FISICA - CIU SARTENEJAS

8/7/2019 FISICA - CIU SARTENEJAS

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Esta gua fue elaborada por el Departamento de Fsica

con la participacion directa de los profesoresRita Gianvittorio

Gustavo GutierrezRicardo CastellAdemas colaboraron en el montaje, revision y

elaboracion de los graficos los Licenciados:

Cecilia MateuIvan Sanchez

Martin Vollmann

Kevin Hernandez

Caracas, Abril 2008


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Indice general

1. Procesos de Medicion y Sistemas de Unidades 51.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Magnitudes fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Unidades estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Unidades fundamentales del Sistema Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Unidades no estandar del sistema metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Multiplos y prefijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3. Micro - nanotecnologa y astronoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4. Valores tpicos de longitudes, intervalos de tiempo y masas . . . . . . . . 10

1.4. Analisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Conversion de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Vectores 152.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Representacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Algebra vectorial en la representacion geometrica . . . . . . . . . . . . . 162.3. Representacion analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1. Algebra vectorial en la representacion analtica . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Ejercicios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Cinematica 363.1. Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Movimiento en una lnea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Posicion y desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4. Velocidad promedio y rapidez promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5. Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6. Representacion grafica del movimiento en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.8. Movimiento rectilneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.9. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.10. Cinematica en varias dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.10.1. Vector de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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3.10.2. Vector desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.10.3. Vector velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.10.4. Vector velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.10.5. Vector aceleracion media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.10.6. Vector aceleracion instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.10.7. Componentes de la aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.11. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.12. Ejercicios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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Captulo 1

Procesos de Medicion y Sistemas deUnidades

1.1. IntroduccionLa fsica estudia de forma objetiva los procesos naturales para establecer las leyes que los

rigen a partir de su observacion utilizando para ello unos pocos principios fundamentales. Si bienexisten formas de describir el mundo fsico mediante percepciones puramente subjetivas comopor ejemplo el color de una flor, la armona o meloda de un sonido, etc.; hoy en da aun larespuesta fisiologica de los ojos a la luz o la del odo al sonido se pueden describir, por ejemplo,en terminos de las longitudes de onda, las frecuencias o la composicion de los armonicos. Todosellos pueden medirse, lograndose valores establecidos que son los mismos para todo mundo.Por tal razon medir es una de las principales herramientas que posee el hombre para poderentender y describir la naturaleza objetivamente.

1.1.1. Magnitudes fsicas

Una ley fsica establece una relacion entre una observacion y una medicion a traves de unaigualdad matematica

En todo proceso de medicion intervienen tres sistemas:

1. El objeto o fenomeno de interes (longitud, peso, temperatura, trayectoria, etc.)

2. El instrumento o aparato de medicion (regla, balanza, termometro, cronometro, etc.)

3. La unidad o patron (escala graduada y normalizada internacionalmente)

Ademas, para definir unvocamente un proceso de medicion es necesario describir el procedi-miento (receta) mediante el cual deben ponerse en interaccion el objeto o fenomeno de interes,el aparato de medicion utilizado y la unidad establecida. En particular, el procedimiento fsicocorrespondiente realizado entre el aparato de medicion y la unidad se denomina la calibraciondel aparato.

Por ejemplo, la receta para medicion de longitudes podra ser: tomese un cierto instru-mento llamado regla, en la que estan marcadas cierto numero de divisiones; hagase coincidir

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la primera division de la regla con el extremo del objeto cuya longitud se quiere conocer y de-termnese la division que coincide con el otro extremo del objeto. Por otra parte, realcese elmismo procedimiento con el objeto que se definio como unidad (proceso de calibracion de laregla).

De manera similar, para determinar el peso de un cuerpo la receta sera: tomese el cuerpo,

coloquese sobre el platillo de un instrumento llamado balanza, coloquense pesos unidad en el otroplatillo de la balanza hasta alcanzar su equilibrio y lease el numero de pesos unidad utilizado.

En consecuencia, un proceso de medicion define y determina unvocamente lo que se llamauna magnitud f sica. Es importante tener en cuenta que muchos procesos de medicion puedendefinir una misma magnitud. Por ejemplo, existen varias formas de determinar la longitudde un objeto y por tanto todas ellas son procesos de medici on equivalentes. El resultado delproceso de medicion es un numero real que se denomina valor de la magnitud en cuestion yse lo interpreta intuitivamente como el numero de veces que la unidad esta contenida en lamagnitud en cuestion.

La unidad elegida para cuantificar el proceso de medicion es en principio arbitraria y se fijapor convencion asociondole un smbolo especfico al valor numerico de una magnitud dada paraindicar la unidad que ha sido utilizada como comparacion.

1.2. Unidades estandar

Las primeras unidades establecidas se referan a partes del cuerpo humano como por ejemploel pie, la pulgada, la vara y la yarda, y aunque esos nombres hoy en da todava prevalecen,estan claramente definidos en terminos de patrones convenidos internacionalmente. El conjuntode unidades estandar y sus combinaciones se conoce como sistema de unidades.

Las primeras propuestas para establecer un sistema unico se generaron durante los siglosXVII y XVIII en Francia para crear un sistema universal de pesas y medidas. Actualmente seemplean basicamente dos sistemas principales de unidades que son aceptados mundialmente. Elsistema internacional de unidades (SI) y el sistema ingles entre los cuales existe una conversionreconocida y aceptada internacionalmente.

1.2.1. Longitud

La longitud es la cantidad fundamental que se emplea para medir distancias y dimensionesen el espacio y suele definirse como la distancia que separa dos puntos. El metro (m) esla unidad de longitud SI y fue definido originalmente como la diezmillonesima (1/10000000)parte de la distancia existente entre el polo norte y el ecuador terrestre medida a lo largo de

un meridiano que pasaba por Pars. El nombre adoptado deriva del vocablo griego metron quesignifica una medida. Si bien durante muchos anos se conservo un patron fsico equivalenteal metro como una barra de metal hecha de una aleacion de platino e iridio, su dependencia delas condiciones externas (principalmente la temperatura) obligo a que en 1983 se redefiniera unestandar mas exacto en terminos de una propiedad de la luz inmodificable: la longitud deltrayecto recorrido por la luz en el vaco en un intervalo de 1/299792450 de segundo.Esto teniendo en cuenta que la velocidad de la luz en el vaco se define universalmente como299792458 metros por segundo. Como se vera enseguida este estandar hace referencia a otropatron, el tiempo, que se puede medir con gran exactitud.

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1.2.2. Tiempo

La posibilidad de utilizar sucesos para hacer mediciones de tiempo haciendo uso de unaanaloga con las marcas de un metro que se pueden utilizar para medir longitudes permite obviarla definicion de este difcil concepto que de una forma simplista podra considerarse como: elflujo de sucesos hacia adelante. Aunque esta es una observacion derivada de nuestra experienciacotidiana ya que no tenemos evidencia de que el tiempo fluya hacia atras, una consecuencia dela constancia de la velocidad de la luz en el vaco es la necesidad de aceptar la nocion de tiempocomo una cuarta dimension del espacio. Sin embargo, la trascendencia de este hecho solamentetienen repercusiones en la denominada fsica relativista, un area del conocimiento fascinantepero para la cual se debe madurar cientficamente un poco mas.

De manera similar a lo sucedido con el metro, originalmente se utilizo el denominado relojsolar para definir la unidad SI del tiempo: El segundo (s). Un da solar se define comoel intervalo de tiempo transcurrido entre dos cruces sucesivos de la misma lnea de longitud(meridiano) efectuados por el Sol y en consecuencia un segundo equivale a la 1/86400 partede da aparente. Dado que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es elptica, en 1956

se estimo mas conveniente calcular un da solar medio a partir de la duracion de todos losdas solares aparentes del ano pero detalladas observaciones astronomicas y meteorologicas(variaciones menores en los movimientos terrestres y disminucion de la velocidad de rotacion denuestro planeta como consecuencia de la friccion causada de las mareas, etc.) culminaron conla adopcion, en 1999, de un estandar atomico: un segundo equivale a 9192631770 oscilacionesdel atomo de cesio (133).

1.2.3. Masa

El concepto utilizado para describir cantidades de materia es la masa y su unidad en elsistema SI es el kilogramo (kg). Originalmente fue definido en terminos de un volumen es-

pecfico de agua, un cubo de 0,10 m de lado, hecho este que lo asocio al estandar de longitud.A partir de 1880 se fabrico un prototipo con una aleacion de 90% platino y 10% iridio quetodava se conserva en la Oficina Francesa de Pesas y Medidas en Sevres y a partir del cual sehan elaborado copias que se utilizan como patrones nacionales alrededor del mundo.

El sistema ingles de unidades se diferencia en este concepto del SI ya que adopta el pesocomo unidad para describir cantidades de masa hecho este que crea algunos problemas ya quesi bien una cierta cantidad de materia es la misma en cualquier lugar, su peso no cumple conesta propiedad y por tanto dependera del lugar del universos en el cual se encuentre debido ala fuerza de atraccion gravitacional.

1.3. Unidades fundamentales del Sistema Internacional

Existen hasta el momento siete cantidades y unidades basicas en el sistema SI. Adicionalmen-te a las ya descritas: el metro (m), el segundo (s) y el kilogramo (kg); para la corrienteelectrica se utiliza el amperio (A), la temperatura se mide en kelvin (K), la cantidad desustancia en moles (mol) y la intensidad luminosa en candelas (cd). El estudiante de fsicaseguramente tendra contacto con estas cantidades y sus definiciones en cursos mas avanzados.La tabla 1.1 resume las propiedades y unidades fundamentales en el sistema SI:

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Existe un gran numero de cantidades fsicas que se derivan a partir de la combinacion delos conceptos o propiedades estandar arriba mencionados y por tal razon sus unidades son com-puestas. Sin embargo en muchos casos, y generalmente para abreviar nomenclaturas, se adoptatambien por convencion una denominacion particular. A manera de ejemplo y tal como se dis-cutira en detalle a lo largo de este curso la rapidez media con la cual se desplaza un objeto esta

definida como la razon entre una distancia recorrida y el tiempo empleado (longitud / tiempo) yen consecuencia se expresa en m/s; la aceleracion media de un movil se define como la relacionentre el cambio de la rapidez en un determinado intervalo de tiempo ((longitud/tiempo)/ tiem-po) y se expresa en m/s2. Sin embargo la fuerza sobre un cuerpo se expresa generalmente comoel producto entre su masa y la aceleracion que este experimenta de tal forma que su unidad enel sistema internacional (SI) es: kg x m/s2, pero por razones historicas y en honor al geniocientfico Isaac Newton, quien establecio las leyes fundamentales de la mecanica, esa unidad sedenomina el Newton (N).

1.3.1. Unidades no estandar del sistema metrico

Aunque inicialmente el sistema metrico fue establecido y conocido como el sistema mks(metro-kilogramo-segundo) y el cual inclua las unidades estandar de longitud, masa y tiempotambien se establecio el sistema cgs (centmetro-gramo-segundo), creado este ultimo paramanejar cantidades relativamente pequenas, sin embargo ambos ya han sido incorporados yasimilados en el SI.

Por su parte el sistema ingles se sigue utilizando generalmente en ingeniera y sus unidadesestandar de longitud, masa y tiempo son pie (foot), slug y segundo, respectivamente. A pesarde ello, todas las unidades existentes para las diferentes cantidades fsicas se pueden expresaren unidades SI. Adicionalmente, varias unidades de otros sistemas son aceptadas internacional-mente para usos limitados por razones practicas; por ejemplo las unidades de tiempo: minuto,

hora, da, etc., y la unidad de temperatura: grado Celsius.

1.3.2. Multiplos y prefijos

A nivel mundial el sistema metrico es quizas el mas utilizado y una de sus mayores ventajasradica en el hecho de ser un sistema decimal, es decir base 10, lo cual implica que se puedenobtener unidades mas grandes o mas pequenas multiplicando o dividiendo, respectivamente, una

Tabla 1.1: Unidades del Sistema Internacional (SI)

MAGNITUD UNIDAD (Abreviatura)Longitud metro (m)Tiempo segundo (s)

Masa kilogramo (kg)Corriente Electrica amperio (A)

Temperatura kelvin (K)Cantidad de sustancia mol (mol)

Intensidad luminosa candela (cd)

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unidad base por potencias de 10 mientras que en el sistema ingles se deben utilizar diferentesfactores de conversion, por ejemplo 12 para convertir pies en pulgadas y 16 para convertir librasa onzas. Esta dificultad probablemente fue generada por la manera historica pero poco cientficacomo se desarrollo.

En la tabla 1.2 se presentan los prefijos internacionalmente convenidos con los cuales se

identifican los diferentes multiplos y puede observarse ademas que las abreviaturas de los multi-plos mayores que 106 son letras mayusculas mientras que las de los numeros mas pequenos seidentifican con smbolos minusculos.

Tabla 1.2: Multiplos y prefijos de las unidades metricas

Multiplo Prefijo (abreviado) Submultiplo Prefijo (abreviado)1021 zetta- (Z) 101 deci- (d)1018 exa- (E) 102 centi- (c)1015 peta- (P) 103 mili- (m)1012 tera- (T) 106 micro- ()

109 giga- (G) 109 nano- (n)106 mega- (M) 1012 pico- (p)103 kilo- (k) 1015 femto- (f)102 hecto- (h) 1018 atto- (a)10 deca- (da) 1021 zepto- (z)

Ejemplos:

a) 1000 gramos = 103 gramos = 1 kilogramo: 1 kg

b) 0,001 metros = 103 metros = 1 milimetro: 1 mm

c) 0,00001 segundos = 105 segundos = 10 106 segundos = 10 microsegundos: 10 s

Existen cantidades fsicas tales como el area de una superficie, el volumen de un cuerpo, lacapacidad de un contenedor, y muchas otras cuyas unidades estandar se obtienen directamentea partir de las unidades fundamentales internacionales (SI) que aparecen en la tabla 1.1.

Consideremos por ejemplo el volumen de un cuerpo cuya unidad estandar es el metrocubico (m3): la unidad tridimensional derivada de la unidad base, el metro. En tal caso lacorrespondiente unidad internacional (SI) se deriva de la unidad base, el metro. Sin embargo,teniendo en cuenta que esta es una unidad relativamente grande, se acostumbra utilizar otraunidad no estandar de volumen (o capacidad) equivalente al volumen de un cubo de 10 cm delado, conocida como el litro (L). En tal caso, haciendo uso de la tabla 1.2, es f acil establecerlas siguientes relaciones:

1 Litro = 1000 cm3 (10 cm 10 cm 10 cm): 1 L.1 mL = 1 cm3 = 1 cc (abreviatura comunmente utilizada en otras areas del conocimiento

tales como la biologa y la qumica).

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1.3.3. Micro - nanotecnologa y astronoma

El uso de los prefijos de las unidades metricas permite hacer referencia directa al orden dela dimension de medicion utilizada y como tal aquellos tambien se emplean para describir areasy campos especficos de la naturaleza.

El interes por explorar y conocer un universo hasta entonces inaccesible para el hombrederivo en la invencion de herramientas tan utiles como el microscopio, un aparato optico quepermitio inicialmente incursionar y estudiar el mundo de dimensiones hasta entonces directa-mente inaccesibles (objetos de tamano del orden del m), debido a las limitaciones fsicas delser humano. De all surgio la microtecnologa (microbiologa, microscopa, etc.).

Si bien desde comienzos del siglo XX la fsica atomica pudo establecer mediante modelosteoricos y observaciones experimentales indirectas que el tamano del atomo, la estructura fun-damental de los elementos, es del orden de 1010 metros (= 0,1 nm), es decir que un nanometroequivale al ancho de dos o tres atomos. El desarrollo y construccion de potentes microscopioselectronicos durante las dos ultimas decadas del mismo siglo ha hecho mas frecuente el usodel prefijo nano - ya que cualquier tecnologa que se practique en la escala de los nanometros

es identificada como nanotecnologa. Esto implica ademas la fabricacion o construccion deestructuras atomo por atomo o molecula por molecula siendo entonces el nanometro la esca-la (dimension) adecuada. El entendimiento, manejo y control de nuestro organismo biologicoes posible mediante el estudio de nuestras celulas donde los denominados ribosomas (diminu-tas estructuras presentes en toda celula viva) son pequenas maquinas de apenas unos cuantosnanometros que leen las instrucciones del ADN para ensamblar enzimas y protenas, moleculapor molecula mostrando apenas parte del potencial que esta a nuestra disposicion a traves dela nanotecnologa.

No solamente las longitudes pequenas son importantes en el entendimiento de la naturaleza.Un ejemplo del poder y conocimiento que los investigadores han podido desarrollar hasta elpresente mediante la microelectronica se refleja en exacto control de eventos en el tiempo

con la construccion de potentes fuentes pulsadas de radiacion luminosa (laseres) que generanenergas en intervalos de tiempo tan cortos como los femtosegundos (fs).

Al otro extremo la naturaleza que nos rodea ha sido y continua siendo investigada y exploradaa traves de la astronoma gracias a la cual por ejemplo, a pesar de los enormes ordenes demagnitud, adquirimos mayor informacion acerca de la composicion y dimensiones de: nuestroSistema Solar 1012 metros (= 1 terametro: 1 Tm), La Va Lactea (1021 metros) que es la Galaxiaa la cual pertenece nuestro sistema solar, junto con mas de 1012 estrellas tan o mas grandes quenuestro Sol, y tambien sobre la existencia de Grupos (clusters) de galaxias que se aglomeranen regiones del universo del orden de 1024 metros.

1.3.4. Valores tpicos de longitudes, intervalos de tiempo y masasA manera de comparacion y para hacer enfasis en la utilidad de los ordenes de magnitud, a

continuacion se presentan tres tablas con los valores aproximados de cantidades fsicas relevantesy comunmente mencionadas.

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1.4. Analisis dimensional

La distancia entre dos puntos puede expresarse convenientemente bien sea en metros, cent-metros, pulgadas o pies pero en cualquier caso dicha cantidad tendr a siempre la dimension deuna longitud. Por tal razon las cantidades base o fundamentales que se emplean en la descripcion

objetiva de una magnitud en la naturaleza se denominan dimensiones.Generalmente los smbolos empleados para especificar las dimensiones de longitud, tiempoy masa son L, T y M, respectivamente, aunque algunos textos universitarios acostumbran aexpresarlos entre corchetes: [L], [T] y [M], por tal razon es conveniente cerciorarse previamentede la notacion empleada en cada caso. En este captulo utilizaremos la primera nomenclaturamencionada reservando los corchetes [ ] para indicar las dimensiones de una cantidad fsica.Por ejemplo las dimensiones de un area A se expresan como: [A] = L2, las dimensiones de unarapidez v como: [v] = L/T y las dimensiones de una fuerza F como: [F] = M L/T2. Es obvioentonces que solamente podran sumarse y restarse cantidades si poseen las mismas dimensiones;por ejemplo, 3 cm3 + 82 cm3 - 12 cm3 = 73 cm3 porque [V] = L3 = L3 + L3 + L3. Este hechopermite por tanto verificar la consistencia de las dimensiones de cualquier ecuaci on.

El Analisis Dimensional permite verificar la consistencia de las dimensiones en cualquierecuacion matematica que sea utilizada en la descripcion y estudio de la naturaleza y en la cualintervienen cantidades fsicas porque los dos miembros de la ecuacion deben ser iguales tantoen valor numerico como en dimensiones. En sntesis, el analisis dimensional permite tratar lasdimensiones como magnitudes algebraicas y por lo tanto verificar si una ecuaci on determinadaesta escrita en forma correcta dimensionalmente hablando. Sin embargo es muy importante teneren cuenta que la coherencia dimensional de una ecuacion no garantiza que esta sea fsicamentecorrecta.

Para ilustrar este procedimiento supongamos que sin tener previamente los conocimientosnecesarios para analizar la validez de la ecuacion, se nos dice que para determinar la posicion,

h, de un cuerpo que se deja caer libremente desde un cierto punto, bajo la acci on de la atracciongravitacional, g, luego de transcurrido un tiempo t, debe utilizarse la ecuacion: h = gt3, donde[g] = L/T2, [h] = L y [t] = T. En este caso, teniendo en cuenta que la magnitud del ladoizquierdo de la ecuacion tiene dimensiones de longitud, esto es [h] = L, basta con determinarprimero la dimension de la expresion del lado derecho as:

[gt3] =L

T2T3 = L T ,

por lo tanto, antes de proceder a realizar operaciones numericas innecesarias podemos argu-mentar que la ecuacion dada no es correcta.

1.5. Conversion de unidades

Tal como se dijo anteriormente, diferentes unidades pueden expresar la misma cantidadfsica, es decir que por ejemplo la longitud de un objeto pueda estar expresada en metros, pies,pulgadas, milmetros, etc., por ello es muy probable que sea necesario convertir la magnitud deesa longitud a un sistema determinado de unidades. En tal caso debe tenerse en cuenta que lasunidades pueden tratarse como magnitudes algebraicas que se pueden cancelar entre si. Pararealizar una conversion, una magnitud puede multiplicarse por un factor de conversion, que

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es una fraccion igual a 1, con un numerador y un denominador que tiene unidades diferentes,para proporcionar las unidades deseadas en el resultado final.

A continuacion se presentan las equivalencias mas importantes entre el sistema internacional(SI) y el sistema ingles (britanico) de unidades:

LONGITUD1 pulgada (1in) = 0,0254 m = 2,54 cm 1 pie (1ft) = 0,305 m = 30,48 cm1 milla (1mi) = 1609 m 1 yarda (1yd) = 0,914 m = 91,44 cm1 milla nautica = 1850 m = 185000 cm 1 metro = 39,27 pulgadas = 3,28 pies

AREA1 acre = 0,405 hectareas = 4,05 104 m2

VOLUMEN1 onza lquida = 0,028 litros 1 galon = 3,788 litros1 quarter = 0,947 litros

MASA1 onza = 28,3 gramos 1 libra = 0,45 kilogramos1 slug = 14,59 kilogramos

Entonces, por ejemplo, para convertir pulgadas en centmetros, el factor de conversion sera:2,54 cm

1 in

Por lo tanto: 35,2 pulgadas = (35,2 in)

2,54 cm

1 in

= 89,4 cm

De manera similar:

55 millas/hora = 55 millas/hora 1,609 km1 mi = 92,95 km/h1.6. Ejercicios

Unidades y factores de conversion

1. La unidad metrica estandar de volumen es el metro cubico (1 m3) y ese volumen de aguase utiliza para definir una unidad mas grande llamada la tonelada metrica. a) si un litrode agua equivale a una masa de 1 kilogramo, Cu antos kilogramos hay en una toneladametrica? b) Si un kilogramo tiene un peso equivalente a 2,2 libras Cuantas libras pesauna tonelada metrica?

2. Un Ano Galactico es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del centrode la galaxia (Va Lactea) y equivale a 220 millones de anos terrestres. Cuantos segundoshay en un Ano Galactico?

3. Cuantos anos luz tiene el diametro de la va lactea?

4. Si la luz que se genera en el Sol dura aproximadamente 500 segundos en llegar a la Tierra,que distancia nos separa del Sol?

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5. Un barco esta viajando a 50 nudos. a) Se movera mas rapido que un auto que viaja a 45millas por hora? b) Cuantos metros avanza cada uno de ellos en 1 segundo?

6. Si el cabello de una persona crece en promedio 1/32 pulgadas diariamente, a) Cuantotiempo tardara en crecerle 50 centmetros?; b) Cuantos microsegundo tarda en crecerleun nanometro? c) Cuantas horas tardara en crecerle media pulgada?

7. Si una seccion de terreno que tiene un area de 1 milla cuadrada equivale a 640 acres,calcule cuantos metros cuadrados tiene un acre.

8. El atomo de hidrogeno tiene aproximadamente un radio igual a 5,031010 m y su nucleo(un proton) tiene un diametro aproximado de 2,4 1015 m. Cuantas veces mas grandees el volumen de ese atomo comparado con el volumen del nucleo?

9. La estatura de cierto jugador de baloncesto es 6 pies 5 pulgadas (generalmente se escribe:6 5). a) Cuantos centmetros mide ese jugador? b) Sabe usted cual es su propia estaturaen el sistema ingles?

10. La altura de un vaso de vidrio que tiene forma cilndrica es de 13 cm y su diametro mide7 cm. a) Cuantos litros de agua pueden almacenarse en el? c) Si esa misma cantidad deagua quiere almacenarse en un recipiente esferico Cuantas pulgadas medira el radio deesa esfera? c) Cual de los dos recipientes tendra mayor area?

11. Cuando un avion esta volando sobre el mar a 35 000 pies de altura. Cuantos metros loseparan de la superficie del mar?

12. Un jugador de tenis golpea la bola lanzandola a 120 millas por hora. a) Cuanto tarda esabola en avanzar dos metros? b) Cuantos milmetros avanza en un nanosegundo?

13. Si la sangre fluye en el cuerpo con una rapidez media de 35 cm/s, cuantas millas recorreun globulo rojo en 1 hora?

14. Una persona llena el tanque de gasolina de su auto con 60 litros. Cu antos galones adqui-rio?

Analisis dimensional

1. El consumo de gas natural de una cierta empresa satisface la ecuaci on: V = t + t2,donde [V] = m3 y [t] = s. a) Cuales son la unidades de las constantes y ? b) Como semodificara esa ecuacion si la compana esta interesada en determinar el consumo mensualen pies cubicos?

2. Alguien le dice que la expresion para determinar el volumen de una esfera en funcion delradio es V = 4r2 y aunque usted no recuerda la expresion exacta, asegura que esaecuacion esta errada. Por que?

3. Si un estudiante utiliza la ecuacion: v2 = 2ax para calcular la rapidez v de un movil enfuncion su posicion x y su aceleracion a; estara equivocado?

4. Ambos miembros de una ecuacion deben ser iguales en a) valor numerico, b) unidades, c)dimensiones, d) todo lo anterior.

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Captulo 2

Vectores

2.1. Introduccion

En la vida cotidiana es frecuente referirse a la ubicacion de un cuerpo, esto es lo que en fsicase conoce con el nombre de posicion. Como todos ustedes ya saben, para dar esa informacion serequiere hacer referencia a algo, eso es lo que se conoce como dar un sistema de coordenadas.Sin embargo para indicar el cambio de posicion del cuerpo, es decir para indicar su desplaza-miento, cosa que ocurre por ejemplo cuando el cuerpo se mueve desde un punto A del espacio aotro punto B, no es necesario dar el sistema de coordenadas. Basta con dar ciertas cantidadesrelacionadas con los puntos A y B, esas cantidades se engloban en un solo ente mas fundamentalque llamaremos vector. En el caso anterior estamos hablando del vector desplazamiento, sinembargo en fsica hay otras magnitudes que tambien requieren ser descritas por vectores comolo son la velocidad de un cuerpo, las fuerzas que actuan sobre los cuerpos, entre otras. Todasesas magnitudes fsicas tienen dimensiones, por ejemplo el desplazamiento tiene dimensiones de

longitud, la velocidad las tiene de longitud sobre tiempo, etc.El vector desplazamiento desde A hasta B lo representaremos por un segmento de recta

orientado (flecha), esto significa que hay que dar la informaci on de la recta que lo contiene, locual se conoce como la direccion del vector; el sentido sobre la recta en la cual se desplaza elcuerpo (en este caso de A hacia B), lo que se conoce como el sentido del vector; y la longituddel segmento AB a lo cual se le da el nombre del modulo del vector. La manera compacta de

referirnos a este vector seraAB.

Aunque anteriormente introducimos la necesidad de los vectores al estudiar los desplaza-mientos, hemos de recordar como ya dijimos, que hay otras cantidades en fsica que tambien

son vectores y la notacion deAB no sera la mas adecuada en esos casos y solo la mantendremos

cuando nos convenga hacerlo, mas adelante a los vectores los denotaremos de la forma a,b, c, ...

2.2. Representacion geometrica

Se entiende por representacion geometrica (grafica) de los vectores a la ilustracion del seg-mento de recta orientado (o flecha). Aunque el espacio en el que nos movemos diariamente esde tres dimensiones, a veces recurriremos a las dos dimensiones (las que nos suministra directa-mente el papel) para hacer algunas ilustraciones aunque todo lo que diremos es extensivo a lastres dimensiones.

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Sean A,B,C,D puntos en el espacio por los cuales ha pasado un cierto cuerpo, vamos ailustrar los vectores desplazamiento de ese cuerpo cuando se mueve un punto a otro de los

indicados (ver Fig. 2.1), en particular de A hacia B:AB, luego de B hacia C:

BC y finalmente

de C hacia D:CD. Como es facil ver, el desplazamiento total del cuerpo es el vector que va

desde A hasta D:AD

Figura 2.1: Ilustracion de los vectores de desplazamiento cuando un cuerpo se mueve de un

punto a otro.

Lo que acabamos de hacer fue componer desplazamientos, a esta composicion la llamaremossuma, es decir hemos introducido el concepto de suma de vectores. A continuacion formaliza-remos el algebra de los vectores, es decir las operaciones que se pueden hacer con ellos y laspropiedades de las mismas y lo haremos usando la representacion geometrica de los vectores.

Con el objeto de formalizar el algebra de los vectores vamos a introducir el concepto devector equipolente. Llamaremos vectores equipolentes a aquellos que tienen igual modulo,direccion y sentido, es decir son el mismo vector. Por consiguiente, dado un vector es posibleobtener tantos vectores equipolentes a el como uno quiera, basta con trasladar paralelamente el

vector (la flecha) sin alterar sus propiedades. En la Fig. 2.2 se muestra un ejemplo de vectoresque son equipolentes entre s.

Figura 2.2: Ejemplo de seis vectores equipolentes.

2.2.1. Algebra vectorial en la representacion geometrica

Suma de vectores

Sean los vectores a,b, la suma a +b es un nuevo vector que se obtiene de la siguiente manera(regla de suma del triangulo): Se dibuja el primer sumando, en este caso a y a continuacion (en

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la punta de la flecha) se coloca el siguiente sumando b (uno equipolente a el). El vector suma

a + b es el que va desde el extremo inicial de a hasta la punta de la flecha de b (ver Fig. 2.3,

derecha). Observe que la suma de vectores es conmutativa, es decir a +b = b + a puesto que los

vectores a + b y b + a son equipolentes (ver Fig. 2.3).

Figura 2.3: Suma de vectores. Izquierda: S = a + b. Derecha: S = b + a.

Note que el vector suma de dos vectores tiene un modulo que depende de los modulos decada vector sumando pero tambien depende del angulo que forman (es decir el angulo formadopor las rectas que contienen a cada vector).

Denotaremos al modulo de un vector a como ||a||, o de manera mas compacta como a. Engeneral dados dos vectores a y b, el modulo de la suma de ambos cumple la siguiente desigualdad(desigualdad triangular):

|b a| | |a + b|| a + b , (2.1)

donde la notacion || representa el valor absoluto . En la Fig. 2.4 se muestra otro ejemplo desuma de dos vectores e y f, ilustrando que el modulo ||e + f|| de la suma no necesariamente esmayor que el modulo de cada sumando, de acuerdo a lo expresado por la ecuacion 2.1.

Figura 2.4: Suma de dos vectores e y f. Note que en este ejemplo||

e+ f||

90o, como en el ejemplo ilustrado en la Fig. 2.16.Queda como problema propuesto demostrar que el producto escalar cumple las siguientes

propiedades:

(a b) = a (b) = (a) ba (b + c) = a b + a ca a = ||a||2

Si ab entonces a b = 0

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Figura 2.15: Izquierda: Proyeccion de b sobre a. Derecha: Proyeccion de a sobre b.

Figura 2.16: Proyeccion de e sobre f. Note que ef < 0, ya que el angulo formado entre losvectores es mayor a 90o.

Si recordamos la definicion de los vectores unitarios cartesianos x, y, z, tenemos que se cum-plen las siguientes propiedades:

x x = y y = z z = 1x y = y z = z x = 0

Problemas resueltos

1. Demuestre el teorema del coseno

c2 = a2 + b2 + 2ab cos()

donde a, b y c son los lados de un triangulo y es el angulo que se muestra en la Fig. 2.17.Demostracion:Sobre los lados del triangulo de la Fig. 2.17 construimos los vectores a, b y a + b, como se

muestra en la Fig. 2.18. De manera que, comparando con la Fig. 2.17, vemos que ||a|| = a,||b|| = b y ||a + b|| = c. As, usando las propiedades del producto escalar, tenemos

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Figura 2.17:

Figura 2.18:

c2 = ||a + b||2= (a + b) (a + b)= a a + b b + 2a b=

||a

||2 +

||b

||2 + 2

||a

||||b

||cos()

= a2 + b2 + 2ab cos()

como queramos demostrar.

Problemas propuestos

1. Demuestre que a b = ba2. Para cuales valores de es la proyeccion ba positiva? negativa? cero? Depende este

resultado del valor de ||a|| o de ||b||?3. Partiendo de la definicion del producto escalar (Ec. 2.2)

a) Demuestre que se cumple la propiedad (a b) = a (b) = (a) b.b) Demuestre que se cumple la propiedad distributiva a (b + c) = a b + a c.c) Demuestre que se cumple la propiedad a a = ||a||2.d) Demuestre que si ab entonces a b = 0.

4. Demuestre que la proyeccion ba de un vector b sobre un vector a cumple que ba = b a.

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Producto vectorial

Se define el vector a b como aquel que tieneModulo ||ab|| ab sin

Direccion perpendicular tanto a a como ab.

Sentido determinado con la regla de la mano derecha. Se colocan los dedos de la palmade la mano en la direccion del primer factor, es decir el vector a. Se cierran en direccional segundo factor, es decir el vector b. El dedo pulgar indica la direccion del vector a b(ver figura 2.19 derecha).

La operacion es anticonmutativa b a = a b, como puede verse en la Fig. 2.19.

Figura 2.19: Izquierda: Producto vectorial a b. Centro: Producto vectorial b a = a b.Derecha: Regla de la mano derecha.

Queda como problema propuesto demostrar que el producto vectorial cumple las siguientespropiedades:

a b = b a(a b) = a (b) = (a) ba (b + c) = a b + a ca (b c) = (a c)b (a b)ca

(b

c) = c

(a

b) = b

(c

a)

Si a b entonces ab = 0Recordando nuevamente la definicion de los vectores unitarios cartesianos x, y, z, tenemos

que se cumple

x y = zz x = yy z = x

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Problemas resueltos

1. Demuestre el teorema del seno

sin(1)

a =

sin(2)

b =

sin(3)

c (2.3)donde a, b, c son los lados de un triangulo y 1, 2 y 3 son los angulos internos como se

muestra en la Fig. 2.20.

Figura 2.20:

Demostracion:Utilizaremos la definicion y propiedades del producto vectorial para demostrar el teorema

2.3. Vamos a construir tres vectores a, b y c a lo largo de los lados del triangulo de la Fig. 2.20,como se muestra a continuacion en la Fig. 2.21. Los vectores as construidos tienen modulos a,b y c respectivamente, y se cumple que c = a + b.

Figura 2.21: Por construccion los vectores a, b y c tienen modulos a, b y c respectivamente (ver

figura anterior). Ademas vemos que se cumple c = a + b.

Como c = a + b tenemos

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c a = (a + b) a b c = b (a + b)= a a

0

+b a = b a + bb0

= b a = b aIgualando estas ecuaciones tenemos que

c a = b c = b aComo estos tres vectores son iguales, sus modulos deben ser iguales tambien, de manera que

se tiene

||c a|| = ||b c|| = ||b a||Sustituyendo ahora los modulos de los productos vectoriales en terminos de los modulos de

los vectores a, b y c y los angulos entre ellos, tenemos

ca sin(2) = bc sin(1) = ab sin( 3)Recordando que sin( 3) = sin(3) y dividiendo la expresion anterior por el producto

abc, tenemos finalmente

sin(2)

b=

sin(1)

a=

sin(3)

c

que es lo que queramos demostrar.


1. Partiendo de la definicion del producto vectorial

a) Demuestre que el producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores,

es decir a (b + c) = ab + a c.b) Demuestre que (a b) = a (b) = (a) bc) Demuestre que si a b entonces ab = 0

2. Demuestre que el modulo del vector a b es igual al valor del area del paralelogramodeterminado por los vectores a y b (area sombreada en la Fig. 2.22).

2.3. Representacion analtica

La representacion analtica consiste en identificar cada vector por un conjunto de numeros,llamados las componentes del vector. La cantidad necesaria y suficiente de numeros (componen-tes) para identificar un vector es igual a la dimension del espacio en el que se vaya a trabajar. Acontinuacion vamos a introducir lo que se conoce como las componentes cartesianas de un vec-tor. Dado un vector a y un sistema de ejes cartesianos, se definen las componentes cartesianasdel mismo como la terna (ax, ay, az) donde ax, ay y az son las proyecciones (numeros reales) delvector a sobre los ejes cartesianos x+, y+ y z+ respectivamente. Recordando la definicion de los

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Figura 2.22: El vector ab esta denotado por el smbolo y su direccion y sentido es saliendodel plano del papel.

vectores unitarios cartesianos {x, y, z} (seccion 2.2.1), se tiene que la terna (ax, ay, az) son lasproyecciones de a sobre los vectores {x, y, z} respectivamente (ver Fig. 2.23), es decir

ax = a x ; ay = a y ; az = a z

Figura 2.23: Componentes cartesianas de un vector a.

Recordando el concepto de equipolencia, podemos enunciarlo en este contexto diciendo quedos vectores que tengan todas sus componentes iguales son equipolentes. Observemos ahora queel vector a se obtiene como la suma de tres vectores perpendiculares entre s (recordar la reglade suma y ver Fig. 2.24).

a = axx + ayy + az z

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Figura 2.24: Descomposicion de un vector a en suma de tres vectores perpendiculares entre s.


1. Dados los puntos A y B identificados por sus coordenadas cartesianas A(xA, yA, zA) y

B(xB, yB, zB). Hallar el vectorAB en componentes cartesianas.

2. Dados los puntos en coordenadas cartesianas A(2,1, 1), B(1, 0, 2) y C(0, 1,1). Hallelas coordenadas cartesianas del punto D si se quiere que los vectores

AB y

CD sean

equipolentes.

3. Cuales son las componentes de un vector a que tiene modulo a = 9, forma un angulo/3 con el eje z, y cuya proyeccion sobre el plano xy forma un angulo de /4 con el ejex? Respuesta: ax = 9

6/4, ay = 9

6/4 y az = 9/2

2.3.1. Algebra vectorial en la representacion analtica

Suma de vectores

Partiendo de la definicion geometrica (seccion 2.2.1), podemos deducir la forma analtica de

escribir la suma de vectores en terminos de las componentes de los sumandos, como se ilustraen la Fig. 2.25. As se obtiene:

a + b = (ax + bx)x + (ay + by)y + (az + bz)z

Producto de un escalar por un vector

El producto de un vector a por un escalar se puede escribir en terminos de las componentesdel vector de la siguiente manera

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Figura 2.25: Suma de dos vectores a y b en dos dimensiones.

a = axx + ay y + az z

Producto escalar

Escribiendo los vectores a y b en sus componentes cartesianas y utilizando la propiedaddistributiva del producto escalar bajo la suma, se puede escribir el producto escalar entre dosvectores a y b de la siguiente manera

a b = (axx + ayy + azz) (bxx + byy + bzz) = axbx + ayby + azbz

Producto vectorial

Usando las propiedades del producto vectorial se calcula,

ab = (aybz azby)x + (azbx axbz)y + (axby aybx)z (2.4)Esto se puede escribir como el siguiente determinante

a b =

x y zax ay azbx by bz

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1. Sean dos vectores a y b, siempre se puede descomponer el vector a en una suma de dosvectores, uno paralelo a b y otro perpendicular a b. Sean entonces

a paralelo a ba perpendicular a b

de manera que a = a + a, como se muestra en la Fig. 2.26. Llamemos b = ||b||, a ||a|| ya ||a||. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

Figura 2.26: Descomposicion de un vector a en suma de un vector paralelo ab y otro perpendi-cular a b.

1. a b = 02. a b = 0

3. a b = 04. a b = 0

5. a b = a

b

6. a b = a b7. a b = ab

8. a b = a b9. a b = a b

10. a b = abx

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11. a b = abz12. a b = abz13. a a = 1

14. a a = 0

2.4. Ejercicios finales

1. Un gato persiguiendo un raton camina 3,50 m al sur, luego 8,20 m a un angulo de 30 alnorte del oriente y, finalmente, 15,0 m al poniente. Encuentre el vector de desplazamientoresultante del gato, usando el metodo grafico.

2. Un avion vuela desde su campamento base al lago A, una distancia 280 Km a una direccion20 al norte del oriente. Despues de lanzar abastecimientos, vuela al lago B que esta 190

Km y 30

al oeste del norte del lago A. Determine graficamente la distancia y direcciondel lago B al campamento base.

3. Un vector A tiene una magnitud de 8 unidades y hace un angulo de 45 con el eje xpositivo. El vector B tiene tambien una magnitud de 8 unidades y esta dirigido a lo largodel eje x negativo. Determine por el metodo grafico la suma vectorial A + B y la restaA B.

4. Un jugador de golf necesita dos tiros para meter la pelota en el hoyo una vez que llega algreen (crculo de grama alrededor del hoyo). El primer tiro desplaza la pelota 6 m aloriente y el segundo 5,4 m al sur. Que desplazamiento hubiera sido necesario para meterla pelota en el primer tiro?

5. Un objeto se desplaza en un vector a a lo largo de un plano inclinado que forma un angulode 20 con la horizontal. Si |a| = 20 cm, encontrar las componentes de a que son paralelay perpendicular respectivamente al plano inclinado adyacente, el cual forma un angulo de40 con la horizontal.

Figura 2.27: Problema 5

6. Una espeleologa esta explorando una cueva. Empieza a caminar en la entrada y recorrelas siguientes distancias: 75 m al norte, 250 m al oriente, 125 m a un angulo de 30 alnorte del oriente y 150 m al sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entradade la cueva.

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7. Una pieza de maquinaria pesada es elevada deslizandola sobre una rampa que tiene unainclinacion de 20 respecto a la horizontal, una distancia d = 12,5 m. Que tan alto fueelevada respecto a su posicion original? Cual fue su desplazamiento horizontal?

8. Dos paraleleppedos rectos identicos, han sido dispuestos en la forma indicada en la figura

2.28 Ga y Gb son los puntos donde se cortan las diagonales principales. Determine:a) Los vectores de posicion de los puntos Ga y Gb.

b) El vector desplazamiento de una mosca que vuela de Ga a Gb.


9. La componente x de un vector A es 25,0m y la componente y es 40,0 m. Cual es lamagnitud de A? Cual es el angulo que forma la direccion de A con el eje positivo de lasx?

10. Tres cubos iguales de lado a = 6 cm estan situados en la forma indicada en la figura 2.29.Si N es el punto medio del trazo AB y el trazo CM = 1

2MD, entonces encuentre:

a) ON

b) OMc) NM

en terminos de , , k (no olvide las unidades).

11. Un velero zarpa dispuesto a navegar 120 km al norte. Una tormenta inesperada, empujael barco a 100 Km horizontalmente desde su punto de partida. En que direccion debearrancar de nuevo para llegar a su destino? Si el buen viento le permite ir a 8 nudos,cuanto tiempo tardara en llegar? (1 nudo equivale a 1,852 Km/h)

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12. La piramide de la figura 2.30 esta formada por cuatro triangulos equilateros. P es elpunto donde se cortan las bisectrices del triangulo ABC y M el punto medio del ladoAB, y M el punto medio del lado DA.

Si DA = u; DB = v; DC = w; Determine los vectores:

a)BC

b) DM

c) DP

d) MM


13. El vector A, que esta dirigido a lo largo del eje x, debe sumarse al vector B que tiene unamagnitud de 7 cm. La suma es un tercer vector que est a dirigido a lo largo del eje y, conuna magnitud que es 3 veces la de A. Cual es la magnitud de A?

14. Si d1 + d2 = 5d3, d1 d2 = 3 d3 y d3 = 2 + 4, cuales son las expresiones en vectoresunitarios de d1 y d2?

15. Calcular el producto escalar de los vectores u y v de la figura 2.31.

16. Hallar un vector de modulo 3 y que sea paralelo a la suma de los vectores a = (1, 2, 1),b = (2,1, 1) y c = (1,1, 2).

17. Hallar un vector a, tal que sea perpendicular al vector b = (2, 1, 3) y de su productovectorial por el vector c = (1, 0, 1) resulte el vector 2 k.

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18. Demuestre que el angulo formado por dos diagonales cualquiera de un cubo es 70,52.Sugerencia: Tomar un cubo de lado generico a, trazar dos de sus diagonales y a partir delas coordenadas de sus orgenes y extremos obtener las componentes de los vectores a quedan lugar.

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Captulo 3

Cinematica

3.1. Movimiento

Parada nos dice que estudia todo aquello que permanece inmovil, que creen ustedes queestudia Parada? Una posible respuesta es que se estudia a s mismo ya que todo lo demas pareceque se mueve con relacion a el. Pero esa afirmacion es insostenible ya que su corazon se agita ysu estomago y su sangre tambien. Si quitamos los organos y la sangre que nos queda. Quiza unpunto, una abstraccion que arbitrariamente se fija como inmovil. Cual podra ser ese punto queacompana a Parada y que permanece inmovil? Dejaremos la respuesta a esta pregunta paradespues y por los momentos estudiaremos el movimiento que lo rodea utilizando un arreglosencillo: moviles que habitan y se transportan en una dimension, a lo largo de una recta.

Problema propuesto: Hacer una lista de tres objetos que permanezcan inmoviles y quepueden ser estudiados por Parada (discutirlos en clase).

3.2. Movimiento en una lnea recta

Colocaremos un punto cero de referencia que permanece inmovil sobre una recta que semantiene inmovil con respecto a ese punto. Colocaremos unos puntos especiales sobre la rectaque llamaremos moviles y que se pueden transportar sobre esta. Digamos que hay unos puntosde colores que se mueven en un fondo negro que es la recta y queremos precisar el estado demovimiento de esos moviles. Resulta inconveniente representar los colores por lo que recurri-remos a ciertas formas (un crculo, un cuadrado, un triangulo, etc.) para representar distintosmoviles, como en la figura 3.1.

Figura 3.1: Representacion de una recta poblada de puntos moviles etiquetados con figurasgeometricas. La escala nos permite cuantificar las cantidades que nos interesa definir como laposicion (donde esta ubicado) y el desplazamiento (el cambio de posicion).

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Para precisar lo que vamos a llamar movimiento definiremos ciertas cantidades para cuan-tificarlo. La recta representa el espacio y para que sea mensurable le colocamos una escaladividida en centmetros, en metros, en kilometros o en cualquier otra unidad de longitud segunnos convenga. De esa manera podemos ubicar un movil a un cierto numero de unidades a laderecha o a la izquierda del punto cero. Necesitaremos un cronometro o un reloj para medir el

tiempo. El movimiento es cambio y ese cambio ocurre en el espacio y en el tiempo. En el espaciovamos a expresar la ubicacion del movil especificando la posicion y el cambio de ubicacion loespecificaremos definiendo el desplazamiento.

Problema propuesto:Hacer una lista de tres situaciones que involucren movimiento de objetos, vehculos, animales

personas, etc., que puedan ser adecuadamente representados de la manera indicada en el parrafoanterior.

3.3. Posicion y desplazamiento

Localizar un objeto es conocer el lugar que ocupa en relaci on con un punto de referencia quepuede ser el origen de nuestra recta. Si nos fijamos en la figura 3.1 vemos que el movil indicadocon un triangulo negro esta localizado a 3 m a la derecha del origen, por lo que su posici on conrespecto al origen es x1 = 3 m. Si trasladamos el movil a un punto que esta a 3 m a la izquierdadel origen entonces la nueva posicion es x2 = 3 m.

Figura 3.2: Posicion de los moviles de la figura 3.1 despues de transcurrido un intervalo detiempo t.

El desplazamiento es el cambio de posicion y lo definimos de la manera siguiente:

x = x2 x1 = posicion final posicion inicial (3.1)En nuestro ejemplo el desplazamiento del triangulo negro es x = 6 m, y la distancia

recorrida es la magnitud del desplazamiento que en este caso es |x| = 6 cm. Este desplaza-miento no depende del origen que adoptemos como referencia. Como el movimiento es en unadimension no tenemos que especificar la direccion. Es suficiente con indicar la magnitud y el

sentido de manera que en este caso no necesitamos utilizar vectores. Si ahora consideramos eltiempo que tarda el movil en trasladarse del punto inicial al punto final es conveniente definirla velocidad promedio.

3.4. Velocidad promedio y rapidez promedio

Supongamos que la recta de la figura 3.1 representa una avenida recta de varios canales ydejamos correr el tiempo. Si transcurre un intervalo de tiempo t = t2 t1, en donde t1 esel tiempo que registra un reloj en el momento inicial y t2 el tiempo que registra el reloj al

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transcurrir un tiempo t. El automovil que tenga una velocidad promedio distinta de cero conrespecto a la avenida (sistema de referencia) ocupara posiciones distintas a las originales. Lavelocidad promedio, en una dimension, la definiremos de la siguiente manera:

< v >=x2 x1t2 t1

=x

t

(3.2)

Note que la velocidad promedio lleva el signo del desplazamiento.Problemas resueltos

1. Identifique, en las figuras 3.1 y 3.2,

a) Cual de los moviles no ha cambiado su posicion en el tiempo t transcurrido (estono significa que no se ha movido)? b) De los m oviles que cambiaron su posicion, cualmovil se desplazo con la mayor rapidez promedio y cual se desplazo con la menor rapidezpromedio?

Supongamos que las divisiones mas pequenas representan metros. De las figuras 3.1 y 3.2

podemos ver que si el tiempo que transcurrio es de 30 segundos la velocidad promedio delautomovil indicado por el triangulo negro es:

< v >=(3 3) m

30 s= 0,2 m/s

La rapidez promedio es la magnitud de la velocidad promedio que en este caso es < v >=0,2 m/s.

2. Si el lmite de velocidad en la avenida por donde estan pasando los vehculos representa-dos en las figuras 3.1 y 3.2 es de 40 Km/hr, cuantos vehculos sobrepasan el lmite de

velocidad?Cuando las autoridades de transito se refieren al lmite de velocidad realmente se refierena la rapidez maxima permitida ya que el sentido de la velocidad no importa cuando sejuzga si un vehculo va demasiado rapido. La rapidez promedio |< v >| la definimos de lasiguiente manera:

Rapidez promedio = |< v >| = distancia totalt2 t1 =

|x|t

(3.3)

3.5. Velocidad instantanea

Si soltamos un cuerpo desde una cierta altura, a medida que cae su rapidez aumenta con-tinuamente (ver figura 3.3). En este caso la velocidad promedio no es util si queremos saber lavelocidad a una determinada altura durante la cada. Para obtenerla debemos calcular la velo-cidad instantanea que definiremos en el parrafo siguiente. Si en la ecuacion (3.2) hacemos queel intervalo de tiempo sea muy pequeno, la velocidad instantanea v la definimos de la manerasiguiente:

v = lmt0x

t(3.4)

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Figura 3.3: Secuencia de fotos estroboscopicas de una bola de billar cayendo. Vemos como el

desplazamiento y que se observa entre destello y destello aumenta en el intervalo de tiempot subsiguiente (cortesa de http://physics.nmsu.edu/ sps/sound/pages/fall.htm).

Si la velocidad es constante la velocidad instantanea es igual a la velocidad promedio.Problema ResueltoUna partcula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posicion en cualquier instante

t esta dada por x = 5t2 + 1, donde x se expresa en metros y t en segundos.Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

2 y 3 s.

2 y 2,1 s.

2 y 2,01 s.

2 y 2,001 s.

2 y 2,0001 s.

Calcular la velocidad en el instante t = 2 s.

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En el instante t = 2 s, x = 21 mt (s) x (m) x=x-x t=t-t < v >= xt m/s

3 46 25 1 252.1 23.05 2.05 0.1 20.5

2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.052.001 21.020005 0.020005 0.001 20.0052.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005... ... ... ... ...

0 20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo t 0, la velocidad media tiendea 20 m/s. La velocidad en el instante t = 2 s es una velocidad media calculada en un intervalode tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

La posicion del movil en el instantet es x = 5t2 + 1

La posicion del movil en el instante t + t es x = 5(t + t)2 + 1 = 5t2 + 10tt + 5t2 + 1

El desplazamiento es x = x x = 10tt + 5t2

La velocidad media < v > es

< v >=10tt + 5t2

t= 10t + 5t

La velocidad en el instante t es el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempotiende a cero

v = lmt0 < v >= lmt0(10t + 5t) = 10t

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de laposicion x respecto del tiempo.

En el instante t = 2 s, v = 20 m/s

3.6. Representacion grafica del movimiento en 1D

Estudiar el movimiento nos permite conocer como ocurren los cambios en el espacio y enel tiempo. Las figuras 3.1 y 3.2 representan una avenida por donde circulan unos vehculos,pero como cada figura solo registra un instante especfico, una foto, por lo que no podemosvisualizar con esa imagen si un vehculo en particular se esta moviendo o no. Si cada unade las figuras 3.1 y 3.2 corresponde a un instante de tiempo les mostraremos una manerade representar infinitos instantes y de esa manera multiplicamos infinitamente la informacionque podemos representar sobre el movimiento rectilneo de cada movil. Esto lo podemos hacercolocando dos ejes perpendiculares como en la figura 3.4. El eje vertical representa la avenida yel eje horizontal con sus infinitos puntos representa el tiempo. Cada punto del eje horizontal es

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un instante de tiempo as que podemos registrar infinitas instantaneas de cada movil trazandouna sola curva que nos da la posicion en funcion del tiempo, que maravilla! y que facil! Tenemosentonces una especie de video de la posicion del movil que podemos ver mirando el graficosolo un momento. Este grafico de x = x(t) tiene tantas sorpresas que en este curso no podemosestudiarlas todas. En el eje vertical de un grafico de x(t) podemos representar las posiciones

x de planetas, galaxias, atomos, ratones, protones, etc. En el eje horizontal representaremosel tiempo t, en las unidades que nos resulten convenientes, segundos, nanosegundos, minutos,horas, anos, siglos, milenios, etc. De esta manera en nuestra curva x(t) podemos pasearnos poruna representacion que nos muestra lo que ocurre en muchos milenios o en pocos milisegundos.La forma de la curva para la posicion de un vehculo en funcion del tiempo tiene una forma quepuede ser muy distinta a la de la trayectoria que en este caso es rectilnea.

Vamos a considerar las siguientes caractersticas de la grafica de la figura 3.4:a) Los ejes estan etiquetados con las variables respectivas acompanadas de las unidades

correspondientes. En este caso la posicion x esta en metros y el tiempo t en segundos.b) Cada punto de la curva corresponde a un par ordenado (x, t). Los valores de la coordenada

x y del tiempo t se obtienen trazando las perpendiculares respectivas a cada eje como se indicaen la figura 3.4a, para los puntos A y B.

Figura 3.4: Graficos de la posicion de un movil en funcion del tiempo.

La velocidad media < v > del movil que se mueve desde el punto A hasta el punto Besta dada por la pendiente de la lnea que une esos dos puntos:

< v >= (xf xi)/(tf ti) (3.5)La velocidad instantanea, por ejemplo en el punto P, que se muestra en la figura 3.4b se

obtiene haciendo que el intervalo de tiempo t = t2 t1, tienda a cero por lo que la velocidadinstantanea que nos interesa viene dada por la tangente a la curva x(t) en ese punto. La velocidadinstantanea del movil que estamos representando es la tasa de cambio de su posicion, conrespecto al tiempo, en el instante t. Para calcularla de la curva x(t) trazamos la tangente de lacurva en el punto que nos interesa, como se indica en la figura 3.4. La tangente en ese puntonos da la velocidad instantanea vP. En el ejemplo ilustrado en la figura 3.4b tenemos que:

vP =x2 x1t2 t1

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3.7. Aceleracion

Figura 3.5:

En general, la velocidad de un cuerpo es una funci on del tiempo. Supongamos que en uninstante t la velocidad del movil es v, y en el instante t la velocidad del movil es v. Se denominaaceleracion media entre los instantes t y t al cociente entre el cambio de velocidad v = v vy el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t = t t.

< a >=v vt

t

=v

t

La aceleracion en el instante t es el lmite de la aceleracion media cuando el intervalo ttiende a cero.

3.8. Movimiento rectilneo uniforme

Un movimiento rectilneo uniforme es aquel cu-ya velocidad es constante, por tanto, la ace-

leracion es cero. La posicion x del movil enel instante t lo podemos calcular integrandox x0 = v(t t0) o graficamente, en la repre-sentacion de v en funcion de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movi-miento uniforme resultan

a = 0

v = ctex = x0 + vt

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3.9. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es

aquel cuya aceleracion es constante. Dadala aceleracion podemos obtener el cambiode velocidad v v0 entre los instantes t0y t, mediante integracion, o graficamente.v v0 = a(t t0)

Dada la velocidad en funcion del tiempo,obtenemos el desplazamiento x x0 delmovil entre los instantes t0 y t, graficamen-te (area de un rectangulo + area de un

triangulo), o integrando x x0

= v0

(t t0) + 12 a(t t0)2

Tomando el instante inicial t0 como cero, las formulas del movimiento rectilneo uniforme-mente acelerado son:

a = cte

v = v0 + at

x = x0 + v0t +1

2at2

Despejando el tiempo t en la segunda ecuacion y sustituyendola en la tercera, relacionamos

la velocidad v con el desplazamiento x x0.v2 = v20 + 2a(x x0)

3.10. Cinematica en varias dimensiones

3.10.1. Vector de posicion

r(t) = x(t) + y(t) + z(t)k (3.6)

El extremo del vector de posicion describe, a lo largo del tiempo, una lnea que recibe elnombre de trayectoria. Esta curva se puede obtener eliminando el tiempo en las ecuacionesparametricas.

3.10.2. Vector desplazamiento

Se denomina vector desplazamiento r entre los instantes t0 y t1 a:

r(t) = x(t) + y(t) + z(t)k (3.7)

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3.10.3. Vector velocidad media

< v >=r(t)

t=

x(t)

t+

y(t)

t+

z(t)k

t(3.8)

Y se llama rapidez media a la longitud de trayectoria recorrida en la unidad de tiempo.Es decir la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla. Si la trayectoria es unalnea recta y no hay cambios de sentido, el modulo del vector velocidad media coincide con larapidez.

3.10.4. Vector velocidad instantanea

v = lmt0r(t)

t=

d

dt

x(t) + y(t) + z(t)k

=

dx

dt +

dy

dt +

dz

dtk = vx + vy + vzk (3.9)

El valor numerico de la velocidad instantanea es el modulo de la velocidad y se denominarapidez o celeridad:

v = |v| =

v2x + v2y + v

2z (3.10)

3.10.5. Vector aceleracion media

< a >=v(t)

t=

vx

t+

vy

t+

vzk

t(3.11)

Aceleracion instantanea a es la aceleracion que posee la partcula en un instante determinado(en cualquier punto de su trayectoria). Su direccion y sentido coincide con el del cambio de lavelocidad.

3.10.6. Vector aceleracion instantanea

a = lmt0v(t)

t=

d

dt

vx + vy + vzk

=

dvxdt

+dvydt

+dvzdt

k = ax + ay + azk (3.12)

El valor numerico de la aceleracion instantanea es el modulo del vector aceleracion:

v = |a| =

a2x + a2y + a

2z (3.13)

3.10.7. Componentes de la aceleracion

Si elegimos como sistema de referencia uno con origen la posicion de la partcula, en cadainstante, con un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma, la aceleraciontiene dos componentes:

a = at + an (3.14)

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Aceleracion tangencial at: es un vector tangente a la trayectoria y su modulo representala variacion del modulo de la velocidad en un instante.

Aceleracion normal an: es un vector perpendicular a la trayectoria y sentido hacia elcentro de curvatura. Su modulo representa la variacion de la direccion del vector velocidad enun instante.

an = |an| = v2

R (3.15)

donde R es el radio de curvatura de la trayectoria.

3.11. Preguntas

Indica que afirmaciones son correctas

1. Movimiento es:

a) un cambio de lugar

b) un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es un punto material

c) un desplazamiento

d) un cambio de posicion

2. Un ciclista se desplaza en lnea recta 750 m. Si su posicion final esta a 1250 m del puntode referencia, el ciclista inicio su recorrido desde una posicion de:

a) 750 m

b) 1250 m

c) No se puede hallard) 500 m

3. Un carro pasa de 90 km/h a 126 km/h en 8 segundos. La aceleraci on media del vehculoha sido:

a) 4,5 m/s2

b) 2,25 m/s2

c) 1,25 m/s2

d) 1,5 m/s2

4. Un automovil parte del reposo con una aceleracion constante de 1,8 m/s2 . Despues deestar 20 segundos acelerando, la distancia recorrida por el carro es:

a) 360 m

b) 720 m

c) 18 m

d) 36 m

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5. Un automovil toma una curva de 100 m de radio con velocidad constante de 36 km/h.Cuales de las siguientes afirmaciones son correctas?:

a) el carro no tiene aceleracion porque su velocidad es constante

b) el carro tiene aceleracion porque su velocidad vara

c) el carro tiene aceleracion tangencial

d) la aceleracion del carro vale 1 m/s2

6. Las coordenadas del extremo del vector de posicion de una partcula movil son P(2, -1)en un instante dado. Si el punto de referencia se encuentra en el origen de coordenadas:

a) en ese instante el punto se encuentra en el plano xy

b) el vector de posicion es r = 2 c) el vector de posicion es r = 2 +

d) no se puede definir este punto con un vectorQue afirmaciones son correctas?

7. El vector de posicion de una partcula movil es r = (t + 2) + t2

Que desplazamiento ha experimentado la partcula en el intervalo de tiempo de 2 a 4 s?

8. El vector de posicion de una partcula es r = (4t2 1) + (t2 +3) (en unidades del S.I.) :

a) Deduce las expresiones de los vectores velocidad y aceleracion.

b) Calcula la velocidad y aceleracion en el instante 1 s.

9. El vector de posicion de un punto movil es r = (2t+5t2). Senala las afirmaciones correctas.

a) el punto se mueve en el plano xy

b) el punto se mueve sobre el eje x

c) el punto se mueve sobre una recta paralela al eje x

d) el movimiento es rectilneo uniforme

e) la ecuacion dada es equivalente a la ecuacion x = 2t + 5t2

10. Como definiras la trayectoria de un movil?

11. Que es lo que mide la aceleracion?

12. Que diferencias hay entre la velocidad media y la velocidad instantanea?

13. Si el cuentakilometros de un coche marca una velocidad maxima de 240 km/h, puedesconcluir con este dato que el coche tiene una alta aceleracion?. Razona la respuesta.

14. Que aceleracion es mayor, la de un leopardo que pasa de su posicion de reposo a unavelocidad de 30 m/s en 9 segundos, o la de un coche que tarda 8 segundos en alcanzar los100 km/h?

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3.12. Ejercicios finales

1. Un caracol se desplaza 5 mm cada segundo sin altibajos. Calcula la distancia recorridapor del caracol en media hora cual sera su velocidad media? y su velocidad instantanea?

2. Representar las graficas espacio-tiempo y velocidad-tiempo para un carro que se des-plaza en tres etapas:

a) Durante 3 h recorre 210 Km con movimiento rectilneo uniforme (MRU)

b) Durante 1 h hace una parada para comer

c) Recorre 100 Km con MRU a la velocidad de 20 m/s

3. Dos ciclistas, separados por una distancia recta de 500 m, salen al mismo tiempo ensentidos contrarios, uno al encuentro del otro, con velocidades constantes de 12 (m/s) y8 (m/s) respectivamente:

a) Calcular el punto en que se encuentranb) Hallar el tiempo que tardan en chocar

c) Representar en la misma grafica el diagrama posicion-tiempo de los dos movimien-tos.

(Hay que considerar correctamente un punto de referencia; con respecto a este punto hayque tener en cuenta el signo positivo o negativo de la velocidad en cada caso).

4. La representacion grafica del movimiento de un cuerpo es la que aparece en la figura 3.6.Contesta las siguientes cuestiones:


a) Que tipo de movimiento ha tenido en cada tramo?. Razona la respuesta.

b) Cual ha sido la velocidad en cada tramo?

c) Que distancia ha recorrido al cabo de los 10 segundos?.

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d) Cual ha sido el desplazamiento del movil?

5. La representacion grafica del movimiento de un cuerpo viene dada por la figura 3.7. Res-ponde las siguientes preguntas:


a) Que tipo de movimientos ha realizado el movil que estudiamos?

b) Cual ha sido la aceleracion en cada tramo?

c) Que distancia ha recorrido el movil al final de su viaje?

6. Dejamos caer una pelota desde nuestra terraza. Sabiendo que la altura al suelo es de 15m, calcula:

a) Con que velocidad llegara al suelo?

b) Cuanto tiempo tardara en efectuar el recorrido?

c) Suponiendo que no existiera ningun tipo de rozamiento, hasta que altura volvera asubir?

d) Como sera la representacion grafica de la posicion frente al tiempo y de la velocidadfrente al tiempo a lo largo de toda la trayectoria?

e) Dibuja la grafica de la aceleracion frente al tiempo en todo el movimiento.

7. Un avion caza, partiendo del reposo, acelera a razon de 10 (m/s2) mientras recorre la pista

de despegue y empieza a ascender cuando su velocidad es de 360 Km/h.

a) Cuantos metros de pista ha recorrido?

b) Que tiempo ha empleado?

8. Un tren reduce su velocidad desde 15 (m/s) hasta 7 (m/s), con una aceleracion constante,recorriendo entretanto una distancia de 90 m. Calcular:

a) la aceleracion con que frena,

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b) la distancia que recorrera hasta detenerse, si mantiene constante la aceleracion ad-quirida.

Resultado

a) 0,98 (m/s2

)b) 25 m

9. Un automovil se desplaza a 45 (km/h) y disminuye uniformemente su rapidez hasta 15(km/h) en 10 s. Calcular:

a) la aceleracion,

b) la distancia recorrida en los 10 s,

c) el tiempo que tardara en detenerse, si continua con la misma aceleracion,

d) la distancia que recorre hasta detenerse, contando desde que se mova a 15 Km/h

Resultado

a) 0,83 (m/s2)b) 83,5 m

c) 5 s

d) 10,6 m

10. Desde lo alto de un edificio se deja caer una piedra y se observa que tarda 4 s en llegar alsuelo. Determinar:

a) la altura del edificio,

b) la rapidez con que llega al suelo.

Resultado

a) 78,4 m

b) 39,2 (m/s)

11. Se lanza verticalmente hacia abajo desde cierta altura una piedra, con la rapidez inicial

de 6 m/s y tarda 2 s en llegar al suelo. Calcular:

a) la altura desde la cual fue lanzada.

b) la rapidez con que llega al suelo,

c) el espacio que recorrera al cabo de uno y dos segundos.

Resultado

a) 31,6 m

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b) 25,6 (m/s)

c) 10,9 m y 20,7 m

12. Un tanque dispara verticalmente hacia arriba (suponiendo que pueda hacerlo) un proyectilcon velocidad inicial de 500 (m/s). Determinar:

a) la altura maxima que alcanzara,

b) el tiempo que empleara en ello,

c) la velocidad que tiene a los 10 s,

d) la posicion en que se encontrara cuando su velocidad sea de 300 (m/s).

Resultado

a) 12755 m

b) 51 sc) 402 (m/s)

d) 8163,3 m

13. Desde el borde de un pozo se deja caer una piedra. Si el sonido del choque de la piedracon el fondo se oye 5 segundos despues de haberla dejado caer y la rapidez del sonido enel aire es de 340 m/s, calcula la altura del pozo.

Resultado

animo valiente!!

(pista: hay que considerar dos tramos con diferente movimiento)(otra pista: un tramo podra ser el de bajada hasta chapotear; el otro el del sonido ensubir)

(y ya no hay mas pistas)

14. Un ciclista parte del reposo en un velodromo circular de 50 m de radio y va moviendosecon movimiento uniformemente acelerado, hasta que, a los 50 s de iniciada su marcha,alcanza una rapidez de 36 km/h; desde este momento conserva su rapidez. Calcula:

a) el modulo de la aceleracion tangencial y de la aceleracion angular en la primera etapadel movimiento

b) el modulo de la aceleracion normal y de la aceleracion total en el momento de cum-plirse los 50 s.

c) la longitud de pista recorrida en los 50 s.

d) la velocidad tangencial media y la velocidad angular media en la primera etapa delmovimiento.

e) el tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista, con rapidez constante.

f) el numero de vueltas que da en 10 minutos, contados desde que inici o el movimiento.

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Resultado

a) at = 0,2 m/s2 a = 0,004 rad/s2

b) an = 2 m/s2 a = 2,01 m/s2

c) Ds = 250 m

d) vm = 5 m/s wm = 0,1 rad/s

e) t = 31,4 s

f) 18,31 vueltas

15. Un punto material describe una circunferencia de 2 m de radio con aceleraci on a cons-tante. En el punto A la velocidad es de 0,5 m/s y transcurridos dos segundos la velocidaden b es 0,75 m/s. Calcula el modulo de la aceleracion tangencial, normal y total en elpunto A. Resultado

at = 0,125 m/s2

an = 0,125 m/s2

a = 0,18 m/s2

16. Desde un acantilado de 40 metros de altura se lanza horizontalmente un cuerpo con unavelocidad de 20 m/s. Responde:

a) Donde se encuentra el cuerpo 2 segundos despues?

b) Que velocidad tiene en ese instante?

c) Cuanto tiempo tarda en llegar a la superficie?

d) Con que velocidad llega al agua?e) Que distancia horizontal maxima recorre?

f) Ecuacion cartesiana de la trayectoria

Resultado

a) x = 40 m y = 20,4 m

b) v = 28 m/s = 44,42c) t = 2,85 s

d) v = 34,35 m/s = 54,39

e) x = 57 m

f) y = 40 4,9(x/20)2

17. Un avion vuela a 800 m de altura y deja caer una bomba 1000 m antes de sobrevolar elobjetivo, haciendo blanco en el. Que rapidez tiene el avion?

Resultado

v0 = 78,26 m/s =282 km/h

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18. Dos pilotos de la RAF, se encuentran a 2000 m de altura pilotando un bombardero a 650km/h. A una distancia de 16 km (medida en el eje horizontal) se ve una nube de polvoproducida por un camion. El avion detecta que la rapidez del camion es de 120 km/h.

a) A que distancia del camion (medida en el eje x) y sin bajar debe soltar la bomba

para dar en el blanco?b) Que tiempo transcurre desde que ven al camion hasta que la bomba lo alcanza ?

c) A que distancia del camion tiene que soltar la bomba para hacer blanco?

19. Manuel pretende encestar una canasta de tres puntos. Para ello lanza la pelota desde unadistancia de 6,5 m y a una altura de 1,9 m del suelo. Si la canasta esta situada a unaaltura de 2,5 m, con que rapidez debe realizar el tiro si lo hace con un angulo de elevacionde 30 ?

Resultado

v0 = 9,34 m/s

20. Un bombero desea apagar el fuego en un edificio. Para ello debera introducir agua por unaventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 metro del suelo, apuntandolabajo un angulo de 60 hacia la fachada (que dista 15 m), con que rapidez debe salir elagua?

Resultado

v0 = 16 m/s

21. Un canon dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s y un angulo de elevacion de30. Utilizando g = 10 m/s2, determina:

a) La posicion y la velocidad del proyectil a los 5 segundos

b) En que instante el proyectil alcanza el punto mas alto de la trayectoria?. Halla laaltitud de ese punto.

c) En que instante el proyectil se encuentra a 1000 m de altura y que velocidad tieneen ese instante?

d) El alcance del proyectil

e) Con que velocidad llega a la horizontal del punto de lanzamiento?

f) La ecuacion cartesiana de la trayectoria que sigue el proyectil.

Resultado

a) x = 1732 m y = 875 m v = 377 m/s a = 23,4

b) t = 20 s y = 2000 m

c) t1 = 5,86 s t2 = 34,14 s para t1 , v = 374 m/s

d) 8000

3 m

e) v = 400 m/s , = 30

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f) y = tan(30)x 5(x/346)2

22. Desde el borde de un acantilado de 85 m se dispara un proyectil con una velocidad inicialde 150 m/s y un angulo de elevacion de 30. Calcula:

a) la distancia horizontal desde el canon al punto donde el proyectil pega en el suelob) la maxima elevacion que alcanza el proyectil respecto del suelo

Resultado

a) alcance = 2125 m

b) altura maxima = 372 m

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