Fluidos- Rodriguez Hernandez- Problemas de Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas

Problemas de

Mecnica de Fluidos yMquinas Hidrulicas

JULIO HERNNDF.1. RoI)RicUEZCa.tedrtico de Mecnica de Fluidos, E'fSII, UNED

ANTONIO CRESPO MARTINEZCatedrtico de Mecnica. de Fluidos. ETSII, UPM

o UN/VERS/DAf) NACIONAl.DE EDUCI.Cl6N A DfSTItNCIA - M"driJ

} ../w Hern6lt1l,,~Rodrlgur.."'11IU1l!" Crr)jJO Marl{'I

Contenido

Prlogo

Nomenclatura

MeC3nka de fl uidos1 Introduccin .2 Esttica de fluidos ..3 Cinem.tica de fluidos

",

4 &uaciones de conservacin en forma diferencial5 Ecuaciones de conservacin en forma integral6 Anlisis dimensional .

\~ Flujos con efectos de viscooidad dominantes Flujos de fluidos ideales .9 Flujo:;; turbulentos ....10 Flujos en canalcti abiert05

Mquinas hidrulicas11 Introduccin. Semejanza en turbomquin;as12 Bombas centrifugas .13 Turbinas Francis14 Turbinas Kaplan15 Turbinas Pellon . ,

,,'

m

v

137

25Jl4393

105119 ..147179

18S187201229241247

Bibliograta 255

Apndices 257A Resumen de ecuaciones. . . . . . . . . . .. 259

A.J Ecuaciones de COlll!ervaci6n en fOfma inlegral . . 259A.2 Ecuaciones de comservacin en forma diferencial. 265

"CONTP.N1DO

266267270271287

A.3 Flujos laminarcs, estacionarios y unidireccionales deIiquid05 .

AA Flujos de fluidos ideaJel'iA.S Flujos turbulentos ...A.fi Mquinas hidrulicas ..

B Propiedades fsicas, tablas y diagramas .

ndice 295

Prlogo

Los problemas y cuestiones incluidos en esta coleccin han sido propuestosen ex.menes de asignaturas del rea de mecnica de fluidos de las EscuelasTcnioLS Superiores de Ingenieros Industriale:; de la Universidad Nacionalde Educacin a Distancia, de la Universidad Politcnica de Madrid y de laUniversidad de Murcia (en esta ltima, en los cursos 90-91, 91-92 Y 92-93).Se han agrupado en quince captulos, correspondiendo los die- primeros amecnica de fluidos y los cinco restantes a mquinas hidrulicas. Su clasifi-cacin en los distintos captulos se ha hecho teniendo en cuenta la materiaprincipal de la que tratan (en algunos casoo su contenido se corresponde conmalerias de varios captulos), y procurando, en la medida de lo posible, quesu resolucin no requiera el conocimiento de materias de captul06 po6lcrio-res. Para algunos de los problemas y cuestiones se presentan proce

Nomenclatura

Vectores y tensores SOll representados por caracteres en negrita (ocasional-mente, en nolacin de subndices). El mdulo de un vector se denota gene-ralmente con el smbolo correspondiente en cursiva. (p. ej.: P =1 F 1). Lascomponentes del vector velocidad en coordenadas cartesianas se denotan poru, ti y w. Las componcnt.es del vector velocidad en coordenadas cilndricas,Z, r> 8 (r2 = y'l +z'), se denotan por Vr , v~ y v,. En problemas de mquinashidr.ulicas, la COmponente ve se denota. por l/u; la nolacin empicada paradefinir los tringulos de velocidades se indica ell el Problema 12.1. En ecua-ciones en las que aparezcan valores numric06 de magnitudes dimensionales,sin indicacin de las unidades en las que est..n expresados, generalmentestas sern las corre;pondientcs del "illtema internacional.

Caracteres latinostl arcaa velocidad del sonidoAA"bbc

c

c,C,C,C.C.

dD

rearea crticaanchuraanchura de los labescalor espoc.ficoceleridad de una.. onda de presincalor especfico a presin constantecoeficiente de contraccincoeficiente de descargacoeficiente de velocidadcoeficiente de velocidad en el inyector de una turbina

Peltondimetrodimetro

i, j, kkf(Hu

VI PROBLEMAS DE MECNICA DE FLUIDOS Y MQUINAS...

e energa interna especificaero e~, el vectores unitarios segun z. r y 9E mOdulo de elastiddadf factor de friccinf frecuenda1m fuer:a lIlsica por unidad de ma5a1, fuena de superficie por unidad de reaF fuerzaF, resultante de las fucrzas de superficieF ~ rcsultante de la; fuer"as de volumenFr numero dc Froude9 acelera.ci6n de la gravedadG flujo msicoG, G}.. G}~ fluj06 msicos de fugas total, interno y externoh alturah entalpa especficah profundidadhe profundidad crticah.. profundidad normalH altura

H~ altura. gcorniMicalh altura de prdidas internas en una turbomquina.HLd, HL'l !L" alturas de prdida.!! interna.: en difusor, rodete y voluta11m altura manomtricaH" salto neto/1.. altura utl, ;a]to utilH... altura. ulil l,eniendo en cuenta. el efecto de numero finito de

I.besaltura util correspondiente a. un numero infinito de labesaltura de prdidas en la instalacin (mquiniU hidr.ulicas)altura de prdida.!! de energa mecnicaaltura que proporciona (-Hm ) o extrae (/1... ) una mquina,

ecuacin (A.1.l6)vectorcs unitarios segun z. 1.1 y zconductividad trmicacoeficiente de prdida de carga localcoeficiente caracterst.ico de velocidad, u/J2glJ" (en tur-

binas)

NOMENCLATURA'"

Lm

m

MMM.n

nn

n,n,

N(NPSH),(NPSH).pPoin anivel del suelo Po = 1,013 x lOs N/m2.

Solucin:

Aplicando la ecuacin (A.2.5) de la fiuidOllLt;u (oon U _ gf) Y utilizando laecuacin de estado de los gases pcrfCCt06, resulta

dp pdz =-pg=-g rr'

e inl.egra.ndo desde z =O hasta una altura genm;a'l,

se obtiene

P =Po Clip (-~) = 1,013 x lO~exp(-1,19 x 1O-4 z), (p en N/m' y z en m),)', Leniendo en cuenta la ecuacin de estado,

p= :rexP(-:~)=1,226exP(-1119xlO-4z), (p enkgfm3 yzcnm).

7

8Problema 2.2

PROm,EMAS DE MECANICA DE FLUIDOS

El tubo en U de la figura, abierto en 106 dos extrem06, se encuentra InI-cialmente en rcp060 y lleno de agua hasta una altura de 12 cm (situacinrepresentada en la figura). A conlinuacin se aade a una de las ramas (laqUe! aparece a la derecha en la figura) una columna de a.(:citc de densidadPde = 800 kgjm3, de altura t:J.z = oS cm. Se dc:sprcciarn J08 efectos detensin superficial y se supondr que el radio del tubo es pc

2. ESTTICA DE FLUIDOS

Integrando la. ecua.ci6n (A.2 S) de la. f1uidostatica en el agua.,

9

(" 2).pdU =-p."entre la superficie libre del agua. en la rama de la izquierda (1) 'J la superficie deseparaci6n agua-;w:;:eite (2), temendo en cuenta que U = gz, !le obtiene

(2.2.3)Integrando la. ecuaciOn de la f1uidol!t.alica en el aceite entre la superfiCIe libre del.ceite en la rama de la derecha 'J la superficie de separac:i6n agua-aceite, se obtiene

PJ - Po. = PlKgli.z.

Dc las ecuaciones (2.2.3) 'J (2.2.4) resulta

(2.2.4)

(2.2.5)

y, teniendo en cuenta la eeul\Cin (2.2.1), se obtiene finalmente .11 "" 0,14 m yz, = 0,10 m.

b) El potencial de ruel"ZM m.,ieMe5 en este caso U = g: - ~. Integrando denuevo la ecuaci6n (2.2.2) entre la superficie libre del agua en la rama de la izquierday la superficie de separaci6n agua-~ite, loe obtiene abora

l' , ,PJ - P., =P.,g(zl - z,) - Po, 2 (R I - RiJ

Intq:rando la ecuaci6n de la f1uidostatica en el aceite entre la superficie libre dela:iu en la rama de la derecha y la superficie de separaci6n agua-iIOI!ite, !le obtienede nuevo la ecuacin (2.2.4). De las ecullClones (2.2.4) y (2.2.5) resulta

z - Zl = p- Ii.: +,p(, n2' (Ri - Ril,

p..

y lelllendo en cuenta la ecuaci6n (2.2.1), se obtiene finalmente :1 =0,097 m y:1 = 0,143 m.

Ell"pliquese qu ocurrira si, a pArtir de ea!.a situacin de equilibrio, se aumentaraprogresivamente el valor de l.

10 PROBf.BMAS DE MECNICA DE FLUIDOS

Problema 2.3La anchura de la compuerta ABcn de la figura es de 2 m, y las restantesdimensiones son A'Jj = I m, Be = 2 m y?:!75 = 1,5 m. La superficie libredel agua. alcanza el nivel indicado en la figura.

- - -_cc:'-....--~=-==.=i'B_-_-

__-=-_-=,0---

---

,

----------

a) Calcular la resultante de las fuerzas de superficie que ejerce el aguasobre la compuerta y el momento de dichail fuerzas respecto del eje A.

b) Calcular el plinto de aplicacin de la fuerza resultante &Obre cada unade las cara.'i de la compuerta.

Solucin:,,) La condic;ion de equilibrio estatico en el flUIdo es

dpdh =P9,

SIendo h la profundidad desde la superficie libre del agua. Al ser el fluido de denliidadCOnS~llnle, inl.egralldo l;C obtiene la distribuci6n de pre&ione3

p=p.l+pgh,

donde p~ es la presin atmosfrica. La fuerza que!ll! ejerce sobre la :mpcrfki,., d,., la.compucrla CJl conla.cto con el agua C8

F l =! -pndS=! -(Pat+pg})n1dS,lABCO lABco

2. ESTTICA DE FLUIDOS 11

siendo ni el vector unitario normal a la superficie de la compuerta, con sentidopoIltlvO dt!llde la compuerta hacia el ar;ua. Sobre la superficie exterior de la com-puerta, en contacto con el aire, acta la prCliin atmosfrica. por 10 que la fUenaque se ejerce sobre ella es

F, = f -p.,n,dS,lAscD

siendo n, el vector unitario normal a la superficie de la compuerl.&, con IJCntidoPOSitIVO dClOde la compuerl.& hacia el aire. Dlldo que ni =-n, en cada elementode superficie de la compuerta, se obtiene que la fuerza total que 5C CJerce sobre lacompuerta es

F =PI + F, = f -pghnl dS.l,wcD

(23.1)Puede obllervarse que se obtiene esta misma cxprc;in si slo 5C considera la fuenaque se ejerce sobre la superficie de la compuerta en contacto ton el agua (sin teneren cucnla la que se ejerce sobre la ~uperficie en contacto con el aire), $iempre quese utilicen en el clculo presiones mannmtri';aIl en lugar de presiones absolutas(haciendo, por tanto, pG' =O). En lal caso, F =F l (ya que F, =O). Esto eslo que habitualmente se har en olr06 problemWl de elte tipo, en loo que aparecenliquida; en contacto con slidos sometidos exteriormente a una pte:lin atmosfericllul1lforrne; es decir, se determinar la fUena que se ejerO!: sobre la superficic del slidoel1 COl1tlLtto 0011 lquidos empleando en el d..lculo presiones mallollll!tricas. Aunque,en este C&''IO, pua obl.ener la ecuacin (23 1) se ha tenido en cuenta que UI = -n,al tratanIC de una compuerta delgada, este resultado puede generalisAtse a cuerposde forma arbitraria Leniendo en cuenta que la resultante de lu fUenas de presin(por ejemplo, 18lI debidas a la pre.in atmosfrica) que actan umformemente sobreuna luperficie cerrada es nula.

Se tomar un sistema de coordenadu con el eje z coincidenk tOn el eje A(8entldo aaliente del papel positiVQ). el eje 11 en el plano de la lisura. con direccinbonlOntal y sentido positivo hacIa la derecha, y el eje en direo:;;in vertical y 5CntidoPOSlllVO hll.(:la arriba. Se va a dCllCOmponer la intesral de la e

12 PROBLEMAS DE MECN1CA DE FLUIDOS

AnJogamentt pueden ool.cner!IC 1.. momentos respecto del eje A de J\$ (nel1lMde superficie que se eJer

2. EST'l'1CA DE FLUIDOS

Problema 2.4

13

La dewsidad de un lquido l.:ontellido en UII depsito vara linealmente COJlla. profundidad, siendo de I g/cm3 en la superfie libre y de 1,2 g/cm 3 a.una profundidad de 4 m. El gas situado sobre la superficie libre del lquidoest a una presin absoluta de 1,2 kg/cm2 . Determinar la presin a unaprofundidad de 2 m.

Soluci6n~

La ley de variacin de la densidad en el dep!;ito viene dada porp:=: 1000 +5011 (p en kgfnr3 , / (profundidad) en m). (2.4.1)

Integrando la ecuacin (A.2.5) de la ftuidosttica (U :=: gz; z es la coordenadavertical; dz = -dh)

dp dpdz =:: -pg ~ dh :=: pg,

una vez introducida la ecuacin (2.4.1), se obtiene,

PII=~ = PII=O +91(1000 + 5011) di. = 138180 N/m2.

14

Problema 2.5

PROBLEMAS DE MECNICA DE F'LUlIJOS

I

En la. figura. se representa. una seccin de un tanque de base cuadrada, de3 ro de lado, abierto a la atmsfera. y dividido mediante una compuerta.vertical en dos dep6sitos de iguales dimensiones. La compuerta puede girarsin rozamiento a.In.-dcdor del eje 0, en el sentido indicado en la figura.. Eldepsito de la izquierda (1) contiene inicia.lmcnte agua hasta una alturaflJi = 2,5 m, y el de la derecha (2) un lquido de densidad no uniforme, P2,hasta una altura /l2 = 1,5 m. La variacin de P2 con la profundidad h puweaproximarse dc la forma siguiente;

Pl = Po = 800 kgjm3 , 0:5 / :5 0,5,

P2 =Po(O,75+ ~), 0,5:S /1:5 1,5 (pen kgjm3, hen m).

- ~ompuert

2. BS'f'I'lCA DE FtUIf)OS 15

En un insta.nte dado se abre a la atmsfera. un orificio de .rea A = 2 cm2situado en el fondo del depsito l.

c) Determina.r la altura 8 1 de la superficie libre del agua en el depsito 1en el instante en que la compuerta comienz.a a girar. Se supondr. quela velocidad del agua en el depsito 1 es suficientemente pequea, deforma que puede aplicarse la ecuacin de la t1uidO$ttica.

Soluci6u:a) Integrando la ecuacin (A.2.5) de la f1uid06ttica (con U = gz, y tomando h ensentido opuesto a la coordenada vertical z, h =~z),

"dh =p~g,

se obtiene, para :s: h :::: 0,5:

p = fJfJgh = 784811,

y, para 0,5 < h < 1,5:- -

1",' l' ( h)P= o Pagdh+ o/Og 0,75+'2 dh=190.5+5886h+19621.1,(Vd)

(2.5.2)

(p es presin manomtrica, en N/m1 ; h en m; se ha tomado 9 = 9,81 m/s~).b) La fuerza sobre la compuerta debida al lquido del depsito 2 (horizontal y

con sentido hacia la izquierda. evidentemente) es

1 1,,'F = pdS = pbdh,,. "siendo b la anchura de la compuerta y S. Sil ,upedkie en oontado con el liquido.Sustituyelldo la di~tribllein dI! Im~~iones obt.enida en el apartado anterior, resulta

1",' 1'"F=b 7848hdh+b (490,5+5886h+1962h 1)dh=28449N.o 0,5El momento de la distribucion de fuerzas debidas a la presin (respecto del eje

que coincide con la Iinca dc contacto cntre la supcrficic libre del agua y la compuerta,por ejemplo), debe ser igual al momento de la fuerza resultante sobre la compuerta:

{ 1'"I~ pll dS = 1mh dh = Fh m ,,. "

(253)

16 PROBLEMAS DE MECANICA DE FLUIDOS

.iendo h... la profundidad del punto de aplicacin de la fuena resultante. De laecuacin (2.53), sUSLltuyendo en ella las ecUaCIones (2.5.1) y (252), se obtiene

[f.'" f.'" ]h"'=F 7848h 2dh+ (490,5h+5SSS h2 +1962h:$)dh :1,OI8m.o G,5

el Es fcil deducir que la fUena que ejerc~ sobre la compuerta el :l.gU

2. EST7'ICA DE FLUIDOS

Problema 2.6

17

En el sistema de la figura, suponiendo que la densidad del ilCeile con lenidoen el depsito A es uniforme e igual a 900 kg/mJ y que el dep5ito B est.abierto a la atmsfera, calcular;

a) Las presiones del aire en el depsito A y en la tubera.b) La magnitud (por unidad de anchura) y el punto de aplicilCin de la

fuerza que se ejerce sobre la compuerta en indicada en la figura.

I

I

I

- 0.9 mPet A

e ~",.re

I -'m aire

...t mO

m eeelte lliu ",

I 3 m -, B

j

,

Solucin:a) Integrando la ecuacin (A.2.5) de la f1uidoollica en el agua (con U = gz), entrelas superficies libres en el de>t!ilo B y en la tubera (entre las que exist.e unadiferencia de cotas t.ZlJ = -1 m), re.~uJta

18 PROBLEMAS DE MECNICA DE PLumos

de dondl! se obtiene I&. presin manomtrica del aIre en la tubera,

",. = (1 OOO){9,8)(4) = 39200 N/m!.Anlogamente, inl.Cgrando la ecuacin de ht. lIuidOlittica en el acellA.', entre las

superficIes libres en el depsiLo A yen la Luberill (entre 1


Problema 2.1

19

Determinar la energa aJSociada a la tensin superficial de una gota esfricade agua de 0,5 mm de di.metro y la energa necesaria para dividirla en diezgotas esfricas iguales. (Tensin superficial aiw.-agua: u = 72 dinas/em.)

Solucin:La. energa a..'

20

Problema 2.8

PROBLEMAS DE MECNICA DE; FLUIDOS

Un tubo de di.metro D = 0,05 mm, cerrildo en uno de sus extremos, se halla.en posicin verticaL con el extremo abierto sumergido en agua contenida enun depsilo abierto a la atml>fera. Determinar la presin existente en laburbuja de aire atrapada en la parte superior del tubo si el agua asciende

,

por el capilar una altura H = 50 cm. (Angulo de contacto: 8 = 0; q =72 dinas/cm.)

Solucin:

Si los efectos de tensin superficial son domlnanlel Uustifquese que en este casoesto e3 cierlo), la superficie de $(!par

2. ESTTICA DE PLumos

Problema 2.9

21

Dos placas planas, rectangulares, pan.lelas y verticales, separadas una dis-tanda de 0,1 mm, se sumergen parcialmente CJI cl agua contenida cn undepsito abierto, con uno de sus bordes paralelo a la super~cie del a.gua, pu-diendo suponer:>e el problema bidimensionaL Determinar la altura a. la. quea.scendera el agua entre las placas. Calcular asimismo la fuerza que ejercerel agua sobre las placas por unidad de anchura. Supngase un ngulo decontacto nulo y u = 72 dinas/cm.

Solucin:

Si los efectos de tensi6n superficial 50n dominantCl ustifqucsc que esta bip6tcsise6 aceptable), la superficie de :;epar;:;ion aire-agua e6 de curvatura constante. Ladifcrcncia de prc:sioncs a ambos lados de la superficie de scpara

22 PROBLEMAS DE MECNICA DE FLUIDOS

plllC&ll (que tiende a junt&rla con la otra) ea

/." (O 1-47)2F= pgzdz=(IOOO)(9,8) , = 105,9 N/m.

2


Problema 2.10

23

Un tubo de longitud = 10 cm y dimetro d =0,1 mm, cerrado en unode sus extremOli, se intrOOllf"f' vrrtic~lmenle por su ~tu!'mo abierto, hastauna. profundidad de 2 cm, en el agua contenida en un depsito abierto a laatmtiJera. Se supondr que el aire atrapado en el interior del tubo evolu-ciona. isotrmicamente. La presin atmos(erica es P~l = 105 Pa. la tensinsuperficial a.ire-agua es u = 73 dinas/cm yel ngulo de contacw es nulo. De-terminar el nivel que alcanzar. el agua en el tubo en situacin de equilibrio.Comentar el resultado.

Solucin:En la figura.'le rcpre:enta la aituacin de equilibrio final. 1-os ImulQl; 1 y 2 e8tan aambOll lados de la superfkie de separacin aire-agua en ..1 tubo. h es 13. ".l~ura a laque sta se encueutra con I"elIpecto a la superficie libre del agua en el depsito.

El equilibrio en la superficie de separiJCln a.ire-agua dentro del tubo requierequel

PI-p,=-;. (210.1)Plant.eando la ecuan de la f1uid08ttka dentro del agua., $e obtiene

P2 = p., - pgh. (2.10.2)Al ser isoterma la evolucin que experimeMa el aire atrapado en el tubo (la

JIlasa inicial de aire en el tubo se !Ilantiene constante), deber cumpliNlep(O,8 H - h) = p",ll. (2.10.3)

De la.s tres ecuaciones anteriores, BlIs~i~uyelldo valore3, resulta h = -17 mm.Comentar este resultado.

'Ve, por ejemplo, el Problem'l 2.8.

Captulo 3

Cinemtica de fluidos

Problema 3.1Determinar el campo de a.celeraciones correspondiente al siguiente campo develocidades (a, b, e, d, e, f y .q son constantes): u = alx + by + C~, v =dty + ex, W = ttt + gy.

Solucin:La ac~leraci6n de una partcula fluida esl

Dva=-DI (

VU vu vu au). (al) ()I) al) al)).-+u-+,-+w- 0+ -+u-+v-+w- ,{Ji /)z (}/I {)z al Eh Oy eh

(aw fJw ow aw)+ &t. + 11 oz + v ay + W az k.Sustituyendo liL

26

Problema 3.2

PROBLEMAS DE MECNICA DE FLUIDOS

d: = O

Determinar y dibujar las lneas de corriente en el flujo definido poru = a3:, v = -ay, W = 0,

siendo a una. constante positiva. Supngase que la cOllccnLra.cin de ciertocontaminante en el fluido puede l'!xpresarsc mediante la fundn

para. z > 0, siendo b una consta.nte positiva. Determinar la variacin en eltiempo de la concentracin de contaminante siguiendo una partcula fluida.

Solucin:Las \DeM de corriente !le determman imponiendo en cada punto el panllcli.'nno entreun clcmcnlo direrencial de longitud y el vedar velocidad:

dz dyaz -Qy

Integrando, ~ oblielle:t,lJ=C"z = C2

(siendo el y C, constll.nt.cs), ecuacionCll que definen una doble mfinidad de lneasde corrienle (dibjense).

La v;uiadn en el tiempo de la c;onOl!ntracin siguiendo un;t. partcula fluidavIene dada por la derivada lIUl1tllncia! de c(z, JI, 1),

De 8c Oc Ik k-= -+.-+.-+w-.DI lh 8z ay a~Sllll~ltuyend., el campo de velocidades dd enunciM" y la exprcs16n para c(z, JI, 1),resulla

3. CINEMTICA DE FLUIDOS

Problema 3.3

27

En un cierto flujo bidimensional no estac.iona.rio las componentes de la ve--locidad son v. = az/t y ti = by, siendo a y b constante>. Ot!l.ermini\T lacurva que describe en cada. instante el colorante inyectado en el punto (1, 2),suponiendo despreciables los efectos de difusin.

Solucin:La ecuaciones que describen las trayeclori


Problema 3.4Dado el siguiente campo de velocidades bidimensional en coordenadas po-lares:

v~ =U (1- ::)C056, VI = -U (1+ ::) sen 6,siendo 4 y U constantes, determinar, si existe, el potencial de velocidades.

Solucin:

Existir una {uncin poLencial si el campo de velocida.des es irrotacional, lo cual er;cierto al ser nul" la nica componente posible, en esLe Ci\lIO, del vector vOrticid;U;\(e. = V)( v):

loI,. = ~ a(rV,) _ ~ 8v~ = Q.r 8r rOO

Par" determinar t/J puede escribirse

a. ( ,,)ti,. = a.. =U 1- ..2 cos(J,

la. (,,)v, = ;8fJ = -u 1+ r2 &en'.

Integrando parcialmente la ecuiiCln (3.4.1 l, resulta

t/J = U (1 + a..') COllO +1(8).

(3.4.1 )

(3421

Derivando elIllL ccuu;in oon respecto a Oy comp",rando el rellull&do con 111. ecuacin(3.4.2), 1Ie obtiene

a. (") dI (")I)(J =-U 1+-;- sen8+ d(J =rv,=-U r+-;- sen S,de donde se deducc que f = constante. Se obtiene por t&nto

tP = U (1 + r2) coeO +con~~ante.

3. CINEMTICA DE FLUIDOS

Problema 3.5Para. el campo de velocidades bidimensional

ev=-c",

29

siendo e una constante, determina.r la. distribucin de vorticidad, el potencia.!de velocidad, la funcin de corriente y la circulacin de la velocidad a lo largode cualquier lnea cerrada.

Solucin:Demues~r_que la vorlicidad, W = Wr = ~ "(;;_1, es nula en ~odo el (;",mpo fluidoexcepto en el pllnlo singular situado en r = O, donde esta concentrada, que elpotencial de velocid

Captulo 4

Ecuaciones de conservacinen forma diferencial

Problema 4.1Comproba.r si el campo de velocidades siguiente puede corresponder al mo-vimiento de un liquido (a y b son constantes):

Solucin;

Puede ~ratarse del movimienlo de un lquido si la divergencia. del vedar velocidad,

V.,::: 21z(1 - a) + 1'(6 - all.ell nula, lo que ocurre si a ::: b::: l.

3]


Problema 4.2De un flujo incompresible se conocen dos componentes de la velocidad:

siendo a y b constantes. Determinar la forma que debe lener la expresin dela componente w. Puede el flujo ser no estacionario?

Solucin:La divergelldll. del voctar velocidad debe ser nula al ser el flujo incompresible:

awVll=2ar+-=O.a,Integrando esta ecuacin se oblicue

w= -2(1:1:I+/(r,y,t),

,iendo / una runn de r, y y t. La componente w puede &er, por tant.o, noestacionaria.

Osen 01u=-a COIO'z+"o'

4. ECUACIONES DE CONSERVACiN EN FORMA D/FEllENCIAL 33

Problema 4.3

Supngase un campo de velocidades unidimensional definido por u = l.I(z, l) IV = O Y w = O. La. densidad es P = Pa(a - 006 fU), siendo a IIna constante(lJ> 1). Determinar una expresin para u(r,t) si u(O,t) = tto.

Solucin:

Sustituyendo P = Po(a - C060t) y el campo de velocidadeos del enunciado en laecuacin (A.2.1) de oonl5Crvacin de la mua, resulta

PoOsenftt+Po(a-cosOI)8% =0.

Integrando con resp:to il % e imponiendo laoondiciOn de oolltorno u(O, 1) = "o, seobtiene

34

Problema 4.4

PROBLEMAS DE MECNICA DB Fr.,VIDOS

Para el campo de velocidades

u=az+bll. v=a:+dy,

siendo a. b, e y d constanl.es, determinar la densidad de una partcula fluidaen funcin del tiempo suponitmdo que la densidad inidal es Po.

Solucin:

De la ecusci6n (A.2.1) de conservn.cin de la masa,DpDI +pVv=O,

sustituyendo

se obtiene

au JuVv= 81; + ay =a+d,

dpp=-(a+d)dt,

de donde, inlegrillldo, rt:!lu[la

p = Po exp [-(a + 11)11

4. ECUACIONES DE CONSERVACiN EN FORMA DlFBRENCIAL 35

Problema 4..5Para el campo de velocidades del Problema 3.4, determinar, si existe, la(uncin de corriente. Dibujar esqucmticamente la.'! lneas de corricnte l'indicar el tipo de flujo al or tanlo que exi.teuna funcin de corricnl", que llt determinl'lr& A partir de

Para el flujo bidimen5ional del Problema 3.4 (olli!lrve$l': que no existe componenter y que ". y lI, no dependen de z), podr definirse un... runcln de corrientel ,i !lesatisraoe la ecuacin de continuidad oorrtlpondlente a un flujo incomprellible, queen este CallO se ~uce a

la. ( ")v.=--=U 1-- c009,r iJ8 ,.' (45 1)

'. (")v, =-8,. =-U 1+,., sen 8Integrando parcialmente lA CCUa06D (4.5.1), resulta

(4.5.2)

(4.5.3)

Derivando estll ecuacin con respecto a,. y teniendo en cuenta la ecuacin (4.5.2),se obliene que f no depende de r, por lo que lu funcin de corrienle es

.p =U r (1 - ;:) SCIl 8 + OOn5tll.nte.

En 1.. regin ,. > 11, la runcln de comente obtenida oorrtlponde al flujo novis:o!o y bldlmell310na! alrededor de un cilindro cin::ulac de radio a inmenlO en unacwrienle unirorme. Expliquae por qu "'te flujo no tiene lugac en la real.dlOd, eindquellllC las dlrerencias entre lll!l di5tnbucioDcs de magnitudes lluidM del flujoconsiderado y del flujo de un flUIdo real II llJUlS nmeros de R.eynolds alrededor deun cilindro inmcnIO en una corriente unirorme.

'Tambi,;n puede definirse la runeill de ~orrient.e en flujos incompre5ibl

36

Problema 4.6

PROBLEMAS DE MECN1CA DE FLUIDOS

Determinar, si existe, la funcin de corriente correspondiente al ca.mpo de ve-locidades u = axi-ayj, siendo fL lIUa. constante. Calcular el flujo volumtrico(por unidad de longitud) a travl; de la parbola y ::: x 2 \ en el intervaloO$x:51.

Solucin:Demustrese que el campo de velo

1. ECUACIONES DE CONSERVACIN EN FORMA DIFERENCIAL 37

Problema 4.7Determinar el ~ellsor Wln (ecuu;in (A.2.3,

teniendo en cuel\~a que V v = 0, se obtiene,.

-"O


Problema 4.8Para el campo de velocidades

u = a(:r2 - y'), 11 = -2axy, w = 0,

p (~~ +u vv) = -Vp+ .tV2 v + pg.(Se tomar. 9 = -gk.)

donde a es una constante, determinar un campo de presiones que sa.tisfagala t.:cuacin

Solucin:Introduciendo el campo de velocidades en la. ecuacin de conservacin de acantidadde movimiento del enunCiado, se obtiene

P(11(%2 _ 11)211% + 2azy2ay] _

,0[_0(%2 - !f')2ay + 2ary2az) _8. '8p1Jy'8p

O - - ()z - pg,

y, agrupando LnninOll,

8p_2p(l?z(z2 +1/),8. -

8p_2pa2 y (%2 + 11),8V -

8p8. - -pg,

(4.8.1)

(4.8.2)

(4.8.3)

InLegrando parcialment.e la ecuacin (4.8.1) resulta.

.'p = -,o 2" (r2 + 11)2 + h(l, z). (4.8.')

8p 8/al = a, = -,og,

Derivando esta ecuacin con r~pec::to a r y comparando con la ecuacin (4.8.3), seobLicue

de donde resultaf (y, z) = -pgr + f2(y). (

(4.8.6)

. ECUACIONES DE CONSERVACIN EN FORMA DIFERENCIAL 39

Sustituyendo (4.8.5) en (4.8.4), derivando con respecto a l. y comparando oon laecuACin (4.8.2), se: obtiene

de donde re'lulta h = constante. Sustituyendo este resulte.do en la C\:;uacin (4.8.5),Y sta a su Ve?; en la e =V6.

Introduciendo la ecuacin (4.8.8) en (4.8.7), resulla

V'.s = o.

('.8.8)

(.....)El trmino viscoso de la e;uacin d" conservacin de la cantidad de movimientoresulla (utilizando 1M ecuacion(ll (4.8.S) y (4.8.9

(4.8.10)El trmillo convcctivo,

V-VII = V (~) -tl X (V X v),se simplifica teniendo en cucn~a que V x 1) =O, obtellindo&e

(4.8.11)

Sus~~uyendo las ecuacione: (4.8.10) y (4.8 11) en la ecuacin de conservaon de lacallLidad de movilluCIlLO, teniendo en cuenta que el flujo es esLacionario e nlegrando,se obLicne la ecuacin (4.8_6).

40

Problema 4.9

PROIJLEMAS DE MECNICA DE FLUIDOS

Indicar el principio de conservacin que expresa. la ceuaclOn siguicnte'l yexplicar el significado fsico de cada uno de sus trminos:

p (~: +1l- vv) + V(p+pU - P"r) = ~V'l".Corr~ponde al movimiento de un gas o de un lquido? Qu puede de-cirse acerca de la. viscosidad del fluido? Qu tipo de fuerzas. msicas seconsideran? Razonar las respuelitas.

Solucin:

Corunilte5c alguno de los textos recomend~OlI en la seccin de bibhosrafia. Laecuacin corresponde al movimiento de un fluido que se comporl.'t, de fonn& que 9

ya DO apal"/I(e. Si tampoco interviene 9 en \al condiciones de contorno, lo que OCUrn: e"cuerpo!I l.ot.&Imente sumaz;idos. se deduce

4. ECUACIONES DE CONSERVACIN EN FORMA DIFERENCIAL 41

Problema 4.10

8pat +V(pv)=O

p (~~ +1." V1.') + Vp= V.,.' + plmP (:; + 1." ve) = V (kV1') - pV. v + 4l~ + Or + Oq.

En el :iguiente :i:tema de ecuaciones, indicar IAA va.ria.bles dependientes ylas magnitudes que pueden ser consideradas como datos o expresal>l~ enfuncin de aqullas:

Simplificar el sistema para el caso de que el fluido sea un lquido. Explicaren qu consiste el desacoplamiento trmico.

Solucin:Se pueden tomar como variables dependientes p, v y r, por ejemplo. Las cincoe

Captulo 5

Ecuaciones de conservacinen forma integral

Problema 5.1El ga.... que conlicnc el cilindro de la. figura, de 10 cm de dimetro. es ex-pulsado fUera. de este mediante un mbolo que :se mueve con una velocidadde 30 mIs. Calcular la. derivada de la densidad respecto del tiempo enun instante en el que la densidad del gas en el cilindro (que se supondr.uniforme) es de 0,98 kgjm 3, el flujo msico de gas !Saliente es de 0,05 kgjs,y la longitud indicada en la figura es L = 10 cm.

)'olomen desprcCloble

f- L.......-l

Solucin:Puede partirse de la ecuacin (A .1.2) de conservacin de la masa en forma. integral,referida a un volumeu de control variable t!n el tiempo. Se lomarli. un volumen decontrol cuya SlIprrficie. en el instante (:orIMider;ulo, es la indicada en la figura conllll'a discontinua. La velocidad v< es nula eXl.."epto en la par1.e de S< en contactooon la superficie del embolo, donde es igual a la velocidad del mbolo.

43


Dado que en cada. in~t(\nte p 5C 3UpOllC uniforme en el interior del cilindro,

( pdV:= p(I)Y,,(t).lv.(.) (5.1.1)

Al evaluar la integral de 3uperficie de la ecuaci6n (A.l.2), debe tenerse en cuentaque v := "< en la superficie del mbolo y que ti := O en las paredes del cilindro. Enla seccin de salida (donde Ve := O), (V - Ve) n ell igual a la velocidad de salida delgas, v" por Jo que

( p(v - Ve) . ndS:= f pv, d5:= 0,05 kgs.Js. .GlidGSustituyendo (5.1.1) y (5.1.2) en la ecuacin (A.1.2), resulLa

d(pVcl dp dV,dI +0,05= Ve dI +p(jt+O,05=O.

Teniendo en cuenta quedV, =A dLdI Pdt'

(5.1.2)

(5.1.3)

y quedL-=-vpdL

(vp y Ap denotan la velocidad del mbolo y el rea de su seccin transversal, tes-pectivamente), la ecuacin (5.1.3), tras sustituir valores, resulta

de donde se obtienedp 2303 k _3_1dt = " gro s . (5.1.4)

5. ECUACIONES DE CONSEHVACIN EN FOHMA INTEGHAL 45

Problema 5.2Por el conducto de la. figura, de seccin de


control ya mencIonado. ComprubCliC que 'iC oblienell las dos ecuaciones siguientes,correspondientes a las proyecciones !!Obre los ejes x e y indicados en la figura:

P2V~ COS 30 A = -Fr - (P2 - POI) COS 30 A,

-PI v~A + P2V~ c0060 A:::: -FlI + (PI - Po,lA - (P2 - P.,) cos 60 A,siendo Pr y FII las componentes de la fuerza que se ejen:e sobre el tubo. ObservClil;que a. las presiones absolulas:se lel ha restado la presin atmosfrica para tener encuenta 13$ fuer~as de superficie que se ejercen sobre la superficie exterior del tubo l .Sustituyendo valores se obtiene F~:::: -5,23 N Y FlI :::: 21,61 N.

1E61.O SO:: explica con mayor detalle en la nola a pie de "si"" del Problema 5.6.

5. ECUACIONES DE CONSERVACIN EN FORMA INTEGRAL 47

Problema 5.3Una turbina hidr.ulica funciona. bajo un salto neto H" = 80 m con unrendimiento hidrulico I}h = 0,91. Calcular el incremento de temperaturaque experimenta el agua a travs de la turbina. (Calor especfico del aguac= 1 calg- l K-l.)

Solucin:

La. ecuacin (A.6.2) permite obt.ener el incremento de temperatura del fluido a travsde una. m

48

Problema 5.4


El aire experimenta en un compresor un proceso de compresin isentrpico yadiabtico, siendo las condicion~ a la cntraclapl = 1 kg/crn~, 1)1 = 40 mis yTI = 300 K. Si el compresor descarga en un recinto donde existe una. presinP'.I = 8 kg/cm 2, calcular la vclocidul y la temperatura ala. salida suponiendoque las secciones de entrada y salida ticnen reas iguales. Sabiendo que elgasto msico es de 0,1 kgjs, determinar la potencia del compresor y el reade las secciones de entrada y salida.

Solucin:Al poder considerarse isentrpico el proceso que sufre el aire a travs del compresor,se cumple

de dOJldc >;c obtiene

9,8)( 10~ (8)1/1.4 = 5 027 kg/m3.(287)(300) ,

La temperatura a la ~alida se calcula mediante III ~uacilL de estado:~

T = p~ = (8)(9,8 x W) = 543 4 K.2 RP7. (281)(5,021) ,

Aplicando la ecuacin (A.l.3) de conservaGn de la m3lia, al ser gualCl> 13li rc3lide las secciones de entrada y salida, se obtiene

de donde resulta ~ = 9,057 mIs.

30bserve"" que. mientras que 1.. p...",i" en la seccin de .alida del compre:;or se 1111tornado igual a la prc~iH existcll(.(: en el recinto de dcso:arga (la presin en el recinto"impun.," la presin en la sc

5. ECUACIONES DE CONSERVACIN EN PORMA INTEGRAL 49

La polencia comunicada por el oompreoot &1 nuido se calcula m~ante la ecua-dD (A.6 1) de conservacin de la energa, t.eniendo en cuenta que Q =O:~

. [ " "]W=G e,.(n-T,)+ 1; ,= 0,1 [ll:lO4,5(543,1- 300) + (9,057):- (40)1] =24,377 kW.

Por otra parle,

de donde 9C obtiene

A 0,1 2196 10-' ,= (5,027)(9,057) =, x m .

'En general, el ~rmino correren b. ecuacin (A.6.1) e~ mucho 'llcnor que el debido a la "ari&cin de enl..Jplll,como OCUI'n! ~ ale problema.

50

Problema 5.5


El mbolo 1, de dimetro DI = 10 cm, puede deslizar sin rozamiento en elinterior del cilindro 2; ste, a su vez, acta como un mbolo (de dimetroD2 = 15 cm) deslizndose sin ro:tamicnto en el interior del cilindro 3. Elconjunto esta dispuesto con el eje en posicin vertical (como se indica en lafigura, con el embolo 1 en la parte inferior), siendo los peso6 de 105 mbol061 y 2 de 80 y 160 N, respectivamente (en el peso del mbolo 1 se incluyeel peso del deflector que tiene en la parte inferior).

(No o. cS(:I).Jo.)

5. ECUACIONES DE CONSERVACiN EN FORMA INTeGRAL 51

En el interior de los cilindros 2 y 3 estn contenidas una. masiLS de airem2 =

52 PROBLBMAS DE MECNICA DE FLUIDOS

sustituyendo vlllores, de esta ecuac~n se obtiene h2 =0,0443 111.Estllbleeiendo ahora el equilibrio de rucru.s que adan IObre el embolo 1, resulta

y sustituyendo valores, se obtiene

de la ecuacin de estado, resulta

'" --';","'---KF=P2= D2,-' h,4

y sustituyendo valores &e delA:rmina finalmente h, = 0,0479 m.

b) Aplicando III ecuacin (A.1.8) de conservacin de la cantidad de movimientoal volumen de control limita.c!o por la superficie libre del chorro. 1" superficie deldeHeclor en contac;to con el agua y 1M !leCCiones A-A' Y 6-8', que en este caso sereduce a pi l7(vn)dS=-F,

"-,t',8-8'

se o!Jliene

-p.: '~~ -{~ .) '.~15''' =-F"de donde relIulla, sustituyendo valores, F. = 214,28 N.

el De la condicin de equilibrio en el mbolo 1,

o'(P.r - 14) "" -f = 80 - F. = -134,28,se determina, .Ultiluyendo valOte!l, P = 115098 N/m2.

Al ;er isentrpica la evolucin del aire en el inlerior del cilindro 2, puede es-cribirse

'" - ,,; h' - Jh"-:1-7=-1'2 I-nl'p; f'2 1

de donde se ob~iene h~ = 0,0395 m.Alllogamell~e, es~ablcciendo el equilibrio del coujun~o rormado Ix.r 10l> ",bolos

1 y 2,

(Pa. - pi) ~ ~~ =160 + 80 - F. =25,72,


se determina P:J = 96544 N/ml .Al ser tambin iscntrpica la evolucI6n del alre en el cilindro 3,

de donde rCflulla h1= 0,04025 m.


Problema 5.6El depsito de la figura est abierto a. la atmsfera y contiene dos capasde agua y aceite (densidad del aceite PAr: = 800 kg/m3 ), con los C5pcsoresindicados. El depsito se vada a. la atmsfera a. travs de una. r~ra. deanchura ho = 14 cm, situada (1n el fondo, pudiendo suponerse el procesoquasi-estacionario al ser el depsito de gra.ndes dimensiones. El chorro deagua. saliente incide $Obre un deflector y es dl'Sviado segn se indica. en lafigura. El problema. se considera.r bidimensiona.l. Calcular:

egua 0.5 m'-_-,. .A:'-__-'--'_T

a) Velocidad de salida delagua del depsito. Des..prciensc los efectos de vis-cosidiLd.

Al incidir sobre el defiector, in-diniLdo un ngulo O" = 60", elchorro se divide en dos chorrosde espesores h'l y h3. Sufi-cientemente lej06 de la zona deincidencia (secciones 1-1 '. 2_2'Y 3-3'), y en toda la superfi.cie de separacin agua-aire, sesupondr. que la presin es la. at-mosfrica. Se seguir.n despr-ciando 1M fuerzas viscosas y sedcspn.'Ciarn, iLdems, en los

0.5 m

b) Anchura h l y velocidadVI del chorro a una al-tura H = 4 III por debajodel fondo del depsito, in-mediatamente a.ntes de in-cidir sobre el deflector.Oesprcciense los cfeclotl

.5. eCUAClONES DE CONSERVACIN EN FORMA INTEGRA/~ 55

siguit!ntes apartados, [as fuCrzM gravitatoria:s.

c) Demostrar que U1 = ti;] = tll, siendo V, y ti;] 1M velocidades en lassecciones 2-2' y 3-3', respectivamente.

d) Aplicando [as ecuaciones de conscrvad6n de la masa y de la cantidadde movimiento en direccin paralela al deflector al volumen de controllimitado por la paroo del dcflcctor, la superficie de separacin agua--aire y las secciones 1-1',2-2' Y 3-3', y tenicndo en cuenLa que no seejerce fuerza de rozamiento sobre la pared del deflector, determinar 108e3pe&>re:5 h2 y h:.

el Calcular la fuerza por unidad de anchura que ejerce e[ agua sobre eldeflector.

Solucin:

al Suponiendo el proceso es~a.cionario y aplicando la ecuacin (A.1.l6) de COIllJer+vadn de la energfa mecnicll en~re 1011 punlOiS A y B (despreciando efectos deviKQlljidad y teniendo en cuenta que, obvllllllente, lJ.H =O),

[p .' ] [p .' ]-+-+'l = -+-+. ,P.g 2g R P.g 2g "Y teniendo en cuenta que 0B =O (depllllo de grande3 dimenllione3), p"PB =pug('lc - 'lB) (ecuacin de la fluidOllLtica), l"C5ult...

15.6.1):: O y

(5.6'1

b) Suponiendo el flujo estacionario y aplicando la ecuacin (A.1.I6) de conser-vacin de la energa mccallica entre A y 11' (desp~iando efectos de viscosidad yteniendo en cuenta que lJ.Jl :: O,

[....!!.....+ V2 +:] =[..E.... + 02 +:] ,

p.g2g" Pd29 1Y teniendo en cuenta que P" =PI :: O, resulta

15.6.3)

VI =jv~ + 29(:" - :1) =9,8 mIs. (5.6.4)Mediante la ecuacin de conservacin de la ma;a (dCl;pr(:(;iando 10ll efec~os decon~raccin del chorro a la salida del depsito),


se obtIene h, =0,06 m.

e) Al suponerse despreciables los efl!Cto& de Vl5OOl>idad, puede elJCTlbll'1Je

(565)

[ p.' ]-+-+-P.g2g~1 (566)Si no !le tienen en cuenLa las fuen:u &TaVllaloria:s, !le pueden despreciar las

diferencia!l de ootosteriorrnente cancelada por el estatar,de forma que, corno ya se ha indicado, en la soccin 2 la velocidadslo tiene componente axial. Aplicando la ecuacin de conservaci6ndel momento cintico, suponiendo

5. ECUACIONES DE CONSERVACIN EN FORMA INTEGRAr" 61

c) Se aplicar la ecuacin (A.I.7) de conservan de la cantidad de movimien~oal volumen de con~ro1limi~a.do por la.:;; seccione de entrada y salida y la!:I paredesinteriores del comprelSor en contacto con ., flllido. El t.rmino [1 Jse considerar nuloa ]le.~ar de que el flujo en el compresor, debido al movimiento del rotor, no puede serestacionario. Esto es admisible ya que, en valor medio. la cantidad de movimientoen el volumen de control permanecer const

62 PROBI,EMAS DE; MECNiCA DE FLUIDOS

fl Se aplicar la ecuacin (A.l.ll) de conservacin del momento cintico a unvolum

5. ECUACIONES DE CONSERVACiN EN FORMA INTEGRAL 63

Problema 5.8La plataforma mvil de la figura., con un peso total (incluido el depsito quetransporta) de 15000 N, se desplaza. sobre dos carriles horizontales situadossobre un canal de .gua. En la parte anterior de la plataforma existe undellcctor de anchura b = 0,2 m, cuyo extremo inferior puede sumergirse en elagua del canal a una profundidad variable h. El deflC('.tor acta, por tallto,como freno hidrodinmico, rl'Cogiendo una lmina de a;ua de espesor h quees desviada como se indica en la figura. de manera que la velocidad delagua. relativa al dellcctor, a la salida de ste, forma un ngulo de 30 con lahorizontal. La fuerza de frenado depende de la velocidad de la plataforma yde la ac;e1eracinj :;in emhargo, se supondr., en primera aproximacin, que:;lo depende de la. velocidad en cada. insta.nte (lo que equiva.le a. suponer queel flujo es quasi-estacionario en cualquier instante).

r ('urc

".--

h

H

A

---~--L _- - __

"

J

.-===---~.._--~--~--====---~.-- - -.--------- - - --------

Supngase que en el instante t = O en que se acciona. el freno (sumer-giendo el detlcc.tor una profundidad h), la plataforma se de.

64 PROBLEMAS DE MeCNICA lJE FLUIDOS

a) Determinar, en funcin de h, la fuerzil. que se ejerce sobre el deflector enel instante inicial. Se supondrn despreciables las prdidas por fricciny las fuerzas msicOlS.

b) Si se mantiene un valor constante de h = 4 cm. determinar la ocuadnque describe el movimiento de la plataforma y caJcular la deceleracinque se produce en el instante inicial. Se despreciar.n (llenas de frenadodistintas de la producida por el dcfleclor.

e) Debido a efectos de viscosidad, en el instante t = 0, c:uiLnclo h = 4 cm,se disipa en realidad una potencia de 4 kW en el fluido que circulasobre el deftectOf_ Calcular, en dicho instante inicial, suponiendo queno hay adicin externa de calor, la velocidad del agua a la salida deldeflector. el alpesoT de la l.mina de agua en la seccin de salida deldeflector, la fuerza de frenado y el incremento de temperatura que seproduce en el agua al circular sobre el deflector.

El depsito situado sobre la. plataforma tiene forma de cu bo con longitudde arista L = 1 m. En la posicin indicada en la figura, tiene acoplado untubo de altura H = 1 m, cerrado en su extremo. El depsito est. abiertoa la atmllfera. mediante un pequeo orificio situado en el punto A. En elinstante en que se acciona el freno (situacin representada. en la figura), eldepsito est lleno de agua y el tubo contiene aire a la presin atmosfrica'P.I = 1 kgJcm2

d) Si la deceleracin iniciaJ que se produce aJ accionar el freno fuese diezveces la calculada en el apartado b), y se mantiene constante en ins-tantes posteriores (aumentando progresivamente h durante el procesode frenado e invirtiendo finalmente el sentido de marcha), determinarla altura que alcanzara el agua en el tubo acoplado al depsito ensitua,;;in de equilibrio esttico. Se supondr. que el aire sufre un pro-ceso de compresin isotermo y que el volumen del tubo e'l despreciablefrente al volumen del depsito. Indicar cmo se resolvera el problemasi el proceso de compresin fuese iscntrpico.

Solucin:al AIl;Cr el flujo quasi-estacionario e incornprCJliblc y ser despre


y 2 indicadu en la. fir;ura:, ,

PI 111 po 112- + - + gZI = - + - + gZl.P 2 p 2

DesprecillUUO los ereclos ele IIIS fuerzas ml.llic811 y considerando que PI = P1 =JOhse obliene tll = 112 = ti( =50 m/s. 7

Para calcular la fuerza sobre el delle


La. aceleracin en el imtante imoal, d2z jdt21o =24,41 mIs', puede obtenersede la ecuacin (5.8.3), haciendo dz/dt = VO'

e) La velocid3d del agua itla. salida del deftector se caJcula en cate CallO aplicandol. ecuacin (A 1.16) .ll mismo volumen de control de&:rito iilIItenormente, lAmiendoen cuenta que no se reaJin trabajo 80bre el fluido, que PI = 1'2. Yque 1011 efectos dela.s fllenas ffiasicM son despreciablea;

de donde se obtiene v, = 49,8 m/.El e8peeot h, de la lmma de agua en la seccin de salida del deflecLor se cakula

mediante la ecuacin de conservacin de la masa:

"h, =h l - =0,0402 m.

"Comprubese qu" la. fuerza de frenado en el in~tantc inicial (que, recurdese, es

el considerado en elite apartado) C8 en Clltc ClLlKl

Comprcsc este resultado con el que se obtiene de la ecuacin (&.8.1) para h -0,04 m.

El incremento de temperatura se obtiene a partir de la ecuacin (A 1 18).

'T= ~~


Problema 5.9El tubo acodado de la figura. atraviesa una pared que separa d05 recintosen 105 que el Buido est en rcpoeo y en 105 que existen diferentes presionesambiente: J).I = 1 kgfcm2 en el recinto superior y P.2 = 0,8 kg/cm2 en elinferior.

1"

~

j P" ,

-

,

PaZ

\.

Por el interior del tubo circula un fluido que es descargado en el recintoinferior. Se quiere analizar el tramo de tubo representado en la figura, esdecir, desde una seccin 1, de rea Al = 30 cm', en la que PI = 1,2 kgjm3 ,PI = 0,95 kgJcm2 y VI = 50 m/5, hasta la seccin 2 de descarga, de reaA, = 20 cm', en la que lJ2 = 100 10/5. La seccin del tramo de wbo queatraviesa la pared es de .rea A = 25 cm2. Se considerar el movimientoestacionario, se supondrn uniformcs las condiciones del flujo en la:; seccionesde entrada y de salida del tubo, y se despreciarn las fuerz:u msicas.

Ca.lcular la. densidad P2 en la lICf.:cin de salida. y la fuer7.a total que seejerce sobre el conducto (debida tanto al fluido que circula por su interiorcomo al fluido en contacto con las pa.redes exteriores del conducto).

68

Solucin:


Aplicando la ecllu;iIl (A.J.3) al valume" de oontrollimitado por las se.::cione& decIlLrllda y ~alida y la superficie interior del conducto, resulta

-Plv1A 1+p~v2A2=O,

de dOllde He obtiene P'J = 0,9 kg/cm2.Al no existir una prCllin uniforme sobre la superficie exterior del conducto. se

va a aplicar en primer lugar. con objeto de determinar la filen;!. de superficie quecjen::e sobre el Gondudo d fluido que ,:irc.ula por su interior, la ecuacin (A.I.S) almismo volumen de conuol que se acaba de describir, utilizando presiones absolutasal calcular el trmino [3). A contilluacin se sumar a la fuerza obtenida la que seejerce sobre la superficie exterior del conducto, I.,os trminos [IJ y [4J de la ecuacin(A.l.S), de acuerdo con lo indicado en el enunc;iado, son nulm. L; ecll;cin (A.I.8)proyec;tada en direu;in horiwntal (~ntido po",itivo hada la derecha) resulta

-p v~Al + Plv~Al = pA - p-J A1 - }"'ri,siendo F~, la componente horizontal de la fuerza que ejerce sobre el conducto elfluido que circula por su interior. Es obvio que la componente verlica.l de dichafuerza es nula, l;~; =O.

La componente horizontal de la fuerza que se ejerce sobre la superficie exteriordel .-",,,dudo el; opuestas entre s, someti-das l;n su cara cl(lerior a prc.'!ion(c~ diferente",.

Las componentes de la fuerza total que se pide en el enunciado, teniendo encuenta que 1'2 = PoZ,8 son

f"'r = F.E.i + Fu - PI v~ Al - P2v~A2 + {p - PodA,_ (1,2)(50)2(30 x 10-4 ) _ (0,9)(100)2(20 X 10- 1 )

+(0,95- 1)(9,8)( 104)(30)( 10-1 ) =-19 N,,

FIJ = (P2: - Po' lA =(O,8 - 1)(9,8 x 101 )(25 x 10-1 ) =-2),7 N._''''' U,

"Oe nUeVO en este caso se utili-u la condici6n

5. BCUAClONPS DE CONSERVACiN BN FORMA INTeGRAl. 69

Para el caso en que P~l =Pa2 (presin sobre la superficie exterior del conductouniforme), observese que hubiese baslado con aplicar la eo::uacin (A.l.8) utilizandopresiones manomtricas en ellrmino {31, como se ha hecho en otros problemas.

70

Problema 5.10

PROBLEMAS DE MECNICA DE PLUIDOS

A travs del tubo de la figura se descarga a la atmsfera un chorro de agua.A la salida del tubo (seccin 1) la distribucin de velocidades es parablica:

,

-

I I I Ilapl.~ II I II I I II I 1

II

I I I II I

lJ-rt,-fJ-

llire

siendo r la distancia al eje, Vo = 2 mis la ve-locidad en el eje y R =: 0,5 mm el radio deltubo. Aguas abajo de la seccin 1, debidoa que la viscosidad del aire es muy p!.'queafrente a la del agua, la tensin cortante enla supercie de separacin aire-agua es des-preciable, y el perfil de velocidades tiende ahacerse uniforme, de forma que en la se


Solucin:

a) Se utilizar... un volumen de control fijo, limitado por las secciones 1 y 2 Y por lasuperficie de 5Cparu;in

72 PROBtEMA$ DL'; MeCNICA DE FLUIDOS

superficie de separacin aire-agua, este sumando se reduce a Is.+s. pn' vdS, quees igual a

!jo ECUACIONES DE CONSERVACIN EN FORMA INTEGRAL 73

I::~roblema 5.11El depsito superior de la. figura. contiene agua h;u;ta. una. altura HA = 2 10Y aire a. una. presin manomtrica de 0,2 kgjcm 2 , y se descarga a. tra.v~sde dos tuberas, ambas de dimetro D = ID cm, en la.'! que se supondrndespreciables las prdidas de carga, una de e11;u; com.."Ctada. al fondo deldepsito y la otra. en un plinto situado a una altura H = 1 m por debajo

aireH,

r ~ r,11, Ho, agua D 11,

-iIL D -D -H,

,

t H,~

de la superficie libre del agua.. El agua se transvasa a un depsito inferior,en el que la superficie libre del agua se encuentra a una altura Hu = 2 m pordebajo de la. superficie libre del agua en el depsito superior y a una. altura!lB = 3!lL sobre el fondo del depsito. Una de las tuberas descarga sobre lasuperficie lihre del agua en el depsito inferior y la otra en un punto situado

71 PROBLEMAS DE MECNICA DE FLUfOO$

a. una. profundidad /12 _ 2 m. El depsito inferior l. su vez se descarga l.travs de los dos orificiu'l indicados en la figura.. El orificio superior, situadoa una profundidad H:J = 1 m, es de forma circular de dimetro D = 10 cm,yel inferior, de forma re

5. ';;CUACIONES DE CONSERVACiN EN FORMA INTEGRAL 75

Solud6n:

al VA = 5,2 X 10-3 mIs (hacIa i\baJo) 118 = 1,05 X 10-3 mIs (hacJa arriba). Seha 8UpuesUl flujo ideal y qU1l5i-e1~acionarlo.

h) Fr =1382 N; J". =-735947 N (eje : horiconLa.l, sentIdo positivo hacia laderecha, eje z Yer~icat hacia arriba).

el l/Il = 0,'13 mj J = 6,Sro.d)

F. -,("0- ~)2 hosena",.

_ -1 000 (8 - sen2:w ) 2 (0,03) sen JO"_ -240 N/m.

76

Problema 5.12

PROBLEMAS DE MeCNICA fJB FLUIDOS

En la figura se repr~nta. un sistema de tuberas por el que circula un fluidode densidad p = 800 kgjm3 . El fluido entra a travs de las S(.'Ccion~ 1 y 2,Yse descarga a la atm5fcra a travtl de la seccin 3. Todos los tramos detubera son de seccin circular de diamctro D = 5 cm.

1m

h

Se supondr que en las secciones 1, 2 Y3 el perfil de vclocid


Solucin:

a) PI =37632 N/m'; 1>'1 =41 395 N/m'.b) tI... = 2,037 mIs; 11... 2 = 3,056 m/s; tI...s = 5,093 m/tl.c) F~ = 126,9 N; F. = ~152,3 N (eje r en direccin horiwntal hacia la derecha;

eJe.: en direccin verticaJ).

78

Problema 5.13

PRORLEMAS DE MECNICA DE FLUIDOS

El vehculo de colchn de aire de la figura toma aire del exterior medianteuna soplante situada. en la. parte superior. El aire es introducido en un


b) Presin manomtrica PI en la c.mara de sustentacin.e) Potencia. consumida. por la. soplante si su rendimiento es 11 = 0,65.d) Potencia disipada. y variacin de temperatura en el aire al pasar a

travs de la ranura. (Calor e51>l..'Clko del aire a presin constante:e,. = 1004 J kg- l K-l.)

Solucin:a) Aplicando la ecuacin (A.1.3) de conscrvacin de la masa al volumen de controlconstituido por la cmara de sustentacin, se deduce que el gasto msico a travsde la soplllllt.e es

G = Pll.KDh = (1,22)(4.8)K(6)(0,004) =4,42 kg/I.

b) L.a fuerza resultante que ejerce el aire sobre las sUl'crficiCll AB y El-' de laligura siguiente el! obviamente vertical e igual a

FlI'(LP - oP)

.1 =PI 4. (5.13.1)

(PI es presin manomtrica, y se prc$CinJe por tanto de la contribucin de la presina~mosfrica, como se ha hecho en otros problemas en los que ta/llbin esto I"raposible).

---

Sobre 1M superficies AC y DF de la figura la presin mallomtrica es nula, porlo que la contribucin a. la fuena resultante lIObre el cuerpo dd vehculo (si 6:lta secalcula. operando siemprl" con presiones mllllo~lricN, como se est haciendo) sera.nula.

80 PROm,EMAS DE MI:;CNfCA VF: FLUIlJOS

Para determinar [" fuerza que se CjCT;C sobre el wcrpo del vehculo a traves de1M :;upcrfkics en y DE de 1... figura y " travs del soporte que une la soplanlc alvehculo, se aplicar la ecuacin (A.l.8)


d} De la ecuacin (A.1.16), teniendo en cuenta la ecuacin (A. L 17) Yque .H =0, se deduce que la potencia disipada en la ranura es (puntos 1 y 2 dentro y fuerade la dmara. de sust.entacin, respectivamente)

$ =G(E.!.._!V~)=442 [1167 _(48)~]=1310W~ ~., 122 2 .P ,L.a variacin de temperatura que experimenta. el aire al p3l>ar a ~ravll de la

ranura puede determinarse mediante la ecuacin (A.6.l), teniendo en cuenta que nose ejerce trabajo l;Obre el fluido ni se intercambia calor:

de donde resulta9(48)~ oT~-TI = -(2)(1004) =-1,15 C.

Cornprubeso: que etll.e retlultado lle Qbtiene ~ambjn 11 pMtir de la ecuacin de CQnservacin dc la entmpia (la ecuacin (A.Z.7) ClI la cQITelIp

82

Problema 5.14

PROBI.BMAS DE MECNICA DE FLUIDOS

El cilindro inferior de la figura, de seccin horizonta.! de rea Al = 10-2 m2y cerrado por la parte superior mediante un embolo, contiene, en el instanteinicial (condiciones denotadas con el subndice i), agua h:wta. una altura.H lI = 10 cm, y aife a una presin manomtrica 11'11 = 104 Pa. (presinatmo.sfrica, P~l = L05 Pa) y una. temperatura de 288 K. En dicho instanteinidal, la altura de la ba.:;c del mbolo sobre el fondo del cilindro es H2i =Uf1i. El cilindro superior, de seccin horizontal de rea A 3 = 5 x 10-:) m2,tiene acoplado un mbolo, solidario con el del cilindro inferior, que en elinstante inicial Sf! halla introducido hasta. el fondo del cilindro (}{3i = O).Se supondr. que existe una perfecta est.anqueidad entre cilindr06 y mbolos.Los extremos de ambos cilindros, entre los que existe una. diferencia de alturaJi = 1 m, estan conectados media.nte un tubo que, en el instante inicial, estcompletamente lleno de agua.

Supngase en primcr lugar que, a partir del instante inicial, los mbolosse mueven con IIna. velocidad hacia abajo de 2 mis.

a) Calcular la velocidad a la que desciende la superficie libre del agua.en el cilindro inferior. (Tngase en cuenta que el cilindro superior nocontiene aire.)

b) Calcular la derivada con rcspCf.:to al tiempo, en el insta.nte inicial, dela densidad del aire en el cilindro inferior.

c) Repetir el apartado anterior suponiendo que existe en el cilindro infe-rior una fuga de aire constanl.c de 0,01 kgJs.

Supngase a continuacin que, a partir de la misma situacin inicialantes descrita, se deja deslizar libremente el conjunto de los mbolos sobrelos cilindros hasta que se alcance una situacin de equilibrio esttico. Elconjunto formado por los mbolos y su acoplamiento tiene un peso de 392 N.Se dl'Spreciar el rozamiento entre mbolos y cilindros. Se supondr. que elaire en el cilindro inferior experimenta un proceso isotermo y que no existenfugas.

d) En la mencionada situacin de equilibrio, determinar la prcslOn delaire en el cilindro inferior, P2, las posiciones de los mbolos, lf2 y H3 ,Y la presin (lile actua sobre el ~mbolo superior, p:t.


LY-I

"

lI.re

Solucin:

1

1I", ,- -:-: --:---:-:-: :-: ------ --:-:-:-:-:-

1l :-:-J~i~'-I:-:-:-:-:-:-:-:-:-:---:-:-Il, :::_-_-_-_-_ "~:~::--::::~::~:::-::::-::::-::::::-:-:-::::1::::::::::::::::: _I

a) I mIs.(Conservaci6n de volumen de agua, teniendo en cuenta que A2 = 2A:d


b) 13,3 kgm-3 s- 1 .[Este rellultado se obtiene aplicando la ecua.;in (A.1.2) de conservacin dela masa referida al volumen de control variable que coincide con el volumenocupado por el aire en el lindro inferior. Al ser nulo el trmino [2], dichae

,5. ECUACIONES DE CONSERVACiN EN FORMA INTEGRAL 85

Problema 5.15En la. figura se representa un Lramo de tubera acodado, acoplado mediantejuntas que evitan la transmisin de fuerzas hacia el resto de la tubera atravs de las secciones I y 2, Ysolidario con un soporte vertical fijo al suelo.Las dimensiones indicadas en la figura son L = 30 cm y H = 60 cm. Eldimetro de la li(!(;:cin transversal se reduce desde DI = 15 cm en la seccin1 hasta D] = 10 cm en la seccin 2. A travs de la tubera cin:ula un caudalde agua Q = 56 lis. Las presiones manomtricas en las secciones 1 y 2 son,respectivamente, PI = 140 kPa y P2 = 100 kPa. Se supondr en los dosprimeros apartados que la velocidad del agua es uniforme en las secciones 1y 2.

Dcl.erminar:

a) Fuerza y momento resultantes que se transmiten a lrav$ de la $C(;dn3 del soporte.

b) Potencia disipada en el agua entre las secciones 1 y 2.e) Repetir el apartado b) suponiendo que el agua entra con velocidad

uniforme en la r:;ecein 1 y que en la seccin 2 el perfil de velocidadeses el siguiente;

86 PROBLEMAS DE MECNICA DE: FLUIDOS

(0,-',)u = Ue 0,2 D) 1 0,4 O2 < r :$ 0,5021siendo r la coordenada radial y Ve una constante.

Solucin:

al F", =3836 N; Mil =2302 Nm; M, =-440 Nm. (El eje z es vertical, 0011sentido positivo h;u:ia arriba; el eje ;r es horiwlltal y contenido en el planodel papel, con sentido po.~ilivo hacia la dereo-;ha; el sentido positivo del eje 11

e~ hacia el interior del papeL)b) 1098 w.

(Aplquese la ecuacin (A.l 16) de conservacin de la energa mecanica con.JJ = O.]

el 603,6 W.(En este caso es necesario calcular la integral del termino [2J de la ccuadn(A.l.15) de conserva(:in de la energa mecnica para evaluar la energa

.5. ECUACIONES DE CONSERVACiN EN FORMA INTEGRAL 87

Problema 5.16A tra.vs de la seccin 1 de la instalacin de la figura circula un gasto msicode aire Gl = 0,03 kgfs. t-;J aire se co/l:>iderar incompresible, con densidadp = 1,2 kgfm3. La tubera, de dimetro D = 4 cm y longitud L = 1 m, esde pared porosa, a travs de la cual se inyecta uniformemente a lo largo detoda la longitud L un gasto msico total de aire el = 0,04 kgJs. Aunquela inyeccin de aire se hace radia.lmente, 5up6ngase que en cada seccintransversal de la tubera la velocidad slo tiene componente longitudina.l y elflujo es uniforme. En la seccin 2, en la. que existe una presin manomtrica1'2 = -900 Pa., se ha acoplado un difusor cnico, con un semingulo deapertura O' = 150 , que descarga a la atmsfera. A la salida del difusorse supondr. que la velocidad del aire en el casquete esfrico subtendidopor el cono (lnea a. trazos, radio de curvatura R = 16 cm) es uniforme yperpelldicular al casquete en cada punto,

, . L.'

\@ ~R Ic, \ IL 1-.

15 IC,

Determinar:

a) Distribucin de presiones a lo largo de la tubera. Se supondr despre-ciable el rozamiento del aire con la pared. (Aplquense las ecuacionesde conservacin de la masa. y de la cantidad de movimiento entre laseccin I y una seccin genrica.)

b) Fuerza. que ejerce el aire sobre el difusor.


Solucin:

al Aplicando la ecuacin (A.1.3) de conservacin de la masa al volumen de controllimitado por la sox:c:i6n 1 (:l: =O), una sc

5. ECUACIONES DE CONSERVACIN EN fORMA INTEGRAl.. 89

(sieudo F% la. fuerza sobre el difusor), de donde resulta

Introduciendo en CllLa ecuacin \... clIl'resin de v, de la. ecua.ci6n (5.16.'1) y susti-tuyendo valores, se obtiene finalmente

(01 +02)2p1TD2/4

(0,07)21,2 11'(0,04)2/41,39 N.


Problema 5.17Un lquido de densidad p fluye sobre una cara de una placa plana, como seiudica en la figura. En la sclult.adc.> que 8e oblienen en ""le problema.

-pUh+m.+p { U~dy=O,Jo h

---;-;-:-:--,-------,-------,-------,-----

5. ECUACJONES DE CONSERVACIN EN FORMA INTEGRAL 91

siendo m, el Bujo msico saliente a havll de BC. De la ecuacin anterior resulla

(S.I7.I)

(5.17.2)

b) Ob6rvese que, al existir un 8uJo m&.loo a traves de BC, la velocidad en dichocontorno, adem de una componente U segn ~ (Iin perturbar por la presencia dela placa), debe lener una componente lIBC, con una cierta distribuCin sobre BC.Aplicando la ecuacin (A.I.Il), de conservacin de la cantid.ad de movimiento segn~ a! mismo volumen de control de la figura, limitado por la superfiCIe de conlrolABCO, teniendo en cuenla que la presIn el! uniforme, se obtiene

_pU 2h+pf UIIBcd~+pf~(u*fdY=-F,.,Jue Josiendo f'" la componente segln r de la fuer~a por unidad de anchura que iC ejerce!;Obre la placa. Teniendo en cuenta en elllegundo trmino de 1", ecuacin (5.17.2)q",

p f lIBC d;: = ,n,iBe(obsrvese que no ha sido necesario collocer la distribucin de lIBC), Y~UlItiLuyendoel resultado de la ecuacin (5.17.1), de la ecuacin (5.11.2) se obtiene finalmente

pU'hF,. =~.

Obviamente, no es rea.li~la la diJIlrlbuCln linea! de velocidad supuesta en lasco;:in CD, aunque los resultad08 obtenid08 podran ser en cima medida orico-latiVOl. Com~n&e dichos resultados con 1011 que se obtienen pal"a la capa lmitelamina: sobre una placa plana.

Captulo 6

Anlisis dimensional

Problema 6.1Para la situa.cin planteada en el Problema 1.3, demostrar que el anlisisdimensional permite obtener una. expresin para el pa.r de giro que induyela obtenida analticamente en dicho problema.

Solucin:

El par de giro M es funegllir un pro-cedimiento ms ~istemitico,exprtlSando los parmetros adimensionaJes de la formasiguiente:

nI = MnBJ~ve,n2 = hndJ.lcDI,

e imponiendo la condici6n de que n y n2 sean adimensionales:MOL0'f'l = (ML2T-2)(r-I)B{ML-lT-1)b(L)C,

MOLoTo = (L)(T-1)d{M L-Ir 1)0 (1.)/.De \a e


de donde resulta a = _1, ~ = _1, (= -3. El primer parallll'!tro adlmen!'lOna.l es,por tanto,

De la ccui\cin (6.1.2) se obtiene

o-

,

O = I-r:+!O

--d- t,

de donde resulla d = 0, t = 0, I =-1. EllleSundo parmetro adimensiono1l cs, portanto,

La cxpre

6. ANLISIS DIMENSIONAL

Problema 6.2

95

Un depsito cilndrico de grandes dimensiones contiene un lquido de densi-dad p Y viscosidad 11 sometido a. la. accin de la. gra.vedad, .q _Sobre la. su perfi-cie lihre del lquido, situada a una altura h sobre el fondo del depsito, existeuna presin ma.nomtrica t!.p. El lquido se descarga a la. atmsfera a. travsde un tubo horizontal de dimetro d, longitud L y rugosidad absoluta ,conectado al fondo del depsito. Considrese el problema quasi-estacionario.

a) Mediante anlisis dimensional, simplificar la dependencia funcional delcaudal de descarga, Q, con los parmetros mencionados. Explicar elsignificado fsico de los nmeros adimcnsionalcs obtenidos.

b) Indicar cmo se modifican los resultados !ji p = O, los efectos de laviscosidad son despreciables y L = O (no existe tubera., tan slo unorificio de dimetro d).

Solucin:

a) Justifquese que el rnrnero de parmetros adimensionales que intervienen en elproblema es de seis, y que la dependeneia funciona! hUllClL

96 PROBLEMAS DE MJ::CN1CA DE FLUIDOS

(6.2.3)que deberan ser resucItas con las condiciones de contorno apropiadas:

En la superficie libre dcllquido, situada a una altura h, la presin manom-trica e.~ t::.p.

En las paredes de la tubera (definidas geomtricamente por el dji.metro de latubera, d, su longitud, L, y Sil rugosidad absoluta, !), se impone la condicinde no deslizamiento y de velocidad normal a la pared nula. (En el depOsito, alser de grandes dimensiones, puede suponerse que el fluido esta en reposo, y lacondicin de contorno en la pared no tiene apenas influencia en la soluci611.)

En la set:cin de salida de la tubera (definida geomtricamente por d y por ladistancia, L, a la que se encuentra desde el depsito), la presin manomtricae3 nula.

Como puede observarse, en el conjunto de ecuaciones y condiciones de contornoaparecen los siguientes parmetros: t::..p, 9, p, ~, 11, d, L Y t. La solucin (distribu-ciones de velocidad y presin en todo el campo f1uido)l va a depender, por tanto, deellos. Una magnitud como el caudal, Q, que se obtiene integrando la di6tribucinde velocidad en una seccin de la tubera, por ejemplo, depender tam[,jn, portanto, de dichos parmetros. Compru[,ese que los parmetros adimensionales queaparecen al adimensionalizar las ecuaciOIlCl> y las I,;ondicioncs de wntorno son 108de la ecuacin (6.2.1).

b) Si se supone ahora que t::..p = 0, obviamente t::..p deja de intervenir trminos, por lo que desaparecede ella. La solucin no depender entonces de 111. viscOl5idad. Los parmetr08 queaparecen en las correspondientes ecuaciones y condiciones de contorno sern, portanto: p, g, d Y 11 (evidentemente, tampoco intervienen ahora L y t). El caudalviene entonces dado por la siguiente funcin:

Q = I(g, p, d, h). (6.2.4)La ecuacin (6.2.4) relaciona cinco magnitudes dimensionales, y en ella intervienentres dimensiones fundamentales: M, L Y T. Demul:ltrew. que el nmero de par-metros adimensionales que pueden formarse es igual a dos. Si se toman las mag-nitude; p, 9 y d para adimensionalizar las dos restantes, se obtienen Io.~ nmerooadimensionales

1 Es obvio que no se pretende rewlver IlLS rtullcion"". Sin embM-go, el ...tudio de ~tasy de las correspondicntes condiciones de contOT1\O facilitil cl planl.-eamiellLo correcto de unproblcma de anlisis dimensional.

6. ANALlSlS DIMENSIONAl. 91

en lO!; que, como lle ob5erva, no aparece la densidad, lo que. en reiLIidad, podiahabto;nse anticipado. En efecto, p e. la nica magllltud que contiene la dimensinfundamental M, por lo que 110 puede 5

98

Problema 6.3


La cada de presin en una vlvula, 6p, es funcin de la densidad, p, yla viscosidad, JJ. del fluido que circula a travs de ella, del caudal, Q, ydel tamao de la vlvula, D. Mediante anlisis dimensional, simplificarla dependencia funcional de !:J.p con lo,

6. ANLISIS DIMENSIONAL 99

Si 105 efectos de la vilOO$dad son dominanltll, la funcioD de la ecuacin (6.3 1)se reduce a t!.p = I(J, Q, D) (la densidad, que aparece en el trmino con VeC est!.p[)3,-IQ-I, por lo que la dependencia funcional entre 10ll parme~rOll que inter-vienen el! del lipo

"'po'.JQ = constanteSe observa que en eo>te calO la dependencia enlre t!.p y Q es hneal, y un aumento aldoble del caudal dara lugar a que se duplique 111. cada de presin en la vilvula.

Los d05 lmll.es anlllitMOII corresponden, rellpectiv

100

Problema 6.4

PROIJ/./!:MAS DE MECNICA DE PI,UIDOS

Supngase que la fuerza de empuje, F, y la polencia, W, de una familiade hlices de a.vin geomtricamente semejantes dependen del dimetro dela hlice, D, de la velocidad de giro, n, de la velocidad del avin, V, dela veloddad del sonido2 , a, y de la. densidad, p, y la viscosidad, ~, delaire. Simplificar la dependencia funcional de F y \ti! con los parmetrosmencionados. Explicar el !iignificaclo fsico de los nmeros adimcnsionalcsobtenidos. Discutir brevemente sobre la posibilidad de realizar ensayos deun modelo a ese en cuen~a que, para mantener elnmero del Reynolds en el modelo (dimetro D ms pequeo que el del prototipo),funcionando tambin en aire, sera nccesario aumentar U (y tambin n, para man-umer el mismo valor del primer parmeLro que aparece en la funcin). Dado quela velocidad del sonido en el aire, para una cierta temperatura, COl un dato fijo,el nmero de Mach M = U/a no puede mantenerse igual en amhas condione,de fUJLciolLamien~o de prototipo y modelo (lo cual puede ser aceptable dentro deun cierto rango de M). (Oisctasc tambicn sobre otras posibilidades de encontrarcondiciones de ensayo semejante!; o parcialmente semejan~es.)

2Dado que algunas de las magnitud"" que se mencionan en el e"unciado, fundamental-mente la velocidad del sonido, (1, y la deJ1$idad, p, varan en el campo fluido (se trata deun flujo comptelliblej, l"tSultara necesario especifiear ms el enunciado. J..,.u magnitudes" y p podran ser, por ejemplo, las correspondientes a las condiciones en el infinito (enpuntO$ suficientemente alejad... de 1" U1na de J'f'rturhaci6n introducid.. por la h"li"",).

6. ANLISIS DIMENSIONAL

Problema 6.5

10 I

Un objeto experimenta un movimiento 06Cilatorio aJ caer libremcnte cn elseno de un fluido incompresible. Se supone que la frecuencia, J, de dichomovimiento depende de la densidad del objcto, pI, de la densidad, p, y laviscosidad, p, dcllluido, de la. aceleracin de la. gravedad, g, del tamao delobjeto, D, y de la formal(eomtrica. de ste. Mediante anlisis dimensional,simplificar la dependencia funcionaJ de f con los parmctros mencionados.

Soluci6n:La funcin 1 = I(PI, P, J, g, D), correspondiente a una forma geomLrica del.er-mln.da del objeto, relaciona seis magniLudea dimensionales, y en ella IntervienenLrea dlfnensione fundamentales: M, L YT. Puede comprobarse que l!'\ nmero deparmetros adimensionales que pueden form&nlll!! fS igual a LtelI. SI!' tomacan lastres magnitudCll sigmenk:ll para adimen.!lionaloac liI.!l tres restantes: D, 9 y p. PacaadimenslonalizM 1, puede obse:rvat'Sl!' qUl!' .jg/D tiene dimensionCll de T-I, luego

Para adimcnsionali1.ar /J, se puede Lenl!'r en cuenta que ..(iD tiene dimensiones develocidad (Vr- 1), por lo tlUl!' Jluede ponerse

El tercer parmcLro adimcnsional puede ser, obviamenl.e,

(Pua obl.ener los nmefOll adimensionaiel puede utlhz.a.rse. si se prefiere, el mtodobasado en el produdo de polencias de lu magnitudes dimenSIonales empleado enel Problema 6.1.)

La relacin funcional bUlICada Cll del tipo

102

Problema 6.6

PROBLEMAS DE MECANICA DE FLUIDOS

Supngase que el flujo de calor por unidad de rea, q, transmitido por con-veccin natural entre un fluido y un cuerpo depende, paTa una. configuracingeomtrica determinada, de una diferencia de temperaturas t:.T, de la ace-leracin de la gravedad D, de la longitud caractcrftica del cuerpo /" y de lassiguientes propiedades del f1uido3: viscosidad cinemtica, v, COlldlJl:tividadtrmica, k, difu~ividad trmica4 , a, y coeficiente de expansin trmicas, {J.Mediante anlisis dimensional, simplificar la. dependencia funcional de q conlos parmetros mencionados, teniendo en cuenta que en las t.'Cuacioncs quedescriben el flujo los parmetros {J y 9 aparecen siempre agrupados en elproducto g{3.

Solucin:

~:= F ( 9f3!:J.TL3 ~)kAT /I~' Q .[El parmetro del primer miembro es el nmero de NU88elt, Nu, y los ,ueaparecen en el segundo miembro son los nmeros de Grashof, Gr, y Prandtl,Pro ObserVe&: que se han tomado las siguientes magnitudes6: k, /1, AT Y L,para adimensionali~arq, g{1 y (l.)

3Tambicn cabe hacer aqui 1"" consideraciones de la nota a pie de pagllla del Pm..blema 6.4. Si las propiedades del fluido varian (fundamentalmeme

6. ANLISIS DlMENSIONAI~

Problema 6.7

103

Supngase la situacin hipottica en la que el diametro de ruptura de unagota de lquido en una corriente de gas tan slo dependiese de la tensinsuperficial Iquido-gas y de la velocidad y la densidad del gas. Una I;otade Ull cierto compuesto organico se rompe si tiene un di.metro superior a1,94 x IO-~ m en una corriente de aire de 26 mis, en la. que existe una presinatmosfrica de 106 Pa y una temperatura de SO"C. La tensin superficialentre dicho compuesto y el aire es de 22 dinas/cm. Iftterminar el dimetrode ruptura de una gota de agua en una corriente de aire de 14 mis, en laque cxiste una presin de lOS Pa y una temperatura de 20"C. La tensinsuperficial agua-aire es de 72,8 dinas/cm.

Solucin;

Es muy fcil delllOlltrar que el nmero de Weber,m'dWe=--

(p y u son la dellllidad y la velocidad del gas, d el diametro de ruptura y (1 la l.cnsinl>uperficial Iquido-gas), C:8 el unieo parametro adllnensional que puede form&r3Coon las magnitudes dimensionales que Intervienen en el problema. La dependenciaindicada en el enunciado del problemll.: (p, v, d, (1) =: 0, rCllulta entollces nHissimple: P(Wc) =: 0, lo que equivale a expresar que We =: constante. El nmero de\Veber debe ser, por tanto, el mismo en ambas situaciones detlCritlllS en el enunciado

La densidad del Rire a una presin PI =lOS Pa y una temperatura TI = soe

PI 10$ 3PI .. Kfl =(287)(353) =0,987 kgJm ,

y a una presin 1'3 = 1O~ Pa y una temperatura 1:' =20C,PI 105 3

P2 =n:rl = (287)(293) =1,189 kg/m .Expresando 11\ igualdad de We en alnbll; situaciones,

Pluldl Pl~dl-

y sustituyendo valores(0,987)(26)2(1,94 x 10-4 )

(0,022)Sf! obtiene d2 = 1,84 X 10-3 In.

(1,189)(11)2d2(0,0728)

Captulo 7

Flujos con efectos deviscosidad dominantes

Problema 7.1En el flujo laminar estacionario de un f1uidu de densidad p y viscOl3idad 11que tiene lugar en la. regin de entrada. a una tubera de seccin circular deradio R, el perfil de velocidades pasa de ser uniforme en la.lleCcin (1) deentrada (velocidad VI y presin p) a estar plenamente dcsarroll;u:lo en unaseccin (2) suficientemente agua.'! abajo, donde la pre5in es P2, Determinar:

al La distribudn de velocid;uj en la seccin 2.b) La fuerza de friccin que se ejerce sobre la pared de la lu~ra entre

las secciones 1 y 2.

Solucin:

al Integr...ndo la ttuadn (A.3.4) de con~rvaci6n de cantidad de movimiento enforma diferencial correspondiente a un movimiento laminar, unidireccional y e!l~3conario, 00/1 1M condiCIones de contorno apropiadM para una ~ubcra de seccincin;uliV, se obLi~n~ 1;1 slguienttl dllltribucin d~ velocidad, correspondlent~ al flujoplenamenle desarrollado que existe ;,guaa abajo de la seccin 2 de la tuberia (flujode Ilagen-Poixllille):1

(7.1.1)

1Es unporLIUlUl tener en cuenta que lA UaCi6n (A.J.") no es aplicable entre Ia& &ciones.,2

105


Aplicando la c

7. FLUJOS CON EFECTOS DE VISCOSIDAD DOMINANTES 107

Problema 7.2Un depsito de grandes dimensiones contiene un lquido de densidad p =1 gfcm3 y viscosidad t = 1 poise. En el fondo del depsiLo se haconoctado unconducto inclinado de longitud L = 1 m, de seccin rectangular de anchurab = 10 cm y altura h = 0,1 111m, que puede considerarse bidimensional. Lasuperficie libre del lquido cst a una altura = 10 cm rcspt..'Cto del fondodel depsito. La seccin de salida del conducto cst situada a una alturatlH = 5 cm por debajo de la s

lOS PROBLEMAS DE MECANICA DE FLUIDOS

Introduciendo estas expresiones en la ecuacin (7.2.1) y \U;tiluycndo vaJorell1, resulta

Pe =(1000)(9,8)(0,15) = I 470 N m- 2m- II

El caudid :;o:: obLiene mediante la ecuacin (A.3.6):

Q p '. 1410 ( -'l'( l - -'1/= 12p ::: (12)(0,1) 10 0,1::: 1,22a x 10 l.

7. FLUJOS CON EFECTOS DE VISCOSIDAD DOMINANTES 109

Problema 7.3

Entre dos placas planas y paralelas, separadas una distancia h = 1 cm,circula un lquido de densidad p = 800 kgjm3 y viscosidad l = 1 poiS(!.La presill reducida experimenta ulla variacin AP = 10 dinasjcm2 en unalongitud L = lOO cm en la direccin del movimienlo. Determinar si elflujo entre las placa..; satisface o no las condiciones correspondientes a unacorriente de Hagen-Poiseuille.

Solucin:SI se satisfacen las eondiciolle!l eorrespondicnt.es a un flujo de lIagen-Pol!leuiIJc,justificar que el gradiente de presin reducida es

10 . ;,p. = !!.P/L = 100 =0,1 (hnas/cm ,

y demostrAr que la velocidad media dd fluido entre 188 placas es

p. 2 0,1 2 /U = 12'l h = (12)(1) (1) =0,00833 cm s

Condicin de unidirec:cionaJidll.tl:h IL = 100 = 0,01

110

Problema 7.4


(7.'\.1)

Determinar la distribucin de velocidad en el flujo laminar, bidimensional yunidirete):

el = !hs

7. FLUJOS CON EFECTOS DE VISCOSIDAD DOMINANTI::S 111

Problema 7.5Un lquido de viscosidad Ji- fluye en rgimen laminar a lo [argo del espacioanular existente entre dos tubos coaxiales de gran longitud. El movimientose debe a la existencia de un gradiente de presin reducida dP/dx, fiiendo xla coordenada. a lo largo del eje. El radio del tubo interior es R1, Y el deltubo exterior e;, R2 Determinar la velocidad del lquido en funcin de lacoordenada radial, r.

Solucin:

1 dP [ 2 2 Ri - m ]"=4JJd~ r -R+ln{R2/RI) In{rlR) .[Debe integrarse la ecuacin (A.3.4) con las condiciones de contorno de nodeslizamiento en las pa~ede!i de los tubos.]

112

Problema 7.6

PROBT.EMAS OE MECNICA DE FLUIDOS

Un lubo vertica.l de gran longitud y radio R2 gira sobre su eje con una.velocidad angular n. Otro tubo de radio R < R" que se encuentra. enreposo, esta dispuesto coaxialmente con el anterior. El espacio anular entrelos tubos eslilleno de un lquido de densidad p y viscosidad JJ. Determinar:

a) Componente acimuta.l de la velocidad, v,. en funcin de la coordenadaradial, r.

b) Momento por unidad de longitud de la.s fuerzall que se ejercen sobrecada uno de los tubos.

e) Distribucin de presin en el espacio entre los tubos.Nota:

Ecuaciones de coll!;ervacin de las componentP.5 a.cimutal y radial de lacantidad de movimiento para las condiciones del enunciado (v = v,(r) el):

o

v'--'-

,

Tensin cortante T~,:

d[1 d ]#- --(rv,) ,dr r dr1 dp

-pdr'

Solucin:

.)

IE~ta distribucin4 se obtiene nlegrando la ocuadn de conservacin de lacompollt:nl.e acimutal de la c/lntidad de movimiento con 1M condiciones decontorno de 110 deslizamiento en la:! paredes de los cilindrOilil.]

w lIQluci" ohLenida en esLc .lll

7. FLUJOS CON EFEcrOS DE VISCOSIDAD DOMINANTES 113

b)R2R2

M = 4:rrpn n" n\,- ,

[Comprubese y justifquclll 11"" 'SObre Jos dos tubos $e ejercen momentosde igual mdulo M y de sentido OpUelIto. Determnese en primer Jugar ladistribucin de la tensin cortante en el Ihijol

l;) [La distribucin de preslonea se obtiene direct.anleote integrl'lldo la ecuacinde oonserva.cin de la componente radial de Il' cantidad de movimiento, in-trodudendo previamente la expresiOn de 11, obtenida t!n el apa.rtado a).1

114

Problema 7.7

PROBLEMAS DE MECNiCA DE f'1,UlOOS

Determinar la potencia nec('~"aria para transportar un caudal Q = 50 m3/hde un aceite de densidad p = 950 kg/m:S y visco~dad JJ = 2 poi:;c a. travsde un conduclo horiJlOntal de dimetro D = 10 cm y longitud L = 10 km.Explicar y justificar las hiptc::;i; utilizada:;.

Solucin:La polencia que se pide es la que debera comunicar una bomba al u;eite paraproducir en ste un incremento de presin igua! a la prdida de presin reducida quese produce a lo largo del (:onducLo para el candal indi,:ado (ver eClIllCi6n (A.6.3)):~

W =Ql:J.p.

Se supondr en principio que el flujo es laminar y unidireccional, con efectosde viscosidad dominanl.es (la validez de estas hiptesis deber ser comprobada po&-leriorrnente). En un flujo de este tipo, cuando la tubera. ~ de !;lX.cin circular, elgrlUfiente de presin rcducida es (ecuacin (A.3.5))

p = 81l Q = (8)(0,2)(50/3600) = 1131769 NI '. 1l"R4 11"(0,05)1 ,m

La ea.ida de presin reducida a 10 largo dcl conduclo es

aP =P.L =11317686 N/m2 ,

por lo que la potencia necesaria sera

_. 50w= 3600 11317686= 157190 w.

Comprub~ quc las hiptesis utilizadas son ~ptables.

'En realidad, la bomba debe comunicar al fluido un", polenc.a W = Qt:>.p +

7. PLUJOS CON I:;FECTOS DE; VISCOSIDAD DOMINANTES 115

Problema 7.8Representa.r grficamente, de forma cua]tativa, la distribucin de presionesen el aceite e indicar el sentido de la. fuerza entre el eje y el cojinete para. la.configuracin de la figura (lHl]>ngat>e que no ha.y cavitacin). El cojinete esfijo y el eje gira. en el sentido indicado.

B

e A

Solucin:

La ruerza tiende a juntar entre s a eje y cojinete en la parle inrerior (lo

116

Problema 7.9


Un refrigerador de aceite est con:;tituido por un conjunto de 100 tuboscilndricos horizontales de seccin circular, iguaJes y dispuestos en paralelo.El dimetro de los tubos es D = 10-2 m y sn longitud L = 4 m. El aceitetiene una densidad p = 800kgjmJ , y debe circular por los tubos con unavelocidad media. U = 1 mIs. La viscosidad dinmica del aceite, debido a lavariacin de su temperatura. al circular por los tubos, vara. linealmente alo largo de cada tubo desde un valor /-'1 = O,3gcm- 1 5-1 en la seccin deentrada hasta p..2 = 1gcm- I 5- 1 en la seccin de salida.

Calcular la polencia que debe colllunil.:arsc al aceite para vencer la prdi-da de carga en el rcfrigerooor. Justificar la::; hiplel;is adoptadas para resolverel problema..

Solucin:

~ supondr en principio que el flujo en los tubOll el! laminar y unidireccional, conefoctos de viscosidad dominantes. Dc acuerdo con los datos del enunciado, la ley devariaci6n de la viscosidad con la coordenada.:r, segun la direccin alo largo de lostubOOl y con origen en la seccin de entrada, viene dada por

J =0,0.3 +0,0175:r

(J en kgm-1s-1, 2: en m).En cada tubo se supondr que se satisface 1000ahnente la eo::uadn (A.3.S),

Despejando el gri!.cliente de presin de esta eo::lIacin, teniendo en cuenta que

y sustituyendo la ley de variacin de J, resulta.

~= =-(3,2>< 105 )(0,03+0,01752:)(p en N/m 2, .:r en m). Integrando esta eo::uacin entre las secciones de entrada ysalida del tubo, se obtiene

7. FTJUJOS CON EFECTOS Uf: VISCOSIDAD DOMINANTES 117

1,,, potencia que debe oomunicane aJ accll.e vendr dada por (vase Problema 7.7)

W =QT(PI - ~l =(100)(7,MoI x 10-$)(83 2(0) = 653 W(QT es el eaudaJ total que n;ul" por el rerrigerador).

Determinese el grado de vaJide. de las hiptesi$ utiliudu

Captulo 8

Flujos de fluidos idealesProblema 8.1Un depsito de grandes dimensiones y abierto a la atmsfera contiene unlquido de densidad p y viscosidad JJ, hasta. una. altura. El = 1 m, y se desca.rgaa la atmsfera. a travs de Ilna tubera horizontal de dimetro D y longitudL, conectada. al fondo del depsito. Determinar el caudal de descarga en losdos casos siguientes Uustificando las hiptesis empleadas):

al p = 1000 kg/m3; J = 0,01 gcm- 1 5-1; D = 10 cm; J~ = 1 m.

b) p = 800 kg/m3; 11 = 0,1 gcm- I 5-1; D = J cm; L = 10 m.

Soluci6n:

En funcin de loo dalo.; correspondientes a cada uno dl~ los dos casos (l"e se wnsi-deran, parece en principio razollable hllCef la hiptesis de que el flujo es ideal en elCallO a)l, y ~X)Jl efectos de viscosidad dominantes en el caso b)2.

Para el caso a), aplicando la ecuacin de Bernoulli entre la superficie libre dellquido en el depsito y la seccin de salida de la tubera, rcsul~a

u = )2gl1 = 4,43 m/8,1Por una p.-.rte, aunque 00 puede cakulilDe di.-ectameote el numero de Reynolds, ya

puede anticipar..e quc va a ser relativameote alto, ....Jvo que la velocidad del liquido ell latubera. fuese IllUY pequca, Por otra, la longitud de la tuberia 00 es tan grande f.-ente aldiamctro como para esperar que los .,[ecLos de visco:idaJ ~1I.Il importallles.

~Tllgll.SC eo cuenta que 111. vi:scosidad y la lo"gitud de la tubera /K>1l ahora diez ve

120

~ienJo por tanto el caudal


Puede comprobarse ahora que se cumple la condicin

pUDD--- 1,

l' Lne

8. FLUJOS DE FLUIDOS lDEAl.. ES

Problema 8.2

121

Como continuacin del Problema. 2.5, ca.lcular el tiempo transcurrido desdf;lel instante en que se abre el orificio hasta el instante en que la compuertacomienza a girar. Sc supondr flujo idcal en el orificio y que el proceso devaciado es quasi-esta.cionario. Justificar estas hiptesis.

Soluci6n;Aplicando la ecuacin de conservacin de la ma.sa (A.1.2) al volumen de conlwlvariable limitado por la superficic interior del depsito, la superficie libre del aguayel orificio de salida (desprr-ci;,ndo los efectos de conlr;,cr.in del chorro a la salidadel depsito), resulta

(8.2.1)siendo 1), la velocidad de salida a travs del orificio y Al) el rea de la seccinhorizontal del de>Sit.o l. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre la superficielibre del agua y la seccin de salida, se obtiene

v, =";2.qH I .

Sustituyendo (8.2.2) en (8.2. 1) e integrando

(8.2.2)

_ t,109 dll = .j2gA t dt,Jl.~ ..:r; Aa Jo

resulta I = 400::1 s. Justifiquensc las hiptesis de flujo ideal en el orificio y prQ

122

Problema 8.3

PROBLEMAS DE MECNICA DE FLUJDOS

Se quiere disear un rcdpiente dlndrico de seccin transversal de rea. varia-ble, A, con un orificio en el fondo de dimetro D (se supondr que D 2 A).El recipiente se dispondr con su eje en direeci6n vertical. Determinar culdebe ser la ley de varIacin de A con la altura si se quiere que, estando inicial-mente lleno de agua hasta un nivel /lo, el recipiente se vace totalmente enun tiempo lo, y que en todo instante t durante el proceso de vaciado el nivel/ del agua sea lal que (liD - h)/"o = tilo. Se supondr que el flujo es ideal yque el proceso de vaciado es quasi-cstacionario. Se tomar. un coeficiente dedes(:a.rga a travs del orificio igual a la unidad. Calcular el valor de D nece-sario para que to = 1 da siendo ho = 50 cm y el arca mxima Aho = 0,5 m2.Comprobar si son aceptables las hiptesis utilizadas.

Soluci6n:Aplicando la ecuacin de conservacin de la masa (A. l.:!) al volumen de controlvariable limitado por la superficie interior del dep6sito, la superficie libre del aguay la seccin de salida, resulta

dh tr:D2A di" +v.C~-4- =0, (8.3.1)

~ielldo v, la velocidad de salida y C. el coeficiente de contraccin. Aplicando laecuacin de Bernoulli entre la superficie libre del agua y la seccin de salida, seobticne

v, = V2gh. (8.3.2)Teniendo en cuenta que, segn se indica en el enunciado, l. = lio(l - I/to), rcsulta

dhdt

h,t,

(8.3.3)

Sustituyendo (8.3.2) Y (8.3.3) en (8.3.1), se obtiene

M"::L tr: D2 loA =C. y '2gh T ho ' (8.3.4)

Al indicarse en el enunciado que el coeficiente de de;;arga, Cd = C.C",! esigual a la unidad, obviamente deber ser tambin igual a la unidad el coeficiente

~Si el flujo no fue,.., ideal, podria jnlroducinle un coeficientc de velocid"d, C., pMiL leneren cuenta 13>1 PC;rd.iU/llI de encrsa, de forma que u, = C"Jf9Ti. En lal CM, "" obtendriaA e'e ~.D.!.Il.= < .v~g"-.-

8. FLUJOS DE FI.UIOO$ IOEA[>ES 123

de contraccin. Haciendo h = ho = 50 cm, A = A hO =0,5 m2 , y lo = 86400 ti enla ecuacin (8.3.4), se obtiene el valor pedido del dimetro de la seccin dc salida,D = 1,08 x 10-3 m.

124 PROBLEMAS DE MECNICA DE Fr.. U1DOS

D. D(P" )/ti + 8% ;+2"+gz =0,

Problema 8.4La vlvula situada en el extremo del tubo horizontal de la figura, por elque cin:ula inicialmente agua a velocidad VO, se cierra progresivamentE' enun tiempo to, de forma que la velocidad en el tubo decrece linealmente conel tiempo de acuerdo con la expresin

v = vo (1 - t:); Ul) = 2m/s, lo = O,ls.Determinar la diferencia de presiones 1'1 - 1'2 entre las secciones 1 y 2.

r-- 5m .,

Solucin:A parlir de la ec::uadn (A.4.1) de Euler-Bernoulli. cuando el fluido es un liqUido.se obtiene

SIendo z la coordenada ser;n el eje del lubo. Dado Que 11 y Z no vuian con z,resulta d: (~) =-:; = ~.Integrando entre lu ~Iles I y 2, se obtiene

Fluidos- Rodriguez Hernandez- Problemas de Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas

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