FISICA II...1.3 Movimiento armónico Forzado Formulas: Donde: De igual manera que en el movimiento...

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA

FISICA II

CICLO: 2008-B

DOCENTE:

LIC. JUAN MENDOZA NOLORBE

TEMA:

SOLUCIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE,

AMORTIGUADO Y FORZADO POR MÉTODOS NUMÉRICOS

ALUMNO:

GAMARRA QUISPE, Saúl Abel 072567H

LIMA - PERU

NOVIEMBRE - 2008

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N

Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Ciclo 2008-B

Física II Solución por métodos numéricos 1

SOLUCIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE, AMORTIGUADO Y FORZADO POR MÉTODOS NUMÉRICOS

1. SOLUCIÓN POR EXCEL

Para resolver este problema utilizando métodos numéricos lo realizamos con ayuda del

programa EXCEL, accediendo de la siguiente forma:

A continuación se abrirá la hoja de Excel como se muestra en la figura siguiente

Hacemos clic en el icono de Excel

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



Empezamos a crear la hoja de cálculo, para el método numérico

1.1 Movimiento armónico simple

Formulas:

Donde:

De igual manera se hará en Excel

Construimos la tabla para este movimiento primero empezamos con la Columna del tiempo,

vemos que el primer valor del timepo es de 0 esto es en la celda observada en la figura, luego

el siguiente valor, tomará cualquier valor arbitrario que se le asigne a la variación del tiempo,

la siguiente celda tomara el valor antes y se sumara la variación de tiempo con el signo $ para

que no varie el orden de la celda (=F13+C$22), esto con el fin de que la variacion del tiempo

pueda tomar cualuier valor y asi poder automatizar la hoja de calculo

( )φωtAv += cosωr( )φωtAx += senr

( )φωtsenAa +−= 2ωr

Velocidadv =rPosiciónx =r

nAceleracióa =r

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



Luego se procedera con el barrido de la columna hacia abajo desde el valor de (=F13+C$22),

para que corra la formula, esto se hace seleccionado dicha celda y tirando de la esquina

inferior derecha, se barre hacia abajo

Una ves terminado la columna del tiempo procedemos a colocar las demas ecuaciones, ahora

analizamos la columna de aceleración,para el primer valor de la aceleracion se toma

=C23*H12 lo cual se dio valores iniciales:

Valores iniciales: Variacion del tiempo 0.10 s Aceleración 20.00 m/s2

Velocidad 5.00 m/s Posición 0.00 m

También así ponemos los valores iniciales en la celda de posición y velocidad

respectivamente como podemos observar en la siguiente figura

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



Luego arrastramos también la columna de la aceleración como antes se menciono, tener

cuidado que estos valores deben de actualizarse debido a que la posición va a cambiar con

otra formula como se vera mas adelante

A continuación se cambiara la formula para la columna de la velocidad

=C$26*COS(C$27*F13), luego se arrastrara hacia abajo, y también debemos de arrastrar otra

ves la columna de la aceleración y de la velocidad

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



Se agregará la formula para la posición =-24*SENO(C$27*F13) y luego se arrastrara todo de

nuevo para que se actualice todos los valores

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



Después de tener la tabla completa se procederá a graficar:

Hacer clic en el icono mostrado y seleccionar el tipo de grafica que se desee y darle clic en

siguiente

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



Seleccionamos las 2 celdas de tiempo y de posición para que se grafique configuramos lo

necesario para que se vea correctamente la grafica y se da finalizar

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



GRÁFICA ACELERACION vs TIEMPO

GRÁFICA POSICION vs TIEMPO

GRÁFICA VELOCIDAD vs TIEMPO

x V/S t

-30.00

-20.00

-10.00

0.00

10.00

20.00

30.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

tiempo

posi

ción

v V/S t

-8.00-6.00-4.00-2.000.002.004.006.008.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

tiempo

velo

cida

d

a V/S t

-150.00

-100.00

-50.00

0.00

50.00

100.00

150.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

tiempo

acel

erac

ión

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



1.2 Movimiento armónico amortiguado

Formulas:

Donde:

De igual manera que en el movimiento armónico simple se procederá a realizar en EXCEL la

grafica y el llenado de tablas

Construimos la tabla para este movimiento primero empezamos con la Columna del tiempo,

vemos que el primer valor del timepo es de 0 esto es en la celda observada en la figura,

luego el siguiente valor, tomará cualquier valor arbitrario que se le asigne a la variación del

tiempo, la siguiente celda tomara el valor antes y se sumara la variación de tiempo con el

signo $ para que no varie el orden de la celda (=F13+C$22), esto con el fin de que la

variacion del tiempo pueda tomar cualuier valor y asi poder automatizar la hoja de calculo

)(0 tvxx Δ+= rrr001012 =−−= xva r&rr

)(0 tavv Δ+= rrr


nAceleracióa =r

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



Luego se procedera con el barrido de la columna hacia abajo desde el valor de (=F13+C$22),

para que corra la formula, esto se hace seleccionado dicha celda y tirando de la esquina

inferior derecha, se barre hacia abajo

Una ves terminado la columna del tiempo procedemos a colocar las demas ecuaciones, ahora

analizamos la columna de aceleración,para el primer valor de la aceleracion se toma

=-12*H12-100*I12, se procede a arrastrar la celda hacia abajo para que las demas celdas

tomen la misma formula

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



También así ponemos los valores iniciales en la celda de posición y velocidad

respectivamente como podemos observar en la siguiente figura, en la segunda celda de la

velocidad va esta formula =H12+(G12*C$22), luego se hace el barrido correspondiente de la

columna de velocidad

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



A continuación se cambiara la formula para la columna de la velocidad =I12+H13*C$22 luego

se arrastrara hacia abajo, y también debemos de arrastrar otra ves la columna de la

aceleración y de la velocidad para que se actualice todos los valores de nuevo



siguiente

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N





SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N






x V/S t

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

tiempo

posi

ción

v V/S t

-4.00-2.000.002.004.006.008.00

10.0012.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

tiempo

velo

cida

d

a V/S t

-150.00

-100.00

-50.00

0.00

50.00

100.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

tiempo

acel

erac

ión

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



1.3 Movimiento armónico Forzado

Formulas:

Donde:

De igual manera que en el movimiento armónico simple se procederá a realizar en EXCEL la

grafica y el llenado de tablas

Se agrega al movimiento amortiguado =-12*H12-100*I12+J12 y la Columna de la Fuerza

aplicada que esta dada por la formula =C$25*COS(0.5*F12) y se arrastra las celdas para que

se copie las formulas ya ctulice los valores

)(0 tvxx Δ+= rrr)5.0(1001012 tCOSxva +−−= r&rr

)(0 tavv Δ+= rrr


nAceleracióa =r

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N





siguiente

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N





SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N



GRÁFICA FUERZA vs TIEMPO




x V/S t

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

tiempo

posi

ción

v V/S t

-60.00

-40.00

-20.00

0.00

20.00

40.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

tiempo

velo

cida

d

a V/S t

-1200.00-1000.00-800.00-600.00-400.00-200.00

0.00200.00400.00600.00800.00

1000.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

tiempo

acel

erac

ión

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N

Formulas Movimiento Armonico Simple

Tiempo Aceleración Velocidad Posiciónt(s) a(m/s 2) v(m/s) x(m)0.00 -120.00 6.00 0.000.09 -112.31 5.62 -8.450.18 -90.22 4.51 -15.83

Donde: 0.27 -56.56 2.83 -21.170.36 -15.65 0.78 -23.800.45 27.26 -1.36 -23.370.54 66.68 -3.33 -19.950.63 97.55 -4.88 -13.980.72 115.92 -5.80 -6.21

Valores iniciales: 0.81 119.42 -5.97 2.36 Variacion del tiempo 0.09 s 0.90 107.61 -5.38 10.62 Aceleración 20.00 m/s2 0.99 82.01 -4.10 17.52 Velocidad 6.00 m/s 1.08 45.89 -2.29 22.18 Posición 0.00 m 1.17 3.89 -0.19 23.99

6.00 1.26 -38.61 1.93 22.724.00 1.35 -76.16 3.81 18.55

1.44 -103.95 5.20 11.991.53 -118.41 5.92 3.901.62 -117.68 5.88 -4.691.71 -101.87 5.09 -12.681.80 -73.00 3.65 -19.051.89 -34.77 1.74 -22.971.98 7.92 -0.40 -23.952.07 49.59 -2.48 -21.852.16 84.91 -4.25 -16.962.25 109.34 -5.47 -9.892.34 119.75 -5.99 -1.552.43 114.81 -5.74 6.982.52 95.15 -4.76 14.622.61 63.29 -3.16 20.392.70 23.32 -1.17 23.54

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE


nAceleracióa =r

( )φωtAv += cosωr( )φωtAx += senr

( )φωtsenAa +−= 2ωr

ωAω

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N




x V/S t

-30.00

-20.00

-10.00

0.00

10.00

20.00

30.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

tiempo

posi

ción

v V/S t

-8.00-6.00-4.00-2.000.002.004.006.008.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

tiempo

velo

cida

d

a V/S t

-150.00

-100.00

-50.00

0.00

50.00

100.00

150.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

tiempo

acel

erac

ión

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N

Formulas Movimiento Armonico Amortiguado

Tiempo Aceleración Velocidad Posiciónt(s) a(m/s 2) v(m/s) x(m)0.00 -120.00 10.00 0.000.10 44.00 -2.00 -0.200.20 -32.80 2.40 0.04

Donde: 0.30 15.36 -0.88 -0.050.40 -9.63 0.66 0.020.50 5.00 -0.31 -0.010.60 -2.93 0.19 0.010.70 1.58 -0.10 0.000.80 -0.90 0.06 0.00

Valores iniciales: 0.90 0.50 -0.03 0.00 Variacion del tiempo 0.10 s 1.00 -0.28 0.02 0.00 Aceleración -120.00 m/s2 1.10 0.16 -0.01 0.00 Velocidad 10.00 m/s 1.20 -0.09 0.01 0.00 Posición 0.00 m 1.30 0.05 0.00 0.00

1.40 -0.03 0.00 0.001.50 0.02 0.00 0.001.60 -0.01 0.00 0.001.70 0.00 0.00 0.001.80 0.00 0.00 0.001.90 0.00 0.00 0.002.00 0.00 0.00 0.002.10 0.00 0.00 0.002.20 0.00 0.00 0.002.30 0.00 0.00 0.002.40 0.00 0.00 0.002.50 0.00 0.00 0.002.60 0.00 0.00 0.002.70 0.00 0.00 0.002.80 0.00 0.00 0.002.90 0.00 0.00 0.003.00 0.00 0.00 0.00

MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO

MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO


nAceleracióa =r

)(0 tvxx Δ+= rrr001012 =−−= xva r&rr

)(0 tavv Δ+= rrr

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N




x V/S t

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

tiempo

posi

ción

v V/S t

-4.00-2.000.002.004.006.008.00

10.0012.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

tiempo

velo

cida

d

a V/S t

-150.00

-100.00

-50.00

0.00

50.00

100.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

tiempo

acel

erac

ión

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N

Formulas Movimiento Armonico Forzado

Tiempo Aceleración Velocidad Posición Fuerza Aplicadat(s) a(m/s 2) v(m/s) x(m) F(N)0.00 -990.00 0.00 10.0000 10.00000.10 1187.99 -99.00 0.1000 9.98750.20 -435.62 19.80 2.0799 9.9500

Donde: 0.30 324.70 -23.76 -0.2965 9.88770.40 -152.09 8.71 0.5741 9.80070.50 95.33 -6.50 -0.0761 9.68910.60 -49.51 3.03 0.2269 9.55340.70 28.94 -1.92 0.0349 9.39370.80 -15.71 0.97 0.1323 9.2106

Valores iniciales: 0.90 8.91 -0.60 0.0726 9.0045 Variacion del tiempo 0.10 s 1.00 -4.95 0.29 0.1020 8.7758 Aceleración -990.00 m/s2 1.10 2.75 -0.20 0.0819 8.5252 Velocidad 0.00 m/s 1.20 -1.56 0.07 0.0893 8.2534 Fuerza Apliaca 10.00 N 1.30 0.84 -0.08 0.0811 7.9608

1.40 -0.50 0.00 0.0813 7.64841.50 0.25 -0.05 0.0764 7.31691.60 -0.17 -0.02 0.0741 6.96711.70 0.07 -0.04 0.0701 6.59981.80 -0.06 -0.03 0.0668 6.21611.90 0.01 -0.04 0.0628 5.81682.00 -0.03 -0.04 0.0590 5.40302.10 -0.01 -0.04 0.0548 4.97572.20 -0.02 -0.04 0.0506 4.53602.30 -0.01 -0.04 0.0462 4.08492.40 -0.01 -0.04 0.0417 3.62362.50 -0.01 -0.05 0.0371 3.15322.60 -0.01 -0.05 0.0325 2.67502.70 -0.01 -0.05 0.0277 2.19012.80 -0.01 -0.05 0.0229 1.69972.90 0.00 -0.05 0.0180 1.20503.00 0.00 -0.05 0.0130 0.7074

MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO

MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO


nAceleracióa =r

)(0 tvxx Δ+= rrr)5.0(1001012 tCOSxva +−−= r&rr

)(0 tavv Δ+= rrr

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N

GRÁFICA FUERZA vs TIEMPO




x V/S t

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

tiempo

posi

ción

v V/S t

-60.00

-40.00

-20.00

0.00

20.00

40.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

tiempo

velo

cida

d

a V/S t

-1200.00-1000.00-800.00-600.00-400.00-200.00

0.00200.00400.00600.00800.00

1000.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

tiempo

acel

erac

ión

SOLO

PAR

A IN

FORM

ACIO

N

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