Filtros

Universidad de El Salvador Facultad deIngeniería y Arquitectura Análisis Eléctrico II

1

Contenido INTRODUCCION ............................................................................................................... 2

OBJETIVOS ...................................................................................................................... 3

Filtros Activos .................................................................................................................... 4

Especificaciones de un filtro ........................................................................................... 7

Funciones Prototipo ....................................................................................................... 9

a) Butterworth .......................................................................................................... 9

b) Chebyshev ........................................................................................................ 12

c) Bessel. ............................................................................................................... 15

Diseño de un filtro pasa banda 35 kHz de 10no orden tipología MFB (Multiple-FeedBack) o

RAUCH ............................................................................................................................ 17

Implementacion del filtro .................................................................................................. 18

Selección del orden y tipo de filtro a utilizar. ................................................................. 18

I. Análisis teórico. ..................................................................................................... 18

Función de transferencia .......................................................................................... 21

Ancho de banda........................................................................................................ 22

Diagrama de Bode: Magnitud y fase ......................................................................... 23

II. Simulación en Spice Opus .................................................................................... 25

III. Resultados obtenidos en laboratorio .................................................................. 29

CONCLUSIONES ............................................................................................................ 30


2

INTRODUCCION

Como ya se sabe, entre las características que determinan a una señal eléctrica se encuentra la frecuencia. En muchos casos, en la práctica, a través de un circuito, puede pasar más de una señal eléctrica, es decir, pueden pasar señales eléctricas con distinta frecuencia; sin embargo, se puede dar el caso de que en determinadas circunstancias solo interesa única y exclusivamente una de las señales que pueden circular por el circuito. Esta "selección" de una señal eléctrica según la frecuencia que tenga es lo que hacen los filtros.

Al principio, los filtros estaban compuestos únicamente por elementos pasivos, es decir, resistencias, condensadores e inductancias. Sin embargo, la aparición del amplificador operacional ha traído consigo una mejora notable en la fabricación de los filtros, ya que se ha podido prescindir de las inductancias. La mejora conseguida con el cambio de inductancias por amplificadores operacionales es apreciable en lo que se refiere a respuesta, aprovechamiento de la energía (menor disipación), tamaño y peso, ya que las inductancias no se pueden integrar en un circuito y, por tanto, son elementos discretos con un tamaño considerable. Como desventajas de estos filtros (filtros activos RC) frente a los filtros fabricados con elementos pasivos (filtros RLC) están las limitaciones en los niveles de tensión y corriente y los efectos parásitos inducidos por los elementos activos, como por ejemplo la tensión de desplazamiento en corriente continua a la salida, la corriente de polarización en la entrada, etc. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones que se dan a los filtros, las ventajas de los filtros activos RC sobre los pasivos RLC son más numerosas; de ahí que estén tomando una importancia cada vez mayor en el campo de la ingeniería. Los filtros activos son circuitos compuestos por resistencias, condensadores y amplificadores operacionales, cuya finalidad es dejar pasar a través de ellos las frecuencias para las que han sido diseñados, eliminando por tanto el resto de las frecuencias que no interesan. Esto se consigue atenuando o incluso llegando a anular aquellas cuya frecuencia no está en el margen de frecuencias admisible.

Existen diferentes clasificaciones de los filtros, dependiendo de su configuración, orden, respuesta en frecuencia, función de transferencia, etc. Pero para el presente proyecto se creará un filtro pasa banda de 35 kHz de tipo Butterworth, configuración MFB de 10° orden y así poner en práctica lo aprendido en clase y la previa investigación.


3

OBJETIVOS

Objetivo General:

Diseñar un filtro activo pasa banda con una frecuencia de resonancia de 35 kHz,

implementando los recursos utilizados en clase asi como también la investigación.

Objetivos Específicos:

Conocer las diferentes clasificaciones de los filtros y el uso que estos tienen en el

campo de la electrónica.

Implementar el uso de herramientas básicas para la simulación y análisis como

TINA y Spice Opus.


4

Filtros Activos

Los filtros juegan un importante rol en la electrónica actual, tanto en áreas de comunicaciones y procesamiento de imágenes como control automático. Estos se pueden clasificar en Filtros análogos, digitales y de capacitor conmutado (híbrido, el cual contiene elementos análogos y digitales). Un filtro es un dispositivo de dos puertas capaz de transmitir una banda de frecuencias limitada. Estos pueden ser pasivos o activos. Los primeros, están construidos en base a resistencias, bobinas y condensadores, mientras los activos están conformados por resistencias, condensadores y Amplificadores Operacionales, los que además tienen las siguientes características:

Pequeño tamaño y peso.

Uso en el rango de las frecuencias de audio (20KHz)

Valores de resistencias y condensadores razonables a frecuencias muy bajas.

Tiene elevadas características de aislamiento.

Puede proveer ganancia si se requiere. A continuación se dará un marco teórico para los filtros activos, sus especificaciones y diseño. TIPOS DE FILTROS: Los filtros se pueden representar mediante la función de transferencia H(s), la cual se

expresa en términos de su ganancia o atenuación, así se tiene: Figura 1: Red bipuertos, filtro activo.

Donde Vi(s)es la entrada del filtro y Vo(s), la salida. La transmisión del filtro se encuentra evaluando H(s)|s=jω, así en términos de magnitud y fase se tiene:

El espectro de señal de salida será obtenido por:

(1)

(2)


5

De acuerdo al criterio de selección de frecuencia de paso o de rechazo, existen cuatro

tipo de filtros:

1) Filtros Pasa Bajo

Son aquellos que tienen ganancia a frecuencias menores que la frecuencia de corte ωc.

Así, la banda de paso está dada para0<ω<ωc, donde ωc se expresa en [rad/seg] o

Hertzycorresponde a la frecuencia en la cual la ganancia es dividida por √2 (cae en−3dB).

La ganancia disminuye a medida que se supera a dicha frecuencia,de acuerdo a la Fig. 2,

esta zona se conoce como banda de rechazo.

Figura 2 Respuesta en frecuencia de un

filtro pasa bajo.

La función de transferencia de un filtro pasa bajo de orden n de ganancia G es:

2) Filtro Pasa Alto

Permite el paso de frecuencias superiores a ωc. Su función de transferencia se puede

obtener a partir de (4) reemplazando s=1/s, es decir:

Luego se tiene:

(3)

(4)

(5)


6

Donde bn=1, La respuesta en frecuencia se indica en la

figura 3.

3) Pasa Banda

Este filtro deja pasar las frecuencias que se encuentran dentro de una banda B

(expresado en rad/seg o en Hertz), centrado en ωo, atenuando todas las otras

frecuencias. La figura 4 muestra la respuesta en frecuencia del filtro centrado en ωo cuyo

ancho de banda está definido por:

Figura 3. Respuesta en frecuencia de un filtro

pasa alto

La función de transferencia se obtiene de (4) como:

Figura 4. Respuesta en frecuenca de un filtro

pasa banda.

Así, el orden de los filtros pasabanda se incrementará al doble. Se define el factor de

calidad Q, (9) el cual mide la selectividad de un filtro (un Q muy alto indica que el filtro es

muy selectivo con banda de paso muy pequeña) como:

(7)

(8)


7

La ganancia será la amplitud de la función de transferencia a la frecuencia ωo =

√ . Note que ωo corresponde a la media geométrica, pues está en escala

logaritmica.

4) Rechaza banda

También llamado elimina banda y en otros casos filtro Notch, deja pasar todas las

frecuecias excepto una única banda, la cual está definida por B, como se indica en la

figura 5

Figura 5 Respuesta en frecuencia de un filtro

rechaza banda.

La funcion de trasferencia se obtiene haciendo la sustitución indicada en (10) donde las

caracteristicas de banda son iguales al filtro pasa banda.

Especificaciones de un filtro a) Respuesta en frecuencia

La respuesta en frecuencia de un filtro se representa en escala lineal o logarítmica.

Esta se expresa en función de su ganancia o atenuación (dB en escala

logaritmica) versus la frecuencia cuya escala está en décadas u octavas (escala

logaritmica)

(9)

(10)


8

Figura 6. a) Respuesta normalizada En escala logaritmica, b) Representación

lineal.

Si la ganancia se normaliza respecto de la ganancia máxima, se tiene una curva

de ganancia 1 ó 0 [dB]. La frecuencia de corte , se establece para muchos

análisis igual a 1 [rad/seg], también como frecuencia para diseño.

b) Polos y respuesta en la región de transición.

En la práctica, la respuesta ideal del filtro no existe pues aparece una zona llamada

región de transición (banda de transición). Para lograr una aproximación que

represente un filtro ideal, debe incrementarse el numero de polos, sin embargo, esta

cantidad no puede ser infinita dado que no puede implementarse prácticamente. Cada

polo de H(s) introduce una pendiente de 20 dB/Década o 6 dB/octava, luego, si la H(s)

tiene dos polos tendrá una pendiente de 40 dB/Década en la región de transición, lo

que termina el orden del filtro (figura 7)

Figura 7. Polos en la región de transición

c) Funciones de Aproximación.

Las funciones de aproximación en el dominio de la frecuencia pueden ser expresadas como

(11)


9

Donde representa un clasico polinomio de orden n, ya sea Butterwoth o Chebyshev.

d) Escalamiento

Es fundamental para el diseño de un filtros, debido a que permite plantear los desarrollos en torno a una frecuencia de referencia, y luego trasladar elfiltro y los componentes para otros diseños. Esto se consigue haciendo s =αp,donde p es la variable compleja de la función original y s es la variable de la nueva función. Sea Ho(p) la función de transferencia original, entonces la nueva función de transferencia será

Sea la red RC de la figura 9, donde su función de transferencia está dada por (13).

Figura 9. Filtro RC.

Si R=1[Ω] y C=1[F], se tiene que ωC=1[r/s], escalando para una nueva frecuencia

ωC=10[r/s], se tiene que s=ωCp.

Lo que implica dividir R o C por 10, lo cual asegura un desplazamiento de la frecuencia.

Funciones Prototipo

a) Butterworth

Este filtro tiene una respuesta plana en la banda de paso (llamada máximamente plana), a

expensas de la respuesta en la región transición, la cual es de 20 dB/Década por polo. El

(12)

(13)


10

módulo de la respuesta en frecuencia del filtro pasabajos, para ganancia G, y frecuencia

de corte ωc esta dado en (14).

Donden=1,2,...,k.es e lorden.La Fig.10

indica respuestas de este filtro para

distintos n.

Figura 10. Respuesta del filtro Butterwoth

Propiedades del filtro

Una respuesta máximamente plana tiene muchas derivadas que son cero en el

origen,ω=0. Para ganancia unitaria y una frecuencia ω=ωc,se tiene que:

También llamada −3[dB]. Para ω>>ωc, se tiene que:

ó

Así, la variación será de −20n[dB] por década, donde n es el orden del filtro.

Determinación de la función de transferencia

Sea (14) con G=1 y ωc=1, haciendo s=jω, entonces ω=s/j, reemplazando se tiene:


11

Los polos de la función de transferencia se obtienen para:

Pero como , entonces:

Así los polos para k=1,2,3….,n, estarán dados por:

Los polinomios que se obtienen son de la forma:

Para n=2 se tiene que

, luego:

El denominador de (23) corresponde a un polinomio de Butterworth indicado en la

tabla 1:

Tabla 1 Polinomios de Butterworth de forma factorizada.


12

De la misma forma son determinados los polinomios para orden superior. Al

determinar el módulo de H(s) basada en estos polinomios, se obtiene (14)

b) Chebyshev

Este filtro tiene una ondulación (ripple) en la banda de paso. Mientras mayor es el

orden, mayor es la pendiente en la región de transición, pero mayor es el ripple y el

número de ondulaciones en la banda de paso. El módulo de la función de

transferencia está dado por (24), donde K1 y , son valores constantes y Cn(x) es el

polinomio Chebyshev (en primera aproximación) de grado n. La Fig.11 muestra la

respuesta en frecuencia para diferentes n y la tabla II, los polinomios

correspondientes.

estan dados por

De (25) se determina una ecuación de recurrencia para encontrar los polinomios

Tabla 2. Polinomios de Chebyshev.

Figura 11. Respuesta del filtro Chebysehev

Paso Bajo.


13

RW será la distancia

√ , tomando la referecia de 0 [dB], queda:

Así, el RW queda determinado por a elección de , el cual fluctúa entre 0 y 1. Si ,

entonces RW = 1−

√ es decir, 3 [dB]. En la Fig. 11, cuando ω=ωc la ganancia no cae

en−3 [dB] respecto del máximo, esto ocurrirá sólo cuandoRW=3[dB].

Propiedades del filtro

Sea k1=1, para

Como de acuerdo a la tabla 2, la magnitud es igual al ancho del ripple . Para

ó se tiene:

Para , se puede aproximar a así :

De acuerdo a (32), la atenuación para un mismo orden en la región de transición es mayor

que−20 [dB/Dec], esto debido al término−20 log−6(n−1).Comoes menor que1, el valor

obtenido resulta ser negativo luego para compensarlo, se puede escoger un valor de n

más grande.

Determinación de las funciones de transferencia

Como

Luego los polos de H(s) se obtienen haciendo


14

Usando la forma trigonométrica dada en (25)

Donde sk son las raíces buscadas. Sea pk = (

)

, así :

Como para todo

,

por otro lado,

.

Los polinomios dependen de los valores de ,así, para un filtro de n=2 y RW = 1 [dB],

=0.50884.

De lo que:


15

Luego los polos de H(s) son s1 = 0.549 + j0.895 y s2 = 0.549−j0.895, reemplazando en

(22), queda:

Lo cual se registra en la tabla 3:

Tabla 3. Polinomios de

Chebyshev

c) Bessel.

Tiene una respuesta lineal con respecto a la fase, lo cual resu lta en un

retardo constante en todo el ancho de banda deseado.

Figura 12 Caracteristicas de estructuras de filtros

En la siguiente figura se muestra las características de las estructuras antes

mencionadas, las cuales están hechas para un filtro pasa baja de segundo

orden.

Orden del filtro.


16

• Cuando la frecuencia se multiplica o divide por dos, se llama octava.

• Cuando la frecuencia se multiplica o divide por diez, se llama década.

• Según el orden del filtro, sabemos cuánto atenúa por cada octava o cada década a

partir de la frecuencia de corte.

• En octavas, atenúa 6 dB/octava multiplicado por el orden del filtro.

• En décadas, atenúa 20 dB/década multiplicado por elorden del filtro.

• Filtro de primer orden:

– Atenúa 6 dB/octava ó 20 dB/década.

• Filtro de segundo orden:


• Filtro de tercer orden:


• Filtro de cuarto orden:


En la siguiente imagen nos muestra la importancia del orden del filtro con

respecto a la precisión de un filtro pasa baja de segundo orden.


17

Diseño de un filtro pasa banda 35 kHz de 10no orden tipología MFB (Multiple-FeedBack)

o RAUCH

Normalmente se usarían filtros pasa-baja en serie con filtros pasa-alta de los órdenes

adecuados. Si se necesitara un ancho de banda estrecho, podríamos usar las

topologías pasa banda Sallen-Key o la MFB.

Figura 13. Modelo a seguir de la configuracion MFB

Figura 14. Implementacion de la configuracion MFB para un filtro de 10° orden

Tienen la siguiente función de transferencia:

Y los coeficientes serian:


18

Y podemos notar que se puede ajustar Q, Am y fm independientemente.

Implementacion del filtro

Selección del orden y tipo de filtro a utilizar.

El filtro asignado fue el Pasa banda de 35 kHz de frecuencia de resonancia. Luego de realizada la investigación sobre los tipos de filtros, se ha seleccionado un filtro de Décimo orden, de tipo Butterworth, configuración MFB puesto que presenta la respuesta más plana posible, es decir, la pendiente se mantiene casi constante hasta la frecuencia de corte. De esta forma, los cálculos se nos reducen considerablemente, ya que sólo será necesario conectar 5 etapas en cascada de filtros de 2do orden y así conseguir uno de 10mo orden.

I. Análisis teórico.

Considerar el siguiente circuito empleado para implementar filtros pasa bandas de segundo orden:

Del ckto: V1 = VS V5 = VO

-

+

IOP1R1

R3

C1

R2

C2

+

VsVo

1 2

3

4

5


19

Del amp-op: V3 =V4= 0

Para encontrar la función de transferencia del circuito, aplicamos LCK para conocer las tensiones de entrada y de salida: LCK en (2):

⁄

⁄

(

)

(1)

LCK en (3):

(2)

Sustituyendo (2) en (1):

(

) (

)

(

)

(

)

(3)

Se tiene la ecuación típica para un filtro pasa banda de 2do orden:

Por lo que hay que llevar la ecuación (3) a la forma de la expresión anterior. Para ello

multiplicamos el numerador y el denominador por

.


20

Donde por equivalencia:

(4)

(5)

(6)

Consideraciones a tener en cuenta para el cálculo de los valores de las resistencias:

Se diseñará un filtro pasa banda de banda angosta (Q < 10) y se seleccionará un valor de Qbp =5.

La máxima ganancia Ar de voltaje, ocurre a la frecuencia de resonancia. En nuestro caso, el circuito diseñado poseerá una ganancia unitaria, es decir, Ar = 1.

Los valores de los capacitores se tomarán iguales, se eligió esto debido a que el rango de valores para capacitores disponibles en los comercios son limitados. Entonces C1 = C2 = C = 150 pF.

De la investigación tenemos las siguientes ecuaciones:

(7)

(8)

Sustituyendo (7) en (5) para despejar R2:

Calculando R1 de (8):


21

Despejando R3 de (6):

Función de transferencia

Para la función de transferencia, se necesitan conocer los valores de k, BW y ωo:

Encontrando los ceros:

Encontrando los polos:

Graficando los polos y ceros:


22

Ancho de banda

Es posible conocer las frecuencias de corte conociendo el ancho de banda la frecuencia de resonancia con las siguientes ecuaciones:

Expresando estos resultados en Hz:

En resumen, los valores de los elementos y parámetros del filtro de 2do orden son: R1 = 151.57 k R2 = 303.15 k R3 = 3.09 k C1 = C2 = 150 pF Q = 5 Ar = 1 ωo

2 = 4.841x1010 rad2/s2

ωo = 2.2x105 rad/s fo = 35 kHz BW = 43.982x103 rad/s = 7 kHz ωh = 2.42x105 rad/s

0

0.5

1

-8000 -6000 -4000 -2000 0

Polos y Ceros de la función de transferencia

H(s)

Ceros Polos


23

fh = 38.52 kHz ωl = 1.98x105 rad/s fl = 31.52 kHz

Diagrama de Bode: Magnitud y fase

Los cálculos realizados anteriormente corresponden a un filtro pasabanda de orden 2, su función de transferencia es la siguiente:

Para conseguir un filtro del mismo tipo, de mayor orden, se conecta este mismo circuito en cascada para ir aumentando el orden de la función de transferencia. Ya que se seleccionó el de orden 10, es necesario implementar 5 de estos circuitos. De esta forma, la función de transferencia total es el producto de las funciones de transferencia de cada etapa, y dicha función tiene la forma siguiente:

(

)

El diagrama de Bode para esta función de transferencia queda de la siguiente forma:

Como puede verse, el punto más alto de la gráfica representa la frecuencia de resonancia del filtro, 35 kHz. Las frecuencias de corte y el ancho de banda se muestran en la siguiente imagen:

Ga

in (

dB

)

-500.00

-400.00

-300.00

-200.00

-100.00

0.00

Frequency (Hz)

10 100 1k 10k 100k 1M

Ph

ase

[d

eg

]

-400.00

-300.00

-200.00

-100.00

0.00


24

Respuesta completa (transitorio) en el tiempo a la excitación u(t) a la entrada del filtro diseñado:

Time (s)

0.00 100.00u 200.00u 300.00u 400.00u 500.00u

Voltage (

V)

-1.00

-500.00m

0.00

500.00m

1.00


25

II. Simulación en Spice Opus

Código en Spice Opus:

*Fuente de Voltaje V1 1 0 dc 0 ac 1 *Amplificadores E1 4 0 0 3 1Meg E2 7 0 0 6 1Meg E3 10 0 0 9 1Meg E4 13 0 0 12 1Meg E5 16 0 0 15 1Meg *Resistencias R1 1 2 151.6K R2 3 4 303.2K R3 2 0 3.1K R4 4 5 151.6K R5 5 0 3.1K R6 6 7 303.2K R7 9 10 303.3K R8 8 0 3.1K R9 7 8 151.6K R10 12 13 303.2K R11 11 0 3.1K R12 10 11 151.6K R13 15 16 303.2K R14 14 0 3.1K R15 13 14 151.6K *Capacitores C1 2 3 150p C2 2 4 150p C3 5 6 150p C4 5 7 150p C5 8 10 150p C6 8 9 150p C7 11 13 150p C8 11 12 150p C9 16 14 150p C10 14 15 150p .control set unit = degrees ac dec 1000 100Hz 100KHz *Diagrama de Bode Magnitud plot dB(V(16)/V(1))


26

+ x label 'f[Hz]' + ylabel 'Ganancia(dB)' + title 'Diagrama de bode(magnitud)' *Diagrama de Bode fase plot ph(V(16)) + xlabel 'f[Hz]' + ylabel 'Grados' + title 'Diagrama de Bode (Fase)' .endc .end

Simulación.

Diagrama de Bode: Amplitud


27

Diagrama de Bode: Fase

Respuesta transitoria a la excitación de un tren de pulsos.

Código:

*señal de entrada Vin 1 0 dc 0 ac 1 PWL(0s 0v 0s 1v 22.5us 1v 22.5us -1v 45us -1v 45us 1v 67.5us 1v +67.5us -1v 90us -1v 90us 1v 112us 1v 112us) *Amplificadores E1 4 0 0 3 1Meg E2 7 0 0 6 1Meg E3 10 0 0 9 1Meg E4 13 0 0 12 1Meg E5 16 0 0 15 1Meg *Resistencias R1 1 2 151.6K R2 3 4 303.2K R3 2 0 3.1K R4 4 5 151.6K R5 5 0 3.1K R6 6 7 303.2K R7 9 10 303.3K R8 8 0 3.1K R9 7 8 151.6K R10 12 13 303.2K


28

R11 11 0 3.1K R12 10 11 151.6K R13 15 16 303.2K R14 14 0 3.1K R15 13 14 151.6K *Capacitores C1 2 3 150p C2 2 4 150p C3 5 6 150p C4 5 7 150p C5 8 10 150p C6 8 9 150p C7 11 13 150p C8 11 12 150p C9 16 14 150p C10 14 15 150p .control set units= degrees tran 0.00000001 112us plot v(1) xlabel t[seg] ylabel"Vs" title "voltaje de entrada" plot v(9) xlabel t[seg] ylabel "Vo" title "voltaje de salida" .endc .end

Simulación.

Voltaje de entrada:

Voltaje de salida:


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III. Resultados obtenidos en laboratorio

Circuito filtro de décimo orden.

Gráficas de entrada (amarilla) y salida (verde) cuando la entrada es una señal de 35 kHz.

Gráfica de entrada y salida cuando la entrada es una señal de 50 kHz:

Gráfica de entrada y salida cuando la entrada es una señal de 20 kHz:

Respuesta transitoria a un tren de pulsos.

Gráfica de Lissajous.


30

CONCLUSIONES

Los filtros electrónicos se utilizan en muchos dispositivos que trabajan con señales

(generalmente de voltaje y que pueden ser análogas o digitales), ya que estas pueden

tener diferentes valores de frecuencias, que pueden ser o no deseables en la aplicación a

implementar. Con ellos se puede eliminar señales no deseadas que estén a determinadas

frecuencias (armónicos, ruido, etc.), permitiendo manejar las señales que realmente nos

interesan

Para el caso del proyecto presentado, se decidió implementar un filtro de décimo orden,

de tipo Butterworth, configuración MFB ya que presenta la respuesta más plana posible,

es decir, la pendiente se mantiene casi constante hasta la frecuencia de corte.

En muchas ocaciones, ya en la creación existen muchas variantes que no permiten el

perfecto funcionamiento del filtro, o como comunmente se llama, ruido, entre las cuales se

pueden mencionar, la exactitud al elegir los componentes (resistencias, capacitores, etc.) ,

el tamaño de estos componentes, la breadbore en la que se armará posiblemente puede

estar dañada, el equipo a utilizar presenta poca exactitud, etc.

Es necesario que, mediante el análisis téorico elegir los valores correctos con los cuales

trabajaran el filtro, y tratar de apegarlos a los que existen en la realidad.

http://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/contamacus/contamacus.shtml

Filtros

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