1

1

FITXES “PETITES INVESTIGACIONS”

2

2

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 1 : “ LES TRAVESSES”

Aquí pots veure els resultats de la travessa del 10 de febrer de 2008.

3

3

1- Pots investigar utilitzant internet quins han estat els resultats de totes les

travesses d’aquesta temporada corresponents a la lliga espanyola actual?

2- Has trobat alguna d’igual?

3- Per intuïció podries dir quantes creus que se’n poden fer de diferents?

4- Podries trobar alguna estratègia de càlcul per trobar totes les travesses

possibles?

5- Coneixes els diagrames en arbre?

6- Farem una simulació:

Suposem que la lliga només constés de dos partits, quantes possibles travesses

tindries?

Fes un diagrama en arbre.

7- Farem una simulació:

Suposem que la lliga només constés de tres partits, quantes possibles travesses

tindries?

Fes un diagrama en arbre.

8- Farem una simulació:

Suposem que la lliga només constés de quatre partits, quantes possibles

travesses tindries?

Fes un diagrama en arbre.

9- Farem una simulació:

4

4

Suposem que la lliga només constés de cinc partits, quantes possibles travesses

tindries?

Fes un diagrama en arbre.

10- Com que la nostra travessa actual té 15 partits i ja veus pels exercicis

anteriors que hi ha moltes possibilitats, escriu-ne 20 d’aquestes

possibilitats.

11- Quantes possibilitats hi ha en aquest cas?

12- Investiga quin és el preu per columna, i calcula quan et costaria fer totes

les possibles?

13- Si vols investigar una mica més, esbrina el sistema de dobles, triples...

14- Què són les variacions amb repetició?

15- Quantes paraules de dos lletres( repetides o no) es poden fer amb les

lletres R, O, C, A? Fes un diagrama en arbre. Escriu-les totes i amb l’ajuda

del diccionari digués quines tenen sentit i quines no.

16- Què són les variacions sense repetició?

17- Quantes paraules de tres lletres diferents es poden fer amb les lletres R,

O, C, A? Fes un diagrama en arbre. Escriu-les totes i amb l’ajuda del

diccionari digués quines tenen sentit i quines no.

18- Quantes paraules de quatre lletres( repetides o no) es poden fer amb les

lletres R, O, C, A? Fes un diagrama en arbre. Escriu-les totes i amb l’ajuda

del diccionari digués quines tenen sentit i quines no.

19- Què són les variacions sense repetició?

5

5

20- Quantes paraules de quatre lletres diferents es poden fer amb les lletres

R, O, C, A? Fes un diagrama en arbre. Escriu-les totes i amb l’ajuda del

diccionari digués quines tenen sentit i quines no.

21- Saps què són les permutacions?

22- Quantes maneres tens d’ordenar quatre llibres diferents en una

prestatgeria? I tres llibres? Fes els corresponents diagrames en arbre.

23- De quantes maneres diferents pots ordenar els colors: verd, blanc i groc en

les tres franges d’una bandera sense que els colors es repeteixin. I si es poden

repetir?

24-Consulta aquestes pàgines web:

http://club.telepolis.com/ildearanda/combina/ejerciciosyproblemas.html

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/combinato

ria.htm

6

6

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 2: “LES FUNCIONS EXPONENCIALS”

1-Creieu què és molt fàcil escampar rumors?

2-Farem una simulació: Suposem que una noticia que volem escampar el primer

dia l’expliquem a dues persones. El dia 0 només ho sabem nosaltres. Cadascuna

d’aquestes persones al dia següent l’explica a dues més ( cadascuna a dues

persones diferents), el tercer dia cadascuna de les persones que ho saben el

segon dia ho expliquen a dues persones més ( cadascuna a persones diferents) i

així successivament. Quantes persones ho saben al cap de tres dies?

3-I al cap de quatre dies?

7

7

4-I al cap de cinc? I al cap de sis? I set? I vuit?...continua així successivament

fins a 15 dies consecutius ( sempre suposant que les persones ho saben per

primer cop)

5-Has sentit parlar de les funcions exponencials? Busca informació sobre que

és una funció exponencial.

6-Busca una funció que representi la situació que hem descrit anteriorment. On

x son els dies i y les persones que per primer cop saben el rumor o la noticia

per primer cop ( no anem acumulant).

x(dies) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y(nºpersones)

Quina és la fórmula d’aquesta funció?

7-Amb el programa GEOGEBRA dibuixa el gràfic de la funció, seguint els

següents passos:

On posa entrada introdueix la funció y=2x i clica enter.

Amb la comanda:

8

8

Podràs desplaçar-te pels punts de la gràfica i veure els valors que pren la

funció. Pensa que només ens interessen les x’s enteres.

8- Farem una simulació: Suposem que una noticia que volem escampar el primer

dia l’expliquem a tres persones. El dia 0 només ho sabem nosaltres. Cadascuna

d’aquestes persones al dia següent l’explica a tres més ( cadascuna a tres

persones diferents), el tercer dia cadascuna de les persones que ho saben el

segon dia ho expliquen a tres persones més ( cadascuna a persones diferents) i

així successivament. Quantes persones ho saben al cap de tres dies?

9- I al cap de quatre dies?

10- I al cap de cinc? I al cap de sis? I set? I vuit?...continua així

successivament fins a 15 dies consecutius ( sempre suposant que les persones

ho saben per primer cop)

11- Busca una funció que representi la situació que hem descrit anteriorment.

On x són els dies i y les persones que coneixen el rumor o la noticia.

x(dies) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y(nºpersones)

Quina és la fórmula d’aquesta funció?

9

9

12- Amb el programa GEOGEBRA dibuixa el gràfic de la funció, seguint els

següents passos:

On posa entrada introdueix la funció y=2x i clica enter.

Amb la comanda:

Podràs desplaçar-te pels punts de la gràfica i veure els valors que pren la

funció. Pensa que només ens interessen les x’s enteres.

13- Ara farem un altre supòsit pràctic: Tenim un producte químic que cada hora

que passa queda reduït a la meitat. Si aquest producte químic té un pes de 10kg

quant pesarà quan hagin passat quatre hores.

14-I quan hagin passat 5h? I 6h? I 7h? I 8h?... i 10h.

15- Busca una funció que representi la situació que hem descrit anteriorment.

On x son les hores i y el pes del producte en kg.

X ( hores) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y ( kg )

10

10

Quina és la fórmula d’aquesta funció?

16- Amb el programa GEOGEBRA dibuixa el gràfic de la funció, seguint els

següents passos:

On posa entrada introdueix la funció que has descrit anteriorment i clica enter.

Amb la comanda:

podràs desplaçar-te pels punts de la gràfica i veure els valors que pren la

funció. Pensa que només ens interessen les x’s enteres.

Pren com a escala 1:500 o bé 1:1000 (ves a OPCIONES, zona gràfica i en eje x,

eje y fas el canvi d’escala), és més indicat per aquest cas.

17-Amb el programa GEOGEBRA dibuixa les següents funcions exponencials:

y=2x , y=3x ; y=(2,5)x

18-Amb el programa GEOGEBRA dibuixa les següents funcions:

11

11

y=(0,5)x , y=(0,3)x ; y=(0,2)x

19- Mira les següents pàgines web:

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_3_3.pdf

http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matem%C3%A1tica/Funciones/expo-

log-aplicac.pdf

http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matem%C3%A1tica/Funciones/expo-

log-aplicac.pdf

http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_03500.html

12

12

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 3: “MISSATGES SECRETS”

1- Anem a crear el nostre propi codi secret. Quantes lletres té el nostre

alfabet? Digues el nostre alfabet.

2- Quantes maneres tens d’ordenar tres colors diferents, suposant que els

colors és puguin repetir. Exemple: si els tres colors són vermell, blau, verd (

v,v,v-v,v,b-v,v,ve-...). Fes una estimació del nombre de possibilitats?

3- Has sentit parlar de les variacions amb repetició? Investiga sobre això?

Creus que estem davant un cas de variacions amb repetició?

4- Fes un diagrama en arbre que il·lustri aquesta situació.

5- Creus que tens prous variacions amb repetició de tres colors com lletres a

l’alfabet?

13

13

6- Com que la resposta anterior és correcta, espero!! aleshores si per cada

lletra assignem tres colors diferents, podrem escriure qualsevol missatge

amb codis de colors, no?

7- Escriu el següent missatge amb el codi de colors: “hola, soc un/a alumne/a

de l’IES Salvador Dalí. ( per escriure les minúscules pots utilitzar punts de

colors i per les majúscules quadrats de colors, com ho veus?)

a=

b=

c=

d=

e=

f=

g=

h=

i=

14

14

j=

k=

l=

m=

i així successivament.

8- Escriu altres missatges que tu t’inventis.

9-Utilitzant uns altres símbols que no siguin tres colors inventa’t el teu propi

codi secret.

10-Si més tard et fa falta codificar altres símbols com per exemple les deu

xifres ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9) els signes de puntuació o altres aleshores les

27 sigles ja no seran suficients i en aquest cas podeu fer servir sigles de

quatre caràcters perquè seran 34 possibilitats diferents és a dir 81, estàs

d’acord? O bé un codi diferent per nombres,com ho veus?

11- Si t’hi fixes en els codis de barres utilitzats per catalogar els productes de

supermercat veuràs que barres molt fines, barres més gruixudes i espais en

blanc es combinen per identificar un gran nombre d’objectes:

15

15

Quan el producte passa pel lector lluminós resulten instantàniament traduïts i

identifiquen informacions com la classe de l’objecte, el preu, la secció, etc.

Troba informació sobre els codis de barres.

12- Coneixes algun altre tipus de codi. Descriu-lo i explica el seu funcionament.

16

16

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 4: “ LA SUCCESIÓ DE FIBONACCI”

1-Què és una successió de nombres?

2-Posa exemples de successions. 10 exemples.

3-Observa les següents successions i digués que cal fer per generar tots els

elements de la successió:

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

b) 2, 4, 6, 8, 10,...

c) 1, 3, 5, 7, 9, 11,...

d) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...

e) 3, 9, 27,...

f) 10, 20, 30, 40, 50,...

g) 0.5, 0.25, 0.125,...

4- Què és una progressió aritmètica? Posa tres exemples.

17

17

5-Què és una progressió geomètrica? Posa tres exemples.

6- Observa la següent successió: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...

Què cal fer per generar tots els nombres?

7-la successió anterior és l’anomenada successió de Fibonacci. Busca informació

sobre ella.

8-Construcció d’una espiral:

Una manera pràctica de dibuixar una espiral és mitjançant la construcció

rectangular. Es tracta de dibuixar el quadrant d’un cercle en cada nou quadrat que

s’afegeix.

Observa el dibuix:

18

18

En aquesta construcció , comencem amb un quadrat d’una unitat de costat

(1) i s’afegeix un altre d’igual (2) per formar un rectangle de 2x1, seguidament

afegim un quadrat de 2x2 (3) per formar un rectangle 3x2, després un quadrat de

3x3 (4) de manera que el següent rectangle és 5x3, el següent quadrat és 5x5 (5) i

així successivament...

Fes la construcció d’aquesta espiral.

9-En el Llibre Abaci Leonardo proposa l’enunciat i la solució del famós

problema dels conills que va donar origen a la sèrie o successió de Fibonacci.

Aquesta sèrie de números és molt coneguda i utilitzada en matemàtiques:

a) La sèrie comença amb 2 uns.

b) Qualsevol terme de la sèrie s’obté sumant els dos anteriors.

c) La sèrie és infinita.

Així la successió de Fibonacci és:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811,

514229,...

El problema és el següent:

1) Suposem que tenim una parella de conills (mascle i femella) d’un mes d’

edat que encara no pot reproduir-se, però que podran fer-ho quan

compleixin dos mesos d’edat.

2) Suposem també que cada mes, a partir del segon, neix una nova parella de

conills (mascle i femella).

3) Si cada parella de conills que es reprodueix ho fa de la mateixa forma

que la parella inicial, quantes parelles hi haurà al principi de cada mes?

Analitzem la solució del problema:

19

19

Parella capaç de reproduïr-se

Parella jove que no es reprodueix

1

1

2

3

5

8

Suposant que no es moren, les parelles viuen de la següent manera:

20

20

Cada parella capaç de reproduir-se, passa ella mateixa al següent mes i a

més procrea una nova parella.

Cada parella jove, es torna una parella madura capaç de reproduir-se:

Cada terme de la successió de Fibonacci és la suma dels dos termes

anteriors:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

i es representa amb la fórmula:

fn+1 = fn + fn-1,

Podries calcular el terme número 100 de la successió de Fibonacci?

10-Per què les margarides tenen generalment 34, 55 o 89 pètals? Per què les

pinyes tenen 8 diagonals en un sentit i 13 en l’altre? Per què en els girasols es

poden comptar 21 espiral en un sentit i 34 en un altre?

11- Construïm la successió que consisteix en dividir cada nombre entre l’anterior de

la successió de Fibonacci, a quin valor s’aproxima? Coneixes aquest valor?

12- Calcula el següent valor amb 10 decimals: 2

51

(1,618039…)

13- Quina relació té amb la pregunta 11?

21

21

14- Has sentit parlar del nombre d’OR? Troba informació.

15- Quina és la millor manera d’ordenar els objectes per minimitzar l’espai perdut?

Com ordenar les fulles al voltant d’una tija, o les llavors d’una flor quan les dues

continuen creixent? La natura fa servir el mateix patró per disposar les llavors en

una flor, els pètals a les vores i el lloc de les fulles a la tija, a més aquests

ordenaments segueixen essent eficaços a mesura que la planta creix. Aquests

patró correspon a un angle de rotació a partir d’un punt central, mitjançant el qual

els nous elements es van organitzant a mesura que creixen.

Les plantes creixen a partir d’un petit grup de cèl·lules situat a la punta de cada

secció que creix: branques, brots, pètals i altres ( meristema) Les cèl·lules creixen

i s’ordenen en espiral, cada una es dirigeix en una direcció mantenint un cert angle

en relació al punt central. El més sorprenent és que un sol angle pot produir el

disseny d’organització òptima. Així una fulla situada a l’inici d’una tija serà tapada

el menys possible per les que creixen després i rebrà la necessària quantitat de

llum solar. Aquest angle de rotació correspon a una fracció decimal del nombre

d’Or.

16- Els girasols tenen 55 espirals en un sentit i 89 en l’altre o bé 89 i 144.

Les margarides presenten les llavors en forma de 21 i 34 espirals.

Qualsevol varietat de pinyes presenta sempre un nombre d’espirals ( 8 i 13 o 5 i 4)

17- Ara presentem dos jocs:

Joc 1) Traça un rectangle de costats 8 i 21 cm. Retalla’l per les marques que

es mostren a la figura. Amb les peces que queden construeix un quadrat de

costat de costat 13 cm.

22

22

· Calcula l’àrea del rectangle.

· Calcula l’àrea del quadrat.

Són iguals les àrees?

Què passa? .És correcte el resultat obtingut?

¿Tindrà alguna cosa a veure que 8, 13 y 21 siguin nombres consecutius de la

successió de Fibonacci?

Joc 2) Pensa en dos nombres qualsevol i construeix, començant per aquests

nombres una successió en la que cada terme sigui la suma dels dos anteriors.

La suma dels 10 primers termes de la teva successió serà onze vegades el

terme setè.

Això passa en la successió de Fibonacci i en qualsevol que es construeixi de

la mateixa manera.

Et sembla sorprenent?

Construeix algunes successions diferents que compleixin el que compleix la

de Fibonacci i comprova si es compleix el que hem dit abans.

http://www.arrakis.es/~mcj/gallego.htm

http://www.explora.cl/otros/metro/fibonacci.html

http://crislosi.wordpress.com/2007/03/24/la-sucesion-de-fibonacci-y-la-

naturaleza/

http://www.rieoei.org/experiencias108.htm

23

23

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina/mate3q

.htm

24

24

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 5 : LES CEL·LES DE LES ABELLES

Les abelles per emmagatzemar la mel construeixen els seus panells amb cel·les

individuals que cal que formin un mosaic homogeni sense forats desaprofitats.

1-Quina és l’àrea d’un triangle equilàter de 4cm de costat?

2- I de 6cm?

3- I de 10cm?

4-Quina és l’àrea d’un triangle equilàter de 10cm de perímetre?

5-I de 12?

25

25

6-I de 20?

7-Quina és l’àrea d’un quadrat de 4cm de costat?

8- I de 6cm?

9- I de 10cm?

10-Quina és l’àrea d’un quadrat de 10cm de perímetre?

11-I de 12?

12-I de 20?

13-Quina és l’àrea d’un hexàgon de 4cm de costat?

14- I de 6cm?

15- I de 10cm?

16-Quina és l’àrea d’un hexàgon de 10cm de perímetre?

17-I de 12?

26

26

18-I de 20?

19-Quina és l’àrea d’una circumferència de 4cm de radi?

20- I de 6cm?

21- I de 10cm?

22-Quina és l’àrea d’una circumferència de 4cm de diàmetre?

23- I de 6cm?

24- I de 10cm?

25-Quina és l’àrea d’una circumferència de 10cm de perímetre?

26-I de 12?

27-I de 20?

28- Construeix en paper 20 triangles equilàters de 1cm de costat i mira de formar

un mosaic? És possible? Queden espais buits?

29- Construeix en paper 20 quadrats de 1cm de costat i mira de formar un mosaic?

És possible? Queden espais buits?

27

27

30- Construeix en paper 20 cercles de 1cm de radi i mira de formar un mosaic? És

possible? Queden espais buits?

31- Construeix en paper 20 hexàgons regulars de 1 cm de costat i mira de formar

un mosaic? És possible? Queden espais buits?

33- Construeix en paper 20 pentàgons regulars del costat que vulguis i mira de

formar un mosaic? És possible? Queden espais buits? Si no és possible intenta

explicar per què?

34- Quin a conclusió treus de tot això?

35- Calcula l’àrea d’un triangle equilàter, un quadrat un hexàgon i un cercle de 12

cm de perímetre.

28

28

Quin té major àrea?

36-Observa l’aprofitament de l’espai:

Com veus la figura que té l’àrea més gran amb el mateix

perímetre és la circumferència seguida de l’hexàgon pero la

circumferència a l’hora de fer el mosaic deixa espais buïts.

29

29

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 6: “ENVOLTEM UNA CIRCUMFERÈNCIA”

Si envoltem amb un cordill una moneda, amb un altre una pilota i amb un altre la

Terra procurant que cada cordill assenyali exactament les vores d’aquests cossos

rodons, la diferència entre la longitud dels cordills és molt diferent, no creus???

1- Com pots calcular la longitud d’una circumferència?

2- Calcula la longitud d’un circumferència de radi 1m

3-Calcula la longitud d’una circumferència de radi 6m

4-Calcula la longitud d’una circumferència de diàmetre 5m

30

30

5- Farem el següent experiment:

a) Calcula la longitud de la circumferència d’una moneda d’un € ( o bé calcules

el radi amb un regle o bé la voreges amb un cordill ( en m).

b) Calcula la longitud d’un disc de circulació dels que et trobes a la carretera (

en m).

c) Calcula la longitud de l’equador del planeta Terra( en m).

d) Calcula la longitud d’una tapa d’olla de casa teva( en m).

e) Calcula la longitud d’un anell( en m).

f) Afegeix 1m a les anteriors longituds i omple la taula:

Objecte Longitud circumferència Longitud circumferència +

1m

31

31

g) Calcula el radi de la circumferència que formaries amb el cordill allargat

amb un metre més i omple la següent taula:

Objecte Radi circumferència Radi circumferència

ampliada un metre la

seva longitud

Diferència dels

radis

h) Que observes en la última columna?

i) Podries justificar teòricament aquesta observació?

j) Et sorprèn el resultat?

32

32

33

33

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 7: “EL RECTÀNGLE AURI”

Un rectangle especial és l’anomenat rectangle auri. Es tracta d’un rectangle

harmoniós en les seves dimensions.

1-Anem a construir el rectangle d’OR:

Dibuixem un quadrat i marquem el punt mig d’un dels seus costats. Unim el punt mig

d’un dels seus costats amb un dels vèrtexs del costat oposat i portem aquesta

distància ( punt mig- vèrtex) sobre el costat inicial segons el dibuix:

34

34

Agafa paper mil·limitrat i construeix un rectangle auri a partir d’un quadrat de 4cm

de costat.

2-Construeix un rectangle auri a partir d’un quadrat de costat 2cm.

3-A partir del teorema de Pitàgores digues quina és la distància entre el punt mig

d’un costat i el vèrtex del costat oposat.

4-Quina és la proporció entre els dos costats del triangle auri? Expressa-ho en

radicals.

En aquest nombre se l’anomena NOMBRE D’OR i és representa pel nombre: Φ El seu valor és: Φ = 1,61803... el van obtenir els grecs al trobar la relació entre la

diagonal d’un pentàgon i el costat del pentàgon.

5-Anem a comprovar que si es col·loquen dos rectangles auris iguals en la posició de

la figura el resultat és un altre rectangle auri.

35

35

Agafa paper mil·limetrat i construeix dos rectangles auris a partir d’un quadrat de

costat 4cm segons l’esquema i comprova el que hem dit.

6-Troba la pintura de Leonardo da Vinci “ El hombre ideal” i comprova que el

quocient entre el costat del quadrat i el radi de la circumferència que té per

centre el melic és el nombre d’OR.

36

36

7-Els Egipcis ja coneixien aquesta proporció i la van fer servir en l’arquitectura de

la piràmide de Keops ( 2600 anys a.C). Troba informació.

8-El nombre d’OR apareix en les pintures de Dalí, en la Venus de Boticelli. Aquesta

raó també la van fer servir artistes del Renaixement, a Espanya a l’Alhambra,

edificis renaixentistes com l’Escorial i a la natura en les espirals de les petxines.

Sobre algun d’aquests temes troba informació i amplia-la.

9-Els grecs també la van fer servir en les seves construccions, especialment El

Partenó on les seves proporcions estan relacionades entre sí per la raó àurea.

Troba informació sobre el Partenó i les seves dimensions.

10-Targetes de crèdit, fulls DIN-4, taules, finestres... segueixen les dimensions

que marca la proporció àurea. Fes una llista de 15 coses que tinguis o coneguis que

mantenen aquesta proporció i comprova-ho.

37

37

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 8: PROPORCIONALITAT

1-Quan tens una recepta de cuina per a quatre persones i vols fer-la per a 8

persones has d’utilitzar la proporcionalitat. I estàs d’acord?

2-Sabries dir-me quan dues magnituds són directament proporcionals?

3-Sabries dir-me quins dels parells de magnituds següents són directament

proporcionals.

38

38

- El pes de les taronges comprades i els diners que paguem.

-L’edat d’un noi i l’alçada que fa.

-La distància recorreguda per un camió que va a 80km/h i el temps que

triga.

-La talla d’uns pantalons i el seu preu.

-El gruix d’un llibre i el seu preu.

4-En una pastisseria es venen caramels en caixes de preu fix. Se sap que quatre

caixes pesen dos kilograms. Completa la taula.

nº de caixes 1 2 3 4 5 6 10 15 20

Pes (kg) 2

5-En Ferran ha pagat 30 cèntims per cinc fotocòpies. Sabent que cada còpia té un

preu fix, completa la taula:

nº de còpies 1 2 3 4 5 6 10 15 20

Cost(€) 0,3

39

39

6- Posa situacions de la vida quotidiana on apliquis proporcionalitat numèrica. ( 10

exemples)

7- Resol mentalment:

a) Per tres hores de treball, l’Albert ha cobrat 60€. Quan cobrarà per 5 hores?

b) Tres-cents grams de formatge costen 600 cèntims. Quant en costen dos-cents

grams?

c) Tres capses de cereals pesen dos quilos i quart. Quant pesaran cinc capses

iguals que les anteriors?

8-Saps que són les regles de tres? Troba informació.

La regla de tres és un mecanisme senzill i molt útil que només es pot utilitzar quan

existeix una relació de linealitat entre els valors que poden prendre les variables

que intervenen. No sempre és fàcil averiguar si existeix aquesta relació de manera

que és necessari utilitzar el sentit comú i l’experiència.

Resol aquest problemes utilitzant la regla de tres.

1. Si 8 kilos de pomes valen 16 euros,

¿Quants euros val un kilo?

2. Del problema anterior, ¿Quants kilos podré

comprar amb un euro?

3. Tinc 12 ampolles de vi y m’han costat 120

euros. ¿Quants euros val una ampolla?

4. Del problema anterior, ¿Quantes ampolles

puc comprar amb 1 euro?

5. Si 500 rodes de metall pesen 3000 kilos,

¿Quants kilos pesa cada roda?

6. Del problema anterior, ¿Quantes rodes

podré fer amb 1 kilo?

9-Les regles de tres o la proporcionalitat de vegades les utilitzem erròniament.

40

40

Llegeix aquesta història antiga:

Un dia un comprador es va apropar a un venedor d’espàrrecs i li va dir:

-Tinc aquest cordill que mesura un pam. Quant em cobrareu per tots els espàrrecs

que pugui lligar amb el cordill?

- El venedor va demanar 2 € i el comprador va estar d’acord. Al cap de dos dies el

comprador va dir al venedor d’espàrrecs:

-Torno amb aquest cordill que mesura dos pams, recordareu que pels espàrrecs que

vareu poder lligar amb el que mesurava un pam vaig pagar 2€, així que pels

espàrrecs que pugui lligar amb aquest cordill us en pagaré 4€, ho veieu just?

El venedor va acceptar encara que va quedar amb dubtes, potser el comprador

l’enganyava? Tu que creus?

10-Quintilià (35-95 dC) el gran retòric llatí va advertir que: Dos camps de blat

envoltats per tanques una el doble de l’altre de perímetre donarà quatre vegades

més blat que l’altre no el doble com per intuïció ens pot semblar. Sabries dir per

què?

11- Fes aquest exercici:

a) Dibuixa un quadrat de 3 cm de costat. Fes una ampliació augmentant al doble

cada costat. Utilitza paper mil·limetrat.

b) Calcula el perímetre dels dos quadrats. Quina proporció hi ha entre ells?

c) Calcula les àrees dels dos quadrats. Quina proporció hi ha entre elles?

41

41

12-a) Dibuixa un rectangle de 3 cm de llarg per 2 cm d’ample. Fes una ampliació

augmentant al triple cada costat. Utilitza paper mil·limetrat.

b) Calcula el perímetre dels dos rectangles. Quina proporció hi ha entre ells?

c) Calcula les àrees dels dos rectangles. Quina proporció hi ha entre elles?

13-Agafa un cordill d’un metre, quin radi té el cercle que pots fer amb ell? Ara

agafa un cordill de 2 metres, quin radi té el cercle que pots fer amb ell?. Calcula

les àrees dels dos cercles anteriors. Justifica això l’anècdota del comprador

d’espàrrecs? Què hi dius?

42

42

TREBALL D’INVESTIGACIÓ 9 “TEOREMA DE PITÀGORES”

TRIANGLE RECTANGLE

Triangle rectangle

Un triangle rectangle té un angle recte i dos angles aguts.

Catets són els costats que formen l’angle recte.

hipotenusa

catet1

catet2

43

43

Hipotenusa és el costat oposat a l’angle recte.

La hipotenusa sempre és major que els catets.

Un triangle rectangle és isòsceles si té dos catets iguals.

La suma dels angles aguts d’un triangle rectangle fan 90º

Teorema de Pitàgores

La hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels catets.

( HIPOTENUSA a ) 2 = ( CATET c) 2 + (

L’ALTRE CATET b) 2

a 2 = b 2 + c 2

►

► Aplicacions del teorema de Pitàgores.

Ens permet donats dos costats d’un triangle rectangle trobar el tercer

costat.

► Altres expressions del teorema de Pitàgores:

( CATET b ) 2 = ( HIPOTENUSA a ) 2 – (CATET c ) 2

b 2 = a 2 – c 2

a

b

c c 2

a 2

b 2

c

c

h

44

44

( CATET c ) 2 = ( HIPOTENUSA) 2 – (CATET b ) 2

b 2 = a 2 – c 2

1-Calculeu el costat o la dada que falta en cada una de les següents figures. Escriu

en cada apartat la fórmula del Teorema de Pitàgores utilitzant les lletres del

dibuix.

2-La hipotenusa d’un triangle rectangle és igual a 10 m. I un catet fa 8 m. Quant

mesura l’altre catet?

3-Calculeu el costat o la dada que falta en cada una de les següents figures. Escriu

en cada apartat la fórmula del Teorema de Pitàgores utilitzant les lletres del

dibuix.

a = 16 b = 20

c

b

c = 25

a = 15

b = 4

c = 3 a

45

45

b = 4

c = 3 a

h = 12 a

b = 9

m = 24 p = 30

n

46

46

4-Pel que hem vist podem dir que: “ L’àrea del quadrat construït sobre la

hipotenusa d’un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats

construïts sobre els catets.

Dibuixa sobre paper mil·limetrat 5 triangles rectangles del tamany que tu vulguis i

comprova que es compleix el que hem dit.

5- Farem la següent demostració geomètrica:

a- Dibuixa sobre paper mil·limetrat 8 triangles rectangles iguals del tamany

que vulguis:

b- Dibuixa tres quadrats un de costat a, un de costat b i un de costat c.

47

47

c- Construeix amb les peces anteriors els dos quadrats que mostrem a

continuació:

d- Observa que els 2 quadrats tenen la mateixa àrea ja que els costats són

iguals.

e- Elimina els 4 triangles a tots dos quadrats. Com que treus la mateixa àrea a

tots dos et queda la mateixa àrea en tots dos i per tant ja tenim el teorema

demostrat. COM HO VEUS!!!

AQUESTA ÉS UNA DE LES DEMOSTRACIONS GEOMÈTRIQUES MÉS

CONEGUDES I ES CREU QUE LA VA FER EL PROPI PITÀGORES

6- Ara farem una altra demostració geomètrica que només és vàlida per triangles

rectangles isòsceles i que sembla ser que la va trobar PLATÓ.

Com és un triangle isòsceles?

Com és un triangle rectangle isòsceles?

a- Dibuixa en paper mil·limetrat 9 triangles isòsceles iguals.

b- Construeix amb els triangles isòsceles la figura que mostrem a continuació:

48

48

OBSERVA QUE LA SUMA DE LES ÀREES DELS DOS QUADRATS PETITS ÉS

IGUAL A L’ÀREA DEL QUADRAT GRAN.

7-Ara farem una altra demostració del teorema de Pitàgores. Puzzle Pitagòric.

( Perigal)

a- Dibuixa un triangle rectangle:

b- tres quadrats un de costat a, un de costat b (vermell) i un de costat c.

c- Sobre el quadrat de costat a dibuixa les quatre peces que senyala el dibuix

( amb els colors indicats).

La distància de p a q és la meitat de la diferència entre a i b. És a dir :

Distància entre p i q= ½( a-b)

49

49

d- Dibuixa 2 peces blaves, 2 marrons, dos grogues i dos verdes.

c- Construeix els dibuix que s’indica continuació.

9- Troba informació sobre Pitàgores.

p

q

50

50

PETITES INVESTIGACIONS 10 “ MÀGIA”

j

Aquesta activitat està basada en el llibre: Matemàgia de Fernando Blasco.

MIRAREM QUINES MATEMÀTIQUES S’AMAGUEN DARRERA D’AQUESTS

JOCS DE MÀGIA

1-Pensa un nombre del 1 al 9, un que et doni sort!!. Multiplica’l per 9 i després pel

nombre 12345679 ( és màgic). T’agrada el producte final ?

Podries dir-me per què passa això???

2-6801 observa be aquest nombre!!!

Ara pensa un nombre de tres xifres de manera que la primera i la última no siguin

iguals. Aleshores:

51

51

- Agafa el nombre que resulta d’intercanviar la primera i la última xifra.

- Resta els dos nombres ( el que has pensat i el que resulta de intercanviar

les xifres) diem que és el nombre A

- Agafa el nombre A i intercanvia la última xifra amb la primera. En aquest

nombre suma-li el nombre A.

- Què té a veure amb el nombre del principi el 6801!!!!

- Gira el paper i veuràs el nombre.

3-

a- Pensa un nombre del 1 al 9

b- Suma 2 al teu nombre

c- Multiplica el resultat per 5

d- Resta 6 al nombre que t’ha quedat

e- Multiplica per 2 el total anterior.

T’ha donat un nombre de dues xifres la de les desenes és el nombre que has pensat

i la de les unitats és 8. CORRECTE!!!

4-EL JOC DE LA RULETA

Fes una ruleta amb cartes tal i com indica el dibuix:

52

52

1- Aposta per un nombre per exemple el 6.

2- Conta tantes cartes ( girant en sentit horari) com el nombre que has

apostat i elimina la carta a on arribis.

3- Utilitza el nombre de la carta que has eliminat per seguir jugant. En el teu

cas és 4 conta 4 cartes més i elimina la carta a on has arribat.

4- Segueix fent el mateix procés fins que només quedi una carta.

5- Observa si has guanyat en aquest joc!( guanyes si la carta que queda és la

mateixa per la qual has apostat) !!

6- Jo aposto pel 5 ( què et sembla!!)

5- UN JOC DE MONEDES

- Agafa 4 monedes i posa-les en filera de manera que dues estiguin dues de

cara i dues de creu.

- Tanca el ulls i gira 5 monedes ( pots repetir-les si vols)

- Amb els ulls tapats tria una moneda i tapa-la.

- Estarà de cara o de creu?

6-UN QUADRAT MOLT MÀGIC

53

53

Només et pots moure en horitzontal o vertical, mai en diagonal.

Fes el que et dic:

-Tria una carta

-Mou-te tantes vegades com el nombre que indica la carta.( pots passar per una

carta que ja hagis passat)

-Retira el 1

-mou-te tres des d’on t’havies quedat

-Retira el 2 i el 4

-Mou-te 5 vegades

-Retira el 7 i el 9

-Mou-te 7 vegades i retira el 8

-Mou-te tantes vegades com lletres tingui el teu nom

-Mou-te tantes vegades com el nombre de la carta sobre la que estàs

-Has arribat al 6 , retira el 3 i el 5. Felicita’m!!!

54

54

SOLUCIONS

1- Multiplica 12345679 per 9 i observa.

2-Qualsevol nombre de tres xifres ( abc) és de la forma 100a+10b+c i a partir

d’aquí fes càlculs.

3-El nombre que has pensat és x i a partir d’aquí treballa algebraicament...

4-Si comencem per 1, 2,5 o 6 la seqüència serà 4,8,2,3,7,1,6 i si comencem per

3,4,7 o 8 la seqüència és 8,7,2,4,1,3,6. En tots dos casos sempre queda el 5

sobre la taula.

5-Si queden dos i una la que has tapat és com la que en tenim dos i si queden les

tres iguals la que has tapat és el contrari de les que tens.

6- Experimenta.

55

55

PETITES INVESTIGACIONS 11 “ NOMBRES CURIOSOS”

Basat en el llibre: “ Números curiosos” de Jürgen Brater

Sabies que:

1- Un cangur acabat de néixer pesa aproximadament un gram.

1- Van Gogh només va vendre un sol quadre en vida. ( Va ser “La vinya

vermella” venuda l’any 1890 per 400 francs)

1- 7 vegades més nombres comencen amb el dígit 1 que amb el 9. (Cap el

1920 el físic Frank Benford va estudiar el nombres que apareixien en els

més diversos àmbits de la vida quotidiana, per exemple , la longitud dels

rius, la superfície dels diferents llacs, nombre de cases en una ciutat ,

nombres que apareixen en una revista qualsevol i va descobrir que

efectivament, el 30% de tots els nombres començaven pel dígit 1 i un 4,3%

pel 9)

56

56

2- Amb els nostres vasos sanguinis es pot envoltar dues vegades

l’Equador. ( Si encadenéssim tots els nostres vasos sanguinis des de els més

gruixuts fins als capil·lars més prims s’aconseguiria una llargada

d’aproximadament 96.000km)

3- Un futbolista només està un màxim de 3 minuts en possessió de la

pilota durant tot un partit de futbol. ( gràcies a les mesures exactes fetes

durant nombrosos partits de futbol, s’ha pogut determinar que cap jugador

per actiu que sigui al camp i per més que jugui o toqui la pilota superi els

tres minuts de possessió de la pilota)

4- Una persona creix fins a 4 cm en una estació espaial ( l’absència de

gravetat a l’espai i en les estacions espacials provoca que els espais entre

els components ossis de la columna vertebral augmentin per falta de

pressió gravitatòria, la conseqüència és que la persona creix. Durant

estades llargues a l’espai una persona pot arribar a créixer fins a 4 cm

encara que al tornar a la terra es produeix la contracció d’aquest espai i la

persona torna a la seva estatura )

7- La pell de la poma té 7 vegades més vitamina C que el seu fruit.

8- Només el 8% dels excrements humans ve dels aliments sòlids. ( els

excrements que traiem després de la digestió són un 70% d’aigua i del 30% que

queda la meitat són bactèries ,entre un 7 i un 8% són cèl·lules de la paret

intestinal i tan sols un 7 o un 8% són les restes dels aliments sòlids que hem

menjat.

10- La pell d’un adult pesa una mitjana de 10 kg.

12- Fins el moment 12 persones han trepitjat la lluna.

20- Cada persona té 20 parts del seu cos innecessàries. (Uns

investigadors d’EEUU han elaborat recentment una llista que recull les 20 parts

del cos de les que una persona podria prescindir com per exemple: tenim tres

músculs a les orelles que servien al nostres avantpassats per poder moure-les

en totes direccions i així detectar qualsevol enemic al apropar-se. Els queixals

del seny que servien per triturar aliments crus...

57

57

20- El llac Baikal, a Sibèria, conté el 20% de l’aigua dolça del planeta.(

té 30500km quadrats d’extensió i una profunditat que en alguns punts supera

els 1630m)

36- La Viagra fa efecte als 36 minuts de prendre-la.

45- El 45% de la població mundial menja amb ganivet i forquilla. (

menys de la població mundial menja amb ganivet i forquilla, el 36% ho fa amb

bastonets, un 13% fa servir altres utensilis i el 8% restant menja amb les

mans)

50- Més del 50% del habitants dels EEUU no saben que la terra gira

al voltant del sol. Segons unes enquestes recents s’ha detectat aquest resultat)

63- En 63 països del món es condueix per l’esquerra. Exemples: Kènia,

Uganda, Gran Bretanya, La Índia, Tailàndia, Austràlia...)

77- Si reduíssim la història de la terra a un sol dia l’home apareixeria

faltant 77 segons per a la mitjanit.

80- Una persona perd uns 80 cabells al dia. Una persona té uns 100.000

cabells , 25.000 pèls corporals, 420 pestanyes i uns 600 pels a les celles.

97- El 97% del total de l’aigua terrestre és aigua salada.

98- El 98% de tot el que veiem no ho percebem conscientment. ( Els

investigadors han calculat que el nostre cervell rep uns 100.000 impulsos

sensorials per segon si tots aquests impulsos arribessin a la part conscient del

cervell el saturarien i ens tornaríem bojos. Aquest 98% ho percep pel nostre

subconscient.

99- El 99% dels gens humans coincideixen amb els de les mones.

58

58

100- Si tota la humanitat es reduís a 100 persones és composaria de:

57 asiàtics, 21 europeus, 14 americans i 8 africans. 52 dones i 48 homes. 70 no

blancs i 30 blancs. 70 no cristians i 30 cristians. 89 heterosexuals i 11

homosexuals.

150- Unes 150 persones moren cada any colpejades per cocos. Els

cocos que cauen de les palmeres poden causar ferides greus o mortals als

turistes. Una mitjana de 150 persones moren per aquest fet. En canvi al 2001

només 70 persones van ser atacades per taurons dels quals només 5 atacs van

ser mortals.

240- La velocitat mitjana de lectura és de 240 paraules per minut.

1006-Un paracaigudista pren una velocitat de 1006 km per hora en

caiguda lliure.

1300-L’esser viu més pesat de tota la terra pesa 1300 tones. Es

tracta del Sequoiadendron giganteum ( arbre de gran grandària) que es troba al

parc Nacional de Sequoia als EEUU.

1500-El glòbuls vermells recorren al llarg de la seva vida una distància de

1500km. Viuen uns 120 dies abans de descompondre’s.

2026-Se suposa que el final del món serà a l’any 2026. Científics del

Club de Roma han dit aquesta data com a moment en que els recursos naturals

seran insuficients per a la població mundial.

28000-Un guant que vola a una velocitat de 28.000 km per hora

és la prenda de vestir més perillosa de la història. És un dels objectes que volen

incontrolats per l’espai i està en òrbita al voltant de la terra. El va perdre

l’astronauta del Gemini 4 ( Edward White) durant una missió al 1965.

600000-En un formiguer poden viure més de 600.000

formigues.

59

59

100000000- Una bactèria es pot reproduir 100.000.000 vegades

durant una nit. Les bactèries eschericia coli que es troben a l’intestí animal i

humà i que doblen el seu nombre cada 20 minuts, en 12 hores per exemple ( una

nit) poden crear una colònia bacteriana de 100 milions de bactèries.

ACTIVITAT

Troba els nombres curiosos del teu institut com ara:

- Nombre d’alumnes

- Nombre professors

- Nombre de taules i cadires.

- Nombre de braços, cames, dits, orelles...

- Nombre de cabells

- Nombre d’ordinadors, teclats, tecles...

- Aigua consumida durant un any.

- Kilowats consumits en un any.

- Fotocòpies fetes durant un any.

- ...

60

60

PART INTERACTIVA DELS PETITS TREBALLS D’INVESTIGACIÓ

1-TREBALL D’INVESTIGACIÓ 1: “LES TRAVESSES”

Al costat del quadre es penjarà una cartolina on tots els alumnes que vegin el

quadre podran anotar una travessa.

2-TREBALL D’INVESTIGACIÓ 2: “LES FUNCIONS EXPONENCIALS”

Encara per decidir

3-TREBALL D’INVESTIGACIÓ 3: “MISSATGES SECRETS”

Al costat del quadre es penjarà una cartolina on tots els alumnes que vegin el

quadre podran escriure un missatge amb el codi que s’explica al quadre.

També hi haurà missatges que caldrà que desxifrin i també la possibilitat que

descriguin algun codi secret que ells coneguin.

4-TREBALL D’INVESTIGACIÓ 4: “ LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI”

Al costat del quadre hi haurà una taula amb una petita exposició d’elements

de la natura: pinyes, margarides, girasols...on poder observar el que em

descrit sobre el tema.

També hi haurà la construcció del joc descrit pàg: . Es farà de la manera

següent.

-El quadre tindrà un fons metàl·lic i sobre ell es podran moure peces

imantades formant els puzzle descrit de manera que els alumnes que vegin el

quadre puguin fer la construcció del quadrat i veure la diferència de les

àrees. Al costat del quadre hi haurà una cartolina on els alumnes que vegin el

quadre puguin expressar la seva opinió sobre el per què de la diferència entre

les àrees.

5- TREBALL D’INVESTIGACIÓ 5 “ LES CEL·LES DE LES ABELLES”

El quadre tindrà un fons metàl·lic i sobre ell es podran moure peces

imantades en forma de figures geomètriques: triangles equilàters, quadrats,

hexàgons, pentàgons, circumferències ( 10 peces de cada) per tal que els

alumnes que vegin el quadre puguin comprovar la formació dels mosaics.

6-TREBALL D’INVESTIGACIÓ 6 “ENVOLTEM UNA CIRCUMFERÈNCIA”

61

61

La part interactiva del quadre consistirà en dues circumferències metal·liques

de ràdis diferents (r=1cm i r=5cm) i concèntriques a elles respectivament dues

circumferències metal·liques amb una longitud allargada 20cm. Penjaran del

quadre quatre cordills per comprovar la diferència de les longituds. També hi

haurà un palet imantat de llargada la diferència dels radis per comprovar el

que s’ha descrit a la petita investigació.

7-TREBALL D’INVESTIGACIÓ 7 “EL RECTANGLE AURI”

Al costat del quadre hi haurà una taula amb una petita exposició d’objectes de

la vida quotidiana que segueixen la proporció aurea.

8-TREBALL D’INVESTIGACIÓ 8 “PROPORCIONALITAT”

Al costat del quadre hi haurà una taula on un alumne/a farà la demostració

amb dos cordills de tamany un doble que l’altre i cilindres prims i llargs de

suro que el nombre de cilindres no es dobla si el feix ha de poder-se lligar

amb un cordill doble de llarg.

9-TREBALL D’INVESTIGACIÓ 9 “EL TEOREMA DE PITÀGORES”

El quadre tindrà un fons metàl·lic i sobre ell es podran moure peces

imantades corresponents a les peces dels puzzles pitagòrics descrits en

l’activitat per tal que puguin comprovar la demostració de Teorema de

Pitàgores.

10- TREBALL D’INVESTIGACIÓ 10 “ MÀGIA”

Al costat del quadre hi haurà un alumne/a fent els trucs de màgia descrits a

l’activitat i penjada una cartolina on els alumnes que vegin el quadre puguin

donar una explicació matemàtica dels fets.

11- TREBALL D’INVESTIGACIÓ 11 “NOMBRES CURIOSOS”

Al costat del quadre hi haurà una cartolina on els alumnes que vegin el quadre

puguin anotar altres números curiosos que ells coneguin.

62

62

63

63

64

64

65

65