INTRODUCCIÓN AL FILTRO BUTTERWORTH

En diversas aplicaciones de los filtros pasa bajas se necesita que la ganancia en lazo cerrado se aproxime lo más posible a la unidad dentro de la banda de paso. Para este tipo de aplicación lo mejor es el filtro Butterworth. A este tipo de filtro también se le conoce como filtro, máximamente plano o planoplano. En la figura 11.3 se muestra la respuesta a la frecuencia ideal (línea continua) y la respuesta a la frecuencia real (líneas punteadas) de tres tipos de filtros Butterworth.

Conforme las atenuaciones se van volviendo más pronunciadas, podemos ver que se aproximan más al filtro ideal.Para obtener una atenuación de 40 dB/década se acoplan dos filtros activos similares al de la figura 11.2(a).

Sin embargo, éste no es el diseño más económico, ya que para ello se necesitan dos amplificadores operacionales. En la sección 113.1 se explica cómo construir un filtro Butterworth utilizando só1o un amplificador operacional y cómo obtener así una atenuación de 40 dB/década.

Posteriormente, en la sección 114 se conecta en cascada un filtro de 40 dB/década con un filtro de 20 dB/década para obtener un filtro de 60 dB/década.Los filtros Butterworth no se diseñan para mantener un ángulo de fase constante en la frecuencia de corte. EI filtro pasa bajas básico de 20 dB/década tiene un ángulo de fase de 45' en la frecuencia c. EI filtro Butterworth de 40 dB/década tiene un ángulo de fase de 90' en cl valor c y el filtro de 60 dB/década tiene un ángulo de fase de 135' en c. Por lo tanto, por cada aumento de 20 dB/década, el ángulo de fase aumenta en 45' en cl valor c. Se verá continuación un filtro Butterworth cuya atenuación es mayor de 20 dB/ década.

FILTRO BUTTERWORTH PASA BAJAS -40 dB / DÉCADAProcedimiento simplificado de diseñoEI circuito de la figura 114(a) es uno de los filtros pasa bajas más comúnmente utilizados.

Produce una atenuación de 40 dB/década; es decir, después de la frecuencia de corte, la magnitud de Acl disminuye en 40 dB cuando aumenta a un valor de 10 c. La línea continua de la figura 11 4(b)  muestra la gráfica de la respuesta a la frecuencia real, la cual se explica con mayor detalle en la sección 113.2. EI amplificador operacional se conecta de tal manera que se obtenga una ganancia unitaria de cd. Se incluye la resistencia Rf para el desvío de cd, como se explica en la sección 94. Dado que el circuito del amplificador operacional es básicamente un seguidor de voltaje (amplificador de ganancia unitaria), el voltaje existente a través de C1 es igual al voltaje de salida, V0El diseño del filtro pasa bajas de la figura 114(a) se simplifica considerablemente si los valores de las resistencias R, = R2 = R. El procedimiento de diseño abarca los cinco pasos siguientes:Procedimiento de diseño1. Defina una frecuencia de corte, c, ofc,2. Defina C1; elija un valor adecuado, comprendido entre 100 pF y 0. 1 F,3. Defina C2 = 2C1.4. Calcule:R = 0.707 / c C1 (113)5. Defina Rf = 2R.

Respuesta del filtroLa curva punteada de la figura 11.4(b) muestra que el filtro de la figura 11.4(a)  no só1o tiene una atenuación más pronunciada después de c, que en el caso de la figura 11.2(a), sino que también conserva el valor de 0 dB casi hasta que la frecuencia llega al valor de 0.25 c,.

Los ángulos de fase del circuito de la figura 11.4(a) tienen valores que van desde 0º cuando c = 0 rad/s (en el caso de cd) hasta –180º conforme se aproxima a un valor (infinito). En la tabla 11.2 se compara la magnitud y el ángulo de fase de los filtros pasa bajas de las figuras 11 2(a)  y 11 4(a), desde 0. 1 c hasta 10 c.Para el siguiente filtro se crea una configuración en cascada conectando el filtro de la figura 11 2(a)   con el de la figura 11 4(a)  y se obtiene así una atenuación de 60 dB/década. Como se demostrará, las resistencias son los únicos valores que hay que calcular.El ejemplo 115 muestra que el valor de R de la figura 115(a) es diferente de los obtenidos en la figura 114(a),  aunque la frecuencia de corte sea la misma. Lo anterior es necesario a fin de que | Acl | siga siendo de 0 dB en toda la pasa banda hasta que casi se alcance el valor de la frecuencia de corte; y, finalmente, | Acl | =  0.707 para c.FILTRO BUTTERWORTH PASA BAJAS -60 dB / DÉCADAProcedimiento de diseño simplificadoEl filtro pasa bajas de la figura 115(a) se construye mediante un filtro pasa bajas de 40 dB / década conectado en cascada con otro de 20 dB/década, para obtener así una atenuación total de 60 dB/década. La ganancia de lazo cerrado total, Acl, es la ganancia del primer filtro multiplicado por la ganancia del segundo filtro, es decir:

Acl = V0 / E1 = V01 / E1 X V0 / V01    V, (114)

En el caso de un filtro Butterworth, la magnitud de Acl debe ser de 0.707 para la frecuencia c. A fin de garantizar que la respuesta a la frecuencia sea plana durante los valores de pasa banda, aplique los siguientes pasos de diseño.

FILTRO BUTTERWORTH PASA ALTASIntroducciónLos filtros pasa altas son circuitos que atenúan todas las señales cuya frecuencia está por debajo de una frecuencia de corte específica, c y pasa todas aquellas señales cuya frecuencia es superior a la frecuencia de corte. Es decir, el filtro pasa altas funciona en la forma contraria al filtro pasa bajas.La figura 116 es una gráfica de la magnitud de la ganancia de lazo cerrado en función de para tres tipos de filtro Butterworth. El ángulo de fase de un circuito de 20 dB/década es +45' para la frecuencia Los ángulos de fase correspondientes al valor c aumentan en +45º por cada aumento de 20 dB/década. En la sección 115.5 se comparan los ángulos de fase de estos tres tipos de filtros pasa altas.En este libro, cl diseño de los filtros pasa altas se hará de igual manera que cl de los filtros pasa bajas. De hecho, la única diferencia sería la posición de las capacitancias y resistencias de filtrado.115.2 Filtro de 20 dB / década

Compare cl filtro pasa altas de la figura 117(a) con el filtro pasa bajas de la figura 112(a) y observe que tanto C como R están invertidas. Se incluye la resistencia de retroalimentación, Rf, a fin de reducir el desvío de cd. Dado que en la figura 117(a) el amplificador operacional se conecta como seguidor de ganancia unitaria, el voltaje de salida V0, es igual al voltaje que pasa por R, y se expresa de la siguiente manera:V0 = 1 / 1-j(1 / Rc)       (117)

Cuando se aproxima al valor de 0 rad / s en la ecuación (117), V0 se acerca a 0 V. A frecuencias altas, conforme se aproxima a un valor infinito, V0 lo hace a E1. Dado que el circuito no es un filtro ideal, la respuesta a la frecuencia no es

ideal, como se puede observar en la figura 117(b), La línea continua es la de la respuesta real. Las líneas punteadas muestran la aproximación a una línea recta. La magnitud de la ganancia en lazo cerrado es igual a 0.707 cuando Rc = 1. Por lo tanto, la frecuencia de corte se expresa de la siguiente manera:c = 1/Rc = 2fc (1 18a)óR = 1/c C = 1 / 2 fc C     (1 18b) La razón de haber resuelto para R y no para C en la ecuación (1 18b) es que resulta más fácil ajustar R que C. Los pasos que hay que dar para diseñar la figura 117(a) son los siguientes:Procedimiento para diseñar un filtro pasa. Altas de 20 dB / década1. Defina una frecuencia de corte c o fc.2. Defina un valor adecuado de C, por lo general comprendido entre 0.00 1 y 0. 1 F.3. Calcule R mediante la ecuación (1 18b).4. Haga Rf = R.Filtro de 40 dB / décadaCon cl circuito de la figura 118(a) se diseñará un filtro Butterworth pasa altas, con atenuación de 40 dB/década cuando esté por debajo de la frecuencia de corte, c, Para satisfacer cl criterio de los filtros Butterworth, la respuesta a la frecuencia debe ser de 0.707 en la frecuencia , y de 0 dB en la banda de paso. Estas condiciones se logran según cl siguiente procedimiento de diseño:Procedimiento de diseño de un filtro pasa altas de 40 dB / década1.   Defina una frecuencia de corte, c o fc,2. Defina Cl = C2 = C y elija un valor adecuado.3.    Calcule R1 mediante la expresión: R1 = 1.414 / c C   (119) 4. Haga: R2 = ½ R1 (1110) 5. Para reducir al mínimo el desvío, haga: Rf = R1Filtro de 60 dB / década

Al igual que en el caso del filtro pasa bajas de la figura 115, conectando en cascada un filtro de, 40 dB/década con otro de 20 dB/década se obtiene un filtro pasa altas de 60 dB/década. Este circuito (al igual que los otros filtros pasa altas y pasa

bajas) se diseña como filtro Butterworth para así obtener la respuesta a la frecuencia de la figura 119(b). Los pasos para el diseño del circuito de la figura 11 9(a) son los siguientes:Procedimiento de diseño del filtro pasa altas de 60 dB/década1. Defina la frecuencia de corte, c o fc,2. Seleccione C, = C2 = C3 = C y elija un valor adecuado comprendido entre 100 pF y 0. 1 F.3. Calcule R3 a partir de la ecuaci6n: R3 = 1 / c C   (11  11) 4. Defina: R1 = 2R3 (1112) 5. Seleccione: R2 = ½ R3 (1113) 6. Para reducir al mínimo el efecto de la corriente de desvío de cd, defina Rf, = R, y Rf, = R3.

Comparación de magnitudes y ángulos de faseEn la tabla 115 se comparan las magnitudes de la ganancia en lazo cerrado de los tres filtros pasa altas. Por cada aumento de 20 dB/d6cada, el circuito no só1o tiene una atenudci6n más pronunciada cuando esté por abajo de c, sino que también se mantiene cercano a 0 dB, o a una ganancia de 1 cuando está arriba de c.El Angulo de fase, de un filtro pasa altas Butterworth de 20 dB/década es de 45º para una frecuencia c, En cl caso del filtro de 40 dB/década es de 90º y en cl del filtro de 60 dB/década es de 135º. En la tabla 116 se aprecian otros ángulos de fase en la proximidad de c correspondientes a los tres filtros de la tabla 116