+

𝐴4

4𝐶𝑜𝑠 2𝑤𝑡 𝐶𝑜𝑠 2𝑤 𝑡 − 𝜏 𝐸 𝐶𝑜𝑠2 2𝜃

−𝐴4

4𝐶𝑜𝑠 2𝑤𝑡 𝑆𝑒𝑛 2𝑤 𝑡 − 𝜏 𝐸 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 𝑆𝑒𝑛 2𝜃

−𝐴4

4𝐶𝑜𝑠 2𝑤 𝑡 − 𝜏 𝑆𝑒𝑛 2𝑤𝑡 𝐸 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 𝑆𝑒𝑛 2𝜃

+𝐴4

4𝑆𝑒𝑛 2𝑤𝑡 𝑆𝑒𝑛 2𝑤 𝑡 − 𝜏 𝐸 𝑆𝑒𝑛2 2𝜃

47

𝐸 𝐶𝑜𝑠2 2𝜃 = 𝐸 1

2+

1

2𝐶𝑜𝑠 4𝜃 =

1

2+

1

2𝐸 𝐶𝑜𝑠 4𝜃 =

1

2+

1

2 𝐶𝑜𝑠 4𝜃

1

2𝜋𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

=1

2+

1

4𝜋

1

4𝑆𝑒𝑛 4𝜃

−𝜋

𝜋

=1

2

𝐸 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 = 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 1

2𝜋𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

=1

2𝜋 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

=1

2𝜋 𝑆𝑒𝑛2 2𝜃

−𝜋

𝜋= 0

𝐸 𝑆𝑒𝑛2 2𝜃 = 𝐸 1

2−

1

2𝐶𝑜𝑠 2𝜃 =

1

2

Entonces:

𝑅𝑋 𝜏 =𝐴4

4+

𝐴4

8𝐶𝑜𝑠 2𝑤𝑡 𝐶𝑜𝑠 2𝑤 𝑡 − 𝜏 +

𝐴4

8𝑆𝑒𝑛 2𝑤𝑡 𝑆𝑒𝑛 2𝑤 𝑡 − 𝜏

=𝐴4

8 2 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑤𝑡 − 2𝑤𝑡 + 2𝑤𝜏

𝑅𝑋 𝜏 =𝐴4

8 2 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑤𝜏 => 𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡

Entonces X(t) Sí es w.s.s.

Densidad Espectral de Potencia

La Densidad Espectral (Spectral Density) de una señal es una función matemática que nos

informa de cómo está distribuida la potencia o la energía (según el caso) de dicha señal sobre las

distintas frecuencias de las que está formada, es decir, su espectro.

𝑆𝑋 𝑓 = lim𝑇→∞

1

𝑇𝐸 𝑋𝑇(𝑓) 2

𝑋𝑇 𝑓 = 𝑋 𝑡 𝑒−𝑗 2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

0 < 𝑃𝑋 < ∞

𝐸𝑋 → ∞

48

Teorema de Wiener Khinchin

El teorema de Wiener-Khinchin (también conocido como el teorema de Wiener-Khintchine y, a

veces como el teorema de Wiener-Khinchin-Einstein o el teorema de Kolmogorov-Khinchin) afirma

que la potencia de la densidad espectral de un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio

es la transformada de Fourier de el correspondiente función de autocorrelación.

𝑆𝑋 𝑓 = 𝐹 𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = 𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏∞

−∞

𝑅𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = 𝐹−1 𝑆𝑋 𝑓 = 𝑆𝑋 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝑓∞

−∞

Si X(t) es w.s.s. entonces:

𝑆𝑋 𝑓 = 𝐹 𝑅𝑋 𝜏 = 𝑅𝑋 𝜏 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏∞

−∞

[𝑤 𝐻𝑧 ]

𝑅𝑋 𝜏 = 𝐹−1 𝑆𝑋 𝑓 = 𝑆𝑋(𝑓)𝑒𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝑓∞

−∞

Ejemplo:

Determinar:

a) Si Y(t) es w.s.s.

b) 𝑆𝑌(𝑓)

Dado que X(t) es w.s.s. 𝐸 𝑋 𝑡 = 0 ; 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑡 = 2

𝑌 𝑡 = 2 + 3𝑋(𝑡 − 1)

Solución:

a)

𝐸 𝑌 𝑡 = 𝐸 2 + 3𝑋 𝑡 − 1 = 𝐸 2 + 𝐸 3𝑥 𝑡 − 1 = 2 => 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑅𝑌 𝑡, 𝑡 − 𝜏 = 𝐸 𝑌 𝑡 𝑌 𝑡 − 𝜏 = 𝐸 2 + 3𝑋 𝑡 − 1 2 + 3𝑋 𝑡 − 𝜏 − 1

= 𝐸 4 + 6𝑋 𝑡 − 𝜏 − 1 + 6𝑋 𝑡 − 1 + 9𝑋 𝑡 − 1 𝑋 𝑡 − 𝜏 − 1

= 4 + 9𝐸 𝑋 𝑡 − 1 𝑋 𝑡 − 1 − 𝜏 = 4 + 9𝑅𝑋 𝜏 => 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Entonces 𝑌 𝑡 𝑆í 𝑒𝑠 𝑤. 𝑠. 𝑠.

49

b)

𝑆𝑌 𝑓 = 𝐹 𝑅𝑌 𝜏 = 𝑅𝑌(𝜏)𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏∞

−∞

= 4 + 9𝑅𝑋(𝜏) 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜋 𝑑𝜋∞

−∞

= 4𝑒−𝑗2𝜋𝑑𝜏∞

−∞

+ 9𝑅𝑋(𝜏)𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏∞

−∞

= 4𝛿 𝑓 + 9𝑆𝑋(𝑓)

Ejemplo:

Conociendo que X(t) es w.s.s., y que 𝑅𝑋 𝜏 = 𝑒− 𝜏 ; 𝜏 ∈ 𝑅.

Determinar:

a) Si 𝑌 𝑡 = 𝑋 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑒𝑠 𝑤. 𝑠. 𝑠.

b) Si 𝑌 𝑡 = 𝑋 𝑡 − 𝑋 𝑡 − 𝑑 , 𝑕𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑆𝑌 𝑓 𝑜 𝑆𝑌(𝑤)

Solución:

a)

𝐸 𝑌 𝑡 = 𝐸 𝑋 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐸 𝑋 𝑡 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑢𝑥

lim𝜏→∞

𝑅𝑋(𝜏) = 𝑢𝑋2 => 𝑢𝑋 = 0 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝐸 𝑌 𝑡 𝑌 𝑡 − 𝜏 = 𝐸 𝑋 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜏 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜏 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏

= 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜏 𝑅𝑋 𝜏 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝜏 𝑒− 𝜏

→ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑤. 𝑠. 𝑠.

b)

𝑆𝑌 𝑓 = 𝐹[𝑅𝑌(𝑡, 𝑡 − 𝜏)]

𝑅𝑌 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = 𝐸 𝑌 𝑡 𝑌 𝑡 + 𝜏 = 𝐸 𝑋 𝑡 − 𝑋 𝑡 − 𝑑 𝑋 𝑡 + 𝜏 − 𝑋 𝑡 + 𝜏 − 𝑑

= 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 + 𝜏 − 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 + 𝜏 − 𝑑 − 𝑋 𝑡 − 𝑑 𝑋 𝑡 + 𝜏

+ 𝑋 𝑡 − 𝑑 𝑋 𝑡 + 𝜏 − 𝑑 = 𝑅𝑋 𝜏 − 𝑅𝑋 𝜏 − 𝑑 − 𝑅𝑋 𝜏 + 𝑑 + 𝑅𝑋 𝜏

= 2𝑅𝑋 𝜏 − 𝑅𝑋 𝜏 − 𝑑 − 𝑅𝑋 𝜏 + 𝑑 = 2𝑒− 𝜏 − 𝑒− 𝜏−𝑑 − 𝑒− 𝜏+𝑑

𝑆𝑌 𝑤 =4

1 + 𝑤12−

2

1 + 𝑤22

−2

1 + 𝑤32

50

Paso de una Señal Aleatoria por un Sistema Lineal

El símbolo * denotara convolución.

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ 𝑕(𝑡)

𝑅𝑦 𝜏 = 𝐸 𝑦 𝑡 𝑦 𝑡 + 𝜏

𝑅𝑦 𝜏 = 𝑕 −𝜏 ∗ 𝑕 𝜏 ∗ 𝑅𝑥 (𝜏)

𝑆𝑌 𝑓 = 𝐻 𝑓 2𝑆𝑋(𝑓)

𝑅𝑋𝑌 𝜏 = 𝑕 𝜏 ∗ 𝑅𝑋 𝜏

𝑅𝑥𝑦 𝜏 = 𝑅𝑥𝑦 −𝜏

Para un Sistema No Lineal

Uso la definición:

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ 𝑕(𝑡)

Ejemplo:

Suponiendo X(t) y W(t) w.s.s. e independientes. Hallar 𝑅𝑍(𝜏) si:

a)

𝑍 𝑡 = 𝑋 𝑡 𝑊(𝑡)

Solución:

𝑅𝑍 𝜏 = 𝐸 𝑋 𝑡 𝑊 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝑊 𝑡 − 𝜏 = 𝑅𝑋 𝜏 𝑅𝑊(𝜏)

51

b)

𝑍 𝑡 = 𝑋 𝑡 + 𝑊(𝑡)

Solución:

𝑅𝑍 𝜏 = 𝐸 𝑋 𝑡 + 𝑊 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 + 𝑊 𝑡 − 𝜏

= 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 + 𝑋 𝑡 𝑊 𝑡 − 𝜏 + 𝑊 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 + 𝑊 𝑡 𝑊 𝑡 − 𝜏

= 𝑅𝑋 𝜏 + 𝑅𝑊 𝜏 + 𝑢𝑋𝑢𝑊 + 𝑢𝑊𝑢𝑋 = 𝑅𝑋 𝜏 + 𝑅𝑊 𝜏 + 2𝑢𝑋𝑢𝑊

Retardador

Z t = X t − t0

RZ 𝜏 = 𝑅𝑋 𝜏

Procesos Ergódicos

Determinación de parámetros:

a) Se toma una muestra completa del proceso y se realizan los cálculos sobre ella.

b) Se toman todas las salidas para un tk y se calcula los parámetros deseados.

Si el valor del parámetro resulta igual por los dos métodos, se dice que el proceso es ergódico

respecto a ese parámetro.

Ejemplo: Ergodicidad respecto a la media

𝐸 𝑋 𝑡 = lim𝑇→∞

1

𝑇 𝑋𝑘 𝑡 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

= 𝑋 𝑡𝑘 𝑃 𝑋 𝑡𝑘 𝑑𝑋(𝑡𝑘 )∞

−∞

𝐸 𝑋 𝑡 = 𝑋 => 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝐷𝐶 𝑑𝑒 𝑋 𝑡 ≈ 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

𝐸 𝑋2 = 𝑋2 => 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑋 𝑡

𝐸 𝑋 2 = (𝑋 )2 => 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐷𝐶 𝑑𝑒 𝑋 𝑡

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜍𝑋2 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 => 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝐴𝐶 𝑑𝑒 𝑋 𝑡

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝜍𝑋 => 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑅𝑀𝑆 𝑑𝑒 𝑋 𝑡

𝐹 𝑅𝑋(𝜏) = 𝑆𝑋(𝑓)

52

Nota: Todo proceso ergódico es w.s.s., pero no al revés.

Ejemplo:

Se tiene un proceso ergódico X(t) con 𝑅𝑋 𝜏 = 𝐴2𝑒−2𝑉 𝜏

Solución:

Nivel DC

lim𝜏→∞

𝑅𝑋 𝜏 = 𝑢𝑋2 = 0 => 𝑢𝑋 = 0

Potencia Promedio Total

𝐸 𝑋2 = 𝑅𝑋 0 = 𝐴2

Potencia DC

𝐸[𝑋]2 = 0

Potencia Promedio AC de X(t)

𝜍2 = 𝐴2

Voltaje RMS de X(t)

𝜍𝑋 = 𝐴

Densidad Espectral de Potencia

𝑆𝑋 𝑤 = 𝐹 𝑅𝑋 𝜏 =4𝐴𝑉

4𝑉2 + 𝑊2

Nota: Si 𝑆𝑋(𝑡) tiene 𝛿 (deltas), entonces la media de X(t) no es cero

53

Ruido Blanco

El ruido blanco o sonido blanco es una señal aleatoria (proceso estocástico) que se

caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan

correlación estadística. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia (PSD, siglas

en inglés de power spectral density) es una constante, es decir, su gráfica es plana.1 Esto significa

que la señal contiene todas las frecuencias y todas ellas muestran la misma potencia. Igual

fenómeno ocurre con la luz blanca, de allí la denominación.

Ejercicios Varios

Ejercicio1:

Si X(t) es un procesos estocástico gausiano w.s.s. con 𝑅𝑋 𝜏 = 9 + 2𝑒−𝜏2, y sea S una variable

aleatoria discreta e independiente de X(t) con distribución P(S=1)=0.7, P(S=2)=0.2, P(S=3)=0.1

Si Z(t)=SX(t) , hallar:

a) Z(t) es w.s.s.?

b) 𝑆𝑍(𝑤)

Solución:

a)

𝐸 𝑍 = 𝐸 𝑆𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑆 𝐸 𝑋 𝑡

𝐸 𝑆 = 1 0.7 + 2 0.2 + 3 0.1 = 0.7 + 0.4 + 0.3 = 1.4

lim𝜏→∞

𝑅𝑋 𝜏 = 𝑢𝑋2 = 𝐸 𝑋 𝑡 2 = 9 => 𝐸 𝑋 𝑡 = 3

Entonces 𝐸 𝑍 = 4.2 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑆𝑖𝑛 𝑡)

54

𝑅𝑍 𝜏 = 𝐸 𝑍 𝑡 𝑍 𝑡 − 𝜏 = 𝐸 𝑆𝑋 𝑡 𝑆𝑋 𝑡 − 𝜏 = 𝐸 𝑆2𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 = 𝐸 𝑆2 𝐸 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏

= 𝐸 𝑆2 𝑅𝑋(𝜏)

𝐸 𝑆2 = 1 0.7 + 4 0.2 + 9 0.1 = 0.7 + 0.8 + 0.9 = 2.4

Entonces 𝑅𝑍 𝜏 = 21.6 + 4.8𝑒−𝜏2 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖𝑛 𝑡

Entonces Z(t) Sí es w.s.s.

b)

𝑆𝑍 𝑤 = 𝐹 𝑅𝑍 𝜏 = 𝐹 2.4 9 + 2𝑒−𝜏2 = 21.4 2𝜋 𝛿 𝑤 + 4.8 𝜋𝑒−

𝑤 2

4

Ejercicio2:

Sea A,B una variable aleatoria bidimensional continua con

𝑓𝐴 ,𝐵 𝑎, 𝑏 = 2 ; 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0, 𝑎 + 𝑏 ≤ 10 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

Si 𝑋 𝑡 = 𝐴𝑡2 + 𝐵, determinar:

a) 𝐸[𝑋(𝑡)] y la Autocorrelacion de X(t)

b) 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑋(2)

c) Funcion de Densidad y de Probabilidad de X(1)

Solución:

55

a)

𝑓𝐴 𝐴 = 2𝑑𝑏1−𝑎

0

= 2𝐵01−𝑎 = 2 − 2𝑎

𝑓𝐵 𝐵 = 2𝑑𝑎1−𝑏

0

= 2𝐴01−𝑏 = 2 − 2𝑏

𝐹𝐴 𝑎 = 2 − 2𝑎 𝑑𝑎𝑎

0

= 2𝑎|0𝑎 − 𝑎2|0

𝑎 = 2𝑎 − 𝑎2

𝐹𝐵 𝑏 = 2 − 2𝑏 𝑑𝑏𝑏

0

= 2𝑏|0𝑏 − 𝑏2|0

𝑏 = 2𝑏 − 𝑏2

𝐸 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝐴𝑡2 + 𝐵 = 𝐸 𝐴𝑡2 + 𝐸 𝐵 = 𝑡2𝐸 𝐴 + 𝐸[𝐵]

𝐸 𝐴 = 𝐸 𝐵 = 𝑎 2 − 2𝑎 𝑑𝑎1

0

= 𝑎2|01 −

2

3𝑎3|0

1 = 1 −2

3=

1

3

Entonces 𝐸 𝑋 𝑡 =1

3𝑡2 +

1

3

𝑅𝑋 𝑡1 , 𝑡2 = 𝐸 𝑋 𝑡1 𝑋 𝑡2 = 𝐸 𝐴𝑡12 + 𝐵 𝐴𝑡2

2 + 𝐵 = 𝐸 𝐴2𝑡12𝑡2

2 + 𝐴𝐵𝑡12 + 𝐴𝐵𝑡2

2 + 𝐵2

= 𝑡12𝑡2

2𝐸 𝐴2 + 𝑡12𝐸 𝐴𝐵 + 𝑡2

2𝐸 𝐴𝐵 + 𝐸[𝐵2]

𝐸 𝐴2 = 𝐸 𝐵2 = 𝑎2(2 − 2𝑎)1

0

𝑑𝑎 =2

3𝑎3

01

−1

2𝑎4

01

=2

3−

1

2=

4 − 3

6=

1

6

𝐸 𝐴𝐵 = 𝑎𝑏2𝑑𝑎1−𝑏

0

𝑑𝑏1

0

= 2 𝑏 𝑎𝑑𝑎1−𝑏

0

𝑑𝑏1

0

= 2 1

2𝑎2

0

1−𝑏

𝑑𝑏1

0

=2

2 𝑏(1 − 𝑏)2𝑑𝑏

1

0

= 𝑏 𝑏2 − 2𝑏 + 1 𝑑𝑏1

0

= 𝑏3 − 2𝑏2 + 𝑏 𝑑𝑏1

0

=1

4𝑏4

01

−2

3𝑏3

01

+1

2𝑏2

01

=1

4−

2

3+

1

2=

3 − 8 + 6

12=

1

12

Entonces 𝑅𝑋 𝑡1, 𝑡2 =1

6𝑡1

2𝑡22 +

1

12𝑡1

2 +1

12𝑡2

2 +1

6

b)

𝑉𝑎𝑟 𝑋 2 = 𝐸 𝑋 2 2 − 𝑢𝑋2 = 𝑅𝑋 2,2 − 𝑢𝑋(2)

2 =1

6 4 4 +

1

12 4 +

1

12 4 +

1

6−

5

3

2

=13

18

56

c)

𝑋 𝑡 = 𝐴𝑡2 + 𝐵 => 𝑋 1 = 𝐴 + 𝐵

𝑓𝑋 = 2𝑑𝑎𝑋 1 −𝑏

0

𝑑𝑏𝑋(1)

0

= 2𝑋 1 ; 0 ≤ 𝑋(1) ≤ 1

𝐹𝑋 = 𝑋(1)2 ; 0 ≤ 𝑋(1) < 1

Ejercicio3:

Un proceso ergódico con distribución uniforme entre [-a, a], tiene la siguiente función de

correlacion:

𝑅𝑋 𝜏 =𝑒− 𝜏

3

Determine el valor de a y explique.

Solución:

Partimos del hecho que

𝑅𝑋 0 = 𝐸 𝑋2

Por lo que en este caso en particular tenemos lo siguiente:

1

3= 𝑋2

1

2𝑎𝑑𝑋

𝑎

−𝑎

Y resolviendo:

1

2𝑎

1

3𝑋3

−𝑎

𝑎

=1

3

57

1

6𝑎𝑎3 +

1

6𝑎𝑎3 =

1

3

1

3𝑎2 =

1

3

𝑎 = 1

Ejercicio4:

Un proceso ergodico X(t) tiene un valor medio igual a 4[V]. Si X(t) pasa por un sistema lineal cuya

respuesta impulsiva es h(t) igual a 4sinc(t), determine el valor medio de la señal de salida.

Solución:

Se entiende que tengo 𝑅𝑋(𝜏)

𝑅𝑋 𝜏 = 𝑅 𝜏 + 16

Entonces

𝑆𝑋 𝑓 = 𝑆 𝑓 + 16𝛿 𝑡 𝑜 𝑆𝑋 𝑤 = 𝑆 𝑤 + 16 2𝜋 𝛿 𝑤

𝑆𝑌 𝑓 = 𝐻 𝑓 2𝑆𝑋(𝑓)

𝐻 𝑓 = 4𝑃𝑎 𝑓

𝑆𝑌 𝑓 = 16 𝑆 𝑓 + 16𝛿 𝑡

𝑆𝑌 𝑓 = 16𝑆 𝑡 + 162𝛿 𝑡

𝑅𝑌 𝑓 = 16𝑅 𝜏 + 162

𝐸 𝑌 = 16

58

Ejercicio5:

Una señal X(t) con 𝑅𝑋 𝜏 = 5𝑆𝑖𝑛𝑐 5𝜏 + 2 se contamina con ruido blanco independiente de ella,

con densidad espectral de potencia 𝑆𝑛 𝑓 = 0.5 La suma de estas señales se procesan en un

sistema lineal que tiene modulo de 𝐻(𝑓) 2 = 𝑆𝑖𝑛𝑐2(𝑓)

Determinar:

a) Grafica de 𝑅𝑋 𝜏

b) 𝑆𝑋(𝑓)

c) Valor DC y potencia AC de X(t)

Solución:

a)

b)

𝑆𝑋 𝑓 = 5𝑃𝑎 𝑓 + 2𝛿(𝑓)

59

c)

Valor DC = 2

Potencia Total = 7

Potencia AC = 7-2 = 5

Ejercicio6:

Un mensaje X(t) aleatorio y ergódico, con una función de autocorrelacion

𝑅𝑋 𝜏 = 0.1𝑆𝑖𝑛𝑐2(106𝜏) es modulado en amplitud usando el siguiente sistema:

Determine:

a) Densidad Espectral de Potencia de Y(t) en función de la Densidad de Potencia X(t) y

dibújela.

b) Dibujar la Densidad Espectral de Potencia de Y1(t) y Y2(t)

60

Solución:

𝑆𝑌1 𝑓 = 𝐻 𝑓 2𝑆𝑋 𝑓 = 0.8𝑆𝑋(𝑓) 𝑆𝑌2

𝑓 = 𝑆𝑌1 𝑓 + 𝛿 𝑡

𝑆𝑌 𝑓 =𝑆𝑌1

(𝑓 − 𝑓0)

4+

𝑆𝑌2(𝑓 − 𝑓0)

4

𝑅𝑌 𝑡 = 𝐸 𝑌2 𝑡 𝐶𝑜𝑠 2𝜋109𝑡 + 𝜃 𝑌2 𝑡 + 𝜏 𝐶𝑜𝑠 2𝜋109 𝑡 + 𝜏 + 𝜃

= 𝐸 𝑌2 𝑡 𝑌2 𝑡 + 𝜏 𝐸 𝐶𝑜𝑠 2𝜋109𝑡 + 𝜃 𝐶𝑜𝑠 2𝜋109 𝑡 + 𝜏 + 𝜃

= 𝑅𝑌2 𝜏

1

2𝐶𝑜𝑠(2𝜋109𝜏)