FASCÍCULO:

MATRICES Y DETERMINANTES

Con el avance de la tecnología y en especial con el uso de computadoras

personales, la aplicación de los conceptos de matriz y determinante ha cobrado

alcances sin precedentes en nuestros días.

El tema Álgebra de matrices apareció por primera ocasión en una memoria de

1858 y surgió de observaciones sobre el modo en que se combinan las

transformaciones lineales de la teoría de los invariantes algebráicos. El autor

de esta memoria es el inglés Arthur Cayley (1821 – 1895) nacido en Surrey, y

descendiente de una antigua familia de Yorshire. Cayley inició sus estudios

universitarios, en el Trinity College de Cambridge. Sus compañeros lo

consideraban como “un simple matemático”.

Para ilustrar el trabajo de Cayley sobre discriminantes y su invariancia, se

presenta en el siguiente caso de uso de transformaciones.

Sean dos transformaciones del tipo (la flecha debe leerse como “es

reemplazado por”):

SRz

QPzx

srx

qpxy

la segunda de las cuales ha de aplicarse a la x de la primera. Se obtiene

sSrQzsRrP

qSpQzqRpPy

Considerando sólo los coeficientes de las tres transformaciones y

representándolas en forma rectangular:

sSrQsRrP

qSpQqRpP

SR

QP

sr

qp

Se observa que el resultado de realizar sucesivamente las dos primeras

transformaciones podría haberse expresado mediante la siguiente regla

multiplicación

sSsRrQrP

qSqRpQpP

RS

PQ

rs

pq

donde los renglones del arreglo de la derecha se obtienen, aplicando los

renglones del primer arreglo de la izquierda sobre las columnas del segundo.

Los arreglos de esta forma, con cualquier tipo de elementos en los renglones y

en las columnas, se denominan matrices.

En diferentes épocas y por el trabajo de muchos matemáticos surgió el

concepto y la teoría de los determinantes, entre otros se pueden citar a Cramer

(1704-1752), Lagrange (1736-1813), Bezout (1739-1783), Cauchy (1789-1857).

Éste último presentó en 1812 un trabajo sobre determinantes en el cual

introdujo el nombre de determinante, usó la notación que se emplea en la

actualidad del doble subíndice para un arreglo cuadrado de números, definió el

arreglo de menores a un arreglo dado, mostró la manera de calcular el

determinante empleando para dicho cálculo cualquier renglón o columna.

La teoría actual presenta el concepto de determinante como una consecuencia

de la teoría de matrices. Sin embargo como ya se mencionó anteriormente el

concepto de determinante es más antiguo que el concepto de matriz.

Etimológicamente la palabra matriz proviene de madre. El hijo nació antes que

la madre.

Definición

Una matriz es una expresión de la forma

Dicho de otra manera es un arreglo rectangular de números dispuestos en

renglones y columnas.

Los renglones son los arreglos horizontales y las columnas los arreglos

verticales

renglones

Columnas

Algunas de operaciones que se realizan con matrices son binarias por ejemplo:

Adición

Sean dos matrices del mismo orden (mxn) con elementos

en los complejos. La suma de A más B se define como:

para y

Sustracción

Sean dos matrices del mismo orden (mxn) con elementos

en los complejos. La suma de A menos B se define como:

para y

Multiplicación de una matriz por un escalar

Sean una matriz de orden (mxn) con elementos en los complejos y β

un escalar complejo. La multiplicación de una matriz por un escalar βA se

define como:

para y

Multiplicación de matrices

Sean dos matrices con elementos en los complejos, de

orden qxn y nxp respectivamente. La multiplicación de A por B se define como:

donde P es una matriz de orden qxp y

para y

1. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles

son falsas. Justifique su respuesta.

a) Las matrices son conformables para la adición si son del mismo

orden.

b) Si el producto AB = 0 entonces A = 0 y/o B = 0.

c) Sólo las matrices cuadradas tienen transpuesta.

d) AB = BA si y sólo si A y B son matrices cuadradas.

e) (AB)T = BT AT para cualquier par de matrices conformables para el

producto.

f) A(B+C) = BA + CA se cumple siempre que las matrices A, B y C sean

conformables para el producto.

SOLUCIÓN:

a) Las matrices son conformables para la adición si son del mismo

orden.

VERDADERA.

Por definición las matrices del mismo orden son conformables para la

adición.

b) Si el producto AB = 0 entonces A = 0 y/o B = 0

FALSO.

Demostración por contra ejemplo:

00

00

22

00

02

01AB

A 0 y B 0

No se cumple para todas las matrices.

c) Sólo las matrices cuadradas tienen transpuesta.

FALSO.

Todas las matrices tienen transpuesta

Si

m,...,2,1i

n,...,2,1j;aA

n,...,2,1j

m,...,2,1i;aA

ji

T

ij

d) AB = BA si y sólo si A y B son matrices cuadradas.

FALSO.

Frecuentemente AB BA. Como ejemplo:

03

01

20

01

03

01BA

06

01

03

01

20

01AB

AB BA

e) (AB)T = BT AT para cualquier par de matrices conformables para el

producto.

VERDADERO.

Demostración:

Sean A = ijij bBya dos matrices con elementos en C, de mxn y

nxq respectivamente; y sean AT = ij

T

ij dBy;s sus respectivas

transpuestas. Entonces.

q,...,1j

m...,,1i;bap:donde;pAB

n

1k

kjikijij

de donde

TTT

n

1k

kjik

T

n

1k

kjik

T

ABAB

caAB

n...,,1j

m...,,1i;baAB

f) A (B+C) = BA + CA se cumple siempre que las matrices A, B y C sean

conformables para el producto A(B+C) = BA + CA.

FALSO.

Por contra ejemplo:

Si

1...03

03

21

03

01

01

10

31

30

02

01

01CBA

10

01C;

30

02B;

01

01A

4. Calcular la inversa de la matriz:

A =

211

210

301

SOLUCIÓN:

111

010

001

100

210

301

101

010

001

110

210

301

100

010

001

211

210

301

R1(-1) + R3 R2(-1) + R3 R3(2) + R2

111

212

334

100

010

001

111

212

001

100

010

301

R3(-3) + R1

111

212

334

A 1

comprobación

100

010

001

AA

100

010

001

211

210

301

111

212

334

AA

1

1

5. Determinar la inversa de la matriz A, si se sabe que A = PQP-1 donde:

t

t

t

e300

0e0

00e

Q;

100

011

002

P

SOLUCIÓN:

A = PQP-1

AP = PQ

APQ-1 = PQQ-1

APQ-1 = P

APQ-1P-1 =I

A-1 = PQ-1P-1

Obteniendo P-1

P I

diagonal ser por

3e00

0e0

00e

Q

100

012

1

002

1

P

100

012

1

002

1

100

010

001

100

110

002

1

100

011

001

100

010

001

100

011

002

t

t

t

1

1

3e00

0e0

00e

A

200

021

001

3e00

0e0

00e

100

011

002

2

1A

t

t

t

1

t

t

t

1-

9. Sea la ecuación matricial:

PDP-1 = A

En donde:

15

12P;

45

21A

a) determinar la matriz D que satisface a la ecuación anterior,

b) obtener el determinante de P-1.

SOLUCIÓN:

a)

10

06D

APPD

15

12P;

45

21A;

25

11

7

1P

1

1

b)

det P-1 = 17

10. Si A y B son dos matrices simétricas de orden n, demostrar que A + B es

simétrica.

SOLUCIÓN:

Para dos matrices cualesquiera conformables para la adición se cumple

que:

TTTBABA

si A y A son simétricas, entonces:

AT = A

BT = B

por lo que

BABAT

en consecuencia

A + B es simétrica

q.e.d.

11. Sea la ecuación matricial

AX – BT = C – X

donde:

81

14C;

22

14B;

42

20A

a) despejar la matriz X,

b) obtener la matriz X que satisface a la ecuación.

SOLUCIÓN:

a)

T1

T

T

BCIAX

BCXIA

BCXAX

b)

52

21IA

obtención de (A + I)-1

12

25

10

01

12

01

10

21

10

01

52

21

R1(2) + R2 R2(2) + R1

80

170X

60

10

12

25X

60

10BC

12

25IA

T

1

12. Sean las matrices:

13

26C;

87

13B;

1

2A

obtener la matriz Y, si existe, tal que se verifique la ecuación

A Y B = C

SOLUCIÓN:

A Y B =C

2x1 2x2 2x2

1x2

A es una matriz singular (que no tiene inversa), por lo que no puede

despejarse la matriz Y. Para resolver la ecuación matricial se procede de

la siguiente manera:

Se supone 21 yyY y se sustituye A, B, C, Y en la ecuación matricial.

13

26

87

13yy

1

221

por la propiedad de asociatividad en multiplicación de matrices

13

26

y8yy7y3

y16y2y14y6

13

26

87

13

yy

y2y2

2121

2121

21

21

por igualdad de matrices

1y8y

2y16y2

3y7y3

6y14y6

21

21

21

21

resolviendo el sistema de ecuaciones

1y8y

3y7y3

21

21

por el Método de Gauss

0

1

10

01

0

1

10

81

0

1

170

81

3

1

73

81

21 R3R 17

1R2 12 R8R

del primer renglón y1 = 1

del segundo renglón y2 = 0

por lo tanto: 01Y

13. Sea la ecuación matricial

AZ + ZB = C

donde:

52

42C;

30

03B;

01

23A

Obtener la matriz Z que satisface a la ecuación.

SOLUCIÓN:

A Z + Z (-3I) =C

A Z + (-3I)Z = C

(A – 3I) Z = C

Z = (A – 3I)-1C

21

11Z

42

22

2

1Z

52

42

01

23

2

1Z

01

23

2

1I3A

31

20I3A

1

14. Para las siguientes matrices:

30

01

12

B;

411

230

303

A

y la ecuación X A – BT = 2X

a) obtener la expresión X, en términos de A y B.

b) obtener los elementos de la matriz X que satisface a la ecuación.

SOLUCIÓN:

a)

1T

T

T

I2ABX

BI2AX

BX2XA

b)

001

456X

111

212

334

301

012X

111

212

334

2A

211

210

301

200

020

002

411

230

303

2A

1I

I

15. Obtener la matriz X que satisface la ecuación matricial:

CXB4AXBT11

donde:

53

21C;

12

35B;

13

21A

SOLUCIÓN:

BCI4AX

BCX4AX

CXB4AXB

CXB4AXB

T1

T

T11

T11

33

23

3

1X

10

01

12

35

52

31BC

33

23

3

1I4A;

33

23I4A

T

1

80

170X

60

10

12

25X

60

10BC

12

25IA

T

1

12. Sean las matrices:

13

26C;

87

13B;

1

2A

obtener la matriz Y, si existe, tal que se verifique la ecuación

A Y B = C

SOLUCIÓN:

A Y B =C

2x1 2x2 2x2

1x2

A es una matriz singular (que no tiene inversa), por lo que no puede

despejarse la matriz Y. Para resolver la ecuación matricial se procede de

la siguiente manera:

Se supone 21 yyY y se sustituye A, B, C, Y en la ecuación matricial.

13

26

87

13yy

1

221

por la propiedad de asociatividad en multiplicación de matrices

13

26

y8yy7y3

y16y2y14y6

13

26

87

13

yy

y2y2

2121

2121

21

21

por igualdad de matrices

1y8y

2y16y2

3y7y3

6y14y6

21

21

21

21

resolviendo el sistema de ecuaciones

1y8y

3y7y3

21

21

por el Método de Gauss

0

1

10

01

0

1

10

81

0

1

170

81

3

1

73

81

21 R3R 17

1R2 12 R8R

del primer renglón y1 = 1

del segundo renglón y2 = 0

por lo tanto: 01Y

13. Sea la ecuación matricial

AZ + ZB = C

donde:

52

42C;

30

03B;

01

23A

Obtener la matriz Z que satisface a la ecuación.

SOLUCIÓN:

A Z + Z (-3I) =C

A Z + (-3I)Z = C

(A – 3I) Z = C

Z = (A – 3I)-1C

21

11Z

42

22

2

1Z

52

42

01

23

2

1Z

01

23

2

1I3A

31

20I3A

1

14. Para las siguientes matrices:

30

01

12

B;

411

230

303

A

y la ecuación X A – BT = 2X

a) obtener la expresión X, en términos de A y B.

b) obtener los elementos de la matriz X que satisface a la ecuación.

SOLUCIÓN:

a)

1T

T

T

I2ABX

BI2AX

BX2XA

b)

001

456X

111

212

334

301

012X

111

212

334

2A

211

210

301

200

020

002

411

230

303

2A

1I

I

15. Obtener la matriz X que satisface la ecuación matricial:

CXB4AXBT11

donde:

53

21C;

12

35B;

13

21A

SOLUCIÓN:

BCI4AX

BCX4AX

CXB4AXB

CXB4AXB

T1

T

T11

T11

33

23

3

1X

10

01

12

35

52

31BC

33

23

3

1I4A;

33

23I4A

T

1

19. Resolver la ecuación matricial

AX – PQT = BX

donde:

1

3Q;

i

i1P;

i30

i24B;

i0

i4A

SOLUCIÓN:

T1

T

T

T

PQBAX

PQXBA

PQBXAX

BXPQAX

4

1

4

3

i16

1

16

1i

16

3

16

3

X

i8i24

i22i66

i32

1X

ii3

i1i33

80

i22i4

i32

1X

ii3

i1i3313

i

i1PQ

80

i22i4

i32

1BA

i40

i228

i30

i24

i0

i4BA

T

1

Calcular la matriz X tal que satisfaga la ecuación matricial:

XB = AC + 4X

donde:

21

21

21

21

C;75

27B;4321A

SOLUCIÓN:

1I4BACX

ACI4BX

X4ACXB

81435

2342X

35

23I4B;

35

23

10

01

75

27I4B

42

21

21

21

21

4321AC

1