7/26/2019 Ficha 5 Sistema Axiomtico

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Sistema axiomtico(LG.)

Sistema deductivo formado por un grupo de enunciados llamados axiomas que,debidamente formalizados y denidos, permiten deducir, mediante reglas deinferencia precisas, el con!unto de enunciados, llamados teoremas, que pertenecenal sistema. "n la antig#edad, elaboraron teor$as axiom%ticas "uclides en geometr$a

y &rqu$medes en f$sica. La mec%nica cl%sica de 'eton est% tambin formuladamediante axiomas. *odernamente, se +a procedido a la axiomatizacin de lasmatem%ticas, sobre todo desde el s. --, cuando, a partir por un lado de laaparicin de diversas geometr$as no eucl$deas /como una consecuencia,precisamente, del estudio de la independencia del postulado de las paralela de"uclides/ y, por el otro, de la crisis de los fundamentos de la matem%tica se intentaun mayor rigor en la teor$a matem%tica. 0or esto, los primeros sistemas axiom%ticosse aplicaron al estudio de las matem%ticas. La matem%tica se concibe desdeentonces como una ciencia deductiva puramente formal y se distingue entre lamatem%tica terica (propiamente, un sistema deductivo axiomatizado) y la

matem%tica aplicada (aquella de la que es posible dar una interpretacin real en elmundo), con lo que su inters no reside tanto en la verdad de su contenidomaterial, como en su aspecto deductivo. "l matem%tico alem%n, 1. 2ilbert, en3undamentos de geometr$a (4566), axiomatiza la geometr$a euclidiana, y 0eano+ace lo mismo con la aritmtica. & 2ilbert se debe, adem%s, el estudio de laspropiedades formales de los sistemas axiom%ticos, o axiom%tica, que establece enla consistencia interna de los axiomas y en su independencia sus caracter$sticasfundamentales. Los axiomas de una teor$a son consistentes, o no/ contradictorios, sipermiten deducir la verdad de un enunciado, pero no su negacin. Los axiomas son,adem%s, independientes, si ninguno de ellos es deducible del resto de axiomascomo un teorema. "n ning7n caso se exige que los axiomas sean evidentes. La

primera cualidad es absolutamente necesaria para la co+erencia lgica de unsistema axiom%tico8 la segunda, aunque deseable, en caso de no poseerse signicaslo redundancia de axiomas. Los axiomas, en una teor$a axiomatizada, no son m%sque s$mbolos8 carecen de todo contenido y en s$ no son ni verdaderos ni falsos8 sonslo esquemas de enunciados. 0ueden, no obstante, recibir una interpretacin,rerindolos a un universo de ob!etos, y entonces pasan a ser enunciadosverdaderos o falsos. Si una interpretacin +ace verdadero para cualquier caso alcon!unto de axiomas, tal interpretacin es un modelo de la teor$a. "l espaciollamado eucl$deo, por e!emplo, el de nuestra experiencia sensorial, es unainterpretacin que +ace verdadera y consistente la geometr$a eucl$dea. 9sta +abla

slo de s$mbolos, puntos, rectas, %ngulos, etc., pero aplicados al espacio denen suestructura. "l con!unto de enunciados del sistema espacial es un modelo de lateor$a axiom%tica de "uclides (ver texto ). 3rege, :ussell y ;+ite+ead son losconstructores de los primeros sistemas axiom%ticos de lgica (ver e!emplo). "stosdos 7ltimos exponen, en 0rincipia *at+ematica, una axiomatizacin del c%lculo delgica de enunciados.

7/26/2019 Ficha 5 Sistema Axiomtico

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para construir deniciones)2. >rminos denidos 3. &xiomas o postulados delsistema4. :eglas de inferencia (para la deduccin)5. >eoremas del sistema.

1iccionario de losof$a en ?1/:@*. ?opyrig+t A 466B. "mpresa "ditorial 2erderS.&., Carcelona. >odos los derec+os reservados. SC' 5D/EFD/4664/. &utores= Hordi?orts *orat y &ntoni *art$nez :iu.