FCA2Tema4_12-13
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Fundamentos
de
Control Automático
2º G. Ing. Tecn. Industrial
Tema 4: Análisis de
respuesta temporal de
los sistemas lineales
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Índice del tema
2
1. Respuesta temporal de los sistemas de primer orden
Respuesta a escalón
Identificación por respuesta a escalón
Respuesta a rampa
2. Respuesta temporal de los sistemas de segundo orden
3. Sistemas de orden superior
4. Efecto de los ceros en la respuesta temporal
5. Estabilidad
Bibliografía para este tema:
• “Fundamentos de Control Automático”. Bolzern, Scattolini y Schiavoni, Ed. McGraw-
Hill, 2009. Capítulos 3 y 4. • “Ingeniería de Control Moderna”. Ogata, Ed. Pearson, 2010. Capítulo 5. • “Sistemas de Control Automático”. B.J. Huo. Prentice-Hall, 1996. Capítulos 6
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Introducción
3
En este tema se analizará el comportamiento temporal de sistemas lineales simples ante señales de entrada de prueba, principalmente la entrada en escalón.
Se analizarán los sistemas de primer y segundo orden. También se harán algunas consideraciones para sistemas de orden superior.
A partir de modelos de Función de Transferencia se analizará el comportamiento obteniendo la respuesta temporal mediante al cálculo de la antitransformada y analizando el efecto de la posición de los polos con respecto al comportamiento del sistema
...)(
)()()(2
2
22
21
ps
a
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ssUsGsY
...)sen()( 2
221 tpt eabteaty
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
sa
b
dtaybuy
buaydt
dy
U(s)
Y(s)G(s)
:ncia transferede
función deforma en nulas, iniciales scondicione las si o
)( integralforma en o
ldiferencia ec.forma en
Se puede describir
- +
4
u
R
C y
sRC
RC
sU
sY
1
1
)(
)(
yy
s1
a
bu
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
tiempo)de unidadesen (medida tiempode Constante :
salida)y entrada de las a conformes (unidades u
y estática Ganancia :K
1U(s)
Y(s)G(s)
:nulas iniciales scondicionecon
1
s
K
uKydt
dy
uK
ydt
dy
Se suele expresar con parámetros con significado físico:
s/1 - +
1K
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
5
u
R
C y
RC
K
RCssU
sY
1
1
1
)(
)(
- + y y
s
1
1
Ku
yyu
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
estables) (sistemas
tiempode Constante :
modificaNo1
Amplifica1
Atenúa1
u
y estática Ganancia :K
positivasiempre
K
K
K
negativaopositivaserpuede
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
6
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unitario escalón un )( con
1)(
)()(
tu
s
K
sU
sYsGsi
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
7
Respuesta a un escalón unitario:
unoporTanto
t
permanenterégimen
envalor
t
eyeKty )1()1()(
)(ty
)(ty
1
1K
1
2
5.0
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
99.0)1(5
98.0)1(4
95.0)1(3
86.0)1(2
63.0)1(
)1()1()(
5
4
3
2
1
etPara
etPara
etPara
etPara
etPara
eyeKty
unoporTanto
t
permanenterégimen
envalor
t
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
8
Respuesta a un escalón unitario:
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.050.1
0.150.2
0.250.3
0.350.4
0.450.5
0.550.6
0.650.7
0.750.8
0.850.9
0.951
1.051.1
1.151.2
tiempotiempo
)1(
t
e
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
9
Respuesta a un escalón unitario:
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
tiempo
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo
u
Entrada en escalón Respuesta del sistema
¿Cómo obtener el modelo G(s) del sistema?
10
Identificación por respuesta a un escalón:
Queremos obtener el modelo de un sistema
Sometemos el sistema a una entrada en escalón y obtenemos la respuesta experimentalmente
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Sistema real
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
tiempo
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo
u
Entrada en escalón Respuesta del sistema
Respuesta típica de sistema de primer orden:
evolución exponencial con pendiente no nula en el instante de
cambio del escalón
11
Identificación por respuesta a un escalón:
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Función de transferencia candidata
s
KsG
1)(
Dos parámetros:
¿K?
¿ ?
12
Identificación por respuesta a un escalón:
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo
u
K: se obtiene observando el régimen permanente
32
6
13
28
u
yK
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
tiempo
y
2u
6y
13
Identificación por respuesta a un escalón:
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
tiempo
y
6y
78.363.0 y
Identificación por respuesta a un escalón:
516.6
78,578.32
78.3663.063.0%63
Finalmentesegundoslosaesquevalorestealcanza
sequeelentiempoelobtenerpermitegráficalaallevadoque
escalóndelantesteníaquevaloralsumado
yessalidaladefinalincrementodelel : se obtiene
observando el
régimen transitorio
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
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Función de transferencia obtenida:
ss
KsG
51
3
1)(
15
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Identificación por respuesta a un escalón:
RECUERDE: Para definir el modelo se han utilizado variables incrementales, por lo que para obtener los valores reales hay que tener en cuenta el punto de funcionamiento.
Sistema real
Modelo G(s)
)(tu )(ty
2
1
:entofuncionami de Punto
0
0
y
u
0)()( utut 0)()( ytyt
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Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Respuesta a una entrada en rampa
16
0)1()(
ormadaantitransfla calculando
1
1)()()(
1)(0,)(
2
2
teKKtty
ss
KsUsGsY
ssUtttu
t
Kt
t
)(ty
K
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Índice del tema
17
1. Respuesta temporal de los sistemas de primer orden
Respuesta a escalón
Identificación por respuesta a escalón
2. Respuesta temporal de los sistemas de segundo orden
Respuesta a un escalón
Relación de la respuesta temporal con los parámetros
3. Sistemas de orden superior
Polos dominantes
4. Efecto de los ceros en la respuesta temporal
Ceros de fase mínima
Ceros de fase no mínima
Cancelación de dinámicas
5. Estabilidad
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Suele expresarse como
Parametrización habitual (a2>0)
Considerando condiciones iniciales nulas:
[rad/s] natural frecuencia:
nal][adimensio ión amortiguac de eCoeficient :
U]Y/dim [dim estática ganancia :K
2
n
22
2
2
uKydt
dy
dt
ydnnn
ubyadt
dya
dt
yd1212
2
18
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
u
R
C y
L
L
R
LC
LC
K
n
12
1
1
1
uLC
yLCdt
dy
L
R
dt
yd 112
2
22
2
2U(s)
Y(s)G(s)
nn
n
ss
K
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
12
44
02:Polos
2U(s)
Y(s)G(s)
2
222
2,1
22
22
2
nn
nn
n
nn
nn
n
s
ss
ss
K
19
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Análisis del sistema:
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siempre)0(
inestable sistema nula o positiva real partecon polos0 si
1:Polos
n
2
nn
20
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Análisis del sistema
Caso 1: Sistema con amortiguamiento negativo o nulo
Re
Im
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uadosubamortig entocomportami
:
1:Polos
estable sistema negativa real partecon conjugados complejoscon polos10 si
2
aamortiguadnaturalfrecuenciacon
jj
d
dnnn
Im
Re
21
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Ánálisis del sistema
Caso 2: Sistema subamortiguado
1:Polos 2 nn
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
oamortiguad tecríticamen entocomportami
)2(:Polos
estable sistema negativos dobles reales polos1 si
n
Re
Im
22
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Análisis del sistema
Caso 3: Sistema críticamente amortiguado
1:Polos 2 nn
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
iguadosobreamort entocomportami
1:Polos
estable sistema negativos reales polos1 si
2
nn
Im
Re
23
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Análisis del sistema
Caso 4: Sistema sobreamortiguado
1:Polos 2 nn
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
)(1
1)(
)1cos1(coshacerpuedese1como
))](1
)(cos(1[)(
ormadaantitransf la calculando )()()(s
1U(s)
2
22
2
tsene
Kty
sen
tsenteKty
sUsGsY
d
t
dd
t
n
n
24
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario
Caso 2: Sistema subamortiguado 10
dgeneralida de pérdidasin 1 supondrá se adelanteEn K
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
)(1
1)( 2
tsene
ty d
tn
25
21
2 es sistema del
oscilación de periodo el
n
PT
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario: Sistema subamortiguado (caso 2)
jnn
21:Polos
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
)cos(1)](1
)[cos(1)(2
ttsentety ndd
tn
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tiempo
jn
Re
Im
n
pT
2
26
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario Límite entre los casos 1 y 2 0
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
ormadaantitransf calculando
1
)(
1
)(
1
)()()()(
s
1U(s)
22 ssssssUsGsY
nn
n
n
n
27
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario Caso 3: Sistema críticamente amortiguado
t
nnetty
)(1)(
1
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
00
0.2
0.4
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0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y(t)
1
1.0
7.0
9.0
5.0
03.0
28
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario: Sistemas con amortiguamientos entre 0 y 1
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
2
2
1
2
1112
11)(
ormadaantitransf calculando)()()(s
1U(s)
2
1
2
1
2
ylentalExponencia
t
yrápidalExponencia
t nn
eety
sUsGsY
29
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario Caso 4: Sistema sobreamortiguado 0
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y(t)
y1(t)
y2(t)
1y2paraejemplopor n
lenta
rápida
30
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
1y2 n
0 5 10 15-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo
lenta
exacta
31
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.5
1
1.5
Y
32
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
Respuesta a un escalón unitario: respuesta de un sistema sobreamortiguado en función del amortiguamiento
2 3
14
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 33
Respuesta temporal
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
● Tiempo de subida (ts):Es el tiempo necesario para que la señal de salida pase de un porcentaje inicial a uno final de su valor en régimen permanente. Normalmente se usan del 0 al 100%, 5 al 95% o 10 al 90%
● Lo más habitual es (10-90%) o (0-100%) en sistemas subamortiguados
● Tiempo de pico (tp): Intervalo de tiempo hasta que se produce el primer pico en la señal de salida.
● No está definido en sistemas de primer orden y sistemas de segundo orden sobreamortiguados
Tiempo de establecimiento (te): Tiempo que tarda la señal de salida en establecerse en una banda alrededor del valor en régimen permanente. Los
valores más usados son ± 2% y ± 5%
Sobreoscilación (SO): Amplitud de la primera oscilación en tanto por ciento con respecto al valor de la señal en régimen permanente.
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
00
Tiempo
y(t)
)(
)()(..
y
ytyOS
p
)(y
etpt
34
Respuesta temporal
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
100%)(0 st
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Respuesta temporal
2.2
2.2
1.0ln9.0ln
1)(
1090
s
s
t
t
ttt
ety
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.050.1
0.150.2
0.250.3
0.350.4
0.450.5
0.550.6
0.650.7
0.750.8
0.850.9
0.951
1.051.1
1.151.2
tiempotiempo
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 1º Orden
2.2
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Respuesta temporal
2.2
3
)05.0ln(
1)(
e
e
t
t
t
ety
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.050.1
0.150.2
0.250.3
0.350.4
0.450.5
0.550.6
0.650.7
0.750.8
0.850.9
0.951
1.051.1
1.151.2
tiempotiempo
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de establecimiento te (5%) Sistema de 1º Orden
3
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
d
ssdsd
sd
sd
sd
sdsdsd
sdsd
t
s
dd
t
tttgttgsentsen
t
sitsen
ttsent
tsente
ty
tsentetysn
n
)(cos
)(
)cos(
cos1)(
)cos(0)(
1)cos(
0)](1
)[cos(
1)(
)](1
)[cos(1)(
22
2
2
21
nd
st
37
Respuesta temporal
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de subida (0-100%) (ts): Sistema de 2º orden subamortiguado
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 38
Respuesta temporal
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 2º orden subamortiguado
Se puede obtener de la gráfica, en la que se representa:
)()9010( ftsn
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21
nd
pt
d
p
ddd
ddd
t
n
t
ttsentsene
dt
tdy
dt
tdy n
en produce se picoprimer el
...,3
,2
,0, t
:salida la de derivada la cero hace se donde instantes
...,3,2,,00)(0)(1
)(0
)(
2
00
Tiempo
y(t)
39
Respuesta temporal Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Tiempo de pico (tp): Sistema de 2º orden subamortiguado
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
n
e
n
e
tdelfranja
tdelfranja
cionesSimplifica
4%2
3%5
:
)05.01ln(1
05.01
95.01
1
05.11
1
:que t tal
instante elen 1))y( (supuesto final valor del 5% del franja una de dentroquedan senvolvente Las
11 :son señal esta de senvolvente curvas las )(
11)(
2
2
2
2
22
n
e
t
t
t
t
d
t
te
e
e
etsen
ety
n
n
n
nn
Tiempo
y(t)
1
40
Respuesta temporal
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de establecimiento (te): Sistema de 2º orden subamortiguado
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
100)(
)()(.(%).
y
ytyOS
p
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
20
40
60
80
100
41
Respuesta temporal
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Sobreoscilación (S.O.) Sistema de 2º orden subamortiguado
2
22
1
1
2
1
p
100.(%).luego
1]1
[cos1)y(t1)y( si
eOS
esene n
n
S.O.(%)
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Re
Im
d
(95%) 3
)(
)(acos
e
d
p
d
s
t
t
t
SOSO
d SO ts tp te
- -
n
Re
Im
d
SO = cte
tp = cte
42
Respuesta temporal
Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Sistema de 2º orden subamortiguado
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Índice del tema
43
1. Respuesta temporal de los sistemas de primer orden
Respuesta a escalón
Identificación por respuesta a escalón
Respuesta a una entrada sinusoidal
2. Respuesta temporal de los sistemas de segundo orden
Respuesta a un escalón
Relación de la respuesta temporal con los parámetros
3. Sistemas de orden superior
Polos dominantes
4. Efecto de los ceros en la respuesta temporal
Ceros de fase mínima
Ceros de fase no mínima
Cancelación de dinámicas
5. Estabilidad
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)(...
...)( nulas) (C.I. ormadaantitransf Calculando
)()(
...)()()(
...)()(
1
1
1
1
10
11
1
1011
1
1
sUasasas
bsbsbsY
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudbya
dt
tdya
dt
tyda
dt
tyd
nn
nn
m
mm
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
44
Sistema de orden superior
Ecuación diferencial lineal de orden n
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En general, los polos de G(s) podrán ser o bien polos reales o bien complejos conjugados, por lo que la respuesta ante una entrada en escalón se puede calcular:
negativa) real partecon polos sus (Todos
permanenterégimen un alcanza sistema el si Sólo
ón)continuaci aón demostraci (* )(lim
estáticaganancialasiendo
)]1cos()1([)(
)2()(
)('1)(
0
22
11
22
11
1
sGK
tctsenbeeaKty
ssps
csk
ssY
s
kkkk
r
k
tt
j
tp
j
kkk
r
kj
t
j
i
m
i
kkj
45
Sistema de orden superior
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*La demostración hace uso del Teorema del valor final:
46
)(lim1
)(limK luego
)(lim ademásy 1
)(
unitarioescalón un sea u(t) queen caso elen
)()(lim)(lim)(lim
00
00
sGs
sGs
Ktys
sU
sUsGssYsty
ss
t
sst
Sistema de orden superior
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• En la práctica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una influencia en la respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a estos polos se les denomina polos dominantes.
• Esta situación ya se consideró en el estudio del sistema sobreamortiguado (exponencial rápida vs. exponencial lenta)
• Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.
• La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la parte real del polo), recuerde:
reales) (polos iguadosobreamortorden segundo de sistemasen )1(-
)1-(-
complejo) (polo uadosubamortigorden segundo de sistemasen
real) (poloorden primer de sistemasen 1
2
2
rápido
lento
n
n
n
47
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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• En la práctica, los polos dominantes se determinan por la distancia relativa de los mismos al eje imaginario
Re
Im
p1
p’1
p2
p’2
d2
d1
p1,p’ 1 se van a considerar dominantes si d2/d1>5
48
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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Re
Im
p1
p2
p’2
d2
d1
p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5
49
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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Re
Im
p1 p2
d2
d1
p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5
50
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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• En la práctica, un sistema de orden superior puede ser reducido despreciando el efecto de los polos no dominantes (polos rápidos).
• IMPORTANTE: al eliminar los polos no dominantes: LA GANANCIA ESTÁTICA DEBE QUEDAR INALTERADA
Ejemplo:
)17)(16)(1(
544)(
ssssG
Re
Im
-1 -16 -17
-1 es el dominante
51
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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1
2
)17)(16)(1(
544
)17)(16)(1(
544)(
ssssssG
Re
Im
-1 -16 -17
-1 es el dominante.
52
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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Tiempo(s)
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
y(t)
• Se ha pasado de un sistema de orden 3 a uno de orden 1 eliminando los dos polos no dominantes.
• En la figura se representa el error cometido en la respuesta del sistema ante un escalón al simplificar la función de transferencia
53
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
22
12 ss
• Ejemplo 2:
6
10
s
Re
-1+j
-1-j
-6
Im
-1+j y -1-j
son los dominantes
54
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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22
12 ss
• Se elimina el polo no dominante, (se mantiene su ganancia estática)
6
10
Re
-1+j
-1-j
Im
55
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
12148
1023 sss
22
6/102 ss
• Comparación de las respuestas
56
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
6
10
s
12148
1023 sss
• Comparación de las respuestas
22
12 ss
rápida
Lenta
Sistema completo
57
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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• Interpretación física:
Al considerar los polos dominantes se está simplificando el sistema sustituyendo la evolución de la respuesta correspondiente a los polos no dominantes por una evolución “instantánea”.
Ejemplo:
Suponga una habitación que se pretende calentar con un calefactor de resistencias.
Estamos interesados en conocer el tiempo que debemos esperar desde que se conecta el calefactor hasta que se alcanzan unas condiciones estacionarias en la habitación.
Para ello se modelan dos subsistemas:
- El calefactor - entrada: tensión aplicada (V), salida: potencia calorífica aportada (kW)
- El habitáculo - entrada: potencia calorífica recibida del calefactor (kW), salida: incremento de temperatura con respecto al exterior (ºC)
58
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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• Se tiene el modelo dado por el siguiente diagrama de bloques:
115
01.0
s 12400
7
s
V P
Dinámica del
calefactor
Dinámica del
habitáculo
59
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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• Las ganancias estáticas determinan los valores de régimen permanente cuando se aplican 220V en la entrada:
115
01.0
s 12400
7
s
V P
Dinámica del
calefactor Dinámica del
habitáculo
C
kWP
VV
º4.15)(
2,2)(
220)(
:iasestacionarscondicioneen
60
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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• Si la entrada (V) es un escalón de 0 a 220 v., obtenemos:
0 3000 60000
5
10
15
115
01.0
s 12400
7
s
V P
Dinámica del
calefactor Dinámica del
habitáculo
)(º C
0 3000 60000
5
10
15
0 3000 60000
100
200
V (voltios) P (kW)
61
Polos dominantes:
Sistema de orden superior
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115
01.0
s 12400
7
s
V P
Dinámica del
calefactor Dinámica del
habitáculo
Dinámica rápida
Polo: -1/15 =-0.0667 Dinámica Lenta
Polo: -1/2400=-0.00041 Dominante
Re
Im
-0.00041 -0.0667
0.0667/0.0041=160 >> 5
62
Sistema de orden superior
Polos dominantes:
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0 3000 60000
5
10
15
01.012400
7
s
V P
Dinámica del
Calefactor aproximada Dinámica del
habitáculo
)(º C
0 3000 60000
100
200
V (voltios)
0 3000 60000
5
10
15
P (kW)
63
Sistema de orden superior
Polos dominantes: Aplicando la dinámica del polo dominante
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Time (sec.)
0 20000
1
2
01.0
115
01.0
s
V P
Dinámica del
Calefactor real
0 3000 60000
100
200
V (voltios)
P (kW)
0 20000
1
2
P V P (kW)
Dinámica del
Calefactor aproximada
0 3000 60000
100
200
V (voltios)
64
Sistema de orden superior
Polos dominantes: Se ha sustituido la dinámica del polo rápido por una dinámica instantánea
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Índice del tema
65
1. Respuesta temporal de los sistemas de primer orden
Respuesta a escalón
Identificación por respuesta a escalón
Respuesta a una entrada sinusoidal
2. Respuesta temporal de los sistemas de segundo orden
Respuesta a un escalón
Relación de la respuesta temporal con los parámetros
3. Sistemas de orden superior
Polos dominantes
4. Efecto de los ceros en la respuesta temporal
Ceros de fase mínima
Ceros de fase no mínima
Cancelación de dinámicas
5. Estabilidad
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tteety
ss
ssG
105 18162)(
)10)(5(
)1(100)(
Efecto de los ceros en la respuesta
Los ceros afectan al transitorio
0 0.4 0.8 1.20
2
4
6
0 0.4 0.8 1.20
2
4
6
tteety
sssG
105 242)(
)10)(5(
100)(
66
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
0 1 20
2
4
6yc(t)
dy(t)/dt
y(t)
)()(1
)(será derespuesta La
por dadosistema delrespuesta la es Si
)()11
()sea ,una Dada
tydt
tdy
cty(s)G
G(s)y(t)
sGsc
(sGG(s)
cc
c
tt
tttt
c
ee
eeeety
105
105105
18162
2020242)(
67
Efecto de los ceros en la respuesta
Ceros de fase mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano izquierdo
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
-20 -15 -10 -5 0 5
0 1 20
2
4
6
0 1 20
2
4
6
0 1 20
2
4
6
x x o o o o
0 1 20
2
4
6
C>0 la derivada SUMA. Mientras más lejos esté el cero del eje imaginario, menor será su influencia
68
Efecto de los ceros en la respuesta
Ceros de fase mínima
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
-20 -15 -10 -5 0 5
0 1 2
-4
-2
0
2
0 1 2
-4
-2
0
2
x x o o
C<0 la derivada RESTA Respuesta inversa
69
Efecto de los ceros en la respuesta
Ceros de fase no mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano derecho
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Índice del tema
70
1. Respuesta temporal de los sistemas de primer orden
Respuesta a escalón
Identificación por respuesta a escalón
Respuesta a una entrada sinusoidal
2. Respuesta temporal de los sistemas de segundo orden
Respuesta a un escalón
Relación de la respuesta temporal con los parámetros
3. Sistemas de orden superior
Polos dominantes
4. Efecto de los ceros en la respuesta temporal
Ceros de fase mínima
Ceros de fase no mínima
Cancelación de dinámicas
5. Estabilidad
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
71
Motivación
Estructuras (puente de Tacoma)
Plantas de energía (Chernobyl, Fukushima)
Aeronáutica (aviones de combate)
Automóvil (ESP)
An unstable aircraft is normally difficult or impossible for a human pilot to keep under control. But the F-16's quadruple-redundant fly-by-wire computer automatically makes constant split-second corrections to keep the plane stable.
Estabilidad de todo tipo de sistemas:
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72
Estabilidad
La estabilidad es una propiedad inherente del sistema. Independiente de las señales
Un sistema es estable si, ante cualquier entrada acotada responde con una salida acotada
Señal acotada si
Estable si
Se denomina estabilidad BIBO (Bounded Input – Bounded Output)
Sistema Entrada Acotada Salida Acotada
ktx )(
tKtyKtu yu )()(
72
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73
Teorema: un sistema lineal e invariante en e tiempo descrito por una función de transferencia G(s) es estable si y sólo si todos los polos están situados en el semiplano izquierdo abierto del plano s.
Todos los polos tienen que tener parte real negativa.
o En Matlab: comando roots()
o Criterio de Routh-Hurwitz
X
X
X
X
X X X
X
X
Sistema inestable
Re
Im
X
X
X
X
X X X
X
X
Sistema inestable
X
X
X
X
X X X
X
X
Sistema inestable
Re
Im
Estabilidad
73
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
74
INESTABLE. ¡Cuidado!
La respuesta ante
otras entradas acotadas no
está acotada
Respuesta ante un IMPULSO
No acotada ante u(t)=sen t No acotada ante escalón
Estabilidad
74
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Criterio de Routh-Hurwitz I
Para determinar la estabilidad no es necesario conocer el valor de las raíces de d(s), sino sólo saber si están en el semiplano izquierdo
Criterio de Routh-Hurwitz: permite determinar si las partes reales de los polos son negativas
Un polinomio se dice polinomio de Hurwitz si todas sus raíces tienen parte real negativa. Determinar la estabilidad de G(s) equivale a determinar si d(s) es Hurwitz
n
nn
m
mm
asas
bsbsb
sd
snsG
1
1
1
10
)(
)()(
75
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Criterio de Routh-Hurwitz II
1. Todos sus coeficientes son positivos ( ) y
2. Los elementos de la primera columna de la tabla de Routh son positivos
n
nn asassd 1
1)(
76
iai 0
El polinomio es Hurwitz si cumple estas dos condiciones:
La tabla de Routh se obtiene en función de los coeficientes ai del polinomio (se considera mónico, es decir, el coeficiente de es igual a 1).
Nótese que si no se cumple el punto 1 no es necesario crear la tabla de Routh.
ns
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Tabla de Routh
Tiene (n+1) filas
Las 2 primeras filas son los coeficientes ai alternos
sn 1 a2 a4 ...
sn-1 a1 a3 a5 ...
sn-2 b1 b2 b3 ...
sn-3 c1 c2 c3 ...
... ... ... ...
s0 z1
Coeficientes pares
Coeficientes impares
1
30211
a
aaaab
1
50412
a
aaaab
1
70613
a
aaaab
Siendo a0 =1 y así para los ci … zi
1
21311
b
baabc
77
1
31512
b
baabc
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Tabla de Routh
El número de
cambios de signo es el número de raíces con parte real positiva
sn 1 a2 a4 ...
sn-1 a1 a3 a5 ...
sn-2 b1 b2 b3 ...
sn-3 c1 c2 c3 ...
... ... ... ...
s0 z1
Para que el polinomio d(s) tenga todas sus raíces con parte real negativa, todos los elementos de la primera columna de la tabla deben ser positivos
78
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 79
Ejemplo
Polinomio: s4+5s3+3s2+s+2
1. Todos los ai positivos 2. Tabla de Routh s4 1 3 2
s3 5 1
s2
s1
s0 2
1 elemento negativo: Inestable
Dos cambios de signo:
2 polos inestables
5
14
5
153
2
5
25
14
36
5
14
105
14
js
ss
657.0168.0
33.4,1
Dos cambios de signo
Comprobación: Las raices del polinomio son:
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 80
Ejemplo
d(s)=s4+0.5s3+1.5s2+2.5s+5
1. Todos los ai positivos 2. Tabla de Routh:
s4 1 1.5 5
s3 0.5 2.5
s2
s1
s0 5
Se podría parar de calcular la tabla aquí
js
js
444.17555.0
93311.00055.1
5.35.0
5.255.1
5
5.0
55.0
21.35.3
55.05.25.3
1 elemento negativo: Inestable
Dos cambios de signo:
2 polos inestables
Comprobación: Las raíces del polinomio son:
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 81
Ejemplo Muy útil cuando uno de los
coeficientes es un parámetro
d(s)=s3+5s2+6s+k ¿Qué valores puede tomar k de
forma que el sistema sea estable?
1. Condición: k>0
2. Tabla de Routh: Debe ser positivo
Condición:
0<k<30
s3 1 6
s2 5 k
s1 (30-k)/5
s0 k
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Resumen
Se ha estudiado el comportamiento temporal de sistemas de primer y segundo orden y su relación con la posición de los polos del sistema.
Para sistema de orden superior se he definido el concepto de polo dominante que puede permitir obtener un modelo aproximado más simple.
Se ha analizado el efecto de los ceros del sistema en el comportamiento temporal.
Se ha definido el concepto de estabilidad, y se ha establecido el Criterio de Routh para su determinación.
82