Fisica Atómica y Molecular en la Medicina (Formulas & Ejercicios)

Fisica Atómica y Molecularen la Medicina

(Formulas & Ejercicios)

Comprender como se comportan los sistemas de moléculas y como estas se constituyen sobre la base de la estructura de los átomos.

Objetivos:

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Dr. Willy H. GerberInstituto de Fisica

Universidad AustralValdivia, Chile

Gas - Energía de translación de una partícula

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Masa de la partícula [kg]Velocidad (vector) y sus componentes [m/s]Promedio de la velocidad al cuadrado de las partículasPromedio de la Energía cinética [J = kg m2/s2]Densidad de partículas [#/m3 o Mol/m3](1 Mol = 6.02x1023 Partículas = NA – Numero de Avogadro)

Gas - Momento transmitido a una pared


Momento (vector) y sus componentes [kg m/s]

Pared

Gas - Flujo de partículas hacia la pared


En un tiempo la mitad (1/2) de las partículas que estánen un volumen de base y altura alcanzaran la pared (flujo):

Gas – Presión calculada microscópicamente


El impulso promedio ejercida en el tiempo Δt sobre una sección A de la pared será:

Como: y

La presión sobre la pared será:

Presión [Pa = N/m2]Numero de partículas [-]Volumen [m3]

Gas – relación con la temperatura


Numero de moles [mol]Constante universal de gases(8.314 J mol-1K-1)Temperatura absoluta [°K]

De la termodinámica tenemos la ecuación de estado de los gases

Constante de Boltzmann(no confundir con constante de Stefan-Boltzmann)(1.38x10-23 m2 kg/s2 K)

Gas – generalización en función de grados de libertad


3 grados de libertad

5 grados de libertadej. H2, N2

Para grados de libertad:

6 grados de libertad

ej. H2O, CO2

Adicionalmente a mayores energías existen grados de libertad asociados a las vibraciones de los enlaces (2 x enlace).

Gas – Calor especifico de gases


Para gases bajo condiciones de volumen constante se tiene que por mol:

o sea

Ejemplo para moléculas di-atómicas

f = 3

f = 5

f = 7

traslación

rotación

vibración7R/2

5R/2

3R/2

101 102 103 104

Gas - Camino libre


Camino libre [m] sin movimiento de las partículas

Gas - Camino libre


Camino libre [m] con movimiento de partículas

d

πd2

Gas - Viscosidad


Transmisión de impulso

Gas – Conductividad térmica


Transmisión de impulso

Interacción entre partículas – Ecuación de van der Waals


Ecuación de van der Waals y el cambio de estado


Liquido/solido (efecto a y b clave)

Gas (efecto a y b despreciable)

Cambio “sin sentido”

El espectro atómico

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Espectro de absorción

Espectro de emisión

Líneas espectrales

Largo de onda [m]Frecuencia [Hz]Velocidad de la luz [m/s](3.00x108 m/s)Energia de un foton [J]Constante de Planck [Js](6.63x10-34 Js)

Electrón en un átomo o molécula


La energía del orbital es calculada con la ecuación de Bohr que modela el átomo como un sistema de electrones rotando en torno a un núcleo.

Energía en el orbital n [J o eV; 1 eV = 1.6x10-19 J]Carga del electrón (1.6x10-19 C)Masa del electrón (9.11x10-31 kg)Constante de Planck (6.63x10-34 Js)Constante de Campo (8.85x10-12 C2/Nm2)Numero cuántico principal

Niels Bohr(1885-1962)

Aun que el modelo es incorrecto, entrega valores que concuerdan con los medidos para el átomo de hidrogeno. Para los demás átomos y moléculas existen correcciones.

Bohr describe los restantes números cuánticoscomo deformaciones de la orbita.

Constante deRydberg (caso Hes 13.6 eV)

Electrón en un átomo o molécula


Para describir un átomo con los paquetes de onda se observa algo curioso: existen solo algunas orbitas posibles para los electrones. Esto se debe a que las funciones deben ser cíclicas (postulado de De Broglie):

Hoy lo entendemos pero cuando se realizaron los modelos iníciales simplemente seenuncio que el electrón se movía (partícula) en orbitas bien definidas y que las demás orbitas están prohibidas.

Relación de incertidumbre de Heisenberg


El paquete de ondas esta compuesto de distintas ondas con un impuso quevarían en Δp en tormo de un valor medio.

El modelo de función de onda resulta en dos inecuacionesde incerteza en la medición de posición, impulso, energía y tiempo.

Esta insertes es propia de los sistemas y no puede ser eliminada con equipos de mayor precisión.

Werner Heisenberg(1901-1976)

MRI


También en la moléculas existe el efecto Zeeman. En base a este se puededeterminar el tipo de moléculas y la cantidad en una muestra

Decaimientoespontaneo

Cambioforzado

Constante de Planck(1.054x10-34 Js) [Js]Radio giro magnético(1.76x10-11 1/Ts) [1/Ts]Campo magnético [T]

Ejercicios

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1. Si la presión del aire es de 101.2 kPa donde el 80% de los moles corresponde a Nitrógeno y el 20% a Oxigeno, cuantos moles hay de cada gas a 20°C? (33.218 mol/m3, 8.300 mol/m3)

2. Que presión (parcial) genera cada uno de los gases? (80.96 kPa, 20.24 kPa)3. Que densidad tiene el aire si el peso del Nitrógeno es 14 g/mol y del Oxigeno es

16 g/mol? Recuerde que en el gas ambos elementos existen en forma de moléculas N2 y O2?. (1.200 kg/m3)

4. Cual es la energía de una molécula de N2 y O2 si se asume que a 20C tienen 5 grados de libertad? (1.01x10-23 J, 1.01x10-23 J)

5. Cual es la velocidad promedio de una molécula de N2 y una de O2? (659.46 m/s, 616.87 m/s)

6. Cual es el camino libre de cada una molécula de aire si se supone que los radios del nitrógeno y oxigeno son iguales a 1.54x10-10 m y el numero de moles es el del aire calculado en 1? Indique además el camino libre en función del radio de la molécula. (9.49x10-8 m, 616.37)

7. Si se asume una masa y velocidad promedio de las moléculas N2 y O2 como 4.78x10-26 kg y 650.9 m/s , cual seria la viscosidad del aire? (2.463x10-5 Pa s)

8. Que valor asume para los parámetros definidos en 7 la constante de conducción térmica? 1.799x10-2 J/m2 s)

9. Cual es el valor del factor constante en la formula para el calculo de la energía de los orbitales de un átomo? (13.6 eV)

Ejercicios


10. Cual es la energía de los primeros orbitales según el modelo de Bohr?(-13.6 eV, -3.4 eV, -1.511eV)

11. Cual es la energía que debe emitir como luz un electrón que salta del tercer al primer nivel? (12.09 eV)

12. A que frecuencia de luz corresponde el fotón emitido para la energía liberada según el ejercicio 11? (2.91x10+15 Hz)

13. A cual largo de onda corresponde un fotón que es emitido desde el primer orbital? (9.17x10-8 m)

14. Según De Broglie a que radio del orbital correspondería el largo de onda calculado en 13? (1.46x10-8 m)

15. Si se toma el radio calculado en 14 como la incerteza de la posición del electrón en el átomo, cual seria la incerteza del impulso y de la velocidad según la relación de incertidumbre de Heisenberg? (3.62x10-27 kg m/s, 3.97x103 m/s)

16. En el caso de la segunda relación de Heisenberg el ancho de la línea espectral (ΔE) es una medida del tiempo que puede permanecer en dicho estado. Si se determinara que el ancho de la línea es de 10-20 eV, cuanto tiempo en promedio se queda el electrón en este estado? (3.31x104 s)

17. Si en un equipo de resonancia magnética nuclear se aplica un campo magnético de 1 Teslar y se generan emisiones de fotones por efecto de saltos entre los niveles del split (división) en el espectro, que frecuencia tendrían? (5.6x1010 Hz)

Ejercicios


18. ¿En un gas a temperatura 15.93 [C] las moléculas tienen 5 grados de libertad. Si la masa de un mol es de 31.79 [g/mol] cuál es la velocidad promedio? (614.59 [m/s])

19. ¿Si el gas del ejercicio 18 tiene un radio de 1.52x10-10 [m] y una densidad de 1.022 [kg/m3], cual es el camino libre? (1.26x10-7 [m])

20. ¿Cuál sería el primer largo de onda de De Broglie para un radio de R=4.23x10-9 [m]? (2.66x10-8 [m])

21. ¿A qué energía corresponde el largo de onda calculado en el ejercicio anterior? (47.07 [eV])

22. ¿Cuál es la velocidad en el impulso para un electrón en un orbital de radio 4.23x10-9 [m] si la masa de este es 9.11x10-31 [kg]? (1.369x10+4 [m/s])

23. ¿Si un electrón salta de un orbital con -0.39 [eV] a uno con -12.18 [eV], cual es la frecuencia de la luz emitida? (2.83x10+15 [Hz])

Resultados


1. p=101.2 kPa =1.012x105 Pa => pV=nRT => n/V=pV/RT,T=20°C+273.15=293.15°K => n=41.52 mol/m3

N2: 80% => 0.8*41.52 mol/m3 = 33.218 mol/m3

O2: 20% => 0.2*41.52 mol/m3 = 8.3 mol/m3

2. p=101.2 kPa =1.012x105 Pa => N2: 80% => 0.8*101.2 kPa = 80.96 kPa, O2: 20% => 0.2*101.2 kPa = 20.24 kPa

3. N2: 14 g/mol=0.014 kg/mol=> 33.218 mol/m3 0.014 kg/mol = 0.93 kg/m3

O2: 16 g/mol=0.016 kg/mol => 8.3 mol/m3 0.016 kg/mol = 0.266 kg/m3

Densidad total = 0.93 kg/m3+0.266 kg/m3=1.200 kg/m3

4. E=fkT/2 =>T=20°C+273.15=293.15°K, f=5=>E=1.01x10-20 J en ambos casos.5. mv2/2=fkT/2=>v=√fkT/m

N2: 14 g/mol=0.014 kg/mol=> 33.218 mol/m3 6.02x10-231/mol=4.65x10-26 kgO2: 16 g/mol=0.016 kg/mol => 8.3 mol/m3 6.02x10-231/mol=5.32x10-26 kgN2: 659.46 m/s O2: 616.87 m/s

6. L=1/√2 πd2 n => r=1.54x10-10 m, n=41.52 mol/m3=>L=9.49x10-8 m, L/r=616.377. η=1/3 nml√<v2> =>m=4.78x10-26 kg, √<v2>=650.9 m/s=> η = 2.463x10-5 Pa s8. λ=1/6 fknl√<v2>=>f=5, n=41.52 mol/m3 ,√<v2>=650.9 m/s=>λ= 1.799x10-2J/m2s9. R=e4 m/8ε0

2h2=2.17x10-18J=13.6 eV10. R/12=-13.6 eV, R/22=-3.4 eV, R/32=-1.511eV11. dE=E3-E1=-1.511eV-(-13.6eV)=12.09eV

Resultados


12. E=hν=>ν=E/h => E=12.09eV=1.927x10-18 J=>ν=2.91x10+15 Hz13. c=λν=>λ=c/ν= 9.17x10-8 m14. 2πr=n λ, n=1=>r= λ/2π=1.46x10-8 m15. r=Δx=>Δp=h/2 Δx =>Δp=3.62x10-27 kg m/s , Δp=mΔv => m=9.11x10-31kg

Δv=Δp/m= 3.97x103 m/s16. ΔE=10-20 eV=1.59x10-39 J=>Δt=h/2 ΔE=3.31x104 s17. ΔE=hγB=>ν=E/h=2ΔE/h=>5.6x1010 Hz18. v=sqrt(5*1.38x10-23*6.02x10+23*(t+273.15)/M)=>6.15x10+2 m/s19. l=M/(17.77*r*r*rho*6.02x10+23)=>1.26x10-7 m20. d=2*3.1415*R=>2.66x10-8 m21. E=(1.989x10-25)/(d*1.59x10-19)=> 47.07 eV22. dv=(1.06x10-34)/(2*R*m)=>1.369x10+4 m/s23. f=(E1*2.40x10+14)-(E2*2.40x10+14)=>2.83x10+15 Hz

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