Fisica Nuclear Libro de Krane. Cap 2
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Deber de Fısica Nuclear
Modelos Nucleares
Alejandro Gomez Espinosa *
Escuela Politecnica Nacional
Quito - Ecuador
28 de noviembre de 2010
1. Dar los valores esperados de spin y paridad en el modelo de capas para los estados base de:a) 7Li, b) 11B, c) 15C, d) 17F , e) 31P , f) 141Pr
a) Para el 7Li tenemos Z = 3, N = 4. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 1.
Figura 1: Estado base de 7Li
Donde vemos que el estado base esta en 1p3/2 de donde encontramos que el spin es 32
y la paridad (−1)1 = −, entonces Jπ = 32
−.
b) Para el 11B tenemos Z = 5, N = 6. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 2.
Figura 2: Estado base de 11B
Donde vemos que el estado base esta en 1p3/2 de donde encontramos que el spin es 32
y la paridad (−1)1 = −, entonces Jπ = 32
−.
c) Para el 15C tenemos Z = 6, N = 9. Segun el modelo, analizamos el neutron desapareadode acuerdo al grafico 3.
Figura 3: Estado base de 15C
Donde vemos que el estado base esta en 1d5/2 de donde encontramos que el spin es 52
y la paridad (−1)2 = +, entonces Jπ = 52
+.
1
d) Para el 17F tenemos Z = 9, N = 8. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 4.
Figura 4: Estado base de 17F
Donde vemos que el estado base esta en 1d5/2 de donde encontramos que el spin es 52
y la paridad (−1)2 = +, entonces Jπ = 52
+.
e) Para el 31P tenemos Z = 15, N = 16. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 5.
Figura 5: Estado base de 31P
Donde vemos que el estado base esta en 2s1/2 de donde encontramos que el spin es 12
y la paridad (−1)0 = +, entonces Jπ = 12
+.
f) Para el 141B tenemos Z = 59, N = 82. Segun el modelo, analizamos el proton desapareadode acuerdo al grafico 6.
Figura 6: Estado base de 141B
Donde vemos que el estado base esta en 2d5/2 de donde encontramos que el spin es 52
y la paridad (−1)2 = +, entonces Jπ = 52
+.
2. Los niveles bajos del 13C son el nivel base, 1/2−; 3.09 Mev, 1/2+; 3.68 MeV, 3/2−; 3.85MeV, 5/2+. Los siguientes estados estan cerca de 7 MeV y mas. Interprete estos cuatroestados acorde al modelo de capas.
Para el 13C tenemos: A = 13, Z = 6 y N = 7. De acuerdo al modelo de capas tendriamos unadistribucion de acuerdo a la Figura 7 a), de donde podemos ver que el neutron desapareado
esta en el estado 1p1/2 lo que corresponde al estado base Jπ = 12
−
2
El primer estado exitado 12
+corresponde a la transicion del neutron de la capa 1s1/2 a la
capa 1p1/2 como se observa en la Figura 7 b). El segundo estado exitado 32
+corresponde
a la transicion del neutron de la capa 1p3/2 a la capa 1p1/2 como se observa en la Figura 7
c). El tercer estado exitado 52
+corresponde a la transicion del neutron de la capa 1p1/2 a
la capa 1d5/2 como se observa en la Figura 7 d).
Figura 7: a) Estado Base del 13C, distribucion de 7 neutrones. b) Primer estado exitado del 13C
correspondiente a 12
+. c) Segundo estado exitado del 13C correspondiente a 3
2
+. d) Tercer estado
exitado del 13C correspondiente a 52
+.
3. De acuerdo al modelo de capas, se podrıa esperar Jπ = 11/2− para el estado base de 203T l(Z=81), mientras que el valor observado es 1/2+. Un caso similar ocurre en 207Pb (N=125)y 199Hg (N=199), donde 13/2+ es esperado pero se observa 1/2−. Dado que la fuerza seincrementa fuertemente con l, de las configuraciones de acuerdo al modelo de capas paraestos nucleos que sea consistente con los valores observados de spin y paridad.
Para el 203T l tenemos que A = 203, Z = 81, N = 122. De acuerdo a al modelo de capasencontramos que el proton desapareado se encuentra en la capa 1h11/2 lo que corresponderıa
a un estado base 112
−como se ve en la izquierda de la Figura 8. Sin embargo como las fuerzas
se incrementan fuertemente con l, los protones estarıan mas ligados llenando la capa 1h11/2dejando al proton desapareado en la capa 3s1/2 lo que corresponde al estado base medido12
+, como le ilustra en la derecha de la Figura 8.
Figura 8: Izquierda: Ultimas capas del Estado Base del 203T l de acuerdo con el modelo de capas.Derecha: Ultimas capas del Estado Base del 203T l de acuerdo con los resultados experimentales.
Para el 207Pb tenemos que A = 207, Z = 82, N = 125. De acuerdo a al modelo de capasencontramos que el neutron desapareado se encuentra en la capa 1i13/2 lo que correspon-
derıa a un estado base 132
+como se ve en la izquierda de la Figura 9. Sin embargo como
las fuerzas se incrementan fuertemente con l, los neutrones estarıan mas ligados llenando lacapa 1i13/2 dejando al neutron desapareado en la capa 3p1/2 lo que corresponde al estado
base medido 12
−, como se ilustra en la derecha de la Figura 9.
Figura 9: Izquierda: Ultimas capas del Estado Base del 207Pb de acuerdo con el modelo de capas.Derecha: Ultimas capas del Estado Base del 207Pb acorde con los resultados experimentales.
3
4. En el modelo de capas de partıcula simple, el estado base de un nucleo con un numeroimpar de protones y un numero impar de neutrones esta determinado por el acople delos estados de las capas de protones y neutrones: J = jp + jn. Considere los siguientesnucleos: 16N − 2−; 12B − 1−; 34P − 1−; 28Al − 3+. Dibuje diagramas simples ilustrandoestos acoples, luego reemplace jp y jn respectivamente, por lp + sp y ln + sn. Examine loscuatro diagramas y deduzca una regla empırica para la orientacion relativa de sp y sn enel estado base. Finalmente, use su regla empirica para predecir los Jπ de 26Na y 28Na.
a) Para el 16N tenemos A = 16, Z = 7 y N = 9.
El neutron desapareado esta en la capa 1d5/2 que corresponde a ln = 2, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jn = 52 = ln + sn. El Grafico se ilustra en la Figura 10
a).
El proton desapareado esta en la capa 1p1/2 que corresponde a lp = 1, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jp = 12 = lp− sp. El Grafico se ilustra en la Figura 10 b).
El spin angular total del nucleo es J = 2 = 52 −
12 = jn − jp y la paridad es
(−1)2(−1)1 = −1. Entonces tenemos Jπ = 2−. El Grafico se ilustra en la Figura10 c).
Figura 10: Para el 16N : a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.
b) Para el 12B tenemos A = 12, Z = 5 y N = 7.
El neutron desapareado esta en la capa 1p1/2 que corresponde a ln = 1, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jn = 12 = ln − sn. El Grafico se ilustra en la Figura 11
a).
El proton desapareado esta en la capa 1p3/2 que corresponde a lp = 1, sn = 3/2.
Donde podemos ver que jp = 32 = lp+ sp. El Grafico se ilustra en la Figura 11 b).
El spin angular total del nucleo es J = 1 = 32 −
12 = jn − jp y la paridad es
(−1)1(−1)1 = 1. Entonces tenemos Jπ = 1+. El Grafico se ilustra en la Figura 11c).
Figura 11: Para el 12B: a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.
c) Para el 34P tenemos A = 34, Z = 15 y N = 19.
El neutron desapareado esta en la capa 1d3/2 que corresponde a ln = 2, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jn = 32 = ln − sn. El Grafico se ilustra en la Figura 12
a).
4
El proton desapareado esta en la capa 1s1/2 que corresponde a lp = 0, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jp = 12 = lp+ sp. El Grafico se ilustra en la Figura 12 b).
El spin angular total del nucleo es J = 1 = 32 −
12 = jn − jp y la paridad es
(−1)2(−1)0 = 1. Entonces tenemos Jπ = 1+. El Grafico se ilustra en la Figura 12c).
Figura 12: Para el 34P : a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.
d) Para el 28Al tenemos A = 28, Z = 13 y N = 15.
El neutron desapareado esta en la capa 2s1/2 que corresponde a ln = 0, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jn = 12 = ln + sn. El Grafico se ilustra en la Figura 13
a).
El proton desapareado esta en la capa 1d5/2 que corresponde a lp = 2, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jp = 52 = lp+ sp. El Grafico se ilustra en la Figura 13 b).
El spin angular total del nucleo es J = 3 = 52 + 1
2 = jn + jp y la paridad es(−1)0(−1)2 = 1. Entonces tenemos Jπ = 3+. El Grafico se ilustra en la Figura 13c).
Figura 13: Para el 28Al: a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.
De los graficos anteriores podemos observar que los spines de los nucleones desaparead-os siempre se encuentran alineados cuando se realiza el acople. Con esta regla empıricaencontramos:
e) Para el 26Na tenemos A = 26, Z = 11 y N = 15.
El neutron desapareado esta en la capa 2s1/2 que corresponde a ln = 0, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jn = 12 = ln + sn. El Grafico se ilustra en la Figura 14
a).
El proton desapareado esta en la capa 1d5/2 que corresponde a lp = 2, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jp = 52 = lp+ sp. El Grafico se ilustra en la Figura 14 b).
Si alineamos los spines de los nucleones encontramos la Figura 14 c). El spinangular total del nucleo es J = jn+jp = 1
2 + 52 = 3 y la paridad es (−1)0(−1)2 = 1.
Entonces tenemos Jπ = 3+.
e) Para el 28Na tenemos A = 26, Z = 11 y N = 17.
5
Figura 14: Para el 26Na: a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.
El neutron desapareado esta en la capa 1d3/2 que corresponde a ln = 2, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jn = 32 = ln − sn. El Grafico se ilustra en la Figura 15
a).
El proton desapareado esta en la capa 1d5/2 que corresponde a lp = 2, sn = 1/2.
Donde podemos ver que jp = 52 = lp+ sp. El Grafico se ilustra en la Figura 15 b).
Si alineamos los spines de los nucleones encontramos la Figura 15 c). El spinangular total del nucleo es J = jp−jn = 5
2−32 = 1 y la paridad es (−1)0(−1)2 = 1.
Entonces tenemos Jπ = 1+.
Figura 15: Para el 28Na: a) Neutron desapareado. b) Proton desapareado. c) Acople neutron-proton.
5. a) Si la energıa de un estado de partıcula simple en ausencia del acople spin-orbita es E0,halle las energıas de dos miembros de un doblete spin-orbita cuya diferencia esta dad por
〈l · s〉j=l+1/2 − 〈l · s〉j=l−1/2 =1
2(2l + 1)~2
b) Muestre que el centro de gravedad del doblete es E0.
a) Tomando en cuenta la interaccion spin-orbita, el nivel de energıa nuclear E0 es:
VNUC = E0 + Vso~l · ~s~2
(1)
El termino ~l · ~s se calcula a partir de
~l · ~s =~2
2[j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)]
donde j = l ± s y s = ± 12 . Reemplazando tenemos:
~l · ~s =
~2
2
[(l +
3
2
)(l +
1
2
)− l(l + 1)− 3
2· 1
2
]=l
2~2 j = l +
1
2
~2
2
[(l +
1
2
)(l − 1
2
)− l(l + 1)− 3
2· 1
2
]= − l + 1
2~2 j = l − 1
2
6
De (1) tenemos:
VNUC1 = E0 +l
2Vso j2 = l +
1
2
VNUC2 = E0 −l + 1
2Vso j1 = l − 1
2
b) El Centro de Gravedad es el valor medio de la energıa degenerada de todos los nucleonesque se dividen en dos niveles de energıa. Se calcula con la siguiente expresion:
VNUC1D1 + VNUC2D2
D1 +D2=
(E0 + l
2Vso) [
2(l + 1
2
)+ 1]
+(E0 − l+1
2 Vso) [
2(l − 1
2
)+ 1][
2(l + 1
2
)+ 1]
+[2(l − 1
2
)+ 1] = E0
6. Calcule el momento cuadrupolar esperado en el modelo de capas de 209Bi (9/2−) y comparecon el valor experimental -0.37b.
Para calcular el momento cuadrupolar en el modelo de capas se utiliza:
Qsp = − 2j − 1
2(j + 1)r2 (2)
donde r2 = 35R
20A
2/3 y R0 = 1,4 × 10−13cm. El 209Bi tiene A = 209, Z = 83, N = 126;de acuerdo al modelo de capas el proton desapareado se encuentra solo en la capa 1h9/2,
donde Jπ = 92
−. Como se encuentra solo en esta capa tenemos: Q = Qsp. Reemplazamos
en (2):
Q = Qsp = −2 92 − 1
2(92 + 1
) 3
5(1,4× 10−15m)2(209)2/3 = −3,012× 10−25 ≈ −0,3012b
Que podemos notar que existe un error del 20 % entre el valor teorico y el experimental.
7. Calcule los valores del momento dipolar magnetico esperado en el modelo de capas, y com-pare con los valores experimentales:
Nuclido Jπ µexp (µN )75Ge 1/2− +0.51087Sr 9/2− -1.09391Zr 5/2+ -1.30447Sc 7/2− +5.34147Eu 11/2− +6.06
El momento dipolar magnetico en el modelo de capas se lo determina con la siguienteformula:
µj = gjµN~~J (3)
donde el factor de lande (g) se lo calcula con:
gj = gl + (gs − gl)(j(j + 1)− l(l + 1) + s(s+ 1)
2j(j + 1)
)(4)
donde gpl = 1 para el proton y gnl = o para el neutron, y gps = 5,58 para el proton ygns = −3,82 para el neutron. Con esto procedemos a calcular para los elementos indicados.
a) Para el 75Ge tenemos: A = 75, Z = 32, N = 43. De acuerdo al Jπ = 12
−podemos
notar que el neutron desapareado se encuentra en la capa 2p1/2, con lo que tenemos:J = 1/2, l = 1 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):
gj = −3,82
(12
(12 + 1
)− 1(1 + 1) + 1
2
(12 + 1
)2 12
(12 + 1
) )= −1,273
Reemplazamos este valor en (3) y obtenemos:
µj = −1,273µN~
1
2~ = −0,636µN
7
b) Para el 87Sr tenemos: A = 87, Z = 38, N = 49. De acuerdo al Jπ = 92
−podemos
notar que el neutron desapareado se encuentra en la capa 1g9/2, con lo que tenemos:J = 9/2, l = 4 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):
gj = −3,82
(92
(92 + 1
)− 4(4 + 1) + 1
2
(12 + 1
)2 92
(92 + 1
) )= −0,424
Reemplazamos este valor en (3) y obtenemos:
µj = −0,424µN~
9
2~ = −1,91µN
c) Para el 91Zr tenemos: A = 91, Z = 40, N = 51. De acuerdo al Jπ = 52
+podemos
notar que el neutron desapareado se encuentra en la capa 2d5/2, con lo que tenemos:J = 5/2, l = 2 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):
gj = −3,82
(52
(52 + 1
)− 2(2 + 1) + 1
2
(12 + 1
)2 52
(52 + 1
) )= −0,764
Reemplazamos este valor en (3) y obtenemos:
µj = −0,764µN~
5
2~ = −1,91µN
d) Para el 47Sc tenemos: A = 47, Z = 21, N = 26. De acuerdo al Jπ = 72
−podemos
notar que el proton desapareado se encuentra en la capa 1f7/2, con lo que tenemos:J = 7/2, l = 3 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):
gj = 1 + (5,58− 1)
(72
(72 + 1
)− 3(3 + 1) + 1
2
(12 + 1
)2 72
(72 + 1
) )= 1,916
Reemplazamos este valor en (3) y obtenemos:
µj = 1,916µN~
7
2~ = 6,706µN
e) Para el 147Eu tenemos: A = 147, Z = 63, N = 84. De acuerdo al Jπ = 112
−podemos
notar que el neutron desapareado se encuentra en la capa 1h11/2, con lo que tenemos:J = 11/2, l = 5 y s = 1/2. Reemplazamos en (4):
gj = −3,82
(112
(112 + 1
)− 5(5 + 1) + 1
2
(12 + 1
)2 11
2
(112 + 1
) )= −0,347
Reemplazamos este valor en (3) y obtenemos:
µj = −0,347µN~
11
2~ = 1,91µN
8