FICHA TIPO PROBLEMAS · Web viewb) Calcular la variación de la altura para cada intervalo que...

Departamento Matemáticas Colegio Ágora

1TEMA 6. Derivadas Nombre __________________________________ CURSO: 1°BACH CCSS

Idea de Derivada. Tasa de variación media e instantánea

1.- La variación de la altura de un niño con el paso de los años, se recoge en la siguiente tabla:

Edad (años) 0 3 6 9 12 15 18 21 ___________________________________________________________

Altura (cm.) 35 53 118 126 135 174 178 180

a) Representar en una gráfica la altura en función de la edad. b) Calcular la variación de la altura para cada intervalo que plantea el problema. (Tasa de variación media). c) ¿En qué intervalo de tiempo se produce un crecimiento más acusado? d) ¿En qué momento es menor la velocidad de crecimiento?

___________________________________________________________________________________



2.- Calcular, aplicando la interpretación geométrica de derivada, la Tasa de variación instantánea de la siguiente función, en los puntos señalados:

___________________________________________________________________________________

3.- Calcular, aplicando la definición de derivada, la Tasa de variación instantánea de las siguientes funciones, en los puntos que se indican:

a) f ( x )=8x−10 en el punto xo=2 b) f ( x )=5x2+2x en el punto xo=0

c) f ( x )=x2+3x−5 en el punto xo=3

Comprueba después tus resultados utilizando la función derivada (calcúlala utilizando las reglas de derivación y después evalúala en el punto del que desees calcular la derivada).



Cálculo de derivadas (1)

1. Calcular la función derivada de las siguientes funciones:

(1) f ( x )=6x3+5x2+23 (2) f ( x )=7x4−5x3+8x2−12

(3) f ( x )=3

5x5+ 7

3x3−13

4x2+3

(4) f ( x )=5x−3+6x−2−17

(5) f ( x )= 3

x3+3x3

(6) f ( x )= 7

x5− 3x4

+ 5x2

−12x+8

(7) f ( x )=(x2+3 x+2 )3 (8) f ( x )=√5 x

(9) f ( x )= 1

(x2−3 x )2 (10) f ( x )=3√3 x+2

___________________________________________________________________________________2. Calcular la función derivada de las siguientes funciones elementales:

(1) f ( x )= ln ( x ) (2) f ( x )=5 ln ( x )

(3) f ( x )=3

5ln ( x )

(4) f ( x )=−7

4ln ( x )

(5) f ( x )= log2 x (6) f ( x )= log5 x3

(7) f ( x )=8x (8) f ( x )=(3

2 )x

(9) f ( x )=3 ·2x (10) f ( x )=5 · π x

(11) f ( x )=ex (12) f ( x )=3e x

(13) f ( x )=√5

2ex

(14) f ( x )=sen( x )

(15) f ( x )=−5 sen( x ) (16) f ( x )=2 sen( x )

7

(17) f ( x )=−cos ( x ) (18) f ( x )=7

6cos( x )



(21)

f ( x )= tg( x )3

(22) f ( x )=−3 ·arccos( x )




1. Calcular la función derivada de las siguientes funciones utilizando las reglas básicas de derivación:

a) f ( x )=x ( x2+5x−8 )

b) f ( x )=(2x2+2)(3x2−5x+1)

c) f ( x )=(8x2−5x )√6x+3

d) f ( x )=x2 Lx

e)f ( x )= x+1

x−1

f)f ( x )= 8

x+2

g)f ( x )= x

2−1x2+1

h)f ( x )= x

3√x

i)f ( x )= (5x+2 )2

(2x−3 )3

j)f ( x )= ( x−3 ) ( x+5 )

2x2−1

k)f ( x )=√5x+8

x2−3

l)f ( x )=√3x5−2x

( x+1 )2

___________________________________________________________________________________2. Calcular la función derivada de las siguientes funciones compuestas:



_____________________________3. Calcular la función derivada segunda y tercera en cada caso:

(1) f ( x )=e2 x

(2) g( x )= 3

x-1 (3) h( x )=ln x(1) f’(x)=2e2x f’’(x)=2e2x f’’’(x) = 8e2x

(2) f ' ( x )= −3( x−1 )2

f ' ' ( x )= 6( x−1 )3

f ' ' ' ( x )= −18(x−1 )4



(3) f ' ( x )=1xf ' ' ( x )=−1

x2 f' ' ' ( x )= 1

x4

Continuidad y derivabilidad

1. Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

a)

x2−1 si x≤02x−3 si x>0 }

b)

x+1 si x≤22x−1 si x>2 }

c)

3 x−1 si x≤2x2+2 si x>2 }

Ver GeoGebra

d)

2− x2 si x≤22x−6 si x>2 }

e)

x2−4x−2

si x≠2

5 si x=2}

___________________________________________________________________________________

2. Dada la función f(x)={ x2−1 si x≤3x2+x−4 si x>3

a) Estudia la continuidad de la función en x=3b) Estudia la derivabilidad de la función en x=3



___________________________________________________________________________________

3. Dada la función f(x)={−x2+2 x−2 si x≤1( x−2)ex−1 si x>1

a) Estudia la continuidad de la función en x=1b) Estudia la derivabilidad de la función en x=1



___________________________________________________________________________________

4. Sea la función f ( x )=¿ {3−ax2 si x≤−1 ¿¿¿¿

a) ¿Para que valores de “a” la función es continua en x=−1 . b) Estudiar, si para los valores en los que la función es continua, es también derivable.



Recta tangente



Monotonía y curvatura. Representación de funciones

1. Estudiar las asíntotas (si las hay), la monotonía (intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos) y la curvatura (intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión) de las siguientes funciones y esbozar su gráfica:

a) y=x3−3 x2+6

b) y=x4−6 x2

c) y=x2−6

d) y=x3+2x2−5

e)y= x2

x2−4

f)y= 1x2−9

g)y= x2−x−2x2−6 x+9

h) y=x3−3 x2+6 x−6

i)y= x3

( x−1)2

j)y= x−1

x+1

k)y= x

2−1x−1

l)y= 1

( x−2)2

m)y=2x+ 1

2 x

n)y= xx2+1

o) y=e1−x2

p) y=x3 ( x+2 )



___________________________________________________________________________________

2. De las siguientes funciones se pide:a) Calcular el dominio y estudiar la simetría.b) Calcular asíntotas, si las hubiera.c) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.d) Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.e) Con la información obtenida en los anteriores apartados, haz un esbozo de la gráfica de la

función.



a)f ( x )=x3−3

2x2−6x−3

b) f ( x )=x3−6x2+9x

c) f ( x )=x4−6x2+9

d)f ( x )= x

2+4x

e)f ( x )= x2

2x−2

f)f ( x )= x

x2−1

g)f ( x )= x

x2−5x+4

h) f ( x )=| x2−3x+2 |

i)f ( x )= x

ex

j) f ( x )=x2 · ex

k)f ( x )= ex

ex−1

l)f ( x )=x-1

ex

m) f ( x )=L( x2−5x+6 )

n) f ( x )=L( x2+1 )

o) f ( x )=ex · (2x2+x−8 )

b)



c)



h)



e)

f)



___________________________________________________________________________________

6.- Se considera la función

f ( x )=¿ { x+2x−1

si x≤2 ¿ ¿¿¿ , se pide:

a) Estudiar si f ( x ) es continua en el punto x=2 .

b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función f ( x ) en el punto de abscisas x=3 .c) Calcular las asíntotas de la función.



Monotonía y curvatura. Representación de funciones (con parámetros)

1. Sea la función f ( x )=2x3+bx2+ax−5 . Hállense los valores de a y b de forma que la

función f ( x ) tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=2 . ___________________________________________________________________________________

2. Hallar los valores de b y c para que la curva de ecuación f ( x )=x2+bx+c tenga un extremo

relativo en el punto de coordenadas (−1,−4 ). ¿Qué tipo de extremo tiene? ___________________________________________________________________________________

3. Calcular los coeficientes a, b, c y d de la función f ( x )=ax3+bx2+cx+d , sabiendo que tiene dos extremos relativos en los puntos (0, 4) y (2, 0).

___________________________________________________________________________________

4. La función f ( x )=x3+mx2+nx+ p pasa por el punto (0, 5), tiene un máximo en x=−1 y

un mínimo en x=3 . Calcular m, n y p.

___________________________________________________________________________________

5. Para cada valor de a, se considera la función f ( x )=3x2−ax

x+2 , se pide:

a) Calcular el valor de a, para que la función f ( x ) tenga un mínimo relativo en x=2 .

b) Hallar las asíntotas de la curva y=f ( x ) para a=3 .

___________________________________________________________________________________

6. Sea la función f ( x )=a+ b

x+c . Calcular el valor de los parámetros a, b y c, sabiendo que:

a) La gráfica de la función f ( x ) presenta una asíntota vertical en x=1 .

b) La gráfica de la función f ( x ) tiene una asíntota horizontal de ecuación y=2 cuando x→−∞ .

c) El punto de coordenadas (6, 3) pertenece a la gráfica de la función f ( x ).

___________________________________________________________________________________

7. Calcular los valores de los números a, b y c, sabiendo que la recta y=2x−3 es una asíntota



oblicua de la función: f ( x )=ax2+bx+c

x+1

Chuleta de derivadas. Reglas básicas




Deriva las siguientes funciones, recordando las reglas básicas de derivación:



Soluciones Cálculo de Derivadas (3)



Soluciones Ficha 3

FICHA TIPO PROBLEMAS · Web viewb) Calcular la variación de la altura para cada intervalo que...

Documents

Transcript of FICHA TIPO PROBLEMAS · Web viewb) Calcular la variación de la altura para cada intervalo que...