Filtro Kalman Teoría y aplicación práctica

FILTRO DE KALMAN: APLICACIÓN AL ESTUDIO DEL CICLO Julián Moral Carcedo

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EL FILTRO DE KALMAN: APLICACION AL ESTUDIO DEL CICLO ECONOMICO

DOCTORADO EN MODELIZACION ECONOMICA APLICADA. INSTITUTO L. R. KLEIN. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID Febrero 2001

Julián Moral Carcedo Area Macroeconomía


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INDICE 1.- Representación de sistemas dinámicos lineales en el espacio de los estados. 2.- El filtro de Kalman. 3.- La estimación de las matrices de parámetros. 4.- Alisado de los vectores de estado. 5.-Aplicación práctica. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA. • J.D. Hamilton. (Capítulo 13). Time series analysis. Princeton University Press. 1991 • J.D. Hamilton. State space Models. Handbook of Econometrics. Volumen IV. 1994. • A.C. Harvey. Forecasting structural time series model and the Kalman filter.

Cambridge University Press. 1989. • Chang-Jin Kim y Charles R. Nelson. State-Space Models with regime switching.

MIT Press (1999).


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1.- Representación de sistemas dinámicos lineales en el espacio de los estados (Hamilton. 1994. Handbook of econometrics vol. IV) Un sistema dinámico es aquel que evoluciona en función del tiempo, o alternativamente aquel en el que una o más variables dependen de sus valores en otro instante del tiempo. El requisito de linealidad se traduce en que las variables que forman parte del sistema se relacionan entre sí a través de relaciones lineales. El caso más simple de modelo dinámico lineal lo constituye un proceso AR(1):

ttt YY εφ += −1

Dada la estructura del proceso AR(1), toda la información necesaria para predecir la dinámica futura del sistema se halla en tY , así:

ktkttk

tk

tk

kt YY +−++−

+−

+ +++++= εεφεφεφφ 122

11 ...

tk

tkttttkt YYYEYYYYE φ== +−−+ )(,...),,( 21

La representación en el espacio de los estados (state-space representation) de un sistema dinámico lineal, consiste en capturar la parte dinámica del sistema en un vector de estado tξ formado por, posiblemente, r variables no observadas. La dinámica del vector de estado se resume en:

11 ++ += ttt vFξξ (rx1) (rxr)(rx1) (rx1) Donde F es una matriz (r x r )de coeficientes y tν una perturbación aleatoria que se distribuye idéntica e independientemente (i.i.d) como una normal multivariante N(0,Q). Las n variables observadas del sistema se relacionan con el vector de estado a través de la ecuación de observación o medida:

tttt wHxAy ++= ξ''

(nx1) (1xk)(kx1) (1xr)(rx1) (nx1) Donde tw se distribuye i.i.d como una N(0,R). También se incluye un conjunto de k variables exógenas Xt , normalmente de tipo determinístico y en todo caso carentes de información relevante sobre el futuro del sistema, así puede contener valores retardados de Yt o variables independientes del vector de estado y de la perturbación aleatoria de la ecuación de medida.

[ ][ ] t

kktttttktkt

ttttktktktttttkt

FHxAyyEHxA

yywHxAEyyyE

ξξξξ

ξξξξξ

'',...,,...,,,''

,...,,...,,,)''(,...),,...,,(

11

1111

+=+=

=++=

+−−++

−−+++−−+


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Ejemplo de representación en el espacio de los estados: AR(p)

tptpttt YYYY εφφφ ++++= −−− ...2211

Ecuación de estado (vector de estado)

-

+

=

−

−

−

+−

−

0

0

010

001 2

121

1

1

MM

L

MMM

L

M

t

pt

t

tp

pt

t

t

Y

YY

Y

YY εφφφ

tξ = F * 1−tξ + tν

Ecuación de medida

[ ]

=

+−

−

1

1001

pt

t

t

t

Y

YY

YM

L

Yt = H’ tξ

2.-El filtro de Kalman. El punto de partida es la representación del sistema en la forma del “espacio de los estados” (state-space representation), en la que la dinámica de n variables “endógenas” está determinada por el siguiente sistema de ecuaciones1:

tttt wHxAy ++= ξ'' Ecuación de medida /observación.

(nx1) (1xk)(kx1) (1xr)(rx1) (nx1)

ttt vF += −1ξξ Ecuación de estado.

(rx1) (rxr)(rx1) (rx1) asumiéndose además:

=0

)'(Q

vvE t τ

1 James D.Hamilton. Time Series Analysis. Princeton University Press.1994.

Para t=τ En otro caso


- 5-

=0

)'(R

wwE t τ

0)( =τwvE t para todo t y τ.

Adicionalmente se asume que los valores retardados de ξ no esta correlacionados con ninguna de las perturbaciones aleatorias. El filtro de Kalman consiste en un algoritmo que proporciona estimaciones de la ecuación de estado a partir de la información disponible hasta el momento t (“condicionada” a la información disponible en t) y de la ecuación de medida, para posteriormente, corregir las estimaciones conforme se amplia la información disponible. El algoritmo precisa de dar un valor inicial t=1 al vector ξ, el cual no se basa en información muestral, sino que puede considerarse un prior que se impone o bien simplemente se toma la esperanza incondicional del vector, así :

)(ˆ10/1 ξξ E=

que llevará asociada una matriz de errores cuadráticos medios (MSE: mean squared error):

[ ])'ˆ)((ˆ( 1/1/1/ −−− −−= tttttttt EP ξξξξ que en la primera recursión, si se asume la esperanza incondicional, consistiría en la varianza incondicional :

[ ] [ ]))'())(((()'ˆ)((ˆ( 11110/110/110/1 ξξξξξξξξ EEEEP −−=−−=

Otra posibilidad es sustituir el valor de 0/1ξ y de 0/1P por valores a priori (similar a un

prior bayesiano), recogiendo 0/1P la incertidumbre del prior (será una matriz semidefinida positiva con los elementos de la diagonal principal mayores cuanto mayor sea la incertidumbre). A partir de los valores iniciales del vector de estado se produce la “predicción” de la ecuación de medida :

1/1/ˆ''ˆ −− += ttttt HxAy ξ

donde el error cometido es:

ttttttttttttt HHxAHxAyy ωξξξωξ +−=+−++=− −−− )ˆ('ˆ''''ˆ 1/1/1/ cuyo MSE es:

)')ˆ(')()ˆ('()'ˆ)(ˆ( 1/1/1/1/ tttttttttttttt HHEyyyyE ωξξωξξ +−+−=−− −−−−

Para t=τ En otro caso


- 6-

)'()'ˆ)(ˆ('

)')ˆ(')()ˆ('(

1/1/

1/1/

tttttttt

tttttttt

EHHE

HHE

ωωξξξξ

ωξξωξξ

+−−=

=+−+−

−−

−−

dado que asumimos que las variables de estado no están correlacionadas con la

perturbación aleatoria de la ecuación de medida, por lo que )'ˆ( 1/ −− ttttE ξξω =0.

Definíamos antes el MSE de la ecuación de estado como:

[ ])'ˆ)((ˆ( 1/1/1/ −−− −−= tttttttt EP ξξξξ Por lo que podemos escribir:

RHPH

EHHEyyyyE

tt

tttttttttttttt

+=

=+−−=−−

−

−−−−

1/

1/1/1/1/

'

)'()'ˆ)(ˆ(')'ˆ)(ˆ( ωωξξξξ

El siguiente paso es actualizar el vector de estado en base a la observación de la ecuación de medida en t , es decir:

[ ]021021/ ,...,,...,,,,/ˆ xxxyyyxyE ttttttttt −−−−= ξξ lo cual, siguiendo a Hamilton (1994, op.cit.), proporciona la siguiente ecuación:

)ˆ''()'(ˆˆ1/

11/1/1// −

−−−− −−++= tttttttttttt HxAyRHPHHP ξξξ

con un MSE asociado dado por:

1/1

1/1/1// ')'( −−

−−− +−= tttttttttt PHRHPHHPPP

El siguiente paso sería predecir de nuevo tt /1ˆ

+ξ a partir de la ecuación de estado:

0ˆˆ//1 +=+ tttt Fξξ

con MSE igual a QFFPP tttt +=+ '//1 .


- 7-

DIAGRAMA DE FLUJO EN EL FILTRO DE KALMAN

Chang-Jin Kim and Charles R. Nelson. State-Space Models with regime switching. MIT Press (1999). 3.-La estimación de las matrices de parámetros En la anterior exposición hemos asumido conocidas F, H, Q, R y los valores iniciales del vector de estado y MSE inicial, sin embargo rara es la ocasión en que sea así, de hecho lo habitual es que haya que proceder a su estimación.

0|00/1 Pξ

1|11| −−− = tttt Fξξ

QFFPP tttt += −−− '1|11|

1|1| '' −− += ttttt HxAy ξ

1||1|1| '' −−− −−=−= ttttttttt HxAyyy ξη

RHPHf tttt += −− 1/1| '

)()( 1|1

1|1/1// −−

−−− += tttttttttt fHP ηξξ

1/1

1/1/1// ')( −−

−−− −= tttttttttt PHfHPPP


- 8-

Una de las propiedades del filtro de Kalman es que en cada iteración nos proporciona la forma de determinar la función de verosimilitud del modelo ( la probabilidad de que el verdadero PGE sea el que se ha supuesto), concretamente la función de verosimilitud se determinaría a través de:

1|1|1'

1|1| 21

))2ln((21

)( −−−

−− ∑∑ −−= ttttttttn ffl ηηπθ

Para determinar las matrices F, H, Q, y R “simplemente” habría que maximizar esta expresión, es decir, partiendo de unos valores F, H, Q y R determinados (bastaría “inventárselos”) obtendríamos una verosimilitud determinada, a continuación modificaríamos los valores de F,H, Q y R de manera que aumentase la verosimilitud del sistema. Procediendo iterativamente acabaríamos por obtener un máximo de la función de verosimilitud de existir éste.

Existen varios procedimientos iterativos, algoritmo EM, Newton-Marquadt, Berndt, Hall, Hall y Hausman,..., que nos permitirían realizar estos cálculos (los dos últimos proporcionan además la covarianza de los estimadores). 4.-Alisado de los vectores de estado Dado que el vector de estado se estima a partir de la información contenida en la observación inmediatamente anterior, resulta a veces conveniente estimar el vector de estado teniendo en cuenta toda la información muestral, para ello se diseño el alisado de los vectores de estado que no son más que un conjunto de recursiones (en sentido opuesto) que nos permiten incorporar toda la información disponible (ver Hamilton). 5.-Aplicación práctica filtro de Kalman Una de las aplicaciones más interesantes del filtro de Kalman fue la propuesta por Stock y Watson en 1991 (A probability model of the coincident economic indicators”. Contenido en “ Leading Economic Indicators: new approaches and forecasting records”). En aquella aplicación los autores trataban de obtener un indicador del ciclo económico (variable inobservada) a partir de la información contenida en un conjunto de indicadores coyunturales habitualmente usados en EE.UU. La idea subyacente en ese trabajo es sumamente intuitiva y razonable: suponemos que la evolución del indicador es debida a condicionantes propios del indicador y a condicionantes derivados del ciclo económico, es decir, sea jtI el valor

del indicador j en el momento t. Según lo expuesto este indicador evoluciona en función de componentes específicos, jtCE , y de un componente común al resto de indicadores

(“el ciclo económico”), tCC , por lo tanto:

tjtjt CCCEI +=


- 9-

Los componentes específicos y según la hipótesis de los componentes inobservables, pueden descomponerse en tendencia, jtT , estacionalidad, jtE e irregularidad, jtε , que

en este caso identificaremos con un ruido blanco. En resumen:

jttjtjtjt CCETI ε+++=

Si consideramos 3 indicadores podemos expresar en forma matricial:

t

t

t

ETETECCT

III

+

=

3

2

1

3

3

2

2

1

1

3

2

1

1100010

0011010

0000111

εεε

Asumiremos que la tendencia puede recogerse a través de un proceso integrado de orden 1:

jTtjtjt vTT += −1

La estacionalidad responde a la presencia de un proceso AR(11) de raíces complejas unitarias en las frecuencias estacionales:

jEtjtjtjtjtjt vEEEEE +−−−−−= −−−− 11321 ...

Supondremos que el Ciclo Común puede expresarse como un AR(1)

Cttt vCCCC += −1φ Así para el indicador j podemos expresar la representación en el espacio de los estados: Ecuación de medida:


- 10-

( ) Jt

tjt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

t

jt

jt

EEEEEEEEEEECCT

I ε+

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0000000000111

Ecuación de estado:

+

−−−−−−−−−−−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0100000000000

0010000000000

0001000000000

0000100000000

0000010000000

0000001000000

0000000100000

0000000010000

0000000001000

0000000000100

1111111111100

000000000000

0000000000001

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

jEt

CCt

jTt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

t

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

t

jt

vvv

EEEEEEEEEEE

CCT

EEEEEEEEEEECCT

φ

Para obtener la expresión en el espacio de los estados de los tres indicadores conjuntamente, introducimos la siguiente notación:


- 11 -

−−−−−−−−−−−

=Φ

0100000000000

0010000000000

0001000000000

0000100000000

0000010000000

0000001000000

0000000100000

0000000010000

0000000001000

0000000000100

1111111111100

0000000000001

j j=1,2

(12 x 12)

−−−−−−−−−−−

=Ω

0100000000000

0010000000000

0001000000000

0000100000000

0000010000000

0000001000000

0000000100000

0000000010000

0000000001000

0000000000100

1111111111100

000000000000

0000000000001

φ

(13 x 13)


- 12 -

=Α

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

t

jt

EEE

EEEEEEEE

CCT

;

=Β

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

jt

j

EEE

EEEEEEEE

T

; j=1,2

(13 x 1) (12 x 1)

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

jEt

CCt

jTt

vvv

V

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0jEt

jTt

j

v

v

W j = 1, 2

(13 x 1) (12x1)


- 13 -

Por lo tanto la expresión conjunta de la ecuación de medida es:

+

=

t

t

t

ttBBA

III

2

2

1

2

1

1

3

2

1

001100000010

000001100010

000000000111

εεε

LLL

LLL

LLL

(3x1) (3x 37) (37 x 1) (3 x1) Y la ecuación de estado:

+

ΦΦ

Ω=

− 2

1

1

12

1

1

2

1

1

00

00

00

WWV

BBA

BBA

tt

(37 x 1) (37 x 37) (37 x 1) (37 x 1) Desarrollo de la aplicación: Se han seleccionado tres indicadores: Consumo de Cemento, Consumo de Energía eléctrica e Indice de Producción Industrial en el período Enero 1978 – Marzo 2000. A efectos de la aplicación se ha seleccionado φ= -0,6. En la aplicación estricta del filtro de Kalman se ha supuesto que R=I(3),(matriz identidad de tamaño 3); Q=I(37), valores iniciales del vector de estado = 0 (37), matriz de varianzas y covarianzas del vector de estado = I(37). (a) (b)

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

3 0 0 0

3 5 0 0

4 0 0 0

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8x 1 0

4


- 14 -

(c) (a)=Consumo de cemento (b)= Consumo de electricidad (c)=IPI De la observación de la representación gráfica de las series podemos observar que presentan comportamientos específicos en la tendencia y estacionalidad o alternativamente no parece que posean una tendencia común (dado que presentan niveles muy distintos) y no existe justificante económico que nos haga pensar que presente patrones estacionales similares, asimismo, si es posible creer que ambas responden al ciclo de una forma similar (todas las series económicas se ven afectadas por la posición cíclica de la economía)

0 50 100 150 200 250 30040

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

-

2 .000

4.000

6.000

8.000

1 0 . 0 0 0

1 2 . 0 0 0

1 4 . 0 0 0

1 6 . 0 0 0

1 8 . 0 0 0

20.000

1 9 1 7 2 5 3 3 4 1 4 9 5 7 6 5 7 3 8 1 8 9 9 7 1 0 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 209 2 1 225 233 2 4 249 257 265

- 1 5 , 0

3 5 , 0

8 5 , 0

1 3 5 , 0

1 8 5 , 0

Consumo cemento C electricidad IPI


- 15 -

- 500

-

500

1 . 0 0 0

1 . 5 0 0

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

1 9 1 7 2 5 3 3 4 1 4 9 5 7 6 5 7 3 8 1 8 9 9 7 1 0 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 209 2 1 225 233 2 4 249 257 265

Consumo cemento Tendencia

-

2 .000

4.000

6.000

8.000

1 0 . 0 0 0

1 2 . 0 0 0

1 4 . 0 0 0

1 6 . 0 0 0

1 8 . 0 0 0

20.000

1 9 1 7 2 5 3 3 4 1 4 9 5 7 6 5 7 3 8 1 8 9 9 7 1 0 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 209 2 1 225 233 2 4 249 257 265

Consumo electricidad Tendencia

-

20

40

60

80

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

1 9 1 7 2 5 3 3 4 1 4 9 5 7 6 5 7 3 8 1 8 9 9 7 1 0 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 209 2 1 225 233 2 4 249 257 265

IPI Tendencia


- 16 -

Ciclo común Como podemos observar el ciclo común está altamente contaminado con ruido, por ello aplicamos un filtro de paso bajo (media móvil centrada de 8 términos) para obtener una estimación más clara del ciclo común.

-80,00

-60,00

-40,00

-20,00

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

11980

11982

11984

11986

11988

11990

11992

11994

11996

11998

12000

-10

-5

0

5

10

15

20

PIB Ciclo Comun

Filtro Kalman Teoría y aplicación práctica

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