UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 4

Ing. Edgar Vargas Ruiz I-2012 1

UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: FUNDAMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD TEMÁTICA OPTIMIZACIÓN

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Interpretar la noción de derivada como razón de cambio y desarrollar métodos para hallarla en las relaciones y funciones, así como también, resolver situaciones problémicas en diferentes áreas del conocimiento usando el concepto de derivación

Resuelve problemas de optimización utilizando los criterios de primera y segunda derivada.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Real izar las actividades que a cont inuación se enuncian teniendo en cuenta la carpeta guía de Apuntes del Profesor ACTIVIDAD No 1

1. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es 72 0.04p q , y la función de

costos es C = 500 +30q. a. ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? b. ¿A qué precio ocurre este, y cuál es la utilidad correspondiente?

2. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es q

p50

; y la función de costo

promedio es q

C1000

50,0 .

a. Encuentre el precio y la producción que maximizan la utilidad. b. A este nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal.

3. Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio C por unidad, está dado

por 2 200

2 36 210C q qq

, donde 2 10q .

a) ¿A qué nivel dentro del intervalo [2; 10] debe fijarse la producción para minimizar el costo total? b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [5; 10], ¿qué valor minimiza el costo

total?

4. La demanda de un mercado monopolizado sigue la ley 100 3p x , y el monopolista produce x

unidades a un costo total de 21

3 15002

C x x . Determinar el precio del artículo y la cantidad que

debe producirse para obtener la máxima utilidad.

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5. Para un monopolista, el costo por unidad de producir un artículo es de $3.00, y la ecuación de

demanda es q

p10

.

¿Cuál es el precio que dará la utilidad máxima?

6. Para el producto de un monopolista, la ecuación de demanda es: 42 4p q y la función de costo

promedio es q

C80

2 . Encuentre el precio que maximiza la utilidad.

7. Un fabricante puede producir cuando mucho, 420 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación

de demanda para ese producto es: 2 100 3200p q q , y la función de costo promedio del fabricante

es 22 10000

403

C q qq

Determine la producción q que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima. ACTIVIDAD No 2 1. Una pequeña compañía debe alquilar ayuda temporal que es más cara para complementar su

personal de tiempo completo. Se estima que los costos semanales C (m) de salarios y beneficios se relacionan con el número m de empleados de tiempo completo por la función

,( )

16 000C m = 250m+ +1000

m, (0 m 30 ). ¿Cuántos empleados de tiempo completo deberían

tener la compañía para minimizar esos costos? Respuesta: m = 8 empleados

2. Suponga que la función costo para un producto es dada por 3C = 0.002x 9x + 4000 . Encuentre

el nivel de producción, es decir, el valor de x que dará el costo promedio mínimo por unidad ( )C x .

Respuesta: x= 100 unidades

3. Suponga que la función de costo total por la fabricación de cierto producto es

22(0.01 121) C = 0. x dólares, donde x representa las unidades producidas. Encuentre el nivel de

producción que minimizará el costo promedio. Respuesta: x= 110 unidades

4. El costo total mensual, en dólares, por la fabricación de x unidades de la cámara modelo MI en la corporación de instrumentos de precisión Cannon está dado por la función

,2C = 0.0025x + 80 x + 10 000

a) Dé la función de costo promedio C. b) Proporcione el nivel de producción que arroje el menor costo promedio de producción.

Respuestas: a) 10000

0.0025 80 C xx

b) x = 2000 unidades mensuales

5. El costo total diario, en dólares, por la producción de x cajas de cierta salsa picante, está dado por

la función 30.000002 5 4000C x x

a) Dé la función de costo promedio C .

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b) Proporcione el nivel de producción que arroje el menor costo promedio de producción.

Respuestas: a) 2 4000 0.000 002 5 C x

x b) x = 1000 unidades diarias

6. El costo de la producción anual de un artículo es 80 '000,000

500020

xC

x donde x es el

tamaño promedio del lote por serie de producción. Encuentre el valor de x que hace mínimo a C. Respuesta: x = 40,000 unidades/lote

7. Una compañía descubrió que al incrementar su publicidad también se incrementan sus ventas,

hasta cierto punto. La compañía cree que el modelo matemático que relaciona la utilidad en miles

de dólares P(x) con los gastos en publicidad en miles de dólares x, es P 3= 80 + 108x x ,

(0 10)x

a) Encuentre el gasto en publicidad que conduce a una utilidad máxima. b) Encuentre la utilidad máxima. Respuestas: a) x= 6 miles de dólares de gasto en publicidad b) P máx. = P (6) = $512 mil dólares. 8. La utilidad total P(x) (en miles de dólares) por la venta de x cientos de miles de neumáticos de auto

es aproximada por 3 2P = x + 9x + 120x 400 , (3 15)x

a) Encuentre el número de cientos de miles de neumáticos que deben venderse para maximizar la utilidad.

b) Encuentre la utilidad máxima. Respuestas: a) x= 10 cientos miles de neumáticos, 1 millón de neumáticos b) P máx. = P (10) = $700 mil dólares. 9. La utilidad total P(x) (en miles de dólares) por la venta de x miles de unidades de un medicamento

está dada por 3 2P= x + 3x + 72x (0 10)x

a) Encuentre el número de unidades que deben venderse para maximizar la utilidad total. b) ¿Cuál es la utilidad máxima? Respuestas: a) x= 6 miles de unidades de medicamento b) P máx. = P (6) = $324 mil dólares. 10. Cuando una compañía tiene que pagar grandes cantidades de tiempo extra, o construir una fábrica

de mayores dimensiones, sus utilidades pueden reducirse aún cuando las ventas se eleven. La compañía Wizard Ltda. espera que sus utilidades (en cientos de miles de dólares) durante los

siguientes seis meses estén dadas por P= x+200 x 2000 , (0 x 35000 ), donde x es el

número de unidades vendidas. Encuentre el número de unidades que producen la utilidad máxima.

Respuesta: x= 10,000 unidades vendidas en seis meses. 11. La gerencia de cierta empresa, productores de una famosa salsa picante, estiman que sus

utilidades en dólares por la producción y venta diaria de x cajas (cada caja contiene 24 botellas) de

la salsa picante están dadas por 3P = 0.000002x + 6 x 400 (0 2000)x . ¿Cuál es la máxima

utilidad posible de la empresa en un día? Respuesta: P máx. =P(1000 cajas diarias) = $3,600 dólares diarios 12. Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es

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p = 400 – 2x, (0 200)x y que la función de costo promedio es 400

C = 0.2x + 4 x

,donde x es el número de unidades, p precio y C se expresan en dólares por unidad.

a) Determinar el nivel de producción en el que se maximiza la utilidad. b) Determinar el precio en que ocurre la utilidad máxima c) Determinar la utilidad máxima. Respuestas: a) x= 90 unidades b) p =p(90) = $220/unidad c) P máx. = P(90) = $17,400 dólares 13. La cantidad mensual demandada por el lanzamiento de un nuevo disco de se relaciona con el

precio por disco. La ecuación de la demanda está dada por p = 0.00042x + 6 , (0 12000)x

donde p denota el precio unitario en dólares y x es el número de discos demandados. El costo total mensual en dólares por la impresión y empacado de x copias de este disco está dado por

( ) 2 C x = 600 + 2x 0.00002x

(0 20000)x . ¿Cuántas copias mensuales se deben producir para

maximizar sus utilidades? Respuesta: x = 5000 copias del disco.

14. Un fabricante de raquetas de tenis ha determinado que el costo total C(x) (en dólares) por la

producción de x raquetas por día está dado por ( ) 2C x = 400 + 4x + 0.0001x . Cada raqueta debe

venderse a un precio de p dólares, donde p se relaciona con x mediante la ecuación de demanda

p = 10 0.0004 x con (0 20000)x . Si es posible vender todas las raquetas fabricadas, ¿cuál es

el nivel diario de producción que rinde la utilidad máxima para el fabricante? Respuesta: x = 6000 raquetas diarias. 15. La demanda semanal de un televisor a color de 25 pulgadas está dada por la ecuación de demanda

0.05 600p = x , (0 12000)x donde p denota el precio unitario al mayoreo, en dólares, y x

denota la cantidad demandada. La función de costo total semanal relacionada con la fabricación de

estos televisores está dada por ( ) 3 2C x = 0.000002x 0.03x + 400x + 80000 donde C(x) denota el

costo total por la producción de x televisores. Encuentre el nivel de producción que rinde la utilidad máxima para el fabricante.

Respuesta: x = 3,333 televisores semanales

EVALUACIÓN

1. Dados los siguientes problemas resuélvalos presentando el procedimiento completo para obtener la

solución a. Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada, abierta por arriba (véase la figura). ¿Cuál es el volumen máximo que se puede obtener en la caja con 1.200 cm2 de material?

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b. Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 3 m. gira alrededor de uno de sus catetos (Véase la

figura) Encuentre el radio, la altura y el volumen del cono de mayor volumen que se pueda construir de esta manera.

BIBLIOGRAFÍA

APUNTES DEL DOCENTE

STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson

PURCELL Edwin J , CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice Hall

LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill