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EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I 29 de junio de 2009

UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM

1

PRIMER PARCIAL

CUESTIONES TIPO TEST NOTA: SÓLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA EN CADA CUESTIÓN

RESPUESTA CORRECTA: + 0,2 PUNTOS RESPUESTA INCORRECTA: -0,1 PUNTOS RESPUESTA EN BLANCO: 0 PUNTOS

1.- Sea ABC un triángulo esférico tal que A=80, B=100º, C=120º. Su superficie sobre una esfera de radio R vale:

X a) 22 R3π

b) 210 R6π

c) 34 R3π

2.- Sobre una esfera, la distancia esférica (medida en unidades de longitud) del vértice de un triángulo esférico a su lado opuesto está determinada por:

a) La longitud de la mediana esférica correspondiente a dicho lado. X b) La longitud de la altura esférica desde el vértice.

c) La longitud de la bisectriz del ángulo correspondiente al vértice. 3.- Sea p(x) = 1 - 2 x

2 + 3 x4 el polinomio de Taylor de orden 4

de una función f en x=0. Entonces: � a) f tiene un mínimo en x = 0. X b) f tiene un máximo en x = 0. � c) Ninguna de las dos anteriores. 4.- El polinomio de MacLaurin de f(x) = ln (x+1) de grado 2 es:

X a) 2xx

2−

b) 2x21

x1−

c) no existe. 5.- Se verifica:

X a) 1xshxch 22 =− b) 1xshxch 22 =+ c) 1xchxsh 22 =−

6.- La curva ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

2tcosty

3tsentx

es periódica de periodo

a) π2 b) π6

X c) π12



2

7.- Sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea x

aF(x) f (t)dt= ∫ .Se verifica:

X a) F’(x) = f(x) en [a, b]. b) f(x) es una primitiva de F(x) en [a, b].

c) x3 3

aF(x ) f (t )dt= ∫ .

8.- Se considera la función gamma: x p 1

0(p) e x dx

∞ − −Γ = ∫ . Se verifica:

a) p)p( =Γ !

X b) 2t 2p 1

0(p) 2 e t dt

∞ − −Γ = ∫ .

c) 1 1 1,2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ = β⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

9.- Sean A y B matrices cuadradas de orden n 1≠ , se verifica: � a) BABA +=+

� b) A3 =3 A

X c) B.AB.A =

10.- Si AX+B = CX+D, siendo A, B, C y D matrices cuadradas tales que 0CA ≠− , podemos afirmar: X a) X = (A-C)

-1(D-B)

b) X = (-B+D)(A-C)-1 c) X = (A-C) (D-B)

-1

EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I (PRIMER PARCIAL) 29-VI-2009

1. Teoría: Definir triángulo esférico y enunciar 5 propiedades de los triángulos esféricos.

2. Un barco sale de un punto A (38º 3’ N, 40º 20’ W) con un rumbo N 23º 20’ E. Tras haber realizado una travesía por una circunferencia máxima entra en un punto B con un ángulo de 43º 15’ (43º 15’ =ángulo ABN). Se pide, calcular: a) Las coordenadas del punto B. b) La distancia entre A y B

Notas: Tomar como radio de la tierra 6370 km. Rumbo inicial es el ángulo NAB. N es el Polo Norte.

2 Puntos

3. Sea f(x) = tg (2x)

a) Escribir la definición del polinomio de MacLaurin de grado n. b) Calcular el polinomio de MacLaurin de grado 5 de f(x) con Derive. c) Calcular la aproximación de tg(0.5) tomando el polinomio de MacLaurin de

grado 5. d) Definir el error en el polinomio de MacLaurin. e) Acotar el error cometido en la aproximación de tg(0.5) utilizando el



3

polinomio de MacLaurin calculado en el apartado c) 2 Puntos

4. Dada la curva ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 1

,1

2

tt

tt , se pide:

a) Definición de campo de variación de t. b) Campo de variación de t de la curva dada. c) Definir los distintos tipos de simetrías. d) Estudio de simetrías de la curva dada. e) Definir los distintos tipos de asíntotas. f) Estudio de asíntotas de la curva dada. g) Definir puntos críticos. h) Cálculo de puntos críticos de la curva dada. i) Dibujar la curva por ramas.

2 Puntos

5. a) Enunciar con rigor el “Teorema del valor medio integral”.

b) Sea

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π∈+

π∈

=]

2 0,( xsi x sen4

]0 ,2

-[ xsi x cos)x(f

1b ) Hallar I = ∫π

π−

2

2

dx )x(f .

2b ) Hallar el valor de k tal que I = k⋅π

)b3 ¿Existe algún punto c del intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−

2,

2 tal que f(c) = k?

4b ) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral? c) Hallar el área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1

(ecuación en coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−α=4

cosr 2 .

Nota: Fórmula del área de un sector curvilíneo limitado por una curva en polares:

( ) αα∫α

αdr

21 2

1

2

2 Puntos

Tiempo para realizar esta parte: 2 horas

Cada ejercicio se entregará en hojas separadas.



4

Soluciones a los problemas 2.- Un barco sale de un punto A (38º 3’ N, 40º 20’ W) con un rumbo N 23º 20’ E. Tras haber realizado una travesía por una circunferencia máxima entra en un punto B con un ángulo de 43º 15’ (43º 15’ =ángulo ABN). Se pide, calcular:

a) Las coordenadas del punto B. b) La distancia entre A y B

Notas: Tomar como radio de la tierra 6370 km. Rumbo inicial es el ángulo NAB. N es el Polo Norte.

Solución

a)

Punto A = ⎩⎨⎧

W20' 40º longitudN 03' 38º latitud

Polo norte en N.

En el triángulo NAB, conocemos los datos siguientes:

'20º23ˆˆ == BANA , '15º43ˆˆ == NBAB , b = 90º - 38º 3’ = 51º 57’.

Aplicamos el teorema del seno:

Aa

Bb

ˆsinsin

ˆsinsin

= ⇒ sin a = B

Abˆsin

ˆsinsin = 0,4552100684⇒ a = ⎩⎨⎧

"18'55º152"42'4º27

Como A<B ⇒ a <b , luego a = 27º 4’ 42”

Aplicamos las analogías de Neper para calcular N̂ y n

2

ˆˆ

2cos

2cos

2

ˆ

BAtgba

baNtg

++

−

= = 927637937,16566690408,0·7714666318,0

9765380113,0= ⇒

"52'34º622

ˆ=

N ⇒ N̂ =125º 09’ 44”

2

ˆˆcos

2

ˆˆcos

22 BA

BAbatgntg−

++

= = 6999464252,09849337731,0

8358872047,0·8247534711,0= ⇒

N

B AA

n

b a



5

2n =34º 59’24” ⇒ n =69º 58’ 48”

Luego las coordenadas del punto B son:

⎩⎨⎧

===

==

E 44" 49º 84º W44" 49º -84ºN̂ 20'- 40º longitud

N 18" 62º55' 90º- latitud a

b) La distancia entre A y B es la longitud del lado n en el triángulo NAB:

En unidades lineales, d(A,B)1806370 n⋅⋅

=π = 7780,1996 km

En millas 1º = 60 millas ⇒ d(A,B) = n·60 = 4198,8 millas

3.- Sea f(x) = tg (2x) a) Escribir la definición del polinomio de MacLaurin de grado n. b) Calcular el polinomio de MacLaurin de grado 5 de f(x) con Derive. c) Calcular la aproximación de tg(0.5) tomando el polinomio de MacLaurin

de grado 5. d) Definir el error en el polinomio de MacLaurin. e) Acotar el error cometido en la aproximación de tg(0.5) utilizando el

polinomio de McLaurin calculado en el apartado c) Solución

a) ( )n)

2 nn

f '(0) f ''(0) f (0)T f (x),a 0 f (0) (x - 0) (x - 0) ... (x - 0)1! 2! n!

= = + + + +

b) TAYLOR(TAN(2·x), x, 0, 5)

5 3 64·x 8·x ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + 2·x

15 3 c) 2x = 0.5 ⇒ x = 0.25. Sustituimos en la expresión del apartado

anterior x por 0,25: 5 3 64·0,25 8·0,25 ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + 2·0,25 = 0,5458333

15 3 d) Definición del error:

Datos: f(x), a=0, n, x0

Respuesta: [ ]0 nE(x ) R f (x),a 0= = =n 1)

n 10

f (c) (x 0)(n 1)!

++−

+ con ( ) ( )0 0c x ,0 ó c 0, x∈ ∈

Siendo a = 0 ⎛d ⎞6 #1: ⎜⎯⎯⎟ TAN(2·x) ⎝dx⎠ 3 5 17408·SIN(2·x) 61440·SIN(2·x) 46080·SIN(2·x) #2: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 5 7 COS(2·x) COS(2·x) COS(2·x)



6

Cambiar x por c 3 5 17408·SIN(2·c) 61440·SIN(2·c) 46080·SIN(2·c) #3: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 5 7 COS(2·c) COS(2·c) COS(2·c) ⎛ ⎮ 3 ⎜ ⎮ 17408·SIN(2·c) 61440·SIN(2·c) #4: IF⎜0 < c < 0.25, ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎜ ⎮ 3 5 ⎝ ⎮ COS(2·c) COS(2·c) 5 ⎮⎞ 46080·SIN(2·c) ⎮⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮⎟ 7 ⎮⎟ COS(2·c) ⎮⎠ Observamos que la derivada sexta se hace máxima para c = 0.25. Luego sustituimos en la derivada sexta c por 0.25 Cálculo del error: ⎮ 3 5 ⎮ ⎮ 17408·SIN(2·0.25) 61440·SIN(2·0.25) 46080·SIN(2·0.25) ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ ⎮ 3 5 7 ⎮ ⎮ COS(2·0.25) COS(2·0.25) COS(2·0.25) ⎮ 4 #5: 2.826660189·10 4 6 2.826660189·10 ·0.25 #6: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6! #7: 0.009584758127 Verdadero valor: #8: 0.5458333333 - 0.009584758127 #9: 0.5362485752 #10: 0.5458333333 + 0.009584758127 #18: 0.5554180914 El verdadero valor está comprendido entre: (0.5362485752, 0.5554180914)



7

4.- Dada la curva ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 1

,1

2

tt

tt , se pide:

a) Definición de campo de variación de t. b) Campo de variación de t de la curva dada. c) Definir los distintos tipos de simetrías. d) Estudio de simetrías de la curva dada. e) Definir los distintos tipos de asíntotas. f) Estudio de asíntotas de la curva dada. g) Definir puntos críticos. h) Cálculo de puntos críticos de la curva dada. i) Dibujar la curva por ramas.

Solución

a) Son los valores reales de t para los cuales existe la curva.

b) El campo de variación de t es: R− {1}, pues t = 1 anula el denominador de x e y.

c) Respecto OX: x ( - t ) = x ( t ).

y ( - t ) = - y ( t )

Respecto OY: x ( - t ) = - x ( t )

y ( - t ) = y ( t)

Respecto el origen O: x ( - t ) = - x ( t )

y ( - t ) = - y ( t )

d) Estudio de simetrías:

x(-t)= 11 +

=−−

−t

tt

t ≠ x(t) ≠ -x(t), luego no podemos deducir que la curva es

simétrica respecto de OX, ni de OY, ni del origen O.

e) Asíntotas: para t0 real o infinito.

Horizontal:

Vertical:

Oblicuas: Casos que se pueden presentar:

La curva carece de asíntota.

0 0t t t tSi lim x(t) ; lim y(t) a y = a

→ →= ±∞ = ⇒

0 0t t t tSi lim x(t) a ; lim y(t) x = a

→ →= = ± ∞ ⇒

0 0t t t t Si lim x(t) ; lim y(t)

→ →= ± ∞ = ± ∞

0t t

0y(t)1. Si lim x(t)→

⎧= ⎨± ∞⎩

0t t

y(t)2. Si lim mx(t)→

= ⇒( )

0t t2.1. lim y(t) - m x(t) La curva carece de asíntota

→= ± ∞

( )0t t

2.2 lim y(t) - m x(t) n. Ecuación: y mx n→

= = +



8

f) La curva solo puede presentar asíntotas para aquellos valores de t para los cuales x ó y se hacen infinitas luego, teniendo en cuenta el apartado a), basta estudiar el comportamiento de la curva (usando como herramienta el cálculo de límites) en t= 1, -∞, +∞

En t= 1

( )2

t 1

t tlím , ,t 1 t 1→

⎛ ⎞= ∞ ∞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

, luego la curva puede presentar una asíntota oblicua y=

mx+n, para determinarla calculamos m y n

m= ( )( )

2

2

t 1 t 1 t 1

tt t 1t 1lím lím lím t 1t t t 1

t 1→ → →

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞−− = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

, por lo tanto, la curva puede presenta

asíntota en t=1.

n= ( )( )

2

t 1 t 1 t 1

t t 1t tlím 1 lím lím t 1t 1 t 1 t 1→ → →

⎛ ⎞−⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por consiguiente, y=1x+1 es una asíntota oblicua en t=1

En t ( )2

t

t t; lím , 1,t 1 t 1→±∞

⎛ ⎞→ ±∞ = ±∞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

, luego la curva presentar una asíntota

vertical x=1

g) Los puntos críticos son aquellos donde las derivadas primeras se anulan o no existen.

⎡ 2 ⎤ d ⎢ t t ⎥ #2: ⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎥ dt ⎣ t - 1 t - 1 ⎦ ⎡ 1 t·(t - 2) ⎤ ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥ #3: ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ (t - 1) (t - 1) ⎦

Resolvemos x'(t)=0 No hay solución real. Resolvemos y'(t)=0. Con Derive:

⎛ t·(t - 2) ⎞ SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟ #4: ⎜ 2 ⎟ ⎝ (t - 1) ⎠ #5: t = 2 ∨ t = 0

Cálculo de los valores para los cuales no existe x’(t):

2 #6: SOLVE((t - 1) , t, Real) #7: t = 1

Cálculo de los valores para los cuales no existe y’(t):



9

2 #6: SOLVE((t - 1) , t, Real) #7: t = 1

Los puntos críticos se obtienen sustituyendo los valores de t en la curva:

Para t= 0 P1 (0, 0) Para t = 1. El valor 1 no pertenece al dominio de la curva de ahí que calculemos su valor con límites. Para t = 1-

⎡ 2 ⎤ ⎢ t t ⎥ #8: lim ⎢⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎥ t→1- ⎣ t - 1 t - 1 ⎦ #9: [-∞, -∞]

Para t = 1+

⎡ 2 ⎤ ⎢ t t ⎥ #10: lim ⎢⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎥ t→1+ ⎣ t - 1 t - 1 ⎦ #11: [∞, ∞]

Para t = 2. P2 = (2, 4)

h)



10

5.- a) Enunciar con rigor el “Teorema del valor medio integral”.

b) Sea

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π∈+

π∈

=]

2 0,( xsi x sen4

]0 ,2

-[ xsi x cos)x(f

1b ) Hallar I = ∫π

π−

2

2

dx )x(f .

2b ) Hallar el valor de k tal que I = k⋅π

)b3 ¿Existe algún punto c del intervalo ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−

2,

2 tal que f(c) = k?

4b ) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral? c) Hallar el área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1

(ecuación en coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−α=4

cosr 2 .

Nota: Fórmula del área de un sector curvilíneo limitado por una curva en

polares: ( ) αα∫α

αdr

21 2

1

2

a) Ver teoría.

b) 1b ) Hallar I = ∫π

π−

2

2

dx )x(f .

I ( ) [ ] [ ] ( )π+=−+=++=π

π−

π

π− ∫∫ 12xcosx4senxdx en xs4 dx x osc 2

00

2

2

0

0

2

2b ) I ( ) ( ) 64.212kk12 ≈ππ+

=⇒⋅π=π+=

)b3 f(c) ≠ k, para cualquier c∈ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−

2,

2, pues

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π∈+

π∈

=]

2 0,( xsi x sen4

]0 ,2

-[ xsi c cos)c(f ,

luego, [ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

π∈

π∈

∈]

2 0,( xsi 5 4,

]0 ,2

-[ xsi 1 0,)c(f .

4b ) No contradice esto el Teorema del valor medio integral, pues al no ser f continua en 0, no se verifican las hipótesis del teorema:

50 sen4)x(flim10 cos)x(flim0x0x

=+=≠==+− →→

c)

#2: r1(α) ≔ 1 ⎛ π ⎞2 #3: r2(α) ≔ COS⎜α - ⎯⎟ ⎝ 4 ⎠



11

Intersección de ambas curvas: ⎛ π ⎞2 #4: 1 = COS⎜α - ⎯⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎛ ⎛ π ⎞2 ⎞ #5: SOLVE⎜1 = COS⎜α - ⎯⎟ , α, Real⎟ ⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠ 11·π 9·π 7·π 5·π 3·π #6: α = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ---- 4 4 4 4 4 π ∨ α = ⎯ 4 Ángulos para los que r2 pasa por el polo: ⎛ π ⎞ #7: COS⎜α - ⎯⎟ = 0 ⎝ 4 ⎠ ⎛ ⎛ π ⎞ ⎞ #8: SOLVE⎜COS⎜α - ⎯⎟ = 0, α, Real⎟ ⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠ 5·π 3·π π #9: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ 4 4 4 Área del círculo: 2 #10: π·1 = π Área encerrada por r2: 4 A1, siendo A1 medio lazo. ⎛ π/4 ⎞ ⎜ 1 ⌠ ⎛ π ⎞4 ⎟ #11: 4·⎜⎯·⎮ COS⎜α - ⎯⎟ dα⎟ ⎜ 2 ⌡ ⎝ 4 ⎠ ⎟ ⎝ - π/4 ⎠ 3·π #12: ⎯⎯⎯ 8 Área dentro del círculo r1 y fuera de los lazos r2: 3·π 5·π #13: π - ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ 8 8



12

SEGUNDO PARCIAL

CUESTIONES TIPO TEST NOTA: SÓLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA EN CADA CUESTIÓN

RESPUESTA CORRECTA: + 0,2 PUNTOS RESPUESTA INCORRECTA: -0,1 PUNTOS RESPUESTA EN BLANCO: 0 PUNTOS

1.- Sean u y v vectores linealmente independientes de R3, ¿cuál de los siguientes conjuntos forman un sistema libre?

a) { }0,u, v

X b) { }u v, u v+ −

c) { }u, v, u v+

2.- Si { }1 2 nS u , u ,..., u= es un sistema generador de un espacio vectorial V, entonces:

a) ( )dim V >n

X b) ( )dim V n≤ c) rango(S)=n

3.- Si ( ) ( )( )P 2 2λ = λ − λ + es el polinomio característico de una matriz cuadrada A, entonces:

a) A 0= . X b) Traza(A)=0.

c) La matriz A puede ser no diagonalizable. 4.- Si el polinomio característico de una matriz A es ( )( )( )2 3 xλ − λ − λ − , entonces:

a) A es diagonalizable siempre que x=2 ó x=3. X b) A es diagonalizable siempre que x≠ 2 y x≠ 3, simultáneamente.

c) A es diagonalizable siempre.

5.- La transformación geométrica de ecuaciones: x' = 9 x - 5 y

y' = 5 x + 9 y

⎧⎨⎩

, es:

a) Un giro. b) Una homotecia.

X c) Una semejanza. 6.- Si T es una homotecia de En transforma segmentos en segmentos: a) de igual dirección y no proporcionales. X b) de igual dirección y proporcionales. c) de distinta dirección y proporcionales. 7.- En el espacio E3 el producto de una homotecia de razón 2 por una traslación de vector 0u ≠ , verifica que: X a) Tiene un punto doble. b) No tiene puntos dobles. c) Tiene infinitos puntos dobles. 8.- Sólo una de las siguientes transformaciones del espacio tridimensional conserva la orientación de las figuras, ¿cuál? a) Homotecia de razón negativa.



13

X b) Simetría axial. c) Simetría deslizante. 9.- Si la excentricidad de una cónica no degenerada es 2 , entonces:

a) Es una elipse. X b) Es una hipérbola.

c) Ninguna de las anteriores. 10.- Sea la cónica 0aya2xa2yaxa 000201

222

211 =++++ . Se verifica:

X a) Es una cónica cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. � b) Si 2211 ay a son de distinto signo es una hipérbola (no degenerada). � c) Si 0=a11 ó 0a 22 = se trata de una parábola (no degenerada).

MATEMÁTICAS I Segundo Parcial Junio 09

1º En R4 consideramos los subespacios vectoriales

( ){ }zyx|Rt,z,y,xA 4 ==∈= ,

( ){ }γ+β=μ+γ=μ+β+α=μ+γ+β+α=∈= t ,z ,2y ,x |Rt,z,y,xB 4

a) Calcular una base y dimensión de A y de B.

b) Calcular una base y dimensión de BA ∩ y de BA + .

c) Determinar un subespacio F suplementario de A.

1.5 puntos

2º Dada la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

503110005

A calcular:

a) Los valores propios indicando su multiplicidad algebraica. b) Calcular una base de cada uno de los subespacios propios existentes. c) ¿Es diagonalizable la matriz A? ¿Por qué? d) ¿Existe algún vector 0u ≠ que sea invariante?

1.5 puntos

3º Obtener la ecuación matricial del giro de 60º alrededor del punto (1,1) del plano euclídeo.

1.5 puntos

4º Clasificar la siguiente transformación del espacio euclídeo obteniendo sus elementos característicos.



14

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx1

1000

021

23

23

21

023

21

23

21

0001

'z'y'x

1

1.5 puntos

5º a) Hallar las coordenadas del centro, las ecuaciones de los ejes y las asíntotas de la hipérbola 013y2x3yxy12x6 22 =−+++− . b) Escribir la ecuación reducida de la cónica 01x2xy2y3x 22 =+−−+ y determinar la excentricidad.

2 puntos

Tiempo para realizar esta parte: 2 horas

Cada ejercicio se entregará en hojas separadas.

Soluciones a los problemas

1º En R4 consideramos los subespacios vectoriales

( ){ }zyx|Rt,z,y,xA 4 ==∈= ,

( ){ }γ+β=μ+γ=μ+β+α=μ+γ+β+α=∈= t ,z ,2y ,x |Rt,z,y,xB 4

a) Calcular una base y dimensión de A y de B.

b) Calcular una base y dimensión de BA ∩ y de BA + .

c) Determinar un subespacio F suplementario de A.

Solución

a) Una base de A es ( ) ( ){ }1,0,0,0,10,1,1 ⇒ dim(A)=2.

Una base de B es ( ) ( ) ( ){ }1,1,0,0 , 1,1,0,1 , 1,0,1,1 , (1, 2,1,0) ⇒ dim(B)=4. También

puede ser la base canónica de R4=B.

b) BAu ∩∈ si satisface las ecuaciones implícitas de A y B, pero B no tiene luego:

x y z= = una base de BA ∩ son ( ) ( ){ }1,0,0,0,10,1,1 y dim( BA ∩ )=dim(A)=2

Un sistema generador de A+B está formado por la unión de los vectores de las bases de

A y B

( ) ( ) ( ){ }1,1,0,0 , 1,1,0,1 , 1,0,1,1 , (1,2,1,0) ∪ ( ) ( ){ }1,0,0,0,10,1,1 y una base está formada

por los vectores linealmente independientes,

( ) ( ) ( ){ }1,1,0,0 , 1,1,0,1 , 1,0,1,1 , (1,2,1,0) y dim(A+B)=4 ⇒ A+B=R4.



15

c) dim F = dim R4 –dim A = 4 – 2= 2. Debemos escoger dos vectores linealemente

independientes que no pertenezcan a A para generar F:

( )( ){ }F 1, 0, 0,0 0, 0, 0,1 =< > .

2º Dada la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

503110005

A calcular:

a) Los valores propios indicando su multiplicidad algebraica. b) Calcular una base de cada uno de los subespacios propios existentes. c) ¿Es diagonalizable la matriz A? ¿Por qué? d) ¿Existe algún vector 0u ≠ que sea invariante? Solución

a) ( )( )23 51IA −λ+λ−=λ− , por tanto los valores propios son: λ=-1 simple y λ=5 doble.

b) Una base de Vλ=-1 está formada por los vectores linealmente independientes solución de la ecuación matricial

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

000

zyx

I)1(A 3 ⇒ ( ){ }0 ,1 ,0 − .

Una base de Vλ=5 está formada por los vectores linealmente independientes solución de la ecuación matricial

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

000

zyx

I5A 3 ⇒ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − 1- ,61

,0 .

c) La matriz A no es diagonalizable por no poder encontrar una base de R3 formada por vectores propios.

d) No existe ningún otro vector invariante ya que no existe el valor propio λ=1. 3º Obtener la ecuación matricial del giro de 60º alrededor del punto (1,1) del plano euclídeo. Solución

La matriz de un giro del plano tiene la forma1G x

y

1 0 0N O' cos sen

O ' sen cos

⎛ ⎞⎜ ⎟

= α − α⎜ ⎟⎜ ⎟α α⎝ ⎠

Queda calcular el transformado del origen. Una forma de hacerlo es a partir de la

expresión de la transformación: 1 3

x ' 1 x 12 2y ' 1 y 13 1

2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

El transformado del origen:

x

y

1 3 1 3O ' 1 0 12 2 2 2O ' 1 0 13 1 1 3

2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠



16

1G

1 0 0

1 3 1 3N2 2 2 21 3 3 12 2 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Otra forma de escribir la ecuación matricial es:

1 0 01 1

1 3 1 3x ' x2 2 2 2

y ' y1 3 3 12 2 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

4º Clasificar la siguiente transformación del espacio euclideo obteniendo sus elementos característicos.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx1

1000

021

23

23

21

023

21

23

21

0001

'z'y'x

1

Solución

Sea N la matriz

3 31 12 2 2 2

3 31 12 2 2 2

1 0 0 0

0

00 0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟

+ −⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

N

Como la submatriz N(1,1) es ortogonal y como, |N| = 1 esta transformación es un movimiento. Para conocer qué tipo de movimiento es, se calculan los puntos invariantes. Estos puntos se obtienen de la ecuación matricial =NX X

3 31 12 2 2 2

3 31 12 2 2 2

1 0 0 0 1 10

00 0 0 1

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

x xy yz z

Esto da como solución la recta 11

=⎧⎨

=⎩

xy

Ecuaciones del eje de giro Para calcular el ángulo de giro se toma un punto del plano z=0 el P=(0,0,0) y un punto del eje de ese mismo plano, el Q=(1,1,0)



17

Se transforma el primer punto. El transformado del origen está en la primera columna

de la matriz N, es el punto P’= 3 31 12 2 2 2 0+ −( , , )el ángulo de giro será el ángulo

formado por los segmentos QP y QP’ Si se llama ( )1 1 0= − −j , , y ( )3 31 1

2 2 2 2 0= + −j ' , ,

Ahora se calcula el ángulo que forman j y j ' 1 1

22 2−

α = = = −j.j 'cosj j '

⇒ α = ± 60º

para ver el signo del giro se calcula el producto vectorial ∧j j ' si el producto vectorial tiene el sentido del vector director del eje z, el ángulo es el positivo y en caso contrario, el negativo.

3 31 12 2 2 2

1 1 0 3

0

∧ = − − =

+ −

i j kj j ' k

por lo que el ángulo de giro es α = 60º 5º a) Hallar las coordenadas del centro, las ecuaciones de los ejes y las asíntotas de la hipérbola 013y2x3yxy12x6 22 =−+++− . b) Escribir la ecuación reducida de la cónica 01x2xy2y3x 22 =+−−+ y determinar la excentricidad. Solución

a) Centro

Para calcular el centro, resolvemos el sistema 3 6x 6y 021 6x y 0

⎧ + − =⎪ ⇒⎨⎪ − + =⎩

1 1C ,4 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Ejes Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ λ y 21 , respectivamente.

2c

6 6 10A I 7 30 0

6 1 3− λ − ⎧

− λ = = λ − λ − = ⇒ λ = ⎨− − λ −⎩

00

A 1455 / 4 97kA 30 8

= = = −−

Tomamos para 1λ el valor propio de signo contrario a k, es decir, 1 210, 3λ = λ = − . Los vectores propios asociados a λ 1 son las soluciones del sistema:

6 10 6 x 0 24x 6y 0 y x6 1 10 y 0 3− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇔ − − = ⇔ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: 1 2 1y x 2x 3y 3 02 3 4

⎛ ⎞− = − − ⇔ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.



18

El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: 1 3 1y x 12x 8y 1 02 2 4

⎛ ⎞− = − ⇔ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación 2 2

11 12 22a 2a m a m 0 6 12m m 0 m 6 30+ + = ⇔ − + = ⇒ = ± .

Una asíntota tiene, entonces, de ecuación: ( )1 3y 6 30 x2 4

⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

La otra, pasa por el centro: ( )1 3y 6 30 x2 4

⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

b)

Clasificación 1 1 0

A 1 1 10 1 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 00A 2 0

A 1 0= >⎧⎪ ⇒⎨ = − ≠⎪⎩

Elipse

( ) 0Aaa 2211 ⇒<−⋅+=+ ELIPSE REAL Ecuación reducida

2 21 2x '' y '' k 0λ + λ + =

21 y λλ valores propios de 1c

2

2 21 1A

1 3 2 2

⎧λ = −−⎛ ⎞ ⎪= ⇒ ⎨⎜ ⎟− λ = +⎝ ⎠ ⎪⎩, ya que se toma como 1λ el

valor propio de menor valor absoluto.

00

A 1kA 2

= = −

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 1 x '' y ''2 2 x '' 2 2 y '' 0 11 12

2 2 2 2 2 2

− + + − = ⇒ + =

− +

Excentricidad

Ya que ( ) ( )

2 2 2 2 21 1 2 2a , b , c a - b c=2 22 2 2 2 2 2

= = = = ⇒− +

.

( )( )

2c 2e 2 2 2 2 1a 1

2 2 2

= = = − <

−

Publicación de calificaciones: martes 7 de julio de 2009.

Revisión del Examen: miércoles 8 de julio de 2009 a las 11:00 horas en el Aula 314

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