Ejercicio 1:Teniendo en cuenta el sistema de control digital que se muestra en la figura No. 3 del anexo de gráficos. Diseñe un controlador digital en adelanto tal que el margen de fase del sistema en lazo cerrado sea 50° y el margende ganancia sea de al menos 10 dB, con una constante Kv= 4 seg-1 Considere para su diseño que el periodo de muestreo es T=0.2. Si no resulta posible lograr las especificaciones con un compensador en adelanto debeargumentar su respuesta.

Ejercicio 2: En la figura No. 5 se muestra una ecuación en diferencias que describe un sistema digital, determine la estabilidad del sistema

y [n ]−0.45 y [n−1 ]−0.78 y [n−2 ]+0.6 y [n−3 ]−0.1 y [n−4 ]=x [n]

y [n ]=x [n ]+0.45 y [n−1 ]+0.78 y [n−2 ]−0.6 y [n−3 ]+0.1 y [n−4 ]

Donde ;

x [n ]=Cδ [n]

y [ 0 ]=x [0 ]+0.45 y [−1 ]+0.78 y [−2 ]−0.6 y [−3 ]+0.1 y [−4 ]y [ 0 ]=0.45 y [−1 ]+0.78 y [−2 ]−0.6 y [−3 ]+0.1 y [−4 ]

y [1 ]=x [ 1 ]+0.45 y [ 0 ]+0.78 y [−1 ]−0.6 y [−2 ]+0.1 y [−3 ]

y [1 ]=C+0.45 (0.45 y [−1 ]+0.78 y [−2 ]−0.6 y [−3 ]+0.1 y [−4 ])+0.78 y [−1 ]−0.6 y [−2 ]+0.1 y [−3 ]y [1 ]=C+0.9 y [−1 ]+0.351 y [−2 ]−0.27 y [−3 ]+0.045 y [−4 ]+0.78 y [−1 ]−0.6 y [−2 ]+0.1 y [−3 ]y [1 ]=C+1.68 y [−1 ]−0.249 y [−2 ]−0.17 y [−3 ]+0.045 y [−4 ]

y [ 2 ]=x [ 2 ]+0.45 y [1 ]+0.78 y [ 0 ]−0.6 y [−1 ]+0.1 y [−3 ]y [ 2 ]=C+0.45 (C+1.68 y [−1 ]−0.249 y [−2 ]−0.17 y [−3 ]+0.045 y [−4 ] )+0.78(0.45 y [−1 ]+0.78 y [−2 ]−0.6 y [−3 ]+0.1 y [−4 ])−0.6 y [−1 ]+0.1 y [−3 ]y [ 2 ]=C+0.45C+0.756 y [−1 ]−0.11205 y [−2 ]−0.0765 y [−3 ]+0.02025 y [−4 ]+0.351 y [−1 ]+0.6084 y [−2 ]−0.468 y [−3 ]+0.078 y [−4 ]−0.6 y [−1 ]+0.1 y [−3 ]

y [ 2 ]=1.45C+0.507 y [−1 ]+0.49635 y [−2 ]−0.4445 y [−3 ]+0.02025 y [−4 ]

y [3 ]=x [ 3 ]+0.45 y [ 2 ]+0.78 y [ 1 ]−0.6 y [ 0 ]+0.1 y [−1 ]y [3 ]=C+0.45(1.45C+0.507 y [−1 ]+0.49635 y [−2 ]−0.4445 y [−3 ]+0.02025 y [−4 ])+0.78 (C+1.68 y [−1 ]−0.249 y [−2 ]−0.17 y [−3 ]+0.045 y [−4 ])−0.6(0.45 y [−1 ]+0.78 y [−2 ]−0.6 y [−3 ]+0.1 y [−4 ])+0.1 y [−1 ]y [3 ]=C+0.6525C+0.22815 y [−1 ]+0.2233575 y [−2 ]−0.200025 y [−3 ]+9.1125 x 10−3 y [−4 ]+0.78C+1.3104 y [−1 ]−0.19422 y [−2 ]−0.1326 y [−3 ]+0.0351 y [−4 ]−0.27 y [−1 ]−0.468 y [−2 ]+0.36 y [−3 ]−0.06 y [−4 ]+0.1 y [−1 ]

y [3 ]=2.4325C+1.36855 y [−1 ]−0.4388625 y [−2 ]−0.027375 y [−3 ]−0.0157875 y [−4 ]

No podemos dar cuenta que el sistema no es bibo estable pues la señal no es acotada

Ejercicio 3: La ecuación de un sistema muestreado Encuentra el rango de estabilidad para K.

Solución: Para que este polinomio que llamare P(z) tenga todas sus raíces en el círculo unitario, y por tanto el sistema realimentado sea estable, por ser de segundo orden, estas condiciones se convierten en:

p (1 )=1+(k−8 )+0.9>0

p (−1 )=1+(8−k )+0.9>0

0.9=|a0|<a2=1

estas condiciones equivalen a:

K>6.1

K<9.9

6.1<k<9.9

Ejercicio 4: Un sistema con realimentación unitaria, como el que se muestra a continuación

Tiene una planta

G p (s )= Ks (s+8)

Con T=0.2 Determine si el sistema es estable cuando K=10 . Determine el máximo de K para mantener la estabilidad.

Solución: La fórmula función de transferencia lazo cerrado para el sistema descrito:

y (t)r (t )

=G0 (s )G p(s )

1+G0 ( s )G p(s)

Si remplazamos G0 (s )=1−e−sTsT ;Gp ( s )= 10

s (s+8) ; K=10

G (s )=

(1−e−sTsT )[ 10

s (s+8) ]1+(1−e

− sTsT )[ 10

s(s+8) ]Ahora se simplifica

G (s )= 10(1−e−sT )T ( s+8 )+10(1−e−sT)

Ahora se remplaza por el valor T dado

G (s )= 10 (1−e−0.2 s)0.2 (s+8 )+10(1−e−0.2s)

Por el criterio de estabilidad, la ecuación característica debe ser mayor que cero:

[0.2 (s+8 )+10 (1−e−0.2 s)]>0

0.2 s+1.6+10−10e−0.2s>0

0.2 s−10e−0.2 s+11.6>0