FISICA_II_MONOGRAFIAS[1]

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍAEscuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Dedicatoria

Quiero dedicarle este trabajo A Dios que me ha dado la vida y salud

para terminar esta monografía, A mis Padres por estar ahí cuando más los necesité; en

especial a mi madre por su ayuda y constante cooperación y A mis hermanos por apoyarme y ayudarme en cada momento.

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Agradecimientos

Primero y antes que nada, dar gracias a Dios, por estar conmigo en cada paso que doy, por fortalecer mi corazón e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a aquellas personas que han sido mi soporte

y compañía durante todo el periodo de estudio.

Agradecer hoy y siempre a mi familia por el esfuerzo realizado por ellos. El apoyo en mis estudios, de ser así no hubiese sido posible. A mis padres y demás familiares ya que me brindan el apoyo, la alegría y me

dan la fortaleza necesaria para seguir adelante.

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ELASTICIDAD EN LAS CONSTRUCCIONES

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Resumen:

La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un

sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles. Cuando sobre un sólido deformable actúan

fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo

en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna. El sólido

se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este

caso decimos que el sólido es elástico.

INDICE

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ÍNDICE TEMATICO

ELASTICIDAD EN LAS CONSTRUCCIONES........................................................................................................................7

A. Introducción:.......................................................................................................................................................7

B. Objetivos:............................................................................................................................................................7

Objetivo general......................................................................................................................................................7

Objetivo especifico..................................................................................................................................................8

C. Contenido............................................................................................................................................................8

I. ELASTICIDAD....................................................................................................................................................8

1.1. Fundamentación teórica..........................................................................................................................8

1.2. Teoría de la Elasticidad Lineal..................................................................................................................8

1.3. Teoría de la Elasticidad no Lineal.............................................................................................................9

II. ESFUERZO......................................................................................................................................................10

2.1. Esfuerzo de tracción y contracción........................................................................................................11

2.2. Esfuerzo de compresión volúmica.........................................................................................................12

2.3. Esfuerzo de cizalladura..........................................................................................................................12

3. ALARGAMIENTO............................................................................................................................................13

3.1. Elongaciones:.........................................................................................................................................13

3.2. Alargamiento.........................................................................................................................................13

3.3. La elongación en el m.a.s.......................................................................................................................13

3.4. Cálculo de la ecuación de la elongación cuando existe fase inicial........................................................14

4. DEFORMACIÓN UNITARIA.............................................................................................................................15

4.1. Deformación..........................................................................................................................................15

4.2. Medidas de la deformación...................................................................................................................15

4.3. Deformaciones elástica y plástica..........................................................................................................16

4.4. Desplazamientos...................................................................................................................................16

4.5. Energía de deformación.........................................................................................................................17

4.6. Deformación específica:........................................................................................................................17

5. TRACCIÓN Y COMPRESIÓN............................................................................................................................18

5.1. Tracción.................................................................................................................................................18

5.1.1. Deformaciones...................................................................................................................................18

5.1.2. Resistencia en tracción......................................................................................................................18

5.1.3. Comportamiento de los materiales...................................................................................................19

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5.2. Compresión física..................................................................................................................................19

5.2.1. Esfuerzo de compresión....................................................................................................................20

6. MODULO DERIGIDEZ.....................................................................................................................................20

6.1. Módulo de cizalladura...........................................................................................................................20

6.1.1. Definición...........................................................................................................................................20

6.1.2. Materiales isótropos lineales.............................................................................................................21

6.1.3. Materiales anisótropos......................................................................................................................21

6.1.4. Materiales orto trópicos....................................................................................................................21

6.2. Rigidez...................................................................................................................................................22

6.2.1. Rigideces de prismas mecánicos........................................................................................................22

6.2.2. Rigideces en placas y láminas............................................................................................................24

7. LEY DE HOOKE...............................................................................................................................................25

7.1. Ley de elasticidad de Hooke..................................................................................................................27

8. CURVAS DE ESFUERZO...................................................................................................................................27

8.1. La curva usual Esfuerzo...............................................................................................................................27

8.2. La curva Esfuerzo real - Deformación real..................................................................................................27

D. CONCLUSIONES.................................................................................................................................................29

E. BIBLIOGRAFIA....................................................................................................................................................29

ÍNDICE DE IMÁGENES

Figura 1. Grafica de deformación especifica..................................................................................................................17Figura 2. Diagrama esfuerzo deformación....................................................................................................................28

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ELASTICIDAD EN LAS CONSTRUCCIONES

A. Introducción:

La influencia de las constantes elásticas en las construcciones es un tema de mucho interés, ya que nos ayuda a conocer cuando una construcción o algún proyecto van a fracasar, o si bien cuando uno va a salir como lo esperaban.

Es muy necesario antes de preparase para realizar una edificación o cualquier tipo de proyecto, se debe de conocer la fuerzas que actúan en el terreno, o el clima, ya que todo influye en el material, o en la construcción en sí.

Lo que determina que todo va a salir en perfectas condiciones muchas veces es el material, porque cada material es diferente, cada uno posee su estructura, esto quiere decir que cada uno actúa diferente a las distintas fuerzas que existen, tales como el calor.

Si bien vamos a conocer es que hay varios tipos de materiales y estos se distinguen según sus propiedades o características, ya sean elásticos o no elásticos.

Los materiales no elásticos no son adecuados para las construcciones ya que no son capaces de soportar las fuerzas externas, y por eso, varias obras se destruyen con facilidad.

La elasticidad en sí es el fenómeno que tienen los cuerpos de volver a su estado original después de haber sufrido deformaciones, y esto es lo que no posee los materiales no elásticos, según indica la ley de Hooke

Desde el punto de vista microscópico la elasticidad tiene su origen en las fuerzas intermoleculares estudiadas en el tema anterior. En el sólido las moléculas ocupan posiciones que hacen mínima la energía potencial del sólido. Si aplicamos una fuerza al sólido realiza un trabajo para alterar la posición de las moléculas del sólido, aumentando por tanto su energía potencial. Cuando la fuerza deja de actuar el sistema tiende a adoptar de nuevo la configuración de mínima energía potencial, siendo las fuerzas internas las encargadas de producir el reajuste necesario de las posiciones moleculares.

Los sólidos se deforman en cierto grado al ser sometidos a fuerzas. En este tema intentaremos hallar la relación que hay entre la deformación y las fuerzas aplicadas. Por otra parte, si después de que se haya producido la deformación eliminamos la fuerza que la provoca el sólido tiende a recobrar su estado inicial. Todos los sólidos exhiben esta propiedad, que se denomina elasticidad.

B. Objetivos:

Objetivo general

Conocer la importancia de la construcciones en las construcciones

Objetivo especifico Conocer la definición de cada concepto de elasticidad.

Poder discutir la gráfica de esfuerzo vs deformación

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C. Contenido.

I. ELASTICIDAD En física e ingeniería, el término elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.

Elasticidad es una rama de la física del cual estudia las características elástico materiales. Un material es elástico si él se deforme bajo una tensión, pero entonces vuelve a su forma original cuando se quita la tensión. La cantidad de deformación se llama tensión.

1.1. Fundamentación teórica

La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (TE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son termodinámicamente reversibles.

La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles. Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna. El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso decimos que el sólido es elástico.

1.2. Teoría de la Elasticidad Lineal

Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones y las deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuación constitutiva:

Cuando eso sucede decimos que tenemos un sólido elástico lineal. La teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy aproximadamente una combinación lineal de las componentes del tensor deformación del sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a:

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Sólidos elásticos lineales, en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad material).

Deformaciones pequeñas, es el caso en que deformaciones y desplazamientos están relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformación lineal de Green-Lagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad geométrica).

Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables:

Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas

Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado

Para determinar la estabilidad de un sistema hay presentar las condiciones de equilibrio para el sistema deformado.

1.3. Teoría de la Elasticidad no Lineal

En principio, el abandono del supuesto de pequeñas deformaciones obliga a usar un tensor deformación no lineal y no infinitesimal, como en la teoría lineal de la elasticidad donde se usaba el tensor deformación lineal infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucho las ecuaciones de compatibilidad. Además matemáticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la anulación de ese supuesto incluyen fenómenos de no linealidad geométrica (pandeo, abolladura)

Si además de eso el sólido bajo estudio no es un sólido elástico lineal nos vemos obligados a substituir la ecuación de Lamé-Hooke por otro tipo de ecuaciones constitutivas capaz de dar cuenta de la no linealidad material. Además de las mencionadas existen otras no linealidades en una teoría de la elasticidad para grandes deformaciones. Resumiendo las fuentes de no linealidad serían:

El tensor deformación no se relaciona linealmente con el desplazamiento, concretamente es una aplicación cuadrática del gradiente de deformación:

Para muchos materiales la ecuación constitutiva es no lineal.

Las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio ocupado por el sólido, escrito en términos del segundo tensor de Piola-Kirchhoff son no lineales:

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Donde:

Es el difeomorfismo que da la relación entre los puntos antes y después de la deformación.

En algunos casos, como las cargas muertas las fuerzas que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones expresados en el dominio de referencia incluyen no linealidades, por ejemplo cuando en la configuración deformada aparece una presión normal a la superficie, eso comporta que

Las condiciones de incomprensibilidad, de positividad del jacobiano de la deformación, o de la inyectividad en el caso de contactos que evitan el auto penetración del sólido deformado también imponen ecuaciones adicionales que se expresan en forma de ecuaciones no lineales.

II. ESFUERZO Tensión o esfuerzo es la relación entre una carga y la superficie sobre la que actúa. Se considera como tal a la reacción que opone el material de un cuerpo frente a una solicitación externa (de tensión, compresión, cortante) que tiende a producir un cambio en su tamaño o forma.

σ=F /A

σ=ε . E

E :módulode elasticidad delmaterial .[N /m ² ;kg /cm² ]

A : seccióndelmaterial [m ² ;cm² ]

El esfuerzo es la fuerza que actúa sobre un cuerpo y que tiende a estirarla (tracción), aplastarla (compresión), doblarla (flexión), cortarla (corte) o retorcerla (torsión).

Las fuerzas internas de un elemento están ubicadas dentro del material por lo que se distribuyen en toda el área; justamente se denomina esfuerzo a la fuerza por unidad de área, la cual se denota con la letra griega sigma (σ) y es un parámetro que permite comparar la resistencia de dos materiales, ya que establece una base común de referencia.

σ=P/ A

Donde :

P≡Fuerzaaxial ;

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A≡ Área de la seccióntransversal .

Cabe destacar que la fuerza empleada en la ec. 1 debe ser perpendicular al área analizada y aplicada en el centro del área para así tener un valor de σ constante que se distribuye uniformemente en el área aplicada. La ec. 1 no es válida para los otros tipos de fuerzas internas; existe otro tipo de ecuación que determine el esfuerzo para las otras fuerzas, ya que los esfuerzos se distribuyen de otra forma.

2.1. Esfuerzo de tracción y contracción.

Este caso implica dos fuerzas en la misma dirección y sentidos opuestos que actúan perpendicularmente a las caras del sólido y tienden a estirarlo (tracción) o a comprimirlo (contracción). La deformación es la variación relativa de longitud en la dirección de la fuerza, mientras que el esfuerzo es la presión (fuerza por unidad de área.

La constante de proporcionalidad es el módulo de Young Y, cuyas unidades en el S.I. son Pa, 1 Pa = 1 N/m2. La ley de Hooke adopta la siguiente forma:

F /A= y ∆ L/L

Esta ley es válida para la tracción y la contracción siempre que ΔL presente la variación de la longitud en módulo. Hay materiales para los que el módulo de Young para un esfuerzo de tracción es diferente al de contracción, por ejemplo el cemento.

Cuando se somete un sólido a un esfuerzo de tracción (o contracción) la longitud aumenta, mientras, se observa que su sección transversal disminuye (disminuye la longitud, aumenta la sección en el caso de contracción). Experimentalmente, se observa que la deformación transversal es proporcional a la deformación longitudinal, cumpliendo,

∆ R /R=−σ ∆ L/L

Donde R es una dimensión característica de la sección transversal, por ejemplo, el radio en el caso de una sección circular. El signo menos de la ecuación anterior refleja que cuando la sección longitudinal aumenta, la transversal disminuye. La constante σ se denomina coeficiente de Poisson y es un parámetro adimensional.

Aunque se le denomina coeficiente por razones históricas hay que tener presente que no es un coeficiente de elasticidad en el sentido habitual. En la mayoría de metales el coeficiente de Poisson está comprendido entre 0.25 y 0.45, pudiendo utilizarse como regla práctica σ ≈1/3 para metales. En un sólido isótropo, sólo hay dos constantes elásticas independientes, de modo que las constantes elásticas que veremos a continuación son función del módulo de Young y del coeficiente de Poisson.

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2.2. Esfuerzo de compresión volúmica

En un ensayo de compresibilidad se somete al cuerpo a una presión uniforme en todas sus caras. Este es el caso cuando sumergimos un sólido en un recipiente lleno de líquido y comprimimos con un émbolo. En este ensayo la deformación será la variación relativa de volumen y la ley de Hooke queda,

∆ p=−B ∆V /V=B∆ ρ / ρ

El signo menos se introduce porque el volumen disminuye al aumentar la presión (por otra parte la densidad aumenta con la presión, de ahí el signo positivo). Donde B es el módulo de compresibilidad.

Si consideramos un sólido de forma cúbica al que se le aplican esfuerzos de contracción idénticos sobre sus tres pares de caras se puede demostrar la siguiente relación.

B= y /(3(1−2σ))

Esta relación es válida para un sólido isótropo de forma cualquiera ya que siempre podemos considerar que está formado por cubos infinitesimales. A la vista de la expresión anterior vemos que el coeficiente de Poisson debe ser menor que 1/2.

2.3. Esfuerzo de cizalladura

Con el nombre de cizalladura se conoce la deformación producida por fuerzas tangenciales, de modo que su volumen permanece constante tal y como nos muestra la figura.

La ley de Hooke adopta en este caso la forma,

F /A=S∆ L1/L2=S tag∅ ≈ S∅

El módulo S recibe el nombre de módulo de cizalladura.

Si consideramos un bloque cúbico al que se aplican simultáneamente fuerzas de tracción en un par de caras opuestas y fuerzas de compresión en otro par, se puede demostrar que el módulo de cizalladura.

Al igual que el módulo de compresibilidad, se puede expresar en función del módulo de Young y del coeficiente de Poison.

S= y /(2(1+σ))

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De los valores del coeficiente de Poisson se deduce que el valor del módulo de cizalladura suele estar comprendido entre Y/3 e Y/2.

3. ALARGAMIENTO Elongación o alargamiento que sufre un cuerpo que se somete a esfuerzo de tracción. En física elongación puede definirse como la posición de la partícula vibrante en cualquier instante con respecto a la posición de equilibrio, la elongación de se mide en metros.

3.1. Elongaciones:

un cuerpo sometido a la acción de fuerzas externas sufre alargamientos o acortamientos en una dirección dada que reciben el nombre de deformaciones.

3.2. Alargamiento

Se denomina alargamiento al aumento de longitud que tiene un material cuando se le somete a un esfuerzo de tracción antes de producirse su rotura. Si el alargamiento no supera el límite elástico del material este recupera su longitud inicial cuando cesa el esfuerzo de tracción pero si supera el limite elástico ya no recupera su longitud inicial.

El alargamiento se expresa en tanto por ciento (%) con respecto a la longitud inicial.

También se conoce este término por el de elongación.

3.3. La elongación en el m.a.s.

Una vez establecida la relación entre el movimiento circular uniforme y el M.A.S, vamos a utilizarla para hallar la ecuación de la elongación de un punto que se mueve con un M.A.S.

Un móvil parte de O, recorriendo la circunferencia con una velocidad angular constante w. Al cabo de cierto tiempo barre un determinado ángulo Q, llamado espacio angular. Como es un movimiento circular uniforme, podemos escribir:

Espacio angular = Q = w t

En ese tiempo el resorte pasó de O a M comprimiéndose la distancia x.

La proyección del vector posición (A) sobre el eje vertical x, determina la elongación del M.A.S. asociado.

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Aplicando la trigonometría al triángulo azul podemos escribir: x = A sen(w t), ya que la hipotenusa del triángulo es el radio A de la circunferencia, y al mismo tiempo, es el mayor valor que toma la elongación, o sea, la amplitud.

La ecuación de la elongación de un punto que describe un M.A.S. es: x = A sen(w t)

3.4. Cálculo de la ecuación de la elongación cuando existe fase inicial

Si cuando empezamos a contar el tiempo (t = 0) el cuerpo que describe el M.A.S no está en la posición de equilibrio O, sino en P, decimos que existe un desfase q. Este desfase se corresponde con el ángulo girado por el punto que describe el movimiento circular desde la posición de equilibrio hasta ese punto.

Observa el gráfico. El móvil parte de O, origen de espacios, pero no empezamos a contar el tiempo hasta que llega a P, origen de tiempos. En el tiempo t giró el ángulo q = w t. Pasó de P a Q.

Nuevamente, por trigonometría, en el triángulo azul, podemos escribir la ecuación de la elongación como:

x=A sen(w t+q)

Elresorte pasó de PaQen t segundos .

Laexpresión contiene las siguientesmagnitudes :

x : elongaciónencualquier instante .

A :amplitud ,máximo valor de laelongación .

w : frecuenciaangular , velocidad angular delmovimiento circular asociado.

q : desfase , ángulo recorridoentre el origen deespacios yel origen de tiempos .

Para t=0 , sustituyendoel valor de t en laecuaciónobtenemos : xo=A sen(q)

Si sedael caso deque la fase inicial es de90 º ,( p /2)radianes , parat=0 la elongación inicial será xo=A yla expresión general será : x=A sen(w t+ p /2)queequivale a :

x=A cos (w t )

Esta es la expresión general de la elongación, si empezamos a contar el tiempo cuando el cuerpo pasa por el punto de máxima elongación.

Es frecuente que los alumnos no entiendan por qué en unos libros la elongación viene dada por la expresión x=A sen(wt ) y en otros por x = A cos (wt ) . Ambas expresiones son correctas y elegir una u otra solo depende de donde se empiece a observar la oscilación: suponiendo que está en el medio para t = 0, o empezando a contar el tiempo cuando arranca de un extremo. Por consiguiente, se

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puede pasar de una a otra expresión añadiendo la fase p /2, que es justamente el desfase cuando comienza en un extremo o en el centro.

4. DEFORMACIÓN UNITARIA Se refiere a los cambios en las dimensiones de un miembro estructural cuando este se encuentra sometido a cargas externas. Estas deformaciones serán analizadas en elementos estructurales cargados axialmente, por los que entre las cargas estudiadas estarán las de tensión o compresión.

Todo miembro sometido a cargas externas se deforma debido a la acción de esas fuerzas. La Deformación Unitaria (ε), se puede definir como la relación existente entre la deformación total y la longitud inicial del elemento, la cual permitirá determinar la deformación del elemento sometido a esfuerzos de tensión o compresión axial. Entonces, la formula de la deformación unitaria es: ε : Deformación Unitaria

4.1. Deformación

La deformación es el cambio en el tamaño o forma de un cuerpo debido a esfuerzos internos producidos por una o más fuerzas aplicadas sobre el mismo o la ocurrencia de dilatación térmica.

4.2. Medidas de la deformación

La magnitud más simple para medir la deformación es lo que en ingeniería se llama deformación axial o deformación unitaria se define como el cambio de longitud por unidad de longitud:

Donde s es la longitud inicial de la zona en estudio y s' la longitud final o deformada. Es útil para expresar los cambios de longitud de un cable o un prisma mecánico. En la Mecánica de sólidos deformables la deformación puede tener lugar según diversos modos y en diversas direcciones, y puede además provocar distorsiones en la forma del cuerpo, en esas condiciones la deformación de un cuerpo se puede caracterizar por un tensor (más exactamente un campo tensorial) de la forma:

Donde cada una de las componentes de la matriz anterior, llamada tensor deformación representa una función definida sobre las coordenadas del cuerpo que se obtiene como combinación de derivadas del campo de desplazamientos de los puntos del cuerpo.

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4.3. Deformaciones elástica y plástica

Tanto para la deformación unitaria como para el tensor deformación se puede descomponer el valor de la deformación en:

Deformación plástica o irreversible. Modo de deformación en que el material no regresa a su forma original después de retirar la carga aplicada. Esto sucede porque, en la deformación plástica, el material experimenta cambios termodinámicos irreversibles al adquirir mayor energía potencial elástica. La deformación plástica es lo contrario a la deformación reversible.

Deformación elástica o reversible el cuerpo recupera su forma original al retirar la fuerza que le provoca la deformación. En este tipo de deformación, el sólido, al variar su estado tensional y aumentar su energía interna en forma de energía potencial elástica, solo pasa por cambios termodinámicos reversibles.

Comúnmente se entiende por materiales elásticos, aquellos que sufren grandes elongaciones cuando se les aplica una fuerza, como la goma elástica que puede estirarse sin dificultad recuperando su longitud original una vez que desaparece la carga. Este comportamiento, sin embargo, no es exclusivo de estos materiales, de modo que los metales y aleaciones de aplicación técnica, piedras, hormigones y maderas empleados en construcción y, en general, cualquier material, presenta este comportamiento hasta un cierto valor de la fuerza aplicada; si bien en los casos apuntados las deformaciones son pequeñas, al retirar la carga desaparecen.

Al valor máximo de la fuerza aplicada sobre un objeto para que su deformación sea elástica se le denomina límite elástico y es de gran importancia en el diseño mecánico, ya que en la mayoría de aplicaciones es éste y no el de la rotura, el que se adopta como variable de diseño (particularmente en mecanismos). Una vez superado el límite elástico aparecen deformaciones plásticas (remanentes tras retirar la carga) comprometiendo la funcionalidad de ciertos elementos mecánicos.

4.4. Desplazamientos

Cuando un medio continuo se deforma, la posición de sus partículas materiales cambia de ubicación en el espacio. Este cambio de posición se representa por el llamado vector desplazamiento, u = (ux, uy, uz). No debe confundirse desplazamiento con deformación, porque son conceptos diferentes aunque guardan una relación matemática entre ellos:

Por ejemplo en un voladizo o ménsula empotrada en un extremo y libre en el otro, las deformaciones son máximas en el extremo empotrado y cero en el extremo libre, mientras que los desplazamientos son cero en el extremo empotrado y máximos en el extremo libre.

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4.5. Energía de deformación

La deformación es un proceso termodinámico en el que la energía interna del cuerpo acumula energía potencial elástica. A partir de unos ciertos valores de la deformación se pueden producir transformaciones del material y parte de la energía se disipa en forma de plastificado, endurecimiento, fractura o fatiga del material.

4.6. Deformación específica:

ε=Δl /l Δl : elongación

l : longitud origina

acortamiento ε<0

alargamiento ε>0

Dentro del límite de proporcionalidad (σ p), el módulo de elasticidad de un material dado es constante, dependiendo solo de la naturaleza del material.

Figura 1. Grafica de deformación especifica.

De 0 hasta a, se llama recta de Hooke. Sin embargo hasta b inclusive, cuando descargamos la pieza recupera su longitud original (entre 0 y b, el material es elástico).

5. TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

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5.1. Tracción

En ingeniería se denomina tracción al esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas opuestas que tienden a estirarlo.

En el cálculo de estructuras e ingeniería se denomina tracción al esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo.

Lógicamente, se considera que las tensiones que tiene cualquier sección perpendicular a dichas fuerzas son normales a esa sección, y poseen sentidos opuestos a las fuerzas que intentan alargar el cuerpo.

5.1.1. Deformaciones

Un cuerpo sometido a un esfuerzo de tracción sufre deformaciones positivas (estiramientos) en ciertas direcciones por efecto de la tracción. Sin embargo el estiramiento en ciertas direcciones generalmente va acompañado de acortamientos en las direcciones transversales; así si en un prisma mecánico la tracción produce un alargamiento sobre el eje "X" que produce a su vez un encogimiento sobre los ejes "Y" y "Z". Este encogimiento es proporcional al coeficiente de Poisson (ν):

Cuando se trata de cuerpos sólidos, las deformaciones pueden ser permanentes: en este caso, el cuerpo ha superado su punto de fluencia y se comporta de forma plástica, de modo que tras cesar el esfuerzo de tracción se mantiene el alargamiento; si las deformaciones no son permanentes se dice que el cuerpo es elástico, de manera que, cuando desaparece el esfuerzo de tracción, aquél recupera su longitud primitiva.

La relación entre la tracción que actúa sobre un cuerpo y las deformaciones que produce se suele representar gráficamente mediante un diagrama de ejes cartesianos que ilustra el proceso y ofrece información sobre el comportamiento del cuerpo de que se trate.

5.1.2. Resistencia en tracción

Como valor comparativo de la resistencia característica de muchos materiales, como el acero o la madera, se utiliza el valor de la tensión de fallo, o agotamiento por tracción, esto es, el cociente entre la carga máxima que ha provocado el fallo elástico del material por tracción y la superficie de la sección transversal inicial del mismo.

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5.1.3. Comportamiento de los materiales

Son muchos los materiales que se ven sometidos a tracción en los diversos procesos mecánicos. Especial interés tienen los que se utilizan en obras de arquitectura o de ingeniería, tales como las rocas, la madera, el hormigón, el acero, varios metales, etc.

Cada material posee cualidades propias que definen su comportamiento ante la tracción. Algunas de ellas son:

elasticidad (módulo de elasticidad)

plasticidad

ductilidad

fragilidad

Catalogados los materiales conforme a tales cualidades, puede decirse que los de características pétreas, bien sean naturales, o artificiales como el hormigón, se comportan mal frente a esfuerzos de tracción, hasta el punto que la resistencia que poseen no se suele considerar en el cálculo de estructuras.

Por el contrario, las barras de acero soportan bien grandes esfuerzos a tracción y se considera uno de los materiales idóneos para ello. El acero en barras corrugadas se emplea en conjunción con el hormigón para evitar fisuras, aportando resistencia a tracción, dando lugar al hormigón armado.

Ejemplos

Cualquier elemento sometido a fuerzas externas, que tiendan a flexionarlo, está bajo tracción y compresión. Los elementos pueden no estar sometidos a flexión y estar bajo condiciones de tracción o compresión si se encuentran bajo fuerzas axiales.

5.2. Compresión física

La compresión física es un resultado de la aplicación de una fuerza de compresión a un material, resultando en una reducción en su volumen.

La compresión ocurre cuando la fuerza axial aplicada esté tuteando con el sentido dirigido para el interior de la pieza. Por ejemplo, una pequeña chapa de acero engastada en una morsa, siendo gradualmente comprimida por los dos engastes, estará recibiendo fuerzas con direcciones opuestas, sin embargo, apuntando para su interior. Con eso, la pieza sufre deformación. En un primer momento, sufre una deformación elástica, sin embargo, cuando alcanza su tensión de escapamento, la pieza pasará a entrar en su deformación plástica, o sea: el material estará siendo deformado permanentemente, al contrario del régimen elástico, donde la organización molecular vuelta al estado donde se encontraba en el inicio. La compresión puede ser denominada como tal cuando la pieza esté siendo "empujada", al contrario de la tracción, donde ella está siendo "estirada".

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La compresión tiene muchas implicaciones en la resistencia de los materiales, en la física y en la ingeniería estructural, por el hecho de la compresión producir cantidades considerables de stress y tensión.

Induciendo la compresión, propiedades mecánicas, tales como la fuerza de compresión o el módulo de elasticidad, pueden ser medidos. Los científicos pueden utilizar máquinas para inducir la compresión. Este tipo de experimento es llamado de ensayo de compresión, que es utilizado para comprobar las características mecánicas de una pieza, descubriendo así a que tensión ella sufrirá ruptura.

5.2.1. Esfuerzo de compresión

El esfuerzo de compresión es la resultante de las tensiones o presiones que existe dentro de un sólido deformable o medio continuo, caracterizada porque tiende a una reducción de volumen o un acortamiento en determinada dirección.

6. MODULO DERIGIDEZ

6.1. Módulo de cizalladura

El módulo de cizalladura o de rigidez (también llamado módulo de elasticidad transversal) es una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experimenta un material elástico cuando se aplican esfuerzos cortantes.

Este módulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe destacar los siguientes: Módulo de rigidez, módulo de corte, módulo de cortadura, módulo elástico tangencial, módulo de elasticidad transversal,...

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de elasticidad transversal tiene el mismo valor para todas las direcciones del espacio.

6.1.1. Definición

Experimentalmente el módulo elástico transversal (o módulo cortitilatante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma más sencilla es considerar un cubo como el de la fig. 1 y someterlo a una fuerza cortante, para pequeñas deformaciones se puede calcular la razón entre la tensión y la distorsión angular:

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6.1.2. Materiales isótropos lineales

Para un material isótropo elástico lineal el módulo de elasticidad transversal está relacionado con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante la relación:

Donde:

o E, es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young.

o V, es el coeficiente de Poisson.

o , son respectivamente la tensión tangencial y la deformación tangencial sobre el plano formado por los ejes Xi y Xj.

6.1.3. Materiales anisótropos

Los materiales elásticos lineales anisótropos se caracterizan por presentar diferentes valores de las constantes elásticas según la dirección en la que se aplican las fuerzas. En general, en un material anisótropo al aplicar esfuerzos tangentes a una superficie aparecen deformaciones normales a ésta. Eso significa que los modos transversales y longitudinales no están desacoplados y por esa razón los conceptos de módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal no se pueden generalizar adecuadamente, en todos los casos.

6.1.4. Materiales orto trópicos Un caso particular de material anisótropo donde sí se puede hablar de módulos de elasticidad longitudinales y transversales son los llamados materiales ortotrópicos; la madera es un ejemplo de material ortotrópico, frecuentemente usado en construcción. En los materiales ortotrópicos los modos transversales y longitudinales de deformación están desacoplados. Eso permite identificar claramente módulos de elasticidad transversal y módulos de elasticidad longitudinal. Para un material ortotrópico general pueden definirse tres módulos de elasticidad longitudinales básicos (Ex, Ey', Ez) y tres módulos de elasticidad transversal (Gxy, Gxz', Gyz).

Estos últimos se definen como:

Para un material como la madera las coordenadas X, Y y Z anteriores se toman de la siguiente manera:

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el eje X está alineado con la dirección longitudinal de la fibra.

el eje Y se toma perpendicular a los anillos de la sección transversal.

el eje Z se toma tangente a los anillos de la sección transversal.

Los módulos de elasticidad transversal en estas tres direcciones son diferentes para la madera y pueden llegar a presentar grandes diferencias de valor entre ellas.

6.2. Rigidez

En ingeniería, la rigidez es la capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.

Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.

Para barras o vigas se habla así de rigidez axial, rigidez flexional, rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc.

6.2.1. Rigideces de prismas mecánicos

El comportamiento elástico de una barra o prisma mecánico sometido a pequeñas deformaciones está determinado por ocho coeficientes elásticos. Estos coeficientes elásticos o rigideces depende de:

La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza será necesaria para deformarla. Eso se refleja en la necesidad de usar cables más gruesos para arriostrar debidamente los mástiles de los barcos que son más largos, o que para hacer vigas más rígidas se necesiten vigas con mayor sección y más grandes.

El material del que esté fabricada la barra, si se fabrican dos barras de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la otra de plástico la primera es más rígida porque el material tiene mayor módulo de Young (E).

La longitud de la barra elástica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección transversal y fabricada del mismo material, la barra más larga sufrirá mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones.

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Funcionalmente las rigideces genéricamente tienen la forma:

Dónde: Si es una magnitud puramente geométrica dependiente del tamaño y forma de la sección transversal, E es el módulo de Young, L es la longitud de la barra y αi y βi son coeficientes adimensionales dependientes del tipo de rigidez que se está examinando. Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elemental que representa el comportamiento elástico dentro de una estructura.

Rigidez axial

La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicación de cargas según su eje. En este caso la rigidez depende sólo del área de la sección transversal (A), el módulo de Young del material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:

Rigidez flexional

La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el momento flector esté dirigido según una u otra dirección principal de inercia. Esta rigidez viene dada:

Donde Iz,Iy son los segundos momentos de área de la sección transversal de la barra.

Rigidez frente a cortante.

La rigidez frente a cortante es la relación entre los desplazamientos verticales de un extremo de un viga y el esfuerzo cortante aplicado en los extremos para provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según cada una de las direcciones principales:

Rigidez mixta flexión-cortante

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En general debido a las características peculiares de la flexión cuando el momento flector no es constante sobre una barra prismática aparecen también esfuerzos cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexión aparezcan desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzas desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexión. Para representar adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos por la flexión, y los giros angulares inducidos por el cortante, se define la rigidez mixta cortante-flexión que para una barra recta resulta ser igual a:

Rigidez torsional

La rigidez torsional en una barra recta de sección uniforme es la relación entre el momento torsor aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por este extremo, al mantener fijo el extremo opuesto de la barra:

Donde G el módulo elástico transversal, J es el momento de inercia torsional y L la longitud de la barra.

6.2.2. Rigideces en placas y láminas DE manera similar a lo que sucede con elementos lineales las rigideces dependen del material y de la geometría, en este caso el espesor de la placa o lámina. Las rigideces en este caso tienen la forma genérica:

Donde:

, son respectivamente el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.

, es el espesor del elemento bidimensional.

, es un entero y

Rigidez de membrana

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La rigidez de membrana es el equivalente bidimensional de la rigidez axial en el caso de elementos lineales viene dada por:

Donde E es el módulo de Young, G es el módulo elástico transversal y ν el coeficiente de Poisson.

Rigidez flexional

Para una placa delgada (modelo de Love-Kircchoff) de espesor constante la única rigidez relevante es la que da cuenta de las deformaciones provocadas por la flexión bajo carga perpendicular a la placa. Esta rigidez se conoce como rigidez flexional de placas y viene dada por:

Dónde: h espesor de la placa, E módulo de Young del material de la placa y ν coeficiente de Poisson del material de la placa.

7. LEY DE HOOKE

En el análisis de la elasticidad nos interesa encontrar la relación que hay entre la deformación. Para hacer este estudio habitualmente se define:

• Esfuerzo: Nos caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan la deformación. En general es fuerza por unidad de área.

• Deformación: Describe el cambio de forma (estiramiento, aplastamiento, compresión, torsión) cuando sometemos el sólido a un esfuerzo.

Habitualmente se define como la variación relativa en la forma o dimensión del cuerpo. Su expresión depende del tipo de esfuerzo aplicado.

• Coeficiente de elasticidad: Si el esfuerzo es lo suficientemente pequeño la deformación es proporcional al esfuerzo, denominándose la constante de proporcionalidad coeficiente de elasticidad.

• Módulo de elasticidad: La inversa del coeficiente de elasticidad.

A la ley que nos relaciona los esfuerzos con la deformación se denomina ley de

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Hooke (en honor a su descubridor R. Hooke 1635-1703) y pude expresarse de las dos formas siguientes.

Deformación = Coeficiente de elasticidad * Esfuerzo

Esfuerzo = Módulo de elasticidad * Deformación.

De las dos ecuaciones anteriores vemos como el coeficiente de elasticidad nos cuantifica la facilidad que tiene un objeto para deformarse y el módulo de elasticidad la resistencia que opone al ser deformado. Un material es, por tanto, más elástico cuando menor sea su módulo de elasticidad. En los sólidos reales los coeficientes de elasticidad pueden depender también de la dirección en que es aplicado el esfuerzo, no son por tanto, isótropos en lo que a propiedades elásticas se refiere. Sin embargo, en este tema se considerarán sólo sólidos isótropos.

Hay que tener presente que la ley de Hooke no es una ley exacta como las leyes de

Newton, la ley de Coulomb o la ley de gravitación universal. Esta ley es aproximada, basada en observaciones hechas en el laboratorio y que sólo es aplicable bajo determinadas condiciones experimentales (esfuerzos lo suficientemente pequeños). En el caso más general los sólidos pueden apartarse de la ley de Hooke tal y como nos muestra la siguiente figura.

En la figura se distinguen claramente tres tipos de comportamiento.

• Comportamiento lineal: Si el esfuerzo es lo suficientemente pequeño el esfuerzo y la deformación son proporcionales. El esfuerzo del punto final de ese comportamiento (punto a) recibe el nombre de límite de proporcionalidad.

• Comportamiento elástico: En la segunda zona el esfuerzo y la deformación ya no son proporcionales y no se cumple por tanto la ley de Hooke. Sin embargo la deformación es reversible y cuando cesa el esfuerzo el material recupera su estado original. El punto donde termina esa región, b, se denomina punto de relajamiento y al esfuerzo en ese punto límite elástico.

• Deformación plástica o flujo plástico: En esta zona si quitamos el esfuerzo el material no vuelve a su estado original. El punto final de esta zona, c, es en el que se produce la fractura del material, por ello se le denomina punto de fractura. El esfuerzo necesario para causar la fractura recibe el nombre de esfuerzo de ruptura, o resistencia límite. Hay una clase de materiales llamados dúctiles en los que en la zona de deformación plástica se produce una deformación elevada.

Figura 4.1 Relación entre esfuerzo y deformación.

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7.1. Ley de elasticidad de Hooke

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F:

Siendo δ el alargamiento, L la longitud original, E: módulo de Young, A la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

8. CURVAS DE ESFUERZO

8.1. La curva usual Esfuerzo

Deformación (llamada también convencional, tecnológica, de ingeniería o nominal), expresa tanto el esfuerzo como la deformación en términos de las dimensiones originales de la probeta, un procedimiento muy útil se da cuando se está interesado en determinar los datos de resistencia y ductilidad para propósito de diseño en ingeniería.

Para conocer las propiedades de los materiales, se efectúan ensayos para medir su comportamiento en distintas situaciones. Estos ensayos se clasifican en destructivos y no destructivos. Dentro de los ensayos destructivos, el más importante es el ensayo de tracción.

8.2. La curva Esfuerzo real - Deformación real

(Denominada frecuentemente, curva de fluencia, ya que proporciona el esfuerzo necesario para que el metal fluya plásticamente hacia cualquier deformación dada), muestra realmente lo que sucede en el material. Por ejemplo en el caso de un material dúctil sometido a tensión este se hace inestable y sufre estricción localizada durante la última fase del ensayo y la carga requerida para la deformación disminuye debido a la disminución del área transversal, además la tensión media basada en la sección inicial disminuye también produciéndose como consecuencia un descenso de la curva Esfuerzo - Deformación después del punto de carga máxima. Pero lo que sucede en realidad es que el material continúa endureciéndose por deformación hasta producirse la fractura, de modo que la tensión requerida debería aumentar para producir mayor deformación. A este

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efecto se opone la disminución gradual del área de la sección transversal de la probeta mientras se produce el alargamiento. La estricción comienza al alcanzarse la carga máxima.

Figura 2. Diagrama esfuerzo deformación.

D. CONCLUSIONES

Hemos logrado conocer bien la definición de elasticidad y conceptos complementarios

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Podemos determinar los usos que se les puede dar al tema de elasticidad en la construcción de nuevas edificaciones

E. BIBLIOGRAFIA

http://es.slideshare.net/arielbarrios/pasos-para-realizar-una-monografahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_rigidez

http://www.ual.es/~mnavarro/Tema%206%20%20Elasticidad.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad_transversal

http://www.ucn.cl/FacultadesInstitutos/laboratorio/esfuerzom4.htm

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/mas/cinematica/elongacion.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)

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http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)



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