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Física del Estado Solido

ETN - 501

Ing. Teodoro Busch

CAPITULO 1: Física de Semiconductores CAPITULO 2: Estructuras de Bandas del Semiconductor CAPITULO 3: Física de Semiconductores CAPITULO 4: Fenómeno de transporte de portadores CAPITULO 5: Física de la Unión P-N

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FFFÍÍÍSSSIIICCCAAA DDDEEELLL EEESSSTTTAAADDDOOO SSSÓÓÓLLLIIIDDDOOO

ETN-501 INGENIERO TEODORO BUSCH

Radiación térmico y postulado de PlanckRadiación térmico y postulado de PlanckRadiación térmico y postulado de PlanckRadiación térmico y postulado de Planck

Radiación térmica es la radiación emitida por un cuerpo como resultado de su

temperatura.

Todos los cuerpos emiten y absorben radiación a su alrededor y de su alrededor.

En equilibrio térmico se igualan las razones de emisión y radiación.

El espectro de emisión es independiente del material, del cual es compuesto el

cuerpo y fuertemente dependiente de la temperatura.

Cuerpos negros se le denominan a aquellos cuerpos que absorben toda la

radiación que incide sobre ellos.

La distribución espectral de radiación es continua y tiene un máximo dependiente

de la temperatura. La distribución espectral se puede expresar en términos de la

longitud de onda o de la frecuencia de radiación, Sea f(f) = d es la densidad de

energía por unidad de frecuencia f de la radiación contenida en una cavidad a la

temperatura absoluta T su unidad es 3/ −mJs .

CAPÍTULO

1

Fig. #1.-Densidad espectral versus energía.

Fig. #2.-Cavidad de cuerpo negro.

FÍSICA DE SEMICONDUCTORES



1.0 CavCavCavCaviiiidaddaddaddad de cuerpos negro. de cuerpos negro. de cuerpos negro. de cuerpos negro.---- Una cavidad de cuerpo negro que está en

contacto con el exterior por medio de un pequeño orificio en la superficie. La

radiación incidente en el hueco entra a la cavidad y es reflejada por la

superficie interior y eventualmente absorbida por la pared de la cavidad. Si el

área es pequeña comparada con la superficie, esencialmente toda la radiación

incidente en el orificio es absorbida y por lo tanto el orificio tendrá las

mismas propiedades de un cuerpo negro.

Si la cavidad esta a una temperatura uniforme T, las paredes emiten radiación

térmica, la cual llena la cavidad.

La pequeña fracción de esta relación que incide desde dentro en el orificio pasa a

través de el. Puesto que el orificio debe tener las mismas propiedades de la

superficie de un cuerpo negro, la radiación emitida por el orificio debe tener un

espectro de cuerpo negro.

1.2 Teoría de Max Planck.Teoría de Max Planck.Teoría de Max Planck.Teoría de Max Planck.---- Max puede en su teoría hace dos suposiciones en lo

que se refiere a la naturaleza de las oscilaciones de las moléculas que se

encuentran en las paredes de la cavidad.

1. Las moléculas que emiten radiación se oscilan solo pueden tener valores

discretos de energía. En definidos por :

nhfEn = … (1)

Donde n +Ζ∈n , llamado número cuántico y f es la frecuencia de vibración

de las moléculas. Se dice que la energía de las moléculas está cuantizada y los

niveles de energía permitidos se llaman estados cuánticos.

2. Las moléculas absorben o emiten energía en cantidades discretas en forma

de luz llamado cuántos (o fotones). Esto se hace brincando de un estado

cuántico a otro. Si el estado cuántico n cambia en una cantidad, la ecuación

(1) muestra que la cantidad de energía radiada o absorbida por la moléculas

es igual a hfE =1 .

Ahora, la energía de un fotón corresponde a la diferencia de energía entre

dos estados cuánticos adyacentes y esta dada por:

hfEEE fi =−= … (2)

Se puede afirmar que la molécula radiará o absorberá energía solo cuando

cambia de estado cuántico. Si esta permanece en un estado cuántico, no hay

absorción o emisión de energía.



4

3

2

1

0

Fig. Niveles de energía permitidos para un oscilador y frecuencia natural f. Las

transiciones permitidas están indicadas por flechas verticales.

La densidad de energía por unidad de frecuencia f es:

)1(

18)(

3

3

−

==Tk

hc

Bec

hf

df

dEff

πρ … (3)

Donde

= −

K

JK B

2310*3085.1 es la constante de Boltzmann

λλ

d

dE. Es la densidad de energía por unidad de longitud de onda λ de la radiación

contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es sm

J

⋅

λc

f =

2λλc

d

df −=

−

=×−=

1

185

Tk

hc

f

Be

hc

d

df

df

dE

d

dE

λπ

λλλ

… (4)

1.3 La ley de desplazamiento de Wein.La ley de desplazamiento de Wein.La ley de desplazamiento de Wein.La ley de desplazamiento de Wein.---- La posición del máximo en el espectro

de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura de cuerpo negro y

esta dada por la ley de desplazamiento de Wein. Calculando la primera derivada

de la función de distribución de Planck expresada en términos de la longitud de

onda o de la frecuencia.

4hf

3hf

2hf

hf

0

Energía



0

1

185

=

−Tk

hc

Be

hc

d

d

λπ

λ

( ) 01

8 5

44

55

=

−xe

x

ch

Tk

d

d πλ

9651.4==Tk

hcx

Bλ

0)1(

)1(582

54

44

55

=

−−−

x

xxB

e

exex

ch

Tkπ

0)1(

)1(5 54

=−

−−x

xx

e

exex

0)1(5 =−− xx xee

055 =−− xx xee

Esta es una ecuación trascendente que resolvemos por aproximaciones sucesivas

obteniendo x=4.9651. Por lo tanto λT a donde a es la constante de

desplazamiento de Wein, esta ley establece que los máximos de df

dE f a diferentes

temperaturas

,...,,, 321 TTT ocurren para las longitudes de onda ,...,,, 321 λλλ tales que

[ ]mKak

hcTTT

B

33322 10898.2 −×===== Lλλλ λλ

… (5)

A medida que la temperatura T se incrementa el máximo se desplaza hacia

longitudes de ondas menores (mayores frecuencias).

Es decir, se ve que a medida que la temperatura del cuerpo aumenta al máximo de

su distribución de energía se desplaza hacia las longitudes de onda corta, lo cual

origina cambio de color del cuerpo. La ley de desplazamiento de Wein es por lo

tanto muy útil para determinar la temperatura de cuerpos calientes, como hornos o



estrechas, hallando la longitud de onda para la cual la intensidad de radiación es

máxima.

La ley de Wein también proporciona un método para determinar h en función de

valor experimental de a y de su definición en función de h, c y EC dada

anteriormente.

EjemploEjemploEjemploEjemplo #1. #1. #1. #1.---- Encuentra la temperatura de una cavidad radiante cuya densidad de

energía radiante a 200o

A es 3,32 veces la densidad de energía radiante a 400o

A

Solución. La densidad de energía electromagnética en el interior de cavidad en

función de la temperatura y la longitud de onda.

)1(

18),(

3

−

=Tk

hc

Bec

hcT

λ

πλρ

Luego por condición del problema: ),(82.3),( 21 TT λρλρ =

−

=

− )1(

1882.3

)1(

1852

5

Tk

hc

Tk

hc

BB e

hc

e

hc

λλλ λπ

λπ

−

=

− )1(

182.3

)1(

1

252

5 Tk

hc

Tk

hc

BB ee λλλ λλ λ

Parametrizando la ecuación

119.082.35

2

=

=

λλλa

Además definimos una nueva variable, se obtiene

ETk

hc

Bex 2λ=

La relación entre las ondas 2

1

4000

2000

2

=ΑΑ=

o

o

λλλ

λλλ 22 =

Tk

hc

Tk

hc

BB eex λλλ 22 ==



Tk

hc

Bex λλ=2

11

12 −

=− x

a

x

0119.01119.0 2 =−+− xx

4.7=x

Tk

hc

Bex 2λ=

Tk

hcx

B2

)ln(λ

=

)ln(2 xk

hcT

Bλ=

[ ]

[ ][ ]K

K

Jm

s

msJ

T 979.17)4.7ln(1038.1104000

10310626.6

2310

334

=×

×××

××⋅×=

−−

−

EjemploEjemploEjemploEjemplo # # # #2222.-

a) ¿cuantos fotones hay en 1 cm3 del interior de una cavidad radiante que se

encuentra en equilibrio térmico a 1000 k?

b) Cual es la energía promedio de los fotones?

Solución.- la densidad de energía electromagnética en el interior de una cavidad

es:

)1(

)(8

)1(

18)(

3

2

3

3

−

=

−

==Tk

hf

Tk

hcT

BB ec

hff

ec

hf

df

dEff

ππρ

Luego el número de fotones que hay en el interior de la cavidad a través de:

hf

ffn T

T

)()(

ρ=

VolumenFotonEnergia

TotalEnergianT ×⋅

⋅=



Considerando todas las frecuencias posibles

∫∞

=0

)()( df

hf

ffn T

T

ρ

Volumen

FotonesdeNumerofnT

⋅⋅=)(

∫∫∞∞

−

=

−

=0

2

303

2

)1(

8

)1(

8)( df

e

f

cdf

ec

ffn

Tk

hf

Tk

hfT

BB

ππ

Tk

hfx

B

=h

Txkf B= dx

h

Tkdf B=

Si ( )dxe

h

Tk

h

Txk

cfn

xf

xofx

B

BT 1

8)(

0 2

03 −

=⇒

∞→⇒∞→→⇒→

∫∞π

( )∫∞

+Γ

=Γ

=−

=0

3323

)3()12(8)3()3(81

8)( ξπξππh

Tk

h

Tkdx

e

x

h

Tkfn BB

xB

T

202.116)3()2(16)3()2(28)(333

×

=Γ

=Γ

=h

Tk

h

Tk

h

Tkfn BBB

T πξπξπ

[ ]

[ ]

×=×

××⋅×

×

×=

−

−

36

3

834

23

10018.2202.110310626.6

10001038.116)(

m

Fotones

s

msJ

KK

J

fnT π

1.4 Postulado de De BrogPostulado de De BrogPostulado de De BrogPostulado de De Broglielielielie : Propiedades ondulatorias de las partículas o : Propiedades ondulatorias de las partículas o : Propiedades ondulatorias de las partículas o : Propiedades ondulatorias de las partículas o

dualidad particular dualidad particular dualidad particular dualidad particular ---- onda. onda. onda. onda.----

La hipótesis de De Broglie fue que el comportamiento dual onda partícula de la

radiación, se aplica igualmente para la materia.

Tal como el fotón tiene onda de luz asociada, que gobierna su movimiento, así

como una partícula elemental de la materia tiene asociadas una onda que

gobierna su movimiento.



De acuerdo a la hipótesis de De Broglie, tanto para la materia como para la

radiación la energía total está relacionada a la frecuencia de la onda asociada con

su movimiento por la ecuación.

hfE = … (1)

Y el momento P está relacionado a la longitud de onda en la onda asociada por la

ecuación

λh

P = … (2)

Estas ecuaciones asocian los conceptos de partícula, energía y momento, por

medio de la constante de Planck, a aquellos de la onda, frecuencia y longitud de

onda. La ecuación 2 se conoce como la relación de De Broglie la cual predice la

longitud de onda de la onda asociada con el movimiento de una partícula con

momento P.

Podemos expresar esta relación en términos del número de onda k, que el

número de los radianes con los cuales la fase de la onda se mueve en un metro.

λπ2=k

kP h= … (3) donde π2

h=h

es la constante de Planck reducida

22222 cmcpmcE o+== c

EP =

P

h=λ mv

h

P

h ==λ

λhc

hfE == c

Eh =λ

Estas fórmulas generales que establecen el paralelismo entre las ondas y las

partículas pueden ser aplicadas a los corpúsculos de la luz, bajo el supuesto de

que en tal caso las masas en reposo no son infinitamente pequeñas. En realidad si

para un valor determinado de la energía W, se hace que no tienda a cero entonces

se encuentra que v, y u tienden a c y, en el límite se obtienen los dos términos

sobre los cuales existen bajo su teoría del cuanto de luz.

hfW = … (4)

c

hfP =

… (5)



Relaciones RelativistasRelaciones RelativistasRelaciones RelativistasRelaciones Relativistas

1. Variación de la masa coVariación de la masa coVariación de la masa coVariación de la masa con la velocidad n la velocidad n la velocidad n la velocidad )(µfm =

2

1

−

=

c

mm o

µ

… (6)

2. Segunda Ley de Newton Segunda Ley de Newton Segunda Ley de Newton Segunda Ley de Newton

( )dt

md

c

m

dt

d

dt

dPF o µ

µ

µ =

−

==2

1 … (7)

3. Relación entre masa y energía Relación entre masa y energía Relación entre masa y energía Relación entre masa y energía

2mcE = … (8)

22 cmmcEEk oo −=−= … (9)

2cmE oo = es la energía en reposo

4. Relación entre momento (cantidad dRelación entre momento (cantidad dRelación entre momento (cantidad dRelación entre momento (cantidad de movimiento) y energía e movimiento) y energía e movimiento) y energía e movimiento) y energía

22222222

22

2

22)(

21

11

2

cmmcmmc

m

c

mm

c

mm oo

oo =−⇒=

−⇒

−

=→

−

= ⋅ µµ

µµ

222222 cmmcm o=− µ

4222242 cmcmcm o=− µ

2mcE =2cmE oo = µmp =

22222222 cpEEEcpE oo +=⇒=−

oo EkEEEk +=⇒−=

( ) 2222oo EcpEk +=+ … (10)



1.2.2 El efecto fotoeléctrico.El efecto fotoeléctrico.El efecto fotoeléctrico.El efecto fotoeléctrico.----

El efecto fotoeléctrico es por ahora el experimento clásico que demuestra la

naturaleza cuantizada de la luz.

Cuando aplicamos la luz monocromática a un metal en vació se encuentra que los

electrones son liberados del metal, pero pueden escapar cuando la energía

proporcionada es suficiente, por ejemplo en forma de luz.

Si embargo, el hecho sorprendente es que cuando se ilumina con longitudes de

ondas largas (típicamente mayores que 400 nm) los electrones no son emitidos

del metal aun si la intensidad luminosa es incrementada. Por otra parte, uno

observa fácilmente

la emisión de electrones en longitudes de onda ultravioleta porque el número de

electrones emitidos varía con la intensidad de la luz. Un análisis más detallado

revela que la máxima energía cinética de los electrones emitidos varía fácilmente

con la inversa de la longitud de onda, para longitudes de ondas cortas que las

longitudes de ondas máximas.

El aparato experimental consiste de dos electrodos de metal dentro de una cámara

vació. La luz se hace incidir en uno de los dos electrodos, en los cuales es aplicado

un voltaje externo. El voltaje externo es ajustado tal que la corriente debido a los

electrones emitidos por fotones llega a ser cero. Este voltaje corresponde a la

energía cinética máxima. kE De los electrones en unidades de electro voltios.

Este voltaje se ha medido para diferentes longitudes de onda y el graficado como

una función de la inversa de la longitud de onda.



2.1 La ecuación d e Schrödinger para los electrones

Un enfoque importante para la mecánica cuántica, es la teoría ondulatoria

de Schrödinger. Este enfoque servirá para comprender ciertos aspectos

importantes de los electrones en los semiconductores. Los conceptos

simples para entender la mecánica cuántica.

Base.- En mecánica cuántica seleccionamos un conjunto de funciones que

incluyen una base, y el estado de un sistema físico se describe luego en

términos de la combinación adecuada de la base.

2.2 Funciones propias de estado.- El estado de un sistema físico se

describe en términos de las funciones de la base. Una elección

adecuadamente ponderada de las funciones de la base se utiliza para

describir el estado de la función. Un estado de esta clase que es permitido,

mediante las restricciones establecidas sobre el sistema físico se conoce

como el eigenestado (estado propio) o eigenfunción (función propia)

2.3 Cantidades físicamente observables.- Las cantidades que se van

físicamente mediante la realización de experimentos, se representan por

medio de operadores matemáticos en el enfoque de Schrödinger. Algunos

operadores importantes son representados mediante las operaciones

siguientes:

Momento: x

ihPx ∂∂−⇒

yihPy ∂

∂−⇒ … (1)

Energía: t

ihE∂∂−⇒

MECÁNICA CUANTICA (CONTINUACIÓN)

CAPÍTULO

1



2.4 La ecuación d e Schrödinger.- Los operadores que representan las

cantidades físicamente observables funcionan sobre un estado del sistema

generando la ecuación conocida como la ecuación de eigenvalores.

Consideremos la identidad que representa la energía cinética y el

potencial de un electrón con masa mo

Eum

Ptr =+ ),(

0

2

2 …(2)

Realizando una operación sobre un estado general ),( trρψ tomando en

cuenta los operadores. Luego, la ecuación

tihu

rm

h trtrtr

tr

∂∂

=+∂

∂− ),(),(),(2

),(2

0

2

2

ρρρ

ρ ψψ

ψ …(3)

Esta ecuación se utiliza para describir las propiedades de los electrones en

un sistema físico. Si al término de la energía potencial ),( tru ρ no es

dependiente del tiempo, entonces la solución de la ecuación (3) puede ser

separada en una parte dependiente del tiempo y en otra independiente del

tiempo. Podemos escribir.

)()(),( . trtr fρρ ψψ = …(4)

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

)()()(0

22

2 rrr Eum

hρρρ ψψ =

+∇−

…(5)

Y la ecuación dependiente del tiempo es:

)()(

tt fE

t

fih =

∂∂

…(6)

La parte dependiente del tiempo de la solución es de la forma general.

iwth

Eti

t eef ±±==)( … (7)

En general, se obtendrán una serie de soluciones )(rρψ con energías

asociadas En. Las En son las eigenergías del problema, lo que significa que

en un sistema real el electrón puede tener las energías: E1, E2,…… En, etc.



2.5 El problema de Barrera cuántica.- Consideremos una barrera cuántica

como se ve en la figura (1). Además consideremos en primer lugar la

barrera cuántica infinita donde el perfil de energía potencial en dirección z

está dado por:

ootrode

azau z

mod;

;0)(

∞=

<<−= … (8)

A lo largo del plano x-y la energía potencial es constante, debido a esto, la

ecuación de Schrödinger se puede separarse en las direcciones x, y, z. Podemos

escribir

)()()(),,( 321 zyxzyx fff=ψ … (9)

Donde cada componente satisface la ecuación

)()(20

22

112xxx fEf

dxm

dh=− … (10)

)()(20

22

222 yyy fEfdym

dh =− … (11)

)()()()(20

22

3332zzzzz fEfuf

dzm

dh=+− … (12)

La energía total del electrón es E = EX + EY + EZ



En las direcciones x ∧ y, puesto no hay energía potencial, el problema es llamado

con frecuencia el problema de electrón libre cuya solución es muy simple.

xik

x

xxe

Lf ±= 1

)(1 … (13)

yik

y

yye

Lf ±= 1

)(2 … (14)

0

22

0

22

0

22

2

)()()()(20

22

20

22

)(

2 1111

m

khEE

m

kh

L

e

L

eEe

Lm

kh

eL

kfe

L

ikffEf

dxm

dh

xxx

x

x

xik

x

xik

xxik

x

x

xik

x

xx

xik

x

xxxxx

xx

x

xx

=⇒=

−⇒=

−−

−=′′∧=′=−

0

22

2m

khE x

x = … (15)

0

22

2m

khE

y

y = … (16)

La distancia LX y LY son las distancias en las direcciones x ∧ y bajo

consideración, y hemos normalizado nuestras funciones de onda dentro de esta

región.

La solución en la dirección z, observamos que dentro de la región de la barrera

el potencial es cero mientras en el exterior en ∞ . La función de onda debe tender

a cero en az ±= ; dentro de la barrera debe obedecer a la ecuación

)(20

)(22

3

3

2 zzz fE

dzm

fdh=− … (17)

La solución normalizada es:

( )( ) paresnsenf

imparesnf

azn

az

azn

az

;

;cos

21

)(

21

)(

3

3

π

π

=

= … (18)



( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ])19(2

0coscos1

cos

cos,

20

222

20

222

20

222

2

22

0

2

2

22

33

2)4(2

821

2241

2

241

)(221

)(

ΛawEE

Ea

E

fsenf

wmnh

amnh

nz

zamnh

azn

aazn

zazn

an

amh

azn

an

azazn

an

az

====

=−⇒=

−=′′=′

ππ

πππππ

ππππ

La energía total del electrón es:

0

22

0

22

20

222

222 m

kh

m

kh

wm

nhE yx ++= π

… (20)



Cada banda de energía (n) se conoce como banda secundaria (subbanda) y tiene

una dependiente E – k parábola. Dentro de cada banda el electrón se comporta

como si tuviera en un mundo de z dimensiones ya que su alcance en la dirección

z está restringido.



2.6 Fil tración cuántica a través de barrera (efecto túnel)

El fenómeno importante que ocurre en la naturaleza es la filtración de una

partícula con energía E a través de una barrera de potencial de altura u0 mayor

que E, (efecto túnel)

El efecto túnel es un fenómeno muy importante en los dispositivos

semiconductores. Aparte de los dispositivos especiales basados en este

fenómeno, el funcionamiento del contacto ohmico depende de este efecto. Los

contactos ohmicos proporcionan una conexión entre el mundo exterior y un

semiconductor y explotan el comportamiento del efecto, túnel (o filtración cuántica)

Consideramos una barrera de potencia de la figura No. 3

Como se aprecia, el espacio se divide en tres regiones. Entonces un electrón

tiene una energía E y se impacta desde la región I sobre la barrera. El interés es

que la fracción del electrón se filtre hacia la región III

Supongamos que los electrones se propagan en la dirección x incidiendo contra

una barrera de potencial cuya altura de energía, u0 es mas grande que la energía

total de los electrones E, pero es finita fig. 3

IIIregiónaxu

IIregiónaxuu

Iregiónxu

>=≤≤=

<=

;0

0;

0;0

0 … (21)

En la región I se consideran a los electrones libres, la ecuación de onda es dada

por:



002

120

21

2

<=+∂

∂xparaE

m

xψ

ψ

η … (22)

Dentro de la barrera, región II, la ecuación de la onda es:

( ) axparauEm

x≤≤=−+

∂∂

002

2020

22

2

ψψ

η … (23)

y fuera de la barrera, región III es dada por:

axparaEm

x>=+

∂∂

02

320

23

2

ψψ

η … (24)

Las soluciones para E < u0 es de la forma:

0)(1<+= − xBeAe ikxikx

xψ … (25)

con Em

k2

02

η= … (26)

axDeCe xxx ≤≤+= − 0)(2

ββψ … (27)

con ( )Eum

−= 02

02

ηβ … (28)

axFe ikxx >=)(3ψ … (29)

Donde se cumple: ( )2

020

02022 222

ηηη

muEmEu

mk =+−=+β

o bien por conservación de energía.

2

002

202222

2

2

==+

au

amkaa

ηβ … (30)

El parámetro a0 contiene todas las características de la barrera, ancho y altura y

representa una forma en la cual • y k están relacionados. El espacio de • y k cae

en un círculo de radio a0/2 los valores permitidos de k, y por lo tanto de E



comprende un continuo positivo sin límites, fig. 4. Para cada valor de E(k) existe

un estado propio correspondiente (• 1, • 2, • 3 ), el cual está determinado en

términos de los coeficientes (B/A, C/A, D/A y F/A). El conocimiento de éstos

permite determinar los parámetros de dispersión.

2

=

A

FT … (31)

2

=

A

BR … (32)

Los coeficientes de transmisión y reflexión se determinan por medio de las

condiciones de frontera o condiciones de continuidad en x = 0 y x = a, • (x), y

d• (x)/dx deben ser uní valuadas y continuas en la frontera entre dos regiones.



T es la razón de la intensidad de flujo de probabilidad transmitida en la región x >

a, a la intensidad del flujo de probabilidad incidente.

De las condiciones de frontera:

En x = 0 )0()0( 21ψψ =⇒

DCBADCBA +=+⇒+=∧+= )0()0( 21ψψ

A

D

A

C

A

B +=+1 … (33)

DCDeCedx

d

ikBikAikBeikAedx

d

dx

d

dx

d

x

xx

x

x

ikxikx

x

xx

ββββψ

ψ

ψψ

ββ −=−=

−=−=

=

=

−

=

=

−

=

==

00

2

00

1

0

2

0

1

−=−⇒−=−

A

D

A

C

ikA

BDCikBikA

βββ 1 … (34)

En x = a )()( 32 aa ψψ =⇒

ikaaa

ikaa

aaa

FeDeCeFe

DeCe=+⇒

=

+=−

−ββ

ββ

ψ

ψ

)(

)(

3

2

ikaaa eA

Fe

A

De

A

C =+ −ββ … (35)

ika

ax

ikx

ax

aa

ax

xx

x

axax

ikFeikFedx

d

DeCeDeCedx

d

dx

d

dx

d

==

−=−=

=

==

−

=

−

=

==

3

0

2

32

ψ

ββββψ

ψψ

ββββ

ikaaa eA

Fike

A

De

A

C

βββ =− − …(36)

Sumando y restando las dos últimas ecuaciones se obtiene



ikaa eik

eA

F

A

C

+= −

ββ 1

2

1 …(37)

ikaa eik

eA

F

A

D

−=

ββ 1

2

1 …(38)

Sustituyendo en las dos primeras se tiene:

ikaaaaa

eeeikee

A

F

A

B

−−

+=+−−

221

ββββ

β

ikaeasenhik

aA

F

A

B

−=+ β

ββcosh1 …(39)

ikaaaaa

eee

ik

ee

A

F

A

B

−−

+=−−−

221

ββββ β

ikaeasenhik

aA

F

A

B

−=− βββcosh1 …(40)

Sumando las dos últimas expresiones se obtiene:

ikaeasenhk

k

ia

F

A

−+= ββ

ββ2

cosh …(41)

2.6.1 Probabili dad de transmisión o tunelamiento.-

El flujo de partículas en el haz incidente es dado por medio de la densidad de

probabilidad en el haz incidente por la velocidad de la partícula f i

iiikxikx

iiii vAAveAAevf *** === ψψ …(42)

El flujo de partículas en el haz trasmitido:

tikxikx

tttt vFFeFFevf *** === −ψψ …(43)

La probabilidad de transmisión o tunelamiento es definida por:

2*

*

*

=

==

A

F

A

F

A

F

vAA

vFFT …(44)



( )

+−++−=

−+−+=

−+=

−−

−+=

= −

22

422422222

2

222222

2

2222

2222*

4

24cosh

1

4

1cosh

1

4

1cosh

1

2cosh

2cosh

1

k

kkhasenhasenha

T

asenhk

kasenhasenha

T

asenhk

ka

T

easenhk

kiaeasenh

k

kia

F

A

F

A

Tikxika

βββββββ

ββ

ββββ

ββ

ββ

ββ

ββββ

ββ

asenhk

k

Tβ

ββ 2

222

4

11

1

++= …(45)

Expresado en función de E es:

202

20 22

ηηm

kEm

k =⇒=

2

0022 2

ηum

k =+⇒ β

( ) ( )

2002

200 22

ηηEumEum −=⇒−= ββ

)(2)(22

020

200

20 EuE

mEumEmk −=−=

ηηηβ

( ) ( ) ( )EuE

u

EuE

u

EuEm

um

k

k

−=

−=

−=

+

0

20

2

0

0

2

200

200222

2

2

η

ηβ

β

( ) asenhEuE

u

Tβ2

0

20

4

11

1

−+= …(46)

( ) asenhEuE

uT

β2

0

20

4

11

1

−+

= …(47)



2.6.2 Características principales del coeficiente de transmisión con los

parámetros de la barrera.-

Caso 1 para uo = E

a) El coeficiente decrece exponencialmente con el incremento del

ancho de la barrera a y su altura uo

b) Cuando E ◊ uo entonces Ba << 1 se aproxima aasenh ββ = ,dando:

( ) ( ) 1 2

12

41

1 02

2000

020

0

220 →+=−

−+≅

E

uau

E

umEu

m

EuE

au

T ηη

2

200

21

1

ηaum

T+= …(48)

Por lo tanto T<1 representa la dispersión de la barrera

Caso 2 Cuando u0<E, entonces

( ) ( ) γβ iEum

iEum =−=−=

200

020 22

ηη

aisenasenhiasenh γγβ == , entonces el coeficiente:

( ) asenuEE

uT

γ2

0

20

4

11

1

−+

= …(49)

a) Cuando E ◊ uo , aγ << 1 igual que el caso 1b)

b) Para E > uo , el coeficiente T = 1 cuando 0=asenγ o equivalentemente

cuando

πγ na = , donde n = 1,2,3

con λπγ 2= constante de propagación de la onda en la región de barrera,

es decir, cuando el ancho de la barrera es:

( )00222 uEm

nhna

−=

= λ

…(50)

donde ( )002 uEm

h−

=λ longitud de la onda de De Broglie



Si el ancho de la barrera es un múltiplo entero de media longitud de onda, existe

una transmisión perfecta del haz de partículas incidentes, es decir, la barrera es

transparente al haz incidente. Fig.4

En términos de E y uo la condición de transmisión perfecta o transparencia:

λπ

Enam

nuE 22

0

222

0 2=

=− η …(51)

Donde E1 es la energía del estado fundamental de una partícula una caja

unidimensional.

=

02

22

2 maE ηπ

λ …(52)

3. El problema del átomo de hidrógeno.- El comportamiento mecánico

cuántico de un sistema de un electrón y un protón. En Física clásica un

electrón que gira alrededor de una carga positiva con una cierta energía

simplemente radiará su energía y colapsaría sobre el protón. Pero, en

mecánica cuántica se consideran las energías electrónicas como valores

discretos bien definidos. Puesto que un electrón puede permanecer en

cualquiera de estos niveles estables de energía y moverse de un estado



cuántico a otro por medio de la emisión y absorción de un cuánto de

energía bien definido (ejemplo, un fotón)

La ecuación de Schrödinger para el sistema electrón protón se escribe

como

)()(

0

2222

2

422 rToTr

pep

he

e

Err

e

mmΨ=Ψ

−−

∇−∇−

επηη …(1)

Donde el primer término es el operador de energía cinético del electrón, el

segundo término es el operador de energía cinética del protón y el tercer

término es la energía potencial que es la energía electrostática de

atracción entre el electrón y el protón en los puntos rc y rp respectivamente

Ahora, se escribe la ecuación del movimiento relativo del electrón y el

protón, entonces

( ) ( )rrr

Er

e

mψψ

πε=

−∇−

0

22

2

42η …(2)

Donde r = re - rp es la coordenada relativa y mr es la masa reducida.

per mmm

111 += …(3)

La energía E ahora es solo la energía de movimiento relativo

Los eigevalores de la energía cuantificada tiene los valores (n = 1,2,3,….)

( ) )( 6.131

42 22220

4

eVnn

emE e

n −=−=ηπε

…(4)

El radio cuantificado es



,...3,2,1 2

22

== nkem

nr

en

η …(5)

El radio de Bohr para n=1 tiene el valor

o

2

2

A529.00 ==keme

η …(6)

La cuantización de los radios de las órbitas lleva inmediatamente la cuantización

de la energía.

on anr 2= …(7)

La energía para los niveles permitidos es

...3,2,1 ;1

2 2

2

=−= nna

keE

on …(8)

El estado estacionario mas bajo o estado que no radica se llama el estado base,

con n=1 eVE 6.13 −=⇒ λ . El siguiente estado, o primer estado excitado tiene n=2

eVE 4.3−=⇒ λ .

El estado excitado más alto que corresponde a eVEn 0 =⇒∞= , que representa

el estado para el cual el electrón se remueve del átomo. La energía mínima que

se requiere para ionizar el átomo se llama energía de ionización (para reconocer

completamente a un electrón en el estado base de la influencia del protón)

La frecuencia del fotón emitido cuando el electrón brinca de una órbita exterior a

una órbita interior.

−=

−= 22

0

2 11

2 if

fi

nna

keEEf

ηη …(9)

−= 22

111

ifH nn

Rλ

…(10)

RH=Constante de Rydberg=1.0973732x107 (m-1)



Cond iciones de frontera.-

Consideremos la ecuación Schrödinger para electrones libres. La ecuación

independiente del tiempo.

)()(2

2

2 rre

Em

Ψ=Ψ∇− η

Una solución de esta ecuación es:

ikrr e

V±=Ψ 1

)(

La energía correspondiente es: em

kE

2

22η=

Donde el factor V

1 se presenta debido a que se desea tener un electrón por

volumen V, o sea la probabilidad de encontrar un electrón con la función de onda

en el espacio es:

12

)(3 =Ψ∫ r

V

rd

Por el carácter ondulatorio del electrón, la cantidad k no es continua sino discreta.

Entonces se considera dos clases de condiciones de frontera que se imponen a la



función de onda. En la primera se considera que la función de onda tiende a cero

en las fronteras del volumen. Entonces las soluciones de onda, son de la forma

Sen(kxx) o Cos(kxx), etc. y los valores de k están restringidos a los valores

positivos

,....3

,2

,LLL

k x

πππ=

La solución de onda estacionaria se emplea con frecuencia para describir los

electrones estacionarios confinados en regiones finitas tales como las barreras

cuánticas o frontera periódica.

La energía del electrón es:

ee m

k

m

p

22

222η→

El momento del electrón: kr

ih η→∂∂−

La velocidad de electrón: em

kv η=

Debido a las condiciones de frontera los valores permitidos de k son (valores

enteros, positivos y negativos)

L

nk

L

nk

L

nk Z

Z

y

yx

x

πππ 2,

2,

2===

Si L es grande, el espaciado entre los valores permitidos de k es muy pequeño.

Entonces, el volumen en el espacio k que ocupa cada estado electrónico en tres

dimensiones.

VL

3382 ππ =

Si Ω es un volumen de espacio k, el número de estado electrónico en este

volumen es

38πVΩ



Ejemplo.- Calcule la longitud de onda asociada con un electrón con una energía

de 1 eV si el electrón se halla dentro de GaAs, donde su masa efectiva es de

0.067 me

Solución.- La energía del electrón es em

kE

2

22η=

Em

h

m

h

mm

kE

eeeee 22

2

22 2

2222

=⇒=

==

λλπηη

Para el electrón en GaAs la longitud de onda es:

Em

h

e

GaAs *2=λ

2/1

*

2/1

*

*2

2

=⇒

==

e

eeGaAs

e

e

e

e

e

GaAs

m

m

m

m

Em

hEm

h

λλλ

λ

02/10

5.47067.0

13.12 AAGaAs

=

=λ



DENSIDAD DE ESTADOS

2.4 Densidad de estado.- Antes podemos calcular la densidad de portadores

en un semiconductor, podemos encontrar el número de estados de cada

energía. El número de electrones de cada energía se obtiene multiplicando

por el número de estados con la probabilidad que un estado esté ocupado

por un electrón. Puesto que el número de niveles de energía es muy

grande y es dependiente en el tamaño del semiconductor, y entonces

calculamos el número de estado por unidad de energía y por unidad de

volumen

El concepto de densidad de estados es muy poderoso y sus propiedades físicas

tales como absorción óptica, transporte, etc. están íntimamente ligados de este

concepto.

La densidad de estados es el número de estados electrónicos disponibles por

unidad de volumen por unidad de energía alrededor de una energía E. Se denota

la densidad de estado por N(E), el número de estados en un volumen unitario, en

un intervalo de energía dE alrededor de una energía E es N(E). Para calcular la

densidad de estados, necesitamos la dimensionalidad del sistema y la energía

v/s la relación k que obedece el electrón. Para el electrón libre tenemos la relación

parabólica.

em

kE

2

22η= … (1)



Las energías E y (E+dE) están representadas por superficies esféricas con radios

k+(k+dk).

En un sistema de 3 dimensiones, el volumen de espacio-k entre el vector k y

(k+dk) es 4πk2dk El volumen de espacio k por estado electrónico es 3

2

L

π. Por lo

tanto, el número de estado electrónico en la región k y k+dk es:

2

2

3

3

2

28

4

πππ kVk

L

dkk= … (2)

Al denotar la energía y el intervalo de energía correspondiente a k y dk como E y

dE respectivamente, vemos que el número de estados electrónicos entre E y

E+dE por unidad de volumen es:

( ) 2

2

2πdkk

dEN E = … (3)

Si

2

2

2

2222

2

2

2 ηηηηη kdEm

dkkdEm

kdkm

kdk

m

kdkdE

m

kE ee

eee

=⇒=⇒==⇒= …(4)



De la ecuación (1), se despeja ηη

EmEmk ee

222

== …(1)

(1) con (4)

( )dE

EmdEEm

mdkk e

ee

3

2/12/3

3

2 22

ηη==

( ) ( )dE

EmdE

EmdEN ee

E 32

2/12/3

32

2/12/3

)(22

2

ηη ππ== …(5)

El concepto de que un electrón es un fermión y puede tener dos posibles estados

con una energía dada. Estos estados son llamados estados de spin. El electrón

puede tener un estado de spin 2

h o

2

h− . Para justificar el spin, la densidad de

estados obtenida se multiplica por 2

( )( )

3

2/132

h

EmN e

E π= …(6)

Densidad de estados en sistemas bidimensionales.- Consideramos un

sistema de 2 dimensiones, un concepto que llega a ser realidad con el uso de

barreras cuánticas. La densidad de estados para una banda parabólica es

(incluyendo el spin).

2

2

22

2,

42,

24

2LA

LLA

dkkA

dkk ==

= ππ

πππ

El número de estados electrónicos en la región entre k y dk es:

dEh

mdkk

m

dkkhdE

m

khE

dkkdEN

e

ee

E

2

222

)(

2

2

2

2

=⇒=⇒=

=π

( ) 22 h

dEmdEN e

E π= …(7 )

Si el electrón tiene un estado de spin



( ) 2h

mN e

E π=

Finalmente, en un sistema unidimensional o hilo cuántico, la densidad de estado

es (incluyendo el spin)

ππLdk

L

dk =22

…(8)

dEkh

mdk

m

dkkh

m

dkkhdE

m

khE

dkdEEN

e

eee2

2222

2

2

2

)(

=⇒==⇒=

=π

De la ecuación (1): h

Emk e2

=

Emh

dEmEmdEEN

Emh

dEm

h

Emh

dEm

kh

dEmdEEN

e

ee

e

e

e

ee

π

ππ

π

2

2)(

22)(

2

2

=

===

( ))(2/1...

2

2 2/12/1

)( spindEh

EmdEN e

E π

−

=

( )dE

h

EmdEN e

E π

2/12/1

)(

2 −

= …(9)

( )h

EmN e

E π

2/12/1

)(

2 −

= …(10)



Estadística cuántica: distribución d e Fermi-Dirac y de Bose y Einstein.-

En la estadística cuántica se describe sistemas compuestos de un gran número

de partículas que se rigen por las leyes de la mecánica cuántica. Cada sistema

tendrá un gran número de estados discretos, cada uno descrito por un conjunto

completo de números cuánticos, con cada partícula ocupando uno de estos

estados en el sistema.

Estadística de Fermi y Dirac.-

La estadística de las partículas que poseen un spin semientero llamado

fermiones, fue desarrollado por E. Fermi y P.A.M. Dirac. Un ejemplo de un sistema

de fermiones es un gran número de electrones interactuando débilmente (spin =

½), es decir, un “Gas” de electrones.

La función de distribución de Fermi y Dirac f(E), describe la distribución más

probable de partículas idénticas indistinguibles, que obedecen el principio de

exclusión de Pauli. Es un sistema de funciones en equilibrio a temperatura

absoluta T, el número esperado de partículas de un estado particular i con

energía Ei está dada por:

)exp(1

1)(

Tk

EEEf

B

fi −+

= … (1)

La función de distribución para las tres diferentes clases de partículas en

equilibrio. La función de distribución f(E) nos da la probabilidad de que el estado

con energía E se encuentra ocupado. Las tres funciones de distribución que



minimizan la energía libre y son consistentes con las partículas clásicas,

fermiones y bosones y son:

Distribución clásica Maxwell – Boltzmann

)(exp´)(Tk

EEEf

B

fi −−= … (2)

Distribución de Fermi - Dirac

)exp(1

1)(

Tk

EEEf

B

fi −+

= … (1)

Distribución de Bose - Einstein

1)exp(

1)(

−=

Tk

EEf

B

f … (3)

Partículas como los electrones, protones, neutrones, etc. tienen spin de medio

entero y se denominan fermiones.

Partículas como los fotones, mesones, etc., tienen spin valor cero o valor entero y

son conocidos como bosones.

Dado, la expresión para los electrones que f(E) es siempre menor que la unidad.

Donde f(E)se conoce como el potencial químico o energía de Fermi y representa

la energía f(EF) se convierte en ½ .

Estadística de Bose y Einstein.-

A. Einstein y S.N. Bose desarrollaron la estadística que se aplica para un

sistema compuesto por un gran número de partículas interactuando débilmente,

idénticas e indistinguibles, cada una con un spin entero. Estas partículas

llamadas bosones son los fotones, la molécula H2 y el helio líquido.

La función de distribución de Bose y Einstein f(E) proporciona el número de

bosones en un sistema en equilibrio a temperatura T, que se encuentra en un

estado particular i con energía Ei.



1)exp(

1)(

−=

Tk

EEf

B

i

…(4)

Dos integrales útiles.-

a) Cuando ρ >-1 y se encuentra en el límite de temperatura baja kT << Ef

)()2()2

11()(2

11

1

12

2

121

21

0 )(+

−

∞

=

+∞

− −++

=

+

∂ ∑∫ ρρ ξρ fn

f

n

nn

nBf

TK

EE

p

EdE

dnTkE

e

EE

B

f … (5)

Donde )(xξ es la función zeta de Rieman

......41

31

21

11

)( ++++= xxxxxξ … (6)

La cual ha sido extensamente tabulada. Algunos valores son:

017.1945

)6(,082.190

)4(,645.16

)2(222

====== πξπξπξ

b) con ρ>0, α≥0 y ∈=±1

)1,0..()1()1(10

+∈==++Γ=−∂∫

∞αρξρ

ρ

parae

qqq … (7)

∫ ∑∞ ∞

=+

−+

+Γ=∈−

∂0

11

1

)1(n

nn

q n

ee

ee

qqρ

α

α

ρ

ρ … (8)

donde la función gama )(xΓ , se rige por Γ(x + 1)=xΓ(x). Algunos valores

particulares son:

)...!...(,,1 )1()

2

1(

)1( enterounnsiendonn =Γ=Γ=Γ +π … (9)

La función de distribución para los bosones (que incluye partículas ligeras: fotones, mesones, etc) muestra que f(E) puede ser mucho mas grande que la unidad en principio. Con el fin de determinar el nivel de Fermi de un gas de electrones con una densidad n, entonces:

∫∞

+−

∂=0

1)exp(

)(

Tk

EEEEN

n

B

f

… (10)

Donde N(E) es la densidad. La integral para T = Ok y E ≤ Ef



formaotrade

EEsi

TK

EEEf f

B

fi

0

;1)exp(1

1)(

=

≤=−+

=

… (11)

∫=fE

dEENn0

)(

Para sistema de 3 dimensiones tenemos que, al emplear el valor de la densidad

de los estados

∫ ∫ =∂=∂= f fE E feEm

EEm

EENn0 0 32

2/32/32/1

32

2/3

3

)(22)(2)(

ηη ππ

3/222

)3(2

nm

Ee

πη= … (12)

Esta fórmula es aplicable para metales como Cu, Ag, etc. no es aplicable para

semiconductores.

La cantidad Ef que es el mayor estado de energía ocupado a 0K, se llama

energía de Fermi. El vector de onda correspondiente kf , llamado vector de Fermi y

una velocidad vf como la velocidad de Fermi.

3/12 )3( nkF π= … (13)

3/12 )3( nm

Ve

F πη= … (14)



Es importante advertir que incluso a Ok, la velocidad de estado más alto

ocupado es vf y no es cero, como sería el caso, se empleamos la estadística de

Boltzmann.

A temperaturas finitas no es fácil determinar n=f(Ef). Si la densidad de electrones

es pequeña, de tal modo, que f(E) sea siempre pequeña, podemos aproximar la

función de Fermi al ignorar en el denominador. Esto proporciona la función de

Boltzmann.

)(exp)(Tk

EEEf

B

f−−= … (15)

Luego la densidad de electrones

∫ ∫∞ ∞

−−

∂=∂=0 0

)(

2/132

2/3)(2)()( EeE

mEEfENn Tk

EE

e B

f

ηπ

ETkEuTkETk

Eu BB

B

∂=∂⇒=⇒= )(

∫∞

−

∂=0

2/332

2/3

)()()(2

uTkeeTukm

n BTk

E

Tk

E

Be B

F

B

ηπ

∫∞ − ∂=

0

2

12/3

32

2/3

)()(2

ueueTkm

n uTk

E

Be B

F

ηπ

3233

2/32/32/3

32

2/3

)(*2

)()(22

)()(2

ηη π

ππ

Tk

E

BeTk

E

Be

B

F

B

F eTkmeTk

mn ==

Tk

E

Be B

F

eTkm

n 2/32/32 )()

2(2

ηπ= … (16)

donde 2/32

2/32/32 )

2(2)()

2(2

ηη ππTkm

Tkm

n BeB

ec == … (17)

Se conoce como la densidad efectiva de estados.

Luego el nivel de Fermi Ef : Tk

E

cB

F

e N n =

TkE

)Nn

ln(e Nn

B

F

c

Tk

E

c

B

F

=⇒=



)Nn

ln(TkEc

BF = … (18)

La condición donde la densidad de electrones es pequeña, tal que f(E) sea

pequeña se conoce como condición de no degeneración. La aproximación de

Boltzmann puede utilizarse sólo en casos no degenerados.

Si la densidad de electrones es alta de modo que f(E) se aproxima a la unidad (la

condición de generación) será útil la aproximación propuesta por Joyce y Dixon.

La aproximación de Joyce-Dixon está dado

N8

n)

Nn

ln(TkEcc

BF += … (19)

Una vez que se conoce el potencial químico, la energía total del gas de electrones

puede calcularse mediante la evaluación de la integral

∫∞

=0

)()( dEEEfENETOT … (20)

Para el sistema de 2 dimensiones, donde la densidad de los estados es

constante, el potencial químico se conoce analíticamente un vez que se conoce

la concentración del portador. La relación es:

∫∫∞∞

+−==0202

1)exp()(

Tk

EEdEm

dEEfm

n

B

F

eec

ηη ππ … (21)

))Tk

Eexp(1ln(n

B

F2 +=

ηπTkm Be … (22)

FFFIIISSSIIICCCAAA DDDEEELLL EEESSSTTTAAADDDOOO SSSÓÓÓLLLIIIDDDOOO

ETN – 501 INGENIERO TEODORO BUSCH

2.1 Electrónica de estado sólido.- En los dispositivos semiconductores sean

electrónicos u opto electrónicos, el estudio de interés es el comportamiento

de un número grande de electrones cargados negativamente que se

mueven a través de iones cargados positivamente.

La densidad del número de electrones que intervienen es muy grande. Un

elemento contiene 6.022 x 1023 átomos por mol (Número de Avogadro). Si

ρ es la densidad del material, el número de moles por unidad de volumen

es ρ /A, donde A es la masa atómica.

El número de electrones que se encuentran libres para conducir corriente

es Zc, donde Zc es el número de electrones en la capa más externa (la

valencia del elemento) del átomo.

La densidad de electrones para los electrones de conducción es

ESTRUCTURAS DE BANDAS DEL SEMICONDUCTOR

2

CAPITULOLO



×= −

A

Zn c ρ2310022.6 …(1)

Para la mayor parte de los materiales, este número es 1023 cm-3. Existe una

gigantesca densidad de electrones de conducción libres en el material. Se

define un radio promedio r de un volumen esférico por electrón mediante:

31

3

4

31

3

4

=⇒=

nr

n

r

ππ

…(2)

Su valor es de 1o

A a 2o

A para la mayoría de los materiales. Los

semiconductores tienen estructuras cristalinas que están dotados con gran

orden y periodicidad. Esta periodicidad permitirá reducir el gran número de

electrones en los semiconductores con lo que se facilitará que el problema

sea más manejable.

2.2 Period icidad de un cristal.- Los cristales están hechos de bloques

idénticos, estos bloques son de un átomo o un grupo de átomos. Mientras

que en los cristales naturales la simetría cristalina esta fija por naturaleza,

los nuevos avances en las técnicas de crecimiento o formación de

cristales han permitido a los científicos producir cristales artificiales con

estructura cristalina modificada. Estos avances dependen de la capacidad

de colocar capas atómicas con control y precisión exactos durante la

formación, lo cual conduce a las superredes. Para comprender y definir la

estructura cristalina, se presentan dos conceptos importantes.

i) La red (lattice) representa un punto de puntos en el espacio que forman

una estructura periódica. Cada punto tiene exactamente el mismo

entorno. La red es por si misma una abstracción matemática.

ii ) Base es un grupo de átomos que forman la celda unidad. Se dice un

bloque de construcción de átomos denominados BASE. Luego, se

adjunta a cada punto de la red, lo que produce la estructura cristalina

que es un arreglo periódico de átomos en el cristal.



La estructura cristalina se produce ahora al unir a cada uno de estos puntos de la

red.

Red + base = Estructura cristalina

Una propiedad importante de una red es la capacidad para definir tres vectores

,,, 321 aaaρρρ

de manera que cualquier punto Rρ

’ de la red puede obtenerse de

cualquier otro punto Rρ

de la misma red por medio de una traslación.

332211 amamamRRρρρρρ

+++=′ …(3)

Donde m1, m2. m3 son enteros. Una red de este tipo se conoce como red de

Bravais.

Red de Bravais es un arreglo infinito de puntos en el espacio, en el cual cada

punto tiene vecindad matemáticamente la red de Bravais se describe como una

operación de traslación de vectores.

332211 amamamRρρρρ

++=

Tipos de red Básicos.-

Redes cúbicas.- Existen tres clases de redes cúbicas: cúbica simple, red cúbica

centrada en el cuerpo y red cúbica centrada en la cara.

a) Cúbica s imple.- La red cúbica simple está generada por los vectores

primitivos yaaxaa ˆ,ˆ 21== ρρ

y zaa ˆ3=ρ

, donde yx ˆ,ˆ y z son vectores

unitarios.



Ninguno de los semiconductores encontrados en la naturaleza tienen

una estructura cúbica simple

b) Cúbica centrada en el cuerpo.- La red cúbica centrada en el cuerpo

(bcc) puede ser generada a partir de la estructura cúbica simple

mediante la colocación de un átomo en el centro del cubo. Los átomos

se colocan en las aristas del cubo de lado a y en el centro del cubo. El

cristal se forma al duplicar el cubo para llenar el espacio. Los vectores

son:

( ) ( ) ( )zyxa

ayzyxa

azyxa

a ˆˆˆ2

ˆˆˆ2

,ˆˆˆ2 321 −+=+−=+−−= ρρρ …(4)

c) Cúbica centrada en la cara.- La red de mayor importancia para los

semiconductores es la red Bravais cúbica centrada en la cara (fcc).

Para construir la red de Bravais cúbica en la cara se agrega a la red

cúbica simple un punto adicional en el centro de cada cara cuadrada.

Un conjunto simétrico de vectores primitivos para la red cúbica

centrada en la cara es:

( ) ( ) ( )yxa

ayzxa

azya

a ˆˆ2

ˆˆ2

,ˆˆ2 321 +=+=+= ρρρ …(5 )



Donde a es la arista del cubo, conocida como la constante de red del

semiconductor. Las redes de Bravais cúbica centrada en la cara y

cúbica centrada en el cuerpo, son de gran, ya que una enorme variedad

de sólidos se cristalizan en estas formas con un átomo (o ión) en cada

sitio de la red.

2.3 La partícula dentro del cristal.- Bandas de energía.- Cuando un

electrón se mueve a través de la red cristalina actúan sobre él fuerzas

electrostáticas que hacen variar su cantidad de movimiento, la partícula se

acelera al acercarse al núcleo atómico y se desacelera al alejarse de él.

Este constante cambio de su energía cinética es compensado con un

aumento o disminución de su energía potencial de acuerdo a la distancia de

la partícula con respecto al núcleo, se establecen por lo tanto niveles de

energía potencial que delimitan el movimiento de las partículas a través de

la red.

En una red cristalina el potencial se distribuye periódicamente, en un cristal

su distribución es tridimensional en el volumen del cuerpo. Se considera la

energía potencial cero para una partícula completamente desligada del

núcleo, pero aumenta rápidamente al acercarse a él, de manera que

estando en un nivel de energía como él se encontrará atrapado en

regiones debido a la imposición de las barreras de potencial.

Cuando el electrón se halla en niveles energéticos superiores, las bandas

permitidas se hacen más amplias y puede moverse con facilidad hasta el

punto en las diferentes bandas adyacentes se superponen y el electrón

puede desplazarse con libertad de un átomo a otro. Las bandas

superpuestas en donde se mueven los electrones libremente se llama

banda de conducción, en la que se hallan fijos se denominan bandas de

valencia; ahora los electrones de la banda de valencia pueden pasar a la

banda de conducción si existe suficiente energía.



Se consideran el modelo analítico de bandas de energía:

• El modelo de bandas de energía es considerar al electrón dentro del

cristal como partícula libre, pero con una masa especial, llamada

masa efectiva.

• Cuando el electrón se acerca al núcleo se acelera y cuando se aleja

se desacelera, esto se mantiene hasta que el electrón cae bajo la

influencia del campo potencial del próximo núcleo.

• El campo de energía potencial es periódico.

2.4 Niveles electrónicos en un po tencial periód ico.- La distribución regular y

periódica de los iones de un cristal permite considerar a un electrón

sometido a un potencial u( rρ) con la misma periodicidad que la red de

Bravais asociada.

( ) ( )Rruruρρρ += …(6)

para todos los vectores de la red de Bravais Rρ

2.4.1 El potencial periód ico.- El problema de los electrones en un sólido puede

ser descrito a partir de Hamiltoniano, que contemple la interacción de cada



electrón con todos los iones de la red y con los demás electrones (función

de las coordenadas de pares de electrones).

La primera aproximación considera al electrón independiente e inmerso en

un potencial efectivo de un electrón u(r). Este potencial puede tener una

diversidad de formas, pero todas ellas satisfaciendo la condición de

periodicidad de (6)

La ecuación de Schrödinger para un solo electrón toma la forma.

( ) ψψ ⋅=

+∇−

Erum

ρη 22

2 …(7)

Con u potencial con la periodicidad de ( ) ( )Rruruρρρ +=

Cada electrón independiente que obedece a la ecuación de Schrödinger

(7) con un potencial periódico es denominado como electrón de Bloch. Esta

designación se hace para diferenciar este electrón de los electrones libres

en un potencial periódico donde el potencial es constante sobre cada ión.

Los electrones de Bloch satisfacen al teorema siguiente o teorema de

Bloch.

Teorema.- Los autoestados ψ del Hamiltoniano de un electrón

( )rum

H ρη +∇−=⋅ 22

2ψ …(8)

donde ( ) ( )Rruruρρρ += para todo vector R en una red de Bravais puede

escogerse de modo de tener la forma de una onda plana multiplicada por

una función con la periodicidad de la red de Bravais.

( ) ( ) rkj

knknerur

ρρρρ

ρρ ,⋅=ψ …(9)

Donde ( ) ( )Rruruknkn

ρρρρρ += …(10)

para todo Rρ

de la red de Bravais.



El n es el índice de la banda de energía, pues para cada kρ

habrá varios

niveles de energía.

Luego la ecuación (10) conduce a:

( ) ( ) rkj

knknerRr

ρρρρ

ρρρ ,⋅=+ ψψ …(11)

La forma alternativa del teorema expresa que los auto estados de H

satisfacen la relación.

( ) ( ) rkj

knknerur

ρρρρ

ρρ ,⋅=ψ …(12)

2.4.2 Modelo de Kronig - Penny.- Kronig – Penny plantean un modelo

matemático de potencial iónico periódico, que permite describir el

comportamiento de los electrones dentro de un cristal.

El modelo considera a un único electrón desplazándose a través de la red, de tal

manera que en la energía potencial Ep, es nulo en las regiones del tipo I y E0 en

las de tipo II.



Los iones se ubican en las regiones del tipo I y la separación entre los mismos

genera una barrera de potencial para los electrones.

El movimiento de la partícula está determinado por la ecuación de Schrödinger

independiente del tiempo:

( )

( )2

22

0 2 xmEE x

xp ∂

∂=−

ψψ

η …(13)

( )

( )( ) 0)(

2 02

22

=⋅−+∂

∂xp

x

x

EExm

ψψ

ψη …(14)

La solución de la ecuación es una función de onda de Bloch:

( ) ( ) xjkexux ⋅=ψ …(15)

Donde u(x) es la amplitud con el periodo de la red l, la forma de la amplitud µ y

los valores permitidos de k, son los que se deben determinar. La ecuación (13)

en la región I Ep(x) = 0:

( )( )x

x mE

xψ

ψ22

22

η−=

∂∂

…(16)

si ( ) ( )kxj

xx euymE ⋅==

1122 2 ψα

η …(17)

Luego combinando (17) con (16):

( ) kxjx

xeu

x⋅−=

∂∂

)(2

2

2

1

1 αψ

…(18)

Realizando las derivadas de la función de onda:

( ) [ ]kxjx

xeu

xx⋅

∂∂=

∂∂

)(1

1ψ

…(19)

( ) kxjxkxjxkxjx

kxjxxe

x

ujke

x

uekue

x

ujk

x ∂∂

+∂

∂+⋅−

∂∂

=∂

∂ )(

2

)(2

)(

)(

2

2

11

1

11ψ

…(20)

Reemplazando (20) con (18) y agrupando los términos



( ) kxjx

kxjx

kxjxkxjxeueuke

x

ujke

x

u⋅−=⋅−

∂∂

+∂

∂)(

2)(

2)(

2

2

11

11 2 α …(21)

( ) ( ) 02 )(22)(

2

2

1

11 =⋅⋅−−∂

∂+

∂∂

kxjx

kxjxkxjxeuke

x

ujke

x

uα …(22)

Por otra parte la solución en la región II 0)( EE xp =

( )( )x

x EEm

x 2

2

20

2

2)(2 ψ

ψ

η

−−=

∂∂

…(23)

si ( ) ( )kxj

xx euyEEm

⋅=−

=222

02 )(2 ψβη

…(24)

Combinando las ecuaciones (23) con (24)

( ) [ ]kxjx

xeu

xx⋅

∂∂=

∂∂

)(2

2

2

2

2

2ψ

…(25)

Así derivando se obtiene la ecuación diferencial:

( ) ( ) 02 )(22)(

2

2

2

22 =⋅⋅+−∂

∂+

∂∂

xkxjxx

uekx

ujk

xβ

ψ …(26)

( ) ( ) 02 )(22)(

2

2

2

22 =⋅⋅−−∂

∂+

∂∂

kxjx

kxjxkxjxeke

x

ujke

x

uψβ …(27)

La solución de las ecuaciones (22) y (27) tiene la forma:

( )xkjxkj

x BeAeu )()(

1

+−− += βα …(28)

( )xkjxkj

x DeCeu )()(

2

+−− += βα …(29)

Estas soluciones u(x) y su derivada satisfacen las condiciones de continuidad en

los límites de las regiones:

En x = 0

( ) ( )

( ) ( )

00

00

21

21

==

=

=

x

x

x

x

dx

du

dx

du

uu

…(30)

La condición en x = -b, x = a permite introducir la periodicidad de la red (figura 6)



( ) ( )

( ) ( )

bx

x

ax

x

ba

dx

du

dx

du

uu

−==

−

=

=

21

21

…(31)

Combinando las ecuaciones (30) y (31) con las ecuaciones (28) y(29) se obtiene

de 4 ecuaciones de 4 incógnitas

0)()()()(

0

0)()()()(

0

)()()()(

)()()()(

=++−−+−−

=−−+=++−−+−−

=−−+

+−−+−−

+−−+−−

bkjbkjakjakj

bkjbkjakjakj

DekCekBekAek

DeCeBeAe

DkCkBkAk

DCBA

αααα

αααα

ααβα

ααβα …(32)

Se obtiene soluciones no triviales para las variables: A, B, C y D si el

determinante de sus coeficientes es nulo, lo que da la condición:

0

22

0;)()(2

)cosh()cos(cos EEsibsenhasenba <<

+−= βααβ

βαβαφ …(33)

0

22

;)()(2

)cosh()cos(cos EEsibsenhasenba >

−−= βααβ

βαβαφ …(34)

Expresando las ecuaciones (33) y (34) en función de energía E dado que 0EE < ,

entonces

( ) ( ) ( ) ( )20

220

2

)(22

0

0)(22)(

)(coshcoscos

ηηηη

EEmmEEEmmEE senhsen

EEE

Ebf −−

−+== βααφ …

(35)

Esta función debe quedar entre –1 y +1 puesto que es igual al )cos(cos lk x ⋅=φ . La

gráfica de )(EfE = , se obtiene:



El modelo de Kronig- Penny puede simplificarse de la manera siguiente:

00 →E con 0E⇒β es constante

la ≅ y 0=bβ

Entonces:

1)cosh()( =∧≅ bbbsenh βββ y con 22 αβ >>

)cos()cos()(2

2

lkaasenb x=+

ααβ

αββ

…(36)

)cos()cos()(2

2

lkaasenb

x=+

αα

αβ

Simplificando la expresión (36), se obtiene:

02

022 )(

2EEE

m ≅⇒−= ββη

)cos()cos()(2

0 lkllsenbE

x=⋅+⋅

αα

α …(37)

)cos()( lkln x=⋅α …(38)

Esta función debe quedar nula entre –1 y +1 puesto que es igual al Cosφ .

Se desea hallar la relación entre E y φ ó E y kx.



El gráfico mostrado en la fig. 7, como podemos observar que f(E) permanece

entre los límites ± 1, solo para ciertas regiones. Estas energías permitidas forman

las bandas permitidas y están separadas por bandas de separación.

Se puede obtener la relación o la estructura de bandas E versus k del electrón en

la estructura periódica, como se muestra en la figura 7, en donde las energías

entre E2 y E1 forman la banda permitida, las energías entre E4 y E3 forman la

segunda banda de separación, etc.

El movimiento de los electrones en la red se puede asimilar a la propagación de

una onda electromagnética en un cristal. La dispersión de la onda

electromagnética por los átomos de la red, da lugar a una onda dispersada que

se refuerza cuando se satisface la condición de Bragg es:

λφ nsena =⋅2 …(39)

Donde a es la distancia entre los planos y φ es el ángulo que la dirección de

propagación forma con los planos de la red. Para incidencia normal (φ =2

π), la

condición de Bragg se convierte en λna =2 .

Esta es la condición a aplicar para la propagación de ondas a lo largo de la red

lineal. Si las ondas (1) y (2) son reflejadas por iones sucesivas A y A’, los rayos

reflejados (1’) y (2’) tiene una diferencia de camino 2a y una diferencia de fase es

λπ )2(2 a . Para una intensidad máxima de (1’) y (2’); esta diferencia de fase debe ser

igual a nπ2 ,tal que



a

nk

n

a

kn

a

k

nana

na

ππλπλ

λλ

πλ

π

=⇒=⇒==

=⇒=⇒=

2222

22

2)2(2

a

nk

π= …(40)

Por consiguiente los valores k son aquellos para los cuales la red lineal impide el

movimiento de electrones en una dirección dada y los obliga a moverse en la

dirección opuesta. El conjunto de los valores de k comprendidos entre aπ− y a

π+

constituye la primera zona de Brillouin. Para k comprendido aπ2− y a

π− entre aπ y

aπ2 , tenemos la segunda zona de Brillouin, así sucesivamente.



En el gráfico )(kfE = se observa los valores de k no cercanos a los dados por la

ecuación:

nna

nk ±±±±== ,,3,2,1; Λ

π …(41)

La energía se aparece mucho a la de una partícula libre (indica con líneas de

trazo). En consecuencia la red afecta el movimiento del electrón solo cuando k es

cercano a anπ , y el efecto de producir discontinuidad de energía. Para los valores

intermedios de k, los electrones se mueven libremente a través de la red. Las

bandas de energía permitida son las correspondientes a las líneas llenas, y están

estas bandas a la derecha de la fig. 7.

Fuerza externa sobre la masa efectiva.- Si F es la fuerza externa sobre el

electrón, el trabajo hecho por esta fuerza sobre el electrón durante el tiempo dt es

dE = Fvdt. Esto trae como consecuencia una variación dE en la energía del

electrón. Entonces, la energía cinética del electrón es:

∗∗∗∗ =⇒==⇒=m

k

dk

dE

m

kdk

m

kdkdE

m

kE

22222

2

2

2ηηηη

Si gvmkp ∗== η ⇒ ∗=m

kvg

η (velocidad de grupo) …(42)



gvm

k

dk

dE == ∗η

η1

⇒ dk

dEvg

η1= …(43)

vdtFdE = ⇒ dt

dk

dtdk

dEdE

dt

dE

vF η

η

===1

1

dt

dkF η= …(44)

kp η= …(45)

Segunda Ley de Newton

=== ∗∗∗

dk

dE

dt

dm

dt

dvmamF g

η1

dkdt

Edm

dt

dk

dkdt

EdmF

22

ηη

η

∗∗

=⇒=

2

2

dk

kdm η=∗ (masa efectiva) …(44)

Si el electrón comienza en cero, su punto representativo se mueve desde O hasta

A, entonces salta a B, y retrocede hasta O. En la segunda zona de Brillouin, el

electrón inicialmente tiene un valor k ligeramente superior a aπ , la fuerza aplicada

aumenta el valor de k hasta aπ2 . Inmediatamente una reflexión de Bragg invierte

el momento y k salta al valor aπ2− .

Si la fuerza continua actuando sobre el electrón, k continúa (realmente

disminuyendo en valor absoluto) hasta que alcance el valor de aπ− , cuando otra

reflexión de Bragg y el momento se invierte de nuevo, cambiando k al valor de aπ .

De aquí, en adelante el proceso continúa de una manera cíclica. En consecuencia

el electrón describe el ciclo GFEDC →→→→



Modelo sencill o de bandas de energía.-

La ecuación de Schrödinger tiene soluciones para valores directos de energía en

el caso de la partícula libre.

Existe en el cristal un gran número de átomos que interactúan y que están

distribuidos periódicamente, por lo tanto, la energía potencial del electrón es

periódica. Así como los átomos interactúan entre sí, también lo hacen los niveles

de energía y se desdoblan en tantos niveles como átomos existen en el cristal

formando las bandas de energía.



3.1 Física De Semicondu ctores

En los materiales semiconductores, la banda prohibida es mucho menor ancha

que los aislantes. Por lo general, a 0 K los materiales semiconductores se

comportan como aislantes. Pero a medida que aumenta la temperatura lo hace

su capacidad de conducción ya que este aporte de energía sirve para que los

electrones puedan saltar de la banda de valencia a la de conducción.

La anchura de la banda prohibida condiciona la energía que debe aportarse a los

electrones para que pasen de la banda de valencia a la de conducción. El ajuste

de engría debe superar lo 0.78 [ ]eV . en el caso del germanio y los 1,21 [ ]eV .

Para el silicio.

Un electronvoltio en el caso del energía que adquiere un electrón al estar

sometido a la acción de un campo eléctrico en un punto cuyo potencial es de un

voltio.

Al saltar de la banda de valencia a la de conducción, los electrones dejan un

hueco. Por lo tanto, se establecen dos corrientes, una producida por los

electrones situados en el banda de conducción y otra originada por los huecos.

3.2 Semicondu ctores intrínsecos y extrínsecos.-

3.2.1 Semicondu ctores intrínsecos.- Son los semiconductores puros, en los

que la conducción se debe al aumento de electrones originados por la

CAPÍTULO

3

FÍSICA DE SEMICONDUCTORES



temperatura. Los portadores de carga son los electrones y huecos. Los

semiconductores intrínsecos no presentan impurezas en su estructura, y

están constituidos solamente por el elemento tetravalente semiconductor,

Germanio y Silicio puro

3.2.2 Concentración d e portador intrínseco.- Se dice que un semiconductor

si es químicamente puro, es decir no contiene impurezas o sustancias

distintas, de las que constituyen el material semiconductor.

Se dice también que el semiconductor es intrínseco cuando la cantidad de

impurezas que contiene es pequeña comparada con los electrones y

huecos generados térmicamente (Ni).

Función de distribución de Fermi-Dirac- El objetivo final de toda teoría

estadística es la de encontrar una expresión matemática (distribución) que

a una temperatura absoluta T proporciona cual es la probabilidad de que

una partícula ocupe un nivel dado de energía E en equilibrio térmico.

Semicondu ctores ex trínsecos.-

Cuando un semiconductor intrínseco es dejado con impurezas, el semiconductor

se convierte en extrínseco. La aparición de impurezas crea en el diagrama de

bandas nuevos niveles de energía. Existen tres tipos de procesos para la adición

de impurezas a la red cristalina, difusión, implantación de iones y crecimiento

epitaxial.

Los semiconductores extrínsecos se forman al añadir pequeñas cantidades de

determinadas impurezas al semiconductor intrínseco. Esta adición produce

efectos considerables en las propiedades de conducción del material

semiconductor. El efecto de añadir impurezas causará el incremento de la

concentración de uno de estos portadores de carga (electrones o huecos) y, en

consecuencia afectará considerablemente a la conductividad eléctrica. A estas



impurezas se conoce como sustancias dopantes, y al proceso de adición de

impurezas se llama dopado del semiconductor.

El dopado produce dos tipos de semiconductores extrínsecos, identificados

según el tipo de portador de carga cuya concentración ha incrementado

semiconductor de tipo N, si es que ha incrementado la concentración de

electrones y semiconductores de tipo P si existe incrementado de huecos.

• Semicondu ctor de tipo N.

Cuando se introducen sustancias dopantes de tipo pentavalente (5 electrones de

valencia), entonces cuatro átomos de las sustancias dopantes formarán enlaces

covalentes con los átomos de Si, el quinto electrón que no comparte enlaces, es

un electrón de conducción el cual será donado a la banda de conducción.

Entonces diremos que el semiconductor de Si es de tipo N debido a que recibe

una cantidad adicional de portadores de carga negativa y la sustancia

pentavalente (P, As, Sb) se llama donador.

+4 * +4 * +4 Si Si Si * * -q* Electrón de Conduccion +4 * +5 * +4 Si Si Si +4 +4 +4 Si Si Si

Fig. #1 Adicion d e un electrón d e Arsénico de 5 electrones de valencia



En un semiconductor de tipo N, la energía necesaria para llevar el quinto

electrón de la sustancia pentavalente a la banda de conducción de manera que

éste electrón se convierta en un electrón libre, dando lugar a un átomo dador

ionizado (cargado positivamente). Se dice que es la energía necesaria para la

ionización del átomo dador.

0.044ev (P) EC Ed + + + + +

1.12 ev Ei Ev

T = 0 K T = 100 K T = 300 K

Fig # 2 Representación d e bandas de energía al introdu cir impurezas don adoras en el Si y efecto de temperatura.

En la fig. # 2, para el caso del fósforo el nivel energético ED está muy próximo a

la banda de conducción, cuando mayor sea la temperatura de la muestra

(semiconductor + impurezas), mayor será la energía conseguida por efecto

térmico y mayor será el número de electrones que accederán a la banda de

conducción.

• Semicondu ctor de tipo P.-

De manera similar, si introducen en la red de Si. Impurezas de tipo trivalente

(tres electrones de valencia), aparece un enlace covalente con el resto de los

átomos de Si. Sin formar, entonces es un enlace roto o una ausencia del electrón

de valencia para llevar enlace. Esta deficiencia de electrón en los enlaces que



puede formar el átomo trivalente provoca que sea aceptado un electrón de los

enlaces covalente de los átomos de Si. Formándose en consecuencia hueco en

la banda de valencia. El semiconductor dopado con sustancias triviales se llama

de tipo P y dichas sutancias (B, Al, Ga) se denominan aceptores.

+4 +4 +4 Si * Si * Si * * * * * * +4 * +3 * +4 Si * B * Si * * +q Hueco

+4 º +4 Si * Si * Si

Fig # 3 Introdu cc ión d e impurezas de Boro

El electrón se consigue de la banda de valencia del semiconductor, el átomo

aceptor queda ionizado negativamente. La condición para la ionización de los

átomos aceptores es similar a la de los átomos donores. La energía EA necesaria

para la ionización del átomo aceptor está ubicado en un nivel energético

ligeramente superior a la banda de valencia a temperatura ambiente, existe

suficiente energía térmica para excitar los electrones desde la banda de valencia

hasta el nivel EA.



EC Ei 0.045ev (B) Ea Eg _ _ _ _ _ EN T = 0 K T = 100 K Fig # 4 Nivel energético aceptor EA en el diagrama de bandas de energía del Si y efecto de la temperatura sobre la ion ización d e los átomos aceptores.

Cond ición d e ion ización completa.-

A temperatura ambiente la energía térmica debida a la propia vibración de las

partículas es suficiente para que todos los átomos donores estén ionizados

positivamente y cada átomo aceptor esté ionizado negativamente. Vale decir

cada átomo donor ha proporcionado un electrón libre a la banda de conducción y

cada átomo aceptor ha generado un hueco en la banda de valencia.

En el semiconductor de tipo N, por tanto, se produce el mismo número de

electrones que de sustancia donora. Esta condición se llama condición de

ionización completa. Entonces bajo estas condiciones puede decirse con

respecto a la concentración de electrones.

Tk

EE

CdB

FC

eNNn)( −

−⋅== … (1)

Siendo DN la concentración de átomos donores.



EC EC

Ed Iones clonores Ei Ei Iones aceptores EV Ea EV

Fig # 5 Representación esquemática de las bandas de energía para semicondu ctores ex trínsecos con iones dono res y iones aceptores

La figura # 5 muestra la misma concentración de electrones en la banda de

conducción (los cuales son móviles) que de iones donores en su nivel energético

ED (los cuales son fijos). Luego de la ecuación anterior se puede obtener.

=−

d

cBFC N

NTkEE ln … (2)

Tenemos el nivel de Fermi para el semiconductor de tipo N, con respecto al nivel

EC

Si iD nN >> (la concentración de electrones en la banda de conducción

producidos por la introducción de impurezas es mucho mayor que los electrones

producidos por efecto térmico, in )

En la misma forma para el semiconductor de tipo P, se cumple la condición de

ionización completa para concentración de los huecos.



Tk

EE

VaB

VF

eNNp)( −

−⋅== … (3)

Siendo AA la concentración de átomos aceptores. Entonces el nivel de Fermi,

con respecto al nivel EV en un semiconductor de tipo P.

=−

a

VBVF N

NTkEE ln … (4)

Si ia nN >> (la concentración de huecos en la banda de valencia producidos por

la introducción de impurezas es mucho mayor que la producida por efecto

térmico, in )

Concertaciones ex trínsecas .-

Se expresa la concentración de portadores en un semiconductor extrínseco en

función de los parámetros que definen el semiconductor intrínseco,

concretamente la concentración de portadores intrínseca y el nivel de Fermi

intrínseco, in y iE , respectivamente.

Tk

EE

iTk

EE

Tk

EE

CTk

EE

CB

iF

B

iF

B

iC

B

FC

eneeNeNn)()()()( −−−−

−=⋅=⋅= …(5)

y Tk

EE

iTk

EE

Tk

EE

VTk

EE

VB

Fi

B

Fi

B

iV

B

F

eneeNeNp)()()()( V −−−−

−=⋅=⋅= …(6)



Fig. # 6 Semicondu ctor de tipo N. a) Diagrama de bandas b) densidad de

estados, c) Función d e distribución d e Fermi, d) concentración d e

portadores.



Cuando el semiconductor tiene adulteraciones tipo N (tipo p) el nivel de Fermi se

mueve hacia el borde de la banda de conducción (de valencia). En este caso, la

aproximación de Boltzmann no es muy buen y las expresiones simples que

relacionan la concentración de portador y el nivel de Fermi no son muy precisas.

Un enfoque para una relación mas precisa es utilizar una función tabulada que

de el valor de la integral para la densidad de carga.

La densidad del portador es:



( )∫∞

+

⋅−∗

−

=

CTBkFEE

C

E e

dEEEemn

1

23

22 )(

212

2

1

ηπ … (7)

Se define Tk

EEn

B

F−= … (8)

Tk

EEn

B

CF −=F … (9)

La concentración de los electrones n es:

∫∞

+⋅

∗

−

=

01

23

22 )(

212

2

1Fnne

dnnBe Tkmn

ηπ … (10)

La integral de Fermi Dirac (o media integral de Fermi)

∫∞

+⋅

−=0

1)(

21

21 )(

Fnne

dnnFnF … (11)

Y al aplicar la definición de la densidad efectiva CN .

)(2

21 FC nFNn ⋅=

π … (12)

23

21

3

43

−≅⇒>Tk

EEFn

B

CFF π

… (13)

23

21 exp3

−≅⇒−<Tk

EEFn

B

CFF … (14)



La densidad efectiva de estado 2

3

222

=

∗

ηπTkm

N BeC … (15)

[ ]3192

323

30010512.2)( −

∗

×= cm

T

m

mTN

e

deC … (16)

La densidad de estado de huecos

( ) 21

23

2

24)( EE

mEN V

hh −

=

∗

ηπ … (17)

La densidad de huecos (o concentración de huecos) esta dada por:

)()()(21 hV

E

hh nFNdEEfENpv

⋅=⋅⋅= ∫∞−

… (18)

Es la concentración de densidad de estados de huecos, donde

23

222

⋅⋅

=∗

ηπTkm

N BhV … (19)

Es la densidad efectiva de estados de huecos, para la banda de valencia y

Tk

EEn

B

FVh

−= … (20)

Ahora la densidad de estados de electrones y huecos

( ) 21

23

2

24)( C

ee EE

mEN −

=

∗

ηπ … (21)



( ) 21

23

2

24)( EE

mEN V

hh −

=

∗

ηπ … (22)

Semiconductor compensado.- Con frecuencia cada átomo donor en un

semiconductor de tipo n, suministra un electrón a la banda de conducción, y el

electrón de concentración n, en la banda de conducción es aproximadamente

igual a la concentración donora dN . En una manera similar a la temperatura



ambiente o temperatura elevada, cada aceptor crea un hueco en la banda de

valencia de un semiconductor de tipo -p es aproximadamente igual a la

concentración aceptora aN . Si ambos, tanto los aceptores y donores son

agregados a un semiconductor, éstos compensan de cada electrón suministrado

que los donores ocupan los niveles vacantes, en la banda de valencia creado por

los átomos aceptores

Semiconductores no degenerados.- Cuando el nivel de Fermi EF esta en la

energía de brecha, entonces ( )FC EE − y ( )

VF EE − son mucho mayores que la

energía ( TkB ). En consecuencia se dice que es un semiconductor no

degenerado, cuando ( ) TkEE BFC 3>>− y la integral de Fermi- Dirac.

21F )(

Tk

EE

B

CF −

Se reduce a una función exponencial 21F = exp. )(

Tk

EE

B

CF −

La concentración de electrones está definido como:

Tk

EE

CB

CF

eNn−

= … (23)

La concentración de huecos es:

Tk

EE

VB

FV

eNp−

= … (24)



Semiconductor degenerado.- Cuando el nivel de Fermi FE ,está en la banda de

conducción, y ( ) TkEE BCF 3>− ó donde el nivel de Fermi, está en la banda de

valencia y ( ) TkEE BFV 3>− ,entonces el semiconductor se llama degenerado.

Para un semiconductor degenerado de tipo – n:

23

21

3

4

−≅

Tk

EEF

B

CF

π … (25)

( ) 23

22

32

nm

EEedos

CF ⋅=− ∗ πη … (26)

( ) 23

22

2

31

−≅

∗

ηCFedos EEm

nπ

… (27)

Para un semiconductor degenerado de tipo p:

23

21

3

4

−≅

Tk

EEF

B

FV

π … (28)



( ) 23

22

32

pm

EEhdos

FV ⋅=− ∗ πη … (29)

( ) 23

22

2

31

−≅

∗

ηFVhdos EEm

pπ

… (30)

En este caso el semiconductor se llama compensado

Neutralidad de la carga.-

De manera general, si en el semiconductor extrínseco están presentes ambos

tipos de impurezas (donores y aceptoras) aquella concertación mayoritaria es la

que determinará el tipo de semiconductores extrínseco (p ó n), así como la

conductibilidad del semiconductor. A temperaturas finitas, los electrones, serán

distribuidos, pero sus números serán conservados y satisfacen la siguiente

igualdad de la neutralidad de carga:

ddi Nnnn =+− … (31)

aai Nppp =+− …(32)

La concentración intrínseca de portadores se cumple que ni= pi, entonces,

restando de la primera ecuación la segunda, resulta que:

adad NNpnpn −=−+−

aadd ppNNnn ++−=+ )( …(33)

Donde:

n = total de los electrones libres en la banda de conducción

nd = electrones ligados a los átomos donores



p = total de huecos libres en la banda de valencia

pa = huecos ligados a los átomos aceptores

Nd = Los iones donores fijos ubicados en el nivel donador

Na = Los iones aceptores fijos en el nivel aceptor

Esta neutralidad de carga en equilibrio térmico como

da NpNn +=+ …(34)

Considerando la Ley de acción de masas y esta última de masas y esta última

igualdad se pueden obtener las concentraciones de portadores en equilibrio

térmico para un semiconductor extrínseco

2inpn =⋅ …(35)

)(2 ntipoparanpn inn −=⋅ …(36)

dnan NpNn +=+ …(37)

dnianndn

ian NnnNnnN

n

nNn +=+⇒+=+ 22

2

0)(0)( 2222 =+−−=+−+ iadnnidann nNNnnónNNnn

[ ]22 4)()(21

iadadn nNNNNn +−+−= …(38)

Se considera el semiconductor extrínseco de tipo–n, si (Nd > Na), ahora, para el

semiconductor de tipo – p (Na > Nd), implica que el portador mayoritario es el

hueco y el minoritario el electrón, considerando la ley de acción de masas y la

concentración de los huecos en equilibrio térmico es:



)(2 ptipoparannp ipp −=⋅ …(39)

dpap NpNn +=+ …(40)

dppapidpap

i NppNpnNpNp

n +=+⇒+=+ 222

0)( 22 =+−− idapp nNNpp

[ ]22 4)()(21

idadap nNNNNp +−+−= …(41)

En resumen, en un semiconductor de tipo – n (Nd >> Na) dn Nn ≅⇒

2inn npn = …(42)

Básicamente, en una material de tipo – n la población de electrones es

mayoritaria respecto a la de huecos, se dice que el electrón es el portador

mayoritario y que el hueco es el portador minoritario.

En un semiconductor de tipo - p (Na >> Nd);

ni. << Na = pp ≅ Na

2ipp npn = …(43)

Función d e distribución p ara los átomos de impurezas.-

La función de distribución de Fermi – Dirac para calcular la función de

probabilidad para un nivel de donador que tiene una energía Ed medida desde

que el borde de la banda de conducción. La probabilidad de que un estado

donador, esté ocupado dado por (nd es el numero de electrones ligados a los

donadores, Nd es la densidad del donador)



1exp21

1

+

−=

Tk

EEN

n

B

Fdd

d …(44)

El factor ½ surge esencialmente del hecho de que hay dos estados que un

electrón puede ocupar en un sitio de donador correspondiente a los estados de

Spin.

La probabilidad de que un hueco sea atrapado para un nivel de aceptor esta

dado por (pa es el número de huecos ligados a los aceptores, Na es la densidad

de aceptor)

1exp41

1

+

−=

Tk

EEN

p

B

aFa

a …(45)

El factor ¼ se debe a la presencia de las dos bandas, hueco ligero, hueco pesado

y los dos estados de spin.

Para encontrar el número de electrones en la banda de conducción y de huecos

en la banda de valencia, de electrones en los átomos donadores y huecos en los

niveles aceptores, se necesita emplear una computadora. Sin embargo, se puede

obtener una expresión aproximada al aplicar la aproximación de Boltzamann, que

es válida si Ed – Ef >> kbT y Ec – Ef >> kbT, con esta aproximación tenemos (si se

supone un material de tipo – n, para el cual Na sea cero).

−−=

−=

Tk

EEN

Tk

EE

Nn

B

Fdd

B

Fd

dd exp2

exp21

…(46)

Además, tenemos que para la densidad de electrones en la banda de conducción



−−=Tk

EENn

B

Fcc exp …(47)

Entones la fracción de electrones ligados a los niveles de donador es ahora

(para concentraciones intrínsecas pequeñas Nd = n + nd)

( )

−−+

−−

−−=

+Tk

EEN

Tk

EEN

Tk

EEN

nn

n

B

Fdd

B

Fcc

B

Fdd

d

d

exp2exp

exp2

1exp2

1

+

−−=

+Tk

EE

N

Nnn

n

B

dc

d

cd

d …(48)

Con esta aproximación el nivel de Fermi no aparece en la relación y la energía

de ionización del donador (Ec – Ed) y la temperatura determinan la fracción de

electrones ligados

A bajas temperaturas, la relación 1≅

+ ndn

nd (se aproxima a la unidad), de modo

que todos los electrones se encuentran ligados a los donadores. Esto se

denomina inmovilización de portador ahora, la fracción de huecos ligados a los

niveles de aceptor (para concentraciones intrínsecas pequeñas Na = p + pa)

( )

−−≅+

−=

Tk

EEN

Tk

EE

Np

B

aFa

B

aF

aa exp4

1exp

4 …(49)

La densidad de huecos en la banda de valencia



−=Tk

EENp

B

Fvv exp …(50)

( )

−−+

−−

−−=

+Tk

EEN

Tk

EEN

Tk

EEN

pp

p

B

aFa

B

Fvv

B

aFa

a

a

exp4exp

exp4

1exp4

1

+

−−=

+Tk

EE

N

Npp

p

B

va

a

va

a …(51)

La operación de dispositivo electrónica a temperatura ambiente se supone n = Nd

para materiales de tipo – n y p = Na para materiales de tipo – p.

Las ecuaciones relativas para dopar.-

Nivel de Fermi intrínseco

++= *

*

ln43

2 hdos

edosB

vcFi m

mTk

EEE …(52)

Niveles donores pronosticados para un módulo parecido a hidrógeno.

220

2

4

*0

32 ηεπεε em

m

mEE e

e

e

sdc

=− …(53)

=−

e

e

sdc m

meVEE

*2

06.13)(εε

Radio donora de Bohr



=

0*2

204

εεπε s

e

e

eBeff m

m

mea η …(54)

=°

0*52917.0)(

εε s

e

eBeff m

mAa

Conductores, semiconductores y aislantes.-



El modelo de bandas expuesto anteriormente podrá aplicar satisfactoriamente la

existencia de conductores, semiconductores y aislantes. Entonces para los

electrones respondan al campo eléctrico externo y por tanto contribuyan a la

corriente eléctrica, los electrones deben ganar energía y situarse en estados

energéticos superiores. En consecuencia, solo aquellos electrones que posean

estados superiores próximos disponibles vacios y permitidos responderán a la

acción de un campo eléctrico externo. Con este razonamiento podemos

concluir que aquellos electrones cuyas energías corresponden a las de una

banda completamente llena, no contribuirán a la corriente.

[A] O llena banda I = …(1)

Para explicar el comportamiento eléctrico de los sólidos se distinguen dos

situaciones en función de la temperatura T = 0[0K] y T > 0[0K]

• A T=0[0K], un sólido que tiene la banda de valencia llena será un

aislante debido a que los electrones de dicha banda bajo la acción de

una campo eléctrico externo. Además la existencia de la banda prohibida

impide que los electrones puedan desplazarse hacia la banda de

conducción, por el contrario, si la banda de valencia está parcialmente

llena y no hay banda prohibida entonces los electrones pueden



desplazarse hacia niveles más altos de energía en el interior de dicha

banda y el sólido se comporta como un conductor.

Ahora, un aislante cuya banda prohibida sea relativamente pequeña, se

denominará semiconductor, aunque a T = OK, tanto el aislante como el

semiconductor como aislantes perfectos

• A T > 0[0K] es posible que, en aislantes y semiconductores, algunos

electrones de la bandad de valencia sean excitados térmicamente y

lleguen a la banda de conducción y por tanto, que hagan algunos

portadores disponibles para la conducción de la corriente eléctrica. La

probabilidad de salto de electrones de la banda de valencia a banda de

conducción será directamente proporcional a la temperatura e

inversamente proporcional a la anchura energética, Eg de la banda

prohibida. En consecuencia, a mayor Eg menor concentración de

electrones en la banda de conducción y menor conductividad eléctrica.

Por otra parte, dado para estos materiales la concentración de electrones

en la banda de conducción aumenta con la temperatura, la conductividad

crecerá a medida que la temperatura aumenta, lo que explica así, la

conecta dependencia de la conductividad con la temperatura para

aislantes y semiconductores.

En los conductores la situación energética de los electrones ligados en la banda

de valencia y parcialmente llena la banda de conducción es muy similar para

los electrones libres en el modelo de Sommerfeld dentro del pozo de potencial

finito. Los conductores tienen una conductividad muy alta debido al número

mucho mayor de electrones que participan en el transporte de corriente. Es

difícil alterar la conductividad de los metales en cualquier forma simple como

resultado de lo anterior. Por otra parte, los semiconductores tienen

conductividad cero a 0 [0K] y una conductividad bastante baja a temperaturas

finitas, pero es posible alterar su conductividad en órdenes de magnitud.



Función de trabajo es la diferencia de energía ente el nivel vacío y el estado

electrónico ocupado mas alto en un metal.

Afinidad electrónica es la diferencia de la energía entre el nivel vacío y la parte

baja de la banda de conducción.

Semiconductores directos e indirectos.-

• Semiconductores directos.- En semiconductores directos la transición se

realiza en la parte baja de la banda de conducción en k = 0, con el máximo

de la banda de valencia. Este hecho permite que pueda darse la mínima

transición energética entre las dos bandas sin que haya un cambio en el

momento lineal (debido a que k no varia).

En este tipo de transiciones se observa un fotón simultáneamente a la transición

electrónica entre bandas. Los semiconductores como: GaAs, InP, Ingaes, etc.

son semiconductores de banda de separación directa y óptimamente activos.



• Semiconductores indirectos.- En semiconductores indirectos, la forma de

las bandas es tal que el mínimo de la banda de conducción y el máximo de

la banda de valencia no ocurren para el mismo valor de k. Lo que implica

que una transición electrónica entre Bv y Bc debe llevar aparejado un

proceso que da cuenta del cambio de momento lineal necesario. En la

práctica esto implica que el electrón debe primero realizar una transición

hacia otro estado (es un estado energético provocado por la presencia de

algún defecto en la red) y desde ahí realizar la transición entre bandas sin

intercambio de momento. Los semiconductores como: Si, Ge, Al, As, etc.

Estos materiales tienen interacciones muy agudas con la luz y no pueden

utilizarse para dispositivos ópticos eficaces. Las razones están basadas en

las reglas de conservación de momento en transiciones ópticas, lo que hace

difícil tener transiciones fuertes en semiconductores indirectos.



La energía cerca de los bordes de la banda en el punto k = ko, se representa la

estructura de bandas mediante la relación:

( ) ( ) ( )∑=

∗

−+=zyxi i

ii

m

kkkEkkE

,,

202

00, η …(2)

Donde el índice i representa las componentes x, y, Z de k y ko, para materiales

con banda de separación directa ko = (0,0,0). Entonces la relación para

semiconductores directos, se transforma en:

( ) ∗+=em

EckE2

22κη …(3)



Donde Ec, es el borde de la banda de conducción y la estructura de bandas es

una simple parábola con superficies de energía iguales a las superficies de una

esfera.

Para materiales indirectos como el Si, la parte baja de la banda de conducción

se presenta en los seis puntos equivalentes: a

π2(0.85,0,0),

a

π2(0, 0.85,0),

a

π2(0,0,0.85), y sus inversos. La relación del momento de energía es:

( ) ∗∗ ++=t

t

l

l

mmEckE

22

2222 κκ ηη …(4)

Donde kl es la parte longitud de k (es decir paralela al valor de k en el borde de

la banda) y kt es la parte transversal medida desde el borde de la banda de

conducción.

La superficie de energía constante de la estructura de bandas es un elipsoide.

Cerca de los bordes de las bandas, los electrones en semiconductores se

comportan como si tuvieran una masa me que se conoce como la masa

efectiva. Para semiconductores de brecha directa, la masa efectiva de los

electrones en el borde de la banda de conducción está dada por la relación:

g

cv

ee Emm

2211 Ρ+=∗ …(5)

Donde para la mayoría de los semiconductores,

][202 2

evme

cv =Ρ …(6)

Donde me es la masa del electrón libre.



Ahora, cerca de la parte superior de la banda de valencia hay tres curvas

importantes (fig. 3). La banda de masa más pesada se denomina banda de

hueco pesado (I). La segunda banda mas ligera se conoce como banda de

hueco ligero (II), y la tercera, separada, por una energía ∆ i se llama banda de

separación (III). Las masas de los electrones de la banda de valencia son

generalmente mucho más pesadas que los situados en la banda de conducción

y también son negativos. En general, la masa efectiva está definida como:

22

2

2

11

κ∂∂=∗

E

me η …(7)

La densidad de estados en un sistema tridimensional

( ) 2/122

2/32

)( Em

EN dos

ηπ

∗

= …(8)

Donde m*dos

es la masa de densidad de estados para los semiconductores de

banda de separación directa se cumple que:

( )efectivamasamm edos∗∗ = …(9)

Para materiales como el Si, la masa de densidad de estados para un vale:

( ) 3/1321 .. mmmmdos =∗ …(10)

Donde m1, m2 y m3 son las masas efectivas en las tres direcciones principales

para el silicio.

m*e = m1, m

*t = m2 = m3

m*e = es la masa efectiva longitudinal



m*t = es la masa efectiva transversal

El silicio tiene 6 valles de bordes de la banda de conducción, entonces la

densidad de estados calculada para un valle debe multiplicarse por seis para

obtener la densidad total de los estados

( ) 2/122

2/326

))(( Em

SiEN dos

ηπ

∗

= …(11)

En el caso de las masas de la banda de valencia, existen las masas de los

huecos pesados y los huecos ligeros. Se puede definir el efecto de estas dos

bandas mediante una masa de densidad de estados efectiva esta dada por:

( )2/32/32/3 ∗∗∗ += hhlhdos mmm …(12)

Donde m*lh= es la masa efectiva de huecos ligeros

m*hh= es la masa efectiva de huecos pesados

Huecos en semiconductores.- Un estado electrónico vacío en la banda de

valencia se comporta como si fuera una partícula con carga positiva y una

masa efectiva dada por las propiedades de la banda de valencia. Los

semiconductores están definidos como materiales en los que la banda de

valencia se encuentra llena de electrones y la banda de conducción esta vacia a

0 [0K]. A temperaturas finitas algunos de los electrones abandonan la banda de

valencia y ocupan la banda de conducción. La banda de valencia se queda

entonces con algunos lugares sin ocupar.

Cuando todos los estados de la banda de valencia están ocupados, la suma

sobre todos los estados del vector de onda es cero, es decir.

ei

eii

kk

kkk

≠

+⇒=∑ ∑0 …(13)



Este resultado es apenas una indicación de que hay tantos estados k positivos

ocupados como negativos. Ahora, en la situación donde un electrón con vector

de onda k, se pierde, el vector de onda total es:

ei

ei

kk

kk

≠

−=∑ …(14)

El estado perdido se denomina hueco y el vector de onda del sistema es –ke.

Es importante advertir que el electrón se pierde del estado ke y el momento

asociado con el hueco esta en – ke. La posición del hueco se presenta como la

del electrón perdido. Pero en realidad el vector de onda kh del hueco es –ke,

entonces kh = -ke.

Cuando se aplica un campo eléctrico al sistema, todos los electrones se

mueven en dirección opuesta al campo eléctrico. Al mismo tiempo esto resulta



en el estado no ocupado moviéndose en la dirección del campo. El hueco

responde entonces como si tuviera carga positiva. Por tanto responde a los

campos externos eléctricos y magnéticos respectivamente, entones la ecuación

del movimiento es:

×+=

∂∂

Bc

ve

t

k hh ρρρρ

η ξ …(15)

Donde • kh y vh son el momento y la velocidad del hueco. Los huecos se

comportan como si tuviera una carga positiva. Esto ocurre porque los huecos

de los estados ocupados en la banda de valencia responden a las fuerzas

externas con una respuesta de carga negativa propia, pero el estado del

electrón perdido responde con una respuesta de carga positiva. La masa del

hueco tiene un valor positivo, aunque la masa del electrón en su banda de

valencia sea negativa.



INTRODUCCIÓN

Un movimiento de portadores libres en un conductor conduce a una corriente.

Este movimiento puede ser causado por un campo eléctrico debido a un voltaje

externo aplicado. Pero, la citación externa puede ser también, térmico u óptico.

Los mecanismos provocarlos en los portadores por acción de citación alternas

reciben el nombre de fenómenos de transporte.

Entre los fenómenos de transporte cabe mencionar como fundamentales a los

fenómenos de arrastre, difusión y efecto es Hall.

• Condu cc ión po r arrastré.- Se produce cuando se somete la sustancia

semiconductora a una definida de potencial o a la acción de una campo

eléctrica externo.

• Condu cc ión po r difusión.- Las corrientes de portadores generados por

difusión se deben a diferente concentración de estas en el semiconductor.

• Efecto de Hall. - La corriente de portadores se crea por la acción conjunta

de un campo eléctrico y una magnético sobre el semiconductor.

4-1. Fenómeno d e arrastré de portadores.-

Se considera una muestra de semiconductor de tipo N con una concentración

demora constante y en equilibrio térmico.

CAPÍTULO

4

Fenómeno de transporte de

portadores



Los electrones en la banda de conducción son partículas libres, y no están

asociados a ninguna estructura en particular. La influencia de la Estructura

cristalina está en la masa efectiva de los electrones en conducción, la cual es

ligeramente diferente a la de los electrones libres, bajo las condiciones de

equilibrio térmico. La energía térmica promedio de los electrones en la banda de

conducción se puede obtener a partir del teorema de equipartición de energía:

KT2

1 por cada grado de libertad, donde K es la constante de Boltzmann y T es la

temperatura absoluta.

kTK2

3= …(1)

Los electrones en un semiconductor tiene tres grados de libertad ya que pueden

moverse en un espacio tridimensional. Por lo tanto, la energía cinética de los

electrones es:

kTVm thn 2

3

2

1 2* = …(2)

Donde mn* = masa efectiva de los electrones y Vth = velocidad térmica. A

temperatura ambiente (T= 300 oK) Vth = 107[m/s] para Si y GaAs.

*

3

n

th m

kTV = …(3)

Debido a la energía térmica, los electrones están en un movimiento constante en

todas las direcciones. Los electrones están continuamente en movimiento, no

están asociados con ninguna particular posición de la estructura. El movimiento

térmico de un electrón individual se puede ver como una sucesión de

movimientos aleatorios con colisiones con átomos de la estructura cristalina, con

impurezas, etc. como se ve en la figura # 1,



Este movimiento aleatorio de los electrones conduce a un desplazamiento neto

cero de un electrón en un periodo de tiempo largo. Entonces, la velocidad media

de los electrones es nula. La distancia promedio entre colisiones es llamado

recorrido libre medio l y el tiempo promedio entre colisiones tiempo libre medio

Tc. Estas magnitudes están relacionadas con la velocidad térmica es:

λ

λT

Vth= …(4)

Para los electrones, • = 10-5 (cm) y T• = 1ps (para T= 300 oK).

4.1.2. Velocidad de arrastre.- Cuando se aplica al semiductor un campo

eléctrico )(∈ρ , cada electrón experimenta una fuerza ∈−= ρρeFe

Los electrones se mueven en sentido contrario al campo eléctrico y los huecos en

el mismo sentido. En consecuencia, adquieren una nueva componente de



velocidad de arrastre rVρ

. Esta velocidad es, en la mayor parte de los dispositivos,

mucho más pequeña que la velocidad térmica, por lo que la velocidad de arrastré

puede considerarse como una perturbación de la velocidad térmica. La acción

combinada de la velocidad de arrastré puede considerarse como una

perturbación de la velocidad Térmica. La acción combinada de la velocidad

térmica y la de arrastré da lugar a un movimiento neto de los electrones en

sentido contrario al capo eléctrico aplicado.

Suponiendo que todos los portadores en el semiconductor se mueven con al

misma velocidad, entonces la corriente debe expresarse como la fuerza total en

un semiductor por el tiempo necesario para viajar de un electrodo a otro.

λλr

rr

vQ

v

QQi ===

/τ …(5)

Donde • r es el tiempo de tránsito de una partícula, que viajan con una velocidad

Vr.

La densidad de corriente se puede escribir como una función de cualquiera de

densidad de carga • o densidad de portadores n en el semiconductor:

rrr vnev

A

vQJ === ζ

λ …(6)

Ahora, analizaremos el movimiento de portadores considerado solamente la

velocidad promedio Vr de los portadores. En virtud de la segunda ley de Newton:

t

vmamF ∂

∂==ρρρ

…(7)

La fuerza consiste de la diferencia entre la fuerza electrostática y la fuerza de

dispersión al momento en el tiempo de dispersión. Esta fuerza de dispersión es

igual al momento dividido por el tiempo promedio entre eventos de dispersión.

r

rnvmeF τε

*

−−= …(8)



Combinando ambas relaciones proporcionan una expresión para la velocidad

promedio entre eventos de dispersión

Combinando ambas relaciones proporcionan una expresión para la velocidad

promedio de la partícula.

r

rnrn

vme

t

vm

τε

** −−=

∂∂

…(9)

Podemos considerar solamente la situación de estado estacionario en el que la

partícula ha sido acelerado y alcanza una velocidad promedio constante. Bajo

estas condiciones la velocidad es proporcional al campo eléctrico aplicado y se

define la movilidad como la razón entre velocidad con campo eléctrico.

*

*

n

rr

r

rn

m

ev

vme

τετ

ε −=⇒−=

ετ

*n

rr

m

ev −= …(10)

εµ nrnv −= …(11)

ετ

µ rn

n

rn

v

m

e==

* …(12)

La movilidad de una partícula en un semiconductor se espera, por tanto que sea

grande si su más efectiva es pequeña y el tiempo de vida media entre intervalos

de dispersión sea grande.

La movilidad es un parámetro importante en el transporte de portadores ya que

expresa cuantitativamente la facilidad o no de movimiento de los electrones frente

a la acción del campo eléctrico. Su unidad de medida es

Vs

mo

Vs

cm 22

Para los huecos en la banda de valencia se define:

εµ prpV = …(13)

=

*h

rp

m

eτµ …(14)



La densidad de corriente de electrones en función de movilidad es:

εµ nn enJ = …(15)

εµ pp enJ = …(16)

La densidad de corriente de huecos en función de movilidad es:

4.1.3.- Resistividad.- Supongamos un semiconductor de tipo N, dopado

homogéneamente cuyo diagrama de bandas en la figura # 3 donde se muestra al

diagrama de bandas cuando se aplica una tensión de polarización en el terminal

de la parte derecha.

Cuando se aplica un campo eléctrico al semiconductor, dicho campo realiza una

fuerza sobre cada electrón. Además esta fuerza ejercida es igual al valor negativo

del gradiente de la energía potencial del electrón.

x

EeF Fi

∂∂

−=−= ε …(17)

Para el gradiente de la energía potencial se puede utilizar cualquier parte del

diagrama de bandas que sea paralelo a Ec, (EF,Ei o Ev). Es conveniente utilizar Ei

pues esta magnitud es ampliamente utilizado en el caso de uniones p-n, entonces

el campo es



x

E

eFi

∂∂

= 1ε …(18)

La caída de tensión entre dos puntos se define como la energía empleada para

mover una carga positiva unidad desde uno al otro terminales.

Para mover una carga positiva desde un punto a otro entre los cuales existe una

diferencia de potencial V y realiza un trabajo y la energía empleada es Eo=eV,

cuando la carga llega a su destino gana una energía potencial Eo=eV. Para el

electrón, se lleva desde B hasta con una diferencia de potencial V, el electrón

pierde una energía potencial Eo=-eV.

Variación de la energia potencial eVE p −=∆

Entonces el campo electrón, se define como:

x

V

x

E

e ∂∂−=

∂∂−= 1ε …(19)

Para un campo eléctrico constante, V diferencia de potencial y • la longitud del

semiconductor.

=

λ

Vε …(20)

Ahora, la densidad de corriente neta de portadores debida a la acción del campo

eléctrico externo.

εµεµ pnpn epenJJJ +=+=

( )εµµ pn pneJ += …(21)

La conductividad se define como (• m) -1:

( )pn pne µµσ += …(22)

La contribución de los electrones y los huecos a la conductividad es simplemente

aditiva. La resistividad del semiconductor • (• m), es el valor recíproco de la

conductividad, esta definido como:

( )pn pne µµσρ

+== 11

…(23)



Para el caso de semiconductor extrínsecos, generalmente hay una concentración

de portadores de carga que es mayoritaria respecto a la otra, entonces:

Semiconductor tipo N (n>>p);• n=1/enµn

Semiconductor tipo P (p>>n);• p=1/enµp

Para una concentración de impurezas (donoras y aceptoras) la resistividad de un

semiconductor de tipo P es mayor que la de un semiconductor de tipo N: µn > µp,

(mn* > mh

*) → • p > • n.

4.2.- Fenómenos de difusión d e portadores.- se considera ahora el flujo de

corriente por difusión. Si no hay campos eléctricos aplicados, los portadores se

mueven aleatoriamente, chocan con la red cristalina y son dispersados al azar.

Un flujo neto de corriente, en tal proceso ocurre si hay gradinete de concentración

de portadores.

Si consideramos conducción por huecos, entonces P sea la concentración de

huecos y sea ∇p su gradiente con componentes z

py

y

p

x

p

∂∂

∂∂

∂∂

, . Luego la densidad

de corriente de huecos será:

ppp DJ ∇−= …(24)

Se considera un perfil de concentración n(x,t) de electrones de al Fig # 4,

entonces se calcula el flujo de electrones ∅(x,t) a través del plano x=xo en

cualquier instante del tiempo.



Podemos considerar en una región del espacio una trayectoria libre media • a

cada lado de xo, de la que los electrones pueden provenir a través de la frontera

x=xo en el tiempo de dispersión • disp. Los electrones de regiones adicionales

aparte sufrirán colisiones que cambiarán en forma aleatoria sus direcciones.

En las dos regiones denominadas n1 y n2 las regiones se mueven de manera

aleatoria, la mitad de los electrones en la región n1 irán a través de x=xo hacia la

derecha y la otra mitad irán hacia al izquierda en le tiempo de dispersión • disp. El

flujo hacia la derecha es entonces

( )disp

n

nntx

τφ

2),( 21 λ−

= …(25)

donde n1 y n2 son las densidades de portador promedio en las dos regiones. Ya

que las dos regiones propiamente tales se encuentran separadas por la distancia

• , entonces:

x

txnnn

∂∂−≈− ),(

21λ …(26)

Donde • es la distancia libre media para los electrones, ese decir la distancia que

viajan los electrones entre colisiones, luego, el flujo neto es:



x

txnD

x

txntx n

dispn ∂

∂−=

∂∂

−=),(),(

2),(

2

τφ λ …(27)

Donde Dn es el coeficiente de difusión del sistema electrónico y dependen de los

procesos de dispersión que controlan • y el tiempo • disp. Puesto que la

trayectoria libre media es esencialmente:

dispthv τ=λ …(28)

Donde Vth es la velocidad térmica media, el coeficiente de difusión de la

temperatura, entonces:

dispnD

τ2

2λ= …(29)

De la misma forma, el coeficiente de difusión de los huecos proporcionan el flujo

de huecos debido a un gradiente de huecos.

x

txpDtx pp ∂

∂−= ),(),(φ …(30)

Donde Dp es el coeficiente de difusión de los huecos. En consecuencia el flujo de

electrones y huecos, puede fluir una corriente en la estructura cristalina, que en

ausencia de un campo eléctrico está dada por la carga multiplicada por el flujo de

partículas.

( ) ( ) x

txpeD

x

txneDJpJnJ pndiffdiffdiff ∂

∂−∂

∂=+= ),(),( …(31)

Tanto los electrones como huecos se mueven en la dirección de la menor

concentración de electrones y huecos respectivamente, las corriente que

conducen ellos son opuestas debida a la diferencia de sus cargas.

Transporte por deriva y difusión; la relación d e Einstein.- en muchos

dispositivos electrónicos la carga se mueve bajo la influencia combinada de

campos electrónicos y gradiente de concentración. La densidad de corriente está

dada por:

dx

txdneDxxnexJ nnn

),()()()( +−= εµ … (32)



dx

txdpeDxxpeJ ppp

),()()( −= εµ … (33)

Las movilidades de electrones y huecos no son constantes. En campos de gran

intensidad las movilidades disminuyen y el factor alcanza una constante

correspondiente con la velocidad de saturación. Así la corriente de deriva se

satura y llega ser independiente del campo.

El efecto de los campos eléctricos sobre las bandas de energía del

semiconductor. Las bandas de energía representan los niveles de energía del

electrón, incluso el efecto de la carga negativa. Si se aplica un campo eléctrico

)( xε , la fuerza sobre los electrones es )( xe ε− y por lo tanto la energía potencial

)( xu y la fuerza estarán relacionados por:

)( xuF −∇= … (34)

Para un campo eléctrico uniforme podemos escribir:

xxexu ⋅= )()( ε … (35)

Así, puesto que la carga del electrón es negativa, las bandas se encurvan.

xxeExE cc ⋅+== )()0()( εε … (36)

Si un potencial positivo es aplicado a la izquierda del material y el otro negativo a

la derecha, las bandas se doblarán. La deriva de los electrones descenderá en al

imagen de la banda de energía y así opuesto al campo (Fig.#3).

En equilibrio, las corrientes totales de electrón y hueco son individualmente cero.

0),(

)()()( =+−=dx

txdneDxxnexJ nnn εµ

dx

txdnD

xnx

n

d ),(

)(

1)(

µε = … (37)

Si suponemos que la función de distribución del electrón esta dado por la

distribución de Boltzmann:

[ ]Tk

EE

B

xFFnixn

)(exp)(−

−= … (38)



Donde EFi y EF son el nivel de Fermi intrínseco y el nivel de Fermi en presencia

de cargas extrínsecas:

[ ]

−−−=−

dx

dE

dx

dE

Tk

n

dx

xdn FFiTk

EE

B

i

B

xFFi )(exp)(

−−=

dx

dE

dx

dE

Tk

xn

dx

xdn FiF

B

)()( … (39)

En equilibrio, el nivel de nivel de Fermi no puede variar espacialmente de otro

modo la probabilidad de hallar electrones a lo largo de una posición de energía

constante variará a lo largo del semiconductor. Puesto que no está permitido por

difusión de las condiciones de equilibrio, el nivel de Fermi tiene que ser constante

en equilibrio.

0=dx

dEF … (40)

El campo eléctrico está definido en función dedx

dE iF

dx

dE

eiF1−=ε …(41)

Si dx

dE

Tk

xn

dx

xdn iF

B

)()( −=

Luego, con la ecuación (37)

Tk

De

dx

xdn

Tk

De

dx

xdn

dx

txdn

Tk

De

dx

txdn

xn

De

Tk

xn

dx

xdn

Bn

n

Bn

n

Bn

n

n

n

B

µ

µµµ

=∨≠⇒

=

−==

10)(

01)(),(),(

)(

1)()(

n

nB D

e

Tk

µ= … (43)

Por el mismo procedimiento se obtiene:

p

pBD

e

Tk

µ= … (44)



Estas últimas educaciones son la relación de Einstein que satisface para

electrones y huecos.

Para campos eléctricos de gran magnitud, la movilidad disminuye como un

inverso del campo eléctrico debido a la

Disminución del tiempo de dispersión El coeficiente de difusión también tiene

el mismo final. Para campos de gran intensidad la relación de Eisntein no se

mantiene, así como también lo hace para campos de baja intensidad, puerto que

la función de distribución electrónica es bastante complicada.

Efecto de Hall.- Cuando por una muestra semiconductora circula una densidad

de corriente Jρ

perpendicular a un campo magnético Bρ

, éste provoca la aparición

de un campo eléctrico normal al plano determinado por Bρ

y Jρ

. Este mecanismo

recibe el nombre de efecto Hall y puede ser usado para determinar algunas

características de semiconductores como: el tipo de portador (hueco o electrón),

la concentración o la movilidad. También es la base de dispositivos utilizados en

la medida de campos magnéticos.

Supongamos una muestra de semiconductor de tipo P,(Fig.# 1) sometida a una

diferencia de potencial V en la dirección X. Esta diferencia de potencial origina un

campo eléctrico en la dirección de x, xε el cual por el fenómeno de arrastre

proporcionará una velocidad a los huecos Vx en la dirección x. En esta situación



se aplica a la muestra semiconductora un campo magnético a lo largo de la

dirección z,Bz.

La fuerza de Lorentz BveFρρρ ×= (en magnitud, zx Bve ⋅ ) debida a la presencia

del campo magnético ejercerá una fuerza ascendente (en la dirección y) sobre los

huecos que juegan en el eje x. Como consecuencia de esta fuerza, la velocidad

de los huecos presentará una componente en el eje y.

El resultado será una acumulación de cargas positivas en la parte superior de la

muestra y negativos en la parte inferior de la misma. Esta acumulación de cargas

creará ahora otro campo eléctrico en la dirección y orientado hacia abajo yε .

Entonces, no se produce un flujo neto de corriente en la dirección y, en las

fuerzas eléctrico y magnético son iguales tal que la fuerza resultante es cero.

zxy

zxyzxy

Bv

BveeBveeF

⋅=

⋅=⇒=⋅−=

εεε 00

La única corriente existente en el semiconductor es la corriente I proporcionada

por la fuente externa V, de arrastre en la dirección x es VX.

Donde yε es campo eléctrico Hall, y la diferencia de potencial eléctrico creado

por este capo, se llama voltaje de Hall vH. Luego la velocidad VX es la velocidad

de arrastre de huecos, la densidad de los huecos:

pe

JvvvpeJ p

pxpp==⇒=

En consecuencia:

zpHz

p

zxy BJRBpe

JBv ==⋅=ε

Donde: pe

RH

1= coeficiente de Hall ( 0>HR )

El campo eléctrico de Hall es proporcional al producto de la densidad de corriente

y el campo magnético. El coeficiente de proporcionalidad de RH es llamado

coeficiente Hall.

Para los electrones en un semiconductor de tipo N:



nnn

nx vneJne

Jvv −=⇒−==

znHzn

zxy BJRBne

JBv =−=⋅=ε

Donde: ne

RH

1−= coeficiente de Hall ( 0<HR )

A partir de al medida de este coeficiente, se pueden obtener las medidas de

concentración de portadores. Así para un semiconductor de tipo P.

( )( ) AVe

wBI

wVe

BAI

e

BJ

Rep

H

z

H

z

y

zp

H

=⋅

===ε

1

Donde: w es el espesor de la muestra (eje y)

A sección transversal

I corriente de huecos

Para semiconductor de tipo P los portadores mayoritarios son los huecos, la

corriente I es debida a la densidad de huecos Ip (mucho mayor que la densidad

de electrones). El campo eléctrico es:

wBRwVw

VzA

IHyH

Hy )(=== εε

En un semiconductor de tipo P; 00 >⇒> HH VR

En un semiconductor de tipo N; 00 <⇒< HH VR

y

zn

H e

BJ

Ren

ε== 1

Inyecc ión d e Portadores.- El proceso por el cual se introducen portadores de

carga en exceso recibe de inyección de portadores. A los portadores que se han

introducido externamente se les llama portadores en exceso. Existen varios

métodos diferentes de inyección de portadores en un semiconductor entre las

cuales cabe destacar la excitación óptica. También hay un proceso de inyección

de portadores en exceso para el caso de unión P-N directamente polarizada. En



el caso de excitación óptica, se irradia la muestra del semiconductor. Si la

energía del fotón de la luz gEhf > (anchura de la banda prohibida gE del

semiconductor), el fotón es absorbido por el semiconductor por el semiconductor

generándose un par electrón – hueco.

Proceso de generación – recombinación d irecta entre bandas.- El proceso de

generación directa ocurre cuando un electrón es excitado directamente desde al

banda de valencia a la banda de conducción, dando como resultado un gran

electrón – hueco. Por el contrario, la recombinación directa ocurre cuando un

electrón cae desde al banda de conducción directamente a la banda de valencia,

eliminándose tanto el electrón como el hueco.

Si llamamos thG al número de electrón – hueco producidos por generación por

unidad de volumen y por unidad de tiempo y thR al número de pares de electrón –

hueco aniquilados por recomendación, pero en equilibrio térmico ambas.

Son iguales, entonces se cumple la ley de acción de masas 2inpn = .



Cuando es introducido un exceso de portadores en el semiconductor, hay una

alta probabilidad de que los electrones y huecos se recombinen directamente. En

forma general es lógico pensar que la velocidad de recombinan R sea

proporcional al número de electrones disponible en la B. de C. (n) y al número de

huecos disponibles de la B. de V. (p), entonces:

pnR β= … (1)

Donde β es la constante de proporcionalidad. En equilibrio térmico las

velocidades de generación y recombinación son iguales. Por tanto para un

semiconductor de tipo N.

00 nnthth pnRG β== … (2)

Donde nn0 y pn0 son las concentraciones respectivas de electrones y huecos en el

semiconductor de tipo N en el equilibrio térmico. Cuando se produce una

excitación externa (hay luminoso) Que incrementa la concentración de portadores

minoritarios. Entonces el proceso de generación recombinación actúa para

reducir la concentración de estos portadores causando que la velocidad de

recombinación supere a la velocidad de generación.

thL GGG += … (3)

El efecto es doble. Por un lado se altera la velocidad de generación de poner

electrón – hueco ahora ya no solo se atribuye al caso de equilibrio térmico sino

también la excitación térmica. Al existir un exceso de portadores, las poblaciones

en las dos bandas quedarán alteradas, ( )nnn ∆+0 y ( )ppn ∆+0

respectivamente de forma que la nueva velocidad de recombinación será

( )( )ppnnR nn ∆+∆+= 00β … (4)

Donde n∆ y p∆ son las concentraciones en exceso de portadores introducidas,

se cumple n∆ = p∆ (se conserva la neutralidad de carga). El cambio que

experimentará la concentración de huecos (portadores minoritarios) vendrá dado

por la velocidad neta de generación recombinación:



RGGRGdt

dpthL

n −+=−=

Existe un proceso de variación de dicha concentración con el tiempo hasta

llegar al caso estacionario se estabiliza en un valor constante (dicho valor

constante será superior al equilibrio térmico 0np , ya que se ha inyectado

portadores minoritarios en exceso):

uGRGdt

dpthL

n =−=⇒= 0

La cantidad U recibe el nombre de velocidad recombinación neta.

Siguiendo el estado estable y sustituyendo R y thG queda:

( )( ) 00000 =∆∆−∆+∆+= nppnppnnu nnnn ββ

[ ] ( )nppnpnpnnppnpnu nnnnnnnn ∆+∆=−∆∆+∆+∆+= 00000000 ββ

Bajo nivel de inyección p∆ , pnn ∆>>0 (concentración de portadores mayoritarios

mucho mayor que la concentración de portadores en exceso). Para

semiconductor tipo N, 00 nn pn >> y 0nn ppp −=∆

( )p

nn

n

nnnnnn

pp

n

ppppnpnu

τβ

ββ 0

0

0000 1

−=

−=−=∆=

→−=∆ 0nn ppp Exceso de portadores minoritarios.

Significa que la velocidad de recombinación neta es proporcional al exceso de

portadores minoritarios. La constante de proporcionalidad 0

1

np nβ

τ = es el tiempo

de vida media de portadores minoritarios en exceso.

Para un semiconductor de tipo P:

n

pp nnu

τ0−

= y 0

1

nn pβ

τ =



El significado físico del tiempo de vida media puede ser comprendido analizando

la respuesta del dispositivo cuando se retira súbitamente cuando se retira la

fuente de luz.

Consideremos una muestra del semiconductor de tipo N, que esta iluminada y en

la cual los pares electrón – hueco son generados de forma uniforme en toda la

muestra con una velocidad de generación LG .

Lpnnp

nnL

thLthLn

Gpppp

G

uGRGRGGRGdt

dp

ττ

+=−

=

=−=⇒=−+=−=

00

0

En un tiempo arbitrario, la luz es apegada. La variación que experimentará la

concentración de huecos será ( 0=LG ):

p

nnth

n ppuRG

dt

dp

τ0−

−=−=−=

(-) es debido a que la concentración de huecos experimente una disminución

8predomina la recombinación frente a la generación), se obtiene )(tpn

resolviendo la ecuación diferencial:

( ) 01

0 =−+ nnp

n ppdt

dp

τ

0

0

)(

)0(0

nn

Lpnn

ptpt

Gptpt

=∞→⇒∞→

+==⇒= τ

(La concentración de huecos tiende a la concentración de huecos en equilibrio

térmico).

La solución será: p

t

Lpnn eGptp ττ−

⋅+= 0)(



Proceso de generación – recombinación ind irecta.

Existen 4 procesos que dan lugar a la generación y recombinación indirecta en

semiconductores. En la fig # 4, donde existe un estado localizado aceptar

ligeramente por encima del centro de la banda prohibida. El 1er proceso es el de

captura de un electrón por el estado localizado, mientras que el inverso, segundo

proceso, ocurre cuando el electrón es llevado desde el estado localizado a la

banda de conclusión y es conocido como emisión de un electrón.



El 1er proceso, conocido como captura de un hueco, corresponderá a la

transferencia de un electrón desde el estado localizado hasta la banda de

valencia. Finalmente, el 4to proceso corresponde a la transición de su electrón

desde la banda de valencia hasta el estado localizado, dejando un hueco detrás y

el llamado emisión de un hueco.

Los estados localizados son centros de generación, recombinación o desvíos.

Estos centros de recombinación son debidos a imperfecciones en la estructura

cristalina, causados por dislocaciones o defectos del cristal o por la presencia de

impurezas, las cuales pueden haber sido introducido de forma deliberada.

a) En volumen.- En primer se considerará una situación de equilibrio térmico. La

existencia de impurezas o defectos en el cristal da lugar a la presencia de niveles

de energía incluidos en la banda prohibida del semiconductor. Estos niveles de

energía son los centros de generación – recombinación que son utilizados por los

electrones y huecos como etapas en los procesos de generación –

recombinación indirecta.



Un electrón de la B.C. es capturado por el centro cuando un centro es ocupado

por un electrón ya no puede ser ocupado ese nivel por otro electrón que se

capture. En consecuencia, la velocidad de captura de ese u los electrones serán

proporcionales a la concentración de centros que toda vía no están ocupados (los

centros que permanecen neutros). Sea tN la concentración de centros en el

semiconductor, entonces la concentración de centros no ocupados vendrá dado

por )1( FN t − . Siendo F la probabilidad de que un centro sea ocupado por un

electrón. Luego es función de distribución de Fermi – Dirac.

TkEEEBFte

F/)()(

1

1−+

=

tE : nivel de energía del centro.

FE : nivel de Fermi.

)1( FnNKR taa −= (velocidad de captura de electrones)

De esta forma, la velocidad de captura de electrones R por este proceso será

proporciona a la concentración de centros no ocupados y a la de electrones de la

B.C.



La velocidad de emisión electrónica Rb será proporcional a la concentración de

centros ocupados por electrones, o sea FN t entonces:

FNKR tbb = (velocidad de emisión de electrones)

La constante Kb recibe el nombre, la probabilidad de emisión. Bajo las

conclusiones de equilibrio térmico, las velocidades de captura y emisión

electrónica consideran:

F

FnKKRR a

bba

)1( −=⇒=

Luego la concentración de electrones en equilibrio término y la función de

contribución de Fermi para el nivel energético del centro.

TkEEiab

TkEE

TkEEi

BFt

BFt

BtF

enKK

eF

F

enn

/)(

/)(

/)(

1

−

−

−

=

=−=

Esta última expresión significa que si el nivel del centro E esta cerca de la banda

de conducción (Et – Ei aumenta), la emisión de electrones desde los centros

aumenta la probabilidad.

La velocidad de captura de un hueco por parte de un cuerpo será proporcional a

la concentración de electrones presentes en los centros:

FpNKRc tc= (velocidad de captura de un hueco por parte del centro)

La velocidad de emisión de un hueco (o lo que es lo mismo de que un electrón de

la B.V. pase al centro) será proporcional a la concentración de centros no

ocupados por electrones:

)1( FNKR tdd −= (velocidad de emisión de un hueco)

→dK la probabilidad de emisión de un hueco.

TkEEicd

BtFenKK /)( −=

La probabilidad de emisión de un electrón de la B.V. aumenta a medida que el

nivel del centro esté más cercano a la banda de valencia.



Experimentalmente se pueden medir las constantes actt KyKEN ,, , mediante el

uso de las expresiones iniciales para dcba RyRRR ,, determina la emisión de una

recombinación indirecta bajo condiciones de no equilibrio.

Bajo la situación de no equilibrio de un semiconductor de tipo N, el cual mediante

excitación uniforme produce una velocidad de generación LG .

En situación de estado estable, la velocidad de abandono de los electrones de la

B.C. será igual a la de incorporación a esta banda:

0)( =−−= baLn RRG

dt

dn

Para huecos en la B. de V. 0)( =−−= dcLn RRG

dt

dp

Bajo condiciones de equilibrio térmico dc ba RRy RR 0 === yGL

pero en equilibrio dinámico dcba RRyRR ≠≠ , entonces

dcbaL RRRRG −=−=

Tomando las expresiones anteriores

−⋅−=

⋅−−−−

)1()1()()(

FenFpNKFenFnNK TkEE

intcTk

EE

intaB

tF

B

Ft

Eliminando F y resolviendo para la velocidad de recombinación neta definida

como:

p

nnnntcba

ppppNKuRRu

τ0

0 )(−

=−≅−=



Bajo inyección en un semiconductor de tipo N ( nn pn >> ,después de la inyección

de portadores la concentración de electrones en la B. de C. sigue siendo mucho

mayor que la de los huecos en la B. de V.)y que los centros presentan un nivel

cercano a la B.P.: TkEE

inBFtenn )( −>>

El tiempo de vida media para los electrones y los huecos. El caso considerado, el

tiempo de vida media para los huecos en el semiconductor de tipo N es:

tcp NK

1=τ

EEESSSTTTAAA EEESSS UUUNNNAAA CCCOOOLLLAAABBBOOORRRAAACCCIII ÓÓÓNNN DDDEEE LLLOOOSSS AAALLLUUUMMMNNNOOOSSS

DDDEEE EEETTTNNN--- 555000111 FFFÍÍÍ SSSIII CCCAAA DDDEEELLL EEESSSTTTAAADDDOOO SSSÓÓÓLLLIII DDDOOO;;; DDDEEELLL

SSSEEEMMMEEESSSTTTRRREEE III /// 222000000555 UUUNNNIII VVVEEERRRSSSIII TTTAAARRRIII OOOSSS,,, CCCAAAPPP... 111--- 444:::

VVVIII CCCTTTOOORRR SSSEEERRRAAAFFFÍÍÍ NNN AAARRRRRROOOYYYOOO AAAZZZOOOGGGUUUEEE...

EEESSSTTTEEEFFFAAANNNNNNYYY EEELLLIII ZZZAAABBBEEETTTHHH CCCÁÁÁRRRDDDEEENNNAAASSS AAARRRCCCEEE...

JJJ UUUAAANNN PPPAAABBBLLLOOO NNNAAAVVVIII AAA EEESSSQQQUUUIII VVVEEELLL...

RRRUUUDDDDDDYYY RRREEENNNAAANNN TTTIII NNNIII NNNIII HHHIII LLLAAARRRIII ÓÓÓNNN...

RRROOOBBBYYY JJJ HHHOOONNNNNNAAATTTAAANNN PPPOOORRRTTTUUUGGGAAALLL ZZZAAAMMMBBBRRRAAANNNAAA...

BBBAAAJJJ OOO LLLAAA RRREEEVVVIII SSSIII ÓÓÓNNN DDDEEE EEELLL III NNNGGG... TTTEEEOOODDDOOORRROOO BBBUUUSSSHHH DDD...

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

ETN 501 INGENIERO TEODORO BUSCHF.Q.G. – E.G.H.

- 1 -

5.- Introducción.-

Este capitulo se discutirá las propiedades de las clases de uniones. Una uniónmuy importante es la unión P N en la que la naturaleza de las adulterantes se altera a travésde una frontera para crear una región que es de tipo p, próxima a una región que es de tipon.

La unión p-n desempeña un importante papel en las aplicaciones de la electronicamoderna, así como en la construcción y aplicación de otros dispositivos semiconductores.Se utiliza por ejemplo en aplicaciones de rectificación, conmutación, etc. y puede utilizarsepara producir efectos no lineales muy fuertes.

Además, es un dispositivo fundamental en la construcción de otros dispositivossemiconductores tales como los transistores de efecto de campo o dispositivos paraaplicación en microondas o fotonicos.

En otra clase importante de uniones intervienen semiconductores y materiales. Estasuniones son importantes porque permiten un flujo de carga suave y fuera de lossemiconductores, digamos desde baterías. Cuando se utilizan para tales propósitos estasuniones metal-semiconductor llamados barrera de Schotky pueden emplearse para controlareléctricamente el área de flujo de una película semiconductora.

5.1.- La unión p-n no polarizada

La unión p-n es una de las de mayor importancia en la electronica de estado solidó.Esta unión se emplea como un dispositivo en aplicaciones como: rectificadores, circuitosformadores de onda, laseres, detectores, etc.

En la figura # 1, mostramos esquemáticamente los semiconductores de tipo p y detipo n sin formar una unión entre ellos. Se han mostrado las porciones de nivel de Fermi,las bandas de conducción y de valencia, y el nivel de energía del vació.

La afinidad electronica x definida como la diferenciación de energía entre la bandade conducción y el nivel de vació, también se ha mostrado junto con la función detrabajo ( ) ósp snφ φ .

5FÍSICA DE LA UNIÓN P-N

CAPITULO



- 2 -

La función de trabajo representa la energía requerida para remover un electróndesde el semiconductor hasta el nivel vació “libre” y es la diferencia entre el nivel de vacióy el nivel de Fermi.

ex

S S S S S S S S

_ _ _ _ _ _ _ _

speφ

vacE

cER R R R R R R R _ _ _ _ _ _ _ _

vacE

cEfnE

vEvEfpE

ex speφ

px nx

S S S S S S SS

R R R RRRRR

S

vacE

vacE

cE

cE

vE

vE

FEFE

Figura # 1



- 3 -

Sabemos que en ausencia de cualquier polarización aplicada no hay corriente en elsistema. También sabemos que en ausencia de cualquier flujo de corriente, el nivel deFermi es uniforme a todo lo largo de la estructura.

Pueden identificar 3 regiones:

i) La región de tipo p en el extremo izquierdo, donde el material es neutro y lasbandas son planas. La densidad de los aceptores balancea exactamente ladensidad de los huecos.

ii) La región de tipo n en el extremo derecho, donde de nuevo cuenta el material esneutro y la densidad de los donadores inmóviles balancea exactamente ladensidad de los electrones libres.

iii) La región de agotamiento donde las bandas están curvadas y hay un campo queha barrido los portadores móviles dejando atrás aceptores negativamentecargados en la región p y donadores positivamente cargados en la región n.

En la región de agotamiento, que se extiende una distancia px en la región p y unadistancia nx en la región n hay un campo eléctrico. Cualesquiera electrones o huecos en laregión de agotamiento son apartados por este campo. Entonces se presenta una corriente dederiva que contrarresta la corriente de difusión que surge debido a la diferencia entre lasdensidades de electrones y huecos a través de la unión.

Existe la corriente de deriva electronica y corriente de difusión electronica, asícomo las corrientes deriva de huecos y de difusión de huecos. Cuando no se tienepolarización aplicada, estas corrientes se cancelan entre si individualmente. La densidad decorriente de huecos es:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ...1p p p

dp xJ x e p x E x D

dxµ

= − =

Deriva Difusión

SSSSSS

SSSSSS

RRRRRRRRRRRR

px nx

Fig. # 2



- 4 -

→ Flujo de partículas de difusión → flujo de corriente de difusiónHuecos

← Flujo de partículas de deriva ← flujo de corriente de deriva

← Flujo de partículas de difusión → flujo de corriente de difusiónElectrones

→ Flujo de partículas de deriva ← flujo de corriente de deriva

( ) ( ) ( ) ( ) ... 2n n n

dn xJ x e n x E x eD

dxµ= − +

( ) ( ) ( ) ( ) ... 3p p

dp xJp x e p x E x eD

dxµ= −

La movilidad pµ es dependiente del campo, la densidad de la corriente de deriva enla región de agotamiento es realmente ( ) ( )s ve p x x e mide pendiente de E, donde sv es lavelocidad saturada. Esto es porque en la región de agotamiento el campo es muy grandeincluso bajo equilibrio. De manera semejante pD no es constante sino depende del campo.

La razón entre yp pDµ esta dado por la relación Einstein.

... 4p

p B

eD K Tµ

=

Para una corriente neta cero:

( ) ( )( )1 ... 5p

p

dp xE x

D p x dxµ

=

El campodVEdx

= − , la relación de Einstein

( ) ( )( )

( )1 ... 6p

p B

dV x dp xeE xD K T dx p x dxµ

= − =



- 5 -

p n

px− nx0x

pP nPpn nn

1CV

pV

nV

e+

peVneV

1CeVp e+

CE

FiE

VE

Sean yp nV V los potenciales en el lado p y en el lado n neutral respectivamente.Entonces el potencial esta constituido en función de yp np p son las densidades de huecosen las regiones neutrales de tipo p y tipo n respectivamente. Entonces:

... 7n n

p p

V p

V pB

e dpdVK T p

− =∫ ∫

Integrando, se obtiene: ( ) ln ln pnn p

B p n

ppe V VK T p p

− − = = −

Fig. # 3



- 6 -

ln ... 8

IC n p

pBIC

n

V V V

pK TVe p

= −

=

Ahora, el potencial interconstruido en función de n pn y n que son las densidadeselectrónicas en las regiones de tipo n y de tipo p, respectivamente. Entonces:

... 9n n

p p

V n

V nB

e dndVK T n

=∫ ∫

Integrando, se obtiene: ( ) ln nn p

B p

ne V VK T n

− =

ln ...10nBIC

p

nK TVe n

=

La ley de acción de masas, define:

2 ...11n n p p in p n p n= =

Combinando las ecuaciones 9 , 10 11y

ln ln

ln ...12

p n n pB BIC

n n p p

n pBIC

i

p n n pK T K TVe p n e n p

n pK TVe n

= =

=

Para un semiconductor de tipo n d aN N>> y i dn N<< ⇒ n dn N; y para unsemiconductor de tipo p, a d i a p aN N n N p N>> ∧ << ⇒ ; . Entonces, el potencialinterconstituido bajo estas condiciones es:



- 7 -

2ln ...13a dBIC

i

N NK TVe n

=

Igualando las expresiones 8 10y

Luego, se obtiene las ecuaciones:

...14

...15

...16

icB

icB

icB

evp K Tn

n p

evK T

p n

evK T

n p

p n ep n

p p e

n n e

= =

= =

= =

En la relación 1CV es el voltaje ínter construido en ausencia de cualquierpolarización externa. Calculemos ahora la anchura de agotamiento para el diodo sin aplicación depolarización.- En la región de agotamiento, la densidad de portadores móviles de electronesy huecos es muy pequeña en comparación con la carga de fondo fija. En la región deagotamiento hay una región de carga negativa (debido a los aceptores) que se extiendedesde la unión hasta el punto px en el lado p y una región de carga positiva (debido a los

donadores) que se extiende desde la unión hasta ( )nx .- La carga total negativa y positivatiene la misma magnitud, de modo que tenemos la igualdad:

...10p a n dAx N Ax N=

Donde A es la sección transversal de la estructura p-n y ya dN N son lasdensidades uniformes de adulteración para los aceptores y donadores. Se resuelve laecuación de Poisón considerando la aproximación de agotamiento.



- 8 -

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

0 ... 10

0 ... 11

0 ... 12

0 ... 13

p

ap

dn

n

d V xx x

dx

d V x eN x xdx

d V x eN x xdx

d V xx x

dx

ε

ε

= − ∞ < < −

= − < <

= − < <

= < < ∞

La primera de estas ecuaciones:

( ) ( ) 1 p

dV xE x c x x

dx= − = − ∞ < < −

1c = es una constante que es cero no hay campo eléctrico en la región neutral. Elpotencial aquí es:

( ) ...14p pV x V x x= − ∞ < < −

Donde, pV se define como el potencial en la región neutral tipo p.

La solución en la región de agotamiento del lado p cargado negativamente es:

( ) ...15dVE xdx

= −

( ) ( ) ( )2

2a a ad V x dV x dE xeN eN eNd

dx dx dx dxε ε ε +

= ⇒ = ⇒ − =

( ) ( ) 2 0a ap

eN eNdE x dx E x x c x xε ε

= − ⇒ = − + − < <∫ ∫

Para ( ) ( )2 2 0 0 a p a p

p

eN x eN xx x E x c c

ε ε

−= − ⇒ = ⇒ = − + ⇒ = −

( ) 0 ...16a pap

eN xeN xE x x xε ε

= − − − < <



- 9 -

El campo eléctrico alcanza un valor pico en x=0. Entonces el potencial:

( ) ( )

( )

( ) 232

a pa

a pa

a pa

eN xdV x eN xE xdx

eN xeNdV x dx

eN xeNV x x x c

ε ε

ε ε

ε ε

= − = − −

= +

= + +

∫ ∫

Para ( )p pV x V− = . Luego el potencial es px x= − .

( )

( )

2 2 23 3

22

2 2

; 0 ...172 2

a pa ap p p p p p

a p a pap p

eN xeN eNV x V x x c c x V

eN x x eN xeN xV x V x x

ε ε ε

ε ε ε

− = = − + ⇒ = +

= + + + − < <

Para el lado n de la región de agotamiento y el lado n de la región neutral obtenemos

( )2

2 0dn

d V x eN x xdx ε

= − < <

( ) ( ) ( )

( ) 2

d d d

d

dV x dE xeN eN eNd dE x dxdx dx dx

eNE x x c

ε ε ε

ε

= − ⇒ − = − ⇒ =

= +

∫ ∫

Para ( ) 2 2 0 0 a n d nn

eN x eN xx x E x c cε ε

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = −

( )

( ) ( )

0

...18

d d nn

n

eN x eN xE x x x

dV x eNdxeNdxE xdx

ε ε

ε ε

= − < <

= − = −



- 10 -

( )

( ) 232

d d n

d d n

eN eN xdV x xdx dx

eN eN xV x x x c

ε ε

ε ε

= − +

= − + +

∫ ∫ ∫

Para nx x= , el potencial es

( )

( )

2 2 23 3

2 2

2 2

0 ...192 2

d d n dn n n n n n n

d d n ap n n

eN eN x eNV V x V x x c c x V

eN eN x eNV x x x x V x x

ε ε ε

ε ε ε

= ⇒ = − + + ⇒ = − +

= − + − + < <

La diferencia de potencial entre los puntos 0px y− es:

( ) ( )2 2

0 ... 202 2a p a p

p p n

N x N xV V x e V V e

ε ε− − = + − =

Donde

( ) ( )2

02

a pp p p

eN xV V y V x V

ε= + − =

La diferencia de potencial entre los puntos 0nx y

( ) ( )2 2

0 ... 212 2d n d n

n neN x eN xV x V V V

ε ε

− = − − + =

Donde

( ) ( )2

02

d nn n n

eN xV V y V x Vε

= − + =

Luego

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 0 ... 222 2

a p d nIC p n m p

eN x eN xV V V x V x V V x V xε ε

= − − + − = − − = +

La neutralidad de la carga es:



- 11 -

... 23ad n a p n p

d

NN x N x x xN

= ⇒ =

dIC

e NV =

2 2

22a p

d

N xNε

2 2 2 2

2 2

2 2 2

12 2

2 ... 24

a p a p a p

d

a a a d aIC p p

d d

IC dp

a d a

eN x eN x eN xN

eN N eN N NV x xN N

V NxeN N N

ε ε ε

ε ε

ε

+ = +

+= + =

= +

22 IC da IC dn

d a d a

V NN V NxN eN N N

εε = = +

2aN

ae N 2dN ( )d aN N+

( )2 ... 25IC a

nd a d

V NxeN N N

ε=

+

El ancho de la zona de agotamiento n px x x= +

( )

2 2 2

2

2

22 2

n n p p

IC aIC a

d a d

x x x x x

V NV NxeN N N

εε

= + +

= ++ de N ( )

2 IC

a d a

VN N e N

ε+

dN

( ) ( )2

2

2 4 2

IC d

d a a d a

IC a IC IC d

d a d a d a d a

V NN N eN N N

V N V V NxeN N N e N N eN N N

ε

ε ε ε

++ +

= + ++ + +



- 12 -

( ) ( )

( )

2 22

22

2 2 22

2

IC a d IC a a d d

a d d a a d d a

IC a d

V N N V N N N Nxe N N N N e N N N N

V N Nx

ε ε

ε

+ += + + = + +

+=

( )d a a deN N N N+

( )

( )

2

2... 26

IC a d

d a

IC a d

a d

V N NeN N

V N Nx

eN N

ε

ε

+=

+=

Con los resultados obtenidos, podemos esbozar las siguientes conclusionesimportantes a cerca del diodo:

i) El campo eléctrico en la región de agotamiento tiene un valor máximo en launión y disminuye linealmente hacia los bordes de la región de agotamiento.

ii) La caída de potencial en la región de agotamiento tiene la forma cuadrática.



- 13 -

SSSSSS

SSSSSS

RRRRRRRRRRRR

px−

nx

ρp A n Bx N x N=

px− nx

ε

máxε

La figura # 4, muestra los perfiles de la densidad de carga y del campo eléctrico. Elcampo eléctrico no es uniforme en la región de agotamiento y alcanza un valor máximo enla con un valor pico.

a pd nn

eN xeN xε

ε ε= − = −

La región de agotamiento en los lados p y n pueden ser bastante diferente. Sia d p nN N x x>> ⇒ >> . De esta forma habrá un campo muy fuerte sobre la región muy

estrecha en el lado fuertemente adulterado de la unión.

Fig. # 4



- 11 -

5.2. La unión p - n polarizada: diodo de unión

La unión p - n esta sometida a una diferencia de potencial externa supuestaconstante aparece un nuevo comportamiento. Se consideran según la tensión externaaplicada sea en sentido directo o inverso. En presencia del campo externo aplicado,entonces el balance entre las corrientes de deriva y difusión ya no existirá, y se presentaráun flujo de corriente neta.

Se pueden apreciar los siguientes aspectos de la polarización:

o La estructura de diodo puede describirse mediante p y n, cuasi-neutrales y unaregión de agotamiento. Con polarización directa, la carga minoritaria se inyectadentro de las regiones cuasi-neutrales. Sin embargo, se supone que la densidadinyectada es bastante pequeña en comparación con la densidad mayoritaria.

o En la región de agotamiento, las distribuciones de electrones y huecos sedescriben esencialmente por medio de una distribución de Boltzman y el conceptode un cuasi-nivel de Fermi es válido para electrones y huecos.

o En la región de agotamiento la densidad de portadores móviles es baja, y por lotanto, el potencial externo decae principalmente a través de esta región.

5.2.1. Polarización directa.-

En este caso, la región p se somete aún potencial positivo respecto de la región n0fV > .El efecto es que el potencial electrostático de contacto en la unión decrece en dicha

cantidad fV , es decir,

... 27TOT ic fV V V= −

Además, se deduce la región espacial de carga, cuya anchura depende de ladiferencia de potencial a la ésta sometida la unión Fig. # 5. Los niveles energéticos en elsemiconductor del tipo n se desplazan hacia arriba en la cantidad feV , que es la mismadiferencia que existe entre los niveles de Fermi de los semiconductores del tipo n y p alexistir una diferencia de potencial entre ellos de fV .

La reducción de la barrera de potencial cuando la polarización es directa hace que lacorriente de difusión predomina sobre la corriente de arrastre. Esto permite que losportadores mayoritarios atraviese la unión, convirtiéndose entonces en minoritarias y dandolugar a una corriente mensurable. Por tanto se inyecta los portadores minoritarias, es decir,de electrones en la zona p y huecos en la región n.



- 12 -

5.2.2. En este caso, la región n tiene una tensión positiva aplicada 0rV > con los respectode la p. Entonces, el potencial electrostático se ve aumentado en la cantidad rV , es decir:

... 28TOT ic rV V V= +

Aumenta la anchura de la región espacial de carga fig. # 6. El consiguiente aumentodel campo eléctrico en la región espacial de carga hace que la corriente de difusión sereduzca, resultando únicamente una pequeña corriente inversa de arrastre.

p n

fV

IC fV V−

( )IC fe V V−

feVFPE

CE

FnE

VE

p n

rV

IC rV V−

( )IC re V V−

CEreVFPE

FnE

VEFig. # 5

Fig. # 6

El potencial total a través de semiconductor debe ser igual a la diferencia entre elpotencial ínter construido y el voltaje aplicado, la cual proporciona una segunda relaciónentre p nx y x nominalmente:

22

... 292 2

d pd nic f

s s

eN xeN xV Vε ε

− = +



- 13 -

El ancho de la zona de agotamiento en función de p nx y x esta dado por:

2 ... 30s d aic f

a d

N Nx V Ve N Nε +

= −

Luego, el ancho individual del lado p y el lado n de la zona de agotamiento:

( )2 ... 31( )

a ic fsn

d a d

N V Vx

e N N Nε −

=+

( )2 ... 32( )

p ic fsp

a a d

N V Vx

e N N Nε −

=+

5.2.3. Inyección carga y flujo de corriente.

La presencia de polarización incrementa o decremento el campo eléctrico de laregión de agotamiento. Sin embargo, bajo la polarización externa moderada, el campoeléctrico en la región de agotamiento es siempre mayor que el campo para saturación de

velocidad de portador 10 KVm

ε ≥

De esta forma el cambio en el campo eléctrico no altera la parte de deriva de lacorriente de electrones o huecos en la región de agotamiento. Sin considerar lapolarización, los electrones o huecos se llegan a la región de agotamiento son barridos ycontribuyen a la misma corriente independiente del campo. La situación es bastantediferente para la corriente de difusión. Ya que la corriente de difusión depende delgradiente de la densidad del portador. Como el perfil de potencial se altera en gran medidapor la polarización aplicada, el perfil del portador cambia de acuerdo con esto, y afecta engran medida a la corriente de difusión. La densidad del portador móvil a través de la regiónde agotamiento.

... 33ic Bp eV k T

n

pe

p=

En presencia de la polarización aplicada, bajo la suposiciones de cuasi-equilibrio.

( )( ) ... 34

( )ic Bp e V V k T

n

p xe

p x−−

=



- 14 -

Supongamos que la inyección de portadores móviles es pequeña (inyección de bajonivel) de modo que las densidades de portador mayoritario están esencialmente sin cambiodebido a la inyección, es decir ( )p pp x p− = , (dador que V tiene un valor positivo parapolarización directa y un valor negativo para polarización inversa).

( )n pp x p

( )pp x−( )

( ) = ... 35ic B

nB B

ic B

eV k TxeV k T eV k T

e V V k Tnn

pe e ee pp −= ⇒ =

Dado ( )p pp x p− = . Esta ecuación sugiere que la densidad del portador minoritariode huecos en el borde de agotamiento del lado n, puede ser drásticamente incrementada sise aplica una polarización directa. Por el contrario, en la polarización inversa, estainyección se deduce también de manera drástica.

Este es solo una consecuencia de la distribución de huecos descrita por unadistribución de Boltzman. Solamente aquellos huecos del lado p que han superado labarrera de potencial ICV V− pueden ser inyectados en el lado n. En la polarización directa,esta barrera disminuye de modo que se puede inyectar más cambia a través de barrera. Enel caso de polarización inversa la barrera se incrementa de manera que menos carga puedeser inyectada.

V

E

FnEFPE

p

n

ICV V−

pp

pn



- 15 -

La densidad del portador móvil ... 36ic BeV k Tn

p

n en

=

( )( ) ( ); ( )

( ) ( )ic Bp e V V k Tn

n np p

n

n x n x e x x nn x n x

n

−= = =− −

( )p

n

nn x ( )

( )= ... 37

( )

ic BB

ic B

eV k Tp eV k T

e V V k Tp

n

n xe ee n

n x

−

−= ⇒

−

Los portadores en exceso inyectados a través de las regiones de agotamiento son:

( )

( 1) ... 38

B

B

eV k Tn n n n n

eV k Tn n

p p x p p e p

p p e

∆ = − = −

∆ = −

( )

( 1) ... 39

B

B

eV k Tp n p p p

eV k Tp p

n n x n n e n

n n e

∆ = − = −

∆ = −

Sabemos que los portadores minoritarios en exceso que se introducen decaerán en laregión mayoritaria debido a la recombinación con los portadores minoritarios. Eldecaimiento esta dado simplemente por las longitudes de difusión apropiada ( pl parahuecos; nl para electrones). Así, las densidades de portador de los portadores minoritariosfuera de la región de agotamiento son:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( 1) ... 40

( )

( ) ( 1) ( ) ... 41( )

n p

n pB

p n

p nB

x x ln

x x leV k Tn n

x x lp

px x leV k T

p

p

p x p e

p x p e e x x

n x n e

x x

n x n e e x esx es

− −

− −

+

+

∂ = ∆

∂ = − ⇒ >

∂ = ∆

< −

∂ = − − +



- 16 -

La corriente en el diodo como una función de la polarización aplicada. Donde lacorriente de deriva no es afectada por la polarización, debido a la suposición de que elcampo eléctrico en la región de agotamiento es siempre mayor que el campo al cual lavelocidad se satura para los electrones y los huecos. De esta forma, para la corriente netasólo necesitamos considerar los electrones y huecos en exceso inyectados en el lado p y enel lado n.

La corriente de difusión debida a los huecos en el material tipo n es:

[ ] ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )n

( ) ( ) 1

( ) 1

( ) 1 ( )

( ) 1 ( ) x>x ... 42

n pB

n pB

n pB

n pB

x x leV K Tp p p n

x x leV K Tp p n

x x leV K Tp p n n p

x x lp peV K Tp n

p p

d dI x eAD p x eAD p e edx dx

dI x eAD p e edx

dI x eAD p e e x x ldx

D ADI x eA p e e e p x

l l

δ

δ

− −

− −

− −

− −

= − = − −

= − −

= − − − −

= − =

La corriente de huecos inyectados en el lado n la proporcional a la densidad dehuecos en exceso para un punto particular. La corriente total de huecos inyectados en ellado n esta dada por la corriente en nx x= ( ( ))p nn xδ = .

( )( ) 1 ... 43Bp eV K Tp n n

p

ADI x e p e

l= −

Luego la corriente total de electrones inyectada en la región del lado p esta dadopor:

[ ] ( )

( )

( ) [ ]

( )

( )

( )

( ) ( ) 1

( ) 1

( ) 1 ( )

p nB

p nB

p nB

x x leV K Tn n n p

x x leV K Tn n p

x x leV K Tn n p n n

d dI x eAD n x eAD n e edx dx

dI x eAD n e edx

dI x eAD n e e x x ldx

δ +

+

+

= = −

= −

= − +



- 17 -

( )

( )

( )( ) 1

( ) 1 ... 44

p nB

B

x x leV K Tnn p

n

p

eV K Tnn p p

n

DI x eA n e el

para x x

DI x eA n el

+= −

= −

− = −

Idealmente que el diodo ideal no hay recombinación de las corrientes inyectados deelectrones y huecos en la región de agotamiento.

De este modo la corriente total puede ser obtenida simplemente mediante la adiciónde la corriente de huecos inyectados a través de nx y la corriente de electrones inyectada através de px− . La corriente del diodo es:

( ) ( )

( ) ( )0

( ) ( ) ( ) 1 1

( ) 1 1 ... 45

B B

B B

p eV K T eV K Tnp n n p n p

p n

p eV K T eV K Tnn p

p n

D DI v I x I x eA p e eA n el l

D DI v eA p n e I el l

= + − = − + −

= + − = −

Esta ecuación, del diodo, nos proporciona la corriente a través de una unión p-nbajo polarización directa ( 0)V > y la polarización inversa ( 0)V < , la corrientesimplemente tiende hacia el valor 0I− donde:

0 ... 46p nn p

p n

D DI eA p nl l

= +

Bajo polarización directa, la corriente incrementa exponencialmente con lapolarización directa aplicada. Esta fuente asimétrica en la corriente de diodo es lo que haceal diodo p-n atractivo para muchas aplicaciones.

5.2.4. Corrientes minoritarias y meditarías.

En los cálculos de la corriente de diodo se ha calculado simplemente la corrientedifusión de portador minoritario en exceso. Ésta corriente se ha evaluado a su valor pico enlos bordes de la región de agotamiento.



- 18 -

Sin embargo, la corriente de difusión decrece rápidamente en la regiónmayoritaria a consecuencia de la recombinación. A medida que los huecos se recombinancon electrones en la región n, un número idéntico de electrones son inyectados en la región.

Estos electrones proporcionan una corriente de deriva en el lado n para balancearexactamente la corriente de huecos que se pierde a través de la recombinación.

La corriente de deriva de portador minoritario es despreciable a consecuencia dela baja relativa de densidad de portador y al campo eléctrico muy pequeño en la regiónneutral.

Consideremos la corriente difusión de huecos en la región de tipo n.

( )

( )

( )n

( )p

( ) 1 ; x>x ... 42

( ) º 1 ; x>-x ... 47

n p B

p n B

x x lp eV K Tp n

p

x x l eV K Tnn p

n

DI x eA p e e

l

DI x eA n e el

− −

+

= −

= −

Luego, la corriente total del diodo es:

( )1 ... 45Bp eV K Tnn p

p n

D DI eA p n el l

= + −

Ahora, la corriente de diodo de electrones en la región es:

( ) ( )( )

( ) ( ) ; ... 48

( ) 1 1 ... 49n p B

n p n

x x lp eV K Tnn n p

p n

I x I I x x x

D DI x eA e p n el l

− −

= − >

= − + −

Implica que a medida que la corriente de huecos desde nx en el lado n, lacorriente de electrones se incrementa de manera correspondiente para mantener unacorriente constante.

Sucede, lo mismo en la región de lado p. A medida que la corriente de inyecciónde electrones decae, la corriente de huecos lo compensa.



- 19 -

Corrientes minoritarios y mayoritarios

Corriente total

Cargaminoritaria

de equilibrio

Corriente de huecos(minoritaria)

Corriente de electronesminoritarios

Corriente de huecos

p pn n+ ∆

p n

nxpx−

pn np

n np p+ ∆

( ) ( ) pn x n x nδ = −

( )n x

( ) ( ) np x p x pδ = −

( )p x

p nfV

I0I V

ICorriente de polarización directa

dominada por la inyección deportador minoritaria

Corriente inversa debidaa la corriente de deriva

en la región deagotamiento Símbolo del diodo

Corrientede electrones



- 20 -

5.2.5. Capacidad de transición de la unión polarizada.

Existe un parámetro de tipo capacitivo que se obtiene considerando cuál es lavariación de la carga en la región espacial de cargar por unidad de superficie cuando serealiza un incremento de potencial en la unión p-n.

Este parámetro recibe el nombre de capacidad de la región espacial de carga ocapacidad de transición, JC bajo polarización inversa. Es decir, la capacitancia del diodosurge de dos regiones de carga:

i) La capacitancia de la unión surge de la región de agotamiento, donde hay un dipolode carga fija positiva y negativa.

ii) La capacitancia es debida a la región externa a la región de agotamiento, donde lainyección de portador minoritario ha introducido cargas. Bajo condiciones depolarización inversa, prácticamente no hay portadores inyectados y domina lacapacitancia de la unión. La capacitancia de difusión debida a portadores inyectadosdomina bajo condiciones de polarización directa. La capacitancia de transición ojuntura por unidad de área está dada por:

... 50sj

s

dQ dQ dQC dQdV xdE xx

ε

ε

= = = =

El cambio de la distribución de carga dQ provoca un incremento en el campoeléctrico.

... 51s

dQdEε

=

El correspondiente cambio en la tensión aplicada dV es:

... 52s

dQdV xdE xε

= =

Donde ε es la constante te permitividad del semiconductor. La anchura deagotamiento de la unión con ICV V− es:

( )122

... 53ic a d

a d

V V N Nxe N N

ε − +=



- 21 -

La carga de la región de agotamiento es:

n d p aQ eAx N eAx N= =

Además, se ha deducido que: n px x x= +

( )12

;

2 ... 54

a dn p

a d a d

a d a dic

a d a d

N x N xx xN N N N

N N x N NQ eA A e V VN N N N

ε

= =+ +

= = − + +

Luego, la capacitancia de la unión es por lo tanto:

( )( )

122 ... 55

2a d

jic a d

e N NdQ A ACdV V V N N x

ε ε = = =

− +

La capacitancia es dependiente del voltaje aplicado. Para el diodo polarizado enforma directa, la densidad de carga inyectada es bastante grande y puede dominar lacapacitancia.

La carga del hueco inyectada es2( )p p pD Lζ =

... 56BeV K Tp p p nQ I eAL p eζ= =

La capacitancia correspondiente es:

2

... 57Bp p n peV K Tdiff

B B

dQ e Al p eIC e

dV K T K Tζ

= = =

Para respuesta de corriente alterna de pequeña señal, se puede definir laconductancia de c.a. del diodo como:

s( ) ... 58B

dI eI vGdV K T

= =

De la definición de la función ( )I V . A temperatura ambiente la conductancia es( Sr es la resistencia del diodo)

( ) ... 5925.86( )s

s

I I mAGr

= =Ω



- 22 -

Entonces, el circuito equivalente del diodo se compone de la resistencia del diodo1

S Sr G −= , la capacitancia de la unión en la capacitancia de difusión. En la condición depolarización directa, la capacitancia de difusión dominará y obtenemos la relación siguienteentre la corriente de Si y la señal del voltaje Sv .

... 60ss s diff

dvi Gv Cdt

= +

I

V

SL

0IacV

S

Imr

=SR

diffCJCsrpC

Donde la resistencia SR es la resistencia de serie de las regiones neutrales n y p, yla capacitancia pC es la capacitancia asociada al encapsulado del diodo.

La capacitancia de difusión esta en función de la carga minoritaria total inyectadaa través de la unión. En una respuesta de señal pequeña, no toda la carga minoritaria esmodulada a través de la unión. Algo de la carga simplemente se le combina en la regiónneutral. De este modo, la capacitancia de difusión real de la descripción señal pequeña es:

... 61diff pB

eICK T

κ ζ=

Donde k es un factor que es 12

para diodos de base grande y 23

para dispositivos

de base estrecha.

Para polarización inversa la capacitancia de difusión es despreciable.

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