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C o m i t E d i t o r i a l : J a v i e r A l f a r o , C a r l o s B o s c h ,

s c a r C h v e z , A l i c i a E s c a l e r a , M a r c e l a G o n z l e z .Boletn N.o 10 Marzo, 2001.

Suma denumeros cuadrados y sumadenumeros triangulares

Es frecuente que entre los ejercicios que piden de-mostrar formulas por induccion matematica se in-cluya alguna, que si bien puede ser probada con es-te metodo sin mucho problema, deje a los alumnoscon la sensacion de que aparecio de la nada y deque no tienen ni idea de como es que alguien pu-do encontrar la formula. Tal es el caso de la formulapara sumar numeros cuadrados y la formula parasumar numeros triangulares.

12 + 22 + . . . + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

612

2 +

2 3

2 + +

n(n + 1)

2 =

n(n + 1)(n + 2)

6

En este artculo se utilizan representacionesgeometricas de las sumas para ayudar a entenderde donde sale cada formula y por que se parecentanto.

Suma de numeros cuadrados

Podemos representar los numeros cuadrados pormedio de rebanadas formadas por pequenos cu-bos. El numero representado es el total de cubosunitarios en cada rebanada.

1 4 9

Lasumade los numeros cuadrados se puede repre-sentar por medio de una piramide escalonada.

Con seis de estas piramides podemos armar un la-drillo:

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2 Marzo de 2001 Boletn N.o 10

En este caso, en el que estamos sumando los prime-ros tres numeros cuadrados, las dimensiones del la-drillo son 3 (3 + 1) (2 3 + 1). Si sumamosn numeros cuadrados, las dimensiones del ladri-llo serann (n + 1) (2n+ 1). Como se necesi-taron seis sumas de numeros cuadrados, la sumade los primerosn numeros cuadrados es por tanton(n + 1)(2n + 1)

6 .

Suma de numeros triangulares

Los numeros triangulares 1, 3, 6, 10, 15, . . . son lassumas de los primeros numeros naturales, Tn =1 + 2 + 3 + . . . + n. Podemos representar la suma denumeros triangulares como un edificio escalonadodonde cada piso es un numero triangular.

Podemos juntar dos copias de cada piso para for-mar pisos rectangulares (de grosor 1) en la formamostrada. El piso de arriba tiene 12cubos. El si-guiente tiene 2 3 cubos, el siguiente 3 4, y elde hasta abajo tienen (n+ 1)cubos. De hecho,viendo cada uno de estos pisos podemos ver por

que Tn=n(n + 1)

2

.

Podemos poner los pisos rectangulares unos sobreotros. Para formar una especie de piramide escalo-nada.

Junta tres piramides para formar un ladrillo de ta-mano n (n + 1) (n + 2). Necesitamos dos sumasde numeros triangulares para formar cada pirami-de, y tres piramides para formar el ladrillo. Por lo

tanto la suma de los primeros n numeros triangula-res esta dada por

n(n + 1)(n + 2)

6 .

n

n+

n+

1

2

Alfinio Flores Pe nafiel

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Boletn N.o 10 Marzo de 2001 3

Sangaku

Sangaku significa en japones tablilla matemati-ca. Los sangaku eran en efecto tablillas con pro-blemas geometricos que eran colocadas en los tem-plos en Japon, principalmente durante el periodoEdo (16391854), durante el cual Japon vivio aisla-do de Occidente. Generalmente, estas tablillas noincluan solucion alguna, al parecer como un reto alos lectores potenciales. La mayor parte de los san-gaku presentan problemas de geometra euclidia-na, pero los problemas son muy diferentes de aque-llos a los que estamos habituados. Estos problemasse caracterizan por una armona visual casi artsti-ca. Algunos problemas son relativamente elemen-tales, mientras que otros parecen casi imposibles ysolo han podido ser resueltos con metodos avanza-dos, como geometra analtica y calculo.

El siguiente es un ejemplo tomado de la revistaScientific American1. Fue escrito en una tablilla enla prefectura de Miyagi en 1913:

Se construyen tres cuadrados, como se indica enla figura, dentro de un triangulo rectangulo, y trescrculos inscritos en los triangulos que los cuadra-dos forman con el triangulo original. Cual es la re-lacion entre los radios de los crculos?

[La solucion esta en laultima pagina.]

Pueden encontrarse mas referencias e imagenes desangaku en la pagina de Internet:

http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/english.html

En este numero delBoletn de FICOM, Angelo Baro-ne habla de un problema de sangaku, y otros temasrelacionados.

Oscar Ch avez

Unproblemade sangaku (1840?)

1. Hipocicloidesy epicicloides.

Notahistorica.

Suponed que, relativamente a un referencial fijado,el Sol este parado y que la Tierra efectue, relativa-mente a este referencial, un movimiento de trasla-cion circular uniforme. Suponed ademas que el ejede la Tierra sea perpendicular al plano de la eclpti-ca (que no haya nutacion2) y que la Tierra tengaun movimiento de rotacion, tambien uniforme. Ba-

jo tales hipotesis, cada punto de la Tierra (siem-pre relativamente al antedicho referencial) descri-bira una de las curvas conocidas como epiciclos, oepicicloides, y esta puede ser una de las razones porque, en eras remotas, matematicos y astronomos,

como Hiparco en el siglo I Ia. C., se interesaran porellas.

Nota geometrica.

Considerad dos planos y coincidentes. En elplano fijouna circunferencia de centroO y ra-dioR(base) y (haced vuestro dibujo) en el planomovil, una circunferencia de centro Cy radior(rolante), tangente internamente (externamente) a

la base en el punto T, as como un puntoP, en lasemirrecta CT, a distancia s de C, sobre la rolante.

Si la rolante rueda sin resbalar sobre la base, elpunto P describe (en el plano ) una hipocicloi-de (epicicloide) normal, alargada o bien acortadasegun seas = r,s > r o bien s < r. CuandoP,C

yO estan alineados,Pse llama vertice (polo) de lacurva (segunCquede entreO yP, o no). Si R/r esracional, la curva es cerrada; caso contrario, abier-ta.

Los sucesivos vertices (polos) son vertices (tambiensucesivos) de un polgono regular convexo, inscrito

en la circunferencia principal, de centro O y radior +s (|r s|) si R/r es entero, de un polgono regularestrellado, si R/res racional, o de una lnea poligo-nal regular abierta si R/r es irracional. La curva estacontenida en la corona limitada por tales circunfe-rencias. Cada diametro de esa corona que pase porun polo (vertice) es un eje de simetra de la curva.

Dado el punto de tangencia entre la base y la rolan-te, es muy facil obtener el punto de la hipocicloidecorrespondiente, as como la tangente a ella en esepunto (vea 2 abajo).

1Rothman, T., Fukagawa, H.Japanese Temple Geometry. Scientific American, Mayo, 1998.2Oscilacion periodica del eje de la Tierra.

http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/english.htmlhttp://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/english.html

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4 Marzo de 2001 Boletn N.o 10

La hipocicloide conR/r= 2.

En ese caso, si 0 < b < a,R = a+ b, ys = CP =(a b)/2, la curva tiene dos ejes de simetra per-pendiculares, uno de ellos contiene los dos vertices(diametro mayor= 2a), mientras que el otro con-

tiene los dos polos (diametro menor= 2b). Su pun-to medio comun,O, es el centro (de simetra) de lacurva. Cada cuerda que tenga punto medio en Osedice diametro de la curva.

2.Un teorema de sangaku (1840?)

Hagamos la siguiente construccion: SeaT0 un ex-tremo del diametro de la base, que contiene losvertices y T un centro instantaneo de rotaciongenerico, talque el arco T0Tmida . Sea Cel pun-to medio de OT y tomemos Ptal queTCP=2. Elpunto Ppertenece a la curvay es extremo de

un diametroPP de la misma. La rectat, porel,perpendicular aTP, es tangente a la curva. Tra-cemos 3 paralelas at:u, porC, d, porO yt

porP. La rectadconcurre con la base en dos puntos.Sean Tuno de ellos yel arco T0T.

Reemplazando ahora Tpor T, obtenemos el pun-to P, perteneciente a la curva y un trianguloTCP. La circunferencia de centro Ty radio TPes tangente a la curva, en P.

El puntoQ, simetrico deP con respecto au, de-termina un triangulo TCQ congruente al triangu-loTCP (observad que u es bisectriz del angulo

TCQ).Por el teorema de Tales, en el triangulo TCR (Res la proyeccion ortogonal de Tsobre d), conclui-mos:

La circunferencia de centroT y radioTP es tan-gente exteriormente a la curvay a sus dos tangentesparalelas a t. Su centro dista a + b de O.

Se puede decir que los diametros porPiyP sonasociados. La asociacion es involutiva.

Finalmente, si consideramos las proyecciones S yU, deP, sobreOT, segun la direccion deOT0 y ladireccion deOT/2 ortogonal aOT0, vemos que la

curva es una elipse de ejes2ay2b.

Angelo Barone

Solucion al sangaku

Sean t1, t2 y t3 los lados de los cuadrados, dondet1 > t2 > t3, y sean r1, r2yr3los radios de los crcu-los, como se indica en la figura.

A

BC

r1

r2

r3

t1

t1

t1

t2

t2

t2

t3

Sea = ABC. Se tiene entonces que

AC= t1

sen +

1

cos

.

Analogamente,

t1 = t2

sen +

1

cos

y

t2 = t3

sen +

1

cos

Entonces tenemos quet22 = t1t3y por lo tanto que

r22 = r1r3. Es decir,r2es la media geometrica der1

yr3.

Oscar Ch avez

Puedes encontrar el Boletn de FICOM en Internet:

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