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INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
UNIVERSIDAD VIRTUAL
EL DESARROLLO DEL APRENDIZAJE
SIGNIFICATIVO EN EL ESTUDIANTE DEL CURSO
DE GEOMETRIA ANALITICA DE PREPARATORIA
MEDIANTE PRACTICAS COLABORATIVAS
E s I s PRESENTADA COMO REQUISITO PAHCIAL
PARA OPTAR
MAESTRO EN
ESPECIALIDAD
AL TITULO DE
EDUCACION CON
EN MATEMATICAS
Autor:
MAT. VICTOR MANUEL MARTINEZ GALLARDO
ASESORA ORA. MONICA PORílES HERNANDEZ
MONTERREY, N. L. OCTUBRE DE 1998.
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
UNIVERSIDAD VIRTUAL
CAMPUS ESTADO DE MEXICO
ACTA DE EXAMEN Y A UTORIZACION DE LA EXPEDICION
DE GRADO ACADEMICO
1) 1) 9
Los suscritos, miembros del jurado calificador del examen de grado sustentado hoy
por VICTOR MANüEL MARTINEZ GALLARDO en opción al grado académico de
MAF.STRO EN EDUCACION, ESPECIALIDAD EN MATEMATICAS
hacemos constar que el sustentante resultó ..7/_JJ-"'-é-c. ,.l~- ..¡u,-1 ,.j..vYl.,a.-,v~:j,·'- ' d.< , e.U ·
>i 1~,, (úd ~PQ-u") '}!- · / 1
DRA. MONICA PORRES HERNANDEZ
MTRA • . MTRO. F G, SEVILL.~ flI AZ
Hago constar que el sustentante, de acuerdo con documentos contenidos en su
expediente, ha cumplido con los requisitos de graduación, establecidos en el
Reglamento Académico de los programas de graduados de le. Universidad Virtual. _,.....,
/'\ .,.\ ! ) ; '· --) 1 \ t.
(""" l ; '; ,·· . ; / )
llC-~AN!~Éi~~~~~~-~~:;;"-/· Dfrector fe· Servfc'íos ·EscoTe.res
1 t
1 Expídase el grado académí6o mencionado, con fecha 14 dn rlici1"!11hrc~ d(~ 1998,
-~~a~~ INC:. FMILIO ALVARAOO BADILLO
Director General del Campus
Atizapán de Zaragoza., Edo. de México, a 30 di-' nct.11bce de 1998.
RECONOCIMIENTOS
A la Lic. Malena López Hinojosa, quien de forma muy particular siempre
me apoyó durante mis estudios de Maestría y me brindó palabras de aliento
para concluir este proyecto. Male, gracias por tu preocupación permanente.
Al Dr. Emilio Alvarado Badillo, Director General del Campus Estado de
México, por brindarme su apoyo para realizar mis estudios de Maestría en
Educación en esta grandiosa Institución y por darme la oportunidad de crecer
académica y profesionalmente. Gracias Emilio por permitirme ser tu amigo.
Al lng. Francisco Sevilla, mi amigo inseparable de batallas, por su grata
compañía durante toda la Maestría, por sus palabras de aliento y de apoyo
para la culminación de este trabajo.
Quiero hacer patente mi agradecimiento de manera muy especial a mi
asesora de tesis la Dra. Mónica Porras Hemández, por su incansable y valiosa
colaboración, por todas sus enseñanzas que me han fortalecido y me han
ayudado a valorar aún más mi quehacer docente, por su gran paciencia y
apoyo para la realización de este trabajo. Gracias Mónica, eres muy linda.
Al Sistema Tec de Monterrey, por abrirme sus claustros del saber para
realizar un sueño que ahora es una realidad.
¡¡
DEDICATORIA
¡¡¡
A mi querida esposa Irene por su
comprensión y enorme vitalidad que
siempre la han caracterizado y
por brindarme su total apoyo
en todos mis proyectos.
A mi "kinder'' más preciado
que tanto quiero: mis hijos
Liliana Elaine, Víctor Daniel,
Fernando y Alejandro.
Espero comprendan todo
el tiempo que estuve
alejado de ustedes.
RESUMEN
El presente trabajo propone la implementación de prácticas colaborativas
para la solución de problemas del curso de Geometría Analítica, de tal manera
que el alumno logre aprender dicha disciplina significativamente.
Una de las causas principales que genera la propuesta en este estudio es
la de poder coadyuvar a mejorar los procesos de aprendizaje de los alumnos en
el área matemática, a través de problemas reales que los motiven a buscar la
solución y que a la vez les permita transferir esos conocimientos a situaciones
diferentes.
Otra causa es la que se genera a raíz de la Misión del Sistema hacia el
2005, donde se promueve de una manera muy importante, a través de todas
sus actividades que los estudiantes adquieran actitudes y valores y que
desarrollen habilidades durante el proceso de enseñanza-aprendizaje.
El estudio inicia con una visión global de los cambios que han empezado
a surgir a nivel mundial en el ámbito educativo donde las instituciones
educativas sufren cambios en sus contenidos programáticos, orientando sus
esfuerzos hacia una educación más integradora donde además de adquirir
conocimientos, destrezas y habilidades, se refuercen las actitudes y se
practiquen los valores.
Posteriormente se hace referencia al Diseño lnstruccional del curso de
Geometría Analítica en el que se establece la estrategia general con base en el
"Diseño lnstruccional de un curso" de la Dra. Mónica Parres H., donde es de
particular interés el mapa instruccional de las fases a nivel macro y a nivel
micro.
IV
Se analizan aspectos relacionados con la Enseñanza y la Didáctica de las
Matemáticas, los diferentes tipos de aprendizaje: significativo, por
descubrimiento, colaborativo; así como la teoría del Constructivismo y el
aprendizaje basado en la resolución de problemas.
Se presentan tres prácticas colaborativas (una en el Capítulo 3 y dos en el
Anexo C), donde se incluyen aspectos relacionados con la resolución de
problemas y la metodología propuesta por Salvador Moreno que propone seis
aspectos: confrontación con un problema real, análisis y reflexión sobre la
confrontación y el abordaje del problema, elaboración de un plan de trabajo y
aprendizaje por parte del grupo, realización del plan de trabajo, reunión del
grupo para una nueva confrontación con el problema real y reflexión del grupo
sobre la última actividad.
Finalmente, el autor hace una serie de recomendaciones para incidir en la
mejora del quehacer académico en el área de Matemáticas, en aras de una
participación activa y colaborativa por parte de los alumnos con la intención de
que resuelva problemas reales que lo motiven.
V
INDICE GENERAL Páginas
PRESENTACIÓN ........................................................................ . RECONOCIMIENTOS .......................... .. . ...... .... ... ... .. ..... ... ii
DEDICATORIA.................................................................. iii
RESUMEN......................................................................... iv
INDICE GENERAL . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
INDICE DE FIGURAS .............. ........ ............ ................. .... ix
INTRODUCCIÓN . . . .. .. . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CAPÍTULO 1
1. DIAGNÓSTICO .. . . ..... . . . .... . . . . ..... . . . ..... . . .. . .. . . . . . ... . . . . . . . ... . . . ... . . . ... . . . . . a 1.1 DIAGNÓSTICO PUNTUAL ................................................. 8 1.2 IDENTIFICACIÓN DE NECESIDADES.............................. 13 1.3 SELECCIÓN DE UNA NECESIDAD .......... .... .. .... .. ... .... ... .. 14 1.4 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ........ .... .. .. .... .. ... .. ....... ..... .. 14
1.4.1 Enunciado del problema ... .. ..... .. .... . .. .. ... .. .. . .. .. .. .. . 15 1 .4.2 Delimitación del problema .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. 15 1.4.3 Justificación ............. ... ...... . ........ ..... ........... ..... .... . . 16
1.5 OBJETIVOS Y METAS DEL PROYECTO . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. 17 1.6 ESTRATEGIA GENERAL................................................. 18 1.7 LIMITACIONES DEL TRABAJO........................................ 19
CAPITULO 2
2. MARCO TEÓRICO V CONCEPTUAL ................................. 21
2.1 LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS........................ 21 2.2 LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS.......................... 24 2.3 EL APRENDIZAJE ..... .. .. .... . ..... .. .. .... .. .. . .. .. .. .... .... . .. .. .. .. .... .. . 28
2.3.1 Los Tipos de Aprendizaje .... .. .... .. ... .. .... .. .. .. .......... 28 2.3.1.1 El Aprendizaje Significativo...................... 30 2.3.1.2 El Aprendizaje por Descubrimiento . .... ... .. . 35 2.3.1.3 El Aprendizaje Colaborativo . .. .. .. .... ...... .... 39 2.3.1.4 El Constructivismo .. .... .. ... ...... .... ... .. .. . .. ... .. 42 2.3.1.5 El Aprendizaje Basado en la
Resolución de Problemas......................... 47
VI
CAPÍTULO3
3. DISEÑO DE LA SOLUCIÓN . .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. 51
3.1 ENFOQUE TRADICIONAL Y CONSTRUCTIVISTA ...... .. .. .. 51 3.2 DESCRIPCIÓN DE LA SOLUCIÓN .. .. .. .... .... .. . .. .. .. .. .... .. . .. .. .. 52
3.2.1 El diseño instruccional .... .. .. .. .. .... .... ......... ............... 52 3.2.2 Metodología de resolución de problemas............... 56 3.2.3 Formato de las prácticas .. . .. .. . .. ..... .. .. .. .. .. .. . ..... ... .. .. 58
3.3 DESARROLLO DE LA SOLUCIÓN .. . .. . .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .. 59 3.3.1 Diseño instruccional de Geometría Analítica.
Fase macro ............................................................. 60 3.3.2 Diseño instruccional de Geometría Analítica.
Fase micro .............................................................. 61 3.3.3 Práctica de la circunferencia para desarrollar
en el estudiante el aprendizaje significativo por medio de la resolución de problemas............... 99
3.3.4 Propuesta del curso de Geometría Analítica en la plataforma Lotus Notes - Learning Space .. .. . 106
3.4 RESULTADOS..................................................................... 113
CAPÍTULO 4
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................... 116 4.1 CONCLUSIONES ...... ..... .. .. .. ..... ............. ... .... .. ... ... .. . .. .. .. .. . 116
4.1 .1 Las teorías cognitivas .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. 116 4.1 .2 Contenido de la materia .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. 117 4.1 .3 Diseño instruccional .. .. .. . .. . . .. . .. . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . . . 118 4.1.4 Metodología en la resolución de problemas .. . .. .. . 119
4.2 RECOMENDACIONES ... .... .. . .. .. .... ... .. . ... .. .. .... .. ... .......... ... .. 119
ANEXOS
Anexo A Programa oficial de Geometría Analítica.................... 124 Anexo B Examen diagnóstico.................................................... 129 Anexo C Prácticas colaborativas ............................................... 131 Anexo D Ejercicios de circunferencia, elipse y parábola .. .. .. .. .. 142 Anexo E Autoevaluación .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. 149 Anexo F Coevaluación .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . . .. . .. . . . .. .. .. .. .. .. . 150 Anexo G Evaluación para la exposición de un integrante
del equipo de trabajo .. .. .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. 152 Anexo H Instrucciones para el uso del programa
computacional Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
VII
BIBLIOGRAFÍA .... . . . . ...... ................. ........... ... .. . . . . . . . . . . . .... . . . .... . . . .. . . . . . 160
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA ....................................... 163
VITAE ................................................................................................... 164
Vlll
INDICE DE FIGURAS
Figura Página
1. Requisitos para cursar la materia de
Geometría Analítica ... .. . . . .. .... . . . .. . ... . . . . .. .. . . . ... ... . . . .. . . . . . .. . . . 9
2. Estadísticas del curso de Geometría Analítica.
Período Enero 1997 - Mayo 1998 ................................... 11
3. Esquema básico del Aprendizaje Significativo .. .. .. .. .. . .. .. 34
4. Aprendizaje significativo basado en la resolución
de problemas..................... ............................................ 58
Tablas
1. Estadísticas del curso de Geometría Analítica.
Período Enero 1997 - Mayo 1998 ......... .............. .... . . .... .. 1 O
2. Estadísticas de dos cursos de Geometría Analítica ........ 113
IX
INTRODUCCIÓN
La educación es un factor importante y fundamental para conseguir el
desarrollo social y económico de los pueblos. La educación se presenta como
una alternativa viable para los retos de una sociedad que demanda
profesionistas bien preparados en los ámbitos social, cultural, educativo,
político, laboral, ya que como menciona Ferrández (1988):
"La educación durante toda la vida se presenta como una de las llaves de acceso al siglo XXI. Esta n·oción va más allá de la distinción tradicional entre educación básica y educación permanente, y responde al reto de un mundo que cambia rápidamente". Y continúa diciendo: " ... la educación tiene que adaptarse en todo momento a los cambios de la sociedad, sin por ello dejar de transmitir el saber adquirido, los principios y los frutos de la experiencia".
La educación gira principalmente en torno a preparar al estudiante para
enfrentarlo a situaciones reales en una sociedad que demanda acciones
concretas, para lo cual se requiere una preparación que le permita tener una
"buena actuación" ante esa problemática. Esa preparación implica cambios en
la estructura organizacional y procedimental de las instituciones educativas,
cambios en la forma de enseñar y en los contenidos programáticos, cambios en
las estrategias y técnicas de enseñanza, así como cambios en los medios
instruccionales y los apoyos tecnológicos; y es por ello que se han empezado a
gestar cambios en diferentes partes del mundo.
En esta parte se vislumbran algunas inquietudes relacionadas con los
cambios de actitud que los estudiantes y profesores deben mostrar en el
proceso de enseñanza-aprendizaje y que se han empezado a promover en
algunas partes del mundo. En México, particularmente en el Campus Estado de
México del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey se han
realizado conferencias y reuniones de trabajo que apuntan hacia una incidencia
de modificación de roles del profesor y del estudiante.
En los Estados Unidos de Norteamérica en el documento de Programas
Educacionales - 1995, dentro de las Metas Nacionales para Educación, en la
META 3: LOGRO DEL ESTUDIANTE Y CIUDADANIA, se menciona que para el
año 2000, todos los estudiantes saldrán de los grados 4, 8, 12 habiendo
demostrado competencia en materias de temas difíciles incluyendo Inglés,
Matemáticas, Ciencia, Lenguas Extranjeras, estudio del Gobierno Civil,
Economía, Arte, Historia y Geografía, y cada escuela en América asegurará
que todos los estudiantes aprenderán a usar bien sus mentes, tal que puedan
estar preparados para ser ciudadanos responsables, para fomentar el
aprendizaje y el empleo productivo en la economía moderna de su país.
Además, dentro de los objetivos de esta Meta, el porcentaje de todos los
estudiantes que manifiesten habilidad para razonar, para resolver problemas,
aplicar el conocimiento y comunicar y escribir efectivamente se incrementará
substancialmente. También, se menciona que todos los estudiantes serán
involucrados en actividades que promuevan el ser buenos ciudadanos, la
buena salud, los servicios a la comunidad y la responsabilidad personal. Se
incrementará substancialmente la proporción de graduados que manifiesten
una habilidad de pensamiento crítico, comunicación efectiva y solución de
problemas.
Con la Meta Nacional para Educación que se vislumbra en los Estados
Unidos de Norteamérica, se ha empezado a dar un cambio en la educación en
donde se manifiesta el interés por proporcionar una educación mejor para
enfrentar los retos del siglo XXI.
2
En el mismo sentido, en América Latina se empieza a trabajar en un
cambio en la Educación ya que el Secretario Ejecutivo de la Comisión
Económica para América Latina y el Caribe (CEPAL) Gert Rosenthal, en
"Algunas dimensiones de la educación para la democracia en el pensamiento
de la CEPAL" hace algunas reflexiones sobre la educación: pasa a ser un factor
fundamental para el desarrollo de las aptitudes y destrezas, y de la capacidad
de innovación y la creatividad, que son indispensables para lograr altos niveles
de competitividad, dado que el conocimiento se convierte en el elemento
central del nuevo paradigma productivo; desempeña un papel igualmente
relevante en materia de integración social, solidaridad y movilidad social.
Continúa diciendo que la orientación deberá reflejarse en toda la actividad
educativa, pero deberá también tener una concreción en el ámbito de los
programas, donde se planteen específicamente las cuestiones éticas, jurídico
constitucionales y económicas, que se relacionan con el funcionamiento de la
sociedad, el respeto de los derechos humanos y la diversidad cultural, el
funcionamiento de las instituciones, la tolerancia, y la vocación por la resolución
civilizada y pacífica de los conflictos. Esto conduciría a una nueva prioridad
política: una educación de calidad para todos, destinada a extender la igualdad
de oportunidades, a incrementar el gasto en educación y hacerlo más eficaz, al
fortalecimiento de la profesión docente, y a la adopción de nuevos métodos de
gestión en que se emplee como indicadores el rendimiento escolar y su
capacidad de generar movilidad social.
Asimismo, las nuevas aptitudes definidas como códigos de modernidad
suponen un cambio de actitud de todos los sujetos del proceso de transmisión
de conocimientos, cambios consistentes con el espíritu de una persona que va
elaborando su propio destino. No se trata sólo de adquirir conocimientos, sino
también de convertir el aprendizaje en un proceso interactivo con un gran
protagonismo del educando, mucho más centrado en la producción de nuevas
síntesis cognoscitivas en el estudiante que en la adquisición de información
3
acabada. La misma redefinición del aprendizaje supone un cambio cultural: de
la memorización a la comprensión; de la incorporación de información a la
discriminación de mensajes; de la adquisición enciclopédica a la adquisición
selectiva, y del aprender al aprender a aprender.
De manera similar, en la VI Conferencia Iberoamericana de Educación
celebrada en Concepción, Chile los días 24 y 25 de septiembre de 1996, se
reunieron los Ministros de Educación de los países Iberoamericanos y
exhortaron al sector educativo para que promovieran acciones destinadas a la
integración de valores democráticos y consideraron que la Educación debe
contribuir como agente de socialización de valores y que los profesores no sólo
transmitan sino que practiquen junto con los alumnos, los valores democráticos.
En México, también se han empezado a gestar movimientos tendientes a
una mejora en la educación que asegure el buen desempeño de los
estudiantes en la sociedad, ya que en el Foro de Consulta Popular sobre
Educac!ón Media Superior y Superior para la integración del Plan Nacional de
Desarrollo 1995-2000, el Maestro José Doger Corte en su ensayo "Vinculación
Universitaria con las necesidades de los sectores social y productivo",
menciona que los cambios que se promuevan en la educación son que las
universidades deben tener expresamente clarificada su misión, sustentadas en
su concepción sobre el saber, el hacer y el ser, una misión comprometida con
la sociedad y su bienestar, en donde la calidad es su mejor atributo. Una misión
comprometida con la formación de profesionistas que la sociedad necesita, ser
agente de cambio de la sociedad, e incidir más en la formación del individuo en
una perspectiva humanística.
Por otro lado, Javier Olmedo Badía en su ensayo sobre "Situación actual
y perspectivas del Bachillerato General", habla de que la formación que se
ofrece al estudiante en términos de su desarrollo como persona y de su
preparación para insertarse productiva y positivamente a la sociedad requiere
4
de especificar claramente qué conocimientos debe tener el estudiante, así
como qué habilidades y destrezas debe desarrollar, qué valores y actitudes
debe asumir y qué debe saber hacer al término de sus estudios.
Mientras que Jesús Urzúa Macías en "Educación media superior y
superior en sus distintas modalidades", enfatiza que el nuevo paradigma
educativo debe estar enfocado en el desarrollo de habilidades del pensamiento
a través de la asesoría integral a la enseñanza, que propicie un ambiente de
aprendizaje donde los estudiantes construyan conocimientos por sí mismos,
aprendan a solucionar problemas cooperativamente y adquieran
habilidades en el contexto de problemas reales; y que tenga como resultado
el que todos los estudiantes aprendan a pensar.
En este contexto el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey no es la excepción. Después de revisar su misión y de realizar un
amplio proceso de consulta en el cual participaron miembros del consejo de
Enseñanza e Investigación Superior, A. C., miembros de los consejos de las
asociaciones civiles patrocinadoras del Tecnológico de Monterrey en cada una
de las ciudades en que se encuentran los Campus del Instituto, rectores,
vicerrectores, directivos, empleadores de ex-alumnos, profesores, ex-alumnos y
alumnos del Sistema Tecnológico de Monterrey; estableció su misión que a
continuación se presenta.
La Misión del Sistema Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey hacia el 2005, formulada el 6 de septiembre de 1996, menciona que
es un sistema universitario que tiene como misión "formar personas
comprometidas con el desarrollo de su comunidad para mejorarla en lo social,
en lo económico y en lo político, y que sean competitivas internacionalmente en
su área de conocimiento".
5
Para cumplir la misión el ITESM ha definido - entre otros - lo siguiente:
• El perfil de los alumnos
Sus valores y actitudes
Sus habilidades
• El perfil de los profesores
• Las características del proceso de enseñanza-aprendizaje
En particular se cita el proceso de enseñanza-aprendizaje que se centra
primordialmente en el aprendizaje del alumno y requiere de él un papel
preponderantemente activo. Las actividades de aprendizaje deberán apoyarse
en tecnología apropiada de vanguardia.
Los argumentos expuestos anteriormente promueven una tendencia
hacia la generación de cambios en la forma de enseñar por parte de los
profesores y de actuar por parte de los estudiantes. Por consiguiente, es
menester procurar hacer los cambios pertinentes en la educación, con la
intención de adquirir una competencia que permita hacer frente a situaciones
reales y que las modificaciones que deben realizarse tanto a nivel nacional
como a nivel local en las instituciones educativas vayan encaminadas hacia una
mejor perspectiva del futuro, si es que se quiere hacer frente con éxito a los
retos que depara el siglo venidero a los estudiantes que pronto tomarán
participación activa en ello.
Los cambios propuestos durante esta perspectiva realizada en los
párrafos anteriores a nivel mundial, del país, del estado y de la institución
educativa donde labora el autor de esta investigación {ITESM Campus Estado
de México), hace factible que la investigación que se desarrolla en este trabajo
esté orientado a vislumbrar algunos de ellos bajo una propuesta de prototipo de
diseño instruccional para la materia de Geometría Analítica que se imparte en
el cuarto semestre de la División Preparatoria, en donde se brinden los
6
elementos necesarios para llevar a efecto los cambios de roles de los
profesores y de los alumnos en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
La importancia de este trabajo de investigación estriba en la manera en
que se lleven a efecto y se realicen esos cambios ya que redundará en
beneficios para el país y para los mismos estudiantes, para ello es necesario
modificar las actividades propias llevadas a cabo durante el proceso
enseñanza-aprendizaje, las metodologías, los medios de instrucción, etcétera.
Esos cambios se promueven a través del diseño instruccional del curso y
permiten a ambos actores (profesor y alumno) una participación más activa,
más colaborativa, donde se conjugan elementos importantes para la
consecución de los objetivos.
Para lograr lo anterior es menester hacer un diagnóstico de lo que está
ocurriendo en las instituciones y elaborar un listado de necesidades de tal
manera que permita detectar con mayor precisión la problemática que se
pretende atacar y eso es lo que se realiza en el siguiente apartado.
7
CAPÍTULO 1
1. DIAGNÓSTICO
En este capítulo se presenta el análisis de la situación del curso de
Geometría Analítica, se identifican algunas necesidades respecto al curso, al
profesor y a los alumnos, se define la problemática del proyecto así como sus
objetivos y metas, se plantea la estrategia general y las limitaciones que origina
el presente trabajo.
1.1 DIAGNÓSTICO PUNTUAL
Las variables que son determinantes para el curso de Geometría Analítica
son las siguientes:
a) Perfil de los alumnos:
El curso de Geometría Analítica está dirigido a los estudiantes que cursan
el cuarto semestre de Preparatoria de la División Preparatoria del Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.
Son jóvenes cuyas edades fluctúan entre 16 y 18 años, se encuentran en
un cambio de etapa de maduración y sus intereses aún no están muy
claramente definidos, pero son susceptibles de aceptar los retos que se les
presenten. La mayoría de ellos provienen de familias cuyo estatus económico
se considera clase media alta y alta, cuya principal actividad es dedicarse al
estudio salvo algunos de ellos que trabajan en el negocio de la familia.
8
b) Ventaja para el alumno que cursa esta materia:
La principal ventaja es que el estudiante a lo largo del curso podrá
manipular conceptos que en su mayoría son susceptibles de encontrarse en el
mundo real, esto es, tienen aplicaciones concretas a la realidad. Además, se
tiene la posibilidad de manejar los conceptos propios de la Geometría Analítica
bajo tres diferentes ámbitos de representaciones: algebraico, tabular y gráfico.
c) Requisitos necesarios para cursar la materia:
Se requiere haber aprobado los tres primeros cursos de Matemáticas que
incluyen temas de Álgebra, Teoría de Funciones (lineales, cuadráticas,
polinomiales, exponenciales y logarítmicas) y Geometría y Trigonometría. En
general, los requisitos mínimos que los estudiantes deben saber es factorizar,
completar y desarrollar trinomios cuadrados perfectos, localizar puntos en el
plano cartesiano, usar la calculadora y tener conocimientos elementales sobre
el uso y manejo de una computadora.
Fig. 1 Requisitos para cursar la materia de Geometría
Analítica
Geometria y Trigonometría
Mecánica
Calor y electromagnetismo
d) Materias con las que se relaciona este curso dentro de la currícula:
Se relaciona principalmente con materias del área de las ciencias físicas,
tales como Mecánica y Calor y Electromagnetismo.
9
e) Estadf sticas generales:
La materia de Geometría Analítica se empezó a ofrecer a partir del
semestre que inicia en enero de 1997 bajo la modalidad del nuevo plan ·95 que
incluye el nuevo tema de coordenadas polares, que no aparecía en el programa
del plan '90, ya que el ITESM actuallza sus planes de estudio cada cinco años.
En los cursos de Geometría Analítica que se han Impartido en el Campus
Estado de México los resultados obtenidos han sido satisfactorios desde que
inicia el plan '95 a la fecha, se ha observado un nivel de aprovechamiento que
mejora substancialmente tanto el porcentaje de aprobados como el promedio
con respecto a lo que ocurrió en el plan de estudios '90.
Ese incremento se debe principalmente al hecho de hacer énfasis en la
academia de profesores que imparten la materia, la necesidad de hacer que los
estudiantes descubran ciertos elementos de las cónicas, por ejemplo, las
coordenadas del vértice, del foco, de los extremos del lado recto, etcétera; sin
proporcionarles exclusivamente fórmulas.
A continuación se muestran en la siguiente tabla algunos datos de los
últimos cursos impartidos de Geometría Analítica.
Tabla 1. Estadísticas del curso de Geometría Analítica
Período Enero 1997- Mayo 1998
Fuente: Departamento de Matemáticas, Campus Estado de México
Semestre % Aprobados Num. Promedio alumnos
9701 (Plan 90) 70.51 156 7.38 9701 (Plan 95) 88.63 519 8.41 9708 (Plan 95) 88.73 275 8.14 9801 (Plan 95) 85.63 327 7.86
10
Figura 2. Estadísticas del curso de Geometría Analítica
Período Enero 1997- Mayo 1998
Fuente: Departamento de Matemáticas, Campus Estado de México
90
80
70
i 60 u 50 l5 ~ 40
= ~ 30
20
10
o Semestre
9701(70.51%) Plan 90
Semestre 9701 (88.63%)
Plan 95
Semestre 9708(88.73%)
Semestres
Semestre 9801 (85.63%)
El promedio del porcentaje de alumnos aprobados de Geometría Analítica
en los tres últimos semestres es:
p = .8337 aprobados.
Hipótesis nula Ho : p= 0.8, Hipótesis alternativa H1 : p> 0.8, porque
el modelo ideal establece que deber ser un 80% de aprobados con 80 de
calificación. Zo.05 = 1.645 Zo.01 = 2.33 n = 1277 x = 1065
Zc =
X --po n = 0.8337 - 0.8 = 3 _01 O
PoCI - Po) 0.8(0.2)
n 1277
11
Como Zo.01 < Zc , esto cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por
lo que la prueba es altamente significativa. Se acepta la alternativa, el
porcentaje de aprobados es mayor al 80 %.
Los datos mostrados en la figura anterior denotan un porcentaje aceptado
de alumnos que aprueban el curso de Geometría Analítica (>85 %), durante los
últlmos tres semestres, período donde se empieza a dar énfasis al
descubrimiento del conocimiento y al aprendizaje significativo.
f) Impacto de esta materia en los ámbitos profesional, social y personal del
alumno:
La materia impacta al alumno en el ámbito profesional por tener una
aplicación concreta a situaciones reales y permite manejar a la vez diferentes
representaciones de un mismo concepto, haciendo uso de la computadora
como auxiliar. En el ámbito social brinda la oportunidad de mantener contacto
estrecho con otros estudiantes para intercambiar puntos de vista, trabajar
conjuntamente hacia metas comunes e interrelacionarse con ellos. En el ámbito
personal la materia le permitirá al alumno comprender lo valioso que es la
Geometría Analítica para el desarrollo tecnológico.
g) Opinión de los profesores del Departamento de Matemáticas:
Los profesores consideran al curso de Geometría Analítica como una de las
pocas materias que brindan la oportunidad de contar con aplicaciones
concretas a la vida real e interesante en el sentido de brindar al estudiante
ejemplos y ejercicios, los cuales realmente les sean atractivos ya que posibilita
la alternativa de poder manipular modelos que pueden ser construidos y
abordados tanto algebraica como gráficamente.
Como se observa, a partir del nuevo plan de estudios, el proceso de
modernización educativa que se realiza en el ITESM expuesta en la Misión
hacia el 2005 la cual fue descrita anteriormente, conlleva principalmente
12
cambios en los métodos de enseñanza-aprendizaje, ya que ahora se pretende
lograr el aprendizaje colaborativo, participativo o autodirigido, en donde el que
aprende desempeña un papel activo al intervenir directa y positivamente en la
planeación, realización y evaluación de dicho proceso.
Para lograr lo que la Misión del Sistema ITESM hacia el 2005 propone, en
el curso de Geometría Analítica, se requiere hacer una planeación y diseñar las
actividades de enseñanza y aprendizaje necesarias para el logro de los
objetivos de aprendizaje; así como un sistema de evaluación, lo que implica
desarrollar el Diseño lnstruccional del curso.
1.2. IDENTIFICACIÓN DE NECESIDADES
Las necesidades actuales que el autor identifica se presentan a continuación.
l. Respecto al curso: A. Que el programa analítico de Geometría Analítica incluya objetivos de
aprendizaje bien definidos. Los objetivos deben ser redactados en
términos de situaciones que sean medibles.
B. Contar con un Diseño lnstruccional de Geometría Analítica que facilite
las nuevas experiencias educativas proponiendo métodos eficientes
para alcanzar los objetivos educativos.
C. Que la computadora y la tecnología de vanguardia sean incluidos
como medios que faciliten el aprendizaje en el curso de Geometría
Analítica. El uso de la computadora permite visualizar de manera
rápida y precisa diferentes curvas. La calculadora, el correo
electrónico e internet son elementos importantes que deben apoyar la
instrucción.
11. Respecto al profesor:
D. Modificar el papel tradicional del profesor por el de facilitador y
moderador.
13
111. Respecto a los alumnos:
E. Que participen más activamente en su proceso de aprendizaje.
F. Que sepan distinguir los principales elementos que conforman un
problema matemático y apliquen los conocimientos y técnicas
adquiridas en la resolución del mismo.
G. Que participen colaborativamente en equipos de trabajo y se
comprometan con su aprendizaje.
H. Que aprendan por sí mismos y se autoevalúen de manera
responsable y honesta.
l. Que logren aprender la Geometría Analítica de manera significativa a
través de prácticas vivenciales.
1.3 SELECCIÓN DE UNA NECESIDAD
De las necesidades anteriores, surge como prioridad en este proyecto de
trabajo contar con el Diseño lnstruccional del curso de Geometría Analítica que
facilite las nuevas experiencias educativas promoviendo que el alumno tenga
una participación más activa en su proceso de aprendizaje y desarrollando un
aprendizaje significativo de la materia a través de prácticas colaborativas y del
autoaprendizaje, donde muestre o aplique los conocimientos adquiridos en la
resolución de problemas.
1.4 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
En este estudio se presentan los siguientes cuestionamientos:
¿Qué hacer para que el estudiante adquiera un aprendizaje significativo
en el curso de Geometría Analítica?
14
¿De qué manera el Diseño lnstruccional del curso de Geometría Analítica
coadyuvará a que el estudiante aprenda mediante el aprendizaje colaborativo y
el autoestudio?
¿Cómo implementar la instrucción para que el alumno adquiera valores y
actitudes y desarrolle habilidades para la resolución de problemas
matemáticos?
¿Qué estrategias se deben implementar para modificar los roles que
desempeñan el profesor y el alumno en el proceso enseñanza-aprendizaje?
1.4.1 Enunciado del problema
El propósito de este estudio es elaborar el Diseño lnstruccional de
Geometría Analítica que proponga estrategias de enseñanza y aprendizaje que
permita a los alumnos ser más participativos, así como desarrollar en ellos un
aprendizaje significativo de la materia a través de prácticas colaborativas que
fortalezcan sus actitudes y valores, incrementando sus habilidades para
resolver problemas.
1.4.2 Delimitación del problema
La problemática se ubica dentro del área de Matemáticas en el curso de
Geometría Analítica que se imparte en el cuarto semestre de la División
Preparatoria del Campus Estado de México, Rectoría Zona Sur del Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.
Para que este curso se imparta en el nuevo modelo educativo, se ha de
diseñar tomando como referencia la metodología para desarrollar el diseño
instruccional de un curso, haciendo énfasis en las actividades de aprendizaje
individual y grupal.
15
Las metodologías que se aplicarán se basan en la "Guía para el diseño
instruccional de un curso", elaborado por la Dra. Mónica Porres Hernández
(1997) y en el "Aprendizaje significativo basado en la resolución de problemas"
propuesto por Salvador Moreno (1993), para la elaboración de las prácticas
colaborativas.
1.4.3 Juetltlcaclón
La importancia de elegir la materia de Geometría Analítica en este trabajo
de tesis radica en que permite relacionar los conceptos matemáticos que se
estudian en el curso con situaciones problemáticas reales en donde el
estudiante tiene la oportunidad de usar los conocimientos y a la vez siente que
lo que está estudiando tiene aplicación concreta en el mundo que lo rodea.
Lo anterior da pauta a que el estudiante se interese por el estudio de la
materia y cambie su mentalidad respecto a ella y no sienta que está
aprendiendo algo poco atractivo y que la debe llevar porque forma parte del
programa de estudios.
Los lugares geométricos conjugados con lo algebraico en este curso son
elementos importantes que logran hacer que en el estudiante se manejen
continuamente esos dos tipos de representaciones, haciendo aún más
interesante la materia, pues se complementan recíprocamente ocasionando
con ello tener una mejor perspectiva de lo que se estudia.
Por otro lado, la carencia de estrategias que permitan incorporar actitudes,
valores y habilidades de manera ef activa en el programa de la materia en
donde se demanda una preparación para un mejor desempeño del estudiante,
han hecho que el ITESM responda a ellos mediante la formación de personas y
proponga en su Misión hacia el 2005 la incorporación de esos aspectos como
algo que interviene directamente en la instrucción de los estudiantes.
16
Una de las posibles estrategias se refiere al desarrollo del aprendizaje
colaborativo por parte de los alumnos y necesariamente tienen que ver con el
aprendizaje de los estudiantes. Para ello es necesario estructurar el diseño
instruccional de tal manera que los objetivos de aprendizaje tanto formativos
como informativos, así como las estrategias de aprendizaje estimulen y
consoliden lo aprendido apoyados por los diferentes medios y recursos
educativos.
Con el Diseño lnstruccional se tendrá una propuesta de programación de
contenidos y de actividades que redundarán en la labor del profesor al
proponerle una gama de estrategias basadas en resolución de problemas,
trabajo en equipo, autoaprendizaje, uso eficiente de la informática, etcétera; y
por otro lado, se proporcionará a los estudiantes estrategias para la adquisición
del conocimiento mediante su intervención directa en el proceso con el
consiguiente desarrollo de habilidades, y la adquisición de valores y actitudes.
1.5 OBJETIVOS V METAS DEL PROVECTO
Al proponer el prototipo del Diseño lnstruccional del curso de Geometría
Analítica, los objetivos que se pretenden son:
1. Desarrollar en los alumnos los valores, actitudes y habilidades
establecidos en la misión del Sistema ITESM.
2. Generar una participación activa de los alumnos mediante actividades
individuales y trabajo en equipo tanto en el salón de clases como fuera
de él, resolviendo problemas.
3. Lograr que los alumnos aprendan mediante el trabajo colaborativo y el
autoestudio y que dicho aprendizaje sea significativo.
17
Las metas del proyecto son:
1. Elaborar el prototipo de Diseño lnstruccional para el curso de
Geometría Analítica, con sus fases macro y micro.
2. Diseñar prácticas colaborativas de algunos temas del curso de
Geometrf a Analítica mediante la metodología del aprendizaje
significativo basado en la resolución de problemas.
3. Hacer una propuesta para colocar el curso de Geometría Analítica en la
plataforma tecnológica Lotus Notes - Learning Space.
1.6 ESTRATEGIA GENERAL
El diseño instruccional se estructurará de acuerdo a la "Guía para el
Diseño lnstruccional de un curso" 1•
Los pasos fundamentales son:
l. Análisis del curso.
11. Elaboración del diseño en su fase macro.
111. Elaboración del diseño en su fase micro.
IV. Preparación de los materiales instruccionales.
V. Evaluación del proceso.
1 Elaborada por la Dra. Mónica Porres H. Directora del Departamento de Asesoría en Diseño lnstruccional Sede Estado de México. Dirección Académica. Rectoría de la Universidad Virtual. Julio de 1997.
18
1.7 LIMITACIONES DEL TRABAJO
Las principales limitantes consisten en:
a) Que los alumnos acepten su responsabilidad respecto de su propio
autoaprendizaje, de la autoevaluación y coevaluación, y que participen
activa y colaborativamente con sus compañeros en el trabajo en
equipo.
b) Que los profesores acepten convertirse en promotores de nuevas
actividades e investigadores de su curso.
c) Que se implante el curso ya que si no se cuenta con el apoyo de las
autoridades correspondientes de la institución educativa, así como con
la aprobación y cooperación de los padres de familia de los estudiantes,
el nuevo modelo educativo será mal interpretado.
d) La evaluación del curso en el sentido de optar por cambiar todo un
esquema tradicional donde únicamente se ha evaluado con pruebas
estandarizadas y adoptar ahora aquél donde se incluyan aspectos que
antes no se consideraban en la evaluación tales como el trabajo en
equipo, la preparación y exposición de clases, la búsqueda de
información, la autoevaluación, etcétera; por lo que se requiere que
tanto las autoridades como los profesores y estudiantes estén
convencidos y preparados para lograr la evaluación formativa y
sumativa.
e) Disponer de una infraestructura que cuente con espacios que tengan
tecnología apropiada (computadoras, software adecuado, conexión a
internet, correo electrónico, etcétera), de lo contrario se minimizará el
impacto del curso.
19
Para establecer los propósitos de los lineamientos expuestos es necesario
hacer una fundamentación con bases firmes de teóricos y estudiosos que han
contribuido con sus aportaciones a hacer del quehacer académico una tarea
más productiva, eficaz y benéfica hacia el proceso de enseñanza-aprendizaje;
así como de aspectos conceptuales relacionados con las matemáticas. Esto es
lo que se presenta en el siguiente capítulo.
20
CAPÍTULO 2
2. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL
En este apartado se hace referencia a la enseñanza y a la didáctica de las
Matemáticas por considerarse como aspectos esenciales dentro del proceso
del aprendizaje de dicha disciplina. También porque son importantes para
facilitar el desarrollo de las estructuras cognoscitivas, la adquisición de
habilidades y los cambios de actitud de los alumnos. Así mismo, se vislumbran
situaciones relacionadas con el aprendizaje en los alumnos y algunos tipos de
aprendizaje tales como el aprendizaje significativo, el aprendizaje por
descubrimiento y el aprendizaje colaborativo, así como la resolución de
problemas; elementos importantes en la adquisición del conocimiento, tratados
desde un enfoque constructivista.
2.1 LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Desde el momento en que un profesor se encuentra con sus alumnos en
el salón de clase, se estipula que el maestro está allí para enseñar un
conocimiento y los estudiantes para aprender ese mismo conocimiento. La
aceptación de ese conocimiento por parte de los estudiantes es fundamental
para que se realice el aprendizaje.
El establecimiento de esta negociación entre maestro y alumnos y la
aceptación forma parte del Contrato Didáctico que se celebra entre ambos
participantes del proceso enseñanza-aprendizaje y en donde el compromiso de
aceptación es responsabilidad tanto del profesor como del alumno; y éste
21 000911
último debe estar convencido de que vale la pena inmiscuirse, no sólo desde el
punto de vista de su inserción en un curso de matemáticas que se imparte en la
escuela, sino también desde un punto de vista social y cultural. En ese sentido,
el Contrato Didáctico lo define Artigue (1995) como "aquello que rige de
manera más o menos explícita las expectativas respectivas del alumno y el
profesor en relación con el conocimiento". Este contrato, ya sea de manera
explícita o implícita, define las reglas de funcionamiento dentro del proceso de
enseñanza-aprendizaje, determinando la distribución de responsabilidades,
asignando los plazos temporales a diferentes actividades, los usos de variados
recursos de acción, los medios disponibles para realizar ciertas actividades,
etcétera.
En la enseñanza de las matemáticas, el trabajo del profesor consiste en
producir una recontextualización de los conocimientos ya que éstos deben
tener un sentido para el estudiante, que haga que se conviertan en elementos
útiles y que se adapten a una situación problemática. Esto es, la enseñanza se
concibe como un proyecto social donde se hace que el alumno se apropie de
un saber. Para lograr que los alumnos se apropien del saber matemático el
profesor debe enseñar, lo cual se refiere a la creación de las condiciones que
producirán la apropiación del conocimiento por parte de los estudiantes. Por
otro lado, para un estudiante, aprender significa involucrarse en una actividad
intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento.
La comunicación del saber matemático debe ser apoyada firmemente por
actividades sociales que permitan la interacción entre los que conforman el
grupo de manera general y en particular con aquellos estudiantes que
componen los equipos de trabajo y que en la solución de problemas y en la
adquisición de conocimientos requieren de opiniones diferentes o de
estrategias variadas que los impulsen a buscar la mejor manera de dar una
solución a la situación planteada.
22
Por lo que la formación del profesor, en el mejor de los casos, debe
llevarlo hacia un mejor conocimiento del estudiante y permitirle ajustar de
manera permanente las diferentes modalidades de su acción de enseñanza.
Sin embargo, este conocimiento no puede ser un simple entendimiento general
de la lntellgencla y del comportamiento del estudiante, implica un co!locimiento
profundo con cierto grado de especificidad del contenido que se va enseñar y
de las relaciones de ese contenido con la actividad matemática que puede
realizar el estudiante. Y por otra parte, en el aprendizaje de las matemáticas
las dificultades encontradas por los estudiantes no podrán ser comprendidas
sino se dispone de un conocimiento claro de las nociones involucradas en ese
aprendizaje y un marco que de cuenta de los diferentes tipos de dificultades.
En la enseñanza la actividad del profesor representa un trabajo constante
que lo incita a mantener un diálogo continuo con los estudiantes, ya sea
planteándoles situaciones nuevas o haciendo revisiones periódicas del material
visto en las sesiones anteriores mediante resúmenes que pueden ser
reformulados por los estudiantes. Es decir, para que haya aprendizaje y
enseñanza, es necesario que el conocimiento sea un objeto importante, una
manifestación que interese a los estudiantes en su contexto; para ello, el
trabajo del profesor consiste en escoger formas de presentación del
conocimiento que sean aceptables y atractivas para los estudiantes y que
además sean eficaces con relación al objetivo del aprendizaje.
Para llevar a cabo tales momentos es necesario considerar las técnicas o
métodos que se van a utilizar para realizar esa transferencia de conocimiento,
la adquisición por parte de los alumnos de dicho conocimiento y la aplicación
del mismo, y para ello conviene tener presente lo que la didáctica nos
proporciona como instrumentos a implementar en la consecución de los
objetivos.
23
2.2 LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
La didáctica es un elemento primordial para aquellos individuos que tienen
alguna relación con la enseñanza de cualquier objeto de estudio, involucra
aspectos relacionados con metodologías, estrategias, procedimientos, o
cualquler técnica que permita transmitir el conocimiento y a la vez proporciona
elementos suficientes para que el saber a quien va dirigido éste lo reciba, lo
comprenda, lo manipule, lo aprehenda y lo aplique; es decir, lograr el
aprendizaje de dicho conocimiento.
En este trabajo interesa la Didáctica de las Matemáticas y su importancia
radica en ser una parte fundamental en la instrucción ya que la materia por sí
misma representa serias dificultades para la mayoría de los estudiantes, por su
complejidad como algunos la han clasificado o bien por su abstracción
simbólica que ocasiona serios problemas para su comprensión en la gente
inexperta. Debido a esas características es que se debe hacer uso de la
didáctica para hacer de las matemáticas una ciencia que resulte atractiva a
todos con la intención de enfrentar problemas con éxito.
Respecto a la enseñanza de las Matemáticas, Peltier (1993), afirma:
"La Didáctica de las Matemáticas considerada como ciencia estudia los procesos de transmisión y adquisición de los diferentes contenidos matemáticos, particularmente en situaciones escolares. Y su objetivo principal es intervenir en el sistema educativo en forma benéfica, es decir, proponer condiciones para que el funcionamiento del sistema didáctico asegure en el estudiante la constitución de un saber que evolucione y que resuelva problemas".
La Didáctica de las Matemáticas atribuye al estudiante el papel decisivo en
el proceso educativo y a su actividad ante el conocimiento matemático. Así, los
conocimientos matemáticos adquiridos por el estudiante los construye él
mismo, en relación directa con las operaciones que es capaz de hacer sobre
ese conocimiento; con las relaciones que está en condiciones de captar,
24
componer y transformar con los conceptos construidos progresivamente. Es por
eso que el trabajo del profesor debe consistir en desarrollar la capacidad de
estímulo en el estudiante.
Gálvez (1995) menciona que: "El objetivo fundamental de la Didáctica de
las Matemáticas es averiguar cómo funcionan las situaciones didácticas, es
decir, cuáles de las características de cada situación resultan determinantes
para la evolución del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente, de
sus conocimientos". Lo anterior no significa que sólo interese analizar las
situaciones didácticas que tienen éxito, sino también aquéllas en donde se
fracasa ya que con ello se aporta información interesante a la Didáctica
respecto a los aspectos que resultaron determinantes en el fracaso.
Para Brousseau (1986), lo fundamental en la Didáctica lo constituye el
análisis a priori de la situación, en donde se debe ser capaz de prever los
efectos antes de ponerla a prueba en el aula y sólo posteriormente poder
contrastar sus previsiones con los comportamientos observados. En particular,
para el saber matemático, la Didáctica permite al estudiante y al profesor un
medio para ordenar la actividad y acumular en un tiempo determinado un
máximo de conocimientos que deben estar complementados con ejemplos y
problemas cuyas soluciones exigen poner en práctica esos conocimientos. Para
conseguir este objetivo se requiere de una enseñanza y un aprendizaje que
permita que el binomio profesor alumno se conjuguen en una unidad en
beneficio mutuo así como del proceso de enseñanza aprendizaje llevado a
cabo.
Mientras que Douady (1995), menciona que "La didáctica tiene relación
con aquello que el profesor se propone enseñar de Matemáticas y aquello que
los estudiantes a quienes él se dirige en clase, son susceptibles de aprender
efectivamente". La efectividad de ese aprendizaje está relacionado
directamente con los procesos metodológicos, las estrategias o procedimientos
25
que se usen, así como por su aplicación por parte de los estudiantes para que
esa transmisión del conocimiento se lleve a cabo favorablemente. Esto es
importante para poder determinar y crear las condiciones adecuadas en que se
realiza esa apropiación del conocimiento por parte del estudiante, así como los
procesos que el estudiante realiza para la adquisición del mismo, y también la
mejor manera de presentar el concepto a aprender por parte del profesor.
Así Gálvez (Ibídem) menciona que:
"... la finalidad de la Didáctica de las Matemáticas es el conocimiento de los fenómenos y procesos relativos a la enseñanza de las matemáticas para controlarlos y, a través de este control, optimizar el aprendizaje de los alumnos". Y continúa diciendo: " ... su objetivo es la determinación de las condiciones en las que se produce la apropiación del saber por los alumnos, por lo que el profesor debe participar en la producción (o diseño) de las situaciones didácticas".
Estas situaciones didácticas tienen en común varios aspectos que deben
considerarse al llevarse a cabo el proceso enseñanza-aprendizaje e influyen de
manera sustancial para que tenga éxito el mismo; pues involucran elementos
tales como el medio ambiente (salón de clases, auditorio, sala de multimedios,
etcétera) donde se lleva a cabo tal proceso, la conformación del grupo de
estudiantes, las estrategias de enseñanza por parte del profesor y las
estrategias de aprendizaje por parte del estudiante o de los estudiantes cuando
se trabaje en equipo, los medios instruccionales requeridos, los recursos
necesarios y los procesos de evaluación.
Las situaciones didácticas son definidas por Brousseau (Ibídem) como:
"Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución". Y continúa planteando que "es preciso diseñar situaciones didácticas que hagan funcionar el saber, a partir de los saberes definidos culturalmente en los programas escolares".
26
Este planteamiento se apoya en la tesis de Piaget (mencionado en Batista,
1988), donde el sujeto que aprende necesita construir por sí mismo sus
conocimientos mediante un proceso adaptativo similar al que realizaron los
productores originales de los conocimientos que se quiere enseñar.
Es decir, se trata de que los alumnos aprendan haciendo, que el saber
aparezca como un medio de seleccionar, ejecutar y controlar las estrategias
que aplica a la resolución del problema planteado por la situación didáctica.
Que las múltiples interacciones con el problema favorezcan la aparición de los
conceptos deseados.
Como afirma Brousseau (Ibídem):
"Una de las hipótesis fundamentales de la didáctica consiste en afirmar que únicamente el estudio global de las situaciones que preceden a las manifestaciones de un conocimiento, permite elegir y articular los conocimientos de orígenes diferentes, necesarios para comprender las actividades cognoscitivas del sujeto, así como el conocimiento que utiliza y la manera como lo modifica".
Para el diseño de las situaciones didácticas es importante considerar la
planeación de las mismas con el único objetivo de lograr que los estudiantes se
apropien del saber matemático para lo cual Douady (Ibídem) afirma que:
"La planeación didáctica de un curso pudiera concebirse como un conjunto de secuencias de clase concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de manera coherente por un profesordiseñador, con el fin de realizar un proyecto de aprendizaje para una población determinada de alumnos. En el transcurso de las interacciones entre el profesor y los estudiantes, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de los estudiantes en función de las selecciones y decisiones del profesor''.
Bajo la perspectiva anterior, la planeación didáctica debe realizarse, en
un primer momento, como resultado de un análisis a priori, lo que a su vez
implica realizar un proceso en el cual el profesor de matemáticas ejecuta el
producto adaptándolo a la dinámica de la clase. Un segundo momento en el
27
que se detecta la situación real de los sujetos que aprenden y se comprueba el
valor real del diseño instruccional del curso, tanto en sus partes como en su
totalidad. Por último, un tercer momento en el que se rehace el diseño
lnstrucclonal (rediseño) a partir de la puesta en marcha concreta de las
acciones o de las situaciones observadas.
En este proyecto de estudio el aprendizaje del conocimiento por parte de
los estudiantes es uno de los elementos más importantes en el proceso
educativo, por lo que conviene definir qué se entiende por aprendizaje.
2.3 EL APRENDIZAJE
El aprendizaje se define como un proceso interno que se manifiesta
mediante cambios en la conducta que son observables. Al respecto Woolfolk
(1990) define al aprendizaje como 11un cambio interno en la persona - la
formación de asociaciones nuevas - o el potencial para dar respuestas
nuevas". El aprendizaje es por tanto un cambio relativamente permanente en
las capacidades de una persona, ocurre de manera constante durante todos los
días de nuestra vida.
2.3.1 Los Tipos de Aprendizaje
Los diferentes tipos de objetivos instruccionales se redactan en términos
del aprendizaje que se pretende que adquieran los estudiantes, de entre los
distintos aprendizajes se pueden mencionar el aprendizaje intencional, el
aprendizaje incidental, el aprendizaje memorístico, el aprendizaje significativo,
el aprendizaje por recepción, el aprendizaje por descubrimiento, el aprendizaje
basado en la resolución de problemas y el aprendizaje colaborativo.
En el aprendizaje intencional la persona tiene la intención de aprender
ciertas cosas y se dispone a hacerlo; el aprendizaje incidental ocurre sin
28
intención deliberada, cuando la persona está relativamente pasiva, no se
persiguen objetivos específicos; el aprendizaje memorístico se refiere a la
memorización de contenidos sin elaboración ni con la intención de relacionarlo
con el conocimiento existente o hacer intentos para entender sus implicaciones.
Con el aprendizaje significativo se intenta relacionar la información
nueva con lo que ya se sabe y por consiguiente darle sentido. El aprendizaje
por recepción es aquel en el que el conocimiento es presentado en su forma
final por medio de instrucción expositiva. En el aprendizaje por
descubrimiento los estudiantes son expuestos a experiencias para conducirlos
a descubrir el concepto o principio clave. Se usan series de preguntas o
experiencias planeadas para guiar a los estudiantes hacia el conocimiento.
En el aprendizaje basado en la resolución de problemas el alumno
busca un procedimiento de resolución (acción) ante una situación-problema,
formulando procedimientos, poniendo a prueba diversas estrategias; en
interacción con otros alumnos.
En el aprendizaje colaborativo, los estudiantes trabajan en equipo para
lograr metas de aprendizaje comunes y son responsables tanto del aprendizaje
propio como de los demás, se desarrolla bajo la dirección y supervisión del
profesor quien proporciona instrucciones y medios para estructurar un ambiente
de aprendizaje adecuado.
Si el aprendizaje de algún concepto o cualquier principio se lleva a cabo
sea cual fuera el tipo de aprendizaje tiene importancia por sí mismo en el
sentido de poder brindar al estudiante la posibilidad de aplicarlo de manera
mediata o inmediata en los procesos que vaya a realizar en diferentes
circunstancias.
29
De los diferentes tipos de aprendizaje enunciados anteriormente los que
son de interés para la fundamentación en este trabajo son el aprendizaje
significativo, el aprendizaje por descubrimiento, el aprendizaje basado en la
resolución de problemas y el aprendizaje colaborativo por las características
propias que resultan importantes para aplicarse en situaciones diversas bajo el
contexto propuesto en el enunciado del problema de este trabajo. El autor
considera que estos aprendizajes permitirán al estudiante obtener bases
sólidas para tener éxito en el campo de las matemáticas.
2.3.1.1 El Aprendizaje Significativo
En la medida en que los estudiantes intenten relacionar la información
nueva con lo que ya saben y darle sentido para poder emplearla en
cuestionamientos posteriores, se está generando en ellos un aprendizaje
significativo. Si además se tiene una construcción coherente y comprensiva del
contenido en lugar de sólo memorizarlo, el aprendizaje es retenido más tiempo.
Al paso del tiempo, el aprendizaje significativo es mucho más eficiente
porque al estudiante le resulta más ventajoso aplicar los conceptos que pueden
ser recordados más fácilmente en situaciones específicas. El aprendizaje
significativo se refiere tanto a un contenido con estructuración lógica propia,
como a aquel material que potencialmente puede ser aprendido de modo
significativo. En el aprendizaje significativo se intenta relacionar la información
nueva con la que ya se sabe así como darle sentido; la posibilidad de que un
contenido pase a tener "sentido" depende de que éste sea incorporado al
conjunto de conocimientos del alumno de manera substancial, o sea que esté
relacionado con conocimientos previamente existentes en la "estructura mental"
del alumno.
Esto ocurre con frecuencia en las actividades de tipo conceptual en las
clases de Geometría Analítica donde a los estudiantes les cuesta trabajo
30
asimilarlas; por ejemplo, la definición de elipse es difícil de entender si antes no
han comprendido el significado de conceptos tales como el de "lugar
geométrico", o como el de la proposición "la suma de las distancias de un punto
a un par de puntos fijos distintos (focos) ... ", etcétera.
En este sentido, Dreyfus (1991) menciona:
"Los estudiantes no pueden entender lo que una ecuación diferencial significa al menos que hayan entendido los conceptos (mejor que las técnicas) de diferenciación. Cada concepto tiene un alto grado de complejidad y puede ser entendido comprensivamente en una red junto con otros conceptos."
Ausubel (1969) también hace referencia al conocimiento significativo ya
que su te orí a se ocupa principalmente del aprendizaje de asignaturas escolares
en lo que se refiere a la adquisición y retención de esos conocimientos de
manera significativa (en oposición a la asignatura sin sentido, aprendida de
memoria o mecánicamente) y afirma que: "el factor más importante que influye
en el aprendizaje significativo de cualquier idea nueva es el estado de la
estructura cognoscitiva del individuo existente en el momento del aprendizaje".
Ahora bien, el aprendizaje significativo es retenido más tiempo y es más
eficiente ya que algunos principios generales pueden emplearse en
aplicaciones específicas; originando con ello uno de los conceptos
fundamentales en el aprendizaje que es la transferencia, esto es, la habilidad
para aplicar lo aprendido en una situación a otra, en un contexto diferente de
donde fue adquirido el aprendizaje. La transferencia es definida
operacionalmente como una ejecución sobre una tarea como un resultado de
algo adquirido en una tarea previa. Esto puede ser cualquier tipo de habilidad,
ya sea resolución de problemas, razonamiento, memoria, etcétera. Según
Ausubel (1990), la transferencia es una función de la relevancia, el sentido, la
claridad, la estabilidad, la integración y el poder explicativo de las ideas
31
originalmente aprendidas. Enfatiza que el aprendizaje debe estar disponible
para la transferencia a contextos nuevos y agrega:
"Además de ser capaces [los estudiantes] de recordarlo y aplicarlo [el aprendizaje] dentro del contexto en el que fue aprendido originalmente, los estudiantes deben ser capaces de generalizar el aprendizaje a contextos de aplicación relevantes y acceder a él y basarse en él cuando extienden su aprendizaje a áreas nuevas".
Casi todas las teorías del aprendizaje se direccionan hacia la transferencia
en alguna u otra forma, como se afirma en Batista (1988):
"Las teorías conductuales (por ejemplo, Thorndike, Hull o Guthrie)
discuten la transferencia en términos de estímulo-respuesta. Las
teorías del aprendizaje matemático (por ejemplo, Atkinson, Estes)
consideran a la transferencia como un resultado de muestras de
probabilidades. Las teorías cognitivas (por ejemplo, Ausubel, Bruner)
tienden a discutir la transferencia en términos de la reestructuración
del conocimiento y los conceptos de esquema o modelos mentales.
Las teorías del aprendizaje social (por ejemplo, Bandura, Vigotsky)
tratan de la transferencia a través de modelación o imitación."
La transferencia del aprendizaje es la recuperación del contenido
aprendido y su aplicación en contextos nuevos y diferentes; consiste en que el
alumno dé la misma respuesta o respuesta modificada de acuerdo con la nueva
circunstancia. Para garantizar la transferencia del aprendizaje Gagné (1977)
afirma que se le deben poner al alumno diversas tareas nuevas que exijan la
aplicación de lo que aprendió a situaciones muy diferentes de la original.
Lo afirmado por Gagné se ve reflejado en el curso de Geometría Analítica,
ya que cuando se están aprendiendo conceptos relacionados, por ejemplo, con
la circunferencia, los estudiantes saben que se requiere un centro y un radio
32
para poder determinar su ecuación o bien dada su ecuación general, proceden
mediante artificios algebraicos y obtienen ambos elementos.
Sin embargo, cuando se ha avanzado en el contenido programático del
curso y se les plantea un problema en donde el centro de la circunferencia se
debe obtener, por ejemplo, con la intersección de dos rectas, se observa que
los estudiantes no saben como abordar tal problema, no tienen idea de cómo
resolverlo. Esto es debido a que se les ha cambiado el contexto y además
deben usar otros conceptos que fueron vistos en cursos anteriores de
Matemáticas {resolución de un sistema de ecuaciones de primer grado visto en
el curso de Matemáticas 11), teniendo con ello una muestra de que el
aprendizaje significativo no se llevó a cabo. Incluso, cuando se ven otras curvas
expresadas como ecuaciones generales en ocasiones son incapaces de
reconocer las características de una en particular. Lo que conduce a reflexionar
en que se deben diseñar estrategias que faciliten que el estudiante adquiera un
aprendizaje significativo para que pueda usarlo en situaciones posteriores.
En la instrucción matemática Schoenfeld, mencionado en Santos (1992),
afirma que algunos estudiantes de matemáticas pueden tener éxito en la
medida que resuelvan un gran número de problemas en un mismo contexto,
pero a menudo experimentan dificultades cuando el contexto del problema
matemático es diferente, por lo que la transferencia del conocimiento no se
lleva a cabo cabalmente. Schoenfeld reconoce que resolver problemas es de
suma importancia en el proceso de aprendizaje de las matemáticas.
De lo afirmado por Schoenfeld se desprende que es de suma importancia
promover que los conceptos y procesos matemáticos tengan un valor
significativo para los estudiantes con la finalidad de que puedan transferir
posteriormente el conocimiento inclusive en situaciones fuera del contexto
donde fueron aprendidas y se apliquen de manera efectiva donde se requiera
emplearlos así como ocasionar que el aprendizaje sea perdurable.
33
En particular, en la Geometría Analítica existen varios conceptos que son
afines a las secciones cónicas (elipse, parábola, hipérbola), tales como el lado
recto, la excentricidad, los vértices, los focos y que constantemente el
estudiante está haciendo uso de ellos, por lo que conviene que los identifique
claramente, sean relevantes y comprenda su significado tanto algebraico como
geométrico.
Para lograr que el aprendizaje de conceptos y de procesos sea relevante
se requiere, entre otras cosas, que el estudiante sea quien los descubra,
conduciéndolo hacia ellos mediante preguntas y estrategias dirigidas para que
él sea quien los obtenga.
Un esquema básico que ilustra el aprendizaje significativo es el que
aparece en Kaplún (1995):
Figura 3. Esquema básico del Aprendizaje Significativo
Selección Relevante
Organización secuencial lóglca
\ / Nuevos contenidos (Interrelacionados)
® > ~l~ Conocimientos previos
®
34
lntregraclón
@-® ---+
Construcción de significados (conceptos)
Siguiendo los fundamentos anteriores, algunas estrategias de aprendizaje
significativo que se · pueden implantar con los estudiantes en el curso de
Geometría Analítica son:
a) Resumir con sus propias palabras conceptos tales como lugar
geométrico de alguna sección cónica, la pendiente de una recta, las
asf ntotas, etcétera.
b) Realizar una autoevaluación para ver si han cumplido con los objetivos
de aprendizaje, resolviendo ejercicios.
c) Construir gráficos para representar las diferentes curvas.
d) Usar mecanismos mnemotécnicos para ayudar a recordar los diferentes
conceptos y fórmulas.
e) Formular problemas donde apliquen los conceptos aprendidos.
Como menciona Dreyfus (Ibídem): "Los estudiantes deben construir las
propiedades de un concepto a través de deducciones de la definición. Se
pueden involucrar a través de actividades que promuevan la abstracción y
sobre la atención de lo que se está haciendo". Con ello se orienta al estudiante
hacia el aprendizaje por descubrimiento.
2.3.1.2 El Aprendizaje por Descubrimiento
Dreyfus (Ibídem) afirma que: 11EI descubrimiento o redescubrimiento de
relaciones es frecuentemente considerada entre las más efectivas maneras
para que los estudiantes aprendan Matemáticas". El aprendizaje por
descubrimiento es un aprendizaje activo que si es conducido mediante
experiencias estructuradas y bien planeadas ocasionará que en el estudiante
se produzca aprendizaje significativo perdurable, es un aprendizaje adquirido
por medio de la propia exploración autoguiada.
35
El descubrimiento de relaciones se da en el curso de Geometría Analítica
cuando se procede a hacer un cambio en la ubicación del centro de las
secciones cónicas, esto es, cuando se hace una traslación; los estudiantes son
capaces de obtener la ecuación general de la cónica ubicada en el nuevo
origen, logrando con ello un aprendizaje significativo.
Bruner, mencionado en Good (1995), cree que el aprendizaje más
significativo es desarrollado por medio de descubrimientos que ocurren durante
la exploración motivada por la curiosidad y propone que las escuelas
proporcionen más oportunidades para que los estudiantes expandan su
conocimiento desarrollando y probando hipótesis en lugar de tan sólo atender o
escuchar al profesor.
Esa curiosidad se manifiesta en el estudiante cuando se le cuestiona:
¿existe alguna relación entre la elipse y la circunferencia?, a continuación se le
formula la pregunta: ¿es posible determinar la ecuación de una circunferencia
dada la ecuación de una elipse?, por último se le plantea: ¿la circunferencia es
un caso particular de la elipse?
Lo propuesto por Bruner (Ibídem) brindará a los estudiantes la oportunidad
de manipular objetos en forma activa y transformarlos por medio de la acción
directa, así como promover actividades que los animen a buscar, explorar,
analizar o procesar de alguna otra manera la información que reciben en lugar
de sólo responder a ella pasivamente.
Jerome Bruner ha enfatizado la importancia de hacer que los estudiantes
se percaten de la estructura del contenido que se va a aprender y de las
relaciones entre sus elementos. Está de acuerdo en que los estudiantes
exploren activamente en la solución de problemas como una forma de
aprender.
36
De conformidad con Bruner, en este trabajo de tesis se proponen algunas
actividades de aprendizaje (Anexo E) donde el estudiante manipula los objetos
matemáticos por medio del auxilio de la computadora en el sentido de
modificar algunos parámetros de los conceptos matemáticos propios de la
Geometría Analítica. Con ello se promueve el aprendizaje significativo que se
obtiene a través del aprendizaje por descubrimiento y a la vez se manejan
distintos procesos de representación de un objeto, esto es, se observa el objeto
bajo diferentes representaciones. Al respecto, Janvier (1987) plantea los
diferentes sistemas de representación involucrados en el problema de
interpretación matemático de manera: verbal, tabular, gráfico y algebraico.
Los diferentes sistemas de representación de un objeto matemático
permiten al estudiante manipularlo y obtener mucha más información que si tan
solo tuviera un sistema de representación; por ejemplo, la ecuación general que
representa una elipse (sin considerar el caso en que resultase una
circunferencia o el conjunto vacío), posiblemente la propia ecuación no le de al
estudiante una idea precisa de como es su gráfico, sus características, su
simetría, etcétera. Sin embargo, si se obtienen mediante procesos algebraicos
sus principales elementos y se tabulan algunos de sus puntos, al localizarlos en
el plano cartesiano, la gráfica le permitirá al estudiante observar las
características principales de la curva (vértices, focos, excentricidad, longitud
del lado recto, etcétera).
El aprendizaje por descubrimiento es esencial para lograr objetivos que
impliquen solución de problemas o creatividad. En la medida que los
estudiantes trabajen por su cuenta, es importante seleccionar actividades que
encuentren interesantes o que estimulen su interés hacia ellas. Una posible
actividad nos la puede dar el uso de la tecnología en el salón de clases, donde
obviamente tiene un papel importante el uso de la computadora y el software
matemático relacionado con los temas en cuestión.
37
La computadora puede ser un medio para coordinar las distintas
representaciones, lo cual se lleva a cabo permitiendo al estudiante que
manipule los conceptos y no sólo que observe los resultados.
Al respecto Kelman (1983) afirma:
"Para completar las actividades de una unidad un grupo de estudiantes tiene que usar algún componente del software y las actividades matemáticas en el salón de clases serán generadas. Las aplicaciones computacionales apoyan las soluciones de esos problemas suministrando múltiples representaciones, niveles de operación y oportunidades analíticas". Y continúa diciendo que: "Las tecnologías computacionales pueden ser herramientas poderosas para hacer trabajos matemáticos; también pueden ser herramientas poderosas para el aprendizaje de las matemáticas. Ellas pueden ejecutar complejos y tediosos cálculos, rápidamente graficar y transformar curvas, desplegar múltiples representaciones de un problema, desplegar datos empíricos y soportar visualización dinámica de objetos geométricos".
Los usos primarios de los procesos cognitivos asociados con actividades
computacionales son los que se realizan en la solución de problemas y en
procedimientos. Algunos estudios muestran que cuando los estudiantes usan la
computadora mejoran sus ejecuciones e incrementan el nivel de motivación.
Inclusive Seymour Papert (1993) cree que los niños pueden entender mejor los
conceptos cuando están posibilitados para operacionalizar con ellos a través de
programas computacionales.
La propuesta de Papert consiste en utilizar la computadora como un
medio creador de ambientes ricos en conceptos que los propios estudiantes
puedan desarrollar, como una herramienta operacionalmente poderosa que
permita construir o reconstruir procesos que concreten o modelen situaciones
de la vida diaria. Con las oportunidades que se le brinden al estudiante por
medio del aprendizaje por descubrimiento en ambientes computacionales, no
sólo se incrementará el conocimiento del 'estudiante sobre la Geometría
Analítica sino que se estimulará su curiosidad y lo ayudará a desarrollar
38
estrategias para descubrir propiedades o características de los objetos de
estudio, si a todo ello se le agrega el intercambio de ideas con otros
compañeros en la realización de las tareas, el aprendizaje necesariamente
tendrá mejores repercusiones.
Ese intercambio de ideas se da en un ambiente donde la interacción social
es una necesidad fundamental para el desarrollo cognitivo de los estudiantes;
la cooperación entre los alumnos, el trabajo en equipo, la discusión en
pequeños grupos, son métodos instruccionales efectivos para el proceso de
enseñanza-aprendizaje. Mediante estas metodologías los alumnos desarrollan
el pensamiento crítico ya que intercambian opiniones.
En particular en la dinámica del trabajo en equipo donde se comparten
puntos de vista y se discutan soluciones de problemas o procedimientos en
pequeños grupos fundamenta algunas actividades de aprendizaje propuestas
en el Anexo E, ya que en la medida en que se espera que trabajen los
estudiantes de manera colaborativa, estarán preparados para colaborar en
forma productiva. A esa cooperación entre individuos es lo que se le conoce
como aprendizaje colaborativo, el cual será abordado a continuación.
2.3.1.3 El Aprendizaje Colaborativo
Una forma de colaboración es la que afirma que se debe "trabajar juntos
para lograr objetivos comunes"; la cooperación se refiere primordialmente a
grupos pequeños de estudiantes trabajando juntos. Esto proporciona a los
estudiantes enormes ventajas que no están disponibles en la instrucción
tradicional porque un pequeño grupo puede lograr un mejor aprendizaje
resolviendo los problemas juntos que de manera individual.
Este enfoque permite a los estudiantes mejores estrategias de
razonamiento así como nuevas ideas y soluciones a problemas, los estudiantes
39
tienden a ser más motivados, son intelectualmente más curiosos, se preocupan
por los otros. Así, es definido el aprendizaje colaborativo, según Gokhale
citado en Tinzmann (1990), como: "un método instruccional en el cual los
estudiantes en varios niveles de desempeño, trabajan juntos para lograr metas
de aprendizaje comunes. Los alumnos son responsables tanto del propio
aprendizaje como del de los demás. Así el éxito de uno ayuda a otros a ser
exitosos".
Las investigaciones han demostrado que los más altos logros de
aprendizaje ocurren cuando el alumno se ve involucrado directamente en el
proceso; es decir, cuando busca información, resuelve problemas, enseña a
otros. Esto se fundamenta ya que el ser humano desarrolla sus potencialidades
afectivas y cognitivas dentro de un grupo social.
En un sentido similar, aplicado a las Matemáticas, Brosseau (1986)
menciona:
"Saber matemáticas no es solamente aprender definiciones y teoremas, para reconocer la ocasión de utilizarlas y aplicarlas; sabemos bien que hacer matemáticas implica que uno se ocupe de problemas, pero a veces se olvida que resolver un problema no es más que parte del trabajo; encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrarles solución. Una buena reproducción por parte del alumno de una actividad científica exigiría que él actúe, formule, pruebe, construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie con otros, que reconozca que están conformes con la cultura, que tome las que le son útiles, etcétera. Para hacer posible semejante actividad, el profesor debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que puedan vivir y en las que los conocimientos van a aparecer como la solución óptima y descubrible en los problemas planteados".
Uno de los defensores de la técnica del aprendizaje colaborativo Slavin,
mencionado en Orlich (1995), considera que el mejor argumento para este
aprendizaje es que aumenta los logros cognoscitivos y promueve los logros
40
afectivos. Cuando los estudiantes comienzan a tener éxito, empiezan a tener
confianza en sí mismos, lo cual conduce a una mejor satisfacción consigo
mismos y aumenta la autoestima en el estudiante. Además, el estudiante tiene
la oportunidad de obtener satisfacción al ayudar a los demás en el aprendizaje
de conceptos, métodos o técnicas, habilidades; al pertenecer a un grupo o
equipo de trabajo y al tener logros académicos.
Cuando se usa el aprendizaje colaborativo, se planea una evaluación
donde se incluye la responsabilidad individual, cada uno de los estudiantes
debe saber lo que debe lograr; y la responsabilidad del grupo. Existen algunos
mecanismos de evaluación del trabajo colaborativo, por ejemplo, se puede
tomar el promedio de las puntuaciones individuales de los miembros del grupo,
seleccionar al azar el trabajo o documento de uno de los miembros del grupo y
calificarlo o todos los integrantes reciben la calificación del alumno que obtuvo
la nota menor, por mencionar algunos.
En este trabajo de investigación se promueve el aprendizaje colaborativo
como una estrategia para que el estudiante sociabilice con otros y aprenda
técnicas y metodologías para la solución de problemas. Las principales
actividades se realizan conformando equipos de trabajo donde · analizan,
discuten y comentan diversos puntos de vista así como estrategias para la
consecución de los objetivos comunes propuestos.
Se hace uso del aprendizaje colaborativo en las clases del curso de
Geometría Analítica particularmente cuando se plantean problemas de
aplicación de los conceptos vistos, ya que la actividad implica mayor
concentración y esfuerzo mental que incluso los alumnos son los que buscan
algún compañero o compañeros para abordar la problemática. En ese
momento se propicia una red de aprendizaje a través de la cual los alumnos
aportan sus conocimientos y experiencias e intercambian estrategias para
proponer la solución del problema.
41
Los procesos educativos intencionales se concretan en la relación
pedagógica del aula: los alumnos y profesores, en situación de interacción, se
proponen aprender y enseñar, a través de planes de estudio y programas
establecidos. Pero hay otros contenidos que si bien no están explicitados en
ellos también se promueven como aprendizajes dentro y fuera de las aulas: se
trata de pauta y modelos de relación social que se constituyen en tareas
educativas implícitas; esto es, colaboración, respeto hacia los demás,
responsabilidad. Es en esta parte donde intervienen aspectos tales como los
valores, las actitudes, la disposición hacia el trabajo en el aula, etcétera.
2.3.1.4 El Constructivismo
Mucho de lo expuesto anteriormente está planteado desde el enfoque del
Constructivismo en donde Brousseau (Ibídem) lo define como:
"La teoría de adquisición del conocimiento en que los estudiantes construyen sus propios conocimientos a través de interacciones, conflictos y adaptaciones envolviendo conocimiento matemático a otros estudiantes y problemas. La interacción está dirigida por el profesor quien realiza las elecciones fundamentales."
Piaget, citado en Batista (1988), asegura que se debe promover la
interacción entre el individuo y su colaboración dentro del medio ambiente así
como un proceso constante de construcción; por otro lado, se deben crear
situaciones-problema al estudiante, formulando preguntas; privilegiar la
cooperación y los esfuerzos conjuntos en la búsqueda de respuestas y en el
intercambio de información, esto es, crear condiciones para generar ambientes
que favorezcan esa relación.
Al respecto, también Brooks y Brooks (1993) determinan que los
estudiantes construyen el conocimiento que es significativo para ellos; ya que si
los profesores llegaran a ser constructivistas, los estudiantes ampliarían sus
habilidades para hacer y crear conocimiento individual que es significativo para
42
ellos. En este sentido, sugieren 12 estrategias para que los maestros lleguen a
ser constructivistas:
1. Fomentan y aceptan la autonomía e iniciativa de los estudiantes.
2. Usan datos y fuentes primarias, junto con materiales físicos, manipulables e
interactivos.
3. Usan la terminología cognitiva tal como "clasificar", "analizar", "predecir" y
"crear''.
4. Permiten a los estudiantes responsabilizarse para impartir lecciones, cambiar
estrategias instruccionales y alterar el contenido.
5. Preguntan acerca de la comprensión de conceptos a los estudiantes antes
de compartir los propios.
6. Fomentan en los estudiantes la participación en diálogos, ya sea con otros
estudiantes o con el profesor.
7. Fomentan en el estudiante que plantee preguntas a otros estudiantes de
manera reflexiva.
8. Buscan la elaboración de respuestas iniciales de los estudiantes.
9. Involucran a los estudiantes en experiencias que pueden engendrar
contradicciones a sus hipótesis iniciales y entonces fomentar la discusión.
1 O. Permiten tiempo de espera después de las preguntas planteadas.
11. Dan tiempo a los estudiantes para construir relaciones y crear metáforas.
12. Cultivan la curiosidad natural de los estudiantes a través del frecuente uso
del modelo cíclico del aprendizaje (descubrimiento, introducción del
concepto, aplicación del concepto).
El autor promueve en este trabajo, mediante las actividades de
aprendizaje, algunas de las estrategias propuestas por Brooks y Brooks con la
intención de lograr que los estudiantes se ubiquen en un contexto
constructivista y que logren un aprendizaje significativo. Ese aprendizaje tiene
relación con el hecho de que los conceptos deben ser descubiertos,
construidos, intemalizados y contextualizados por el estudiante para que tenga
43
mejores posibilidades de poder apropiarse del mismo, así como crear
condiciones con ciertas características que permitan alcanzarlo. En ese sentido
Glatthorn (1997), señala nueve conceptos básicos al considerar la naturaleza
del aprendizaje basados en el Constructivismo:
1. El aprendizaje debe ser un proceso activo de elaboración de
significados:
Esta idea que se enfatiza de la misma manera en que lo hace Piaget
mencionado en Batista (1988), y se contrapone con la pasividad y la falta de
producción del que aprende, se refiere a la habilidad de llevar a cabo una
complicada tarea cognoscitiva que requiere la utilización y la aplicación de
conocimientos para resolver problemas de significado e implica la convicción de
que el conocimiento no es algo que existe en espera de ser descubierto, sino
algo que debe ser construido.
2. El aprendizaje debe implicar cambios conceptuales:
El proceso de aprendizaje constructivista se propone por sí mismo impulsar al
aprendiz a desarrollar un cambio en su concepción de las cosas, una
comprensión más profunda y válida del objeto de aprendizaje; esto quiere decir
que la acción constructiva de la persona, es sobre todo, mental ya que los
estudiantes se caracterizan por comenzar con un concepto inexacto o sencillo;
el proceso de aprendizaje permite al alumno desarrollar una comprensión más
profunda o verdadera del concepto.
3. El aprendizaje es subjetivo y personal:
Debe buscarse más allá de la memorización, una elaboración interna de los
conceptos que se estudien; esto implica una construcción que ineludiblemente
trasciende en la personalidad de quien aprende; para lograrlo se recomienda la
utilización de imágenes, símbolos, modelos, diagramas, gráficos, generados
por el mismo individuo. El aprendizaje es el producto de una actividad subjetiva
44
de construcción, por tanto, acepta la diversidad de formas válidas para percibir,
planear y resolver problemas.
4. El aprendizaje se debe ubicar en un contexto:
Los estudiantes deben resolver problemas matemáticos de naturaleza
semejante a los que se presentan en la realidad, en el mundo real, con la
intención de generar en ellos la necesidad de obtener respuestas a esa
problemática; más qué hacer "ejercicios" fuera de contexto, los alumnos
aprenden a solucionar problemas contextualizados.
5. El aprendizaje debe ser una tarea social:
Con ello se quiere dar a entender que se aprende "mejor'' cuando el estudiante
se comunica con otras personas, ya sea interactuando, solucionando
problemas colectivamente, intercambiando puntos de vista, etcétera, los cuales
pueden realizarse a través de la conformación de equipos de trabajo que
trabajan colaborativamente hacia un objetivo determinado.
6. Existe una profunda vinculación entre el aprendizaje y los aspectos
afectivos:
Algunos elementos afectivos como la autoestima, las expectativas personales,
la motivación y la predisposición hacia el aprendizaje; el autoconocimiento y la
opinión de uno mismo sobre las habilidades propias; la claridad y solidez de las
metas del aprendizaje; la disposición mental son aspectos que influyen
determinantemente.
7. Es crucial el proceso que se realice por lograr un aprendizaje
significativo:
En ello debe considerarse que esta clase de aprendizaje no es instantáneo
porque significa la revisión, ponderación, exteriorización y empleo de las ideas;
para lo cual conviene optimizar el desarrollo del estudiante, identificar la
45
importancia, relevancia y autenticidad de· sus necesidades y detectar lo que es
novedoso desde su posición.
8. El aprendizaje está determinado hasta cierto punto por el grado de
desarrollo del estudiante:
Los estudiantes a lo largo de su vida biológica se mueven a través de etapas
identificables de crecimiento con determinadas características psíquicas,
intelectuales, emocionales y sociales que influyen en lo que puede ser
aprendido y en la profundidad de la comprensión; los alumnos tienen mejores y
más frecuentes logros cuando los conceptos por aprender están lo
suficientemente cerca de su nivel de desarrollo como para que, mediante un
esfuerzo factible, logren determinadas metas.
9. El aprendizaje se logra mejor si las metas deseadas son alcanzables:
Los esfuerzos que los estudiantes realicen para lograr determinada meta deben
estar acordes para alcanzarla; este principio es casi obligado por la naturaleza
afectiva del aprendizaje constructivista. Lo contrario sería exponer al estudiante
al fracaso, en demérito de su autoestima y con el riesgo de provocar
sentimientos indeseables de frustración.
En el mismo documento de Glatthom (Ibídem) se incluyen seis funciones
esenciales donde se hace mención al papel que los maestros desempeñan en
el enfoque constructivista, con la posibilidad de tener clarificadas las
actividades que se deben realizar en el proceso para conseguir cerrar el
círculo:
1. El modelo: el maestro realiza el trabajo de manera que los estudiantes
puedan observarlo y construir el modelo conceptual de los procesos.
2. Guiar. el maestro observa a los alumnos mientras ellos realizan el
trabajo y les ofrece retroalimentación, sugerencias y modelos.
46
3. Apuntalamiento y derrumbe: apuntalar es una metáfora de la
estructura cognoscitiva. En las etapas iniciales del proceso de
aprendizaje, el estudiante parece funcionar mejor con una mayor
estructura, utilizando las indicaciones proporcionadas por el maestro, las
explicaciones específicas y las estrategias organizadas para darle
sentido a un problema y comprometerlo en su solución. Al ir
progresando, el estudiante, necesita menos andamios; la meta es
"derrumbarse" para revertir de forma gradual el proceso completo hacia
el estudiante, de manera que se convierta en su propio regulador.
4. La articulación: el maestro ayuda al alumno a articular su conocimiento
y a su proceso de raciocinio para hacer visible el proceso cognoscitivo;
el reflejo es también una parte clave en el papel del maestro; este ayuda
al alumno a considerar sus procesos y a compararlos con los del
experto o con los de otro estudiante.
5. El maestro utiliza la exploración: presiona al alumno para elaborar
soluciones a los problemas por ellos mismos, formular preguntas y
encontrar respuestas.
La corriente constructivista enfatiza el hecho de ver al alumno como
constructor o productor activo de conocimiento y ubica la solución de problemas
como centro de todo proceso de aprendizaje, particularmente en los cursos de
Matemáticas. A continuación trataremos ese tema.
2.3.1.5 El Aprendizaje Basado en la Resolución de Problemas
Charnay (1995) afirma que "sólo hay aprendizaje cuando el alumno
percibe un problema para resolver.... es decir, cuando reconoce el nuevo
conocimiento como medio de respuesta a una pregunta". Esto es, la
transferencia del conocimiento matemático a nuevas situaciones problemáticas
47
hace que el alumno aplique estrategias para lograr darle solución al problema.
Es por ello que la actividad generada en la resolución de problemas juega un
papel importante en el aprendizaje de las Matemáticas, pues permite al
estudiante utilizar todos los conocimientos, las metodologías, las diversas
perspectivas de visualizar el problema, las posibles alternativas de abordarlo,
así como las relaciones existentes con otros problemas ya resueltos. Resolver
problemas es prácticamente un hecho muy frecuente en el curso de Geometría
Analítica, donde por su misma naturaleza se presta a generar situaciones
problemáticas que tienen relación con una realidad palpable que permite a los
estudiantes interactuar con los conceptos matemáticos y el medio que los
rodea. Por ejemplo, cuando a los alumnos se les pide determinar la distancia
entre dos puntos ubicados sobre alguna avenida o carretera, ellos establecen
los parámetros que intervienen y dan solución al problema rápidamente.
Santos (Ibídem) señala que "la actividad de resolver problemas ha sido
reconocida como un componente importante en el estudio del conocimiento
matemático". Además, menciona que Halmos sugiere que la resolución de
problemas es el corazón de las Matemáticas; Kleiner enfatiza que el desarrollo
de conceptos y teorías matemáticas se originan a partir de un esfuerzo por
resolver un determinado problema y Diudonné reconoce que la historia de las
matemáticas muestra que los avances matemáticos casi siempre se originan en
un esfuerzo por resolver un problema específico.
Bajo la perspectiva anterior, surgen dos cuestiones: ¿qué es un problema
para resolver? y ¿cuáles son los pasos para resolver el problema matemático?
Respecto a la primera pregunta, Parra (1989) menciona que: 11
••• un problema plantea una cuestión que debe ser modelada para encontrar la respuesta a una pregunta que se deriva de la misma situación". Y continúa diciendo" ... el problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea dispone de los elementos para comprender la situación que el problema describe y no dispone de
48
un sistema de respuesta totalmente constituido que permita responder de manera casi inmediata."
Respecto a la segunda pregunta, Polya (1978) identifica cuatro aspectos
relacionados con el proceso de resolver problemas:
1. Comprender el problema:
Se empieza por el enunciado del problema, tratando de visualizar el
problema como un todo, tan claramente como se pueda, sin ocuparse de los
detalles por el momento. Lo importante es familiarizarse con él, grabando su
propósito en la mente. ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
2. Concebir un plan:
Relacionar el problema con otro semejante que ya haya sido resuelto puede
conducir a la solución. ¿Hace falta introducir algún elemento auxiliar tal como
una figura, un gráfico, o un trazo auxiliar a fin de poder utilizarlo? En cualquier
problema deben utilizarse todos los datos, ¿se ha empleado toda la condición?
3. Ejecución de un plan:
Al empezar a ejecutar la estrategia del plan hay que comprobar cada uno de
los pasos realizados.
4. Examinar la solución obtenida:
Consiste en verificar el resultado, hacer una visión retrospectiva del
proceso de razonamiento que se usó.
Aunque Schoenfeld, mencionado en Santos (1992), coincide con Polya
en que la claridad en el entendimiento del problema resulta determinante en el
proceso de resolver problemas y que es importante reflexionar sobre
cuestiones tales como: ¿qué se pide?, ¿qué se tiene?, ¿a dónde se quiere
llegar?; reconoce que "uno aprende a resolver problemas exitosamente en la
medida que resuelve un gran número de problemas". Además, Polya sugiere
49
usar diversos métodos heurísticos, los cuales incluye el dividir o descomponer
el problema en problemas más simples, usar diagramas o gráficas y trabajar el
problema en sentido inverso. El autor manifiesta su convencimiento de que la
mejor forma de enseñar y aprender matemáticas es haciendo participes a los
estudiantes del redescubrimiento de los conceptos y que a la vez tengan
aplicaciones concretas a problemas reales.
Esto ha servido como marco de referencia para ubicar algunos tipos de
aprendizaje que apoyan la propuesta hecha en este trabajo. Sin embargo,
estos aprendizajes se realizan de manera individual en cada alumno y
dependiendo de ello es que se puede tener una mejor perspectiva de lo que
cada alumno adquiere al ponerlos en práctica, lo que conduce a observar de
manera directa la relación existente entre los diversos tipos de aprendizaje con
los estilos de aprendizaje que cada uno de los estudiantes tiene.
En el siguiente capítulo se hace la propuesta del diseño de la solución
basada en el prototipo del Diseño lnstruccional de Geometría Analítica y la
inclusión de prácticas colaborativas para utilizar el aprendizaje basado en la
resolución de problemas para desarrollar en el estudiante el aprendizaje
significativo.
50
CAPÍTULO 3
3. DISEÑO DE LA SOLUCIÓN
En esta parte se mencionan algunas diferencias existentes entre los
enfoques tradicional y constructivista para la enseñanza y aprendizaje de las
Matemáticas. También se presentan los lineamientos bajo los cuales se da
solución al problema enunciado en la sección de Introducción, así como una
práctica de Geometría Analítica para promover en los estudiantes el
aprendizaje significativo a través de la resolución de problemas bajo un
contexto constructivista, logrando con ello desarrollar el autoaprendizaje y
modificar su actitud hacia las matemáticas siendo unos seres activos y
participativos.
3.1 ENFOQUE TRADICIONAL Y CONSTRUCTIVISTA
La mayoría de los profesores en los cursos que se imparten a nivel
preparatoria usan un enfoque tradicional para la enseñanza de las
matemáticas, basado principalmente en una excesiva presentación expositiva y
mínima utilización de técnicas de grupo donde se propicie que el estudiante
tenga una actitud proactiva y participativa. Además, la gama de ejercicios que
se emplean son poco interesantes y muy repetitivos lo que origina en los
estudiantes una desmotivación ya que la mayoría de ellos no aplica los
conocimientos adquiridos para resolver una problemática particular en un
contexto adecuado a su realidad.
Esta situación ha ocasionado que muchos estudiantes adquieran niveles
básicos del dominio de las matemáticas y poco interés de profundizar en los
contenidos de los temas, ya que no encuentran aplicación a lo aprendido.
51
Por lo tanto, el autor sugiere actividades donde se involucre al estudiante
de una manera participativa y activa para su beneficio, en donde aplique los
conocimientos adquiridos con anterioridad y aprenda a utilizar como una
herramienta auxiliar alguno de los recursos que brinda actualmente lá
tecnología: la computadora.
3.2 DESCRIPCIÓN DE LA SOLUCIÓN
En este apartado se describen los elementos y las características que
conforman el Diseño lnstruccional del curso de Geometría Analítica así como la
metodología que se emplea para la resolución de problemas y las
características que conforman la práctica colaborativa.
3.2.1 El Diseño lnstrucclonal
El diseño instruccional es un proceso que examina, organiza y presenta
el contenido de un curso, de tal manera que se incremente la comprensión y la
retención del mismo por parte del estudiante. El objetivo fundamental del
diseño instruccional es lograr que se comprometa a cada alumno con el objeto
de estudio. La elaboración del Diseño. lnstruccional de Geometría Analítica
basado en la "Guía para el diseño instruccional de un curso" de la Dra. Mónica
Porras con sus fases macro y micro, incluye aspectos que involucran la
calendarización del curso, donde se determinan las fechas importantes para el
curso: aplicación de exámenes quincenales, exámenes parciales, entre otras.
Además, todas las materias que se imparten dentro del Área de
Matemáticas de la División Preparatoria corresponden a 1 O unidades/semana,
donde el autor propone que sean distribuidas de la siguiente manera: 5 horas
para la Instrucción Directa, 3 horas para el Aprendizaje Colaborativo y 2 horas
para el Estudio Individual. A continuación se describe cada una de ellas.
52
1. Instrucción directa:
Se da mediante clase presencial preferentemente para interactuar con los
alumnos acerca del material que hayan estudiado o bien la instrucción es de
tipo expositiva. En la clase presencial se explican los principales conceptos del
tema reforzando con preguntas y reafirmando con ejemplos y ejercicios.
2. Aprendizaje colaborativo:
a) Características principales: los alumnos coordinan la actividad e
interactúan a través de grupos de trabajo, discusión, correo
electrónico y prácticas colaborativas.
b) Se conforman equipos de trabajo para resolver problemas.
c) Las actividades se realizan de manera asincrónica.
3. Estudio lndlvldual:
Se realiza por medio de la lectura del libro de texto o libros de consulta y
artículos, solución de ejercicios, presentar reportes, preparar una presentación,
ejercicio de autoevaluación, investigar en biblioteca, investigar a través de
Internet. Algunas de ellas se describen posteriormente.
La distribución de las actividades instruccionales a lo largo de las 16
semanas del curso, constituyen una parte del diseño instruccional a nivel
macro.
A nivel micro, los elementos que contiene son los siguientes:
A. Información general: semana, temas, subtemas y fechas
B. Objetivos de aprendizaje
C. Actividades de enseñanza
D. Recursos necesarios
E. Actividades de aprendizaje
F. Distribución en los distintos medios
G. Observaciones
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La descripción de cada uno de los elementos se presenta a continuación.
A. Información general. En esta parte se distribuyen los temas y
subtemas por semana incluyendo fechas a lo largo de todo el semestre,
considerando el temario del programa oficial correspondiente.
B. Objetivos de aprendizaje. Su característica más importante es que
puedan orientar al alumno a lo largo del proceso. Los objetivos de aprendizaje
pueden ser Informativos y Formativos.
i) Informativos: se redactan en términos de lo que el alumno debe
aprender; indicándole qué debe hacer, cómo lo va a hacer y hasta
donde debe cumplir.
ii) Formativos: se consideran la función primordial de la Misión del
Sistema ITESM hacia el 2005. Estos objetivos se refieren a :
• La formación intelectual del alumno: por ejemplo, desarrollo del
pensamiento crítico, desarrollo de la creatividad, etcétera.
• La formación humana del alumno: tales como el ser honesto,
responsable, entre otros.
• La formación social del alumno: que sepa trabajar en equipo, que
tenga cultura de trabajo, etcétera.
• La formación profesional del alumno: implica que tenga la capacidad
de tomar decisiones, emprendedor, entre otros.
C. Actividades de enseñanza. Son todas aquellas estrategias que utiliza
el profesor para propiciar el cumplimiento de los objetivos de aprendizaje. Se
describen claramente las acciones que se realizan durante el curso, así como
las metodologías que ya conoce, o bien puede incorporar algunas técnicas de
enseñanza individuales y colectivas.
54
D. Recursos necesarios. Para cada actividad de enseñanza el profesor
lista qué necesita para poner en práctica las diferentes estrategias.
E. Actividades de aprendizaje. En este apartado el profesor diseña las
actividades y describe detalladamente las acciones que debe ejecutar el
alumno para cumplir con los objetivos de aprendizaje propuestos. La
descripción de cada actividad debe responder al qué, cómo y hasta donde debe
actuar el alumno. Una nota importante es que el profesor debe incluir como una
actividad de aprendizaje la evaluación de cada objetivo de manera formativa y
también sumativa.
F. Distribución en los distintos medios. Una vez que el profesor decide
los medios con los que trabajará, asigna las actividades correspondientes a
cada uno. Por ejemplo, en el medio tecnológico: la computadora junto con
programas computacionales gráficos (derive, cónicas), calculadora científica,
correo electrónico, internet, biblioteca virtual; en el medio impreso: libro de texto
o bibliografía complementaria, revistas especializadas, duplicados o fotocopias
de artículos y documentos.
G. Observaciones. El profesor hace las anotaciones pertinentes respecto
a las actividades propuestas para cada objetivo; observa cómo se desarrolló
cada actividad y qué puede mejorar respecto a la misma; esta información le
será útil para el rediseño del curso y para compartirla con los miembros de la
academia, de tal manera que se tomen decisiones que impacten
favorablemente a la currícula del programa de preparatoria.
A lo largo del proceso se debe realizar la revisión y la evaluación formativa
correspondiente para asegurar el éxito del diseño.
Una vez que el curso se implante es recomendable que se realice
investigación educativa, considerando esto como un proyecto educativo el cual
55
debe transformarse en términos de la mejora continua, por lo tanto el rediseño
del curso no concluye sino que cada vez se per1ecciona más.
Por otro lado, el promover el desarrollo en los estudiantes del aprendizaje
significativo de la Geometría Analítica a través de prácticas colaborativas, el
autor propone que ese aprendizaje se realice a través del enfoque
constructivista que permita "enseñar a pensar y actuar sobre contenidos
contextualizados".
3.2.2 Metodología de resolución de problemas
De las actividades que se proponen en el Diseño lnstruccional para llevar
a cabo el aprendizaje significativo, se distinguen las prácticas de Geometría
Analítica cuyo objetivo principal es que el alumno resuelva problemas reales
tomando como marco de referencia la siguiente metodología propuesta por
Moreno (1993):
1. Confrontación con un problema real:
Es el punto de partida del aprendizaje en donde los integrantes del
grupo conocen cuáles son los objetivos de aprendizaje; enfrentan y
viven el problema, se apropian de él y lo comprenden; proponen
soluciones con los recursos que se disponen: utilizan su experiencia,
sus habilidades, sus conocimientos, actitudes, etcétera.
2. Análisis y reflexión sobre la confrontación y el abordaje del
problema:
En esta parte se le pide al grupo que haga explícita su comprensión y
descripción del problema, se verifica la veracidad de la información que
sustenta el problema. Es decir, se identifican los elementos que
conforman el problema (lo que se tiene y lo que hace falta): hipótesis,
tesis, datos.
56
3. Elaboración de un plan de trabajo y aprendizaje por parte del
grupo:
Se identifican las necesidades de aprendizaje, la información y recursos
requeridos para resolver el problema, se aplican las teorías,
información y las técnicas; se establecen objetivos de trabajo y
aprendizaje. Se diseña un plan de acción que conduzca al logro de los
objetivos en el que se especifican actividades por realizar, tiempo, lugar
y responsabilidades de cada uno de los integrantes del grupo.
4. Realización del plan de trabajo:
Se lleva a cabo la búsqueda de información, la preparación de algún
material, la práctica o adquisición de habilidades, la discusión e
intercambio con otras personas y la reflexión personal, orientadas todas
estas actividades a la resolución del problema.
5. Reunión del grupo. Nueva confrontación con el problema real:
El grupo se reúne nuevamente y propone sus explicaciones o
procedimientos de solución, utilizando los conocimientos o habilidades
adquiridas a través del plan de trabajo y aprendizaje realizados.
6. Reflexión del grupo sobre esta última actividad:
Se evalúa la validez, adecuación y calidad de la solución propuesta, los
procedimientos y elementos utilizados; se determina si se ha llegado a
una solución satisfactoria o si aún quedan aspectos por resolver; se
examinan posibles generalizaciones o aplicaciones diversas; se evalúa
el trabajo previo realizado. Si el problema ha sido resuelto
satisfactoriamente, se pasa a otro problema y el ciclo del proceso se
repite. Esquemáticamente esta metodología se observa en la siguiente
figura:
57
,-+
Figura 4. Aprendizaje significativo basado en la
resolución de problemas
llnlflo 1
Confrontación con Análisis y reflexión sobre Elaboraclón de un un problema real r+ la confrontación y el r---t plan de trabajo y
abordaje del problema aprendizaje por parte del grupo
_.. l ---------- Reallzaclón del ---No se logró un -- plan de trabajo desempeño -satisfactorio !
Reflexión del Reunión del - grupo - grupo
SI se logró un desempeño satisfactorio -
3.2.3 Formato de las prácticas
En cada una de las prácticas se incluyen los siguientes puntos:
1. Título. Determina el nombre del tema al que corresponde la práctica.
2. Objetivos. Se especifican los propósitos o finalidades de la práctica dirigidas
a las acciones que el alumno podrá llevar a cabo al concluir la misma.
3. Ubicación del tema. Se describe el lugar que ocupa el tema en relación con
el programa sintético del curso de Geometría Analítica.
4. Prerrequisitos. Se mencionan los conceptos básicos necesarios que debe
tener el estudiante para abordar la problemática (conocimientos mínimos).
5. Medios instruccionales. Son los recursos (calculadora, computadora,
etcétera) que se usarán para realizar la práctica.
58
6. Estrategias de enseñanza. Son procedimientos, técnicas o actividades que
el profesor llevará a cabo para orientar el trabajo del estudiante hacia la
resolución del problema.
7. Estrategias de aprendizaje. Se plantean preguntas que conduzcan al
descubrimiento de la solución del problema real.
8. Transferencia del aprendizaje significativo. Se hace una reflexión y se
plantean nuevas preguntas o problemas para reafirmar lo aprendido y lograr
hacer la transferencia del conocimiento.
9. Evaluación. Se hace referencia al tipo de evaluación que se llevará a cabo
tal como la autoevaluación, coevaluación y la evaluación del profesor.
3.3 DESARROLLO DE LA SOLUCIÓN.
A continuación se presenta el Diseño lnstruccional del curso de
Geometría Analítica con sus fases macro y micro.
59
O\ o
Pral .: __ , __ Ho<u 1 ,__ ..... ,..
1 E-
2 lnlagrw1ema de oilloma
decoord.
3 Sislemadec:oonlenadaa
.......... 4 La recta
s La rada
6 Trandonnacidn de -7 Ci"curlareneia y elipse
8 Segundo•-~ ......... 1
9 lf'llegrw loma de «<Url.
veli>M
10 Segundouamon
oardal
11 P.-ehipérbola
12 Parábola e hipérbola
13 Ecuación general de se-
'.JUndo orado en 2 variables
14 Análisis de curvas algat,r.:
inlersec:c, stmetrias, asinl .
15 Oe~as cuadrálicas
16 lnlegrar et tema de de.sj .
Igualdades cuadnl1icas .
Focha:
Clava: PM9S400
INSTRUCCION DIRECTA
2 3 4
Ercuadra Encuadre Sislerra de aodenadas
, .............. Slsema de c:oordenadas Sislomade--. Sisloma de coortloradas
1..,.., .. .......... 1 ........
Integrar lema de sislema Priner uamen quincenal Larec:la
de--
La rada LaAlda Transl-de -1n1.-r lama de la. recta Primer eaman pan:íal Transl..-de -lnlegrar loma do lranslor· Cmlrl_y..__ Cl=rlenn:la y elipse
rnacóónde-
Ciro..l~erencia y elipse Cmlrl- y elipse Cln:unleranclo y .._,..
c«urlerencia y elipse Cmlrl_y...,.. Cln::<d-y----
P...-ehipérbola P.- • ....-
p __ .._,._ P-laahipérbola p-·~ __ ...,._
P.-i. e hipérbola p-·~ Pa-ohipérbola
Par.lbola e hipérbola lnlegrar las lomos de la Integrar m lemas de las
P_e ............ --Ecuación general de se- Ecuación gefWal de se- ANisis do CUMIS olgeb<.:
laundo or3do en 2 variables ... _...........t...en2vartlbles ftet"Sea: , únelrias. asint.
An.tlisi.s de curvas atgebr.: An41isisdearrvasalgebr. : Integrar el lema de an.Hi.sis
nt•rsecc. sirnetrias. asn. W1181S8CC, sinelrtas, asinl:. de"'"""' el---
Desigualdades cuadrálicas Desigualdades cuadnllica& ~ cuadrálica&
Repaso genen>I del ""'1<l Repaso~ del CYJSO Repaso general del C\nO
Fase macro
APRENDIZAJE COLABORATIVO
5 6 7 B
SÍSIOIM de coordenadas
,.....,_..,_
Slsema de coonlonadas
1 ........
La recta EJ<plicarellemadela,_ EJplcafellemOdelare:ta E,opicar el lema de la rada
lv sus diferanlm tomas y - difarenles lonnas lv sua dlen,nl• lormN
Tra...,_de -Translormacidn de lnlwact.-engq,mde lnt.-.ctla' en Qn4J09 de lntlndum en grupo& de - ... ~ ...... ollranll. de -
___ de_
ciscuslón ollransl. de a>artt
Cln::<nsanciay.._,.., lnlerztLS en gn,1U1 di lnlaradLBr en~ dll lnlenctuar en gn4)0l5 de ............ ____ clilclmldnaldran ........ cloalslónalclralnl. v.._
Cmmleroncia y o1.,..
C4R:un•ancio y .....
p-• ......- lnleract~ en~ di lnleradl.W en ~ de lrOen,duor en - de - ........... ......,_ -----·-- -----·--p_ • .,_,.._
P-•hipérbola
Tercer-men quncenal lnteraduar en gr..,as de lnlen,duatenll"4)09de ln18rae1uar en ll"4JOS de
- alee . de 2do ....... diocusilln alee.de 2do ,...._ -...in aloe.de 2do......,
Anillals de curvaa algebr.:
inlonea:, olmelriu, ......
Tercer eumen parcial
~ cuadráUc"s
R__, veneral del curso
S.-:
l.)ridadaS: 10
E.STUDIO INDIVIDUAL
9 10
I.Joduradollbrude- .__.., dol lbro de ledo : ...... __ --I.Jodura dol lbro de - -dol lbro de ledo
td>nolaracta.Sou:.--- - .. ,__ Soluc. ...,,_
"'--.... __, "'-----_ .. __ _ .. __ Sou:illnde...- Saluclllndetjoft:idrJa
aalnlara:la. dnlaracta.
Sou:idndelljadom Saluclllndeejorticino
sabre nndom. de aadon.
__ de _ _
- ... raparte- - ... raparte ...
... - -carad. de cird.
____ de .......
Soluddn de ojon:icm S<ú:idnde..-
sot>111án:ln.Y-- ---·--... -- -... --locln:lri.Yll8- .. -·---- ... ,___ - ... ,..,..ca-... - .-.de-. ----.de-.
Solución de...- SaluclllndeejorticiDo --·- --·---... -- -... --.. -.-- .. _, __ Sou:idndeejenzios ,,,__.,._ - la oc. de 2do. _,__ -lasaax. alnicas.
Solución de ejen:dos Sola:illnde.¡,.,:icms --de-. -....-decuvas.
Solución de ojerácios Soucaldee¡.ciáos
sd>r11anMsisdocu,,as. ---dec:uvas.
l.aclura de lbru de.,.,,.... laclura de lbru de cor,oula -·--Id __ _ ............ ___ Prasef1al ~ repone mbnt Soucaldeojerdclos
la solución de,._.,_ aalr. do-----
e-)
w . .... e ¡¡· e, :SI o 5' !!. .. e n n o· :::s !!. D. e, G) e, o 3 !. .. ¡• > :::s !!. ;::::¡.• ñ" ~ -n I» u, e,
3 I» n .. o
3.3.2 Diseño lnstruccional de Geometría Analítica. Fase micro.
Tema 1.
ítulo: Encuadre. Sistema de coordenadas rectangulares
~ Tiempo: Encuadre (3 h). Sistema de coordenadas rectangulares (2 h).
Integrar tema de sistema de coordenadas rectangulares (1 h).
Jl Bibliografía: Lehmann, Cap. 1, pp. 1-31.
Riddle, Cap. 1, pp. 2-20
e 1.1 Objetivos de aprendizaje informativos
El alumno revisa y reconoce los derechos y obligaciones que se tienen como
estudiantes dentro y fuera del salón de clases.
Discute con el profesor la propuesta sobre las políticas del curso y formula
propuestas, sugerencias y/o modificaciones a las políticas.
Valora la Misión del Sistema ITESM hacia el 2005 y plantea de manera oral y
escrita juicios sobre la Misión del Sistema ITESM.
Resuelve un examen diagnóstico para conocer el nivel de conocimientos
mínimos con que llega al curso.
Identifica mediante autoestudio las características más importantes del sistema
de coordenadas rectangulares y determina las fórmulas para encontrar la
distancia entre dos puntos, las coordenadas de un punto que divide a un
segmento en una razón dada, y el área de un triángulo dados sus vértices.
~ 1.2 Objetivos de aprendizaje formativos
El alumno trabaja en equipo. Hace uso eficiente de la informática y las
telecomunicaciones así como de una buena comunicación oral y escrita.
Desarrolla el pensamiento crítico, la capacidad para tomar decisiones, identifica
y resuelve problemas, analiza, sintetiza y evalúa. Adquiere sentido de
responsabilidad.
61
.1.3 Actividades de enseñanza
Generar un ambiente agradable de trabajo en el salón de clases que permita a
los alumnos expresar sus ideas. Realizar una dinámica donde se pregunta a los
alumnos si conocen sus derechos y obligaciones como estudiantes del Sistema
ITESM. Conformar equipos de trabajo para leer y comentar los artículos del
Reglamento General de Alumnos. Una vez que se conozcan esos derechos y
obligaciones, solicitar a cada alumno que escriba en una hoja sus datos y su
compromiso como estudiante activo y responsable.
Entregar a cada alumno las políticas del curso y preguntar si están de acuerdo
con ellas, en caso contrario motivarlos para que propongan modificaciones.
Una vez escuchadas sus sugerencias, tomar una decisión equilibrada por parte
de alumnos y profesor. Preguntarles sobre sus expectativas del curso.
Dar una visión sobre el perfil de los alumnos así como sus valores, actitudes y
habilidades y las características del proceso enseñanza-aprendizaje, basados
en la Misión del Sistema ITESM.
Proporcionar a cada alumno el examen diagnóstico.
Se les comenta que el tema de Coordenadas rectangulares es de autoestudio y
de autoaprendizaje, por lo que se forman equipos de trabajo que investigan al
respecto. Los subtemas son: definir lugar geométrico, distancia entre dos
puntos, obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una
razón dada, obtener el área de un triángulo dados sus vértices. El contenido del
trabajo debe cubrir: teoría, definiciones, ejemplos resueltos, bibliografía. Se le
informa a algún equipo que deben preparar una clase para impartir resto del
grupo en donde deben incluir aspectos geométricos, algebraicos o numéricos.
Se les indica que deben formar equipos de trabajo para hacer una
recapitulación del tema de Sistema de coordenadas rectangulares. Se
cuestiona a los estudiantes sobre los conceptos, elementos y aspectos
fundamentales del tema y se les motiva para que participen. Se juzga si el
contenido del resumen del grupo es suficiente.
62
.1.4 Recursos necesarios
Ejemplares del Reglamento General de Alumnos para cada uno de los
estudiantes del grupo. Sillas movibles para colocarlas en cf rculo. Duplicados de
la hoja compromiso tamaño carta y una carpeta de argollas para conservarlas.
Documento impreso de las Políticas del Curso para cada estudiante.
Cuadernillo de la Misión del Sistema ITESM hacia el 2005 para cada
estudiante. Examen diagnóstico impreso para cada estudiante. Listado de
bibliografía .
• 1.5 Actividades de aprendizaje
Los alumnos comunican de manera oral su nivel de conocimiento sobre los
derechos y obligaciones que tienen como estudiantes del Sistema ITESM.
Conforman equipos de trabajo (5 alumnos) de acuerdo a sus intereses y se les
proporciona el Reglamento General de Alumnos para que intercambien puntos
de vista sobre aquellos artículos que crean conveniente discutir y/o aclarar.
Cada alumno escribe en una hoja sus datos personales y de la materia, la
fecha, así como sus compromisos como estudiante activo y su firma.
Los alumnos proponen sugerencias a las políticas del curso mediante la
participación activa, escuchando a los que participan dentro de un marco de
respeto, buscando siempre que las propuestas se apeguen a una realidad que
beneficie el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se establecen compromisos
mutuos de responsabilidad y confianza entre alumnos y profesor.
Valoran la Misión del Sistema ITESM mediante participación oral activa en el
salón de clases. Envían sus comentarios vía correo electrónico al profesor
respecto de la Misión del Sistema ITESM.
Demuestran sus conocimientos matemáticos previos adquiridos en los cursos
anteriores en la solución del Examen Diagnóstico.
Investigan por cuenta propia y conforman los equipos de trabajo de acuerdo a
sus intereses y ellos mismos formulan los procedimientos para recabar
información sobre los temas o conceptos propuestos y lo integran en un
63
documento escrito. Se autoevalúan y envían el documento de investigación al
profesor vía correo electrónico. Preparan una clase para exponer ante el grupo.
Se organizan para formar equipos de trabajo (5 estudiantes) y escriben un
resumen sobre los aspectos importantes del tema de Sistema de coordenadas
rectangulares. Nombran un representante por cada equipo de trabajo, pasa al
frente a exponer, escribe en el pizarrón los resultados y el grupo determina el
contenido del resumen.
lf 1.6 Evaluación sumativa
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación y coevaluación: 5%.
Uso del correo electrónico: 5% .
• 1.7 Evaluación formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del documento
escrito y la buena comunicación oral en la exposición del tema.
64
Tema 2.
llrrtulo: Sistema de coordenadas polares
~ Tiempo: Sistema de coordenadas polares (4 h). Integrar tema de
sistema de coordenadas polares (2 h). Primer examen quincenal (1 h) .
.Jl Blbllografía: Lehmann, Cap. X, pp. 237-256.
Riddle, Cap. VIII, pp. 274-290.
~ 2.1 Objetivos de aprendizaje informativos
El alumno describe el sistema de coordenadas polares. Determina las
diferencias entre el sistema de coordenadas rectangulares y el sistema de
coordenadas polares.
Integra los principales elementos del tema de sistema de coordenadas polares.
~ 2.2 Objetivos de aprendizaje formativos
El alumno trabaja en equipo. Identifica y resuelve problemas.
Adquiere sentido de responsabilidad y honestidad.
Hace uso de una buena comunicación oral y escrita
1112.3 Actividades de enseñanza
Se describen los elementos que conforman el sistema de coordenadas polares,
se dan ejemplos y ejercicios de localización de puntos. Se calculan distancias
entre dos puntos en el sistema de coordenadas polares.
Se les informa que deben formar equipos de trabajo para hacer una
recapitulación del tema de Sistema de coordenadas polares. Se cuestiona a los
estudiantes sobre los conceptos, elementos y aspectos fundamentales del tema
y se les motiva para que participen. Se juzga si el contenido del resumen del
grupo es suficiente.
65
Se dan las instrucciones necesarias para que hagan su primer examen
quincenal de una manera limpia y ordenada, enmarcando con rojo sus
resultados .
• 2.4 Recursos necesarios
Retroproyector y filminas con coordenadas polares. Hojas con coordenadas
polares. Calculadora científica. Listado impreso con ejercicios variados.
Disposición de sillas en círculo. Examen impreso.
111 2.5 Actividades de aprendizaje
El estudiante determina las relaciones que existen entre las coordenadas
rectangulares y las coordenadas polares. Localiza puntos y encuentra la
distancia entre puntos en coordenadas polares.
Grafica algunas ecuaciones dadas en coordenadas polares tales como la rosa
de cuatro hojas, cardiode, trébol.
Los alumnos se organizan para formar equipos de trabajo (5 estudiantes) y
escriben un resumen sobre los aspectos importantes del tema de coordenadas
polares. Se nombra un representante por cada equipo de trabajo, pasa al frente
a exponer, escribe en el pizarrón los resultados y el grupo determina el
contenido del resumen.
Cada alumno resuelve el examen, determinando su nivel de avance y su grado
de responsabilidad al prepararse bien para obtener buenos resultados y su
honestidad en el sentido de no copiar ni sacar "acordeones".
1w 2.6 Evaluación sumativa
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación y coevaluación: 5%.
Primer examen quincenal: 25%.
66
• 2. 7 Evaluación formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del resumen. El
examen quincenal se evalúa mediante la resolución del mismo mostrando una
actitud de honestidad y una cultura de calidad al hacerlo con orden y limpieza.
Tema 3.
11,.ítulo: La recta
~ Tiempo: La recta (7 h). Integrar tema de la recta (2 h). Primer examen
parcial (1 h).
Jl Bibliografía: Lehmann, Cap. 111, pp. 56-96.
Riddle, Cap. 1, pp. 20-35, Cap.111, pp. 83-120.
~ 3.1 Objetivos de aprendizaje informativos
El alumno define la ecuación general de la recta. Determina e interpreta las
condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas mediante procesos
algebraicos y gráficos.
Calcula la longitud del segmento trazado del origen o de un punto a una recta.
Encuentra el ángulo entre rectas.
Halla la ecuación de una familia de rectas. Grafica diferentes ecuaciones de
rectas dadas en forma pendiente-ordenada al origen, modificando ya sea la
pendiente o la ordenada al origen, obteniendo diferentes familias de rectas.
Resuelve problemas de Geometría Elemental, aplicando conceptos de la recta.
Encuentra el punto de intersección de las rectas notables de un triángulo
cualquiera, tanto en forma algebraica como gráfica. Reconoce algunas
propiedades de las rectas notables de un triángulo cualquiera y desarrolla
procesos para graficar las rectas notables con regla y compás.
67
Determina la forma polar de la ecuación de la recta.
Integra los principales elementos que conforman el tema de la recta.
~ 3.2 Objetivos de aprendizaje formativos
El alumno trabaja en equipo. Desarrolla el pensamiento crítico, la capacidad
para tomar decisiones, identifica y resuelve problemas, analiza, sintetiza y
evalúa. Hace uso eficiente de la informática y las telecomunicaciones, una
buena comunicación oral y escrita. Adquiere sentido de responsabilidad y
honestidad.
Aprende por cuenta propia.
IIJ 3.3 Actividades de enseñanza
Mediante clase presencial se exponen los conceptos: ángulo de inclinación y
pendiente de una recta, la recta como lugar geométrico, ecuaciones de rectas
paralelas a los ejes coordenados, apoyados por un paquete computacional
(Derive, Calculus) que refuerce el aspecto geométrico de la pendiente y de las
ecuaciones de las rectas. Se informa a los alumnos que el tema de las
ecuaciones de la recta es de autoestudio y de autoaprendizaje, por lo que se
forman equipos de trabajo que investigan las ecuaciones de la recta en sus
formas: simétrica, punto-pendiente y pendiente-ordenada al origen. El trabajo
de investigación debe ser enviado vía correo electrónica al profesor junto con la
autoevaluación de cada uno de los integrantes del equipo. El contenido del
trabajo debe cubrir: teoría, definiciones, ejemplos resueltos, bibliografía. Se les
informa que deben estar preparados para que expongan al resto del grupo,
mediante exposición directa, los temas que se dejaron para investigar en donde
se deben incluir aspectos geométricos, algebraicos o numéricos.
Dadas las ecuaciones de dos rectas que sean paralelas o perpendiculares, se
obtienen las pendientes mediante procesos algebraicos y se observa la relación
existente entre ambas. Se grafican las rectas, se identifican las pendientes de
ambas curvas y se observa la relación existente entre ambas.
68
Dado un punto con coordenadas enteras en el plano de coordenadas
cartesianas y una recta paralela a los ejes coordenados, se calcula la distancia
entre ambos elementos de manera gráfica, observando que la distancia se
obtiene al trazar la línea que une el punto dado y que es perpendicular a la
recta dada. Usando la fórmula se realizan varios ejercicios con líneas que no
sean paralelas a los ejes coordenadas y que incluso el punto tenga
coordenadas reales.
Se deduce la fórmula para encontrar el valor del ángulo entre dos rectas.
Dadas las ecuaciones de dos rectas que no sean paralelas, se grafican e
identifican los ángulos que se forman en el punto de intersección. Se calcula el
valor del ángulo (agudo u obtuso), mediante la fórmula.
Graficar la ecuación de una recta dada en forma pendiente - ordenada al origen
(y= mx + b). Con base en esa ecuación, se modifica únicamente el parámetro
"b" obteniéndose familias de rectas con la misma pendiente (rectas paralelas) y
diferente ordenada al origen. Graficar las rectas. Ahora, se modifica únicamente
la pendiente "m", obteniéndose familias de rectas que pasan por el punto dado.
Se grafican las rectas. Se informa al alumno que debe hacer un resumen sobre
las características de los dos casos de familias de rectas y deben enviarlo vía
correo electrónico al profesor.
Se localizan tres puntos no colineales en el sistema de coordenadas
rectangulares de tal forma que resulte un triángulo que no sea equilátero y se
explican verbalmente y por escrito las principales rectas notables: mediatriz,
mediana, altura y bisectriz. Se dan los procedimientos para graficar las rectas
notables con regla y compás. Se grafican en un triángulo las tres mediatrices y
se hace énfasis en que coinciden en un mismo punto. Se hace lo mismo con
las restantes rectas notables, enfatizando el punto de intersección común,
dando su nombre para cada caso. Se realiza de forma algebraica el
procedimiento para encontrar el punto de intersección de las mediatrices y se
deja como trabajo de investigación en equipos de trabajo los procedimientos
para encontrar el punto de intersección para cada una de las otras rectas
notables, tanto en forma algebraica como grafica. Se encuentra el punto de
69
intersección de las medianas de un triángulo cualquiera y se les dice que ese
punto es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo. Se les plantea
¿qué otra propiedad tiene el punto de intersección de las medianas? (si no la
conocen, que investiguen al respecto). Se les pide que investiguen si existe un
punto de intersección de rectas notables que sea el centro de una
circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo.
Se informa a los alumnos que el tema de determinar la forma polar de la
ecuación de la recta es de autoestudio y de autoaprendizaje, por lo que se
forman equipos de trabajo que investiguen al respecto. El trabajo de
investigación debe ser enviado vía correo electrónico al profesor junto con la
autoevaluación de cada uno de los integrantes del equipo. Además, se les
indica que preparen una presentación del tema investigado.
Se les dice que deben formar equipos de trabajo para hacer una recapitulación
del tema de la recta. Se cuestiona a los estudiantes sobre los conceptos,
elementos y aspectos fundamentales del tema de la recta y se les motiva para
que externen sus opiniones. Se juzga si el contenido del resumen del grupo es
suficiente.
Se dan las instrucciones necesarias para que hagan su primer examen parcial
de una manera limpia y ordenada, enmarcando los resultados con rojo .
• 3.4 Recursos necesarios
Computadora con programa computacional que grafique (Calculus, Derive).
Sala de multimedios con Cañón. Listado de bibliografía. Pizarrón, marcadores
para pizarrón blanco, regla y escuadras de madera, calculadora científica.
Hojas de papel milimétrico o de cuadrícula. Tijeras, cartoncillos, regla con
unidades de medición. Disposición de sillas en círculo. Examen impreso .
• 3.5 Actividades de aprendizaje
El alumno resuelve ejercicios donde se calcule el valor ·de la pendiente y el
ángulo de inclinación de las rectas. Obtiene y grafica ecuaciones de rectas que
70
sean paralelas a los ejes coordenados. Se forman equipos de trabajo de
acuerdo a sus intereses (entre 3 y 5 alumnos) e investigan sobre las diferentes
formas de las ecuaciones de la recta: simétrica, punto-pendiente y pendiente
ordenada al origen. Intercambian puntos de vista sobre las características
propias de cada una de las formas de las ecuaciones de las rectas, así como
de sus gráficas y las transforman a las diferentes formas entre sí. El equipo
elabora un escrito que contenga los principales aspectos de las formas de las
ecuaciones de la recta, así como de sus gráficas el cual debe enviar al profesor
vía correo electrónico, también se debe incluir la autoevaluación de cada
participante. Además, deben preparar una presentación del tema investigado.
El alumno determina las pendientes de las ecuaciones de dos rectas que sean
paralelas o perpendiculares por medio de operaciones o procesos algebraicos y
compara ambas pendientes. Las mismas rectas se grafican y, analiza mediante
el aspecto geométrico, la relación existente entre ambas pendientes. Realiza
diversos ejercicios similares.
Calcula varias distancias de diversos puntos a una recta y los verifica
(aproximadamente) con ayuda de una regla con unidades de medición. Así
mismo, determina la distancia entre dos rectas paralelas, haciendo uso de la
distancia de un punto cualquiera de las rectas a la otra recta.
Encuentra el valor del ángulo (agudo, obtuso, recto) que se forma al cortarse
dos rectas que no sean paralelas.
Dada una ecuación de una recta en la forma pendiente-ordenada al origen, el
alumno la grafica y modifica el valor de la ordenada al origen en varias
ocasiones, graficando cada una de las rectas. Dada una ecuación de una recta
en la forma pendiente-ordenada al origen, el alumno la grafica, modifica el valor
de la pendiente en varias ocasiones, y observa las gráficas de cada una de las
rectas. Cada alumno elabora un resumen sobre las características de las
familias de rectas que se obtuvieron en los dos casos anteriores y lo envía al
profesor vía correo electrónico.
Los alumnos forman equipos de trabajo y encuentran de manera gráfica el
punto de intersección de las medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de un
71
triángulo dado. Ahora, encuentran el punto de intersección de cada una de las
rectas notables pero por procedimientos algebraicos y verifican que estos
puntos efectivamente coincidan con lo hecho en el aspecto geométrico. Cada
equipo dibuja un triángulo cualquiera en un cartoncillo y encuentran el punto de
intersección de las medianas. Comprueban que el punto encontrado es el
centro de la circunferencia inscrita al triángulo y que ese punto de intersección
se encuentra a las 2/3 partes de cada uno de los vértices del triángulo. Cada
equipo dibuja un triángulo cualquiera en un cartoncillo y encuentra el punto de
intersección de las mediatrices. Verifican que ese punto es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo (pasa por los tres vértices).
Forman equipos de trabajo de acuerdo como lo determinen los propios
estudiantes, para investigar sobre el tema y elaboran un resumen que contenga
los principales aspectos de la forma polar de la ecuación de la recta, así como
las gráficas de algunas de ellas en el plano de coordenadas polares. El equipo
de trabajo envía el resumen al profesor vía correo electrónico donde incluyan la
autoevaluación de cada participante. Además, preparan una presentación del
tema investigado.
Los alumnos se organizan para formar equipos de trabajo ( 5 estudiantes) y
escriben un resumen sobre los aspectos importantes del tema de la recta. Se
nombra un representante por cada equipo de trabajo, pasa al frente a exponer,
escribe en el pizarrón los resultados y el grupo determina el contenido del
resumen.
Cada alumno resuelve el examen, determinando su nivel de avance y su grado
de responsabilidad al prepararse bien para obtener buenos resultados y su
honestidad en el sentido de no copiar ni sacar "acordeones".
Ir 3.6 Evaluación sumativa
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación: 5% y coevaluación: 5%,
Primer examen parcial (50%), Uso del correo electrónico: 5%.
72
• 3. 7 Evaluación formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del documento
escrito y la buena comunicación oral en la exposición del tema.
El examen parcial se evalúa mediante la resolución del mismo mostrando una
actitud de honestidad y una cultura de calidad al hacerlo con orden y limpieza.
Tema 4 .
• I Título: Transformación de coordenadas
~ Tiempo: Transformación de coordenadas
transformación de coordenadas (2 h).
Jl Bibliografía: Lehmann, Cap. V, pp. 133-139.
Riddle, Cap. VI, pp. 184-202.
4.1 Objetivos de aprendizaje informativos
(3 h). Integrar tema de
El alumno determina las ecuaciones de traslación de ejes y las coordenadas de
algunos puntos respecto de dos sistemas de coordenadas rectangulares y
analizan la relación existente entre ambos.
Emplea en diversos ejercicios las ecuaciones de traslación de ejes.
Integra los principales elementos del tema de traslación de ejes.
~ 4.2 Objetivos de aprendizaje formativos.
El alumno trabaja en equipo. Hace uso de una buena comunicación oral y
escrita.
Identifica y resuelve problemas; analiza, sintetiza y evalúa.
73
11 4.3 Actividades de enseñanza
Definir el concepto de traslación como cualquier cambio de posición de un
objeto, sin que sufra alguna rotación. Se ubica un punto cualquiera en el plano
de coordenadas rectangulares de origen O y se pide a los estudiantes que den
sus coordenadas respecto a los ejes X y Y. Se procede a trasladar los ejes
coordenados a un nuevo origen O' y a unos nuevos ejes X' y Y'; y se pide a
los estudiantes que den las nuevas coordenadas respecto de este nuevo
sistema de coordenadas. Se cuestiona a los estudiantes acerca de la relación
existente entre los dos sistemas de coordenadas y el punto. Se determinan las
ecuaciones de traslación de ejes. Se plantean diversos ejercicios.
Se les informa que deben formar equipos de trabajo para hacer una
recapitulación del tema de traslación de ejes. Se cuestiona a los estudiantes
sobre los conceptos, elementos y aspectos fundamentales del tema y se les
motiva para que externen sus comentarios .
• 4.4 Recursos necesarios
Regla y escuadras de madera. Libro de texto y bibliografía complementaria.
Disposición de sillas en círculo .
• 4.5 Actividades de aprendizaje
Los alumnos localizan las coordenadas de varios puntos respecto a dos
sistemas de coordenadas rectangulares. Dan la relación existente entre ambos
sistemas de coordenadas y obtienen las ecuaciones que los relacionan. Aplican
las fórmulas de traslación a algunos ejemplos y ejercicios propuestos.
Los alumnos se organizan para formar equipos de trabajo (5 estudiantes) y
escriben un resumen sobre los aspectos importantes del tema de traslación de
ejes. Después nombran un representante por cada equipo de trabajo, pasa al
frente a exponer, escribe en el pizarrón los resultados y el grupo determina el
contenido del resumen.
74
lfl' 4.6 Evaluación sumatlva
Evaluación del profesor: 10% .
• 4. 7 Evaluaclón formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del resumen.
Tema 5 .
.,.ítulo: La Circunferencia
~ Tiempo: La circunferencia (6 h). Segundo examen quincenal (1 h).
Jl Bibliografía: Lehmann, Cap. IV, pp. 99-109, 129-132.
Riddle, Cap. IV, pp. 124-135.
4'Í 5.1 Objetivos de aprendizaje informativos
El alumno determina la ecuación estándar de Circunferencias dadas ciertas
condiciones y las grafica mediante procesos algebraicos; e inversamente,
dadas las ecuaciones de circunferencias, halla el centro y el radio.
Usa la computadora y el programa computacional Cónicas para verificar las
ecuaciones y las gráficas de las circunferencias, así como para ver los cambios
que se generan al modificar el centro y/o el radio de las circunferencias.
Expresa mediante procesos algebraicos la ecuación estándar de una
circunferencia en la forma general.
Identifica la ecuación de una circunferencia como un punto, un conjunto vacío o
una circunferencia real. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa
por tres puntos no colineales. Encuentra la ecuación polar de la circunferencia.
75
~ 5.2 Objetivos de aprendizaje formativos
El alumno trabaja en equipo. Identifica y resuelve problemas. Desarrolla la
capacidad de análisis, síntesis y evaluación. Hace uso eficiente de la
informática y las telecomunicaciones. Adquiere sentido de responsabilidad y
honestidad. Aprende por cuenta propia.
115.3 Actividades de enseñanza
Definir el lugar geométrico de la circunferencia. Determinar la ecuación de la
circunferencia en su forma estándar dados el radio y el centro, o el centro y un
punto de la circunferencia. Graficar las circunferencias.
Se les informa que el tema de expresar la ecuación estándar de la
circunferencia en forma general es de autoestudio y de autoaprendizaje, por lo
que se forman equipos de trabajo que investigan al respecto. El trabajo de
investigación debe ser enviado vía correo electrónico al profesor junto con la
autoevaluación de cada uno de los integrantes del equipo. El contenido del
trabajo debe cubrir: teoría, definiciones, ejemplos resueltos, bibliografía.
Además, se les indica que deben estar preparados para impartir al resto del
grupo, mediante exposición directa, el tema que se dejó para investigar en
donde se deben incluir aspectos geométricos, algebraicos o numéricos. Se les
presenta un problema para que trabajen colaborativamente en equipos de
trabajo, mediante la práctica de la circunferencia.
Dadas varias ecuaciones de circunferencias en forma general, se procede a
encontrar el centro y el radio mediante procesos algebraicos (agregar un
término a un binomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto). Todas las
circunferencias se grafican con la computadora. Se cuestiona a los estudiantes
acerca de si todas las expresiones con términos similares (dos términos
cuadráticos iguales) resultan siempre circunferencias reales. Se les dice que
investiguen si existen otras posibilidades acerca de este tipo de expresiones; si
las hay, que elaboren un cuadro que contenga el tipo de expresión, las
76
características y la curva u objeto que resulte. Se les informa que deben enviar
el cuadro al profesor vía correo electrónico.
Se les cuestiona si antes han realizado algún problema similar en cuanto a una
circunferencia que pase por tres puntos (vértices de un triángulo). Cuando
hayan recordado, se les motiva para que determinen los pasos a seguir para
encontrar la ecuación de la circunferencia, para ello se forman equipos de
trabajo. Se les plantean varios ejercicios para que determinen la ecuación de la
circunferencia que pase por tres puntos.
Se les informa que el tema de la ecuación polar de la ecuación de la
circunferencia es de autoestudio y de autoaprendizaje, por lo que se forman
equipos de trabajo que investigan al respecto. El trabajo de investigación debe
ser enviado vía correo electrónico al profesor junto con la autoevaluación de
cada uno de los integrantes del equipo. El contenido del trabajo debe cubrir:
teoría, definiciones, ejemplos resueltos, bibliografía; además, se les dice que
deben estar preparados para impartir al resto del grupo, mediante exposición
directa, el tema que se dejó para investigar en donde se deben incluir aspectos
geométricos, algebraicos, o numéricos.
Se dan las instrucciones necesarias para que hagan su segundo examen
quincenal de una manera limpia y ordenada, enmarcando con rojo sus
resultados .
• 5.4 Recursos necesarios
Computadora y paquete computacional que grafique las secciones cónicas
(Cónicas o Derive). Sala de multimedios con cañón. Práctica de La
Circunferencia impresa. Examen impreso.
111 5.5 Actividades de aprendizaje
El alumno grafica las ecuaciones de unas circunferencias, donde se le
proporciona el centro y el radio. Ahora, encuentra la ecuación de cada una de
las circunferencias que fueron graficadas. Dadas algunas ecuaciones de
77
circunferencias, determina el centro y el radio, y hace la gráfica
correspondiente. Aprende a usar el programa computacional Cónicas por
cuenta propia y lo utiliza para verificar las gráficas y las ecuaciones hechas en
los ejercicios anteriores. Además, observa de manera inmediata los cambios
que sufre la circunferencia al modificar el centro y el radio.
Investigan por cuenta propia y conforman los equipos de trabajo de acuerdo a
sus intereses y ellos mismos formulan los procedimientos para recabar
información sobre el tema o concepto propuesto para que lo integren en un
documento escrito. Se autoevalúan y envían el trabajo de investigación al
profesor vía correo electrónico. Preparan una presentación del tema para
exponer ante el grupo. Además, realizan la práctica de la circunferencia
formando equipos de trabajo y escriben todos los procedimientos que los
condujeron a la solución del problema en una hoja y alguno de los que
conforman el equipo debe pasar a exponer ante todo el grupo la metodología
empleada.
El estudiante encuentra mediante procesos algebraicos el centro y el radio de
las circunferencias, y al graficarlas se debe dar cuenta de que algunas de ellas
no son posibles de hacerse. Investiga por cuenta propia bajo que condiciones
no se obtienen circunferencias reales y elabora un cuadro con las
características que acaba de observar. Envía el cuadro vía correo electrónico al
profesor.
Forman equipos de trabajo y empiezan a escribir los procedimientos paso por
paso para resolver el problema de la ecuación de la circunferencia que pasa
por tres puntos. Cada equipo nombra un representante y pasa a escribir en el
pizarrón los pasos. El grupo determina el proceso correcto y lo utilizan para
resolver el ejercicio.
Los alumnos investigan por cuenta propia y conforman los equipos de trabajo
de acuerdo a sus intereses y formulan los procedimientos para recabar
información sobre la ecuación polar de la circunferencia para que lo integren en
un documento escrito. Se autoevalúan y envían el trabajo de investigación al
78
profesor vía correo electrónico. Preparan una presentación del tema para
exponer ante el grupo.
El alumno resuelve el examen, determinando su nivel de avance y su grado de
responsabilidad al prepararse bien para obtener buenos resultados y su
honestidad en el sentido de no copiar ni sacar "acordeones".
11' 5.6 Evaluación sumativa
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación y coevaluación: 5%.
Uso de la computadora: 5%, Segundo examen quincenal (25%) .
• 5. 7 Evaluación formativa
Participación activa así como por la graficación de las curvas en el programa
computacional Cónicas.
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del documento
escrito y la buena comunicación oral en la exposición del tema.
79
Tema 6.
llrrtulo: La Elipse
G, Tiempo: La Ellpae (5 h). Integrar tema de circunferencia y elipse (2 h).
Jl Blbliograffa: Lehmann, Cap. VII, pp. 173-186.
Riddle, Cap. V, pp. 159-170.
~ 6.1 Objetivos de aprendizaje informativos
El alumno determina la ecuación estándar de la elipse. Determina sus
elementos mediante procesos algebraicos y dados algunos elementos de la
elipse, determina su ecuación estándar.
Expresa la ecuación estándar de una elipse en la forma de la ecuación general
de segundo grado.
Aplica las propiedades de la elipse y la circunferencia a problemas.
Busca problemas de aplicación de la elipse y la circunferencia en Internet.
Integra los temas de circunferencia y elipse.
~ 6.2 Objetivos de aprendizaje formativos
El alumno trabaja en equipo. Identifica y resuelve problemas, analiza, sintetiza y
evalúa. Hace uso eficiente de la informática y las telecomunicaciones, una
buena comunicación oral y escrita. Adquiere sentido de responsabilidad y
honestidad.
Aprende por cuenta propia.
116.3 Actividades de enseñanza
Definir el lugar geométrico de la elipse. Se les explica a los alumnos el proceso
para graficar una elipse con una cuerda y dos estacas. Graficar elipses dadas
en su forma estándar y determinar los principales elementos de la elipse en su
80
forma estándar, con centro fuera del origen. Dados algunos elementos de la
elipse, determinar su ecuación en forma estándar.
Se les informa que el tema de expresar la ecuación estándar de la elipse en
forma general es de autoestudio y de autoaprendizaje, por lo que se forman
equipos de trabajo que investigan al respecto. El trabajo de investigación debe
ser enviado vía correo electrónico al profesor junto con la autoevaluación de
cada uno de los integrantes del equipo. El contenido del trabajo debe cubrir:
teoría, definiciones, ejemplos resueltos, bibliografía. Además, se les informa
que deben estar preparados para impartir al resto del grupo, mediante
exposición directa, el tema que se deja para investigar en donde se deben
incluir aspectos geométricos, algebraicos o numéricos. Se les aplica la práctica
de la elipse.
Se les dan varios problemas, donde se tengan que usar las características de la
circunferencia o de la elipse. Se les pide que hagan sugerencias sobre cómo
abordar los problemas. En caso de que no haya participación, se sugiere
alguna estrategia y se les exhorta para que continúen con el proceso. Se les
solicita una actividad extraclase en donde buscan problemas de aplicación de
la circunferencia o de la elipse y se les pide que planteen los problemas para
resolverlos en clase o bien se dejan de tarea aquellos que no se resuelvan.
Se les indica que deben formar equipos de trabajo para hacer una integración
de los temas circunferencia y elipse. Se cuestiona a los estudiantes sobre los
conceptos, elementos y aspectos fundamentales de los temas y se les motiva
para que participen. Se juzga si el contenido del resumen del grupo es
suficiente .
• 6.4 Recursos necesarios
Computadora y paquete computacional que grafique las secciones cónicas
(Cónicas). Sala de multimedios con cañón. Práctica de la elipse impresa.
Preguntas dirigidas. Listado impreso de problemas de aplicación de la
circunferencia y de la elipse. Disposición de sillas en círculo.
81
• 6.5 Actividades de aprendizaje
Los estudiantes construyen la elipse por el método del jardinero en un espacio
fuera del salón de clases. Identifican los principales elementos de la elipse.
Determinan la ecuación en forma estándar de la elipse trazada en el piso.
Realizan una serie de ejercicios donde se dan algunos elementos de la elipse y
determinan las ecuaciones en forma estándar. Dadas algunas ecuaciones de
elipses, el alumno determina los elementos de la elipse y grafican la curva
correspondiente. El alumno utiliza la computadora y el programa computacional
Cónicas y verifica las gráficas y las ecuaciones hechas en los ejercicios
anteriores. Además, observa de manera inmediata los cambios que sufre la
elipse al modificar algunos parámetros.
Investigan por cuenta propia, conforman los equipos de trabajo de acuerdo a
sus intereses y ellos mismos formulan los procedimientos para recabar
información sobre el tema o concepto propuesto para que lo integren en un
documento escrito. Se autoevalúan y envían el trabajo de investigación al
profesor vía correo electrónico. Preparan una presentación del tema para
exponer ante el grupo. Además, realizan la práctica de la elipse formando
equipos de trabajo y escriben todos los procedimientos que los condujeron a la
solución del problema en una hoja y alguno de los que conforman el equipo
debe pasar a exponer ante todo el grupo la metodología empleada.
Los alumnos buscan aplicaciones concretas de la elipse al mundo real y
escogen uno de ellos para formularlo como problema para ser resuelto por el
grupo en clase. Resuelven los problemas de las aplicaciones prácticas.
Se organizan para formar equipos de trabajo (5 estudiantes) y escriben un
resumen sobre los aspectos importantes de los temas de circunferencia y
elipse. Nombran un representante por cada equipo de trabajo, pasa al frente a
exponer, escribe en el pizarrón los resultados y el grupo determina el contenido
del resumen.
82
11 6.6 Evaluación sumativa
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación y coevaluación: 5%.
Uso de la computadora: 5%, uso del correo electrónico: 5% .
• 6.7 Evaluaclón formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y
el saber escuchar, así como la participación en la elaboración del documento
escrito y la buena comunicación oral en la exposición del tema. El uso de la
computadora se evalúa con el documento impreso de las gráficas elaboradas
en Cónicas.
Tema 7.
IJl,.ítulo: Parábola
~ Tiempo: Parábola (7 h). Segundo examen parcial (1 h).
Jl Bibliografía: Lehmann, Cap. VI, pp. 149-160, 167-172.
Riddle, Cap. V, pp. 148-158.
~ 7 .1 Objetivos de aprendizaje informativos
El alumno determina la ecuación estándar de la parábola. Grafica la ecuación
de la parábola y encuentra los elementos de la parábola.
Expresa la ecuación estándar de una parábola en la forma de una ecuación
general de segundo grado.
Halla la ecuación estándar de una parábola a partir de una ecuación general de
segundo grado.
Resuelve problemas que involucren las propiedades de la parábola. Los
alumnos usan los principales elementos y características de la parábola a
problemas dados. Busca problemas de aplicación de las parábolas en Internet.
83
~ 7 .2 Objetivos de aprendizaje formativos
El alumno trabaja en equipo. Identifica y resuelve problemas. Hace uso
eficiente de la Informática y las telecomunlcaciones, una buena comunicación
oral y escrita. Adquiere sentido de responsabllldad y honestidad.
Aprende por cuenta propia.
IIJ 7.3 Actividades de enseñanza
Definir el lugar geométrico de la parábola. Determinar la ecuación de la
parábola en su forma estándar, con centro fuera del origen. Las parábolas_
deben ser con eje paralelo a un eje coordenado. Graficar parábolas dadas en
su forma estándar y determinar los principales elementos de una parábola.
Dados algunos elementos de la parábola, determinar su ecuación en forma
estándar.
Se les informa que el tema de expresar la ecuación estándar de la parábola en
forma general es de autoestudio y de autoaprendizaje, se forman equipos de
trabajo e investigan al respecto. El trabajo de investigación debe ser enviado
vía correo electrónico al profesor junto con la autoevaluación de cada uno de
los integrantes del equipo. El contenido del trabajo debe cubrir: teoría,
definiciones, ejemplos resueltos, bibliografía; además, se les indica que deben
estar preparados para impartir al resto del grupo, mediante exposición directa,
el tema que se deja para investigar en donde se deben incluir aspectos
geométricos, algebraicos o numéricos. Se les aplica la práctica de la parábola
para que trabajen colaborativamente en equipos de trabajo.
Se dan las instrucciones necesarias para que haga su segundo examen parcial
de una manera limpia y ordenada, enmarcando los resultados con rojo.
Se les informa que el tema de determinar la ecuación estándar de la parábola
a partir de una ecuación de segundo grado es de autoestudio y de
autoaprendizaje, se forman equipos de trabajo e investigan al respecto. El
trabajo de investigación debe ser enviado vía correo electrónico al profesor
junto con la autoevaluación de cada uno de los integrantes del equipo. El
84
contenido del trabajo debe cubrir: teoría, definiciones, ejemplos resueltos,
bibliografía. Además, se les informa que deben estar preparados para impartir
al resto del grupo, mediante exposición directa, el tema que se deja para
investigar en donde se deben incluir aspectos geométricos, algebraicos o
numéricos.
Se les dan varios problemas, donde se tengan que usar las características de la
parábola. Se les pide que hagan sugerencias sobre cómo empezar a abordar
los problemas. En caso de que no haya participación, se sugiere alguna
estrategia y se les ayuda para que se vea el proceso a seguir. Se les solicita
una actividad extra-clase en el que tengan que buscar información por cuenta
propia sobre problemas prácticos de aplicación de las parábolas, los cuales
serán leídos y entregados por todos en la clase. Además, se les pide que
planteen alguno de los problemas para que sea resuelto en clase. Los
problemas que no se alcancen a resolver en la clase se dejarán como tarea .
• 7.4 Recursos necesarios
Computadora y paquete computacional que grafique las secciones cónicas
(Cónicas, Derive). Sala de multimedios con cañón. Práctica impresa de la
parábola. Examen impreso .
• 7.5 Actividades de aprendizaje
Los estudiantes construyen la parábola por medio de dobleces de una hoja de
papel. Identifican los principales elementos de la parábola. Determinan la
ecuación en forma estándar de la parábola. Realizan una serie de ejercicios
donde se dan algunos elementos de la parábola y determinan las ecuaciones
en forma estándar. Dadas algunas ecuaciones de parábolas, el alumno
determina los elementos de la parábola y grafica la curva correspondiente. El
alumno utiliza la computadora y el programa computacional Cónicas y verifica
las gráficas y las ecuaciones hechas en los ejercicios anteriores; además,
85
observa de manera inmediata los cambios que sufre la parábola al modificar
algunos parámetros.
Investigan por cuenta propia y conforman los equipos de trabajo de acuerdo a
sus intereses y ellos mismos formulan los procedimientos para recabar
Información sobre el tema o concepto propuesto para que lo Integren en un
documento escrito. Se autoevalúan y envían el trabajo de Investigación al
profesor vía correo electrónico. Preparan una presentación del tema para
exponer ante el grupo. Además, realizan la práctica de la parábola formando
equipos de trabajos y escriben todos los procedimientos que los condujeron a la
solución del problema en una hoja y alguno de los que conforman el equipo
debe pasar a exponer ante todo el grupo la metodología empleada.
Buscan aplicaciones concretas de la parábola al mundo real y escogen uno de
ellos para formularlo como problema para ser resuelto por el grupo en clase.
Los alumnos resuelven de tarea los restantes problemas de las aplicaciones.
Cada alumno resuelve el segundo examen parcial, determinando su nivel de
avance y su grado de responsabilidad al prepararse bien para obtener buenos
resultados y su honestidad en el sentido de no copiar ni sacar "acordeones".
11 7.6 Evaluación Sumativa
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación y coevaluación: 5%.
Uso de la computadora:5%, uso del correo electrónico: 5%
Segundo examen parcial: 50 %
• 7.7 Evaluación formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del documento
escrito y en la buena comunicación oral de la exposición del tema ante el
grupo.
El examen parcial se evalúa mediante la resolución del mismo mostrando una
actitud de honestidad y una cultura de calidad al hacerlo con orden y limpieza.
86
Tema 8.
lllrrtulo: Hipérbola
G, Tiempo: La hlpérbola (8 h). Integrar temas de parábola e hlpérbola y
de las aecclones cónicas (3 h). Tercer examen quincena! (1 h).
Jl Blbllografía: Lehmann, Cap. VIII. pp. 191-207.
Rlddle, Cap. V, pp. 170-182.
~ 8.1 Objetivos de aprendizaje Informativos
El alumno determina la ecuación estándar de la hipérbola. Grafica la ecuación
de la hipérbola y determina los elementos de la hipérbola. Dados algunos
elementos de la hipérbola el alumno determina su ecuación estándar.
Encuentra las ecuaciones de las asíntotas y la gráfica de la hipérbola a partir de
condiciones dadas.
Expresa la ecuación estándar de una hipérbola en la forma de una ecuación
general de segundo grado. Define y grafica la ecuación de la hipérbola
equilátera mediante el autoestudio para el cual deben elaborar un resumen con
sus principales características.
Aplica las propiedades de la hipérbola y la parábola a problemas dados.
Buscan problemas de aplicación de la parábola y la hipérbola en Internet.
Integra los temas de parábola e hipérbola y de las secciones cónicas.
~ 8.2 Objetivos de aprendizaje formativos
El alumno trabaja en equipo. Identifica y resuelve problemas. Hace uso
eficiente de la informática y las telecomunicaciones, una buena comunicación
oral y escrita. Adquiere sentido de responsabilidad y honestidad.
Aprende por cuenta propia. Desarrolla la capacidad de análisis, síntesis y
evaluación.
87
IIJ 8.3 Actividades de enseñanza
Definir el lugar geométrico de la hipérbola. Determinar la ecuación de la
hipérbola en su forma estándar, con centro fuera del origen. Las hipérbolas
deben ser con eje paralelo a un eje coordenado. Graflcar hlpérbolas dadas en
su forma estándar y determinar los principales elementos de una hipérbola.
Dados algunos elementos de la hipérbola, determinar su ecuación en forma
estándar.
Encontrar la ecuación estándar de la hipérbola dadas algunas condiciones. Así
mismo, determinar las ecuaciones de sus asíntotas.
Se les informa que el tema de expresar la ecuación estándar de la hipérbola en
forma general es de autoestudio y de autoaprendizaje, por lo que se forman
equipos de trabajo que investigan al respecto. El trabajo de investigación debe
ser enviado vía correo electrónico al profesor junto con la autoevaluación de
cada uno de los integrantes del equipo. El contenido del trabajo debe cubrir:
teoría, definiciones, ejemplos resueltos, bibliografía. Además, se les informa
que deben estar preparados para impartir al resto del grupo, mediante
exposición directa, el tema que se deja para investigar en donde se deben
incluir aspectos geométricos, algebraicos o numéricos.
Dada la ecuación general de segundo grado que represente una hipérbola, se
determina la ecuación estándar y con base en ella se obtienen las ecuaciones
de las asíntotas y se gráfica la hipérbola. Se les comunica que la curva de la
hipérbola equilátera es de autoestudio y de autoaprendizaje por lo que deberán
buscar información al respecto y elaborar un resumen con las características de
la misma que incluya su gráfica. El trabajo es individual y deben enviarlo al
profesor vía correo electrónico.
Se les dan varios problemas, donde se usen las propiedades de la hipérbola y
la parábola. Se les pide que sugieran cómo empezar a abordarlos. En caso de
que no haya participación, se sugiere alguna estrategia y se les exhorta para
que continúen con el proceso. Se les solicita una actividad extraclase en donde
buscan problemas de aplicación de la hipérbola y la parábola. Se les pide que
88
planteen problemas para resolverlos en clase o bien se dejan de tarea aquellos
que no se resuelvan.
Se les dice que deben formar equipos de trabajo para hacer una integración de
los temas parábola e hipérbola. Se cuestiona a los estudiantes sobre los
conceptos, elementos y aspectos fundamentales de los temas y se les motiva
para que participen. Se juzga si el contenido del resumen del grupo es
suficiente.
Deben formar equipos de trabajo para hacer una recapitulación de las
secciones cónicas.
Se dan las instrucciones necesarias para que hagan su tercer examen
quincenal de una manera limpia y ordenada, enmarcando con rojo sus
resultados .
• 8.4 Recursos necesarios
Computadora y paquete computacional que grafique las secciones cónicas
(Cónicas). Sala de multimedios con cañón. Listado impreso de problemas de
aplicación de hipérbola y parábola. Disposición de sillas en círculo. Examen
impreso.
11 8.5 Actividades de aprendizaje
Los estudiantes identifican los principales elementos de la hipérbola.
Determinan la ecuación en forma estándar de la hipérbola. Realizan una serie
de ejercicios donde se dan algunos elementos de la hipérbola y determinan las
ecuaciones en forma estándar. Dadas algunas ecuaciones de hipérbolas, el
alumno encuentra los elementos de la hipérbola y grafica la curva
correspondiente. El alumno utiliza la computadora y el programa computacional
Cónicas, verifica las gráficas y las ecuaciones de los ejercicios anteriores.
Observa los cambios que sufre la hipérbola al modificar algunos parámetros.
Hallan la ecuación estándar de la hipérbola, dados algunos elementos de la
misma. Con base en la información determina las ecuaciones de las asíntotas
89
de la hipérbola. Gráfica la hipérbola con las asíntotas. El alumno utiliza la
computadora y el programa computacional Cónicas y verifica que las gráficas y
las ecuaciones obtenidas sean correctas. Además, observa los cambios que
sufre la hipérbola al modificar algunos parámetros.
Investigan por cuenta propia y conforman los equipos de trabajo de acuerdo a
sus Intereses y ellos mismos formulan los procedimientos para recabar
Información sobre los temas propuestos para que lo integren en un documento
escrito. Se autoevalúan y envían el trabajo de investigación al profesor vía
correo electrónico. Preparan una presentación del tema para exponer ante el
grupo.
Se les proporciona una serie de ejercicios que incluyan ecuaciones de segundo
grado que representen hipérbolas y se le pide que encuentren la ecuación
estándar de la misma, las ecuaciones de sus asíntotas y que además hagan la
gráfica correspondiente. Verifican con la computadora y el programa
computacional Cónicas las gráficas y la ecuación estándar de las hipérbolas.
Además, observan de manera inmediata los cambios que sufre la hipérbola al
modificar algunos parámetros. Cada alumno investiga por cuenta propia todo lo
referente a la hipérbola equilátera y elabora un resumen en donde incluye sus
características y la gráfica correspondiente. Envía el resumen vía correo
electrónico al profesor.
Los alumnos buscan aplicaciones concretas de la parábola y la hipérbola al
mundo real y escogen algunos de ellos para formularlos como problemas
propuestos para que sean resueltos por el grupo en clase. Los alumnos
resuelven los problemas de las aplicaciones prácticas.
Se organizan para formar equipos de trabajo (5 estudiantes) y escriben un
resumen sobre los aspectos importantes de los temas de parábola e hipérbola
y sobre las secciones cónicas. Nombran un representante por cada equipo de
trabajo, pasa al frente a exponer, escribe en el pizarrón los resultados y el
grupo determina el contenido del resumen.
90
Cada alumno resuelve el examen, determinando su nivel de avance y su grado
de responsabilidad al prepararse bien para obtener buenos resultados y su
honestidad en el sentido de no copiar ni sacar 11 acordeones 11•
l;j 8.6 Evaluación eumatlva
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación y coevaluación: 5%.
Uso de la computadora: 5%, uso del correo electrónico: 5%
Examen quincenal: 25% .
• 8.7 Evaluaclón formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del documento
escrito y en la buena comunicación oral de la exposición del tema ante el
grupo.
El uso de la computadora se evalúa con el documento impreso de las gráficas
elaboradas en Cónicas.
El tercer examen quincenal se evalúa mediante la resolución del mismo
mostrando una actitud de honestidad y una cultura de calidad al hacerlo con
orden y limpieza.
91
Tema 9.
llrrtulo: Ecuación general de segundo grado en dos variables. Análisis
de curvas algebraicas: Intersecciones, slmetrf as, asíntotas.
r;, Tiempo: Ecuación general de segundo grado en dos variables (3 h).
Análisis de curvas algebraicas (5 h). Integrar tema de análisis de curvas
algebraicas (1 h). Tercer examen parcial (1 h).
Jl Bibliografía: Lehmann, Cap. IX, pp. 212-219, Cap. 11, pp. 32-47.
Riddle, Cap. VI, pp. 207-216, Cap. VII, pp. 219-264.
~ 9.1 Objetivos de aprendizaje Informativos
El alumno identifica el lugar geométrico representado por la ecuación general
de segundo grado con dos variables. Determina las ecuaciones de
transformación de coordenadas por rotación de ejes y simplifica ecuaciones de
segundo grado en dos variables.
Identifica, localiza y usa las intersecciones, simetrías y asíntotas de curvas
algebraicas para graficarlas.
Integra el tema de Análisis de curvas algebraicas.
~ 9.2 Objetivos de aprendizaje formativos.
El alumno trabaja en equipo. Identifica y resuelve problemas. Hace uso
eficiente de la informática y las telecomunicaciones, una buena comunicación
oral y escrita. Adquiere sentido de responsabilidad y honestidad. Desarrolla la
capacidad de análisis, síntesis y evaluación.
IJ 9.3 Actividades de enseñanza.
Por medio del discriminante se identifica la clase de cónica de una ecuación
general de segundo grado en dos variables, mediante las ecuaciones de
transformación de coordenadas por rotación de ejes se simplifica y se grafica la
92
cónica correspondiente. Se les proporciona a los alumnos un listado de
ecuaciones generales de segundo grado en dos variables.
Se les indica las estrategias para determinar las intersecciones y las simetrías
respecto de los ejes coordenados o respecto al origen de una curva algebraica.
Se graflcan curvas algebraicas.
Se definen, determinan y grafican las asíntotas de una curva algebraica. Se
grafican las curvas algebraicas con todos los elementos encontrados.
Se les comenta que deben formar equipos de trabajo para hacer una
recapitulación del tema de análisis de curvas algebraicas. Se cuestiona a los
estudiantes sobre los conceptos, elementos y aspectos fundamentales del tema
en cuestión y se les motiva para que externen sus opiniones. Se juzga si el
contenido del resumen del grupo es suficiente.
Se dan las instrucciones necesarias para que haga su tercer examen parcial de
una manera limpia y ordenada, enmarcando con rojo sus resultados .
• 9.4 Recursos necesarios
Libro de texto. Listado impreso de ecuaciones generales de segundo grado con
dos variables. Computadora con paquete computacional (Cónicas). Sala de
multimedios con cañón. Disposición de sillas en círculo. Examen impreso.
IIJ 9.5 Actividades de aprendizaje
El alumno identifica el lugar geométrico de la ecuación general de segundo
grado, utilizando el discriminante. Simplifica la ecuación general de segundo
grado por medio de las ecuaciones de transformación de coordenadas (rotación
de ejes), grafica la curva correspondiente. Verifica mediante el programa
computacional Cónicas el lugar geométrico y la grafica de la curva.
Identifica y determina la intersección de la curva con los ejes coordenados, así
como las simetrías respecto al origen o a los ejes coordenados. Grafica las
curvas con toda la información obtenida. Verifica la gráfica con todos sus
elementos por medio del uso de la computadora y el programa computacional.
93
Los alumnos se organizan para formar equipos de trabajo (5 estudiantes) y
escriben un resumen sobre los aspectos Importantes del tema análisis de
curvas algebraicas. Nombran un representante por cada equipo de trabajo,
pasa al frente a exponer, escribe en el pizarrón los resultados y el grupo
determina el contenido del resumen.
Cada alumno resuelve el tercer examen parcial, determinando su nivel de
avance y su grado de responsabilidad al prepararse bien para obtener buenos
resultados y su honestidad en el sentido de no copiar ni sacar "acordeones".
11' 9.6 Evaluación sumativa
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación y coevaluación: 5%.
Tercer examen parcial: 50%, uso de la computadora: 5% .
• 9. 7 Evaluación formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del resumen.
El examen parcial se evalúa mediante la resolución del mismo mostrando una
actitud de honestidad y una cultura de calidad al hacerlo con orden y limpieza.
94
Tema 10.
llrrtulo: Desigualdades cuadráticas
~ Tiempo: Desigualdades cuadráticas (5 h). Integrar
desigualdades cuadráticas (1 h). Repaso general del curso (4 h).
tema de
Jl Blbllografía: Díaz Barriga, Alejandro. Deslgualdades. pp. 43-61
~ 10.1 Objetivos de aprendizaje Informativos
El alumno resuelve desigualdades cuadráticas e interpreta su solución.
Encuentra el intervalo solución mediante procedimientos algebraicos e
interpreta su significado. Revisa los principales elementos que conforman el
tema de desigualdades cuadráticas.
Recapitula el tema de desigualdades cuadráticas y de los temas de los
primeros dos parciales así como los temas del tercero y cuarto parcial.
~ 10.2 Objetivos de aprendizaje formativos
El alumno trabaja en equipo. Hace uso eficiente de la informática y las
telecomunicaciones, una buena comunicación oral y escrita. Adquiere sentido
de responsabilidad y honestidad. Identifica y resuelve problemas.
Aprende por cuenta propia. Desarrolla la capacidad de análisis, síntesis y
evaluación .
• 10.3 Actividades de enseñanza
Se define una desigualdad cuadrática y se resuelven varios tipos de
desigualdades cuadráticas (completas, incompletas). Se da la interpretación
geométrica de una desigualdad cuadrática. Se les informa a los estudiantes
que deben investigar sobre desigualdades de primer grado con una variable, ya
que les servirá de prerrequisito para las desigualdades de segundo grado. El
trabajo de investigación es individual y lo deben enviar vía correo electrónico al
95
profesor. Los contenidos mínimos del trabajo son: teoría, ejemplos resueltos,
interpretación geométrica de la solución.
Deben formar equipos de trabajo para hacer una recapitulación del tema de
desigualdades cuadráticas. Se cuestiona a los estudiantes sobre los conceptos,
elementos y aspectos fundamentales del tema en cuestión y se les motiva para
que extemen sus opiniones. Se juzga si el contenido del resumen del grupo es
suficiente.
Forman equipos de trabajo para hacer una recapitulación de los principales
temas que comprenden el primero y segundo parcial. Se les exhorta a que
hagan una propuesta sobre los contenidos de los temas que crean sean los
más importantes de los dos primeros parciales. Se les solicita por equipo que
hagan un problemario con al menos un ejemplo resuelto de cada uno de los
contenidos que propusieron. Se les indica que el problemario se debe entregar
al profesor para que sea colocado en un folder y así tengan todos los equipos
posibilidades de tener una copia. Se les informa que deben resolver todos los
problemarios que se generen con los equipos de trabajo los cuales entregarán
el día del examen final.
Forman equipos de trabajo para hacer una recapitulación de los principales
conceptos de los temas que comprenden el tercero y cuarto parcial. Se les
solicita por equipo que hagan un problemario con al menos un ejemplo resuelto
de cada uno de los conceptos que propusieron. Se les indica que el
problemario se debe entregar al profesor para que sea colocado en un folder y
así tengan todos los equipos posibilidades de tener una copia. Deben resolver
todos los problemarios que se generen con los equipos de trabajo los cuales
entregarán el día del examen final.
• 10.4 Recursos necesarios
Regla y escuadras. Bibliografía básica y complementaria. Disposición de sillas
en círculo. Abrir un folder en servicios de impresión.
96
• 10.5 Actividades de aprendizaje
El alumno resuelve una serie de desigualdades cuadráticas e interpreta
geométricamente el resultado. Realiza una investigación de autoestudio y de
autoaprendizaje sobre las desigualdades de primer grado con una variable.
Elabora un resumen escrito y lo envía al profesor vía correo electrónico.
Los alumnos se organizan para formar equipos de trabajo ( 5 estudiantes) y
escriben un resumen sobre los aspectos importantes del tema de
desigualdades cuadráticas. Nombran un representante por cada equipo de
trabajo, pasa al frente a exponer, escribe en el pizarrón los resultados y el
grupo determina el contenido del resumen.
Los alumnos se organizan para formar equipos de trabajo (5 estudiantes) y
escriben un resumen sobre los temas más importantes del primero y segundo
parcial. Nombran un representante por cada equipo de trabajo, pasa al frente a
exponer y escribe en el pizarrón los resultados. Resuelven al menos un
ejercicio por cada uno de los temas que conforman el resumen del primero y
segundo parcial, el cual formará parte de un problemario. Los alumnos se
preocupan por obtener una copia de los problemarios de cada equipo. Deben
entregar el problemario el día del examen final.
Realizan una actividad semejante pero para los conceptos del tercero y cuarto
parcial. Nombran un representante por cada equipo de trabajo, pasa al frente a
exponer, escribe en el pizarrón los resultados y el grupo determina el contenido
del resumen. Resuelven al menos un ejercicio por cada uno de los temas que
conforman el resumen del tercero y cuarto parcial, el cual formará parte de un
problemario. Los alumnos se preocupan por obtener una copia de los
problemarios de cada equipo. Deben entregar el problemario el día del examen
final.
11 10.6 Evaluación sumativa
Evaluación del profesor: 10%, autoevaluación y coevaluación: 5%.
Uso del correo electrónico:5%, Problemario: 5%.
97
11110.7 Evaluación formativa
El trabajo en equipo se evalúa a través de la colaboración, el respeto mutuo y el
saber escuchar, así como la participación en la elaboración del resumen.
La participación activa de cada estudiante en ·1a recapitulación de los temas del
primero, segundo parcial así como del tercer y cuarto parcial. Entregan el
problemario parcial que les corresponde y el problemario final hechos con
calidad.
98
A continuación se presenta una práctica diseñada con la metodología
propuesta por Moreno (Ibídem) incluyendo otros puntos más específicos, con
la intención de brindar elementos para que el estudiante descubra por sí
mismo el conocimiento. Así mismo, que desarrolle su capacidad de
autoaprendlzaje, participe activamente y trabaje colaborativamente, de tal
manera que logre transferir ese conocimiento a nuevas situaciones
problemáticas al adquirir la habilidad de resolver problemas.
3.3.3 Práctica de la circunferencia para desarrollar en el estudiante
el aprendizaje significativo por medio de la resolución de problemas
En la siguiente práctica, los estudiantes manifestarán ciertas actitudes,
valores y habilidades que reforzarán su forma de actuar y su autoestima tales
como el ser responsables para participar y poder determinar la solución al
problema; respeto hacia las opiniones de los demás; colaboración en el trabajo
colectivo del grupo; capacidad de identificar y resolver problemas, capacidad de
análisis, síntesis y evaluación, uso de la computadora y la buena comunicación
oral y escrita.
1. Título
La circunferencia.
2. Objetivos
Al concluir esta práctica el alumno:
1 . Determinará la ecuación de la circunferencia dadas las coordenadas del
centro y la magnitud del radio.
2. Obtendrá los .elementos básicos (las coordenadas del centro y la magnitud
del radio) de la circunferencia, dada su ecuación.
3. Encontrará la ecuación y sus elementos (centro y radio) de varias
circunferencias, dadas sus representaciones gráficas.
99
4. Distinguirá algunas propiedades de la circunferencia tales como:
a) el lugar geométrico que describe es único y representa una circunferencia
real cuando el radio es mayor que cero,
b) representa un punto sobre el plano cartesiano cuando el radio es igual
a cero, y
c) representa un conjunto vacío cuando el radio es menor que cero.
5. Identificará la ecuación de una circunferencia por sus términos algebraicos
que la conforman.
6. Usará la computadora utilizando el software C6n/cas para graficar las
ecuaciones de varias circunferencias, determinando sus parámetros (centro
y radio).
7. Practicará con la computadora diversos ejercicios, dados diferentes valores
de los parámetros que conforman algunas ecuaciones de las
circunferencias, para visualizar los cambios geométricos que sufre la curva.
8. Expresará situaciones problemáticas mediante modelos matemáticos y
resolverá problemas.
3. Ubicación del tema
La Circunferencia corresponde al 52 tema del programa sintético de
Geometría Analítica y su contenido se trata después de los siguientes temas:
Sistemas de Coordenadas Rectangulares, Sistema de Coordenadas Polares,
La recta y Transformación de Coordenadas.
4. Prerrequlsltos
Es importante asegurarse que los estudiantes tengan ciertos
conocimientos antes de abordar la problemática planteada, con la finalidad de
que todos ellos manejen el mismo lenguaje y posean la misma información
requerida:
a) Reconocer y aplicar el Teorema de Pitágoras.
b) Determinar la distancia entre dos puntos del plano cartesiano.
c) Localizar puntos en el plano cartesiano.
100
5. Medios instrucclonales
Para realizar la práctica se requiere un salón con sillas movibles, hojas
impresas con los ejercicios propuestos y las recomendaciones para el trabajo
en equipo, una sala de computadoras y en cada computadora debe estar
cargado el programa computacional Cónicas.
6. Estrategias de enseñanza
En esta parte las actividades del profesor son:
a) Proponer un problema que tenga relación con la ecuación de una
circunferencia, de naturaleza semejante a lo que se presenta en el mundo
real, para que los estudiantes lo planteen mediante un modelo matemático y
lo resuelvan en equipos de trabajo. Planteamiento del problema: En la casa
de la señora Pérez se desea colocar en el jardín trasero una fuente circular
con un diámetro de 21 O cm y que además tenga a su alrededor un camino
de 120 cm de ancho. ¿Qué elementos son necesarios para determinar el
lugar geométrico? ¿Cómo se expresa algebraicamente la ecuación de la
fuente circular?
b) Disponer la conformación de los equipos de trabajo, que puede ser entre tres
o cinco estudiantes, de la forma que considere conveniente; ya sea por
vínculos afectivos entre ellos, por zonas específicas de acuerdo a su
ubicación en el salón de clases, o bien por su capacidad matemática
mostrada en las sesiones anteriores procurando que estén formados por
estudiantes de alto, medio y bajo desempeño.
c) Indicar las actitudes que deben prevalecer en los equipos de trabajo: respeto
hacia las opiniones de los compañeros, oportunidad de igualdades para
opinar, responsabilidad por la tarea, compromiso de aprendizaje de todos los
integrantes del equipo, organización y coordinación de las actividades.
101
d) Entregar por escrito las siguientes recomendaciones para el trabajo en
equipo que los estudiantes deben observar al iniciar la dinámica:
1. Tener disponibilidad al trabajo en equipo.
2. Comprender el problema por todos los Integrantes del equipo.
3. Hacer suyo el problema y estar dispuesto a darle solución. Apropiarse
de la problemática planteada.
4. Dar una interpretación al problema, modelarlo matemáticamente.
5. Generar una lluvia de ideas con sus compañeros y definir la estrategia
más viable así como los procedimientos y método más adecuado para
llegar a la solución.
6. Obtener consenso sobre los procesos y sobre la solución del problema.
7. Verificar que todos los integrantes del equipo han aprendido y
comprendido los procesos que se realizaron para obtener la solución.
8. Seleccionar a un alumno para exponer los procedimientos realizados.
e) Proponer que nombren un presidente y un secretario en cada equipo de
trabajo para que el primero proponga procedimientos de trabajo y funja como
líder en el proceso mientras que el otro toma nota de las participaciones,
comentarios, estrategias, procedimientos, etcétera.
f) Indicar que el tiempo que tienen para resolver el problema es de 30 minutos.
g) Cuestionar al grupo sobre la comprensión del problema, los elementos que
se tienen y los que hay que determinar.
h) Tomar una actitud de observador y ver que cada equipo trabaje sobre el
problema planteado; en caso de que algún equipo tenga dificultades para
abordarlo, entonces se plantean algunas preguntas de tal manera que los
alumnos analicen críticamente la problemática dada, procurando orientar a
los estudiantes hacia la consecución del objetivo propuesto.
102
i) Elegir al azar a un estudiante de algún equipo de trabajo para que exponga
ante el resto del grupo los procedimientos y resultados obtenidos del trabajo
realizado colaborativamente.
j) Al concluir la expos1c1on se realizará una reflexión grupal sobre los
ventajas/desventajas de la actividad realizada, donde se puede opinar sobre
los procedimientos de la dinámica, los elementos utilizados en el proceso de
solución del problema, posibles generalizaciones de los resultados, etcétera.
Así mismo, se llevará a cabo la coevaluación de los integrantes del equipo
(Anexo G) respecto a la exposición realizada por cada estudiante, donde se
incluyan aspectos tales como la claridad en la transmisión de los conceptos
hacia el grupo, el dominio del tema, la disponibilidad para interactuar con el
grupo, etcétera.
k) Proponer ejercicios mediante un documento escrito (Anexo O) para que el
estudiante utilice la computadora como auxiliar para graficar algunas
ecuaciones de circunferencias, modificando algunos parámetros. De igual
manera, proponer ejercicios gráficos de circunferencias con la finalidad de
que los estudiantes determinen la ecuación correspondiente. Incluir
ejercicios de aplicación similares o de mayor grado de dificultad de los
conceptos vistos en esta práctica.
7. Estrategias de aprendizaje
Se utiliza la estrategia del manejo de preguntas que le faciliten al
estudiante obtener información relevante sobre los elementos indispensables y
necesarios para atacar el problema. La principal causa que origina el uso del
manejo de las preguntas es que invitan a los estudiantes a pensar logrando con
ello que se realicen tareas cognitivas específicas y encaminadas a ubicar al
estudiante en el contexto, esto es, se guía al alumno al redescubrimiento de
propiedades o características del objeto de estudio.
103
Las siguientes preguntas van encaminadas a que et estudiante descubra
por sí mismo la relación o relaciones entre tos elementos que conforman ta
circunferencia, así como para determinar su ecuación, logrando que tos
estudiantes resuelvan el problema dado.
¿ Cuáles son los datos del problema?
¿Qué es to que se quiere determinar para resolver et problema?
¿Cómo se determina la región requerida para ta fuente circular?
¿Qué elementos son necesarios para "delimitar'' el área correspondiente?
¿Cómo son los centros y los radios de ambas circunferencias?
¿ Cómo son las circunferencias?
¿Es posible determinar ese lugar geométrico como una ecuación algebraica?
¿Qué relación existe entre el centro, el radio y cualquier punto que esté sobre ta
circunferencia?
8. Transferencia del aprendizaje significativo
Una vez resuelto el problema, en otra sesión de clase se les vuelve a
plantear otra serie de preguntas tales como:
a) Dada la ecuación general de una circunferencia:
¿Es la única forma de poder expresar la ecuación de la circunferencia?
¿Es posible determinar sus principales elementos (radio, centro)?
¿Cómo determinar las coordenadas de un punto que se encuentre sobre la
circunferencia?
¿Qué lugar geométrico se tiene cuando el radio de la circunferencia es igual a
cero, o es un número real negativo?
b) Dado un punto cualquiera del plano:
¿Cómo se puede determinar si el punto es interno/externo al área delimitada
del círculo?
¿Cómo determinar si el punto pertenece a la circunferencia?
¿Cuáles son las diferencias entre círculo y circunferencia?
104
Enseguida se le proporciona a cada estudiante una serie variada de
ejercicios impresos relacionados con el tema en cuestión en donde prevalezca
un mayor grado de dificultad y se le indica que deben resolverlos
individualmente. Puede usar la computadora para verificar sus respuestas de
las preguntas planteadas en los ejercicios impresos.
9. Evaluación
En la evaluación se considera tanto la formativa como la informativa. En la
primera se toman en cuenta aspectos tales como la relación social mantenida
en el grupo, la disponibilidad para participar colaborativamente; mientras que en
la segunda, el comprender y manejar la información.
Para medir lo aprendido por los estudiantes en la práctica realizada el
autor propone tres tipos de evaluación:
1. Autoevaluación. El mismo estudiante se evalúa. Se brinda la oportunidad al
estudiante de ser honesto consigo mismo acerca de su actuación en el trabajo
en equipo. Se le considera como parte evaluadora de su actividad (Anexo E).
2. Coevaluación. Cada integrante del equipo evalúa a los demás. Se considera
como un aspecto importante para generar en el estudiante el sentido de
responsabilidad y honestidad (Anexo F).
3. Evaluación del profesor. El profesor hace la evaluación de la actividad con
los documentos escritos que se generan durante la práctica, en donde se
verifica que la respuesta sea la correcta y que los procedimientos realizados
estén matemáticamente bien desarrollados, además del ejercicio integrador. La
evaluación para el alumno que expone ante el grupo (Anexo G) se hace
extensiva para todo el equipo al que pertenece.
Nota: En el Anexo C se incluyen otras dos prácticas colaborativas con los
temas de la elipse y la parábola.
105
3.3.4 Propuesta del curso de Geometría Analítica en la plataforma
Lotus Notes • Learnlng Space 1•
¡..,.Week 1
@ Descripción del Curso
i,, Documento integrador
00 Estrategia global del curso
• Mapa conceptual del curso
1/ Inducción y Metodologf a del curso
W Intenciones Educativas del curso
..t. Objetivos del curso
lll.l Políticas de Evaluación del curso
W Bibliografía del Curso
[jJ Curriculum del Profesor del curso
1
, a 1.0 Encuadre. (due: 10/08/98)
a 1.1 Sistema de coordenadas rectangulares. (due: 11/08/98)
m 1.2 Distancia entre dos puntos. (from 12/08/98 to 13/08/98)
ill 1.3 Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. 14/08/98) .
1.0 Encuadre (due: 10/08/98)
~ 1.1 Sistema de coordenadas rectangulares. ( due: 11 /06/98)
t6'l 1.2 Distancia entre dos puntos. (from 12/08/98 to 13/08/98)
~ 1.3 Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. 14/08/98)
1 El curso está en el servidor RZSRZSH2/lspace/cem/pm/95400/schedule.nsf
106
..,.Waak2
• 1.3 Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. 17,0S/98 to 18,0S/98)
• 1.4 Área de un triángulo dados sus vértices. (due: 19,()8/98)
• 2.1 Localización de puntos en el plano polar. (from 20/08/98 to 21/08/98)
~ 1.3 Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. 17,()8/98 to 18,()8/98)
~ 1.4 Área de un triángulo dados sus vértices. (due: 19,()8,98)
~ 2.1 Localización de puntos en el plano polar. (from 20/08/98 to 21/08,98)
..,.Waek3
• 2.2 Distancia entre puntos en coordenadas polares. (due: 24/08/98)
a 2.3 Relaciones entre coordenadas rectangulares y polares. (from 25/08/98 · 26/08/98)
a 3.1 Relación entre ángulo de inclinaci6n y pendiente de una recta. (from 27 / to 28/08/98)
~ 2.2 Distancia entre puntos en coordenadas polares. (due: 24/08/98)
í.'l 2.3 Relaciones entre coordenadas rectangulares y polares. (from 25/08/98 · 26/08/98)
3.1 Relación entre ángulo de inclinación y pendiente de una recta. (from 27 / to 28/08/98)
..-week4
4' 3.2 Diferentes formas de las ecuaciones de la recta (from 31/08/98 to 02/01
a 3.3 Ángulo entre dos rectas. (from 03/09/98 to 04,00/98)
3.2 Diferentes formas de las ecuaciones de la recta. (from 31,()8/98 to 02/0
3.3 Ángulo entre dos rectas. (from 03/09/98 to 04/09/98)
¡ .... week5
1 ill 3.3 Ángulo entre dos rectas. (due: 07/09/98)
1 ill Primer examen parcial (due: 08/09,98)
a 3.4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas. (from 09/09/98 to 11/09/98)
3.3 Ángulo entre dos rectas. (due: 07/09/98)
Primer examen parcial (due: 08/09/98)
3.4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas. (from 09/09,98 to 11 /09/98)
107
.. Week6
19 3.5 Distancia de un punto a una recta. (from 14/09/98 to 15/09/98)
19 3.6 La ecuación de una familia de rectas. (from 17/09/98 to 18/09/98)
3.5 Distancia de un punto a una recta. (from 14/09/98 to 15/09/98)
3.6 La ecuación de una familia de rectas. (from 17 /09/98 to 18/09/98)
.. Week 7
• 3.7 Problemas de geometría elemental aplicando conceptos de recta. (due: 21/09/98)
• 3.8 Las rectas notables de un triángulo. (from 22/09/98 to 25/09/98)
3.7 Problemas de geometría elemental aplicando conceptos de recta. (due: 21/09/98)
3.8 Las rectas notables de un triángulo. (from 22/09/98 to 25/09/98)
.. Week8
• 3.9 La forma polar de la ecuación de la recta. (due: 28/09/98)
a 4.1 Traslación de ejes. (from 29/09/98 to 01/10/98)
a Segundo examen parcial. (due: 02/10/98)
3.9 La forma polar de la ecuación de la recta. (due: 28/09/98)
4.1 Traslación de ejes. (from 29/09/98 to 01/10/98)
Segundo examen parcial (due: 02/10/98)
!•Week9
ll 5.1 Ecuación de la forma estándar de la circunferencia. (from 05/10/98 to 06/10/98)
di 5.2 Forma general de la ecuación de la circunferencia. (from 07 /10/98 to 08
• 5.3 Ecuación de la circunferencia dadas tres condiciones. (due: 09/10/98)
5.1 Ecuación de la forma estándar de la circunferencia. (from 05/10/98 to 06/10/98)
5.2 Forma general de la ecuación de la circunferencia. (from 07/10/98 to 08
5.3 Ecuación de la circunferencia dadas tres condiciones. (due: 09/10/98)
108
-.week 10
a 5.3 Ecuación de la circunferencia dadas tres condiciones. (from 12/10/98 te 13/10/98)
• 5.4 Forma polar de la ecuación de una circunferencia. (due: 14/10/98)
• 5.5 Ecuación estándar de la elipse. (from 15/10/98 to 16/10/98)
5.3 Ecuación de la circunferencia dadas tres condiciones. (from 12/10/98 te 13/10/98)
5.4 Forma polar de la ecuación de una circunferencia. (due: 14/10/98)
5.5 Ecuación estándar de la elipse. (from 15/10/98 to 16/10/98)
-.week 11
• 5.6 La ecuación general de la elipse. (from 19/10/98 to 20/10/98)
a 5.7 Problemas de aplicación de la elipse. (from 21/10/98 to 23/10/98)
5.6 La ecuación general de la elipse. (from 19/10/98 to 20/10/98)
5.7 Problemas de aplicación de la elipse. (from 21/10/98 to 23/10/98)
-.week 12
a 6.1 Ecuación de la forma estándar de la parábola. (from 26/10/98 to 27 /10/9
• 6.2 Forma general de la ecuación de la parábola. (from 28/10/98 to 29/10/9~
18 6.3 Problemas de aplicación de la parábola. (due: 30/10/98) :
6.1 Ecuación de la forma estándar de la parábola. (from 26/10/98 to 27/10/9
6.2 Forma general de la ecuación de la parábola. (from 28/10/98 to 29/10/9E
6.3 Problemas de aplicación de parábolas. (due: 30/10/98)
-.week 13
a 6.3 Problemas de aplicación de parábolas. (due: 02/11/98)
11 6.4 Ecuación de la forma ordinaria de la hipérbola. (from 03/11 /98 to 04/11 f-.
m 6.5 Forma general de la ecuación de una hipérbola. (from 05/11/98 to 06/11{
6.3 Problemas de aplicación de parábolas. (due: 02/11/98)
6.4 Ecuación de la forma ordinaria de la hipérbola. (from 03/11 /98 to 04/11 f-
6.5 Forma general de la ecuación de una hipérbola. (from 05/11 /98 to 06/11 1.
-.week 14
a 6.6 Asíntotas de la hipérbola. (from 09/11/98 to 10/11/98)
a 6.7 Problemas de aplicación de hipérbolas. (from 11/11/98 to 12/11/98)
a Tercer examen parcial (due: 13/11/98)
6.6 Asíntotas de la hipérbola (from 09/11 /98 to 10/11 /98)
6.7 Problemas de aplicación de hipérbolas. (from 11/11/98 to 12/11/98)
Tercer examen parcial (due: 13/11/98)
109
•Week 15
a 7 .1 Identificar una cónica. ( due: 16/11 /98)
líl!I 7.2 Rotación de ejes. (from 17/11/98 to 19/11/98)
7.1 ldentificarunacónica. (due: 16/11/98)
7.2 Rotación de ejes. (from 17/11/98 to 19/11/98)
•Week 16
111 8.1 Intersecciones, simetrías y asíntotas. (from 23/11/98 to 24/11198)
a 9.1 Resolver una desigualdad cuadrática. (due: 25/11/98)
a 9.2 Interpretar gráficamente una desigualdad cuadrática. (from 26/11 /98 to 27/11/98)
8.1 Intersecciones, simetrías y asíntotas. (from 23/11 /98 to 24/11 /98)
9.1 Resolver una desigualdad cuadrática. ( due: 25/11 /98)
9.2 Interpretar gráficamente una desigualdad cuadrática. (from 26/11/98 to 27/11/98)
(? 0.1 Trabajo en equipo Víctor Martínez
0.1.1 Participación. Víctor Martínez
0.2 Uso del correo electrónico Víctor Martínez
0.3 Uso de la computadora Víctor Martínez
0.4 Examen mensual Víctor Martínez (? 1.1 Sistema de coordenadas rectangulares Víctor Martínez
12 Distancia entre dos puntos Víctor Martínez
1.3 División de un segmento en una razón dada. Víctor Martínez
1.3.1 Punto medio de un segmento. Víctor Martínez
1.32 División de un segmento en una razón Víctor Martínez rl::ufa
110
1.4 Area de un triángulo. Victor Martinez
2.1 Coordenadas polares. Victor Martínez
d> 2.3 Relación entre coordenadas rectangulares y Víctor Martfnez polares.
3.1 Relación entre ángulo de inclinación y Víctor Martinez pendiente de una recta.
d> 3.3 Angulo entre dos rectas.
3.5 Distancia de un punto a una recta.
3.6 Ecuación de una familia de rectas.
3.7 Problemas de Geometria elemental
d> 3.9 Ecuación polar de la recta.
4.1 Traslación de ejes.
Víctor Martf nez
Víctor Martf nez
Víctor Martf nez
Víctor Martfnez
Víctor Martínez
vtctor Martfnez
d> 5.0 Instrucciones para usar el programa Canicas Victor Martf nez
d> 5.0 Programa computacional Cónicas Martha Oliveró,Jose Luis Abreu
,:?
5.1 Ecuación de la forma estándar de la vtctor Martfnez circunferencia.
5.2 Forma general de la ecuación de la vtctor Martfnez circunferencia.
5.3 Ecuación de la circunferencia dadas tres Victor Martf nez condiciones.
5.4 Ecuación polar de la circunferencia. Victor Martínez
5.5 Ecuación estándar de la elipse. vtctor Martinez
5.6 La ecuación general de la elipse. Victor Martínez
6.1 Ecuación de la forma estándar de la Victor Martínez parábola.
6.2 Ecuación general de la parábola. vtctor Martinez
6.4 Ecuación de la forma ordinaria de la Victor Martínez Hipérbola
6.5 Forma general de la ecuación de la hipérbola. vtctor Martínez
6.6 Asíntotas de la hipérbola. Víctor Martinez
7.1 Identificar una cónica.
~ 7.2 Rotación de ejes.
Víctor Martinez
Victor Martínez
Victor Martínez
Victor Martínez
Victor Martínez
8.1 Intersecciones, simetrías y asíntotas.
9.1 Desigualdades cuadráticas.
9.2 Interpretar gráficamente una desigualdad cuadrática.
111
' ' '
1.3 División de un segmento en una raz6n 22/06/98 dada. 1.4 rea de un polfgono de vértices 20/06/98 conocidos.
Ecuación de la recta en forma polar 17/06/98
Ángulo entre rectas. 17/06/98
Victor Martir
Victor Martir
Victor Martir Senties
, Distancia entre rectas paralelas 17/06/98 Victor Martir
~ 3.1 Diferencia entre ángulo de inclinación y 17 /06/98 Victor Martir pendiente.
Martinez, Victor
..,. T eaching Assistant
Senties, Ernesto
Sevilla, Francisco
112
3.4 RESULTADOS
El impacto del diseño instruccional del curso de Geometría Analítica
impartido bajo el nuevo modelo educativo en comparación con el mismo curso
dado en forma tradicional resultó altamente satisfactorio, pues permitió generar
otros espacios de aprendizaje en donde los estudiantes se vieron involucrados
constante y permanentemente en actividades que los socializaron, los unieron y
en donde aprendieron a convivir y trabajar por el bien común y de manera
colaborativa para la consecución de los objetivos.
Los buenos resultados no se hicieron esperar y en el grupo en donde se
aplicaron las dinámicas y las estrategias de aprendizaje bajo el nuevo modelo
educativo, con el diseño instruccional y la inclusión de las prácticas
colaborativas hubo un promedio general de 82 y un porcentaje de aprobados
del 90% en un grupo de Geometría Analítica con 40 estudiantes que se
impartió en el semestre 9801; mientras que en el otro grupo impartido en el
semestre 9708 que constaba de 32 estudiantes donde se mantuvo el esquema
tradicional se tuvo un promedio general de 78 y un porcentaje de aprobados de
84%. Como se puede observar se incrementó en 4 puntos el promedio general
del grupo y en 6 puntos porcentuales el número de aprobados en el curso dado
bajo el esquema colaborativo.
Tabla 2. Estadísticas de dos cursos de Geometría Analítica
Fuente: Departamento de Matemáticas, Campus Estado de México
Semestre Número Promedio % Aprobados alumnos General
9708 32 78 84 9801 40 82 90
113
Además, al hacerlos partícipes de su aprovechamiento, los estudiantes
dieron muestras de responsabilidad, de honradez y de madurez,
particularmente al evaluar el trabajo desarrollado por ellos mismos y por sus
compañeros, que en ocasiones incluso fueron más severos al momento de
realizar dicha coevaluación; esto es porque en ocasiones se acercaron a
decirme que alguno de sus compaf\eros de equipo no trabajó y por lo tanto no
lo incluyeron en el trabajo escrito y por consiguiente su participación la
evaluaban como insuficiente y no trabaja (anexo F).
Los alumnos manifestaron agrado por las actividades diversas que
realizaron a lo largo del curso dado bajo el nuevo modelo educativo y
plasmadas en el diseño instruccional, que incluso mencionaron que "fue una
grata y enriquecedora experiencia" que les permitió desenvolverse más en un
ambiente participativo, pues en particular los alumnos "tímidosº tuvieron una
actuación más directa en el proceso mediante exposiciones de temas,
seguimiento de envío de trabajos, responder preguntas en clase, relación más
estrecha con los integrantes del equipo.
El autor considera que la realización de las prácticas genera en los
estudiantes diferentes formas de aprender y de aprehender la Geometría
Analítica que se manifiesta desde el momento mismo en que se enfrentan a
problemas, ya que éstos están tomados de situaciones reales en donde el
estudiante puede encontrar una manera de poder utilizar lo aprendido en el
salón de clases y en donde además sienta que las matemáticas tienen una
aplicación concreta. El reto que implica el enfrentarse a una situación problema
de carácter real sobretodo al resolverlo; hace que el estudiante se motive,
desee continuar aprendiendo más sobre cuestiones matemáticas, que las
encuentre atractivas y aplicables a problemas.
El autor manifiesta firmemente que la aplicación de prácticas y las
relaciones colaborativas en el salón de clases necesariamente tiene
114
repercusiones sólidas para el aprendizaje de las matemáticas pues los
estudiantes aprenden mejor cuando están interactuando directamente con otros
de su misma edad, hablan el mismo lenguaje, tienen intereses más o menos
comunes y les explican de manera diferente. Además, fortalece las técnicas y
habllldades que los estudiantes tienen para enfrentar y resolver problemas, con
la consiguiente aprehensión del conocimiento de manera significativa.
Con el diseño instruccional del curso y las prácticas colaborativas, el autor
expresa con beneplácito que los resultados concretos en cuanto al aprendizaje
de los alumnos se manifestó de manera contundente ya que las implicaciones y
repercusiones en el aprovechamiento de los alumnos se observaron de
inmediato en el momento mismo de enfrentarlos a situaciones problemáticas
donde debían aplicar lo aprendido.
115
CAPÍTULO 4
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En el presente capítulo se presentan conclusiones acerca de las teorías
cognitivas, del contenido de la materia que conforma el programa analítico, del
diseño instruccional y de la metodología empleada en la resolución de
problemas. Como consecuencia de las conclusiones, el tesista propone
algunas recomendaciones.
4.1 CONCLUSIONES
4.1.1 Las teorías cognitivas
En las teorías cognitivas expuestas en este trabajo, llama la atención del
autor lo que menciona Schoenfeld, citado en Santos (1992), en el sentido de
afirmar que resolver problemas es de suma importancia en el aprendizaje de
las matemáticas, por lo que considera que esa afirmación no sólo es
exclusivamente válida para el aprendizaje de las matemáticas sino para
cualquier otra área del conocimiento, ya que la confrontación con situaciones
problemáticas y la determinación de la solución da pauta al estudiante para
poder aplicar los conocimientos adquiridos, así como el uso de diversas
estrategias o metodologías.
El autor considera que la creación de situaciones donde se favorecen
actividades en equipo y se interrelacionen los estudiantes son los mejores
ambientes ya que si se llevan a cabo de forma colaborativa, las posibilidades
116
de lograr un mejor aprendizaje se incrementan ya que es más probable resolver
problemas juntos que de manera individual, pues el hecho de intercambiar
opiniones, de participar en grupos de trabajo, hace que los estudiantes se
preocupen del aprendizaje propio como del de los demás, como lo afirma
Gokhale, citado en Tlnzmann (1990): 11 ... el éxito de uno ayuda a otros a ser
exitosos".
Además, si el alumno está motivado y convencido de que lo que está
realizando tanto dentro del salón de clases como fuera de él, el éxito del
aprendizaje será más viable ya que la colaboración se realiza en un ambiente
de confianza y con sujetos que poseen características similares ya que usan un
mismo lenguaje.
4.1.2 Contenido de la materia
La inclusión del tema de sistema de coordenadas polares en el temario
de Geometría Analítica brinda otra alternativa de representación gráfica a los
estudiantes, a la vez que favorece el establecimiento de relaciones entre el
sistema de coordenadas rectangulares que por siempre ha utilizado el alumno
en cursos anteriores, con este nuevo sistema.
La forma en que están ordenados los temas, permite verlos en forma
paralela, abriendo la posibilidad de alternar conceptos en diferentes ámbitos
gráficos y no restringirse a uno solo. En este aspecto el autor considera que es
una buena estrategia metodológica que redunda en beneficio del aprendizaje
del estudiante.
Sobre la inclusión del último tema que versa sobre desigualdades
cuadráticas, el autor opina que está fuera de contexto, ya que los principales
contenidos temáticos están relacionados sobre una sección cónica y de repente
se da un gira brusco al abordarlas, lo que ha ocasionado en los estudiantes un
I 17
corte tajante en la programación y un abandono casi radical de la geometría ya
que no encuentran relación con las curvas vistas anteriormente.
Los exámenes que se apliquen durante el curso dado en forma
constructlvista no deben ser elaborados bajo el formato "exámenes
departamentales del área de matemáticas", pues los temas requieren más
tiempo ya sea por la profundización con que se traten o bien por las preguntas
y dudas que surjan a la hora de estar interactuando en equipos de trabajo.
4.1.3 Diseño lnstrucclonal
La elaboración y estructuración del diseño in$truccional del curso de
Geometría Analítica resulta importante en el avance del curso ya que
proporciona una panorámica global del curso que facilita la labor y orienta a lo
largo del curso sobre estrategias y en donde se contempla una programación
cuidadosa del mismo. Además, la inclusión de estrategias y recursos
instruccionales apoyan el proceso de enseñanza-aprendizaje dentro y fuera de
la clase para consolidar lo aprendido; así mismo, el cambio que se manifiesta al
considerar al estudiante como parte evaluadora del proceso, determina
responsabilidades compartidas en su aprendizaje.
Con las prácticas colaborativas en el diseño instruccional del curso los
conceptos se reforzaron y favorecieron tanto el aprendizaje como las relaciones
entre los estudiantes ya que al hacer trabajo colaborativo mantuvieron un
acercamiento hacia sus compañeros donde mostraron madurez y
responsabilidad en las tareas asignadas. Ahora bien, el autor está plenamente
convencido que las estrategias colaborativas que se implementen en cualquier
curso o actividad están encaminadas a asegurar el aprendizaje por parte de los
estudiantes y a la vez a fortalecer las relaciones entre las personas para crear
vínculos de compromiso y responsabilidad con lo encomendado.
118
4.1.4 Metodología en la resolución de problemas
Con la aplicación de la metodología de resolución de problemas se
manifiesta una interrelación entre los alumnos que redunda en un mejor trabajo
colaborativo grupal, donde se intercambian puntos de vista y se tenga un
aprendizaje más perecedero a la vez que refuerza los lazos socializadores del
grupo.
La Importancia de esta metodología radicó en que se propusieron
ejemplos de interés para que los estudiantes se apropiaran de ellos y se
manifestara el deseo de resolverlos; así mismo, el proceso que se realizó en la
metodología permitió estimular en los alumnos el deseo por determinar la
solución. La metodología de resolución de problemas permite enfrentar al
estudiante con problemas reales, tangibles.
Por otro lado, en la resolución de problemas se realizaron actividades
tales como la búsqueda de información en biblioteca o internet, preparación del
tema para su exposición en clase, la autoevaluación y coevaluación de los
estudiantes, el trabajo en equipo, el uso de la computadora y el paquete
graficacional Cónicas, el uso del correo electrónico; elementos que el autor
considera fueron motivantes e hicieron que el estudiante se preocupara por su
propio aprendizaje, generando en él un sentido de responsabilidad.
4.2 RECOMENDACIONES
Es menester hacer que los contenidos y habilidades estén acordes con el
objetivo que se pretende alcanzar al finalizar el curso. Esto es, los objetivos
deben especificar claramente el nivel cognitivo que el alumno debe alcanzar en
relación con el contenido de la materia, así como el grado de habilidad que el
alumno debe desarrollar; así mismo, se deben especificar las actitudes y
valores que el alumno adquirirá y que prevalecerán a lo largo del curso. Con el
119
establecimiento claro de objetivos se tendrá una organización más precisa que
permitirá seleccionar las técnicas y metodologías más adecuadas para
determinados tipos de contenido.
El autor considera que debe utilizarse un mayor número de estrategias
que involucren la participación activa del estudiante y que incidan en los
procesos mentales y cognoscitivos de ellos a tal grado que sea necesario
hacerlos participes del proceso de enseñanza-aprendizaje.
En el área de Matemáticas es necesaria la estructuración de los
contenidos con temas que tengan relación con la inclusión de problemas reales
en donde se manifieste un interés por determinar sus soluciones; que exista
una interconexión entre los contenidos temáticos y sus aplicaciones a la
realidad.
Respecto a la academia el autor sugiere que se difundan las bondades del
constructivismo a un mayor número de profesores del área de matemáticas con
la intención de conformar bloques de intercambio académico acerca de
estrategias o metodologías empleadas en el proceso didáctico y así enriquecer
la labor educativa y beneficiar a nuestros alumnos.
En cuanto a los materiales instruccionales el autor considera que deben
incrementarse en cantidad y en calidad, para que sirvan como instrumentos que
refuercen la enseñanza y a la vez el aprendizaje de los alumnos se vea
favorecido. Además, que cubran la característica de que sean motivantes,
atractivos, novedosos y que permitan aplicar los conceptos matemáticos a
situaciones concretas y reales.
La inclusión de la computadora y paquetes o programas computacionales
en los cursos de matemáticas donde se manejen conceptos que se pueden
representar geométricamente, es un aspecto que debe considerarse
120
seriamente para que el estudiante tenga una opción o alternativa más práctica
para visualizar los aspectos matemáticos que en ocasiones resultan ser muy
abstractos y que no dicen nada, en comparación con una imagen o gráfica que
dice más que mil palabras.
Los procesos que se apliquen en la resolución de problemas deben ser
transferidos a más situaciones problemáticas reales para que su aprendizaje
resulte ser significativo.
Direccionar esfuerzos a la capacitación del personal docente para el
manejo de ambientes constructivistas y el uso de la tecnología aplicada a la
enseñanza de las matemáticas.
Las sugerencias que el autor hace para posteriores investigaciones gira
en torno de la elaboración de material didáctico (CD, libros, guías, paquetes
computacionales) para los cursos de matemáticas que comprendan tópicos
abordados desde una perspectiva netamente constructivista, ya que la inclusión
de elementos con esas características favorecerá substancialmente el
aprendizaje de los alumnos.
A continuación me permito hacer una reflexión sobre el cambio de
rol que manifesté como profesor:
Las actividades colaborativas requieren de una constante y permanente
participación y de una creatividad motivadora de parte del profesor que
entusiasme a los estudiantes a realizar y lograr los objetivos planteados en las
actividades encomendadas. A pesar de que mi formación como estudiante de
Matemáticas me permitió realizar actividades que involucraban la construcción
y búsqueda del conocimiento así como hacer demostraciones rigurosas de
teoremas, de conocer el porqué de los conceptos, sus orígenes y posibles
aplicaciones; cuando se desempeña la función de profesor se tiene una
121
perspectiva diferente de cómo trasladar o transmitir esas técnicas adquiridas.
Sin embargo, había que hacer propuestas y cambiar funciones: de transmisor
de conocimientos a guía y facilitador en la materia de Geometría Analítica, por
lo que no fue fácil ya que en principio se enfrenta una situación completamente
diferente de la que se ha venido realizando durante mucho tiempo y se
empieza una nueva etapa con una nueva metodología en la enseñanza y en el
aprendizaje, aunado al hecho de carecer de experiencia y de técnicas
específicas y adecuadas que permitan realizar los objetivos propuestos del
curso, así como la generación de espacios para la adquisición de habilidades,
valores y actitudes por parte de los estudiantes.
Ese tipo de situación educativa con el nuevo modelo educativo provocó
en mi persona un reto y generó un cambio en mi forma de actuar en el salón de
clases ya que a pesar de tener experiencia en actividades docentes durante
varios años, ahora con este cambio de paradigma se modificaba mi estilo de
enseñar, de impartir clases y de evaluar ya que ahora los estudiantes requerían
de un constante y permanente acercamiento con ellos, de un facilitador que los
condujera hacia los objetivos propuestos, aplicar diversas estrategias y
modificar tanto el modo de enseñar de uno mismo como el modo de aprender
por parte de los estudiantes, la creación de ambientes en donde se
comprometiera a los estudiantes a realizar las tareas asignadas y trabajar
colaborativamente, eran situaciones que debían ser llevadas a cabo en primera
instancia bajo mi supervisión para luego ir delegando paulatinamente esas
responsabilidades.
Estaba ante una situación que me brindaba la posibilidad de modificar mi
papel de profesor, de transformarme en un guía, en un generador de ambientes
adecuados al trabajo colaborativo y después de haber realizado esas
actividades, considero que valió la pena involucrarse en ello, porque se da uno
cuenta del entusiasmo que le imprimen los estudiantes y de la manera en que
se ayudan entre sí para lograr aprender las matemáticas de una manera más
122
colaborativa y desde luego cuando se percibe que lo que se está haciendo es
en beneficio de la educación matemática en México, por lo que considero que
la relación que se genera en esos ambientes son más provechosos y permiten
que el estudiante se relacione de manera más comprometida y se trabaje hacia
objetivos comunes.
En suma, las actividades realizadas hicieron que modificara mi manera
de ser y de actuar con los estudiantes al ser más tolerante con ellos,
comprenderlos, respetarlos y apoyarlos, así como un mayor entusiasmo hacia
la enseñanza de las matemáticas.
123
Anexo A
Programa oficial de Geometría Analítica
División: Departamento: Clave: Semestre: Horas de clase a la semana: Requisito: Unidades:
l. OBJETIVO GENERAL
Preparatoria Matemáticas PM95400 4º 5 Matemáticas 111 aprobada 10
Integrar conceptos geométricos y algebraicos como una forma de obtener modelos matemáticos.
11. PROGRAMA SINTETICO
TEMAS HORAS DE CLASE
1. Sistema de coordenadas rectangulares. 4 2. Sistema de coordenadas polares. 4 3. La recta. 1 O 4. Transformación de coordenadas. 5 5. Circunferencia y elipse. 15 6. Parábola e hipérbola. 15 7. Ecuación general de segundo grado en dos variables. 7 8. Análisis de curvas algebraicas. Intersecciones,
simetrías, asíntotas. 1 O 9. Desigualdades cuadráticas. 1 O
Total de horas 80
124
111. PROGRAMA ANALITICO
1. Sistema de coordenadas rectangulares Al término de este tema, el alumno manejará el sistema de coordenadas rectangulares.
1 . 1 Obtener la distancia entre puntos. 1 .2 Obtener las coordenadas del punto que divide un segmento lineal en una
razón dada. 1.3 Obtener el área de un triángulo dado sus vértices.
2. Sistema de coordenadas polares Al término de este tema, el alumno manejará el sistema de coordenadas polares y su relación con el sistema de coordenadas rectangulares.
2.1 Localizar puntos en coordenadas polares. 2.2 Distancia entre puntos en coordenadas polares. 2.3 Relaciones entre coordenadas rectangulares y polares.
3. La recta El alumno al término de este tema será capaz de definir el lugar geométrico de la recta, interpretar el significado de la inclinación y pendiente, expresar su ecuación en varias formas y aplicar los conceptos de la línea recta a problemas dados.
3.1 Establecer la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta.
3.2 Definir la recta como lugar geométrico. 3.3 Obtener la ecuación de rectas paralelas a los ejes coordenados. 3.4 Obtener la ecuación de la recta en la forma punto - pendiente. 3.5 Obtener la ecuación de la recta en la forma simétrica. 3.6 Obtener la ecuación de la recta en la forma pendiente - ordenada al origen. 3.7 Definir la ecuación general de primer grado en dos variables. 3.8 Determinar las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de rectas,
de acuerdo a sus pendientes. 3.9 Calcular la longitud del segmento trazado del origen y que es perpendicular
a la recta Ax + By + C = O. 3.1 O Calcular la longitud del segmento trazado del punto P(x1, Y1) y que es
perpendicular a la recta: A x + B y + C = O . 3.11 Determinar el ángulo entre rectas. 3.12 Obtener la ecuación de una familia de rectas. 3.13 Resolver problemas de geometría elemental aplicando conceptos de recta. 3.14 Obtener la forma polar de la ecuación de la recta.
125
4. Transformación de coordenadas Al término de ese tema el alumno será capaz de deducir y aplicar las ecuaciones de transformación de coordenadas por traslación de ejes.
4.1 Traslación de ejes.
5. Circunferencia y elipse El alumno, al término de este tema será capaz de definir el lugar geométrico de una circunferencia; expresar su ecuación en forma ordinaria y general; obtener su ecuación a partir de condiciones dadas. Además, será capaz de identificar el lugar geométrico de una elipse; así como identificar y graficar sus ecuaciones y aplicarlas junto con sus propiedades a problemas dados.
5.1 Determinar la ecuación de la forma estándar de la circunferencia. 5.2 Forma general de la ecuación de una circunferencia. 5.3 Obtener la ecuación de una circunferencia que satisface tres condiciones. 5.4 Obtener la forma polar de la ecuación de una circunferencia. 5.5 Deducir a partir de la definición de elipse la forma estándar de la ecuación
de la elipse. 5.6 Obtener la ecuación de la elipse de la forma general de la ecuación de la
elipse. 5.7 Aplicar a problemas dados las propiedades de la elipse y la circunferencia.
6. Parábola e hipérbola El alumno, al término de este tema será capaz de definir el lugar geométrico de una parábola; así como interpretar y graficar sus ecuaciones y aplicar sus propiedades a problemas dados. Adicionalmente será capaz de identificar el lugar geométrico de una hipérbola; así como identificar y graficar sus ecuaciones.
6. 1 Deducir y graficar, a partir de la definición de parábola las ecuaciones de la parábola con vértice en el origen y eje paralelo a un eje coordenado.
6.2 Deducir y graficar, a partir de la definición de parábola las ecuaciones de la parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado.
6.3 Deducir y graficar, a partir de la definición de hipérbola las ecuaciones de la hipérbola con centro en el origen y eje transverso un eje coordenado.
6.4 Deducir y graficar, a partir de la definición de hipérbola las ecuaciones de la hipérbola con centro en (h, k) y eje transverso paralelo a un eje coordenado.
6.5 Definir y graficar la ecuación de la hipérbola equilátera. 6.6 Aplicar a problemas dados las propiedades de la parábola e hipérbola.
126
7. Ecuación general de segundo grado en dos variables El alumno será capaz de analizar e identificar el lugar geométrico representado por la ecuación general de segundo grado con dos variables.
7.1 Analizar la ecuación general de segundo grado en dos variables. Identificar una cónica.
7.2 Deducir las ecuaciones de transformación de coordenadas por rotación de ejes. Simplificación de la ecuación general de segundo grado en dos variables.
8. Análisis de curvas algebraicas. Intersecciones, simetrías, asíntotas. El alumno será capaz de identificar y graficar las intersecciones, simetrías y asíntotas de la curva.
8.1 Identificar y determinar la intersección de una curva con los ejes coordenados.
8.2 Definir e identificar la simetría de una curva con respecto a los ejes coordenados y al origen.
8.3 Definir y graficar las asíntotas de una curva.
9. Desigualdades cuadráticas El alumno será capaz de resolver desigualdades cuadráticas e interpretar la solución.
9.1 Definir y solucionar una desigualdad cuadrática. 9.2 Resolver algebraicamente e interpretar gráficamente una desigualdad
cuadrática.
IV. EVALUACIÓN
Calificación parcial: Se sugiere que el examen parcial sea un 80 % o un 90 % de la calificación. La otra parte de la calificación se deberá integrar con las tareas, trabajos especiales, proyectos o exámenes rápidos que se efectúen:
Calificación final: Promedios parciales Examen final
Total
127
60% 40%
100 %
V. BIBLIOGRAFÍA
Libro de texto: 1. Lehmann, C. Geometría Analítica.
Libros de consulta: 1 . Swokowski, E. Algebra y geometría analítica. Grupo Editorial lberoamérica. 2. Middlemiss, Ross R. Geometría analítica. Editorial McGraw Hill.
128
Nombre:
Anexo B
EXAMEN DIAGNÓSTICO
Matrícula: ------------- --------Grupo: _____ Prof. ____________ Fecha: ____ _
INSTRUCCIONES: Contesta lo que se te indica. La calificación que obtengas no se tomará en cuenta para tu evaluación parcial, sólo es para determinar el nivel de conocimientos con el que llegas al curso de Geometría Analítica.
1. Si (x,, y,)= (5, -4) , (x2, Y2) = (-3, 2) son dos puntos del plano. Calcula el
valor numérico de la siguiente expresión:
~(X2 - X¡ )2
+ (Y2 - Y1 )2
=
2. Determina el término faltante de la expresión x2 -6x + __ , para que sea
un trinomio cuadrado perfecto:
3. Factoriza el siguiente trinomio 6 x2 - 7x - 3 = ( ____ ) ( ____ )
4. Si f(x) = 3x - 5 es una función lineal. Realiza su gráfica y determina las
coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados.
X y
Pto. de intersección con el eje X: ( __
Pto. de intersección con el eje Y: ( __
129
_ )
__ )
5. Si las ecuaciones de dos líneas rectas están dadas por 2x + 3y- 5 =O,
- 4x + 7y- 3 = O . Determina el punto de intersección de ambas líneas.
Punto de intersección: ( )
6. Si Jt + I = 4 representa una curva. Haz un bosquejo de su gráfica e
identifica el tipo de curva que resulta.
X y
Tipo de curva: ________ _
130
Anexo C
Prácticas colaborativas
l. La elipse
1. Título
Aplicaciones de la elipse.
2. Objetivos
Al concluir esta práctica el alumno:
1. Identificará los elementos que conforman una elipse (el centro, longitud del
eje mayor, longitud del eje menor, longitud del eje focal, vértices y focos).
2. Determinará la ecuación de la elipse dadas las longitudes del eje mayor y del
eje menor.
3. Determinará las coordenadas de los focos.
4. Distinguirá algunas propiedades de la elipse tales como:
a) la distancia de un punto de la elipse a dos puntos fijos (focos) es siempre
constante.
b) la relación que existe entre los parámetros del foco (c) y del vértice (a) es
menor que la unidad ( c/a < 1 ).
5. Identificará la ecuación de una elipse por su forma y sus términos
algebraicos que la conforman.
6. Graficará la curva de la elipse.
7. Usará la computadora junto con el programa computacional Cónicas para
graficar las ecuaciones de varias elipses cuya excentricidad se aproxime a la
unidad.
8. Aplicará las propiedades de la elipse a problemas dados.
9. Resolverá problemas relacionados con la elipse.
3. Ubicación del tema
La Elipse corresponde al 5º tema del programa sintético de Geometría
Analítica y su contenido se trata después de la Circunferencia y de los
131
siguientes temas: Sistemas de Coordenadas Rectangulares, Sistema de
Coordenadas Polares, La recta y Transformación de Coordenadas.
4. Prerrequisitos
Es importante asegurarse que el estudiante sepa:
a) Identificar los elementos que conforman una elipse.
b) Distinguir el lugar geométrico de una elipse.
c) Reconocer e interpretar las ecuaciones de una elipse en diferentes
posiciones (vertical y horizontal).
d) Graficar la elipse por el método del jardinero.
5. Medios instruccionales
Se requieren hojas impresas con el problema a resolver así como los
ejercicios propuestos, tijeras, hilo, tachuelas, lápiz, papel manila de 50 cm. de
lado, regla con marcas, sala de computadoras y en cada computadora debe
estar cargado el programa computacional Cónicas.
6. Estrategias de enseñanza
Las actividades del profesor son:
a) Proponer un problema que tenga relación con la ecuación de una elipse, de
naturaleza semejante a lo que se presenta en el mundo real, para que los
estudiantes lo planteen mediante un modelo matemático y lo resuelvan en
equipos de trabajo. Planteamiento del problema: El Sr. Juárez quiere hacer
un portarretrato de madera de forma elíptica para colocar una fotografía que
mide 30 cm. de largo por 20 cm. de ancho. Ha dibujado la elipse en varios
intentos y ésta no le ha salido simétrica como él desea. ¿Cómo construirle la
plantilla elíptica para solucionar el problema?
b) Disponer la conformación de los equipos de trabajo, que puede ser entre tres
o cinco estudiantes, de la forma que considere conveniente.
132
c) Indicar las actitudes que deben prevalecer en los equipos de trabajo: respeto
hacia las opiniones de los compañeros, oportunidad de igualdades para
opinar, responsabilidad por la tarea, compromiso de aprendizaje de todos' los
integrantes del equipo, organización y coordinación de las actividades.
d) Proponer que nombren un presidente y un secretario en cada equipo de
trabajo para que el primero proponga procedimientos de trabajo y funja como
líder en el proceso mientras que el otro toma nota de las participaciones,
comentarios, estrategias, procedimientos, etcétera.
e) Indicar que el tiempo que tienen para resolver el problema es de 30 minutos.
f) Cuestionar al grupo sobre la comprensión del problema, los elementos que
se tienen y los que hay que determinar.
g) Tomar una actitud de observador y ver que cada equipo trabaje sobre el
problema planteado; en caso de que algún equipo tenga dificultades para
abordarlo, entonces se plantean algunas preguntas de tal manera que los
alumnos analicen críticamente la problemática dada, procurando orientar a
los estudiantes hacia la consecución del objetivo propuesto.
h) Elegir al azar a un estudiante de algún equipo de trabajo para que exponga
ante el resto del grupo los procedimientos y resultados obtenidos del trabajo
realizado colaborativamente.
i) Evaluar con el grupo el rendimiento y funcionamiento de la dinámica
realizada para determinar el grado de avance o de aprovechamiento.
j) Proponer ejercicios mediante un documento escrito (Anexo D) para que el
estudiante utilice la computadora como auxiliar para graficar algunas
ecuaciones de elipses, modificando algunos parámetros. De igual manera,
proponer ejercicios gráficos de elipses con la finalidad de que los estudiantes
determinen la ecuación correspondiente. Incluir ejercicios de aplicación
similares o de mayor grado de dificultad de los conceptos vistos en esta
práctica.
133
7. Estrategias de aprendizaje
Se utiliza la estrategia del manejo de preguntas que le faciliten al
estudiante obtener información relevante sobre los elementos indispensables y
necesarios para atacar el problema. La principal causa que origina el uso del
manejo de las preguntas es que invitan a los estudiantes a pensar logrando con
ello que se realicen tareas cognitivas específicas y encaminadas a ubicar al
estudiante en el contexto, esto es, se guía al alumno al redescubrimiento de
propiedades o características del objeto de estudio.
Las siguientes preguntas motivarán a que el estudiante descubra por sí
mismo la relación o relaciones entre los elementos que conforman la elipse, así
como para determinar la posición de los focos de la elipse y construir la
plantilla, logrando con ello resolver el problema dado.
¿Cuáles son los datos que se tienen del problema?
¿Qué es lo que se quiere determinar para resolver el problema?
¿ Con los datos dados es suficiente para poder solucionar el problema o es
necesario determinar algunos elementos adicionales?
¿ Qué elementos de la elipse representan los datos dados?
¿De qué manera se usan los datos dados y en dónde se aplican?
¿Existe alguna propiedad o relación de la elipse que se use en este problema?
¿Es conveniente determinar las coordenadas del centro de la elipse?
¿Se requiere conocer la representación algebraica de la elipse?
¿Cómo se grafica la elipse?
B. Transferencia del aprendizaje significativo
Una vez que ha quedado resuelto el problema y que todos los estudiantes
hayan identificado los procesos y los elementos que se emplearon, conviene
hacer la transferencia de ese conocimiento aplicándolo a otros problemas.
Entonces, se les vuelve a plantear otra serie de preguntas tales como:
134
¿La ecuación general de la elipse es la única forma de expresarla?
¿Qué ocurre cuando la longitud del semieje mayor es igual a la longitud del
semieje menor en una elipse?
¿Cómo determinar si un punto se encuentra sobre la elipse?
¿Qué lugar geométrico se representa cuando la ecuación canónica o estándar
de la elipse está igualada a cero?
¿Qué lugar geométrico se tiene cuando la ecuación canónica o estándar de la
elipse es un número real negativo?
A continuación se le proporciona a cada estudiante una serie variada de
ejercicios (tanto algebraicos como gráficos) impresos relacionados con la elipse
y se les indica que deben resolverlos individualmente usando la computadora,
con la finalidad de que puedan reafirmar sus conocimientos y verificar sus
respuestas a las preguntas.
9. Evaluación
En la evaluación se considera tanto la formativa como la informativa. En la
primera se toman en cuenta aspectos tales como la relación social mantenida
en el grupo, la disponibilidad para participar colaborativamente; mientras que en
la segunda, el comprender y manejar la información.
Para medir lo aprendido por los estudiantes en la práctica realizada el
autor propone tres tipos de evaluación:
1. Autoevaluación. El mismo estudiante se evalúa. Se brinda la oportunidad al
estudiante de ser honesto consigo mismo acerca de su actuación en el trabajo
en equipo. Se le considera como parte evaluadora de su actividad (Anexo E).
2. Coevaluación. Cada integrante del equipo evalúa a los demás. Se considera
como un aspecto importante para generar en el estudiante el sentido de
responsabilidad y honestidad (Anexo F).
135
3. Evaluación del profesor. El profesor hace la evaluación de la actividad con
los documentos escritos que se generan durante la práctica, en donde se
verifica que la respuesta sea la correcta y que los procedimientos realizados
estén matemáticamente bien desarrollados, además del ejercicio integrador. La
evaluación para el alumno que expone ante el grupo (Anexo G) se hace
extensiva para todo el equipo al que pertenece.
11. La parábola
1. Título
Ecuación y gráfica de la parábola.
2. Objetivos
Al concluir esta práctica el alumno:
1. Determinará las coordenadas del foco y del vértice de la parábola.
2. Determinará la ecuación de la parábola y sus elementos básicos (las
coordenadas del vértice, las coordenadas del foco, la longitud del lado recto
y la ecuación de la directriz.
3. Distinguirá algunas propiedades de la parábola tales como:
a) la amplitud del lugar geométrico que describe la curva está determinado
por la longitud del lado recto.
b) la concavidad está relacionada por el signo del término lineal.
5. Identificará la ecuación de una parábola por su forma y sus términos
algebraicos que la conforman.
6. Graficará la curva de la parábola.
3. Ubicación del tema
El tema de la parábola corresponde al 6º tema del programa sintético de
Geometría Analítica y su contenido se trata después de los siguientes temas:
Sistemas de Coordenadas Rectangulares, Sistema de Coordenadas Polares,
La recta, Transformación de Coordenadas y Circunferencia y Elipse.
136
4. Prerrequisitos
Es importante asegurarse que el estudiante sepa:
a) Identificar los elementos que conforman una parábola (vértice, foco, directriz
y lado recto).
b) Saber usar el programa computacional Cónicas.
c) Identificar las ecuaciones de las parábolas en sus diferentes posiciones
considerando el eje de la parábola paralelo a los ejes coordenados.
d) Identificar el lugar geométrico de una parábola.
5. Medios instruccionales
Se requieren hojas impresas con el problema real planteado así como los
ejercicios propuestos, un salón con sillas movibles, sala de computadoras y el
programa computacional Cónicas cargado en cada una de ellas.
6. Estrategias de enseñanza
Las actividades del profesor son:
a) Proponer un problema que tenga relación con la ecuación de una parábola,
de naturaleza semejante a lo que se presenta en el mundo real, para que los
estudiantes lo planteen mediante un modelo matemático y lo resuelvan en
equipos de trabajo. Planteamiento del problema: El Sr. Sánchez compra una
antena parabólica con las siguientes dimensiones: tiene una longitud de 2.40
m. de profundidad y mide 3.20 m. de ancho con la característica de que su
armado es sencillo, fácil de instalar por él mismo en su casa de campo que
queda en la parte alta de una montaña en una población alejada de su
ciudad natal. Se dispone a ensamblarla cuando se percata que los "tirantes"
que soportan el receptor de la señal no se encuentran en el paquete.
Entonces, decide hacer un soporte rústico de manera provisional, mientras
manda pedir los tirantes originales. Por lo que le surge una duda: ¿A qué
distancia del vértice debe colocar el receptor en la parábola para que reciba
la señal en condiciones óptimas?
137
b) Disponer la conformación de los equipos de trabajo, que puede ser entre tres
o cinco estudiantes, de la forma que considere conveniente.
c) Indicar las actitudes que deben prevalecer en los equipos de trabajo: respeto
hacia las opiniones de los compañeros, oportunidad de igualdades para
opinar, responsabilidad por la tarea, compromiso de aprendizaje de todos los
integrantes del equipo, organización y coordinación de las actividades.
d) Proponer que nombren un presidente y un secretario en cada equipo de
trabajo para que el primero proponga procedimientos de trabajo y funja como
líder en el proceso mientras que el otro toma nota de las participaciones,
comentarios, estrategias, procedimientos, etcétera.
e) Cuestionar al grupo sobre la comprensión del problema, los elementos que
se tienen y los que hay que determinar.
f) Tomar una actitud de observador y ver que cada equipo trabaje sobre el
problema planteado; en caso de que algún equipo tenga dificultades para
abordarlo, entonces se plantean algunas preguntas de tal manera que los
alumnos analicen críticamente la problemática dada, procurando orientar a
los estudiantes hacia la consecución del objetivo propuesto.
g) Elegir al azar a un estudiante de algún equipo de trabajo para que exponga
ante el resto del grupo los procedimientos y resultados obtenidos del trabajo
realizado colaborativamente.
h) Evaluar con el grupo el rendimiento y funcionamiento de la dinámica
realizada para determinar el grado de avance o de aprovechamiento.
i) Proponer ejercicios mediante un documento escrito (Anexo D) para que el
estudiante utilice la computadora como auxiliar para graficar algunas
ecuaciones de parábolas, modificando algunos parámetros. De igual
manera, proponer ejercicios gráficos de parábolas con la finalidad de que los
estudiantes determinen la ecuación correspondiente. Incluir ejercicios de
aplicación similares o de mayor grado de dificultad de los conceptos vistos
en esta práctica.
138
7. Estrategias de aprendizaje
Se utiliza la estrategia del manejo de preguntas que le faciliten al
estudiante obtener información relevante sobre los elementos indispensables y
necesarios para atacar el problema. La principal causa que origina el uso del
manejo de las preguntas es que invitan a los estudiantes a pensar logrando con
ello que se realicen tareas cognitivas específicas y encaminadas a ubicar al
estudiante en el contexto, esto es, se guía al alumno al redescubrimiento de
propiedades o características del objeto de estudio.
Las siguientes preguntas van encaminadas a hacer que . el estudiante
descubra por sí mismo la relación o relaciones entre los elementos dados de la
parábola, así como para determinar la posición en que debe colocarse el
receptor, logrando que los estudiantes resuelvan el problema propuesto.
¿Cuáles son los datos que se tienen del problema?
¿ Qué es lo que se quiere determinar para resolver el problema?
¿Cuáles de los datos dados son necesarios para resolver el problema?
¿De qué manera pueden ser usados esos datos?
¿Qué relación existe entre los datos del problema y los parámetros de la
parábola?
¿Es posible hacer una representación gráfica de la parábola?
¿Se puede determinar la ecuación que representa a la parábola?
¿Cuáles son los valores o coordenadas que representan el vértice de la
parábola?
¿Se puede determinar las coordenadas de algún punto sobre la curva de la
parábola?
¿De qué manera puede ser empleado ese punto sobre la curva en el
problema?
¿De qué forma se puede usar el punto que está sobre la curva?
¿Qué valor se obtiene si se sustituye el punto que está sobre la parábola en la
ecuación?
139
¿Con ese valor obtenido se determina la posición en que debe colocarse el
receptor o hay que hacer algunos otros cálculos o procedimientos?
B. Transferencia del aprendizaje significativo
Una vez que ha quedado resuelto el problema y que todos los estudiantes
hayan identificado los procedimientos y los elementos que se emplearon,
conviene reafirmar los conocimientos así como hacer su transferencia
aplicándolos a otros problemas.
Entonces, se les plantea otra serie de preguntas tales como:
Independientemente de la ecuación que se usó, ¿existe otra forma de expresar
la ecuación de la parábola?
¿Afectará el resultado obtenido si la curva cambia de posición respecto a la que
se usó para determinar la posición del receptor?
¿Para que nos sirve el otro dato que no se usó en la resolución del problema?
¿Conocen alguna otra aplicación de la parábola que tenga uso en situaciones
reales?
A continuación se le proporciona a cada estudiante una serie variada de
ejercicios impresos relacionados con el tema de la parábola y se les indica que
deben resolverlos individualmente con la finalidad de que puedan reafirmar sus
conocimientos y adquieran habilidad para resolver y plantear problemas.
9. Evaluación
En la evaluación se considera tanto la formativa como la informativa. En la
primera se toman en cuenta aspectos tales como la relación social mantenida
en el grupo, la disponibilidad para participar colaborativamente; mientras que en
la segunda, el comprender y manejar la información.
Para medir lo aprendido por los estudiantes en la práctica realizada el
autor propone tres tipos de evaluación:
140
1. Autoevaluación. El mismo estudiante se evalúa. Se brinda la oportunidad al
estudiante de ser honesto consigo mismo acerca de su actuación en el trabajo
en equipo. Se le considera como parte evaluadora de su actividad (Anexo E) .
2. Coevaluación. Cada integrante del equipo evalúa a los demás. Se considera
como un aspecto importante para generar en el estudiante el sentido de
responsabilidad y honestidad (Anexo F).
3. Evaluación del profesor. El profesor hace la evaluación de la actividad con
los documentos escritos que se generan durante la práctica, en donde se
verifica que la respuesta sea la correcta y que los procedimientos realizados
estén matemáticamente bien desarrollados, además del ejercicio integrador. La
evaluación para el alumno que expone ante el grupo (Anexo G) se hace
extensiva para todo el equipo al que pertenece.
141
Anexo D
EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA, ELIPSE Y PARÁBOLA
CIRCUNFERENCIA 1. Utilizando el programa computacional Cónicas, grafica las siguientes curvas dadas por sus ecuaciones, determina el Centro y el Radio.
1) x2+/=4
3) 2.1 (x+ 3)2 + 2.1/ = 6.3
x2 y2 5) -+-=-1
-4 -4
7) ( X + 2 )2 ( y + 4 )2 ---+---=l
16 16
9) 3.2 y2 - 6.8 = - 3.2 x2
2) - 3x2 -3(y + 2)2 = - 9
4) x2 y2 -+-=l 25 25
6) 6(x- 1)2 + 6/ = 24
4x 2 4y2 8)-+-=l
9 9
10) (x-2)2 + (y+1)2 =l 9 9
2. Determina la ecuación correspondiente de las siguientes circunferencias.
a) w l
-! -z -t 5 6
-1
b) ' '
o -s ... -J .¡ •I
-1
142
c)
d)
e)
-3.Z -Z .1 -l.& -. .8
-..s
·1
¡ 1
1.5
... .......... , .....
.. ...... ... ¡ .....
u •.
1 .8 l.& Z.1 3.Z
-1
] .5
-1 -t.5 1.5 1 1.5 Z Z,5 l l.5 1 1.5 5
3. Resolver los siguientes problemas.
a) Un granjero quiere determinar el centro de la circunferencia que pase por tres árboles que no son colineales ¿Cuál es el procedimiento que debe seguir?
b} Los tropas de Sadam Hussein desean colocarse en un punto estratégico en el desierto de tal forma que se encuentre a la misma distancia de otros tres que no estén alineados. ¿Cuál es la estrategia para determinar ese punto en el desierto?
143
c} Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) y B(-4, 5). Hallar la ecuación de la curva.
d) Encuentra la ecuación de la circunferencia de centro el punto (O, -2) y es tangente a la recta Sx - 12y + 2 = O
e) Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta cuya ecuación es x - 7y + 25 = O. Halla la longitud de la cuerda.
11 ELIPSE 1 . Utilizando el programa computacional Cónicas, grafica las siguientes curvas dadas por sus ecuaciones. Determina el centro, las coordenadas de los vértices y de los focos.
1) x2 + 2y2 = 6
3) 0.2 x 2 + 0.1y2 = 0.02
2 X 2
5) -+ y = 1 2
7) (x-1)2 (y+2)2 --+---=1
2.4 6.2
9) 16 x2 - 400 = - 25 y2
2) 3(x+ 1)2 + 4(y- 3)2 = 12 x2 y2
4) -+-=1 4 6
6) (x - 1.5)2 + 2(y + 2)2 = 4
4x 2 3y 2
8) -+-=l 12 9
10) (x-2)2 + (y+1)2 =1 9 9
2. Determina la ecuación correspondiente de las siguientes elipses. a)
y 1
-3 -z -1
144
b)
.. e)
d)
e)
-• -~
o .. -·
·U ·l.l ·l.i ·U
•.s
... ... ...
..... .....
,¡1 ¡ 1
i
·l
1.5
. ..
-•
1 f.
l
·1
L5
145
. .
_,
_,
U U Z.l ll
IJ lJ
1 . • Z , 5
3. Resolver los siguientes problemas.
a) El arco de un puente con una luz de 6 m. y una altura de 5 m. tiene forma semielíptica. Un camión de carga con una altura de 4 m. desea pasar por debajo de él. ¿Cuál es el ancho máximo permitido para el camión?
b) Un jardinero quiere trazar una elipse que tenga de ancho 6 m., ayudado con un lazo y dos estacas. Las estacas las coloca en los focos separadas entre sí 7 m. ¿Cuál es la longitud del lazo?
c) El techo de un vestíbulo tiene la forma de una semielipse. Además, tiene 9 m. de altura en el centro y 6 metros de alto en las paredes laterales. Obten la altura del techo a 2 m. de cualquier pared.
d) La órbita del satélite solidaridad alrededor de la tierra tiene forma elíptica con la tierra en uno de sus focos. Si la máxima y la mínima distancia del satélite a la tierra es de 800 y 400 km. respectivamente. ¿Cuál es la excentricidad de la órbita?
111 PARABOLA
1. Utilizando el programa computacional Cónicas, grafica las siguientes curvas dadas por sus ecuaciones. Determina las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. 1) .1 +By+ 8 = O 2) (x- 4)2 = B(y + 3)
3) (x - 3) 2 = -12(y - 2)
2 I 5) (y- 2.5) = 2 (x- 3.5)
7) (x + 3)2 = 3(y - 0.5)
9) (y- 4)=3(x+2)2 4
146
4) .1 =½y
6) (x - 1.5)2 = 20 (y+ 2)
a) I = 4(x- 4)
I 1 O) (x - - )2 = 0.4 (y+ 2)
4
2. Determina la ecuación correspondiente de las siguientes parábolas. a)
" s
z ·F
-3 -· -l z 3 _, -z
_,
b) u •
·F
-1 -• _, - J -z - 1
-•
-• -•
c) u •
... -·
-· d)
-z .
-1 .
147
e)
• 3
8.1 8.8 l.Z 1.6 Z.1 Z.B 3.Z l.6 1 1.1 1.8
-z
_,.
3. Resolver los siguientes problemas.
a) Un espejo parabólico tiene una profundidad de 1 O cm. en el centro y la distancia a lo largo de su parte superior es de 20 cm. Calcula la distancia focal.
b) Supóngase que el agua al salir del extremo de un tubo horizontal que se encuentra a 8 m. arriba del suelo, describe una curva parabólica, estando el vértice en el extremo del tubo. Si en un punto a 3 m. por debajo del nivel del tubo, el flujo del agua se ha curvado hacia afuera 3 m. más allá de una recta vertical que pasa por el extremo del tubo. ¿A qué distancia de esta vertical llegará el agua al suelo?
c) El cable de un puente colgante tiene la forma de un arco de parábola. La plataforma suspendida que es horizontal, mide 100 m. de largo, y está sostenida por varillas verticales sujetas al cable, midiendo 30 m. la varilla más larga. Obtén la longitud de una de las varillas de soporte situada a 16 m. de la parte media.
d) Se dispara un mortero el cual sigue una trayectoria parabólica descrita por la ecuación y =8x - x2
. Calcula cuál es la máxima altura alcanzada por el mortero y la máxima longitud lograda.
148
Anexo E
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY Nombre: _________________ Matrícula: ______ _ Grupo: _______ _ Tema: _________________ _ Fecha: _______ _ Prof. _________________ _
AUTOEVALUACION
Marca con una X lo que consideres responde a la afirmación que se te plantea, con la siguiente escala: (1) En gran medida (2) Moderadamente
(3) Poco (4) Muy poco (5) Nada
Donde cada escala se interpreta de la siguiente forma:
1 2 3 4 5
En gran medida Moderadamente Poco Mu~ eoco Nada
Sé qué es Poseo los Tengo escasos No me queda No tengo idea lo que tengo que conocimientos que conocimientos claro lo que sobre la hacer. me permiten que no me se debe hacer actividad que Domino la abordar la actividad. permiten enla se debe actividad. avanzar en la actividad. realizar.
actividad.
1 2 3 4 5 1. He llegado a dominar los principios básicos
de la actividad encomendada (tarea, tema, práctica).
2. He mejorado mi capacidad para interpretar
información.
3. He aumentado mi capacidad para resolver
problemas.
4. He mejorado mi capacidad para extraer
conclusiones.
5. He aprendido cosas que no sabía.
6. He aprendido a ser más responsable con
la tarea encomendada.
7. He logrado mayor confianza en mí mismo.
8. He aprendido a respetar las opiniones de
los demás.
9. He aumentado mi capacidad de análisis
y actitud crítica.
1 O. Mi participación en la actividad fue ...
Reflexión personal: __________________________ _
149
Anexo F
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY Nombre: ______________ Matrícula: ___ _ Grupo: ________ Tema: ____________ _ Fecha: ______ Prof. ______________ _
COEVALUACIÓN
Califica la participación de cada integrante del equipo de trabajo, colocando debajo de cada nombre un número que evalúe su desempeño, con la siguiente escala:
( 1) Excelente (4) Regular
(2) Muy bien (5) Insuficiente
(3) Suficiente
Donde cada escala se interpreta de la siguiente forma:
1 2 3 4 5
Excelente Mu~ bien Suficiente Regular Insuficiente
significa: significa: significa: significa: significa:
Siempre estuvo Manifestó interés Poco interés Poca No participó
dispuesto a en la actividad. en la actividad participación, en la actividad
colaborar de Participó inclinándose colaboración nise
una manera colaborando con hacia una casi nula. preocupó por
sobresaliente. entusiasmo. participación Prácticamente llevarla a
Muy interesado escasa y poco no se interesó cabo.
en la actividad. significativa. por la Ningún interés
Comprometido actividad. en abordar la
con la tarea. problemática.
150
1 . ¿ Qué tan eficaz fue su participación? 2. ¿Las ideas que aportó fueron significativas para la tarea? 3. ¿Manifestó entusiasmo en la actividad encomendada? 4. Sostuvo una actitud de apertura, siendo tolerable y flexible. 5. Su responsabilidad y compromiso hacia el trabajo fue ... 6. En general, su participación fue ...
Nombre de cada integrante del equipo Pregunta
1 2 3 4 5 6
De acuerdo al desempeño y actitud manifestados durante toda la actividad, jerarquiza en orden descendente (incluyéndote tú mismo) los nombres de los participantes del equipo, asignando a cada uno un número que lo identifique con lo siguiente: el número uno al líder (coordina, dirige, guía la actividad), el dos al sublíder (adjunto del líder}, el tres al manipulador (maneja la actividad a su modo, no permite la actuación natural y libre de los demás integrantes}, el cuatro al desinteresado (indiferencia a la actividad, poca participación) y el cinco al que no trabaja (ausencia de todo interés, nula participación).
Nombre de cada integrante del equipo de trabajo
1. Líder
2. Sublíder
3. Manipulador
4. Desinteresado
5. No trabaJa
Comentarios:
151
Anexo G
Evaluación para la exposición de un integrante del equipo de trabajo
Instrucciones: Evalúa al expositor del equipo, marcando con una X en el espacio correspondiente a un SI en caso de que cumpla con lo indicado o un NO en caso contrario.
Nombre del expositor: ____________ _ Grupo: ____ _ Fecha: ______ Tema: _________________ _
Durante la actividad, el expositor: SI NO
1. Transmite con claridad los conceptos del tema. 2. Domina los conceptos relacionados con el tema. 3. Tuvo disponibilidad para interactuar con el grupo. 4. Plantea preguntas para reforzar el tema. 5. Usa estrategias de enseñanza amenas. 6. El procedimiento empleado fue el más conveniente. 7. Fue ordenado en los puntos a tratar del tema.
En una escala de 1 a 1 O donde 1 O es la calificación más alta, al expositor lo califico con
Comentarios:
152
Anexo H
INSTRUCCIONES PARA EL USO DEL PROGRAMA COMPUTACIONAL CÓNICAS1
Cónicas es un programa que ayuda al estudio de las secciones cónicas
al realizar algunas variaciones en sus parámetros, lo que origina que se
visualicen las curvas de manera casi inmediata, mostrando los cambios que se
manifiestan con esas modificaciones.
Estando ya cargado el programa en algún directorio, para inicializar el
programa de Cónicas, desde el Explorador de Windows se selecciona el
directorio donde se encuentre y se ejecuta el archivo cónicas.exe y aparece la
pantalla siguiente:
1 Programa computacional Cónicas por Marta Oliveró y José Luis Abreu. En Hitt E., Fernando y Filloy, Eugenio. Visualizando las cónicas con la PC. Grupo Editorial lberoamérica, S. A. de C. V. , México, 1989.
153
A continuación se carga automáticamente el siguiente menú que permite
seleccionar la cónica donde se desee trabajar.
Elipse Parábola Hipérbola
MENU
Excentricidad - Directriz
1 2 3 4 5 ?
Ecuación General de Segundo Grado
Pulsar: 1, 2, 3, 4 o 5
letras + o -
Fin
Para: elegir el tipo de ecuación activar un parámetro
AvPág o RePág aumentar o disminuir el parámetro aumentar o disminuir el nivel
Obsérvese que la circunferencia no aparece en el menú por ser un caso
particular de la elipse, ya que como se sabe la ecuación de la elipse con centro
en el origen C(O,O), longitud del eje mayor igual a 2a, longitud del eje menor
igual a 2b, eje focal horizontal (coincidiendo con el eje X) es:
2 2 X y ( ., 1) - 2 + - 2 = I .. .. .. .. ecuac1on a b
Y la ecuación de una circunferencia con centro en el origen C(O,O) y
radio r > O es: 2 2 2 ( . , 2) x + y =r ....... ecuac1on
y que al dividir ésta última ecuación entre r 2 > O toda la ecuación, se obtiene:
X 2 y 2
- 2 + - 2 = I ........ ( ecuación 3) r r
Con ello se observa que la ecuación (1) y la ecuación (3) son
equivalentes siempre y cuando se cumpla que: a2 = I = b2, esto es, la elipse
se transforma en una circunferencia cuando los parámetros a y b son iguales
entre sí y además representan al valor del radio de la circunferencia.
154
Como se indica en el menú el programa Cónicas incluye cinco tipos de
ecuaciones: Elipse, Parábola, Hipérbola, Excentricidad-Directriz, Ecuación
General de Segundo Grado. Cada uno de los primeros cuatro tipos de
ecuaciones tiene tres niveles. La Ecuación General de Segundo Grado incluye
dos nlveles.
A continuación se describen sólo los niveles de la elipse, la parábola y la
hipérbola; los otros dos tipos de ecuaciones se pueden observar adentrándose
en el ambiente correspondiente.
l. Los niveles que se incluyen en la elipse con semiejes a y b son:
1. Con C(0,0) y ejes paralelos a los de coordenadas:
Parámetros: a, b .
2. Con C(h, k) y ejes paralelos a los de coordenadas:
(x-h) 2 (y-k) 2
ª2 + b2 1 Parámetros: a, b, h, k .
3. Con C(h, k) y ejes girados un ángulo de t (grados) con respecto a la
horizontal:
( x cos t + y sen t - h) 2 ( - x sen t + y cos t - k) 2
a 2 + b 2 1 Parámetros: a, b, h, k, t.
11. Los niveles que se incluyen de la parábola con distancia p del foco al vértice
son: 1. Vértice en el origen y eje horizontal:
y2 = 4px Parámetro: p .
2. Vértice en el punto V(xv, Yv) y eje horizontal:
(y - Yvl = 4p (x - Xv) Parámetros: p, Xv, Yv .
3. Vértice en el punto V(xv , Yv) y ejes girados un ángulo de t (grados)
con respecto a la horizontal:
(x sen t + y cos t -Yvl = 4p (x cos t + y sen t - Xv)
Parámetros: p, Xv , Yv , t .
155
111. Los niveles que se incluyen en la hipérbola con semiejes a y b son:
1. Con C(0,0) y eje transversal horizontal:
Parámetros: a, b .
2. Con C(h, k) y ejes paralelos a los de coordenadas:
(x-h) 2 (y-k) 2
a 2 - b 2 I Parámetros: a, b, h, k .
3. Con C(h, k) y ejes girados un ángulo de t (grados) con respecto a la
horizontal:
( x cos t + y sen t - h) 2
ª2 ( - x sen t + y cos t - k) 2
, b 2 I Parametros: a, b, h, k, t .
Para accesar al ambiente gráfico en la pantalla de la elipse, se hace la
selección que corresponde a ella tecleando el número "1" y se inicia el
programa computacional de Cónicas, en donde aparece la siguiente pantalla:
A la izquierda se observa que aparecen unos íconos que contienen
dibujos y símbolos. Las operaciones correspondientes a estos íconos pueden
consultarse directamente en la pantalla del programa. En el último renglón
aparecen los valores de los parámetros en notación decimal. Los valores se
156
pueden cambiar y observar inmediatamente la gráfica resultante, para ello se
activa tecleando la letra correspondiente al parámetro. Entonces se pulsa "=" y
se cambia el número deseado seguido de un "intro". Si se desea ir cambiando
el valor del parámetro en repetidas ocasiones de tal forma que vayan
aumentando se pulsa"+", o bien"-" si se desea que el valor vaya disminuyendo.
Cuando está activado algún parámetro, su símbolo aparece en un tono más
brillante; si el parámetro corresponde a una distancia ésta se indica
gráficamente mediante un segmento que está "parpadeando" en la gráfica.
Si se desea estimar visualmente las coordenadas de los puntos que
conforman la curva, se pulsa Ctrl-r y se muestra una red. Para salir de las
pantallas gráficas y regresar al menú principal, se debe pulsar la tecla Ese.
En los niveles 1 y 2 de los tipos parábola e hipérbola, pulsando Ctrl-x o
Ctrl-y se obtienen formas distintas de las ecuaciones que corresponden a una
rotación de 90g. Por ejemplo, pulsando Ctrl-y dentro de la hipérbola en el nivel
2, la ecuación cambia de
(x- h) 2
ª2 (y-k) 2
1 ., (x-h) 2 (y-k) 2
a la ecuac1on - 2 + 2 I a b
y la gráfica cambia de ser una hipérbola con eje transversal horizontal a una
hipérbola con eje transversal vertical (con las mismas asíntotas).
Si se quiere subir de nivel, esto es, a la ecuación fuera del origen C(h, k),
entonces se da un click con el botón izquierdo del ratón en la zona donde
aparece + Niv - y resulta la siguiente pantalla (elipse con centro fuera del
origen):
157
Ayud!l ··
=
Si se quiere bajar de nivel se pulsa el botón derecho del ratón y se da un
click en donde aparece + Niv - y se regresa un nivel. Estas últimas dos
instrucciones son válidas también para el Zoom.
Con las teclas de dirección se pueden mover los ejes coordenados para
tener una mejor visión de la curva en cuestión.
Con el programa se pueden dejar marcadas una o varias curvas
pulsando la "barra espaciadora", lo cual permite graficar familias de cónicas.
Por ejemplo, la parábola con V(O, O) y varios valores del parámetro "p" dan
como resultado una pantalla como la siguiente:
158
= p=Z.25 S EcG2 2 g
Para borrar las curvas marcadas con la barra espaciadora, basta pulsar
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VITAE
Víctor Manuel Martínez Gallardo nació en Acámbaro, Guanajuato, el 28 de julio
de 1954. Es hijo de Francisco Martínez y Carmen Gallardo. Se recibió en 1972
de bachiller en la Escuela Nacional Preparatoria No. 4 Vidal Castañeda y
Nájera y en 1973 ingresó a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional
Autónoma de México donde en 1987 obtuvo el título de Matemático. Trabajó
como profesor de Matemáticas a nivel Secundaria durante nueve años y
simultáneamente en el Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Naucalpan
durante diez años. Desde 1989 hasta el presente trabaja como profesor de
planta en el Campus Estado de México del Sistema Tecnológico de Monterrey.
En 1992 obtiene una beca para realizar estudios de Maestría en Educación con
Especialidad en Matemáticas en el Campus Eugenio Garza Sada. En 1997 se
reúne con otros profesores para iniciar el proceso de coautoría de dos libros de
texto de las materias que se imparten a nivel Preparatoria en el Campus Estado
de México: Algebra Elemental (Matemáticas 1) y Teoría de Funciones
(Matemáticas 11). Está casado con Irene Carbajal Soto con quien ha procreado
cuatro hermosos hijos: Liliana, Víctor, Fernando y Alejandro.
Dirección permanente:
Eje 3 Manzana 17 Lote 22-1
Col. Lomas de Cartagena
Tultitlán, Estado de México
CP 54900
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