Física Cuántica

5/16/2018 F sica Cu ntica

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serie de ffsica monograffa no. 8

Secretaria General de laOrganizaci6n de los Estados AmericanosPrograma Regional de Desarrollo Cientifico y Tecnol6gico


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F I S I C A C U A N T I C Apor

Onofre Rojo AsenjoUPIICSA, Instituto Politi!cnico NacionalMexico 14, D.F., MEXICOyHarold V. McintoshUniversldad Autonoma de PueblaPuebla, MEXICO

Secretaria General de laOrganizacion de los Estados AmericanosProgr.ama Regional de Desarrollo Cientifico y Tecnol6gicoWashington, D.C.


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:~Copyright 1971 byThe General Secretariat of theOrganization of American StatesWashington, D.C.Dcrechos Reservados, 1971Secrt'tmia General de 10.Organizacion de LosEstados Americanos

Washington, D.C.Primera edicion, 19718egunda edicion,cnrreg'ida y actu alizada 1980

Esta rnonoqratta ha sido preparada para su pubttcacioo en etDepartamento de Asuntos Cientfftcos Y Tecnol6gicos de taSecrelarfa General de la Organizaci6n de 10$ EstadosAmericanosEditora: E.vaV. ChesneavAsesor Tecriico de laPrimera edici6n: Dr. Carlos Alberto HerasComisi6n de Desarrollo y Coordinacion

CienlificaUniversidad de Orien1eCumana. Venezuela


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El programa de rnonog r arfas ci ent Ifi ca.s es una fa


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lNDICE

A los Lee to r e s ....................................PR1MEHA PARTE. DESARROLLO HISTORICO DE LASIDEAS CUANTICAS

Introdueci6n ...................................F6rrnula. E'rnpfrica de 113.Radiaei6n y su Dedue c:i6nTermodin:'irnica ...............................

Ley CUsica de aadiao::i6n Electromagn6tica ........Ley de Radiaci6n de Planck ......................Ley de Radiac:i6n de Einstein; Fotones y Em.isi6nEs.tirnulada: Lliseres y Maser"" , .

Aplicaeiones de Ia T'e or-Ia CIl:'intica: CalorEspecffico de los S61idos .

Efecto Fotoe16ctrico .......................Efecto Compton ................................{rcmo s e Modelos y Espectros ...................T'eo r Ia C,,{.ntica del Atom.o. Modelo de Bohr .Confirmac.i6n Ex.perimentaL de los Estados5 ta.cionarios .

PrinCipia de Co'r r csponde nc ia .Nurneros Cl1anticas y Estructura Fina ............Onda.. de de Broglie ...........................Principios de Complementa r Ida.d. . _ .

SEGUNDA PAR TE. LA MECANLCA GUAN'!lCAPo seula.doa Fundamentales _..........Principio de Indeterrninaci6n , .1 Principio de indeterminaci6n y los Atomos .Penetl'aci6n de Barre ras y Pozos de Potencial .Cuantificaci.6n de 1a Enel'g{a en PozosInfinita" y Finitos . _ _ .

Oac Ilado'r Arrn6nico .cu,.ac:i6n de Schrodlnger _ " . " , .1 At orrio de Hidr6geno ...... , ..............Momentum. Angular _.. , .ExperiITlento de Stern y Gerlach _ .Spin ....................................... , .PrinCipia de Pauli. N(imel'os Cuanticos

y Estl'Uctul'a At6mica .Sistelnas de Pa r-tfcu.la s Id6nticas: .P'ri.ncip'lo deSiznetrizaci6n _. _.. .

Tearra. Cuantica de las Mollkulas .

PlI.ginaHi

.3568

1011n V13141(,17171820

2.3zJ ,28283(1313236384041434S48


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VI

Teorfa Cll~ntica de Campos - ..................Conclusi6n .

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Bibliografra . 57


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1DESARROLLO HISTORICO DE LAS IDEAS CUANTICAS

lNTRODUCCIONEl desarrollo de Ia, f[sica c\l.antica corrienzo a. partir de La terITwdimi-

mica y esta se desarrollo durante el srgIo XIX a l mismo tiernpo que Iarevoluci6n industrial. A partir de heehos errrpfr-t cos , tales cOn10 laeficiencia. de las Inaquinas tt~rrnicas, ti e paso de teori'as maternatieasdel calor elaboradas por Fourier, Nernst, Ostwald, Planck, etc., a unesfue rzo por expttcar las propiedades de l calor de sdEl un punto de vistatnecanico bas ado en un t r aearrri.errtoestad{stieo del rriovirnienro de partr-cula s individuales como 106 ,homos de un gas. Fue imposible de sarro-11al' una teort" puraInente me cantca del calor porque er a necesario toma ren c.uenta Ia transereneia del calor por varios proeesos, uno de LoscuaIes era l a radlaci6n, Y 1a radiacion es Un fenornenoestrictanHmteelectroD1agnetico, rio mecanico. Cualquier teor,a deI calor teni"a quecorraid er a r todas las posibles formas de energta, y aunque a Iguria deestas podfa ser pa sada POl" alto, con difieultadpodta evf ta.r e e en la. rna-yorta de los estudios Ia inclusion de 1a ene r gIa dnetica del rnovim.ientode la5 parti'culas, la ene rgfa potencial de Ia interacci6n entre las pa ref-cull's, y La ene rgta t'r an srnf ti.da al campo ele ctromagnetico. UUlizandoso Iarrre n te la terrrlOdinam.ica., e 1e Iec t.romagna tis rrro y Lame canica clas! carUe imposible expLicar fenornenos tales como Ia rncandescencia. De todosera sabido que el color de un cuerpo incandescente depende de 1a tem-peratura. Una herradura calentada pOl" e l herrero comenzaba COnunraja oBeu"o, que se haci"a mas claro a medida que se calentaba mas yelcolor pa s aba de anaranjado a amadllo. Si la herradura se c.a le nraba atemperaturas e:xtremaaarnente altas, Ia 1112. emitida erae eada vez masblanca. En e s te heeho ee ba sa 1", manuiactura de pir6metros, con loscuates se mide La tempe ratura de sus canc tas , tales como el hiElr r o fun-dido en un cubilote.

Desde remota antigiledad s e ha'bfa observado que a lg un as estreIlaeeran mas r ojiza s que otras; Aldebaran e e urta e stre11a rriuv raja, entanto que Sirio e s ba s tarrte a su lada , Se SUp'LlSO que es ta s variaclones decolor Se de'bian a Ia distinta temperatura de Ia superfici.e de e abae .. s-treila" .

No siempre se puede asocia.r el color de u.n cuerpo con su tempera-tura; por ejemplo, la vaporizacion del sodlo, 0mas simple arm, la de lasal de coctria POl' medio de Ia llama, produce en esta un intenso coloramari Ll.c y our-os metales p.r-odu.cen ot.ras coloraciones. Por estas y otra8ra,"ones, las sales de e et.ron.cio y de bario se utiLizan para pr-ocrucl r elrojo y el verde, r-es pe cttv arrie nte , de los fuegos artificiales_

Se constato que algunos materiales emitran luz de una Iong itud deonda bien definida, cuya intensidad podia de pender de la t.errrpe ea to r-a de


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aqu'>llos y cl1ya Lrec uan c Ia, no carnb iab a. Sin embargo, I.. mayurra delos rne eer Ial.es s(mostra.banuna variad6n del color al va rt a r la eempa-rat"ra. Cons ecuent ernent e, 5 e introdujo una jdealh;aci6n - - el cue rponegr o- -, que no es s electd vo en cua.nfo a La l'adiaci6n que puede emitil'o absorber, y a1 que pueden apr-oxirnar se mas 0rneno s los cuerpos ma-t er ia Ie s r eate s. Una imagen d"l cue r-pon egro n.os Ia ofrece una cavidadcal encada y. prov i.st a de un,pequei'!o agu j er o, La radiaci6n que cnt ra enella po r "I aguj er o sera reflejada ab sor bjda: pe r o, una v ez dentro dela cavrdad , e s rnuy peque1ia la probabiIidacl de que vuelva a s alir pc r elaguJero. De est" rriarre r-a, tal eet r uct ur a es perfcctamente ab s or bont epara toda s las Cr"cuencias.

Se puede peri.sar t arrrhi en que est a cavidad ee ig uatmenee no seIec t lvarespecto ala radiaci6n que emrt e , Y que por Lot ant o sirv c coma modelote6rico cuyes propiedades se 'pueden an a.Hza r ,

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:,;610 se pued e ent end er eI cornieu ac y e l de aa rro lfo de La -rned,nicaeuantic". siguiendo Los esIue r-zos he chos para obt ene r modelos materna.beos que explicasen los diferentes resultados, tanto empfr-t cos comoexp er rmenta Ies , conocidos bacia finales del siglo pa s ado, Cuanro nH'iscurdado aarrie nt .. s e analizaban osto s modelos y 1'01" tanto se tornaban I T t " ' .eornpl cjos , mas y mas obvia era Sl1 ineptitud para explicar 105 fen6me-nos obs ervados , La Ciniea rnazrer a de reconciliar rriodelos y b echos fueuna nip6tesis b ast arate arbitraria. formulada por Planck y que Se hub ier aTe"ha~ado como ab sur da , si no Iuc r a por que no 5610 explicaba la distri-buc:i6n de 1a intensidad de la ...acHad6n de un cuez-po neg TO, sino queadema s abrra la po sihlHdad de explicar ot ra s vieja s an orn a.Ha s , como 1"desViaci6o, a baja s temperaturas, de los ca Ior e s espec(Jicos r e spect ode Ja r-egla de Dulon,g y Petit, 0 e1 calor es pe cIf'i co andrna.Io de gasesdiat6mico9. Poco a poco se fueron acurnuIa.ndo ot r os lestimonios corrr-pr-obat or-Ios de esta hip6tesis, como Ia explicaci6n, po r Einstein, deleect:o (otoelectrico a partir de la coanttfic a.cion de Laene-r I!ia de las ond.aslurridnoaa s pr cviata por la formula de planck,

Es convenient e distinguir trag grandes p ..r1odos en ..1 desarrollo deLa f{sica. En cl pr imero , llamado clasico, se produ.jo el de sa 1'ro110 deIa me cam ca , del electromagnetismo y de ra tel'modinarnica, de rnaner aque pa r ecIa posible a Ica nza r mediante e s taa df s cipIinaa =11. visi6n uni-ficada de Ia oa.rur a.Ieza. Y aun que una amplia variedad de fen6menos{(sieos podfan ser aS1 explf cados qued aban todavfa muchos ot ro s que te-nfan que S"1' post u'lados "ad hoc". POl' ej empto , que 011 eIerrrento Iu.es eaislador 0 conductor, que ruv le sc un c:i


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el>'lsic;a en 1a fo:rtuulaci6n hecha por- Maxwell del campo eiectrom.ag-netieo, que rrnpedfa predecir Ia cas! evtd ent e necesrd.ad de la cua.nrif'i ;ci6n, La eual pareei'a resolver la Tnayor parte de Ia s contradicciones yque, de rrra.ne r a c r eciersre, e'r a confirrnada por datos expe rtrrient are s .Este per Iod.o comenz6 con e1 usa de Ia hip6tesis cllantica para imponersistema y orden en areas pr ev ia.rrrerrte cs cur a s y rrra.l conocida s ; s e pro-greso gracias a las t:eglas de cuantificaci6n de Bohr y a las modiicacio-nes, en su rriay orIa ernpfr+ca.s , de Ia rnecanica y de la el"ctrodinlirniea, YaS1 s e logro a l.canzar e1 desarrollo conduc enee a la rn ecam ca ondularo-ria.

El t"rcer per fodo corrien zo en 1926 can 1a adopc idn d efinibva de unaecuac icn diercncial y de un clilcul" de operadol","s que, d eede entonc es ,han Ior rrrado la hase to.oTica de tada La f{sic,.. Al mismo tiempc, ungran numero de principios ({sieos, euya vahdez se habra bee h.o cade ve-zmas cvtd ent e , como e l de indet"rminaci6n y e1 de comp1ementariedad,quedaron implrcito~ en las pr opte dad ee matematic as de las ecuac iorre sde onda y de las cantidades que pretenden representar. Por ot ..a parte,eI e sfue.rzo po r corripr-errde r e sas Iey es nuevas y extrai'las del rnundomie r08 e6pico, tan a Ie ja.da s de las que r i.gen e l rrmrido de Ia exp erienciadiada, eondujo a una Iorrnu Ia cion mas reaIis ta de la teoI',a de la medr-cion,al r ecOnOC,,1 La rrnpo r eanct a de La mr er a cct dn entre el apa r a t o demedid a 'I el sistema ob s e r v ado durante el proceso de IIledid6n. Chbi-carrrerit e s e pensaba que eats interac:ci6n SOl podfa h ace r tan pequei's.acomo se qui sre r a. 3

Aunque 1"5aventurado deeir que Larnecaru ca cllantica eS ya


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expttctra de esra funct6n F(v, T) no Iue deterrn:inada te6ricam.ente en auscomienzos, 109 resultados experimentales para la variaci6n de 1(\I} con\I a diferenteti le>nperatura5 absolutas, dabun curva.a como las r epr esen-t.ada a en Ia iigura 1. Se observa en ella que para cada telnperatura ab-solura exist e un maximo de 1(v), Y que a medida que Ia temperaturaaumenta, el valor de la Ir ecuencfa correspondiente a un rnaxrrno de 1"curva se desplaza. Si aho r a tomamos las Irecuencias de los maximosde variaa cur va s y las representalnos en funci6n de la t.erripe r e tu r a ab-sofuta , resulta que los puntas ae encuentra.n sob r e una recta (Fig. 2).

2000 ~

L- +-__~~---+----T1234:167 a IQQQ ,.,00 .000. 4

Fig. 1. Distribucion de 1a Inten-sidad de 1a radiaci6n en funci6nde 1a freeuencia.Fig. 2. Relacion lineal entrefrecuencia del maximo de 1a ri~.1y t em pe ra tu ra a bs o1 ut a.

Conforme a Ia figura 2, po derrros .. scribir Ia relaei6n Ulate:tnatica:", '" bT [ Z J

donde b es una ccnatanre. Esta. ley s e cornprueba. experimentalmentecada vez que e e calienta un a.Iarrib r e , ya que Ia coloracion del rrri s rrio ,indicadora de la frecuencia de Ia lU2


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ci6n de vIT, dond e c as 1'1velocidad d e Ia lu;I>en eLvacfo. Esta Iunc Idn ,que no es po aib le d ete nm ina r por =etodos termodinanticos, pue de 6 ersimplemente v/T 6 Iv/T 6 e-v/" etc. Estarno9 en el carrrin ode encon-trar una ley de 1'a.diaci6n, a Ia eual s e pid e que cump la las condiciones(zJ y [3), esto es, que tenga una irecuencia maxima para c ada tempe-ratura, que es ta fr ecuencia satis!aga la Leyde despLazamiento, Y que 13.f de (3J sea. una funci6n de v/T. La r-espue at a no e s (iniea porque lascondie ion es anterior e s son nee es ari as, pe ro rro suftc Ient es . G uando enfrslea s e encuentran situaciones como esta., son los resultados experi-mentales los que deciden entre las multiple" alternativas que se brindan.LEY CLASICA DE RADIAG16N ELECTROMAGN.E:TICA

Una v ez conocido el fen6meno de equilibria entre radiaci6n Yrrra'te riay eoepr es.ado mediante Ieve s empfr-lc as , s e necesita un modelo al que aepuedan aph.car 105 principios de Ia i{sica para dedudr de 8U eatudi.o 10que ;muestran 108 datos experimentales. Se puede imaginar que Ia sus-tancia material esta formada de atomos que vibran como si fuer an r e -sortes que se hubiesen extendido y luego s olt ado, Estos resortes sellaman oscHador e s y Be ca r ac te r Izan por una frecuencia bien definida ypor que 8610 pueden absorber y ernitir ene r gfa de una fl-o"uencia illua 1 ala s uy a, Si LIaznarno s 1] (V, T) al valor pr om edi o de las ene rg{as de todoslos cs ci.la.dor ea que tienen la frecuencia V a la. temperatura T, 116 en-cuel1tt'''' que Ia intensidad de Ia radiaci6n de Irecuencia 'J pres ent e en Lacavidad es : 5

ZV" -1(V) = 7(V, T).Se ha transforrnado as{ e l problema de encontrar f (v/T) en el de deter-znm a r Orv , T) para os cf l ado r . .Esta determinaci6n s e puede realizara'pl.i carido e1 principio de equipartici6n de laenergi'a, ampliamente utili-zado en Ia teor;a cineticade 109gases. Segun este pTincipio, la energ{amedia as oc ia.da con cada grado de libertad de una m.016cu1a e s ~ kT, donde1 1 ; e e Ia con s tant e de Boltzmann, cuyo vaIo r es 1,381 l< . 1O-~3J/K. A loaefectos de una eeo r ta cin6tica, s e pued e asimilar un


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10 que , , 5 ~ ~ en total d I"S acue:rdo con 10~,heehos expe r imentale 5 reflejadosen la !igura 1, En esta s e ve cla r arnen te que , a f:reeu,eneias m


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Hay otra man er a de ver que un os cIfado r no pued e t erre z - cualquj e'rener{lla. En 1877, Boltzrnanndemostr6 por merodc s estadi'sticos que enun conjunt o muy grande de si aterria s que no interactuan entre 51, talcomo el de los oscal.ador es que estarnos considerando, la probabilidadde que un sistellla tenga energra E es""

donde a es una constant e que se d et er-rrrirra imponiendo que La probabili-dad total sea uno. La probabilidad [7J es proporcional a.I numero desistemas, en e ste ca.so de os ctIado rc s , que tienen en er gfa E; par 10 tan-to, hay InUY pocos os cfIado r e scan ener gIa.s muy grarides [Erecuenciasm.uy altas}, tal como se desprende de las cur va s experimentales de 1aagura 1. Sin emb ae go , si 5e supone que La en"rgra e s continua Ina cua'n-.tificacia), Ia en er gfa media de un os crl ado r e B

-0(", Ti = s : E PIE) tiF; (8)y s e obtien e i)(V, '1') kT, igual que si se utiliza Ia ley de equipartici6nde Ia energ{a, 10 cua L, corn o se v=. conduce a 1a I6:rlllula de Rayleigh-Jeans. Por 10 tanto, como Ia exp:res i6n [ 7 J e s de va lid ez co mp Leua'rrrrrntegeneral, los os ciIador-ea no pueden tener cualqui er cner gfa y no se puedeIlsar la ecuaci6n [8] para cal c uta r s u ene:rgra media. Para hacerlo con-Iorme ala cuantilicaci6n suge r id a Pal" Planck, r ep r eaen t errioa cad a unode los e stado s del os crIado r par los raiveIe s de 1a figura 3: 7

3

r i ~ _ 3. Niveles de energiade un oscilado~ arm6nico(segun Planck). Las fle-chas i nd ic an t ra ns ic io ne s.

2

?.c,2

'"4. . .CW0

Sea Eo .: Ohv; E 1 = h.\!; E ~ = 2/1;,,: ... ; En = , . , J > _ ' ) , y I'la.rrie rno e N.; Nl;N2; ... ; No a Lapoblaci6n en cada uno de eS05 eseadc s , 0 sea alnu;merode osciladores que tien"n e s a s energras. La energ(a. media sera:

'" En realidad, cu ando La ene:rgra ..5 continua, La probabiliclad de que eloscl Iador tcnga un valor exa ceo de la ener gfa e s ce ro , s610 se puede hablarde Lapro'babilidad de que eI as ci.Iado r tenga urra, ene r gfa comprendida en-tre EyE + dE. Esta probabilidad "9 PIE) dE, corr PIE) dada por 1aecuacidn [7], La cua l ea errtoncea una densidad de probab rl'tdad , en est ecas o de e"ergi'a continua.


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don de , confo a-rne a la ec uacrcn (8], 130pobh.ci6n de cada estado ...sta dadapor

N! '" b e-{kf.Pa ra carcul.a r Ia exp r es io C 9J, nol.e:mosque

Na '" b e""hV/~' - b Nl e~hVf~'Y"m general,

N. '" bN.-l e-~\l/~THac iendo e-'''/'' = .x; y surna.ndo , s e obtf erie pa r a Laenergfa media deIinidapor 1 3 0 expresi6n ,[9):

U("II, TJ ,[10]Y 130[3] s e convte rre en

[ 11JE.5 faei! ccrnpr oba r que cuando T es pequeno 0 v e s muy grande, c staf6rmula se h:ansCorma en l a ley de Wi"n, Ycuando T eS grande y "II P"'-8 'lue!'la, en la de Rayleigb-Jeans. Para obt en er es ta formula, Plancktuvo que abandona r el enfoque te'rmodimUr';co, Y :recuJ:'ri,, a un conceptopr obab ifs tic0 de 130ent ropfa,LEY DERADIACr6N DE EINSTEIN: FOTQNES YEMISl6N ESTIMOLADA:LA-SERES YMASERES

Planck lleg6 a Ia deducci6n de s u 6rm.ula basandose en que carlaoscilador asume esrados igualmente espadadoB 'I en que Ia toransiCionde, uno a ot r-o s e hacra de un a rnan exa drs contanua, en multiplos de 1 \ . \ 1 .Esto equi val e a una cuantificaci6n de 1'05 e et.a.doe del osci1adr, pero ennada se rehere a 130uz absorbida 0 emitida en 130transici6n. S" que tIaaalv.ar- la id "a. de que Ia propag aci6n de 1" l",z o d e cua lquier tipo de r a-diad6n s e h.acla en forma de ondas de acuerdo con las Ieves clasic30s deMaxwell, V 51 aigo paGaba, era precis arnent e en la.s pr oxi rrud ade s deloscilador, donde Ia abs or cidn 0 la emisi6n ocor r fa en Iorma dlsc r etade cuant os de Iuz, Einstein Cue m:;is an a que Planck en est e analisiB ydem.ostr6 que, ad erria s de cu arrtri.Hca't-los estado'. de la materia {osciIa-,dor), era ue ce sa.r tc cuantrfi caor10seetado 5 de 1a radia.ci6n (luz ): Ia Iuzesta forma


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sis610 elsegundo, I,. ley de Wien; volverno s pues a encontl'"ar la f6rmulade Planck como una generalizaci6n d e arnba s . Einstein estudi6 en de-talle eI pr oc eso de emisi6n y absorci6n de energ:ra par Losaton,os, enlos que, a dUerencia del oscilador, los niv eIe s que representan SuBeatado s no e aran ;gualmente espac tado e, y encontr6 que las t ran aIc Io,,GEl S entre los niveie s suceclen no 8610 euando hay radi"e i6n externa. si-no tambien en ausenc ia de un campo" con cler la proba bilidad '!a prior'i ",COInO se produc en las desintegraciones radiactivas, de un car act er to-tabnente esfadf'sbico y no dete ...minista ,

5 i I) Y ( 2 ) son clos estados d e u n conjunto de atomo. en equilibria,e I namero d e atomos que pasa po r unidad de t i e m p o del escado (11a1 (Z,es propordonal a 1a intensidad de La luz que indde sobre el los y ainu-rner o de atOTn08 que ae encuentran en e1estado (1). Este proceso sellama simplemente absorci6n. En cambio, el paso de los atomoB dele stado (Z) de mayor en er gfa a1 estado (I) puede ocurrir de dos =aneras:(a) en ausencia de radiaci6n iemi5i6n espont ane a) y (b) ..n pre ....neia deella, en cuyo ca so habra que anadir a los atomos que es ponran ea.me ntepaaa.ri'an de (2) a (1), 108 que pasan Eorz ados par la presencia de la ra-dia~i6n. Se Hem e en e.oncea e en "L proe 1050 de absorci6n, que el n o m o 1 : " ode atomos que pasan por unidad de tiempo del estado (1) at (l) es

y en el de erni5i6n, q\le el numerOde atomo s que pasan por unidad de 9U,,:mpo del estado (2.) al (1) e s[ 13)

d o n d e Aal Y B~ son, respeetivamente, los c o e l i d e n t e s de pr cpor ctona-lidad de emisi6n eapont ane a y de absord6n, 108 eual e s dependen de losestados que intervienen. En equilibrio a La temperatura T, se tien.,entonces:

'{como ya anterionnente lie teni'a hV = E2 - El Y N. " o e-"a(" J a la "ezque Nl = s e=! kl, res uIta:J(\J) B", e' ,J - B,2

Pa ra que Be pueda compara .. es te r es ult ado con 10.r6rrrlu]a de Planck,e s nee ea a r i.o que Bat = B1a, 10 que indica que los eoeficientes d e a b e c r -ci6n y de ernisi6n entre dos estados de un atomo son iguales. Tambien.urge de Laccrrrpa r a cidri de la f6rmula [14) can Ia [ ] I] que

La po sibilidad de emisi6n estimulada tiene actualmente apLicacionesen fi'sica y en tecno log Ia en formade ta:seres y m;!lleres. En estos dis-posItd.vos se hac", incidir radiaci6n (luz 0microondas) de cierta Ir-ecuen-cia sabre una sustancia y La rni sma emite radiaci6n de Ia rrri errra re-


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cuencra, perc de intensidad mucho mayor que 1" incident... Hay unaatnplificaci6n de la :radiaci6n. El U:~er fundona segLin eJ siguientepr-mcrpaoe La distribuci6n de intensidad (14] cor r es ponde aI equilibrioentre la radiaei6n y 1a materia, en cuye caso los nUIneros dado s por lasecuac iones [12) '/ [13] son iguales. En el caso general, cuando no bayequilibrio, e1 C odente

Numero de etnisionesNo1mero de absorcione s - R Q Aa V N~~= 1+-----R,,, BZl.l(\J) N,

es d if erente de uno. En la expr esi6n ant e ruo r , I(V) es 1a distribuci6nde intensidad en 10.radiaci6n incident e y no la d.iat r-ibcckdn de equilibrie[14J. Para Iog r a r ,,1 efe cto de ampiHicaci6n antes men ctonado , s eprepara, mediante un pr occdi.mrento apropiado, el eat ado (2) de tal ma-ne r a que tenga una poblaci6n rriuc ho rnayo r que 1a del (1), 0 sea queN~/N, J > I. Cuand o se ilurrun a con r adi acton de 1" frecuencia cor r espon-dient" a Ia ener gfa E" - E" La sustancia pra.cticamente no Ia ab sorbepOl' encontrarse caeidespoblado el rrive 1 (l) y en cambio 1a reIuerza conJa Iuz de 1a misrna freeuencia producida en La errri.eicn estirnulada delnrve l (2) at (1J. Con esro Be log"a que el coc ient e que apa ...rc e dont rodel pari'.nteais en [IS), que es igualal cociente entre el num.ero de emi-sionas espontaneas y ,,1 de ioducidas, 5013. muc bo menor que uno. Enc on s e c uan cia se tierie

1 0 Numel"O de eIllisiones ~N d r r i e r o d e a b s o r c ron.e s 1.

En ot r as pa lab r as , cuando se Humin" la B us t an cia con r adt ac 160 cuy a'inte-n.sda.d en fu.nc idn de I" fr ecue-nci.a e s 1('V), ~ ale une radiaC16n de frt~-cuericia igual a rE~- Ed/'" con una intensidad rrrucho mayor que Ia inci-dente. Los laseres producen es te ere ere de amplificacion can Ia l uz ylos ma se r e s con las mieroondas. El nombre de estos dt epoattavoa pro-viene de Ia srgIa de las e'xpr-ea-io.nes i.ngl.esas : "Light Arrlplification byStimulated Emission of Radiation" (arnpHfi cac idn de Ill': mediante emiei6ne etimulada de T adiacione s) y ''/.fier 0wav A mplUie at ion by Stirn"la tedEmission oI Radiactions" (am.pLHieaci6n de microondas por emisi6n ea-timuJada de r ad'iactonee l , POI' cierto ql1B, co.rrio hay :mas estados (21que se de8cxdtan y pa san a l 01 que est ado s (1) que se excrtan al (2)absorbiendo radiaci6n, el niv el superior comrenz a a despoblal'se, deTI10do que Ie arnplificaci6n disrninuye hasta anularse cuando s e a.Ican z.anuevamente e1 equilibria. POl' ella es nee esario r spobla r continuamenteel nive 1 suprior mediante metodos e spec ra.Lee ,APLICACIONES DE LA TEORIA CUANTICA: CALOR ESPEClFrCO DELOS SOLIDOS

Muy poco despue8 de formulada la teort" cuantica, Einst ein pudocxpHca r- saba sEactor-iarrrerrt e el corripo rtarrri ento del calor ,,"pcclfic.o d c105 .olldos a ba.jas t.ernper-at ura s , en las que se habra ob se rvado expe -rimentalmente no segura Ia ley de Dulong y PetH.

Como es bien sabido, La ley de Dulong y Petit dice que eI calor at6-rrrico , produeto del peso at6n~ico pOl' eLcalor especffi co , e s a pr-oxi rrra-.clamente igual a 6 cal/mol K. Aceptando que los atoInos de un s6lido noeieeman movdrni.entoe de traslaci6n ni de rotaci6n, s610 tenclran mevi-


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mientos vibratorios, Cada una de las rr es ccrnponenres de es te movr-miento contribuye a Ill. energrll. con irT It KT por la ene r gfa potencial y.otro tanto por la erie r gfa cinetica); en total, U"" 3kT, El calor at6rnicoesta deIinido por

C = N dO dT [ 16)dondc N. es eI niirner o d.e Avogadro, En cons


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F i g . 4 . D i s p o s i t i v o p a r aobservar el e f e c t o f o t o -electrico. G e s u n gal-vanometro sensible quet'egistrael paso de la co-rriente fotoelectrica.

1,._____----J~eotQdo ~I--_-..J- +d ur ant e varioa arlos todo intento de exptt caef on a partir de las ee uacto-

nE'S de Maxwell. De s e r est as ecuactones aplicables a1 proceeo, Ja ondaelectr-ornagneti ca debi era !levar 1a energfa ne ce sa r+a para arranc:ar lose l e c t r o n e . d e ] metal expuesto a ella y a c e l c e a r I c s , y esta energ(a lOSp ropo r ciona l a la intensidad y no a la Jr ecuenci a de la onda, Por otraparte, Be reque rt r fa un tiempo baetanc e largo para acurnufar en el alomaIa energra pr oced ent e de La ond a que se necesi!a para liberar delectr6ne irnparti.rle Ia velocidad que adquiere en est .. experirnento. Einstein,una vez poseul.ada 1 0 1 existencia de los Forones , explic6 este fen6meno,Hamado efeeio fotael.;atriao, como la colisi6n entre un Cot6n y un elec-tr6n tigado a un atomo. Este proc eao es cas; instantaneo, y en si, partede 101energfll. del fot6n 1].'V Se emplea para veneer ,,1 carnp o creado ell Ill."LIperfiel .. del metal, y Ill.r "stant ..para a~eIeraz OILIect r Sn e impartirlcuna velocidad 1;, En eIrnbolo e:

1 2

[17JCua.ndo La f r ecuerrcia es rneno r que ~./h, e1 fot6n no tendra energta su-Irc ien te para venc er ",1 c arnpo de La superfide y 110 habra emisi6n. Estaser fa 101 expt icacrdn de! punta (b). Los datos experimentales estan enpl..no acucrdo COn esta interprdad6n, com.o se puede observar ..n 1,,-fig"ra 5.

r~o!

fig. S. Energia einetica de losforoelectrones para diferentesvalores de v, Pot' debajo de V.no hay emisi6n. La pendienre dela recta es h.


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EFECTO COMPTONOtro fen6meno en pro de Ia hip6tesis de Ia narur a.leea corpus cuIar

de La r-adfac i6n es el e!ecto Compton. Consi 5 te en 1a coli 8i6n de Iobon escan electrones, pero en este caso, contrariamente a1 del efe cro foto-electrko, los electrones estan libres. En 130colisi6n vale La cone eeva-ci6n de la energla y del momentum lineal, Lo mismo que si Be trataradel choque de esreras el;1sticas. El ot6n, parti'cula sin mas a en reposo,tiene energi'ah\J y momentum lineal h;vic. Es de esperar una di sminu-ci6n de la ener-gfa del fot6n incidente por ceder parte de ella al electr6n,10 que se traducir!a en una frecueneia rrienor- de los Iot.on ea emergent",a,y as! s e comprueba expe r irnenta lrrient e. T'arnb ien , debido a Las leyesde eonservaci6n antes mencionadas, se puede predecir la direeci6n der et r oc es 0 del electr6n y Lade los fotones despues de Ia colisi6n (distri-buci6n angular). Los resultados experimentales estan plenamente deaeuerdo COIl las preda ccronee de La hip6tesis que considera el eIec to lo-toelectrico como una colisi6n entre dos partlculas, y no como la trans-{ereDcia de energi'a de una onda a un corpdscuro.A TOMOS: MODELOS Y ESPECTROS

La te orfa at6rnica tom.6 cuer po a principios de] s'iglo pas ado; lOBatomos "ran considerados como lOB cODstituyentes basieos de las mole-cula s y se catalogaban como entidades totalmente estables e mde at ru c-tibles. Aunque con eL paso del bernpo Be demostr6 que no er an tan 1 3Inrn utab les , au gran estabilidad sIgue siendo una de 5US caracteri'sticas.Muy pronto C om


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mentales. Rutherford bombarde6 blancos Ior-mados de hoj a s muy fina sde oro can part{culal! aUa procedentes de una desintegraci6n radt actrva ,y observ6 que un gran numero de tales paruculas at rave saban e l blancoy un pequel'l.o numero de ell as 8e disparsaban segUn ,{ngulos muy grandes.De acuerdo con e sto s datos, forrnLllo un rno de.Io planetario del ,{tOTDO,seg dn el cual hay un nucleo muy pequel'l.o, in:rnensamente separado delos eLect r one s llamad06 orbita1e s , ql1e Be rrruev eri alrededor del n"cleoen orbita.; el{pticas. E1 ntic leo contiene toda Ia carga positiva del atomoy ca si toda s u rria s a. EI numero de cargas posl.tivas e s igual al de lascargas negativas de los electrone 9 orbitales, siendo eate nCimero e l queindica el lugar que ocupa el atomo en Ia tabla peri6dica de los elementosqurrm cos, La. estabHidad del modelo planetaria de Rutherford qu ed.aexpUcacla pOl' analog{a con la estabilidaddel sistema solar, que sab ern oaha existado durante rrriLlorrea de atl.os. Sin embargo, no es tan sat.Is Iac-todo para 1a explicacion de las rayas eape ct r al es, Las ecuadones deMaxwell implican que una car ga acel.er ada debe radial' energra, can unaI1'ecuencia fundamental y ot r-as a1'm6nic:as que son multiplcs ente r os de130misma. Si e l rnovrmi ento de la car ga es circular uniIorme, Ia Ir e-cuenc ra es 6.nica. En tedo ca s o, como consecuencia de Ia eITlision deradiaci6n, ,,1 el act rdn debiera pasar a oi'bitas cerradas de radio cadav az menor descritas po-r 10 tanto en pe r-Iodos :rnenores, aumentando sufrecuencia y Ia de SLlS arrn6nicos de rria ner a. continua y rapida, 10 qu""oca siona r fa !ineas eepectrales ancha s y diIu'rrrinad as , Las obs er vaca o-nes ccnt r adt cen totalmente es ras prediccione s, las lrneas espect1'alc~

1 4 son delgadas y bien definidas, y La r ela cron entre las diferentes rayasestl'i l ejos de ser La que hay entre la frecuencia fundamental y sus ar-m6nicas.

Los e spe ct r os copi ..tas habfan encont r ado r eIac ione s etnplricas queles permit(an ca lcul.ar diferent",s Ifn",as de un espectro, Iormando 10que ellos Llarnaban uo.a serie. As{, las 110ea5 del e spectro del bidr6geno5ati sfa cen 1a relad6n:

donde c e s la velocidad do Ja Iuz , n y m son nUITleros ..ntero 5 y R. '"~ 1,09678 X J07m-l es 101Iarnada constant .. de Rydberg. Est:. relaci6nhie des cubierta POl' Ritz (1905 r , aunque fue Balmer (1885) eI prime 1'0..n usar est a f6:rmula con '1 1 = Z. Para'" = 1 s e encwent r a Una serie der ayas en E'1ultr avioleta que lorma 101.serie de Lyman; para (II = 7., laslmeas lie encuent ran en 1a regi6n vt aib Ie , Y SU conjunt o se llama ser-Iede Balmer; para m =: 3, se obtren e 101s er ie de Paschen en e I infrarrojo,y para otros vafo r e s de m , hay otz a s series que llevan el nombre de Icsc lcctr-os copt sba s que las id"ntificaron. Lo que debe recalcars e ,-s quela posici6n de las l'ayas no corresponde a la posicion de 1a frecuenciaIund arn ent a.l y SU5 annonicas.TEORlA CU.ANTlCA DEL ATOMO. MODELO DE BOHR

Para expl1car eI espectro del atomo de hidr6geno, Bohr torriri eImodele planetario del atoYno, y para rio cae-r en las contradicciones aque condu cfa un t.r acarrd eneo dasico del rrris rno , 10 co:mplet6 con lasideas cuanti cas de Planck, estableciendo 108 postu lado s que siguen:


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I. Elelectron gira alrededor del protondelatomodehidrogcnodes-cribiendo orbitas eli'pti cas , en las cua le a s e curnpte que la aeci6n S eSuri rrni.ltf plo de Ja cons tant e de Planck h, En c sca s 6rbitas e I electrOnno r ad.ia energi'a y por 10 tanto las rrrrarrias son ..stables a es t acrone.r iaa.

2. La emisi6n ala ab sor cidn de ra.c'liad6n del sistema prot6n-dee-tr6n ocur r e aI pas ar el electr6n de una 6"bita a otr a. Est .. radiacion esuri laton dO' Ir-ecuen c+a bien deHoida.

3. La frecuencia de los fatones errritridoe a absnrbrdos en la tr"-nsi-cion de una 6rbita a otra esta dada par

Eo - E. '" h,v,donde E. y Eo representan 111.energi'a de las orbitas esta cIon aeras inicialy final, r e spect iva.rne nt s . Como de acue rdo con Ia lTIeeanica clliska laTelad6n entre Ia aed6n S y el momentum angular L es S '" 2nL, reS u.ltaque la pr lrrie r a nip6tesis equivale a L '" fl~rr' 10 cual significa qtte eImomentum angular esta cuanrift cado. Suponi endo , porsimplicidad, que1a, 6a-bita de1 eIect;ron e,B drc ula 1" O f utili zand.o como r ere renci a1 eI sis-terna, no inereial en eI cual el electr6n e6ta en reposa, Ia fucr za deCoulomb errt r e el rriiarno y e1 nucleodebeserigL.ala Ia Iue r aa cent r tlug a ,e s decir , en unidades 51 (Sistema Intt'rnaCionaJ I;

I e~4 ' i ' r e or1 5

La energr" einetica de e st e elect1'6n Sera

Y SlI anergi'a total:_ I (e~ r . > : 1

E - 4TH. \_Tr -r) [ 19]y como L - 'IDr ~Mizl'l, resulta

(20J

dand e se VE' qu.e los va.Ior cs de r y de E. est an C llantificados, esto es , novar fan de rna n.er a corit irrua. Un paramet1'o Impo rt.ant.c en ii'sica at6mj_~_"ee el radio de 111.rimers- 6rbita, lIamado radio de Bohr ~.designado para . " que s e obtiene de Ia eccacidn [20] hacienda n'" I;

(22]


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Del tercer posrufado de Boh r r-esult a-En E. me" (I I )\I..: /l, "" ~ r ; r r -""'i?

Eata expresi6n proporeiona Ja Irecuencia de Ill. l'adiaci6n ezrnt ida 0ab-sorbida cuando el electr6n pasa de Ill.6rbita 111 Ill.n. Comparando es+aexpresi6n can Ill. f6rmu1a ernpfr tca de Ritz, e cu aci dn [IS], s e obtiene:

Calculando Ry can los valores InaS acept.ado s de m, e y h, ze sulza R). =~ 1,09737 X l07m~1., en acuerdo cast perfecto can el uti1izado po r los e s -pectroseopistas. * Verno", pues, que uno de los grande" exitos delrnod eto de Bohr fue La deter:rninaci6n de 13. coris t arit e de Rydberg, Ry,a partir de una teor{a cernpl et a y de constantes unrve r aa.les . El granm/hUo de Bohr re!;ide en Ill. slnte6;s del modelo de Rutherford can Lahip6tesis cuantica de Planck, y aurrque Ill.manera en que la radiaci6n in-teraetua can Ill. materia todavfa aparezca misteriosa en e ste modelo, e iexira en la interpretac;i6n del espectro del hidr6geno dio conHanaa a sussucesoz-es pat'a aplicar las nuevas ideas de cllantificaci6n a la m.ecanicade lOB siatemas microsc6pic:os. EI re!inarniento de estos mt'!todos eideas habra de cri stalizar en un nuevo cuerpo de docttina f{sica denonri-nado rnec~ica cuantica.

1 6 CONFlRMACl6N EXPERIMENTAL DE LOS ESTADOS ESTACIONARIOSLa primera hip6tesis de Bohr, Laexre rencta de esta doa estacionarios

dis cretos en los atomos, fue confirmada axpe r iznenea lrnent e par Francky Hertz en 1913. Aunque estos utilizaron i'l:tornos de hidr6geno en elestado fundamental, aquf s e hablara de aton"l06 de vapor de mercurio,ya que can esta sust ancia los estud i.arrtes realizan cor r ient errrcnt e elexperim.ento en los cuzsoa de rrsica. Unrilamentocalentadocmiteelec~trones que excitan 10s atoInos del vapor de mercurio que !lena ..I tuba deIa igura 6, Los "tech-ones san s us ceptf b les de aer- acelerados par eI

Fig. 6, Expe~imento de Franck y HertzC catodo termionicoR rejilla acelerado~aA ~ electrodo colecrorI = amperimet'roV = vOltimetro.

potencial variable entre el filamento y Ia r eji.l.Ia, Ademas en la placacolectora hay un potencial negativo de alrededor de 0, 5 voltios con el lin de

* La pequena diferencia. con los datos experimentales se eorrigetoroan-do en cuenta e1movimienta del nUdea respecto a1 centro de znasa delsistema.


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que 108 eteceronee de poea energfa no alcancen Ia pla ca. La CUTVade lacordente en lmci6n del voItaje es 6itnila.r a laode Ia figura 7. Ai prin-cipio, los electrones s610 pierden ener gfa por colisi6n elastica, perocuando llegan pr ecraarnent e a. una. energla correspondiente a una tz-au-sidon del .homo de rne r cur io , caat toda au energia es absorbida por6st" nltimo, YLa curva presenta un maximo {o un pieD, como se dicehab Itua.lrnent e). La dUerencia entre picos cor r-esponde pues a 1a tran-sid6n entre dos e sta.dos , y e8 del orden de 4,6 A , 10 eual eeta de acue r-do con la longitud de onda de la raya del espe ctr o del vapor de rrier curIo,

Fig. 7. Carva del experimento deFranck y Hertz para vapor de mer-curio. La primera excitaci6n ocu-rre a 4,9 aV.

10 .~Diferencia de noieD(":iaL tvcdttoa l

PR1NCIPIO DE CORRESPONDENCIA1 7EI modele de Bohr pzopcr-caona unamanera dedeterrninar 1a posictdnde Laa llneaa espectrales de un ~!:torno, pe r o nada dice ace r ca de La in-

tensidad 0 de Ia polariza


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electr6n debe s er muy alta y, par 10tanto, de acu er do COn la reiatividad,su masa debe aumentar. Este aumento de rna sa equ-rva.Idr Ia a introduciruna Iue r z a a.didonal en las ecu aciones, lacual har fa que las 6rbitas, envez de ser eltp ses cer rada s , Iues en e'lrps es qoe rotan Ior-rnand.c unar cs eta entre des c{rcules. Est e fen6meno se conoce cOn.,1 nomb re dep r eceeiori y es COInUn en los movimientos pl anet.ar ios , Tenemos enton-ees dos movilnientos peri6dicos: lIno, eldeleIectr6nenla. elipse, yotro,e I de las propias elipses barriendo Ia superficie entre los dos cfr culo s(Fig. 8). De acuerdo con lao ideas de cuantilicaci6n de Bohr, to",drlamos

Fig. s . Trayectoria en roset .. debida ala orecesi6n de la 6rbita del electron,cuando se ~oma en cuenta la correcci6nr elativi st a s ug er id a pOl' Sommerfeld.

1 8

dos acci one s : 51 = nit Y5~ = "n, que deIillirr';m este rnovrrra ent.o. Losn.1=e1'05 ,..y '/;."on errter c s , perO como S" no puede se r rnay or que 5"r esult a que h no puede s er mayor que n. Estos niJmeros n y k se Llarn annurne1'o5 cuant-ico s del atorno de hidr6geno. De eUos, n. s e llama "u",eroc:ucfnticoprincipal, por s er de mayor importancia en 1a determ.inaci6nde La cnerg(a del nivel, y h esta relacionado con La cua.ntifi.ca cion delrrrorn enturn ang nlar-, El valor de la energfade un nivel at6mico depend",Iundarnerrta Iment.e de 1') y rrtuy poco de 1 1 : , eS decir que niveIes que tong ane l rrusmo .. y diCerente if . estan mny poco sepaz ado s. A sl, para n ~ 3,los po s ib le a valores de h scrre I i : " 3, k'" 2, Ii: '" 1, Eoz-rriando los esta.dos(3,31, (3, Z) Y f3, 1), de eneTgra muy pr6xima. Esta cor r ecci6n rclati-vista predict' que, junto a cada raya deI eapectr o con n > l, dobsllapare-eel' va rta s r ay as c..rcanas cor r espondfent ee a los diferentes valores deif.. Esto es 10 que constituyc 13 es t r uctu r a fina, Ia cua l eala confirmadar:xperimentahnente. En r"'didad, file pr ecf sarrrerit e Ia ob 5 ervac ;6n dola e st-ructur a fina 10 quo condujo a Sommerfeld a intentar expl.I carla co-rno cor reccidn relativista.ONDAS DE DE BROGLIE

A pesar del exito de las 6rbitas cuan.t i.fi cada s propuesta 8 por Bohrpara exp ILoar- ,,1 cspe ctro del alOInO de hid r6geno, eata .. fueron acepcadasdurant e algun tt empo como algo misterioso, ca.ai mlstico, no pr ovist ode cl errre.e.e.d o significado f:r'~ico. ~POr que esas 6rbita s de l.UI radiO biendefinido y no ct r a sv ~Que papel jugab a el momentum anp;ular en Ia de-finicion de su radio y su energi'a? Louis de Broglie, en au ecs f s docto-ral, trat6 de es tab Iecer una ana log fa entre 108 niv eIe s dts cre to s deene rg fa de un atOITlo y los es tad.os discretos de vibraci6n ("~tacjonariade una CUerda t ensa. A todc s nos es Iamiliar ,,1 {en6lneno de una cuc rdnvfb r ant e cuando en ella se producen onda s eataci.rmar ias : en Ia cuer das e Ior rna un n":;rn~Tobien definido de cnd as y lo s ext r emo s co r r espondena puntos de vibracion nula. En 1acuer-de existen var io s punt.os de vib r a-don n ula (nodos) y ct r os purito s de vibraci6n m


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Seg6n de Broglie, las propt edade s 6pticas (e spect r-os j de los atomospod zfan deb e r s e a una e spe cf e de ondas e sta cron a r-i as confi na da.s dentrodel mt srno ihomo. Segun e st a l1ip6tesis, ,,} electron es ta ac ompanadode una onda e sca ciona.ria u and" piloto que as ciLa a 10 largo de 1" t r ay ec-toria elc ct r oru ca. POr consig uient e , las (inicas +ray ec to r ras u 6rbitasel.ect r crri cas pe r rrri.tj.da s son las que contienen un numero exa c to de 100-gitlldcB de orida de de Broglie. SabernoB que el radio r. de Ia n-esima6rbita estacionaria de Bohr esta dado pOl' la ecuac ion [20J y de acue rdocon La hip6tesis anterior, llamando l . . A a 1" longitud de onda as oc l ad a alt!leetr6n, se debeTa currrpl.ir ). = 2nr., de donde s e de duc c

Recordando que Ia ve loc idad del eleetr6n en au 6rbita de Bohr pe r rrritida.;s v. = (2'le

2)/h, se obtiene

~'D

donde 1/11)0 es ,,1morrienturn lineal del electr6n que Se encuentr a en IarI-esima 6rbita. Este r e sultado obt entdo para e Iec t zone s d ent ec de \1Ilatomo, debi e r a ""1' valida tambien para los eIect rone s libres, l' si fu er auna ley general de Ia natu ralez a , para toda cIas e de corp6seulos. De estarrraner a s e establece una sirnetrla p erfect a ent>:a corpusclll06 y ondas.La teorta de Planck habfa est a ble ci do Ia naturaleza corpuscular de lar adiae-i6n electromagnetica, 1enorneno cI..sic amen te ondu latori o. Aho r ",e st a nueva hip6tes is conduce a aeeptar la exrat enc ia de onda s a so cladascon ..1movi mi ento de las pa rrfcu la e , ondas capa ce s de pr oducr r fen6me-nos de interfeTencia y de di.fracc;6n: Esta dua.Irdad par-tfc ula -onda pa-r ece a pr irne r a vista dif{cil y cas icont radtceo rf a , pues ambos con ceptosson mutuarneut e exc Iuy ent ee ; sm embargo, e1 dllema ericuent r a c.i.er taexplicacl6n rne diant e el principio de cornp lerrrent arrdad, que S B expond ramas adclante.

1 9

Una V"" pos eul.ada lOll.exlst encia de ondas y 5\1 propaga.ci6n en ,.,1atomo, SQ presenta un t>inf{n dE."p r-egunt.a s , iC6mo es La onda de deBroglie? ~Que velo cidad t.ierte ? f.Que es 10 que se propaga? Al.guna ade E"eas p:rt!'suntas no tienE"n senrtd o experimental, ya que , aun dcntrode la {{sica cIas ic a , se tr abaj a con ouda s eIectr ornagnetdc as , en. lasque no hay n.ada material qlle os cile u ondule. Son el vecro r elect:rico yel magnetteo los que oscilan carnbi ando do rndduf o. Analogamentc, pode-mos p ens a r que la onda d .. de Broglie cs la oscila


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ondul.ator ics po r ca swat idad mientras realizab:an experimentos de re-flexi6n de ete c+rone e en s uperfaci e s cr ist al rnae , El "'egUIldo, cono cte.ndo1'08 trabajos de de Broglie,a'e prcpuso probar la naturaleza ondufato r ia ,tal como se habra hecho unos anos antes con 108' ray os X, transm1tiendoele ctr one e a traves de una delgada capa cristalina ..

En el experiment" de Davisson y Germer, s e dirige un haz de ele c -t r-ones contra la ca r a de un cristal de nl'quel en 'II vaero, como ae indicaen la Iigu ra 9. Loa etectronea diapersadoa elasticamente ae reQogenenun col ect cr que se piled" mover aIr ed edo r del cristal, el cuaLa su vezpuede adqui riI' divers as po sidon eI'I'especto a Ia direcci6n del ha.z in ct-dent ece s to permite mediI' la Int ens Idad de 1a dispersi6n en cua lqui e rdir ecci6n I'especrc a ia ca r a del cris tal.

:: !~I II: ; 1 il- 5 1 ."1'/l!I

III,r

2 0

, .. . . . . . .

(b)

(aJ

Fig. 9(a). Dispersi6n de e1ectronessobr .. un orista1 meta.l Ieo (Ni) deacuerdo con e1 eXllerfmento de Davissony Germer. (b) Maximo en los electro-n"es CQlectados a un iingulo que satis-faee dsen e " n).. .

Si suponemos que los ,homos aup er Hcial.e a dele rlstal lorman unared de es pa ciarni ent.o uniforme ,. 10 que 5e puede pr oba r mediante Ia di-Iracdon de r ayo s X y par ot r os m~todos, la intensidad de los e l ec t ron esdis per sados acus a un maximo par a aqua 1108 aug ulos de in cidenci a quecumplen la C ondici6n:

d sen 8 '" ru . [26Jdond e n e s un eutero, d el espac iami en to ent r e los atomo 6, l. . la Iong lt.uddeonda de los electrones incidente" yael angLllo de incldencia medidorespe


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per tur bactdn: vernos c6mo la supe rHcre del Ifquido s e ondula y c6mo unobj ero flotante ccrrrienza a movers e cada vez que la on.da 10 al eanz a,

Tambien es de tcd os sabido que se puede rea.lizar trabajo a expen sa sde ta energla ";,,eliea de una a va das panteu! as en movi rmento , Sinembar go, en "I caso de las ondas electroma.gnetica.s 0 en el de las rno-leculas de un gas, no Be- puede estab Iece z - tan clare.ment e si son onda s 0son pa rtfc ula s las que transportan energfa. Utilizando un modelo deonda en un cas 0 y uno de pa r-ti'coIas en el etro, se pued en exp licar 108fen6menos de intet"fercncia ydiIracei.6nde las ondas en un caso, y Iapresi6n y t.ernper-atura en elotro. La dese ripd6n ondulatoria y la corpus-cular son mutuarnenee incompatibles, ya que 61 Ia.onda tiene una !recuen-cia bien definida, SU elctensi6n ea infinita, y r ec Ipr ocarneut e , si seIoca.haa para que Be pa.reac a a una par tfcu la , s e nec esita un numeromuy grande de frecuendas superpuesUs que pr cduacan un bat ido, Encon.sec uen ci.a, longitud de onda yIrecuencia, que son car acee rfs tdcaa deun movimiento ondutator-Io , nada significan en un modelo, Begun el cua luna pa r-t.Ic ula tie-nc una e::


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2LA MECANICA CUANTICA

POSTU LADOS FUNDAMENT ALESQuizas sea convenient", que, a partir de ahora, abandonemos e I de-

sar r o llo historico de la teor Ia cuantica, ligado a Ia atornicidad de Iaaccion y a los p r o ce s o s de ernision y absorci6n de lao ra..diacion, y tra-temos de explicar el movimiento de los cuerpos mediante un conjunto debipotesis que impliquen Ie. cuantificadon de Ia accion y la naturalezaondulato ria asociada a toda pa I'tic LIlamaterial. Esto n09 ob ligara arecur r rr a un con] unto de po s tulados que a ve ce s pa recen contr a.decl r laexpe eierac ia. dia r La , pel'o que, no obstante, canducen a . las leyes queexplican e1 cOlllportarniento del micromundo.

Se puede es tudt ar ",1movim1 ..nto po r medio de trayectorias 0 de pro-pagad6n de ondas. Estas, las ondas, tienen La ventaja de no r eque rirrmcos ariarrrerrte unmedio para propagarse. Apes ar de IIIapa r-e-rsbedisimiHtud enrr e ambos tipos de movimiento, hay leyes ba s tante cornune sque 105 gob'i.er-nan, As(, cuando La longitud de anda asociada al movi-rni en to ondulatorio es rnuy pequaha eomparada con las dtznens ron es dela ~egi6n donde se propaga, se puede tratar Ia and a como un rayo, quecorresponderi'a a Is trayectoria de un corpusculo. Sin embargo, cuandolas dimensiones de la region son corrrpa.r-a'bIe s a la longitlld de onda delmovirniento, apaz-ec e el fenomeno de difracci6n y su tratamlento pOl'media de rayos ya no as ,,",lido. Qllien haya e st udi ado un cur so de6ptica sabe qu e Ja exp h cact cn por medio de ra yos .os cor r ect a parahallar Ia ilnagen de un objeto formada par una lupa , pe r o no 10 , , 5 parade te r rrrrria r eI poder de separaci6n 0poder resolutivo de un rni cr os co pro ,

2 3

Aceprada la natu.r aIeae ondulatoria del eIe ctron, po s tula da po r deBroglie y confirrna.da por 108 expe rimentos de Davis son y Ge rrn ..r, e simperioso e.ce pta.r COrrlO consecuencl.a su propagaci6n en forma de onda.Serla opo r tuno Sena!aT aqui que Ia rneca.nica cuantica naci6 corrio unaposibilida.d de interpretacion del movimiento de electrones, que Iuegose extendio a otras partlculas para va lores de energla y !ongitud deonda que dan Lugar a 108 fen6menos de diraccion. Nunca ha pretendidoLamecanica clJantica e>


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Eata h es La rnt s rna constant" d" Planck utilizada ha ara ahor a , pe r o enesta ocasion apa.re ce en un cont exro muy diferente; s e la h" introducidocomo una constante a sociada al movimiento de un electron, siendo unar ela cion entre dos :magnitudes dinamicas de, la partrcula; au momentumlineal y su Iongtt.ud de ond a. La ecua ci6n [2. 7) es en cie rtQ modo unae spe cie de ley din,hnica del electron. Si se aplica la relacion [27] paracue.Iqui e r- tipo de partrcula, adema s del electron, los valoree mv y l.. de-ben s er compatibles con Ia con ata nc ia de h.

Sorprende que eat a nueva rne carn ca comi ..nce con una notable pecu-liaridad: en muchas oca sIone s hab ra que oIvrda r s e de trayectorias y deIoca n ",acion e s , Al a c eptar A . ~ hlmv como Iongitud deonda de Lapa rtr cu Ia,ha;bra que e sperar en6menos de d:i.fracci6n en las regiones de di:m.ensio-nes cOITlparab lea con e sta longitud de onda, l- Se produciran ere ct.oe dedifraccion aI moverse el electron en el atomo de hidr6geno? Seg.u:. 10tratado prevlaIneut"", se sab e que este electron tiene una ener g;;a de uno s10 eV, 10 que co r re sponde a una longitud de onda de10r-de n de ]0-]0, m.Como el radi.o del atom.o de hidr6geno es de este mismo orden, e s deespe r-ar que ee rnan i.!i 0.st e Ia na.turale za ond ula to ria de 1 e leetr6n y portanto hay que abando,nar eoda des cripci6:n del ,Homo en fo rma de dec-trones que cir-c-uan a.lrededor del nUeleo en traye ct or-ta s de ea dro biendefintdo, como requiere el mcd elo de Bohr. Esta. irna g.en del ,homode Bohr, con ,hbitas bt en deiin\da.s, puede se r de bas tanre ayuda parainlaginar algunos eieetas y fenomeno s dentro de los atOITlOB, pero riece aUa a cada. paso ser suplementada con hipOtesis ad hoc y conduce a nu-rne rc aa s contradIcciones. 'lodo ello so. debe a nabe r definido e rayecto r tas,orbi.taa y ene ..gfaa de una. rnan .. r-a totabnente eta s i.ca . Una v ez a ba'rrdo ;nada La de e cr ipc icn de los fenamenos por rne dto de trayectorias, aer enuncta a asignar a una partleula tanto' una posici6n como una velocidadbien definidas en cada instante. Hay que bus car ot.r a rnane ra de repre-sentar el mundo fsico, 10 que se hace en forma de onda a. Entonces sepued e r epr e S ent a r ca.da acontecimiento de la fi"sica po r una a rnplitudque puede se r diJerente'en cada punto y en cada instante. A fin de pre-c i.sa r un poco los conc apte, que sol van a rrran.e ja r en 10 suc e si.vo, 11a-mare rno " acon.teci",i",nto a to do conjunto e 5pecrfico tie condiciones'iniet,ale s 'I finale s, como po r e jemplo: un e Ie ct r6n que pas a de un e stadode ene r-gfa m a otr,o estado t;le energra 1"".. Para, e studi ar un pro ces o comoe s te f enunc ia.rno s a.neea los sigllientes po atrulado e ~ que tierre n v.a.lide z ge-ne ra l en e1 anahs;s de todo tipo de e:


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Observese que cuando es posible saber po r dande va predsamenteLaparti'eula, como en ,,1 ca so 3, se suman las probabilidades, en tantoque si e l a conre ctmi ento tiene simultaneamente ciertaamplitud reape c-to de ca da, una de las alte r-nat lva a pas ibIe 9, COmo en el caso Z, se sumanLas amplitudes. La diierencia ent r .. ambos , , 9 que en el caeo 2 . e.xistenIe rrriino s de inte rIerencia cor r eBpondientes a 10s doble a productos delas t. Los 'postu.Ladoe de la flsica cuantica tienen cie.r eo grado de plau-.sibi1idad to:mando como base para La de s cr tpcddn del acontecer [{sica Iana+urate ea ondufato r ia de las pa rt fcu la.s , y su vaHdez ha sido confi r rna ;ciapar e1 acuerdo entre 109 resultados obtenidos a partir de e Ilo s y losdatos e.xperirnentales.

Esta descripd6n en t~rlninos de amplitudes, quita a 1a frsica su ca-.acteT deterIninhtico en un sentido cIa s ico, En Ia frsica cIa s lea es po-sible, por rn.edio de tray"" tor ia s, predec ir exac tam erite el futuro a par-tir del pa aado , Es un p'r inc ipto metodoI6gko de Ia trska moderna queaqueUos ccnc ept os cuya aplicaci6n requier e de condiciones que "a prj,o-ri" no pueden e"I ' observadas, no tienen signHicado y deben aer elimi-nadoe , SegU n e sta fi loaoffa ~tlenen muc ho sentido la 9 pred !cdone a deIa mec an tcac 1 ; < , sic a q \1C S610s On pr ec isa 6 cuan do se conoe en exac ta-mente las condlcione s lniciales de W sistema ce rrado? La frsica cuan-tica perm ite 9610 aHrmaciones estadfstlcas sabre el com.portamientode las variables, eondici6n que esta de acuerdo can Ia situaci6n ernpf-rica de Ia frsica arorntca, nuclear y de pa r tfc ula s, donde los experi-mentoa se efectOan de preferencia contando e"entos. As! en la Haleacuant lca, por medio de las amplitudes, 8610 se pued e pr edec ir las pr oba-.hUidades de ci.er-te s cantidades que tienen significado experimental. Si,por ejernp'lo, 10que Be quiere sabe r e s 5i una par tfc ula dara: en un blancodado, 10que Be hace es caleular 1a probabilidad en ese punto, para 10 coalsenecesita ccnoc er previamente Ia amplitud en as .. y otros puntas en dife-rentes tiempos. La amplitud sera en general una funci6n de la posic16n ydel tiempo, Se puede e BC ribir como aglplitud de Lapa rtt'c ula en dUe renteslugares y tiempo B Ia func ion e-1 (


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- - J V l -0) (b)fig. 10. (a) Ond" lit.r'G de it bien de finida; 1.. p"v-r::.icul


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Este e s e1principio de indeterminaci6n, enunciado por Heisenberg. queindica la maxima precision can que SOl pueden prededr simultaneamentela posicion y el :mornentutn lineal de una pa rtfcuta. Este principie noaflrtna que sea i.rnposibIe determinar par separado, can toda Ia preci-sion im.aginable, la posicion de una part{cula 0 SU rrrorrient.urn lineaL,sino la itnposibilidad de deterIllinar ambos a Lavez , Esto es una con-secuencta de la naturaleza onduIat oria de las pa.r t IouIa.s y pa r ece rfa quelimita s eve ra.rnente Ia utilidad de la t eorfa cuanetca como teor Ia predic-Hva, pero no e s as{. En la (sica "lasica 51 es necesario conocer exac-.talTlente Ia posicion y el momentum de una part{cula para prededr auevoIuc.io'nposterior. La rne carnca cuantica e e una teorfa distinta y por10 tanto requiere datos dierentes para hacer predicciones iprobabilrs-ttcas , COTTlO se ha dicho) sob re la evoLucidn de un sistema; Ia rne carii cacuantica no requiere eI conocimiento preciso Y simultaneo de Laposi-cion Y e 1 mc rneriturn pa ra ba ce r predic c i.o'n es veriicables experimental-mente.

Esta rnlsrna rela cron se currrpf,epo. separada para lasx, If, e de la posidon 'f del momentum HneaL No nos dicemo s determinar can t.oda precision X y 1'" par ejernpko ,rnersue ,

corrrponente sque no poda-simultanea -

Lapo sidon 'f el rnoenerrturn lineal noson las Unicas variables dinamica spara las que se curnple La relacl6n anterior. Consideremos e1 1110:men-tum angular L " rp de r-otaci.dn aIr ededo r de un eje fijo. Pareciera que 2 1siendo P y r perpendiculares pudieran deterrninarse can infinita preci-sion, Sin embargo, hay que nora.r que debido a ;- se produce un despla-zarmerrco s = rt: < 1 1 , y corrto para r Iijo es "'L '" rtsp, se verifica, teni.endoen cue nta [291

(30Jdonde res constante. Esta e s 1a relacion de indeterminacion r e sp ecroal angul0 a zd rmrta.I 'f al nlomentum angulal. Una relacion sernejante secump!e para errer gfa y tiempo;

Ia que indicar,a que una. m.edidon totaLrnente precisa de un nivel de ener-g{a reque rIrfa un tiernpo infinito. EI principia de Indet ermrna ci.dnda deinmediato una herra:mienta para ana'lt aa r los principios de con.s er-vactrin,como por ejem.plo, el principia de cozrse r va ciSn de Ia ene rg(a. Si nosconc r erarno s a las erre r gfa s potencial y cinetica, Ia prirr>era d epend e deIaposicion y la segullda de Ia vetc ctdad, y por 10 tanto no pueden deter.minar se ambas can absoIuta, precision. ~Quiere decir e"to que et prin-cipie de cons e rva cton de la ene rg,a deja de currrplir s e en Ia Irsicacuantica? Nada de e so, Aqu( aub sisten las rnismas Iey e s de con se r va ,cion de Ia me can;ca eta sica, como exige el principio de cor r espond en cra ,Loque indica eL principio de Heisenberg es que no tiene sentrdo Ia se_paradan precisa en en..rgfa potencial y energia "'netica, condician quese aplicar": mas ade Lante para expj ica r penetraci6n de ba r r e r a s y pozosdepotencial.


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Para H m a . H za r , c a ' b e 8.,1\ a. I a r- q u e e1 p r i n c i p i a de indete r- tnina don n oe a en r e a . l f d a d un p r i n c i p i a " A l i g u a . I que e I de c o r n p t e rnerita r t d a d y e Ide correspondencia, e5ta impllcito en las ecua ctone S fundarnentales deLa n~ecanica cwintica V como eato", ruvo i:rnportancia historica en laacIar-acion de loa nuevas conceptos cuant ico s. Actual;rnente tiene valordidactico, ya que permite introducir las ideas flsic .... esenciales de larne carit ca cuantica sin recurrir a Lacompteja maten"latica requerida porIa rnl srna ,EL PRINCIPIO DE INDETERMINACION Y LOS A l'OMOS

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Ei principia de indeterminacion nos proporciona un media seguro yrapido de estiroa.r el tamai'l.o y Ia estabilidad de 108 atomos, sin utilizarlas hipOesi.s ccrnptera mente ad hoo introducidas pOl' Bohr Vq


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1 v t,I ~ . > I IIIE. IVo

E o IIII'+ 'o a(c ) (b)Fig. 12. P02;Ocuadrado. a) EnergSas posibles de una part1cula ligada.b) Penetraci6n de 1a onda de probabilidad en las regiones prohibidas Jy III.

distancia. A partir de esta curva se puade deterrninar Ia {uerza queactaa sobre una pa rt(cula situa.da en este potencial. en cualquier punta;cilcna iUe r aa e s: - oV/0'>:. Tambi;;n s .. pUEI.d"dete rrnina r la veloc idad dela part.lcula para una energ(a y un punto dado s , ya que siendo E cons-tante, s e representarli: po r una reA paralela a1 eje x en 1a gr.1iica delpotencial. Dicha ve lo ctda d e s I) =< m (E - VI. Todo esto, cIar oe eta , d e s-de el punto de vista cU:s1co. La !igura I Z(a) indica la variaclon de Ia ener- 2 9gi'apoten eta I entre 0 y a. La gran ca dice que e s ce r 0 entre 0 y a, y Iue ra deesta region es Vopara cualquier purrto , Esto se Harna pozo de potencial. S;Be tie"e una pa rt'fcu'la con una ene r gfa como cuaIqute ra de las Indi cada s , noes posibIe , de sde eI punto de vista clas ico, que la part(cula pellet r e en Ia sregione (I16111, ya que en e stas regiones V >E, y su veIocfdad correspondea Ia ra{z cuad rada de un mizne r onegativo, esto ea , un numero irnaginario,yen Ia flsica las velocidades irnaginarias no tienen s ent ldo , Estas do sregione S se de norni nan cla s a ca.meut e prohibidas para las ene rgras E


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'IIlie re cafcutaa- q'lIe amptttud tiene s i. e sta en 1a. region n o en Ill. HI,Sabiend 0que en la regiOn 1, 13 onda tiene una longitud de cnda Xl =hiPl.en I a I I s e tendra: u n a e " ' p o n e n d a l de c r - e c t e n r e c u y a factor de ; > I i e s P2/h ,y en 1a III volve ra a ,.epetiise }a rnisma onda que en 1. pero con me no rarnpl;tud. Esto se ,~esuelve exigiendo que el e,mpalme de Ia s


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E (.B]

Se observa que a cada valor de n. cor responde un valor de E, y que 108diferentes valores, Hamado" nivele .. de energia, estan eeparados po runa cantidad finita y distinta de ce ro, La s epa ractcin entre 109rrtve Ies"9 tanto tnayor cuarrto rrienor sea 1.1 rna"a m de Ia partlcu!a y mayor 1.1region en la cua], esta esta obliga.da. a znover s.e.

Cada unO de estos e stados de ene rgfa de laopart(cula IT / en conside-racian ..sta Zi{Jado, esbo ee, se necesita una energfa externa pa rapoder-1a sa ca r- del pozo, (En e ste ca so particular, jla energ(a necesaria esinfinita! )

El conjunto de todos los esuad oa de cierto ai9tema forma un "spec-tro que, en e1 ca so de lOBestados Ugados, se llama espectro discreto,por haber una separacion distinta de cero entre elIoB. Si en vez de in-[in ita Ia pared fuera fini.ta, habri"a, como ya se dijo antes, cierta pro-babilida.d de penetradon, Y al no s e.. cero la lundon de onda en 103bo rd.ee no 003 ne ce sar io que haya. un nurr.ero exe cto de semilongitudesde onda dentro de La region de 0 a a. Sin embargo, las =isrr.as condi-ciones fls;ca!! in"ocacias anterl.or=ente exigi.ran una. union suave de lascu rvas en las regiones 1-11 YI-It!, 10 que se le c e-i.oma solo ciertos va lore 9de E que cumpfen con esta condicion, resultando 109 niveles cuantifica-dos. Estos eetadoe ligados del pozo cuadrado finito formaran tambien 3 1'un e spect ro discreto, pero contrariarnentealca.soanterior, no ee neee-sitara una. energi"a infinit.a.para desHgar una part(cula que ''', encuentr een ellos. 0 sea. llevarla al estado libre. para. Una. ene ...gfa total de HIpart(cula E > V, la rnisma no tendr'" ninguna restriccion en au rno"l-rnt aneo Y SUB estados no estaran cuantificados, POl' 10 que entonces aedice que forInan un especrro contillUOOSCILADOR ARM6NICO

Oro siste.ma re apecto a1"ualex;' ste un n u mil ro mHnito de eseado9Ugados es el oscUador arnt6n~co, cuyo potericia], correaponde a. fuerzasque, como las elasticas, son directamente proporciona.les at despta ea.miento de Ia posicion de equilibrio.

La energ(a de este sistema es~~ + !mV~ =~ ...~Jrx~ , [34 ]

donde X .. 9 la distancia a. Ia posid6n de equilibrio y It ; La constante elas-tica. El estado funda=ental de este sistema corresponde clasicatnentea E = - 0, con p = 0 y x O. Sin embargo, esto esta rfa en opostct dn alprincipio de 'ndete rn1inacion, ya. que se conoceri"a exa.crarnerrte Ia posi ~cion y el rnomentun'"l lineal.

Llamemos pyx al momentum lineal y ala posici6n, respe ctivarnen-te, del estado fundamental, e1cual se debe totalmente a1 principio deindeterminacion. Entonce .. xp = - lA . (Esta es Ia for rna tTJ1{sefinadadel principio de Heisenbe rg.) Con esto:


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E = * ( ; n ) " 2~0? + thx",10 cua l correspond e ra a un minima (.. seado fundamental) cunado x~ == , it~, 0sea E. = t!#./Jifoi, Como para e I aseilador 'V " in..lij;;,nos queda: E. '"th'V. Al agregar 108 earado e del os ciLador a r rriorri coigualrnente e apac tado s , Ia ene r gfa de un estado cuatquie r a 1 1 . sera:

[35 ]

E, = E. + nh = tn + ~)h'V. [36 J5i cornpa ra rno s esta formula can la obtenida par Planck, E. = 7J.h'J, ve-1nOS que hay un terrnino a,dicional th:v, llamadoenerg{a en e1.punto aero,que r ep re e eme r fa en una teo r fa corpuscular Ia erie r gfa de Ia partleulaen e1 cera absoluto, 1a cua l se r-fa disttnta de cera. En una teo rfa CLlan-tica, Be interpreta como la erie r gfa mlnirna rrece sa r ra para cb servar e1sistema. Este termino e s nece ea r io para expliea:r e1 ca.lo ,. eape.cIfi code 108 s61idoB.ECUACION DE SCHRODINGER

3 2

EI comportarniento ondu lato rio de todo co r pji s cu Io de a.cuerdo canIa s hipoteGis de de Brogli e , junto con el principio de indeterminaci6n,'han sido utiHzados previamente para expliea.r cua.litativamente la pene-tracion de ba.rreras, Ia cuantificadon de los niveles en un pozo de po.tencial y Ia ene r gfa en el punto ce r o de un os c'iIa.do r , que rio tiene nexplicact6n en el marco de 1a {lsica cIa stca. Es ta s rmsrnas hipotesisde de Broglie pue


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una dimension, s e considera una onda en tr e s dimension"," e s pos ibl.eescribir para las t re s compcn eutes del momentum lineal .,

En general, toma r emos p" (h/2nij( o/aq), E1 operador p" indica la r.,~petici6n de la operaCion P, y ast,

P" _ p'p. '" h jL . . . . h . . . . a . . _ .a:_- "2 lii:. oq . 211t 0 iZ - ~ 4~ oq? . (40 )Ahora bien, sa bemos que Ia ene.gfa total de un ~i~terna se cllmpone deener gi'a cineti ca y de ene r gi'a potencial \una pa rti'eula libre no tien e erie r ~gi'a potencial), po r 10 que esc ribimos, 11amando T'a 1a enez-gfa cineticay V(q) a 1apotencial, T + V(q) '" E, 0 sabiendo que T '" p~ / Z m ; pa/2m ++ V(q) '" E, 0 Loque es 10 rnismo

pBz m + V(q) ~E = 0En esta expl"esinn, P, V Y E deben entenderse corno oper-adc re s que tie~nen s,ignificado f'sico a l actual' sob r e Ia funcion de onda, 1"or 10 tantoconducen a la ecuacton diterencial

(~.!.. . a : . . ~ 1 - V(q) + . . . . h . . . ..L )~ '" 0Zm4T i ' o q 2nt o t . [41JEsta es Ia famosa ecua cton de Sch rdd ing e r para et sistema que esearno sconsiderando,

3 3

La resoluci.on de Ia '"cua cfon de Schrodinger SOl Iog r a encontrandos oIu cforre s untfo rme s y finita s para cads pr-oblelTJa. Nos inte re ean , enpa rticular, las 8oZuc{;07Ies elltaci.onaria8, que son aquellas en que Ia arn-plitud de Ia func:i6n de onda e 8 inde pendiente de 1tie:mpo, pa ra 10cua.l esne ce saz-Io que ta dependericta de t se ma.nifie ste en Ia for rna e-! arts I~ ) ~ ~Entonces la ecua ci dn de Schrtidinge r "" transor=a en,

0, Inis pr-e cisarrient e , en[Hip,g) , E]'f = 0, [43 ]

dande Her , q) e s un operador Ilama.do haPri"l."UmiaM, que representa Iae ne r-gfa total del sistema y e s igual a 'I+ V,

La e.cuadon [43 J COr r eaprmde rnatemati ca rnente al p roblerna de en ~ccnt ra r los autove lore s del operador H, esto e s, ericont ra r 106 valoresdel pa.rihnetro E paz-a los cua.le ... Ia ecua


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p r obabt Hda.d. Por ejemplo, en el ca sc de una pa z-tfcula obligada a mo-verse sob ..e el eje;;c III.canerdad 1'1'(.);) \ 2 11);"representa la probabilidadde que la parti"cula SOl encuentre entre);" y J G +lIx. Anteriormente hemosutilizado e sta inte rpretaci6n COnlO un po stulado.

Aceptada est a interpretaci6"n de ' 1 ' , e s ne ce sa r-io introducir el con-ce pto de nonnaU.aadoll de Ia funci6n de onda, can eicual SOl quiere indi-car que la amplitud debe ajus ta r se de tal modo que

va que la partleula se corrs rde r-a situada en algiln punto entre -'" V +"'.Es hey cla ro que 10que co r r e sponde hac e r ee simplemente pastula ..ta ecua cton de Scb r odmge r , ba.s ando se en que Sus conse


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ti'eula en un lugar dado, El modulo a I cuadrado de una funci6n de ond aque cr e ce rtpue stag ou~s arriba,e s de esperar que Ill. o s cfIa c.ton sea muy rapida en las regi.ones de granene r gfa cineti


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energ1a total cambie de modo tal que es ta area aumenta en una umda d ,otro nivel de ene r gfa es permitido.

En 10 que sigue se trata de apl.ica r Ia e cua ctdn de Schr odtnge r a a l ,guno s sistemas de interes f1sieo, advirtiendose que Los resultados quese obtienen no figuran en un tratarniento clol:sico, E stos re eultadc s su:rgende una rna.ner a natural a partil' del analisis ma.te~t\.co de 130e cua ciondiIerencial; la e"antifieac:ionJ las tra.nsiciones prohibidas, Ia mtens idady polarizacion de las 11neas e~pectrales, etc., re sultan c:orrectarr""nte"xpre sadas, reproduciendose no s610 aque l la s ca.ra ct er fet ic as pr edi cha spOl' la teor1a de Bohr, sino alguna s mas que esta no podia a'ntici.pa r yque los datos expe r Lrnenea le s confi rman .

No se reproducira aqufloS resultadosya obee nid o spa r a e I pozc cua-.d rado para e I oact lado r armonico, pue stc que, habl endo sid o tratadosantes de una mane r a cuaHtativa a partir del principio de Indete ermna cion, no se obte ndr a nada suatanctatme nte nuevo a1 tratarlos con estenuevo formalismo matenuitico. Sin embargo, volveremos ala discLlsiondel atomo de hidr6geno a fin de verifica l' 10 anteriormente a severadc ydefinir aspectos nuevo s del pxob lema ,EL ATOMO DE HIDR6cENO

3 6 La energi'a potencial del electron en e1 atom.o de hidregeno e s :

donde r '" !x z + y" + z". La ene r gfa potencial depende solarnante de tadt stancra reIatfv a entre e1 electron y el Pl"Ot6n, Este tipo de campo se11sma central.

La anterior permite es criblr 18 e cua cion de Schrodinger en Ia lonna,

Resolver eata ecua cidn lOS ha.IIa.r- 'IIx, y, 2), Yuna vez obtenida esta, Iaprobabilidad de que el electr6nse encuentreenelvoiulllend:.cdydzs\ re-dedor de un punto de coo r de nada s (X, Y, z) e s I"P:, Y, z) 12d (ill dz, AU{,donde es te valor sea grande, habra gran probabilidad de en eont ca r alelectron, y donde sea pequeIl.o, habra poea, ocurriendo urra transicioncontinua entre ambos extremos. Se tiene asi' una distribuci6n eIe r::tr6-nrca . No ent r a re rno s aquf en 105 deral Ie e mate mat iccs de la solu-cion de esta ecua crori, 5i bien rnen.ci ona r erno s que como Ia energla po-tencia1 depende so Ia.rnerire de Ia dt stancta relativa entre el ele ctr6n y elprot6n, e1 problema tLene srmet rfa esfe rica, y las coordenadas masap roptadas a est.e tipo de problemas son las esferica.s. As! pues, set ranafo r rna Ia ecuaci6n [45] en variables T, ~ Y ~Y la l' obtenida sera~(T, e, t), Ia cual puede descompone r s e en La forma

1'(r, e , t) = Rlr) @ (e ) ~ (~ ). [46]


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Para va lo r e s de E > 0, 10 cual co r r-eapond e , como ya se ha indicado,a la situaci6n f(sica en que el electron posee ene r gia suficiente para es-ca.pa r del ,homo, Ia ecua cron difereneial hene ao Iueion cualquiera quesea el valor de E. Sin embargo, cuande E < 0, cc r r e epondf.ent e al elec-tr6n ligado en el ;itomo, 'I'(T, 6 , q . tiene va Ior-es a ceptab le e (sicamentes610 para ene r gfa s

E = =t 13,6- --.-a- eVn : [47 ](n entero), exactarnente igual que en Ia teo:l:'i'3 de Bohr. Estos valoresde E. forman e1espectro dtscz-eto del atomo de hidr6geno, en tanto que10s e sta.dos con E > 0 forman e 1 continuo.

Se pued e caracterhar Ia dependencia radial de la fun


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Prosiguiendo con el analisis de Ia, S olucion de Ia ceuacion diferencial[45J, se halla que para un valor dado de . 1 existen una 0 va ria s solucio-nes ~cp) que se pueden caracterizar po r un tercer sublndiee 0 nurnerocuantico 171), el que puede a surra r cualquiera. de los va lo re s ,

fijI = -1, -f1-1), -(1-2), "" -1,0,1,2, .. , (1-1),1,que son 21 + 1 valore 9 die thltoS. Tenemos as! que para un r: dado, que de-fine la ene rg{a del e'S tado del electr6n en el atomo de hidrogeno, existen n?posibilidades de e etadoB can diferentes 1y 111 los que 5 eran degenerados.MOMENTUM ANGU LAR

Aunque se amite aqul, se puede demostrar que e1mirne r o cuant ico 1esta relaeionado con el momentum angular del m.ovirniento del electronalrededor del rui cIeo , de tal manera que el tn.6dulo L del mism.o es:

L '" 11(1 + 1)'l~ , [48JLa corrrpcment e del momentum angular en 1a direcci6ndel eje Z "sta r eLaci.oriad o can el tercer nurnero euantico m, aS1'

3 8 Esto md.ica que el vector momentum.augular, para un valor dado de 1,pued .. oriental'se solamente de (21 + 1) maneras di!erentes, correspon-dientes a 106 (2 + 1) va'lor es dile rente s que puede to:mar m" de modo quesus p r oye ccrone e sean mUltiplos positivos a ne gattvo e de hi?.n(Fig. 17).Esto ae suele indicar diciendo que hay cuantiCicacion espacial del mo-rneuturn angular, ya que este vector no seorienta de manera arbitraria,sino en posicione s qL1esat isf'agan Ia exp r esion [49 J.

\\\

\mp O~----~f I

I

Fig. 17. P os ib le s o ri el lt ac io ne s del.vector L. de modulo 11(1 + 1)h/Zrr ,co mpatibles co n m , = +1,0, -1.

II-_ --/

-"_ -La degeneraci.6n correspondiente a un valor dado de n. para un ca rnpocentral de sapa r e ce euando s e coloea el ator:n.o en un agente exte rno que

ponga de manifiesto lOBefe.ceoe magnett cos : en este ca so , e l momentolTlagnetico del .Homo, caracteri~ado por 106 va Ior ea roh interactiia cone1 campo externo apfi cad o , ro:mpiendo Ia dege'ne r-acion. Experimental-mente e sto se pone de rnanifiesto con e l eecto Zeeman, cuan do lafuenteernisora s e co1oca en un caznpo magnetico homogeneo y las r a.yas delespectra que antes apar e cfari como simples, se desdoblan en va r ia s ,


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Analizando las lmeas del espectra visible, es poefble det.er rrrinar Iaintensidad del campo magnetico eola r , pues si una r aya bien identi!icadadel espectro a'par-ece desdoblada, Ia magnitud de 1.. sepa~aci6n indi


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obtienen para los dlierentes va Ior e s 7 /1 1 nlZ" de la componente del mo-mentum angular en Ia direcci6n del ca mpo apfi cado , En total, (Z1 + 1)valores distintos que originan (2.1 + 1) li'neas correspondiente s a partirde una ca ra cte rt aada por un deter mmado 1 en ausencta del ca=po, Estees el eiecto Zeeman normal que expltca Ia sepa racton de las 1(l1ea8 comodebida a los valo re s de 1a componente de Lmornentum angular orbital enIa direcci6n del campo. Existen ot r a s separaciones de Ifneas del es-peetro que exi gen otro tipo de momentum angular y que constjtuyen e1efectD Zeeman anOinalo ... l que se dis cuti1'a ,..,.,asadelante a1 introducir elconcepto de spin del ele ct1'6n.EXPERIMENTO DE STERN Y GERLACH

La prueba mis concluyente de Ia cuantificaci6n e apa cdaLdeLrnorrren tum angular se atribuye al experimento augerido pOl' O. Stern, en 19Z1,y realizado rna" tarde por"l rrdsrno en colaboraci6n con Gerlach, Comoeste as uno de los expe rj mento s clave en lUecanica cuantica me r ita queae 10 trate con algun detalle.

Ya se ha dicho que "\.Indipolo magnetico en un ca rnpo magmftico uni-Iorme auf'r e un torque que 10 obUga a prec,esar, perc no fuerzas que 10trasladen. Sin embargo, s; el campo no es uniiorm.e sufre un torque yadem';::; una fuel' Za t r-ae le ctona'l. Se puede log r ar este campo no unitor-me hacienda uno de los palos del iman, par eje:mpl0 el norte, en f.ormade cufUl, can 10 que Ia s I1nea5 de fue r za apar ece ran muy concent rada sen la punta de la cuna (Fig. 19}.

Fig. 19. Esparcimiento de unhaz de atomos con 1 : 1 pOl'efecto de un campo magneticono homageneo en .. experimen-to de Stern-Gerlach.

Los atOlnos que, procedentes de alguna fuente, ent r an en est e cam-po pa ra.le lamente a 105 bo rde s de} polo, Henen una ene rgfa que po r 10regular no as suficiente para ex ci.ta r Io s pOl' encima de su estadoillndarnentaL

Supongamos que ml pueda tomar uno cua lqute ra de los va l o re s 1,0, -1,Dentro de los atomos del ha a habra todos estos va lor es posibles de > i ! , .Siendo 1.. direcci6n que define m1 totalmente convencional, por 10 generalen La dire"cion del campo aplieado, si hay atorno 9 con ml '" + 1, tarnbienIos habra con 1 7 1 1 '" -1 Y en tanto 108 primeros sentiran un efecto magne-tieo en una dl r eccion, los otros 10 sentiran en la direcci6n opuesta. Losatomos con . ' 1 1 , " ' 0 no sentt ran eL eiecto del campo aplicado. Todo es totrae como conse cueucta que e1 ha e original de atornos se divida en treeha ce s , uno de 106 cua le s continua en au direccion original, y los ot r o sdos s epa rado s pOl' igual de este, uno por enc i.ma y e1 otro par debajo ,Es irnpo rt'ant e notal' que si no hubiera cuantafi ca ci.on espa cia.L, en vez dedividl.rse en tres, el ha z s e en sarrcha r Ia ,


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Si elcampo Tnagnetico aplicado cambia de po siclon, por ejernplc ro-ta, e1haz original se divide de nuevo en tr-es componentes, probandoque para los ~totnos las e:>


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Fig. 20. si acopl.amien'to de Ly S se hace a angulo5 e compa-tibles con 1aexpl'esi6n [57}.

. r = jJ(] + l)~ [54Jdonde .f es el nUInero cuantico correspond'ente aI momentum angulartotal. La componente de J segun e1 eje z vale J. = ! I I , h12. Los valoreede m J abar ca.rari desde !IIj = -J hasta !II1= +j en ealeos de una un lda.d 0 sea,en total, IZj + 1) valoree diferentes. V'e rrio s asi'que ladegeneraci6n delestado de unelectron defin.ido por un jdado es (2j + I). Sepodri'a preguntarsilasurnadeLySsepuede ha ce r d= ul!..arnaue s-atotahnente arbitraria;es de ci r, 5i el ingulo que orlTlan L y S para. da r luga,. a J pued.e tene Tun va lor cua.Iquj er-a, La respuesta es a las clara,; negativa debido alacuantiCica.d6n espacaa.Itanto de L como de S. En efe eto, si en Ia iden-tidad4 2 Ja = L~ +S" + 2.LScos e , (55 )donde e es e1 angulo indieado en la figura ZO, se utiliza lOB modulos delos vectores en unidades de k/Zrr, sa obtiene

J ( J + I) = 1(1 + 1) + 8(S + 1) + 2./1(2 + 1); a( s + 1) cos 8, [56 ]y de aqui':

COB .t(J + 1) - 1( 1 + 1) - 8(S + 1)ZI1(1 + 1)/8(s + I) [57]donde Be ve claramente que eI valor de e quedadefinido pOl' los valoresde los nllmeros cuanticos 1 y s ,

En un electron con un 1detenninado. j puede tener dos vaIor es, 1 ++ t_y 1.=I, YpOl' 10 tanto hay dos inguloe para el aco'pl.arruento 0 surnade L y S. LOBd.oa ..stados resultantes acusa.n una pequefia diferenclade aner g(a debida aI campo rna.gnetico cr eado por el nucleo, ya que des-de el punto de vieta del electr6n, eInlicle 0 gira a su red edor. La ene r -g(a potencial del spin del electr6n en el caTrlpo nlagnetico creado pore1 rnovimiento orbital del nucleo, se llama interaaci6n 8pin-6rbita. Eldeadobfa.rnrenec de las ltneas espe ctr-aIes debido al spin del electronconstituye 10 que Be denomina estructura f i>U1. de las mismas.

Los nucle 0 s de 10" ato;mog constan de proton.e By neut rone s! part{cu-las a.rnba.s que individua.bnente tienen spin igual a ;. La surna de esto sspines produce un :momentum angular en los nucleos, que se indica COnr. Este momentum. angular Hene las rmsma s propiedadea y sigue lasrnf amas reglas que cualquier ffi.omentum angular en rnecanica cuantica.Ea de eaper-ar que este momentum. angular f contribuya a1 espe ctro de


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109 !\tomos. ASl es en realidad, pero teniendo en cuenta que la mass delos mic leo s es mucbi:simo Inayor que la d,el electron y queel momentarnagn, r," 1, 1 ,. 0 constituye 130primera capa que se Hena con 2 e lec ;teone s : para 1a capa "'" l tenernos dos subcapas cor r-espondient es unaa 1 "0, que admrte 2 . etecrronee , y ot ra a 1 = = 1, que se Ilena con 6eIe ce rone 6: en total S eIe cer-one a ; para n '"3, te.nemo5 1 '" 0, 1 '" I Y1 '" 2 > a sea un total de 18 electrone s, Oe e sola marie ra varno 8 cons t ru_yenda 1;06 atomos y la tabla periodi~a de 109 elementos, pue~ una ve z-Itena cada ca.pa , vue lven a r epettr se los vator e s de 1 can. cte r ta pe rio


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Tabla de Elementos QllfrrJicos, pOl"Capaa y Subcapae

4 4

r: = L n.:Z r, '" 3 r. .o o4 Conli gu r ac ion1 '"' 1'" 0, 1 1 = = Q, I, Z 1'"' 0, 1,2.,3

H Is IsHe Is3 1 : 1L lsa 28 28Be Is" lea 28"B 1S3 2s~ 2p ZpC Is'" 2e" 2p'" ZP"N lB~ 2s" Zp" z p "a Is" 282 2p4 Zp4P Is" 2e" 2;1 ' Z;~Ne Isa 28" lP" 2p"

Na Is~ 2S" zp" 38 3sMg Is2 2s~ 2ps 38" 383Al Is" 2s'" 2p'" 3$2 3p 3;;51 ISll lea 2P 382 3;;" 3p2p lea ZS" Z ; Y ' 30' 3P" 3 .,3- . . -S I~' Zs" zps 3a" 3P~ 3 .D"E1 Is" ZS2 2ps lea 3;;;5 3;f'A Isa 2S2 z p " 3a 3pa 3p"K Is 2S2 Zp6 lea 3p~ 48" 48Ca Is" 203" 2; ;13 38" 3pG 432 4s"Sc Is3 2~2 lp~~ 3$" 3P" 31 4"1" 3d'"Ti IS" 213" ZP " 36" 3p i ! > 3$3 4s~ 3d"

'" Ex:iste una anomalfa en el llenado de las capas del K y el Ca, en losque comienza a llenarse Ia 41'1antes de hac er Io la 3d, Eato Be pued eexprtc ar con una t-ecrFa mas detallada del atonlO.


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diddad, 10 que corresponde a "in1ilares propiedades qu{n1icas, As{,todo ~toxno que tenga en 9U ultima capa un solo electron en el e ata do stiene propiedade B pa r ecfda s . Los electrones de la Ultima capa se des-criben par au ~rmfigu1'a"i6n, eaco es, par los numero9 cuanticos nl canun supe r-fndtce que indica el mirne r o de electrones de Ia subca.pa que seesta llenando.

Par ej ernplo , ,,1 neon can Z = 10 tiene 10 eIe ct r one s distribuidoaa"I' 2 . electrones que llenen Ia capa n = 1 Y 8 ele ctrones en Ia cap a n '"2., de los cua Ie s 2. completan Ia subcapa. 1 = 0 V 6 e"tan en la B ubcapa1 = 1. De esta manera. BU configura cion se ra 2.p.

El numero total de electrones pe r rnicido s en una capa se obtiene su-mando 106 electrones de eada una de las subcapa s , sabre los valorespennitidos de 1, Cada subcapa. conttene 2.(21 + 1) Ypara un n dado lasaub capa s se car-actertaan par 1 = 0, 1... ,(10-1). Entonces

Numero de eIe ct r-o'nes 2([2(0) +1) + [2(1) + IJ + [2.(2.) + IJ.;-+ +[2.(n-I)+l)J = 2[1 +3+5+ ... ++(In-l)] '" 2.na

SISTEMAS DE PART(CULAS IDENTICAS: PRINCIPIO DE SIMETRIZA-CION4 5Al t r ara.r de apt ica r la rne can ic a cuant ica a. colecciones a sistemas

de va r la s pa refc ufa s identic as su rg en nuevos problemas de profundasimplicaciones, der-iva.doa del cankter de indistinguibilidad de las par-tfcwas submicrosc6picas identicas que los componen. Si se observauna colecci6n de partfc ula s identicas cIa sic a a, par eiernplo, un enjam-bre de abejas identic as, siempre e s POBble seguil' Sus trayectorias,porque por rnuy identic a s que las a.bejas sean, s iernpr e se puede , aIpr lnc ip io de la observaci6n, panel' una. rrrar ca sobr e una, que no afec-te su din4rnica y que pa rrrri ta seguirla e ident1!i


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sucesivamente. En 10 que sigue SOlUamara primer", pa.rHcula a Ia d.e~'-"rita par .,1 primer argurnento de"t, seg=da partrcula a Ia del ",egun-doar,gum.ento, etc.

De.cir que n pe rtfculas Ban i.d6nti.cas equi."ale a afirnu.r que no exis-te interacd6n que las pueda disting'lir y asfcualquier ope r s.dor y, pcrconsiguiente, cua Iquler part(c ala ob s e r v.abIe de Ia col ec c i6n de las npartfculas debe depende 1 .' simetrl.eamente de los fndices 0de ot i-a for-rna de designarlos ele.gida a rbHrariamente, ya que nada cambia cu arid oSOl i.ntercambian entre sf dos de eHa s ,

Si delinimos el operador de perrnutaci6n P1, corn o e1 q'le inteream-bia Ia pa etfc uka t.-es'ma y J-esima en e I e stado , tend r erno a r

P.I(J.2 ... t.... J... n) =>'f(J.Z J... t.... n).Cualqaier permutaci6n puede esc r tb ieee como un producto de las

permutac Ione s P'l de dos partfculas, par ej eznp lo

tomando en cue nra que las permutaciones, en general. no conrnutanent. e "f, po r 10 que e s ilnportante el 0rd en en qU.e see sc r ibe Ia pe r-rnutaci6n. As{,

46f{Z3l) P123~{lZ3),

no ee ig ua l que

Si Sol tiene un operador de va r Ias parHell-las AO-, 2 ... n), no neee~ari~a-mente simetrico, que act.>a sobre una func i6n de onda de v ar ias partf~e ula e, s e tiene en general

P.JA(l, 2 t J .. )'1'0, 2... t J1 ) = A(1, 2 J t . ) . 'f(I.2 J t ... ) .. A(J,2 J.... t.... )PIJ'O.1 ... t J ).

po r 10 que debe Int e r pa-era r s ePuA(.. t... J ... ) A( J ... t... )P.J

Si el operador A es sirn

lor de expectac i6n del misrno en cualquier e sts.dc e s independiente delorden en que s e designen la.spartfculas de e se estado, 10 que da po rr ea ulea do que rn rent ra 5 Be tra bajecon op e r a do r-es sIm et r tc o s, los re-sultados {fsicos no se aite ran. s; se intercarnbian dos partrculas, c ual~quiera que sea Is s irn et r Ia del e sta do , Por eTlo en e1 ca so clc.I opera~dol' cor re s pond ieu te a Is energfa total de un e sta do de valor E, sip~e s distinto de ' 1 ' , a este dltilno esta do Le corresponde tarnbte n el mis-rno valor E. TenelTIos a s f do s estados diferenteos a los que cc rr eapcn-


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de Ia rn is rna energ!a. Estos esta dos se Haman del1'ltlfs"rados._ y ~l\fe-n6meno, detl"""'l"oci6n de int,,"'cambio.

Es un heche experimental que lin par de pa rt tcilla's id~ntica" se ,,,,-,cuentran siempre en un e stado cuya func i6n de onda r-e.apec eo al opera-do r P.,. tiene autovalores:l: I, e s dec l r tal que P12f("t,.2) = ,!;.ij>.{2. 1). de-peodiendo del t lpo de partfculas que se trate. Guando se cumple qllcP12'f (1,2) '" H (2. 1), se dice que la func j,6n de onda es s\rn~tdca, ycuando P12 ' 1 '0 , 2 .) = = _'I (2, I), se dice que 13. funci6n de onda es aneistmd-t r ic a , Pa.ra e1 ca ao de dos pa r tfc ula a, Ia Iunci6n de onda siempre sepue de escribir como Ia swna de doa func i.orrea, una tota1mente sime-trica y otra totalrnente antisirnetrica, porque

t (1 ,2 . ) = H't/I,.2) + 'f(2.. 1) + H~(J. 2 .) - ~ (2 ., I)).~~... ~----,...l'.(1, Z l 1,( I, Z)

Se pued e comprobar que

La funci6n de onda de dc s electrones e s s ierrrpr e antisim~trica, entanto que la unci6n de onda de dOB rne sone s 11 e s siempre s irriet r ic a ,Las part!culas que corresponden a estados simetricos Se Harnan bo so-,nes, en tanto que Las pa rHculas cuyos estados deben Bel' antisim(Hricosfrente al intercambi.o de dos pa r tfc ula 5 s e llaman fermiones. Ejern-pro s de los primeros son los plone s, fotonesyn:ntkos aebe ser totalInente ant rs tm e-trieo para el intercambio de do s cualesqui.era de ellos y que 1a funci6nde onda de T O bosones debe ser completarnente sim~tdca frente al in-tercambio de dos de el.Ioa, sel'1alando de paso que un sistema de n par-tfcura s ldent ica s que a1 com ie uzo de unaobservaci6n se encuentra en une acado totabnente s irnet r tc o 0 totalrnente ant isirn.:>:tic 0 debe pe rrnan e-ce r indefinidamemte en ese estado. Todo esto conduce a. Ia formulae i6nadPrincipio de Sirnetrizaci6n en eato s terminos: Lee ea iodo pW'Osde un i.stoma. de pal'ttcuZ4s iiJnti"all debe", se,.. oompl eromenre s1',r.!,el.:ri-rJOBa anti.simetraa08 ti.speet.o del: 'i~te}"l{~anwiode doe papt{ct.4z.as "ua:;~e~-q",iera.

La antisimetrra de 1a unci6n de onda para ferrniones rrrrpf.i.c a de in-mediato qu" los fermiones identicos deben sat i.sfac er e1p:rinaipi,o de ex-clu.~id'n de pauli, puesto que para ellos f (1, 2.3, . , .) = -~ ' (2, I, 3, .. ),donde ae han interc ambiado I y 2. SI, por ejernplo, I ~ 2 ., entonc c s,'I'(l,Z. 3, ... l '"-'f(l, Z. 3... ). 10 cual soto e a pos Ible si 'f es cera. Es


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dec i.r, Ia probabilidad de ene ont r ar dos fermiones can iguales nl1meroscuant tcos es cero 0 en terminos mas prec iaos dos ferrniones no puedcnoc upa r e1 rnj srno estado cuifntico.TEORLA CUANTICA DE LAS MOLECULAS

En Ia teorl


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Tambien se apr ecra en Ia. figura ZI e1 gran pa.rectno del potennalefectivo con Ia curva del osct lado r armOnico, par 10 menos en la~ pro-xhnidades del rnfntrno . Es de e epe ra r que las propiedade s de est e seanpa re cjda s a las del oscilador ann6nico y aS1 es enefecto: 108niveles deenergi'a de los nucleos estan eepararlot; en .forrna aproxirnada=ente uni-forme y se encuentran en W"I numero .finlto siempr e que la ene r gfa deexcitad6n no sea muy grande. Estos niveles de energ,a dentro del po-tencial efectivo son 10s niveZes lltbraciona le, aS1 Ilarnados por cor res -ponder a la energ,a pct.encia l de los dos nucleo s vtbj-ando segUn e1 ejeque los une, respecto a Ia posid6n de rnfntrna ene rgta.

E" util hace r aquf una pregunta: lpor que hay un mmirno en el po-tencial e fect ivo ? La r esp"e ata puede da r se anali-.;ando una.configu radoncom.o la repr~ sentada en Ia fi.gura 22, co r r espondt ente a Ia mo.le cu'la dehidr6geno. Esta. e8ta corrrpu.eata por dos proton",. y dos electrone,.. 51se caIcuta la ene rgfa potencial electroshitica de esa configura cion y s eIa campara COn La de aquella en 130que los atolTIO" estan infinitaTnentes epa r ado s , se ha Ila que su diferencia es negati.va, 10 que indica que talsistema ..sta ligado.

OIl

fig. 22. Una posible configura-ci6n de electrones y pr~ones enla molecula de hidrogeno.4 9

Escribiendo ta ene rgfa potencial en Ia formaV '" + & " ( 4 + it - r ; 2 - r ~ - /u - / ..), [59 ]

donde r es 130distancia entre amboa electrones, R Ia distan eta entre losd08 protones, y 1""1) la distancia entre el proton t : y el electron j, la.energi"a total sera

E T,. V,donde

y las Iet ra s mayusculas indican rria sa y mo rnenturn de 108protone s , ylas rrrln iiscuIa s , las cor r e apond'[errte s magnitudes de 105 electron" s ,

Manipula.ndo V ha.t a Iogr ar 9Um.ayor valor negativD, se encontrari"aque T tiene un valor tan grande que E ;> O. Sin "mba Igo, hacienda unba.Ian ce ap ropl ado de V y T, se puede haUar un maxil'l1o valor negativode la energ(a, E1. Este correspond .. a Ia ene r gfa del estad o fundamen-tal de La Inolecula y est,{ representado en la figura 21 por el rni"ninlo de


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Ia .mama. (En Ia figura se ha elegido elor lg en de las ene rgfas de mo-do que E1= O . )

En las pr oxi midade s del mfnfmo , eI potencial efe


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Es de esperar que las enevgfas correspondientee a los nive1e .. rota cio-.na Ie s sean del rrris rno orden que T, esto ell'

Ey como e1 valor cuantt co de J 2 es

J~ " J(J + Il-t$.e e tiene que

/ } OE - . T ( J .j.l)8!?i'La freeueneta asoctada a es ta s energi'a.s se r Ia del 0 rilen

Física Cuántica

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