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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 1 Capítulo 1 Funciones Vectoriales de Variable real Nos interesa estudiar funciones    Pues para cada es un vector En especial cuando   es un intervalo Identificación  Así podemos identi ficar a   como      donde para cada    llamada ésima componente de    Observación                    Gráfica de una función vectorial de variable real Gr     } Se aprecia que: Gr     Apreciación    

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2012-1 Página 1

Capítulo 1

Funciones Vectoriales de Variable real

Nos interesa estudiar funciones

Pues para cada es un vector

En especial cuando es un intervalo

Identificación

Así podemos identificar a

como

donde para cada llamada ésima componente de

Observación

Gráfica de una función vectorial de variable real

Gr Se aprecia que:

Gr

Apreciación

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2012-1 Página 2

Operaciones

Si definimos:

3) Si :

4) Si definimos

Punto de acumulación

Recordemos que y hemos definido lo que significa

1

10

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2012-1 Página 3

ser punto de acumulación. es un punto de

Si:

⟨ ⟩

así si es un p.a de . Ya que ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Pero si no es p.a de

Si ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Límites

1) Sea b p.a de diremos que

| |

b

210

0

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2012-1 Página 4

PC

Tomemos arbitrario

‖ ‖

‖ ‖ | |‖ ‖

| | ⏟

Tomamos

0 | |

-1

| |√

Si

| |

si

| | | |√

min √

Apreciación

Si

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2012-1 Página 5

OJO

=

Prop

Si

y existen

; p.a de

entonces:

Si

Prop

Si acotada en y

b p.a de A,entonces

Aplicación

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2012-1 Página 6

Continuidad

Se dice que es continua en , si:

1)

2)

3)

Interpretación

Si es continua en significará que la curva gráfica

de ella, no tiene “saltos”

Si

Se dice que es continua en

Si es en cada punto de

Derivación

Sea

definamos la función como

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2012-1 Página 7

Interpretación

Si la gráfica de es una curva plana se aprecia

fácilmente que es un vector tangente a la gráfica

de , en el punto

Si entonces la recta tangente a la

gráfica de en es: Prop

,

En caso afirmativo

Prop

Si entonces es continua en

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2012-1 Página 8

=

Otras propiedades

1)Si

entonces

.Además

asimismo

Recordando(clase 2)

||

||

||

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2012-1 Página 9

Apreciación

En realidad si es de módulo

constante entonces

Visualización

( en el ejemplo

√ )

Derivando con respecto a

. + =0

además vemos que

asimismo en caso existan

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2012-1 Página 10

entonces:

En el caso especial de

entonces:

+

Integración

Dada donde cada

componente de de es integrable

en

definimos:∫ ∫ ∫ ∫

Aclaración

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2012-1 Página 11

∫ ∫ ∫ ∫

Referencia

Generalizando:

Si es una curva gráfica de una

con derivada en todo entonces se dice que es

rectificable (o medible) si

CI:

∫ ‖ ‖

Apreciamos

1) Si ∫ y entonces

Además : ∫ ∫ ∫

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2012-1 Página 12

2) ∫

3) ∫

Complementando

Definición

Una curva en la consideraremos

como la gráfica de una función un intervalo de

PI ¿Puede graficar

?

Parametrizar

no es sencilla

Orientación

Dada

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2012-1 Página 13

Curvas de clase

Si

diremos que

es clase

si:

es de clase es de clase

Es decir

Curva Simple determinada por

, se dice que

es una curva simple, si

es negativa

Interpretación es una curva simple

Si no “se corta”

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2012-1 Página 14

Curvas Cerradas determinada por

se dice que es una curva

cerrada si

:

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 15

no es simple

Velocidad y Aceleración

Si la curva representa la trayectoria

de un móvil podemos llamar a

el vector velocidad , el vector

aceleración.

En general en estos casos

escribimos

Curva Regulares

Si tiene representación

paramétrica

,

Se dice que es una

curva regular si

.

Consecuencia

No

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2012-1 Página 16

Parametrización

Una se puede parametrizar

de varias formas

(equivalencia)

¿Quién es ? ¿Es una rep. paramétrica de ?

¿Es una rep. par?

No, pues :

¿Es una rep. param?

Longitud de arco

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2012-1 Página 17

es la longitud de arco

∫ ‖‖

CL

∫ ‖‖

∫ √

∫ √

Geometría Diferencial

Si una curva con rep.

paramétrica donde .

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2012-1 Página 18

se puede parametrizar en

términos de la longitud de arcos

:

[ ]

En caso esta rep. paramétrica

con parámetro ,

Veamos que son equivalentes

es un vector tangente unitario

a en

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2012-1 Página 19

Definimos el vector normal

asimismo definimos

el vector binormal

es un vector unitario

=1

Recordando (clase 3)

Plano Normal

Plano Osculador

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2012-1 Página 20

Identidades tiene representación paramétrica

un parámetro

aplicando identidades del producto

vectorial se tiene que

Fórmulas de Frenet

Generalmente trabajamos con curvas

en de clase , regular

Estudiemos el comportamiento de

estos vectores de referencia o triedro

de Frenet en P, cuando P se traslada

a lo largo de la curva , originándose

3 campos de vectores a lo largo

de

.

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2012-1 Página 21

Afirmación

Curvatura

Sea una curva determinada

por

definamos la función , consideremos

a parametrizada con

respecto al parámetro s

(longitud de arco).

s

que se llama curvatura

Podemos escribir

al tomar módulos, resulta que

la curvatura es la variación

del vector tangente por unidad

de longitud de arco.

Interpretación

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 22

Torsión

Definamos para con rep.

paramétrica longitud

de arco, la torsión

Como la variación de la

binormal por unidad de longitud.

Apreciaciones

Tomemos las siguientes expresiones

en términos de coordenadas rectangulares

1) Definimos el círculo de curvatura, el

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2012-1 Página 23

radio de curvatura

Centro del círculo de curvatura

2)

Propiedad

(Demostrar)

Matricialmente

Ejercicios

radio de

curvatura

Círculo de

Curvatura

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2012-1 Página 24

Encontrar las ecuaciones de los

planos osculador y rectificante

para la curva

:

en el punto √

Solución

y √

⁄ ⁄

√ √

Plano Osculador

√ √ √

Plano Rectificante

√ √

√ √

Ejercicio (tarea)

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2012-1 Página 25

Encontrar la curvatura para

en

Ejercicios (tarea)

[ ]

Calcule , en el punto √

de

Demostrar la propiedad siguiente

(Demostrar)

Solución

De la definición de curvatura

Se sabe que

Por definición de vector normal unitario

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2012-1 Página 26

Se sabe que y son vectores

unitarios perpendiculares

=0

Derivando con respecto a

Como los tres vectores unitarios

constituyen una base en

entonces se puede expresar cualquier

vector en función de esa base

entonces

Sea

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2012-1 Página 27

Ejercicio

Encontrar la curvatura para

en .

Solución:

Derivando implícitamente las dos curvas

que se dan (con respecto a )

y por otro lado

Reemplazando las componentes en el

punto que nos dan

y

Derivando nuevamente implícitamente

Reemplazando los valores hallados

y

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2012-1 Página 28

Se sabe que la curvatura es

√ √

Ejercicios

1) [ ]

Solución

De las ecuaciones de Frenet

multiplicando escalarmente por el vector binormal

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 29

[]

2)

Solución

Del problema anterior expresando en componentes

Reemplazando en la demostración

del problema anterior

[]

Calcule , en el punto √

de

Solución

Derivando implícitamente con respecto a

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2012-1 Página 30

√ ,

√ √ √

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2012-1 Página 31

√ √ √ √

√ √ √ √ √

√ √

√ √ √

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2012-1 Página 32

El vector Darboux

Si r = r (s) nos da la posición de un punto de la curva de la cual es

una representación paramétrica, se define el vector Darboux como w (s) tal

que:

T'(s) = w(s) x T(s)

N'(s) = w(s) x N(s)B'(s) = w(s) x B(s)

Como entrenamiento comprobar y/o resolver:

a) w= t T(s) + k N(s)

b) ¿Cuál es el vector de Darboux de una curva plana?c) Determinar el vector de Darboux para una hélice circular recta

d) ¿Cuáles son las curvas para las cuales w es constante?

e) ¿Cuál será la relación entre t y k para que w x w' = 0

f) Ver que T'(s) x T''(s) = k 2

w(s), es decir que el vector de Darboux

determina la rotación instantánea del triedro de Frenet.g) Sea r(t) = (rcos(at) , rsen(at), bt) a, b, r Є R, determine el vector de

Darboux.

h) Determine la curvatura y el vector de Darboux para la curva plana C

dada en coordenadas polares.

i) Determine la torsión de la curva C en R 3 en coordenadas esféricas.

j) Determine la curvatura y el vector de Darboux para las curvas:-La espiral logarítmica: r=ae bθ, a , b Є R

-La espiral de Frenet: r 2 = θ

-La limacón: r =2acos(nθ) + b

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 33

1.- Sea la ec. de la parábola 2 4y px con 0 p

Parametrizando

2

2

x pt

y pt

2

2

x pt

y p

2

0

x p

y

Ec. de la Evoluta en el plano:

*r r N , donde

32 2 2

32 2 2

x y x y y x k

x y y x x y

Hallando la evoluta para una parábola cualquiera de la forma 2 4y px :

2

2

x pv

y pv

3

2 2 2 32 22 1

x y p v

x y y x

2

,12 ,2

1

v r pv p r T T

v

2

1,

1

v N T

v

Para curvas planas

Ec. de la evoluta:

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2012-1 Página 34

3

2 2 2 32

2

1,,2 2 1 3 2 , 2

1

v pv pv p v pv p pv

v

Graficando:

Vemos que tanto P y Q se encuentran

en el primer cuadrante por lo tanto:

1 10 ,0 ,0 ,0 x y x y … (*)

Igualando la ec. de la parábola y la

evoluta:

2 3 23 2 , 2 ,2 pv p pv pt pt

2 2 2 23 2 3 2 pv p pt v t … (1)

3 32 2 pv pt v t … (2)

Por condición (*): 0 , 0t v

Reemplazando (2) en (1):

2 6 6 23 2 3 2 0v v v v hacemos 2v s

3 3 23 2 0 2 2 0 1 2 1 0s s s s s s s s

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2012-1 Página 35

21 1 2 1 0 1 2 0s s s s s s s

2 21 2 0 1 2 1 2 2s s s v v por condición (*)

Punto de intercepción:

, 8 , 4 2 x y p p para 2 2 2v t

Para que deje la parábola:

2

cosC N C N

v F F ma ma m mg

donde

1tan

y

x t

Por conservación de energía:

2

2

1 14 2 2 4 2

i f i f

v E y mg E mg m E E v g y p

3

2 22 1 54 p t p

2

cosv

g

1

2

2 4 2

54 1

g y p t g

p t

para 2 2t

1

t

2

1 t

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2012-1 Página 36

2

1 1 122 2 4 , 242 ,22 2y p y px x y p p

Como sabemos, un espiral equiangular, puede estar dado en forma paramétrica por

Luego, la evoluta está dada paramétricamente por

Y entonces, analíticamente, la evoluta de un espiral equiangular es otra espiral equiangular,

con parametros y .

En algunos casos, la evoluta es idéntica a la espiral original, como puede ser demostrado

haciendo la substitución en la nueva variable:

.

Entonces las ecuaciones anteriores se convierten en :

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 37

las que son equivalentes a la forma de la ecuación original si se verifica que

.

Problema1 Un móvil de masa m es atraído hacia el origen de coordenadas con la

fuerza f = - R si parte del punto (a, 0) con velocidad. Perpendicular al eje X,

compruébese que la ecuación de la trayectoria es = a (donde es el ángulo

formado por el vector posición y el eje X).

Solución

En primer lugar, se va a demostrar que el movimiento tiene su trayectoria en un plano:

Se sabe que f = - R luego f = m.a entonces a = - R

Como = r

ya que = = 0

Resulta:

=

) = 0

= (vector constante) ya que r y R son paralelos.

Multiplicando escalarmente por r el vector :

. = 0 = .

Es decir permanece constantemente perpendicular a un vector fijo y , por tanto ,el

movimiento se realiza en un plano.

La aceleración del movimiento se puede expresar mediante:

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2012-1 Página 38

a = R +

P

La aceleración es puramente radial, ya que no actúan otras fuerzas distintas que la

atracción desde el origen. Por tanto:

- =

De (2) se deduce: = c = constante

Por otra parte, = ; =

c =

=

=

=

La solución de la ecuación diferencial (3) es:

= a

Como vamos a comprobar.

Llamando A =√

=

Y teniendo en cuenta (4)

=

=

= AsenA

= cosA = cosA. =

A

=

=

Por tanto, - = A - = A

Como

= ; - 1 =

-

=

= A =

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2012-1 Página 39

Por tanto, = a Es solución de la ecuación (3).

Solo tendrá valores reales si

Es decir, ;

Problema2 demostrar que para dados los positivos , , ,…, se cumple la siguiente

desigualdad:

1.

Solución Considerando la función:

, siendo

,

,

,…,

positivos, además = C, siendo C una constante.

Nuestro problema consistirá en demostrar que el máximo valor de esta función sea

lo cual lo conseguiremos por el método de los extremos condicionados de

Lagrange siendo la condición = C, siendo C una constante .Siendo= = C

Resolveremos y = = C

.

=

. =

. =

Igualando la primera con la segunda ecuación se obtiene que , análogamente se

obtiene que además = C

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2012-1 Página 40

Entonces , evaluando en la función =

= , que seria un valor extremo (mínimo o máximo) para cualquier valor de

n.

Demostraremos que es el máximo de la siguiente manera:

Se sabe que √ √ siendo positivos

Es decir el máximo valor de =√ es =

Por lo tanto como ha cumplido que

es el máximo valor para n=2, también lo será para todo n

entero.

Por lo tanto.

Evoluta de la elipse

Dada la elipse:

Su evoluta viene dada por:

que, eliminando el parámetro, queda:

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2012-1 Página 41

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2012-1 Página 42

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2012-1 Página 43

3.- Si la ecuación paramétrica de la podaria de una curva respecto al punto (0; 0) es igual a

Entonces determinar la ecuación paramétrica de la curva.

Solución:

Del grafico se observa:

TORTOGONAL // R* … (a)

(R-R*) // t … (b)

De (a) se obtiene que:

De (b) se obtiene:

Despejando la relación:

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2012-1 Página 44

2.- Sea una curva plana en coordenadas polares definida por p=p (t), t

varia de un valor “a” hasta otro valor “b” (a ≤ t ≤ b) ,hallar la longitud de

esta curva .

Solución:

Definimos la ecuación vectorial de la curva en 2D por :

R (t) = (p (t) cos(t), p (t) sen(t))

R'(t) = (p’ (t) cos(t) - p (t) sen(t), p'(t) sen(t) + p (t) cosє(t))

II R’ (t) II = ((p (t))2

+ (p’ (t))2 )1/2

Sea “S” la longitud de arco, estará dada por :

S (t) = ∫ dt

Donde:

S = 0, corresponde el valor de t= a

3.- Probar que si la normal principal a una curva tiene dirección

constante, la curva es una recta.

Solución:

Condición el vector normal es constante:

Derivando respecto del parámetro natural longitud de arco “S”

‘ = -k + t = (de la condición ) ,entonces se desprende :

K = 0, ecuación intrínseca de una recta

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2012-1 Página 45

,K= curvatura.

4.- Demuestre que si todo punto de una curva tiene orden de contacto

de la curva con la tangente, un orden 2, la curva es una recta.

Solución:

De la condición orden 2:

Sea R(s) el vector posición que define ah la curva atreves de su

parametrizacion natural “S” (longitud de arco) entonces al segunda

derivada viene dada por:

R''(s) = k = (donde se desprende k=0) por lo cual la curva es una

recta.

5.- Demostrar que una curva es una curva es una recta si todas sus

tangentes pasan pasan por un punto fijo.

Solución:

Sea “P“el punto donde coinciden las tangentes, entonces:

P(s) = R (s) + C(s) (s) , Donde :

R (s) Define el vector posición de la curva

(s) es el Vector tangente unitario de la curva

C(s) funcion escalar

Derivando respecto del parámetro natural longitud de arco “S”

P'(s) =(1+ C'(s) ) (s) + C(s) k (s)

Como “P” es un punto fijo entonces su derivada será el vector cero

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2012-1 Página 46

Por lo cual dado que (s) y (s) son linealmente independientes

K =0 por lo cual es una recta.

6.-Demostrar que la siguiente curva X = t2 -1 , Y = t2 + 2t+3 , Z = t+1, es

Plana.

Solución:

Sea R (t) el vector que define la posición de la curva para todo parámetro

“t” :

R (t) = ( t2 -1 , t2 + 2t+3 , t+1 )

R' (t) = (2t, 2t +2, 1)

R'' (t) = (2, 2, 0)

R''' (t) = (0, 0, 0)

Torsion = (R’ (t) x R'' (t) .R''' (t) ) / IIR' (t) x R'' (t)II2

Como R''' (t) = (0, 0, 0), tendremos Torsión = 0 lo que define una curva

plana.

7.- sea : I―R3 una curva regular con curvatura no nula, supongamos

que el normal unitario

es proporcional al vector posición

, esto es

(s) = C(s) (s) ,para todo “S” ,donde C(s) es una función

, determinar la curva.

Solución:

(s) = C(s) (s)

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2012-1 Página 47

Derivando respecto de “ S “ :

-k + t = C'(s) (s) + C(s) Donde se desprende :

C(s) = - k y de t = C'(s) (s) se desprende torsión = 0 ……..(1) y

C'(s) =0 ……… (2) ,por lo cual C(s)constante que implica curvatura

Constante, de (1) y (2) la curva vendría ah ser una circunferencia.

8.-Probar que si los planos normales de una curva tienen un punto en

común, la curva esta en una esfera de centro en ese punto.

Solución:

Sea el punto común de los planos normales (plano binormal ),entonces

De la ecuación del plano normal:

( ).

= 0 , =vector posición de la curva

Derivamos respecto del parámetro longitud de arco “S” :

- . + ( ). k = 0

( ). = 1 / k …………………………… (1)

Derivamos (1) respecto del parámetro longitud de arco “S” :

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2012-1 Página 48

( ).( -k + t ) = k' / k2

Donde obtenemos:

( ). = k' / tk2

……………………………………(2)

De (1) y (2) desplendemos :

= + (1 / k ) + (k' / tk2 )

Ecuación centro de la esfera cuyo radio: R

R2 = (1 / k )2 + (k' / tk2 )2

9.-Hallar la ecuación de la recta tangente y del plano osculador en el

punto

(2,-2,2) a la curva definida por :

2x2 – z2-3x +2 = 0 …………(1) y x2 - z2 +x+y = 0 ……….(2)

Solución:

Derivamos (1) y (2) respecto de “ x “ en forma implícita:

4x- 2zz'-3 = 0 ………… (3) y 2x-2zz'+1 + y' = 0 ……. (4)

Evaluando el punto (2,-2, 2) para las ecuaciones (3) y (4) obtenemos:

z' = 5/4 , y' = 0

Derivamos (3) y (4) respecto de “ x “ en forma implícita:

4-2z'2-2zz'' = 0 ………. (5) y 2-2z'2-2 zz''+ y'' = 0 ……….. (6)

Evaluando el punto (2,-2, 2) para las ecuaciones (5) y (6) obtenemos:

z''= 7/32 , y'' = 2

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2012-1 Página 49

Sea

(x) el vector posición de la curva oh ecuación vectorial que define

la posición, entonces:

(x) = ( X, Y(x), Z'(x)) (x) = ( 1 , Y'(x),Z'(x) ) (x) = ( 1 , Y''(x),Z''(x) )

En el punto (2,-2,2)

(2) = ( 1 , 0, 5/4 ) (2) = ( 0, 2 , 7/32 )

Como // (x) X (x) , entonces:

La ecuación del plano osculador en el punto (2,-2,2) vendría dada por:

(x-2,y+2,z-2).(-5/2 , -7/2 , 2 ) = 0

Y la recta tangente en el punto (2,-2,2) :

(x,y,z) = (2,-2,2) + t ( 1 , 0, 5/4 )

10.-Considerar un punto P de una curva “C” y un punto P1 próximo ah P

Sobre la curva “C” , en el sentido positivo desde P, sobre el lado positivo

de la tangente ah la curva “C” en P , Colocamos un segmento PM igual ah

la longitud del arco “ds “ de P1 entre P y P1 ,denotamos la longitud del

segmento P1M por σ ,entonces probar que la curvatura “k”

De curva “C” e P esta dada por :

K = limds →0 2 σ / ( ds )2

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2012-1 Página 50

Solución:

Por TAYLOR:

Aproximamos la curva “C” :

Sea (s) el vector posición que define ah la curva “C” 1 = + ds + (ds2k /2) 1 - ( + ds ) =

II

II = σ = ds

2k/2

De donde se desprende

K = limds →0 2 σ / ( ds )2

11.-Se denomina Hélice general aquella curva cuyas tangentes formanUn ángulo constante con una dirección fija .Demostrar que una curva es

una hélice general si solo si sus binormales forman un ángulo constante

Con una dirección fija.

Solución:

Sea el vector que define dicha dirección fija , de :

. = cosθ = constante………. (1) y k/t =constante………… (2)

Características de una hélice general:

Derivamos (1) respecto del parámetro “S” longitud de arco

k = 0…………….. (3)

Derivamos (3) respecto del parámetro “S” longitud de arco

-k . + t = =0

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2012-1 Página 51

= (k/t)cosθ

Entonces para que sea una hélice general debe cumplir si solo si la

condición:

“hélice general si solo si sus binormales forman un ángulo constante”

Lo cual desprende la característica de una hélice:

k/t =constante = tgtθ

12.- Demuestre que la curvatura k* de la proyección de una hélice

general estará dada por k = k* (senθ)2 donde θ diferente de cero, es el

ángulo que forma el eje con los vectores tangentes ah la hélice y k la

curvatura de la hélice.

Solución:

Sea * el vector posición que define ah la proyección de la hélice y

el vector posición que define ah la hélice ,

el vector normal al plano

de la hélice proyectada ,entonces :

* = – ( . )

Derivando respecto del parámetro S1 (longitud de arco de la hélice

proyectada)

* = (

– (

)

)dS /dS1 ……….. (1)

Sacando modulos en (1)

dS/dS1 = 1/ senθ

derivando (1) respecto de S1 y sacando modulos se obtiene la relación :

k = k* (senθ)2

13.-Si “C” es una curva con torsión “t” no nula, demostrar que es una

curva de Bertrand si solo si existen constantes m y n tales que cumple lo

sgte : m k + nt = 1 ; k= curvatura y t = torsión

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2012-1 Página 52

Solución:

Una curva de Bertrand es aquella cuyas normales son paralelas a las

normales de otra curva, entonces partimos de ello:

* y las curvas de Bertrand con lo cual tenemos la sgte relación :

* = + c ……….(1) , c = constante

Derivando (1) respecto del parámetro S1 (longitud de arco para *)

* = ((1-ck))

+ ct

) dS

/dS

1…………….(2)

Sea * = (cosθ ,senθ ) , de (2) desprendemos :

Tgtθ = ct / 1-ck ………………………… (3)

De (3) :

1= (ctgθ)ct +ck -------- m k + nt = 1 (relación pedida)

De esta comparación se desprende lo sgte :(ctgθ)c = n y c =m , donde c = es la distancia entre 2 curvas de Bertrand

14.- Demuestre:

Lim(X,Y)→(1,2) XY = 2

Solución: Por definición: є > 0, existe un d > 0 / Ix-1I < d y Iy-2I < d entonces Ixy-2I < є

De Ixy-2I < є, hacemos el pequeño artificio sgte :

Ixy-2x+2x-2I < є → Ix( y-2)+2(x-1)I < є por desigualdad triangular :

Ix( y-2)+2(x-1)I < Iy-2I.IxI +2 I(x-1)I < є ……….. (1)

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2012-1 Página 53

Acotamos x para un d1= ½ entonces

½ < x < 3/2 → Iy-2I.IxI < 3 d /2 , ademas Ix-1I < d ……………….. (2)

De (1) y (2)

Iy-2I.IxI +2 I(x-1)I < 7d / 2 = є

Por lo tanto dminimo = ( 2є / 7 , ½ )

15.- Encuentre en caso exista un plano osculador para la curva “C” :

Sea (t) el vector posición que define ah la curva “C” , (t) =( t2 , t2 , t) que pase por el punto (1,2,3).

Solución:

Hallando el plano osculador en cualquier punto “t”

(t) = ( 2t , 2t, 1 ) (t) = ( 2, 2, 0 )

Como

//

(t) X

(t)

la ecuación del plano osculador en cualquier punto “t”, sea “P” un punto

perteneciente ah ese plano ,será :

(P-( t2 , t2 , t)).(-2,-2,0) =0

Para que el punto (1,2,3) pertenezca ah un plano osculador de la curva

,entonces debe haber un “t” real que satisfaga la ecuación, tomáremos ah

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2012-1 Página 54

(1,2,3)como el punto “P” y reemplazamos en la ecuación del plano

osculador :

(1-t2)(-2) +(2-t2).2 = 0

-2+ 2t2 +4 – 2t2 =0 → 2 = 0 (falso ) ,lo cual implica que no existe

Plano osculador de la curva (t) que pase por el punto (1,2,3) .

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2012-1 Página 55

16.-

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2012-1 Página 56

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 201113CULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 22/01/11 DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS Duración: 2 horas

CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M

TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. 1 Ex. PARCIAL EX. FINAL

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso seafalsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente.

a. El conjunto 2( , ) / ( , ) (0,0) A x y R x y es un conjunto convexo.

b. La frontera de la región , / x y x I es 2 R .

2. Justificar la verdad o falsedad de:

a. SI , A B B simplemente conexo, entonces A también es simplementeconexo .

b. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva , con parametrización

3: , ,100r I R I a , con aceleración constante en modulo, entonces

( ). ( ) 0

t

a

a u a u du .

3. Analice si se cumple: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) , f t f t f t t Dom f

4. Demostrar que 2( , ) / 0 A x y R x es un conjunto abierto.

5. Demostrar que toda curva plana, tiene torsión cero en cada punto de dichacurva.

6. Demostrar que una curva con parametrización ( )r t es una curva plana si

su torsión es cero en todo punto de ella.

7. Demostrar que una curva con parametrización ( )r t tiene como curvatura

( ) ( )( )

3( )

r t xr t k t

r t

8. Parametrizar la curva si una parametrización es

( ) (1 , , 2 ) , 0,1r t t t t t

Usando como parámetro la distancia del origen al punto del segmento.

9. Encontrar el vértice de la parábola descrita por la función vectorial2( ) (1 ,3 1 )r t t t t t .

10. Hallar las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador a la curva

2 2 2 2 2, / 3, 2C x y x y z x y en el punto (1,1,1).

11. Sea C una curva dada por )23,1,2()( 22 t t t t hallar la ecuación de la recta

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2012-1 Página 57

1. Encontrar una función armónica

U(X,Y,Z) = φ (x2+ y2 +z2 )

En caso exista tal función.

Solución:

Sea T (X,Y,Z) = x2+ y2 +z2

Para que sea armonica φ(t) debe cumplir la ecuación de Laplace de

Donde se desprende la sgte relación:

= -

Tx = 2x → Txx = 2

Ty = 2y → Tyy = 2

Tz = 2z → Tzz = 2

Entonces

= ∫ dt → =

/c

Φ' (t) = (t/c) -3/2 → φ(t) = -2C1 (1-1/

) + C2 , donde C1 =(

)-3/2

FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL.

Teorema de Schwartz

Se trata sobre la permutabilidad de las

derivadas parciales.

Enunciado.

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2012-1 Página 58

tal que tenga dadas en , si las funciones , son continuas en , y

aplicación

Encontrar de manera que:

continuas en todo

FP:

En el caso de se tendrá. / en

si

son continuas.

en y en

aplicación:

Encontrar

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2012-1 Página 59

1) continuas en .

Hallamos ∫

cte

luego:

a cte

Relación con EDO

Podemos apreciar que al igual que

en : I I es diferenciable si:

para alguna

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2012-1 Página 60

tal que

Para una

siempre que

es pequeño

PDA Usando dif

√ √

.

√ √

√ √

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2012-1 Página 61

EDOEPO

Es exacta si

Por Schwartz

es la solución EDO. Aplicación

Resolver

Aplicación

Resolver:

veamos si

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2012-1 Página 62

sq

La solución será.

Recordando MA113

ambos diferenciales,

Sea :

y si cada variable

entonces podemos encontrar

para lo cual usamos

“cadenas”

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2012-1 Página 63

+

Comentario

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2012-1 Página 64

Caso Particular

Ejercicio

Si es una función de

(unidad imaginaria)

Verificar que

Derivada Direccional| |

Interpretación

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2012-1 Página 65

Derivadas Parciales

base canónica de

es la derivada parcial de

con respecto a en .

Notación

Apreciaciones

Si entonces

En caso

Si ¿ es continua en ?

Veamos si se cumple o no que

k-ésima

componente

Plano

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2012-1 Página 66

Consecuencia

es conocida como una derivada de orden?

así podemos definir cualquier otra derivada de

orden superior

Comentario

‖‖

‖‖

encontremos

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2012-1 Página 67

-

Gradiente

Dada

entonces el gradiente de

se define como

(Notación sintética)

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2012-1 Página 68

Nos interesa cuando

Ejemplo

En cada punto donde existe

se interpreta de la siguiente

manera. será una

“superficie” (en general), si entonces

Consecuencia

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 69

Relación con la Derivada Direccional

así podemos ver que es máxima

cuando y

tiene la misma dirección

y sentido.

Laplaciano

Es un operador que está definido ∑

()

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2012-1 Página 70

Nota

Ecuación de Laplace

Definición

se dice que es

una función armónica, si:

PI

¿ ?

(nota )

En General

Sustituyendo en la ecuación

de Laplace.

Separando variables

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2012-1 Página 71

∫ ∫

En caso afirmativo

∫∫ ⌋ Caso analizado

_ ___

∫∫ ⌋

Teorema de Existencia

Si conocemos las derivadas parciales

de una , como encontramos .

Para lo cual hablaremos de la

diferencial de una función.

Continuidad

Si se dice que es continua en si

1) p.a de 2)

3)

Consecuencia

continua en

si

1)

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2012-1 Página 72

2)

3)

Equivalentemente:

cont en

Continuidad en ( Sea

cont en

continua en

Limitación

Imaginación (pensemos en n=6)

.

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 73

Derivada Direccional

Dada una función

donde , tomemos

unitario ‖ ‖ definimos

h variable real

Consideremos

.

.

.

Plano

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2012-1 Página 74

en este caso

es una superficie

De la gráfica se concluye que es la pendiente de la

recta tangente a curva

intersección del plano

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 75

=

Aplicación

Encuentre si

donde √ √

= √ √

= √ √

√ √

ahora

Derivadas Parciales

La base canónica de es aquel vector

unitario cuyas componentes

son O, salvo la i-ésima

componente que es 1

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 76

Definición

Si

Aplicación

Si , encontrar

apreciamos

Observación

Si

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2012-1 Página 77

Ejemplo:

V o F

intervaloSea

entonces.

Encontrar la curvatura máxima para dada

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 78

son curvas de Bertrand asociadas

El vector de Darboux satisface

en el cual

Determine en caso exista un plano

osculador a la curva

de manera que pasepor el punto Encuentre la podaria para la parábola

P.I

V o F es una curva simple

definida por

|| es una curva regular es un conjunto convexoSi , y convexos

entonces

es convexo

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2012-1 Página 79

No tiene derivada en cero

II)

III)

4) Si

,

y

convexos

entonces es convexo

5) Si es los conjuntos

convexo , entonces y son

convexos

Si

es convexo (no vacío)

1 √

V

F

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2012-1 Página 80

entonces y son convexos

De la def

Taylor

Recordemos cuando

Generalizando: diferenciable en , es decir tiene

todas sus derivadas parciales

continuas en .

Podemos aproximar , mediante lospolinomios de Taylor, aproximemos por

un polinomio de grado 1 en

.

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2012-1 Página 81

Polinomio de grado 2

+

+

Grado 3 en tres variables

+

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2012-1 Página 82

Ejercicio

Aproximar

por

PROBLEMAS 11. Calcular || || ∑ ||

Sol.

Como: ||||

||||

||||

Luego:

||||∑ ||

|| | | | |

Tomamos la trayectoria

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2012-1 Página 83

|| | | | | ||||

|| | | | | || √ |||| √

Como los limites son diferentes, entonces:

||||∑ ||

2. Calcular:

|| |||| ||

,

Sol.

Como:||||

||| |

|||||| ||

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2012-1 Página 84

|||||| ||∑

Luego:

|||||| ||∑

Tomamos la trayectoria:

||

Si:

Entonces concluimos que:

|||||| ||∑

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2012-1 Página 85

3. Resolver:

Sol.

Sea:

Derivamos respecto a x:

Derivamos respecto a y:

) Luego:

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2012-1 Página 86

Entonces tenemos la ecuación:

4. Resolver:

Sol.

Usamos:

Entonces:

Integramos:

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2012-1 Página 87

5. Resolver:

Sol.

Usamos:

Entonces:

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2012-1 Página 88

PROBLEMAS 2

1. Analizar si existe o no:

∑ En caso afirmativo demostrar que existe por

definición.

Sol.

∑ ∑

Tomamos la trayectoria:

=

Si: ∑ ∑

∑ ∑

Demostramos usando la definición:

Con =

| | | | | |

Como: || , tomamos: . El limite queda demostrado.

Entonces:

∑ ∑ , si

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 89

∑ ∑ , si

2. Determine la condición para que

exista una función armónica

Sol.

Sea:

Por la ecuación de Laplace:

Integrando:

, constantes.

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2012-1 Página 90

3. Determinar la distancia mínima del origen a la curva

Sol.

La distancia del origen a un punto (x,y,z) de la curva esta dada por:

Por multiplicadores de Lagrange:

Derivando:

Resolviendo el sistema:

Evaluando en la ecuación:

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2012-1 Página 91

4. Encontrar una solución de la ecuación:

Sol.

Sea:

Derivamos respecto a x:

Derivamos respecto a y:

)

Entonces:

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2012-1 Página 92

También:

Entonces tenemos la ecuación:

Integrando:

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2012-1 Página 93

5. Se tiene que

Determine la ecuación de Laplace en términos de y

Sol.

Ordenando variables:

Por diferenciación total:

Por la ecuación de Laplace:

6. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva

,

paralela a la recta L=P=t(2,-3,1)/t

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2012-1 Página 94

Sol.

Sea:

.…(1)

.…(2)

Hallamos sus vectores gradiente:

La recta tangente tiene por vector direccional a:

x

x

Por ser paralela a la recta: L=P=t(2,-3,1)/t, entonces:

,

Entonces: x

Buscamos un punto de paso (el punto de tangencia):

en (1) y (2)

7. Encontrar en que dirección la derivada direccional , √

Sol.

Por definición:

(producto escalar)

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2012-1 Página 95

| || | | |

El máximo valor se da cuando , es decir: (paralelos)

Como:

es el ángulo formado entre el gradiente y el unitario

Por ser paralelos, el gradiente tiene la dirección √

Por lo tanto:

El máximo valor de la derivada direccional se obtiene cuando el gradiente y tienen la misma

dirección.

La dirección pedida será .

8. Demostrar que la media aritmética de tres números es mayor que la media geométrica

usando máximos y mínimos.

Sol.

Sean los números:

Tomémoslo como los puntos de la esfera:

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2012-1 Página 96

Hallaremos los puntos de la esfera en los cuales la función: es máxima.

Usando multiplicadores de Lagrange:

Resolviendo:

Evaluando en la función:

(valor mínimo)

√ √ √ (valor máximo)

Entonces:

√ √ √

Como:

9. Determine la distancia mínima entre las superficies

Sol.

Sea:

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2012-1 Página 97

Hallando los máximos y mínimos de las funciones y

(valor extremo: máximo absoluto)

(valor extremo: mínimo absoluto)

Luego:

La distancia mínima será: dmin=20-10=10unidades

10. Sea f una función definida sobre un conjunto abierto A, supongamos que existen

derivadas parciales para todo punto de este conjunto y que son continuas. Demostrar

que es diferenciable.

Sol.

Dado que , están definidas en un entorno de un punto cualquiera del

conjunto A, además , son continuas en .

Luego podemos hallar un incremento de f en el punto :

x

y

z

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2012-1 Página 98

Donde:

Podemos definir:

Luego:

[ ]

Por continuidad: cuando

Entonces por definición:

es diferenciable.

11. Mostrar que la función es diferenciable en todo

Sol.

F esta definida en todo , veamos si es diferenciable en un punto cualquiera

Analizamos el incremento de la función:

Ordenando términos:

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2012-1 Página 99

Como:

Entonces podemos escribir:

Donde:

Entonces:

la diferenciabilidad queda demostrada

12. En el circuito mostrado, halle R la resistencia conectada en ab talque consume la

máxima potencia, I,r1,r2 son conocidas.

Sol.

Reduciendo el circuito

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2012-1 Página 100

Luego la resistencia equivalente entre los puntos a y b es:

Entonces:

La resistencia conectada entre a y b que consume la máxima potencia es:

PROBLEMAS 3

1. / ?

Sol.

Sea:

Luego:

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2012-1 Página 101

Reemplazamos en:

como:

Luego.

Reemplazando:

2. Expresar el laplaciano en términos de u y v

…(1)

…(2)

Sol.

Derivamos respecto a x:

Derivamos respecto a y:

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2012-1 Página 102

PROBLEMAS 16. Calcular || || ∑ ||

Sol.

Como: ||||

||||

||||

Luego:

||||∑ || || | | | |

Tomamos la trayectoria

|| | | | | ||||

|| | | | | || √ |||| √

Como los limites son diferentes, entonces:

||||∑ ||

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2012-1 Página 103

7. Calcular:

|| |||| ||∑ ,

Sol.

Como:

||||

||| |

|||||| ||

|||||| ||∑

Luego:

|||||| ||∑

Tomamos la trayectoria:

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2012-1 Página 104

||

Si:

Entonces concluimos que:

|||||| ||

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2012-1 Página 105

8. Resolver:

Sol.

Sea:

Derivamos respecto a x:

Derivamos respecto a y:

)

Luego:

Entonces tenemos la ecuación:

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2012-1 Página 106

9. Resolver:

Sol.

Usamos:

Entonces:

Integramos:

10. Resolver:

Sol.

Usamos:

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2012-1 Página 107

Entonces:

PROBLEMAS 2

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2012-1 Página 108

13. Analizar si existe o no: ∑ ∑ En caso afirmativo demostrar que existe por

definición.

Sol.

∑ ∑

Tomamos la trayectoria:

=

Si: ∑ ∑

∑ ∑

Demostramos usando la definición:

Con =

| | | | | |

Como: || , tomamos: . El limite queda demostrado.

Entonces:

∑ ∑ , si

∑ , si

14. Determine la condición para que exista una función armónica

Sol.

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2012-1 Página 109

Sea:

Por la ecuación de Laplace:

Integrando:

, constantes.

15. Determinar la distancia mínima del origen a la curva

Sol.

La distancia del origen a un punto (x,y,z) de la curva esta dada por:

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2012-1 Página 110

Por multiplicadores de Lagrange:

Derivando:

Resolviendo el sistema:

Evaluando en la ecuación:

16. Encontrar una solución de la ecuación:

Sol.

Sea:

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2012-1 Página 111

Derivamos respecto a x:

Derivamos respecto a y:

)

Entonces:

También:

Entonces tenemos la ecuación:

Integrando:

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 112

17. Se tiene que

Determine la ecuación de Laplace en términos de y

Sol.

Ordenando variables:

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 113

Por diferenciación total:

Por la ecuación de Laplace:

18. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva ,

paralela a la recta L=P=t(2,-3,1)/t

Sol.

Sea:

.…(1)

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 114

.…(2)

Hallamos sus vectores gradiente:

La recta tangente tiene por vector direccional a:

x x

Por ser paralela a la recta: L=P=t(2,-3,1)/t, entonces:

,

Entonces: x

Buscamos un punto de paso (el punto de tangencia):

en (1) y (2)

19. Encontrar en que dirección la derivada direccional , √

Sol.

Por definición:

(producto escalar)

| || | | |

El máximo valor se da cuando , es decir: (paralelos)

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 115

Como: es el ángulo formado entre el gradiente y el unitario √

Por ser paralelos, el gradiente tiene la dirección √

Por lo tanto:

El máximo valor de la derivada direccional se obtiene cuando el gradiente y tienen la misma

dirección.

La dirección pedida será .

20. Demostrar que la media aritmética de tres números es mayor que la media geométricausando máximos y mínimos.

Sol.

Sean los números:

Tomémoslo como los puntos de la esfera:

Hallaremos los puntos de la esfera en los cuales la función:

es máxima.

Usando multiplicadores de Lagrange:

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2012-1 Página 116

Resolviendo:

Evaluando en la función:

(valor mínimo)

√ √ √ (valor máximo)

Entonces:

√ √ √

Como:

21. Determine la distancia mínima entre las superficies

Sol.

Sea:

Hallando los máximos y mínimos de las funciones y

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2012-1 Página 117

(valor extremo: máximo absoluto)

(valor extremo: mínimo absoluto)

Luego:

La distancia mínima será: dmin=20-10=10unidades

22. Sea f una función definida sobre un

conjunto abierto A, supongamos que existen derivadas parciales para todo punto de

este conjunto y que son continuas. Demostrar que es diferenciable.

Sol.

Dado que , están definidas en un entorno de un punto cualquiera del

conjunto A, además , son continuas en .

Luego podemos hallar un incremento de f en el punto :

Donde:

x

y

z

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 118

Podemos definir:

Luego:

[ ]

Por continuidad: cuando

Entonces por definición:

es diferenciable.

23. Mostrar que la función es diferenciable en todo

Sol.

F esta definida en todo , veamos si es diferenciable en un punto cualquiera

Analizamos el incremento de la función:

Ordenando términos:

Como:

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 119

Entonces podemos escribir:

Donde:

Entonces:

la diferenciabilidad queda demostrada

24. En el circuito mostrado, halle R la resistencia conectada en ab talque consume la

máxima potencia, I,r1,r2 son conocidas.

Sol.

Reduciendo el circuito

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 120

Luego la resistencia equivalente entre los puntos a y b es:

Entonces:

La resistencia conectada entre a y b que consume la máxima potencia es:

SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS III

(18/05/06)

ALUMNO: Edwin Gómez Obregón

CODIGO: 20050211J

Pregunta Nº 01

Halle la ecuación vectorial de una curva tal que la perpendicular trazada desde el centro de

curvatura hacia el vector de posición, divida a la longitud del radio vector en dos segmentos

que están en la relación de:

n(OM)=m(MP)

O: origen de coordenadas.

P: extremo del radio vector.

M: intersección de la perpendicular.

solución :

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 121

Sabemos que: tg ='r

r →

22 'r r r

Y

|''.'2|

)'(22

2/322

r r r r

r r

r’

Sea: r(t) la ecuación de

Del grafico:

n P

M

m

O

sen MP

22'

).(

r r

r mn

nr

Reemplazando “ ”, obtenemos:

n

mn

r r

r r r r

|'|

|''.'2|22

22

= C

Derivando tg ='r

r , se obtiene:

sec2

22

'

''.''.

r

r r r →

2

2

2

22

'

''.')')(

'

'(

r

r r r

r

r r

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2012-1 Página 122

1

22

22

22

2

)(

:int

1'

1'

''.'2'

'

''.''

C C

egrando

C

r r

r r r r

r r

r r r

Luego: tg '

)1( 1r

r C C

1)1( C C tg r

r

)1/(1

12

2

1

)1(

ln)1(

)1(lnln

:int

C C C senC r

C C

C C senr

egrando

La ecuación vectorial de la curva será:

))1(();)1(.(cos)( 1212 C C sen senC C C senC X

Pregunta Nº 02

En una circunferencia de diámetro OA consideramos dos puntos variables M y N tales que

m<AOM=<MON. La circunferencia de centro M y radio MO interfecta en P a ON. Halle y

grafique la función vectorial que describe el punto P.

solución :

Del grafico:

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 123

R

N

P

M

O

)2/cos(2 ROM

)2/cos(2 OM OP

2)2/cos(4 ROP

))cos(1(2 ROP

r= ))cos(2R(1 ……ecuación polar de una cardiode.

Pregunta Nº 03

Hallar las ecuaciones paramétricas de la PODARIA de una curva plana F(x,y)=0, respecto al

punto ),( 00 y x P .

P

N

M

O

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2012-1 Página 124

Del grafico adjunto:

0

dx

dy

y

F

dx

dx

x

F

y

x

F

F

dx

dy Luego el vector

1)(

),1(

2

y

x

y

x

F

F

F

F

T y el vector

1)(

)1,(

2

y

x

y

x

F

F

F

F

N

M= PN proy P n

=(0;0 y x ) +[(

0,0 y y x x ) .(

1)(

)1,(

2 y

x

y

x

F

F

F

F

)] *

1)(

)1,(

2 y

x

y

x

F

F

F

F

Pregunta Nº 04

Demostrar que las Involutas de la curva

:

)(2,

1

2,

)1(

)1()(

22

2

ubarctg u

au

u

uau x

u0 , son curvas planas.

solución :

Hacemos el siguiente cambio de variable: u= tg (t/2) → bt asent t at x ,,cos)(

Notamos que es una hélice:

22 baa ; 22 ba

b

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 125

Luego la ecuación de la involuta:

)().()()(* sT sc sr sr

Hacemos la primera, segunda y tercera derivada respectivamente:

i) )()()(*' s N sc sr

ii) )()(')()('*' s N s N sc sr

iii) )('2)('')()(''*' s N s N sc sr .

Luego, sabemos:

2

|'*'*'|

''*''.*'.*

r r

r r r

Entonces: ''')('')('.2''*''*' 2222 N N sc N N c s N N r r

Haciendo el triple producto escalar:

'''.)(''*''*'*'. 33 N N N scr r r ……….( )

)(''

''

'

2

2

N N

N N N

BT N

Reemplazando en ( ):

0''*''*'*'. r r r → =0…. (curva plana)

Pregunta Nº 05

Sea f: A R R 2 , definida por:

),( y x f =)933)(( xy y x y x

xy

Halle los extremos de la función usando la matriz Hesiana.

solución :

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 126

Factorizando denominador:

)3)(3)((),(

y x y x

xy y x f

Hallando los puntos críticos e igualando a 0:

)3()3()(

)3(),(

22

2

y x y x

x y y y x f x

= 0

22

2

)3())(3(

)3(),(

y y x x

y x x y x f y

=0

Existe en todo su dominio; resolviendo los sistemas de ecuaciones

23 y x 3y=x 2

3 x 3 y Punto critico )3,3( x

432/1)3,3( xx f xx f )3,3( < 0

432/1)3,3( yy f H (3,3) = yy yx

xy xx

f f

f f

)3,3()3,3(

)3,3()3,3(> 0

864/1)3,3( xy f

864/1)3,3( yx f Luego 24/1)3,3( f máximo relativo

Pregunta Nº 06

En el circuito mostrado, halle R para que la resistencia conectada en a-b consuma la máxima

potencia. I, r1 y r2 son conocidos.

solución :

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 127

Reduciendo el circuito:

)2(

))((

21

121

Rr r

r Rr r R

ab

De acuerdo al teorema de thevenin:

R ab

R …… para maximizar la potencia entre los bornes ¨a¨ y ¨b¨

)2(

))((

21

121

Rr r

r Rr r

=R

R21

2

121 )( r r r r r =2 2

21 R Rr Rr → )()( 2111

2 r r r r R R =0

2

)(4 211

2

11 r r r r r R

2

)45 21

2

11 r r r r R

Pregunta Nº 07

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2012-1 Página 128

Usando la regla de la cadena, halle la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto

M (3, 5,7)

S: x = 2u - v

y = u² + v²

z = u³ - v³

solución :

Consideremos:

F(x,y,z) = 0 → F(u,v) = 0, para hallar la ecuación del plano tangente necesitamos hallar el vector

gradiente, es decir: F = ( z

F

y

F

x

F

;; )

Luego:

u

F

=

x

F

.

u

x

+ y

F

.u

y

+ z

F

.

u

z

= 0

v

F

= x

F

.v

x

+ y

F

.v

y

+ z

F

.v

z

= 0

F x (2) + F y (2u) + F z (3u²) = 0

F x (-1) + F y (2v) + F z (3v²) = 0 ; para (x,y,z)=(3,5,7) →(u,v)=(3,5)

Reemplazamos:

F x = (2

9) F

z

F y = (4

3) F

z ; F = (

2

9;

4

3; 1) F

z .

La ecuación del plano será:

[(x-3) ;(y-5) ;(z-7)]. (18; 3;-4)=0 → P: 18x + 3y – 4z = 41

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 129

Pregunta Nº 08

Determinar las coordenadas de un punto de la superficie. S:12

2 x+

18

2 y+

6

2 z = 1, cuya distancia

al plano P: x + y – z = 18, sea mínima.

solución :

Teniendo: S:12

2 x+

18

2 y+

6

2 z = 1

P: x + y – z = 18

La distancia mínima en un punto esta dada por: d =3

|18| 000 z y x

Entonces, aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange:

G F

z y x z y xG

z y xd z y x F

0161812

),,(

)18(3),,(

2

0

2

0

2

0

2

000

2

Desarrollando:

2(x0

+ y0

- z0

- 18) = λ (12

2 0 x)

2(x0

+ y0

- z0

- 18) = λ (18

2 0 y)

-2(x 0 + y 0 - z 0 - 18) = λ ( 6

2 0 z

)

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 130

De donde encontramos:

x0

= 12k, y0

=18k, z0

=-6k, reemplazando en G(x,y,z) =0, tenemos que k= 1/6

El punto donde ocurre la distancia mínima (k = 1/6): (x0

, y0

, z0)= (2,3,-1)

Pregunta Nº 09

Hallar la curvatura de una curva ζ definida por las ecuaciones

S1: x + senhz = seny + y

S2: z + ez = x + Ln(1 + x) + 1, en el punto (0,0,0).

solución :

Derivando implícitamente ambas ecuaciones de las superficies, tenemos:

1 + coshz.z’ = cosy.y’+ y’→ z’+1=2y’

z’+ ez .z’=1 + x1

1+ 0→z’=1

x’=1, y’=1, z’=1→ 'r =(1,1,1)

Derivando por segunda vez implícitamente:

senhz.(z’)² + coshz.(z’’)=-seny.(y’)² +cosy.(y’’) + y’’

z’’ + ez .(z’)² +ez .(z’’) =2

)1(

1

x

z’’=2y’’

Luego z’’ + (z’)² + z’’= -1, de donde obtenemos: z’’=-1→ y’’=-1/2

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 131

''r = (0,-1/2,-1) κ=|3|'|

|'''|

r

xr r , reemplazando obtenemos finalmente: κ = 2 /2

PROBLEMA:

Dada una curva R*=

)4(2;

4 22

3

22

2

t p

t

t p

pt y un punto P = (0,0) , determine la ecuación

vectorial de una curva R cuya PODARÍA es R*(t) respecto al punto P.

SOLUCION:

Observando el grafico, nos damos cuenta de que la curva R, viene a ser la ENVOLVENTE de la

familia de rectas que son perpendiculares a P-R*(t) y que pasan por el punto R*(t)

Del grafico se deduce que (P-R*) (R-R*)=0

Ahora llamaremos: f(x,y,t) = (P-R*(t)) (R(x,y)-R*(t))=0 …(1)

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 132

Derivando C parcialmente respecto a t ,e igualando a cero

t t)y,f(x,

= (-R*´(t)) (R-R*)+(P-R*) (-R*´(t))=0

t t)y,f(x,

= (R*´(t)) (R- 2R* +P)=0 …(2)

Ahora sabemos que la ecuación de una ENVOLVENTE cumple las siguientes 2 ecuaciones:

f(x,y,t) = 0

t t)y,f(x, =0

Por lo tanto la Ecuación de R tendrá que cumplir las ecuaciones (1) y (2)

f(x,y,t) = (P-R*(t)) (R-R*(t))=0 …(1)

t t)y,f(x,

= (R*´(t)) (R- 2R*(t) +P)=0 …(2)

Y a partir de este sistema de ecuaciones se hallara la ecuación de R. (ANTIPODARIA)

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 133

--------

Ahora, en el problema nos dan:

R* =

)4(2;

4 22

3

22

2

t p

t

t p

pt y P = (0,0)

luego: R*´ =

)4(2

12(;

)4(

822

222

222

3

t p

pt t

t p

t p

Remplazando R* y P en (1):

f(x,y,t ) =

)4(2;

4 22

3

22

2

t p

t

t p

pt

)4(2

;4

),(22

3

22

2

t p

t

t p

pt y x = 0

Luego multiplicando y ordenando, se reduce a:

f(x,y,z) = x(-16p3-4pt 2 ) + y(8p2t+2t 3 ) -4p2t 2- t 4= 0 …(3)

Ahora reemplazamos R*´ , R* y P en (2):

t

t)y,f(x,=

)4(2

12(;

)4(

822

222

222

3

t p

pt t

t p

t p

)4(2

;

4

2),(22

3

22

2

t p

t

t p

pt y x = 0

Multiplicando, desarrollando y ordenando :

t

t)y,f(x,= x(-64p5-16p3t 2 )+ y(t 5+48p4t+16p2t 3 ) – t 6 -12p2t 4-32p4t 2 =0 …(4)

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2012-1 Página 134

Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) :

x =4p

t 2

; y = t

Por lo tanto:

R =

t

p

t ;

4

2

y 2=4px

NOTA: el R obtenido es una parábola y2=4px que tiene como podaría a R*que es una cisoide.

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 135

PROBLEMAS 3

1.

/

?

Sol.

Sea:

Luego:

Reemplazamos en:

como:

Luego.

∫ √

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2012-1 Página 136

Reemplazando:

2. Expresar el laplaciano en términos de u y v

…(1)

…(2)

Sol.

Derivamos respecto a x:

Derivamos respecto a y:

Valores Extremos

Sea

definamos

toma un valor máximo absoluto en

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 137

toma un valor mínimo

absoluto en

alcanza un valor máximo

(mínimo) relativo o local en

Recordemos

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 138

Visualizando

alcanza un valor mínimo absoluto

(por ende relativo o local) en los ejes

coordenados y en la recta

Punto Crítico

Dada

si

MAX

MIN

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 139

Conclusión

Si es diferenciable en su

dominio, entonces en caso

tome un valor extremo, lo

alcanzará en un punto

crítico.

Caso n

Si

es un punto crítico para

(que es diferenciable en ) entonces

definimos entonces

1) Si y ,entonces alcanza un valor mínimo en

2) Si

y

, entonces

alcanza un valor máximo en

Aplicación

Gráficamente apreciamos que toma

valores extremos

Punto crítico

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 140

Dado

si

de donde.

Puntos críticos:

Verificando con el criterio

de las segundas derivadas

parciales.

analizar

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 141

PC:

y

pero:

ante este caso tedioso, lo que se sugiere es usar

Multiplicadores de Lagrange.

Si tenemos una restricción:

Distancia

mínima

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 142

es una restricción

||√

ALT 1

Puntos Críticos

ALT 2

Punto de Silla

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 143

Matriz Hessiana

Polinomio Característico | | Criterio

PC es

P.C

ALT 1 Cambio de signo de ALT 2 DEF | | | |

| | | |

Comentario

Si hay un valor extremo, y tiene

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 144

PC (0, 0,0)

⁄ ⁄

1)

así tenemos un punto de sillaen el

2)

Valor mínimo relativo o local en el

Multiplicadores de LagrangeCuando encontremos un valor extremocondicionado para una función

, podemos

usar multiplicadores de Lagrange. Aclaración

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 145

ALT 1

ALT 2

ALT 3 Encontrar tal que: Cuando hay una restricciónsi donde

ALT 2

ALT 3 PC:

Problema

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 146

Distancia al

: : ALT 2

Distancia al

| |

⁄ ⁄

SOLUCIONARIO DE LA TERCERA PRACTICA CALIFICADA DEMATEMATICA III (2009-I)

1.-Usando integrales dobles, calcule el área de la región acotada por la curvadenominada Bifolium de Descartes.

SOLUCION

Dada la ecuación: 2

2 2 2

4 x y axy

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 147

Transformando a polares obtenemos:

4 3 2

2

4 cos

4 cos

r ar sen

r a sen

Los límites de integración, según la grafica son:

02

; 20 4 cosa sen

A

24 cos 22

0 04

a sen

ardrd

Pero la gráfica es simétrica respecto al eje polar razón por la cual multiplicamos

ala integral por dos, de donde el área es igual a:

A

2

2

a

2.-Usando la serie de Taylor para dos variables, deducir la ecuación de Euler,

para la integral 2

1

; ; '; "

x

x

I f x y y y dx

SOLUCION

Estableceremos los límites:

1 2 0 x x

Si es un pequeño parámetro, entonces:

y x y x x

' ' ' y x y x x

'' '' '' y x y x x

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 148

2

1

; ; '; ''

x

x

I f x y y y dx

2

1

; ; ' ' ; '' ''

x

x

I f x y x x y x x y x x dx

Cuando 0, la formula da ' ' y x y x y puesto que y x minimiza la integral,

se sabe que I debe tener un valor mínimo cuando 0.

Por calculo elemental, una de las condiciones necesarias para esto es que se anule laderivada de ' I cuando 0.La deriva de ' I puede calcularse derivando la

forma inicial

2

1

' ; ; '; ''

x

x

I f x y y y dx

Por regla de la cadena para derivar funciones de varias variables, se tiene

' ''; ; '; ''

' ''

f x f y f y f y f x y y y

x y y y

' ''' ''

f y f y f y y y y

' ''' ''

f f f x x x

y y y

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 149

Reemplazando en la integral:

2

1

' ' ''' ''

x

x

f f f I x x x dx y y y

Ahora bien , ' 0 0 I ,de modo que la hacer 0 ,se obtendrá dicho resultado ,en

esta ecuación la derivada ' x ,se puede eliminar integrando del segundo y tercer

termino por partes ,lo que da :

Como 1 20 x x , la integral nos quedaría:

2 2

1 1

'' '

x x

x x

f f x dx x dx

y x y

Integrando por partes el segundo termino:

2 2

2

1

1 1

'' ' ''' '' ''

x x

x x

x x

f f f x dx x x dx y y x y

2 2

2

1

1 1

'' ' '

x x

x

x

x x

f f f x dx x x dx

y y x y

2 2

1 1

'' ''' ''

x x

x x

f f x dx x dx

y x y

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 150

Pero integramos nuevamente por partes:

Reemplazando en la funcional, obtenemos:

Pero 0 x , razón por la cual la expresión que debe ser cero es la que se

encuentra dentro del paréntesis.

De allí que la ecuación de Euler quede expresado de la siguiente manera:

2

20

' ''

f f f

y x y x y

2 2

1 1

2

2''

'' '' ''

x x

x x

f f f x dx x dx x dx

y x y x y

2 2

2

1

1 1

2

2''' '' ''

x x

x x

x x

f f f x dx x dx x dx x y x y x y

2 2

1 1

2

2''

'' ''

x x

x x

f f x dx x dx

y x y

2

1

2

2(0) 0

' ''

x

x

f f f I x x x dx

y x y x y

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 151

3.-Evalué usando una transformación adecuada la siguiente integral doble

2 I x y dxdy

en la región ; /1 2 2;1 2 2 x y x y x y

SOLUCIÓN

Para simplificar los cálculos usamos la siguiente transformación:

2

2

u x y

v x y

De donde, despejando obtenemos: 2

2

u v x

u v y

De la transformación, se deduce:1 2;1 2u v

Hallando el jacobiano de la transformación:

1 1

2 2 141 1

4 4

dx dx

du dv

dy dy

du dv

Reemplazando en La integral, obtenemos :

2 2

2 2

1 1

1 5529616

u v uv u v dudv

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 152

6.-Utilice las coordenadas polares para combinar la suma siguiente2

2

1 2 2 4

1 1 0 0212

x x x

x

I xydydx xydydx xydydx

dentro de una integral doble

.Grafique la región de integración y después evalué la doble integral doble.

SOLUCION

Los límites de la primera integral son:1

12

x ; 21 x y x

Los límites de la segunda integral son: 1 2 x ; 0 y x

Los límites de la tercera integral son: 2 2 x ; 20 4 y x

Transformando a polares, se obtiene:

243

0 1

15cos16

r sen drd

7.Evaluar :

2 2

2

x y

x

D

e dA

; siendo 2 2 2, / 2 D x y R x y x

; ( , ) / 2 x y x dxdy x y x y

SOLUCION

En la región D : 2 2 2 x y x , hacemos la transformación a coordenadas polares :

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 153

Reemplazamos en la integral :

Evaluando se obtiene:

2 2

2 2

x y

x

D

e dA

8. Encontrar el valor de lasiguienteintegral doble

:

SOLUCION

Haciendo la transformación :

cos x r

y rsen

2

2 cos

r

r

D

e rdrd / 2 / 2

0 2cosr

; ( , ) / 2 x y x dxdy x y x y

: ,2 2

u v u v

Despejando x y

x+y=u , x-y=v

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2012-1 Página 154

Haciendo las gráficas:

Como usamos transformación, tenemos que hallar el Jacobiano paraevaluar en la ecuación:

Reemplazando en la ecuación :

1 1

12 2

1 1 2

2 2

x x

u u J

y y

u v

y

x

v

u

-2

2

-2

2

2

2-2

-2

2 2 0 2

0 2 2 2

2

1 3

2 2 2 4 4

2 6 8

u vu dudv

u v u vdvdu dvdu

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2012-1 Página 155

9. Determinar el valor mínimo de la funcional1

2

0[ ( )] ( cos ) J y x y x dx

SOLUCION

Desarrollando la funcional1

2

0

( cos ) y x dx

2 2

( , , ) ( ) 2 cos cos F x y y y y x x

Aplicando la ecuación de Euler:

0 y xy yy y y

F F y F y F

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2012-1 Página 156

Como F depende de x,y,y’ , la expresión queda :

0 2( ) 2 0

2 2

cos

senx y

y senx

y x C

Reemplazando en la integral :

1 22

0

C dx C k cte

SOLUCIONARIO 3RA PRACTICA/2007-I

Tres resistencias 1R , 2R y 3R se conectan en paralelo para obtener una resistencia

equivalente R .

a) Demostrar que la diferencia total dR es:

3

2

3

2

2

2

1

2

1 R

R

R

R

R

R dR dRdRdR

b) En el problema anterior estime el posible error que resulta de medir R si los errores en las

mediciones de 1R , 2R y 3R son respectivamente 1% , 2% y 3%.

%

R

3R

R

2R

R

R 100

R

dR

321

Solución :

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2012-1 Página 157

0

.,. hh xha x f h x f

21,., R RdydxdR

dy Rdx RdR 21

321321

321

21

321321

21

321

3

21

21

3

21

21

...

..

...

..

.

..

R R R R R R

R R R

R R

R R R R R R

R R

R R R

R R R

R R

R R R

R R

R R E

a)3

3

2

2

1

1

dR R

f dR

R

f dR

R

RdR

2

321321

2

3

2

2

321321

3232132132132

R R R R R R

R R

R R R R R R

R R R R R R R R R R R R RdReq

32

321321

2

2

2

122

321321

2

3

2

112

321321

2

3

2

2 dR R R R R R R

R RdR

R R R R R R

R RdR

R R R R R R

R RdReq

Para el 1er término :

1

2

1

1

2

2

1

1

2

321321

32 1dR

R

RdR R

RdR

R R R R R R

R R

Para el 2do término:

2

2

2

2

2

321321

31 dR R

RdR

R R R R R R

R R

Para el 3er término:

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2012-1 Página 158

3

2

3

3

2

321321

21 dR R

RdR

R R R R R R

R R

3

2

3

2

2

2

1

2

1dR R

R

dR R

R

dR R

R

dR

b) 32

3

22

2

12

1

dR R

RdR

R

RdR

R

R

R

dR

32

3

22

2

12

1

dR R

RdR

R

RdR

R

R

R

dR

%3

2.1.100.

2

3

2

2

2

1 R

R

R

R

R

R

R

dR

Una curva : x = x (t), y = y (t) en el primer cuadrante une (0,0) con (1,0) y acota un área dada

. Halle la ecuación de la curva más corta que une dichos puntos.

: 22

2

2

1 C xC x

Solución:

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2012-1 Página 159

dx y L 1

0

2'1

Condiciones limítrofes: 00 y 01 y

En este caso se tiene:

2'1 y y F

0'

y

F

y

F

dx

d

01

1 2'

'

y

y

dx

d ……………………()

1

1

1

1

2'

2'

"2'2'"

y

y

y y y y

Después de diferenciar:

1

1 2

32'

"

y

y……………………( )

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 160

La ecuación ( ) nos indica que la curvatura es constante y equivale a

1. De ello se deduce

que la curva necesaria es un arco de círculo con el radio .

Integramos () para obtener:

1

2'

'

1

c x

y

y

Al resolver esto para y e integrar nuevamente, se obtiene:

22

2

2

1 c yc x

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2012-1 Página 161

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 2011-3FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 25/02/12DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS Duración: 2 horas

CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133

TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. 4 Ex. PARCIAL EX. FINAL EX. SUST.

1. Determine el valor de las siguientes integrales

a) 2 2 2

V

2y 3z(x ) dxdydz

donde 2 2 2 2V (x,y,z) / y x z , y 2 x z .

b) V

xdxdydz donde x y 1, 2x z 1, 2y z 1V (x,y,z) /

siempre y cuando exista.

c) V

x dxdydz , donde x,y 1, 2y z 1V (x,y,z) / 1

d) V

f(x;y;z)dxdydz donde, 1

( ; ; ), 1

x si x z f x y z

y si x z

y

2 2 2y z 1V (x,y,z) / x .

2. a) En caso sea posible usando el teorema de Green determine la integral

2 2 2

32 2 2

, : 16, 0 xdx ydy zdz

x y z x y z x y z

Además determine si determina una región simplemente conexa.

b) Determine el trabajo realizado al desplazar una partícula desde el (0;1) hasta

el punto 1(1; )e sobre la curva

xy e , x 0 , siendo el campo vectorial

( , ) , F x y x y x y

4. Determine el valor de la siguiente integral, si 1 2( , ,..., )n X x x x

4

2 2

1 2 3 1 2 3 4. ( ... ), : 2 1, ... 0

n n X X dx dx dx dx x x x x x

.

5. Usando el teorema de Green encontrar el área de la región que encierra la curva:2 2 2 16 x y y

Además evalué en caso exista , : 1, 0. x y dx zdy z dz x z y

EJERCICIOS

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2012-1 Página 162

UNIVERSIDAD NACIONAL DEINGENIERÍA

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

“MATEMÁTICAS III”

PRESENTACIÓN: Solución de Ejercicios

TEMA: Multiplicadores de Lagrange

PROFESOR: Víctor Daniel Rojas Cerna

CÓDIGO Y SECCIÓN DEL CURSO: MA133Q

ESTUDIANTES: CÓDIGO

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 163

Crisóstomo Yance, Pamela 20084105H

Salas Villegas, Jhon 20080088A

FECHA DE ENTREGA: 05 / 05 / 09.

Ciudad Universitaria, Mayo 2009.

EJERCICIOS

I. Resuelva los siguientes problemasa) Determine el punto sobre el plano 2x – y + z = 1 que este mas cercano al

punto (-4, 1, 3)

Solución:

2 2 2

1 3d x y y z

2 2 22, , 4 1 3

, , 2 1 0

Sea f x y z d x y z

g x y z x y z

Entonces aplicando Lagrange:

f g

2 4 2

2 1

2 3

x

y

z

2 2

4

2 10

x y

y z

z y

2x y z 1 0 ….. (1)

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2012-1 Página 164

Reemplazando en (1)

2 2z 10 4 z z 1 0

25 1 5z = ; y = - ; x = -

6 6 3

5 1 25Punto más cercano es ; ;

3 6 6

2

min

5 1 25 49d f ; ;

3 6 6 6

7d = 6

6

b) Determine los puntos máximos y mínimos de la función a b c x y z , tal que a,

b y c son constantes y también se cumple 100 x y z .

Solución:

Tenemos dos funciones: ( , , ) a b c f x y z x y z y la restricción

( , , ) 100 g x y z x y z .

Aplicamos Lagrange: f g

1 1 1( , , ) (1,1,1)a b c a b c a b cax y z bx y z cx y z

Obtenemos el sistema de ecuaciones:

1

1

1

a b c

a b c

a b c

ax y z

bx y z

cx y z

De donde despejamos:ay

xb

ycy

z b

Reemplazando en la restricción:

100

100

100

a x

a b c

b y

a b c

c z

a b c

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2012-1 Página 165

c) Calcule el volumen de la caja rectangular mas grande que este en el

primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un

vértice en el plano x + 2y + 3z = 6.

Solución:

Volumen:

f x,y,z xyz

Restricción:

g x,y,z x 2y 3z 6

max

Piden calcular el volumen maximo f

Usamos el método de los multiplicadores de Lagrange:

f g

yz,xz,xy 1,2,3

yz

xz 2

xy 3

xyz

x 2y 3z k

(x,y,z)

(vértice en el plano

(x,0,0)

(x,y,0)

(0,y,0)

(0,0,z)

P

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2012-1 Página 166

Reemplazando en g x,y,z

k kk 2 3 6

2 3

k 2

El punto P 2,1,2 3 (Al ser unico punto critico, se asume como máximo)

max 3

2 4V 2 . 1 . u

3 3

II. Calcule los valores máximos y mínimos de f(x,y) sobre el conjunto D:a) f x,y 1 xy x y , D es una región acotada por la parábola y = x2 y la

recta y = 4.

Solución:

f x,y 1 xy x y 2

1 y x 0

Puntos críticos:

x = y

y = 44

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2012-1 Página 167

Fy 1 0

x

Fx 0

y

0P 0,1

Puntos en la parábola

2

1F y - x = 0 .... (1)

y 1 2x

x 2y 1 2x

Reemplazando en (1): 1x3

1

2

1 1P ,

33

1 1P ,

33

En la recta y – 4 = 0

Reemplazando en (1): x 2

3

4

P 2,4

P 2,4

Luego:

f 0,1 0

1 1f , 0,281733

1 1f , 1,051

33

f 2,4 3 max.

f 2,4 9 min.

b) 2 2

f x,y 2x x y 2 , 2 2

D x,y / x y 4

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 168

Solución:

df 4x 1 0

dxdf

2y 0dy

1x = - y = 04

Punto crítico

0

1P : ;0

4

Puntos en la frontera:

2 2

2 2 2

2

x y 4

f x,y x y x x 2

4 x x 2

f 2x 1 0

x

1 15

x y2 2

1

2

1 15P : ;

2 2

1 15

P : ;2 2

4

y

x

x +y < 4

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 169

1 17f ,0

4 8

1 15 7f ;

2 2 4

1 15 7f ;

2 2 4

7Máximo de f =

4

17Mínimo de f = -

8

c) 3 4f x,y 2x y , 2 2D x,y / x y 1

Solución:

Sabemos que D es una región encerrada por una circunferencia de radio r = 1.

Determinamos los puntos críticos de la función situados:

- Dentro del círculo

r=1

D

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 170

2 3

1

f 0

6x ,4y 0,0 D x 0 y 0 P 0,0

- Contorno del círculo: 2 2D x,y / x y 1

2 3

f D

6x ,4y 2x,2y

2

3

6x 2x

4y 2y

2

2

3x 2y

3x

y2

Reemplazando en la restricción

2 3xx 1 0

2

2x 1 x 2 0

2

2

1 3 3x y y =

2 4 2

1x y 3 (NO)

2

2 3

1 3 1 3P , ;P ,

2 2 2 2

Entonces tenemos 3 puntos críticos: 1 2 3

1 3 1 3P 0,0 ;P , ;P ,

2 2 2 2

Comparamos el valor de la función en cada valor:

1 2 3

1 3 13 1 3 13P 0,0 0; P , ; P ,

2 2 16 2 2 16

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 171

El mínimo absoluto esta en 1P 0,0 y el máximo en

2

1 3P ,

2 2

y

3

1 3P ,

2 2

d) 3 3f x,y x 3x y 12y, D es el cuadrilátero cuyos vértices son

(-2,3), (2,3), (2,2) y (-2,-2).

Solución:

Determinamos puntos críticos dentro del cuadrilátero

2 2

f 0

3x 3,12 3y 0,0

2

2

3x 3 0 3

3x 0 3

x 1

2

2

12 3y 0

12 3y

2 y

(2,2)

(2,3)(-2,3)

(-2,-2)

L1

L2 L3

L4 x

y

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 172

1 2 3 4P 1,2 ; P 1,2 ; P 1, 2 ; P 1, 2

No D No D

Determinamos los puntos críticos de la función condicionada por el contorno,

cada lado por separado:

3 3f x,y x 3x y 12y

L1: y = 3

3 3f x,y x 3x y 12y

g (x,y) = L2: x = -2

Hacemos f g

2 23x 3,12 3y 1,0

2

2

12 3y 0

4 y

2 y

23x 3 x

Pero x = -2

5 6P 2, 2 ; P 2,2

3 3f x,y x 3x y 12y

g (x,y) = L3: x = 2

Hacemos f g

2 23x 3,12 3y 1,0

2

3 4

f ' x 0 3x 31 x

P 1,3 ,P 1,3

3

3

f x x 3x 27 36

f x x 3x 9

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 173

2

2

12 3y 0

4 y

2 y

23x 3 x

Pero x = 2

7 8P 2,2 ; P 2, 2

No g(x,y) porque

2 y 3 2 g x,y

3 3f x,y x 3x y 12y

4

4

4

4

L : 2,2 t 1,1x 2 t

L :y 2 t

L : x 2 y 2

L : x y

3 3f x,y x 3x x 12x

f x 9x

f ' x 0 9

En los vértices también pueden haber puntos críticos

8 9

P 2,3 ; P 2,3

Comparamos el valor de la función en cada punto crítico

1 2 3 4 5

6 7 8 9

P 1,2 = 14 ; P 1,2 = 18 ; P 1,3 = 7 ; P 1,3 = 11 ; P 2, 2 = -18

P 2,2 = 14 ; P 2,2 = 18 ; P 2,3 = 7 ; P 2,3 = 11

Luego el mínimo absoluto esta en 5P 2, 2 y el máximo en 2P 1,2 y 7

P 2,2

III. Resuelva los siguientes problemas:

1. Hállense los puntos sobre la elipse x2 + 2y2 = 1 donde f x,y xy tiene

sus valores extremos.

Solución:

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 174

f G

yy 2x =

2x

x= 2y

xx 4y =

2y

2 2

22

x 2y 1 ..... (1)

1En (1) - 2y 2y 1 y =

2

1 1

2 2

3 3

4 4

2 1 2P : ; f P 42 2

2 1 2P : ; f P Máximo42 2

2 1 2P : ; f P Mínimo42 2

2 1 2P : ; f P42 2

2

3

2 1f tiene un máximo en P = ;

2 2

2 1f tiene un mínimo en P = ;

2 2

2. Hállense los valores extremos de f x,y xy sujetos a la restricción

2 2g x,y x y 10 0 .

Solución:

f G x2 + y2 - 10 = 0 .... (1)

(y,x) 2 ,2x

y = 2x

x = 2y x 2y

En (1)

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2012-1 Página 175

2 2x y 10 0 x 5

1 1

2 2

3 3

4 4

P : 5; 5 f P 5

P : 5; 5 f P 5 Máximo

P : 5; 5 f P 5 Mínimo

P : 5; 5 f P 5

f tiene un máximo en 5; 5 5; 5

f tiene un mínimo en 5; 5 5; 5

3. Hállese el valor máximo de 2 2f x,y 9 x y sobre la recta x + 3y = 12.

Solución:

Por Lagrange:

f = g

2x-2y = 3

y = 3x

x 3y 12 0 ........ (1)

En (1) x + 3 3x - 12 = 0

6x

5

18y

5

6 18 6 18 27f toma su maximo en P = ; ,f , ,

5 5 5 5 5

4. Calcúlese la distancia mínima entre la recta y = x + 1 y la parábola y2 = x.

Solución:

Recta: 1y x 1 g 1 x y

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2012-1 Página 176

Parábola: 2 2

2y x g x y

La función distancia es:

Sea (x,y) un punto de la parábola y (a,b) un punto de la recta

Entonces: 2 2

d x a y b

2 2 2f x,y x a y b d

Hacemos F 0

Tal que 1 2F f x g g

1

2

2

g 1 a b

g x y

2 2 2 2F x,y,a,b, , x a y b d 1 a b x y

2

F 0 2x 2a ,2y 2b 2y ,2a 2x ,2b 2y ,1 a b,x y 0,0,0,0,0,0

x2 = y

y2 = x1

-1

y = x + 1

x

y

d

(a,b)

(x,y)

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2012-1 Página 177

2

2x 2a 0

2y 2b 2y 0

2a 2x 0

2b 2y 0

1 a b 0x y 0

0

2y

1 1y x

2 4

12a 0

2

1 2b 0

32a 2b

2

a b 3 4

a b 1

2a 1 4

a 1 8 b = 7 8

1

1 1 1 7P , ,2 4 8 8

Siendo único punto crítico, entonces la distancia mínima será:

2 21 1 1 7 5

d 22 8 4 8 8

5. Determínense los valores extremos de 2f x,y x y sobre la recta x + y =

3.

Solución:

2f x,y x y sobre x + y = 3 restricción

g x,y x y 3

Aplicamos f g

22xy,x 1,1

2

2xy

x

2y x

x = 2y x

Reemplazamos en la restricción

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2012-1 Página 178

2y y 3

y 1

Entonces cuando

y 1 x 2

y 1 x 2

Luego evaluamos 1P 2,1 y 2P 2, 1 y obtenemos los valores extremos:

1

2

P 2,1 4 máximo

P 2, 1 4 mínimo

6. Determínense los puntos sobre la curva x2y = 2 mas próximos al origen.Solución:

Curva: x2y = 2

Desde el origen a la curva la distancia se determina con d2 = x2 + y2

Debemos minimizar d

Tomemos así: 2 2 2 2f x,y x y d y su restricción g x,y x y 2

Aplicamos

2

f g

2x,2y 2xy,x

2

2x 2xy

2y x 2 2

x 2y

Reemplazamos en la restricción 22y y 2 0

3y 1

y = 1 x 2

Tenemos entonces 1P 2,1 y

2P 2,1

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2012-1 Página 179

Evaluamos en la función 1

P 2,1 2

P 2,1 3

1P 2,1 y 2P 2,1 puntos mas próximos al origen.

IV.

1. Determinar los máximos, mínimos y puntos de silla de las superficies:

a) 2 2z 3x 6xy 7y 2x 4x

Solución:

f x,y z 3x2 6xy 7y2 2x 4y

df 6x 6y 2 0

dx

df 6x 14y 4 0

dy

13x

12

3y

4

0

2

2

2

2

13 3Punto crítico : P = ;12 4

f f 6 ; = 6

x x y

f f 14 ; = 6

y y x

2

6 6H x 6 14

6 6 1 0 6 6P

6 14 0 1 6 14

P 20 48

1

2

10 2 13 (+)

10 2 13 (+)

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2012-1 Página 180

13 3 31Po es un mínimo, f ;

12 4 12

b)1 8

z xyx y

Solución:

2

2

f 1y 0

x x

f 1x 0

y y

1x

2

y 4

o

2

2 3

2

2 3

1Punto crítico : P = ;4

2

f 2 f ; = 1

x x x y

f 16 f ; = 1

y y y x

3

o

3

2

21 16 1

xH x ; H P 1

16 11 4

y

16 14 65 12

P1 414

1

2

(+)

(+)

o

1En P existe un mínimo, f ;4 6

2

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2012-1 Página 181

2. Hallar los valores máximo y mínimo de 2 2f x,y y x sujeto a la

condición2

2xy 1

4

Solución:

2 2f x,y y x sujeto a 2

2xg x,y y 1

4

Aplicamos:

f g

x2x,2y ,2y

2

x2x

2

2y 2y

Si hacemos y 0 habra solución

absurda, entonces hacemos y = 0

Reemplazando en la restricción:

2

2x1 x 4 x 2

4

Teniendo 1P 2,0 y 2

P 2,0

Evaluando:

1

2

P 2,0 4

P 2,0 4

Evaluamos ahora en la matriz Hessiana

22 0

H x H x 4 2 2 00 2

Hessiana para

2

2

todo punto

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2012-1 Página 182

Entonces como las raíces son de signos diferentes no hay máximo ni mínimo.

(2,0) y (-2,0) son puntos de silla.

3. Encontrar el área máxima que pueda tener un rectángulo si la longitud de

su diagonal es 2.

Solución:

2 2

Area : f x,y xy

Diagonal (restricción)

g x,y x y 4 0

Hacemos

f g

y,x 2x,2y

y 2x

x 2y

y x

2x 2y

y xy x (asumiendo valores positivos

por ser longitud)

Reemplazando en la restricción

2 2g x,y x x 4 0

2x 2

x 2 y 2 (formación de un cuadrado)

y

2 2x y 2 x

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2012-1 Página 183

El punto crítico es 2, 2 . El área maximizada es:

2

max A 2 2 2u

V. Encontrar la distancia mínima del punto (1,1,0) a la superficie 2 2 2x y z 4

Solución:

Superficie: 2 2 2g x,y,z x y z 4

Debemos hallar distancia mínima al punto (1,1,0) desde la curva

Sea x,y,z g x,y,z , la distancia es: 2 22 2d x 1 y 1 z al punto

(1,1,0)

Tenemos así 2 2 2 2f x,y,z x 1 y 1 z d

f g

2x 2,2y 2,2z 2x,2y,2z

2x 2 2x

2y 2 2y

2z 2z

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2012-1 Página 184

Notamos que si damos a z 0 habrá solución absurda, sin embargo si z = 0,

resulta

x 1 y 1

x y

Reemplazando en la restricción

2 2

2

x x 4 0

2x 4

x 2 y z 0

Teniendo 1 2 3 4P 2, 2,0 ; P 2, 2,0 ; P 2, 2,0 ; P 2, 2,0

Evaluando en la función:

1 2

3 4

P 2, 2,0 0,6 ; P 2, 2,0 = 6

P 2, 2,0 = 6 ; P 2, 2,0 3,41

La distancia mínima 0,6

Aclaración1) armónica

¿ ?

2) Demostrar

3) Si

,transformar

en

términos de y

4) Encontrar usando Lagrange la distancia

mínima entre

4) Encontrar la distancia mínima entre la recta

tangente a la curva

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2012-1 Página 185

a la esfera

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición deun punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y unaaltura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que setratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal . Se trata de unaversión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, ), donde:

ρ: Coordenada radial , definida como la distancia del punto al eje , o bien la

longitud de la proyección del radio vector sobre el plano φ: Coordenada acimutal , definida como el ángulo que forma con el eje la

proyección del radio vector sobre el plano . : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el

punto P al plano .

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada

radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre

las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial encada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Estanueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianasmediante las relaciones

e inversamente

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2012-1 Página 186

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión delvector de posición en estas coordenadas es:

Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas escomplicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el

resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

ρ=cte:

φ=cte:

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2012-1 Página 187

z=cte:

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, asu vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilíndricas da

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

Coordenadas esféricas

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2012-1 Página 188

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante unadistancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el

radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la

medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

Existe una correspondencia unívoca entre las coordenadas cartesianas ylas esféricas, definidas por las relaciones:

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2012-1 Página 189

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde

, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún

punto tal que .

La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos delas relaciones inversas:

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de lascoordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

y sus inversas

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianasmediante las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

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2012-1 Página 190

Nótese que no aparecen término en o . La dependencia en estas coordenadas estáoculta en el vector .

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

Diferencial de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas escomplicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,

el resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

=cte:

θ=cte:

φ=cte:

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, asu vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas esféricas da

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

Gradiente

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2012-1 Página 191

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales

El gradiente viene dado por:

La divergencia viene dada por:

El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

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2012-1 Página 192

El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:

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2012-1 Página 193

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER A Ciclo Académico : 2011-3FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 14/02/12 DEPARTAMENTOS CIENCIAS BASICAS Duración: 2 horas

CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M-N

TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. Ex. PARCIAL EX. FINAL

PRACTICA DIRIGIDA

1. Determine , , / 1 2 , 0 2 xy dxdy x y x y

2. Evalue , , / 1 2 , 0 2 x y dxdy x y x y

.

3. Calcular , , / 1 2 , 0 2 x y x dxdy x y x y

.

4. Calcular 2 , , / 1 2 , 0 2 xy y dxdy x y xy x y

.

5. Determine 2 22 , , / 1 2 , 0 2 x yx y dxdy x y y x y x

.

6. Calcular 2 2 22 , , / 1 , 0 x yx y dxdy x y y x y x

.

7. Determine 2, , / 1 x y x y dxdy x y x y

.

8. Determine 2 2

0, , / 0,1 , x ye dx dy x y x y R

.

9. Encontrar , , / 2 x y x y dx dy x y x y

10. Determine 2 2 2

10( 1)

, , / 0,1 , x y

dx dy x y x y R

11.Determine / , , / 4 4 1 x y x y dx dy x y x y

12. Determine1 1

0 0

xdxdy

y

x x x

y y y

13. Encontrar el volumen encerrado por

2 2

2 2

4 ( 1) ( 1)

1 ( 1) ( 1)

5

z x y

x y

z

14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido al rotar la región

y=3x, y= alrededor de y=4x

15. Demuestre que , , E E

f x y dxdy f x y dxdy .

16. Encontrar 2 2 4

2 21

( 1), , / 16

x ydx dy x y x y

.

17. Calcule 2 2 , , / 1 2, 4 , , 0 , 0 x y dx dy x y xy y x y x x y

.

18. Calcule 2 2 2 2

5 , , / 0 , 4 16 x y dx dy x y y x y .

19. Determine el centrodie de una lamina delgada de densidad uniforme si

ocupa la región

2 2( , ) / 0 , 1 x t y x x y

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2012-1 Página 194

20. Sea la region el espacio limitada por:

5

1)1()1(

)1()1(4

22

22

z

y x

y x z

Solución:

Haciendo la transformación:

z z

rsen y

r x

1

cos1

r

z

z z

r

z z

y y

r

y z

x x

r

x

Del gráfico : 54 2 z r , evaluando en la integral :

2

0

1

0

5

4 22/3

r rdzdrd

2. Hallar el volumen de intersección de los cilindros222222 , a z xa y x (a>0)

Solución:

De acuerdo a la simetría del grafico

calcularemos solo el volumen del 1er octante

V = 8 V1

x

y

z

4--

a

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2012-1 Página 195

Calculo de V1 : la altura corresponde a : 22),( xa y x f z

a xa adydx xaV

0

322

22

3

2, evaluando

3

1618

3a

V V

3. PROBLEMA

Calcular1 1

0 0

xdxdy

y

, si: x x x

y y y

SOLUCION:

1 1

( ) ( )0 0

...( ) I II

x x x x x xdxdy dxdy dxdy

y y y y y y

La región donde se va integrar es:

Seccionando:

1

1 1

1

I

II

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2012-1 Página 196

Para (I): 0 1 0 0 x x

y x y y

1 1

( ) ( )0 0

1

4 I I

x x x x

dxdy dxdy dxdy y y y y

( )

1

4 I

xdxdy

y

Para (II):

: ,

1 1

1( 1)

xSea k k

y

xk k x

y y xk k

ky x k y

Podemos expresar la integral doble como la suma de integrales en cada subregión de II:

1

( )1 0

1

lim

x

k n

n II

k x

k

x xdxdy dxdy

y y

1 1

( )1 10 0

lim limn n

n n II

k k

k

x x x xdxdy dydx k dydx

y y y y

x y

k

1

x y

k

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2012-1 Página 197

1

1 1 1lim ln( )

2 ( 1)

n

n

k

k

k k

( )

1 1

1 1 1lim ln( )

2 ( 1)

n n

n II

k k

x k dxdy

y k k

1

( )1

1 1lim ln( 1) ( 1)

2

n

n II

k

xdxdy n

y k

1

( )1

1 1 1lim ( ln( 1))

2 2

n

n II

k

xdxdy n

y k

De ( ) reemplazamos lo obtenido:

1

1

1 1

( ) ( )0 0

1 1 1 1lim ( ln( 1))

4 2 2

1 1 1

10 0

1 1 1 1lim ( ln( 1))

4 2 2

n

n

k

I II

nk

n

n

k

x x x x xdxdy dxdy dxdy

y y y y y

xdxdy n

y k

1 1 1

10 0

. ( )

3 1 1 1lim ( ln( 1))

4 2 2

n

n

k

cte deEuler

xdxdy n

y k

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2012-1 Página 198

Delta de kronecker

Ejercicios

1) Demostrar

ijk ist js kt ks jt

Solución:

Comenzamos la solución de la siguiente relación

ir is it

ijk rst jr js jt

kr ks kt

Para el índice i = r quedaría de la siguiente forma:

ii is it

ijk ist ji js jt

ki ks kt

3( ) ( ) ( )ijk ist js kt ks jt js kt ks jt jt ks kt js

Usamos la propiedad de substitución del Delta de Kronecker y la convención de la suma, y

logramos reducir a :

ijk ist js kt ks jt

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2012-1 Página 199

2) Demostrar

3ij jk

Solución:

1 2 3ij jk j jk j jk j jk

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

ij jk k k k

k k k

k k k

Pero sabemos que el delta de Kronecker esta definido como:

1,

0,ij

i j

i j

Entonces quedaría:

1 2 3ij jk k k k

11 12 13 21 22 23 31 32 33ij jk

11 22 33ij jk

3ij jk

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2012-1 Página 200

3) Demostrar

6ijk ijk

Solución:

De la expresión del ejercicio 1:

ijk ist js kt ks jt

Solamente igualamos los índices j = s y k = t,

ijk ijk jj kk kj jk

2ijk ijk kk

6ijk ijk

4) Demostrar

0ijk j k A A

Solución:

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2012-1 Página 201

1 2 3ijk j k jk j k jk j k jk j k A A A A A A A A

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

ijk j k k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

A A A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

Pero conocemos que el Símbolo de Levi-Civita esta definido como:

1, 123, 231,3121, 321, 213,132

0, dos indices son iguales

ijk

ijk ijk

La expresión anterior de reduciría a:

12 2 13 3

21 1 23 3

31 1 32 2

ijk j k k k k k

k k k k

k k k k

A A A A A A

A A A A

A A A A

Se reduce nuevamente y solamente quedaría:

123 2 3 132 3 2

213 1 3 231 3 1

312 1 2 321 2 1

ijk j k A A A A A A

A A A A

A A A A

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2012-1 Página 202

2 3 3 2

1 3 3 1

1 2 2 1

ijk j k A A A A A A

A A A A

A A A A

0ijk j k A A

5) Hallar

1.( ) ?r r

1 1 1.( ) .( ) ( ).r r r r r r

2.( )n nr nr r

1 1 3.( ) (3) 1 .r r r r r r

1 1 3.( ) 3 1r r r r

EJERCICIOS DESARROLLADOS.

1. Determine ∫ donde:

,

SOL:

Graficando:

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2012-1 Página 203

Parametrizando las ecuaciones:

Donde

Reemplazando en la integral ∫ tenemos:

Integrando obetenemos que:

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2012-1 Página 204

2. determine: ∫ , donde:

, || , ,

Sol.

Hallaremos la curva de interseccion ||

Sea:

Entonces la parametrizacion de la interseccion sera:

||

De donde:

Ademas de:

Luego:

3.- Determine ∫ donde:

,

SOL:

Graficando:

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2012-1 Página 205

De forma análoga al ejercicio anterior parametrizamos las ecuaciones:

Donde

Reemplazando en la integral ∫ tenemos:

Reduciendo al expresión

Integrando obetenemos que:

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2012-1 Página 206

4. encontrar el centro de gravedad del casquete semiesferico de radio R, con centro en (R,0,0)

Sol.

La ecuacion de la esfera de radio R y centro (R,0,0) es:

Entonces la ecuacion del casquete semiesferico sera:

En centroide de un solido esta dado por:

∭ ∭ ,

∭ ∭ ,

∭ ∭

Dado que una esfera es simetrica respecto a un eje diametral, entonces segun la ubicacion del

casquete, las coordenadas de su centroide es: , ∭ ∭

Haciendo una traslacion de ejes al punto (R,0,0) determinaremos la coordenada

Entonces la ecuacion del casquete en el nuevo sistema es:

∭ ∭ ...(*)

Usamos coordenadas cilindricas para calcular la integral:

Luego:

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2012-1 Página 207

El volumen del casquete semiesferico (mitad de una esfera) es: ∭

Reemplazamos en (*):

∭ ∭

Por lo tanto, el centroide del casquete semiesferico es:

5.-Hallar el área de la superficie limitada por:

SOL: Graficando

:

Sabemos que área está dada por al integral:

Entonces parametrizando la ecuación:

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2012-1 Página 208

Se observa que por simetría del grafico:

Analizando el dominio de y pasándola a coordenadas polares.

Si

… reemplazando en la ecuación obtenemos:

Entonces:

||

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2012-1 Página 209

Entonces la integral será:

Integrando obtenemos que:

Del grafico

PARTE 2

2. Determine el area de la superficie del elipsoide , limitada por el

cono eliptico

SOL

El area de una superficie esta determinada por:

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2012-1 Página 210

∬ ................(1)

Le ecuacion del elipsoide es:

Luego, la ecuacion de la mitad superior del elipsoide es: √

Entonces:

Hallando las derivadas parciales de :

√ √

( √ ) √

Reemplazamos en (1):

(

√ )

(

√ )

Simplificando” R”

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2012-1 Página 211

Sea:

√ √

Donde:

∬ √ .......(2)

Hallando la interseccion del cono eliptico y el elipsoide, obtenemos la elipse:

, reemplazando por (*): √

Entonces la region , sobre la cual integraremos, es la encerrada por dicha elipse.

En (2):

√ √

3.-Determine el area de la superficie del cilindro limitada por el cono circular √ .

SOL: Graficando:

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2012-1 Página 212

Parametrizando las ecuaciones:

| | √

Entonces el area de la superficie está dada por: √

Analizando el dominio de y pasándola a coordenadas polares.

Entonces:

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2012-1 Página 213

Integrando obtenemos que:

4. determine el area de la superficie: |x|+ , limitada por el cilindro , R>0

Sol.

Graficando vemos que la superficie es simetrica respecto al eje Z, luego:

..........(*)

Donde: es la porcion de la superficie que se encuentra en el primer octante.

Asi, siendo

Luego:

Hallando las derivadas parciales de

:

El area de una superficie viene dada por:

Entonces:

∬ ∬ √ .........(1)

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2012-1 Página 214

Segun el grafico la region es la region encerrada por la circunferencia en el

primer cuadrante.

Usando coordenadas polares:

Reemplazamos en (1):

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y

ROTACIONAL

Expresión en los sistemas de coordenadas curvilíneas.

Sea φ una función escalar y 332211 eAeAeAA una función vectorial de las

coordenadas curvilíneas ortogonales 1μ , 2μ , 3μ .Se verifica:

3

33

2

22

1

11

eμh

1e

μh

1e

μh

321

3

213

2

132

1321

Ahhμ

Ahhμ

Ahhμhhh

1divAA.

332211

321

332211

321

AhAhAh

μμμ

eheheh

hhh

1rotAA

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2012-1 Página 215

2 Laplaciano de =

33

21

322

13

211

32

1321

1

h

hh

h

hh

h

hh

hhh

332211 ef ef ef φ

3

3

2

2

1

1

μμ

r μ

μ

r μ

μ

r r

333222111 μehμehμehr

333222111 uf huf huf hr φ.φ 3

3

2

2

1

1

μμ

φμ

μ

φμ

μ

φφ

3332221113

3

2

2

1

1

uf huf huf hμμ

φμ

μ

φμ

μ

φ

111

1

h f ,

222

1

h f ,

333

1

h f

33

3

22

2

11

1

μh

e

μh

e

μh

e

Sean 1μ , 2μ , 3μ coordenadas curvilíneas ortogonales.

Demostrar : 1

ρρhμ

1,2,3ρ

Sea: 1μφ 2

2

2

2

1

1

1

11

μ

μ

h

e

μ

μ

h

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2012-1 Página 216

1

1h

Demostrar que :

3232 μμhhe

1

11

h

2

22

h

3

33

h

3232 μμhhe

Demostrar en coordenadas curvilíneas ortogonales :

a)

1

321

321

11μ

hhA

hhh

1eA.

32321 μμhhA.

3232132321 μμ.hhAμμ.hhA.

0h

e

h

e.hhA

3

3

2

2321

32

1321

hh

e.hhA

32

1

321

33

3

321

22

2

321

11

1

hh

e.hhA

μh

ehhA

μh

ehhA

μh

e

321

1321

hhAμhhh

1

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2012-1 Página 217

b) 11

221

3

11

313

2

11hA

μhh

ehA

μhh

eeA

111111 μhAμhA

0h

eAh

1

111

1

1

11

33

3

11

22

2

11

11

1

h

eAh

μh

eAh

μh

eAh

μh

e

c) Expresar .AdivA en coordenadas curvilíneas ortogonales

332211 eAeAeA..A

332211 eA.eA.eA.

3

213

2

131

1

321

321 μ

hhA

μ

hhA

μ

hhA

hhh

1

d) Expresar en coordenadas curvilíneas ortogonales :

332211 eAeAeAA

332211 eAeAeA

2

11

21

3

3

11

31

2

μ

hA

hh

e

μ

hA

hh

e

22

332

122

121

3 hAμhh

ehA

μhh

e

33

113

2

33

232

1 hAμhh

ehA

μhh

e

33

1

11

313

2

22

3

33

232

1h Ah A

hh

eh Ah A

hh

e

11

2

22

121

3 h Ah Ahh

e

332211

321

332211

321

1

h Ah Ah A

eheheh

hhh A

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2012-1 Página 218

e) Expresar ψ2 en coordenadas curvilíneas ortogonales :

33

3

22

2

11

1

μ

ψ

h

e

μ

ψ

h

e

μ

ψ

h

ψA ,11

1μh

ψA

,22

ψ

h

1A

,

33

ψ

h

1A

ψψ..A 2

332211 eAeAeA.

33

3

22

2

11

1321

eAμ

eAμ

eAμhhh

1

33

21

322

31

211

32

1321μ

ψ

h

hh

μμ

ψ

h

hh

μμ

ψ

h

hh

μhhh

1

Problema1

Demostrar que: 1.

u v w v w u w u v

u v w

f f h h f h h f h hh h h u v w

Si: u u v v w w f f e f e f e .

Solución

Usando la definición de divergencia:

0

1. .lim

V s

f f dS V

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2012-1 Página 219

Sea , , P u v z el punto central del elemento de volumen curvilíneo dV .y sea

u v wdV h h h dudvdw

Como u u v v w w f f e f e f e , entonces el flujo para la normal externa a través de la

superficie ABCD para u constante es:

1

2u v w u v w f h h dvdw f h h dudvdw

u

…(1)

Y a través de la superficie EFGH es

1

2u v w u v w f h h dvdw f h h dudvdwu

…(2)

(Hacemos despreciables los infinitésimos de orden superior).sumando (1) con (2), el flujo de

salida a través de las dos superficies para u constante, es:

u v w f h h dudvdw

u

Sumando los elementos semejantes para las otras dos parejas de superficies,

. u v w v w u w u v

s

f dS f h h f h h f h h dudvdwu v w

Dividiendo poru v w

dV h h h dudvdw se obtiene:

1.

u v w v w u w u v

u v w

f f h h f h h f h hh h h u v w

Problema2

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2012-1 Página 220

Demostrar que:1

u u v v w w

u v w

u u v v w w

h e h e h e

f h h h u v w

h f h f h f

Solución

Por la definición del rotacional dado por:

0

1.lim

S C

n f f dr S

Calculemos primero ue f .considerando una curva cerrada uC (ABCD) de la superficie u

constante, además el elemento de superficie dS encerrado por uC es:

v wdS h h dvdw

La circulación alrededor de la curva cerrada uC es:

. . . . . D C B A

C A D C B

f dr f dr f dr f dr f dr

De nuevo despreciando los infinitésimos de orden superior,

.

D

v v

A

f dr h f dv

.

C

w w w w

D

f dr h f h f dv dwv

.

B

v v v v

C

f dr h f h f dw dvw

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2012-1 Página 221

.

A

w w

B

f dr h f dw

Sumando estos resultados se obtiene:

.w w v v

C

f dr h f h f dvdwv w

Dividiendo porv w

dS h h dvdw se obtiene

1u w w v v

v w

e f h f h f h h v w

Por la permutación cíclica de los índices se obtiene las dos componentes restantes de f

,en consecuencia:

1 1 1w w v v u u u w w v v v u u w

v w w u u v

f h f h f e f h f h e f h f h eh h v w h h w u h h u v

Que es igual a:

1

u u v v w w

u v w

u u v v w w

h e h e h e

f

h h h u v wh f h f h f

Problema3

Demostrar que la divergencia se puede escribir en coordenadas esféricas de la siguiente

forma:

2

2

1 1r

f f r f sen f

r r rsen

Solución

Ya calculamos anteriormente que:

1.

u v w v w u w u v

u v w

f f h h f h h f h hh h h u v w

De donde en nuestro caso: 1u r

h h ,v

h h r y

wh h rsen

Además: u r f f , v f f y w f f .que reemplazando se obtiene:

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2012-1 Página 222

1. . .1. 1. .

1. .r

f r rsen f rsen f r f r rsen r

2

2

1.

r f sen r f r sen f r f

r sen r

2

2

1 1r

f f r f sen f

r r rsen

Problema4

Demostrar que en coordenadas esféricas el rotacional es.

1 1 1 1

r r r

f f f

f sen f e rf e rf ersen r sen r r r

Solución

Anteriormente demostramos que:

1 1 1w w v v u u u w w v v v u u w

v w w u u v

f h f h f e f h f h e f h f h eh h v w h h w u h h u v

En este caso: 1u r h h , vh h r y wh h rsen

Además:u r

f f ,v

f f yw

f f .que reemplazando se obtiene:

1 1 11. 1.

. .1 1.r r r f rsen f rf e f rsen f e rf f e

r rsen rsen r r r

2

1 1 1r r r

f r sen f r f e f sen rf e rf f er sen rsen r r r

1 1 1 1r r r

f f f f sen f e rf e rf e

rsen r sen r r r

Problema5

Sea 1 2 3, ,u u u un campo escalar, demostrar que el gradiente del campo escalar con la

notación abreviada seria.

1i

i ieh u

. Como operador

1i

i ieh u

.

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2012-1 Página 223

Solución

El operador nabla en coordenadas cartesianas: i j k x y z

La forma de este operador puede definirse como:i

i g

Donde:

i

g Son los vectores de la base reciproca:i

i

mm g g

i Son las coordenadas de la base natural:

i g

La notación puede verse en la siguiente tabla:

base Vectores base componentes

naturali g

iv contravariantes

Natural fisicai

i

i

g e

g

iv físicos covariantes

Reciproca i

g iv covariantes

Reciproca física ii

i

g e

g

i

v físicos covariantes

La representación de un vector cualquiera utilizando estas bases es entonces:

i iiiiii i

V v g v g v e v e

Para coordenadas ortogonales:i

i g g

; factor de escala

i

iii

e e g h

Entonces:21

2

11 1 1 1 2

1

11 g g g g g h

h

1 1 1

12

1 1 1

1 1 1i

i

i

e g g e e g

h h h h

Con esto podemos expresar el operador nabla como:

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2012-1 Página 224

1i

ii i

k i

ee

h u h u

Además:

1ii

ieh u

Problema6

Demostrar que el gradiente en coordenadas esféricas se puede escribir como:

1 1r

e e er r rsen

Solución

En coordenadas esféricas se tiene: 1u r

h h ,v

h h r y wh h rsen

Del problema anterior se tiene:1

i

i i

eh u

; entonces:

= r

r

eee

h r h h

=r

eeer r rsen

1 1r

e e er r rsen

Problema7

Hallar el gradiente en coordenadas cilíndricas.

Solución

Según el problema 5 se tiene que1

ii

i

eh u

Pero en coordenadas cilíndricas se tiene que: 1r h ; h r y 1

z h .

Reemplazando en la expresión anterior se tiene:

1 1 1r z

r z

e e eh r h h z

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2012-1 Página 225

1 1 1

1 1r z

e e er r z

Practica Dirigida 7

1. Sea 1/22 2 2( , , ) f x y z x y z

. Demostrar que la circulación en el

sentido antihorario del campo F f alrededor del círculo 2 2 2 x y a escero.

2. Use la identidad 0 x f y el teorema de Stokes para obtener la circulación

del campo (2 ,2 ,2 ) F x y z alrededor de cualquier superficie suave orientable en el

espacio es cero.

3. Use la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular el flujo del

rotacional del campo ( , , ) F y z z x x y a través de la superficie

2cos , ,9 / 0 3 , 0 2S r rsen r r

4. f(x,y,z)=Determine el valor de

i j k ij ik jk i j kV

(x x x )(1 )(1 )(1 )dxdx dx

donde

2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3V (x ,x ,x ) / x x x , x 2 x x.

5. Usando el teorema de Green, encuentre el área encerrada por la curva

x x y y 1, si y 0x,y /

y 0, si y 0.

6. Determine el trabajo realizado al desplazar una partícula desde el ( 4 ,0)

hasta el punto (6,2) sobre la curva xy e , x 0 , siendo el campo vectorial

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2012-1 Página 226

( , ) , F x y x y x y

4. Determine el valor de 2 2 2 2, : 1 x y dx yxdy x y

.

5. Encontrar el valor de

2 2 2 2, , / 4, 1 2 x y dxdydz x y x y z

.

6. Encontrar el centroide para el sólido de densidad constante, y que ocupa

la región 2 2 2 22 2 1 z x y z x y .

7. Encuentre los momentos de inercia de la región limitada por

2 2 , 1 z x y x y z 8. Usando Green encontrar

el valor de la integral

( 2 ) , ( , ) / 1 x y dxdy x y x y

9. Usando Green encontrar el valor de la integral

2 2( ) , : 2 1 xydx x y dy x y

.

10. Usando el teorema de Green encontrar el área de la región que encierra lacurva:

2 22 16 x y y

11. .- Sea U la región limitada abajo por el plano z=0, arriba por la esfera2 2 2 4 x y z y lateralmente por el cilindro 2 2 1 x y .Establezca las

integrales triples en coordenadas cilíndricas que dan el volumen de U,usando los siguientes órdenes de integración:a) dzdrd b) drdzd c) d dzdr

12. Resuelva en cada caso:a) Hallar el volumen de la región U más pequeña cortada de la esferasólida

2 por el plano z=1.b)Hallar el volumen de la porción de la esfera sólida 3 , en el primer

octante, que se encuentra entre los planos : z y , 3 z y

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2012-1 Página 227

13. Calcular 3 2 ( / ) cos( / ) cos( / )C

xsen y x y y x dx x y x dy ,donde C es el

arco de la semielipse superior 2 24 16 12 0 x y x , que va de (1;0) a(3;0).

SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA N° 3 (2008-III)

1. Demuestre que:

, , E E

f x y dxdy f x y dxdy

Solución:

Dado que las integrales dobles representan áreas o superficies, la integral , E

f x y dxdy

será considerada como la acción de un campo escalar f sobre dicha superficie, tal que

dicha función pueda ser positiva o negativa para cierto dominio.

Dividimos la superficie E en dos partes tal que en1 E y

2 E la integral siempre tenga un

valor positivo o negativo (Sea el valor en1 E igual a M y en

2 E igual a N ), entonces:

1 2

, , , E E E

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy M N

1 2 1 2

, , , , ,

,

E E E E E

E

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

f x y dxdy M N M N

(Se puede sacar el valor absoluto de la integral porque en 1 E y2

E tendrán un solo valor,

positivo o negativo)

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2012-1 Página 228

Por desigualdad triangular tendremos que:

M N M N

Entonces queda demostrado que:

, , E E

f x y dxdy f x y dxdy

2. Hallar el volumen de la intersección de los cilindros 2 2 2 x y a y 2 2 2 x y a , 0a

Solución:

Debido a la simetría que se presente en el sólido, solo trabajaremos con la octava parte del

volumen total.

Del gráfico mostrado el volumen será:

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2012-1 Página 229

2 2

2 2

0 0

8a a x

V a x dydx

2 2

08

a

V a x dx

316

3V a

3. Demostrar que:

2 4 2

31 2

4 2

2 2

x

x x

x xSen dydx Sen dydx

y y

Solución:

Las acotaciones son:

1 2

2 4

2

x

x y x

x

x y

Graficando el dominio:

x=y

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2012-1 Página 230

Haciendo un cambio en las variables de integración:

22

3

1

4 8

2

y

y

xSen dxdy

y

2

2

3

1

4 2

2

y

y

xSen dxdy

y

4. Hallar el centroide de la región E en el primer cuadrante limitada por la parábola 2 4 y ax ,

el eje x y el lado recto de esta parábola ( 0 y ).

Solución:

1 2 4

2

1

2 y x x y

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2012-1 Página 231

2 4 y ax

La fórmula canónica de la parábola es: 2 4 y ap

p a

2 2 AB p a

0

0 2

x a

y ax

2

0 0

2

0 0

3

2

4

354 5

3

a ax

a ax

xdA x

dA

xdydx x

dydx

a x a

a

2

0 0

2

0 0

3

2

3

4 4

3

a ax

a ax

ydA y

dA

ydydx y

dydx

a y a

a

El centroide de E se encuentra en3 3

;5 4

a a

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2012-1 Página 232

5. Hallar el volumen de la porción de E de la esfera 2 2 2 2 x y z a ( 0a ), que se

encuentra dentro del cilindro ( )r aSen .

Solución:

2 2 2 2

1 :S x y z a

( )r aSen

2 2

2:S x y y

Transformando a coordenadas cilíndricas:

( )

( )

x rCos

y rSen

z z

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2012-1 Página 233

2 2 2 2

0 ( )

0

r aSen

a r z a r

2 2

2 20 0

aSen a r

a r V

V dV rdzdrd

22 43 3

V a a

6. Calcule la integral 2 2

D

y z dV siendo D el sólido interior al elipsoide cuya ecuación es

2 2 24 16 x y z y exterior al paraboloide de ecuación 2 212 x y z .

Solución:

2 2 2

1

2 2

2

: 4 16

:12

S x y z

S x y z

En coordenadas cilíndricas:

x z

y rCos

z rSen

0

0 4

0 22

r

z x

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2012-1 Página 234

Donde:

r y se obtienen de proyectar el sólido en el plano yz y

0 x se obtiene de intersecar las superficies1S y

2S

1 2

2 2 2

0

2 2 2

0

2 2

0

2

0 0

2

0 0

0 0

0

:4 16

16 4

12

12 16 4

3 4 0

3 1 0

1

S S x y z

y z x

x y z

x x

x x

x x

x

(0

x pertenece al eje x )

2 2 2

1 2 42 2 2

2 0 0

2 2128

D D D

D

D

y z dV rdV r drd dz

y z dV r drd dz

y z dV

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2012-1 Página 235

7. Calcular ydx zdy xdz

donde es la intersección de la superficie 2 x y y

2 2 22 x y z x y , recorrida en sentido horario vista desde el origen.

Solución:

1

2 2 2

2

2 2 2

: 2

: 2

1 1 2

S x y

S x y z x y

x y z

Parametrizando:

1

1

2 2

x Cos t dx Sen t dt

y Cos t dy Sen t dt

z Sen t dz Cos t dt

0 2t

Reemplazando y evaluando en la integral de línea:

2

0

2 2

ydx zdy xdz y t dx t z t dy t x t dz t

ydx zdy xdz

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2012-1 Página 236

8. Calcular la integral 2 y dx xdy

a lo largo del astroide .

Solución:

Sea la ecuación del astroide:

2 2 2

3 3 3: x y a

Parametrizando:

3 2

3 2

3

3

x aCos t dx aCos t Sen t dt

y aSen t dy aSen t Cos t dt

0 2t

2

2 2

0

2 23

8

y dx xdy y t dx t x t dy t

y dx xdy a

9. Demostrar mediante integrales dobles:

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2012-1 Página 237

2 2k xe dx

k

, 0k

Solución:

Sea:

2 2 2 2k x k y E e dx e dy

2 2 2 2 2 2 2 2

2 .k x k y k x k y E e dx e dy e e dxdy

A continuación transformaremos la integral doble en coordenadas cartesianas a una integral

en coordenadas polares.

2 222

20 0

k r E re drd

k

Despejando de la expresión tenemos:

E k

2 2k xe dx

k

10. Un leñador corta una pieza W con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r

mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol: uno horizontal y otro con ángulo .

Calcular el volumen de la cuña W .

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2012-1 Página 238

Solución:

Ecuación plano que corta el cilindro para formar la cuña:

1

1

: 0

: , tan

S ax by cz d

hS z y donde h r

r

Ecuación de la base de la cuña:

2 2 2

2:S x y r

Las acotaciones en polares serían:

0 *

0 *

0

h z r sen

r

r r

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2012-1 Página 239

*2

0 0 0

2* *

3

hr r sen

r V r dzdr d r h

32tan

3

V r

INTEGRALES TRIPLES

Si tenemos una función 3: , f R R siendo ella integrable en dicho dominio , lo

cual implicaría que sea continua por sectores., entonces definimos la integral triple como en el

caso de la integral doble, particionando el dominio de tal manera que la norma de la partición

tienda a cero. En este caso los rectángulos son ahora paralelepípedos, la norma seria la

diagonal.

Apreciaciones.

1. Si ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q es un paralelepípedo, siendo la

función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:

( , , ) ( , , )rf x y z dxdydz r f x y z dxdydz

2. Si ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q es un paralelepípedo, siendo la

función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:

( , , ) ( , , )

qb d

a c p

f x y z dxdydz f x y z dxdydz

.

3. Si ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q y1 2 3

( , , ) ( ) ( ) ( ) f x y z x y z ,

es decir admite una separación de variables, entonces,

1 2 3( , , ) ( ( ) )( ( ) )( ( ) )

qb d

a c p

f x y z dxdydz x dz y dy x dx

4. Si ( , , ) 1 f x y z , entonces el volumen del sólido , esta dado por

( )V dxdydz

.

5. Si ( , , ) : 0 ( , , ) ( , , ) x y z f x y z g x y z y si ambas son 9integrables sobre ,

entonces ( , , ) ( , , ) f x y z dxdydz g x y z dxdydz

6. Si 1 2 3 3( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a z b z y z y z x y z siendo la

función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:

2 4

1 3

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , )

z y z b

a z y z

f x y z dxdydz f x y z dxdydz

.

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2012-1 Página 240

7. Si 1 2 3 3( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a y b y z y y z x y z siendo la

función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:

2 4

1 3

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , )

y y z b

a y y z

f x y z dxdydz f x y z dxdzdy

.

8. Si 1 2 3 3( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a x b x z x x z y x z siendo la

función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:

2 4

1 3

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , )

x x z b

a x x z

f x y z dxdydz f x y z dydzdx

.

9. Si 1 2 3 3( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a x b x z x x z y x z siendo la

función ( , , ) f x y z integrable sobre , entonces tendremos que:

2 4

1 3

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , )

x x z b

a x x z

f x y z dxdydz f x y z dydzdx

.

10. Si 3: , f R R es integrable sobre , r una constante entonces rf es

integrable sobre y ( , , ) ( , , )rf x y z dxdydz r f x y z dxdydz

.

CENTROIDES DE SÓLIDOS.

Supongamos que tenemos un sólido 3 R , asumamos que la función de densidad es

( , , ) x y z , así tenemos las siguientes apreciaciones:

1. La masa de lámina será ( , , )m x y z dxdydz

.

2. Centroide. Tenemos que

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

, . , , , ,

, , , ,

y x z

x x y z dxdydz y x y z dxdydz z x y z dxdydz M M M

m m m m m m

x x y z dV y x y z dV z x y z dV

m m m

x y z

x y z

3. Momento de inercia.

2 2

2 2

2 2

( , , )

( , , )

( , , )

x

y

z

I y z x y z dxdydz

I x z x y z dxdydz

I x y x y z dxdydz

TRANSFORMACIONES

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 241

Cuando exista dificultades para determinar el valor de una integral triple, podemos

cambiar el orden de integración, o si el sólido ( región en caso de la integral doble)

podemos apelar a realizar un doble cambio de variables, para lo cual se demuestran que

hay una especie de cambio de escala dada por el Jacobiano

1. ,u v

u v

x x J u v

y y de la transformación, cuando estemos en dos variables.

2. , ,

u v w

u v w

u v w

x x x

J u v w y y y

z z z cuando se tenga tres variables.

3.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

...

....

, ,..., ....

.......................

....

n

n

n

n

u u u

u u u

n u u u

u u u

x x x

y y y

J u u u z z z

w w w

si se tiene n variables..

Se puede apreciar que, hay casos interesantes por ejemplo, como en el caso de las

integrales triples el cambio a coordenadas cilíndricas y esféricas.

CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS.

Cambio a efectuar.

cos x r

x rsen

z z

( , , )

( , , )

cos 0

, , cos 0

0 0 1

r z

x y z

r z r z

r z

x x x rsen

J r z y y y sen r r

z z z

*

( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) f x y z dxdydz f x r z y r z z r z rdrd dz

* es la imagen de mediante la transformación..

Ejercicio:

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2012-1 Página 242

Halle el volumen acotado por la esfera 2 2 2 25 x y z

COORDENADAS ESFERICAS

Cambio a efectuar.

cos

cos

x sen

y sen sen

z

( , , ) 2

( , , )

cos cos cos

, , cos

cos 0

x y z

x x x sen sen sen

J y y y sen sen sen sen sen sen

sen z z z

*

( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) , , f x y z dxdydz f x y z J d d d

*

2( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) f x y z dxdydz f x y z sen d d d

* es la imagen de mediante la transformación..

Ejercicios.

1. Determine el volumen acotado por 2 2 , z x y z x y .

2. Hallar el volumen acotado por 3 22 2 2 2 2 216 x y z z y x .

3. Determine el valor de

2

2

cos 2 2 2, ( , , ) / 1 y xy

xdxdydz x y z x y z

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición deun punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y unaaltura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que setratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal . Se trata de unaversión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, ), donde:

ρ: Coordenada radial , definida como la distancia del punto al eje , o bien la

longitud de la proyección del radio vector sobre el plano

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2012-1 Página 243

φ: Coordenada acimutal , definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radio vector sobre el plano .

: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada

radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a

partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre

las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial encada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Estanueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianasmediante las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión delvector de posición en estas coordenadas es:

Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 244

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es

complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, elresultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

ρ=cte:

φ=cte:

z=cte:

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a

su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilíndricas da

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones

particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son:

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2012-1 Página 245

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante unadistancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: elradio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la

medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado

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2012-1 Página 246

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

Existe una correspondencia unívoca entre las coordenadas cartesianas ylas esféricas, definidas por las relaciones:

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde

, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún

punto tal que .

La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos delas relaciones inversas:

Relación con las coordenadas cilíndricas

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2012-1 Página 247

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de lascoordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

y sus inversas

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas

mediante las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

Nótese que no aparecen término en o . La dependencia en estas coordenadas estáoculta en el vector .

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

Diferencial de superficie

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2012-1 Página 248

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas escomplicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,

el resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

=cte:

θ=cte:

φ=cte:

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, asu vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas esféricas da

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

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2012-1 Página 249

Laplaciano

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales

El gradiente viene dado por:

La divergencia viene dada por:

El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:

INTEGRALES DE LINEA O CURVILÍNEA

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2012-1 Página 250

Sea γ una curva en Rn , con parametrización γ ( ), [ , ]r r t t a b donde γ es una curva

(regular),es decir,

[ , ] : '( ) 0t a b r t , entonces definimos la integral de una función : ,n n F R R

como:

( ( )) ( ( )) '( )b

a F r t dr F r t r t dt

F es un campo vectorial

La interpretación de la

F dr

No es otra que el trabajo que se realiza para desplazar una partícula desde el origen de la curva

( )r a hasta ( )r b

Ejemplo:

( , ) ( , )

: cos

F x y x y xy

r x r

y rsen r cte

γ: ( ) ( cos ; )r r rsen ; [0;2 ]

γ es una curva cerrada

F dr

=2

2

0( cos ; cos ).( ; cos )r rsen r sen rsen r d

( )r a

( )r b

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2012-1 Página 251

=2

2 2 2

0(cos cos )r sen sen r sen d

INTERPRETACIÓN DE LA TRAYECTORIA

En caso F para algún campo escalar , entonces el valor de la integral no depende de

la trayectoria.

Ejemplo:

2 2

2

2

2

2

( ) 2

2

(2 , )( , )

(2 ; )

( , )

d x y xydx x dy

xydx x dy

xy x dx dy

F xy x

x y x y

F

Conceptos Topológicos

1.-Vecindad

0 0( ; ) /n x R x R x x R

2.-Vecindad Reducida

0 0 0'( ; ) ( ; ) /V x R V x R x

3.-Punto Interior

0

n x A R se dice que es un punto interior de A , si R >0/0

( ; )V x R A

4.-Conjunto Abierto

n A R es abierto, si todo punto de A , es un punto interior

5.-Convexo y Conexo

0 x R

0 x

R

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2012-1 Página 252

n R

n A R es convexo, si , : x y A xy A ( xy es el segmento que uno x con y)

A es un conjunto convexo

n B R es conexo, si , : x

y x y A P B

B es un conjunto conexo

6.-Dominio

n R es un dominio, si es un conjunto abierto y conexo.

7.-Dominio Simplemente Conexo

n R es un dominio simplemente conexo si:

1) Dominio

2) conjunto simplemente conexo , se reduce aun punto sin salirse del dominio de Ω

Ω1 no es un dominio simplemente conexo

Ω2 no es un dominio simplemente conexo

8.-Punto Exterior

x A , n A R es un punto exterior si x es un punto interior de c A = /n R A

p

q

n R

pq

n R

xc

A

A

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2012-1 Página 253

9.-Conjunto Cerrado

A es cerrado c A es Abierto

Ejemplo:

n R es abierto y cerrado

10.-Punto Frontera

Son Aquellos puntos que no son puntos interiores ni puntos exteriores de un conjunton A R

11.-Región

n R es un dominio con algunos puntos frontera, sea dominio región.

PROPIEDADES.

1. Si ( ( )). f r t dr

, entonces : ( ( )).a K af r t dr

. Además se cumple

( ( )). ( ( )).af r t dr a f r t dr

.

2. Si ( ( )). f r t dr

y ( ( )). g r t dr

entonces ( )( ( )). f g r t dr

además se cumple

que. ( )( ( )). f g r t dr

y también se cumple que

( )( ( )). ( ( )). ( ( )). f g r t dr f r t dr g r t dr

3. Si ,k m nm n P disjuntos salvo el punto de unión de las curvas,

entonces si ( ( )). f r t dr

se cumple ( ( )). ( ( )).

k

k

f r t dr f r t dr

.

4. Si es la curva recorrida en sentido contrario, entonces en caso

( ( )). f r t dr

se cumple ( ( )). f r t dr

y además se cumple también que

( ( )). ( ( )). f r t dr f r t dr

.

5. Si la curva es rectificable de longitud L, si f es continua en los puntos de , además

en caso f sea acotada en entonces se cumple: ( ( )). f r t dr ML

M es la cota

de f sobre .

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2012-1 Página 254

Ejemplos.

Calcular:

2 2

xdy ydx I

x y

donde : 1 x y

Solución:

1

1 2 2

0

1

(1 ) I dt

t t

=01 x t

y t

1

2 2 2

0

1 2

(1 )

t I dt

t t

=ln5/21

x t

y t

1

3 2 2

0

1 2

( 1)

t I dt

t t

=0

1 x t

y t

1

4 2 2

0

2 1

( 1)

t I dt

t t

=01

x t

y t

1. Calcular ( ( )). ( ) , ( , , ) , , I f r t r t dt f x y z xz y yx x y

donde la curva es el

segmento que une el (1,1,0) (1, 1, 1) y .

2. Determine el valor de ( ( )). ( ) , ( , , ) , , I f r t r t dt f x y z z yx y

donde la curva

2: ( ) ( ,2 , ), 1,3r t t t t t .

3. Determine 1 2 1 1( ( )). ( ) , ( , ,..., ) , ,...,

n n n I f r t r t dt f x x x x x x

done la curva

: ( ) , 2 ,3 ,..., , 0, 20r t t t t nt t .

4. Determine el valor de , : ( ) cos , ,2 , 0,52 2 2

ydx zdy xdz I r t t sent t

x y z

Propiedad.1

Sea f donde es un campo escalar, entonces si es una curva que va de P hacia Q

dentro de un dominio simplemente conexo., entonces el valor de . ( ) (Q )dr P

es

decir no depende de la trayectoria de integración.

Propiedad.2

Si f donde es un campo escalar, entonces si es una curva simple cerrada dentro

de un dominio simplemente conexo., entonces el valor de

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2012-1 Página 255

. 0dr

Campo Conservativo.

Dado un campo de fuerzas en un dominio simplemente conexo, diremos que es un campo

conservativo si cumple una de las siguientes condiciones.

1. Un campo es conservativo si, y sólo si, el trabajo que realiza la fuerza que genera el campo

de fuerzas entre dos puntos no depende de la trayectoria que une dos puntos de , dentro

del dominio simplemente conexo . Es decir :

1 2

. . f dr f dr

2. Un campo es conservativo si, y sólo si, el rotacional de ese campo vectorial en todos los

puntos de es cero: 0 x f

3. La mas importante, un campo de fuerzas es conservativo si, y sólo si, podemos encontraruna función escalar potencial llamada energía potencial, de la cual su gradiente sea esa fuerza.De tal modo que para esa fuerza el trabajo que realiza sobre una partícula o móvil, entre dospuntos cualesquiera del espacio es igual a la variación de esa función escalar entre esos dos

puntos, cambiada de signo.

. ( ) ( )

B

A

f dr W A W B

Otra propiedad interesante es que las curvas integrales de un campo vectorial conservativo,llamadas líneas de campo , no pueden ser cerradas.

Un campo de fuerzas donde el trabajo que es necesario para mover una partícula a lo largo de

una trayectoria simple cerrada contenida dentro del espacio ocupado por el campo es cero.

Ejemplo. El campo de fuerzas ( , ) , f x y y x es un campo conservativo en todo 2 R , pues

para cualquier trayectoria simple cerrada contenida en 2 R se cumple ( ( )). 0 f r t dr

Otros ejemplos.

El campo electrostático, el campo gravitatorio en mecánica clásica o las fuerzasintermoleculares en un sólido para pequeños valores de vibración son todos ellos casos defuerzas conservativas. El campo electrostático y el gravitatorio en mecánica clásica de un

cuerpo en reposo y a grandes distancia del mismo tiene la forma aproximada:

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2012-1 Página 256

Donde ˆr u es un vector unitario dirigido desde la fuente del campo hacia el punto donde semide el campo, , ,q mr r r son respectivamente el vector de posición del punto donde se mide

el campo, el vector posición de la carga que crea el campo gravitatorio y el vector de laposición de la masa que crea el campo gravitatorio Las fuerzas intermoleculares pueden serescritas por unas fuerzas del tipo:

Donde ( ; ; )i i i ir x y z representa el vector de posición de la molécula i -ésima y las , ,m i jk

son constantes elásticas que dependen de la red cristalina del material o su estructura interna.La energía potencial es la correspondiente problema de oscilaciones acopladas y viene dadopor una forma cuadrática de las coordenadas:

El campo magnético es un ejemplo de campo no conservativo que no puede ser derivado deun potencial escalar. Esto se refleja por ejemplo que las líneas de campo del campo magnéticoson cerradas.

Relación entre integrales.

En física y matemática, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea

alrededor de una curva cerrada simple y una integral doble sobre la región plana

limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es

un caso especial del más general teorema de Stokes..

Teorema de Green

Sea ( , ),Q( , ) P x y x y dos funciones de un dominio , en R con derivadas parciales

continuas, es un conjunto simplemente conexo que encierra un dominio simplemente

conexo , Entonces ( , ) Q( , ) Q ( , ) ( , ) x y

P x y dx x y dy x y P x y dA

.

Consecuencia.

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2012-1 Página 257

Podemos apreciar que si existe el área de una región , dominio simplemente conexo, con

frontera , entones el área está dada por:

1( )2

A ydx xdy

Para lo cual podemos aplicar el teorema de Green, las funciones ( , ) ,Q( , ) P x y y x y x

1 1 2 2 ydx xdy dA dA A

12

A ydx xdy

.

Comprobar que el área del círculo es 2 A R .

X=rcost, Y=rsent

2 2

2

0 0

1 cos ( cos )2

A Rsent Rsent R t R t dt dt R

Ejercicios:

Hallar el Área de una Elipse

Solución:

El área de un región es invariable con respecto a cualquier

rotación y/o traslación

x= acost

y= bsent

2 2

0 0

1 1cos ( cos )2 2

A bsent asent a t b t dt ab dt ab

Dominio Múltiplemente Conexo

1 es doblemente conexo

12

A ydx xdy

1

2

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2012-1 Página 258

1

2 3

2 es triplemente conexo

Ejemplo:

Calcular: 4 x dx xydy

11

4

0 0

0

y

x dx xydy y dxdy

1

0

2 31

0

(1 )

] 1/ 62 3

y y dy

y y

Calcular el área de la curva

3

3

cos x t

y sen t

Solución:

Aplicando green

2

3 2

0

, / 1

( , ) 0 ( , )

33cos cos

8

x y P Q Q P

P x y Q x y x

dxdy Pdx Qdy t tsen tdt

Limitaciones del Teorema de Green

1

2

1

1

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2012-1 Página 259

Sea2 2

ˆ ˆ

( , )yi xj

F x y x y

a) Calcular su integral de línea sobre el circulo 2 2 1 x y

b) Calcular x yQ P dxdy

región encerrada por

c) Discutir si estos resultados están o no de acuerdo con el teorema de Green

Solución:

a) 2 2 2 2

, , y x

dx dy x y x y

2 2

ydx xdy

x y

x=cost , y =sent 0;2t

2

2 2

0

cos 2 sen t t dt

b) 2 2

2 2

( , )

( , )

y P x y

x y

x

Q x y x y

2 2 2 2

2 22 2 2 2

,

0

x y

x y

y x y xQ P

x y x y

Q P

0 x y

Q P dxdy

c) No se cumple el teorema de Green , porque P y Q no tienen derivadas parciales en el(0;0), punto interior de ( región encerrada por )

FUNCIONES DIFERENCIABLES

DEFINICIÓN

Una función : , n f A R A R se dice que es diferenciable en 0a A si

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2012-1 Página 260

1.

2.( ) ( ) ( ).( )

lim 0 x a

f x f a f a x a

x a

La matriz de orden 1xn dada por el gradiente se le denomina matriz jacobiana para

f en .a

CASO PARTICULAR DE 2 VARIABLES.

Una función 2: , f A R A R se dice que es diferenciable en 0

1 2( , )a a a A si

3. Existen números A y B tales que:

4.1 2

1 2 1 2

2 2( , ) ( , )

1 2

( , ) ( , ) ( ) ( )lim 0( ) ( ) x y a a

f x y f a a A x a B x a x a x a

En este caso el plano1 2 1 2

( , ) ( ) ( ) z f a a A x a B y a es el plano tangente a la grafica de

f en1 2

( , )a a a .

DEFINICIÓN

Una función : ,m n f A R A R se dice que es diferenciable en 0a A si la función f

tiene sus m componentes , 1,2,..., j f j m diferenciables en .a

5. La condición de diferenciabilidad seria:

6.

( ) ( ) ( )lim 0m

x an

f x f a M x a

x a

Done la matriz jacobiana es

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2012-1 Página 261

7.

1 1 1 1

1 2 3

2 2 2 2

1 2 3

3 3 3 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ... ( )( )

..........................................................

....

n

n

f

n

f f f f a a a a

x x x x

f f f f a a a a

x x x x

f f f f a a a a M M a

x x x x

1 2 3

......................................................

( ) ( ) ( ) ... ( )m m m m

n

f f f f a a a a

x x x x

8. Apreciación.

9. Una función : , n f A R A R es diferenciable en 0a A , si lasderivadas parciales de orden 1, son todas continuas en .a

REGLA DE LA CADENA.

Sean A y B dos conjuntos abiertos de n m R y R respectivamente, : ,m n f A R A R ,

: , p m g B R B R , de manera que ( ) Ran f B . Si f es derivable en 0a A y g es

derivable en ( ) f a , entonces gof es derivable en .a

Además se cumple:

10. ( ( )) ( ) gof g f M M f a M a

11.

Problemas resueltos de matemáticas III

1) Determinar el área de la superficie de la esfera limitado

por el cono circular

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2012-1 Página 262

Solución:

En coordenadas polares:

x y

z

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2012-1 Página 263

)

2) Determinar el área de la superficie del elipsoide , limitado por el

cono elíptico

Solución:

De

xy

z

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2012-1 Página 264

3) Determine el area de la superficie del cilindro limitado por el cono

circular

Solución:

De

De S1 hacemos:

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2012-1 Página 265

4) Determine el area de la superficie de limitado por el cilindro

Solución :

Analizando el primer octante

5) Determine donde

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2012-1 Página 266

6) Determine donde

Solución:

x

y

z

S1

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 267

7) Determine donde

S2

S1

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2012-1 Página 268

8) Encontrar el centro de gravedad del casquete semiesférico radio R, con centro en

Solución:

El centro del casquete semiesférico es

8) Hallar el área de la superficie limitada por:

0,0,0, 22222222 RX Y X RX Y X R R Z Y X

Solución:

Mostramos los gráficos de la región de espacio y de su campo.

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2012-1 Página 269

Z

Y

X

Y

R

R

(R/2,0)(R/2,0)

Entonces procedemos a calcular:

Debido a la simetría de la región, entonces calcularemos el área de la

superficie que se encuentra en un octante, entonces el campo quedaría como:

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2012-1 Página 270

Y

R

(R/2,0)

22 X RY

22 )2

()2

(R

X R

Y

8

T S = dA

Y

Z

X

Z

]1)()([22 = dydx

Z

Y

Z

X R X R

R X

R

0

)2

()2

(

22

22

22

1)()( =

dydx Z R

R X R

R X

R

0

)2

()2

(

22

22

= dx X R

Y Rarcsen

RX R

R X

R

0 )2

()2

(

22

22

22

)( = dx X R

X arcsen R

R

0

)2

(

=

R R

dx X R

X arcsen R

RX

002

=

R R

RX R

X R

X R

X Xarcsen R

RX

00

]arctan[2

=2

)1(2

R

EXAMEN FINAL

Pregunta 1:

Considere una esfera hueca de material homogéneo, con un radio interno “a” y

un radio externo “b”, con una temperatura internaa

T y una temperatura

externa bT . Determine la temperatura en estado estable en función de la

distancia r con respecto al centro, para valores entre “a” y “b”.

Solución:

De acuerdo a la ecuación de Fourier se tiene que:dT

H kAdr

, donde en caso de que se

trate de un estado estacionario H , que es la cantidad de calor que pasa a través de un área

A por unidad de tiempo, es constante.

Entonces integrando para nuestro caso de la esfera hueca se tiene:

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2012-1 Página 271

2

4 ( )

1 14( )

b

a

T b

a b

T a

k T T H dr dT H

k r

a b

Por lo tanto:

1 1( )

4

( ) 1 1( ) ,

1 1( )

r a

a br a

H T T

k r a

T T T T a r b

r a

a b

Pregunta 2:

Evaluar la siguiente integral 2( )(1 )(1 )(1 )i j k ij ik jk i j k

v

x x x dx dx dx , siendo:

V = 2 2 2

1 2 3 1 2 3( ; ; ) / 4 x x x x x x

Solución:

Simplificando se tiene que: (aplicando la definición del delta de Krocner)

2( )i j k i j k

v

x x x dx dx dx , siendo i j k

y de la restricción se puede notar que para cada combinación subíndices, que

cumplan la restricción anterior, el resultado es el mismo.

Dado que hay 6 combinaciones posibles:

2( )

i j k i j k

v

x x x dx dx dx =6 2

1 2 3 3 2 1( )

v

x x x dx dx dx ,

Pasando esta ecuación a coordenadas esféricas:

2 2

2 2 2 2

0 0 0

( ( )cos( ) ( ) cos ( )) ( ) sen sen sen d d d

=128

15

Entonces:

2( )

i j k i j k

v

x x x dx dx dx =6 2

1 2 3 3 2 1( )

v

x x x dx dx dx =256

5

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2012-1 Página 272

Pregunta 3:

Usando una transformación ( , , )u v wT , demostrar la siguiente relación:

1 1 1 1

210 0 0

( 1)

1

n

n

dv

xy n

Solución:

Integrando respecto de z se tiene:

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

1ln(1 )

1

dv xy dydx

xy xy

, ahora aplicando la serie de Taylor para poder

expandir el logaritmo respecto a “y”, se obtiene: 1 1 1 1 2 2 3 3

0 0 0 0

1 2 3

3 3 3 3

0

1ln(1 ) (1 ...)

2 3 4

1 1 1 1(1 ...) 1 ...

4 9 16 2 3 4 5

xy x y x y xy dydx dydx

xy

x x xdx

Y esto es igual a:

1

21

( 1)

n

n n

Pregunta 4:

Calcule el área de la superficie2 2 x y z e , si la proyección al plano XY es la

región acotada por la circunferencia: 2 2 4 x y

Solución:

Se sabe que la integral de superficie es:

2 22 2 2 2 2( )1 ( ) ( ) 1 4( ) x y

s s

z z dydx x y e dydx

x y

Pasando a coordenadas polares se tiene:

22 2

2 2

0 01 4 4.45

r

r r e drd

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2012-1 Página 273

Pregunta 5:

Calcule el volumen del Sólido acotado por las siguientes superficies:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1:S b c x a c y a b z a b c y

2 2 2 22

2 2 2: 2

c x c yS cz c

a b

Solución:

Simplificando las ecuaciones anteriores se tiene:

2 2 2

1 2 2 2

2 2

2 2 2

: 1

: 2 1

x y z S

a b c

x y z S

a b c

Y haciendo el cambio de:

, , x ax y by z cz

Entonces: dv abcz y x

Por lo que el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas será:V

abcdz dy dx

Para ver el dominio sobre el que están definidos x e y, se interseccionan las dossuperficies:

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2012-1 Página 274

21 2 1 3 1 z z z

Ahora pasando a coordenadas cilíndricas se tiene:

2

2

2 3 32 1

0 0 1

2

r

r

abc rdzdrd

=

2 3/ 2

(2 3 3) ( 2 3 4) 2 3 3 1(2 )( )8 3 4 3

abc

0.12V abc

Problema 6:

Calcular la siguiente integral doble R

x dxdy y , siendo R la región acotada por el

triángulo de vértices (1/2 ; 1/2) ; (0;1) ; (1;1)

Solución:

Para la región sobre la que se nos pide evaluar la integral:

x

y=0, pues y>x, excepto sobre la rectas y=x, donde vale 1. Pero entonces se

interpretaría como el área sobre la región en la que esté definida, la cual es una

recta y como su área es 0.

Entonces: R

xdxdy

y =0

Problema 7:

Del octante de la esfera 2 2 2 2 x y z c ; ( 0; 0; 0) x y z se ha quitado el

cuerpo OABC , limitado por los planos de coordenadas y por el plano 1 x y

a b

(a<0,b<0,c<0). ( 0, 0, 0)a b c y O es el origen de las coordenadas.

Calcule la masa de este cuerpo si su densidad en cada punto (x;y;z) es igual a su

cota z.

Solución:

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2012-1 Página 275

La masa total del cuerpo se puede calcular como la masa del octavo de esfera

menos la masa encerrada entre el plano dado y los ejes coordenados. Esto es:

2 24/ 2 / 2

0 0 0 0 0 0

cos ( )

bb x

x yc a a

M sen d d d zdzdydx

Entonces operando:4 3 3 2

16 24 24 4

c a b ab abc M

Problema 8:

Se sabe que un cierto camino en el plano 2x+2y+2z=1 se proyecta en la

circunferencia unidad 2 2 1 x y del plano XY . Sea c una constante y sea

R xi yj zk . Calcule mediante el teorema de Stokes ( ).ck R dr

.

Solución:

Por el teorema de Stokes se sabe que: ( ). ( ).S

ck R dr x ck R dS

Operando se tiene: ( ) 2 x ck R ck

Por lo que:

( ). (2 ) (2,2,1) 2S S

ck R dr ck x dydx c dydx

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2012-1 Página 276

Y como el área proyectada en el plano XY es un círculo, entonces:

( ). 2ck R dr c

Problema 9:

Demuestre que la medida (“volumen”) de una n-bola en n de radio “a” está

dada por

1

2

( )

(1 )2

n

n

aV a

n

Solución:

Tenemos la n-esfera, definida como el lugar geométrico de los puntos en el

espacio euclídeo n-dimensional que equidistan de uno llamado centro (en

nuestro caso el origen).En otras palabras, 2 2 2 2 2

1 2 3...

n x x x x r .Y

queremos calcular su superficie y volumen. Para ello, consideramos la

integral:

2

n

r

R

I e dV

Donde integramos sobre todo el espacio. Pero podemos usar una identidad

conocida para simplificarnos la vida:

2 2 22 2231 2

1 2 3

1

( ).( ).( )...( ) ( )n i

n

n x x x x xr

n i

i R

I e dV e dx e dx e dx e dx e dx

Ahora bien, cada una de las integrales del producto vale raíz de pi, por lo

que:

2 / 2

1

( )in x n

i

i

I e dx

Bien, guardemos este resultado un momento, y vayamos a otra cosa.

Hasta ahora no nos hemos ocupado directamente de la esfera. Vamos a

ello, haciendo una simplificación que resultará ser esencial:

En el jacobiano del cambio a coordenadas polares n-dimensionales, lavariable radial r sólo aparece mediante un factor de 1nr .

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2012-1 Página 277

En efecto, veamos qué es un cambio a polares n-dimensional. Básicamente

es un cambio del tipo:

1

2

cos....

cos....

x r

x r

Etc., etc. con la variable r apareciendo sólo delante del (habitualmente

inmenso) producto de senos, cosenos, etc. Las variables angulares

aparecen sólo dentro de senos y cosenos por muchas razones, una de las

cuales es que el cambio a polares en n dimensiones es una generalización

del cambio a polares plano y tridimensional, y en éstos se procede mediante

senos y cosenos. Y aunque no fuera un producto de senos y cosenos, sino

una función arbitraria de los ángulos, eso no invalidaría para nada nuestro

argumento. Desarrollar por completo las coordenadas polares es complicado

y sería desviarse del tema principal, pero de todas formas es algointeresante. Decíamos que la variable r sólo aparece delante del producto

de senos y cosenos, y esto es así porque cuando r=1 las coordenadas

polares deberían parametrizar la superficie de la esfera de radio 1. Al

multiplicar las coordenadas por un r arbitrario deberían parametrizar la

esfera de radio r. Calculemos su jacobiano, y fijémonos en una cosa: La

variable r aparece en todas las columnas, sencillamente multiplicando a

todo lo demás, menos en la primera. Esto es lógico, pues la primera

columna del jacobiano corresponde a tomar la derivada parcial respecto a r,

y por la forma del cambio de coordenadas eso elimina a la variable r. En

resumen, el jacobiano tendrá la forma:

... .... .... ....

... .... .... ....

... .... .... ....

r r r

r r r

r r r

Donde los puntos suspensivos son montones de funciones trigonométricas

de las variables angulares que no vienen al caso ahora. La cuestión es que

una de las propiedades del determinante dice que si una fila o columna está

multiplicada por un número, digamos, r, entonces el determinante es igual

a la constante r por el determinante sin la fila multiplicada por la constante.Aplicando eso sucesivamente a las columnas 2, 3...n-1,n del determinante J

queda que

1( ) (1)n J r r J

Donde J(1) es el valor del jacobiano cuando r=1, y que por tanto no

contiene factores de r. Es decir, la única dependencia de la variable r que

puede tener jacobiano general J(r) es mediante un factor de 1nr . Como se

quería demostrar.

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2012-1 Página 278

Antes de hallar el volumen de la n-esfera hallaremos el área de esta.

Primero, demostraremos que:

1

1 2 3 4(1) ... ( )n

n

A

r J d d d d d S r

Donde A es el conjunto de todos los valores posibles que toman las

variables angulares1 2, , ... En el caso plano, por ejemplo, el conjunto A es

sencillamente [0,2 ] .En un caso más general será un producto cartesiano

del tipo [ , ] [ , ] ...a b x c d x . Y S(r) es la superficie de la esfera de radio r. Por

ejemplo, para 2 dimensiones, tenemos que A=[0,2pi] y J(1)=1, y por tantola integral de arriba toma la forma:

2

0

2rd r

Que es precisamente la superficie de la esfera de radio 1 (en este caso,

longitud).

En fin, vamos a demostrarlo:

Consideremos la integral:

. ( )S S

x NdA rdA rS r

Donde S es la superficie de la esfera de radio 1, y N es el vector normal

unitario a la superficie de la esfera. La igualdad de la derecha se produce

porque el vector normal a la superficie y el de posición son paralelos, uno

de módulo 1 y el otro de módulo r. Por tanto el valor del producto escalar

en el integrando es r.

Si aplicamos el Tª de la divergencia al lado de la izquierda, siendo V el

volumen de la esfera de radio r, teniendo en cuenta que i

i X x n donde

n es el número de dimensiones del espacio, tenemos que:

1 2 3 4

0

1 1

1 2 3 4 1 2 3 4

0 0

. . ( ) ...

(1) ... ( ).( (1) ... )

r

n

S V V A

r r

n n n

n n

A A

x NdA xdV ndV nJ n drd d d d d

nr J drd d d d d nr dr J drd d d d d r

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2012-1 Página 279

Con lo que queda demostrada la afirmación de arriba. Nótese que ello

implica dos cosas:

1

1 2 3 4

( ) (1)

(1) (1) ...

n

n

A

S r r S

S J drd d d d d

Bueno, ahora sí que sí vamos a calcular la superficie de la n-esfera.

Recordemos de las demostraciones anteriores que:

2/ 2

n

r n

R

e dV

21 /2

1 2 3 4

0

(1) ...n r n

n

A

r e J drd d d d d

21 /2

0

(1) n r nS r e dr

Si ahora en la integral que obtenemos, hacemos el cambio de variable 2t r , la integral queda:

2 11 2

0 0

1

2

n

n r t r e dr t e dt

Pero recordemos que la función gamma se define como:

1

0

( )n t

n t e dt

Así que la integral nos queda que vale1

( )2 2

n .En otras palabras, nuestra

ecuación de arriba queda:

/ 2

/ 2

1(1) ( )2 2

(1)1

( )2 2

n

n

nS

S n

Y ahora, multiplicando ambos lados por 1nr , obtenemos la Superficie de

la n-esfera de radio r:

/ 2 12

( )

( )2

n nr

S r

n

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2012-1 Página 280

Volumen de la n-esfera

Se obtiene de forma directa, mediante el uso del teorema de la divergencia.

Sea una esfera de radio r, S su superficie y V su volumen, tenemos que:

. .S V

x NdA xdV

Por los mismos argumentos que los empleados en el cálculo de una integral

similar hecha anteriormente, se tiene que:

/ 2

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

V

n n

rS r n dV

rS r nV r

r r

V r S r n nn

Ahora bien, si recordamos que la función gamma cumple la propiedad de

recurrencia:

( ) ( 1) x x x

y sustituimos esto en la ecuación, nos queda el Volumen de la n-esfera

de radio r:

/ 2

( )

(1 )2

n nr

V r n

Por lo que termina el problema.

Problema 10:

Suponga que u ; v ; w son coordenadas curvilíneas ortogonales para las cuales2 2 2 2 2

ds v du u dv dw .

a) Calcule la divergencia de u , donde u es el vector

unitario tangente a la curva u.

b) Determine el laplaciano de la función f=uvw .

Solución:

a) Se sabe que:

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2012-1 Página 281

1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 2 3 1 2 3

1. [ ( ) ( ) ( )] F F h h F h h F h h

h h h u u u

Y dado que:1 2 3

; ; 1h v h u h

Además: 1 0 0 F u v w

Entonces:

1 ( ) 1. ( )

uu

uv u uv

b) Parecido al caso anterior, se tendría que evaluar en:

2 2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1[ ( ) ( ) ( )]

h h h h h h f f f f

h h h u h u u h u u h u

Entonces:

2 2w f

uv

EXAMEN FINAL 2010-2

4.- Si A= rcosθεr θεθ vaú ∫dS alrededor de la trayectoria que

es el contorno de un trapecio circular en el primer cuadrante formado

por dos circunferencias concéntricas cuyos radios miden 2u y 3u, y los

rayos trazados desde el origen de coordenadas formando ángulos

agudos de medidas 3⁰ y ⁰ j d a aba E d d atrayectoria es contrario a las manecillas del reloj.

Mediante el teorema de Stokes:

1) ∮dS ∬xA)d

dS = rdrdθεzxA = εr [(1/r) Az/θ-θ εθAr/t-Az/r)

εzrrθr-

Ap/

θ

2) xA=(0-εr + (0-εθ rθεz

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2012-1 Página 282

∬ ∬

=

∫ ∫

=[(√ 7/2

5: demuestre el teorema de la divergencia

Sea S una superficies cerrada en la que toda recta

paralela a los ejes coordenados la corta a lo sumo en

dos puntos. Suponiendo que las ecuaciones de las

superficies limites inferior y superior con

z = respectivamente y

llamando R a la proyección de la superficie sobre el

plano xy, se tiene

En la cara superior ya que la normal

Agudo

En la cara superior ya que la normal

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2012-1 Página 283

Obtuso

Por lo tanto

∬ -∬ ∬ +∬

∬ S

Luego :

∭ ∬ S

Analogamente

6:

Demostrar que

es una condicion necesaria y suficiente para

∮ =0 alrededor

de cualquier curva suave simple cerrada c

Si

Luego por el teorema de Stokes

7:

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2012-1 Página 284

Luego :

8:

0<x<3

0<y<3-x

Luego

∬ /3

=45/4

9.-Usando transformaciones T(u,v) determine el volumen del solido

acotado por un octaedro regular cuya arista mide l.

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2012-1 Página 285

l = a

Sea P el plano que limita la cara superior derecha

P: AX + BY +CZ = 0…

P*: u + v + w + a = 1

Una vez hecho el conveniente cambio de variable se procede con una

simple integral triple:

V = 2 ʃʃʃ J (u,v,w) dudvdw =2 a2ˆ(1/2)/3

10.- Use el teorema de Green, determine el área acotada por la

curva “ ҫ”

Denominado evoluta de una cardiode.

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2012-1 Página 286

r=a(1+cosθ)

r*=r+

ρN … evoluta de “r”

r*=a(1-cosθ X aθ Y aθ

S = 0.5 ʃ XdY-YdX

a/24

LEY DE GAUSS

Relaciona el flujo de un campo eléctrico E sobre una superficie “cerrada” S con carga neta Q

encerrada por la superficie a saber (En unidades adecuadas)

.S

E ds Q …..(1)

Superficie cerrada

Supóngase que el s

E En esto es; un múltiplo escalar constante de la normal unitaria

entonces la ley de Gauss, ecuación (1) anterior se convierte en

0 s s s

Q EdS EdS S dS

Pues s

E E n

0( )

Q E

A S …..(2)

S

E

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2012-1 Página 287

Q

En el caso de que S sea la esfera de radio R , la ecuación (2) se convierte en2

04

Q E

R

El campo eléctrico debido a una carga Puntual Q

es0

1

4s

Q E r

r ……(3)

Aun cuando hemos demostrado el teorema de la divergencia solo para regiones solidas

simples, se puede demostrar también para regiones que son la unión de una cantidad finita de

regiones solidas simples. (El procedimiento es semejante al planeado para extender el teorema

de Green)

Por ejemplo, consideramos la región que se encuentra entre las superficies cerradas S1 y S2,

donde S1 es interior a S2. Sean1

n y2

n normales exteriores (dirigidas hacia afuera) de S1 y S2,

entonces la superficie frontera de E es S = S1 U S2 y su normal n está dada por1

n n sobre

S1 y2

n n sobre S2.

. . S

E S S

divFdV F dS F n dS

1 2

1 2

.( ) .( )S S

F n dS F n dS

1 2

. .S S

F dS F dS ……..(4)

Apliquemos esto al campo Eléctrico

3( )

Q E x x

x

0

1

4

Donde S es una pequeña esfera de radio a y centro en el origen, es posible verificar que

0divE por lo tanto la ecuación (4) da

2 2

. .S S

E dS E ndS

1S

2S

1n

1n

2n

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2012-1 Página 288

Lo que interesa en este proceder es que podemos calcular la integral de superficie sobre S1

porque S1 es una esfera. El vector normal es x es x

xpor tanto

3 2 2. .Q x Q Q E n x x a x x

Porque la ecuación de S1 es x a , entonces tenemos

2 1

. .S S

E dS E ndS

2 2

1

( 1)S

Q QdS A S

a a

0

4Q

Q

Esto demuestra que el flujo eléctrico E a través de cualquier superficie cerrada S2 que

contenga el origen es 4 Q [este es un caso particular de la ley de Gauss para una carga

simple]

Supóngase ahora que el E surge de una carga puntual aislada a Q por simetría, es

razonable que el E En donde n es la normal a cualquier esfera con centro Q , por tanto secumple la ecuación (3).

Consideremos una segunda carga puntual Q 0 situada a una distancia R , de la fuerza F

que actúa sobre esta segunda carga esta dado por

00 0 2

0 4

QQ F EQ EQ n n

R

Así F es magnitud de F , tenemos 0

2

04

QQ F

R

Es la conocida ley de Columb para fuerzas entre dos cargas puntuales.

La ley de Gauss tiene la siguiente interpretación física. El potencial debido a una carga

puntual Q en (0,0,0) está dado por

2 2 20

( , , )4

Q Q x y z

r x y z

Y el campo correspondiente es

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2012-1 Página 289

3

04

Q r E

r

Así la ley de Gauss asegura que el flujo eléctrico total .

M

E dS

(Esto es el fuljo de e

hacia afuera de la superficie M )

Es igual a0

Q

si la carga está dentro de M, y cero de no ser así. Nótese que aun si

(0,0,0) M, E continuara siendo diferente de cero en M.

Para una distribución continua de carga descrita por la densidad de carga el campo

E esta relacionado con la densidad mediante

.divE E

Así por el teorema de Gauss,

0 0

1.

S

Q E dS dV

O el flujo hacia afuera de la superficie es igual a la carga total que hay dentro.

ELECTROMAGNETISMO

Sean , E y H los campos magnéticos y eléctricos que dependen del tiempo respectivamente

en el espacio. Sea S una superficie con frontera definimos

. E dS

Voltaje alrededor de

.S

H dS Flujo magnético atreves de S

1. Evaluar:

Sol.

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2012-1 Página 290

Graficando observamos que el volumen “” donde integraremos es el superior al plano , en el primer octante.

Analizando la integral en cada región señalada, tenemos:

Donde:

2. Calcule el valor de ∫ , es la poligonal que une los puntos:

Sol.

Comprobamos si el campo

es

conservativo, para ello bastara con demostrar que la diferencial es

exacta, entonces tiene que cumplir la siguiente condición:

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2012-1 Página 291

Las igualdades se cumplen. Por lo tanto tenemos un campo conservativo.

Por ser una diferencial exacta, entonces existe una función tal que:

integramos cada ecuación:

Comparando las tres ecuaciones, tenemos:

Asi la integral ∫ se convierte en: ∫

Por ser un campo conservativo la integral ∫ no depende de la

trayectoria. Entonces bastara tomar los puntos extremos y de la trayectoria

para hallar dicha integral.

Entonces:

3. Usando el teorema de Green, determine el área de la región limitada por el hipocicloide.

Sol.

Podemos escoger la hipocicloide: ……(astroide)

Por Green: ∫ ………..(1)

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2012-1 Página 292

Parametrizando tenemos:

Reemplazando en (1):

4. Sea

, un conjunto convexo. ¿

es convexo?

Justifique su respuesta.

Sol.

Para que B sea convexo, toda recta que une dos puntos cualesquiera de su dominio esta

contenido en B.

Sea:

a b formamos la recta

a b a b a ab b

Ademas si: , entonces:

a b a b

Evaluamos en la recta

a a b b a b a b

Por lo tanto, B es un conjunto convexo.

5. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio

externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.

Sol.

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2012-1 Página 293

El momento de inercia de la figura viene dado por:

Como la placa es homogénea, entonces:

, además:

Luego:

∬ ∬ …….(1)

Usando coordenadas polares:

En (1):

6. Usando transformación para integrales triples, calcule el volumen acotado por un

hexaedro de caras regiones triangulares equiláteras de lado a.

Sol.

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2012-1 Página 294

Tomamos la mitad del hexaedtro, entonces: ………..(1)

Del grafico: ……..(2)

Hallaremos la ecuación del plano ABC para calcular el volumen del solido O-MBC=

√ √

√ √ √ √

√ √ como vector normal al plano ABC

Luego: √ √ √ ……….(*)

Además la región es: √ √ ………….(**)

De (*)y(**):

√ √

√ √

√ √ √

En (2):

√ √

Finalmente en (1):

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2012-1 Página 295

√ √

7. Evalue

, siendo

Sol.

Para calcular la integral, transformaremos el volumen de integración.

Analizando las desigualdades determinaremos los dominios de x,y,z

………

………

………

z

Entonces hacemos los siguientes cambios de variable:

… y

…y v entonces: √ v

…z

Ahora hallamos los dominios de u,v,w:

v

v

Como:

Entonces:

√ v

Elevando al cuadrado: v

v

Asi el solido S queda transformado en:

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2012-1 Página 296

El jacobiano de la transformación es:

√ v √ v √ v

Entonces la integral pedida será:

√ v

√ v

√ v √

8. Sea el campo vectorial

Definido en Ω

a)¿en que región de , es conservativo y evalue ∫ ?

b) sea , a=(2,2), b=(2,y), c=(x,y)

calcule la función potencial f(x,y)

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2012-1 Página 297

f(x,y)=∫ ∫

sol.

a)Comprobaremos si

es conservativo:

…es conservativo con dominio:

Por ser una diferencial exacta, entonces existe una función tal que:

integramos cada ecuación:

Comparando ambas ecuaciones, obtenemos:

Asi tenemos que: ∫ ∫

b) dado que F es conservativo, entonces: f(x,y)=∫ ∫ =∫

luego: f(x,y)=

∫ ∫

f(x,y)=

9. Halle el trabajo maximo que se debe efectuar sobre una particula que se desplaza en la

curva

Si el campo de fuerzas esta definida por:

Sol.

El trabajo viene dado por:

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2012-1 Página 298

∫ …………..(1)

Tenemos la ecuación de la elipse:

Parametrizamos:

Reemplazamos en (1):

Luego:

Si ∫ ….es el trabajo máximo realizado en una

vuelta.

10. Hallar el área de la región acotada por la curva que es la podaría de una parábola,

usando el teorema de green.

Sol.

Sea la parábola

Entonces la podaría respecto a su vértice, tiene por ecuaciones parametricas:

Derivando :

Parametrizando la recta x=-p

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2012-1 Página 299

Derivando :

Por el teorema de Green: ∫

Analizando por tramos:

Entonces:

Por lo tanto, por Green comprobamos que el área acotada por una podaría no tiene valor

finito.

TEOREMA DE STOKES.

INTEGRALES DE SUPERFICIES.

Ecuaciones de superficies.

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2012-1 Página 300

Una superficie , , / ( , , ) 0,S x y z f x y z f continua es un conjunto de puntos de

3 R . Lo que nos interesa en estos momentos es hallar superficies limitadas de maneraque podamos determinar el área de esas superficies.

Una superficie , se dice que es una superficie suave, si las derivadas parciales de f son continuas en el dominio de la superficie S y nunca se anula.

Ahora deseamos encontrara su área, mediante una integral doble, sobre la región R,que viene a ser la proyección de la superficie sobre el plano piso o sea el plano XY.. Aunque puede ser cualquier otro plano sobre el cual se proyecte la superficie, pero nodebe existir dos puntos de la superficie que tengan dos imágenes de la proyección R.

Es decir bajo esta proyección es uno a uno, o sea inyectiva, o sea para cada punto dela proyección solamente hay una imagen.

Simbólicamente:

, ,0 : ! / ( , , ) XY x y R z f x y z c

Análogamente si se proyecta la superficie sobre otro plano.

,0, : ! / ( , , ) XZ x z R y f x y z c

,0, : ! / ( , , )YZ x z R x f x y z c

Aproximación.Tomemos un punto cualquiera de la superficie S , en el plano tangente a la superficie

S consideremos un paralelogramok

P , , el se puede considerar como una

aproximación parak

, la proyección de sobre la región XY

R la denotamosk

A

que viene a ser un rectángulo como se puede apreciar en la figura.

S

k P

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2012-1 Página 301

Si el paralelogramo es paralelo al rectángulok

A , ellos serán congruentes. En

caso contrario será un paralelogramo con una área mayor que el área .

Ahora analizaremos la siguiente grafica

El área del paralelogramo que esta en el plano tangente, determinado por los vectores

es k k u x v y en la proyección el área de es .

k A = . cosk k k k k u x v n u x v n .

Luego: , donde cos 0k

, siempre que 0 f y no sea paralelo al XY

R

( o cualquiera de los otros casos).

Pensando en la refinamiento que podemos hacer, para mejorar la aproximación., alárea de la superficie, tendremos que :

cos

k k

k

A P

k P

k A

,k k

u vk A .k k

u x v n

cos

k k

k

A P

ukvk

n

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2012-1 Página 302

Así tenemos esta aproximación de lo que se conoce como área de la superficie S , por lo que podemos apreciar que el área de la superficie será:

1.1

( )cos

k R

A S dA

1 1 1

.cos cos .k k

f

f n f n

f

( ).

R

f A S dA

f n

.

Donde n es un vector unitario normal a R y . 0 f n .

CONSECUENCIA.

Si S es la superficie definida por ( , ) z f x y , la cual tiene derivadas parciales

continuas a través de la región XY

R , tendremos que la ecuación que define la

superficie es

( , ) 0 f x y z , así tendremos que:

2 2( ) 1. .

XY XY XY

x y

R R R

f f A S dA dxdy f f dxdy f n f k

REPRESENTACION DE UNA SUPERFICIE.

El problema de expresar una superficie, la cual liga tres variables mediante unaecuación, lo cual se interpreta que hay dos variables que pueden tomar valoresarbitrarios, puede representarse implícitamente o explícitamente, es decir habría loque se llama dos grados de libertad.

Una tercera alternativa es la llamada representación parametrica de una superficie.

Así tendremos que:

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2012-1 Página 303

2. : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , )S r u v x u v i y u v j z u v k u v RxR que viene a ser la ecuación parametrica de la superficie.

Así tendremos que ( )u v u v

A S r xr dA r xr dudv

.

ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCION.

Cuando el eje de rotación es el eje z cuya ecuación es

3. : ( ) ( ( ), ( ))r u f u g u

esta dada por 2

2 2

0

( ) 2 ( ) 1 ( ) ( )

b

a

A S f u f u g u dudv

.

Esto se deriva del hecho de que : ( ) ( ( )cos , ( ) , ( ))r u f u v f u senv g u

4. ( ( )cos , ( ) , ( ))u

r f u v f u senv g u (u

r

( ( ) , ( )cos ,0)v

r f u senv f u v

2 2x ( ) 1 ( ) ( )

u vr r f u f u g u

Definición.

Si R es la proyección de una superficie : ( , , )S f x y z c y la función g continua

g continua en los puntosa de la superficie S , entonces definimos la integral de g sobre S

como la integral

( , , ).

R R

f g x y z dA

f n

donde Rn es un vector unitario a R y . 0

R f n .

u

v

x

y

z

u,v

Ω

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2012-1 Página 304

Centro de gravedad.

Dado el campo escalar f se interpreta como la densidad (masa por unidad de área)de una

lamina delgada que coincide con la superficie S tendremos que la masa de la lamina seria:

( , , )S

m f x y z dS

El centroide seria1

( , , ) ( , , )S S S

x y z xdS ydS zdS m

.

Momento de inercia: 2( , , ) ( , , ) L

S

I d x y z f x y z dS

Donde ( , , )d x y z es la distancia de un punto genérico de la lamina hacia la recta L .

INTEGRALES DE SUPERFICIE – TEOREMA DESTOKES

Preliminares

Es de nuestro interés inicialmente trabajar con superficies ( , , ) 0 f x y z donde

( , , ) f x y z , donde x, y, z están variando en su determinada extensión. Además inicialmente

consideraremos que: ( , , ) 0, ( , , ) f x y z x y z Domf (a veces se suele decir que la

superficie la “suave”). Podemos definir y determinar el área de esta superficie mediante unaintegral doble sobre su proyección R en algún plano coordenado (en la figura el plano piso o

sea xy). Sabemos también que la proyección sobre el plano coordenado es de uno a uno.

S

MS

R

T

H

CASO POR ANALIZAR CASO NO ANALIZADO INICIALMENTE

R

Al punto H le corresponden los puntos My T. (O sea la proporción de M y T es H)

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2012-1 Página 305

Consecuencia

Ahora tomemos un diferencial de la

superficie S, que la denotamos comok S y

Tk P es el paralelogramo que determina

k S

proyectado al plano tangente.

Hemos considerado un punto ( , , )k k k k T x y z de k S y también estaría en un lado delparalelogramo que se encuentra en el plano tangente.

Tenemos que si el paralelogramo es paralelo al piso y por ende ak

A .k P será congruente

conk

A , en caso contrario el área deTk P será mayor que el área de

k A .

Denotemos un n el vector normal del plano piso pero unitario (si el piso es el plano XY, en

este caso k ), el plano tangente a la superficie S es ( , , )k k k

f x y z .

Visualizando la gráfica:

( , , )k k k

x y z

k S

Tk S

S

k A

S

CASO POR ANALIZAR

k A

( , , )k k k

f x y z k v

k u

n

El área de la proyección ortogonal del

paralelogramo determinado pork u y k v

sobre cualquier plano con normal n es:

k k u v n

(Valor absoluto del triple producto

escalar)

Luego por conocimientos elementales

de cálculo vectorial tenemos:

cosk k k k k k A u v n u v n

k Tk A A P

cos

k Tk

k

P P

, donde: cos 0

k

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2012-1 Página 306

Podemos apreciar que la sumacos

k Tk

k

A P

, es una aproximación de lo que

llamamos el área de la superficie S, cuando más reducida sea la particiónk

A .

ÁREA DE UNA SUPERFICIE

Deducimos el área de una superficie ( , , ) 0 f x y z sobre una región plana, cerrada y acotada

en , así veremos que:

( ) R

f A s dA

f n

Donde n es un vector unitario normal a R y f , 0n y 0 f .

Casos Especiales

Cuando z se puede despejar de ( , , ) 0 f x y z , o sea z definida explícitamente por x e

y, además que tenga derivadas parciales continuas en una región R de R 2 (del plano

xy), entonces ( , ) z x y se tiene:

2 2 1

xy xy

x y

R R

f dA f f dxdy f n

Caso Paramétrico

Toda superficie gráfica de una función ( , ) z f x y , se podría decir que se trata de un punto

el cual tendría dos grados de libertad. En realidad tenemos que podríamos representar

implícitamente a la superficie ( , , )/ ( , , ) 0S x y z f x y z en tanto de ( , , ) 0 f x y z no

podemos despejar z, en caso contrario si podemos expresar ( , ) z h x y diremos que z está

representado explícitamente en términos de x e y. O sea que podemos expresar ( , , ) / ( , ), ( , ), ( , ),( , )S x y z x x u v y y u v z z u v u v R . Es decir:

2: ( , ), ( , ), ( , ), ( , )S x x u v y y u v z z u v u v

un conjunto simplemente conexo de 2 , así interpretamos que al variar u y v de manera

que ( , )u v se advierte que hay dos grados de libertad (2 variables toman valores

arbitrarios en un determinado conjunto).

v

z

u

( , )r u v

: .cte

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2012-1 Página 307

O sea tenemos : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , )S r u v x u v i y u v j z u v k u v esta es la conocida

ecuación vectorial de la superficie S.

S es la imagen de , a través de la aplicación r , ella se denomina producto vectorial

fundamental.

Sea : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,( , )S r u v x u v i y u v j z u v k u v admitiendo que x, y, z son

diferenciables en , podemos ver que:

u u u u

v v v v

r x i y j z k

r x i y j z k

El producto vectorial u vr r se denomina el producto vectorial fundamental de la

representación de r .

Así tenemos:

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

u u u u u uu v u u u

v v v v v v

v v v

i j k y z z x x y y z z x x y

r r x y z i j k i j k y z z x x y u v u v u v

x y z

Si ( , )u v , para el cual ur y vr son continuos y 0u vr r , el punto imagen ( , )r u v se

denomina punto regular de r .

Si ur o vr no son continuas o si 0u vr r el punto ( , )u v se denomina punto singular de la

superficie de r .

SUPERFICIE REGULAR

: ( , ) ( , ) ( , ) ( , )S r u v x u v i y u v j z u v k se dice que es una superficie regular si todos sus

puntos son regulares.

Toda superficie S tiene más de una representación paramétrica. Podemos dar ejemplos de

puntos los cuales una representación paramétrica es regular y con otra singular.

u

u

v =constante

x

u

y

u

( , )u v

: .cte

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2012-1 Página 308

Significado Geométrico

Sabemos que:( ) ' 0

// u v

f r r

n r r

Razón por la cual el vector, el vector u vr r se denomina normal a la superficie ( )r el

vector u vr r es no nula. El plano que pasa por P y tiene este vector como normal se

denomina plano tangente a la superficie en P.

SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE

Una superficie : ( , ) ( , ) ( , )S r x u v i y u v j z u v k es suave si: ur y vr son continuas y

nunca es nulo u vr r para ( , )u v . Definamos una superficie paramétrica general dada

por la ecuación ( , )r u v .

Como inicio consideremos un rectángulo, partimos en un rectángulo Rij por comodidad

R (rectángulo), en la parte de la superficie correspondiente a Rij denotada Sij tomamos un

punto ( , )i ju v como el vértice inferior de Rij. La parte Sij de la superficie S cuya proyección es

Rij se denomina parche y tiene el punto Pij como vector posición ( , )i j

r u v , sean:

PLANO TANGENTE

n

ur

vr

P

V= cte.

U= cte.

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2012-1 Página 309

* ( , )

* ( , )

u u i j

v v i j

r r u v

r r u v

Los vectores tangentes en P ij

Observemos que: ( )ij ij

r R S

Aclaremos la gráfica en 3 , específicamenteij

S .

En la figura se aprecia que los dos bordes del parche con vértice enij P se puede aproximar

mediante vectores tangentesu

ur y vvr .

Consecuencia

Un rectángulo que tenga un área u v se convierte en una porción de ( )r que se puede

aproximar por el paralelogramo determinado por los vectoresu

ur y vvr .

Así podemos aproximar

ijS

por dicho paralelogramo, lo que significa que:

vvr

u

vvr

u

v

v

u

u

x

u

y

u

( , )i j

u v

ijS

ij

P

ij R

u

uur

ijS

uur

ij P

z

u

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2012-1 Página 310

1 1 1 1

0 0 0 0

( )

( ) ( )

ij ij u v

n n n n

ij u v

i j i j

A R S ur vr

A A R r r u v

Cuando la partición se refina, o sea n la suma ( ) A converge a la integral doble, así:

u vr r dudv

Como ( ) A deberá aproximarse, cada vez más al área de la superficie conforme n .

Definición

Si una superficie paramétrica suave S, dada por ( , )r u v , ( , )u v S se “cubre” solo una vez

cuando ( , )u v , entonces el área de la superficie S es:

( )S u v A r r dA

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Si tenemos una curva suave la cual no corta al eje Z con parametrización( ) ( ) ( )

: ( , )u u ur f g . Determinemos el área de la superficie obtenida al girar esta curva

alrededor del eje oz.

De la gráfica:

( ) ( ) ( ): ( , ) ( cos , , )u u ur u v r f v f senv g

a

v

u

u

x

u

y

u

( , )i ju v

( )u g

b

2

( )u f

( ) ( )( ,0, )

u u f g

z

u

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2012-1 Página 311

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2( ) ( ) ( )

2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

0

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ' cos , ' , ' )

( , cos ,0)

' cos ... '

1 ' '

1 ' '

2 1 ' '

u u u u

v u u

u v u u u

u v u u u

b

S u u u

a

b

S u u u

a

r f v f senv g

r f senv f v

r r g vi f f k

r r f f g

A f f g dudv

A f f g

Área de la superficie de un cono trucado:

( , ) ( cos , , tan )

( , ) (cos , , tan )

( , ) (cos , , tan )

( , ) ( ,cos ,0)

(cos , , tan ) ( ,cos ,0)

r

r

r r rsen r

r r sen

r sen

r r sen

sen r sen

cos tan ( cos tan , tan ,1)

cos 0

r

i j k

sen r sen

sen

2

1

2 2 2 2 2

2

2 2( ) 2 1

0

cos tan tan 1 sec

( ( )) sec sec ( )

r

R

S

R

r sen r

A A r drd R R

2 z

u

u

r

u

2

2 R 1 R

1 R

( ) ( , )r

2

R

1 z

u

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2012-1 Página 312

Región Esférica (Casquete Esférico)

2

( , ) ( cos , ,cos )

( , ) (cos cos ,cos , )

( , ) ( , cos ,0)

r R sen sen sen

r R sen sen

r R sen sen sen

r r R sen

2

1

2

2 2

1 2

0

( ( )) ( ) 2 (cos cos ) 2 E

A r A C R sen d d R Rh

Ejemplo de Aplicación:

Encuentre el área de la superficie sobre el

paraboloide 2 2 24 x y z R y el cilindro

2 2 2( ) x y R R . Proyectamos sobre el piso

Pxz para evitar que no sea uno a uno sobre la

proyección. La curva de intersección será:

2: (2 ), , 4 2 x y R y y y z R Ry

2 2 2( , , ) 2 , (2 ,2 2 ,0), 2 f x y z x y R f x y R f i x

2R

R

2

2

1

h

u

h

u

z

24 R

Por simetría tendremos que:

2 2

2

2 4

( )

0 4 2

2 R R

S

R Ry

f A

f i

2 2

2

2 4

( )

0 4 2

22

2

R R

S

R Ry

R A R dzdy

x

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2012-1 Página 313

(OJO: la ecuación simétrica de 2

2: 1 4 22 4

y z L z R Ry

R R )

TEOREMA DE GREEN

ENUNCIADO DEL TEOREMA

Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F( x ;y ) = (P;Q)

un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre

una región abierta que contiene a la región D acotada por C . Entonces:

C D C

Qdy PdxdA y

P

x

QdrF·

PROBLEMAS RESUELTOS

1.) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar C

xydxdx x4 , donde C es

la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.

SOLUCIÓN:

y

u

2 R

x

y

1

1

y = 1 - x

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2012-1 Página 314

La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:

y x

Q xy y xQ

y

P x y x P

);(

0);(4

Por lo tanto:

6

11

1

1

0

3

61

21

0 21

1

0

1

0

1

0

1

0

2

214

x

dx xdx y ydydxdA y

P

x

Q xydxdx x

D

x x

C

Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales

con las correspondientes parametrizaciones.

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2012-1 Página 315

y

x 1

1

-1

-1

2.) Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región

limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial

r(t ) = cos3

t i + sen3

t j , 0 t 2

SOLUCIÓN:

De la parametrización de la curva tenemos:

x = cos3t x 2/3 = cos2t

y = sen3t y 2/3 = sen2t

Sumando miembro a miembro tenemos:

1

1

2/33/21

1

1

1

2/33/23/23/2 1211

2/33/2

2/3

3/2

dx xdydx A x y y x x

x

Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos

permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del

enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:

El área de una región D viene dada por D

dA A 1 . Por lo tanto, para aplicar Green

deberíamos encontrar funciones P, Q / 1

y

P

x

Q. Un par de funciones sencillas que

cumplen esta condición son P = 0, Q = x . Si recordamos la parametrización, escribimos:

x = cos3t dx = -3 cos2t sent dt

y = sen3t dy = 3 sen2t cost dt

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2012-1 Página 316

Luego:

8

3

6

2sen

8

4sen2cos2sen

2

4cos1

)2cos2sen2(sen4

2sen

2

2cos13

4

2sencos3

sencos3cossen3cos

2

0

3

21

83

2

0

2

83

2

0

22

83

2

0

22

0

22

2

0

242

0

23

t t t dt t t

t

dt t t t dt t t

dt t

t

tdt t tdt t t Qdy PdxdA y

P

x

Q A

C D

De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región

encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto enAnálisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión

cartesiana de la curva.

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2012-1 Página 317

3.) Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado

F( x ;y )= (P;Q) = (-y i + x j) / ( x 2 + y 2)

a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x 2 + y 2 = 1

b) Calcular dA y

P

x

Q

D

, donde D es la región encerrada por la curva del punto a).

c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.

SOLUCIÓN:

a) Parametricemos el círculo.

20 , cossen

sencos

t

tdt dyt y

tdt dxt x

tdt Qdxtdt t t

t t yt xQ

tdt Pdxtdt t t

t t yt x P

2

22

2

22

coscoscossen

cos))();((

sensencossen

sen))();((

Integrando tendremos, así:

C

dt t t Qdy Pdx

2

0

22 2cossen

b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:

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2012-1 Página 318

00

2)(

2

222

22

222

22

222

22

222

22

dA y

P

x

Q

y

P

x

Q

y x

x y

y x

y y y x

y

P

y x

x y

y x

x x y x

x

Q

D

c) Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo, este

último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen

derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la región.

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2012-1 Página 319

4.) Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros.

Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio

externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.

SOLUCIÓN:

Determinaremos el momento de inercia

respecto al diámetro colineal con el eje x . De

Física sabemos que:

D

x dA y I 2

Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es

homogénea.

Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el

teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:

D C C

Qdy PdxQdy PdxdA y

P

x

Q

1 2

Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales.

Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:

3

312

; 0 :ejemplo por ,tomamos; y P Q y y

P

x

Q

Aplicando Green con esta función tenemos:

y

x a b

C 2

C 1

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2012-1 Página 320

2121

3

313

313

313

312

00C C C C D

x dx ydx ydydx ydydx ydA y I (1)

Parametrizando estas curvas tenemos

20 ,cossen

sencos

20 ,cossen

sencos

2

1

t t adyt a y

t adxt a xC

t t bdyt b y

t bdxt b xC

Reemplazando con esto en (1) tendremos:

2

0

444

31

2

0

2

0

33

3133

31 sen)sen(sen)sen(sen tdt abdt t at adt t bt b I x

M ab

abababdt t t

ab

dt t

t abdt t t ab

22

41

2222

4144

41

2

0

44

31

2

0

2244

31

2

0

2244

31

8

4cos1

2

cos1

4

2sensencos1sen

Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una

longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.

2

2

2 4 2

( )2 2

0 04 2

1 22 2

2 2

R R R

S

R Ry

Ry A R dzdy R dy

Ry y Ry y

INTEGRALES DE SUPERFICIE

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2012-1 Página 321

Una integral de línea generaliza la integral definida, de manera análoga una integral de

superficie generaliza una integral doble.

Definición

Sea : ( )S r una superficie paramétrica descrita por la función vectorial v diferenciable en el

dominio , determina una región en el plano uv y consideramos una función escalar

definida y acotada en S. La integral de superficie se representa con el símbolo( )r

fdS (a

veces ( , , )S

f x y z dS ) definida por:

( )

( ( , )) ( , ) ( , )u v

r

fdS f r u v r u v r u v dudv

Obviamente, en caso exista dicha integral.

Definición

Si es una región que es la proyección de una superficie S (a veces se le denomina la sombra

de S), : ( , , ) 0S f x y z si ( , , ) g x y z es una función continua en todos los puntos de S,

entonces:

( , , ) ( ) R R

f g x y z dA R

f n

Donde Rn es un vector unitario normal a y 0 R

f n .

Centro de Gravedad (Centroide)

Si el campo escalar f se interpreta como densidad (masa por unidad de área) de una lámina

delgada “adaptada” a la superficie S, la masa total de la superficie se define por:

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )S S

M f x y z dS x y z dS f x y z x y z

El centroide viene dado por:

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2012-1 Página 322

1( , , )

1( , , )

1( , , )

S

S

S

x x x y z dS M

y y x y z dS M

z z x y z dS M

CENTROIDE: ( , , ) x y z

Momento de Inercia

El momento de inercia con respecto a la recta , la denotamos L y tenemos que

2( , , ) ( , , ) L

S

d x y z x y z dS

Donde: ( , , )d x y z representa la distancia del punto genérico ( , , ) x y z de S a la recta L (eje).

Cambio de representación paramétrica:

u

u

A

G

v

u

L

u

S

u

B

S

r

T

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2012-1 Página 323

Si S podemos representarla de dos formas ( ) ( )S r A T B admitiendo que existe una

:G B A , se tiene que:

( ) ( , )( ) ( ) ( )

B S t T B r G r G

Entonces tenemos el siguiente teorema:

Teorema

Sean r y T dos funciones regularmente equivalentes que cumplen( , )

( ) ( )S t

T B r G , donde

G ui v j es una aplicación uno a uno y con derivadas continuas en la región B del plano st

sobre una A del plano uv, entonces tenemos:

( , )( )

( , ) s t u v

u vT T r r

s t

Donde las derivadas parciales ur y vr están calculadas en el punto ( ( , ), ( , ))u s t v s t . Es decir el

producto vectorial fundamental de T es igual al de r , multiplicado por el jacobiano de la

transformación G.

Teorema

Si r y T son dos funciones regularmente equivalentes como las descritas en el teorema

anterior, y si( )r A fdS

entonces( )T B fdS

, además:

( ) ( )r A T B

fdS fdS

INTEGRACIÓN DE SUPERFICIE EN CAMPOS VECTORIALES

v

u

u

x

u

y

u

z

u

dS

u

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2012-1 Página 324

Consideramos el campo vectorial F definido sobre S y representación paramétrica r , la

integral de superficie F sobre r denotado por:

. u v

r

F d S F r r dudv

SUPERFICIES ORIENTADAS

Tenemos que los vectores 1n y 2 1n n vectores normales de una superficie en un

determinado punto.

Definición

Una superficie orientada es una superficie de dos lados, uno de ellos el lado exterior o positivo,el otro el lado interior o negativo.

En cada punto ( , , ) x y z S tenemos dos normales 1n y 2n , 2 1n n cada uno asociado a un

lado de la superficie. Así para especificar un lado de la superficie de S, en cada punto

escogemos un vector normal unitario en n que apunta hacia afuera desde el lado positivo de S

en ese punto.

Una superficie suave, es orientable o tiene dos lados, si es posible definir un campo n de

vectores unitarios normales a S que varíe continuamente con la posición, cualquier parte de S

orientable, también es orientable.

Las superficies cerradas como el elipsoide son orientables. Por convención n lo tomamos

hacia afuera.

Una vez elegido n , diremos que hemos orientado S y llamaremos a S con su campo normal

una superficie orientada.

Definición

Si F es un campo vectorial continuo en una superficie S orientada con un vector unitario

normal sn , entonces la integral de superficie de F sobre S es:

s

S S

F d S F n d S

Esta integral se llama flujo de F a través de S.

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2012-1 Página 325

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO Y FÍSICO DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE

El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del triple producto escalar.

u v u vVol F ur vr F r r u v

El vectoru v

r r es una normal a la superficie en ( , , ) P x y z y apunta hacia afuera desde el

lado exterior de la superficie.

En general, el paralelepípedo está en el lado donde apunta F .

Si pensamos F como un campo de velocidad de un fluido ( , , ) F x y z apunta en la dirección

en la cual se mueve el fluido a través de la superficie área ( , , ) x y z , además el número:

u v F ur vr

Es la cantidad de fluido que pasa a través del paralelogramo tangente por unidad de tiempo,

como el signo de u v F ur vr es positivo si el vector ( , , ) F x y z apunta hacia afuera en

( , , ) x y z , o negativo si apunta hacia adentro ( , ) ( , )u i j v i jij

F r u v r u v u v es una

medida aproximada de la cantidad de fluido que fluye hacia afuera a través de la superficie por

unidad de tiempo.

F

u

P

u

S

u

F

u

vvr

u

v

u

u

x

u

y

u

ij R

u

z

u

v

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2012-1 Página 326

LuegoS

F d S es la cantidad neta del flujo de un fluido en tres dimensiones. El flujo de F a

través de S es la tasa neta con el que el fluido atraviesa S en la dirección positiva tomada.

Ejemplo:

Encontrar el flujo de F a través de S, cuando:

a) 2

( , , ) ( , , ) F x y z x y z S es la helicoide recta

: ( , ) cos , ( , ) 0,1 0,2

(cos , , 0)

( , cos ,1)

u

v

S r u v u vi usenv j vk u v

r v senv

r usenv u v

cos 0 ( , cos , )

cos 1

u v

i j k

r r v senv senv v u

usenv u v

1 2

2 3

0 0( )

83

u v

r

F r r dudv v udvdu

(OJO:

2 2( ( , )).( , cos , ) ( cos , , ).( , cos , )u v

F r r F r u v senv v u u v usenv v senv v u v u

)

b) ( , , ) ( , 2 ,3 ) F x y z x y z , S es el cubo de vértices ( 1, 1, 1)

6

0

6i

i i

iS S S

F d S F nd S F n d A

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2012-1 Página 327

PROBLEMAS DEL TEOREMA

FUNDAMENTAL DE LAS

INTEGRALES DE LÍNEA

TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)

Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t), a t b. Sea f una función derivablede 2 ó 3 variables, cuyo vector gradiente f es continuo sobre C . Entonces:

))(())((· a f b f f C

rrdr

TEOREMA 2

C drF · es independiente de la trayectoria en D si y sólo si 0· C

drF para toda

trayectoria cerrada C en D.

TEOREMA 3

Sea F un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D. Si C drF · es

independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo sobre D;

es decir, existe una función f tal que f = F.

TEOREMA 4

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2012-1 Página 328

Si F( x ;y ) = P( x ;y ) i + Q( x ;y ) j es un campo vectorial conservativo, donde P y Q tienen derivadas

parciales de primer orden continuas sobre un dominio D, entonces en todo D tenemos que

xQ

y P

Este teorema se puede extender a 3 variables (se verá al estudiar el rotacional).

TEOREMA 5

Sea F( x ;y ) = P( x ;y ) i + Q( x ;y ) j un campo vectorial sobre una región simplemente conexa D.

Supóngase que P y Q tienen derivadas parciales continuas de 1º orden y que:

x

Q

y

P

Entonces F es conservativo (extensible a 3 variables).

EQUIVALENCIAS

F conservativo.

C drF · independiente de la trayectoria.

0· C drF en una trayectoria cerrada.

Derivadas parciales cruzadas de F iguales en una región simplemente conexa.

PROBLEMAS RESUELTOS

5.) Independencia del camino en una integral de línea. Calcular el trabajo llevado a cabo por elcampo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de

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2012-1 Página 329

un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino compuesto por un tramo vertical

seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado es lógico o no.

)2;4( ; )1;1( ; 2);( 2

2

B A

Q

x y

P

x y y x jiF

SOLUCIÓN:

a) Si llamamos C a la curva indicada, la podemossubdividir en las curvas C 1 y C 2 mostradas en la

figura. En tal caso tendremos:

21

C C C

Ejecutando ambas integrales por separado tendremos (escogiendo parametrizacionessimples):

43

49

23

3

0

2

41

21

3

02

43

3

0

3

0 21

2

1

4

)1(230 ,

1

4

1

1

1

130 ,

1

1

t t dt t

Qdy Pdxt t y

xC

t dt

t Qdy Pdxt

y

t xC

C

C

Con lo cual resulta:

0 -43

43 C

Qdy Pdx

x

y

(1;1)

C 1

(4;-2)

C 2

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2012-1 Página 330

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2012-1 Página 331

b) Llamando C * a este nuevo camino, vemos que lo

podemos separar en dos tramos C 3 y C 4.

Tendremos entonces, igual que en el apartado anterior,que

43

* C C C

Realizando parametrizaciones parecidas a las ejecutadas en el apartado anterior, llegamos a lo

siguiente:

31

4

)1(

)2(30 ,

2

1

32)1(1

)1(230 ,

1

1

3

0

3

0 2

2

2

3

0

23

03

4

3

t dt

t Qdy Pdxt

y

t xC

t t dt t

Qdy Pdxt t y

xC

C

C

Sumando esto se obtiene:

0 33*

C Qdy Pdx

Por ambas vías obtenemos el mismo resultado. Esto es lógico, ya que vemos que:

x

Q

x

y

y

P

2

2

Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto último no ocurre dentro de

un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos analizados. Por lo tanto, por el

teorema 5 las integrales sobre ambos caminos deben ser iguales.

x

y

(1;1) C 3

(4;-2)

C 4

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2012-1 Página 332

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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III

2012-1 Página 333

6.) Cálculo de una integral de línea usando una función potencial . Calcular la integral de línea

del campo vectorial F( x ;y ) = P( x ;y )i + Q( x ;y ) j = ey i + xey j a lo largo de la trayectoria:

r(t ) = (senh(5t 4

)/senh5; t 4

+ 5t 3

- 3t 2

- 2t ) , =0 t 1

SOLUCIÓN:

x

Qe

y

P y

F es conservativo. Por lo tanto puede expresarse como el gradiente de una

función potencial f ; esto es: f = F. Si obtenemos tal función f , podremos aplicar el teorema

fundamental de las integrales de línea.

Para ello notemos que:

)( y g xe f e P x

f y y

(1),

donde g(y ) es una función que depende solamente de la variable y . Si ahora derivamos la

función f obtenida respecto a y , debemos llegar a una expresión equivalente a la otra función

coordenada, esto es, Q.

K y g y g xeQ y g xe y

f y y

)(0)()(

Reemplazando este último resultado en (1), tenemos:

K xe f y (2)

Ya tenemos la función potencial. Ahora podemos aplicar el teorema fundamental de las

integrales de línea:

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2012-1 Página 334

))0(())1((·· rrdrdrF f f f C C

Calculando los puntos extremos de la curva con los valores correspondientes del parámetro

tenemos:

1;1213151;5senh

1senh)1(

)0;0(0;5senh

0senh)0(

55

1234

ee

eer

r

Aplicando ahora la función f dada por (2) a estos dos puntos tenemos:

K eee

ee f

K f

55

1

))1((

0))0((

r

r

Y finalmente:

eee

ee f f

C 55

1

))0(())1((·

rrdrF

De esta manera nos evitamos ejecutar una integral de línea sumamente engorrosa.

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2012-1 Página 335

7.) Cálculo de un trabajo mediante una función potencial. Dado el campo vectorial de fuerzas

F( x ;y ;z) =4 xez i + cosy j + (2 x 2ez + z) k ,

a) Determinar una función f tal que f = F.

b) Hallar el trabajo que desarrolla F cuando mueve una partícula desde el punto

0;;0 al ;;23

2

2

2

2

2

2 siguiendo el camino más corto sobre la esfera23222 z y x ,

expresándolo con 3 cifras decimales.

SOLUCIÓN

a) La función f que buscamos debe cumplir con las condiciones:

(i) f x = 4 xez

(ii) f y = cosy

(iii) f z = 2 x 2ez

Integrando la condición (i) tenemos:

);(24 1

2 z y g e xdx xe f z z

Derivando ahora con respecto a y e introduciendo el resultado en la ecuación (ii) tenemos:

)(sencos 211 z g y g y

y

g

y

f

Y ahora podemos introducir esta expresión en la correspondiente a f , y derivarlo con respecto

a z e introducir el resultado en (iii):

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2012-1 Página 336

K z z g z e x z g e x f z g ye x z y x f z z

z

z 2

21

2

2

2

2

2

2 )(2)(2)(sen2);;(

Con esta expresión para g2, tenemos ahora la expresión final de f :

K z ye x z y x f z 2

212 sen2);;(

b) Por el teorema fundamental de las integrales de línea, podemos ahora calcular el trabajo

como la diferencia de valores de la función potencial entre sus extremos final e inicial:

987,19278,294072,0

);;(

94072,0)0;;0(

21

21

21

23

W

K f

K f

-2,269 es un resultado incorrecto que se obtiene con la calculadora puesta en grados.

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2012-1 Página 337

x

y

(-1;0)

C 1

(1;0)

C 2

8.) Limitaciones en la aplicación del Teorema Fundamental de las integrales de línea.

Sea22

);( y x

x y y x

jiF

a) Probar que x

Q

y

P

en todo el dominio.

b) Calcule 21

yC C

drFdrF , donde C 1 y C 2 son las mitades superior e inferior de la

circunferencia x 2 + y 2 = 1 de (1;0) a (-1;0). ¿Cómo se explica que la integral dependa del camino

en vista del resultado de (a)?

SOLUCIÓN

a)

y

Q

y

P

y x

x y

y x

x x y x

y

Q

y x

xQ

y x

x y

y x

y y y x

y

P

y x

y P

222

22

222

22

22

222

22

222

22

22

)2(1

)(2)1(

Nótese que este resultado es válido en todo el dominio, ya que, si bien las derivadas parciales

no están definidas en el (0;0), este último no pertenece al dominio.

b) Las curvas están indicadas en la figura. Parametrizando

C 1 e integrando F se tiene:

t0 ,

sen

cos1

t y

t xC

0

coscos)sen(sen

11

tdt t dt t t

Qdy PdxC C

drF

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2012-1 Página 338

Haciendo un trabajo similar para C 2 es:

t0 ,

sen

cos

1

t y

t xC

02cos)cos(cos)sen(sen0011

tdt dt t t dt t t Qdy PdxC C

drF

La explicación es que cualquier región que abarque ambos caminos necesariamente debe ser

no simplemente conexa (debe excluirse alguna subregión que incluya el (0;0), que no

pertenece al dominio), y por ende no vale el teorema 5.

DIADAS Y TENSORES.

UN POCO DE HISTORIA.

En matemática un tensor es cierta clase de entidad geométrica, que generalizalos conceptos de escalar, vector y operador lineal de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. Los tensores sonde especial importancia en física.

Los tensores pueden ser representados por una matriz de componentes enalgunos casos.

Este artículo procura proporcionar una introducción no técnica a la idea detensores, y proporcionar una introducción a los artículos que describentratamientos diversos, complementarios de la teoría de tensores

detalladamente.

La palabra la introdujo William Rowan Hamilton en 1846, pero la usó para loque actualmente se conoce como módulo. La palabra se usó en su acepciónactual por Waldemar Voigt en 1899.

La notación fue desarrollada alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastrobajo el título de geometría diferencial absoluta, y lo hizo accesible a muchosmatemáticos con la publicación del texto clásico de Tullio Levi-Civita el cálculodiferencial absoluto en 1900 (en italiano; con posteriores traducciones). Laaceptación más amplia del cálculo tensorial se alcanzó con la introducción de lateoría de la relatividad general por parte de Einstein alrededor de 1915. Larelatividad general se formula totalmente en el lenguaje de los tensores, que

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2012-1 Página 339

Einstein había aprendido del mismo Levi-Civita con gran dificultad. Pero lostensores se utilizan también dentro de otros campos por ejemplo la mecánicade medios continuos (véase tensor de tensiones o elasticidad lineal).

Díadas.

Una díada es un objeto formado con dos vectores con cierta ordenación, paralos vectores , A y B A B es una díada.

Aunque algunas veces se usa la super-flecha con los vectores, es decir se unecon una flecha de doble sentido.

Productos Diádicos.

Operación representada por dos vectores, en especial en del espacio, que es lo

fundamental para lo que estamos estudiando: A B . Se puede operar con unvector C tomando la posición de pre-factor o post-factor.

. .

. . .

C A B C A B

A B C A B C B C A

Producto de tres vectores.

En el espacio tomamos el vector A , y el vector unitario n , entonces tendremos

que: A n n A .

Podemos ver que al multiplicar escalarmente por n , .n A

Bases Ortogonales.

Dada la base ortogonal1 2 3, ,a a a , donde

1 2 3a a a así tendremos que el vector

A , se puede expresar como: 1 1 2 2 3 3 A A a A a A a la cual se puede simplificar

en su notación, y escribiremos: 1 1 2 2 3 3 , 1,2,3.i i A A a A a A a A a i

Representación de índices.

Lo que hemos hecho es una representación de índices y hemos convenido loque significa, lo cual será fructífero cuando trabajemos con gradientes,rotacionales, divergencias.

Consecuencias.

Producto escalar:

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2012-1 Página 340

. . , , 1,2,3.i j i j

A B a b A B i j

Demostración.

1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3

2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3

3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 1 3

. . . .. . .

. . .

j j j

j j j

j j j

A B a a A B a a A B a a A Ba a A B a a A B a a A B

a a A B a a A B a a A B

Así tendremos que: 1 1 2 2 3 3. A B A B A B A B .

Producto vectorial.

, , 1,2,3.i j i j

A B a b A B i j

Demostración.

1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3

2 1 2 1 2 22 2 2 2 3 3 3

3 11 3 1 3 22 3 2 3 3 3 3

A B a a A B a a A B a a A B

a a A B a a A B a a A B

a a A B a a A B a a A B

Efectuando los productos, tenemos:

3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1 1 3 2

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B

A B A B a A B A B a A B A B a

Producto Diádico:

, , 1,2,3.i i j j

A B a A B b i j

Delta de Kronacker

Definimos el delta de Kronacker como:

1 ,.

0 ,

i

i k ik j

i k i i

i k

Consecuencia: . A B A Bi j ij

Símbolo de Levi-Civita

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2012-1 Página 341

En matemáticas, y en particular en cálculo tensorial, se define el símbolo deLevi-Civita, también llamado el símbolo de permutación, como sigue:

Símbolo de Levi-Civita

nombrado así por Tullio Levi-Civita. Se utiliza en muchas áreas de lasmatemáticas y en física. Por ejemplo, en álgebra lineal, el producto cruzado dedos vectores se puede escribir como:

Consecuencia: , , 1,2,3. A B a A B i ji j k ijk

Demostración.

1 1 1 111 1 1 2 112 1 1 3 113

1 2 1 121 1 2 2 122 1 2 3 123

1 3 1 131 1 3 2 132 1 3 3 133

2 1 1 211 2 1 2 212 1 1 3 213

2 2 1 221 2 2 2 222 2 2 3 223

2 3 1 231 2

A B a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

a A B a

3 2 232 2 3 3 233

3 1 1 311 3 1 2 312 3 1 3 313

3 2 1 321 3 2 2 322 3 2 3 323

3 3 1 331 3 3 2 332 3 3 3 333

A B a A B

a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

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2012-1 Página 342

1 2 3 123 1 3 2 132 1 1 3 213

2 3 1 231 3 1 2 312 3 2 1 321

1 1 11 2 3 1 3 2 1 1 3

1 1 12 3 1 3 1 2 3 2 1

A B a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

a A B a A B a A B

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 1 2 3 A B A B A B a A B A B a A B A B a

El tensor cuyas componentes son dadas por el símbolo de Levi-Civita (untensor covariante de rango 3) a veces se llama el tensor de permutación.

El símbolo de Levi-Civita se puede generalizar a dimensiones más altas:

Ver permutación par o grupo simétrico para una definición de 'permutación par'y de 'permutación impar'.

Ejemplo de aplicación: , , , 1,2,3.e ue i j k ij ij kk ij

11 11 11 22 33 11 11 22 33 11e e e ue e e e ue

12 12 11 22 33 12 12e e e ue ue

13 13 11 22 33 13 13e e e ue ue

21 21 11 22 33 21 21e e e ue ue

22 22 11 22 33 22 11 22 33 22e e e ue e e e ue

23 23 11 22 33 23 23

e e e ue ue

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2012-1 Página 343

31 31 11 22 33 31 31e e e ue ue

32 32 11 22 33 32 32e e e ue ue

33 33 11 22 33 33 11 22 33 33e e e ue e e e ue

Otro ejemplo. Desarrollar , , 1,2,3.i iT a i j j j

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 31 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

T a a a a a a a a a

1 2 31 2 3T a a a

Gradiente: f un campo escalar, expresemos convenientemente el gradiente .

1 1 2 2 3 3, 1,2,3.

i i f f a f a f a f a i

Laplaciano.

, 1,2,3.11 22 33

u u u u u iii

Divergencia.

. , 1,2,3.i

i Div f f a i

Álgebra de díadas.

Si tenemos los vectores , , , ...., A B C H y sea la díada A A B CD EF GH

La díada , , 1,2,3.i ij j

A a A a i j

1 11 1 1 12 2 1 13 3

2 21 1 2 22 2 2 23 3

3 31 1 3 32 2 3 33 3

A a A a a A a a A a

a A a a A a a A a

a A a a A a a A a

La transpuesta de una díada.

Dada la díada A , denotamos la transpuesta de la díada como A a A ai ji j

siempre que la díada A a A ai ij j

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2012-1 Página 344

Suma y resta de díadas.

A a A ai ij j

, B a B ai ij j

definimos:

A B a A a a B a a A B ai ij j i ij j i ij ij j

A B a A a a B a a A B ai ij j i ij j i ij ij j

Productos de díadas.

1. Díada por un escalar: mA

2. Producto escalar de vector y díada.

. .V A V a a A ak k i ij j

. . . .1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3

. . .2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3

. . .3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3

V A V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j

V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j

V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j

. .1 1 2 2 3 3 3 3

V A V A a V A a V a a A a V A a j j j j j j i ij j

De igual manera: . . A V a A a a V a A V i ij j j j i ij j

Ejercicios.

1. . .V A A V .

2. . . A V V A .

Producto Vectorial vector –díada.

V A V a a A ak k i ij j

A V a A a V ai ij j k k

Yuxtaposición de vector –díada.

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2012-1 Página 345

V A a a a V Ak i j k ij

la dirección la da la díada.

AV a a a V Ai j k k ij

la dirección la da el vector.

Producto escalar de díadas.

Dadas las díadas , A B definimos el producto escalar de díadas como:

. . A B a A a a B ai ij j k kl l

Demostrar que: . A B a A B ai ij jl l

.

Ejercicio: . . A B A B

Doble producto escalar.

: : . . . A B a A a a B a a a a a A B ai ij j k kl l i l j k ij kl l

Doble producto de díadas

: . . A B C D A C B D

Doble producto vectorial-díada.

A B a a a a A Bi l j k ij kl

Díada unitaria.

La díada unitaria I

El factor identidad o díada unitaria I , se define por la relación. . , I V V I V I a ai i

Demostración.

. . I V a a a V i i j j

. . . .1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3

. . .

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3. . .

3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3

I V a a a V a a a V a a a V

a a a V a a a V a a a V

a a a V a a a V a a a V

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.1 1 2 2 3 3

I V a V a V a V

Traza de una díada.

La traza de una díada A se representa por A y se define por el dobleproducto escalar de la díada A y la díada unitaria I .

:11 22 33

A A I A A A Aii

.

Vector rotación de una díada.

El vector rotación de una díada se representa por A se define por el doble

producto escalar- vectorial de la díada unitaria I y la díada A .

. . . A I A a a a A a a a a Ai i j jk i j i j jk

. . .1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 3 1 3 3

. . .2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3

. . .3 1 3 1 1 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3

A a a a a A a a a a A a a a a Ak k k

a a a a A a a a a A a a a a Ak k k

a a a a A a a a a A a a a a Ak k k

2 3 3 1 1 2 A a A a A a A

k k k

Demostrar que: . A B A B A B A B .

Reciproca de una díada.

Se define la reciproca de una díada A , en caso exista una díada1

A

tal quecumpla 1 1. . A A A A I .

Para calcular 1 A se expresa la díada en la forma:i i

A a c .

1 1 2 2 3 3 A a c a c a c

1

1 .1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 2 3

A c c c c c a c c a c c a