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Teselaciones
Federico Ardila
Universidad de Washington
Seattle WA EEUU
Congreso Nacional de Matematicas
Bogota, 8 de agosto de 2005
1
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Teselaciones
Pregunta: ¿Es posible teselar esta region
usando estas fichas?
12 3 4
5
6 7
Federico Ardila 2
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Teselaciones
17
56 2
34
12 3 4
5
6 7
Respuesta: Es posible, pero no muy interesante.
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Teselaciones
El tablero y las fichas deberıan ser interesantes matematicamente.
E.g., los 12 pentominos teselan un tablero de 3 × 20 o dos de 5 × 6
de una forma esencialmente unica.
Esto es un poco mas interesante, pero no muy profundo.
Federico Ardila 4
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Teselaciones
Definicion: Una teselacion es una forma de llenar un tablero
con fichas que no se superponen, ni se salen del tablero.
El plan a seguir:
1. ¿Existe una teselacion?
2. ¿Cuantas teselaciones hay?
3. ¿Mas o menos cuantas teselaciones hay?
4. ¿Como es una teselacion “tıpica”?
5. ¿Que invariantes algebraicos tiene una teselacion?
6. ¿Que tan regular o irregular puede ser una teselacion?
7. ¿Que utilidad tiene contestar estas preguntas?
Federico Ardila 5
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Teselaciones
1. ¿Existe una teselacion?
Una pregunta mas facil, pero mas interesante:
¿Es posible teselar este tablero con 31 dominos (o dımeros)?
Federico Ardila 6
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Teselaciones
No es posible.
Coloreemos el tablero como si fuera de ajedrez.
• Cualquier domino va a cubrir una casilla blanca y una negra.
• El tablero tiene 32 casillas blancas y 30 negras.
Este es el ejemplo mas sencillo de un argumento de coloracion.
Federico Ardila 7
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Teselaciones
Si elimino una casilla blanca y una negra, ¿sera posible teselar el
tablero que resulta?
Federico Ardila 8
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Teselaciones
Sı es posible, sin importar cuales casillas sean eliminadas.
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Teselaciones
¿Que pasa si elimino dos casillas blancas y dos negras?
A veces es posible, y a veces no.
Pregunta: Si elimino k casillas blancas y k casillas negras,
¿cuando puedo teselar el tablero con dominos?
Federico Ardila 10
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Teselaciones
Por ejemplo, este tablero tiene 16 casillas blancas y 16 negras, pero
no puede ser teselado con dominos.
Federico Ardila 11
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Teselaciones
Una explicacion: Hay un “conjunto deficiente de casillas” - una
especie de cuello de botella.
** *
* *
Las seis casillas negras con • son adyacentes a un total de solo
cinco casillas blancas ∗!
Federico Ardila 12
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Teselaciones
¡Esta es la unica explicacion posible!
Teorema del matrimonio. (Hall, 1935.)
Un tablero puede ser teselado con dominos si y solo si
no existe un “conjunto de casillas infelices”.
Idea: Hombres y mujeres que solo estan dispuestos a casarse con
sus vecinos. Para k mujeres necesitamos por lo menos k esposos.
Este es el inicio de la teorıa de emparejamientos.
Podemos permitir que cada persona le asigne puntajes a sus
posibles parejas, y encontrar el mejor emparejamiento posible.
• Muchas aplicaciones en la practica.
• Conexiones con optimizacion y teorıa de matroides.
Federico Ardila 13
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Teselaciones
Es facil determinar si es posible teselar una region dada con
dominos.
¡Pero esta pregunta es muy difıcil para casi cualquier conjunto de
fichas! Por ejemplo:
Teorema. (Beauquier et al, 1995.)
No existe un algoritmo que decida si un tablero puede
ser teselado con rectangulos 1 × 3 y 3 × 1.
(Este problema es NP-completo.)
Federico Ardila 14
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Teselaciones
2. ¿Cuantas teselaciones hay?
Un resultado poco interesante:
Teorema. (Un computador, 1965.)
El numero de teselaciones de un rectangulo de 6 × 10
con los 12 pentominos es 2339.
El primer resultado interesante:
Teorema. (Kasteleyn, Fisher-Temperley, 1961.)
El numero de teselaciones de un rectangulo de 2m× 2n
con 2mn dominos es:
Federico Ardila 15
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Teselaciones
El primer resultado interesante:
Teorema. (Kasteleyn, Fisher-Temperley, 1961.)
El numero de teselaciones de un rectangulo de 2m× 2n
con 2mn dominos es:
4mnm∏
j=1
n∏
k=1
(
cos2jπ
2m + 1+ cos2
kπ
2n + 1
)
.
Aca Π denota un producto, y π = 180◦. E.g.,
cos2π
5= cos 72◦ = 0.3090169938 · · ·
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Teselaciones
Para m = 2, n = 3:
46(cos2 36◦ + cos2 25.71◦)(cos2 72◦ + cos2 25.71◦)
×(cos2 36◦ + cos2 51.43◦)(cos2 72◦ + cos2 51.43◦)
×(cos2 36◦ + cos2 77.14◦)(cos2 72◦ + cos2 77.14◦)
= 46(1.466 . . .)(.907 . . .)(1.043 . . .)(.484 . . .)(.704 . . .)(.145 . . .)
= 281
• mecanica estadıstica: dımeros en una retıcula rectangular
• permanente → determinante → vectores y valores propios
Federico Ardila 17
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Teselaciones
Otra situacion interesante: teselar diamantes aztecas con dominos.
Por ejemplo, AZ(2) tiene 8 teselaciones.
AZ(1)
AZ(2)
AZ(3)
AZ(7)
Numero de teselaciones de AZ(n):
1 2 3 4 5 6 7
2 8 64 1024 32768 2097152 268435456
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Teselaciones
Teorema. (Elkies, Kuperberg, Larson, Propp, 1992.)
El numero de teselaciones de un diamante azteca AZ(n)
con dominos es
2n(n+1)/2.
EKLP dan cuatro demostraciones; ahora hay aproximadamente 12:
• evaluacion de determinantes
• teorıa de representaciones del grupo general lineal GL(n, C)
• algorıtmica
• biyectiva
Ninguna demostracion es tan sencilla como la respuesta.
Federico Ardila 19
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Teselaciones
3. ¿Mas o menos cuantas teselaciones hay?
Ya sabemos cuantas formas hay de teselar un rectangulo.
Pero, ¿sı sabemos?
• ¿Que tan grande es
T (200 × 200) = 4100000100∏
j=1
100∏
k=1
(
cos2jπ
201+ cos2
kπ
201
)
?
• Un diamante Azteca y un cuadrado “se parecen”. Entre dos
“del mismo tamano”, ¿cual tiene mas teselaciones?
Si una region tiene N casillas y T teselaciones, tiene
N√
T grados de libertad por casilla.
Federico Ardila 20
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Teselaciones
Por ejemplo, AZ(n) tiene N = 2n(n + 1) casillas y T = 2n(n+1)/2
teselaciones. El numero de grados de libertad por casilla es:
N√
T =4√
2 = 1.189207115 . . .
Teorema. (Kasteleyn, Fisher-Templerley, 1961.)
El numero de teselaciones de un cuadrado de 2n × 2n
con dominos es aproximadamente C4n2
, donde
C = e(1−1
32+ 1
52− 1
72+··· )/π = 1.338515152 . . .
El tablero cuadrado es “mas facil de teselar” que el diamante
azteca, ya que 1.3385 . . . > 1.1892 . . ..
En cierto sentido, el cuadrado es el tablero “mas facil de teselar”.
Federico Ardila 21
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Teselaciones
4. ¿Como es una teselacion tıpica?
El cuadrado y el diamante Azteca son cualitativamente diferentes.
Una teselacion aleatoria de un cuadrado:
Esta teselacion no exhibe ninguna estructura obvia.
Federico Ardila 22
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Teselaciones
Comparemosla con una teselacion aleatoria de un diamante azteca:
¡Esta es totalmente regular en las esquinas, y caotica en la mitad!
¿Podemos describir la region del medio?
Federico Ardila 23
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Teselaciones
Teorema. (Jockusch, Propp, Shor, 1995.)
Para n “muy grande”, “casi todas” las
teselaciones del diamante azteca AZ(n) ex-
hiben una zona de regularidad “muy cer-
cana” al exterior del cırculo artico tangente
a los cuatro lados del diamante.
Las definiciones de “muy grande”, “casi todas” y “muy cercana”
son tecnicas, pero explican lo que vemos en los dibujos.
Este es solo uno de muchos resultados probabilısticos de este tipo.
Federico Ardila 24
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Teselaciones
5. Metodos algebraicos.
Sea x > 0; por ejemplo, x =√
2.
Pregunta.
¿Para cuales x > 0 es posible teselar un cuadrado con rectangulos
semejantes al rectangulo 1 × x, es decir, rectangulos de la forma
a × ax?
1.5
1
2
4
π2
3π
3
6
1 1
x = 2/3
2/3
2/3
Para x = 23 sı es posible.
Federico Ardila 25
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Teselaciones
1/5
.2764
.7236
1
x(1 − x) =1
5
5x2 − 5x + 1 = 0
x =5 +
√5
10= 0.7236067977 . . .
Federico Ardila 26
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Teselaciones
1/5
.2764
.7236
1
x(1 − x) =1
5
5x2 − 5x + 1 = 0
x =5 +
√5
10= 0.7236067977 . . .
La otra raız:
x =5 −
√5
10= 0.2763932023 . . .
Federico Ardila 27
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Teselaciones
1
x = .5698
.4302
.2451 .7549
x3 − x2 + 2x − 1 = 0
x = 0.5698402910 . . .
Las otras dos raıces:
x = 0.215 . . . + 1.307 . . .√−1
x = 0.215 . . . − 1.307 . . .√−1
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Teselaciones
Teorema. (Freiling-Rinne, Laczkovich-Szekeres, 1995)
Es posible teselar un cuadrado con rectangulos semejantes al
rectangulo 1 × x si y solo si:
1. existe un polinomio (mınimo) P de coeficientes enteros tal que
P (x) = 0, y
2. todas las raıces de P tienen parte real positiva.
• En cualquier teselacion, la suma de las areas de las fichas es
igual al area de la region.
• Hay una infinidad de nociones (analıticas, algebraicas) de
“area” con la misma propiedad.
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Teselaciones
Ejemplos.
• x = 5+√
510 = 0.7236067977 . . .
Polinomio mınimo: 5x2 − 5x + 1 = 0
Otra raız: 5−√
510 = 0.2763932023 . . .
1/5
.2764
.7236
1
• x = 0.5698402910 . . .
Polinomio mınimo: x3 − x2 + 2x − 1 = 0
Otras raıces: 0.215 . . . + 1.307 . . .√−1,
0.215 . . . − 1.307 . . .√−1
1
x = .5698
.4302
.2451 .7549
Federico Ardila 30
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Teselaciones
Ejemplos.
• x =√
2.
Polinomio mınimo: x2 − 2 = 0
Otra raız: −√
2 < 0.
No es posible con rectangulos semejantes al 1 ×√
2.
• x = 3√
2 + pq .
Polinomio mınimo: (x − pq )3 − 2 = 0
Otras raıces:(
pq − 3
√2
2
)
± 3√
2√
32
√−1.
Es posible con rectangulos semejantes al 1 ×(
3√
2 + pq
)
si y solo si pq >
3√
22 .
Federico Ardila 31
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Teselaciones
Metodos algebraicos - otros ejemplos:
• (Laczkovich, 1993) No es posible teselar un cuadrado con
triangulos 30◦ − 60◦ − 90◦.
(Otra generalizacion de area.)
• (Monsky, Richman, Thomas, 1970) No es posible teselar un
cuadrado de area 2n + 1 con 2n + 1 triangulos de area 1.
(Valuaciones.)
Federico Ardila 32
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Teselaciones
6a. Teselaciones regulares.
Ninguna charla sobre teselaciones estarıa completa sin los ejemplos
mas famosos:
(Palacio de la Alhambra - Granada, Espana, siglos XIII y XIV.)
Federico Ardila 33
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Teselaciones
(Maurits Cornelis Escher, Holanda, 1898-1972)
Federico Ardila 34
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Teselaciones
Ademas de ser teselaciones muy bonitas, motivan el problema
importante de estudiar sus simetrıas.
Pregunta:
¿Cuantas teselaciones regulares diferentes hay, y cuales son?
Respuesta:
Depende de la definicion de “regulares” y “diferentes”.
Teorema. (Fedorov, Schoenflies, Barlow, 1880s)
Hay exactamente 17 teselaciones del plano esencialmente difer-
entes que tienen simetrıas en dos direcciones independientes.
Hoy en dıa, estos tipos de simetrıa se conocen como los
17 grupos cristalograficos planos.
Federico Ardila 35
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Teselaciones
6b. Teselaciones irregulares
(Roger Penrose, Inglaterra, 1931-)
Federico Ardila 36
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Teselaciones
Teorema. (Conway, Penrose, ’74)
• Hay un numero infinito (no
contable) de teselaciones
“dardo-cometa” diferentes.
• Todas son irregulares.
• (# cometas) / (# dardos)
es igual a 1+√
52 .
• Cualquier trozo finito aparece
infinitas veces, y muy cerca, en
cualquier teselacion infinita.
Federico Ardila 37
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Teselaciones
7. Teselaciones en la geometrıa de banderas:
Una bandera E• en Rn es una cadena E−1 ⊂ E0 ⊂ · · · ⊂ En de
subespacios afines. (dim Ei = i)
∅ ⊂ punto ⊂ recta ⊂ plano ⊂ · · · ⊂ hiperplano ⊂ Rn.
Objetivo: investigar las intersecciones de d banderas en Rn.
Ejemplo: tres banderas en R3.
G
E
F
��������
��
��
Federico Ardila 38
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Teselaciones
¿Como se intersectan d banderas en posicion general en Rn?
Para empezar: los puntos de interseccion. Como
n − dim(Ei ∩ Fj ∩ Gk) = (n − i) + (n − j) + (n − k),
los puntos son los Ei ∩ Fj ∩ Gk con i + j + k = 2n.
321330312
132
231
303
222
033
123
312330
033
123
321F
213
303
G
E
231213 222
132
Federico Ardila 39
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Teselaciones
Intersectando tres banderas en Rn, obtenemos una configuracion de
n(n + 1)/2 puntos. La pregunta combinatoria:
¿Cual es la matroide? Es decir, ¿que relaciones hay entre ellos?
¿Cuales son colineales, coplanares, etc.?
Pregunta. En esta configuracion de(
n+12
)
puntos en Rn, cuales
(n + 1)-tuplas son bases (afines) de Rn?
213 033
123
321
330
231
303
132
312
F
E
222 132
222G
231
033
321
213
303 312 330
123
Federico Ardila 40
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Teselaciones
Conjetura. (Billey)
En esta configuracion de(
n+12
)
puntos en Rn, una (n + 1)-tupla
de puntos es una base de Rn si y solo si cada triangulo de lado k
contiene a lo mas k puntos.
213 033
123
321
330
231
303
132
312
F
E
222 132
222G
231
033
321
213
303 312 330
123
Federico Ardila 41
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Teselaciones
Un pequeno parentesis.
Supongamos que quiero teselar un triangulo equilatero con rombos:
Es imposible: #∆ =(
n+22
)
#∇ =(
n+12
)
Serıa posible si hago n + 1 huecos (que miran hacia arriba):
Federico Ardila 42
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Teselaciones
¿Donde puedo poner los huecos?
Teorema. (Ardila, Billey, 2005)
Un triangulo equilatero con huecos puede ser teselado con rombos
si y solo si cada triangulo de lado k contiene a lo mas k huecos.
Usando teselaciones → emparejamientos → matroides:
(Conjetura.) Teorema. (Ardila, Billey, 2005)
En esta configuracion de(
n+12
)
puntos en Rn, una (n + 1)-tupla
de puntos es una base de Rn si y solo si cada triangulo de lado k
contiene a lo mas k puntos.
Federico Ardila 43
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Teselaciones
Muchos interrogantes:
1. Estas teselaciones son las subdivisiones mixtas de un
triangulo. Fueron definidas en el contexto de politopos y
variedades toricas, y estan relacionadas con:
• el problema del transporte en optimizacion
• el embebimiento de Segre de CPd−1 × CP
n−1 en CPdn−1
• la geometrıa tropical.
¿Como usar esto para estudiar la geometrıa de banderas?
2. El caso de d banderas corresponde a las subdivisiones mixtas
de un sımplice d-dimensional. La conjetura en este caso sigue
abierta. ¿Como generalizar estos resultados?
3. ¿Como aplicar estas tecnicas al calculo de Schubert?
Federico Ardila 44
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Teselaciones
El calculo de Schubert es una rama de la geometrıa algebraica
enumerativa, que contesta preguntas como esta:
¿Cuantas rectas intersectan a cuatro rectas dadas en C3?
Problema 15 de Hilbert: Formalizar el calculo de Schubert.
Solucion: Calcular en el anillo de cohomologıa de la variedad
Grassmanniana Gr(k, n), que parametriza k-planos en Cn.
¡Esto se puede hacer armando rompecabezas! (Knutson-Tao ’02)
Abierto: “Rompecabezas” en el calculo de Schubert de banderas.
Federico Ardila 45
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Teselaciones
Muchas gracias por su atencion.
Esta charla fue basada en dos artıculos:
• Un artıculo divulgativo, Tilings, escrito con Richard Stanley
en 2004-5. Esta en:
www.math.washington.edu/ ∼federicohttp://front.math.ucdavis.edu/math.CO/0501170
Tambien esta la version en aleman, Pflasterungen, traducida
por Gunter Ziegler. Esperamos tener una version en espanol
pronto.
• Un artıculo con Sara Billey, que estara disponible ahı en un par
de meses.
Federico Ardila 46