Organizados en equipos, analicen la siguiente Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y respondan lo que se sucesión de figuras y respondan lo que se cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su

calculadora. calculadora.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

1. Si la sucesión continúa en la misma forma, ¿cuántos cubos se necesitan para formar la figura 5? ¿Y para la figura 10? ¿Y para la figura 100?

2. ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión?

3. Se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en la sucesión?

4. Una figura con 2 346 cubos, ¿pertenece a la sucesión? ¿Por qué?

:: En equipos, con base en la siguiente En equipos, con base en la siguiente sucesión de figuras, contesten las sucesión de figuras, contesten las

preguntas que se plantean. preguntas que se plantean.

Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4

1. ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 7, 10 y 13, respectivamente?

2. ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 100?3. Encuentren una expresión algebraica que permita determinar la

cantidad de cuadritos de cualquier figura que corresponda a la sucesión anterior.

: En la figura 1 de la siguiente sucesión : En la figura 1 de la siguiente sucesión se ven tres caras del cubo, en la figura 2 se ven tres caras del cubo, en la figura 2

se ven nueve caras.se ven nueve caras.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

1. ¿Cuántas caras se ven en la figura 3? _______¿Cuántas se verán en la figura 4?______

2. Si la sucesión de figuras continúa en la misma forma, ¿cuántas caras es posible ver en la figura que ocupa el lugar 15? _______

3. ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el total de caras que es posible ver en cualquier figura que esté en la sucesión?

Método de diferencias Método de diferencias

► Paso 1Paso 1: Se representa la sucesión de números (en : Se representa la sucesión de números (en este caso número de caras que se ven) de las este caso número de caras que se ven) de las primeras figuras: 3, 9, 17, 27, 39, …primeras figuras: 3, 9, 17, 27, 39, …

► Paso 2Paso 2: Se calculan las primeras y segundas : Se calculan las primeras y segundas diferencias, diferencias, como se muestra en la siguiente tablas:como se muestra en la siguiente tablas:

SucesiónSucesión 33 99 1717 2727 3939

Primeras Primeras diferenciadiferencia

ss

9 – 3 = 69 – 3 = 6 17 – 9 = 817 – 9 = 8 27- 17 = 27- 17 = 1010

39 – 27 = 39 – 27 = 1212   

Segundas Segundas diferenciadiferencia

ss

8 – 6 = 28 – 6 = 2 10 – 8 = 210 – 8 = 2 12 – 10 = 212 – 10 = 2

  

Paso 3: Se resuelve la siguiente tabla

n= 1n= 1 n= 2n= 2 n = 3n = 3 n = 4n = 4 n =5n =5

Expresión obtenida Expresión obtenida al sustituir el valor al sustituir el valor de de nn

a(1)a(1)22+b(1)++b(1)+c= c= a+b+ca+b+c

a(2)a(2)22+b(2)++b(2)+c= c= 4a+2b+c4a+2b+c

a(3)a(3)22+b(3)+b(3)+c= +c= 9a+3b+c9a+3b+c

a(4)a(4)22+b(4)++b(4)+c= c= 16a+4b+c16a+4b+c

a(5)a(5)22+b(+b(5)+c= 5)+c= 25ª+5b25ª+5b+c+c

Primeras diferenciasPrimeras diferencias (4a+2b+c) – (4a+2b+c) – (a+b+c)=(a+b+c)=3a+b 3a+b

(9a+3b+c) – (9a+3b+c) – (4a+2b+c) (4a+2b+c) ==5a+b5a+b

(16a+4b+c) – (16a+4b+c) – (9a+3b+c) (9a+3b+c) ==7a+b7a+b

(25a+5b+(25a+5b+c) – c) – (16a+4b+(16a+4b+c)=c)=9a+b9a+b

Segundas diferenciasSegundas diferencias (5a+b) – (3b+b) = (5a+b) – (3b+b) = 2a2a

(5a+b) – (3b+b) = (5a+b) – (3b+b) = 2a2a

(5a+b) – (3b+b) = (5a+b) – (3b+b) = 2a2a

  

Paso 4: Al combinar los resultados de la tabla Paso 4: Al combinar los resultados de la tabla anterior, se pueden establecer cualquiera de anterior, se pueden establecer cualquiera de los tres siguientes sistemas de ecuaciones:los tres siguientes sistemas de ecuaciones:

2a=22a=23a+b= 63a+b= 6a+b+c=3a+b+c=3

2a=22a=25a+b=85a+b=84a+2b+c=94a+2b+c=9

2a=22a=27a+b=107a+b=109a+3b+c=179a+3b+c=17

Paso 5: Al resolver, por ejemplo, el sistema I se tiene: De la primera ecuación: 2a=2, a=2/2, a=1Sustituyendo a en la segunda ecuación del sistema: 3(1)+b=6, 3+b=6, b=6 – 3, b=3Sustituyendo a y b en la tercera ecuación del sistema: (1)+(3)+c=3, 4+c=3, c=3 – 4, c= –1 Y finalmente sustituyendo los valores de a, b y c en la expresión general de segundo grado an2+ bn + c, se obtiene la expresión algebraica buscada.(1)n2+ (3)n + (–1)= n2+ 3n –1

►¿Qué número corresponde en la ¿Qué número corresponde en la sucesión a la figura en la que es sucesión a la figura en la que es posible ver 153 caras de los cubos que posible ver 153 caras de los cubos que la forman?la forman?