Finanza Valor Del Dinero en Eltiempo Alumnos

7/28/2019 Finanza Valor Del Dinero en Eltiempo Alumnos

1/27

1

FINANZAS

ELVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

CAPITULO VIII

INTERES COMPUESTOEn el inters compuesto, el inters se acumula peridicamente al capital para constituir unnuevo capital, osea que los intereses tambin ganan intereses.

Supongamos el siguiente ejemplo:

Cul ser el monto despus de 4 aos de un depsito de S/. 10 000 colocado al 1% anualcapitalizndose anualmente?.

n A I = Ani F=A+I

1

234

10,000

10,10010,20110,303

10 000 x 1 x 0,01 = 100

10 100 x 1 x 0,01 = 10110 201 x 1 x 0,01 = 10210 303 x 1 x 0,01 = 103

10,100

10,20110,30310,406

Total de Inters 406

Si en el ejemplo anterior empleamos la siguiente notacin literal:

A = capital, valor actualn = tiempo, nmero de perodosT = tanto por cientoi = T/100 tanto por uno.I = intersF = monto, valor futuro.

Y reemplazamos en el cuadro de clculo de inters compuesto estos elementos literales,tenemos:

n A I = Ani F=A+I

1234

AA (1+i)A (1+i)2

A (1+i)3

AiA (1+i)iA (1+i)2iA (1+i)3i

A+Ai = A (1+i)A (1+i) + A (1+i) i = [ A (1+i) ] (1+i) = A (1+i)2

A (1+i)2 + A (1+i)2i = [ A (1+i)2] (1+i) = A (1+i)3A (1+i)3 + A (1+i)3i = [ A (1+i)3] (1+i) = A (1+i)4

Luego:F = A (1 + i) n (1)

*Factor Simple de Capitalizacin (FSC), Factor Futuro dado un Presente (F/P)

A F | | | 0 1 2 n


2/27

2

Por definicin:F = A + I (2)

1 (3)Despejando en (1) : A = F

( 1 + i ) n

*Factor Simple de Actualizacin (FSA), Facto Presenta dado un Futuro (P/F)

(Tambin se aplica para descuento compuesto racional, donde D = I)

A F | | | 0 1 2 n

De igual manera, aplicando logaritmos, podemos obtener:

log F - log An =

log (1+i)

log F - log Alog (1+i) =

n

Ejemplos:

Si el seor Juan deposita S/.5 400 en el Banco de Crdito ganando el 5% anual. Cul ser

el monto que debe cobrar despues de 12 aos, si se liquidan los intereses anualmente?.

Datos: A = S/. 5 400i = 5/100 = 0,05 anualn = 12 aosF = ?

Solucin: F = A (1+i)nF = 5 400 (1+0,05)12

F = S/. 9 697,62

Mediante log: Log F = log 5 400 + log (1+0,05) 12

Log F = log 5 400 + 12 log 1,05Log F = 3,73239 + 12 x 0,02119

Log F = 3,73239 + 0,25428

Log F = 3,98667Antilog 3,98667 = FF = S/. 9 697,62


3/27

3

Cul ser el monto despus de 5 aos de un depsito de S/. 50 000 colocado al 16% anualcapitalizndose anualmente?.

Datos: F = ?A = S/. 50 000i = 16/100= 0,16 anualn = 5 aos

Solucin: F = A (1+i)nF = 50 000 (1+0,16)5

F = S/. 105 017,08

Mediante log: Log F = log 50 000 + log (1+0,16) 5

Log F = log 50 000 + 5 log 1,16Log F = 4,69896 + 5 x 0,06446

Log F = 4,69896 + 0,32230

Log F = 5,02126Antilog 5,02126 = FF = S/. 105 017,08

En cunto se convertirn S/.918,54 al 4% anual de inters compuesto en 1 aocapitalizando los intereses por trimestres?. Determinar asimismo el inters que se gano.

Datos: A = S/. 918,54i = 4/100 = 0,04 anual i = 0,04/4 = 0,01 trimestraln = 4 trimestres

Solucin: F = A ( 1 + i )n

F = 918,54 ( 1 + 0,01 )4F = S/. 955,8

F = A + I955,8 = 918,54 + II = 955,8 - 918,54I = S/. 37,26

Cul ser el monto futuro de un depsito de S/.100 000 colocado al 6% anual de interscompuesto durante 8 aos?

Datos: F = ?A = S/. 100 000i = 6/100 = 0,06 anualn = 8 aos

Solucin: F = A (1+i)nF = 100 000 ( 1 + 0,06 )8F = 100 000 ( 1,593848 )F = 159 384,81


4/27

4

Qu suma hay que imponer en el da para obtener en 7 1/2 aos, el monto total de S/. 1 000000, la tasa de inters anual es de 8%, capitalizando los intereses trimestralmente.

Datos: A = ?F = S/. 1 000 000i = 8/100 = 0,08 anual i = 0,08/4 = 0,02 trimestraln = 7,5 aos n = 30 trimestres.

1Solucin: A = F

( 1 + i ) n

1A = 1'000 000

(1+0,02)30

A = S/. 552 070,89

Mediante log: Log A = log 1000 000 - log (1+0,02)30Log A = log 1000 000 - 30 log 1,02

Log A = 6 30 x 0,0086Log A = 6 0,258Log A = 5,742Antilog 5,742 = AA = S/. 552 070,89

Una suma prestada al 5% anual de inters compuesto se ha convertido en S/. 972, en 4aos. Cul fue la suma prestada ?

Datos: F = S/. 972i = 5/100 = 0,05 anualn = 4 aosA = ?

1Solucin: A = F

( 1 + i ) n

1A = 972

(1+0,05)4

A = S/. 799,7

En cuantos aos una suma de S/. 834 prestada al 8% anual de inters compuesto seconvertir en S/. 1 323,46?

Datos: n = ?A = S/. 834F = S/. 1 323,46i = 8/100 = 0,08 anual

Solucin: log F log An =


5/27

5

log (1+i)

log 1 323,46 - log 834n =

log (1 + 0,08)

3,12171 - 2,92117n =

0,03342

0,20054n =

0,03342

n = 6 aos

Una suma prestada de S/.600 al 3% anual de inters compuesto se ha convertido en S/. 695,56 Cuntos aos estuvo prestada?

Datos: n = ?

F = S/. 695,56A = S/. 600i = 3/100 = 0,03 anual

Solucin: log F - log An =

log (1 + i)

log 695,56 - log 600n =

log 1,03

2,84234 - 2,77815n =

0,01284

0,06419n =

0,01284

n = 5 aos

Una suma de S/. 700 prestada a inters compuesto durante 5 aos se ha convertido en S/.

851,65.A qu tanto por ciento se prest?

Datos : A = S/. 700F = S/. 851,65n = 5 aosi = ?T = ?

Solucin: F = A (1+i)n851,65 = 700 ( 1 + i)5

1,2166 = ( 1 + i)5


6/27

6

5 ______ 1,2166 = ( 1 + i)

i = 0,04 anual i = T/100 T = i x 100T = 0,04 x 100T = 4 % anual

Mediante log: log (1 + i) = log F - log An

log (1 + i) = log 851,65 - log 7005

log (1 + i) = 2,93026 - 2,845105

log (1 + i) = 0,017032Antilog 0,017032 = (1 + i)1,03999 = (1+ i)i = 0,04 anuali = T/100T = i x 100T = 0,04 x 100T = 4% anual

8.1 TASA DE INTERES NOMINAL, TASA DE INTERES EFECTIVA Y TASAS DE INTERESEQUIVALENTES

En los problemas anteriores, relativos a inters compuesto, los clculos se han efectuadosobre la base de la tasa de inters nominal y la capitalizacin de los interesesanualmente, trimestralmente, mensualmente, etc. Sin embargo, es necesario anotar, queestos clculos tambin se pueden efectuar utilizando la tasa de inters efectiva.

Consideremos un capital de S/. 10 000 colocados a inters compuesto del 16% anual ycuyos intereses se capitalizan semestralmmente. As tendremos:

n A I = Ani F=A+I

12

10 00010 800

10 000 x 0,08 = 80010 800 x 0,08 = 864

10 80011 664

Total de inters 1664

De este cuadro, deducimos que, el capital inicial de S/. 10 000 con una tasa nominaldel 16% anual ha producido un inters de S/. 1 664 durante el ao.

T = 16% anual ====> i = 0,16 anual i = 0,16/2 semestral

Si utilizamos la operacin Regla de Tres, tendremos la tasa efectiva, a la que estuvocolocado el capital de S/. 10 000.

S/. 10 000 ----- 100%S/. 1 664 ------ T

T = 16,64% annual ====> j = 0,1664 anual


7/27

7

FORMULA

Para el caso usaremos:

i = tasa nominal del perodo de capitalizacin en tanto por uno.j = tasa efectiva anual en tanto por uno.n = nmero de periodos en el ao.

Considerando el ejemplo anterior, observamos que la tasa efectiva y la tasa nominalproducen durante un ao el mismo inters, es decir son tasas equivalentes. Aplicandola frmula de interes compuesto:

F = A (1 + i ) n

Tendremos: 10 000 ( 1 + 0,1664 ) = 10 000 ( 1 + 0,16 ) 22

( 1 + 0,1664 ) = ( 1 + 0,16 ) 22

Reemplazando por sus acepciones literales:

1 + j = ( 1 + i ) n

En general:

i = nj + 1 - 1

j = ( 1 + i ) n - 1

Las empresas financieras, con el fin de captar mayor dinero publicitariamente anuncian latasa efectiva con nmeros grandes.

Si bien es cierto la tasa nominal es equivalente a la tasa efectiva, est ltima esnumricamente mayor.

Para resolver los problemas de tasa efectiva, tomar siempre como base la magnitud detiempo de esta, es decir si la tasa efectiva es mensual, las dems variables tambiendeben estar en meses.

Ejemplos:

Cul es el monto producido por un capital de S/. 1 000 000 durante 10 aos y ala tasa de inters del 55% anual capitalizado mensualmente?. Calcular asimismo la tasaefectiva anual y nuevamente el monto en base a sta.

a) Clculo del monto en base a la tasa nominal anual

F = A ( 1 + i )n F = 1 000 000 (1+ 0,55)120

12F = S/. 216 519 777,50

b) Clculo de la tasa efectiva anual

j = ( 1 + i ) n - 1


8/27

8

j = ( 1 + 0,55 ) 12 - 112

j = 0,71218133Tasa efectiva anual 71,22 %

c) Clculo del monto futuro en base a la tasa efectiva anual

10F = A ( 1 + j )n = 1 000 000 ( 1 + 0,7121813 )F = S/. 216 519 777,50

Cul es la tasa efectiva anual, si el Banco Continental anuncia una tasa de intersdel 60% anual capitalizable diariamente?

360

j = ( 1 + i ) n -1 j = ( 1 + 0,60 ) - 1360

j = 0,8212085

Tasa efectiva anual 82,12 %

Cul es la tasa efectiva en 419 das que anuncia la Mutual de Piura, cuya tasanominal es del 60% anual capitalizable diariamente ?

419

j = ( 1 + i )n -1 j = ( 1 + 0,60 ) - 1360

j = 1,0092

Tasa efectiva en 419 das 101 %

Hallar el nmero de periodos de capitalizacin diaria, si la tasa nominal es del 60%

anual y la tasa efectiva de 82,12% anual ?

j = ( 1 + i )n -1

0,8212 = ( 1 + 0,60 )n -1360

Si: n = 3600,8212 = 0,8212

Luego n = 360 das

Para obtener los periodos de capitalizacin se calcular por tanteo.

Determinar el monto que producir un capital de S/. 10 000 colocado en el BancoContinental a una Tasa Efectiva Mensual-TEM del 3% durante 225 das.

Datos:F = ? n = 225/30 = 7,5 meses

A = 10 000 i = 3/100 = 0,03 mensual

T = 3% mensual


9/27

9

Solucin: F = A ( 1 + i ) n

F = 10 000 (1+ 0,03) 7,5

F = S/ 12 481,86

Porqu monto tendr que aceptarse un pagar con vencimiento a 45 das, necesitndosedisponer de S/. 5 000, en las operaciones de descuento el Banco de Crdito cobra una TasaEfectiva Anual-TEA del 20%.

Datos:F = ? n = 45/360 aos

A = 5 000 i = 20/100 anual

T = 20% anual

Solucin: F = A ( 1 + i ) n

F = 5 000 (1+20/100) 45/360

F = 5 115,26

8.2 TASAS DE INTERES PASIVAS Y TASAS DE INTERES ACTIVAS

El negocio bancario consiste en captar y colocar dinero.

TASAS PASIVAS.- Son aquellas que paga el Banco por captar dinero.

La captacin provoca operaciones pasivas (depsitos) por ello se habla de tasas pasivas. Lacaptacin genera un costo para la Banca y ganancia para el ahorrista.

TASAS ACTIVAS.- Son aquellas que gana el Banco por colocar dinero.

La colocacin provoca operaciones activas (crditos) por ello se habla de tasas activas. Lacolocacin genera un rendimiento para la banca y costo para el prestatario. Enconsecuencia, en el negocio bancario, el rendimiento debe ser mayor que el costo.

CAPTACION COLOCACIONBANCO

Operaciones Pasivas Operaciones ActivasTasas Pasivas Tasas Activas

Tasa de Rendimiento mayor que Costo de CapitalTR > CC

Podemos hablar asimismo de:

Tasas de inters pasivas: Nominales y Efectivas Tasas de inters activas: Nominales y Efectivas

En el siguiente Cuadro se ha realizado el clculo de la tasa nominal y tasa efectiva que sepagar por cada una de las operaciones pasivas que se dan en el sistema financiero:

Tasa de Inters Pasiva: Nominal y Efectiva


10/27

10

OPERACIONESPASIVAS

TASANOMINAL

ANUAL

i = nj + 1 - 1

FRECUENCIADE

CAPITALIZACION

n

TASAEFECTIVAANUAL

j = ( 1 + i ) n - 1

a) Depsito de ahorro 46,64% Mensual 58,02%b) Celulas hipotecarias

de ahorro47,65% Mensual 59,57%

c) Depsito a plazo de180 das a ms das

56,78% Diaria 76,36%

d) Bono bancarioprivado

58,80% Diaria 79,96%


11/27

11

CAPITULO VIII

INTERES COMPUESTOPROBLEMAS PROPUESTOS

1. En cuanto se trasforman S/.100 colocados al 5% anual de inters compuesto, siendo lacapitalizacin semestral y al cabo de 1 ao.

2. Qu capital fue colocado a la tasa del 12% anual de inters compuesto, durante 10 aos,capitalizndose los intereses trimestralmente habiendo producido un monto de S/.200000.

3. Hallar la tasa anual de inters compuesto a que han sido colocados S/. 60 000; los cualesal trmino de 9 aos hacen un monto de S/. 150 000, habindose capitalizado losintereses mensualmente.

4. Encontrar el tiempo en el que S/. 1 500 se convertirn en S/. 2 500 al 3% anual,capitalizndose los intereses semestralmente.

5. A cunto ascender un capital de S/. 10 000 impuesto al 5% anual de interscompuesto, siendo la capitalizacin anual y durante 14 aos?.

6. Porqu monto tendr que aceptarse un pagar con vencimiento a 45 das, necesitndosedisponer de S/. 5000, en las operaciones de descuento el Banco Interbank cobra unaTasa Efectiva Anual-TEA del 10%.

7. Calcular la tasa de inters nominal o la tasa de inters efectiva faltante del siguienteCuadro:

OPERACIONESPASIVAS

TASANOMINAL

ANUAL

i = nj + 1 - 1

FRECUENCIADE

CAPITALIZACION

n

TASAEFECTIVAANUAL

j = ( 1 + i ) n - 1

a) Depsito de ahorro 15% Mensualb) Celulas hipotecarias

de ahorroTrimestral 28%

c) Depsito a plazo de180 das a ms das

18% Diaria

d) Bono bancarioprivado

Bimestral 25%

8. Hallar el valor futuro de S/. 1 000 al 4% anual de inters compuesto con capitalizacinmensual y al cabo de 3 1/2 aos.

9. Se impone S/. 10 000 al 2 1/2 % anual de inters compuesto con capitalizacin semestraldurante 5 aos, al cabo de los cuales y por los siguientes 8 aos la tasa varia al 3%, concapitalizacin tambin semestral. Hallar el monto total a que da origen la presenteoperacin.

10. Hallar el monto que originar un capital de S/.10 000 al 4,5% anual, con capitalizacintrimestral y al cabo de 6 aos.


12/27

12

XII

ANUALIDADES, CAPITALIZACION O FONDO DE AMORTIZACION AINTERES COMPUESTO

Consiste en el abono periodico de cuotas: trimestralmente, mensualmente, etc.; estas junto con

sus intereses correspondientes, pasan a engrosar el nuevo capital y as sucesivamente, eneste caso se esta operando a inters compuesto.

12.1 CALCULO DE LA CAPITALIZACION A INTERES COMPUESTO CON CUOTASADELANTADAS (imposiciones)

Sea el siguiente ejemplo:

Qu capital se formar con 4 cuotas anuales adelantadas de S/. 10 000 al 10% anualde inters compuesto?

Conocemos que F = A (1 +i)n entonces:

PERIODOS CAPITALIZACION

1234

10 000 (1+0,10)4 = 14 64110 000 (1+0,10)3 = 13 31010 000 (1+0,10)2 = 12 10010 000 (1+0,10) = 11 000

Capitalizacin a inters compuesto 51 051


13/27

13

Reemplazamos estos valores por la siguiente nomenclatura:

F = Capitalizacin a inters compuestoR = Renta o Cuotai = Tasa de inters en tanto por unon = Nmero de perodos


1234

R (1+i)nR (1+i)n-1R (1+i)n-2R (1+i)

En consecuencia el capital formado F ser:

F = R(1+i) + ... + R (1+i)n

Pero podemos observar que los trminos forman una progresin geomtrica, cuya frmulapara hallar la sumatoria es:

F = ur - ar - 1

Luego: F= R (1+i)n (1+i) - R (1+i)(1+i) - 1

F= R (1+i)n+1 - R (1+i)i

F= R (1+i) [(1+i)n -1]i

( 1 + i ) [ ( 1 + i ) n - 1 ]F = R

i

FR R R R | | | 0 1 2 n

iAsimismo: R = F

( 1 + i ) [ ( 1 + i ) n - 1 ]


14/27

14

FR R R R | | | 0 1 2 n

Ejemplo:

Resolver el problema anterior aplicando la frmula.

Datos : F = ?R = 10 000 anuali = 0,10 anualn = 4 aos

Solucin : F= R (1+i) [ (1+i)n -1 ]i

F = 10 000 (1+0,10) [(1+0,10)4-1]

0,10

F = 10 000 (1,10) (0,4641)0,10

F = 51 051

12.2 CALCULO DE LA CAPITALIZACION A INTERES COMPUESTO CON CUOTASVENCIDAS (ordinarias)

Sea el siguiente ejemplo:

Qu capital se formar con 4 cuotas anuales vencidas de S/. 10 000 al 10% anual deinters compuesto?

Conocemos que F = A (1+i)n entonces:


1234

10 000 (1+0,10)3 = 13 31010 000 (1+0,10)2 = 12 10010 000 (1+0,10) = 11 00010 000 = 10 000

Capitalizacin a inters compuesto 46 410

Representamos literalmente esta operacin:



15/27

15

1234

R (1+i)n -1R (1+i)n-2R (1+i)n-3R

En consecuencia el capital formado F ser:

F = R+ ...... + R (1+i)n-1

Pero observaremos que la suma de estos trminos forman una progresin geomtrica,cuya frmula es:

F = ur - ar-1

Luego: F = R (1+i)n-1 (1+i) - R(1+i) -1

F = R (1+i)n - Ri

( 1 + i )n - 1F = R

i*

Factor de Capitalizacin de la Serie (FCS), Factor Futuro dado un Pago Uniforme (F/R) Capitalizar una serie de pagos

FR R R R

| | | 0 1 2 n

iAsimismo: R = F

( 1 + i )n - 1

*

Factor del Fondo de Amortizacin (FFA), Factor de Pago Uniforme dado un Futuro (R/F)Convertir en serie un monto futuro

FR R R R

| | | 0 1 2 n

Ejemplos:


16/27

16

Resolver el problema anterior aplicando la frmula.

Datos : F = ?R = 10 000 anuali = 0,10 anualn = 4 aos

Solucin : F= R (1+i)n - 1

i

F = 10 000 (1+ 0,10)4 -10,10

F = 10 000 [(1,10) 4 - 1]0,10

F= 10,000 [0,4641]0,10

F = 46 410

Hallar el monto que se forma mediante el abono vencido mensual de 10 cuotas deS/. 1 000 cada una a la tasa de inters compuesto del 15% mensual.

Datos: F = ?R = 1 000 mensuali = 0,15 mensualn = 10 meses

Solucin: F= R (1+i)n -1i

F = 1 000 (1+0,15)10-10,15

F = 1 000 [(1,15) 10 - 1]0,15

F = 20 303,72

12.3TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION

El fondo de amortizacin o reserva, es el depsito de determinadas cantidades(generalmente iguales y peridicas) en cuentas que devengan intereses, con el fin deliquidar una deuda futura, esto se puede mostrar en detalle en la denominadaTabla delFondo de Amortizacin.

Ejemplo:

El Directorio de una empresa decide que se hagan reservas anuales iguales con elobjeto de pagar una deuda al momento de su vencimiento. Si el dinero del fondo sepuede invertir de manera que produzca el 36% anual de inters compuesto; cunto sedeber depositar al final de cada ao en el fondo para cancelar S/. 100 000 al cabo de 6


17/27

17

aos?, cual es el total de inters generado, y formular la tabla del fondo de amortizacin.

Datos: F = 100 000i = 0,36 anualn = 6 aosR = ?

iSolucin: R = F

( 1 + i )n - 1

0,36R = 100 000

( 1 + 0,36 )6 - 1

R = S/. 6 757,37

A = Rn A = 6 757,37 x 6 A = 40 544,20F = A + I I = F A I = 100 000 40 544,20 I = 59 455,80

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION

PERIODOVALOR DE INTERES

SOBREFONDO DE

SALDOCADA CUOTA EL SALDO AMORTIZACION

n R I = Saldoni R + I

1 6,757.37 6,757.37 6,757.37

2 6,757.37 2,432.65 9,190.02 15,947.39

3 6,757.37 5,741.06 12,498.43 28,445.81

4 6,757.37 10,240.49 16,997.86 45,443.67

5 6,757.37 16,359.72 23,117.09 68,560.76

6 6,757.37 24,681.87 31,439.24 100,000.0040,544.20 59,455.80 100,000.00

A = R n I F


18/27

18

CAPITULO XII

ANUALIDADES, CAPITALIZACION O FONDO DE AMORTIZACION AINTERES COMPUESTO

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Se desea obtener la suma de S/.200 000, imponiendo cuotas adelantadas

semestralmente durante 15 aos, con inters compuesto del 6% anual; averiguar cul esel valor de la cuota?

2. Encontrar el nmero de cuotas adelantadas necesarias, para constituir un capital deS/.160 000, abonados trimestralmente, por S/.3 000 cada una y al 5% de interscompuesto anual.

3. Durante 10 aos y trimestralmente, se entregan cuotas de S/. 8 000 cada una, al final decada trimestre, si la tasa de inters compuesto es del 1/2% mensual, averiguar el capitalque se forma.

4. Cierta persona deposita en un banco, a fin de cada mes, la suma de S/.100, cul ser la

suma a su favor a los 5 aos si suspendi los depsitos a los 40 meses; ganando eldinero el 2% de inters compuesto mensual?

5. Averiguar el nmero de cuotas quincenales vencidas que deben abonarse, para formarun capital de S/.1 000 000; siendo la tasa de inters compuesto del 10% anual y elimporte de cada cuota S/.800.

6. Despus de la entrega de 15 anualidades vencidas de S/.2 061,71 c/u, se haformado un capital de S/.50 000. Hallar la tasa anual de inters compuesto, a que fuconcertada la operacin.

7. Qu cantidad se acumular en un semestre si se depositarn S/. 100 000 al finalizarcada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente?.Formule asimismo la tabla del fondo de amortizacin.

8. Cul es la cuota vencida semestral depositada durante cuatro aos y medio , que generoun monto de S/. 32 170,69 en una cuenta bancaria que rinde 28 % anual de interscompuesto capitalizable semestralmente?.

9. Un trabajador deposita en una cuenta de ahorros S/. 50 al principio de cada mes. Si lacuenta paga 2.3% mensual de inters compuesto, cunto habr ahorrado durante elprimer ao?.

10. Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $ 40,000. Para asegurar elpago el Contador propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondomediante depsitos mensuales a una cuenta que paga el 30% anual convertiblemensualmente. Calcule el valor de los depsitos y formule la tabla del fondo deamortizacin.


19/27

19

CAPITULO XIV

ANUALIDADES Y AMORTIZACION A INTERES COMPUESTO

Cuando una deuda se cancela periodicamente mediante cuotas a inters compuesto, se diceque se est amortizando a inters compuesto.

Cada una de las cuotas canceladas se denominan cuotas de amortizacin.

Estas cuotas sern de cualquiera de los tipos estudiados en el Captulo de Capitalizacin.

14.1 CALCULO DEL CAPITAL A AMORTIZARCE MEDIANTE CUOTAS ADELANTADAS(imposiciones)

Se presenta que el capital a amortizarse ms sus intereses compuestos correspondientesdebe ser igual a la suma de las cuotas de amortizacin y sus intereses compuestoscapitalizados.

El capital por amortizarce ms sus interses compuestos.

F = A (1+i)n

La suma de cuotas de amortizacin y sus intereses correspondientes es la frmula decapitalizacin a inters compuesto con cuotas adelantadas.

F = R (1+i) [(1+i)n -1]i

Igualando por la condicin expuesta:

A (1+i)n = R (1+i) [(1+i)n -1]i

Despejando A:

A = R (1+i)[(1+i)n -1]( 1 + i )n i

A = R (1+i)[(1+i)n -1](1+i)-ni

( 1 + i ) [ 1 - ( 1 + i ) -n ]A = R

i


20/27

20

AR R R R | | | 0 1 2 n

iLuego: R = A

( 1 + i ) [ 1 - ( 1 + i ) -n ]

AR R R R | | | 0 1 2 n

Ejemplo:

Hallar el capital que se puede amortizar mediante la entrega de 50 cuotas anualesadelantadas de S/. 7 500 cada cuota y a la tasa de interes compuesto de 7,5% anual.

A = ?n = 50 anualidadesR = 7 500 anuali = 0,075 anual

A = R (1+i) [1 - (1+i)-n]i

A = 7 500 (1+0,075)[1-(1+0,075)-50

0,075

A = 104 609,42

14.2 CALCULO DEL CAPITAL A AMORTIZARCE MEDIANTE CUOTAS VENCIDAS(ordinarias)

El capital por amortizarce ms sus interses compuestos.

F = A (1+i)n

La suma de cuotas de amortizacin y sus intereses correspondientes es la frmula decapitalizacin a inters compuesto con cuotas vencidas.

F = R (1+i)n -1i

Igualando por la condicin expuesta:

A (1+i)n = R (1+i)n -1


21/27

21

i

Despejando A:A = R (1+i)n -1

(1+i)n i

A = R [(1+i)n -1](1+i)-n

i

1 - ( 1 + i )-nA = R

i*

Factor de Actualizacin de la Serie (FAS), Factor Actual dado un Pago Uniforme (A/R)Actualizar una serie de pagos

A R R R R | | | 0 1 2 n

iLuego: R = A

1 - ( 1 + i )-n*

Factor de Recuperacin del Capital (FRC), Factor de Pago Uniforme dado un Actual (R/A)Convertir en serie un monto actual

AR R R R

| | | 0 1 2 n

Ejemplos:

Hallar el capital que se puede amortizar mediante la entrega de 50 cuotas anualesvencidas de S/. 7 500 cada cuota y a la tasa de interes compuesto de 7,5% anual.Calcular asimismo cuanto es el total de inters a pagar y el valor futuro.

A = ?n = 50 anualidadesR = 7 500 anuali = 0,075 anual

1 - ( 1 + i )-nA = R

i


22/27

22

A = 7 500 1-(1+0,075)-500,075

A = 97 311

F = Rn F= 7 500 x 50 F = 375 000F = A + I I = F A I = 375 000 97 311 I = 277 689

14.3 TABLA DE AMORTIZACION

Como se sealo, la amortizacin se refiere a la extincin mediante pagos peridicos deuna deuda actual, esto se puede mostrar en detalle en la denominada tabla deamortizacin.

Ejemplos:

Plcido Carrasco contrae hoy una deuda de S/. 65 000 al 48% anual convertiblesemestralmente, que amortizar mediante 6 pagos semestrales iguales, el primero de los

cuales vence dentro de 6 meses. Calcular el valor de cada cuota y formular la tabla deamortizacin.

A = 65 000i = 0,48/2 = 0,24 semestraln = 6 semestresR = ?

iR = A

1 - ( 1 + i )-n

0,24R = 65 000

1 - ( 1 + 0,24 )-6

R = S/. 21 519,82


23/27

23

TABLA DE AMORTIZACION

PERODO

n

VALOR DECADA

CUOTAR

INTERSSOBRE EL

SALDOI = Saldo n i

AMORTIZACIN=

R I

SALDO=

Saldo anterioramortizacin

0

123456

21 519,8221 519,8221 519,8221 519,8221 519,8221 519,82

15 600,0014 179,2412 417,5010 232,957 524,104 165,13

5 919,827 340,589 102,32

11 286,8713 995,7217 354,69

65 000,00

59 080,1851 739,6042 637,2831 350,4117 354,69

0,00

TOTALES 129 118,92 64 118,92 65 000,00F = Rn I A

Se puede apreciar en la tabla lo siguiente:

El valor de cada cuota se calcula mediante la frmula respectiva y es igual a laamortizacin ms los intereses, R = 21 519,82.

El inters se calcula multiplicando el saldo por el tiempo por el tanto por uno, I = Saldo ni, Ej.: I = 65 000 x 1 x 0,24 = 15 600,00.

La amortizacin es igual al valor de cada cuota menos el inters, Amortizacin = R I,Ej.: Amortizacin = 21 519,82 15 600,00 = 5 919,82.

El saldo es igual al saldo anterior menos la amortizacin, Ej.: Saldo = 65 000,00 5 919,82 = 59 080,18..

Calcule el valor de los pagos y elabore la tabla de amortizacin para saldar un adeudode S/. 4 000 contratado al 42% anual convertible bimestralmente, si la deuda ha dequedar saldada al cabo de un ao, haciendo pagos bimestrales comenzando dentro dedos meses.

A = 4 000i = 0,42/6 = 0,07 bimestraln = 6 bimestresR = ?

iR = A

1 - ( 1 + i )-n

0,07R = 4 000

1 - ( 1 + 0,07 )-6

R = S/. 839,18


24/27

24

TABLA DE AMORTIZACION

PERODO

n

VALOR DECADA

CUOTAR

INTERSSOBRE EL

SALDOI = Saldo n i

AMORTIZACIN=

R I

SALDO=

Saldo anteriorAmortizacin

0

123456

839,18839,18839,10839,18839,18839,18

280,00240,86198,97154,16106,2154,90

559,18598,32640,21685,02732,97784,30

4 000.00

3 440,822 842,502 202,291 517,27

784,300,00

TOTALES 5 035,08 1 035,10 4 000,00F = Rn I A


25/27

25

CAPITULO XIV

AMORTIZACION A INTERES COMPUESTOPROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una refrigeradora se vende de acuerdo a los siguientes trminos: cuota inicial S/.5 000; y5 cuotas de S/.1 000 mensuales, comenzando los pagos al mes siguiente de la firma del

contrato. El inters es del 6% anual descapitalizando mensualmente. Cul ser el valoral contado del artefacto?. Formule la tabla de amortizacin.

2. El precio de una mquina de coser es S/.22 000 y la cuota inicial es de S/.2 000. Hallar elimporte de cada cuota, si el saldo debe cancelarse en 10 mensualidades vencidas; laoperacin ha sido concertada al 12% anual, capitalizando mensualmente.

3. Cierto banco presta la suma de S/.5 000, los cuales deben ser pagados mediante laentrega de 12 cuotas mensuales vencidas de S/.550 cada una. Hallar la tasa nominalcompuesta anual que cobra el banco.

4. Cunto se tiene que pagar al final de cada mes, por el prstamo que nos otorga el banco

para la compra de una vivienda, si el valor de sta es de U.S.$ 40 000, la tasa de interscompuesto anual es de 17% y el plazo del crdito es de 15 aos?. El banco financia el 75% del valor de la vivienda.

5. Cul es el monto mximo de deuda que un solicitante de crdito puede asumir, con uningreso mensual de U.S.$ 1 540 a la tasa de inters compuesto del 17% anual en 180meses. La cuota mensual vencida no debe ser mayor al 30% de los ingresos delsolicitante del crdito.

6. Cul es el valor en efectivo de una cuota de S/ 1 000 al final de cada tres meses durante5 aos, suponiendo un inters compuesto de 26% anual convertible trimestralmente?

7. Qu es ms conveniente para comprar un automvil:a) Pagar US$ 26 000 al contado ob) US$ 13 000 de inicial y US$ 1300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el

inters compuesto se calcula a razn de 42 % anual convertible mensualmente.

8. Una persona adquiere hoy a crdito una computadora. La computadora cuesta US$ 975 yconviene en pagarla con 4 mensualidades vencidas.Cunto tendr que pagar cada messi le cobran 3,5% mensual de inters compuesto?. Formular .la tabla de amortizacin.

9. Cuntos pagos de S/. 94,76 al final de mes tendra que hacer el comprador de unalavadora que cuesta S/. 850, si da S/. 350 de inicial y acuerda pagar 45,6% de interscompuesto anual capitalizable mensualmente sobre el saldo?. Formular la tabla deamortizacin.

10. Cuntos pagos bimestrales vencidos de S/. 145 se tendra que hacer para saldar unadeuda de S/. 800, si el primer pago se realiza dentro de dos meses y el inters compuestoes de 11% bimestral?


26/27

26

RESUMEN FACTORESFINANCIEROS

F = A (1 + i )n*

Factor Simple de Capitalizacin (FSC)Capitalizar un monto

A F | | | 0 1 2 n

1A = F

(1 + i)n

*Factor Simple de Actualizacin (FSA)Actualizar un monto

Tambin se aplica para descuento compuesto racional, donde D = I

A F | | | 0 1 2 n

Tasa efectiva j = (1 + i)n - 1

n

Tasa nominal i = j + 1 - 1

( 1 + i )n - 1F = R

i*

Factor de Capitalizacin de la serie (FCS)Capitalizar una serie de pagos

FR R R R

| | | 0 1 2 n

iR = F

( 1 + i )n - 1*Factor del Fondo de Amortizacin (FFA)

Convertir en serie un monto futuro

FR R R R

| | | 0 1 2 n


27/27

27

1 - ( 1 + i )-nA = R

i*Factor de Actualizacin de la Serie (FAS)

Actualizar una serie de pagos

AR R R R

| | | 0 1 2 n

iR = A

1 - ( 1 + i )-n*Factor de Recuperacin del Capital (FRC)

Convertir en serie un monto actual

AR R R R

| | | 0 1 2 n

Finanza Valor Del Dinero en Eltiempo Alumnos

Documents

Transcript of Finanza Valor Del Dinero en Eltiempo Alumnos