fisica_refuerzo vectores

8/17/2019 fisica_refuerzo vectores

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Curso de Nivelación - FÍSICAFacultad de Ingeniería – UNCuyo Refuerzo Unidad 1

Ing. Paula A. AcostaIng. Paula A. AcostaIng. Paula A. AcostaIng. Paula A. Acosta Página 1

Operaciones con vectores

Con vectores se pueden realizar distintas operaciones

Igualdad

Producto por un escalar

Suma y resta

Producto escalar

Producto vectorial

Igualdad de vectores

Dos vectores son iguales si tienen igual módulo, dirección y sentido.

Producto por un escalar

Es el producto de un vector por un escalar k, que puede ser k0. El resultadoes un vector con:

Módulo: El módulo es mayor o menor que el de , dependiendo de si o respectivamente.

Dirección: la misma de .Sentido: igual al de si , y opuesto al de si

con

con

con

con con con En la tabla observe las

diferencias de sentido ymódulo (largo) entre a

y k a


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Suma de vectores

Métodos gráficos

Método del paralelogramo

Para sumar dos vectores a y b se los traslada paralelos a sí mismos a un origen común (o)(figura a) y se traza por la punta del vector a una recta paralela al vector b y por la punta delvector b una recta paralela al vector (figura b). El vector suma tiene su origen en el punto o yla punta en el lugar donde se cortan las rectas trazadas (figura c).

Se puede usar este método para sumar más de dos vectores, pero no resulta del todo

cómodo.

Método del polígono

Este método es más útil que el anterior para sumar más de dos vectores.

Para encontrar el vector suma

se trasladan paralelamente a sí mismos ordenándolos de

manera que el origen de uno se encuentre en la punta del otro (figura a). La fuerza resultante es

el vector que tiene su origen coincidente con el de las primera fuerza y la punta donde se está la

punta de la última fuerza (figura b).

Observe las imágenes b y c del gráfico que está a continuación: se obtiene el mismo

vector (igual módulo, dirección y sentido) sin importar el orden que se siga al colocar losvectores que se suman.


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Método analítico

Los métodos gráficos fueron muy usados cuando no se contaba con las calculadoras y/o

computadoras, y si bien los gráficos son útiles para obtener una idea de cómo es la resultante del

sistema, no son métodos precisos. Hoy en día podemos usar el método analítico con facilidad.

Básicamente este método consiste en calcular la proyección del vector suma, sobre eleje x como la suma de las proyecciones de todos los vectores a sumar, luego se hace lo mismocon el eje y.

Usaremos para explicar este método el mismo conjunto de vectores que se usó en el

método del polígono (figura a).

Lo primero que tenemos que hacer es ubicar todos los vectores en un sistema de ejes

coordenados, identificar y calcular los ángulos que forma cada vector fuerza con el lado positivo

del eje x (figura b).

Aclaración: Aunque se puede usar cualquier otro ángulo (el que forma el vector con eje y, por

ejemplo), pero aquí usaremos sólo el que se forma con el eje x porque es más simple la

confección del sistema de ecuaciones de esta manera.

En la figura d podemos ver lo que aprendimos para calcular el módulo de un vector a

partir de sus proyecciones sobre los ejes x e y: que sx y sy, son perpendiculares y forman con untriángulo rectángulo en el que es la hipotenusa y sx y sy son los catetos. Entonces podemoscalcular aplicando el teorema de Pitágoras.


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• Calculo de las proyecciones de A continuación calculamos las proyecciones del vector suma. La sumatoria de las

proyecciones de los vectores a sumar sobre el eje x será igual a la proyección del vector suma

sobre el eje x, sx. La sumatoria de las proyecciones de de los vectores a sumar sobre el eje y será

igual a la proyección del vector suma sobre el eje y, sy. En fórmulas:

Aclaración: Esta no es la única manera de calcular las proyecciones del vector suma, se puede

usar cualquier ángulo, pero si usamos otro, tenemos que elegir el signo de cada término y qué

función trigonométrica es la que corresponde a la proyección que queremos calcular, seno o

coseno.

Usar el ángulo que forma el vector con el lado positivo del eje x, nos permite

usar siempre coseno para calcular la proyección en x, siempre seno paracalcular la proyección en y y que todos los términos sean positivos.

• Calculo del módulo y la dirección de Una vez que tenemos las proyecciones del vector suma, podemos calcular su módulo y su

dirección

y Resumiendo

Pasos a seguir para sumar vectores:

a)

Determinar para cada vector el ángulo que forma con el lado positivo del eje x.

b) Sumar las proyecciones de los vectores usando coseno para las proyecciones en

x y seno para las proyecciones en y, cada término siempre con signo positivo.

c) Determinar en qué cuadrante se encuentra el vector, de acuerdo a los signos de

las proyecciones.

d) Calcular el módulo de .e)

Calcular el ángulo de

, verificando que el mismo pertenezca al cuadrante

determinado en el punto c.

Ejemplo:

Calcule la resultante del sistema de fuerzas del gráfico.

a)

Primero calculamos los ángulos que forma cada

vector fuerza con el lado positivo del eje x.


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b) Cálculo de las proyecciones

c) Cuadrante: sx negativo

sy negativo

d) Cálculo del módulo de .

d) Cálculo de la dirección de .

Resta de vectores

Ahora que ya aprendimos suma de vectores y producto de un vector por un escalar, te

desafío a que hagas por tu cuenta gráficamente (con el método del paralelogramo) la resta de

vectores

pertenece al 3er cuadrante Habrá que sumar 180º alresultado que dé la calculadora

(3er cuadrante)


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Producto escalar o producto punto

Es el producto entre dos vectores que tiene como resultado un escalar. En este curso no lo

usaremos, así que sólo vamos a mencionarlo.

Dados dos vectores y que forman entre sí el ángulo (con ), el producto escalar entre y se calcula así:

Si en vez de los módulos y ángulo entre ellos conocemos las proyecciones de los vectores sobre

los ejes x e y, podemos calcularlo así:

Producto vectorial o producto cruz

Es el producto entre dos vectores que tiene como resultado otro vector. En este curso

usaremos el producto vectorial para calcular el momento de una fuerza.

Dados dos vectores y que forman entre sí el ángulo (con ), elproducto vectorial entre y da como resultado un vector que tiene:

Módulo: se calcula como Dirección: perpendicular al plano al que pertenecen y .Sentido: dado por la regla de la mano derecha. Esa regla dice que haciendo el gesto de empujar

con la punta de los dedos de la mano derecha al vector hacia donde está el vector , el pulgarqueda indicando el sentido del vector . Al invertir el orden de los vectores

en el producto, se invierte el

sentido de de

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