Folleto de Estadisticas basicas

7/23/2019 Folleto de Estadisticas basicas

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FOLLETO DE ESTADISTICA PARA

INGENIERIAS

Primer Parcial

Christian Galarza Morales

INGENIERIA EN ESTADISTICA INFORMATICA


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RECOMENDACIONES

Personalmente como ayudante considero que esta materia debera ser dictada en dos por la

cantidad de temas que hay por estudiar ya que por el poco tiempo, estos solo se ven

superficialmente en clases pero al momento de disear un examen de Estadstica cada temapuede variar casi de infinitas formas. Por esto y ms, no estarn de ms los siguientes consejos:

Practica. La estadstica solo se aprende practicando. Seguir la materia semana a semana

evitar la acumulacin de materia tiempo a priori del examen.

Aprende a utilizar tu calculadora cientfica. Hasta la calculadora ms sencilla calcula media y

varianza de una muestra y de ponerlo en prctica te ahorrara valiosos minutos. Aprende a

hacerlo en tutoriales dewww.youtube.com.Son videos orientados al modelo de calculadora

CASIO que tengas. Los nombres de los videos para que los busques son:

o

Calculadoras CASIO: Estadstica descriptiva Io Calculadoras CASIO: Estadstica descriptiva II

o Calculadoras CASIO: Estadstica descriptiva III

No copies (sobre todo no copies de alguien que no haya estudiado).

Lee detenidamente cada pregunta y asegrate de que respondes lo que te preguntan (no te

precipites).

Lee todo el examen y comienza por las preguntas que domines ms y de entre ellas por las

que valgan ms puntos. Si te haces problema con alguna, djala para el final, no te

obsesiones en resolverla.

Escribe todos los pasos y clculos que realices, no olvides que el profesor no puede leer el

pensamiento y nicamente corregir lo que quede escrito en el papel. Adems, cuanto ms

explicado y claro (que se pueda leer) mejor.

Utiliza todas las herramientas estadsticas a tu alcance. Es vital saberse las medias y

varianzas (a veces hasta la funcin generadora de momentos) de las distribuciones ms

conocidas. La funcin Gamma tambin es vital para demostraciones y ejercicios.

Cuando obtengas un resultado piensa si es ilgico o imposible. Una varianza no puede ser

negativa, el coeficiente de correlacin debe estar entre -1 y 1. Por experiencia como

ayudante les digo que recuerden que no es examen de Clculo Integral (no se emocionen si

les sale la integral) emocinense si el resultado de la integral se encuentra entre 0 y 1

cuando sea una probabilidad. Para la mayora de profesores de Estadstica de la ESPOL esta

clase de horrores son un cero en el tema completo.

Descansa la noche antes del examen, cuanto ms despejad@ y relajad@ ests mejor.

S eres creyente, pon tu confianza en Dios y todo saldr bien, sino pdele a los astros que te

acompaen.

2 | P g i n a
http://www.youtube.com/http://www.youtube.com/http://www.youtube.com/http://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/watch?v=bjVV7m5L2Wchttp://www.youtube.com/


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DISTRIBUCIONES DISCRETAS

NOMBRE

DISTRIBUCION DE

PROBABILIDADES

SOPORTE MEDIA VARIANZA

FUNCION

GENERADORA DE

MOMENTOS

EJEMPLO

1 {1 ; 2 ; 3 ; ; } + 12 112 .. Cuando lanzamos un dado todos losresultados ocurren con igual probabilidad.~( = 6) (1 ) {0 ; 1 ; 2 ; ; } (1 ) [ + (1 )]

Si se realizan 20 lanzamientos. Cul es la

probabilidad de que haya salido 8 veces el

nmero 6 en el dado?~( = 20, = 1/6)( = 8)

1 1 (1 ) {; + 1 ; ; + } (1 ) [1 (1 )]Cul es la probabilidad de que en el

dcimo lanzamiento se obtenga por

TERCERA vez el nmero 6?~( = 3, = 1/6)( = 10)( =)

(1 ) {1 ; 2 ; 3 ; ; + } 1 (1 ) [1 (1 )]Cul es la probabilidad de que en el tercer

lanzamiento se obtenga por PRIMERA vez

el nmero 6?~( = 1/6)( = 3)

{0 ; 1 ; ; min{

,

} }

(

)(

)

( 1) ...

De 20 canicas 12 son blancas y las

restantes negras. Si se toman 8 de ellas

cual es la probabilidad de que 5 sean

blancas?

~( = 20, = 8, = 12)( = 5) ! {0 ; 1 ; 2 ; ; + } (1)

Una tienda es visitada en promedio por 25

clientes por hora. Determine la

probabilidad de que un da cualquiera la

visiten ms de 30 personas?~( = 25)( > 30)4 | P g i n a


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DISTRIBUCIONES CONTINUAS

NOMBRE FUNCION DE DENSIDAD MEDIA VARIANZA

FUNCION

GENERADORA DE

MOMENTOS

(, ) () = 1 , 0 , + 2 ( )

12

( )

(, ) () = 1() 1 /, 00, < 0 1(1 )()( =, ) () =

1 / , 00, < 0 11

()( =/, =) () =1

2 2 1 , 0

0, < 0 21

(1 2) (, ) () = 12 1 ,

(

,

)

() = (

+

)

()()

1(1

)

1, 0

1

0, + ( + )( + + 1) ..(, ) () = 1(/) , 00, < 0 1 + 1 1 + 2 1 + 1 ..

Las Funciones de Densidad de las distribuciones Normal y Ji-Cuadrada no se integran para hallar probabilidades. Se utilizan tablas.

5 | P g i n a


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ESTADISTICAS DESCRIPTIVAS DATOS AGRUPADOS)

Tabla de la Distribucin Normal adjunta al final del folleto

6 | P g i n a


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DEFINICIONES

Covarianza muestral

Es una medida de la dependencia recproca entre dos variables y se calcula como la mediadel producto de sus desviaciones con respecto a la media muestral.

Eventos excluyentes

Son dos o ms eventos definidos sobre el espacio muestral que no tienen elementos en

comn, es decir:

1 2 [(1, 2 ) (1 2 = )]Eventos independientes

Sean E1 y E2 eventos de un mismo espacio muestral, diremos que el evento E1 es independiente

del evento E2 si y solo si:

(

1

2) =

(

1)

(

2)

Probabilidad condicional

Dado un experimento estadstico, consideremos dos eventos uno 1 y otro , tales que elprimero ha ocurrido mientras que el segundo est por ocurrir. La probabilidad de que ocurradado que ha ocurrido 1se la denota y define como:

(2|1) = (1 2) / (1); 1 Funcin de Probabilidades

Es una funcin cuyo dominio es S y cuyo conjunto de llegada es el intervalo cerrado de

nmeros reales de cero a uno, tal que (P: S [0,1]) si y solamente si:

) () = 1 ;) 0 () 1, .) (1 2) = (1) + (2); 1 2 =.

7 | P g i n a


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Demuestre la falta de memoria de la Distribucin Exponencial.

A la distribucin exponencial se le atribuye no tener memoria o ser sin memoria ya que es

posible demostrar que:

( > + 1| >1) = ( >)Esto es la probabilidad que X tome valores mayores que (t + 1) dado que ya tom valoresmayores a 1es igual a la probabilidad que X tome valores mayores a t. La demostracin es lasiguiente:

( > + 1| >1) = ( > + 1 >1)( >1) =

(

>

+

1)

( >1)

=1 ( + 1)

1 (1) =

+

=

= =( >)

Si X~exp()entonces su Funcin de Densidad y su Distribucin Acumulada son:() = 0, < 01

,

0

() = 0, < 01

,

0

( >) = 1 ( ) = 1 () = 1 1 =8 | P g i n a


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Probar que: Si P es una Funcin de Probabilidades mientras que A y B son dos eventos en

el correspondiente espacio muestral

(,S

)entonces:

( ) =() + () ( )Para realizar esta demostracin la clave es expresar al conjunto como la unin de tresconjuntos (eventos) que no contengan elementos en comn, esto es en estadstica mutuamenteexcluyentes. Viendo la grfica notamos que:

= ( ) ( ) ( )donde

= ( ) ( ) = ( ) ( )

Prueba

Se define dos conjuntos disjuntos A y B dela forma:

Por axioma de probabilidad se tiene que:

De lo cual se despeja que:

Al expresar ( )como unin disjunta se tiene que:

Por axioma de probabilidad se tiene que:

Por lo tanto, sustituyendo: y en se concluye:

9 | P g i n a


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Pruebe que si E1, E2 y E3 son eventos tales que () > 0entonces es verdadque:

(

|

) =

(

|

) +

(

|

)

(

|

)

(1 |3)

Por lo tanto

(1 |3) =(1|3) + (|3) (1 |3)

10 | P g i n a


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De una poblacin de 500 se investigan 10 jefes de hogares y una de sus caractersticas

anotadas es el ingreso semanal. Los resultados en dlares son:

, , , , , , , , ,

Con estos datos: ordene la muestra, determine los 10 estadsticos de orden, la media

aritmtica, el percentil 95, el rango intercuartil y los valores aberrantes que pudieran

existir.

Definimos la variable aleatoria

X: Ingreso semanal en dlares del jefe de hogar.

Ordenamos la muestra

= {100, 145, 150, 154, 157, 160, 164, 165, 181, 231}Estadsticos de orden

Los estadsticos de orden son cada uno de los respectivos elementos de la muestra ordenada.

= {(1),(),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10)}Por lo tanto:

Estadstico de orden 1 = Primer elemento de la muestra ordenada = X (

1) = 100

Estadstico de orden 2 = Segundo elemento de la muestra ordenada = X() = 145Estadstico de orden 10 = Dcimo elemento de la muestra ordenada = X(10) = 231

Media aritmtica

No es nada ms que la suma de todos los elementos dividido para el tamao de la muestra. Esto

es:

= =1 = 1 + + + = 100 + 145 + + 23110 = 160.7Percentil 95

Para hallar un cuantil, es decir un percentil, un cuartil o un decil de la muestra, primero se debe

calcular la posicin del elemento en la muestra que representa a esta unidad. La posicin mes

hallada por la siguiente frmula:

= ( + 1)11 | P g i n a


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Donde p representa la probabilidad asociada al cuantil que se est buscando, esto es:

Si es el cuartil 1 p = 0,25 porque ( 1) = 0.25Si es el decil 4

p = 0,40 porque

(

4) = 0.40

Si es el percentil 14 p = 0,14 porque ( 14) = 0.14En este caso es el percentil 95 p = 0,95 porque P(X P95) = 0.95 por lo que la posicinm ser:

= (1 0 + 1)0.95 = (11)0.95

= 10.45

Por lo tanto el elemento de la muestra en la posicin 10.45 es decir (10,45) es equivalente alpercentil 95 de la muestra. Dado que m es un valor decimal y las posiciones son solo nmerosenteros se realiza una ponderacin a travs de la siguiente frmula:

(.) = () + (+1) ()donde e es la parte entera y d la parte decimal de la posicin. Para este caso la parte entera

es 10 y la decimal 0,45 por lo que e = 10 y d = 0,45. Entonces:

(10.45) = (10) + 0.45 (11) (10)(10.45) = 231 + 0.45 [? ? ? 231]Pero el elemento en la posicin 11 de la muestra no existe por lo que automticamente la

expresin (11) (10)es igual a cero lo que equivaldra a que el percentil 95 de la muestra seencuentra contenido en el ltimo elemento, esto es:

(10.45) = (10)

(

10.

45) = 231 =

95

Si al realizar el clculo de algn cuantil se obtiene un elemento que no exista en la muestra como

(

0)

(+1)automaticamente la expresin (1) (0) (+1) ()respectivamente es igual a cero.12 | P g i n a


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240220200180160140120100

Graficar con precisin la ojiva y el diagrama de cajas de los datos del problema anterior y

estime, basado en esta muestra, cuantos jefes de hogares, de los 500 de la poblacin

ganan ms de 175 dlares.

Diagrama de Caja

El diagrama de caja tiene longitud Q3 Q1y los bigotes tienen longitud 1.5 RI. Toda observacin

que salga de aquellos ser considerada un dato aberrante.

El clculo de los bigotes es:

={(), . } ={(), + . }1 = max{100 ,148.75 1.5(20.25)} 2 = min{231,169 + 1.5(20.25)}1 = max{100 , 118.375} 2 = min{231 , 199.375}1 = 118.375 2 = 199.375

Donde claramente se puede apreciar que existen dos valores aberrantes graficados con un

asterisco los cuales corresponden a(1) = 100 y(10) = 231 ya que ambos salen del dominiode los bigotes.

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

1.5RI 1.5RI

RI

14 | P g i n a


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Ojiva

El grfico de la ojiva indica cmo se va acumulando la probabilidad para los valores de x, es

decir

(

) para todo valor de x en la muestra. Este grfico debe ser realizado a pulso

teniendo en cuenta los cinco valores que predeterminadamente conocemos que son:

(1) = 0; ( 1) = 0.25; ( ) = 0.50; ( 3) = 0.75; () = 1Graficando los cinco puntos iniciales se tiene:

Aproximando una curva a pulso a travs de los puntos ya conocidos podremos tener una

estimacin de la Distribucin Acumulada de la poblacin. Interpolando tenemos:

15 | P g i n a


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Estimacin utilizando la ojiva

Si hemos graficado la ojiva con suficiente precisin esta nos permitir estimar la ( )paracualquier valor que x que deseemos. Deseamos estimar la cantidad de hogares donde el jefe de

hogar gane ms de $175 por lo que se lo puede calcular de la siguiente manera:

# de hogares donde ganen ms de $175 Total de hogares *( > 175)# de hogares donde ganen ms de $175 Total de hogares * [ ( )]

donde P(X 175)siendo estimada por la curva de la ojiva es aproximadamente 0.85. Por lotanto el nmero de hogares donde el jefe de hogar gana ms de $175 es:

# de hogares donde ganen ms de $175 Total de hogares * [1 P(X 175)]# de hogares donde ganen ms de $175

500 * [1

0.85]

# de hogares donde ganen ms de $175 500 * 0.15# de hogares donde ganen ms de $175 75

Cuando nos pidan estimar un valor o alguna probabilidad a travs de la ojiva no necesariamente como en

este ejercicio conoceremos los cuartiles, sino tal vez nos faciliten tres cuantiles cualquiera como por

ejemplo el

el

3 y el

95 los cuales constituyen tres puntos con los que de igual manera podremos

interpolar una curva a pulso y posteriormente utilizarla para estimar.

16 | P g i n a


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Se efecta un experimento que consiste en lanzar dos dados legales de manera sucesiva y

observar que par i , j ) ocurre; i , j = 1,2,3, , 6

Liste todos los posibles resultados del experimento, esto es, determine los elementos de

; y, determine adems la probabilidad que el evento resulte tal que i + j ) sea mayorque ocho. Determine tambin la probabilidad que tanto i como j sean impares dado que lasuma de ellos sea mayor que ocho. Calcule la probabilidad que i sea menor que cuatro si

se conoce que la suma es mayor que siete.

El experimento consiste en lanzar dos dados y observar el par de resultados obtenido el cual

llamaremos (,) definido como:(

,

) = (

1 ,

2)

Espacio muestral

El espacio muestral denotado por es el conjunto de todos los posibles resultados que puedearrojar un experimento, por lo tanto al lanzar dos dados tenemos:

:

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,1) (2,2) (2,3)

(3,1) (3,2) (3,3)

(1,4) (1,5) (1,6)

(2,4) (2,5) (2,6)

(3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3)(5,1) (5,2) (5,3)

(6,1) (6,2) (6,3)

(4,4) (4,5) (4,6)(5,4) (5,5) (5,6)

(6,4) (6,5) (6,6)

Antes de hallar cualquier resultado que involucre probabilidades recordemos la definicin

axiomtica de probabilidades:

(

) =

()

(

)

=# de elementos en A

# total de elementos

Y dados dos eventos A y B que pertenecen a , definimos la probabilidad condicional:(|) = ( )()

P i + j > 8)

Si llamamos Aal evento i + j > 8, Acontendra todos los pares donde i + j > 8, Es decir:

A: (3,6) (4,5) (4,6) (5,4) (5,5)

(5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)17 | P g i n a


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Entonces:

( + > 8) = ()() = # (,) + > 8# = 1036 P i < 4 | i + j > 7)

Por definicin de probabilidad condicional

( < 4| + > 7) = ( < 4 + > 7)( + > 7) trabajando con el numerador

( < 4 + > 7 ) = # < 4 + > 8() ( < 4 + > 7 ) = 3

36

pues son solo tres pares de los 36 donde se cumplen ambas condiciones. Los pares son

(2,8),(3,5) y (3,6). Reemplazando en la ecuacin inicial:

( < 4| + > 7) = ( < 4 + > 7)( + > 7) =3

361536

= 315

Esto significa que de los tres elementos que cumplen la condicin que i + j > 7, tres de ellos

cumple tambin que i toma valores menores que 4.

P i y j sean impares | i + j > 8)

Por definicin de probabilidad condicional

(| + > 8) = ( + > 8)( + > 8) trabajando con el numerador

( + > 8) = # (,) + > 8()

( + > 8) =1

36

18 | P g i n a


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esto debido que el nico par que cumple las dos condiciones es el (5,5). Reemplazando en la

ecuacin inicial tenemos:

(

|

+

> 8) =

(

+

> 8)

( + > 8)=

1361036

=1

10

Esto significa que de los diez elementos que cumplen la condicin que i + j > 8, tan solo uno de

ellos cumple la condicin que tanto i como j son impares, ese par es el (5,5).

19 | P g i n a


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Un experimento consiste en lanzar un dardo que solo pueda caer en algn punto de la

figura que se adjunta. Determine la probabilidad que al lanzar el dardo, ste caiga en el

rea rayada. Que caiga en el semicrculo superior de dimetro AB.

El clculo de probabilidades para un rea especfica es:

() = Caiga en el rea rayada

() = = + +4 =

2

+

2

+ 4 2

=1 1

2+

0.52

1 + 4 0.52

=

12

+8

1 +2

= 0.3472 Caiga en el semicrculo superior

() = =

2

+ 4 2

=0.5

2

1 + 4 0.52

= 8

1 + 2 = 0.1527 20 | P g i n a


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Se tiene un semicrculo de radio r. Se selecciona aleatoriamente un punto B que pertenece

a la base del semicrculo. Determine la probabilidad de que el segmento AB perpendicular

a la base y que incluye al punto B seleccionado, sea tal que su longitud sea mayor a un

tercio de la longitud del radio. Vase grfico).

Para empezar el rea sombreada en el grfico es solo un distractor o cascarita. El ejercicio jams se

orienta a hallar probabilidad alguna referente a esta rea. Se desea hallar:

> 13

Debemos hallar el valor de OB que hace que AB sea exactamente un tercio del valor del radio. (Ver

grfico)

Por Pitgoras:

= = (1 3 )

=

1 9

= 8 9 =8/9 Analicemos:

Si =8/9 = 13 Si 13 Si >8/9 < 13

21 | P g i n a


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Por lo tanto:

> 13

= REGION QUE SATISFACE QUE > 13 REGION TOTAL

=8/9 =8/9

22 | P g i n a


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Se tienen tres urnas, la urna 1 contiene tres canicas blancas y cinco negras; la

urna 2 contiene cuatro canicas blancas y dos negras; y la urna 3 contiene cinco

canicas negras y cuatro blancas. De la urna 1 se extrae al azar una canica y se la

pasa a la urna 2, luego de la urna 2 se sacan dos canicas y se las agrega a la urna

3, por ltimo de la urna 3 se extraen al azar dos canicas.

Las urnas contienen:

URNA 1 URNA 2 URNA 3

Cul es la probabilidad de que la urna 3 salgan dos canicas negras?

Se deben identificar todas las ramas donde finalmente en la urna tres hayan resultado dos

canicas negras. Una vez identificadas en cada rama se debe multiplicar sus respectivas

probabilidades y luego sumar los resultados de cada rama. (Ver rbol en prxima pgina)

(32) =58 31 1551

+ 58 61 1055

+ 58 11 15553

+ 38 11 1554

+

38 101 1055 5

+ 38 101 1555 6

(32) = 0.2519 Si de la urna 3 salieron dos canicas negras, cul es la probabilidad de que de la

urna 1 se haya pasado a la urna 2 una canica negra?

Si llamamos al evento

A:Que de la urna 1 se haya pasado a la urna 2 una canica negra

B:Que de la urna 3 urna se saquen dos bolas negras

(| ) = ( )()=

58

321

2155

1 + 58

621

1055

+ 58

1221

1555

3

58

3

21

2155

+

58

6

21

1055

+

58

1221

1555

+

38

1

21

2155

+

38

1021

1055

+

38

1021

1555

(

)

=0.1639

0.2519= 0.6508

23 | P g i n a


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24 | P g i n a


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Tabule y grafique el Histograma de Probabilidades y la Distribucin Acumulada de una

Variable Aleatoria Binomial con parmetros n=3 y p=0.5

X~binomial(n = 3, p = 0.5)

( =) =3 (0.5)(0.5)3Evaluando:

( =) ( )0 3

0 (0.5)0(0.5)3 = 0.125 0.125

1 31

(0.5)1(0.5) = 0.375 0.52

3

2(0.5)

(0.5)

1= 0.375 0.875

3 33 (0.5)3(0.5)0 = 0.125 1

25 | P g i n a


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El sistema de abastecimiento de combustible para un avin que opera con tres turbinas,

est diseado de tal manera que sus componentes funcionan de manera independiente y

el avin una vez que despega, puede llegar al aeropuerto ms cercano si al menos una de

sus turbinas se encuentra abastecida de combustible. Determine la probabilidad que el

avin no colapse por falta de combustible en sus turbinas. Suponga que p es la

probabilidad de que cualquiera de las componentes

no

funcione.

Definimos la variable aleatoria

X: # de componentes que NO funcionan.

Cuya distribucin es:

~

(

= 3 ,

)

() = 1 ()Donde el avin solo colapsar si X: # de componentes que NO funcionan = 3

= 1 ( = 3)= 1

3

3

3(1

)0

= 1 3

26 | P g i n a


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Grafique la Distribucin Acumulada de una variable aleatoria Poisson que tiene

parmetro

=. Utilice dos decimales de precisin.

~( = 4)( =) = 44! ; :{0 ,, +} ( =) ( )0 0.02 0.02

1 0.07 0.09

2 0.15 0.24

3 0.20 0.43

4 0.20 0.63

5 0.16 0.79

6 0.10 0.89

7 0.06 0.95

8 0.03 0.98

9 0.01 0.99

10 0.01 1.00

Donde la distribucin acumulada y su grfica son:

() =

00.020.090.240.43

0.630.790.890.950.980.99

1

; < 0; 0 < 1; 1 < 2; 2 < 3; 3

< 4

; 4 < 5; 5 < 6; 6 < 7; 7 < 8; 8 < 9; 9 < 10; 10

27 | P g i n a


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Si X es una variable aleatoria cuyo Soporte es

: { /


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Calculamos la distribucin acumulada

Debemos integrar implcitamente f(x) con respecto a x, esto es, que los lmites de integracin

debern ir desde el mnimo valor de cada intervalo a x. donde usualmente se cambia x por otra

variable por ejemplo t.

() = 0 ;


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Calculamos la varianza

=[]

[] = () [] = 3

8 0 =

3

840 =

3

85

50

=

12

5

Por lo tanto:

=[] = 125 32 = 125 94 = 320

Funcin generadora de momentos

La funcin generadora de momentos denotada por () puede ser hallada por el valoresperado de esto es:

() =[] = ()() =[] = 0

3

8 = 3

8

donde la integral en negrita debe desarrollarse dos veces por partes. Ntese que no se puede

utilizar la funcin Gamma pues los lmites no son iguales. Recordemos la expresin para

integrar por partes:

INTEGRACION POR PARTES

= []|

= = 2 = =1 30 | P g i n a


31/56


32/56

=3

84 4 + 23 23

=3

2

3

2

+ 34

3 34

3

Recordar que: 0 = 1; 1 =; =; = 0La funcin generadora de momentos denotada por () cumple ciertas propiedades importantes como:()|=0 =[] =()|=0 =[]; que nos permite hallar la varianza pues: =[] ()()=0 =[] y de manera general hasta la ensima derivada.Es decir, an sin conocer la funcin de densidad de X podramos hallar la media, varianza y otrosestadsticos como el sesgo y la kurtosis con solo conocer la distribucin Generadora de Momentos.

32 | P g i n a


33/56

Determine el primer decil, la mediana, el tercer cuartil y el percentil noventa y cinco de la

variable aleatoria X, si X es exponencial con parmetro

=.

Si X~exp(5)entonces su funcin de densidad y su distribucin acumulada son:

() = 0, < 015 , 0 () =0, < 0

1 , 0

Primer Decil )Sabemos que ( 1) = 0.1, por lo tanto es lo mismo decir:(1) = 0.11 5 = 0.15 = 0.9ln 5 = ln(0.9)

15 = ln(0.9)1 =5 ln(0.9) Mediana )Sabemos que ( ) = 0.5, por lo tanto es lo mismo decir:

(

) = 0.5

1 5 = 0.55 = 0.5ln 5 = ln(0.5)

5= ln(0.5)

=5 ln(0.5)

33 | P g i n a


34/56

Tercer Cuartil )Sabemos que ( 3) = 0.75, por lo tanto es lo mismo decir:

(3) = 0.751 5 = 0.755 = 0.25ln 5 = ln(0.25) 3

5= ln(0.25)

3=

5 ln(0.25)

Percentil 95 )Sabemos que ( 95) = 0.95, por lo tanto es lo mismo decir:(95) = 0.951

5 = 0.95

5 = 0.05ln 5 = ln(0.05) 95

5= ln(0.05)

95 =5 ln(0.05)

CUANTILES DE UNA DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Ntese que existe un patrn para hallar los cuantiles de una distribucin exponencial. Si X~exp()entonces el n-simo percentil puede ser calculado como:

= ln 1 100Recuerde que: 1 =10; =50; 3 =75

34 | P g i n a


35/56

A partir de la definicin de valor esperado, calcule la media

de una variable aleatoria(). [Debe integrar]

Recordemos que:

~

(

)

~

(

,

)

Para este caso ~ (4) ~ G(4 2 , 2) ~ G(2,2)Por lo tanto si X es Xi-Cuadrada con 4 grados de libertad es lo mismo decir que X tiene

distribucin gamma con = 2 y = 2.La funcin de densidad de X sera:

~ G(

,

)

() = 1() 1 /, 00, < 0

~ G(2,2)

(

) =

1

(2

)2

1

/

,

0

0, < 0

() = 1(1!)4 /, 00, < 0

() = /, 0, < 0

Antes de hallar la media presentaremos la funcin Gamma, la cual nos ahorrar minutosvaliosos en el momento de resolver nuestro examen si la ponemos en prctica.FUNCION GAMMA

(1) 1 +0 =() (2) 1 +0 =()

() = ( 1)!35 | P g i n a


36/56

Calculamos la media

=

[

] =

1

4

/

=

1

4

/

+

0

+

0

Donde para realizar la integral anterior debemos integrar por partes tantas veces como lo

indique el exponente de x, en este caso dos veces. Ahorraremos este clculo y utilizaremos la

funcin Gamma presentada anteriormente.

14

/+0 =1

4 /+0

donde si sumamos y restamos 1 al exponente de x tenemos

1

4 (+1)1 /+0 =

1

4 /+

Donde la integral en negrita tiene la forma de la funcin Gamma (2) por lo que directamente la

integral es igual a:

1

4

31

/

+

0=

1

4

(3)23 = 1

4(2!)23 = 16

4= 4

Resultado que era de predecirse pues la media de una distribucin Xi-Cuadrado son sus grados

de libertad, en este caso 4 o, de una distribucin Gamma = 2 2 = 4.

Generalmente para hallar probabilidades que hagan referencia a una distribucin Xi-Cuadrada utilizamos

tablas pues en esta distribucin al igual que en la Normal al querer realizar estos clculos debemos

recurrir a los mtodos numricos y no a los analticos; de esta manera fueron halladas aquellas

probabilidades en las tablas.

36 | P g i n a


37/56

Del ejercicio anterior halle la Funcin Generadora de Momentos por medio de su valor

esperado y determine si existe un mximo para la funcin de densidad de X y cul es su

valor.

La variable aleatoria X tiene distribucin:

~ (4) ~ G(2,2)Con funcin de densidad:

() =14 /, 00, < 0

La funcin generadora de momentos es hallada por medio del valor esperado de

. Esto es:

() =[] = ()

() =[] = ()= +

01

4

=1

4 +0

=1

4 +0

El objetivo es expresar el exponente de la de tal manera que tenga la forma /donde esuna constante para as utilizar la funcin Gamma y evitar la integracin por partes. Utilizando

lgebra de Baldor en el exponente tenemos:

2

= 12

= 2 12

= 1 22

= 1 22

1 = Reemplazando:

=1

4

+

0

1

37 | P g i n a


38/56

=1

4 1+0

Donde la expresin anterior tiene la forma de una funcin Gamma con

= 2 y

=

1

(Vase

el recuadro de la Funcin Gamma). Por tanto:

=1

4(2) 2

1 2=

1

4(1!) 4

(1 2)=

1

(1 2)

Si no nos hubiesen pedido utilizar necesariamente la funcin valor esperado hubisemos podido hallarla

por medio de la frmula de la Funcin Generadora de Momentos para una distribucin Gamma:() = 1(1 )

Mximo para la funcin de densidad de X

Para hallar un mnimo o un mximo para f(x) debemos igualar su primera derivada a cero y

despejar el valor de x.

() = 14 /=

14 /=

1

4 / + 1

4 /=

1

4/ + 1

4 1

2/

=1

4/ + 1

4 1

2/

=1

4/ 1

8 /

=/ 14 18 38 | P g i n a


39/56

Igualando la expresin anterior a cero tenemos:

/ 14

18

= 0donde el primer trmino no puede ser igual a cero pues = ln(0) lo cual es indeterminado.Por lo tanto:

1

4 1

8 = 0

1

8 = 1

4

= 2

Ahora para confirmar que = 2 efectivamente es un mximo para() debemos evaluar = 2en la segunda derivada y el resultado debe ser negativo. () = () () = / 14 18

= / 1

4 1

8 + / 1

4 1

8 = 1

2/ 1

4 1

8 + / 1

8

=1

16 / 1

4/

=/ 116

14

Evaluamos = 2

=/ 116 (2) 14=

1 18=0.0459

Por lo tanto = 2es un mximo para().Ver grfico adjunto.39 | P g i n a


40/56

Si X es la longitud en milmetros del dimetro de una pieza utilizada en un mecanismo y

se conoce que X

~N 5 , 2 ) entonces determine: P X > 5 ); P X > 6 ); P X < 7.8 ).

Determine tambin el valor de la desviacin estndar

para que X mantenga su misma

media pero el tercer cuartil sea 6. Grafique y use la tabla dada)

X: Longitud en milmetros del dimetro de una pieza utilizada en un mecanismo.

~(5,2)Si ~, = ~(, )

P X > 5 )

Estandarizamos

( > 5) = > 5 52 =( > 0)= 0.5

P X > 6 )

Estandarizamos

( > 6) = > 6 52 =( > 0.707)= 0.24

P X < 7.8 )

Estandarizamos

( < 7.8) = < 7.8 52 =( < 1.98)= 0.976

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Densidad

0

0,5

Grfica de distribucin

Normal. Media=0. Desv.Est.=1

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Densidad

0,707

0,240

0



0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Densidad

1,98

0,976

0



40 | P g i n a


41/56

Hallar el valor de tal que Q3

= 6

Sabemos que:

(

3) = 0.75

Estandarizamos

( 3) = 0.75 < 3 = 0.75 < 6 5

= 0.75

(


42/56

Se sabe que el tiempo de espera para descargar, en das, de los buques de una compaa

naviera tiene una distribucin Weibull con parmetros

= y

=. ; determine la

probabilidad que un buque cualquiera de esta compaa espere al menos dos das.

Recuerde que para una variable Weibull es cierto que:

() = , 0 , > 0Ntese en una Weibull que si = 1 coincide con una distribucin Exponencial con parmetro .Definimos la variable aleatoria

X: Tiempo de espera para descargar en das.

La Distribucin Acumulada de~(1,1.5 )sera:() = 0, 0

1 ., > 0 () =0, 0

1 , > 0P X

2 )

( 2) = 1 ( < 2)= 1 (2)= 1 1 43 =43 = 0.26359

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Densidad

2

0,264

0


Weibull. alpha=1. beta=1,5

42 | P g i n a


43/56

Si ya estn descargados 12 buques, Cul es la probabilidad que cuando ms tres de ellos

hayan esperado ms de 2 das?

Definimos la nueva variable aleatoria Y como:

Y: # de buques que esperan ms de dos das

Por tanto Y tiene distribucin binomial con n = 12 y probabilidad de xito 0.2635 la cual fue

hallada en el literal anterior. Esto es:

~(12 , 0.2636) y cuya distribucin de probabilidades est dada por:( =) =12 (0.2636)(0.7364)1

P Y 3 )( 3) =( = 0) + ( = 1) + ( = 2) + ( = 3)=12

0 (0.2636)0(0.7364)1 + 12

1 (0.2636)1(0.7364)11

+ 122

(0.2636)(0.7364)10 + 123

(0.2636)3(0.7364)9= 0.606

En distribuciones discretas SI importa si se incluye o no un valor del soporte, es decir que ( 3)( < 3)ya que si observamos la grfica, al no incluir el tres estaramos excluyendo un barra (en esteejemplo la de mayor significancia) de un total de doce y obviamente el resultado no sera el correcto. En el

caso continuo no interesa ya que si excluimos el tres, este es solo un punto en un intervalo de los realesdonde existen infinitos puntos.

1211109876543210

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

Y

Probabilidad

0,606


Binomial. n=12. p=0,2636

43 | P g i n a


44/56

Un oceangrafo ha modelado que para un da cualquiera, la altura en metros- de las olas

en un sector de la costa ecuatoriana, es una Variable Aleatoria Weibull con parmetros

=2.5 y =3. Bajo estas condiciones y conociendo que para esta Variable leatoria su

Distribucin Acumulada es:

() = (/)Determine, la altura promedio de las olas; y, la probabilidad que una ola alcance una

altura superior a dos metros.

Si X~Weibull( = 2.5, = 3)entonces su distribucin acumulada son:

(

) =

0, < 0

1 .5 , 0

Para hallar la media debemos primero hallar la funcin de densidad de X. Debemos recordar

que:

() = ()0

(

) =

(

)

Por lo tanto:

() = ()() = 1 .5

(

) =

.5

2.5

3

() =.5 3 12.5

3 () = 24

125.5

Hallamos la media:

=[] = () 44 | P g i n a


45/56

=[] = () =

24

125

.5

+

0

= 24125

3.5 +0 Realizamos la sustitucin: =

2.53 ; = 3

2.53 Despejando: = 2.5 ; = 2.53

3

= 241253.5 +0 =

24

125 3.5 +0

Reemplazando = .53 = .53 := 24

125 3 2.533 +

0 =

2.533

24

125 +0

Reemplazando = 2.5 =

2.533

24

125

2.5

+

0

= 2.5 1/3 +0 = 2.5 431 +0 = 2.5 4

3

= 2.5 (0.8934)

= 2.2335 45 | P g i n a


46/56

P X > 2 )( > 2) = 1 ( 2)= 1 (2)= 1 1 .5 =.5 =0.8 = 0.59929

46 | P g i n a


47/56

Para el ejercicio anterior, si las olas con alturas superiores a tres metros provocan la

suspensin del uso de las playas situadas en la zona bajo observacin, cul es la

probabilidad que en un perodo de quince das, cuando ms dos veces se produzca una

suspensin del uso de la playa?. Qu en el quinto da de una sucesin observada, ocurra

por segunda vez olas superiores a tres metros?.

Primero hay que calcular la probabilidad de que se suspenda el uso de las playas, es decir que

las olas superen los tres metros de altura.

( > 3) = 1 ( 3)= 1 (3)= 1

1

3.

5

=

3.

5

=

1.

78= 0.1776

Cul es la probabilidad que en un perodo de quince das, cuando ms dos veces se

produzca una suspensin del uso de la playa?

= 15 Y: # de das que se suspende la playa (de los 15 observados)

Y~binomial(n = 15, p = 0.1776)

( =) =15 (0.1776)(0.8223)15P Y 2 )( 2) =( = 0) + ( = 1) + ( = 2)

=150

(0.1776)0(0.8223)15 + 151

(0.1776)1(0.8223)14+

15

2

(0.1776)

(0.8223)

13

= 0.4856 Qu en el quinto da de una sucesin observada, ocurra por segunda vez olas superiores

a tres metros?

Y: # del da en el que por segunda vez se suspende la playa

Y~binomial negativa(x = 5, r = 2, p = 0.1776)

( =) =5 12 1 (0.1776)(0.8223)5 = 0.0701 47 | P g i n a


48/56

Determine la Matriz de Varianzas y Covarianzas

del vector aleatorio trivariado

=()si se sabe que:( =, =, =) =( + )con Soporte: = {(); (); (); (); (); (); ()}Calcule adems

()Primero notemos que 1 toma los valores de 1 y 2, toma solo el valor de 1 y 3 toma losvalores de 1, 2, 3 y 4; vale recalcar esto pues para hallar el valor de k debemos utilizar el

principio bsico que:

( =, =, =) = esto sera:

( =, =, =) ==11

=14

=1 Donde la expresin en la parte superior no es cierta pues contiene un error que comnmente se

da cuando se tienen soportes no uniformes. El error es que, la sumatoria incluye todas las

posibles combinaciones entre los valores que toma 1, y 3entre los cuales incluye la triada(1 1 4) la cual no se encuentra en el soporte, como resultado esto dar un valor de k incorrecto.

La manera correcta de hallar k ser simplemente evaluando en la funcin con la ayuda de una

tabla y al final igualar la expresin en trminos de k a uno, esto es:

( =, =, =)1 1 1 ((1)(1) + 1) =( 1 + 1 ) = 21 1 2

((1)(1) + 2) =

( 1 + 2 ) = 3

1 1 3 ((1)(1) + 3) =( 1 + 3 ) = 42 1 1 ((2)(1) + 1) =( 2 + 1 ) = 32 1 2 ((2)(1) + 2) =( 2 + 2 ) = 42 1 3 ((2)(1) + 3) =( 2 + 3 ) = 52 1 4 ((2)(1) + 4) =( 2 + 4 ) = 6 =

por lo tanto el valor de k es 1/27 y la distribucin conjunta ser:

( =, =, =) =

+

48 | P g i n a


49/56

y las respectivas probabilidades para cada valor del soporte son:

( =, =, =)1 1 1 2/27

1 1 2 3/271 1 3 4/27

2 1 1 3/27

2 1 2 4/27

2 1 3 5/27

2 1 4 6/27

1

Distribuciones Marginales

Para hallar las distribuciones marginales dado que no podemos darle uso a las sumatorias

debemos utilizar la tabla de la distribucin conjunta para hallar las respectivas probabilidades.

Esto es:

Para la Distribucin Marginal de

(

1 =

) =

1

=(1 1) + (1 2) + (1 3)=

2

27+

3

27+

4

27

=9

27

(1 =) =1=

(

1 1) +

(

1 2) +

(

1 3) +

(

1 4)

= 327

+ 427

+ 527

+ 627

=18

27

donde la distribucin de probabilidades es:

( =)1 9/27

2 18/271

49 | P g i n a


50/56

Para la Distribucin Marginal de( =) =1

=

(1

1) +

(1

2) +

(1

3) +

(2

1) +

(2

2) +

(2

3) +

(2

4)

=2

27+

3

27+

4

27+

3

27+

4

27+

5

27+

6

27

= 1

porque el nico valor que tomaes 1 .Para la Distribucin Marginal de(3 =) =3

=(1 1 ) + (2 1 )=

2

27+

3

27

=5

27

(

3=

) =

3

=(1 1 ) + (2 1 )=

3

27+

4

27

=7

27

(3 =) =3=(1 1 ) + (2 1 )=

4

27+

5

27

=9

27

(3 =) =3=

(2 1

)

=6

27

50 | P g i n a


51/56

donde la distribucin de probabilidades es:

( =)1 5/272 7/27

3 9/274 6/27

1

Media y Varianza

Para hallar la media y la varianza de las tres variables debemos dar uso de los valores esperados

en sus respectivas frmulas, esto sera:

=

[

]

= Media de =[1]

= 1(1 =1) = 1(1 =1)

=1 en resumen la media se la calcula de tal manera que a cada valor que toma 1se lo multiplicapor su respectiva probabilidad y se va sumando para todos los elementos de1. Esto es:

= 1 927

+ 2 1827

=

9

27+

36

27

=45

27

Varianza de =[1] donde primero debemos calcular el valor de

[

1]

51 | P g i n a


52/56

[1] = 1(1 =1)

[1] = 1(1 =1)

=1 = 1 9

27 + 2 18

27

=9

27+ 4 18

27

=9

27+

72

27

=81

27

reemplazando en la frmula de la varianza:

=[1] =

81

27

45

27

=18

27

Media y varianza deDado quees constante ya que solamente toma el valor de 1, podemos rpidamente concluirque su media es uno y su varianza cero dadas las propiedades de la varianza y el valor esperado

pues:

[ = 1] = 1 ; ( = 1) = 0 Media de =[3]

= 1(3 =3)

52 | P g i n a


53/56

= 3(3 =3)4=1 = 1

5

27+ 2

7

27+ 3

9

27+ 4

6

27

=5

27+

14

27+

27

27+

24

27

=70

27

Varianza de

=

[

3]

donde primero debemos calcular el valor de [3][3] = 3(3 =3) [3] = 3(3 =3)4

=1

= 1 527 + 2 727 + 3 927 + 4 627= 1 5

27 + 4 7

27 + 9 9

27 + 16 6

27

=5

27+

28

27+

81

27+

96

27

=210

27

reemplazando en la frmula de la varianza:

=[3] =

210

27 70

27

=770

729 53 | P g i n a


54/56

Covarianzas

Se deben hallar las covarianzas entre todos los posibles pares de variables X1, X y X3. Losposibles pares seran:

(1, ), (1, 3), (, 3)Recuerde que (1, ) =(, 1) por lo que solo ser necesario hallar una de ellas.Ntese que toda covarianza que corresponda aser igual a cero dado que constituye unaconstante y no una variable ya que toma un nico valor, esto es:

(1, ) = (1, = 1) =(1, 1) = 0(, 3) =( = 1, 3) =(1, 3) = 0

pues la covarianza existe solo entre variables. Por tanto hallamos la covarianza entre las dos

nicas variables1y3.(1, 3) =[13]

donde primero debemos calcular el valor de [13][13] = 13(1 =1,3 =3)

donde (1 =1,3 =3)representa la distribucin conjunta entre 1y 3. La probabilidadde que 1 = 1 y 3=1 es decir (1 = 1,3 = 1) es calculado como la suma de todas lasprobabilidades tal que 1= 1 y 3 = 1. El nico par es P(11 1)=2/27.

( =, =)1 1 2/27

1 2 3/27

1 3 4/27

2 1 3/27

2 2 4/272 3 5/27

2 4 6/27

1

[13] = 13(1 =1,3 =3)

[13] = (1)(1)(2/27) + (1)(2)(3/27) + (1)(3)(4/27)

+ (2)(1)(3/27) + (2)(2)(4/27) + (2)(3)(5/27) + (2)(4)(6/27) = 120/27 54 | P g i n a


55/56

(1, 3) =[13]

(

1,

3) =

120

27

45

27

70

27

(1, 3) = 1081 Matriz de Varianzas y Covarianzas

La matriz de varianzas y covarianzas es una matriz cuadrada, simtrica, positiva definida

denotada por la letra griega sigma mayscula , la cual contiene las varianzas y las covarianzasentre los pares de variables. La matriz tiene dimensiones p x p, donde p es el nmero de

variables.

= 1 1 1 = (1) (1, ) (, 1) ()

Por lo tanto

= 18/27 0 10/810 0 0 10/81 0 770/729

F 2 2 3)

(2 2 3) =(1 2, 2, 3 3)=(1 1 1) + (1 1 2) + (1 1 3) + (2 1 1) + (2 1 2) + (2 1 3)= 21/27

COVARIANZA ENTRE VARIABLES(, ) =[( )( )] = Propiedades:(Cumple las propiedades del producto interno)

) (, ) =(,) = = ) (, ) =(, )) (,) = (, ) = 0

)

(

,

) =

(

)

(

,

) =

(

)

)(, + ) =(, ) + (, )55 | P g i n a


56/56

TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL

Folleto de Estadisticas basicas

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