1. FicheroFicheroFicheroFicheroFicheroActividades didcticasMATEMTICASQUINTO GRADO

2. El Fichero. Actividades didcticas. Matemticas. Quinto grado fue elaborado en la Direccin General de Materiales y Mtodos Educativosde la Subsecretara de Educacin Bsica y Normal de la Secretara de Educacin Pblica.RedaccinRedaccinRedaccinRedaccinRedaccinMnica Schulmaister LagosHugo BalbuenaAsesoraAsesoraAsesoraAsesoraAsesoraRenato Rosas DomnguezColaboradorasColaboradorasColaboradorasColaboradorasColaboradorasMara de los ngeles Olivera BustamanteIrma Griselda Pasos OrellanaCoordinacin editorialCoordinacin editorialCoordinacin editorialCoordinacin editorialCoordinacin editorialElena Ortiz Hernn PupareliCuidado de la edicinCuidado de la edicinCuidado de la edicinCuidado de la edicinCuidado de la edicinMarta Lilia PrietoLourdes EscobedoDiseoDiseoDiseoDiseoDiseoMauro Calanchina PonciniFormacinFormacinFormacinFormacinFormacinJulin Romero SnchezIlustracionesIlustracionesIlustracionesIlustracionesIlustracionesBenito Antn GraciaGabriela Barahona EcheverraFotografaFotografaFotografaFotografaFotografaJuan Francisco RosPrimera edicin, 1994Segunda edicin, 2001D.R. Secretara de Educacin Pblica, 1994Argentina 28, Centro,06020, Mxico, D.F.ISBN 970-18-6201-5Impreso en MxicoDDDDDISTRIBUCINISTRIBUCINISTRIBUCINISTRIBUCINISTRIBUCIN GRATUITAGRATUITAGRATUITAGRATUITAGRATUITA-----PPPPPROHIBIDAROHIBIDAROHIBIDAROHIBIDAROHIBIDA SUSUSUSUSU VENTAVENTAVENTAVENTAVENTAFICHAD/M/5/P-001-012.PM7.0 5/15/03, 10:13 AM3Tercera reimpresin, 2004 (ciclo escolar 2004-2005) 3. PresentacinLa Secretara de Educacin Pblica ha puesto en marcha un programa de renovacin y mejoramiento delos materiales para la educacin bsica, acorde con los planes y programas de estudio correspondientesque entraron en vigor en el ao escolar 1993-1994.Losnuevosmaterialesformanpartede unesfuerzo por mejorar lacalidaddenuestra educacinprimaria.Para que este propsito se cumpla, es necesario que las autoridades educativas otorguen al maestro unapoyo eficaz en el desarrollo de sus actividades docentes.Con esa finalidad, desde el ciclo escolar 1994-1995 se han entregado en propiedad a los maestros, seisficheros de actividades didcticas de Matemticas, elaborados por la Secretara de Educacin Pblica.Este fichero complementa los materiales para el maestro de quinto grado en la asignatura deMatemticas: el libro de texto gratuito, el libro para el maestro y el avance programtico. Las actividadespropuestas permiten al alumno construir conocimientos, desarrollar y ejercitar habilidades que sonnecesarias para abordar los contenidos del programa.El diseo del fichero busca auxiliar al maestro en forma flexible y diversa, pues las actividades quecontiene no se conciben como las nicas que pueden llevarse a cabo. No obstante que en las fichas sesugiere la frecuencia con que pueden realizarse las actividades didcticas, queda a juicio del maestroemplearlas en otros momentos, de acuerdo con las necesidades que observe entre los alumnos. El maestropuede hacer transformaciones y ajustes a las actividades con base en su experiencia y las caractersticasdel grupo, plantel y regin donde trabaja.Este fichero se incorpora por vez primera al trabajo en Matemticas y deber mejorarse cuando laexperiencia y la evaluacin as lo exijan. Para que esta tarea tenga xito son indispensables las opinionesde los maestros. La Secretara necesita sus recomendaciones y crticas. Estas aportaciones sern estudiadascon atencin y servirn para que el mejoramiento de los materiales educativos sea una actividadsistemtica y permanente.Secretara de Educacin Pblica 4. Cmo utilizar el FicheroPor qu un fichero de actividades?Este fichero es un auxiliar para la enseanza de las matemticas. No sustituye al trabajo con el libro de textogratuito, sino, por el contrario, lo complementa al proveer al maestro de una amplia gama de actividadesque favorece la construccin de conocimientos de los alumnos y el desarrollo de habilidades.Es necesario que los alumnos realicen numerosas actividades para que avancen en la adquisicin de losconocimientos matemticos y puedan, ms adelante, comprender y resolver las lecciones planteadas enel libro.A quin estn dirigidas las fichas?Las fichas estn dirigidas al maestro, quien, para aplicarlas, deber analizarlas con cuidado, preparar conanticipacin el material y organizar al grupo antes de ponerlas en prctica.Qu material se requiere para aplicarlas?Para desarrollar algunas de las actividades propuestas se utiliza material de bajo costo, como cartulina, ode desecho.Cundo deben aplicarse?Para que los alumnos obtengan el mayor provecho de los libros de texto es indispensable que realicen lasactividades propuestas antes o despus de que resuelvan las lecciones del libro. En el apartado dematemticas del Avance programtico. Quinto grado se hace referencia a las fichas que apoyan loscontenidos de cada eje temtico y el momento en el que se sugiere aplicarlas.Cmo enriquecer el fichero de actividades didcticas?La mayora de las fichas cuenta con un espacio en blanco en el que el maestro podr incorporar algunasmodificaciones a la actividad, para adecuarlas a su grupo. En ese espacio tambin podr registrar lasobservaciones de los resultados obtenidos al aplicarlas, adems de otras actividades que se diseen. 5. Nmero de fichaEn negro se destacanlos ejes que se relacionancon la fichaEjesArriba:Los nmeros, sus relacionesy sus operacionesMedicinGeometraAbajo:Tratamiento de la informacinProcesos de cambioLa prediccin y el azarPropsitosNmero de bloqueDescripcinde la fichaLnea de cortepara desprenderla ficha 6. 1 Interpretar informacin numrica2 La batalla naval3 Las coordenadas de un punto4 Cul es la figura?5 Midiendo con fracciones de metro6 Repartimos pasteles7 El sorteo (I)8 El sorteo (II)9 Con una hoja rayada10 Partes no iguales11 Cunto falta, cunto sobra12 Clculos mentales (I)13 La equivalencia entre las unidades14 Qu medimos?15 Clculos mentales (II)16 Operaciones en la calculadora17 Cuntos son?18 Descubre lo que falta19 Cunto tiempo?20 El 20 por cientondice 7. 21 Porcentaje22 La estatura y la edad23 Si aumenta una, aumenta la otra?24 De qu nmero son tus zapatos?25 Construccin de slidos26 Decmetros, centmetros y milmetros (I)27 Decmetros, centmetros y milmetros (II)28 En el mercado29 El taxi30 El juego de las preguntas31 Adivina el nmero32 Unimos pedazos33 Comparaciones34 La fraccin como razn35 Las fracciones mixtas36 Suma y resta con la notacin decimal37 Sumando fracciones38 Si giro, cambio de direccin?39 El transportador40 Analizando tablas 8. 41 Realizando divisiones42 Representa nmeros en la recta numrica43 Juguemos a los dados44 Graficando la variacin45 Las botellas y los vasos46 Busquemos informacin47 Comparacin entre nmeros decimales48 El reparto de dinero49 Divisin con decimales50 Las figuras de ngulos rectos51 Los tringulos52 El rompecabezas (I)53 Calculando el rea de figuras54 La superficie de los polgonos (I)55 La superficie de los polgonos (II)56 Clasifiquemos figuras57 Las propiedades de las figuras58 La transformacin de las figuras59 Rompecabezas (II)60 Para medir superficies 9. 61 Interpretando grficas de variacin62 Inventando problemas63 La escala64 En qu se parecen?65 Combinaciones66 Roja o verde?67 Localizando nmeros68 El volumen por inmersin69 Sumemos fracciones70 Clculos mentales (III)71 El permetro y el rea (I)72 El permetro y el rea (II)73 Reproduciendo trazos 10. 1Interpretarinformacinnumrica Que los alumnos ordenenuna lista de nmeros. Resuelvan problemasutilizando sumas y restas. Representen la informacinen una grfica de barras.LENGUA INDGENATOTAL DE HABLANTESChol139 646.....................................................................................................Jacalteco..........novecientos cincuentaKanjobal13 433Mame..........doce mil trescientos veinteMaya789.....................................................................................................Tojolabal44 618Tzeltal317 608.....................................................................................................Tzotzil..........doscientos ochenta y un mil seiscientos setenta y sieteZapoteco3 433Zoque43 350Informacin insuficiente24 366Otras lenguas..........tres mil cuatrocientos cincoTotalTotalTotalTotalTotal...............................................................................................................Poblacin total hablante de lengua indgenaPoblacin total hablante de lengua indgenaPoblacin total hablante de lengua indgenaPoblacin total hablante de lengua indgenaPoblacin total hablante de lengua indgenasegn el tipo de lengua en el estado de Chiapassegn el tipo de lengua en el estado de Chiapassegn el tipo de lengua en el estado de Chiapassegn el tipo de lengua en el estado de Chiapassegn el tipo de lengua en el estado de ChiapasFuente: Instituto Nacional de Estadstica, Geografa e Informtica.XI Censo General de Poblacin y Vivienda, 1990, INEGI, Mxico, 1991.1.1.1.1.1. Se presenta el cuadro de la poblacin y se le pidea los alumnos que lo completen con nmeros o conletra, segn corresponda.Despus de completar el cuadro, los alumnosatienden las siguientes consignas:a.a.a.a.a. Realicen en sus cuadernos una lista con laslenguas que se hablan en Chiapas, ordenada demayor a menor, segn la cantidad de hablantes.b.b.b.b.b. Obtengan, con la calculadora, el total de perso-nas que hablan diferentes lenguas indgenas.c.c.c.c.c. Encuentren cuntas personas no hablan ningunalenguaindgena,tomandoencuentaqueenelesta-do hay una poblacin de 3 210 496 habitantes.Total depoblacinNo hablanlenguaindgenaHablanlenguaindgena1 000 0002 000 0003 000 0004 000 000 11. 2.2.2.2.2. Si se considera que las fichas pueden utilizarseen varios momentos del curso, es posible agregarotros problemas:a.a.a.a.a. Redondea a millares el total de poblacin enChiapas,yeldehablantesdecadalenguaindgena;calcula qu parte del total de chiapanecos hablaalguna lengua indgena.b.b.b.b.b. Toma como base la barra que representa el to-tal de la poblacin en el estado de Chiapas y dibujala barra que corresponda al nmero de chiapane-cos que no hablan alguna lengua indgena y laque represente el nmero de los que s hablanalguna. 12. 2mapa, en el que llevar el control de los barcos quehunda. Si el primer nio acierta, el otro dicehundido, y si no, dice agua. Para definir la posiblecoordenada de un barco, primero se debe leer elnmero de la lnea horizontal y luego el de lavertical.Despus le toca el turno al otro alumno. Ganael primero que hunda los barcos del compaero.Una variante de la actividad es que, con el mis-mo dibujo y utilizando los ejes de coordenadas, unnio de cada pareja trate de adivinar siete estadosde la Repblica que haya elegido su compaero.Por ejemplo, uno de los nios dice la coordenada(5,4), y la anota en el mapa en donde lleva sucontrol de estados. Si acierta y sta cae dentro delestado seleccionado, el otro alumno dice el nom-bre del estado, y si no, dice fuera.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12La batallanaval Que los alumnosmanejen el sistemade ejes de coordenadasen la ejecucinde un juego.El objeto de este juego es hundir los barcos delcompaero.Los alumnos se organizan en parejas y cada unocalca dos veces el mapa de Mxico con sus paseslimtrofes en hojas cuadriculadas. Cuando todoshayan terminado trazan los ejes de coordenadascomo se muestra en la ilustracin.Cada alumno tendr 12 barcos y deber ubicarlosen uno de los mapas. Para hacerlo dibujar unpunto en el que se crucen los ejes de coordenadas.No se podr ubicar ms de un barco en el mismositio.Para iniciar el juego uno de los nios trata deadivinar una de las coordenadas que ocup sucompaero; por ejemplo (3,2) y la anota en el otro76543210 13. 31.1.1.1.1. Se proporcionan las coordenadas de los vrticesde un tringulo para que los alumnos lo dibujen.Despus de dibujar el tringulo atienden las si-guientes instrucciones:a.a.a.a.a. Ubica un punto D para formar un romboide conlos otros tres vrtices: A, B y C.b.b.b.b.b. De qu clase debe ser el tringulo ABC paraque puedas obtener un rombo?c.c.c.c.c. Dnde ubicaras el punto B para obtener unrombo si adems se agrega un punto D? Dibjaloy escribe las coordenadas de los puntos B y D.d.d.d.d.d. Qu clase de tringulo debe ser el ABC paraque puedas obtener un cuadrado?e.e.e.e.e. Dnde ubicaras el punto B para obtener uncuadrado, si adems se agrega un punto D? Dib-jalo y escribe las coordenadas de los puntos B y D.2.2.2.2.2. Se pueden organizar equipos quese enven mensajes entre spara representar otrasfiguras en el planocartesiano.Lascoordenadasde un punto Que los alumnos interpretenlas coordenadas de un puntoen el plano cartesianocomo un par ordenado. Ubiquen puntos en un sistemade coordenadas cartesianas.432101 2 3 4 5 6CC=(5,1)B=(2,3)A=(1,1)AB 14. 4Cul esla figura?1.1.1.1.1. Se pide a los alumnos que lean la siguienteinformacin y que reunidos en parejas nombreny dibujen la o las figuras que cumplen las siguien-tes caractersticas:Es un cuadriltero, tiene dos ngulos iguales.Es un cuadriltero, tiene dos pares de ngulosiguales.Es un cuadriltero, tiene cuatro ngulos iguales.Es un cuadriltero, tiene dos pares de lados iguales.Es un cuadriltero, tiene cuatro lados iguales.En los casos en donde pudieron dibujar dos o msfiguras, el maestro les pregunta qu informacin esnecesario agregar para describir solamente una.Por ejemplo, en es un cuadriltero, tiene cuatrolados iguales, pueden dibujar un cuadrado y unrombo. Pero si quieren slo describir el cuadrado,tendrn que agregar que tiene cuatro ngulos igua-les. En cambio, del rombo habra que decir que suscuatro ngulos no son iguales, la igualdad se dasolamente en los ngulos opuestos.2.2.2.2.2.Otrasituacinquesepuedeplantear,ademsdelasanteriores,resultadevariarelsegundoelementodel enunciado:Puede tener dos ngulos rectos?Puede tener tres ngulos rectos?Si las respuestas son afirmativas, se le solicita a losalumnos que dibujen los cuadrilteros que cum-plan con la condicin dada.3.3.3.3.3. Despus de que los nios hayan terminado losdos ejercicios de esta ficha, un nio de cada parejapresenta al resto del grupo sus figuras y explicapor qu las dibujaron.Finalmente, leen las caractersticas que agregaronpara describir cada figura que dibujaron enel primer ejercicio. Que los alumnosidentifiquenlas caractersticasde diferentescuadrilteros. 15. 5Midiendocon fraccionesde metroEl grupo se organiza en equipos (mximo cincointegrantes).Cadaequipotomaunatirade1metro,la divide por la mitad, la corta y escribe en cadamitad su longitud ( 12 metro). De la misma manera,los equipos fraccionarn las dems tiras de 1 metroen cuartos, octavos, tercios, sextos y quintos, yescribirnencadapartelafraccincorrespondiente.Cuando los alumnos hayan terminado de fraccio-nar todas las tiras se les pide que escojan una decada medida, las ordenen de mayor a menor,incluyendo la tira de un metro, y escriban en sucuaderno las medidas en ese orden.En otra clase, por cada equipo se traza una lneaque mida ms de un metro y menos de dos. Porejemplo, 1.50 m, 1.75 m, 1.25 m, 1.70 m, 1 metroms 23 de metro y 1 metro ms 13 de metro.Los integrantes del equipo expresan cunto creenque miden las lneas, utilizando fracciones de me-tro, y uno de ellos anota en su cuaderno las diferen-tes aproximaciones que hacen. Por ejemplo,1 metro ms un cuarto o cinco cuartos.Para comprobar quin se acerc ms, cada inte-grante mide una de las lneas trazadas con las tirasde cartoncillo que cortaron en la clase anterior yanota la medida que obtenga en un papelito. Losalumnos podrn expresar de diferentes formas unamisma medida. Enseguida, deben intercambiar lospapelitos con los integrantes de otro equipo. Paracomprobar si el compaero midi bien, cada alum-no construye, con la tira de cartoncillo de 2 metros,una tira de acuerdo con la medida que indique elpapelito que le toc.Cada alumno compara la tira que realiz con lalnea que se traz originalmente y si no tienela misma longitud, ambos nios, el que escribi lamedida en el papelito y el que construy la tira,buscan si el error estuvo en la medida o en laconstruccin de la tira.Debe propiciarse la discusin, tanto al interiorde los equipos como en toda la clase, permitiendoque los alumnos expresen sus propios procedi-mientos. Si se considera que la actividad es largapuede desarrollarse en ms de una clase. La activi-dad puede repetirse con otras fracciones de metroy otras medidas.MaterialPara cada equipo: siete tiras de cartoncillo de 1metro de largo y 5 centmetros de ancho. Tantastiras de cartoncillo de 2 metros de largo y 5 cent-metros de ancho como integrantes tenga el equipo. Que los alumnos utilicenalgunas fracciones de metropara medir longitudes. 16. 6grupo para que conozcan los procedimientos quesigui cada equipo y revisar los resultados. Primerolos equipos dicen su resultado, se anotan todos enel pizarrn y luego pasa un representante a explicarsu procedimiento.Es probable que surjan distintas expresiones adi-tivas que tengan el mismo valor. Por ejemplo, parael primer problema puede haber estas soluciones:Despus de que se escriben las soluciones en elpizarrn, el maestro plantea preguntas como lasiguiente: En cul de los dos casos le toc mspastel a cada nio?Para que los alumnos reconozcan que las ex-presiones12+14+120 y15 +15 +15 +15 valen lomismo aunque se escriben diferente, se les pideque corten la parte de pastel que corresponde acada nio, en ambas soluciones (pueden usar uncrculo de cartn) y comprueben que les toca lamisma cantidad.Esta actividad se puede repetir dos o tres vecesms con otros problemas similares.Por ejemplo, se pueden repartir chocolates(tiras de papel de forma rectangular) de acuerdocon las siguientes indicaciones:Repartan 5 chocolates entre 4 niosRepartan 3 chocolates entre 4 niosLos alumnos repartirn los chocolates que seindican en cada caso, pero entregando a cada niosu parte lo menos fraccionada posible. Para asegu-rarse cmo deben partir los chocolates puedencalcular primero usando dibujos.RepartimospastelesEl grupo se organiza en equipos y se anotan en elpizarrn los siguientes problemas para que losresuelvan:1.1.1.1.1. Se reparten 4 pasteles entre 5 nios, a todos lestoca igual y no sobra. Le toca ms de un pastel acada nio o menos de un pastel? Cunto le tocaa cada nio?2.2.2.2.2. Se reparten 7 pasteles entre 6 nios, a todos lestoca igual y no sobra. Le toca ms de un pastel acada nio o menos de un pastel? Cunto le tocaa cada nio?Cuando la mayora termine de resolver los dosproblemas se organiza una discusin con todo el Que los alumnosutilicen las fraccionescomo resultadode un reparto. Representende distintas manerasel resultadode un reparto.1 1 14 202+ +111555++15+ 17. 5.5.5.5.5. Se pide a los alumnos que escriban los nmerosdel sorteo comprendidos entre:100 000 y 199 999100 000 y 199 999200 000 y 299 999300 000 y 399 999400 000 y 499 999500 000 y 599 999600 000 y 699 999700 000 y 799 999800 000 y 899 999900 000 y 999 999A continuacin se hacen preguntas como stas:Entre qu nmeros no salieron nmeros sor-teados?Entre qu nmeros salieron ms nmerossorteados?Entre qu nmeros salieron menos nmerossorteados?Entre qu nmeros es probable que salgannuevos nmeros?El sorteo (I) 3.3.3.3.3. Se seleccionan dos columnas del anuncio.Los nios escriben, individualmente, el antece-sor y el sucesor de cada uno de los nmerosde cada columna. Para calificar intercambian suscuadernos.4.4.4.4.4. Junto con los nios se escoge un nmero delanuncio para formar una serie corta sumando cadavezotronmero;porejemplo,siseescoge122050y se le suma 25 cada vez, se puede formar lasiguiente serie:122 050, 122 075, 122 100, 122 125,122 150, 122 175, 122 200La serie que resulte se escribe en el pizarrn y selee en voz alta. Poco a poco las series pueden serms complicadas.1.1.1.1.1. Se muestra al grupo el anuncio y se le pide avarios nios que lean en voz alta algunos de losnmeros.2.2.2.2.2. Otros nios leen un nmero del anuncio y dicenen voz alta el antecesor y sucesor de este nmero. Que los alumnos manejenel sistema de numeracin decimalal escribir, leer, comparar y ordenarnmeros de seis cifras.7DE20CENTENARIOSCADAUNO12205023281697155169617547805813985111551200381996602872578375628793410360942314707578211214169109692597684743025PREMIOS 18. El sorteo (II) Para repetir el ejercicio se cambia el nmero aencontrar.4.4.4.4.4. Una variante ms consiste en escribir en elpizarrn un nmero del sorteo utilizando la nota-cin desarrollada. Por ejemplo:58139=5 10000 + 8 1 000 + 1 100 + 310 + 9Se eligen seis nmeros del sorteo para que losescriban en la notacin desarrollada.Por ltimo, se presentan algunas expresiones y losalumnos averiguan de qu nmero se trata.60 000 + 9 000 + 600 + 10 + 7 =4 10 000 + 1 1 000 + 3 10 + 6 =900 000 + 60 000 + 1 000 + 300 + 90 + 6 =siguieron para encontrar ambos nmeros. Se regis-tra el procedimiento de cada equipo y se presentany discuten en el grupo. Lo importante de estaactividad es que los nios expresen y reflexionensobre sus procedimientos.3.3.3.3.3. A continuacin se les pide que, entre los nme-ros del sorteo, encuentren cifras con:5 millones5 centenas5 decenas5 unidadesEl equipo que primero las encuentre se gana unpunto.1.1.1.1.1. Se muestra al grupo el anuncio de la ficha 7 y sepregunta: Cul es el nmero mayor de la lista?Cul es el nmero menor de la lista?2.2.2.2.2. Despus de que los alumnos respondan sediscute, en equipo, sobre el procedimiento que Que los alumnos trabajenel valor posicionalen nmeros de seis cifras.8 19. Es necesario que los nios dispongan del tiemposuficiente para encontrar la manera de utilizar lahoja rayada para dividir el segmento en partesiguales hasta que lo logren.La actividad se repite tres veces ms y en cada unalos nios trazan una nueva recta igual a la primerapara dividirla en siete, en nueve y en diez partesiguales.Si a los nios no se les ocurre cmo utilizar la hojarayadaparadividirelsegmentoenpartesiguales,seles ayuda. El segmento se coloca sobre la hojarayada y se gira hasta que sus extremos coincidancon dos lneas y lo crucen tantas lneas como partesiguales se requieran.Cuando todos los nios tienen sus cuatro segmen-tos divididos en partes iguales, se anotan en elpizarrn las siguientes fracciones: , , , , .En primer lugar, los nios tratarn de ordenarlasde la ms grande a la ms chica; en segundo,ubicarn las fracciones en la recta que les corres-ponde y, en tercero, verificarn si el orden queestablecieron es correcto o no.1.1.1.1.1. Los alumnos remarcan las lneas de una hojarayada.2.2.2.2.2. Enseguida, con las lneas paralelas marcadas, sepide que tracen, sobre una hoja blanca, una lnearecta de 11 centmetros, a la que le ponen unamarca al principio y otra al final. A la primera marcase le asigna el nmero 0 y a la otra el 1.3.3.3.3.3. Despus, los nios tendrn que dividir la distan-cia de cero a uno en seis partes iguales, usando unahoja rayada.9Con una hojarayada Que los alumnosdesarrollen la habilidadpara dividirun segmentoen partes iguales. 20. 10Partesno igualesMaterial15 tiras de papel de 16 centmetros de largo y 2centmetros de ancho para todo el grupo y una hojarayada para cada integrante del equipo. Que los alumnosexpresen el enterocomo suma de fraccionescon igual denominador.Frente al grupo organizado en equipos se hacen lassiguientes indicaciones:Se trata de cortar cada una de las tiras en dospartes que no sean iguales, pero antes de cortarlasles indicar con qu fraccin trabajar cada equipo(quintos, sextos, octavos, novenos o dcimos). Paradividirlas pueden utilizar la hoja rayada con laslneas paralelas marcadas. Traten de encontrardiferentes formas de dividir cada tira en dos partesdiferentes. Por ejemplo, si un equipo trabaja concuartos, los alumnos pueden dividir la tira de lasiguiente manera:14 +34 .Cuando la mayora de los equipos termine decortar sus tiras, cada uno anotar en ellas y en sucuaderno las medidas que obtuvieron. Despusintercambian sus medidas con otro equipo paraquelasordenendemayoramenor.Ambosequiposverifican si el orden es correcto, utilizando las tirasrecortadas.Si los alumnos apro-vechan el procedimiento de divi-dir las tiras de papel en partes no iguales pormedio de las paralelas, deben seleccionar uno delos lados largos sobre el cual harn las divisiones.34141434 21. 11Cunto falta, cunto sobra Que los alumnos utilicenla suma y resta de fraccionespara expresar la unidad.135444341432221223334353152535451876665616756555385878981929Se requiere un juego de 30 cartas, como el que semuestra, para cada equipo. Las cartas deben llevaren el reverso una fraccin que, al sumarse orestarse con la del anverso, d como resultado 1.Conviene usar un color para todas las fracciones deun lado y un color distinto para las del otro. Porejemplo, si al frente se lee , en el reverso debeestar , porque + = =1, si al frente se ve ,en el reverso deber estar el , porque - = =1.1.1.1.1.1. Se pide a los equipos que revuelvan las tarjetasy que las coloquen una sobre otra con el mismocolor hacia arriba.2.2.2.2.2. Por turnos, cada alumno toma una carta y dicecul debe ser la fraccin del reverso para que lasuma o la resta sea uno. Despus voltea la cartapara ver si acert. Si acierta se queda con latarjeta; si no, la coloca nuevamente debajo de lasdems. Gana el alumno que rena ms tarjetas. 22. 12Clculosmentales (I)Las estrategiasSe escribe en el pizarrn, por ejemplo, 479 + 68para que los alumnos encuentren por lo menos tresformas distintas de resolver mentalmente la opera-cin. Por ejemplo:480 ms 20 ms 40 es igual a 540; 540 ms 7 da547470 ms 60 es igual a 530; 530 ms 17 da 547480 ms 70 es igual a 550; 550 menos 3 da 547Cuando las hayan encontrado, los alumnos expli-can sus estrategias para que sean escritas en elpizarrn, se discutan y todos determinen cul lesparece la ms sencilla.Se puede continuar con otras expresiones como264 + 37;284 + 108;854 28;286 108,ydes-pus a la misma actividad se aplican la multiplica-cin y la divisin.Si, por ejemplo, se plantea la expresin 125 8,los alumnos pueden responder: se calcula 4 veceseldoblede125;8veces25son200ms800(queCunto falta para...Se escriben en el pizarrn algunos nmeros paraque los alumnos calculen mentalmente cunto lesfalta para completar otra centena.648; 234; 1 890; 755; 2 019; 1 578; 980Por ejemplo, al nmero 648 le falta 52 para llegara 700. Que los alumnos desarrollensus estrategias para resolverclculos mentales.es el resultado de multiplicar 8 por 100), es decir,1000;entreotrosprocedimientosqueproponganlos nios.Se puede continuar con 139 2; 129 3;28368;2550 5; 1680 4;3216 8,etctera.No es conveniente sealar los procedimientosequivocados; si estos aparecen debe propiciarseque los alumnos los descubran, para que encuen-tren las estrategias correctas.Diferentes nombres para un mismo nmeroEn el pizarrn se escribe un nmero, por ejemplo80, para que los alumnos encuentren una o variasmultiplicaciones cuyo producto sea ese nmero.20 4 40 2 16 5Se puede continuar con nmeros como 90, 160,240, 360, 1 200 y 1 800, entre otros.Conviene que las actividades de clculo mental serealicen a lo largo de todo el ao y, si es posible, alcomienzo de la clase de matemticas, dedicndo-les entre 10 y 15 minutos.Si se observa que las actividadesresultan muy difciles,pueden aplicarsecon cantidadesms sencillas. 23. 13La equivalenciaentre lasunidades Que los alumnosanalicen la equivalenciaentre mltiplos,submltiplosy unidades de peso,longitud y capacidad.1.1.1.1.1. Frente al grupo se coloca una tabla como la quese muestra.Se hacen algunas preguntas con el propsito deque los alumnos repasen las equivalencias que yaconocen.Cuntos decmetros tiene 1 metro?Cuntos centmetros tiene 1 decmetro?Cuntos milmetros tiene 1 centmetro?2.2.2.2.2. Se hacen preguntas del mismo tipo, pero con lossubmltiplos del gramo y del litro (decigramo,centigramo y miligramo; decilitro, centilitro ymililitro).3.3.3.3.3. Los alumnos leen en el diccionario el significadode los mltiplos del metro: kilmetro, hectmetroy decmetro.4.4.4.4.4. A continuacin se les propone a los alumnosque, con base en la informacin que obtuvieron enel diccionario, se renan en equipos y deduzcan lasrespuestas de las siguientes preguntas:Cuntos metros hay en 1 decmetro?Cuntos decmetros hay en 1 hectmetro?Cuntos hectmetros hay en 1 kilmetro?Cuntos decmetros hay en 6 kilmetros?Cuntos metros hay en 2.7 kilmetros?Cuntos centmetros hay en 80 metros?5.5.5.5.5. Despus de que los alumnos responden, sepromueve la reflexin sobre la semejanza entre elsistema de numeracin decimal y la equivalenciaentre los mltiplos, submltiplos y las unidades decapacidad, peso y longitud.x10x10x10x10x10x10UM CDUdcimo centsimo milsimokm hm dam mdmcmmmkg kg dag gdgcgmgkl kl dal ldlclml 24. 6.6.6.6.6. Por ltimo, puede presentarse la siguiente acti-vidad y, cuando los alumnos la terminen, se propi-cia una discusin para que expliquen las manerasen que obtuvieron las soluciones.Resuelve la operacin y completa los cuadros.El maestro puede elaborar otras tablas similares,pero utilizando medidas de capacidad y peso.km hm dam m dm cm mmkm hm dam m dm cm mm997 0 0 7 633550 7 6296581 3 0 4 8 98 5 6 3 45 6 7 2km hm dam+en kilmetros 25. 14Qu medimos? 2.2.2.2.2. Se dibuja en el pizarrn la tabla 1 para que losalumnos la copien en su cuaderno y la completen.En caso necesario el maestro explicar el conceptode unidad.3.3.3.3.3. Si los nios no saben medir el pulso, sta puede serotra actividad que debe adecuarse al nivel e intersdel grupo. Debe sealarse que al medir el pulso secombinandosunidadesdiferentes(nmerodepulsa-ciones por minuto), lo que ser tratado a nivel infor-mativo nicamente. Los alumnos podrn tomar elpulso de diferentes maneras: pueden contar las pul-saciones que suceden en una vuelta del segundero ocontar las que ocurren en 10 segundos y multiplicarpor 6 el resultado, para obtener el nmero de pulsa-cionesporminuto.Conestainformacinlosalumnospodrnllenarloscuadroscorrespondientesdelatabla1 y, en otro momento del curso, completar la tabla 2.4.4.4.4.4. Se puede partir de la actividad anterior paradirigir la atencin de los alumnos hacia el estudiodel Sistema Mtrico Decimal; para ello puede sertil un ejercicio como ste:Con qu instrumento y con qu unidad pode-mos medir lo siguiente?La altura de un posteLa distancia entre dos ciudadesEl tamao de una moscaEl tamao del dedo meiqueEl largo del saln de clasesLa distancia de una cuadraEl largo de una hormigaLas respuestas de cada equipo deben discutirse engrupo, de tal forma que pueda concluirse que auncuandoutilizamoselmetrocomounidad,noentodoslos casos se usan metros completos. De estamanera se puede iniciar la introduc-cin paulatina del estudio delosmltiplosylossubml-tiplosdelSistemaM-trico Decimal.1.1.1.1.1. Los alumnos comentarn en equipo la respuestaa la pregunta: Qu podemos medir?Es necesario que las respuestas no se queden sloen la medicin de distancias. Las conclusiones delos equipos deben comentarse en el grupo.MaterialRelojes, termmetros (de preferencia clnicos), cin-tasmtricas,metrosdemadera,balanzas,transpor-tadores y otros instrumentos de medicin. Que los alumnos reflexionensobre la necesidad del usode las unidades de medidaconvencional. Identifiquen diferentesinstrumentos y aparatos segnlo que se tenga que medir.TABLA 1MAGNITUD INSTRUMENTO DE MEDICIN UNIDAD QUE SE PUEDE EMPLEAREstaturaPesoTiempoTemperatura del cuerpoPulsoCapacidadTABLA 2PERSONA PULSOMi papMi mamYoMi hermanoMi amigo 26. A 1.7 le faltan 3 dcimospara llegar a 2,entonces el resultado es 4menos 6 dcimosHay que agrandar el nmeroEn el pizarrn se escribe un nmero, por ejemplo,2.3 o 26.5, para que los alumnos lo agranden 10veces.Es importante que al contestar 23 y 265, losalumnos sepan justificar cmo llegaron a la solu-cin o la regla que aplicaron.El doble de...En el pizarrn se escriben algunos nmeros. Losalumnos deben encontrar mentalmente el doblede cada uno y anotar en su cuaderno la estrategiaqueaplicaron,expresndolanumricamenteoconun grfico, para despus explicarla y discutirla consus compaeros. Por ejemplo:El doble de 1.7 es igual a 3.4, porque 1.5 + 1.5es 3; entonces tengo 3.4.A 1.7 le faltan 3 dcimos para llegar a 2, enton-ces el resultado es 4 menos 6 dcimos.El doble de 7 dcimos es 14 dcimos, entoncesme queda 3.4.El doble de 17 dcimos es 34 dcimos.Es importante que cada nioexplique cmo obtuvoel resultado.La carrera de las seriesLos nios pueden jugar en parejas, en equipos decuatro integrantes o todos al mismo tiempo.A una seal todos los alumnos comienzan aescribir una serie numrica; por ejemplo, la del 8.Cuando se indique, todos paran de escribir. Ganael nio que escribi ms nmeros. Queda descali-ficado el que cometi un error.Silosalumnosseorganizanenequipos,unodelosintegrantes toma el tiempo mientras los demscuentan de 60 en 60 a partir, por ejemplo, delnmero 120 durante 2 minutos.Gana el alumno que llegue al nmero mayor.Quin resuelve ms rpido?Se escribe en el pizarrn un clculo, por ejemplo,127 4, para que los alumnos lo resuelvan mental-mente. En el pizarrn se anotan los resultados queobtengan sin decir cul es el correcto. En el mismoorden en que dieron sus resultados los alumnosexplican los procedimientos y estrategias que si-guieron; stos se renen en el pizarrn y se aprove-chan para mostrar a los alumnos diferentes escritu-ras, grficas o clculos en que puedan expresarlos.Luego se analizan tanto los procedimientos comolos resultados. En el caso de los primeros, se podrnevaluar los conocimientos sobre el sistema de nu-meracin y sobre las operaciones y sus propieda-des; respecto a los resultados, son los alumnosquienes deben encontrar cules son los correctos.Clculosmentales (II) Que los alumnosutilicen el clculo mentalpara resolverdiferentessituaciones.15 27. 16seguida se plantean algunos problemas y se esta-blecen un par de restricciones para resolverlos:a) no se vale borrar, y b) debe utilizarse slo elsigno +.Cambien a 7 el nmero de millares.Cambien a 8 el nmero de las centenas.Cambien a 4 el nmero de las decenas.Busquen el nmero que convierta las 7 unidadesde millar en 8.Busquen el nmero que convierta en 0 las dece-nas y las unidades.Es necesario propiciar la comparacin y discusinde los resultados en el grupo y plantear otrosproblemas sencillos.La actividad puede realizarse en diferentes mo-mentos del ao escolar, slo se sugiere cambiar losnmeros y establecer restricciones ms complejas.Si no se cuenta con una calculadora para cadapareja, el grupo puede organizarse en equipos.3.3.3.3.3. Se escribe el nmero 67.897 para que losalumnos lo transformen en el 6 759.7, efectuandolas operaciones necesarias.4.4.4.4.4. Se le pide a los alumnos que realicen en lacalculadora esta operacin: 45 798 4 526. Cuan-do traten de resolver la operacin en la calculado-ra, aparecer el signo E (error) o un nmero conpunto decimal que no corresponde al resultado.En ese momento se les explica que el signo Eaparece cuando el resultado de una operacintiene ms de ocho cifras y se les propone que,utilizando lo menos posible lpiz y papel, encuen-tren algn procedimiento para encontrar el resul-tado correcto.Como es seguro que los nios lleven a la escuelacalculadoras diferentes, habr casos en los que noaparezca E, sino el resultado en forma de potencia.Para llegar al resultado los nios pueden aplicar lapropiedad distributiva y obtener as clculos par-ciales que pueden realizar en la calculadora. Porejemplo:45 798 45 = 2 060 9102 060 910 100 = 206 091 00045 798 26 = 1 190 74845 798 4 526 = 206 091 000 + 1 190 748= 207 281 7481.1.1.1.1. Dos preguntas que pueden plantearse a los nioscon la calculadora son: Cul es el nmero msgrandequesepuedeescribir?Cuntascifrastiene?2.2.2.2.2. Los nios se organizan en parejas y escriben unnmeroenlacalculadora,porejemplo:6 399. En-Operaciones enla calculadoraMaterialUna calculadora para cada pareja de nios. Que los alumnosutilicen la calculadorapara resolver problemas. Reflexionen sobre el sistema denumeracin decimal.MMMRCMARKUPONCE/C+MMMRCMARKUPONCE/C+MMMRCONCE/C+ 28. 17Cuntos son?En este pictograma se presenta la cantidad depoblacin de 5 a 14 aos en cuatro estados de laRepblica Mexicana.Despus de presentar una grfica como la que semuestra,sepidealosalumnosquerealicenalgunosejercicios:a.a.a.a.a. Traduzcan la informacin de la grfica a unatabla con nmeros.b.b.b.b.b. Representen los datos en una grfica de barras.En qu estado hay mayor cantidad de poblacinde 5 a 14 aos? En cul hay menos?c.c.c.c.c. Ordenen los estados de acuerdo con su cantidadde poblacin. Coloquen en primer lugar al quetiene ms habitantes.d.d.d.d.d. Inventen dos problemas a partir de la informa-cin que se presenta. Que los alumnosdesarrollen la habilidadde interpretar informacinpresentada en un pictograma. Organicenla informacinen tablas y grficasde barras.CHIAPASGUERREROHIDALGOOAXACA200 000 hab.100 000 hab.20 000 hab.10 000 hab. 29. 18Los nios se organizan en equipos y se anota en elpizarrn una tabla como sta:Descubrelo que falta Que los alumnosutilicen la equivalencia defracciones en la resolucinde un problema de reparto.Enseguida,seexplicaalosalumnosqueenlatablahay algunos lugares vacos porque falta la cantidadde pasteles, o bien la cantidad de nios. El ejercicioconsiste en encontrar las cantidades que faltan, conla condicin de que siempre le toquen de pastela cada nio.Se hace notar que la primera columna estcompleta: 5 pasteles y 4 nios. Si es necesario, losalumnos comprueban que con esas cantidades acada nio le tocan de pastel. Se pueden agregarms espacios en la tabla para que los nios escri-ban las cantidades que quieran.Cuando la mayora de los equipos termine, seorganiza una discusin con el grupo para que todosconozcan los procedimientos utilizados.Algunos procedimientos que pueden surgir sonlos siguientes:PASTELES 5 20 30 75 55NIOS 4 8 10 12 1 2 30. Quiz los alumnos dibujen los pasteles que hay,los partan en cuartos y hagan grupos de cincocuartos para saber a cuntos nios corresponden.En los casos en los que conocen la cantidad denios, tal vez dibujen los nios y a cada uno leasignen cinco cuartos para saber cuntos pastelesse completan. Este procedimiento resulta muy lar-go cuando la cantidad de pasteles o de nios esgrande.Es posible que busquen la relacin doble, triple,etctera, entre dos cantidades de pasteles o denios. Por ejemplo, 8 nios es el doble de 4 nios,entonces debe haber el doble de pasteles, esdecir, 10.Tambin puede suceder que sumen tantas vecescomo nios haya, o que descompongan encuartos la cantidad de pasteles para dividirla entrecinco, lo que da como resultado la cantidad denios. 31. 19Cunto tiempo? Que los alumnosconozcan diferentesprocedimientos paramedir el tiempo. Utilicen unidadesconvencionales de tiempoen la resolucin de problemas.Mediantepreguntasydescripcindesituacionessepueden plantear varias actividades de investiga-cin; algunas pueden ser las que se enuncianenseguida:a.a.a.a.a. Mediante qu fenmeno natural puedes medirel transcurso de los aos?b.b.b.b.b. Cul es el periodo en el que la luna crece y enel que decrece?c.c.c.c.c. Para medir fracciones de tiempo menores que elda, en el antiguo Egipto se utilizaban relojes solaresy de agua (clepsidra). Investiga su funcionamiento.Qu ventaja presentan los relojes de agua sobrelos solares?d.d.d.d.d. Utiliza un reloj de arena para medir el tiempoconveniente para la coccin de un huevo tibio.Explica su funcionamiento.e.e.e.e.e. Datresejemplosderelojesquepuedescrearconobjetos que haya en tu casa. Para inventar losrelojes se debe lograr una seal a intervalos regula-res. Por ejemplo, un grifo que goteara en formaininterrumpida y regularmente; una vela cilndricadividida en secciones iguales mediante crculos decolores.En el pizarrn pueden escribirse, adems, proble-mas como los siguientes:a.a.a.a.a. Un partido de futbol dura 90 minutos y se divideen dos periodos de 45 cada uno, separados por undescanso de 15 minutos. El partido comenz a las11 horas 30 minutos. A qu hora terminar elprimer tiempo?, y el segundo?b.b.b.b.b. El 3 de junio a las 10 horas, un barco parte dela ciudad de Veracruz para hacer un crucero, elregreso est previsto para el da 18 de junio a las17 horas. Calcula en das, horas y minutos laduracin de este crucero.c.c.c.c.c. Un ciclista recorre ocho veces un circuito de 8km. Gana la carrera en 1 hora 44 minutos. Cul esel tiempo medio en minutos que necesita para daruna vuelta al circuito?d.d.d.d.d. Si hoy es martes, qu da de la semana serdentro de 10 das?, dentro de 50 das?, y dentrode 100 das?Se sugiere que los alumnos realicen todos losclculos en el cuaderno. Y que cuando terminen deresolver los problemas pasen al pizarrn a explicarsus procedimientos (el ltimo proble-ma se resuelve sin utilizarcalendario). 32. 20El 20 por ciento1.1.1.1.1. Se dibujan en el pizarrn cinco cuadrados comolosdelailustracinysedescribelasituacindelaquelos alumnos deben partir para comenzar la actividad:Cincoagricultoresdecidierondedicar20porcien-to de su parcela para un cultivo experimental.2.2.2.2.2. Enseguida se presenta una tabla para que losalumnos relacionen el nombre de los dueos con eltamao de las parcelas.3.3.3.3.3. Losalumnosdividenlosladosdecadaparcelaendiez partes iguales, trazan lneas de un lado a otroy colorean 20 de los 100 cuadritos que resultan.Se les explica que la parte que colorearon sepuede expresar como 20 de cada 100, es decir, o como 20 por ciento y se escribe simbli-camente la ltima forma: 20%. Al colorear el 20 porciento de parcelas de distintos tamaos, los alum-nos pueden observar que el tamao de las partesdedicadas al cultivo experimental es proporcionalal tamao de las parcelas. A continuacin se formu-lan algunas preguntas:Todoslosagricultoresdedicanelmismoporcen-taje de sus parcelas al cultivo experimental?Todos dedican la misma cantidad del terreno alcultivo experimental?Qu agricultores dedican menos de la mitad desu terreno al cultivo experimental?4.4.4.4.4. Se pide a los nios que expresen en metroscuadrados el 20 por ciento de cada parcelay comprueben si las respuestas que dieron antesson correctas.Se debe explicar que para calcular la cantidad demetros cuadrados que representa el 20% en cadaparcela, primero se divide el total de metros cua-drados entre 100, para saber cunto es delrea. Despus, ese resultado se multiplica por el Que el alumno identifiqueel porcentaje como una fraccincon denominador 100.parcela de JERNIMOparcela de DON GILparcela de REYNALDOparcela de HERMINIOparcela de MATASNOMBRETAMAO DE LA PARCELA EN m2250 000 160 000 90 000 40 000 10 000 33. porcentaje, que en este caso es 20, y as se obtienela cantidad de metros cuadrados que representael 20 por ciento. En el caso de Matas, 250 000 m2entre 100 es igual a 2 500, y 2 500 por 20 es iguala50000m2;estacantidadrepresenta20porcientode su parcela. 34. 212.2.2.2.2. Cinco amigos compran 100 chocolates en60 pesos. La contribucin de cada uno ha sido de15, 3, 12, 18 y 12 pesos. Cuntos chocolates letocan a cada uno?Porcentaje Que los alumnos resuelvanproblemas de porcentaje,expresado como fracciny analicen la proporcionalidad.3.3.3.3.3. Entre 1970 y 1974 la poblacin de las ciudadesA, B y C aument 10%. Cul es la poblacin en1974,sien1970laciudadAtena3400habitantes,la ciudad B, 79 000 y la ciudad C, 35 000.4.4.4.4.4. A 900 personas se les hace la siguiente preguntaConoce usted el nombre de la capital de Turqua?El 35 por ciento responde correctamente: Ankara.Cul es el nmero de personas que conoce elnombre de la capital de Turqua?Cul es el porcentaje de personas que lo ignoran?Cul es el nmero de personas que ignoran elnombre de la capital de Turqua?La tabla se analiza junto con los alumnos y se lesplantean varias preguntas:Qu porcentaje corresponde a la poblacin de4 600 nios?Qu cantidad de nios representa la mitad depoblacin? Qu porcentaje?Qu fraccin de la poblacin total representa25%? A cuntos nios corresponde?Qu fraccin del total representan 460 nios?Qu porcentaje le corresponde?PRECIO ENPESOS 60 15 3 12 18 12NMERO DECHOCOLATES 100Se puede sugerir a los alumnos que usen fraccio-nes equivalentes para calcular el nmero de per-sonas que respondieron correctamente y para elnmero de personas que ignoran la respuesta.5.5.5.5.5. Escribe un mensaje, lo ms breve posible, paraque cualquier persona sepa cmo calcular el 30%de 45 000.El maestro organiza a los alumnos en equipos y lespresenta los siguientes problemas:1.1.1.1.1. La poblacin de nios menores de 16 aos enuna ciudad es de 4 600. En la grfica se muestra sudistribucin por edades.Completa la siguiente tabla:EDAD % FRACCIN POBLACINMENORESDE 16 AOS 1 4 60012251846050%12.5%1814 35. La estaturay la edad Que el alumnoidentifique situacionesde variacin proporcionaly no proporcional.Se presentan los siguientes problemas para que losalumnos discutan y encuentren juntos las respuestas.1.1.1.1.1. Leonardo tiene 12 aos de edad y su estatura esde 148 centmetros. Dentro de 12 aos tendr 24,es decir, el doble de 12. Creen que su estatura sereldoblede148centmetros?Creenquelaestaturade una persona es proporcional a su edad?2.2.2.2.2. Aurelio tiene 16 aos de edad y pesa 50 kilos.Dentro de 32 aos tendr 48 aos, que es el triplede 16. Creen que pesar el triple de 50 kilos?Creen que el peso de una persona es proporcionala su edad?3.3.3.3.3. Antes, Felipe trabajaba 6 horas diarias y dorma8 horas. Actualmente Felipe trabaja 12 horas, queson el doble de 6. Creen que Felipe duerme eldoble de 8 horas? Creen que el tiempo queduerme una persona es proporcional al tiempoque trabaja?Debe hacerse notar que la edad y la estatura noson proporcionales porque no aumentan o dismi-nuyen en la misma proporcin. Cuando, por ejem-plo, la edad aumenta al doble, la estatura nonecesariamente aumenta al doble. Enseguida debepedirse a los alumnos que piensen en una lista depares de cantidades que no sean proporcionales yen una lista de pares de cantidades que s lo sean,y que las anoten en su cuaderno, para que despuscomenten sus ejemplos.4.4.4.4.4. Las tablas que aparecen en la siguiente pginase copian en el pizarrn para que los alumnos lascompleten. Entonces, un nio le pide a un com-paero que agregue los dos renglones y escribaun nmero, ya sea en la primera o en la segundacolumna, y trate de encontrar la pareja del nmeroque escribi su compaero.200190180170160150140130120110100908070605040302010022 36. TABLA AKilogramo de azcar Precio1 $1.8023$7.20$9.00TABLA BPersona Edad PesoMi papMi mamYoMi mejor amigoEl primero de la listaEl ltimo de la listaTABLA CNmero de lista Estatura12345TABLA DDas trabajados Salario123 $225.004Finalmente, se le pueden plantear algunas pre-guntas al primer alumno: Encontraste todas lasparejas? Cules s y cules no? Por qu? Qutablas se parecen ms? Por qu? 37. 23Si aumentauna,aumenta laotra?5 10 000710 20 0001220TABLA 2Tarifa en Distancia recorridapesos en metrosTABLA 3Masa engramos 8 24 80Volumenen cm310 11 20 50 100Se pide a los alumnos que completen las tablas.TABLA 1Nmero de vueltas Nmero de vueltasde la rueda A de la rueda B2 336814241.5 Que los alumnosdescubran las propiedadesde las magnitudes devariacin proporcional directa.BA 38. ++= =RUEDA A RUEDA B2 33 4.56 97 10.5Sucede lo mismo en las otras tablas?e.e.e.e.e. Selecciona un rengln de la tabla 1. Divide elnmero de vueltas de la rueda B entre el nmerode vueltas de la rueda A. Cunto obtienes? Qurepresenta esa cantidad?Si haces lo mismo con los datos de un regln dems abajo, piensas que se debe obtener un nme-ro mayor, menor o igual? Comprubalo.Sucede lo mismo con las otras tablas?Dos magnitudes son directamente proporcionalescuando, al aumentar una cantidad, la otra aumentaen la misma proporcin. Tambin se puede decirque dos magnitudes son directamente proporciona-les si el cociente entre cantidades correspondienteses siempre constante. En qu tablas las magnitudesson directamente proporcionales?As, de los cuatro ejemplos vistos, son magnitudesdirectamente proporcionales el engranaje y la den-sidad del aceite.Por ejemplo, en la tabla 1 el cociente entre elnmero de vueltas de la rueda B y el nmero devueltas de la rueda A siempre es igual a 1.5. Estacantidad se llama constante de proporcionalidad yen este caso representa el nmero de vueltas de larueda B por una vuelta de la rueda A.diferencia 1{diferencia1{ diferencia 1.5diferencia 1.5}}Enseguida se plantean algunas preguntas:a.a.a.a.a. Cuando crece una de las magnitudes, qusucede con la otra? Por ejemplo, si crece el nmerode vueltas de la rueda A, crece el nmero de vuel-tas de la rueda B. Sucede lo mismo en las otrastablas? Por qu?b.b.b.b.b. Cuando una magnitud crece el doble o el triple,qu pasa con la otra?c.c.c.c.c. En la tabla 1, a la suma de valores de unamagnitud le corresponde la suma de valores de laotra magnitud:RUEDA A RUEDA B2 36 98 12ddddd. A diferencias iguales en una magnitud, corres-ponden diferencias iguales en la otra magnitud. Porejemplo: 39. 241.1.1.1.1. Los alumnos atienden las siguientes consignas:a.a.a.a.a. Completa la tabla con el nmero de calzado decada uno de los nios del saln.Cul es el nmero de calzado ms grande?Cul es el nmero de calzado ms pequeo?Cul es el nmero de calzado promedio?Paracalcularelnmeropromediosesumantodoslos nmeros de calzado y se divide por el total deencuestados. Por ejemplo, si los nmeros de calza-do de cuatro nios son: 3 12 , 4, 4 y 4 12 , se suman,3 12 + 4 + 4 + 4 12 = 16 ; 16 entre 4 nios= 4. Elnmero de calzado promedio es 4.c.c.c.c.c. Representa los datos de la tabla de frecuencias enuna grfica de barras.Cul es el nmero de calzado ms frecuente?Al valor ms frecuente se le llama modo o moda.Es el valor que supera las frecuencias de los otrosdatos.Se pueden proponer otras encuestas a lo largodel ao, por ejemplo, de horas diarias que ventelevisin, de horas diarias que dedican al estudio,a su deporte preferido, etctera.APELLIDOb.b.b.b.b. Ordena los datos anteriores dependiendo de lacantidaddealumnosqueusanelmismonmerodecalzado.NMERO DE CALZADO FRECUENCIADe qunmeroson tuszapatos? Que los alumnosorganicen los datos deuna encuesta en tablasy en grficas de barras.NMERO DE CALZADO 40. 25Construccinde slidos Que los alumnos desarrollenla imaginacin espacialy la habilidad paraconstruir slidos.1.1.1.1.1. Los nios llevan a la escuela cajas de distintasformas y tamaos (de leche, maizoro, avena, royal,zapatos, etctera).2.2.2.2.2. En equipo observan las cajas y atienden lasindicaciones:Toquen lo que limita a estos cuerpos... A esto lellamamos caras.Cuntas caras tiene cada uno?Qu forma tienen las caras de cada caja?Cmo llamamos a la cara sobre la que se apoyael cuerpo?Toquen el lmite de varias caras, uno por uno...A esto le llamamos aristas.Cmo puede considerarse una arista? Cuntascaras se juntan en una arista?Cuntas aristas tiene el cuerpo con el que se esttrabajando?Toquen los lmites de las aristas... A estos lesllamamos vrtices.Cmo pueden considerarse los vrtices?Cuntos vrtices tiene el cuerpo con el que seest trabajando?Cuntas aristas se cortan en un vrtice?Cuntas caras llegan a l?a.a.a.a.a. Hagan los cortes necesarios para abrir estoscuerpos, de tal modo que todos los puntos de suscaras toquen la mesa de trabajo y no se separeninguna cara o alguna de sus partes.Pueden reconstruir el cuerpo inicial?b.b.b.b.b. Comparen lo que les result con el trabajo desus otros compaeros y observen si les quedaroniguales.Podran haber hecho los cortes de otra manerapara que les quedaran otras figuras? Puedeninventar otra plantilla?3.3.3.3.3. Se dibujan en el pizarrn las plantillas tal y comose muestran arriba y se plantean las siguientespreguntas al grupo: 41. Ser posible formar cuerpos con todas ellas?Cmo sern esos cuerpos?En qu se parecern y en qu sern diferentes?Se organiza la discusin en el grupo y los alumnosargumentan las diferentes respuestas, sin intentarllegar a acuerdos.Enseguida los nios trazan en hojas de cuadrculagrande las plantillas que estn en el pizarrn, lasrecortan y las pegan con cinta adhesiva transparen-te. Cuando terminen se les pregunta si los cuerposson como se los haban imaginado, en qu sondiferentes, en qu son iguales, etctera.En equipo, los nios analizan los cuerpos (porejemplo, forma y tamao de sus caras) y discuten aqu se deben sus semejanzas y diferencias; luegodiscuten la opiniones de los diferentes equipos eintentan llegar a un acuerdo (este ejercicio puedeser ms interesante si cada equipo presenta porescrito sus argumentaciones). 42. 26Decmetros,centmetrosy milmetros (I)4.4.4.4.4. En el pizarrn se anotan las medidas que apare-cen en seguida, para que los alumnos las copien ensu cuaderno y subrayen la que corresponde a lalnea ms larga. Las medidas que son iguales lassubrayan con el mismo color.lnea A: 1 dmlnea B: 90 mmlnea C: 5 dmlnea D: 50 cmlnea E: 25 cmlnea F: 28 cmlnea G: 100 mm5.5.5.5.5. Despus se les pide que tracen en el pizarrn oen el piso las siete lneas, usando la tira dividida endecmetros, en centmetros y en milmetros paraque comparen las longitudes y verifiquen si suestimacin fue correcta o no.Finalmente, pueden darse las medidas de otraslneas expresadas en metros, decmetros, centme-1.1.1.1.1.Acadaequiposeleentregaunatiradecartoncillo,de un metro de largo por cinco centmetros deancho, para que la dividan en 10 partes iguales. Seles pregunta qu parte del metro representa cadauno de los segmentos; despus, se les explica quecada segmento es la dcima parte de un metro,llamada decmetro y se anota as: de metro o0.1 de metro.2.2.2.2.2. Ahora se pide a los alumnos que dividan undecmetro en 10 partes iguales utilizando la regla,y cuando terminen se les explica que cada parte esla centsima parte del metro; se llama centmetroy se anota as: de metro o 0.01 de metro.3.3.3.3.3. Por ltimo, utilizando la regla tienen que dividirun centmetro en 10 partes iguales. Qu parte delmetro ocupa un centmetro? Qu parte del metroocupa un milmetro?Cada uno de estos segmentos es la milsima partedel metro; se llama milmetro y se anota as:de metro o 0.001 de metro.tros y milmetros, para que las tracen en el patio yluego las escriban en su cuaderno de mayor amenor, utilizando el punto decimal. Que los alumnosutilicen los submltiplos delmetro para trazar lneas.MaterialUna tira de cartoncillo por equipo. 43. 271.1.1.1.1.Cada equipo traza en el piso las siguientes lneas:lnea A: 140 cmlnea B: 18 dmlnea C: 1 m con 40 cmlnea D: 180 cmlnea E: 14 dmlnea F: 1 m con 80 cmlnea G: 1 400 mmlnea H: 1 800 mm2.2.2.2.2. Escriben en su cuaderno las medidas de las lneasque tienen la misma longitud.3.3.3.3.3. Un equipo lee las medidas de las lneas iguales ylas anota en el pizarrn. Por ejemplo:140 cm 14 dm 1 400 mm 1 m con 40 cm4.4.4.4.4. Se le explica al grupo que una misma longitud sepuedeexpresarcondiferentesunidadesdemediday que el punto decimal, junto a la unidad demedida, indica la cantidad de unidades utilizadas.5.5.5.5.5. Los alumnos miden el ancho de su mesa detrabajo y observan que es posible representarlo condiferentes unidades. Suponiendo que mide 50centmetros, tambin se puede escribir de las si-guientes maneras:Es necesario explicar el cuadro a partir de lasequivalencias entre el metro, el decmetro, el cen-tmetro y el milmetro. Es decir, como 1 dm equiva-le a 10 cm, 5 dm equivalen a 50 cm. Como 1 metroequivale a 10 dm y slo tenemos 5 dm, no secompleta 1 metro, por lo tanto se tienen 0 metroscon 5 dm. Como 1 dm equivale a 100 mm, 5 dmequivalen a 500 mm.6.6.6.6.6. Las siguientes medidas se escriben en el pizarrny los alumnos las anotan usando las unidades quehasta el momento se han visto (metro, decmetro,centmetro y milmetro).1.25 m 38 cm 149 mm 48 dm 2.3 cm25.4 dm 7 mmLos nios comparan entre ellos sus respuestas yhacen las correcciones necesarias.MEDIDA METRO DECMETRO CENTMETRO MILMETRO50 cm 5 05 dm 50.5 m 0. 5500 mm 5 0 0Decmetros,centmetrosy milmetros (II) Que los alumnostrabajen la equivalenciaentre el metroy los submltiplos.MaterialUn metro graduado en decmetros, centmetros ymilmetros para cada equipo. Es recomendableque todos sean diferentes, pueden ser de madera,cintasdecostureraosastre,losqueelloselaboraronen la ficha anterior, etctera. 44. 7.7.7.7.7. Utilizando los instrumentos que tienen a lamano, miden la estatura de cada integrante delequipo y elaboran una tabla. Luego escriben cadamedida en tres unidades diferentes y las ordenande mayor a menor. 45. 28En el mercado Que los alumnosanalicen las relacionesque se dan entre cantidades quevaran proporcionalmente.1.1.1.1.1. Se pide a los alumnos que completen las tablascon los precios que ellos conozcan.Se sugiere formular, adems, preguntas sobrecantidades que no aparecen en la tabla. En otromomento se podr trabajar con tablas de cantida-des que varan proporcionalmente, dejando espa-cios vacos tanto en la primera como en la segundacolumna.2.2.2.2.2. Posteriormente, los alumnos tendrn que elegircantidades que varan proporcionalmente y orga-nizar los datos en tablas. Cuando los alumnosterminen de completarlas, se les hacen algunaspreguntas para que identifiquen las relaciones quese dan entre las dos cantidades.JITOMATEKILO PRECIO2345MANZANASKILOPRECIO1211 122CEBOLLAKILOPRECIO14341112MELONESUNIDADPRECIO12343.3.3.3.3. Las recetas son otro recurso que el maestropuede aprovechar para que los alumnos trabajencon cantidades que varan proporcionalmente. Porejemplo:Ins invit a 15 amigos a su fiesta de cumpleaosy quiere hacer un pastel, pero la receta que tiene espara 6 personas. Aydale y completa la receta para15 personas.Cuando los alumnos hayan completado las ta-blas se plantean las siguientes preguntas, con elpropsito de que identifiquen las relaciones quese dan entre los datos de una tabla de variacinproporcional.Si dos kilogramos de jitomate cuestan $..., cun-to cuestan 4? Y 8 kilogramos?Si tres melones cuestan $..., cunto cuestan seismelones?Si medio kilo de manzanas cuesta $..., cuntocuesta 1 kilogramo y medio?Cunto costaran 10 kilogramos de jitomate?Y 3 kilogramos de manzanas? Si 12 kg demanzanas cuesta $3.00 y 1 kg $6.00 Cmo sepuede obtener a partir de estos datos lo quecuesta 1 12 kg?PARA 6 PERSONASharina400 gramoshuevos6azcar200 gramosleche 14 litropasitas50 gramosesencia de vainilla 4 gotasPARA 15 PERSONASharinahuevosazcarlechepasitasesencia de vainilla 46. 29El taxiSe presenta la siguiente situacin problemticapara que los alumnos la resuelvan en equipo.Juan tom un taxi y se puso a platicar con eltaxista. Le pregunt cmo funcionaba el taxmetro.El taxista le dio la siguiente explicacin: Cuandosube un pasajero enciendo el taxmetro y marca$ 4 por el banderazo; luego marca $ 0.50 por cada500 metros.Cuando Juan lleg a la escuela intent hacer unatabla, pero no la pudo completar.Pueden ayudar a Juan a completarla?Con el propsito de que los alumnos analicen latabla y puedan decir si corresponde o no a unasituacin de proporcionalidad, se plantean las si-guientes preguntas.Si aumentamos una cantidad al doble, por ejemplo$ 4, obtendremos $ 8. Sucede lo mismo con losmetros correspondientes?Si buscamos la mitad de una cantidad, por ejem-plo, 6 000 metros, el resultado ser 3 000 metros.Sucede lo mismo con el costo de los me-tros recorridos?Juan pag por su recorrido $ 7.50 Qu distanciaen kilmetros recorri?Para obtener los 2 500 metros se puede sumar2 000 m + 500 m. Se puede obtener el costo delrecorrido de 2 500 m sumando lo que cuestarecorrer 2 000 m + 500 m?Se puede decir que lo que Juan pag es propor-cional a la distancia recorrida? Por qu?Sinosecobraraelbanderazo,cmovariaranlascantidades? Hagan una tabla con esta situacin.Considerando lo que se cobra por el banderazo,lo que Juan pag no es proporcional a la distanciarecorrida, y esto se puede afirmar porque no severifican las propiedades de la proporcionalidaddirecta. Es decir, cuando la distancia aumenta aldoble, el precio no aumenta el doble. Si no consi-deramos el banderazo, s estamos en presencia deuna situacin proporcional debido a que el precioaumenta de manera proporcional al aumento de ladistancia recorrida.METROS 0 500 3 000 4 500PRECIO $ 4 $ 5 $ 8 $ 10 Que los alumnos reconozcanuna situacin dondelas cantidades varande manera no proporcional.$ 4.00TAXMETRO 47. 30 Que los alumnos interpreteny analicen la informacin grficaque aparece en diferentesmedios de comunicacin.El juego delas preguntasSe organiza a los alumnos en parejas y se les entregauna copia con las grficas que se muestran.Los alumnos deben buscar en un diccionario elsignificado de los trminos que aparecen en lasgrficas de barras (reptiles, anfibios y mamferos).Cada nio elabora la mayor cantidad de pregun-tas que pueda a partir de la informacin y lasescribe en su cuaderno. Por ejemplo: Cul es elpas que tiene la mayor cantidad de especies deanfibios?Cultienelamenorcantidad?Qulugarocupa Mxico? Qu cantidad de especies deanfibios tiene Mxico?, entre otras.Alterminar,losniosdecadaparejaintercambianentre s las preguntas para responderlas.Por cada pregunta que se pueda responder conlas grficas se obtiene un punto y por cada preguntaque no se pueda responder se descuenta uno.Gana el nio que rena ms puntos.Cuando todas las parejas hayan terminado se lepide a cada nio que lea sus preguntas y lasrespuestas correctas que dio su compaero.Es importante que el maestro, antes de plantear laactividad, estructure preguntas que se puedan ha-cer a partir de la informacin que arrojan lasgrficas. En el caso de que los alumnos no incluyanalguna de stas, el maestro las puede formular alfinal de la actividad; ganar un punto el nio quelogre contestarla correctamente.Se pueden organizar varias actividades comosta, pidindole a los nios distintos tipos de infor-macin, sea de peridicos, revistas, etctera. Lainformacin puede no estar representada en grfi-cas de barras, puede tratarse de tablas con informa-cin numrica, propagandas de artculos, con susprecios y descuentos, formas de pago, etctera.ANFIBIOS REPTILESMAMFEROS PLANTASMXICO MXICOMXICO MXICOBRASIL5195004003002001000504030201005545302625439421410 40943346252959764760050040030020010004002000BRASIL CHINA CHINAZAIRE BRASILCOLOMBIA407500358282276COLOMBIAECUADOR INDONESIAINDONESIAAUSTRALIAAUSTRALIAINDONESIA BRASIL INDIA 48. 31Adivinael nmero5.5.5.5.5. Gana el equipo que logre adivinar el nmero oel que se acerque ms.En cada juego se sugiere que los nios dibujen ensu cuaderno una recta con los nmeros del 0 al 10para que tachen los que se eliminan con cadapregunta.Si la actividad resulta difcil para los nios, puedesugerrseles que primero realicen el juego con unnmero fraccionario comprendido entre el 0 y el 1.Cuando los alumnos dominen la actividad, puedeampliarse el rango de bsqueda de 0 a 10.Como actividad previa, los nios tambin puedenubicar en la recta numrica algunas fraccionesimpropias como , , , , ...Al principio los nios dirn fracciones sueltasintentando adivinar el nmero. Poco a poco sedarn cuenta de que tienen que hacer preguntasquelespermitandescartarmsnmeros;porejem-plo: Es mayor que cinco? Es menor que dos ymedio?El grupo se organiza en equipos y se dibuja en elpizarrn una recta como la de abajo, para que losnios practiquen un juego con las siguientes reglas:1.1.1.1.1. Uno de los nios piensa una fraccin impropiacomprendida entre 0 y 10, y la anota en un papelito.2.2.2.2.2. Los dems nios tratan de adivinar el nmerohaciendo 10 preguntas como mximo.3.3.3.3.3. El nio que pens el nmero slo puede contes-tar s o no a las preguntas que le hagan.4.4.4.4.4. Si despus de las 10 preguntas no lograronadivinar el nmero, cada equipo propone uno y seanota en el pizarrn. Que los alumnosubiquen nmerosfraccionarios enla recta numrica.Quin adivina el nmero? 49. 32Unimospedazos Que los alumnosutilicen la suma,la resta y lacomparacinde fraccionesal resolver problemas.El maestro organiza a los nios en equipos y lesplantea el siguiente problema:1.1.1.1.1. Pedro, Juan y Jos se repartieron una barra dechocolate y a cada quien le toc lo mismo. Mara,Carmen y Rosa se repartieron dos barras de choco-late como la de los nios. Qu parte de la barra letoc a Juan? Qu parte de una barra le toc aCarmen? A quin le toc ms, a Carmen o a Juan?Cunto ms le toc? Qu parte de una barra secomieron entre Carmen y Juan?Si las barras de chocolate que comieron los niosmedan 9 centmetros cada una, cunto meda laparte que le toc a Juan? Cunto meda la parteque le toc a Carmen? Cunto medan juntas laparte de Juan y la de Carmen?Cuando la mayora de los equipos terminan deresolver el problema se organiza una discusin engrupo para revisar las respuestas que se dieron porcada pregunta. Las tres ltimas preguntas puedenservir para verificar los resultados de las cuatroprimeras.As, pueden verificar que los 3 cm que le tocan aJuan corresponden a 13 de la tira; los 6 cm que letocan a Carmen corresponden a 23 de la tira y los 9cm que obtienen entre Carmen y Juan correspon-den a una barra entera. La actividad puede repetir-se con otros problemas similares. 50. 33Comparaciones precio: uno puede ser de 100 g y costar $ 3, el otrode 150 g , $ 3.50, el ltimo de 250 g, $ 7).Cul debe comprar Vctor si le hace caso a sumam?3.3.3.3.3. En la tienda de doa Juana venden dos tipos dejugo en sobre para preparar (se dibujan los sobresen el pizarrn con los siguientes datos: sobre A,50 g, 1 litro, $ 1.50; sobre B, 100 g, 1 12 litros,$ 2.50).Cul conviene comprar?Compara las cantidades de cada sobre. Cuntosgramos ms tiene el sobre B comparado con el A?Cuntas veces ms?Comparaloquerindecadasobredejugo.Cun-tos litros ms rinde el jugo B? Qu parte repre-senta lo que rinde el jugo A con respecto a lo querinde el jugo B?Doa Juana le ofrece a Pedro la promocin deljugo B: dos sobres por $ 4.50, culle conviene comprar?Se copian en el pizarrn algunos de los siguientesproblemas:1.1.1.1.1. Juan, Lupita y Jos juntaron $30; pusieron 5, 10y 15 pesos, respectivamente, y compraron unabolsa con 30 caramelos. Si repartieron los carame-los de acuerdo con la cantidad de dinero queaportaron. Cuntos caramelos le tocaron a cadauno? A quin le toc ms? A quin le toc menos?Expresa en forma de fraccin la parte de los cara-melos que le toc a cada uno.2.2.2.2.2. Vctor fue a comprar mantequilla. Su mam lerecomendquecompraralamsbarata.Elseordela tienda le mostr los tres paquetes (en el pizarrnse dibujan los paquetes con el peso en gramos y el Que los alumnosresuelvan problemasde comparacin multiplicativa decantidades como introduccinal concepto de razn.MANTEQUILLA250 gMANTEQUILLA150 gMANTEQUILLA100 g 51. 3415 y 64 aos y uno de cada quince habitantes tienems de 64 aos. Responde lo ms aproximada-mente posible:Qu fraccin de la poblacin del AMCM es menorde 15 aos?Qu fraccin tiene entre 15 y 64 aos?Qu fraccin tiene ms de 64 aos?Cuntos habitantes del AMCM tienen menos de15 aos?Cuntos habitantes tienen entre 15 y 64 aos?Representen los tres sectores de edad en que sedividi la poblacin del AMCM en un diagramacircular.Como se puede observar, adems de las frac-ciones la expresin x de cada y tambin per-mite expresar qu parte de una cantidad es otracantidad.La fraccincomo razn Los alumnos utilizanla nocin de fraccincomo razn en la resolucinde problemas.1.1.1.1.1. Se presentan los siguientes problemas:En el grupo A reprobaron 7 alumnos. En elgrupo B reprobaron 10. En qu grupo hayms alumnos reprobados?Cuidado! Para poder contestar hace falta msinformacin. Qu falta? Veamos.El grupo A tiene 14 alumnos y reprobaron 7. Elgrupo B tiene 50 alumnos y reprobaron 10. Enqu grupo reprobaron ms alumnos?El grupo C tiene 40 alumnos y reprobaron 8.Reprueban ms nios en el grupo B o en el C?Cmo lo averiguaron?En el grupo D reprob del grupo. En el grupoE reprobaron del grupo. En qu grupo repro-baron ms alumnos? Qu parte del grupo Areprob?Recuerden: en el grupo A hay 14 alumnos. Por lotanto un alumno representa del grupo y 7 alum-nos representan 7 veces ms: =Qu parte del grupo B reprob? Y del grupo C?Representen la parte que reprob en los grupos By C como se muestra (la superficie de cada crculorepresenta al grupo completo).Hay muchas situaciones en las que lo que interesade una cantidad es qu parte representa de otracantidad, y no tanto conocer el nmero de ele-mentos. Las fracciones permiten expresar esta rela-cin entre una parte y un todo.2.2.2.2.2. Segn el censo de poblacin de 1990, la pobla-cin total del rea Metropolitana de la Ciudad deMxico (AMCM) tiene 15 002 838 habitantes.Aproximadamente uno de cada tres habitantes esmenor de 15 aos, tres de cada cinco tiene entreGrupo C7 reprobadosGrupo ATotal 14alumnosGrupo B 52. 35Las fraccionesmixtasdeben compararlos para ver si resultaron iguales.Cada equipo nombra un representante para queexplique lo que hicieron. Enseguida se muestra latira de 18 cm para compararla con las que obtuvie-ron los nios.Algunas formas de solucin que podran presen-tarse son las siguientes:a.a.a.a.a. Los nios pueden darse cuenta de que el pedazoes 23 del chocolate entero y debe agregrsele eltercio que falta para obtener el entero.b.b.b.b.b. Como son 5 nios, pueden marcar sobre la tiralarga los cinco pedazos y despus marcar los cuatrochocolates. Con esto se dan cuenta de que sobra-ron las dos terceras partes de un chocolate y que secomieron tres chocolates y un tercio, o diez terciosde chocolate.Cuando los alumnos expresan la cantidad dechocolate que se comieron, se aprovecha paraintroducir las fracciones mixtas como 3 13 .Se pueden proponer otros problemas similares,tratando de tener el material necesario para cadaproblema. Que los alumnosexpresen una fraccinimpropia comofraccin mixta.MaterialPara cada equipo: una tira de cartoncillo de 12centmetros de largo por 3 centmetros de ancho yuna tira de aproximadamente un metro de largopor 3 cm de ancho.Para todo el grupo: una tira de 18 cm de largo por3 cm de ancho, que debe permanecer ocultamientras los nios resuelven el problema.El grupo se organiza en equipos, se reparte elmaterial y resuelven el siguiente problema:1.1.1.1.1. Javier y sus cuatro amigos se repartieron cuatrochocolates. A cada uno le toca las dos terceras partesde un chocolate, quedando una parte sin repartir.El pedazo que le toc a cada nio es igual a la tirade cartoncillo ms chica. De qu tamao eran loschocolates enteros? Utilicen la tira ms larga paraaveriguarlo.De un chocolate sobr un pedazo, qu partedel chocolate representa ese pedazo?Qu cantidad de chocolate se comieron Javiery sus amigos? Expresa esa cantidad medianteuna fraccin.Cuntos chocolates enteros se comieron? Ex-presa la cantidad de chocolate que comieron,utilizando un nmero entero y una fraccin.Cuando la mayora de los equipos terminen derepresentar con las tiras los chocolates enteros,1 chocolate1 chocolate1 chocolate1 chocolate 53. 36Suma y restacon la notacindecimalNOMBRE SALTO 1 SALTO 2 SALTO 3 TOTALJos 1.23 m 1.20 m 1.30 mRicardo 1.50 m 1.34 m 1.08 mSebastin 0.94 m 1.18 m 1.20 mAntonio 1.53 m 2.01 m 1.70 mCsar 1.45 m 1.50 m 0.98 mSe presenta una tabla como la de abajo y el siguien-te problema:El da 20 de noviembre los alumnos de sexto gradoorganizaron una competencia de salto de longitud.Cada participante salt tres veces. Para saber quienqued en primer lugar deben sumarse los tres sal-tos de cada nio y escribir el resultado en la tabla.Antesdequelosalumnosempiecenacalcularselespregunta quin creen que obtuvo el primer lugar yquin el ltimo. Enseguida deben sumar los tressaltos de cada nio y colocar el resultado en la partede la tabla en que dice total. Los alumnos resuelvenalgunos problemasen los que es necesariosumar o restar nmerosdecimales.2001901801701601501401301201101009080706050403020100 54. Quin logr el primer lugar?Quin ocup el ltimo?En cul de los tres saltos que hizo Ricardosalt ms?Por cunto le gan Antonio a Sebastin,tomando en cuenta el total de metros?Quin realiz el salto ms largo?Quin el ms corto?Los alumnos comprueban si sus aproximacionesestuvieron cerca o lejos de los resultados correctos.Se les pide que se renan con otros compaeros yrevisen juntos las respuestas que encontraron. 55. 37Sumandofracciones Que los alumnos utilicenla suma y la resta de fraccionesen la resolucin de problemas.1.1.1.1.1. Los nios se organizan en equipos y resuelven elsiguiente problema:Luis y otros dos amigos se repartieron una salchichaen partes iguales. Nora y sus cinco amigas serepartieron tambin una salchicha en partes igua-les. Cunto le toc a Luis? Cunto le toc a Nora?A quin le toc ms, a Luis o a Nora? Cunto msle toc? Cunto comieron entre los dos?Si cada una de las salchichas meda 12 cm delargo, cuntos centmetros de largo tena el pe-dazo de salchicha que se comi Luis? Cuntoscentmetros de salchicha comi Nora? Cuntos cen-tmetros de salchicha comieron entre los dos? Pararesolverlo pueden utilizar una hoja rayada (verficha 9).Cuando la mayora de los alumnos termine deresolver el problema se organiza una discusinacerca de los procedimientos que se utilizaron.Despus se pueden presentar algunos problemasde suma y resta de fracciones:a.a.a.a.a. Una rana dio tres saltos para llegar al charco. Enel primero salt medio metro, en el segundo trescuartos de metro y en el ltimo siete octavos demetro. Cunto salt en total? Cul de los tressaltos es el mayor? Cul es el menor? Cul es ladiferencia entre el salto ms grande y el ms chico?b.b.b.b.b. De un tanque lleno de gasolina se utilizaron dosquintos y luego tres dcimos del combustible.Cunto se utiliz en total? Si el tanque tiene 100litros, cuntos litros quedan? Qu parte del tam-bo ocupan?c.c.c.c.c. En un club un tercio de la superficie del terrenose destinar al gimnasio, un sexto a los salonessociales y la mitad a los deportes al aire libre.Quedar terreno para otras instalaciones?d.d.d.d.d. Dos vagones tanque descargan petrleo. El pri-mero descarga un tercio de su capacidad y elsegundo tres quintos. Se puede saber cul descar-g ms? Qu informacin se requiere para contes-tar a la pregunta? Si los vagones tienen la mismacapacidad, cul descarg ms? Cunto ms? En-trelosdos,descargaronmsomenosdeunvagn?Si se considera que debido a la discusin porequipoyalaqueselleveacabocontodoelgrupola actividad es muy larga, se puededividir en dos sesiones. 56. MaterialUn cuarto de cartulina, una hoja blanca, un alfilero seguro y un comps por pareja.Si giro, cambio dedireccin? Que los alumnos usen la nocin dengulo como cambio de direccin yrepresenten su medida en fraccionesy en grados.El grupo se organiza en parejas; cada una traza enel pedazo de cartulina tres crculos que midan deradio4cm,3cmy2cm,todosconelmismocentro.Ya que estn hechos los dividen en medios, cuartosy octavos y escriben en cada lnea divisoria losnombres de animales, frutas y objetos que apare-cen en la ilustracin.En un pedazo de papel trazan despus un crculoque mida de radio 2 cm, lo recortan, lo dividen encuartos por medio de dobleces, marcan un puntitonegro en el centro y dibujan una flecha siguiendouna lnea de los dobleces.A continuacin colocan el crculo que acaban dehacer sobre los tres primeros y con un alfiler o segurohacen coincidir los crculos en su centro para que elcrculo con la flecha pueda girar sobre los otros.Con el instrumento que construyeron contestanlas siguientes preguntas; un nio de cada parejapuede leerlas y el otro hacer los giros.1.1.1.1.1. Coloquen el crculo de ma-nera que la flecha seale ha-cia el perro. Qu otras cosasest sealando la flecha?Partiendo de esa direccinQucosassealalaflechacuan-do se gira tres octavos de vuelta ala derecha?2.2.2.2.2. Coloquen la flecha apuntando haciala vaca. Qu otras cosas seala la flecha?Hacia dnde apunta la flecha si se gira uncuarto de vuelta hacia la derecha? Hacia dndeapunta la flecha si se gira un cuarto de vuelta haciala izquierda en lugar de girarla hacia la derecha?3.3.3.3.3. Antes de hacer los siguientes giros, apuntancon la flecha en direccin al perro. Den cuatrogiros de un octavo hacia la izquierda. Haciadnde apunta la flecha? Den seis cuartos devuelta hacia la derecha. Hacia dnde apunta laflecha?Se les hace notar que en ambos casos la flechaapunt en direccin al pato; si no fue as, seequivocaron en algo.4.4.4.4.4. Escriban un giro diferente a los anteriores quetambin haga pasar la flecha de la direccin delperro a la direccin del pato.PltanoBarcoVacaUvasTrenElefanteMangoAvinPatoPapayaCocheConejoSandaCaminPjaroCapulinesTricicloLenManzanaBicicletaPerroPeraMotoGato38 57. Cuando se hayan hecho los cuatro ejercicios secomenta con el grupo que al girar se cambia dedireccin y se empiezan a ver otras cosas, todasaquellas que estn en otra lnea recta. Los giroshacen que se cambie de direccin y se produzca unngulo entre la lnea que seala la direccin ante-rior y la que seala la nueva direccin. Por ejemplo,el ngulo formado por el perro y la vaca es el mismoque se forma por la bicicleta y el barco y por lamanzana y el pltano.Finalmente,losalumnostrazanensucuadernoseiscrculos de 2 cm de radio para representar los girosque realizaron y expresar su medida en grados.Cuntos grados tiene un giro de media vuelta, sila vuelta completa mide 360 grados? Cuntosgrados mide un giro de un cuarto de vuelta?Cuntos grados tiene un giro de un octavo devuelta? Y uno de tres octavos de vuelta?Un giro de media vuelta mide 180 grados y sellama ngulo llano.Un giro de un cuarto de vuelta mide 90 gradosy se llama ngulo recto.Los giros que miden menos de 90 grados sellaman ngulos agudos.Los giros que miden ms de 90 grados y menosde 180 grados se llaman ngulos obtusos.Despus de cada actividad se organiza una discu-sin en grupo para analizar las diferentes respuestas.38141448442464+ = 58. 39Eltransportador Que los alumnosconstruyan un transportadory lo utilicen para medir ngulos.Los alumnos construyen el transportador de acuer-do con las siguientes indicaciones:1.1.1.1.1. Tracen un crculo en un pedazo de la hoja depapel con una tapa grande de frasco y recorten elcrculo. Dblenlo a la mitad tres veces para marcarlos octavos de vuelta y el centro del crculo.2.2.2.2.2. Tracen una lnea con regla y color rojo donde losdobleces marcan los cuartos de vuelta y escribanlos grados, como se muestra en el dibujo I.3.3.3.3.3. Tracen el ngulo de 30 grados: marquen primero elpunto medio A en la lnea que indica 90 grados (II).Enseguida, tracen la lnea horizontal AB (III). Tra-cen un ngulo de 60 grados: se marca el puntomedio A en la lnea que marca 0 grados (IV) y setraza la lnea vertical AB (V). Finalmente remarquenlos octavos que faltan (VI).Despus de construir el transportador, el grupo seorganiza en equipos de cuatro o cinco alumnospara resolver los siguientes problemas. Al terminar,los equipos pasan a exponer sus resultados y todossealan si estn de acuerdo o no.1.1.1.1.1.DonLuisquierehacerunarepisademaderaparaponer un florero. Cuntos grados debe medir elngulo que forman la repisa y la pared, para queel florero no se caiga? Qu pasara si don Luiscolocara la repisa con un ngulo de 45 grados enlugar de colocarlo a 90 grados de la pared?2.2.2.2.2. Don Luis fue a la ciudad a visitar a su hijo queestudia en la universidad. Su hijo lo llev al obser-vatorio, un lugar donde hay aparatos especiales,como los telescopios, que sirven para observar losplanetas y las estrellas. Qu observara don Luis si036031527022518013590027018090090090090090604530AAAABBI II IIIVIVIVMaterialPorpareja,unahoja tamaocartadepapelalbaneney una tapa de frasco grande. 59. colocara el telescopio con un ngulo de 10 gradosy no estuviera el rbol? Qu observara si colocarael telescopio con un ngulo de 30 grados? Y si eltelescopio tuviera un ngulo de 50 grados?3.3.3.3.que se llama Los potros. Dos de los integrantesdel equipo practican mucho los tiros a gol desdediferentes distancias y ngulos de tiro. Cul de losdos jugadores patea desde una distancia mayor?Los dos jugadores tienen que patear la pelota conel mismo ngulo de tiro para meter el gol? Qungulo de tiro necesitaran ustedes si estuvieranmuy cerca de la portera y quisieran meter un golpor arriba del portero?4.4.4.4.4. Inventen un problema en el que se tenga quecalcular la medida de algunos ngulos.Ral Carlos3.EnelpueblodedonLuishayunequipodefutbol 60. 40Analizandotablas Que los alumnosanalicen las propiedadesde magnitudes quevaran de maneraproporcional.TABLA 2KILMETROS LITROSRECORRIDOS DE GASOLINA121824 22.53394Se reproducen en el pizarrn las tablas que sepresentan abajo para que los alumnos las copien ensus cuadernos y las completen.Con el objeto de que los alumnos analicen lasrelaciones entre las cantidades de cada tabla, se leshacen algunas preguntas.1.1.1.1.1. Si para recorrer 25 km un auto tarda 14 de hora,cunto tardar para recorrer el doble? Si 50 km es eldoblede25,culeseldoblede 14 ?Sisabemoscuntotarda para recorrer 25 km y 100 km, cmo se puedecalcularloquesetardarenrecorrer125km?(Tabla1)2.2.2.2.2. Qu operaciones realizaste para calcular lacantidad de litros de gasolina que se necesitan pararecorrer 18 kilmetros? (Tabla 2)3.3.3.3.3. Si para 24 kilmetros se utilizaron 2 litros,cuntos se necesitan para recorrer 12 kilmetros?TABLA 1DISTANCIA RECORRIDA TIEMPO EN HORASEN KILMETROS25145034100125 1 141121752Para profundizar en este tema, consulte Proce-sos de cambio, Libro para el maestro. Matemti-cas. Quinto grado. 61. 41organicen en equipos y estimen, es decir, diganaproximadamente cul creen que ser el resultadoentero de la divisin. Los alumnos anotan su esti-macin y se sigue el mismo ejercicio con las demsdivisiones, una a la vez.2 528 entre 500 7 200 entre 80,6 427 entre 900 27 000 entre 906 852 entre 700 48 000 entre 60Despus de que los nios hayan estimado todoslos resultados, se propicia la discusin sobre losdiferentes procedimientos que siguieron.Para saber quin se aproxim ms los alumnosobtienen el resultado entero de las divisiones conlpiz y papel. Gana un punto el equipo que ms sehaya acercado al resultado entero.4.4.4.4.4. Otra actividad para dividir es que los alumnoscalculen mentalmente el resultado exacto y enterode cada divisin, y comenten despus sus procedi-mientos.584 entre 50 110 entre 11574 entre 80 5 400 entre 905.5.5.5.5. Tambin pueden realizarlas siguientes divisio-nes y completar latabla.RealizandodivisionesLos alumnos resuelven los ejercicios y respondenalgunas preguntas. (Se sugiere que las actividadesdeestafichaserealicenalternadamenteendiferen-tes sesiones.)1.1.1.1.1. Calculen mentalmente el resultado de las si-guientes divisiones:5 000 entre 100 3 200 entre 1056 000 entre 1 000 18 300 entre 1002 210 entre 10Qu observan al dividir 2 210 entre 10?Qu sucede al dividir 56 000 entre 1 000?Y cundo dividen 18 300 entre 100?2.2.2.2.2. Sin efectuar la divisin, digan el nmero de cifrasdeloscocientes,considerandoslosuparteentera.98 entre 30 208 entre 1658 entre 8 5 375 entre 2878 064 entre 52 7 548 entre 3612 678 entre 15 45 980 entre 906 785 entre 24Para responder, los alumnos podrn seguir cual-quier procedimiento. Por ejemplo, para saber cun-tas cifras tendr el resultado de dividir 208 entre 16,podrn multiplicar 16 por 10; como el resultado es160 y todava falta para llegar al 208, puedenmultiplicar 16 por 20, lo que da 320. Como esteresultado se pasa de 208, los alumnos conjeturanqueelresultadodedividir208entre16sehallaentre10 y 20. Por lo tanto, el resultado tiene dos cifras.3.3.3.3.3. En el pizarrn se escribe una de las siguientesdivisiones para que los alumnos la lean; despus seborra y se les pide que, sin hacerla en papel, se Que los alumnos desarrollendiversas estrategias paracalcular el cociente enteroentre dos nmeros naturales.3 200 entre10?!!! 62. DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESIDUO18 352 2538 978 4075 890 192 584 163 297 286.6.6.6.6. Una actividad ms consiste en encontrar elnmero que falta realizando divisiones. Por ejem-plo, dividir 13 750 entre 50.50 = 13 75032 = 8 43228 = 33 60084 = 193 284 63. 421.1.1.1.1. Los alumnos dibujan en su cuaderno tres rectasde 10 centmetros y con una regla ubican la lista denmeros que aparece debajo de cada recta.2.2.2.2.2. Completan la recta numrica de la siguienteforma: en las flechas que apuntan hacia arribaescriben el nmero decimal correspondiente y enlas flechas que apuntan hacia abajo la fraccin. Sesugiere que ubiquen primero las fracciones y luegolas transformen en nmeros decimales. Si algunafraccin tiene otra equivalente, se puede proponerque la escriban debajo de esa fraccin.En la tercera recta numrica se debe partir decontar los cuartos que tienen 2 enteros.Representa nmerosen la recta numrica Que los alumnos ubiquen nmeros naturales,fraccionarios y decimales en la recta numrica.0421012,115,2, 14,410, 45, 1310, 85, 19103234,3, 94, 52,114, 72, 154 64. 43Juguemosa los dados Que los alumnos realicendiversos experimentos de azar.Los alumnos se renen en parejas y atienden lasconsignas.a.a.a.a.a. Lancen un dado 40 veces y escriban todos losresultados en una tabla (tabla 1).b.b.b.b.b. Comparen los resultados obtenidos con los desus compaeros y comenten. Por ejemplo: Qunmero sali ms veces? Cul sali menos ve-ces? Se puede decir de antemano qu nmerosaldr?Es necesario hacer notar a los alumnos que lamayora de los resultados son diferentes y que estose debe a que el nmero que sale al tirar un dadodepende totalmente del azar.Una variante del juego puede ser que los alumnoslancen un dado 50 veces, escriban todos los resul-tados obtenidos y observen qu sucede para losnmeros pares e impares.Otros ejercicios que se pueden presentar son lossiguientes:a.a.a.a.a. Registren en una tabla a todos sus compaeros,de acuerdo con sus edades en aos y meses,comenzando por el ms grande (tabla 2).b.b.b.b.b. Completen la tabla de frecuencia de la edad delos nios, considerando aos y meses.c.c.c.c.c. Completen una tabla de frecuencia en la quese considere el mes de nacimiento de cada nio(tabla 3).d.d.d.d.d.Preguntenacadanioelsexodelprimerhijodesuspadresyescribanlosdatosenunatabla(enelpizarrnse dibuja una tabla como la nmero 4). CuandoRebeca tenga un hijo, cul es el sexo ms probable? 65. TABLA 3MESES FRECUENCIAenero - febrero 5 niosmarzo - abril 2 niosmayo - juniojulio - agostoseptiembre - octubrenoviembre - diciembreTABLA 1RESULTADOS FRECUENCIA(NMERO DE VECES)1 52 123 94 85 46 2TABLA 2NOMBRE EDADJuan M. 10 aos y 2 mesesMara S. 9 aos y 11 mesesTABLA 4 EL PRIMOGNITONOMBRE DEL ALUMNO SEXOVARN MUJERRebecaVctorGuadalupeMarthaDavid 66. 44LADO DEL CUADRADOEN CENTMETROS 1.5 3 3.5 5REA 4 16LADO DEL CUADRADOEN CENTMETROS 1.5 2 3.5 4 8PERMETRO 6 12 20Graficandola variacin Que los alumnoselaboren grficas devariacin proporcionaly no proporcionala partir de los datosregistrados en tablas.Se le pide a los alumnos que completen las tablas,que determinen cules corresponden a la varia-cin proporcional, cules a la variacin no propor-cional y que realicen las grficas correspondientes.Para completar las tablas, en los casos del perme-tro y el rea de figuras, los nios pueden realizardibujos.Despus de que los nios representen los datosen grficas, se les propone que establezcan lasdiferencias entre las grficas de variacin propor-cional y no proporcional, y que intenten escribiralgunas conclusiones al respecto.KILOGRAMOS DE HUEVO NMERO APROXIMADO12 816341 122032LITROS ENVASADOS TIEMPO EMPLEADOEN MINUTOS120 20602401545 67. 45Las botellasy los vasosc.c.c.c.c. Despus de que los alumnos encuentren la parteque ocupan los vasos en cada una de las botellas, seles propone que organicen la informacin en tablascomo stas:NMERO DE BOTELLAS NMERO DE VASOSDE 1 LITRO1 423460 Que los alumnos resuelvanuna situacin de proporcionalidadque implica la comparacin decapacidad, uso de fracciones,la multiplicacin y divisincomo operaciones inversas.NMERO DE BOTELLAS NMERO DE VASOSDE 1 12 LITROS1 623460vasos y sobre un poco. En este caso es importanteque los alumnos descubran cuntas botellas sedeben vaciar para que el vaso se llene con lossobrantes; es decir, que se den cuenta de qu partedel vaso ocupa el sobrante.a.a.a.a.a. Los alumnos registrarn libremente las relacionesque van encontrando. Pueden hacerlo por mediode dibujos, de nmeros, oralmente o por escrito.b.b.b.b.b. A continuacin se les pedir que completentablas como la del siguiente ejemplo, en donde 4vasos llenan una botella de un litro.Se organizan equipos de hasta cinco nios y se lespide que, utilizando el material, comparen lascapacidades de las botellas entre s y de las botellascon los vasos y establezcan dicha comparacin pormedio de una fraccin.La intencin es que los nios trabajen libremente,pero si no encuentran tales relaciones se les puedeorientar por medio de preguntas:Cuntos vasos se llenan con la botella A ycuntos con la botella B?Qu parte de la botella A y de la botella Bocupa cada vaso?Qu parte de la botella B ocupa la botella A?Segn las capacidades de los vasos puede suce-der, por ejemplo, que una botella de 1 litro llene 4MaterialPor equipo: una botella de un litro (A), una botellade un litro y medio (B). Seis a ocho vasos desecha-bles de la misma capacidad.NMERODE VASOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9BOTELLA DE1 1/2 LITROS 1NMERODE VASOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9BOTELLADE 1 LITRO 1 68. d.d.d.d.d. Por ltimo, se le pide a los alumnos que dibujendos ejes de coordenadas en los que el eje verticalindique el nmero de botellas y el eje horizontal elnmero de vasos. En el primer eje deben conside-rar el nmero de botellas de un litro de uno en uno,y el nmero de vasos en una escala de cuatro encuatro. En el segundo eje deben considerar elnmero de botellas de 1 12 litros, de uno en uno, yel nmero de vasos se incrementar de seis en seis.A continuacin se le solicita a los alumnos querepresenten en esos ejes los datos recabados en lasltimas tablas. 69. 46Busquemosinformacin Que los alumnosrecolecten informaciny utilicen el kilmetrocuadrado al calcularla densidad de poblacin.Si no se considera el Distrito Federal, cul esla densidad mxima, cul la mnima y a questados corresponden?Realicen una lista con los siete estados ms den-samente poblados y otra con los diez estados conmenor densidad de poblacin.Identifiquen el estado con mayor superficie. Sudensidad de poblacin es alta? Por qu? Lacantidad de kilmetros cuadradosde un estado define unaalta densidad de po-blacin? Por qu?Enseguida deben calcular la densidad de po-blacin de cada estado, dividiendo con calcula-dora la cantidad de poblacin entre los kilmetroscuadrados y agregar estos datos en la tabla anteriorcomo se muestra.Es importante que los alumnos coloquen las fuen-tes debajo de la tabla. Una fuente es, en este caso,el documento del que se obtuvo la informacin.Despus de que completen la tabla con ladensidad de poblacin de cada estado, se lespropone que representen los datos en unagrfica de barras y que resuelvan las