----- -------------

434

Capítulo 9 Miembros en flexo-compresión

9.1.-Conceptos generales.

Los miembros estructurales sometidos simultáneamente a flexión y compresión axial se conocen en literatura técnica como vigas-columnas. La flexión puede producirse por diversos motivos, tales como :

» Excentricidad de las cargas axiales » Cargas transversales al eje del elemento ~ Momentos aplicados en la luz del miembro

La curvatura resultante debido a la presencia de las cargas y momentos que flexan los miembros estructurales, puede ser simple o doble. La curvatura sencilla es por lo general la más critica. Ver la figura 9.1. ( p t p + p ip

p

Figura 9.1. Comportamiento de vigas-columnas

Numerosos ejemplos pueden mencionarse de estructuras que resisten flexo-compresión tates como los arcos cuyos ejes no sean Jos antifuniculares de las cargas, los pórticos rígidos que soportan fuerzas gravitacionales y laterales de viento o sismo, los cordones superiores de las armaduras de techo con correas apoyando en la luz entre Jos nodos del sistema, etc., como muestra la figura 9.2.

La flexo-compresión puede ser :

Normal Esviada u oblicua

435

Es normal cuando las fuerzas que originan los momentos flectores estAn contenidas en un eje principal de inercia de la sección transversal, y oblicua en caso contrario.

i J J J ,. J J J Ji i J J ! ____.,. V1

e)

...... t:=::::=:::::::::::::::::=:::::::::::::t V2

L -

a)

b)

Figura 9.2 .. - Ejemplos de estructuras con miembros en flexo-compresión

9.2.- Modos de falla en vigas-columnas.

La falla de los miembros en flexo-compresión se puede producir por diferentes causas, entre las cuales se mencionan:

• El pandeo global debido a la compresión axial • El pandeo local de los elementos de las secciones • El pandeo lateral torsional • La flexión bajo las cargas en su plano • La cedencia localizada

Et pandeo global por compresión axial corresponde al caso de cargas axiales de considerable magnitud que controlan el comportamiento del miembro. Esta situación depende de la forma de apoyo de Jos extremos y de Ja posibilidad de desplazamiento lateral de la estructura. El pandeo siempre se produce alrededor del eje de menor inercia de la sección.

Un miembro comprimido o flexo-comprimido falla en pandeo local cuando la esbeltez (o razón ancho-espesor) de uno o más de sus elementos componentes excede de ciertos limites pre- establecidos.

436

El pandeo lateral torsional de las vigas-columnas se produce en forma similar al de las vigas flexadas .. cuando hay insuficientes soportes laterales que impidan que el miembro flexe en un plano perpendicular al de las carga aplicadas. y se evidencia simu ltáneamentc una torsión alrededor de su eje longitudinal.

La falla por flexión en el plano de los momentos y en la luz del miembro, se evidencia cuando la flexión es la solicitación que controla el diseño, y se ve incrementada por la presencia de fuerzas axiales que aumentan la magnitud de los momentos iniciales de primer orden, al actuar sobre el elemento deformado.

Finalmente. en los miembros cortos. cuando no hay inestabilidad del miembro, la falla puede sobrevenir por plastificación localizada en la sección donde el momento es máximo, o en los apoyos, por aplastamiento.

t - - -- ¡~-2~~~~~;-~

-- -; --- ---==-- - -=-~---=- - - --- -:=:=:--- ~----=----

Pandeo I dl1¡on1I -

---- --- ~ --==.- - "Ó: ::_ - ~ --- - - ~~ -

~-- - -_ -~~~:.<f ;:~ =-~= - - - -- - - - ------ -- ~ -- -

b) Pandeo local del alma

a) Pandeo global tx:>r ccrnpres16n axial

z

d) Pandeo lateral torsional

e) Aplastaniento en mierrbros cortos

e) Flexión con c.argas en su plano

Figura 9.3.- Modos de falla en vigas-columnas.

437

Caso A

Cuando ~ ~ 0,2 se debe cumplir ;,N,

N" 8 ( Mu M "Y ) l --+- --+- s t/Jc N, 9 tA Mª ;,, u; (9.1

Es el caso de fuerzas axiales de considerable magnitud, para las cuales el término de la flexión se reduce levemente.

CasoB

Cuando ~ < 0.2 se debe cumplir ;'" N,

(9.2

Es el caso de fuerzas axiales de limitada magnitud, para las cuales el término de la compresión se reduce a la mitad de su valor.

En estas ecuaciones, x e y son los ejes de flexión alrededor de los cuales se producen las solicitaciones del elemento que se analiza, donde :

N, es la fuerza de compresión normal factorizada.

N, es la resistencia teórica a compresión de la sección, calculada según el Capftulo 6.

Mm y Muy son las solicitaciones mayoradas a flexión. referidas a los ejes x e y respectivamente, obtenidas de un análisis de primer y segundo orden.

Mn M., es la resistencia teórica a flexión calculada según se detalla en el Capftulo 8, para los ejes x e y respectivamente.

+e es el coeficiente de reducción de la resistencia teórica a compresión +e= 0,85

+t> es el coeficiente de reducción de la resistencia teórica a flexión "'= 0,9

438

9.J: •• Momentos de I" y 2° orden. Efectos P8 y P.1

Los momentos primer orden son aquellos momentos flectores producidos por las cargas exteriores actuantes sobre la estructura, sin tomar en cuenta las deformaciones en el sistema. Sin embargo, en el caso de miembros Ilexo-comprirnidos, estas deformaciones dan lugar a nuevos momentos flectores, y a deformaciones adicionales que deben ser tomadas en cuenta en el diseño. Estas solicitaciones se conocen corno momentos de segundo orden.

Los momentos de segundo orden pueden ser de dos tipos diferentes:

• Los debidos a las deformaciones propias del elemento flexado, sin que se produzca un desplazamiento lateral relativo de sus extremos, dando lugar al efecto Pl>.

• Los debidos a un desplazamiento lateral relativo entre sus extremos, dando lugar al efecto PA.

La figura 9.4 grafica estos efectos. El primer caso depende de las propiedades propias del miembro en estudio. según su rigidez flexional, mientras que el segundo es una característica del pórtico al cual pertenece el miembro. la cual se evidencia de acuerdo a la rigidez translacional del entrepiso que se analiza, según su capacidad de desplazarse lateralmente en su plano. p~ pl

a)

p

I ll I

/ I Efecto rli

b) e)

Efecto Pi\

tP tp Figura 9.4.- Efectos PB y PA.

Estos momentos de segundo orden pueden calcularse mediante métodos exactos, o bien pueden estimarse en forma aproximada utilizando criterios simplificativos, que facilitan el diseño. Estos criterios se basan en la amplificación de los momentos de primer orden, aplicando los factores de magnificación B1 y B2 que se indican a continuación.

En cada caso, los sistemas estructurales que permiten materializar los edificios que aquf se analizan, se dividen en una sucesión de pórticos planos según direcciones ortogonales x e y en planta. Cada uno de los entrepisos de estos pórticos puede ser desplazable o no en su plano, de acuerdo a sus caracterfsticas propias y a los arriostramientos que se coloquen a tal fin.

Para ello se analizarán en la dirección x y luego se aplicarán idénticos criterios para la dirección y, y se obtendrán los momentos factorizados de primer orden correspondientes a cada caso en particular. A continuación, se tomarán en cuenta los efectos de segundo orden, y conjuntamente con las fuerzas axiales factorizadas, se verificará que en cada uno de sus miembros se cumpla la ecuación 9.1 o la 9.2 según el caso.

439

La resistencia requerida final Mu en cada una de las direcciones ortogonales , tomando en considera- ción los moment05 flectores de primer y segundo orden se expresa en la ec. 9 .3 :

Mu == B1 M,.. + 82 Mh -.- -y- E f ec to Po Efecto P~

(9.3

El primer término de la ecuación 9.J corresponde al caso de las vigas-columnas en pórticos no desplazables lateralmente en su plano. con momentos de primer orden M ... , donde el subfndice "ni" significa "no translocíon".

Estos momentos M,.. originan una primera deformación por flexión cuya máxima ordenada es 00 , la cual da lugar a un nuevo momento flector Po0 por acción de la carga axial P que actúa en el miembro flexo- comprimido. como muestra la figura 9.4 a). Este nuevo momento Po0 resulta de segundo orden al involucrar la deformación inicial producida.

El proceso se repite hasta alcanzar la deformación final o > 00 con un momento de segundo orden Po. Si el miembro en estudio se halla arriostrado lateralmente en su plano, o pertenece a un pórtico con simetrfa de cargas, luces y rigideces, sin posibilidad de desplazarse lateralmente, la resistencia requerida final Mu será simplemente: M0 = B1M.., pues el segundo término de la ecuación 9.3 es nulo.

El factor de megnificación R1 se obtiene :

e B,= Nx"' ~1 1- 11

N~,

(9.4

Donde N0 es la fuerza de compresión nonnal factorizada y Ne1 la carga normal de pandeo elástico de Euler, según la ec. 6. 18 :

En esta ecuación, Les la luz entre apoyos del miembro analizado, y K el factor de modificación de esa luz ... que se obtiene del nomograma de la figura 6. 7 o de la Tabla 6.1 según el caso. En miembros no desplazables lateralmente, 0.5 ~ K ~ 1 y en forma conservadora, se puede adoptar en estos casos K = 1.

En ec. 9.4. Cm representa un factor de reducción utilizado únicamente en miembros no desplazables lateralmente, cuya deducción teórica se detalla en la Ref. 28. y cuyo valor depende de la presencia o no de cargas transversales aplicadas en la luz de la viga-columna que se analiza.

Por ello, para obtener Cm se consideran los siguientes casos :

• Caso 1) Miembro sin cargas intermedias en su luz

• Caso 2) Miembro con cargas transversales intermedias

440

CASO 1) VIGAS-COLUMNAS NO DESPLAZABLES SIN CARGAS INTERMEDIAS EN LA LUZ

En este caso, se adopta el siguiente factor de reducción Cm :

Para : Cm = 0.6 - 0,4 ( M1 I M2) (9.5

En razón de que no existen cargas intermedias en la luz de la viga-columna que se analiza, el diagrama de momentos entre los extremos del miembro debe ser necesariamente una constante o una función lineal.

M11Mi 8 0,6~~1

d)

Figura 9.5. Valores de Cm para miembros sin cargas transversales en la luz

En la ecuación 9.5. M 1 corresponde ni valor absoluto del menor de los momentos en los extremos, y M2 al mayor. El cociente ( M1 I M2 ) se considera positivo cuando los momentos en los extremos tienen signos iguales, de modo que se produce un punto de inflexión de la elástica de deformación en la luz del miembro, y negativo en el caso contrario.

Por lo tanto, si M1 = M2 con signos opuestos, el diagrama de momentos es constante como muestra el esquema a) de la figura 9.5 y resulta Cm = 1. Pero si uno de los extremos tiene momento nulo, como en el caso del esquema b), M1 ~O y Cm= 0.6.

Si ambos momentos tienen signos iguales (esquema e) resulta extremos presentan signos opuestos (esquema d) : 0,6 ~ e,,, ~ 1

0,2 «e; ~ 0,6y si los momentos

CASO 2) VIGAS-COLUMNAS NO DESPLAZABLES CON CARGAS INTERMEDIAS EN LA LUZ

En este caso, el coeficiente de reducción Cm se obtiene :

El factor Cm puede obtenerse de la Tabla 9.2, donde

e = 1 + "' la m T F' ~ (9.6

441

TABLA 9.1

VALORES DE F.' PARA TODAS LAS CALIDADES DE ACERO (Kglcm2)

KL.Jr. F' Ki..,trb F' KL.,lrb F' KLJrb F' KL.tr. F' • • • • • 1 41 6425 81 1646 121 738 161 417 2 42 6)22 82 1606 122 726 162 412 3 43 584) 83 1568 123 714 163 406 4 675000 44 5579 84 1531 124 702 164 402 5 432000 45 5333 85 1495 125 69) )65 397 6 300000 46 5104 86 1460 126 680 166 392 7 220480 47 4889 87 1427 127 670 167 387 8 168750 48 4687 88 1395 128 659 168 383 9 133333 49 4498 89 1363 129 649 169 378 10 108000 50 4320 90 1333 130 639 170 374 11 89256 51 4152 91 1304 131 629 171 369 12 75000 52 3994 92 1276 132 620 172 365 13 63905 53 3845 93 1249 133 611 173 361 14 55102 54 3704 94 1222 134 601 174 357 15 48000 55 3570 95 1197 135 593 175 353 16 42187 56 3444 96 1) 72 136 584 176 349 17 37370 57 3324 97 1148 137 515 177 345 18 33333 58 3210 98 ) 125 138 567 178 341 19 29917 59 3103 99 1102 139 559 179 337 20 27000 60 3000 100 1080 140 551 180 333 21 24490 61 2902 101 1059 141 543 181 330 22 22314 62 2810 102 1038 142 536 182 326 23 20416 63 2721 103 1018 143 528 183 322 24 18750 64 2637 104 999 144 521 184 319 25 17280 65 2556 105 980 145 514 185 316 26 15976 66 2479 106 96) 146 507 186 312 27 14815 67 2406 107 943 147 500 187 309 28 13776 68 2336 108 926 )48 493 188 306 29 12842 69 2268 109 909 149 486 189 302 JO 12000 70 2204 110 893 150 480 190 299 31 ) 1238 71 2142 111 877 151 474 19) 296 32 10547 72 2083 112 861 152 467 192 293 33 9917 73 2027 113 846 153 461 193 290 34 9343 74 1972 114 831 154 455 194 287 35 8816 75 1920 1J5 817 155 450 195 284 36 8333 76 1870 116 803 156 444 196 281 37 7889 77 1822 117 789 157 438 197 278 38 7479 78 1775 118 776 158 #

433 198 275 39 7101 79 1730 119 763 159 427 199 273 40 6750 80 1687 120 750 160 422 200 270

442

F/ es el esfuerzo de pandeo de Euler dividido por un factor de seguridad de 23/12, según se detalla en Ref. 28. y cuyos valores se leen en la Tabla 9. L donde L, es la luz entre apoyos del miembro flexo-comprimido y rb el radio de giro correspondiente ni plano de la flexión.

Adicionalmente. la Norma permite adoptar en forma aproximada para el coeficiente de reducción Cm los siguientes valores :

Cm = 1 para miembros solicitados por una carga distribuida o una sucesión de cargas puntuales iguales cercanas entre si.

Cm """ 0.85 para miembros solicitados por una única carga concentrada.

TABLA 9.2 Valores de Cm en vigas-cetumnas no desplaubles

con cargas intermedias en la luz

Qlso e,,,

···-· ----------------··-- ---- - - ---- ----1-----------1

-¡mrnommrmrfi~

~------·--··. -- . ----···- ---- - --····--.-·-·- - --------- -- - -···------

_grmum1nurrnr{~-

------- ----------1

o

-0.3

-0.4

-02

1.0

1-0.2~

------·----·---·- -··--- ------- ---------4----------i

--· ---·--··--- ------·-····---·······--·----· ·-·------··---------

- ~1~ --------1F-

-04

-06

1-04~

1-0.6~ •

443

9.4 .• - Vlps-columna1 de pórticos desplazables

Es el caso de pórticos desplazables lateralmente en su plano, para los cuales la resistencia mayorada a flexión con momentos de primer y segundo orden de sus miembros debe cumplir con la ec. 9.3, y el análisis en este caso se realiza en dos etapas.

La primera de estas etapas corresponde al análisis del pórtico sin desplazamiento, mediante la detenninación de los momentos de primer orden Mn1 para cargas factorizadas, y del respectivo coeficiente de amplifteación B,. La segunda etapa consiste en determinar las fuerzas laterales que actúan a la altura de los dinteles, y que originan el corrimiento lateral .1, de los diferentes niveles de la estructura.

Las columnas flexo-comprimidas que forman parte de estos pórticos soportan, por la acción de estos desplaumientos laterales. momentos de primer orden que se designan Mh, donde el sub(ndice "lt" significa "translocíon lateral", A estos momentos se suman los momentos de segundo orden producidos por la fuerza axial P en el corrimiento A, es decir el efecto Pó, según se muestra en la figura 9.4 b) y e).

Este efecto de segundo orden se toma en cuenta en el análisis mediante el factor de amplificación 82

que incrementa el valor del momento inicial M11 en la ecuación 9.3.

A diferencia del factor de amplificación 81 que afecta los momentos Mn1 en las vigas-columnas no desplazables, y que debe ser calculado para cada uno de los miembros flexo-comprimidos en fonna indepen- diente, el factor de amplificación 82 que incrementa los momentos Mrt debidos al desplazamiento del sistema, tiene un valor único para todas las columnas de un mismo entrepiso, en cada dirección considerada.

El factor B2 se obtiene de ec. 9. 7. o indistintamente de la 9.8. En la primera de ellas se toma en consideración el valor del corrimiento lateral ~ a la altura del dintel del pórtico que se analiza, bajo la acción de la fuerza lateral factorizada 1-1. en la altura L del entrepiso en estudio. En la segunda, se toma en cuenta la sumatoria de las cargas axiales factorizadas N, y la sumatoria de las cargas normales de pandeo elástico Ne2 según la ecuación de Euler, en todas las columnas del entrepiso, con el factor de longitud efectiva K en el plano de la flexión. considerando el pórtico no arriostrado.

l

B2 =1 - --L-N-., -( ¿-ó-~-L-) (9.7

o bien:

(9.8

donde: tr2 El (K L)2

Algunos ejemplos numéricos se dan a continuación. para aclarar estos conceptos.

444

Ejnnplo 9.1.

Verificar si las columnas del pórtico simétrico de la figura, son resistentes en flexocompresión. Todos los miembros tienen igual sección transversal. El acero es AE 35. El dintel del pórtico soporta una carga unifonnemente distribuida factorizada de 8 t/m, y las columnas reciben cargas axiales factorizadas adicionales de 561 ,6 t cada una. Las secciones transversales de las columnas se ubican de modo que en el plano del dibujo resistan con su eje fuerte. Según el eje débil; los pórticos se hallan arriostrados y los momentos factorizados de las columnas son:

49,26 -49.26 _..,.. -4-- Rt.. . L::r9.6m H Rti Mnty = 15 tm

I• .,..f Ryt tRv 1 24.63 1 A

En el extremo superior : En el extremo inferior :

Mnty = 30 tm Mnty = 15 tm

-61,44

41,17 -~~ •• ~ :J 6 79 3 34 -,

-1,67 .,._J

1,12 055 -, -0,27 ...,J

o 18 o 09 H =4 ,Bm

Los momentos de primer orden en el plano del dibujo se obtienen en forma sencilla aplicando el método de Cross. Los momentos iniciales para los nodos en los extremos de la viga son :

M- = qu L2 I 12 = 8 x 9,62 I 12 = 61,44 tm

Las rigideces flexionales resultan:

Para la viga: K1 = 4 E I / L = 4 E 1 I 9.6 y para cada columna

Por lo tanto, los factores de distribución en los nodos en función de las rigideces relativas de los tramos son:

rn¡> 1/9,6 = 033 (1/9,6)+(114,8) •

para la viga y m2 = 0,6 7 para cada U>hamna.

Los momentos finales en los extremos de los miembros resultan, para un factor de propagación de 0,5

Mm= 49,26 tm Mnn = 24,63 tm

en el extremo superior en el extremo inferior

445

Por simetrfa de luces, cargas y rigideces, el pórtico no se desplaza lateralmente :

Se debe verificar el valor de+ •. Para ello, resulta:

M1tx = M11y = O

Por ala: b, I 2 Ir = JO < 914 I JX = 12, 7 Cumple

Por alma: h./ t.= 34 < 2120 I .¡¡: = 35,83 Por lo tanto, ~-= 1 (Ver Sección 6.9)

I, = (50 x 751- 48 x 701) / 12 = 385.812 cm' s.= 2 1.11s = 10.288 cnr'

S, = 2 ly I br = 2.085 cm3 ly = (5 X 501 + 70 X 21) 12 = 52.130 cm"

Resuha: r, = ~IJÁ = J 1,45 cm

1 h • 70 cm

J d • 75 em

ry= J1~ = ll,56cm

15,4 t .. i 24 , 63 tJ1l 600 t

15,4t

24,63: t t""'

Para las columnas sin desplazamiento, se adopta conservadoramente K = 1. Un valor más exacto se obtiene usando el nomograma de la figura 6, 7.

K L I ry = 480 I 11,56=41,52 De Tabla 6.8 se lee: +e F" = 2.634 Kg/cm'

Resulta: +e N1 = 2.634 A = 1.027 t > 600 t Correcto

~ = 600 / 1.027 = 0,584 > 0,2 tA N,

Se calculan a continuación los factores de amplificación B1x y B1y para los momentos de primer orden Mllb y M.., Se obtiene esl :

M .. y M.y son los momentos factorizados de diseño debidos a los momentos de primer orden y los de segundo orden tomando en cuenta las deflexiones en las columnas del pórtico no desplazable,

446

e B, = -1-(-~-~ N-J;,: 1

En las columnas del pórtico en estudio. resulta para ambos ejes : Por lo tanto,

Mu menor I Mu mayor = + O,S

Cm11 = Cmy = 0,6 - 0,4 X 0,5 = 0,4 (ec. 9.5 )

La carga de Euler se obtiene: tr1 E I

Ne, ·-== (K L) i K L=4,8 m

Para cada eje :

tr] E IX = 34. 711 t (K L) 2

tr2 E I ___ Y = 4.689 t (K l) 2

Se despeja:

B,. = I-(~ r 0,407~1 34. 7 t 1

Por lo tanto, se adopta :

Por lo cual Mux = Mna = 49,26 tm Muy = Mn1y = 30 tm

A continuación se verifica el pandeo lateral torsional. De ec. 8.24 :

L, = 480 cm < L¡, = 1.74 x 11.56 ~o/J.soo = 493 cm Por lo tanto : Ma = Mpx = F, Z... Mry = MP)' = F, Zy

N. . 8[ MIL, Muy ]- 600 8 [49,26 30 ] 'Pe N, + 9 <P1i M,_"' + <P1i M,y - 1027 +9 362,6 + 100,8 = º'97 <

1 Cumple

Los valores de Z.. y Z; se obtienen de la figura 7.18.

Resulta: 7.,.,. == Ar hr + Aw h I 4 = 11 . 5 1 2 cm' Zy =Ar br/ 2+ h fw2 / 4 = 3.200 cm'

+., Mt11 = 0,9 x 3.500 x 11.512 = 362.6 tm ~ Mty = 0,9 X 3.SOO X 3.200 = 100,8 tm

Como N • = 600 / 1.027 = 0.584 > 0.2 se usa la ec. 9.

;,. N,

447

f:JetllllJlo 9 • .2.-

Verificar si las columnas del pórtico del ejemplo 9.1 son resistentes, con la nueva sección indicada, bajo las cargas simétricas dadas, más una carga lateral factorizada, de 120 t actuando a la altura del dintel, como muestra la figura

1 h - 70 cm

l

be. 50 cm • 1

d. 78c.m

H c:4,8m

L:r9,6m H ~1

El anAlisis se m1li711 en dos etapas. La primera es considerar el pórtico no desplazable, bajo la acción de las cargas gravitacionales y la segunda es tomar en cuenta únicamente la acción lateral libre de cargas verticales. Por lo tanto, el procedimiento para las cargas gravitacionales en el pórtico es idéntico al usado en el ejemplo 9.1 y los valores obtenidos para la nueva sección resultan :

A= 540 cm2 111 = 605.300 cm" S11 = 15.520 cm3 r, = 33,47

l, = 83.380 cm' ry = 12,42 cm K= 1

K L I r y == 3 8,64 •• = 1

Para F y= 3.500 Kg/cm2 : cf>c Fa= 2.677 Kg/cm2

ETAPA 1.- PQRTICO SIN DESPLAZAMIENTO

Cml = Cm2 = 0,4 Ne111 = 54.451 t Net y= 7.500 t

Mb = M"' = 3.500 x 17.250 = 603. 75 tm . ~

Mcy = Mpy = 3.500 X 5.070 = 177 ,45 tm

""'= 0,4 B1r = 0.434 Por lo tanto, B1x = B1y = 1

Bh M"'"' = 49,26 tm

Como l"'i> = 480 cm < (_,, = 530 cm : para Z,. = t 7.250 cm' y Zy = 5.070 tm

+t, Mry = 159, 71 tm

448

!>61, 6 ll 1 ~61.H i c.\J ·~ 8 t/m t

- - -t

!>6L6it <:Ju• 8 t/m i ~6l.6 t

lHHHHJl+ISi~HO e _...., ~--------- 120t B e B

+ Etapa 1 Etapa 2

H H ETAPA 2.- PQRTICO DESPLAZABLE

En esta etapa, el pórtico sufre un desplaz.amiento lateral d por efecto de la carga horizontal de 120 t actuando a la altura del dintel en el plano del dibujo. Las dos columnas tienen igual rigidez flexional, por lo cual soportan iguales momentos flectores.

Para hallar los momentos en los nodos por el desplazamiento de la estructura, se aplicará nuevamente el método de Cross. Para ello se comienza por dar valores iniciales arbitrarios de momentos, iguales en ambos extremos de cada columna, por ejemplo de 24 tm, suponiendo los extremos perfectamente empotrados y desplazados lateralmente una magnitud d.

Repitiendo el método aplicado en el ejemplo 9.1, luego de equilibrar, distribuir y propagar los momentos, el resultado es el siguiente:

En el nodo A : MA = 17,07 tm En el nodo B : M8= 10,14tm

A estos valores de momentos en los extremos de cada columna corresponde un corte de :

60/ 5,668 = 10,585

V0 = (J 7,07+1O,14) / 4,8 =5,668 t

Por lo cual, para una fuerza de 120 t a la altura del dintel, a cada columna corresponde un corte de 60 t y los momentos obtenidos se deben multiplicar por el factor:

para hallar los momento finales de primer orden debidos al desplazamiento lateral del pórtico. Se obtienen así los valores :

M-." = M1tx 0 = 17,07 x 10,585 = 180,68 tm

M1ex e :;:M1t11c = )0,)4 x J0,585 = 107,33 tm

como indica la figura.

449

24T~

D -,.;i!~ ~ 3 e n 1-17,07 -24

5 , 668 t - D 6,93

r61, 6 t 8 t/m : 561, 6 t t 107, 33 trn f f \ J 1 J f f J J f f f f J 1 f J

49,26 tm ~ ---- - - --- 49,26tm

-24,00

24 trn -266

10,14

A 5,666 t

15,4 t ___..,. .... ._-f,~w

t 24, 63 tm 600 t ~ntos Mntx

del ejemplo 9.1. 156, ~9 tm

t 600t

Memento& finales de 1er orden

44 ,6 t -e t 540 t Fuerzas de corte t660t

Fuerzas ax in les

450

Se debe hallar a continuación el valor de K que define la longitud efectiva de las columnas para poder determinar el factor B2 que toma en cuenta el efecto PA. En cada columna :

605.300/480 = 2 605.300/960

En el nomograma de la figura 6. 7 se lee : K = 1.4 7 K, Llrx = l,47x480/33,47=21

+e Fer= 2.884 Kg/cm' cl>c N, = 1.557 t > 1.445 t ___. Controla

La carga de Euler resulta

El factor de amplificación B2 para las columnas desplazables es:

8211 = l -= l = 1 025 1-"¿N,,l"¿N,2 1-[(540+660)/ (2x25.198}] '

Para los pórticos arriostrados. en el plano normal, resulta B2y =O

En la columna CD :

~ = 660 == 0,457 > 0,2

tPc N, 1.445

Mux:c == Bh Mnt~C + B211 MlhC = 49,26 + 1,025 xl07,33 = 159,27 tm

Mux n " 8111 Mntx o+ B2x M,,~ D =24,63 + 1,025 X 180,68 = 209,82 tm

Muye= B1y Mntyc + B2y Mttyc = 30 +O = 30 tm Muyo= IS tm

~ + !( MIU + Mii)' ) = 660 + 8 (209,82 + _1_5_) = 0-883<1 t/J'"N, 9 ,P,,Mt.-c t/J,,Mf). 1.445 9 543,37 159,71 '

Cumple

La ecuación de interacción en el nodo C resulta :

( M ) ( ) . ~ +~ M ru + -"-Y =: 660 + ! 159,27 + 30 = 0,885 < 1

r/JcN, 9 ,P,,Mrx rAM~i· 1.445 9 543,37 159,71

y en el extremo D :

4 51

Ejemplo 9.J.-

En el cordón superior de la armadura de techo tipo Howe de la figura, se usa un perfil Sidetur 120, con F,. ª 2.SOO Kglcm2• Verifique si el mismo es resistente para las cargas factorizadas de viento indicadas, trans- mitidas por las correas que apoyan en los nodos y en la mitad de la luz de los tramos, dando soporte lateral a la estructura en cada punto de contacto con la cercha.

Para el análisis se asume que los cordones superior e inferior son continuos, apoyados en los nodos donde se conectan los miembros del alma de la armadura, mediante articulaciones. Para simplificar la resolución del sistema, cada tramo de ambos cordones perimetrales se supone doblemente empotrado en sus extremos, con excepción de los segmentos A-1 y B-5, que se consideran articulados-empotrados. Este criterio simplificativo da resultados más exactos que el tratamiento de cada miembro como una viga simplemente apoyada.

6 @ 2, 5 m _...,.

Se analizará el tramo A-), despreciando el peso propio del perfil, para la flexo-compresión debida a la carga axial de compresión de 7 t y de ta carga centrada de 1 ,5 t, ambas factoriz.adas. Un análisis del tramo A-1 como cuerpo libre, permite obtener el momento ílector en el extremo empotrado, y las reacciones en los extremos. Resulta :

4 == 0,62 cm L,= 3,18m 1.420 Kgm

Mnt = 3 P11 L I 16 == O, 765 tm

Las propiedades estáticas del perfil se Icen en las Tablas del Apéndice A.

A= 14.2 cm2 l.== 328 cm' ly=21,5cm4

r, = 4,81 cm ry = 1,23 cm Z; = 63,1 cm'

En lo referente a la resistencia de diseño en flexión se leen los siguientes datos:

+ti M" = 0.886 tm

Por estar los miembros soportados lateralmente : K, = K, = 1

452

K. L.= 272 cm K, L, = 136 cm L, = 136 cm

K, L, I r y = 136 I 1,23 = 111 Controla

De la Tabla 6.6 se lee: 4>c Fa=" 1.141 Kg/cm2 Por lo tanto, fe N, = 1.141 X 14,2 = 16,2 t

Este valor de te N, puede asimismo obtenerse interpolando los valores de la Tabla del apéndice A de los perfiles IPN Sidctur correspondiente a la resistencia en compresión axial para KL = 1,25 y KL = 1,50 m.

Resulta : N, l +c N, = 7 I 16.2 = 0,432 > 0,2 Corresponde a la ecuación 9.J.

A continuación se calcula el valor del factor de magnificación Bh· En el plano de la flexión, para

se lee de la Tabla 9.1 Fe' = 3.324 Kglcm2

f.= 7.000/ 14,2 = 493 Kg/cm2

El caso en estudio corresponde a la ecuación :

Se obtiene: 0,955

r- N"/ /N"'

= 0,955 = 1 033 7/ ' 1 - /91,887

MIR= 1.033 X 760 = 785,6 Kgm

.s: + ! ( M., +o)= 0,432 + ! (785'6) = 0,984<1 ;e N, 9 fPti M,T 9 1.264 Correcto

Para L, = 136 cm, de las Tablas del Apéndice A se lec : ~ Mbl = J .264 Kgm

Al no existir desplazamiento lateral: Mtt =O y la ecuación 9.1 resulta:

453

9.5~- Disefto de miembros en fle1.o-compresión

El diseno de miembros flexo-comprimidos pertenecientes a pórticos desplazables o no, se debe realizar por tanteos, hasta encontrar una sección transversal que cumpla con las condiciones estipuladas en las ecuaciones 9.1 o 9.2, según la magnitud de las cargas axiales actuantes sobre la estructura.

Para agilizar el proceso de elección de esta sección, es conveniente usar criterios simplificativos que permitan definir en forma directa un perfil que se acerque al definitivo, de modo de disminuir el número de los tanteos necesarios para resolver el problema.

Para ello, las ecuaciones 9.1 y 9.2 se pueden replantear agrupando los términos como se indica:

Al término +e N, se lo iguala a una fuerza axial ideal de compresión equivalente Nueq que resulta :

(9.10

Cuando ~ < 0,2 ;,N,

N ( M M"Y ) --"- + __ u.r_ + --·- ~ 1 2 fJc N, ;,, Mu ;,, M,,,

y se obtiene la carga axial equivalente factorizada razonando de forma similar. Como primer tanteo, se puede usar en ambos casos la ecuación 9. 1 O. adoptando los siguientes valores iniciales :

m = 2 a 2,S y n = 4 a 5

Yuri ( 1988) propone comenzar con los siguientes valores : m = 2/d total del perfil y br el ancho del ala.

n = 7,5 / br siendo d la altura y

Conocido e1 valor de la carga ideal equivalente factorizada N, eq' se disefta la sección como si fuera una columna que soporta esta carga axial únicamente, según el Diagrama de Flujo# 1 O.

De esta manera. elegida la sección transversal del miembro en compresión pura para la carga axial ideal N. eq, se procede a verificar si la misma resiste la flexo-compresión para las cargas y momentos factori- zados reales. Para ello. debe cumplir con las ecuaciones 9.1 o 9.2 según el caso, siguiendo los criterios del Diagrama de Flujo # 14. Si los resultados obtenidos se alejan por exceso o por defecto, deben ajustarse las dimensiones hasta lograr la solución óptima para el diseño,

454

EJ~mplo 9.4.

Disd\c la viga-columna AB indicada. en un perfil HEB de acero Fy = 3.500 Kg/cm2 usando el criterio de la carga axial equivalente. El miembro pertenece a un pórtico desplazable en el plano xz del dibujo, mientras que el pórtico ortogonal en el plano yz está arriostrado. Todas las columnas en la planta son iguales, y todas las vigas son IPE 300.

De un análisis de primer orden para las diferentes combinaciones de cargas factorizadas de la Sección 2.3. se obtuvieron los siguientes resultados máximos para el diseño : 1,2 CP + 1,6 CV1 + 0,8 W que se indican en la figura.

y \

5m Sm ' ¡ - _¡_ Sm - 1 - - 1 1 1 . . .. - - . . , . 1

~ - . , . -- .

'

. . . .

(e.)N3 .. .. j

.,.__

l Pórticos arriostrados

r Sm

310t 380t 380t 310t

3m ----x

r 5m

'

Sm 5m- ...... ._ LN. = 1.380 t

B

Desplazable Arriostrado

r22Un tz

Planto del edificio A

310 t

3m Sm

z

Pórticos desplazables

De acuerdo a lo indicado en la Sección 9.6, para el diseño se adopta en un primer tanteo la carga axial equivalente factorizada :

A= 198 cm2 r11=17,1 cm ry = 7,4 cm y resulta: K11 L = 4,5 m

En este caso, eligiendo el extremo con los momentos máximos:

Nu eq = 31 O + 2,5 ( 18 + 22) + 5 x 11 + 465 t

Se selecciona inicialmente un perfil de prueba HEB 400, adoptando un K, 5 1,5 para el pórtico desplazable y K,.= 1 para el no desplazable. Se lee de la Tabla del Apéndice A:

Kl{ L Ir"= 27 Controla

455

De la Tabla 6.8 del Capitulo 6, para elementos en compresión axial con F, = 3.500 Kglcm2 ,se lee: 'e Fa= 2.6S1 K.Wan2

y se obtiene: +e N, = 2.657 x 198 ~ 526 t > 465 t Bien

Sin embargo. al verificar: N, / 'e N, = 31 O / 526 = 0,589 > 0,2

Por lo cual corresponde aplicar la ecuación de interacción 9.1, pero es evidente que este valor es elevado y resta poco margen para la colaboración de la flexión, con momentos considerables en este caso. En consecuencia, se elige un perfil l IEB mayor, por ejemplo un HEB 500, con las siguientes características obtenidas del Apéndice A : A == 239 cm2

s.= 4.290 crn' r, = 21.2 cm ry = 7.27 cm I" = 107 .200 cm" ly = 12.600 cm'

Se ajusta el valor de K" para el pórtico desplazablc : GA =por ser extremo empotrado

Gn= 107.200 I 3 = 21 8.360 / 5

y del nomograma de la figura 6.7 se lee: K, = 2,04

Por lo tanto. resultando :

K" L I r. = 2. 04 x 3 00 I 2 1 • 2 = 2 8 K, L / ry = 300 / 7,27 = 41 Controla

+e Fer= 2.642 Kg/cm2 4>c N, = 2.642 X 239 = 63 J,43 t

por lo cual Nu I 4>c N, = 31 o/ 631, 43 = 0,49 > 0,2 Aplica la ec. 9.1.

Cálculo de los factores de magnificación B1x y B1y.

Para el eje x, en el caso no desplazable : K. = 1 La ecuación de Euler expresa

N =tri E lx =tri E x107.200 = 24.687 K '1.r (KJ.,) 2 (300) 2 g

Cmx = 0.6 - 0,4 (M 1 I M2) = 0,6 - 0,4 ( 12 I 18 ) o = 0,33

e; o.JJ 33 1 Ñ .. / = 310 ==O. < l - lNrlc ) - /'i4.687

Por eso, B1x = 1

Para el eje y, con pórtico no desplazahle : Ky= 1

N . = 1l2E1,, = 1l2 Exl2.600 = 2.901 Kg el, (K_.,l) 2 (300) 2

Cmy = 0,6 - 0,4 X (6 / 11) = 0,38

C .. ll' o.38 2 B1y == · N~· == _ ) I O/ = 0,4 5 < 1 1 - " 1 /2.901

Ne1r

Por lo tanto : B1y= 1

456

Cálculo del factor de ma_gnif~~JQn_ 81,

Para el pórtico desplazable según el eje x, en las columnas AB y GH

N - 1l2 E r, ~2" - (2.04x300) 2 5.9321

En las columnas CD y EF varia el K11 pues hay dos vigas concurrentes a cada columna en el plano xz, Se debe hallar:

Ge= 1 G =-: 107.200/3 =to S n 2x8.360/ 5 '

Resulta : K, = 1,82

Ne2, = tr2 E r1: = 7.453 t (l.82x300) 2 L N, = 1.380 I en 1as 4 columnas

L N,.2 = 2(5.932+ 7.453) = 26.770 I Se obtiene el coeficiente Bix para las columnas del pór1 ico en x:

\4 ~ = - 1.380L = 1,054 1-LIN" l /26.770

Nr2x

En definitiva resulta : Mull = B1x Mntll + B2, M1tx = 18 + l,054 X 22 = 41,18 tm

Muy= B1y Mnty + O= 11 tm

Falta hallar la resistencia teórica en flexión ~ M~ y ch Mtr> que depende del pandeo lateral torsional, es decir de la longitud Lt, = 3 m entre los soportes laterales de las vigas-columnas, los cuales se ubican en sus extremos.

De las Tablas del Apéndice A para los perfiles HEB SOO con F, = 3.500 Kg/cm2 se verifica que en este caso:

Por lo tanto la resistencia teórica en flexión es la de los momentos plásticos l11 = J m < L, l::: 3,10 m. correspondientes y se obtiene :

ch Mn =ch M~ = 151,67 tm < 1,5 ~ M, = 1,5 X 0,9 X 3.500 X 4.290 = 202,7 tm Bien M, == Fy s. +., Mry = '1, Mpy = 40,63 tm

La ecuación 9.1 expresa:

N" 8 ( M IU u; ) 8 ( 41,18 11 ) -- + - -- + -- = 0,49 + - + -- = 0,972 < 1 <A N, 9 </>,, Má ;,, u; 9 151,67 40,63

Por lo tanto, el perfil elegido es adecuado.

457

Ejemplo 9.S.

Diseñe el cordón superior de la armadura de techo indicada, que soporta las cargas factorizadas de las correas aplicadas en los nodos y en la mitad de la luz de cada tramo. Use perfiles IPE de calidad de acero de F, = 3.000 Kg/cm2• :

La estructura se modela como un conjunto de miembros donde los cordones paralelos son continuos y apoyan en los nodos. mientras los montantes y diagonales del alma de la viga mtán articulados en sus extremos.

Los momentos flectores en los tramos de la cuerda superior se hallan aplicando criterios simplificativos suponiéndolos doblemente empotrados en sus apoyos. Resulta asl :

3,6 t@ l,6m

i8,8t 3,6t 28.8t 1 1 l,44tm ~ l,Cim• l •1,6 m ~

A ~--~~~~----Ji!!I"~ t28,8 t 3,2 m E

Para hallar la carga axial que solicita el tramo más cargado del cordón superior (tramo E'F' y su simétrico central) se secciona el sistema con el eje 1-1 y tomando momentos con respecto al nodo E se obtiene:

ME= (28,8 - 3,6) X 9,6 - 7.2 (6,4 + 3,2) +PE' X 1,5 =ü Resulta: N, =PE· = 115,2 t (de compresión)

El miembro que se analiza está arriostrado lateralmente por las correas en cada uno de los puntos de contacto, por Jo cual :

Además : Mn1y = M11y = O y L, = 1,6 m

Para et diseño, se aplican los criterios del item 9.6 y se obtiene la carga critica equivalente

Nueq = N, + 2.S M11"< = 115,2 + 2,55 X l,44 = 118,8 trn

A= 53.8 cm2 l, = 8.360 cm' S, = 557 cm' r, = 12,5 cm ry = 3,35 cm

Se elige en un primer tanteo un perfil IPE 300 con las siguientes caracterfsticas dadas en el Apéndice A:

Se adopta conservadoramente K = 1 para el miembro en estudio (Si se desea realizar un análisis más exacto puede usarse el valor de K = 0,65 de la Tabla 6.1 ). Resulta :

K, L, I r, = 320 / 12,5 = 25,6 Ky t, / ry = 160 / 3,35 = 47,8 Controla

De la Tabla 6. 7 se obtiene : +e F ª = 2.22 t Kg/cm2 y 'cNt = 2.221X53,8 = 119,48 t > 118,8 t

458

Se verifica la relación : Nj 'e N, = 115.2 I 119,48 = 0,964 > 0,2

de modo que aplica Ja ecuación 9.1. Este valor de N./ 4>c N, es elevado, pero como la flexión es muy pequefta pues el momento es de sólo 1,44 tm en relación a un axial de 115,2 t, se continuará con este mismo IPE 300 hasta comprobar si se cumple la ec. 9.1, buscando la máxima economfa de diseño,

Cálculo de 8111 : En este caso, para hallar Cm , de la Tabla 9.2 y resulta :

Cm= 1 - 0,6 r. / F'~ = 1 - 0,6 X 2.141/ 16.497 == 0,922

Para : f.= 115.200 I 53,8 = 2.141 Kg/cm2 y de la Tabla 9.1, para K, L, / rx = 25,6 F' a= 16.497 Kw'cm2

N,a. = n2 E l. I (K, l.')()2 = 1.692 t

Resulta: 0,922 = --1 1-5-,2-/- = 0,989 < 1

1 - fl.692 º"' = 1

Y el momento M'" será : MIVI = Mn, = 1,44 tm

Para verificar la ec. 9.1 falta sólo determinar el valor de cPb Mtx. En virtud de que los perfiles IPE son compactos por ala y por alma, el valor de~ Mh depende del pandeo lateral torsional.

En este caso, para L, = 160 cm, de la Tabla del Apéndice A para el IPE 300 y F, = 3.000 Kg/cm2 se lee:

I,, = 154 cm L, = 464 cm Por lo tanto. resulta : i,« t, < L,

por lo cual se aplica la ecuación :

De la Figura 8.9 se obtiene el valor de C, para este caso : C, = l ,67. (Es usual, sin embargo adoptar para C, un valor conservador: C, = t ).

De las Tablas del Apéndice A se lee: cPt> M'" = 16.95 tm y +., Mn = 11,53 tm

.s: + ~ ( M.a ) = 0.964 + ! ( 1'44 ) = 1,04 > 1 ;e N, 9 (/>,, M,_., 9 16,95 No cumple.

Además se cumple : ~ M~ < 1,5 cPt> M, = 1,5 cPt> F, Sx = 1,5 X 0,9 X 3.000 X 557 = 22,55 tm Bien

De modo que resulta : +t,Mtx= l.67x 16.845tm= 28,IJtm > ~Mpx= 16,95tm

Y se debe respetar el valor máximo del momento plástico de la sección. Por lo tanto, de ec. 9.1 resulta:

En consecuencia, se coloca el perfil IPE 330 para materializar el cordón superior de la cercha que se disefta.