fase3

II

Contenido

Introducción.....................................................................................................................................1

Objetivos..........................................................................................................................................2

Objetivo general...........................................................................................................................2

Objetivos específicos...................................................................................................................2

Solución a los ejercicios..................................................................................................................3

Ejercicio 1:...................................................................................................................................3

Ejercicio 2:...................................................................................................................................8

Ejercicio 3:.................................................................................................................................11

Ejercicio 4:.................................................................................................................................12

Conclusiones..................................................................................................................................18

Bibliografía....................................................................................................................................19

1

Introducción

Para el diseño de un sistema de control digital se tienen en cuenta dos pasos como son la

obtención del modelo del sistema a controlar y el diseño del controlador para obtener el

comportamiento deseado del sistema a controlar.

El diseño de controladores digitales implica la conversión del sistema en una forma discreta. Dos

métodos de conversión son

Diseño analógico y conversión a discreto para su implementación.

Diseño discreto , es decir se debe obtener el modelo de la planta en forma discreta

(transformada Z)

Para el desarrollo de la fase 3, se requiere el diseño de un controlador digital mediante el análisis

en el dominio de la frecuencia, por el método de Bode, el cual debe cumplir unas

especificaciones de margen de fase y margen de ganancia.

Como segundo punto se debe determinar la estabilidad de un sistema propuesto por medio de

una ecuación en diferencias.

Como tercer punto, se debe encontrar un rango de estabilidad para k, en un sistema muestreado.

Finalmente como cuarto punto, se solicita determinar la estabilidad de un sistema cuando k=10 y

también se debe determinar el máximo valor de k para mantener la estabilidad.

2

Objetivos

Objetivo general

Realizar el análisis y diseño de sistemas de control en tiempo discreto.

Objetivos específicos

Diseñar un controlador digital en adelanto, mediante el dominio de la frecuencia, por el

método de Bode.

Determinar la estabilidad de un sistema propuesto por medio de una ecuación en

diferencias.

Encontrar un rango de estabilidad para k, en un sistema muestreado.

3

Solución a los ejercicios

Ejercicio 1:

Teniendo en cuenta el sistema de control digital que se muestra en la figura No. 3 del anexo de

gráficos. Diseñe un controlador digital en adelanto tal que el margen de fase del sistema en lazo

cerrado sea 50° y el margen de ganancia sea de al menos 10 dB, con una constante Kv= 4 seg-1

Considere para su diseño que el periodo de muestreo es T=0.2.

Si no resulta posible lograr las especificaciones con un compensador en adelanto debe

argumentar su respuesta.

G ( z )=Z [ 1−eTs

s∗k

(s+0.2)(s+2) ]G ( z )=(1−z−1)Z [ k

s (s+0.2)(s+2) ]G ( z )=(1−z−1)kZ [ 1

s (s+0.2)(s+2) ]Por el método de fracciones parciales tenemos que:

1s (s+0.2)(s+2)

= As

+ Bs+0.2

+ Cs+2

Hallamos los términos A, B y C mediante el siguiente código en matlab

4

r =

0.2778

-2.7778

2.5000

p =

-2.0000

-0.2000

0

1s (s+0.2)(s+2)

=0.2778s+2

−2.7778s+0.2

+2.5s

Entonces tenemos que la inversa de Laplace es:

L−1[ 0.2778s+2

−2.7778s+0.2

+ 2.5s ]=0.2778 e−2 t−2.7778 e−0.2 t+2.5

Tenemos que la transformada Z es:

Z (0.2778 e−2 t−2.7778 e−0.2 t+2.5 )=0.2778 zz−e−2∗T − 2.7778 z

z−e−0.2∗T + 2.5 zz−1

Ahora nos queda:

G ( z )=(1−z−1)k [ 0.2778 zz−e−2∗T − 2.7778 z

z−e−0.2∗T + 2.5 zz−1 ]

Reemplazamos T=0,2

5

G ( z )=( z−1z )k [0.2778 z

z−e−0.4 −2.7778 zz−e−0.04 +

2.5 zz−1 ]

G ( z )=( z−1z )k [ 0.2778 z

z−0.6703− 2.7778 z

z−0.9607+ 2.5 z

z−1 ]G ( z )=K 0.0176 z+0.015

(z−0.6703)(z−0.9607)= 0.0176 z+0.015

z2−1.6311 z+0.6444

Ahora transformamos la función de transferencia G ( z ) en una función de transferencia G (w )

mediante la transformación bilineal:

z= 1+0.5Tw1−0.5 Tw

z= 1+0.5(0.2)w1−0.5 (0.2)w

= 1+0.1 w1−0.1 w

Reemplazando en G ( z ) tenemos:

G (w )=K0.0176( 1+0.1 w

1−0.1 w )+0.015

(( 1+0.1 w1−0.1 w )−0.6703)(( 1+0.1 w

1−0.1 w )−0.9607)

G (w )=K −0.00072167 w2−0.091458 w+0.98675w2+2.1737 w+0.3947

La ganancia de error estático está determinada por Kv=4 seg-1, asumimos una función de

transferencia para el controlador digital GD (w ) con una ganancia unitaria para el intervalo de baja

frecuencia:

GD (w )= 1+rw1−aw

Aplicando el teorema del valor inicial

6

K v=limw →0

w GD ( w )G (w )=K=4

K v=limw →0

w( 1+rw1−aw )(K −0.00072167 w 2−0.091458 w+0.98675

w2+2.1737 w+0.3947 )=4

K v=k 0.986750.3947

=4

K= 42.5

=1.6

Entonces tenemos que:

K

G (w )=1.6 (−0.00072167 w 2−0.091458 w+0.98675)w2+2.1737 w+0.3947

Aplicando MATLAB para obtener la respuesta en frecuencia del sistema tenemos:

close all;clear all;clc

num=[-1.6*0.00072167 -1.6*0.091458 1.6*0.98675];

den=[1 2.1737 0.3947];

sys=tf(num,den)

margin(sys)

7

-60

-40

-20

0

20M

agni

tude

(dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

90

180

270

360

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = 23.4 dB (at 4.93 rad/s) , Pm = 81.4 deg (at 0.726 rad/s)

Frequency (rad/s)

De la gráfica se observa que:

El margen de ganancia es de 23.4 dB y el margen de fase es de 81.4º.

Debido a que las especificaciones exigen un margen de fase de 50° y el margen de ganancia sea

de al menos 10 dB, no se puede aplicar un compensador de adelanto debido a que los parámetros

sobrepasan los requerimientos iniciales.

8

Ejercicio 2:

En la figura No. 5 del anexo de gráficos se muestra una ecuación en diferencias que describe un

sistema digital, determine la estabilidad del sistema

A partir de la anterior ecuación recurrente vamos a obtener la función de transferencia expresada

en transformada Z:

Y ( z ) (1−0.45 Z−1−0.78 Z−2+0.6 Z−3−0.1 z−4 )=X ( z )

G ( z )=Y ( z )X (z )

= 11−0.45 Z−1−0.78 Z−2+0.6 Z−3−0.1 z−4

9

G ( z )= 1

1−0.45z

−0.78Z2 + 0.6

Z3 −0.1z4

G ( z )= 1z4−0.45 z3−0.78 z2+0.6 z−0.1

z4

G ( z )= z4

z4−0.45 z3−0.78 z2+0.6 z−0.1

Para determinar la estabilidad absoluta del sistema, vamos a aplicar el criterio de estabilidad de

Jury, según [1]:

Este método prueba la estabilidad absoluta, revela la existencia de cualquier raíz inestable, pero

no da su localización.

Para determinar la estabilidad se deben seguir 3 pasos:

1. Partir de la ecuación característica del sistema, identificar los coeficientes y determinar el

número de filas de la tabla.

2. Verificar si a0>0, el sistema es estable, si todas las condiciones se cumplen.

3. Formar una tabla que tendrá 2n-3 filas, un sistema de segundo grado le corresponde una

fila.

Paso 1:

Ecuación característica

P( z )=a0 zn+a1 zn−1+.. .+an−1 z+an

P ( z )=z4−0.45 z3−0.78 z2+0.6 z−0.1

Identificación de los Coeficientes

a0=1

a1=−0.45

10

a2=−0.78

a3=0.6

a4=−0.1

Número de filas de la tabla

2 (4 )−3=5 filas

Paso 2:

Condición 1: |an|<a0

Se cumple: |a4|<a0

|−0.1|<1

Condición 2: P ( z )¿z=1>0

Se cumple: P (1 )=14−0.45¿13−0.78 ¿12+0.6∗1−0.1

P (1 )=¿❑0.27>0¿

Condición 3: P ( z )¿z=−1>{ ¿0 para n par¿0 paran impar

P (−1 )=(−1)4−0.45 ¿(−1¿¿3)−0.78 ¿(−1¿¿2)+0.6∗(−1)−0.1¿¿

P (−1 )=−0.03<0 paran=par=4

Esta condición no se cumple. El sistema es, por lo tanto, inestable.

Podemos detener la prueba aquí.

11

Ejercicio 3:

La ecuación de un sistema muestreado es:

z2+ (k−8 ) z+0.9=0

Encuentra el rango de estabilidad para K.

Dado que se trata de un sistema de segundo orden, las condiciones de estabilidad de Jury pueden

escribirse como:

1. |an|<a0

2. P ( z )¿z=1>0

3. P ( z )¿z=−1>{ ¿0 paran par¿0 para n impar

n=2= par

Aplicaremos la primera condición de estabilidad

|a2|<a0

|0.9|<1

12

La segunda condición de estabilidad se convierte en

P (1 )=12+(k−8 )∗1+0.9=k−6.1>0

k>6.101

La tercera condición de estabilidad da:

P (−1 )=(−1 )2+(k−8 )∗(−1 )+0.9

P (−1 )=1+(−k+8 )+0.9=9.9−k>0

k<9.899

Para estabilidad, la constante de ganancia k debe satisfacer las desigualdades k>6.1 y

9.9>k . Por lo tanto:

6.1<k<9.9

Ejercicio 4:

Un sistema con realimentación unitaria, como el que se muestra en la figura No. 6 del anexo de

gráficos, tiene una planta

Gp (s )= ks (s+8 )

Con T = 0.2. Determine si el sistema es estable cuando K = 10.

Determine el máximo valor de K para mantener la estabilidad.

13

Considerando el sistema de control en lazo cerrado de la figura 6, se tiene que la función de

transferencia del sistema es:

G (s )=(1−e−Ts

s )( ks ( s+8 ) )

La transformada Z de G (s ) es:

G ( z )=Z [ 1−eTs

s∗k

s (s+8 ) ]G ( z )=(1−z−1)Z [ k

s2 ( s+8 ) ]G ( z )=(1−z−1)kZ [ 1

s2 ( s+8 ) ]Por el método de fracciones parciales tenemos que:

1s2 ( s+8 )

=0.0156s+8

−0.0156s

+ 0.1250s

Entonces tenemos que la inversa de Laplace es:

L−1[ 0.0156s+8

− 0.0156s

+ 0.1250s ]=0.0156 e−8 t−0.0156+0.1250

L−1[ 0.0156s+8

−0.0156s

+ 0.1250s ]=0.0156 e−8 t+0.1094

Tenemos que la transformada Z es:

Z (0.0156 e−8 t+0.1094 )=0.0156 zz−e−8∗T + 0.1094 z

z−1

Ahora nos queda:

14

G ( z )=(1−z−1)k [ 0.0156 zz−e−8∗T + 0.1094 z

z−1 ]Reemplazamos T=0,2

G ( z )=( z−1z )k [ 0.0156 z

z−e−8∗0.2 +0.1094 z

z−1 ]

G ( z )=( z−1z )k [ 0.0156 z

z−0.2019+ 0.1094 z

z−1 ]

G ( z )= k (0.01253 z+0.07423)(z−0.2019)(z−1)

= K (0.01253 z+0.07423)z2−1.202 z+0.2019

Ahora reemplazando k por 10, tenemos:

G ( z )=10 (0.01253 z+0.07423)z2−1.202 z+0.2019

G ( z )= 0.1253 z+0.7423z2−1.202 z+0.2019

En vista que la función de transferencia pulso en lazo cerrado para el sistema es:

C ( z )R (z)

=G ( z )

1+G (z )

La ecuación característica es:

1+G ( z )=0

Que se convierte en:

15

z2−1.0767 z+0.9443=0


escribirse como:

4. |an|<a0

5. P ( z )¿z=1>0


n=2=par


|a2|<a0

|0.9443|<1

La segunda condición de estabilidad se cumple:

P (1 )=12−1.0767 (1 )+0.9443=0.8676>0

La tercera condición de estabilidad se cumple:

P (−1 )=(−1)2−1.0767 (−1 )+0.9443=3.021>0 paran=2=par

La cuarta condición de estabilidad se cumple:

Construimos la tabla con el siguiente número de filas:

2 (2 )−3=1 fila

Z0 Z1 Z2

0.9443 -1.0767 1

1 -1.0767 0.9443

b0=-0.1082 b1=0.59

|b1|>|b0||0.59|>|0.1082|

16

Con k=10 se satisfacen las cuatro condiciones de estabilidad, es decir todas las raíces están

dentro del círculo unitario en el plano z.

Ahora se determina el máximo valor de K para mantener la estabilidad del sistema

Mediante la función de transferencia pulso en lazo cerrado para el sistema, vamos a hallar la

función característica

Gp (z )= C ( z )R( z)

= G ( z )1+G ( z )

G ( z )= k (0.01253 z+0.07423)(z−0.2019)(z−1)

=K (0.01253 z+0.07423)

z2−1.202 z+0.2019

Gp (z )=

k (0.01253 z+0.07423)(z−0.2019)(z−1)

1+k (0.01253 z+0.07423)

(z−0.2019)(z−1)

Gp (z )=

k (0.01253 z+0.07423)(z−0.2019)(z−1)

( z−0.2019 ) ( z−1 )+k (0.01253 z+0.07423)(z−0.2019)(z−1)

Gp (z )= k (0.01253 z+0.07423)( z−0.2019 ) ( z−1 )+k (0.01253 z+0.07423)

17

Gp (z )= k (0.01253 z+0.07423)z2+(0.01253 k−1.2019 ) z+(0.2019+0.07423 k )

La ecuación característica es:

z2+ (0.01253 k−1.2019 ) z+(0.2019+0.07423 k )


escribirse como:

1. |an|<a0

2. P ( z )¿z=1>0


n=2=par


|a2|<a0

|0.2019+0.07423 k|<1

10.61>k>−16.056

La segunda condición de estabilidad se convierte en

P (1 )=1+(0.01253 k−1.2019 )+(0.2019+0.07423 k )=0.08676 k>0

k>0

La tercera condición de estabilidad da:

P (−1 )=1+(1.2019−0.01253 k )+(0.2019+0.07423 k )=2.4038+0.0617 k>0

k>−38.94

Para estabilidad, la constante k debe satisfacer las tres condiciones, por lo tanto:

10.61>k>0

Entonces se determina que el máximo valor de K para mantener la estabilidad del sistema es de

10.61.

19

Conclusiones

Se determinó la estabilidad de los sistemas por la ubicación de los polos dentro del círculo

unitario, cualquier polo en lazo cerrado en el plano z, fuera del círculo unitario hace el sistema

inestable. Si un polo simple se presenta en z=1, el sistema es críticamente estable, Si existe un

par de polos complejos y conjugados sobre el circulo unitario, también hace que el sistema sea

críticamente estable. Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad y por lo tanto pueden

quedar localizados en cualquier parte del plano complejo z.

Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury, se entendió, que nos indica la existencia de cualquier

raíz inestable, pero no indica nada sobre la ubicación de estas raíces. También si cualquiera de

las condiciones no es satisfecha el sistema es inestable.

20

Bibliografía

[1] K. Ogata, «La prueba de estabilidad de Jury,» de Sistemas de Control en tiempo discreto 2da Edición, Mexico, Prentice Hall Hispanoamericana, S.A., 1996, pp. 185-190.

[2] J. J. Cespedes Murillo, Módulo Control Digital, Universidad Nacional Abierta y a Distancia.

fase3

Documents

Transcript of fase3