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CURSO: CLCULO 4

Tema: ANLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS

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PRIVADA DEL NORTEN

2. EL ELEMENTO DE BARRA LINEAL.

1. Ecuaciones basicas.

El elemento de barras lineal es un elemento finito en una dimension donde las coordenadaslocales y lo globales coinciden. Es caracterizado por funciones de forma lineales y es identicoal elemento de resorte elemental, salvo que la rigidez de la barra no se da directamente. Elelemento lineal tiene modulo de elasticidad E, area de la seccion transversal A y longitud L.Cada elemento de barra lineal tiene dos nodos, como se muestra en la Figura 1. En este caso lamatriz de rigidez elemental esta dada por

k =

[EA

LEA

L

EAL

EA

L

](1)

x

i E, A

L

j

Figura 1: Elemento de barra lineal.

Es evidente que la matriz de rigidez elemental para el elemento de barra lineal es similara la del resorte elemental con la rigidez reemplazada por EA/L. Es claro que el elemento debarra elemental tiene solo dos grados de libertad - uno en cada nodo. Consecuentemente parauna estructura con n nodos, la matriz de rigidez global K tendra dimension n n (ya quetenemos un grado de libertad en cada nodo). La matriz de rigidez global K es ensamblada porla funcion de MatLab LinearBarAssemble que esta escrita especficamente para este proposito.Este proceso se ilustra en detalle en los ejemplos.

Facultad de Ingeniera Departamento de Ciencias

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Una vez que ha sido obtenida la matriz de rigidez global K, tendremos la siguienteecuacion matricial:

[K] {U} = {F} (2)

donde U es el vector global de desplazamientos nodales y F es el vector de fuerzas global nodal.En este paso las condiciones de contorno se aplican manualmente a los vectores U y F .

A continuacion, el sistema (2) es resuelto por particionamiento seguido de eliminacion Gaussiana.Por ultimo una vez que los desplazamientos y reacciones desconocidas han sido encontradas, lasfuerzas de los elementos se obtienen para cada elemento de la siguiente manera:

{f} = [k] {u} (3)

en donde f es un 2 1 vector elemental de fuerzas y u es un 2 1 vector elemental de despla-zamientos. La tension elemental es obtenida dividiendo las fuerzas elementales por el area de laseccion transversal A.

2. Uso de las funciones de MatLab.

Las cuatro funciones de MatLab usadas para el caso del elemento de barra lineal son:

LinearBarElementStiffness(E,A,L) Esta funcion calcula la matriz de rigidez elementalpor cada barra elemental con modulo de elasticidad E, area de seccion transversal A ylongitud L. Retorna una matriz de rigidez elemental de 2 2.

LinearBarAssemble(K, k, i, j) Estas funciones ensamblan la matriz de rigidez elementalk de la barra lineal, uniendo los nodos i (del extremo izquierdo) y j (del extremo derecho)en la matriz global de rigidez K. Se retorna una matriz global de rigidez K nn cada vezque es ensamblado un elemento.

LinearBarElementForces(k, u) Esta funcion calcula el vector elemental de fuerzasusando la matriz de rigidez elemental k y el vector elemental de desplazamiento u. Seretorna un 2 1 vector elemental de fuerzas f .

LinearBarElementStresses(k, u, A) Esta funcion calcula el vector elemental de tensionusando la matriz elemental de rigidez k, el vector elemental de desplazamiento u y el areade seccion transversal A. Retorna un 2 1 vector elemental de tension sigma o s.


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La siguiente es una lista de codigos fuente en MatLab para cada funcion:

function y = LinearBarElementStiffness(E,A,L)

% LinearBarElementStiffness Esta funcion retorna la matriz de rigidez

% elemental para una barra lineal con modulo de elasticidad E, area de

% seccion transversas A y longitud L.

% La dimension de la matriz de rigidez elemental es 2 x 2.

y = [E*A/L -E*A/L ; -E*A/L E*A/L];

function y = LinearBarAssemble(K,k,i,j)

% LinearBarAssemble Esta funcion ensambla la matriz de rigidez elemental k

% de una barra lineal con nodos i y j en la matriz de rigidez global K.

% Esta funcion retorna una matriz de rigidez global K luego que hayan sido

% ensambladas las matrices de rigidez elemental.

K(i,i) = K(i,i) + k(1,1) ;

K(i,j) = K(i,j) + k(1,2) ;

K(j,i) = K(j,i) + k(2,1) ;

K(j,j) = K(j,j) + k(2,2) ;

y = K;

function y = LinearBarElementForces(k,u)

% LinearBarElementForces Esta funcion retorna un vector de fuerza

% nodal elemental dada la matriz de rigidez elemental k y

% el vector elemental de desplazamiento nodal u.

y = k * u;

function y = LinearBarElementStresses(k, u, A)

% LinearBarElementStresses Esta funcion retorna el vector de tension nodal

% elemental dada la matriz de rigidez elemental k, el vector elemental de

% desplazamiento nodal u y el area de seccion transversal A.

y = k * u/A;


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Ejemplo 1 Considerar la estructura conformada por dos barras lineales como se muestra en laFig. 2. Sea E = 210 GPa, A = 0,003 m2, P = 10 kN y el nodo 3 es desplazado hacia la derechaen 0,002 m. Determinar:

1. la matriz de rigidez global para la estructura.

2. el desplazamiento en el nodo 2.

3. las reacciones en los nodos 1 y 3.

4. la tension en cada barra.

1

1.5 m 1 m

32

P

Figura 2: Estructura con dos barras para el ejemplo 1.

SOLUCION

Paso 1. Discretizacion del dominio:

Este problema ya esta discretizado. El dominio ha sido dividido en dos elementos y tres no-dos. Las unidades usadas en los calculos del MatLab son kN y metros. La Tabla 1 muestra laconectividad elemental para este ejemplo:

TABLA 1. Conectividad elemental para el ejemplo 1.

Numero de elemento Nodo i Nodo j

1 1 2

2 2 3

Paso 2. Escritura de las matrices elementales de rigidez:

Las dos matrices de rigidez elemental k1 y k2 son obtenidas por medio de la funcion de MatLabLinearBarElementStiffness. Cada matriz tiene dimension 2 2.


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>> E=210e6

E =

210000000

>> A=0.003

A =

0.0030

>> L1=1.5

L1 =

1.5000

>> L2=1

L2 =

1

>> k1=LinearBarElementStiffness(E,A,L1)

k1 =

420000 -420000

-420000 420000

>> k2=LinearBarElementStiffness(E,A,L2)

k2 =

630000 -630000

-630000 630000

Paso 3. Ensamble de la matriz de rigidez global.

Dado que la estructura tiene tres nodos, el tamano de la matriz de rigidez global es de 33.


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Por lo tanto para obtener K primeramente debemos construir una matriz nula de 3 3 luegohacer dos llamados a la funcion de MatLab LinearBarAssemble dado que tenemos dos barraslineales elementales en la estructura. Cada llamada a la funcion ensamblara un elemento,

>> K=zeros(3,3)

K =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

>> K=LinearBarAssemble(K,k1,1,2)

K =

420000 -420000 0

-420000 420000 0

0 0 0

>> K=LinearBarAssemble(K,k2,2,3)

K =

420000 -420000 0

-420000 105000 -630000

0 -630000 630000

Paso 4. Aplicacion de las condiciones de contorno.

El sistema (2) para este caso es obtenido utilizando la matriz de rigidez global del paso anterior:

420000 420000 0

420000 1050000 630000

0 630000 630000

U1

U2

U3

=

F1

F2

F3

(4)

Las condiciones de contorno para este problema son dadas por:


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U1 = 0, F2 = 10, U3 = 0,002 (5)

Insertando ambas condiciones en (4), obtenemos:

420000 420000 0

420000 1050000 630000

0 630000 630000

0

U2

0,002

=

F1

10

F3

(6)

Paso 5. Resolviendo las ecuaciones.

La solucion del sistema de ecuaciones (6) se llevara a cabo mediante un particionamiento(manual) y posterior eliminacion Gaussiana (con MatLab). Primeramente particionamos (6)extrayendo la submatriz de la fila 2 y columna 2 que resulta ser una matriz 1 1. Debido aldesplazamiento de 0.002 m efectuado por el nodo 3, tenemos que extraer la submatriz de la fila2 y columna 3, que tambien resulta ser una matriz 1 1 Luego obtenemos:

[1050000]U2 + [630000] (0,002) = {10} (7)

La solucion de ambos sistemas es obtenido usando MatLab del siguiente modo. Notar que eloperador \ (backslash) es usado para la eliminacion Gaussiana.

>> k=K(2,2)

k =

1050000

>> k0=K(2,3)

k0 =

-630000

>> u0=0.002

u0 =

0.0020


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>> f=[-10]

f =

-10

>> f0=f-k0*u0

f0 =

1250

>> u=k\f0

u =

0.0012

Ahora esta claro que el desplazamiento en el nodo 2 es 0.0012 m.

Paso 6. Post-procesamiento.

En este paso obtenemos las reacciones en los nodos 1 y 3, y la tension en cada barra usandoMatLab del siguiente modo. Primeramente creamos el vector global de desplazamientos nodalesU y luego calculamos el vector global de fuerzas nodales F .

>> U=[0;u;u0]

U =

0

0.0012

0.0020

>> F=K*U

F =

-500.0000

-10.0000


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510.0000

As, las reacciones en los nodos 1 y 3 son fuerzas de 500 kN (dirigida hacia la izquierda)y 510 kN (dirigida hacia la derecha), respectivamente. Queda claro que la fuerza de equilibriose cumple. Luego establecemos los vectores elementales de desplazamiento nodal u1 y u2; luegocalculamos el vector elemental de fuerzas f1 y f2 por medio de la funcion de MATLAB Li-nearBarElementForces. Finalmente dividimos cada fuerza elemental entre el area de la secciontransversal del elemento para obtener las tensiones elementales,

>> u1=[0;U(2)]

u1 =

0

0.0012

>> f1=LinearBarElementForces(k1,u1)

f1 =

-500.0000

500.0000

>> sigma1=f1/A

sigma1 =

1.0e+005 *

-1.6667

1.6667

>> u2=[U(2) ; U(3)]

u2 =

0.0012

0.0020

>> f2=LinearBarElementForces(k2,u2)


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f2 =

-510.0000

510.0000

>> sigma2=f2/A

sigma2 =

1.0e+005 *

-1.7000

1.7000

La tension en el elemento 1 es 1,667 105 kN/m2 (o 166,7 MPa de tension); y la tension en elelemento 2 es 1,7 105 kN/m2 (o 170 MPa de tension). Alternativamente, podemos obtener latension elemental directamente por medio de la funcion de MatLab LinearBarElementStresses.Esto se realiza de la siguiente manera, obtieniendose los mismos resultados.

>> s1=LinearBarElementStresses(k1,u1,A)

s1 =

1.0e+005 *

-1.6667

1.6667

>> s2=LinearBarElementStresses(k2,u2,A)

s2 =

1.0e+005 *

-1.7000

1.7000


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Indice

1. Ecuaciones basicas. 1

2. Uso de las funciones de MatLab. 2


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