MECANICA DE FLUIDOS

DINAMICA

CONTENIDO• Fluidos en movimiento • La ecuación de continuidad • Ecuación de Bernoulli • Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

– Movimiento de un fluido con velocidad constante– Flujo de salida de un tanque

Fluidos en movimiento

Nos concentraremos en el flujo estable, es decir, en el movimiento de fluido para el cual v y p no dependen del tiempo. La presión y la velocidad pueden variar de un punto a otro, pero supondremos que todos los cambios son uniformes.

Un gráfico de velocidades se llama diagrama de línea de flujo. Como el de la siguiente figura.

Emplearemos las siguientes hipótesis:

1. El fluido es incomprensible.

2. La temperatura no varía.

3. El flujo es estable, y entonces la velocidad y la presión no dependen del tiempo.

4. El flujo no es turbulento, es laminar.

5. El flujo es irrotacional, de modo que no hay circulación.

6. El fluido no tiene viscosidad.

SIPLIFICACIONES

La ecuación de continuidad

Considere el siguiente tubo de flujo. De acuerdo a la conservación de la masa, se tiene:

1v1 A1 =2v2 A2

Si nos restringimos a fluidos incomprensibles, entonces 1=2 y se deduce

que:

v1 A1 =v2 A2

El producto (velocidad perpendicular a un área) x (área) es el flujo, .

• La masa de un fluido no cambia al fluir

A1

A2

v1

v2

EjemploCada segundo 5525 m3 de agua fluyen sobre los 670 m del risco de la porción Horseshoe Fall de las cataratas del Niágara. El agua llega aproximadamente a 2 m de fondo cuando alcanza el risco ¿Cuál es su rapidez en ese instante?

Ecuación de Bernoulli

212

1222

1212

1222

1 VvVvmvmvK

Dado la ley de la conservación de la energía:

Wneto = K + U

La fuerza ejercida por la presión p1 es: p1A1, y el trabajo realizado por esta fuerza es:

W1 = F1x = p1A1x1 = p1V

similarmente para el lado derecho

W2 = -F2x2 = -p2A2x2 = -p2V,

El trabajo neto es

W1 + W2 = p1V – p2V = (p1 – p2)V

K es

U es

1212 VghVghmghmghU

2222

121

212

11 ghvpghvp

En otras palabras:

constante221 ghvp

simplificando

La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, (p), la energía cinética por unidad de volumen (1/2 v2) y la energía potencial gravitacional por unidad de volumen ( gy) tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.

Fluido en reposo

Para un fluido en reposo v = 0, entonces

p + gh = constante

Esta es la ley de Pascal

Efecto Bernoulli

Para un flujo horizontal

p + ½ v2 = constante

La presión en menor donde la velocidad del fluido es mayor y viceversa.

v1 < v2

p1 > p2

v2v1

p1 p2

Tarea

Por una manguera contra incendios de 6.35 cm de diámetro fluye agua a una relación de 0.012 m3/s. La manguera termina en una boquilla con diámetro interior de 2.20 cm. ¿Cuál es la rapidez con la cual el agua sale de la boquilla?

El tubo de Venturi

1

2

12

2

12121 A

Avpp

2

22

1

2112

2AAPP

Av

La altura promedio del fluido es constante, entonces

222

12

212

11 vpvp

De la ecuación de continuidad

v1 A1 =v2 A2

Es fácil llegar a:

Ley de Torricelli

0222

10

212

10 gvpgyvp

gyv 2

La presión del aire en la superficie del líquido (1) es la misma que en el orificio (2), entonces podemos establecer

Suponiendo que v1 = 0 (el nivel del líquido cambia muy lentamente), llegamos a

Discusión

¿Dónde es más grande la presión, en A o en B?

A B

¿Por qué se levanta el techo con un viento fuerte?

¿Por qué sale líquido por la boquilla al apretar la perilla?

¿Hacia donde es empujada la pelota, hacia arriba o hacia abajo?

TareaEn un gran tanque de almacenamiento abierto en la parte superior y lleno de agua se forma un pequeño hoyo en un costado, en un punto 16 m por debajo del nivel del agua. Si la relación del flujo de la fuga es de 2.5 x 10-3 m3/min., determine a) la rapidez (m/s) con que sale el agua por el hoyo, b) el diámetro de éste.

Tarea para la casaEn la figura P15.43 se muestra un sifón con el que se extrae agua de un tanque. El sifón tiene un diámetro uniforme. Considere flujo estable sin fricción, a) Si la distancia h= 1.00 m, encuentre la rapidez del flujo de salida en el extremo del sifón, b) ¿Cuál es el límite de la altura en la parte superior del sifón sobre la superficie del agua? (Para tener un flujo continuo de líquido la presión no debe descender por debajo de la presión de vapor del líquido.)

v

3. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida

z

x

y

(x,y,z)

( , , )r

Flujo reptante

Re .p

Dv

0 1

Solución analítica

r

v Rsen

R r

43

2

coso

mv Rp p gz

R r

23

2

cosr

R Rv v

r r

33 1

12 2

R Rv v sen

r r

33 1

14 4

Magnitudes derivadas

Fuerza normal: cos sennz r RF p R d d R g Rv

2 2 3

0 0

42

3

Fuerza tangencial: sen sentz r r RF R d d Rv

2 2

0 04

Fuerza total:(Ley de Stokes)

3 34 42 4 6

3 3(flotacion) (resistencia de forma) (fricción)

zF R g Rv Rv R g Rv

Ft

Fn

F

Rotacional de un campo vectorial: [ ]

x y z

x y z

vx y z

v v v

Laplaciana de un campo escalar: 2 2 2

22 2 2

( . )s s s

s sx y z

Laplaciana de un campo vectorial: 2 2 2 2x x y y z zv v v v

Operadores diferenciales

Operador nabla: x y zx y z

Gradiente de un campo escalar: x y zs s s

sx y z

Divergencia de un campo vectorial: ( . )yx z

vv vv

x y z

Derivadas con respecto al tiempo

Derivada parcial: c

t

Derivada total: dc c c dx c dy c dz

dt t x dt y dt z dt

Derivada substancial: x y z

Dc c c c cv v v

Dt t x y z

z

xy

x xv x x x

v

z zv

z z zv

y y

v

y y yv

Ecuación de continuidad

velocidad de velocidad de velocidad de

acumulación = entrada salida

de materia de materia de materia

CARA ENTRADA SALIDA

x x xv y z x x x

v y z

y y yv x z y y y

v x z

z z zv x y z z z

v x y

x xx x x

y yy y y

z zz z z

x y z y z v vt

x z v v

x y v v

yx zvv v

t x y z

Forma vectorial:

. vt

Transformación:

. .

.

v vt

Dv

Dt t

.

Dv

Dt

Fluidos incompresibles (ρ=constante):

. 0v

( ) ( ) ( ) 0x y zv v vt x y z

1 1( ) ( ) ( ) 0r zrv v v

t r r r z

22

1 1 1( ) ( ) ( ) 0rr v v sen v

t r r sen r senr

Coordenadas rectangulares (x, y, z):

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z):

Coordenadas esféricas (r, θ, Φ):

La ecuación de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadas

z

xy

xx x xx x x

zx z

zx z z

yx y

yx y y

Ecuación de movimiento

Transporte convectivo: CARA ENTRADA SALIDA

x x x xv v y z x x x x

v v y z

y y x yv v x z y x y y

v v x z

z z x zv v x y z x z z

v v x y

velocidad de velocidad de velocidad de suma de

acumulación = entrada + salida + fuerzas sobre

de c.d.m. de c.d.m. de c.d.m. el sistema

Balance:

Transporte viscoso: CARA ENTRADA SALIDA

x xx xy z xx x x

y z

y yx yx z yx y y

x z

z zx zx y zx x z

x y

Balance a la componente x:

Balance de fuerzas: xx x xy z p p g x y z

Término de acumulación: xvx y z

t

Substituyendo en el balance:

y x yxx x x z x xx zxx

v vv v v v v pg

t x y z x y z x

. .v

vv p gt

.Dv

p gDt

Haciendo uso de la ecuación de continuidad:

Ley de Newton

22 .

3

22 .

3

22 .

3

yx xxx yx xy

y yzyy yz zy

z z xzz xz zx

vv vv

x y x

v vvv

y y z

v v vv

z x z

22 .

3yx x x z x

x

vDv v v v vpv g

Dt x x x y y x z x z

22 .

3yz z x z z

z

vDv v v v vpv g

Dt z x x z y y z z z

22 .

3y y y yx z

y

Dv v v vv vpv g

Dt y x x y y y z y z

La ecuación de movimiento, para un fluido newtoniano:

Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes)

2Dv

v p gDt

Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler)

Dvp g

Dt

Fluido en reposo.

0 p g

Formas simplificadas de la ecuación de movimiento

.Dv

p gDt

La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares(en función de τ)

yxx x x x xx zxx y z x

v v v v pv v v g

t x y z x x y z

y y y y xy yy zyx y z y

v v v v pv v v g

t x y z y x y z

yzz z z z xz zzx y z z

v v v v pv v v g

t x y z z x y z

componente x:

componente y:

componente z:

La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)

componente x:

componente y:

componente z:

2 2 2

2 2 2x x x x x x x

x y z xv v v v v v vp

v v v gt x y z x x y z

2 2 2

2 2 2y y y y y y y

x y z y

v v v v v v vpv v v g

t x y z y x y z

2 2 2

2 2 2z z z z z z z

x y z zv v v v v v vp

v v v gt x y z z x y z

La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas(en función de τ)

componente r:

componente θ:

componente z:

2

1 1( )

r r r rr z

r rzrr r

v vv v v v pv v

t r r r z r

r gr r r r z

22

1

1 1( )

rr z

zr

v v v v v v v pv v

t r r r z r

r gr r zr

1 1( )

z z z zr z

z zzrz z

vv v v v pv v

t r r z z

r gr r r z

La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)

componente r:

componente θ:

componente z:

2

2 2

2 2 2 2

1 1 2

r r r rr z

r rr r

v vv v v v pv v

t r r r z r

vv vrv g

r r r r r z

2 2

2 2 2 2

1

1 1 2

rr z

r

v v v v v v v pv v

t r r r z r

v vvrv g

r r r r r z

2 2

2 2 2

1 1

z z z zr z

z z zz

vv v v v pv v

t r r z z

v v vr g

r r r r z

La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas(en función de τ)

componente r:

componente θ:

componente Φ:

2 2

22

sen

1 1 1( ) sen

sen sen

r r r rr

rrr r r

v v vvv v v v pv

t r r r r r

r gr r r rr

2

22

cot 1

sen

1 1 1 cot( ) sen

sen sen

rr

rr

v vv v v v v v v pv

t r r r r r r

r gr r r r rr

22

1cot

sen sen

1 1 1 2cot( )

sen

rr

rr

v v v v v v v v vv pv

t r r r r r r

r gr r r r rr

La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)

componente r:

componente θ:

componente Φ:

2 2

22 2 2 2

sen

2 2 2 2cot

sen

r r r rr

r r r

v v vvv v v v pv

t r r r r r

vvv v v g

r r r r

2

22 2 2 2 2

cot 1

sen

2 2cos

sen sen

rr

r

v vv v v v v v v pv

t r r r r r r

vvvv g

r r r

22 2 2 2 2

cotsen

1 2 2cos

sen sen sen sen

rr

r

v v v v v v v v vvv

t r r r r r

v vvpv g

r r r r

En estas ecuaciones:2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sen

sen senr

r rr r r

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares

22 ( . )

3

22 ( . )

3

22 ( . )

3

xxx

yyy

zzz

vv

x

vv

y

vv

z

yxxy yx

y zyz zy

z xzx xz

vv

y x

v v

z y

v v

x z

.yx z

vv vv

x y z

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas

22 ( . )

3

1 22 ( . )

3

22 ( . )

3

rrr

r

zzz

vv

r

v vv

r r

vv

z

1

1

rr r

zz z

z rzr rz

v vr

r r r

v v

z r

v v

r z

1 1. z

rv v

v rvr r r z

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas

22 ( . )

3

1 22 ( . )

3

cot1 22 ( . )

sen 3

rrr

r

r

vv

r

v vv

r r

v vvv

r r r

1

sen 1

sen sen

1

sen

rr r

rr r

v vr

r r r

v v

r r

vvr

r r r

22

1 1 1. sen

sen senr

vv r v v

r r rr

Ecuación de energía mecánica

Ecuación de movimiento:

.Dv

p gDt

212

. . . .D

v v p v v gDt

2 21 12 2

. . . . . : .v v v pv p v v v v gt

, multiplicándola escalarmente por :v

Forma adimensional de las ecuaciones de variación

Propiedades físicas constantes:

Magnitudes características: L, V, p0

* * * * * *02

** * *

2 2 2*2 2 2

*2 *2 *2

*

, , , , ,

x y z

p pv tV x y zv p t x y z

V L L L LV

Lx y z

Lx y z

D L D

V DtDt

Ecuación de continuidad: * *. 0v

Ecuación de movimiento:*

* * *2 ** 2

Dv gL gp v

LV gDt V

Grupos adimensionales característicos: Número de Reynolds: ReLV

Número de Froude:2V

FrgL

Capa límite y flujo potencial

Flujo potencial

Fluido ideal:

constante0 ,

Velocidad originada por un campo potencial ():

x yv vx y

Ecuación de continuidad ( = constante):

0yxvv

x y

Ec. Laplace

2 2

2 20

x y

Carácter irrotacional:

2

20

x

yx

y

vvy x y v

y xv

x x y

0v

Función de corriente ():

x

y

vy

vx

2 2

0 02 2

v vp gz p gz

constante2

2

v Pz

g g

Capa límite

“Despegue” de la capa límite

Ec. Continuidad

• Si la seccion del tubo disminuye, la rapidez aumenta y viceversa.

• Cambia v de acuerdo a sección transeversal pero la razones de flujo de volumen son las mismas.

Ec. Continuidad

• En caso de que líquido sea compresible...

1A1v1 = 2A2v2

Si fluido es incompresible

1 = 2

Ec. Bernoulli

• Según Ec. Continuidad, rapidez de flujo de un fluido puede variar a lo largo de las trayectorias del fluido.Presión tb puede variar.

• Depende de :– Altura– Presión– Rapidez de flujo OJO: Flujo estable de un

fluido incompresible sin viscosidad!!!

Ec. Bernoulli

p1A1

p2A2

y1

y2

v1

v2

Flujo

P1 + gy1 + ½ v12= P2 + gy2 + ½

v22

Dónde:

P1,2= presiones

Gy1,2 + ½ v12= E potencial y E cinética para la masa entre 2 ptos.

“ el trabajo efectuado por el fluido circundante sobre un vol unitario del fluido es igual a la suma de los cambios de E cinética y E potencial por unidad de volumen que ocurre durante el flujo”.

Flujo

• Determinado por dos factores:– Gradiente de presión– Resistencia

diferencia de presiónes entre los extremos del vaso

impedimento

de la sangre

para fluir a

través del vaso

Q= P

R

Número de Reynolds

• Es la medida de la tendencia a la turbulencia .

Re = v x d

Dónde:

v=velocidad (cm/seg)

d=diametro (cm)

=viscosidad (poises)

=densidad

Número de Reynolds

• Re>200-400: flujo turbulento

• Re>2000: siempre hay flujo turbulento

Viscosidad

• Plasma tiene viscosidad relativa respecto al agua de 1.8.

• Plasma + eritrocitos tienen viscosidad de 3 ó 4 (Tc de 37°C)

• Por tanto, se requieren de P mucho más altas para mantener el flujo de sangre a través de un lecho capilar.

Relación: Presión-Flujo

• Ley de Poiseuille

Cambios muy pequeños en r afectarán Q.

Q = (P1 – P2 ) r 4

8 L

Desviación de Poiseuille

• Tanto P como Q son pulsátiles, y la sangre es un complejo compuesto por plasma y células. Puesto que las paredes de los vasos no son rígidos, las oscilaciones de P y Q están desfasadas.

Grado de desviación = r 2

Donde si 0.5, relación P/Q se ajusta a Poiseuille.

Viscosidad

• DEF: fricción interna dde un fluído.• Fuerzas viscosas se oponen al movimiento

de una porción de un fluído relativo a otro.• Fluido viscoso tiende a adherirse a una

superficie sólida en contacto con ella.Casi siempre existe capa pegada a pared que se mantiene en “reposo”...

Viscosidad

• Sangre en que fluye a través de pequeños tubos fluye de manera como si su fuese menor.

• Efecto Fahraeus-Lindqvist: Hto. En vasos pequeños es menor.Capa de plasma ocupa mas volúmen. Aumento de flujo sanguíneo y hay reducción aparente de viscosidad en arteriolas la cual reduce la E necesaria pa impulsar sangre en microcirculación.

Viscosidad

• Separación periférica de plasma : En sangre circulante, ER tienden a acumularse en el centro donde v es máx pero la gradiente de v entre capas adyacentes es menor. Entonces plasma fluye practicamente sin células cerca de paredes de vasos.

Viscosidad

• Acumulación de ER en centro de corriente sanguínea significa que viscosidad es mayor en el centro y menor hacia paredes.

• Diferencial de v en torrente sanguíneo significa que la viscosidad altera el perfil de v de sangre.

• La hidrodinámica es la parte de la hidráulica que estudia el comportamiento de los líquidos en movimiento. Para ello considera entre otros parámetros a la velocidad, la presión y el flujo del líquido.

• En el estudio de la hidrodinámica el Teorema de Bernoulli, trata de la ley de la conservación de la energía, es de primordial importancia, pues señala que la suma de las energías cinética, potencial y de presión de un líquido en movimiento en un punto determinado es igual a la de otro punto cualquiera. La hidrodinámica investiga fundamentalmente a los fluidos incompresibles.

• Las aplicaciones de la hidrodinámica se evidencian en el diseño de canales, puertos presas, cascos de los barcos, hélices turbinas y ductos en general.

• Con el objetivo de facilitar el estudio de los líquidos en movimiento, generalmente se hacen las siguientes suposiciones:

• 1.- Los líquidos son completamente incompresibles.

• 2.- Se considera despreciable la viscosidad. Es decir, se supone que los líquidos son ideales, por ello no presentan resistencia al flujo, lo cual permite despreciar las pérdidas de energía mecánica producidas por su viscosidad; pues como sabemos, durante el movimiento esta genera fuerzas tangenciales entre las diversas capas de un líquido.

3.- El flujo de los líquidos se supone estacionario o de régimen estable. Esto sucede cuando la velocidad de toda partículas del líquido es igual al pasar por el mismo punto. Por ejemplo en la figura siguiente se observa la trayectoria seguida por la partícula de un líquido, esto es, su línea de corriente al pasar por el punto A.

A

Gasto, flujo y ecuación de continuidad.Gasto.- Cuando un líquido fluye a través de una tubería, es muy común hablar de su gasto, que por definición es: la relación existente entre el volumen del líquido que fluye por un conducto y el tiempo que tarda en fluir.

G = V/tG = Gasto en m3/seg.

V= Volumen del líquido que fluye en metros cúbicos (m3)

t = tiempo que tarda en fluir el líquido en segundos (seg).

• El gasto también puede calcularse si se conoce la velocidad del líquido y el área de la sección transversal del la tubería. Ver la figura siguiente:

A1 A2

vt

1 2

• Para conocer el volumen de líquido que pasa del punto 1 al 2 de la tubería, basta multiplicar entre sí el área, la velocidad del líquido y el tiempo que tarda en pasar por los puntos:

• V = A v t (1)• Y como G = V/t (2)• Sustituyendo 1 en 2:• G = A v t • t• G = Av.

• Donde G = gasto en m3/seg.

• A = área de la sección transversal del tubo en metros cuadrados (m2).

• v = velocidad del líquido en m/seg.

• En el sistema C.G.S. el gasto se mide en cm3/seg o bien, en unidades prácticas como litros/seg.

FLUJO

• Se define como la cantidad en masa del líquido que fluye a través de una tubería en un segundo.

• F = m/t.• Donde F = flujo en kg/seg.• m = masa del líquido que fluye en kilogramos

(kg).• t = tiempo que tarda en fluir en segundos

(seg).

• Como la densidad de un cuerpo es la relación entre su masa y volumen tenemos:

• ρ= m/V (1). Por lo tanto m = ρ V (2),• Por lo que el flujo será:• F = ρ V (3). Y como G = V/t (4)• t• Sustituyendo 4 en 3:• F = G ρ.• Donde F = flujo en kg/seg• G = Gasto en m3/seg.• ρ = densidad en kg/m3.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Para comprender el significado de esta ecuación veamos la figura

siguiente:

La ecuación de continuidad

Considere el siguiente tubo de flujo. De acuerdo a la conservación de la masa, se tiene:

1v1 A1 =2v2 A2

Si nos restringimos a fluidos incomprensibles, entonces 1 =2 y se deduce que

v1 A1 =v2 A2

El producto (velocidad perpendicular a un área) x (área) es el flujo, .

• La tubería de la figura anterior reduce de manera considerable su sección transversal o área entre los puntos 1 y 2.

• Sin embargo es constante la cantidad de líquido que pasa por los puntos 1 y 2, al considerar que los líquidos son incompresibles. Para ello, en el tubo de mayor sección transversal, la velocidad del lìquido es menor a la que adquiere al pasar al punto 2, donde la reducción del área se compensa con el aumento en la velocidad del líquido.

• Por lo tanto el gasto en el punto 1 es igual al gasto en el punto 2.

• G1 = G2 = constante.• A1V1 = A2V2.• A1= Area menor en m2.• V1 = velocidad en el área 1 en m/seg.• A2= Area mayor m2.• V2 = velocidad en el área 2 en m/seg.

TEOREMA Y ECUACION DE BERNOULLI.

• El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), al estudiar el comportamiento de los líquidos, descubrió que la presión de un líquido que fluye por una tubería es baja si su velocidad es alta y, por el contrario, es alta si su velocidad es baja.

• Por lo tanto, la Ley de la conservación de la energía también se cumple cuando los líquidos están en movimiento. Con base en sus estudios Bernoulli, enunció el siguiente teorema que lleva su nombre.

Teorema de Bernoulli.

• “En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las energías cinética, potencial y de presión que tiene un líquido en un punto, es igual a la suma de estas energías en otro punto cualquiera”.

• El líquido posee, tanto en el punto 1 como en el 2, tres tipos de energía:

• 1.- Energía cinética, debido a su velocidad y a la masa del líquido: Ec = 1/2mv2.

• b) Energía potencial, debido a la altura del líquido, respecto a un punto de referencia:

• Ep = m g h.• c) Energía de presión, originada por la presión que

las moléculas del líquido ejercen entre sí, por lo cual el trabajo realizado para el desplazamiento de las moléculas es igual a la energía de presión. Todas estas energías se ilustran en la figura siguiente:

Ecuación de Bernoulli Dado que Wneto = K + U, se puede llegar a

2222

121

212

11 ghvpghvp

En otras palabras:

constante221 ghvp

Veamos la figura siguiente para comprender la energía de presión

del líquido.

1

A1 A2

2 l

Puesto que la energía de presión es igual al trabajo realizado, tenemos:

E presión = T = F l (1).

Como P = F/A, por lo tanto F = PA (2)

Sustituyendo 2 en 1: E presión = P A l.

• El área de la sección transversal del tubo multiplicado por la distancia l recorrida por el líquido nos da el volumen de éste que pasa del punto 1 al 2, A l = V, de donde la ecuación 1 queda:

• E presión = PV (4)• Como ρ = m/V por lo tanto V = m/ ρ .• Sustituyendo 5 en 4 tenemos:• E presión = P m/ ρ.

• Donde E presión = Energía de presión en Joules.• P = Presión en N/m2 o pascal.• m = masa del líquido en kilogramos (kg).• ρ = Densidad del líquido en kg/m3.• Así de acuerdo al Teorema de Bernoulli, la

suma de las energías cinética, potencial y de presión en el punto 1, es igual a la suma de estas energías en el punto 2.

• Ec1 + Ep1 + E presión 1 = Ec2 + Ep2 + E presión 2-

• Al sustituir dichas expresiones por sus respectivas expresiones, tenemos:

• 1/2mv12 + mgh1 + P1m/ρ1 = 1/2mv2

2 + mgh2 + P2m/ρ2.

• Si dividimos la expresión anterior entre la masa se obtiene la ecuación correspondiente al Teorema de Bernoulli, para expresar la energía por unidad de masa:

• v12 + gh1 + P1/ρ1 = v2

2 + gh2 + P2/ρ2.

• 2 2

• Aunque el Teorema de Bernoulli, parte de la consideración de que el líquido es ideal (por lo cual se desprecian las pérdidas de energía causadas por la viscosidad de todo líquido en movimiento), su ecuación permite resolver con facilidad muchos problemas sin incurrir en errores graves por despreciar esas pérdidas de energía pues resultan insignificantes comparadas con las otras energías.

Problemas de la ecuación de continuidad y de la ecuación de

Bernoulli.• 1.- Calcular el gasto de agua de una tubería al circular 1.5 m3 en ¼ de minuto.

• Datos Fórmula Sustitución• G = ? G = V/t G = 1.5 m3 • 15 seg• G = 0.1 m3/seg.• V = 1.5 m3 • t = 15 seg

• 2.- Calcular el tiempo que tardará en llenarse un tanque cuya capacidad es de 10 m3 al suministrarse un gasto de 40 l/seg.

• Datos Fórmula• t = ? t = V/G • V = 10 m3.• G = 40 l/seg.• Conversión de unidades;• 40 l x 1 m3 = 0.03 m3/seg.• seg 1000 l• Sustitución y resultado:• t = 10 m3. = 250 seg.• 0.03 m3/seg.

• 3.- Calcular el gasto de agua por una tubería de diámetro igual a 5.08 cm, cuando la velocidad del líquido es de 4 m/seg.

• Datos Fórmula• G = ? G = v A• d = 5.08 cm= 0.0508 m. A = π/4 d2.• v = 4 m/seg• Cálculo del área: A = 3.14/4 x (0.0508 m)2.• A = 0.002 m2.• Sustitución y resultado:• G = 4 m/seg x 0.002 m2. = 0.008 m3/seg.

• 4.- Determinar el diámetro que debe tener una tubería, para que el gasto de agua sea de 0.3 m3/seg a una velocidad de 8 m/seg,

• Datos Fórmulas• d = ? A = G/v• G = 0.3 m3/seg. A = π/4d2.• v = 8 m/seg. Despejando a d:• d = √4 A• π• A = 0.3 m3/seg. = 0.0375 m2.• 8 m/seg.• ____________• d = √ 4 (0.0375 m2.) = 0.218 metros.• 3.14

• 5.- Por una tubería fluyen 1800 litros de agua en un minuto. Calcular a) el gasto. b)

• El flujo. La densidad del agua es de 1000 kg/m3.• Datos Fórmulas• V = 1800 l = 1.8 m3. a) G = V/t• t = 1 min = 60 seg. B) F = G ρ• ρH20 = 1000 kg/m3. • Sustitución y resultados:• G = 1.8 m3./ 60 seg. = 0.03 m3/seg.• F = 0.03 m3/seg x 1000 kg/m3. = 30 kg/seg.

•

• 6.- Por una tubería de 3.81 cm de diámetro circula agua a una velocidad de 3 m/seg. En una parte de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.54 cm, ¿qué velocidad llevará el agua en ese punto?.

• Datos Fórmulas• d1= 3.81 cm = 0.0381 m. G1 = G2.• v = 3 m/seg o bien A1v1 = A2 v2

• d2 = 2.54 cm = 0.0254 m. v2 = A1v1 •

A2

• v2 = ? A = π/4d2.

• Sustitución y resultados:

• v2 = π/4 d12 v1 = d1

2 v1 • π/4 d2

2 d22

• v2 = (0.0381 m)2 x 3 m/seg = 6.74 m/seg.• (0.0254 m)2.

Hidráulica

• Es la aplicación de la mecánica de fluidos en ingeniería, para construir dispositivos que funcionan con líquidos, por lo general agua o aceite.

• La hidráulica resuelve problemas como el flujo de fluidos por conductos o canales abiertos y el diseño de presas de embalse, bombas y turbinas.

• Se basa en el principio de Pascal, que establece que la presión aplicada en un punto de un fluido se transmite con la misma intensidad a cada punto del mismo.Blaise Pascal (Filosofo y Científico,1647) el principio que lleva su nombre, con aplicaciones muy importantes en hidráulica.

Presa de Itaipú, Paraguay• Es un proyecto en funcionamiento conjunto de

Brasil y Paraguay sobre las aguas del río Paraná, y su central hidroeléctrica, la mayor del mundo, de la que se obtienen importantes recursos energéticos para ambos países y el conjunto regional. Con una altura de 196 m y 8 km de largo, cuenta con 14 vertederos que actúan como cataratas artificiales. Como se muestra en la foto adjunta

Fluído

Hidrodinámica

• Es parte de la física que estudia el movimiento de los fluidos.

• Está rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son complejas, la hidrodinámica tiene importancia práctica mayor que la hidrostática.

• Abordaremos conceptos básicos.

DINÁMICA DE FLUIDOS

• Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos son el balance de materia, o ecuación de continuidad, las ecuaciones del balance de cantidad de movimiento y el balance de energía mecánica.

• Existen diversos tipos de fluidos: Flujo de fluidos a régimen permanente o intermitente: aquí se tiene en cuenta la velocidad de las partículas del fluido, ya sea esta cte. o no con respecto al tiempo

ECUACION DE CONTINUIDAD • Esta expresión expresa la idea de que la

masa de fluido que entra por el extremo de un tubo debe salir por el otro extremo.

A2 v2 = A1 v1

Representación Gráfica de la Ecuación de continuidad:

Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:A1.V1 = A2.V2 = constante

Recordar que P = F/A = F = P.A

GASTO VOLUMÉTRICO Y LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

El gasto volumétrico o caudal es el volumen de agua que pasa a través de una sección de tubería por unidad de tiempo. Se expresa en m3/s, L/s, Pie3/s dependiendo del sistema de unidades en que se trabaje.

Donde:Q = Gasto volumétrico, m3/sV = velocidad promedia del fluido en la sección transversal de estudio, m/sA = Superficie de la sección transversal, m2T = Tiempo en que circula en volumen V a través de la sección, en segundoV = Volumen que atraviesa la sección transversal, m3

ECUACIÓN DE BERNUILLI.

• Para el caso de un flujo irracional a régimen permanente de un fluido incompresible no viscoso, es posible caracterizar el fluido en cualquier punto de su movimiento si se especifica su rapidez, presión y elevación.

• Estas tres variables se relacionan con la ecuación de Bernuilli (1700−1782). En este caso hay que tener en cuenta dos consideraciones:

TEOREMA DE TORRICELLI• Es una aplicación de Bernuilli y estudia el flujo de un

líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad

ghV 2

NÚMERO DE REYNOLDS

• La distinción entre los dos tipos de flujos fue inicialmente demostrada por Reynold en 1883.

• Reynolds encontró:

Para bajas velocidades de flujo (No se Produce mezcla alguna, coloreando el liquido). Entonces el flujo era laminar.

Al aumentar la velocidad se alcanza una velocidad crítica(se produce mezcla), se difuminándose la vena coloreada. Esto quiere decir un flujo turbulento.

NÚMERO DE REYNOLDS• El flujo sea laminar o turbulento a través de

un tubo se puede establecer teniendo en cuenta el valor de un parámetro adimensional, el número de Reynolds:

Re = ρVD/u

Donde: ρ = Densidad del fluidoV = Velocidad promedioD = Diámetro del tubou = viscosidad.

El valor del número de Reynolds (Re) es dimensional.

• Para re < 2100 tenemos flujo laminar

• Para re > 4000 tenemos flujo turbulento.

• Para 2100 < re < 4000 existe una zona de transición, donde el tipo de flujo puede ser tanto laminar como turbulento.

• Esta ecuación solo debe utilizarse para fluidos de tipo newtoniano, es decir, la mayoría de líquidos y gases.

Sin embargo hay fluidos no newtonianos, los cuales no tienen un único valor de la viscosidad independiente del esfuerzo cortante.

Ecuación de Bernoulli

• (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).

Donde:

p/ρ = energía de presión por unidad de masa.g.h = energía potencial por unidad de masa.v²/2 = energía cinética por unidad de masa.

Ecuación de Bernoulli

Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0

p1 + d.g.h1 = p2 + d.g.h2

Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)

H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.

Canalizadores o canales

• Se calcula el caudal (Q), aplicando la relación existente de volumen (V) sobre tiempo (t), otra forma de medir el caudal de los ríos es midiendo la velocidad (V) de la corriente del agua, multiplicada por el área transversal (A) en el punto de medición, se reporta en m3/ min o unidades equivalentes.

Método del flotador

• El caudal se estimó multiplicando la velocidad del flotador (m/S) por el área transversal (m2) del canal.

2)( mAreaxsmVelocidadQCaudal

Método del cubo y cronómetro

• se toman valores de tiempo de llenado de un volumen conocido de agua. se aplica en canales o conductos pequeños.

min

minllenadodetiempo

litroscubodelVolumenlitrosCaudal

Flujo de volumen: (caudal).• Q = A .V [m³/s]

¿PREGUNTAS?