Física Clasica Mecanica

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IMPORTANCIA DE LA FÍSICA.

OBJETIVO:

Entender la importancia de la física en la vida diaria.

La Física es una de las ciencias naturales que más ha contribuido al desarrollo y bienestar del hombre, porque gracias a su estudio e investigación ha sido posible encontrar en muchos casos, una explicación clara y útil a los fenómenos que se presentan en nuestra vida diaria.

La palabra física proviene del vocablo griego physiké cuyo significado es naturaleza.

Es la Ciencia que se encarga de estudiar los fenómenos naturales, en los cuales no hay cambios en la composición de la materia.

La Física ha experimentado un gran desarrollo gracias al esfuerzo de notables científicos e investigadores, quienes al inventar y perfeccionar instrumentos, aparatos y equipos han logrado que el hombre agudice sus sentidos al detectar, observar y analizar fenómenos.

Al nacer la filosofía de los griegos, nace propiamente la física. La palabra filosofía (del griego Philos amante y de sophia sabiduría) significa amor a la sabiduría, este término se aplicó por primera vez a la actividad de ciertos pensadores griegos, que en el siglo VI a.C., reflexionaban sobre los fenómenos naturales, el origen y naturaleza de la vida, de los seres y las cosas.

La Filosofía nace en Jonia en la costa del Asia Menor, y son Mileto, Efeso y Samos, algunos de los pueblos donde encontramos a los primeros pensadores, con su filosofía, llamada filosofía de la naturaleza o filosofía de la física, ya que física significa naturaleza. En ésta filosofía de la naturaleza, la observación de la naturaleza, los cuerpos y el ser ocupaban el primer plano de estudios, aunque piensan también en el espíritu y en el ser como un todo.

Entre los primeros filósofos naturalistas se tienen a Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes.

Por éste mismo período aparecen Leucipo y Demócrito, quienes exponen la Teoría Atomista, según la cual la materia está formada de pequeñas partículas llamadas átomos.

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En el siglo IV a.C. aparece Aristóteles quien empieza a estudiar la caída de los cuerpos.

En el siglo segundo de nuestra era aparece Ptolomeo que hace estudios sobre la reflexión de la luz.

A partir de éste período, la física avanza lentamente a través de cientos de años.

Casi 1,500 años después aparece Galileo Galilei que estudia el movimiento del péndulo y reafirma la Teoría Planetaria heliocéntrica junto con Nicolás Copérnico.

En el siglo XVI aparece William Gilbert que realiza estudios sobre electricidad y magnetismo.

En el siguiente siglo aparece Isaac Newton que descubre la Ley de Gravitación Universal, así como las leyes sobre el movimiento de los cuerpos; con éste gran científico nace la Física Clásica.

En el siglo XVIII, hay grandes aplicaciones como la electricidad, las máquinas eléctricas, la invención del pararrayos.

En el siglo XIX, Alejandro Volta inventa la pila eléctrica; Avogadro explica la diferencia entre átomos y moléculas, Roentgen los rayos x y Becquerel la radioactividad.

En nuestro siglo desde sus inicios hay grandes adelantos científicos, que no sería fácil enumerarlos. Los avances en el campo de los átomos hacen que se inicie la Física Moderna, la cual se divide en Física Cuántica y Relativista.

II - MAGNITUDES FÍSICAS Y UNIDADES FUNDAMENTALES

OBJETIVO:

Comprender la importancia de la medición

MEDICIONES

Se consideran Ciencias experimentales aquellas que por sus características y, particularmente por el tipo de problemas de los que se

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ocupan, pueden someter sus afirmaciones o enunciados al juicio de la experimentación. En un sentido científico la experimentación hace alusión a una observación controlada; en otros términos, experimentar es reproducir en el laboratorio el fenómeno en estudio con la posibilidad de variar a voluntad y de forma precisa las condiciones de observación.

La Física y la Química constituyen ejemplos de Ciencias experimentales. La historia de ambas disciplinas pone de manifiesto que la experimentación ha desempeñado un doble papel en su desarrollo. Con frecuencia, los experimentos científicos sólo pueden ser entendidos en el marco de una teoría que orienta y dirige al investigador sobre qué es lo que hay que buscar y sobre qué hipótesis deberán ser contrastadas experimentalmente. Pero, en ocasiones, los resultados de los experimentos generan información que sirve de base para una elaboración teórica posterior. Este doble papel de la experimentación como juez y guía del trabajo científico se apoya en la realización de medidas que facilitan una descripción de los fenómenos en términos de cantidad. La medida constituye entonces una operación clave en las ciencias experimentales.

MAGNITUDES Y MEDIDA

El gran físico inglés Kelvin consideraba que solamente puede aceptarse como satisfactorio nuestro conocimiento si somos capaces de expresarlo mediante números. Aun cuando la afirmación de Kelvin tomada al pie de la letra supondría la descalificación de valiosas formas de conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo. La operación que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es precisamente la medida.

Magnitud, cantidad y unidad

La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles.

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La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos de magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una persona o un objeto es más bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad.

En el lenguaje de la física la noción de cantidad se refiere al valor que toma una magnitud dada en un cuerpo o sistema concreto; la longitud de esta mesa, la masa de aquella moneda, el volumen de ese lapicero, son ejemplos de cantidades. Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema físico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrón.

La medida como comparación

La medida de una magnitud física supone, en último extremo, la comparación del objeto que encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el patrón.

Tipos de magnitudes

Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificación básica. Un grupo importante de ellas quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un número seguido de la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes reciben el nombre de magnitudes escalares. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía, son sólo algunos ejemplos. Sin embargo, existen otras que precisan para su total definición que se especifique, además de los elementos anteriores, una dirección o una recta de acción y un sentido: son las llamadas magnitudes vectoriales o dirigidas. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus efectos al actuar sobre un cuerpo dependerán no sólo de su cantidad, sino también de la línea a lo largo de la cual se ejerza su acción.

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Al igual que los números reales son utilizados para representar cantidades escalares, las cantidades vectoriales requieren el empleo de otros elementos matemáticos diferentes de los números, con mayor capacidad de descripción. Estos elementos matemáticos que pueden representar intensidad, dirección y sentido se denominan vectores. Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general, escalares. El dependiente de una tienda de ultramarinos, el comerciante o incluso el contable, manejan masas, precios, volúmenes, etc., y por ello les es suficiente saber operar bien con números. Sin embargo, el físico, y en la medida correspondiente el estudiante de física, al tener que manejar magnitudes vectoriales, ha de operar, además, con vectores.

En las Ciencias Físicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemáticamente entre sí grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en función de dicho conjunto. Esas pocas magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales, mientras que el resto que pueden expresarse en función de las fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas.

Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de unidades. La definición de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. Así la unidad ha de ser constante como corresponde a su función de cantidad de referencia equivalente para las diferentes mediciones, pero también ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio.

2.1 UNIDADES FUNDAMENTALES

OBJETIVO:

Diferenciar las unidades fundamentales de las derivadas

Unidad de Longitud: El metro (m) es la longitud recorrida por la luz en el vacío durante un período de tiempo de 1/299,792,458 s.

Unidad de Masa: El kilogramo (kg) es la masa del prototipo internacional de platino iridiado que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de París.

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Unidad de Tiempo: El segundo (s) es la duración de 9,192,631,770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles fundamentales del átomo Cesio 133.

Unidad de Corriente Eléctrica: El ampere (A) es la intensidad de corriente, la cual al mantenerse entre dos conductores paralelos, rectilíneos, longitud infinita, sección transversal circular despreciable y separados en el vacío por una distancia de un metro, producirá una fuerza entre estos dos conductores igual a 2 × 10 -7 N por cada metro de longitud.

Unidad de Temperatura Termodinámica: El Kelvin (K) es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

Unidad de Intensidad Luminosa: La candela (cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 × 10 12 hertz y que tiene una intensidad energética en esta dirección de 1/683 W por estereorradián (sr).

Unidad de Cantidad de Sustancia: El mol es la cantidad de materia contenida en un sistema y que tiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12. Cuando es utilizado el mol, deben ser especificadas las entidades elementales y las mismas pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos de tales partículas.

Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son:

MAGNITUD BASE NOMBRE SÍMBOLOlongitud metro mmasa kilogramo kgtiempo segundo scorriente eléctrica Ampere Atemperatura termodinámica Kelvin Kcantidad de sustancia mol mol

intensidad luminosa candela cd

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2.2 Unidades derivadas

OBJETIVO:

Diferenciar las unidades fundamentales de las derivadas

A partir de estas siete unidades de base se establecen las demás unidades de uso práctico, conocidas como unidades derivadas, asociadas a magnitudes tales como velocidad, aceleración, fuerza, presión, energía, tensión, resistencia eléctrica, etc.

Ciertas unidades derivadas han recibido unos nombres y símbolos especiales. Estas unidades pueden así mismo ser utilizadas en combinación con otras unidades base o derivadas para expresar unidades de otras cantidades. Estos nombres y símbolos especiales son una forma de expresar unidades de uso frecuente.

Coulomb (C): Cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un amperio.

Joule (J): Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando su punto de aplicación se desplaza la distancia de un metro en la dirección de la fuerza.

Newton (N): Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo, cada segundo.

Pascal (Pa): Unidad de presión. Es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

Volt (V): Unidad de tensión eléctrica, potencial eléctrico, fuerza electromotriz. Es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre esos puntos es igual a 1 watt.

Watt (W): Potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.

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Ohm ( O ): Unidad de resistencia eléctrica. Es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

Weber (Wb): Unidad de flujo magnético, flujo de inducción magnética. Es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme.

La Ley Federal sobre Metrología y Normalización establece que el Sistema Internacional es el sistema de unidades oficial en México.

Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de unidades. La definición de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. Así la unidad ha de ser constante como corresponde a su función de cantidad de referencia equivalente para las diferentes mediciones, pero también ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio.

2.3 EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

OBJETIVO:

Entender la importancia de tener un sistema internacional de medidas

En esta línea de acción, la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en París en 1960 tomó la resolución de adoptar el llamado con anterioridad Sistema Práctico de Unidades, como Sistema Internacional, que es, precisamente, como se le conoce a partir de entonces. El Sistema Internacional de Unidades (abreviadamente SI) distingue y establece, además de las magnitudes básicas y de las magnitudes derivadas, un tercer tipo formado por aquellas que aún no están incluidas en ninguno de los dos anteriores, son denominadas magnitudes suplementarias.

El SI es el sistema práctico de unidades de medidas adoptado por la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en octubre de 1,960 en París. Trabaja sobre siete magnitudes fundamentales (longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia) de las que se determinan sus correspondientes unidades fundamentales (metro, kilogramo,

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segundo, ampere, Kelvin, candela y mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (coulomb, joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), además de otras suplementarias de estas últimas

A estas siete magnitudes fundamentales hay que añadir dos suplementarias asociadas a medidas angulares, el ángulo plano y el ángulo sólido. La definición de las diferentes unidades fundamentales ha evolucionado con el tiempo al mismo ritmo que las propias ciencias físicas. Así, el segundo se definió inicialmente como 1/86,400 la duración del día solar medio, esto es, promediado a lo largo de un año.

Un día normal tiene 24 h aproximadamente, es decir 24 h. 60 min = 1,400 min y 1,400 min.60 s = 86,400 s ; no obstante, esto tan sólo es aproximado, pues la duración del día varía a lo largo del año en algunos segundos, de ahí que se tome como referencia la duración promediada del día solar. Pero debido a que el periodo de rotación de la Tierra puede variar, y de hecho varía, se ha acudido al átomo para buscar en él un periodo de tiempo fijo al cual referir la definición de su unidad fundamental.

A lo largo de la historia el hombre ha venido empleando diversos tipos de sistemas de unidades. Estos están íntimamente relacionados con la condición histórica de los pueblos que las crearon, las adaptaron o las impusieron a otras culturas. Su permanencia y extensión en el tiempo lógicamente también ha quedado ligada al destino de esos pueblos y a la aparición de otros sistemas más coherentes y generalizados. El sistema anglosajón de medidas -millas, pies, libras, Grados Fahrenheit - todavía en vigor en determinadas áreas geográficas, es, no obstante, un ejemplo evidente de un sistema de unidades en recesión. Otros sistemas son el cegesimal - centímetro, gramo, segundo -, el terrestre o técnico -metro-kilogramo, fuerza-segundo-, el Giorgi o MKS - metro, kilogramo, segundo- y el sistema métrico decimal, muy extendido en ciencia, industria y comercio, y que constituyó la base de elaboración del Sistema Internacional.

2.4 SISTEMA MKS Y CGS.

OBJETIVO:

Diferenciar los sistemas más importantes del SI

SISTEMA MKS (metro, kilogramo, segundo)

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El nombre del sistema está tomado de las iniciales de sus unidades fundamentales.

La unidad de longitud del sistema M.K.S.:

METRO: Es una longitud igual a la del metro patrón que se conserva en la Oficina Internacional de pesas y medidas.

La unidad de masa es el kilogramo:

KILOGRAMO: Es una masa igual a la del kilogramo patrón que se conserva en la Oficina Internacional de pesas y medidas.

Un kilogramo (abreviado Kg.) es aproximadamente igual a la masa de un decímetro cúbico de agua destilada a

4 º C.

La unidad de tiempo de todos los sistemas de unidades es el segundo.

SEGUNDO: Se define como la 86,400 ava. Parte del día solar medio.

Los días tienen diferente duración según las épocas del año y la distancia de la Tierra al Sol. El día solar medio es el promedio de duración de cada uno de los días del año.

SISTEMA C.G.S. (centímetro, gramo, segundo).

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El sistema C.G.S. llamado también sistema cegesimal, es usado particularmente en trabajos científicos. Sus unidades son submúltiplos del sistema M.K.S.

La unidad de longitud: Es el CENTÍMETRO, o centésima parte del metro.

La unidad de masa: Es el GRAMO, o milésima parte del kilogramo.

La unidad de tiempo: Es el SEGUNDO.

Unidad/Sistema

C.G.S M.K.S Técnico otros 1 otros 2

Masa g Kg slug LbLongitud cm m m pulg pieTiempo s s s s sVelocidad cm/s m/s m/s pulg/s pie/sAceleración cm/s 2 m/s 2 m/s 2 pulg/s 2 pie/s 2Fuerza dina N Kgf LbfPresión dina/cm 2 Pa = N/m 2 Kgf/m 2 Lbf/pulg 2 atm o lbf/pie 2Trabajo ergio (J) Joule B.T.U calPotencia ergio/s Watt (J/s) H.P C.V cal/sMomento dina.cm N.m Kgf.m Lbf.pulg Lbf.pie

2.5 SISTEMA INGLÉS DE UNIDADES

OBJETIVO:

Entender la importancia que aún tiene el sistema inglés en la vida diaria

El sistema inglés de unidades o sistema imperial, es aún usado ampliamente en los Estados Unidos de América y, cada vez en menor medida, en algunos países con tradición británica. Debido a la intensa relación comercial que tiene nuestro país con los EUA, existen aún en México muchos productos fabricados con especificaciones en este

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sistema. Ejemplos de ello son los productos de madera, tornillería, cables conductores y perfiles metálicos. Algunos instrumentos como los medidores de presión para neumáticos automotrices y otros tipos de manómetros frecuentemente emplean escalas en el sistema inglés.

El Sistema Inglés de unidades son las unidades no-métricas que se utilizan actualmente en los Estados Unidos y en muchos territorios de habla inglesa (como en el Reino Unido), pero existen discrepancias entre los sistemas de Estados Unidos e Inglaterra. Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de los siglos, y de los intentos de estandarización en Inglaterra. Las unidades mismas tienen sus orígenes en la antigua Roma. Hoy en día, estas unidades están siendo lentamente reemplazadas por el Sistema Internacional de Unidades, aunque en Estados Unidos la inercia del antiguo sistema y el alto costo de migración ha impedido en gran medida el cambio.

EQUIVALENCIAS DE LAS UNIDADES INGLESAS.

LONGITUD

1 milla = 1,609 m

1 yarda = 0.915 m

1 pie = 0.305 m

1 pulgada = 0.0254 m

MASA

1 libra = 0.454 Kg.

1 onza = 0.0283 Kg.

1 ton. Inglesa = 907 Kg.

SUPERFICIE

1 pie2 = 0.0929m2

1 pulg2 = 0.000645m2

1 yarda2 = 0.836m2

VOLUMEN Y CAPACIDAD

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1 yarda3 = 0.765 m3

1 pie3 = 0.0283 m3

1 pulg3 = 0.0000164 m3

1 galón = 3.785 l.

2.7 NOTACIÓN CIENTÍFICA

OBJETIVO:

Utilizar correctamente la notación científica en la solución de problemas

La notación científica (notación índice estándar) es un modo conciso de anotar números enteros mediante potencias de diez, esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños.

101 = 10

102 = 100

103 = 1,000

106 = 1,000,000

109 = 1,000,000,000

1020 = 100,000,000,000,000,000,000

Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es igual a 1 / 10 n o, equivalentemente 0, (n-1 ceros) 1:

10-1 = 1/10 = 0.1

10-3 = 1/1000 = 0.001

10-9 = 1/1.000.000.000 = 0.000000001

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Por lo tanto un número como 156,234,000,000,000,000,000,000,000,000 puede ser escrito como 1.56234 × 1029 , y un número pequeño como 0.0000000000234 puede ser escrito como

2.34 × 10-11

Ejemplos:

34,456,087 = 3.4456087 × 107

0.0004 508 421 = 4.508 421 × 10-4

-5,200,000,000 = - 5.2 × 109

-6.1 = -6.1 × 100

La parte potencia de 10 se llama a menudo, orden de magnitud del número, y las cifras de a son los dígitos significativos del mismo.

Es muy fácil pasar de la notación decimal usual a la científica, y recíprocamente, porque las potencias de diez tienen las formas siguientes:

Si el exponente n es positivo, entonces 10n es un uno seguido de n ceros:

Por ejemplo 1012 = 1,000,000,000,000 (un billón)

Si el exponente es negativo, de la forma -n ,

entonces:

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Por ejemplo 10-5 = 0.00001, con cuatro ceros después de la coma decimal y cinco ceros en total.

Esta notación es muy útil para escribir números muy grandes o muy pequeños, como los que aparecen en la Física: la masa de un protón (aproximadamente 1.67×10-27 kilogramos), la distancia a los confines observables del universo (aproximadamente 4.6×1026 metros).

Esta escritura tiene la ventaja de ser más concisa que la usual si uno se conforma en usar pocos dígitos significativos (uno sólo para estimar una magnitud, dos o tres en ramas de las ciencias experimentales donde la incertidumbre supera el uno por mil y a veces el uno por ciento): 1.26×1010 resulta más corto que 12.600.000.000, pero el primer ejemplo dado,

34,456,087 = 3.4456087 × 107 no presenta tal ventaja.

La notación científica permite hacer cálculos mentales rápidos (pero a menudo aproximados), porque permite considerar por separado los dígitos significativos y el orden de magnitud (además del signo):

Ejemplos:

Productos y divisiones:

4×10-5 multiplicado por 3×10-6 son:

(3×4) × 10-5-6 = 12 × 10-11 = 1.2 × 10-10

5×108 dividido por 3×105 son:

(5/3) × 108-5 = 1.33 × 103

Sumas y diferencias: sin ningún término es despreciable para con el otro, hay que reducirlos a la misma potencia de diez y luego sumar o restar:

4.1 × 1012 + 8 × 1010 = 4.1 × 1012 + 0.08 × 1012 = 4.18 × 1012

1.6 × 10-15 – 8.8 × 10-16 = (16 – 8.8) × 10-16 = 7.2 × 10-16

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ACTIVIDAD 2.

Resuelve el siguiente problema utilizando notación científica:

1.- Una año luz es la distancia que viaja la luz en un año, es decir, aproximadamente 5,869,713,600 millas. Se estima que la Vía Láctea tiene un diámetro de aproximadamente 200,000 años luz. ¿Cuántas millas tiene la Vía Láctea de diámetro?

TAREA 2.

Resuelve los siguientes problemas en hojas blancas.

2.- La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 años. Sin embargo, hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol. ¿Cuál es la edad de estos cuerpos?

3.-Se calcula que en la Vía Láctea hay aproximadamente 1.2 x 1011 estrellas. ¿Cuántos años le tomaría a una persona contar las estrellas si cuenta una por segundo?

2.8 CONVERSIONES

OBJETIVO:

Aprender a utilizar la conversión para resolver problemas y que sus unidades coincidan

Desde el punto de vista operacional de la Física es muy importante saber manejar la conversión de unidades, ya que en los problemas en que se presenten las magnitudes físicas, éstas deben guardar homogeneidad para poder simplificarlas cuando sea necesario, es decir, deben ser de la misma especie.

Por ejemplo, si se tienen:

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8m+ 7m + 5m = 20m

Éstas se pueden sumar porque son de la misma especie, pero si se tiene:

8m + 70cm + 10mm

Éstas cantidades no se pueden sumar hasta que no se transformen a un sólo tipo de unidad.

PASOS PARA REALIZAR LA CONVERSIÓN.

1.- Escriba la cantidad que desea convertir.

2.- Defina cada una de las unidades incluidas en la cantidad que va a convertir, en términos de la unidad o las unidades buscadas.

3.- Escriba dos factores de conversión para cada definición, uno de ellos recíproco del otro.

4.- Multiplique la cantidad que desea convertir por aquellos factores que cancelen todas las unidades, excepto las buscadas.

Ejemplo 1:

Convierta 5 m2 a cm2

Equivalencia a usar:

1m2 = 10,000cm2

Se escribe la cantidad que se va a convertir y se escogen los factores de conversión que cancelan las unidades no deseadas.

5m2 10,000 cm 2 = 50,000 cm2

1 m2

Resultado expresado en notación científica: 5 x 104 cm2

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Ejemplo 2:

Convierta la velocidad de:

60 km a mh s

Equivalencias a usar:

1 km = 1,000 m

1 h = 3,600 s

Se escribe la cantidad que se va a convertir y se escogen los factores de conversión que cancelan las unidades no deseadas.

TAREA 3.

En hojas blancas, realizar las siguientes conversiones.

1.-Una cancha de tenis tiene 100 m de largo y 80 m de ancho. ¿Cuáles son la longitud y la anchura de la cancha en pies?

2.-Un cubo tiene 7 pulgadas por lado. ¿Cuál es el volumen del cubo en pies y en metros cúbicos?

3.-Un carro viaja a una velocidad de 87 m/h. ¿A cuánto equivale su rapidez en pies/s?

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MOVIMIENTO

OBJETIVO:

Distinguir, reconocer y aplicar los diferentes tipos de movimientos en diferentes áreas del conocimiento

III.-MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

3.1. Descripción gráfica del movimiento

OBJETIVO:

Realizar e interpretar gráficas de movimiento.

Los datos se representan en forma gráfica para mostrar la relación entre dos variables.

Existen dos tipos de variables:

a) Las independientes que no están supeditadas a otras y que se escriben en el eje de las “x”.

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b) Las dependientes las cuales están sujetas al valor de las otras y se escriben en el eje de las “y”.

En las gráficas existen relaciones lineales, inversas y cuadráticas.

Ejemplos:

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Durante este curso estudiaremos dos tipos de gráficas:

• Las de posición vs. Tiempo y las de

• Velocidad vs. Tiempo.

3.2 Gráficas de Posición vs. Tiempo.

OBJETIVO:

El alumno interpretará las gráficas de posición vs. Tiempo y sus diferentes aplicaciones.

En este tipo de gráficas la variable independiente es siempre el tiempo y la variable dependiente es la posición. Si se tiene una tabla el primer paso es escoger una escala adecuada y graficarla. Como ya sabemos debemos utilizar una hoja milimétrica o cuadriculada.

Gráficas posición vs. tiempo.

INSTRUCCIONES

Resuelva el siguiente ejercicio en base a la tabla mostrada:

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Tiempo (s) Posición (m)0 05 10010 30015 30020 40025 50035 0

a) Trace una gráfica posición vs tiempo b) Calcule la distancia total c) Calcule el desplazamiento total d) Calcule la velocidad en los primeros 5 segundose) Calcule la velocidad en el periodo de 15 a 25 segundos

a) gráfica posición vs. tiempo

b) Calcule la distancia total La distancia total se obtiene sumando todos los desplazamientos, ya que la distancia es una cantidad escalar y no tiene dirección por esta causa se suma todo.

100+200+0+100+100+500 = 1000 m.

c) Calcule el desplazamiento total

Cero ya que el objeto salió y llegó al mismo lugar.

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c) Calcule la velocidad en los primeros 5 segundos.

Esto se calcula con la pendiente de la gráfica, la cual nos da la velocidad, utilizando la siguiente fórmula: V = d2 – d 1 = 100 - 0 = 20 m/s t2 – t1 5 - 0

e) Calcule la velocidad en el periodo de 15 a 25 segundos.

V = d2 – d 1 = 500 - 300 = 20 m/s t2 – t1 25 - 15

TAREA No. 1

Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.

1.- En base a los datos mostrados en la siguiente tabla:

Tiempo (seg) Posición (m)

0 -402 -253 -25

4 -205 06 257 258 15

Calcule:

a) El desplazamiento total.

b) La distancia total

c) Los periodos de velocidad constante.

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d) La velocidad en los primeros dos segundos

e) La velocidad de 7 a 8 segundos

2.- De acuerdo a la GRÁFICA # 1 mostrada:

a) Calcule la distancia total.

b) Calcule el desplazamiento total.

c) La velocidad en el periodo de 4 a 6 segundos.

d) La velocidad en los dos primeros segundos.

e) La velocidad en el periodo de 10 a 12 segundos

3.- En base a la GRÁFICA #2, indique:

a) La distancia total recorrida.

b) El desplazamiento total

c) La velocidad en los primeros 5 segundos.

d) La velocidad en el periodo de 20 a 25 s

GRÁFICA #1

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GRÁFICA # 2

3.3 GRÁFICAS DE VELOCIDAD VS. TIEMPO.

OBJETIVO:

El alumno interpretará las gráficas de velocidad vs. Tiempo y sus diferentes aplicaciones.

En este tipo de gráficas la variable independiente es siempre el tiempo y la variable dependiente es la velocidad.

Y la pendiente de la gráfica es la aceleración dada por la siguiente fórmula:

a = V2 - V1

t2 - t1

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APLICACIÓN DE LAS GRÁFICAS VELOCIDAD CONTRA TIEMPO

EJEMPLO

En base a la gráfica mostrada:

a) Calcule la distancia total recorrida.


c) Calcule la aceleración en el periodo de 10 - 15 segundos

d) Calcule la aceleración en el periodo de 25 a 30segundos

a) Área 1 = [(B +b) / 2] h = [(15 + 5) / 2] 40 = 400 m.

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Área 2 = b x h / 2 = 10 x 40 / 2 = 200m

Para calcular la distancia se suman todas las áreas por lo cual el resultado en esta gráfica e de: 400 + 200 = 600 m.

b) Y para calcular el desplazamiento se suman las áreas positivas (las de arriba) y se restan las negativas (las de abajo)

En este caso: 400 - 200 = 200 m

c) En este tipo de gráficas la pendiente de la gráfica nos da la aceleración con la siguiente fórmula:

a = V2 - V1 = 0 - 40 = - 8 m/s 2

t2 – t1 = 15 a 10

d) a = V2 - V1 = 0 – ( -40) = 8 m/s 2

t2 – t1 30 - 25

ACTIVIDAD No. 2

INSTRUCCIONES

Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.

1. - De acuerdo a los datos tabulados:

a) Trace luna gráfica velocidad vs. tiempo

b) Calcule la distancia total

c) Calcule el desplazamiento total

d) Calcule la aceleración en el primer segundo.

e) Calcule la aceleración en el periodo de 7 a 8 segundos.

Tiempo (s) Velocidad (m/s)0 2001 02 03 -150

28

4 -1505 06 1007 08 -200

2.- En la siguiente gráfica, calcule:

a) Periodo(s) de velocidad constante.

b) La aceleración en el periodo de 5 a 10 segundos.

c) La aceleración de 50 a 60 segundos.

d) El desplazamiento total.

e) La distancia total.

TAREA No. 1

Resolver los siguientes ejercicios:

29

1.- De acuerdo a la siguiente gráfica, calcule:

a) La distancia total.

b) El desplazamiento total

c) La velocidad en el primer segundo

d) La velocidad en el periodo entre 3 y 4 segundos

e) ¿Qué periodo(s) de tiempo tiene(n) velocidad cero?

2.- La siguiente gráfica describe las velocidades de un objeto durante 14 segundos. Calcule:

a) Su aceleración en el periodo de 10 a 12 segundos.

b) ¿En qué periodo(s) de tiempo la aceleración es cero?

c) ¿Cuál es la distancia total?

d) Su aceleración en el periodo de 4 a 6 segundos

e) Su desplazamiento total.

30

3.- Con los datos mostrados en la siguiente tabla:

a) Trace la gráfica velocidad vs. tiempo.

b) Calcule la distancia total.

c) Calcule el desplazamiento total.

d) Calcule la aceleración en los primeros 4 segundos.

e) La aceleración en el periodo de 12 a 16 segundos.

Tiempo (s) Velocidad (m/s)0 1504 1008 10012 5016 20020 5024 5028 -50

4.- Con los datos tabulados:

a) Dibuje la gráfica posición vs. tiempo.


31

c) Calcule la velocidad total.

d) ¿Cuáles es la velocidad en los primeros tres segundos?

e) ¿Cuál es la velocidad en el periodo de 9 a 12 segundos?

Tiempo (s) Posición (m)0 3003 06 09 10012 -20015 -30018 -30021 0

3.4 MOVIMIENTO HORIZONTAL

OBJETIVO:

Diferenciar los conceptos de posición, desplazamiento, distancia, rapidez y velocidad

La posición es la separación entre un objeto y un punto de referencia.

El desplazamiento es el cambio de posición de un objeto.

La distancia entre dos objetos se calcula midiendo su separación y no requiere de un sistema de referencia.

La rapidez es una cantidad escalar que representa cambio de posición en un intervalo de tiempo sin marcar una dirección específica.

La velocidad es una cantidad vectorial que representa un cambio de posición dividido entre la diferencia de dos tiempo, con una dirección determinada.

FORMULAS QUE SE UTILIZAN EN ESTE TEMA SON: ^

d = [V0t + at2 ] / 2

32

a = [Vf –V0 ] / t

Vf = at +V0

Vf2 – V02= 2ad

EJEMPLO:

1.- Un auto con una velocidad de 2 m/s acelera a razón de 4 m/s2 durante 2.5 s. ¿Cuál es su velocidad después de 2.5 segundos?

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

V0 = 2 m/s

Vf = at + V0

Vf = 4m/s( 2.5s)+ 2 m/s

= 12 m/s

a= 4m/s2

t= 2.5 s

Vf=?

2.- Un avión aterriza a una velocidad de 100 m/s y puede acelerar a un ritmo máximo de -5 m/s2 hasta detenerse.

a) Desde el momento en que toca la pista, ¿cuál es tiempo mínimo que el avión emplea en detenerse?

b) ¿Puede el avión aterrizar en el aeropuerto de una pequeña isla, donde la pista tiene 0.8Km de longitud?

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓNRESULTADOS

V0= 100m/s

t = Vf -V0 / a =

0- 100m/s / - 5 m/s2 = 20seg.

a= -5 m/s2

d=V0 t+at2 / 2=

100m/s( 20s) + (-5m/s2)(20s)2 / 2

=1 000m

Vf=0

33

a) t= ?

b)d= ?

ACTIVIDAD No. 3

INSTRUCCIONES

Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos en hojas blancas en la fecha indicada

1.- Un aeroplano ligero debe alcanzar una rapidez de 30 m/s antes del despegue. ¿Qué distancia necesita recorrer si la aceleración (constante) es de 30 m/s2?

2.- Según un anuncio, un automóvil deportivo puede frenar en una distancia de 50 m desde una rapidez de 90 Km/h.

a) ¿Cuál es su aceleración en m/s2?

b) ¿Cuánto tiempo tarda en frenar?

3.- Un automóvil viaja a 40 Km/h y desacelera a una tasa constante de 0.5 m/s2. Calcule:

a) La distancia que recorre hasta que se detiene.

b) El tiempo que tarda en detenerse.

3.5 CAIDA LIBRE

OBJETIVO:

34

Identificar el movimiento vertical y aplicar el concepto de gravedad al movimiento.

La caída libre es un movimiento vertical en el cual la aceleración del objeto es la gravedad, a la cual se le da el signo positivo ya que ayuda al movimiento y tiene un valor promedio de 9.8 m/s2 ó de 32 ft/s2.

FORMULAS QUE SE UTILIZAN EN ESTE TEMA SON:

d = V0t + gt2 / 2

t= Vf –V0 / g

Vf = gt +V0

Vf2 – V02= 2gd

EJEMPLO

1.- Una pelota, que parte del reposo, se deja caer durante 5 segundos.

a) ¿Cuál es su posición en ese instante?

b) ¿Cuál es su velocidad en ese instante?


t = 5seg d = V0t + gt2= 0(5s) / 2 + 9.8 m/s2(5s)2 / 2 = 122.5 m

V0= 0 Vf = gt + V0 = 9.8 m/s2( 5s)+0 = 49 m/s

g= 9.8 m/s2

35

a) d = ?

b) Vf= ?

2.- Una piedra es lanzada hacia abajo con una velocidad inicial de 6 m/s. ¿Cuál es su velocidad final después de caer una distancia de 40 m?


V0 = 6 m/s Vf2 – V0

2 =2gd

d =40m Vf =√ 2gd +V02 =

√ 2(9.8m/s)(40m) + (6m/s)2 = 28.63m/s

g = 9.8 m/s2

Vf = ?

ACTIVIDAD No. 4

INSTRUCCIONES:

Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos en hojas blancas en la fecha indicada.

1.- Una pelota es lanzada hacia abajo con una velocidad inicial de 2 m/s. ¿Cuál es su velocidad final después de caer una distancia de 6 m?

2.- Desde lo alto de un edificio se deja caer una pelota de tenis. La pelota cae durante 25 segundos.

36

a) ¿Cuál es la altura del edificio?

b) ¿Cuál es su posición y velocidad después de 15 segundos?

3.- Desde lo alto de un edificio, accidentalmente se deja caer una pinza para ropa. Si la pinza tarda en llegar al piso 15 segundos:


b) ¿Con qué velocidad choca contra el piso?

3.6 TIRO VERTICAL

OBJETIVO:

Identificar el movimiento vertical y aplicar el concepto de gravedad al movimiento ascendente.

En este tipo de movimiento la gravedad se considera negativa ya que se opone a él. Se utilizan las mismas formulas que en la caída libre.

EJEMPLO

1.- Una flecha es disparada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s.

a) ¿Cuánto tiempo se elevará?

37

b) ¿Qué altura alcanzará?

d) ¿Cuál su posición vertical y su velocidad después de 2 s?


t = ? t= Vf -V0 / a= 0- 40 m/s / - 9.8 m/s2 =4.0s

V0= 40m/s d = V0t + gt2 / 2= 40m/s(4s)+( -9.8m/s2 )(4s)2 / 2 = 81.6 m

g= 9.8 m/s2 Vf = gt+ V0 9.8m/s2( 2s)+0 = 19.6 m/s

a) t = ? d = V0t + gt2 / 2= 40m/s(2s)+( -9.8m/s2 )(2s)2 / 2 =60.4 m

b) d = ?

c) d = ?

Vf= ?

ACTIVIDAD No. 5

INSTRUCCIONES:

Resolver los siguientes ejercicios

1.- Una persona lanza una pelota en dirección vertical hacia arriba y la atrapa después de 2 segundos. Encuentre:

a) La velocidad inicial de la pelota

b) La altura máxima que alcanza

38

2.- Un proyectil es arrojado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m/s: ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 1 s y después de 4 s?

3.- Alejandra lanza su muñeca verticalmente hacia arriba y alcanza una altura de 2.5metros.

a) ¿Con qué velocidad inicial fue lanzada la muñeca?

b) ¿Cuál era su velocidad en el punto más alto?

c) ¿Qué tiempo se mantuvo la muñeca en el aire?

TAREA No.2


1.- Un taxista que parte del reposo y se dirige hacia el sur. Alcanza una velocidad de 75 Km/h después de 2 minutos.

a) Calcule la aceleración del taxi.

b) ¿Qué distancia ha recorrido en esos dos minutos?

c) ¿Cuál es su desplazamiento con respecto al punto de partida?

2.- Luis conduce su auto por la carretera con una velocidad de 95 km/h. Repentinamente ve otro auto detenido en el camino y desacelera con una aceleración constante de 0.95 m/s2.

a) ¿Qué distancia recorre hasta detenerse?

b) ¿Qué tiempo tarda en detenerse?

3.- Un piedra es lanzada hacia abajo con una velocidad inicial de 6 m/s. ¿Cuál es su velocidad final después de caer una distancia de 40 m?

39

4.- Desde lo alto de un edificio se deja caer una pelota de tenis. La pelota cae durante 25 segundos.


b) ¿Cuál es su posición y velocidad después de 15 segundos?

5.- Una pelota de béisbol arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio alto, tiene una velocidad inicial de 20 m/s.

a) Calcule el tiempo necesario para alcanzar la altura máxima.

b) Encuentre la altura máxima.

c) Determine su posición y su velocidad después de 1.5 s

IV.-MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

4.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL.

OBJETIVO:

Identificar el movimiento en dos dimensiones, y la independencia de sus vectores.

Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil.

Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso, que hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta.

40

En este tipo de movimiento se lanza el proyectil con todo el impulso en dirección vertical por lo cual la Vx =V0 y la Vy = 0.

Estas son las formulas que vamos a utilizar:

EJEMPLO

Tomando en cuenta la figura anterior. Explicaremos el siguiente problema:

Desde lo alto de un acantilado de 5 m de alto se lanza horizontalmente una piedra con velocidad inicial de 20 m/s. ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado choca la piedra?

41

Paso No. 1: Calcular las componentes rectangulares de la velocidad inicial

En el lanzamiento horizontal la velocidad inicial vertical (Voy) es igual a cero, por lo que:

Vx = 20 m/s

Voy = 0

Paso No. 2: Anotar los datos para X y para Y. Recuerde que las velocidades y los desplazamientos

Para “X” Para “Y”

Vx = 20 m/s

t =

X =

Voy = 0

g= -9.81 m/s2

Y = -5 m

Paso No. 3: Selección de las ecuaciones a utilizar

Recuerde que “X” que es la distancia horizontal que recorre un proyectil y para calcularla es necesario saber el valor de t (tiempo). Observe que en “Y ” tiene datos suficientes para calcular “t”.

Paso 4: Resolver la ecuación considerando que Voy = 0, por lo que el primer término se anula.

Y= gt2 / 2

Resolviendo para “ t “ :

42

t = 1.009637 s

Calculo de “ t “ :

Paso5: Calcular “ X “ utilizando la ecuación:

Recuerde que “X” que es la distancia horizontal que recorre un proyectil y para calcularla es necesario saber el valor de t (tiempo). Observe que en “Y ” tiene datos suficientes para calcular “t”.

Resolviendo para “ X “ : X=Vx (t)

X = (20 m/s) (1.09637s)

X = 20 m

ACTIVIDAD No. 6

INSTRUCCIONES:


43

1.- Se arroja una piedra en sentido horizontal desde un barranco de 100 m de altura. Choca contra el piso a 80 m de distancia de la base del barranco. ¿A qué velocidad fue lanzada?

2.- Un tigre salta en dirección horizontal desde una roca de 2 m de altura, con una rapidez de 5.5 m/s. ¿A qué distancia de la base de la roca llegará al suelo?

3.- Un clavadista corre a 1.8 m/s y se arroja horizontalmente desde la orilla de un barranco y llega al agua 3 s después.

a) ¿Qué altura tenía el barranco?

b) ¿A qué distancia de su base llega el clavadista al agua?

4.2 TIRO PARABÓLICO

OBJETIVO:

Diferenciar el movimiento en dos dimensiones en el lanzamiento horizontal y en el tiro con ángulo.

Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de salida.

LANZAMIENTO CON ÁNGULO

La velocidad inicial del proyectil (Vo) tiene dos componentes (Vx y Voy) que se calculan con Vx = VoCosq y Voy = VoSenq.

Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos componentes (Vx y Vy). La posición también tiene las dos coordenadas (X, Y)

44

COMPONENTE VERTICAL

Verticalmente el movimiento es uniformemente acelerado. La única fuerza que actúa sobre el proyectil es la gravedad, por lo que la aceleración es g.

Para cualquier instante del movimiento la velocidad vertical (Vy) debe calcularse como si fuera lanzamiento vertical

COMPONENTE HORIZONTAL

Horizontalmente la velocidad es constante Vx = VoCosq y debe calcularse como si fuera movimiento rectilíneo uniforme.

Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de salida.

Al aumentar el ángulo, el alcance horizontal “X”, la altura máxima y el tiempo aumentan.

45

El alcance máximo se logra con el ángulo de 45°, Con el incremento del ángulo, aumenta la altura máxima y el tiempo.

Con ángulos mayores que 45° el alcance disminuye, pero la altura máxima y el tiempo siguen aumentando.

Incrementado más el ángulo, el alcance sigue disminuyendo y la altura máxima y el tiempo continúan incrementándose.

En este tipo de movimiento siempre el primer paso es obtener la velocidad inicial en x y en y

EJEMPLO

Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20 m/s. Calcule:

a) La altura máxima.

b) El tiempo que permanece en el aire.

c) La distancia a la que llega al suelo.

d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido disparado

Datos

Ángulo = 37°

a) Ymax = ?

d) Vx =?

Vo = 20m/sb) t total = ?

Vy = ?

g= -9.8 m/s^2

c) X = ?

46

Paso 1

Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37° = 15.97 m/s

Voy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37° = 12.03 m/s

Paso 2

Calcular el tiempo de altura máxima, donde Voy = 0

Por lo tanto: t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03 m/s) / 9.8 = 1.22.seg.

Paso 3

Calcular a) la altura máxima:

Ymax = Voy t + gt2 / 2= 12.03 m/s ( 1.22s) + (( -9.8m/s2 )(1.22s)2) / 2 = 7.38m

Paso 4

Calcular b) el tiempo total. En este caso solo se multiplica el tiempo de altura máxima por 2, porque sabemos que la trayectoria en este caso es simétrica y tarda el doble de tiempo en caer el proyectil de lo que tarda en alcanzar la altura máxima.

T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.

Paso 5

Calcular el alcance máximo, para lo cual usaremos esta fórmula:

X = Vx t total = 15.97 m/s ( 2.44s) = 38.96 m.

47

Paso 6

Vfy = gt + Voy = (- 9.8) ( 1 seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/s

Vfx = 15.97 m/s, ya que esta es constante durante todo el movimiento.

ACTIVIDAD No. 7

INSTRUCCIONES:

Resolver los siguientes:

1.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 75.2 m/s, a un ángulo de 34.5° por encima de la horizontal a lo largo de un campo de tiro plano. Calcule

a) La máxima altura alcanzada por el proyectil.

b) El tiempo que total que el proyectil permanece en el aire

c) La distancia horizontal total

d) La velocidad de X y Y del proyectil después de 1.5 s de haber sido disparado

2.- Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y con una velocidad de 35 m/s.

a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4 segundos?

b) Determine las componentes de su velocidad después de 4 segundos.

c) ¿Cuál es la velocidad en X y Y después de 4 segundos?

TAREA No. 3


48

1.- Una piedra se arroja horizontalmente a 15 m/s desde la parte más alta de un risco de 44 m de altura.

a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la base del risco?

b) ¿Qué tan lejos de la base del risco choca la piedra con el piso?

c) ¿Cuál su velocidad horizontal después de 1.5 segundos?

2.- Una pelota de golf se golpea con un ángulo de 45° con la horizontal. Si la velocidad inicial de la pelota es de 50 m/s:

a) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?

b) ¿Cuál su altura máxima?

c) ¿Cuál su alcance horizontal?

4.3 MOVIMIENTO CIRCULAR.

OBJETIVO:

Aplicar los conocimientos del movimiento lineal al movimiento circular utilizando formulas muy similares

Es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, pues solo hay un cambio en la dirección.

El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación.

Medidas del desplazamiento angular.

49

El ángulo en radianes es la razón entre la distancia del arco s y el radio R del arco.

Un radian no tiene unidades y es la razón entre dos longitudes.

La velocidad angular es la razón de cambio de desplazamiento angular con respecto al tiempo.

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular en el tiempo.

Formulas que se utilizan:

Relación entre los movimientos rotacional y lineal.

Existe una importante relación entre la velocidad angular y la lineal debido a que q /t = w y s/t = v, como s = q R entonces

50

La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras que la aceleración centrípeta representa tan solo un cambio de dirección del movimiento .Teniendo las siguientes formulas:

EJEMPLOS

1.- Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8m se mueve a través de un ángulo de 37º .Calcule la longitud del arco descrito por el punto.

DATOSFORMULA

SUSTITUCIÓNRESULTADOS

R = 8m Θ = s / R

Ángulo = 37°

s = RΘ= 8m ( 0.646 rad)

= 5.17 m

Paso 1

Convertir los grados a radianes, ya que en todos los problemas es necesario que los ángulos o las revoluciones estén en radianes para poderlos escribir en las formulas y nos den las unidades correctas,

Θ = ( 37º) 1 rad / 360º= 0.646 rad

2.- La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66cm y da 40 revoluciones en 1 min. a)¿ Cuál es su velocidad angular? b)¿Qué distancia se desplazará la rueda?


51

R = 33cmω = 4.19 rad/s

R = .33m s = ΘR= 251rad ( .33 m)

= 82.8 m

ω = 40 rmp

Convertir 40rmp en rad/s :

40 rmp = 40 rev / min ( 2p rad / rev ) ( 1 min / 60s) = 4.19 rad/s

40 rev ( 2 p rad/ 1rev ) = 251 rad .

En este tipo de conversiones se escriben dos paréntesis y se elimina lo que esta arriba con lo de abajo

Y lo que esta abajo con lo de arriba

3.-Un volante aumenta su velocidad de rotación de 37.7 rad/s a 75.4 rad/s en 8 s ¿Cuál es la aceleración angular?


ωo = 37.7 rad/s

ωf = 75.4 rad/s

α = (ωf - ωo) / t=75.4 rad/s - 37.7 rad/s

=4.71 rad/s2

52

t= 8 s

4.-Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/s2

a) ¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 seg? b) ¿Cuál es su velocidad angular final?

c) ¿Cuál será su aceleración tangencial ,si la rueda tiene un radio de .05m?


ωo = 6rad/s

α= 2 rad/s2

a) Θ= ? Θ= ωot +(αt2) / 2 = 6rad/s(3s) + (2rad/s2) / 2 =27 rad

b) ωf=? ωf = ωo +at = 6rad/s + 2 rad/s2 ( 3s) = 12 rad/s

c) αt= ? a t = αR = 2 rad/s2 ( .05m) = 0.1 m/s2

ACTIVIDAD No. 8

INSTRUCCIONES:


1.-Un punto al borde de una gran rueda cuyo radio es de 3 m. Se mueve a través e un ángulo de 40°. Encuentre la longitud del arco descrito por el punto.

2.- Un volante parte del reposo y alcanza una velocidad rotacional final de 900 rpm en 4seg. Determine la aceleración angular y el desplazamiento angular después de 4 seg.

53

3.-Una pieza cilíndrica para almacenamiento de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm ¿ Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro?.

TAREA No. 4


1.- Un motor eléctrico gira a 600 rpm . ¿Cuál es la velocidad angular? ¿ Cuál es el desplazamiento angular después de 6 seg.?

2.-Una mujer que esta de pie en una plataforma giratoria a 4 m del centro de rotación recorre una distancia de 100 m en 20 seg. Si partió del reposo ¿ Cuál es la aceleración angular de la plataforma?¿ Cuál es la velocidad angular después de 20 seg.?

VECTORES

5.1 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES.

Cantidad escalar o escalar: es aquella que se especifica por su magnitud y una unidad o especie.

Ejemplos: 10 Kg., 3m, 50 Km./h. Las cantidades escalares pueden sumarse o restarse normalmente con la condición de que sean de la misma especie por ejemplo:

3m + 5m = 8m

10ft2 – 3 ft2 = 7ft2

5.2 CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR.

Objetivo: Conocerá las características de los vectores.

Cantidad vectorial o vector: Una cantidad vectorial o vector es aquella que tiene magnitud o tamaño, dirección u orientación y sentido positivo (+) o negativo (-) y punto de aplicación, pero una cantidad

54

vectorial puede estar completamente especificada si sólo se da su magnitud y su dirección.

Ejemplos:

1) 350 Newtons a 30° al norte del este, esto es nos movemos 30° hacia el norte desde el este.

2) 25 m al norte. 3) 125 Km./h a – 34° es decir 34° en sentido retrogrado.

Un vector se representa gráficamente por una flecha y se nombra con una letra mayúscula ej. A = 25 lb. a 120°. La dirección de un vector se puede indicar con un ángulo o con los puntos cardinales y un ángulo.

No se debe confundir desplazamiento con distancia, el desplazamiento esta indicado por una magnitud y un ángulo o dirección, mientras que la distancia es una cantidad escalar.

Por ejemplo si un vehículo va de un punto A a otro B puede realizar diferentes caminos o trayectorias en las cuales se puede distinguir estos dos conceptos de distancia y desplazamiento.

S1 y S2 Son las distancias que se recorren entre los puntos y son escalares. D1 y D2 son los desplazamientos vectoriales.

55

La distancia total será la cantidad escalar S1 + S2 en la cual se puede seguir cualquier trayectoria, y el desplazamiento total será la cantidad vectorial

R =D1 +D2

5.3. TIPOS DE VECTORES.

Objetivo: Conocerá los diferentes tipos de vectores.

Vectores Colineales: Son aquellos que actúan en una misma línea de acción.

Ejemplos: En los instrumentos de cuerda, el punto donde está atada la cuerda (puente) se puede representar a la fuerza de tensión en un sentido y al punto donde se afina la cuerda (llave) será otra fuerza en sentido contrario. Otro ejemplo puede ser cuando se levanta un objeto con una cuerda, la fuerza que representa la tensión de la cuerda va hacia arriba y la fuerza que representa el peso del objeto hacia abajo.

Vectores Concurrentes. Son aquellos que parten de un mismo punto de aplicación. Ejemplos: Cuando dos aviones salen de un mismo lugar, cuando dos o más cuerdas tiran del mismo punto o levantan un objeto del mismo punto.

56

Vector Resultante. (VR) El vector resultante en un sistema de vectores, es un vector que produce el mismo efecto en el sistema que los vectores componentes.

Vector Equilibrante. (VE) Es un vector igual en magnitud y dirección al vector resultante pero en sentido contrario es decir a 180°

5.4. MÉTODOS GRÁFICOS PARA EL CÁLCULO DE LOS VECTORES RESULTANTE V R Y EQUILIBRANTE V E .

57

Objetivo: Calculará de manera aproximada el valor de los vectores resultante y equilibrante por los métodos del paralelogramo, polígono vectorial y el método de componentes.

Introducción: Antes de entrar a la aplicación de los métodos gráficos es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones.

a) La convención de signos es: Para la "x" + a la derecha y - a la izquierda.

Para la "y" + arriba y - abajo.

b) Una escala para representar la magnitud vectorial por medio de una flecha. La fórmula que se utilizará es: Escala = Magnitud del vector x de referencia / Magnitud en cm. que se desea que tenga en el papel, o sea Esc. = Vx / cm. De Vx .

Por ejemplo si tenemos un vector A = 120 Km/h a 30° al norte del este. La escala será:

Esc. = 120 Km/4 cm Esc.= 30 Km. / cm., es decir cada centímetro representará 30 Km. en el papel y los demás vectores para el mismo ejercicio o problema se les aplicará la misma escala.

Método del paralelogramo.

Un paralelogramo es una figura geométrica de cuatro lados paralelos dos a dos sus lados opuestos. En este método se nos dan dos vectores concurrentes, los cuales después de dibujarse a escala en un sistema de ejes cartesianos se les dibujaran otros vectores auxiliares paralelos con un juego de geometría siendo la resultante del sistema la diagonal que parte del origen y llega al punto donde se intersectan los vectores auxiliares.

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Ejemplo

Si dos cuerdas están atadas en una argolla de metal y se jalan, la primera con una fuerza de 45 newtons con dirección al este y la segunda de 30 newtons a 120°. ¿Cual será la dirección y magnitud de la fuerza resultante vr?

Solución: Sea A el primer vector y B el segundo, entonces A = 45 N, dirección E. y B = 30 N, a 120°.

Escala = 45 N / 5cm. = 9 N/cm. o sea 1 cm : 9 N

Se traza A´ paralela al vector A y B´ paralela a B, el vector resultante será el que sale desde el origen hasta la intersección con los vectores auxiliares A´y B´ después la longitud de VR se multiplica por la escala para obtener la magnitud real de VR.

Actividad 1

Resuelva los siguientes ejercicios:

1.- Encuentre las componentes de "x" y de "y" de los siguientes vectores:

a) Una velocidad de 85 Km/h hacia el sur.

b) Una aceleración de 4 m/s2, hacia el oeste.

c) Una fuerza a 27° NO

d) Un desplazamiento de 500 m a 210°

2.- Un auto viaja 20 Km hacia el este y 70 Km hacia el sur, ¿cuál es su desplazamiento resultante?

Actividad 2

59

1.- Una lancha viaja a 8.5 m/s. Se orienta para cruzar transversalmente un río de 110 m de ancho.

a) Si el agua fluye a razón de 3.8 m/s, ¿cuál es la velocidad resultante de la lancha?

b) ¿Cuánto tiempo necesita el bote para llegar a la orilla opuesta?

c) ¿A qué distancia río abajo se encuentra el bote cuando llega a la otra orilla?

2.- Un río fluye en la dirección de 90°. Marcos, un piloto de lancha, orienta el bote a 297°, Y es capaz de atravesar el río perpendicularmente a la corriente a 6 m/s.

a) ¿Cuál es la velocidad de la corriente?

a) ¿Cuál es la velocidad del bote medida desde la orilla del río?

3.- Calcule la velocidad resultante para los siguientes vectores:

A = 50 m/s a 15°, B = 85 m/s a 120°, C = 93.5 m/s a 270°. Realice un diagrama donde se muestre la localización de cada vector y el vector resultante.

Tarea 1

1.- Mario pilotea un bote a 4.2 m/s hacia el oeste. La corriente del río es de 3.1 m/s hacia el sur. Calcule:

a) La velocidad resultante del bote.

b) Si el río mide 1.26 Km de ancho, ¿cuánto tiempo tarda en atravesar el río?

60

c) ¿A qué distancia río abajo llega Mario a la otra orilla?

2.- Para los siguientes vectores:

a) Dibuje un sistema vectorial indicando el ángulo con respecto a “x”.

b) Calcule la resultante.

A = 250 m, 210°, B = 125 m, 18°, C = 278 m, 310°, D = 100 m, 90°

3.- Calcule la resultante de los siguientes sistemas vectoriales. Indique en el plano cartesiano la ubicación y magnitud de la resultante.

LEYES DE NEWTON

6.1 – PRIMERA LEY DE NEWTON

OBJETIVO:

Demostrara mediante ejemplos su comprensión de la primera ley de newton sobre el movimiento.

La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercia, nos dice que si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá

61

indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero).

Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.

6.2 – TERCERA LEY DE NEWTON

OBJETIVO

Demostrar mediante ejemplos la comprensión de la tercera ley de newton y sus aplicaciones sobre el movimiento.

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba.

Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros.

Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que actúan sobre cuerpos distintos

62

6.3 – PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

OBJETIVO:

El alumno podrá encontrar las fuerzas desconocidas aplicando la primera condición de equilibrio

Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si y sólo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. En este caso, Rx como Ry debe ser cero; es la condición para que un cuerpo esté en equilibrio:

EJEMPLO:

Una pelota de 300N cuelga atada a otras dos cuerdas, como se observa en la figura. Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C.

Solución:

El primer paso es construir un diagrama de cuerpo libre:

63

Al sumar las fuerzas a lo largo del eje X obtenemos:

S Fx = -A cos 60° + B cos 40° = 0

Al simplificarse por sustitución de funciones trigonométricas conocidas tenemos:

-0.5A + 0.7660B = 0 (1)

Obtenemos una segunda ecuación sumando las fuerzas a lo largo del eje Y, por lo tanto tenemos:

(Cos 30° + cos 50° )

0.8660A + 0 .6427B = 300N (2)

En las ecuaciones 1 y 2 se resuelven como simultanea A y B mediante el proceso de sustitución. Si despejamos A tenemos:

A = 0.7660 / 0.5

64

A = 1.532B

Ahora vamos a sustituir esta igualdad en la ecuación 2

0.8660 (1.532B) + 0.6427B = 300N

Para B tenemos:

1.3267B + 0.6427B = 300N

1.9694B = 300N

B= 300N / 1.9694

B= 152.33N

Para calcular la tensión en A sustituimos B = 152.33 N

A = 1.532(152.33N) = 233.3N

La tensión en la cuerda C es 300N, puesto que debe ser igual al peso.

Una pelota de 100N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo de 30° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.

65

SOLUCIÓN

Primero dibujamos le diagrama cuerpo libre:

Ahora se aplica la primera condición de equilibrio. La suma de las fuerzas a lo largo del eje X:

SFx = B – A cos 60° = 0

B = A cos 60° = 0.5 A (1)

Ahora al sumar las componentes en Y:

S Fy = A sen 60° - 100N = 0

Por lo que:

A sen 60° = 100N

Ahora se despejan las fuerzas desconocidas:

66

(sen 60° = .8660)

.8660 A = 100N

A = 100N / .8660 = 115N

Conocemos el valor de A, ahora despejamos B de la ecuación 1:

B = 0.5 A = (0.5 )(115N) = 57.5N

ACTIVIDAD No 1

- Una pelota de 250N cuelga atada a otras dos cuerdas, como se observa en la figura. Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C.

TAREA No 1

- Una pelota de 250N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo de 40° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.

67

- Una pelota de 300N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante otra cuerda B y sostenida de tal manera que la cuerda A forma un ángulo de 45° con el poste vertical ¿ encuentre las tensiones en las cuerdas A y B.

TAREA No 2

Calcule las tensiones en las cuerda “A” y “B” del sistema mostrado.

Encuentre la tensión el cable “A” y la compresión en el soporte “B” en la siguiente figura, si el peso es de 95 N.

68

6.4 – SEGUNDA LEY DE NEWTON

OBJETIVO:

El alumno será capaz de construir un diagrama de cuerpo libre que represente todas las fuerzas que actúan sobre un objeto que se encuentra en equilibrio traslacional.

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo , de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera :

F= ma

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N . Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento qué se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

69

p = m · v

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir

F = d p /dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

F = d(m· v )/dt = m·d v /dt + dm/dt · v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

Y recordando la definición de aceleración, nos queda

F = m a

tal y como habíamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

0 = d p /dt

Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.

EJEMPLOS

70

- Calcular la aceleración que produce una fuerza de 5 N a un cuerpo cuya masa es de 1000g

Expresar el resultado en m/s².

DATOSFÓRMULA

SUSTITUCIÓN RESULTADO

A = ? a = F / ma = 5 Kg m/s² / 2 Kg =

2.5 m/s²

F = 5 Nm = 2000g = 2Kg

- Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 200N le produce una aceleración de 300 cm/s². Exprese el resultado en Kg.

DATOSFÓRMULA

SUSTITUCIÓN RESULTADO

M = ?F = 200 N a = f / mA = 300 cm/s² = 3 m/s²

m = f / am = 200N / 3 m/s² =

66.6 Kg

EJEMPLO 1

Una fuerza F se ejerce directamente hacia arriba sobre el eje de la polea sin masa. Considere que la polea y el cable carecen de masa. Dos objetos, de masas m 1 = 1,2 kg m 2 = 1,9 kg, están unidos a los extremos opuestos del cable, el cual pasa por la polea. El objeto m 2 está en contacto con el piso. a) ¿Cuál es el valor más grande que la fuerza F puede tener de modo que m 2 permanezca en reposo sobre el piso?

b) ¿Cuál es la tensión en el cable cuando la fuerza F hacia arriba sea de 110 N? ¿Cuál es la aceleración de m 1 ?

SOLUCION Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos masas.

71

A) Para que m 2 permanezca en reposo sobre la superficie, debe ser mayor que m1

Fuerzas sobre m2 : m1 g - T - N = 0 , pero N = 0 cuando está a punto de despegar.

Luego: m2 g - T = 0 (1)

Fuerzas sobre m1 : T - m1 g = m1 a 1 (2), donde es la aceleración con que sube . Aquí existe una aceleración, porque si la masa2 tiene que estar en reposo y la cuerda es inextensible, obvio que la masa m1 se mueve.

Fuerzas sobre la polea: F - 2T = 0 (3)

De la expresión (3)

Remplazando T en (1) queda m2 g - F/2 = 0 ; por lo tanto F = 2m2 g (4)

Remplazando m2 =1,9 kg y g=10m/s2 queda F= 38N

b) Calculo de la tensión del cable:

Reemplazando F = 110 N en la expresión (3) : 110 - 2T = 0 , luego: T= 55N

Calculo de a 1 :

Reemplazando T , m1 y g en (2) :

55 - 12 = 1,2a 1 ,

72

luego : a 1 = 35,8 m/s 2

EJEMPLO2

En el diagrama de la siguiente figura se pide que:

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre asociado a:la masa M, la polea P y la masa m 2

b) ¿Cuál es la relación entre la aceleración de la masa m 2 y la de M?

c) Encuentre la aceleración de M.

d) ¿Cuál es el valor de la tensión?

SOLUCION

a) diagrama de cuerpo libre asociado a M

diagrama de cuerpo libre asociado a la polea P

diagrama de cuerpo libre asociado a m 2

Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos masas.

73

b)

Por lo tanto:

Otra forma de ver, es que si la masa M se mueve X, la m2 se mueve X/2. Si hacemos la derivada de la posición dos veces, obtenemos la aceleración de las masas y llegamos a la misma relación.

c) Según diagrama de cuerpo libre, se tiene:

(1) T 1 = m2 a2

(2) Mg= Ma M

(3) T2 - 2T1 =0

Además sobre m2 : N - m2 g= 0 ya que no hay movimiento en ese eje.

Reemplazando (1) en (3) , se tiene: T2 - 2m2 a 2 = Ma M (4)

Reemplazando (4) en (2) , se tiene:

Mg - 2ma2 = Ma M pero, a2 = 2a m

Mg - 2m2 a2 = Ma M

74

Mg = (M + 4m2 ) = a M

d) Reemplazando en expresión a 2 = 2a m en expresión (1) , se obtiene

: T 1 = m 2 a M , por lo tanto:

de la expresión ( 3) , T 2 = 2T 1 , por lo tanto reemplazando el valor obtenido

EJEMPLO 3

- Considere el sistema que muestra la siguiente figura. El bloque A de 64 lb en reposo sobre una masa sin fricción y está atado en su otro extremo a un peso W, calcule:

a) ¿Cuál debe ser el valor de W para impartir al sistema una aceleración

de ?

b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

75

SOLUCIÓN (a)

Dibuje el diagrama cuerpo libre (boton diagrama cuerpo libre)

Puesto que las fuerzas verticales en el bloque de 64lb están equilibradas, la fuerza neta en el sistema total es solo el peso W . aplicamos la ley de Newton:

2W=64lb+W

2W – W = 64lb

w=64lb

SOLUCIÓN (b)

76

T= 32lb

ACTIVIDAD No.2

-Calcule la aceleración y la tensión de la cuerda en la siguiente figura.

TAREA 2

Una cuerda ligera pasa sobre una polea sin fricción, como se muestra en la siguiente figura. Las masas m 1 y m 2 están atadas a cada extremo de la cuerda.

a) Calcule la fuerza resultante del sistema. si m 1 = 15 Kg y m 2 = 8 Kg.

b) Calcule la masa total

c) Determine la aceleración del sistema

d) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

77

Calcule la aceleración y la tensión de la cuerda en la siguiente figura.

1.- Una cuerda ligera pasa sobre una polea sin fricción, como se muestra en la siguiente figura. Las masas m 1 y m 2 están atadas a cada extremo de la cuerda.

a) Calcule la fuerza resultante del sistema. si m1 = 45 Kg y m2 = 25 Kg.

b) Calcule la masa total

c) Determine la aceleración del sistema

78

d) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

2.- Calcule la aceleración y la tensión de la cuerda en la siguiente figura.

- Considere el sistema que muestra la siguiente figura. El bloque A de 104 lb en reposo sobre una masa sin fricción y esta atado en su otro extremo a un peso W, calcule:

a) ¿Cuál debe ser el valor de W para impartir al sistema una aceleración

de ?

b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

79

6.5 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

OBJETIVO:

El alumno podrá enunciar y aplicar la ley de la gravitación universal

Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene la dirección de la recta que une los centros de los astros y el sentido corresponde a una atracción. Es una fuerza directamente proporcional al producto de las masas que interactúan e inversamente proporcional a la distancia que las separa. La constante de proporcionalidad, G, se denomina constante de gravitación universal.

La ley de gravitación universal de Newton dice que un objeto atrae a los demás con una fuerza que es directamente proporcional a las masas.

La gravedad se ejerce entre dos objetos y depende de la distancia que separa sus centros de masa.

Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene la dirección de la recta que une los centros de los astros y el sentido corresponde a una atracción. Es una fuerza directamente proporcional al producto de las masas que interactúan e inversamente proporcional a la distancia que

80

las separa. La constante de proporcionalidad, G, se denomina constante de gravitación universal.

La ley de gravitación universal de Newton dice que un objeto atrae a los demás con una fuerza que es directamente proporcional a las masas.

La gravedad se ejerce entre dos objetos y depende de la distancia que separa sus centros de masa

VII.- PLANO INCLINADO

Objetivo:

Aplicar los conocimientos adquiridos en vectores y en las leyes de newton en el plano inclinado.

7.1 Plano inclinado

Todas las fuerzas que se aplican en el plano inclinado pueden utilizarse en el plano inclinado, la única diferencia es que en este, tenemos que rotar el plano inclinado para poder ubicarlo en los ejes cartesianos.

Analizaremos primero un plano inclinado sin fricción.

81

Donde W = 3 N

Rotación del eje :

Paso 1

82

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0

Σ Fx = Fa + W Cos 60º = 0

Σ Fy = Fn – W sen 60º = 0

EJEMPLO

Un niño sostiene un trineo en reposo en la ladera de una colina de 27° cubierta de nieve y sin fricción. Si el trineo pesa 77 N, determine la fuerza que el niño ejerce sobre el trineo.

Rotación del eje :

Σ Fx = -Fa + W Cos 63º

Σ Fy = Fn – Wsen 63º

83

Despejando

Fa = W Cos 63 o = 77 N Cos 63º = 34.95 N

Fn = W Sen63 o = 77 N Sen 63 o = 68.6 N

ACTIVIDAD 1

1.- Un niño jala su carrito a través de una pendiente inclinada 17°. Si el carrito pesa 25 N, ¿con qué fuerza debe jalar el pequeño para subir su carrito con velocidad constante?

2.- Un hombre empuja una maleta a lo largo de plano inclinado 35°. Si la fuerza de empuje es de 300 N,

a) ¿Cuál es el peso de la maleta?

b) ¿Cuánto vale la fuerza normal?

3.- Usted empuja hacia arriba por un plano inclinado 20° un baúl de 325 N con velocidad constante, ejerciendo una fuerza de 211 N paralela al plano inclinado.

a) ¿Cuál es la componente del peso del baúl paralela al plano?

b) ¿Cuál es la fuerza normal?

84

7.2 Plano inclinado con Fricción.

La fricción es la fuerza que se opone el movimiento y tiene muchas aplicaciones como pudimos observar en el capítulo anterior.

Formulas

Ff = Fn μ

Fn = W Sen α

EJEMPLO

Una caja de 100 N reposa sobre un plano inclinado 30° .Si el coeficiente de fricción es m = 0.1 . ¿Cuál es la fuerza de empuje paralela al plano necesaria para subir el plano con velocidad constante?

Rotación del eje:

Σ Fx = -Fa + W Cos 60º + Ff = 0

85

Σ Fy = Fn – W sen 60º = 0

Despejando:

Fn = W Sen 60º = 100 N Sen 60º = 86.6 N

Ff = Fn μ = 86.6 N ( 0.1) = 8.66 N

Fa = W Cos 60º + Ff = 100 N Cos 60º + 8.66 = 58.66 N

ACTIVIDAD 2

1.- Una caja de madera de 215 N se desliza hacia debajo de un plano inclinado de 45°. El coeficiente de fricción cinética es 0.12.

a) ¿Cuál es la fuerza normal sobre el bloque?

b) ¿Cuál es la fuerza de fricción cinética?

c) ¿Cuál es la fuerza resultante?

d) ¿Cuál es la aceleración?

TAREA 1

1.- ¿Cuál es el empuje necesario para subir un bloque de 70 Kg sobre un plano inclinado 55°? No considere la fricción.

2.- Un hombre empuja, con velocidad constante, una caja de 320 N por un plano inclinado 25° ejerciendo una fuerza paralela al plano de 150 N. ¿Cuál es la fuerza normal? (Suponga que no hay fricción entre la caja y el plano inclinado).

4.- ¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para mantener en reposo un bote de remos de 240 N en la ladera de una colina inclinada 27° ¿Cuál es la fuerza normal? (Suponga que no hay fricción entre la colina y el bote)

86

TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

8.1. Concepto y unidades de trabajo

Objetivo:

Definir y escribir las formulas matemáticas para trabajo y aplicar el concepto de trabajo para resolver los problemas estudiados a continuación y demostrar por medio de ejemplos los conocimientos de las siguientes unidades joule, libra-pie.

TRABAJO: Es una cantidad escalar igual al producto de la magnitud del desplazamiento y la componente de la fuerza en dirección del desplazamiento.

Se deben de cumplir tres requisitos:

1.- Debe haber una fuerza aplicada

2.-La fuerza debe ser aplicada a través de cierta distancia (desplazamiento)

3.-La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento.

Figura 8.1 El trabajo realizado por una fuerza F provoca un desplazamiento s.

87

Trabajo = fuerza X desplazamiento.

T = Fx s

La magnitud del trabajo puede expresarse en términos del ángulo θ formado entre F y s.

Trabajo = (F cos θ)s

La fuerza que realiza el trabajo está dirigida íntegramente a lo largo del desplazamiento. Por ejemplo cuando se eleva un cuerpo en forma vertical o cuando una fuerza horizontal arrastra un objeto por el piso en este caso:

Trabajo = Fs

En unidades del SI el trabajo se mide en Nxm esta unidad se llama joule (j)

Un joule es igual al trabajo realizado por una fuerza de un newton al mover un objeto a través de una distancia paralela de un metro.

8.2 cálculo del trabajo sin ángulo

ACTIVIDAD 1

88

1.- Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 N sobre un barco y lo mueve una distancia de 15 m a través del puerto. ¿Qué trabajo realizó el remolcador?

DATOSFÓRMULA

CÁLCULOSRESULTADOS

F = 4000N

T = FsT = 4000N X 15m

T = 6000N

S =15 m

T = ?

2.- ¿qué trabajo realiza una fuerza de 65 N al arrastrar un bloque como el de la figura 8.1 a través de una distancia de 38 m, cuando la fuerza es trasmitida por medio de una cuerda de 60° con la horizontal?

DATOSFÓRMULA

CALCULOSRESULTADOS

F=65 N

T =FXs FX = 65 N (cos 60°) T = 1235 j

S = 38 m

Fx = 32.5 N

Θ = 60°

T = Fx s = 32.5N X 38 m = 1235Nm

TAREA 1

1.- Un mensajero lleva un paquete de 35 N desde la calle hasta el quinto piso de un edificio de oficinas, a una altura de 15 m. ¿Cuánto trabajo realiza?

89

2.- Julio realiza un trabajo de 176 J al subir 3 m. ¿Cuál es la masa de Julio?

8.3 trabajo y dirección de la fuerza, trabajo y resultante

Objetivo: identificar la fuerza que realiza el trabajo

Trabajo resultante es la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas individuales que actúan sobre un cuerpo en movimiento.

La realización de un trabajo necesita la existencia de una fuerza resultante.

Para distinguir la diferencia entre trabajo positivo y negativo se sigue la convención de que el trabajo de una fuerza es positivo si el componente de la fuerza se encuentra en la misma dirección que el desplazamiento y negativo si una componente de la fuerza se opone al desplazamiento real.

Por ejemplo el trabajo que realiza una grúa al levantar una carga es positivo pero la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre la carga ejerce un trabajo negativo

8.4 aplicación del plano inclinado con el trabajo

Objetivo: aplicar la dirección de las fuerzas en el plano inclinado.

ACTIVIDAD 2.

Una fuerza de 80 N mueve un bloque de 5Kg hacia arriba por un plano inclinado a 30°, según figura 2 el coeficiente de fricción cinético es de

90

0.25 y la longitud del plano son 20 metros ,calcular el trabajo que realizan cada una de las fuerzas sobre el bloque.

Solución:

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son; Ŋ , Ŧk p y w

La fuerza de impulso pse ejerce en dirección y el desplazamiento.

Tp = ps = 80 N x 20 m= 1600 J

W =mg =5kg (9.8m/s2) = 49 N

Wx =49 (sen 30°) = 24.5N

Wy = 40 (cos 30°) = 42.2N

Pero como Ŧk = ŊμkyŊ= Wy

Ŧk = Ŋμk = μk Wy

Ŧk = (-0.25) (42.4N) = -10.6 N

El signo menos significa que va hacia abajo del plano

91

TAREA 2.-

1.-Esteban jala un trineo a través de una superficie plana de nieve con una fuerza de 225 N, mediante una cuerda que forma un ángulo de 35° con la horizontal. Si el trineo avanza 65.3 m, ¿qué trabajo realiza Esteban?

2.- Se jala un trineo de 845 N una distancia de 185 m mediante una cuerda que ejerce una fuerza de 125 N. Si el trabajo realizado fue de 1.2 x 104 J, ¿qué ángulo forma la cuerda con la horizontal?

3.- Una cuerda arrastra un bloque de 10 Kg una distancia de 20 m por el piso contra una fricción constante de 30 N. La cuerda forma un ángulo de 35° con el piso y tiene una tensión de 60 N.

a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza de 60 N?

b) ¿Cuál es el trabajo desarrollado por la fuerza de fricción? c) ¿Qué trabajo resultante se ha realizado?

d) ¿Cuál es el coeficiente de fricción

8.5 Energía formas y tipos de energía

OBJETIVO: analizar y aplicar los conocimientos sobre la realización de un trabajo y el cambio correspondiente de la energía cinética

ENERGÍA: es todo aquello que puede realizar un trabajo. Si un objeto tiene energía quiere decir que es capaz de ejercer una fuerza sobre otro objeto para realizar un trajo sobre él y si realizáramos una trabajo sobre

92

un objeto, le proporcionamos a éste una cantidad de energía igual al trabajo realizado.

En este curso estudiaremos dos tipos de energía.

ENERGÌA CINÉTICA: es aquella que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento.

ENERGÍA POTENCIAL: es la energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición.

8.6.-Aplicación de la energía potencial y cinética

ENERGÍA CINÉTICA.

La relación entre la energía cinética y el trabajo, considerando una fuerza F que actúa sobre un bloque como se indica en la figura:

Si el bloque tiene una velocidad inicial v0 y la fuerza F actúa a través de la distancia s y la velocidad aumenta hasta la velocidad final vf .

El cuerpo tiene una masa m y la segunda ley de newton está dada por a proporción

a= F / m (ecuación 1)

Y se alcanza una velocidad final vfy quedar así

2as = v2f– v20

despejando a = v2f– v20 / 2s

sustituyendo en la ecuación 1

F / a= v2f– v20 / 2s

Resolviendo para Fs

Fs = ½ mvf – ½mv0

93

Como la cantidad del lado izquierdo de la ecuación representa el trabajo realizado sobre la masa m y la cantidad del lado derecho de la ecuación es el cambio de la energía cinética como resultado del trabajo.

Por lo tanto: Ek = ½ mv2

ACTIVIDAD 3.

Un rifle dispara una bala de 4.2 g con una rapidez de 965 mIs.

a) Encuentre la energía cinética de la bala.

b) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre la bala si parte del reposo?

c) Si el trabajo se realiza sobre una distancia de 0.75 m, ¿cuál es la fuerza media sobre la bala?

DATOS FÓRMULA CALCULOSRESULTADOS

m = 4.2 g Ek = ½ mv2Ek = ½(.0042kg) (965m/s)2

Ek = 1955.6 j

v= 965 m/s

T =½ mv2f- ½ mv20

si v0 = o

quedaría: T =½ mv2f

T = ½(.0042kg) (965m/s)2

Ek = 1955.6 j

g = 9.9 m / s2

Fxs = ½ mv2f

F =½ mv2f / SF =1955.6 j / .75m F = 2607 N

1.- Un vagón de 15 Kg se mueve por un corredor horizontal con una velocidad de 7.5 m/s. Una fuerza constante de 10 N actúa sobre el vagón y su velocidad se reduce a 3.2 m/s.

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a) ¿Cuál es el cambio de la energía cinética del vagón?

b) ¿Qué trabajo se realizó sobre el vagón?

c) ¿Qué distancia avanzó el vagón mientras actuó la fuerza?

2.- ¿Qué fuerza media se requiere para que un objeto de 2 Kg aumente su velocidad de 5 m/s a 12 m/s en una distancia de 8 m? Verifique su respuesta calculando primero la aceleración y aplicando luego la segunda Ley de Newton.

ENERGÍA POTENCIAL:

La energía potencial implica que debe haber un potencial para realizar un trabajo.

La fuerza externa F necesaria para elevar un cuerpo debe ser igual al peso w y el trabajo realizado esta dado por

Trabajo = Wh= mgh

Este trabajo puede ser realizado por el cuerpo después de haber caído una distancia h por lo tanto el cuerpo tiene una energía potencial igual al trabajo externo necesario para elevarlo. a partir de estos datos se puede calcular la energía potencial

Ep= mgh

Actividad 4

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1.- Un libro de 2 Kg reposa sobre una mesa de 80 cm del piso. Encuentre la energía potencial del libro en relación

a) con el piso

b) con el asiento de una silla, situado a 40 cm del suelo

c) con el techo que está a 3 m del piso

DATOSFÓRMULA

CALCULOSRESULTADOS

m= 2kg Ep= mgh a) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(0.8m)= 17.7 Jh= 80 cm b) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(0.4M) = 7.84 Jg = 9.8 m/s2

c) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(-2.2m)

= -43.1 J

TAREA 4.

1.- Un ladrillo de 1.2 kg está suspendido a dos metros por encima de un pozo de inspección. el fondo del pozo está 3 m por debajo del nivel de la calle. En relación con la calle ¿Cuál es la energía potencia del ladrillo en cada uno de los lugares?

8.7.- relación del trabajo y la energía

Objetivo: considerar la relación que existe entre el trabajo y la energía

El trabajo de una fuerza externa resultante sobre un cuerpo es igual al cambio de la energía cinética del cuerpo.

8.8.-conservación de la energía

Suponiendo una masa levantada a una altura h y luego se deja caer según la figura en el punto más alto la energía potencial es mgh , a medida que la masa cae la energía potencial disminuye hasta llegar a cero, ( en ausencia de la fricción del aire ) pero comienza a aparecer la energía cinética en forma de movimiento y al final la energía cinética es igual a la energía total .

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Importante señalar que durante la caída:

Energía total = Ep + Ek = constante

A esto se le llama conservación de la energía; en ausencia de resistencia del aire, o cualquier fuerza, la suma de las energías potencial y cinética es una constante siempre que no se añada ninguna otra energía al sistema.

(Ep + Ek )inicial = (Ep +Ek ) final

mgh0 + ½ mv20 = mghf + ½ mv2f

Si el objeto cae partir del reposo la energía total inicial es½ mv2f

mgh0 = ½ mv2f

y por lo tanto

Actividad 5.

1.- ¿Qué velocidad inicial debe impartirse a una masa de 5 kg para que se eleve a una altura de 10 m? ¿Cuál es la energía total en cualquier punto durante su movimiento?

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TAREA 5

1.-un proyectil de 20 g choca contra un banco de fango y lo penetra una distancia de 6 cm antes de detenerse. Calcule la fuerza de frenado F si la velocidad de entrada fue de 80 m/s.

2.-Un péndulo simple de 1 m de longitud tiene en su extremo un peso de 8 Kg. ¿Cuánto trabajo se requiere para mover el péndulo desde su punto más bajo hasta una posición horizontal? Calcule la velocidad del peso cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria.

8.9.-potencia concepto y aplicación

Objetivo: determinar la relación del tiempo, fuerza, distancia y velocidad con la potencia

Potencia: es la rapidez con que se realiza un trabajo.

P / T= trabajo

La unidad de potencia en el SI es el joule por segundo y se denomina watt

1watt = 1j /s

y en el SUEU se usa la libra pie por segundo ft lb / s y para propósitos industriales

1hp = 550 ft lb / s

1hp= 746 W = .746 kW

1kW = 1.34 hp

P / t = trabajo = Fs / t

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de donde

p =F s / t = F v

Actividad 6.

1.- La correa transportadora de una estación automática levanta 500 toneladas de mineral hasta una altura de 90 ft en una hora. ¿Qué potencia en caballos de fuerza se requiere para esto?

DATOS

FÓRMULA

CALCULOSRESULTADOS

W= 500 Ton

P = T / t

P =500ton(2000lb/ton)(90ft)

/ 3600s

P = 25000 ftlb/s

H= 50 ft

1hp = 550 ft lb / s 45.45 hp.

t = 3600 s

hp = 25000 ft lb/sx1hp / 550 ft lb/s

TAREA 6.

1.-Una masa de 40 Kg se eleva hasta una distancia de 20 m en un lapso de 3 s. ¿Qué potencia promedio ha utilizado?

2.- Una carga de 70 Kg se eleva hasta una altura de 25 m. Si la operación requiere 1 minuto, encuentra la potencia necesaria. Reporte su resultado en Watts y en caballos de fuerza.

Física Clasica Mecanica

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