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Cuaderno de Actividades: Física Moderna

ii) Sólidos Covalentes

Caso típico: carbono sólido, diamante

C: Z ≡ 6, 1s2 2s2 2p2

Cada átomo de C se enlaza con 4 átomos de C vecinos cercanos: energía cohesiva ∼ 7,37 eV

La estructura base del carbono es tetrahédrica

Propiedades generales: → Muy duros→ Altas Ts de fusion→ Buenos aislantes T y I

iii) Sólidos Metálicos

Caso típico: Cu

- Poseen electrones libres {1 o 2 por átomo}

- El modelo básico es de gas de se− : se

− moviéndose en torno de núcleos metálicos +s

- Los enlaces metálicos son débiles frente a los iónicos y covalentes, entre 1 – 3 eV, y se basa en fuerzas coulombianas e- - p+

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo


Propiedades Generales: → Son brillantes debido a la reflexión en el VIS

→ Gran conductividad electrónica y T

→ Forman aleaciones de importancia tecnológica: Tenasidad, ductibilidad, anticorrosividad, conductividad, etc.

5,4) Teoría de Bandas

Ejemplo: Na, 1s2 2s2 2p6 3s1 , Z ≡11

- 2 átomos de Na

- 6 átomos de Na


E Separados

3s 3s

Na1 Na2 r

Juntos

3s

Na1 - Na2

E

r

3s


- Núcleos átomicos de Na formando un sólido

El ancho de banda no depende del número de átomos, pero si de la interacción de vecinos cercanos. El número de niveles en la banda depende del número total de átomo interactuantes, N átomos producirán N niveles. Cada banda podrá contener hasta 2(2l + 1) N se

− .

Diagrama esquemático de las bandas de energía para un sólido de sodio,


3s

3s N 3s1

2p 6N 2p6

2s 2N 2s2

1s 2N 1s2

SOLIDO ATOMO


5,5) Modelo de se− libres en metales

Retomamos el modelo de gas de se− {modelo de Drude - Lorentz}

introduciendo los conceptos asociados al principio de exclusión de W Pauli y que los se

− deben ser tratados como fermiones, esto es, partículas de SPIN fraccionando (1/2) descritos por la estadística de FERMI – DIRAC {estadística cuántica}

Según la estadística de FD, la probabilidad de encontrar a un e- con energía E, esta dada por la función de distribución FD,

( ) ( ) /

1

1F BE E k Tf E

e −≡+

donde EF es la energía de Fermi.

Para esta función la temperatura T ≡ 0 K es crucial, es decir, para T ≡ 0 K indica que todos los estados con E < EF están ocupados, mientras que para temperaturas T > 0 K empiezan a ocuparse estados con E > EF, ver los siguientes gráficos,

Como veremos la importancia de la EF es tal que permite describir materiales, por ejemplo, esta energía dependerá de la concentración volumétrica de electrones, n, así como de la concentración de impurezas, ni

del material,

( )( ) ( ):

: semiconductores 1F r

FF

a

i

E n metales solidosE

E n

≠ ≡

:


f

1 T ≡ 0 K

E 0 EF

f

1 T > 0 K

1/2

E 0 EF


De igual forma, en base a la EF para metales que va de 1,6 a 14 eV, la TF

va de 1,8 a 16 x 104 K y la vF de 0,8 a 2,2 x 106 m/s (∼ 10-2 c!).

Si nuestro modelo nos conduce a imaginar al e- confinado a una caja de lado L, las funciones de O que lo describen, por extensión del caso unidimensional, tendrían la forma,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , x y zr x y z Asen k x sen k y sen k zψ ψ≡ ≡r

Con { }2 2

2 2 222 x y zE n n n

mL

π≡ + +h

Donde ,x y zn n y n son números cuánticos energéticos como lo era n unidimensional. Por lo tanto, los estados energéticos estarán caracterizados por estos 3 números cuánticos mas el número de SPIN, ms,

( ), , ,x y z se eE E n n n m− −≡

Para efectos se determinan una expresión que nos permita calcular la EF, definimos la función de densidad de estados, g(E), que determina el número de estados por unidad de volumen y energía (estados / VE), de tal forma que el número de estados electrónicos por unidad de volumen y por unidad de energía, esta dado por,


z L

e- L y L

x


( )3/ 2

1/ 23

8 2 mg E E

h

π ≡

Por lo tanto, el número de se− a la temperatura T, en dichas condiciones,

esta dado por,

( ) ( ) ( )N E f E g E≡

Ahora, si n es el número total de electrones por unidad de volumen (n: concentración volumétrica de se

− libres), se debe cumplir que,

( ) ( )

3/ 2 1/ 2

3 /0 0

8 2

1F BE E k T

m E dEn N E dE

h e

π∞ ∞

−

≡ ≡ +

∫ ∫

En T ≡ 0 K, tenemos,

( )3/ 2

1/ 230

1, 08 2

0, FE F

F

E Emn E dE f E

E Eh

π ≤ ≤ ≡ ← > ∫

22 3

2/33

8F

hE n

m π ≡

La velocidad de Fermi, vF, definida por la siguiente expresión,

1/ 22 F

F

Ev

m ≡



y la TF por,

FF

B

ET

k≡

La EF cumple un rol importante cuando se describen los materiales, en metales vinculada al llenado parcial de bandas; en aislantes y semiconductores, por lo general, se encuentra en la banda prohibida, pero debido a su movilidad con la concentración, para estos últimos, permitirá controlar los procesos de conducción en ellos.


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