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1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 2. CONCEPTO DE VECTOR. COMPONENTES. 3. OPERACIONES CON VECTORES. FÍSICA Y QUÍMICA. 1º BACH.

TEMA 0. VECTORES.

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1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.

Se definen magnitudes escalares y magnitudes vectoriales, respectivamente como: MAGNITUDES ESCALARES: Son aquellas propiedades físicas que quedan definidas por su valor numérico. Ejemplos: Temperatura, presión, tiempo... (temperatura de la clase, tiempo en realizar un determinado movimiento, etc) MAGNITUDES VECTORIALES: Se describen mediante los llamados VECTORES. En estas magnitudes es necesario, además de especificar el módulo, conocer la dirección y el sentido. Ejemplos: Son ejemplos de magnitudes vectoriales la VELOCIDAD (no es lo mismo dirigirse a 120 Km/h a Albacete que hacerlo a la misma velocidad hacia León); la FUERZA ( no es lo mismo aplicar sobre un cuerpo una fuerza hacia la derecha que aplicarla hacia la izquierda), etc. Estas magnitudes se diferencian en la forma de representarlas, dado que las escalares se representan con un número, mientras que las vectoriales con un vector.

2. CONCEPTO DE VECTOR. COMPONENTES. Un vector es un segmento orientado en el espacio, del que debemos especificar su punto de aplicación, módulo o intensidad, dirección y sentido. MÓDULO : Es el valor numérico de la magnitud. Se representa entre barras: / a /. En el la representación gráfica, el módulo viene representado por un trozo de recta cuya longitud es proporcional al valor numérico. PUNTO DE APLICACIÓN: Es el origen del vector (o). DIRECCIÓN: Indicada por la recta que contiene al vector. SENTIDO: Es el indicado por la punta de la flecha.

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COMPONENTES DE UN VECTOR. Las componentes de un vector son las proyecciones de éste sobre los distintos ejes cartesianos (X e Y). Un vector cualquiera, a, se representará como: a = aX + aY + aZ CÁLCULO DEL MÓDULO DE UN VECTOR: Entendido el vector en función de sus componentes, el módulo del mismo se obtiene con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes, es decir: /a/ o a = √ ax

2 + ay2 + aZ

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Ej: a = 3i + 4j -----> /a/ = √ 32 + 42 = 5

VECTOR UNITARIO: El vector unitario será un vector cuyo módulo es la unidad. Habrá infinitos vectores unitarios, ya que existen infinitas direcciones. Cualquier vector se puede expresar en función de un vector unitario, así: a= a · u siendo u un vector unitario. Existen tres vectores unitarios que reciben un nombre especial: i, j y k. Sus módulos son lógicamente uno, pero sus direcciones coinciden con la de los tres ejes cartesianos: i : coincide con la dirección del eje X. j : coincide con la dirección del eje Y. k: coincide con la dirección del eje Z. Habitualmente nos podemos encontrar los vectores expresados en función de estos vectores unitarios: a = ax i + ay j = ax + ay Existe otra forma de expresar un vector, que es mediante su módulo y el ángulo que forma u los ejes: ax = a· cosα ay = a· Senα a= a Cos α i + a Sen α j

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¿CÓMO SE CALCULA UN VECTOR UNITARIO? Sea un vector a, dicho vector se puede representar como: A = a · ua , donde ua es un vector unitario que va en la dirección de a. Para calcular el vector unitario ua basta con dividir el vector a por su módulo. Ua = a / /a/ Ej: a = 3 i + 4 j

el módulo de a vale : 32 + 42 = 5 donde ua valdrá : 3/5 i + 4/5 j.

3. OPERACIONES CON VECTORES. SUMA: Hay dos formas de sumar vectores: 1. Gráficamente, a través de la regla del paralelogramo.

2. Analíticamente, es decir, componente a componente. a + b = (ax+ bx) i + (ay + by) j El vector resultante de la suma de dos vectores de IGUAL sentido es otro vector de igual sentido que los anteriores, y cuyo módulo es la suma de los vectores iniciales. Ej: A= 3 i + 2 j + k B= 4 i + 3 j + 2k C = a + b+ = 7 i + 5 j + 3 K

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RESTA: Se opera igual pero las componentes se restan. Ej: A= 3 i + 4 j – k B= 2 i – 2 j – K C= a - b = 1 i + 6j PRODUCTO:

A) PRODUCTO ESCALAR.

El producto escalar de dos vectores nos da un escalr, es decir, un número. A = ax i + ay j + az K B = bx i + by j + bz K

A· B = ax·bx i i + ay bx i j + az bx i k + axby i j + ayby j j + az by k j + ax bz k i + ay bz kj + az bz k k Teniendo en cuenta que solo es distinto de cero el producto de i i , j j y k k y que, además, por ser unitarios vale 1, tendremos que:

A·B = axbx + ayby + azbz Otra forma de calcular el producto escalar es a través de la expresión:

A· B = /a/ · /b/ · Cos, donde es el ángulo que forman los dos vectores, a y b. Aprovechando esta fórmula se establece una de las propiedades más importantes del producto escalar: Dos vectores son PERPENDICULARES cuando su PRODUCTO ESCALAR es CERO.

A·B = /a/ · /b/ Cos 90º = 0

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B) PRODUCTO VECTORIAL: El producto vectorial de dos vectores da OTRO VECTOR, cuyo módulo vale:

/a x b/ = /a/ · /b/· Sen La dirección del vector resultante es perpendicular al plano formado por los dos vectores. Si queremos calcular dicho vector tendremos que recurrir a la regla de SARRUS para resolver el determinante tres por tres que se plantea tal como sigue: i j k A x B = ax ay az = Bx by bz

[aybz i + azbx j + axby k - bxay k + azby i + axbz j Ejemplo: A= 6i + 2j - 4k B= -9i +2j + 6 k i j k AxB= 6 2 -4 = (12 i + 36 j + 12 k) – (-18 k –8i + 36 j)= 20 i +30 k 9 2 6 Dos vectores son PARALELOS cuando su producto vectorial es cero.

AXB = /a/ · /b/ · Sen 0 = O

C) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: El producto de un escalar, k, por un vector a, es otro vector cuya dirección coincide con la del vector a, asi como su sentido, en el caso de que K sea un número positivo y siendo su sentido opuesto cuando K es negativo. B= K · a Ej : K=6 A= 3i – 4j + k b= K· a = 18 i – 24 j + 6 K.