Final (investigación de operaciones)

Joe EscobarPontificia Universidad Católica del Ecuador Sede Ambato

Pontificia Universidad Católica del Ecuador Sede Ambato Proyecto de Investigación Operativa.

1

AGRADECIMIENTO

El investigador, estudiante y futuro profesional, agradece los

conocimientos impartidos durante todo el semestre en la Materia de

Investigación de Operaciones por parte del ING. MIGUEL TORRES,

quien con sus técnicas de enseñanza ha permitido sistematizar, incluir

y resolver los problemas que las empresas tienen muy a menudo.

Es importante recalcar que la investigación de operaciones es una

fuente importante en el enriquecimiento de los conocimientos nuevos

para resolver problemas de la vida.

Los conocimientos que fueron impartidos por parte del mismo docente

en semestres anteriores como Estadística Inferencial o Aplicada e

Introducción al Entorno Empresarial, son muy indispensables para la

adaptación en la vida cotidiana empresarial, por lo que el investigador

agradece desde el fondo de su corazón, por todas las enseñanzas que

se ha adquirido.

“EXISTE SOLUCIÓN PARA

TODOS LOS PROBLEMAS EN

LA VIDA; UNICAMENTE NO


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EXISTE SOLUCIÓN PARA LA

MUERTE”.

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Unidad 1 Introducción a la Investigación Operativa.

1.1.- Breve historia, características y limitaciones de la Investigación Operativa.

1.2.- Tipos de Modelos.

1.3.- Metodología de la Investigación Operativa.

1.4.- Técnicas de Construcción de Modelos.

Unidad 2 Modelos de programación lineal.

2.1.- Características de los Modelos de Programación Lineal.

2.2.- Técnicas de Formulación de Modelos.

2.3.- Método de solución. (Gráfico, Algebraico, Matricial, Computacional)

2.4.- Análisis e Interpretación de Resultados.

2.5.- Análisis de Dualidad y Sensibilidad.

2.6.- Modelos Especiales de Programación Lineal. (Transporte, Asignación)

Unidad 3 Modelos de Redes

3.1.- Teoría de los Grafos.

3.2.- Modelo de Ruta más Corta..

3.3.- Método de Árbol Mínimo de Expansión.

3.4.- Método de Flujo Máximo.


3

3.5.- Técnicas PERT-CPM

Unidad 4 Modelo de Inventarios

4.1.- Características de los Modelos de Inventarios.

4.2.- Modelos Determinísticos.

4.3.- Modelos Estocásticos o Probabilísticos

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Modelos de Programación Lineal

El que propuso los modelos de programación lineal fue el Sr. George Dantzig a

través del Modelo del Método Simplex.

Modelos de Redes

Se tiene:

Modelo PERT (Técnica de Programación, Revisión y control de Proyectos).

Modelo CPM (Camino de la Ruta Crítica).

El modelo PERT, fue descrito por la Marina de USA por HAMILTON.

El modelo CPM fue desarrollado por la empresa DUPONT.

Modelo de Inventarios

El que propuso el modelo de Inventario fue el Sr. HARRIS, y se enfocó al lote

económico del pedido. También se enfoca hospitalario, industrial, financiero y de

transporte.

UNIDAD 1

DEFINICION DE MODELOS


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Es la aplicación del Método Científico por grupos interdisciplinarios que sirven para

solucionar problemas interfuncionales, de la organización mediante modelos

matemáticos con obtención de una base cuantitativa para la toma de decisiones.

Proceso: Es una serie de actividades que necesitan entradas para obtener

salidas.

Los procesos son conocidos como insumos y son entregados por los proveedores.

Las salidas son los productos terminados y son entregados a disposición de los

clientes.

La actividad debe tener un propósito.

La actividad debe descomponerse en tareas u operaciones.

La actividad debe ser equilibrada.

Para realizar la actividad se necesita de recursos.

Debe tener un diseño de procesos.

La actividad requiere de un procedimiento.

Procedimiento: Son las reglas, las normas y guías para efectuar la actividad.

Para verificar los procedimientos se tiene indicadores que facilitan y ayudan al

control.

Proceso para Solucionar Problemas

1.- Identificar el Problema2.- Analizar las opciones.3.- Evaluar una serie de Criterios.4.- Seleccionar una alternativa.5.- Toma de Decisión.6.- Implementar.7.- Evaluar8.- Solucionar el Problema.

Limitaciones


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En investigación de operaciones sólo se puede llevar a cabo un objetivo, tenemos

recursos limitados, puede existir limitación económica o computacional.

Modelo

Es la representación real o física abstracta de lo real.

Tipos de Modelos

Existen modelos:

Matemáticos

De simulación

Formal

Mercado

Pueden ser modelos físicos que son la representación real de lo icónico o

analógico.

Icónico: Existe en realidad y puede ser a tamaño original o a escala.

Analógico: Es igual a la representación real pero no se usa, solo se usa como

herramientas emergentes.

Pueden existir modelos simbólicos de los cuales se dividen en:

Modelo de tipo estático y dinámico.

Modelos simulado y no simulado.

Modelo Determinísticos y probabilístico

Modelo estándar

Modelo cuantitativo y cualitativo.


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Nota: Todos estos modelos definen los objetivos para maximizar ganancias o

minimizar costos.

Metodología

Para la metodología se sigue una serie de pasos que se describen en un diagrama

de flujo a continuación:

Se construye otro modelo

no si


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1.- Definir el Problema

2.- Construcción del Modelo matemático

mediante recolección de datos.

3.- Resolver el Modelo

Software

Método Programación

Lineal

Matricial

Gráfico

4.- Solución

5.- Validar el Modelo

Si es o no válido

Se implementaSe modifica el

Modelo

Determinar Variables de Decisión.

Visualizar los coeficientes técnicos

3x + 2y ≥ 5

Construcción de un modelo

Pasos

Identificar las Variables de Decisión (Identificar con qué unidades)

Identificar los datos del Problema

Identificar los Coeficientes Técnicos a través de una tabla.

Identificar las Restricciones (Limitaciones)

Tipos de restricciones

Existen restricciones de tipo:

- Física (Capacidad del Hombre y Maquinaria).

- Administrativa (Alta gerencia).

- Mercado (Capacidad óptima de productos).

- Restricciones entre variables

- Restricciones Lógicas (No negatividad)


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Variable de Decisión

Coeficiente Técnico Limitante

Ejercicios de Construcción de Modelos

1.- Un comprador está tratando de solucionar la combinación más barata de 2 alimentos, I y II, que deben cumplir con ciertas cantidades diarias de Vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 onzas de Vitamina A, 50 onzas de Vitamina B y 49 onzas de Vitamina C. Cada onza de Alimento I proporciona 4 unidades por onza de Vitamina A, 10 unidades por onza de Vitamina B y 7 unidades por onza de Vitamina C. Cada onza del Alimento II proporciona 10 unidades por onza de Vitamina A, 7 unidades por onza de Vitamina B y 5 unidades por onza de Vitamina C. El costo de Alimento I es de 5 centavos por onza y de 8 centavos por onza de Alimento II.

Cuánto alimento de cada tipo se debe combinar para minimizar costos y a su vez cumplir con los requerimientos vitamínicos?

Identificación de Variables

x1 = Cantidad de Onzas de Alimento I

x2 = Cantidad de Onzas de Alimento II

Datos

Función Objetivo


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Z = 0.05X1+0.08X2 (La función Objetivo se da en función del Costos o Beneficio)

Restricciones (Modelo Matemático)

4x1 + 10x2 ≥ 40 (Física)

10x1 + 7x2 ≥ 50 (Física)

7x1 + 5x2 ≥ 49 (Física)

x1 ^ x2 ≥ 0 (Lógica)

Unidad 2

Programación Lineal

Son inecuaciones o representaciones de tipo lineal.

Su objetivo es optimizar los recursos de la Empresa.

La programación lineal sigue la misma metodología de la Investigación de

operaciones.

Para resolver los problemas planteados se efectúa de dos métodos:

Método Gráfico

Método Algebraico

Estos dos métodos solo sirven para 2 variables de decisión.

También se puede resolver por método simplex y por método computacional entra

mecanismos como Solver, Prolin y Tora.


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Ejercicio de Método Gráfico

2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 dólares, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 dólares de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

Solución


x1 = Cantidad de tartas Vienesas

x2 = Cantidad de tartas Reales

Datos

Función Objetivo

Z = 250X1+400X2 (La función Objetivo se da en función del Costos o Beneficio)


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x1 + x2 ≤ 150 (Física)

0.25x1 + 0.5x2 ≤ 50 (Física)

x1 ≤ 125 (Física)

x2 ≤ 125 (Física)


Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:

Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200, ésta ecuación se obtiene al multiplicar a todos los coeficientes por 4.

x Y0 100200 0

Para x + y =150x Y0 150150 0

La otras dos son paralelas a los ejesAl eje Y x=125Al eje x y =125

Y las otras restricciones tanto x como y son mayor o igual a cero, nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadranteLa región factible la hemos coloreado de amarillo:


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Encontremos los vértices:

El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) que se pueden encontrar directamente ya que son las intersecciones de las inecuaciones.

El vértice que no tenemos conocimiento es C, por lo que se procede a resolver el sistema.

, por suma y resta obtenemos y=50, x=100 Entonces el vértice es el punto C(100, 50)

El último vértice que es B es el que nos falta y se obtiene resolviendo el sistema:

x + y =150x =125Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)


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Los vértices de la región son:

O(0,0) A(125,0) B(125,25) C(100,50) D(0,100),

Para hallar la solución óptima se coloca la función objetivo con cada vértice y se sustituye los puntos de cada vértice en cada función objetivo así:

En Vértice O (0,0) Z1 = 250x1+400x2 / Z1 = 250(0)+400(0) / Z1 = 0

En Vértice A (125,0) Z2 = 250x1+400x2 / Z2 = 250(125)+400(0) / Z2 = 31250

En Vértice B (125,25) Z3.= 250x1+400x2 / Z3 = 250(125)+400(25)/ Z3 = 41250

En Vértice C (100,50) Z4 = 250x1+400x2 / Z4 = 250(100)+400(50)/ Z4 = 45000

En Vértice D (0,100) Z5 = 250x1+400x2 / Z5 = 250(0)+400(100)/ Z5 = 40000

El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto B (100, 50)Conclusión: Se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales para maximizar las ganancias a 45000 dólares.

Ejercicio de Método Algebraico

Tomamos como referencia el mismo ejercicio tomado en el Método Gráfico.

3. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 dólares, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 dólares de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

SoluciónTomamos las restricciones y la función objetivo:

Función Objetivo

Z = 250X1+400X2 (La función Objetivo se da en función del Costos o Beneficio)

Restricciones (Modelo Matemático)Pontificia Universidad Católica del Ecuador Sede Ambato

Proyecto de Investigación Operativa.14

x1 + x2 ≤ 150 (Física) 0.25x1 + 0.5x2 ≤ 50 (Física) x1 ≤ 125 (Física) x2 ≤ 125 (Física) x1 ^ x2 ≥ 0 (Lógica)

Aquí aumentamos la variable de holgura o quitamos la variable de exceso.

Entonces transformamos de inecuaciones a ecuaciones:

x1 + x2 + h1= 150 0.25x1 + 0.5x2 + h2 = 50 x1 + h3= 125 x2 + h4= 125 x1 ^ x2 ≥ 0

Función Objetivo

Z = 250X1+400X2+0h1+0h2+0h3+0h4

Aplicación Estadística

nCr= n!r ! (n−r )!

nCr= 6 !4 ! (6−4 )!

nCr= 72024 (2 )

nCr= 72024 (2 )

nCr=15 Combinaciones

Primera Combinación


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El coeficiente en las restricciones de la variable de holgura es de 1 y en la función objetivo es de 0.

Todas las variables de decisión deben ser mayores o iguales a 0 para que exista una solución factible.

Hay que encontrar las combinaciones necesarias.

n= numero de Variables de Decisión.

r= numero de restricciones. No se toma en cuenta la no negatividad.

Segunda Combinación

Tercera Combinación

Cuarta Combinación

Quinta Combinación

Sexta Combinación


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Séptima Combinación

Octava Combinación

Novena Combinación

Décima Combinación

Decimoprimera Combinación


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Decimosegunda Combinación

Decimotercera Combinación

Décimo Cuarta Combinación

Décimo Quinta Combinación

El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto B (100, 50)

Conclusión: Se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales para

maximizar las ganancias a 45000 dólares.


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Método Simplex

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la

solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando

más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método

consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que

tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales

a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que

después de éste proceso, aparezcan o no varíen las restricciones del tipo "≥" o "="

habrá que emplear otros métodos.

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX

Esta es la forma estándar del modelo:

Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn

Sujeto a: a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1

a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2


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...am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm

x1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.

Todas las restricciones son de igualdad.

Todas las variables son no negativas.

Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

En el método simplex se debe tener una distinta nomenclatura así:

b= Limitaciones

a= Coeficientes de Variables en las restricciones

m= número de filas

n= número de columnas

i= representa la fila y el número de restricciones

j= representa la columna y el número de variables

Ejercicio de Método Simplex

Ejercicio Caso de Maximización (Método Simplex)

4.- El taller DURAMAZ, se limita a la producción de escritorios y pupitres, completamente se han calculado que las utilidades unitarias son de 30 dólares para los escritorios y 20 dólares para los pupitres. Cada producto pasa por tres departamentos del taller; Metalistería, Pintura y Ensamblaje, cuyas disponibilidades de tiempo en horas al mes son, 15000, 9000 y 7000 respectivamente. Para la elaboración de los escritorios se requieren por unidad de 30 horas de Metalistería, 10 en Pintura y 12 en Ensamblado, en tanto que los requerimientos del tiempo por unidad para los pupitres son de 15 horas en Metalistería, 10 en Pintura y 10 en Ensamblaje. ¿Cuántos escritorios y pupitres deben producirse óptimamente para maximizar las ganancias?


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Solución


x1 = Cantidad de Escritorios a Producir

x2 = Cantidad de Pupitres a Producir

Datos

Función Objetivo

Z = 30X1+20X2 (La función Objetivo se da en función del Costos o Beneficio o Utilidad)


30x1 + 15x2 ≤ 15000 (Física)

10x1 + 10x2 ≤ 9000 (Física)

12x1 + 10x2 ≤ 7000 (Física)


Transformación a Ecuaciones

30x1 + 15x2 + h1 = 15000 (Física)10x1 + 10x2 + h2 = 9000 (Física)12x1 + 10x2 + h3 = 7000 (Física)x1; x2; h1; h2; h3 ≥ 0 (Lógica)

Z = 30X1+20X2+0h1+0h2+0h3

Armar la Matriz


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Para transformar las restricciones a ecuaciones, se procede a aumentar la variable de holgura cuando se trata de maximizar o disminuir la variable de exceso cuando se trata de minimizar.

De la misma Matriz se puede armar varias matrices hasta que nos dé la solución,

la solución óptima es cuando los números en la fila de (Cj-Zj) sean iguales a

números negativos o ceros siendo éste caso de Maximizar.

Para obtener los valores de la fila Zj se procede a multiplicar los valores de la

columna Cj por cada valor de cada columna que conforma la matriz. Los valores

de zj están dados por ésta fórmula como ejemplo:

Zj = (0*15000) + (0*9000) + (0*7000) = 0

Nota: Por lo general en la primera matriz en caso de Maximización, los valores de

la fila Zj son ceros.


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Para armar la matriz se procede a elaborar en este modelo de matriz, los números corresponden a los coeficientes técnicos tanto de la función objetivo que está representado con la letra Cj y los de las restricciones. En la columna Xi se ubica las variables de holgura con sus valores que en el proceso irán saliendo por las variables normales. En la columna de bi se ubica las limitantes y en este caso se ubicalos valores de la disponibilidad de tiempo.

Para calcular los valores de (Cj – Zj) se obtienen al restar cada valor de la fila Cj

menos cada valor de la fila de Zj.

Como se puede ver, la matriz actual no llega a la solución óptima porque tenemos

números positivos, por lo que se procede a elaborar las matrices necesarias para

llegar a la solución óptima.

Después de llenar la primera matriz, se escoge el mayor número positivo de la fila

de (Cj –Zj). Cada valor de la columna de bi son divididos para cada valor de la

columna que se señaló, entonces queda así:

De la columna de (bi/aij) se escoge el menor número positivo y se señala toda esa

fila así:

El número que está señalado con color amarillo se denomina PIVOTE y ese valor

resulta al cruzar la fila y la columna señalada.

Ahora si se procede a armar una nueva matriz, la nueva matriz queda así:


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La nueva matriz no tiene valores debido a que solo resulta tener valores en la fila

de la variable x1, si nos damos cuenta la variable x1 que estaba en la parte

superior se ubica ahora en la columna Xi (indica la variable que entra y la que

salió). Todos los valores de la fila de la variable que entró se obtienen al dividir

cada valor para el pivote, es decir se aplica ésta fórmula como ejemplo:

Valor de la fila de la variable que entró= 15000/30 = 500

Una vez que se hayan completado los valores de la fila donde se ubica el pivote,

los valores debajo del valor de donde estaba el pivote son ceros, de ahí se

procede a llenar los espacios faltantes, por lo que para encontrar cada valor en la

matriz, se aplica la siguiente fórmula:

Elemento a Encontrar = Elemento Actual de la matriz anterior - (Elemento de

la Fila Señalada de la matriz anterior * Elemento de la Columna Señalada de

la matriz anterior)/ PIVOTE

La matriz nueva queda así:

Como no tenemos en la fila (Cj-Zj) que todos los números sean negativos o ceros,

se procede al mismo proceso anteriormente descrito.


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Finalmente llegamos a la solución óptima debido a que en la fila de (Cj – Zj) se

obtiene números negativos o ceros.

Conclusión: Quiere decir que se tiene que producir 375 escritorios y 250 pupitres

para maximizar las ganancias a 16250 dólares.

Caso de Minimización (Método Simplex)

Para minimización se procede a elaborar el mismo proceso que para los ejercicios

de maximización, la diferencia es que aquí el momento de transformar las

restricciones a ecuaciones se disminuye la variable de exceso y se aumenta una

variable alterna, ésta variable alterna está representada con la letra a y su valor es

de M.


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Ejercicio Caso de Minimización (Método Simplex)

5.- La empresa Bugatti produce autos de Carrera, la empresa produce dos

modelos de automóviles que son el Veyron y el Verona, estos autos implican una

gran inversión en fabricación por lo que se necesita formular un modelo

matemático para minimizar costos. La empresa Bugatti tiene dos departamentos

de Fabricación, el de Ensamblaje y el de Construcción. En el departamento de

Ensamblaje el Veyron utiliza 1 día de ensamblaje, el Verona utiliza 2 días de

ensamblaje. Disponen de 10 días para ensamblar estos autos. En el departamento

de Construcción el Veyron utiliza 3 días de construcción y el Verona utiliza 1 día

de Construcción disponiendo de 15 días para construir. Si los costos por fabricar

cada auto son de 5 y 3 millones de Euros para cada uno respectivamente,

¿Cuántas unidades de cada Auto deberán fabricar para minimizar los costos de

producción?

Solución


x1 = Cantidad de Veyron

x2 = Cantidad de Verona

Datos


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Función Objetivo (MIN)



x1 + 2x2 ≥ 10 (Física)

3x1 + x2 ≥ 15 (Física)



x1 + 2x2 – h1 + a1 = 10 (Física)3x1 + x2 – h2 + a2 = 15 (Física)X1; x2; h; h2; a; a2 ≥ 0 (Lógica)

Z = 5X1+3X2-0h1-0h2+Ma1+Ma2

Armar la Matriz

Existen algunas reglas, para armar la matriz se lo hace igual al caso de

maximización pero en la Matriz en los valores de (Cj –Zj) se escoge el número

más negativo y en la columna de bi/aij va el menor número positivo, la matriz

queda así ya pintada con filas y columnas señaladas y la solución óptima. La

solución óptima es cuando en la fila de (Cj –Zj) los valores son positivos o ceros.


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Para transformar las restricciones a ecuaciones, se procede a disminuir la variable de exceso cuando se trata de minimizar y además se aumenta la variable alterna.

Conclusión: Se debe producir 3 autos Verona y 4 autos Veyron para minimizar el

costo a 29 millones de euros.

MÉTODO DUAL O DUALIDAD

El método Dual o dualidad, es un método de minimización, es el método que

utiliza las propiedades del Simplex y que usa su metodología.

Para realizar ejercicios de dualidad se debe seguir 8 pasos importantes y son:

1. Si el primal tiene n variables de decisión, el dual tiene n restricciones.

2. Si el primal tiene m restricciones, el dual tiene m variables de decisión.

3. Los lados derechos de las restricciones se convierten en los coeficientes de

la función objetiva del dual.

4. Los coeficientes de la función objetiva del primal se convierten en los lados

derechos del dual.

5. Los coeficientes de las restricciones del primal son los coeficientes de las

restricciones del dual.

6. No hay que olvidar la No negatividad.

7. Los signos del dual deben ser mayor o igual.


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8. Si es caso de minimización en función primal, se transforma a maximización

en primal y se vuelve a transformar en dual de minimización.

En éste caso vamos a realizar el mismo ejercicio del Método Simplex que se

detallo al anterior. Los resultados salen los mismos solo que la ubicación de las

respuestas se ubica en otro lugar a diferencia del simplex.

Ejercicio Caso de Minimización (Método DUAL)

6.- El taller DURAMAZ, se limita a la producción de escritorios y pupitres, completamente se han calculado que las utilidades unitarias son de 30 dólares para los escritorios y 20 dólares para los pupitres. Cada producto pasa por tres departamentos del taller; Metalistería, Pintura y Ensamblaje, cuyas disponibilidades de tiempo en horas al mes son, 15000, 9000 y 7000 respectivamente. Para la elaboración de los escritorios se requieren por unidad de 30 horas de Metalistería, 10 en Pintura y 12 en Ensamblado, en tanto que los requerimientos del tiempo por unidad para los pupitres son de 15 horas en Metalistería, 10 en Pintura y 10 en Ensamblaje. ¿Cuántos escritorios y pupitres deben producirse óptimamente para maximizar las ganancias?

Solución


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x1 = Cantidad de Escritorios a Producir

x2 = Cantidad de Pupitres a Producir

Datos

Función Objetivo (MAX)


Restricciones (Modelo Matemático) Función Primal

30x1 + 15x2 ≤ 15000 (Física)10x1 + 10x2 ≤ 9000 (Física)12x1 + 10x2 ≤ 7000 (Física)x1 ^ x2 ≥ 0 (Lógica)

Función Objetivo (MIN)

Z = 15000W1 + 9000W2 + 7000W3

Restricciones (Modelo Matemático) Función Dual

30w1 + 10w2 + 12w3 ≥ 3015w1 + 10w2 + 10w3 ≥ 20w1 ^ w2 ^ w3 ≥ 0 (Lógica)


30w1 + 10w2 + 12w3 – v1 + a1≥ 3015w1 + 10w2 + 10w3 – v2 + a2≥ 20w1 ^ w2 ^ w3 ≥ 0 (Lógica)

Z = 15000w1+9000w2+7000w3-0v1-0v2+Ma1+Ma2


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Para transformar las restricciones a ecuaciones, se procede a aumentar la variable de holgura cuando se trata de maximizar o disminuir la variable de exceso cuando se trata de minimizar.

Armar la Matriz

La posición de las respuestas cambian, pero no sus valores. Quiere decir que se

van a producir 375 escritorios y 250 pupitres para minimizar costos a 16250

dólares.

Modelos de Programación Lineal Especial

MODELO DE TRANSPORTE

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía

de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más

fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de

cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La

suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es

directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de

“unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.


31

Para la resolución del modelo de transporte se puede hacer dos tipos de

resolución, por computadora mediante el Excel por el Solver y manualmente. A

continuación se detalla un ejercicio aplicado con los dos método de resolución.

Modelo de Transporte (Resolución en Excel)

7.- La empresa “García Autos” desea minimizar los costos de envío de sus

automóviles, desean enviar sus autos desde 3 de sus sucursales, ubicadas en

Santo Domingo, Ambato y Cuenca a 4 concesionarias del país que son Chevrolet,

Toyota, Nissan y Hyundai. Los costos de envío se presentan en una tabla a

continuación:

Formule el modelo matemático respectivo para minimizar los costos y visualizar

cuantos automóviles se tiene que enviar de las sucursales a las concesionarias.


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Resolución del Modelo de Transporte (Resolución en Excel)

De los datos anteriores de la tabla de costos de envío, el investigador ilustra en

una nueva tabla que servirá para mejor interpretación y resolución del Modelo.

Identificación de Variables:

XA1; XA2; XA3; XA4

XB1; XB2; XB3; XB4 Se tiene 12 variables de Decisión

XC1; XC2; XC3; XC4

Obtención de Datos:

Función Objetivo:

FO (MIN) Z = 5XA1+3XA2+2XA3+6XA4+4XB1+7XB2+8XB3+10XB4+6XC1+5XC2+3XC3+8XC4

Restricciones

XA1 + XA2 + XA3 + XA4 ≥ 1700 XA1 + XB1 + XC1 = 1700 XB1 + XB2 + XB3 + XB4 ≥2000 Oferta XA2 + XB2 + XC2 = 1000 Demanda XC1 + XC2 + XC3 + XC4 ≥ 1700 XA3 + XB3 + XC3 = 1500 XA4 + XB4 + XC4 = 1200

Xij ≥0 Donde i= A-C y j= 1- 4 / NO NEGATIVIDAD

Resolución


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Para resolver el Modelo de Transporte, el investigador emplea la resolución del

Método Solver, el procedimiento se efectúa así; primero se ordena las variables de

decisión en una sola fila, después se ubica los coeficientes de la función objetivo

debajo de las variables. Seguido se ubica las restricciones de oferta y demanda,

para ubicar las restricciones únicamente se coloca los coeficientes de las variables

de las restricciones con sus limitantes tanto de oferta como de demanda.

Por último se ubica las unidades a enviar en fila, aquí las unidades toman el valor

de 1, a su lado se ubica el mínimo costo que deberá emplear para optimizar el

costo.

Modelo de Transporte/ EXCEL/ SOLVER

Después usando el Solver obtenemos ésta ventana:


34

Se coloca la opción de Mínimo, en la celda objetivo se coloca la suma de las

unidades a enviar por el coeficiente de la función objetivo, luego se ubica en

cambiando las celdas todas las celdas que contienen coeficiente 1 en unidades a

enviar; finalmente se coloca las restricciones.

Al colocar las restricciones obtenemos ésta ventana:

Las restricciones se ubican en la referencia de la celda y restricción, es decir la

celda que ocupa la primera fila que en éste caso es 4, se ubica mayor o igual en el

símbolo y en la casilla de restricciones se ubica la primera fila correspondiente a la

limitante de la fila de las restricciones de oferta que es 1700 y así respectivamente

hasta completar todas las restricciones, cabe recalcar que no hay que olvidar

colocar la restricción de no negatividad.

Finalmente hacemos click en resolver, obtenemos la nueva tabla con las unidades

a enviar y el mínimo costo óptimo así:


35

Modelo de Transporte/ EXCEL/ SOLVER

Interpretación

En la tabla podemos ver las unidades a enviar, quiere decir que vamos a enviar y distribuir

las unidades de automóviles de la siguiente forma:

Modelo de Transporte/ Unidades a Enviar/ Costo Óptimo.

Se tiene que enviar éstas unidades de autos a un costo establecido por unidad

para minimizar el costo a 23100.


36

Modelo de Transporte (Resolución Manual)

8.- La empresa “García Autos” desea minimizar los costos de envío de sus

automóviles, desean enviar sus autos desde 3 de sus sucursales, ubicadas en

Santo Domingo, Ambato y Cuenca a 4 concesionarias del país que son Chevrolet,

Toyota, Nissan y Hyundai. Los costos de envío se presentan en una tabla a

continuación:

Formule el modelo matemático respectivo para minimizar los costos y visualizar

cuantos automóviles se tiene que enviar de las sucursales a las concesionarias.

Resolución del Modelo de Transporte (Resolución Manual)

De los datos anteriores de la tabla de costos de envío, el investigador ilustra en

una nueva tabla que servirá para mejor interpretación y resolución del Modelo.


XA1; XA2; XA3; XA4

XB1; XB2; XB3; XB4 Se tiene 12 variables de Decisión

XC1; XC2; XC3; XC4


37


Función Objetivo:

FO (MIN) Z = 5XA1+3XA2+2XA3+6XA4+4XB1+7XB2+8XB3+10XB4+6XC1+5XC2+3XC3+8XC4

Restricciones

XA1 + XA2 + XA3 + XA4 ≥ 1700 XA1 + XB1 + XC1 = 1700 XB1 + XB2 + XB3 + XB4 ≥2000 Oferta XA2 + XB2 + XC2 = 1000 Demanda XC1 + XC2 + XC3 + XC4 ≥ 1700 XA3 + XB3 + XC3 = 1500 XA4 + XB4 + XC4 = 1200


Resolución

Para resolver por método manual, el investigador usa el Método del Costo Mínimo,

donde usa los coeficientes de la función objetivo como costos de la matriz, aquí se

ubican datos de oferta y demanda, también se ubica el costo Zj que es el número

de unidades del cuadro lleno por el costo, los datos en la matriz se presentan así:


38

De la matriz anterior se procede a calcular los costos de oportunidad que son Ui y

Vj, esto se realiza con el fin de más adelante obtener los costos implícitos,

recuadros de color azul y que se ubican únicamente en recuadros vacíos, para

obtener tanto los costos implícitos y costos de oportunidad se tiene dos fórmulas

que son:

Ui = Cj – Vj Fórmula para calcular costos de oportunidad

Zj = Ui + Vj Fórmula para calcular costos implícitos

Nota: Ui en el primer casillero empieza con valor de 0 para comenzar a obtener

los demás costos. Únicamente Ui se puede sacar con casilleros llenos al igual que

Vj.

Después se procede a llenar la matriz con los costos de oportunidad y costos

implícitos, de ahí debe cumplir 2 condiciones importantes, primero que los cuadro

llenos con cantidades sean igual al número de soluciones factibles mediante la

formula m+n - 1 .

La segunda condición es que Zj < Cj, caso contrario ese casillero que no cumple

debe ser optimizado, únicamente se efectúa la segunda condición en casilleros

vacíos.

Zj = [(200*3) + (1500*2) + (1700*4) + (300*10) + (800*5) + (900*8)]Zj = 24600


39

Se puede observar que el cuadro señalado con el punto rojo no cumple con la

segunda condición y que aún el costo es muy alto por lo que se procede a

optimizar.

Para optimizar el cuadro que no cumple con la condición se efectúa el “Cruce del

Arroyo”.

Éste cruce del arroyo consiste en buscar la solución que va a entrar en el cuadro

que no cumple la condición; de forma que se traza una trayectoria con líneas

horizontales y verticales. El punto de partida es el cuadro que hay que optimizar y

empieza con signo positivo, de ahí se sigue la trayectoria con líneas cambiando de

signo hasta llegar al punto de partida. Únicamente se puede hacer la trayectoria

con cuadros llenos como intersección, ya que si se llega a un cuadro lleno y no

hay otro cuadro lleno, no se puede seguir haciendo la trayectoria.

Por eso es que se les asignó signos a los cuadros llenos y a la trayectoria para

cumplir con el cruce del arroyo, entonces de ahí se asigna de los dos cuadros con

signo negativo, el menor valor al cuadro de partida.

Una vez asignado al cuadro de partida, hay que restar lo que se asignó al cuadro

con signo negativo, de ahí se suma lo que se asigno al cuadro con signo positivo y

se vuelve a restar lo que se asignó hasta llegar al origen. Una vez terminada la

trayectoria se copia los valores no afectados por el cruce y se visualiza si es que

es óptimo o no.

Nota: Llega a ser óptimo cuando cumple todas las condiciones anteriormente

nombradas.


40

Trayectoria para el Cruce del arroyo

La nueva matriz queda de esta forma:

Zj = [(1000*3) + (700*2) + (1700*4) + (300*10) + (800*3) + (900*8)] Zj= 23800


41

Ahora el casillero que no cumple es el que está señalado, por ende el costo sigue

siendo alto se procede a elaborar de nuevo el cruce del arroyo para optimizar el

casillero y todo el proceso anteriormente detallado. La nueva trayectoria es:

Trayectoria para el Cruce del arroyo

Trayectoria para el Cruce del arroyo en la Matriz

La nueva matriz queda de ésta forma:


42

Matriz Final/ Óptima solución

Zj = [(1000*3) + (700*6) + (1700*4) + (300*10) + (1500*3) + (200*8)]Zj = 23100

Interpretación

Se puede visualizar que los costos implícitos son menores o iguales a los costos planteados, también la demanda y la oferta suman la misma cantidad lo que nos dice que el sistema está balanceado, además cumple el número de soluciones factibles. Entonces las unidades a enviar son:

Modelo de Transporte/ Unidades a Enviar/ Costo Óptimo.

Se tiene que enviar éstas unidades de autos a un costo establecido por unidad

para minimizar el costo a 23100 dólares.

Nota: Si se compara el cuadro de envío resuelto por método manual con el cuadro

de envío por método Solver, la distribución de envío de autos cambia, pero lo que

nunca puede cambiar es el costo de envío.


43

La primera matriz que se obtiene en el modelo es una solución de arranque.

Los pasos básicos de la técnica de transporte son:

Paso 1: Determinar una solución factible

Paso 2: Determinar la variable que entra, que se elige entre las variables no

básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método

simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3

Paso 3: Determinar la variable que sale (mediante el uso de la condición de

factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase

la nueva solución básica. Regrese al paso 2

Modelos de Programación Lineal Especial

MODELO DE ASIGNACIÓN


44

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual

todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver

eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro.

Las filas deben ser iguales a las columnas, por lo que la matriz debe ser cuadrada.

Paso 1.- Se empieza por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de

la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo

mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada

columna. Construya una nueva matriz ( la matriz de costos reducidos ) al restar de

cada costo el costo mínimo de su columna.

Paso 2.- Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o verticales ) que se

necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se

requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.

Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de

costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso

2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y

sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos

líneas. Regrese al paso 2.

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que

todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el

conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de

demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de

costos.

Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números

enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.

Ejercicio (Método de Asignación)

9.- La empresa General Motors de USA, dispone de 3 excelentes trabajadores y 3

nuevos trabajos por realizar, la tabla a continuación indica los valores en miles de


45

dólares de lo que General Motors estima le costaría a cada trabajador completar

su tarea. ¿Cuál es la asignación de cada Trabajador para minimizar el costo?


XA1; XA2; XA3

XB1; XB2; XB3 Se tiene 9 variables de Decisión

XC1; XC2; XC3


Función Objetivo:

FO (MIN) Z = 11XA1+14XA2+6XA3+8XB1+10XB2+11XB3+9XC1+12XC2+7XC3

Restricciones

XA1 + XA2 + XA3 ≥ 1 XA1 + XB1 + XC1 = 1 XB1 + XB2 + XB3 ≥ 1 Oferta XA2 + XB2 + XC2 = 1 Demanda XC1 + XC2 + XC3 ≥ 1 XA3 + XB3 + XC3 = 1


Resolución


46


47

1.- A cada fila se le resta el número menor.

2.- A cada columna se le resta el número menor.

3.- Se cubre con el menor número de líneas verticales u horizontales las filas o columnas que tengan ceros.

4.- A los números que no son cubiertos con las líneas y que quedan libres, se les resta el menor de todos los números no cubiertos.

5.- El número de filas es igual al número de columnas y debe ser igual al número de líneas, por lo tanto la solución es óptima cuando el número de líneas llega a ser igual al número de gilas y columnas de la matriz.

Distribución de tareas

El trabajador A se va a ejecutar la tarea 3.

El trabajador B se va a ejecutar la tarea 2

El trabajador C se va a ejecutar la tarea 1

Trabajador Tarea CostoA 3 6B 2 10C 1 9

25Se reduce el Costo a 25 mil dólares.

El método de asignación finaliza analizando que el costo mínimo es por los tres

trabajadores que se desea asignar para así poder tomar decisiones y mejorar las

asignaciones de empleados a tareas.

Unidad 3

Modelo de Redes


48

Trabajador TareaA 3B 2C 1

El modelo de redes se denomina el modelo de los Grafos, que es una

representación gráfica de los métodos para tomar decisiones.

Para éste modelo de los Grafos se tiene 3 submodelos y son:

Modelo de la Ruta más Corta (Minimizar Distancias)

Modelo del Árbol de mínima expansión (Minimizar y dibujar distancias)

Modelo del Flujo Máximo (Optimizar Criterios para enviar mercadería)

Modelo PERT-CPM (Red para administrar proyectos).

Modelo de la Ruta más Corta

El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde

sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como

el nodo destino. El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizan

la distancia total del origen al destino.

Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo, a entre el punto de

partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.

Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial y terminando en el nodo final

n.

Arcos bi-direccionales conectan los nodos con distancias mayores que

cero.

Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con

el nodo n.

Por medio de la aplicación del algoritmo de este problema podemos

conocer la menor distancia entre un nodo origen y un nodo destino.

Pasos a Seguir para elaborar la red:

Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales que salen de él.


49

Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo más cercano a él.

Anular todos los ramales que entren al nodo más cercano elegido.

Comenzando en el origen se debe encontrar el nodo más cercano a él, por

intermedio del los nodos ya elegidos volver al tercer paso hasta llegar al

destino.

O

A D

B

C E

T

2

7

5

2

4

4

1

4

3

1

5

7

El método de la ruta más corta se puede aplicar también por medio de

Software, por lo que es necesario tener el Programa WINQSB 2.0 para resolver

éstos problemas.

Ejercicio (Método Ruta más Corta)


50

10.- TRAPICHE DE MENDOZA, envía con frecuencia canecas de vino a 8

localidades diferentes. La empresa considera que el total de sus costos se

minimizaría si pudiera asegurarse de que todos los envíos futuros a cualquiera

de las localidades se realicen siguiendo la ruta más corta. Por tanto, su objetivo

consiste en especificar cuáles son las rutas más cortas desde el nodo de inicio

hasta cualquiera de los otros 8 nodos.

Resolviendo la red de la ruta más corta, tenemos que la ruta más corta y que

finaliza del Nodo 1 al Nodo 8 es de 4 kilómetros.

Modelo del Árbol Mínimo de Expansión


51

Éste problema surge cuando todos los nodos de la red deben conectarse entre

ellos sin formar un loop.

Loop: Es un camino cerrado entre redes.

El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la

redundancia es expansiva o el flujo a lo largo de los arcos se considera

instantáneo.

El modelo de árbol de mínima expansión se refiere al uso de las ramas o arcos de

la red para llegar a todos los nodos de la red de manera tal que se minimiza la

longitud total.

La aplicación de éste modelo de redes se ubica en las redes de comunicación

eléctrica, telefónica, carretera o ferroviaria. Los arcos podrían ser de alta tensión,

cables de fibra óptica o rutas aéreas.

Si n = al número de nodos, entonces la solución óptima debe incluir n – 1 arcos

Ejercicio (Método del Árbol Mínimo de Expansión)


52

11.- La compañía Ferrari desea enviar sus autos a todos sus puntos de

distribución de automóviles, pero la compañía desea evitar viajes innecesarios o

rutas muy largas, para evitar los costos altos. Por lo que ellos proporcionan una

red de distribución a sus 6 puntos. Encontrar la mínima expansión de distancias de

envío.

Minimiza la Distancia a 110 kilómetros. Entregando a todos sus puntos de

distribución sus autos.

Modelo de Flujo Máximo


53

Este problema se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de

partida y destino de una red.

Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar de

destino a través de arcos que conectan nodos intermedios.

Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida.

La capacidad no necesariamente debe ser la misma para cada dirección del arco.

Hay que considerar la red con un nodo de entrada o llamado fuente y un nodo de

salida o llamado antinodo.

El problema del flujo máximo plantea la cantidad máxima de vehículos, líquido,

peatones o llamadas telefónicas que pueden entrar o salir del sistema en un

periodo determinado de tiempo.

Ejercicio (Método de Flujo Máximo)


54

12.- La compañía Movistar desea saber cuántas llamadas telefónicas pueden

realizarse en una red telefónica representada en una red. Tiene como entrada a

sus antenas y sus salidas a otra conexión con otra red posiblemente. Formule el

modelo de red para maximiza el flujo respecto a la cantidad de llamadas que

puede realizarse.

Modelo PERT-CPMPontificia Universidad Católica del Ecuador Sede Ambato


Admitiendo que la ejecución de un proyecto o elaboración se puede subdividir en

planear, programar y controlar, y hablando de manera clásica, podemos

considerar las técnicas PERT (Program Evaluation and review Technique) y el

CPM (Critical Path Method,) que son los más usuales para ejecución de proyectos.

En general estas técnicas resultan útiles para una gran variedad de proyectos que

contemplen:

Investigación y desarrollo de nuevos productos y procesos.

Construcción de plantas, edificios, y carreteras.

Diseño de equipo grande y complejo.

Diseño e instalación de sistemas nuevos.

Diseño y control de epidemias,

Múltiples aplicaciones en las cuales se requiera una planificación adecuada.

En los proyectos como estos, los administradores deben programas, coordinar las

diversas tareas o actividades a desarrollar un proyecto, las cuales no

necesariamente son secuenciales, y aun en este caso estas actividades son

interdependientes. Si bien es cierto que, algunas actividades en paralelo que

originan una tercera.

Las preguntas esenciales de la elaboración de un proyecto comprenden:

Cuál es el tiempo que se requiere para terminar el proyecto?

Cuáles son las fechas programadas de inicio y finalización del proyecto?

Que actividades son críticas y deben terminarse exactamente según lo

programado para poder mantener el proyecto según el cronograma?

Cuales actividades pueden ser demoradas sin afectar el tiempo de terminación

del proyecto?

Modelo PERT


56

Conecta las Actividades

La flecha indica las actividades.

Existen 3 tiempos:

Tiempo A que es Optimista

Tiempo B que es Probable

Tiempo C que es Pesimista.

Para calcular el tiempo cuando nos dan varios tiempos, se aplica ésta fórmula

para sacar un tiempo promedio de cada actividad.

t=a+4m+b6

Aquí se trabaja con cierto grado de incertidumbre y para la incertidumbre se

calcula la varianza con esta fórmula:

V=(b−a )2

6

Reglas

Entre nodos solo hay una actividad.

Si 2 actividades deben salir de 1 un nodo a otro nodo, usar actividades

ficticias.

A un nodo pueden llegar varias actividades y salir varias actividades,

excepto en el primero que no llega nadie y en el último que no sale nadie

No existe orden de magnitud vectorial.

Ninguna actividad puede empezar si no ha terminado la anterior.

Ninguna actividad puede conllevar a anteriores actividades.

Ejercicio (Método PERT)


57

Nodo

13.- Arme la red de acuerdo a los datos entregados:

Obtener la ruta crítica a seguir y también obtener la ruta crítica mediante la

tabla.

Ahora para resolver la red, se efectúa el método de la ruta crítica y también

que obtener los cuatro elementos (ES,EF,LS,LF) en cada nodo. Después se

obtiene la holgura (H) que sale a partir de la diferencia entre (LS y ES) o (LF y

EF), si las holguras son iguales a 0 esa es la ruta que se debe seguir, a

continuación se muestra la red ya resuelta.


58

Los factores ES y EF se obtienen en el viaje de ida de la red osea de izquierda

a derecha siguiendo el orden de los nodos y sumando sus distancias de cada

actividad. ES y EF en el viaje de ida se tachan los valores que son menores

como se vé en la red en el caso que haya más de un Factor EF como por

ejemplo en el nodo 5 y 7 que se tachan los factores EF, de cada nodo debido a

que existe más de un EF en el nodo.

Los factores LS y LF se obtienen en el viaje de regreso de la red osea de

derecha a izquierda siguiendo el orden de los nodos y restando sus distancias

de cada actividad. LS y LF en el viaje de regreso se tachan los valores que son

mayores como se vé en la red en el caso que haya más de un Factor LS como

por ejemplo en el nodo 2 y 4 que se tachan los factores LS, de cada nodo

debido a que existe más de un LS en el nodo.

Entonces la Ruta Crítica es por donde pasan las holguras con valor igual a 0, la

ruta crítica es A –B – D – G, de nodos 1-2-4-6-7.


59

Ahora se resuelve por medio de la tabla de ésta forma:

ES y LS son las soluciones principales para obtener LS y LF en la tabla, ES y

EF se obtienen viendo en la red el valor de ES en los nodos, es decir el nodo 1

tiene un ES de 0 e inicia con ese valor, EF se obtiene al sumar ES mas la

Distancia y lo mismo se hace con LS Y LF.

La solución sea por red y por tabla va a ser la misma, la ruta crítica nunca va a

cambiar.


60

Modelo PERT COSTO

El modelo PERT COSTO consiste en añadir costos de reducción al proyecto que

se elabore, por lo que es necesario detallar un ejercicio para mejor entendimiento.

Ejercicio (Método PERT COSTO)

14.- La empresa SONY, está considerando desarrollar una particular versión de

lujo de un producto tecnológico, las actividades necesarias para la elaboración de

una Sony Vaio 3570 new model, son las siguientes:

a) Determinar Camino Crítico y el Plazo de Terminación.

b) Determinar el Costo Normal del Proyecto.

c) Cuál es la Probabilidad de reducir el proyecto en 1 semana?

d) Cuál es el tiempo máximo que puede reducirse el proyecto y cuanto es su

costo total?

e) Si se desea reducir el tiempo necesario para la finalización del proyecto en

1 semana, qué actividad deberá reducirse y cuanto incrementaría el Costo

Total?


61

a).- Determinar Camino Crítico y el Plazo de Terminación.

Se procede a armar la red y a encontrar la ruta crítica mediante el grafico y la

tabla.

La ruta crítica es el proceso de las actividades A-D-G con una terminación de 16

semanas.


62

b).- Determinar el Costo Normal del Proyecto

Entonces el Costo Normal del Proyecto es de 12300 dólares.

c).- Cuál es la Probabilidad de reducir el proyecto en 1 semana?

Los valores de z se obtienen en base a la tabla de los datos que se usa para

estadística inferencial y que viene de la Tabla de la Distribución de Probabilidad

Normal.


63

d).- Cuál es el tiempo máximo que puede reducirse el proyecto y cuanto es su

costo total?


64

Para reducir una semana se escoge la semana que menor costo tenga, éste costo menor se coge en la fila de la variación del costo ante la variación del tiempo, es decir se coge el valor de 75 dólares que es el menor costo.

Entonces el costo adicional por restar una semana de terminación es de 75 dólares, que al totalizar el costo sería de 12375 dólares como costo normal.

El tiempo máximo que se puede reducir es 4 semanas a un costo adicional de 75

dólares por actividad reducida, se obtiene un costo total reducido de 300 dólares y

totalizando el costo tenemos un costo total de 12600 dólares del proyecto.

e).- Si se desea reducir el tiempo necesario para la finalización del proyecto en 1

semana, qué actividad deberá reducirse y cuanto incrementaría el Costo Total?

Se reduciría la actividad D, de 8 semanas a 4 semanas incrementando el costo

total de 12300 a 12600 dólares, lo que significa que si es que quiero terminar mi

proyecto en menos semanas, implica un costo adicional por cada semana,

siempre y cuando no afecte a mi ruta crítica en el proceso.


65

UNIDAD 4

MODELO DE INVENTARIOS

El modelo de Inventarios sale por la necesidad de no tener escasez.

En los inventarios no se paraliza la producción.

Éste estudio se enfoca a economías de Escala.

Características del Modelo

Se busca identificación, es decir; Cuándo se debe pedir y Cuánto se debe pedir

con relación a la Mercadería que se requiere pero al menor costo posible.

Nos adentramos al estudio de la demanda, dentro de las empresas se maneja

mucho dos tipos de demanda en inventarios y son:


66

Demanda

Independiente

Determinísticos Probabilísticos

Dependiente

Uso del MRP

Demanda Independiente: Dice de un artículo que no depende de otro, no

tiene similitud, lo que generalmente ocurre con empresas de servicios.

Dentro de éste tipo de demanda encontramos modelos Determinísticos y

probabilísticos.

Los modelos Determinísticos se refieren al cierto grado de certeza que tiene el

modelo.

Los modelos Probabilísticos se refieren al cierto grado de incertidumbre que

lanza el modelo.

Demanda Dependiente: Es la demanda que depende de los procesos de

elaboración del artículo. Aquí se usa el MRP (Planificación de

Requerimiento de Material).

Nosotros nos infiltraremos al estudio del Modelo Determinístico.


67

Modelo Determinístico

Dentro de éste modelo se encuentra el Lote Económico de Pedido, la demanda o

cantidad de producción y el lote económico con descuentos.

Se estudiará el Lote Económico de Pedido el cual tiene la siguiente Nomenclatura

para resolver ejercicios de inventarios, la nomenclatura se representa así con su

respectiva leyenda o significado:

La demanda es conocida y constante (D).

El tiempo de Entrega es Conocido (L).

Existe costo unitario de compra (C).

Costo de pedido o costo de organización o preparación (S).

Costo unitario de almacenamiento o de mantenimiento (H).

Inventario máximo o Cantidad óptima (Q*).

No se acepta descuentos ni déficit.

Entonces podemos deducir mediante ésta nomenclatura las siguientes fórmulas:

Costo total de Compras en relación a la Demanda

CTCD=(C x D)

Costo total de pedido

CTP= DQ∗¿ x S¿

Costo total de almacenamiento

CTH=Q2x H

Costo total

CT=(C x D )+¿

Lote EconómicoPontificia Universidad Católica del Ecuador Sede Ambato


Dentro del lote Económico encontramos otras formulas que se indican a

continuación y que son importantes en la aplicación de las anteriores,

Éste modelo tiene la forma de serrucho.

Ejercicio (MODELO DE INVENTARIOS)


69

EL PUNTO DE EQUILIBRIO SE ALNCANZA CUANDO EL COSTO DE ALMACENAMIENTO ES IGUAL AL COSTO DE PEDIDO Y DE AHÍ SE OBTIENE LA FORMULA PARA OBTENER Q* MAX.

15.- Mercedes Benz compra aproximadamente 48 autos de lujo en el curso de 1

año a un costo de 20000$ cada uno. A la empresa MC LAREN, para su reventa a

empresas automotrices. Cada pedido incurre a un costo fijo de 75000& por cargas

de procesamiento y entrega y llega 1 semana después de haber sido hecho.

Suponiendo una tasa de transferencia anual del 25%, utilice las formulas para

determinar:

a) La cantidad Económica de pedidos.

b) El punto de renovación de pedidos.

c) El N° de pedidos por año.

d) El tiempo entre pedidos en semanas.

e) El costo total anual.

f) En qué cantidad debería incrementarse el costo de 1 auto para que la

cantidad de pedidos disminuya en 5%.

g) Se prevé que la demanda de llantas, con los datos originales para el año

siguiente aumente en 9%, ¿Cuál sería el costo total?

Datos:

D= 48 autos/añoC= 20000$S= 75000$i= 25% o 0,25L= 1 semana

a).- La cantidad Económica de pedidos.

b).- El punto de renovación de pedidos.


70

c).- El N° de pedidos por año.

d).- El tiempo entre pedidos en semanas.

e).- El costo total anual.

El costo total anual es de 1’149,736.84 dólares.


71

f).- En qué cantidad debería incrementarse el costo de 1 auto para que la cantidad

de pedidos disminuya en 5%.

Entonces de acuerdo al costo unitario tenemos que es de 20000 y el costo

incrementado es 22222.22 quiere decir que el costo debe incrementarse en

2222.22 para que la cantidad de pedidos disminuya en 5%.

g).- Se prevé que la demanda de llantas, con los datos originales para el año

siguiente aumente en 9%, ¿Cuál sería el costo total?

El nuevo costo total anual es de 1’237,500.00 dólares.


72

ANEXOS

EJERCICIOS ADICIONALES

METODO GRÁFICO, ALGEBRAICO, SIMPLEX Y DUAL (EJERCICIOS

FACTIBLES DE RESOLVER POR CUALQUIER MÉTODO)

A una empresa le toca 1 millón de dólares de una lotería y le aconsejan que invierta en dos tipos de acciones A y B, las del tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10% anual. Las del tipo B son menos seguras y producen un beneficio del 7% anual. Después de varias deliberaciones, decide invertir como máximo 0.6 millones en la compra de acciones A y por lo menos 0,2 millones en acciones B. Además decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B, cómo deberá invertir la empresa para que el Beneficio sea Máximo?. RESPUESTA: INVERTIR 0.6 MILLONES EN A Y 0.4 MILLONES EN B PARA MAXIMIZAR EL BENEFICIO A 88000 DÓLARES.

FERRARI COMPANY, fabrica autos compactos y subcompactos. La producción de cada auto requiere de una cierta cantidad de materia prima y mano de obra como se especifica en la siguiente tabla:

La división de comercialización ha estimado que a lo más 1500 compactos pueden venderse a 10000 dólares cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a 8000 dólares cada uno. Formule el modelo matemático para determinar la cantidad óptima a producir y las máximas ganancias (Ingresos – Gastos). RESPUESTA: VENDER 250 COMPACTOS Y 200 SUBCOMPACTOS PARA OBTENER UNA GANANCIA DE 2’705.000.00.

Un sastre tiene 80 metros de tela y 120 metros de lana. Un terno requiere 1 metro de tela y 3 metros de lana, un vestido requiere de 2 metros de tela 2 metros de lana. Cuál es el número ternos y vestidos que el sastre debe producir para maximizar sus utilidades si un terno y un vestido la dan un beneficio de 5 dólares cada uno.RESPUESTA: PRODUCIR 20 TERNOS Y 30 VESTIDOS PARA OBTENER UNA GANANCIA DE 250 DÓLARES.

Petróleos del Ecuador puede comprar dos tipos de crudo, crudo ligeros y crudo pesado a un costo de 25 y 22 dólares respectivamente. Cada barril de crudo produce tres tipos de combustibles que son gasolina, turbosina y octurbina. La siguiente tabla indica las proporciones en barriles para producir cada tipo de combustible.


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La refinería se ha comprometido a enviar 1’260000 barriles de gasolina, 900000 barriles de turbosina y 300000 de octurbina a Petróleos del Ecuador. Como gerente de producción formula el modelo para minimizar los costos totales y deduce las cantidades de crudo a mezclar para obtener cada tipo de combustible. RESPUESTA: Mezclar 1’400000 barriles de crudo ligero y 1’800000 barriles de crudo pesado para minimizar los costos de envío de lso combustibles a 65’800000 millones de dólares.

MODELO DE TRANSPORTE

Lamborgini desea determinar el costo mínimo de transporte de su producto estrella que es el Murciélago LP640, si Lamborgini distribuye desde sus tres plnatas de producción hasta sus tres distribuidoras principales. La información de las plantas y de las distribuidoras se indican en las tablas:

RESPUESTA: Enviar los Lamborgini LP640 de planta A a Distribuidora 3 5000 autos, de planta B a Distribuidora 1 2500 autos, de planta B a Distribuidora 3 500 autos, de planta C a Distribuidora 1 1500 autos y de planta C a distribuidora2 6000 autos para minimizar el costo de envío a 145000 dólares.

MODELO DE ASIGNACIÓN

Una empresa de marketing acaba de recibir solicitudes de estudios de investigación de mercadería de 3 nuevos clientes. La empresa debe asignar líderes de proyecto a cada uno de esos tres nuevos estudios de investigación. Tres personas están relativamente libres de otros compromisos y se hallan disponibles para ser asignados como encargados del proyecto. Como se ha considerado que los 3 proyectos tienen aproximadamente la misma prioridad, la empresa desearía asignar jefes de proyecto de tal manera que se minimice el número de días necesarios para terminar con los tres proyectos. Si se debe asignar un jefe a cada cliente, qué asignaciones debe hacerse?


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ARBOL MÍNIMO DE EXPANSIÓN

RUTA MÁS CORTA

RED PERT


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Bibliografía

ANDERSON, SYNDEY D. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

WILLIAMS T (INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS CUANTITATIVOS

PARA LA ADMINISTRACIÓN/ EDITORIAL IBEROAMÉRICA.

HUILLIER F & LIEBMAN E, INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES MC.GRAW HILL.

Software

MICROSOFT EXCEL 2010 / SOLVER.

WINQSB 2.0 (PROGRAMA PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

OPERATIVOS EN MÉTODO DIGITAL).

INVOP (SIMULADOR DE COMPROBACIÓN DE RESULTADOS)

WINQSB4.5 (PROGRAMA COMPLETO QUE INCUYE REDES Y

MODELOS DETERMINÍSTICOS Y ESTOCÁSTICOS.

FIN


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Final (investigación de operaciones)

Business

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