Fisica de semiconductores

Captulo I: Fundamentos de Semiconductores

Instituto Tecnolgico de Lzaro Crdenas. Academia de Ingeniera Elctrica y Electrnica 1


1.1. El estado cristalino, redes cristalinas y crecimiento de

cristales en semiconductores

Desarrollo de los dispositivos semiconductores

Muchas tecnologas importantes de semiconductores han sido desarrolladas a

partir de procesos inventados algunas centurias atrs. Por ejemplo, el

proceso de litografa fue inventado en 1798; en este primer proceso, el

patrn, o imagen era grabado en piedra y transferido o impreso desde esta

placa a la superficie donde se deseba reproducir. En esta seccin,

consideraremos algunas tecnologas que fueron aplicadas en un principio en

el proceso de fabricacin de dispositivos semiconductores

Algunas tecnologas de semiconductores son listadas en la tabla 1 en orden

cronolgico.

En 1918, Czochralski desarroll una tcnica de crecimiento de monocristales

lquido-slido. El proceso de crecimiento de cristales de Czochralski es el ms

usado para la produccin de obleas de silicio (Si). Otra tcnica de

crecimiento fue desarrollada por Bridgman en 1925. La tcnica Bridgman ha

sido usada ampliamente para la obtencin del arseniuro de galio (GaAs) y



compuestos cristalinos semiconductores. Sin embargo las propiedades del

semiconductor de silicio (Si) han sido ampliamente estudiadas desde 1940,

mientras que el estudio de los semiconductores compuestos ha sido mucho

despus. En 1952 Welker not que el GaAs y los compuestos relativos a las

columnas III-V de la tabla peridica de los elementos qumicos son

semiconductores. l predijo sus caractersticas y posteriormente las prob.

Desde entonces la tecnologa y dispositivos de los cristales semiconductores

compuestos han sido activamente estudiados.

La difusin de tomos de impureza en un semiconductor es importante en la

fabricacin de dispositivos. La teora bsica del proceso de difusin fue

considerada por Fick en 1855. La idea de usar tcnicas de difusin para

alterar el tipo de conductividad del silicio (Si) fue establecido y patentado por

Pfann, en 1952. En 1957, el antiguo proceso de litografa fue aplicado en la

fabricacin de dispositivos semiconductores por Andrus. l us polmeros

fotosensibles resistivos (fotorresistencias) para transferir patrones. La

litografa es la base tecnolgica para la industria de los semiconductores. El

crecimiento continuo de la industria ha sido resultado directo de la

implementacin de tcnicas litogrficas. La litografa es tambin un

importante factor econmico, ya que generalmente representa sobre el 35%

del costo de manufactura de un circuito integrado.

Tabla 1: Tecnologas clave de los semiconductores

Ao Tecnologa Autor(es)/inventor(es)

1918 Crecimiento de cristales de Czochralski Czochralski

1925 Crecimiento de cristales de Bridgman Bridgman

1952 Compuestos III-V Welker

1952 Difusin Pfann

1957 Foto resistencia litogrfica Andrus



1957 Mscara de xido Frosch y Derrick

1957 Crecimiento epitaxial CVD Sheftal, Kokorish y Krasilov

1958 Implantacin de iones Shockley

1959 Circuitos integrados hbridos Kilby

1959 Circuitos integrados monolticos Noyce

1960 Proceso planar Hoerni

1963 CMOS Wanlass y Sah

1967 DRAM Denard

1969 Compuerta autoalineada de polisilicio Kerwin, Klein y Sarace

1969 MOCVD Manasevit y Simpson

1971 Gravado en seco Irving, Lemon y Bobos

1971 Crecimiento epitaxial con haz molecular Cho

1971 Microprocesador 4004 Hoff y otros

1982 Barrera aislante Rung, Momose y Nagakubo

1989 Pulido qumico y mecnico Davari y otros

1993 Interconectado de cobre Paraszczak y otros

El mtodo de la mscara de xido fue desarrollado por Frosch y Derrick en

1957. Ellos encontraron que una capa de xido evita la difusin de tomos

de impureza a travs de ella. En el mismo ao, el proceso de crecimiento

epitaxial basado en una tcnica qumica de deposicin de impurezas

vaporizadas fue desarrollado por Sheftal. Epitaxi viene de las palabras

griegas epi, que significa sobre, y taxis que significa arreglo, y describe una

tcnica de crecimiento de un cristal formando una delgada capa de material

semiconductor sobre la superficie de un cristal adquiriendo una estructura

reticular idntica a la del cristal base. Este mtodo es importante para la

implementacin de nuevos dispositivos.

En 1958, Shockley propuso el mtodo de implantacin de iones para dopar

los semiconductores. La implantacin de iones tiene la capacidad de



controlar con precisin el nmero de tomos de impurezas dopantes. La

difusin y la implantacin de iones pueden complementarse una a la otra en

la impurificacin de semiconductores. Por ejemplo, el proceso de difusin

puede ser usado a altas temperaturas en procesos de fabricacin de uniones

profundas, mientras que la implantacin de iones puede ser usado a bajas

temperaturas en procesos de fabricacin de uniones poco profundas

En 1959, un circuito integrado (CI) rudimentario fue hecho por Kilby. ste

contena un transistor bipolar, tres resistores, y un capacitor, todo hecho de

germanio (Ge) y conectado con alambre laminado un circuito hbrido.

Tambin en1959, Noyce propuso el CI monoltico fabricando todos los

dispositivos en un solo sustrato semiconductor (monoltico significa una sola

piedra) y conectando los dispositivos con metalizado de aluminio. La Fig 1

muestra el primer CI monoltico de un circuito flip-flop que consta de seis

dispositivos. Las lneas de interconexin de aluminio fueron hechas con una

capa de aluminio previamente evaporado y gravada sobre las superficies de

xido usando las tcnicas de litografa. Este invento puso los fundamentos

para el rpido desarrollo de la industria de la microelectrnica

El proceso planar fue desarrollado por Hoerni en 1960. En este proceso,

una capa de xido es formada sobre la superficie del semiconductor base o

sustrato. Con la ayuda del proceso litogrfico, porciones de xido pueden ser

removidas y cortada en ventanas predeterminadas en l. Los tomos de

impureza se difundirn solamente sobre las superficies del semiconductor

expuestas libres de xido, dando como resultado una unin p-n.

Como la complejidad de los CIs se increment, tenemos que movernos de la

tecnologa NMOS (MOSFET canal n) a la CMOS (MOSFET complementario), lo



cual implica a ambos NMOS y PMOS (MOSFET canal p) para formar

elementos lgicos.

Fig. 1 Primer circuito integrado monoltico. (Fotografa cortesa del Dr. G. Moore)

El concepto CMOS fue propuesto por Wanlass y Sah en 1963. Las ventajas

de la tecnologa CMOS es que los elementos lgicos consumen corriente

significativa slo durante la transicin de un estado a otro (por ejemplo de 0

a 1) y jala poca corriente entre transiciones (cuando se mantiene en 0 o 1),

por lo que el consumo de potencia es mnima. La tecnologa CMOS es la

tecnologa dominante para CIs avanzados. En 1967, un importante circuito

de dos elementos fue inventado por Dennard, la memoria dinmica de

acceso aleatorio (DRAM). Una celda de memoria contiene un MOSFET y un

capacitor que almacena carga. El MOSFET sirve como un interruptor para



cargar o descargar el capacitor. Sin embargo la DRAM es voltil y consume

relativamente alta potencia.

Para mejorar el desempeo de los dispositivos fue propuesto el proceso de

autoalineado de compuerta en el polisilicio por Kerwin y otros en 1969. Este

proceso no solamente mejora la confiabilidad del dispositivo, sino que

tambin reduce las capacitancias parsitas. Tambin en 1969, el mtodo de

la deposicin de vapor qumico metalorgnico (MOCVD) fue desarrollado por

Manasevit y Simpson. Esta es una tcnica de crecimiento epitaxial de

cristales muy importante para semiconductores compuestos tales como el

GaAs.

Conforme las dimensiones de los dispositivos se fueron reduciendo, la tcnica

del gravado en seco se fue desarrollando para remplazar la tcnica de

gravado qumico mojado y ser aplicados en patrones de transferencia de

alta fidelidad. Esta tcnica fue iniciada por Irving y otros en 1971 usando una

mezcla de gas de CF4-O2 para gravar obleas de silicio. Otra tcnica

importante desarrollada en este mismo ao fue la del haz molecular para

crecimiento epitaxial hecha por Cho. Esta tcnica tiene la ventaja de tener un

control vertical casi perfecto en los compuestos y en la aplicacin de

impurezas en dimensiones atmicas. Es la tcnica responsable de la creacin

de numerosos dispositivos fotnicos y de efecto cuntico.

En 1971, el primer microprocesador fue fabricado por Hoff y otros. Ellos

pusieron toda la unidad central de proceso (CPU) de una computadora simple

en un chip o trozo de material semiconductor. Este fue un microprocesador

de cuatro bits (Intel 4004), mostrado en la Fig. 2 en un trozo de 3 mm x 4

mm que contiene 2300 MOSFETs. Este fue fabricado en canal p usando un

proceso



de compuerta en polisilicio y dimensiones de 8 m de precisin. Este

microprocesador le produjo alrededor de $300,000.00 dlares en

computadoras

Fig. 2 El primer microprocesador. (Fotografa cortesa de Intel Corp.)

a la IBM a principio de los aos 60s. Este fue el mayor impacto para la

industria de los semiconductores. Actualmente los microprocesadores

constituyen uno de los ms grandes segmentos de la industria.

Desde principios de los aos 80s muchas nuevas tecnologas se han estado

desarrollando para satisfacer los requerimientos de miniaturizacin de los

dispositivos. Consideraremos tres tecnologas importantes: la de aislamiento



por canalizacin, pulido qumico-mecnico, e interconexin de cobre. La

tecnologa de de aislamiento por canalizacin fue introducida por Rung y

otros en 1982 para aislar dispositivos CMOS. Esta aplicacin reemplaza

eventualmente todos los otros mtodos de aislamiento. En 1989, el mtodo

de pulido qumico-mecnico fue desarrollado por Davari y otros para obtener

una planarizacin global de los dielctricos entre capa y capa. Este es un

proceso clave para la metalizacin de multinivel. A dimensiones de

submicrones sucede el mecanismo de falla conocido como electromigracin,

el cual es el transporte de iones metlicos a travs de un conductor al paso

de una corriente elctrica. El aluminio ha sido usado desde el comiezo de los

aos 60s como el material de interconexin a pesar de que sufre

electromigracin a altas corrientes elctricas. La interconexin con cobre fue

introducida en 1993 por Paraszczak y otros, para reemplazar el aluminio y

aprovechar mejor el espacio con longitudes de hasta 100 nm

Tcnica bsica de crecimiento de cristales

Consideraremos cmo crece un cristal semiconductor, especficamente el

cristal de silicio debido a que el 95% de los materiales usados por la

industria electrnica es el silicio.

El material de partida para la obtencin de silicio es la cuarzita que es una

arena relativamente pura (SiO2). sta se mezcla con varias formas de carbn

lo cual permite que se pueda obtener silicio con un 98% de pureza:

SiC + SiO2 Si (slido) + SiO (gas) + CO (gas) (1)

El producto de silicio obtenido se hace reaccionar con cido clorhdrico

formando el triclorosilicato,

Si (slido) + 3 HCl (gas) SiHCl3 (gas) + H2 (gas) (2)



el triclorosilicato es descompuesto usando una corriente elctrica dentro de

un ambiente controlado, produciendo silicio policristalino ultrapuro (es decir,

material de silicio que contiene diversas estructuras cristalinas con

diferentes tamaos y con orientacin diferente una de la otra).

SiHCl3 + H2 (gas) Si (slido) + 3 HCl (gas) (3)

El silicio policristalino est listo ahora para el proceso de crecimiento de

cristal.

El mtodo de crecimiento de cristal ms comn es la tcnica de Czochralski.

Fig. 3 Dibujo esquemtico simplificado del jalador de Czochralski. En sentido de las manecillas del reloj (CW), en

sentido contrario de las manecillas del reloj (CCW).



La Fig. 3 muestra un dibujo esquemtico del jalador de cristal de Czochralski.

El crisol contiene el silicio policristalino el cual es calentado, ya sea por

induccin de radio frecuencia o por el mtodo de una resistencia trmica,

hasta llegar al punto de fusin del silicio (1412 C) el crisol rota durante el

crecimiento para prevenir la formacin de calor local o regiones fras, para

una mejor distribucin de la temperatura.

La atmsfera alrededor del aparato para hacer crecer el cristal o jalador de

cristal es controlada para prevenir la contaminacin del silicio fundido. El

argn es el gas a menudo usado para tener un ambiente adecuado. Cuando

la temperatura del silicio se ha estabilizado, un pedazo de silicio con una

orientacin deseada (por ejemplo, ), el cual es llamado cristal semilla,

es bajado por medio de la flecha porta semilla hasta el silicio fundido lo cual

es el punto de partida para el subsecuente crecimiento hasta obtener un

cristal mucho ms grande. Como la parte baja del cristal semilla empieza a

fundirse en el silicio fundido, el movimiento hacia abajo del bastn o flecha

cargadora se invierte hacia arriba. Como el cristal semilla es lentamente

jalado desde la fundicin, el silicio fundido adherido al cristal ms fro o

solidificado toma la estructura cristalina del cristal semilla, que le sirve de

patrn o plantilla. El cristal semilla es, por lo tanto, usado para iniciar el

crecimiento del lingote de silicio monocristalino con la orientacin correcta

del cristal. La flecha cargadora contina su movimiento hacia arriba

formando un cristal regular ms grande. El crecimiento del cristal termina

hasta que el silicio del crisol es totalmente vaciado. Por medio de un

cuidadoso control de la temperatura del crisol y la velocidad de rotacin del

crisol y de la flecha cargadora, el dimetro del lingote puede ser controlado

y mantenido con precisin



1.2. Materiales semiconductores

Los materiales de estado slido pueden ser agrupados en tres clases

aislantes, semiconductores, y conductores. La Fig. 4 muestra los rangos de

conductividad elctrica (y la correspondiente resistividad =) asociada

con algunos de los materiales ms importantes de cada una de las tres

clases. Aislantes tales como cuarzo fundido y el vidrio tienen muy bajas

conductividades del orden de 10-18-10-8 S/cm; y conductores tales como el

aluminio y plata tienen muy altas conductividades, tpicamente de 104 a 106

S/cm. Los semiconductores tienen

Fig. 4 Rangos tpicos de conductividades para aislantes, semiconductores, y conductores.

conductividades entre los aislantes y los conductores. La conductividad de un

semiconductor es generalmente sensible a la temperatura, iluminacin,

campo magntico, y a la cantidad de tomos de impureza con que haya sido

impurificado (tpicamente, alrededor de 1 g a 1 g de tomos de impurezas

en 1 kg de material semiconductor). Esta sensibilidad en conductividad hace



de los semiconductores uno de los materiales ms importantes para

aplicaciones electrnicas.

El estudio de los materiales semiconductores empez en los aos de 1900. Al

paso de los aos una gran cantidad de semiconductores han sido

investigados. La tabla 2 muestra una porcin de la tabla peridica de los

elementos qumicos relativa a los semiconductores. Los elementos

semiconductores que estn compuestos de una sola especie de tomos, tales

como el silicio (Si) y el germanio (Ge), pueden ser encontrados en la

columna IV. A principios de los aos 50s, el germanio fue el material

semiconductor ms usado. Desde principio de los aos 60s el silicio sustituy

prcticamente el germanio como material para la fabricacin de

semiconductores. La razn principal por la que ahora se usa silicio es que los

dispositivos de silicio exhiben mejores propiedades a temperatura ambiente,

y de que el dixido de silicio de alta calidad puede ser crecido trmicamente.

Hay tambin consideraciones econmicas. Los dispositivos

Tabla 2 Porcin de la Tabla Peridica Relativa a los

Semiconductores

Perido Columna II III IV V VI

2 B C N O

Boro Carbono Nitrgeno Oxgeno

3 Mg Al Si P S

Magnesio Aluminio Silicio Fsforo Asufre

4 Zn Ga Ge As Se

Zinc Galio Germanio Arsnico Selenio

5 Cd In Sn Sb Te

Cadmio Indio Tin Antimonio Teluro

6 Hg Pb

Mercurio Plomo



de silicio graduado cuestan mucho menos que de cualquier otro material. El

silicio en la forma de slica y silicatos comprende un 23% de la corteza

terrestre, y es el segundo, despus del oxgeno en abundancia. Actualmente,

el silicio es uno de los elementos de la tabla peridica ms estudiados; y la

tecnologa de silicio es con mucho la ms avanzada de entre todas las

tecnologas de semiconductores.

En aos recientes a un nmero de semiconductores compuestos les han

encontrado aplicacin en varios dispositivos electrnicos. Los

semiconductores compuestos ms importantes de dos elementos y ms

estn listados en la tabla 3. Los compuestos binarios son una combinacin de

dos elementos de la tabla peridica. Por ejemplo, el arseniuro de galio

(GaAs) es un compuesto de las columnas III-V, respectivamente; es la

combinacin del galio (Ga) de la columna III y el arsnico de la columna V.

Adems de los compuestos binarios, los compuestos ternarios y cuaternarios

son fabricados para aplicaciones especiales. La aleacin semiconductora

AlxGa1-xAs, la cual contiene Al y Ga de la columna III y As de la columna V,

es un ejemplo de compuesto ternario, mientras que los compuestos

cuaternarios de la forma AxB1-xCyD1-y pueden ser obtenidos de combinacin

de varios semiconductores binarios y ternarios. Por ejemplo, GaP, InP, InAs

ms GaAs pueden ser combinados para obtener la aleacin semiconductora

GaxIn1-xAsyP1-y. Comparado con los semiconductores de elementos, la

preparacin de los semiconductores compuestos en un solo cristal

usualmente involucra procesos mucho ms complejos.

Muchos de los semiconductores compuestos tienen propiedades elctricas y

pticas diferentes al silicio. Estos semiconductores, especialmente el GaAs,

son usados principalmente en dispositivos electrnicos de alta velocidad y



aplicaciones fotnicas. Sin embargo no se conoce ms acerca de la

tecnologa de los semiconductores compuestos que acerca del silicio, los

avances en la tecnologa del silicio han apoyado el progreso de la tecnologa

de los semiconductores compuestos. En este trabajo nos enfocaremos

principalmente con los dispositivos fsicos y en la tecnologa del

procesamiento del silicio y arseniuro de galio.

Los materiales semiconductores los estudiaremos como un solo cristal, esto

es, los tomos estn en arreglos peridicos en tres dimensiones. Los arreglos

peridicos de tomos en un cristal son llamados redes o retculas. En un

cristal, un tomo nunca se sale o se aleja de una posicin fija. La vibracin

trmica asociada a los tomos est centrada respecto a esta posicin. Para

un semiconductor dado, hay una celda unitaria que es representativa de su

propia retcula; por repeticin de la celda unitaria por todo el cristal se

genera la red entera.

Tabla 3 Materiales Semiconductores

Clasificacin general Semiconductor

Smbolo Nombre

Elemento Si Silicio

Ge Germanio

Compuestos binarios

IV-IV SiC Carbonato de silicio

III-V AlP Fosfato de aluminio

AlAs Arseniuro de aluminio

AlSb Antimonio de aluminio

GaN Nitruro de galio

GaP Fosfuro de galio

GaAs Arseniuro de galio

GaSb Antimonio de galio

InP Fosfuro de indio

InAs Arseniuro de indio

InSb Antimonio de indio

II-VI ZnO xido de zinc



ZnS Sulfuro de zinc

ZnSe Selenuro de zinc

ZnTe Teluro de zinc

CdS Sulfuro de cadmio

CdSe Selenuro de cadmio

CdTe Teluro de cadmio

HgS Sulfuro de mercurio

IV-VI PbS Sulfuro de plomo

PbSe Selenuro de plomo

PbTe Teluro de plomo

Compuestos ternarios AlxGa1-xAs Arseniuro de galio aluminio

AlxIn1-xAs Arseniuro de indio aluminio

GaAs1-xPx Fosfuro de arsnico galio

GaIn1-xAs Arseniuro de indio galio

GaxIn1-xP Fosfuro de indio galio

Compuestos cuaternarios Alx Ga1-x Asy Sb1-y Antimonio de arsnico galio aluminio

Gax In1-x As1-y Py Fosfuro de arsnico indio galio

Estructuras bsicas cristalinas

Existen en la naturaleza siete formas cristalina fundamentales: cbica,

tetragonal, ortorrmbica, hexagonal, trigonal o rombohdrica, monoclnica, y

triclnica. De donde se derivan las 14 redes de Bravais: cbica simple (cs),

cbica centrada en el cuerpo (bcc), cbica centrada en la cara (fcc);

tetragonal simple, y tetragonal centrada en el cuerpo; ortorrmbica simple,

ortorrmbica centrada en la base, ortorrmbica centrada en el cuerpo, y

ortorrmbica centrada en la cara; hexagonal simple; trigonal simple;

monoclnica simple y monoclnica centrada en la base; y triclnica simple.

El enfoque de este trabajo est dirigido hacia el silicio monocristalino, y

algunos compuestos cristalinos semiconductores cuyas estructuras cristalinas

son de la familia de las cbicas.

En la Fig. 5 se muestran algunas celdas unitarias cristalinas bsicas. La Fig

5a muestra un cristal con estructura de cbica simple (cs); sta tiene un



tomo en cada esquina de la red cbica, y cada tomo tiene seis tomos

equidistantes ms cercanos. La dimensin a es llamada constante reticular.

En la tabla peridica, solamente el polonio es cristalizado con una retcula

cbica simple. La Fig. 5b es un cristal con estructura de cbica centrada en el

cuerpo (bcc), que adems de los ocho tomos en las esquinas, de una cbica

simple, consta de un tomo centrado en el cubo. Los cristales que exhiben

una retcula bcc son el sodio y el tungsteno. La Fig. 5c muestra un cristal de

cbica centrada en la cara (fcc) que tiene un tomo centrado en cada una de

las seis caras del cubo adems de los ocho tomos de las esquinas. En este

caso, cada tomo tiene 12 tomos equidistantes ms cercanos. Un gran

nmero de elementos exhibe la forma de la retcula fcc, incluyendo el

aluminio, cobre, oro, y platino.

Fig. 5 Tres celdas unitarias cristalinas. ( a ) Cbica simple. (b ) Cbica centrada en el cuerpo. ( c ) Cbica

centrada en la cara.

La estructura diamante o diamantina

Los elementos semiconductores, silicio y germanio, tienen una estructura

reticular diamantina como se muestra en la Fig. 6a. Esta estructura forma

parte de la familia de los cristales fcc y puede ser vista o considerada como

dos subretculas interpenetradas, una en la otra, con una de las subretculas



desplazada una de la otra por un cuarto de la distancia a lo largo de la

diagonal del cuerpo del cubo (por ejemplo 43a ). Si bien los dos conjuntos

de tomos son idnticos qumicamente las dos subretculas son diferentes

desde el punto de vista de las estructuras cristalinas al considerar sus

propias caractersticas. Esto puede ser visto en la Fig. 6a que si un tomo de

la esquina tiene un tomo ms cercano en direccin de la diagonal del

cuerpo, entonces ste no tiene un tomo ms en la direccin opuesta.

Consecuentemente, se requieren estos dos tomos en la celda unitaria. La

celda unitaria de una estructura reticular diamante es un tetrahedrn en la

cual cada uno de estos cuatro tomos est rodeado por otros cuatro tomos

equidistantes ms cercanos, uno en cada esquina (referidos a la esfera

conectada con barras obscuras en la figura).

Fig. 6 ( a ) Red o retcula diamante. (b ) Red zincblende

Muchos de los semiconductores compuestos de las columnas III-V (por

ejemplo el GaAs) tienen una retcula zincblende o zincblenda, mostrada en la

figura 5b, la cual es idntica a la retcula diamante excepto en que una de las

subretculas fcc tiene tomos de la columna III (Ga) y la otra tiene tomos

de la columna V (As).



Planos de un cristal e ndices de Miller

En la Fig. 5b notamos que hay cuatro tomos en el plano ABCD y cinco el

plano ACEF (cuatro tomos en las esquinas y uno en el centro) y que el

espacio interatmico es diferente en cada uno de los dos planos. Por lo tanto

las propiedades del cristal respecto a cada plano son diferentes, y las

caractersticas elctricas del dispositivo adems de otras pueden depender

de la orientacin del cristal. Un mtodo conveniente de definir los varios

planos en un cristal es el uso de los ndices de Miller. Estos ndices son

obtenidos siguiendo los siguientes pasos:

1. Determinar las intercepciones del plano en los tres ejes cartesianos en

trminos de la constante reticular.

2. Tomar los recprocos de estos nmeros y hay qu reducirlos a tres

enteros guardando la misma relacin.

3. Encierre el resultado en un parntesis (hkl) como el ndice de Miller

para el plano.

1.3. Modelo de Enlace Covalente

Como ya fue estudiado en la seccin 1.2, cada tomo de la retcula

diamantina est rodeado de cuatro tomos equidistantes ms cercanos. La

Fig. 7a muestra las valencias o enlaces qumicos de esta red. Una forma

simple de representar el tetrahedrn es el diagrama de tomos con sus

enlaces en dos dimensiones, como se muestra en la Fig. 7b. Cada tomo

tiene cuatro electrones en su ltima rbita y cada tomo comparte estos

electrones de valencia con los cuatro tomos ms cercanos. Este

compartimiento de electrones es conocido como enlace covalente; cada par

de electrones constituye un enlace covalente. El enlace covalente ocurre

entre dos tomos del mismo elemento o entre dos tomos de elementos



diferentes que tengan en su ltima capa electrnica la misma configuracin.

Cada electrn permanece igual cantidad de tiempo con cada ncleo. Sin

embargo, ambos electrones permanecen la mayor parte de su tiempo entre

los dos ncleos. La fuerza de atraccin ejercida por ambos ncleos sobre los

electrones mantiene a los dos tomos unidos.

El arseniuro de galio se cristaliza como una retcula zincblende, la cual

tambin tiene un enlace de tetrahedrn. La fuerza de mayor enlace en el

GaAs es

Fig. 7 (a ) Enlaces de un tetrahedrn. (b ) Representacin esquemtica en dos dimensiones de los enlaces de un tetrahedrn.

debido tambin al enlace covalente. Sin embargo, el arseniuro de galio tiene

una contribucin inica menor esto es una fuerza de atraccin electrosttica

entre cada in de Ga+ y sus cuatro iones ms cercanos de As-, o entre cada

in de As- y sus cuatro iones ms cercanos de Ga+. Electrnicamente, esto

significa que los pares de electrones de enlace consumen ligeramente ms

tiempo en el tomo de As que en el tomo de Ga.



A bajas temperaturas, los electrones estn enlazados en su propia red a base

de tetrahedrones; consecuentemente, ellos no estn disponibles para la

conduccin; y son llamados electrones de valencia. A temperaturas ms

altas, las vibraciones trmicas pueden llegar a romper el enlace covalente.

Cuando el enlace es roto o parcialmente quebrado, resulta un electrn libre

que puede participar en la conduccin de corriente; llamado electrn de

conduccin. En la Fig. 8a se muestra que un electrn de valencia en el silicio

puede llegar a ser un electrn libre. Quedando una deficiencia de electrn en

el enlace covalente. Esta deficiencia puede ser detectada y ocupada por

alguno de los electrones de valencia ms cercanos, lo cual da como resultado

que la deficiencia cambie de lugar, desde la posicin A a la posicin B, segn

se muestra en la figura 8b. Por lo tanto podemos considerar esta deficiencia

como una partcula similar a un electrn. Esta partcula ficticia es llamada

hueco. La cual es portadora de carga positiva y si se le aplica un campo

elctrico se mueve bajo la influencia de l, en direccin opuesta a la de un

Fig. 8 Representacin bsica de enlaces del silicio intrnseco. ( a ) Enlace roto en la posicin A, resultando un

electrn y un hueco de conduccin. (b ) Un enlace roto en la posicin B.



electrn. Por lo tanto, ambos el electrn y el hueco contribuyen a la corriente

elctrica total. El concepto de hueco es anlogo al de una burbuja en un

lquido. Aunque es el lquido el que realmente se mueve, es mucho ms fcil

hablar acerca del movimiento de la burbuja en direccin opuesta.

1.4. Materiales Intrnsecos, Materiales Extrsecos

Ahora derivaremos la concentracin de portadores de carga en condiciones

de equilibrio trmico, esto es, en condicin de estado estable a una

temperatura dada sin ninguna excitacin externa tal como luz, presin, o

campo elctrico. A una temperatura dada, como resultado de la continua

agitacin trmica y la excitacin de los electrones desde la banda de valencia

hasta la banda de conduccin se generan un nmero igual de huecos en la

banda de valencia (pares electrn-hueco). Un semiconductor intrnseco es

aquel en que la cantidad de impurezas que contiene es relativamente

pequea comparada con la cantidad de pares electrn-hueco generados

trmicamente. Por lo que se considera a un semiconductor intrnseco como

un cristal puro o prcticamente puro

Para obtener la densidad de electrones (es decir, el nmero de electrones

por unidad de volumen) en un semiconductor intrnseco, primero evaluamos

la densidad de electrones en un incremento de energa dE. La densidad n(E)

est dada por el producto de la densidad de estados N(E), esto es, la

densidad de estados energticos permitidos (considerando el spin

electrnico) por rango de energa por unidad de volumen y por la

probabilidad de ocupacin en este rango de energa F(E). Por lo tanto, la

densidad de electrones en la banda de conduccin est dada por la

integracin de N(E) F(E) dE desde la parte baja de la banda de conduccin



(Ec que inicialmente es tomada E = 0 por simplicidad) a la parte alta de la

banda de conduccin Etop:

toptop EE

dEEFENdEEnn00

)()()( (4)

donde n est dada en cm-3, y N(E) en (cm3-eV)-1

En la seccin 1.6 se ver con ms detalle que para un semiconductor

intrnseco, el nmero de electrones por unidad de volumen en la banda de

conduccin es igual al nmero de huecos por unidad de volumen en la banda

de valencia, esto es, n = p = ni donde ni es la densidad intrnseca de

portadores de carga. Esta relacin de electrones y huecos es descrita en la

Fig. 15d. Note que el rea sombreada en la banda de conduccin es la misma

que la de la banda de valencia.

La densidad intrnseca de portadores de carga es obtenida a partir de las

Ecs. 16,17 y 19

2

innp (20)

kTENNn gVCi exp2

(21)

y

kTENNn gVCi 2exp (22)

As como tambin se ver en la seccin 1.7 que cuando un semiconductor es

dopado o contaminado con impurezas, el semiconductor se convierte en



extrnseco y son introducidos niveles de energa por dichas impurezas. La

Fig. 16a muestra esquemticamente que si un tomo de silicio es

reemplazado (o sustituido) por un tomo de arsnico con cinco electrones de

valencia. El tomo de arsnico forma enlaces covalentes con sus cuatro

tomos de silicio ms cercanos. El quinto electrn tiene relativamente una

pequea energa de enlace con su tomo de arsnico y puede ser ionizado y

convertirse en un electrn de conduccin a temperaturas moderadas.

Decimos que estos electrones han sido donados a la banda de conduccin.

El tomo de arsnico es llamado donador y el silicio se convierte en un

semiconductor tipo n por la adicin de portadores de carga negativos

semiconductor extrnseco tipo n. Similarmente, la Fig. 16b muestra que

cuando un tomo de boro con tres electrones de valencia sustituye un tomo

de silicio, un electrn adicional es aceptado para completar cuatro

electrones covalentes en torno al boro, y as una carga positiva hueco es

creada en la banda de valencia. Este es un semiconductor tipo p, y el boro es

un aceptor tenemos ahora un semiconductor extrnseco tipo p.

1.5. Modelo de bandas de energa

Niveles de energa tomos aislados

En un tomo aislado, los electrones pueden tener niveles discretos de

energa. Por ejemplo, los niveles de energa de un tomo de hidrgeno

aislado estn dados por el modelo de Bohr:

2222

0

4

0 6.138 nnhqmEH eV (5)

donde m0 es la masa del electrn libre, q es la carga del electrn, eo es la

permitividad del espacio libre, h es la constante de Planck, n es un entero



positivo llamado nmero cuntico principal. La cantidad eV (electrn volt) es

la unidad de energa correspondiente a la energa ganada por un electrn

cuando su potencial es incrementado por un volt. Y es igual al producto de q

(1.6 x 10-19 coulomb) y un volt, o 1.6 x 10-19 J. Las energas discretas son -

13.6 eV para el nivel energtico estado de reposo (n = 1), -3.4 eV para el

primer nivel energtico estado excitado (n = 2), etc. Estudios ms detallados

revelan que para nmeros cunticos principales ms altos (n 2), los

niveles de energa son compartidos de acuerdo a su nmero cuntico angular

(l = 0, 1, 2, ,n-1).

Ahora consideraremos dos tomos idnticos. Cuando ellos estn lejanos, los

niveles energticos asociados para un nmero cuntico principal (por

ejemplo, n = 1) tenemos un doble nivel degenerado, esto es, ambos tomos

tienen exactamente la misma energa. Cuando se acercan los tomos entre

s, los dobles niveles de energa degenerados se despliegan en dos niveles

energticos por la interaccin entre los dos tomos. Como un nmero N de

tomos aislados son unidos hasta formar un slido, las rbitas de los

electrones externos de diversos tomos se superponen interactuando entre s

con cada uno de ellos. Esta interaccin, incluyendo las fuerzas de atraccin y

repulsin entre tomos, causa un movimiento de los niveles de energa,

como en el caso de la interaccin de dos tomos. Por lo que, en vez de

generar dos niveles, se forman N niveles pero separados por pequeos

espacios. Cuando N es grande, el resultado es esencialmente una banda de

energa continua. Esta banda de N niveles se extiende a unos pocos eV

dependiendo de la distancia interatmica del cristal que se trate. La Fig. 9

muestra el efecto explicado anteriormente, donde el parmetro a representa

la distancia interatmica de equilibrio del cristal.



Fig. 9 Separacin de un estado degenerado en una banda de energas permitidas.

En realidad la distribucin de los niveles de energa o separacin entre ellos

es mucho ms complicada. La figura 10 muestra un tomo de silicio aislado

que tiene 14 electrones. De los 14 electrones, 10 ocupan niveles energticos

ms profundos cuyo radio orbital es mucho ms pequeo que la separacin

interatmica en el cristal. Los cuatro electrones de valencia restantes estn

dbilmente enlazados relativamente y pueden ser involucrados en reacciones

qumicas. Es por ello que necesitamos considerar solamente la capa ms

externa (el nivel n = 3) para los electrones de valencia, dado que las otra

dos capas internas estn completamente llenas y fuertemente enlazados al

ncleo. La subcapa 3s (es decir, n = 3, y l = 0) tiene dos estados cunticos

asociados por tomo. Esta subcapa contendr dos electrones de valencia a T

= 0 K. La subcapa 3p (es decir, n = 3, y l = 1) tiene seis estados cunticos

asociados por tomo. Esta subcapa contendr los otros dos electrones de

valencia de un tomo individual de silicio



Fig. 10 Representacin esquemtica de un tomo de silicio aislado

La Fig. 11 es un diagrama esquemtico de la formacin de de un cristal de

silicio de N tomos aislados. Cuando la distancia interatmica disminuye, las

subcapas 3s y 3p de lo N tomos de silicio interactuarn y se superpondrn.

A una distancia interatmica de equilibrio, las bandas otra vez se

desplegarn, con cuatro estados cunticos por tomo en la banda baja y

cuatro estados cunticos por tomo en la banda superior. A una temperatura

de cero absoluto, los electrones ocupan los estados energticos ms bajos,

as que todos los estados de la banda de abajo (la banda de valencia) estar

llena y todos los estados de la banda superior (la banda de conduccin)

estarn vacos. La parte baja de la banda de conduccin es llamado Ec, y la

parte alta de la banda de valencia es llamada Ev. La banda de energa Eg

entre la parte baja de la banda de conduccin y la parte alta de la banda de

valencia (Ec Ev) es el ancho de la banda prohibida, como se muestra en la

parte izquierda de la Fig. 11. Fsicamente, Eg es la energa requerida para



romper un enlace en el semiconductor y liberar un electrn que pasa a la

banda de conduccin y deja un hueco en la banda de valencia.

Fig. 1 1 Formacin de las bandas de energa de un cristal con retcula diamante la cual es formada por tomos de

silicio aislados que fueron unidos.

Diagrama de Energa-Momento

La energa E de un electrn libre est dada por

0

2

2m

pE (6)

donde p es el momentum o cantidad de movimiento lineal y mo es la masa

del electrn libre. Si graficamos E vs. P, obtenemos una parbola como se

muestra en la Fig. 12. En un cristal semiconductor, un electrn en la banda

de conduccin es similar a un electrn libre en donde es relativamente libre

de moverse dentro del cristal. Sin embargo, debido al potencial peridico de



los ncleos la Ec. 6 puede no ser totalmente vlida. Pero si queremos seguir

usando esta ecuacin remplazaremos la masa del electrn libre por una

masa efectiva mn (el subndice n se refiere a la carga negativa de un

electrn), esto es,

nm

pE

2

2

(7)

Fig. 1 2 La curva parablica para un electrn energa (E) vs momentum (p)

La masa efectiva del electrn depende de las propiedades del

semiconductor. Si tenemos una relacin energa-momento descrita por la Ec.

7, podemos obtener la masa efectiva a partir de la segunda derivada de E

con respecto de p:

1

2

2

0

dp

Edm (8)

por lo que podemos ver que a una parbola ms angosta corresponde una

segunda derivada ms grande y una masa efectiva ms pequea. Una

expresin similar puede ser escrita para los huecos (con masa efectiva mp

donde el sundice p se refiere a la carga positiva de un hueco). El concepto



de masa efectiva es ampliamente aceptado debido a que los electrones y

huecos son tratados esencialmente como partculas clsicas cargadas.

La Fig. 13 muestra una relacin simplificada de energa-momento de un

semiconductor especial con una masa efectiva de sus electrones de mn =

0.25 mo en la banda de conduccin (la parbola superior) y una masa

efectiva de sus huecos en la banda de valencia (la parbola inferior). Note

que la energa de los electrones es medida hacia arriba y que la energa de

los huecos es medida hacia abajo. El espacio entre las dos parbolas en p =

0 es la banda prohibida Eg, mostrada previamente en la Fig. 11.

Realmente la relacin energa-momento (tambin llamado diagrama de

bandas de energa) para el silicio y el arseniuro de galio son mucho ms

complejas. Las cuales son mostradas en la Fig. 14 para dos cristales.

Notemos que las caractersticas generales de esta figura son similares a las

de la Fig. 13. Primero que todo, hay una banda prohibida Eg entre la parte

baja de la banda de conduccin y la parte alta de la banda de valencia.

Segundo, cerca del mnimo de la banda de conduccin o del mximo de la

banda de valencia, las curvas E-p son esencialmente parablicas. Para el

silicio, Fig. 14a, el mximo en la banda de valencia ocurre en p = 0, pero el

mnimo en la banda de conduccin ocurre en la direccin [100] en p = pc. Es

por esto que, en el silicio, cuando un electrn hace una transicin desde el

punto mximo de la banda de valencia al punto mnimo de la banda de

conduccin, no solamente requiere un cambio de energa (>Eg) sino que

tambin un cambio en el momentum (pc).



Fig. 1 3 Un diagrama esquemtico de energa-momentum para un semiconductor con mn = 025 m0 y mp = mn

Para el arseniuro de galio, Fig. 14b, el mximo en la banda de valencia y el

mnimo en la banda de conduccin ocurre en el mismo momentum (p = 0).

As, un electrn puede hacer su transicin desde la banda de valencia a la

banda de conduccin sin un cambio de momentum

El arseniuro de galio es llamado semiconductor directo, por que no requiere

un cambio de momentum para la transicin de un electrn desde la banda de

valencia a la banda de conduccin. El silicio es llamado semiconductor

indirecto, porque un cambio de de momentum es requerido en una

transicin. Esta diferencia entre una estructura cristalina de banda directa e

indirecta es de consideracin y de suma importancia en el funcionamiento de

los diodos emisores de luz y los semiconductores lasers. Estos dispositivos

requieren semiconductores directos para una eficiente generacin de fotones.



Fig. 1 4 Estructura de bandas de energa del Si y del GaAs. Los crculos ( ) indican huecos en la banda de valencia y los puntos () indican electrones en la banda de conduccin.

Podemos obtener la masa efectiva desde la Fig. 14 usando la Ec. 8. Por

ejemplo, para el arseniuro de galio en donde la banda de conduccin tiene la

forma de una parbola muy angosta, la masa efectiva es 0.063m0, y para el

silicio, con la banda de conduccin parablica ms ancha, la masa efectiva es

0.19m0.

Conduccin en metales, semiconductores, y aislantes

La enorme variacin de la conductividad elctrica de los metales,

semiconductores, y aislantes mostrada en la Fig. 4 puede ser explicada

cualitativamente en trminos de sus bandas de energa. Veremos que la

ocupacin de electrones de la banda ms alta o de las dos bandas ms altas

determina la conductividad de un slido. La Fig. 15 muestra los diagramas de



bandas de energa de tres clases de slidos- metales, semiconductores, y

aislantes.

Fig. 1 5 Representacin esquemtica de las bandas de energa. )(a Un conductor con dos posibilidades (ambas, la

banda de conduccin parcialmente llena mostrada en la parte superior o las bandas traslapadas mostradas en la

porcin de abajo), )(b Un semiconductor, y )(c Un aislante.

1.6. Distribucin de Fermi-Dirac y Distribucin de Maxwell-

Boltzmann

La probabilidad de que un electrn ocupe un estado electrnico permitido

con energa E est dado por la funcin de distribucin de Fermi- Dirac, la

cual es tambin conocida como funcin de distribucin de Fermi

kTEE Fe

EF)(

1

1)(

(10)

Donde k es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta en

grados Kelvin, y EF es la energa del nivel Fermi. La energa Fermi es la

energa en la cual la probabilidad de ocupacin (de un estado energtico) por

un electrn es exactamente un medio. La distribucin de Fermi es ilustrada



en la Fig. 16 para diferentes temperaturas. Note que F(E) es simtrica

respecto de la energa de Fermi EF. Para energas que estn 3kT por arriba o

por debajo de la energa de Fermi, el trmino exponencial de la Ec. 10 llega

a ser ms grande que 20 o ms pequeo que 0.05, respectivamente. La

funcin de distribucin de Fermi-Dirac pude por lo tanto ser aproximada a

expresiones ms simples:

F(E) = e-(E EF)/kT para (E - EF) > 3kT (11a)

y

F(E) = 1- e-(E EF)/kT para (E - EF) < - 3kT (11b)

la ecuacin 11b puede ser interpretada como la probabilidad de que un

hueco ocupe un estado con energa E.

La Fig. 17 muestra esquemticamente de izquierda a derecha el diagrama de

bandas, la densidad de estados N(E), la cual vara con E para una masa

efectiva del electrn dada, la funcin de distribucin de Fermi, y la

concentracin de portadores de carga para un semiconductor intrnseco. La

concentracin de portadores de carga puede ser obtenida grficamente de la

Fig. 17 usando Ec. 9; esto es, el producto N(E) de la Fig. 17b y F(E) de la

17c que da la curva n(E)-versus-E (curva superior) de la Fig. 17d. El rea

superior sombreada de la Fig. 17d corresponde a la densidad de electrones.

Hay un gran nmero de estados energticos permitidos en la banda de

conduccin. No obstante, para un semiconductor intrnseco no habr muchos

electrones en la banda de conduccin. Por lo que, la probabilidad de que un

electrn ocupe uno de estos estados es pequea. Hay tambin un gran

nmero de estados permitidos en la banda de valencia. Por el contrario, la



mayora de stos estn ocupados por electrones. Por lo tanto, la probabilidad

de que un

Fig. 16 Funcin de distribucin de Fermi-Dirac F(E) vs (E - EF) para varias temperaturas

Fig. 1 7 Semiconductor intrseco. )(a Diagrama esquemtico de bandas. )(b Densidad de estados. ( c ) Funcin de

distribucin de Fermi.( d ) Concentracin de portadores de carga.

electrn ocupe uno de estos estados en la banda de valencia es muy cercana

a la unidad. Habr unos pocos estados electrnicos desocupados, esto es,

huecos, en la banda de valencia. Como puede verse, el nivel Fermi est

localizado en la parte media de la banda prohibida (es decir, EF est muchas



veces kT por debajo de Ec). Sustituyendo la ltima ecuacin del apndice H

y la ecuacin 11a en la Ec. 4

dEkTEEEkTNn CC

exp2

0

2123

, (12)

Donde

232212 hkTmN nC para el Si (13a)

23222 hkTmn para el GaAs (13b)

Tomamos ETop como porque F(E) llega a ser muy pequea cuando (E - EC) >>

kT

Si hacemos kTEx , la Ec. 12 nos da

dxexkTENn xFC

021exp

2

. (14)

La integral de la Ec. 14 es de la forma estndar y es igual a 2 . Por lo que

nos queda

kTENn FC exp (15)

Si ahora nos referimos a la parte baja de la banda de conduccin como EC

en vez de E = 0. Obtenemos para la densidad de electrones en la banda de

conduccin

kTEENn FCC exp (16)



Donde la NC definida en la Ec. 13 es la densidad efectiva de estados en

la banda de conduccin. A temperatura ambiente (300 K). NC es 2.86 x

1019 cm-3 para el silicio y 4.7 x 1017 cm-3 para el arseniuro de galio.

Similarmente puede ser obtenida la densidad de huecos p en la banda de

valencia

kTEENp VFV exp (17)

y

23222 hkTmN pV (18)

donde NV es la densidad efectiva de estados en la banda de valencia

para ambos semiconductores Si y GaAs. A temperatura ambiente NV es 2.66

x 1019 cm-3 para el silicio y 7.0 x 1018 cm-3 para el arseniuro de galio.

Para un semiconductor intrnseco, el nmero de electrones por unidad de

volumen en la banda de conduccin es igual al nmero de huecos por unidad

de volumen en la banda de valencia, esto es, n = p = ni donde ni es la

densidad intrnseca de portadores de carga. Esta relacin de electrones y

huecos es descrita en la Fig. 17d. Note que el rea sombreada en la banda

de conduccin es la misma que la de la banda de valencia.

1.7. Nivel de Fermi en Materiales Intrnsecos y Extrnsecos

El nivel Fermi para un semiconductor intrnseco es obtenido igualando la Ec.

16 y la Ec. 17:

CVVCiF NNkTEEEE ln2)(2 (19)

joelResaltado



A temperatura ambiente, el segundo trmino es mucho menor que la banda

prohibida. De aqu que el nivel intrnseco de Fermi Ei de un semiconductor

intrnseco generalmente est muy cercano a la parte media de la banda

prohibida.

La densidad intrnseca de portadores de carga es obtenida a partir de las

Ecs. 16,17 y 19

2

innp (20)

kTENNn gVCi exp2

(21)

y

kTENNn gVCi 2exp (22)

donde VCg EEE .

Donadores y aceptores

Cuando un semiconductor es dopado o contaminado con impurezas, el

semiconductor se convierte en extrnseco y son introducidos niveles de

energa por dichas impurezas. La Fig. 18a muestra esquemticamente que si

un tomo de silicio es reemplazado (o sustituido) por un tomo de arsnico

con cinco electrones de valencia. El tomo de arsnico forma enlaces

covalentes con sus cuatro tomos de silicio ms cercanos. El quinto electrn

tiene relativamente una pequea energa de enlace con su tomo de arsnico

y puede ser ionizado y convertirse en un electrn de conduccin a

temperaturas moderadas. Decimos que estos electrones han sido donados

a la banda de conduccin. El tomo de arsnico es llamado donador y el



silicio se convierte en un semiconductor tipo n por la adicin de portadores

de carga negativos semiconductor extrnseco tipo n. Similarmente, la Fig.

18b muestra que cuando un tomo de boro con tres electrones de valencia

sustituye un tomo de silicio, un electrn adicional es aceptado para

completar cuatro electrones covalentes en torno al boro, y as una carga

positiva hueco es creada en la banda de valencia. Este es un

semiconductor tipo p, y el boro es un aceptor tenemos ahora un

semiconductor extrnseco tipo p.

Podemos estimar la energa de ionizacin ED para los donadores

reemplazando m0 con la masa efectiva del electrn y tomando en

consideracin la permitividad del semiconductor es en el modelo del tomo

de hidrgeno de la Ec. 5:

Fig. 1 8 Dibujos esquemticos de enlaces para ( a ) Silicio tipo n con donador (arsnico) y (b ) Silicio tipo p con

aceptor (boro)

joelResaltado



Hn

D

D Em

mE

0

2

0

(23)

La energa de ionizacin para los donadores medido desde el filo de la banda

de conduccin, calculado a partir de la Ec. 23 es 0.025 eV para el silicio y

0.007 eV para el arseniuro de galio. El clculo del nivel de ionizacin de los

aceptores respecto del tomo de hidrgeno es igual que para los donadores.

Consideramos la banda de valencia desocupada como una banda llena por un

hueco en un campo elctrico con fuerza de un aceptor con carga negativa. La

energa de ionizacin calculada, medida desde el filo de la banda de valencia,

es de 0.05 eV para el silicio y el arseniuro de galio.

Este modelo simple del tomo de hidrgeno no puede tomar en cuenta los

detalles de la energa de ionizacin, particularmente para los

semiconductores con niveles de impureza profundos (es decir, con energas

de ionizacin kT3 ). Sin embargo, los clculos hechos predicen

correctamente el orden de la magnitud de las energas de ionizacin

verdaderas para niveles de impureza superficiales. La Fig. 19 muestra las

medidas de la energa de ionizacin para varas impurezas en el silicio y en el

arseniuro de galio.8 Note que esto es posible para un solo tomo que tiene

muchos niveles; por ejemplo, el oxgeno en el silicio tiene dos

niveles donadores y dos niveles aceptores dentro de la banda de energa

prohibida.

Semiconductores no degenerados

En la discusin previa, hemos asumido que la concentracin de electrones y

huecos es mucho ms pequea que la densidad efectiva de estados en la



Fig. 1 9 Energas de ionizacin dadas en (eV) para varias impurezas en Si y GaAs. Los niveles por abajo del centro

de la banda prohibida son niveles aceptores y estn medidos desde la parte alta de la banda de valencia y solamente

los indicados por D son niveles donadores. Los niveles por arriba de la lnea de centro de la banda prohibida son

niveles donadores y estn medidos desde la parte baja de la banda de conduccin y nicamente los indicados por A

son niveles aceptores.

banda de conduccin o en la banda de valencia, respectivamente. En otras

palabras, el nivel Fermi FE est no ms de kT3 por arriba de VE o no ms de

kT3 por debajo de CE . Para tales casos, el semiconductor es referido como

un semiconductor no degenerado.

Para donadores superficiales en el silicio y en el arseniuro de galio,

usualmente es suficiente la energa trmica para suplir la energa de

ionizacin DE en todas las impurezas donadoras a temperatura ambiente y

as proveer el mismo nmero de electrones en la banda de conduccin. Esta

condicin es llamada ionizacin completa. Bajo una condicin de ionizacin

completa, podemos escribir la densidad de electrones como

joelResaltado

joelResaltado



DNn , (24)

donde DN es la concentracin de impurezas donadoras. La Fig. a20 , ilustra la

ionizacin completa donde el nivel de donadores DE es medido con respecto

de la parte baja de la banda de conduccin y tambin son mostrados igual

concentracin de electrones (los cuales son mviles) y los iones donadores

(los cuales estn inmviles). A partir de las Ecs. 16 y 24, obtenemos el nivel

Fermi en trminos de la densidad efectiva de estados CN y la concentracin

de donadores DN :

)ln( DCFC NNkTEE (25)

Similarmente, para aceptores superficiales como se muestra en la Fig. b20 , si

todos ellos estn completamente ionizados la concentracin de huecos es

ANp (26)

Donde AN es la concentracin de aceptores. Podemos obtener el nivel Fermi

correspondiente de las Ecs. 17 y 26:

Fig. 20 Representacin esquemtica de las bandas de energa de un semiconductor extrnseco con ( a ) donadores

ionizados y (b ) aceptores ionizados.

joelResaltado

joelResaltado



)ln( AVVF NNkTEE (27)

De la Ec. 25 podemos ver que a una mayor concentracin de donadores,

disminuye la diferencia de energa )( FC EE , esto es, el nivel Fermi se

mover cerca de la parte baja de la banda de conduccin; entre ms sea la

concentracin de donadores, ms se acerca el nivel Fermi a CE .

Similarmente, entre mayor sea la concentracin de aceptores, el nivel Fermi

ms se acerca a la parte alta de la banda de valencia. La Fig. 21 ilustra el

procedimiento para obtener la concentracin de portadores de carga. Esta

figura es similar a la mostrada en la Fig 17. Pero ahora, el nivel Fermi est

ms cercano a la parte baja de la banda de conduccin, y la concentracin de

electrones (rea sombreada superior) es mucho ms grande que la

concentracin de huecos (rea sombreada inferior).

Fig. 21 Semiconductor tipo n. ( a ) Diagrama esquemtico de bandas (b ) Densidad de estados ( c ) funcin de

distribucin de Fermi ( d ) Concentracin de portadores de carga. Ntese que 2

innp .

Es muy usual expresar la densidad de electrones y huecos en trminos de la

concentracin de portadores de carga intrnsecos in y el nivel Fermi

joelResaltado

joelResaltado

joelResaltado

joelResaltado

joelResaltado

joelResaltado



intrnseco iE ya que iE es frecuentemente usado como un nivel de referencia

en el estudio de semiconductores extrnsecos. De la Ec. 16 obtenemos

kTEENn FCC exp ,

kTEEkTEEN iFiCC )(exp)(exp ,

o

kTEEnn iFi )(exp , (28)

y similarmente,

kTEEnp Fii )(exp (29)

Note que el producto de n y p de las Ecs. 28 y 29 es igual a 2

in . Este

resultado es idntico al caso intrnseco, la Ec. 20. Esta Ec. Es llamada ley de

masa activa, la cual es vlida para ambos tipos de semiconductores

intrnsecos y extrnsecos bajo conduccin en equilibrio trmico. En un

semiconductor extrnseco, el nivel Fermi se mueve hacia la parte baja de la

banda de conduccin (tipo n) o hacia la parte alta de la banda de valencia

(tipo p). Cualquiera de los dos tipos de portadores de carga n o p dominar,

pero el producto de los dos tipos de portadores permanecer constante a una

temperatura dada.

EJEMPLO

Un lingote de silicio es dopado con 3.7 x 1016 tomos de arsnico/cm3.

Encontrar la concentracin de portadores de carga y el nivel Fermi a

temperatura ambiente (300 K).



SOLUCIN A 300 K, podemos asumir que los tomos de impurezas

estn ionizados completamente. Tenemos

316107.3 cmxNn D

De la Ec. 20

3216292 1051.2107.3)1065.9( cmxxxNnp Di

El nivel Fermi medido desde la parte baja de la banda de conduccin

est dado por la Ec. 25

)ln( DCFC NNkTEE

eVxx 172.0107.31086.2ln0259.0 1619

El nivel Fermi medido desde el nivel intrnseco de Fermi est dado por

la Ec. 28

kTEEnn iFi )(exp ,

)ln( iDiF nNkTEE

eVxx 393.01065.9107.3ln0259.0 916

Estos resultados son observados en la Fig. 22.

Si ambas impurezas donadoras o aceptoras estn presentes

simultneamente, la impureza que est en mayor concentracin determina el

tipo de conductividad en el semiconductor. El nivel Fermi deber

autoajustarse para preservar la neutralidad de carga, esto es, las cargas



negativas totales (electrones y aceptores ionizados) debern ser iguales a las

cargas positivas totales (huecos donadores ionizados). Bajo la condicin de

ionizacin completa, tenemos

DA NpNn , (30)

resolviendo las Ecs. 20 y 30 considerando la concentracin de electrones y

huecos equilibrada en un semiconductor tipo n :

224

21

iADAD nNNNNn , (31)

nin nnp2

(32)

El subndice n se refiere al semiconductor tipo n . Porque los electrones son

los portadores de carga dominantes, estos son llamados portadores de carga

Fig. 22 El diagrama de bandas muestra el nivel Fermi EF y el nivel intrnseco de Fermi Ei.

mayoritarios. Los huecos en el semiconductor tipo n son llamados portadores

de carga minoritarios. Similarmente, obtenemos la concentracin de huecos



(portadores de carga mayoritarios) y electrones (portadores de carga

minoritarios) en un semiconductor tipo p :

224

21

iDADA nNNNNp (33)

pip pnn2

(34)

El subndice p se refiere al semiconductor tipo p .

1.8. Conductividad, Movilidad, Proceso de Difusin

Movilidad

Consideraremos una muestra de semiconductor tipo n con una concentracin

uniforme de donadores en equilibrio trmico. Como ya se estudi en

secciones anteriores la conduccin de electrones en un semiconductor en la

banda de conduccin es esencialmente por partculas libres, as que no estn

asociadas con alguna retcula partcula o localizacin de los donadores. La

influencia de la retcula del cristal est incorporada en la masa efectiva de los

electrones de conduccin, la cual difiere de la masa del electrn libre. Bajo

equilibrio trmico, el promedio de energa trmica de un electrn de

conduccin puede ser obtenido a partir del teorema de equiparacin de

energa, kT21 unidades de energa por grado de libertad, donde k es la

constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. En un

semiconductor los electrones tienen tres grados de libertad; ellos pueden

moverse en las tres dimensiones del espacio. Por lo tanto, la energa cintica

de los electrones est dada por



kTvm thn2

3

2

1 2 (35)

donde nm es la masa efectiva de un electrn y thv es la velocidad trmica

promedio. A temperatura (300 K) la velocidad trmica promedio de los

electrones en la Ec. 35 es alrededor de 107 cm/s para el silicio y el arseniuro

de galio.

Es por esto que los electrones en un semiconductor estn movindose

rpidamente en todas direcciones. El movimiento trmico de un electrn

individual puede ser visualizado como una sucesin de movimientos

aleatorios y de colisiones con los tomos de la retcula, tomos de impureza,

y otros centros de dispersin, como se ilustra en la Fig. 23a. El movimiento

aleatorio de los electrones da un desplazamiento neto cero de un electrn en

un perodo de tiempo suficientemente largo. La distancia promedio entre

colisiones es llamada trayectoria media libre, y el tiempo promedio libre

entre colisiones es llamado tiempo medio libre c . Un valor tpico para la

trayectoria promedio libre es de 10-5 cm , c es alrededor de 1 ps (es decir,

svth125 1010 ).

Cuando es aplicado un pequeo campo elctrico E a una muestra de

semiconductor, cada electrn experimentar una fuerza qE debido al

campo y ser acelerado a lo largo del campo (en direccin opuesta al campo)

durante el tiempo entre colisiones. Por lo tanto, una componente de

velocidad adicional ser superpuesta sobre el movimiento trmico de los

electrones. Esta componente adicional es llamada velocidad de arrastre. El

desplazamiento combinado de un electrn del movimiento trmico aleatorio y



la componente de arrastre es ilustrado en la Fig. 23b. Note que hay un

desplazamiento neto del electrn en direccin opuesta al campo aplicado.

Fig. 23 Trayectoria esquemtica de un electrn en un semiconductor. ( a ) Movimiento trmico aleatorio. (b ) Movimiento combinado debido a un movimiento trmico aleatorio y a un movimiento por un campo elctrico

aplicado.

Podemos obtener la velocidad de arrastre nv por la igualacin del

momentum (fuerza x tiempo) aplicado a un electrn durante el trayecto libre

entre colisiones y el momentum ganado por el electrn en el mismo perodo.

La igualacin es vlida porque en estado estable todo el momentum ganado

entre colisiones se pierde en la red al chocar. El momentum aplicado por el

campo elctrico a un electrn est dado por cqE , y el momentum ganado

es nnvm . Tenemos

nnC vmqE (36)

o

Em

qv

n

cn

(36a)

La ecuacin 36a establece que la velocidad de arrastre del electrn es

proporcional al campo elctrico aplicado. El factor de proporcionalidad

depende del tiempo medio libre y de la masa efectiva. El factor de



proporcionalidad es llamado movilidad del electrn n en unidades de

sVcm 2 o

.n

c

nm

q (36)

as,

Ev nn (37)

La movilidad es un parmetro importante para el transporte de portadores

de carga porque sta describe cmo es de fuertemente influenciado el

movimiento de un electrn al aplicar un campo elctrico. Una expresin

similar puede ser escrita para los huecos en la banda de valencia:

Ev pp (38)

donde pv es la velocidad de arrastre de los huecos y p es la movilidad de

huecos. El signo negativo es quitado en la Ec. 38 porque los huecos son

arrastrados en la misma direccin del campo elctrico aplicado.

En la Ec. 36 la movilidad est relacionada directamente al tiempo medio

libre entre colisiones, el cual en su momento es determinado por varios

mecanismos de dispersin. Los dos mecanismos ms importantes son

dispersin por la retcula y dispersin por impurezas. La dispersin por

impurezas resulta de la vibracin trmica de los tomos de la red a cualquier

temperatura por encima del cero absoluto. Estas vibraciones provocan

disturbios en el potencial peridico de la red y la energa permitida es

transferida entre los portadores y la retcula. Como la vibracin de la red se

incrementa cuando la temperatura se incrementada, la dispersin por la red

llega a ser dominante a temperaturas altas; por lo que la movilidad decrece



cuando la temperatura se incrementa. Un anlisis terico muestra que la

movilidad debido a la dispersin por red L decrecer en proporcin a 23T .

La dispersin por impurezas resulta cuando un portador de carga viaja cerca

de una impureza dopante (donador o aceptor). La trayectoria de los

portadores de carga ser deflectada por la interaccin las fuerzas de

Coulomb. La probabilidad de la dispersin por impurezas depende de la

concentracin total de impurezas ionizadas, esto es, la suma de la

concentracin de cargas negativas y positivas. Por lo que, a diferencia de la

dispersin por red, la dispersin por impurezas llega a ser insignificante a

altas temperaturas. A altas temperaturas, los portadores de carga se

mueven ms rpido; ellos pasan cerca del tomo de impureza por un tiempo

corto y son entonces menos efectivamente dispersados. Puede ser mostrado

tericamente que la movilidad debido a la dispersin por impurezas I vara

como TNT23 , donde TN es la concentracin total de impurezas.

La probabilidad de que una colisin tome lugar por unidad de tiempo es, c1 ,

que es la suma de las probabilidades de colisin debido a los varios

mecanismos de dispersin:

impurezacredcc ,,

111

(39)

IL

111 (40)



EJEMPLO

Calcular el tiempo medio libre de un electrn que tiene una movilidad de

1000 sVcm 2 a 300 K; tambin calcular la trayectoria media libre. Asuma

que 026.0 mmn en estos clculos.

SOLUCIN De la Ec. 36, el tiempo medio libre est dado por

Cx

sVmxxkgxx

q

m nnc 19

2430

106.1

)101000()1091.026.0(

pssx 148.01048.1 13

La trayectoria media libre est dada por

)1048.11048.1)(10( 6137 cmxsxscmvl cth

nm8.14

Resistividad y Conductividad

Ahora consideraremos la conduccin en un material semiconductor

homogneo. La Fig. 25a muestra un semiconductor tipo n y su diagrama de

bandas de energa en equilibrio trmico. La Fig. 25b muestra el diagrama de

bandas correspondiente cuando un voltaje de polarizacin es aplicado en la

terminal derecha. Asumimos que los contactos de las terminales izquierda y

derecha son hmicos, esto es, hay una insignificante cada de voltaje en cada

uno de los contactos. Hemos mencionado previamente que cuando un campo

elctrico es aplicado a un semiconductor, cada electrn experimentar una

fuerza qE provocada por el campo. La fuerza es igual al menos gradiente

de energa potencial, esto es:



Fig. 24 Movilidad y difusividad en el Si y el GaAs a 300 K como una funcin de la concentracin de impurezas.

qE -(gradiente de energa potencial del electrn)dx

dEC (41)

Hay que recordar que ya se ha establecido previamente que la parte baja de

la banda de conduccin CE corresponde a la energa potencial de un

electrn. Como estamos interesados en el gradiente de la energa potencial,

podemos usar cualquier parte del diagrama de bandas que sea paralela a CE

(por ejemplo, viF oEEE ,, , como se muestra en la Fig. 25b). Es conveniente

usar el nivel intrnseco de Fermi iE porque usaremos iE cuando

consideremos una unin np en siguiente captulo. Por lo tanto de la Ec. 41

tenemos



Fig. 25 Proceso de conduccin en un semiconductor tipo n. ( a ) En equilibrio trmico y (b ) Bajo condicin de voltaje

dx

dE

qdx

dE

qE iC

11 (42)

Podemos definir una cantidad relativa como el potencial electrosttico

cuyo gradiente negativo es igual al campo elctrico:

dx

dE

(43)

Comparando Ecs. 42 y 43 tenemos

q

Ei (44)

la cual proporciona una relacin entre el potencial electrosttico y la energa

potencial de un electrn. Para un semiconductor homogneo como se

muestra en la Fig. 25b, la energa potencial iE decrece linealmente con la



distancia; mientras que el campo elctrico es una constante en la direccin

de x negativa. Cuya magnitud es igual al voltaje aplicado dividido por la

longitud de la muestra.

Los electrones en la banda de conduccin se mueven hacia el lado derecho

como se observa en la Fig. 25b. La energa cintica corresponde a la

distancia desde el perfil de la banda (es decir, CE para los electrones).

Cuando un electrn sufre una colisin, pierde algo o toda su energa cintica

en la red hasta caer a su posicin de equilibrio trmica. Despus de que el

electrn ha perdido algo o toda su energa cintica, empezar otra vez a

moverse hacia la derecha, y el mismo proceso ser repetido muchas veces.

La conduccin por huecos puede ser visualizada de manera similar pero en

direccin opuesta.

El transporte de portadores de carga bajo la influencia de un campo elctrico

produce una corriente llamada corriente de arrastre. Consideremos una

muestra de semiconductor mostrada en la Fig. 26, la cual tiene una seccin

transversal de rea A , una longitud L y una concentracin de n

electrones 3cm . Supongamos que ahora aplicamos un campo elctrico E a la

muestra. La densidad de corriente nJ que fluye en la muestra puede ser

encontrada por la sumatoria del producto de la carga )( q de cada electrn

por su velocidad sobre todos los electrones por unidad de volumen n :

EqnqnvqvA

IJ nn

n

i

i

n

n 1

)( (45)

donde nI es la corriente debida a los electrones. Hemos empleado la Ec. 37

por la relacin entre nv y E .



Un argumento similar se aplica a los huecos. Por lo ya hablado la carga de

los huecos es positiva, por lo que tenemos

EqpqpvJ ppp (46)

La corriente total que fluye en la muestra semiconductora debido al campo

elctrico aplicado E puede ser escrita como la suma de las componentes de

corriente de electrones y huecos:

EqpqnjJJ pnpn )( (47)

La cantidad en parntesis es conocida como conductividad:

)( pn pnq (48)

Las contribuciones de los electrones y huecos a la conductividad son

simplemente aditivas.

Fig. 26 Corriente de conduccin en una barra semiconductora uniformemente dopada con longitud L y con rea de

seccin transversal A.

La resistividad correspondiente del semiconductor, la cual es el recproco de

, est dada por



pn pnq

11

(49)

Generalmente, en un semiconductor extrnseco, slo uno de los componentes

en la Ec. 47 o 48 es significativo porque la diferencia en magnitud es de

varios rdenes entre las dos densidades de portadores de carga. Es por esto

que la Ec. 49 se reduce a

nqn

1 (50)

para un semiconductor tipo n (donde n >> p ), y

pqp

1 (51b)

Para un semiconductor tipo p (donde p >> n )

Difusin de portadores de carga

Proceso de difusin

En la seccin precedente, consideramos la corriente de arrastre, esto es, el

transporte de portadores de carga cuando es aplicado un campo elctrico.

Otra componente importante de la corriente puede existir si hay una

variacin espacial

de la concentracin de portadores en el material semiconductor. El proceso

de difusin es la tendencia de los portadores de carga de moverse desde una

regin de alta concentracin a una regin de baja concentracin. Esta

componente de la corriente es llamada corriente de difusin.



Para entender el proceso de difusin, debemos asumir una densidad de

Fig. 27 Concentracin de electrones versus distancia; l es la trayectoria media libre. La direccin de los electrones

y de la corriente fluyen como es indicados por las flechas.

electrones que vara en la direccin x , como se muestra en la Fig. 27. El

semiconductor est a temperatura uniforme, tal que el promedio de energa

trmica de los electrones no vara con x , solamente vara la densidad )(xn .

Consideremos el nmero de electrones que cruza el plano 0x por unidad de

tiempo y por unidad de rea. Debido a que a temperatura es finita, los

electrones tienen movimiento trmico aleatorio con una velocidad trmica thv

y una trayectoria media libre l (note que cthvl , donde c es tiempo medio

libre). Los electrones en lx , una de las trayectorias medias libres del lado

izquierdo, tienen la misma oportunidad de moverse hacia la derecha o hacia

la izquierda; y en un tiempo medio libre c , la mitad de ellos se movern a

travs del plano 0x . El porcentaje promedio de flujo de electrones por

unidad de rea 1F que cruza el plano 0x desde la izquierda es entonces



th

c

vln

lln

F )(2

1)(

2

1

1

(52)

Similarmente, el porcentaje promedio de electrones que fluyen por unidad de

rea 2F en lx que cruzan el plano 0x desde la derecha es

thvlnF 2

12 (53)

El porcentaje neto de portadores de carga que fluyen de izquierda a derecha

es

.)()(2

121 lnlnvFFF th . (54)

Aproximando las densidades en lx a los dos primeros trminos de la serie

de Taylor, obtenemos

dx

dnln

dx

dnlnvF

th

)0()0(2

1

dx

dnD

dx

dnlv nth , (55)

donde lvD thn es llamado coeficiente de difusin o tambin llamada

difusividad. Ya que cada electrn porta una carga de q , el flujo de

portadores da como resultado la densidad de corriente



dx

dnqDqFJ nn , (56)

La corriente de difusin es proporcional a la derivada de la densidad de

electrones. La corriente de difusin resulta del movimiento trmico aleatorio

de los portadores de carga de un gradiente de concentracin. Para una

densidad de electrones que crece con x , el gradiente es positivo, y los

electrones

Fisica de semiconductores

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