Solución Computacional

de los Problemas de

Escurrimiento en

Conducciones Cerradas

POR

Hector Daniel Farias

Ingeniero Hidráulico, M.Sc.Profesor Adjunto "Hidráulica General"

Departamento de Recursos HídricosFacultad de Ciencias Exactas y TecnologíasUniversidad Nacional de Santiago del Estero

Santiago del Estero, República Argentina

Julio 1990 (reimpreso: 1994)

Solución Computacional de los Problemas de

Escurrimiento en Conducciones Cerradas

Hector Daniel Farias

Introducción

Los problemas de flujo en tuberías se presentan con gran asiduidad en la práctica de

la Ingeniería Hidráulica. Ejemplos de escurrimiento en conducciones cerradas abundan en el

diseño de redes de abastecimiento de agua potable, esquemas de aprovechamientos

hidroeléctricos y en circuitos externos e internos de establecimientos industriales y

laboratorios, por citar sólo algunos. Debido a la naturaleza algo compleja de las relaciones

matemáticas necesarias para la solución de estos problemas, es que clásicamente se recurre a

la ayuda de gráficos y/o tablas de cálculo destinadas a facilitar la aplicación práctica de esas

ecuaciones. En algunas situaciones, esas metodologías de cálculo llevan aparejados procesos

iterativos que pueden resultar engorrosos a la hora de estudiar grandes proyectos y analizar

distintas alternativas. Es por ello que resulta altamente necesaria la automatización de los

problemas vinculados a flujo en tuberías, con lo que se consigue una apreciable ganancia de

tiempo y precisión en los cálculos, así como también una mayor versatilidad en la evaluación

de distintas alternativas de proyectos y/o verificaciones.

En este trabajo se presenta una revisión breve de las relaciones básicas que gobiernan

los procesos físicos que intervienen en la hidráulica de conducciones, discutiéndose la

naturaleza matemática de las mismas y precisándose sus bases conceptuales, las cuales no

están claramente expuestas en los textos clásicos de Hidráulica. Posteriormente, y empleando

herramientas del análisis numérico, se desarrollan algoritmos de cálculo para la

implementación computacional de los problemas de diseño y verificación. Los ejemplos

expuestos evidencian la eficacia de los programas computacionales presentados.

Problemas Típicos de Flujo en Tuberías

Como es bien sabido, las variables fundamentales que intervienen en los problemas

de flujo en conducciones cerradas (tuberías sencillas) son: la caída de presión ∆p en una

longitud L del tramo de tubería bajo análisis, el diámetro D del conducto, la velocidad media

V del escurrimiento, la viscosidad dinámica µ del fluido circulante, su masa específica ρ y

una magnitud lineal representativa del tamaño de los elementos rugosos presentes en las

paredes del tubo, denominada rugosidad equivalente de Nikuradse, y designada con k .

De acuerdo al conjunto de variables precedente, y en función de la incógnita que se

presente, se distinguen tres tipos de problemas (Streeter, 1950), los cuales se detallan en el

cuadro de la Tabla 1.

1

Tabla 1. Problemas típicos de flujo en tuberías

Problema Datos Incógnita

1 D , Q , L , k , µ , ρ hf

2 D , hf , L , k , µ , ρ Q

3 Q , hf , L , k , µ , ρ D

En esta tabla, hf = ∆p/γ representa la pérdida de carga por fricción. Los dos primeros

son problemas de análisis o verificación y el tercero es un problema de diseño o síntesis

(Swamee y Jain, 1976). Para la solución de estos problemas se dispone de un conjunto de

ecuaciones que describen el movimiento del fluido en la conducción y la resistencia al

escurrimiento ofrecida por los contornos sólidos de aquella. Estas relaciones se discuten a

continuación.

Ecuación de Darcy-Weisbach

Teniendo en cuenta las variables descritas anteriormente, los problemas asociados a

la fricción o frotamiento en tuberías pueden representarse de manera genérica por una

relación funcional tal como la siguiente:

( 1) F0(∆p, L, D, V, µ, ρ, k)

Ahora bien, si se aplica el Teorema "Π" de Vaschy-Buckingham a la Ec.1, escogiendo ρ, V y

D como variables de repetición, se encuentran los siguientes parámetros adimensionales:

( 2) Π1 = D

L, Π2 =

V D ρµ , Π3 = k

D, Π4 =

∆p

ρ V2

y la Ec.1 puede escribirse ahora en términos de los parámetros adimensionales como:

( 3) F1(Π1, Π2, Π3, Π4) = 0

de donde:

Π4 = F2(Π1, Π2, Π3)

o bien:

( 4) ∆p

ρ V2= F2

D

L,

V D ρµ ,

k

D

A su vez, aceptando la hipótesis de linealidad de la caída de presión por unidad de

longitud, se llega a:

2

( 5) ∆p

ρ V2=

γ h f

ρ V2= L

DF3

V D ρµ ,

k

D

y como γ/ρ = g , se obtiene finalmente para la pérdida de carga por fricción h la siguiente

relación:

( 6) h f = Φ(R , k/D) L

D

V2

2 g= f

L

D

V2

2 g

donde f = Φ(R,k/D) es el factor de fricción, R = V D ρ / µ es el número de Reynolds, k/D se

denomina rugosidad relativa. La Ec.6 se conoce como "Ecuación de resistencia al

escurrimiento de Darcy-Weisbach".

Fórmula de Colebrook y White

Si se considera un tramo de tubería de longitud ∆L horizontal, para una condición de

flujo permanente de un fluido incompresible, la ecuación de equilibrio de fuerzas actuantes

sobre la porción de fluido es:

( 7) π D2

4∆p = τ0 π D ∆L

de donde:

( 8) τ0 =∆p

∆L

D

4

donde τ0 es la tensión de cizallamiento producida por la fricción sobre las paredes interiores

del tubo, ∆p es la caída de presión y D es el diámetro de la conducción. De esta manera, la

ecuación de Darcy-Weisbach (Ec.6) puede escribirse ahora de la siguiente manera:

( 9) ∆p = γ h f = f∆L

Dρ V2

2

Combinando las Ecs. 8 y 9, se obtiene:

(10) U∗ = τ0/ρ = f/8 V

Esta última relación, la cual es válida tanto para flujo laminar como turbulento,

involucra el esfuerzo cortante en la pared, el factor de fricción y la velocidad media,

introduciendo a su vez la velocidad de cizallamiento U* . Como se sabe de las ecuaciones de

la Mecánica de Fluidos, la ley logarítmica de distribución de velocidades en las proximidades

de un contorno sólido, puede expresarse de la siguiente manera:

(11) v

U∗= 1

κ ln(U∗ y / ν) + c1

3

donde v es la velocidad del flujo a una distancia y de la pared, k es la constante de von

Kármán y c1 es una constante. Integrando la Ec.11 sobre una sección transversal circular y

combinándola con la Ec.10, puede encontrarse la siguiente expresión para el factor de fricción

en tubos lisos:

(12) 1

f= a l + b l ln(R f )

donde al y bl son constantes, las cuales ajustadas a los datos experimentales de Nikuradse,

adoptan los valores: al = -0.8 , bl = 0.869 .

Para tubos rugosos en la región de turbulencia plenamente desarrollada, se admite la

aplicabilidad de una relación funcional del tipo:

(13) 1

f= ar + br ln(k/D)

donde ar = φa(m ,λ/D) y b son constantes, siendo m un factor de forma de los elementos

rugosos y λ una medida de la disposición y espaciamiento de los mismos. Nuevamente, para

los datos de Nikuradse las constantes valen: ar = 1.14 , br = -0.869 .

La Ec.13 puede reescribirse de la siguiente manera:

(14) 1

f− br ln(k/D) = ar

y si se suma la cantidad br ln(k/D) a cada miembro de la Ec.12, se tiene:

1

f− br ln(k/D) = b l ln(R f k/D) + a l

o bien:

(15) 1

f+ 0.869 ln(k/D) = 0.869 ln(R f k/D) − 0.8

Ahora bien, si se escribe:

X = ln(R f k/D) , Y = 1

f+ 0.869 ln(k/D)

y se representa gráficamente la función Y = φ(X) dada por la Ec.15, los resultados de ensayos

realizados con tubos lisos producirían una recta con pendiente 0.869 y los de tuberías rugosas

una recta horizontal, delimitando ambas una zona de transición intermedia. Precisamente en

esa región es donde se observan las mayores discrepancias entre los datos de Nikuradse

(rugosidad artificial de granos de arena) y los datos de tubos comerciales (Figura 1). Se

estima que las discrepancias observadas son producto de la diferente distribución areal de los

elementos rugosos en uno y otro tipo de rugosidad. En efecto, mientras los tubos ensayados

4

por Nikuradse presentaban revestimientos internos de granos de arena de tamaño uniforme,

los tubos comerciales exhiben micro-protuberancias aleatoriamente distribuidas en la

superficie de la generatriz interna. Por lo tanto, el efecto de resistencia al escurrimiento se

manifiesta de distinta manera. En los tubos de Nikuradse, puede decirse que la interfaz entre

la subcapa viscosa y el núcleo del flujo es paralela a los bordes superiores de los elementos

rugosos, los cuales o están todos embebidos por aquella o sobresalen todos. En cambio, en

tuberías comerciales pueden producirse "perforaciones" aisladas que destruyen la subcapa

viscosa, ocasionando un patrón global de resistencia diferente al anterior. En la Figura 2 se

presenta una ilustración gráfica descriptiva del concepto de rugosidad equivalente. La Figura

Figura 1.- Representación gráfica de la Función de Transición.

Figura 2.- Esquema ilustrativo del concepto de rugosidad equivalente.

5

3 es un gráfico de similares características al de la Fig.1 . En ella, donde r0 = D/2 , se indican

los puntos experimentales obtenidos mediante ensayos con varios tipos de tuberías

comerciales (Streeter, 1950), y puede observarse claramente el comportamiento de la función

de transición. En la Figura 4 se presenta una relación f-R obtenida de los datos de Nikuradse.

En virtud de lo mencionado anteriormente, la función de transición debe cumplir con

las condiciones impuestas por las asíntotas antes detalladas, y debe tender en sus extremos a

las funciones de resistencia para tubos lisos y rugosos, respectivamente. La función de

resistencia para tubos lisos puede escribirse de la siguiente manera:

Figura 3.- Comportamiento friccional de tuberíascomerciales y su comparación con la función de

Figura 4.- Diagrama f = f(R) y datos experimentales de

6

1

f= b l ln(eal/bl R f )

donde e = 2.7182818... es la base de los logaritmos naturales. De igual modo, para tubos

rugosos se tiene:

1

f= br ln(ear/br k/D)

Reemplazando los valores de las constantes obtenidos de los datos de Nikuradse, se

encuentra:

Contornos Lisos: 1

f= 0.869 ln(0.398 R f )

Contornos Rugosos: 1

f= − 0.869 ln(0.269 k/D)

las cuales pueden a su vez escribirse como sigue:

C.L. : (16) 1

f= − 0.869 ln[2.511/(R f )]

C.R. : (17) 1

f= − 0.869 ln[(k/D)/3.713]

Entonces, resulta admisible suponer que la función de transición debería ser tal que su

estructura básica:

1

f= ΦT

R f , (k/D)

satisfaga las siguientes condiciones:

R→∞lim ΦT

R f , (k/D)

= − 0.869 ln [(k/D)/3.713]

k→0lim ΦT

R f , (k/D)

= − 0.869 ln

2.511/R f

Precisamente, la función de transición de Colebrook y White puede obtenerse a partir

de estas condiciones simplemente construyendo la función ΦT empleando una ley logarítmica

en la cual el argumento del logaritmo está constituido por la adición de los argumentos de los

logaritmos en las funciones extremas, es decir, para tubos lisos y tubos rugosos:

7

ΦTR f , (k/D)

= − 0.869 ln [(k/D)/3.713] + [2.511/(R f )]

Transformando a logaritmos decimales, y redondeando las constantes involucradas, se

obtiene:

(18) 1

f= − 2 log

k

3.71 D+ 2.51

R f

que es como habitualmente se expresa la ecuación de Colebrook y White.

Diagrama de Moody y sus Variantes

Según Streeter y Wylie (1987), se denomina "Diagrama de Stanton" a toda

representación gráfica, en escala log-log, de la relación funcional f = Φf(R). Un diagrama o

"abaco" de este tipo, y muy popularizado en los textos clásicos de Hidráulica y Mecánica de

Fluidos, es el presentado por L. F. Moody en 1944 (Streeter y Wylie, 1987), en el cual la otra

variable en cuestión, es decir la rugosidad relativa k/D, está parametrizada, generándose así

una familia de curvas en el plano f-R. El diagrama de Moody está dividido en una serie de

zonas características, las cuales se describen brevemente a continuación:

Si R < 2000 el flujo es laminar y el factor de fricción se calcula de acuerdo a la

ecuación de Hagen-Poiseuille:

(19) f = 64R

o bien:

(20) h f =32 µ V L

γ D2

En el intervalo 2000 < R < 4000 el flujo se caracteriza por un alto grado de

inestabilidad, ya que el régimen presenta una transición de laminar a turbulento. En esta zona

no existen relaciones bien establecidas entre f y R , sino algunos intentos caracterizados por

ajustar mediante polinomios de interpolación (tipo Legendre-Hermite, por ejemplo) la

tendencia creciente que se observa.

Para R > 4000 el flujo es turbulento y el factor de fricción depende tanto del número

de Reynolds R como de la rugosidad relativa k/D . En realidad, si se representa gráficamente

la relación f = Φf(R), considerando k/D como parámetro, pueden distinguirse tres zonas

características:

1. Zona de tuberías lisas: esta se da como una situación límite de la relación f = Φf(R,k/D)

cuando la rugosidad relativa tiende a cero. Existen algunas relaciones semi-empíricas para

caracterizar el flujo en esta región. Una de ellas es la de Prandtl-von Kármán, que se expresa

de la siguiente manera:

8

(21) 1

f= 2.03 log(R f ) − 0.91

que produce resultados casi idénticos a los de la relación propuesta por Nikuradse (ya

tratada):

(22) 1

f= 2 log(R f ) − 0.8

Por su parte, Blasius recomienda el empleo de la siguiente ecuación de tipo potencial, válida

para R < 105 :

(23) f = 0.3164 R−1/4

2. Zona de tuberías rugosas (turbulencia plenamente desarrollada). En esta región del

diagrama f-R las curvas presentan un patrón de comportamiento asintótico, y la dependencia

del número de Reynolds por parte del factor de fricción se hace prácticamente despreciable.

La ecuación de Prandtl-von Kármán para tuberías rugosas se escribe de la siguiente forma:

(24) 1

f= 2.03 log(D/2k) + 1.68

La ecuación propuesta por Nikuradse para esta zona es:

(25) 1

f= 2 log(D/2k) + 1.74

3. Zona intermedia o de transición. Esta es la región de mayor interés desde un punto de

vista práctico, puesto que la mayor parte de problemas técnicos en hidráulica de conducciones

se encuentran en este rango. Como se discutió anteriormente, en esta zona se utiliza la

ecuación de Colebrook y White:

(26) 1

f= − 2 log

k

3.71 D+ 2.51

R f

Es decir, desde un punto de vista matemático, resulta una ecuación implícita para el factor de

fricción f , y allí es donde radica el mayor "grado de dificultad" para su empleo directo en

lugar de una resolución gráfica.

El muy conocido Diagrama de Moody-Stanton (Figura 5), y alguna de sus variantes

propuestas, entre otros por Rouse (Figura 6) y por Daily y Harleman, es una representación

gráfica de la ecuación de Colebrook y White en un plano f-R (escalas logarítmicas),

conjuntamente con las ecuaciones para las otras zonas mencionadas.

9

Figura 5.- Diagrama de Moody.

Figura 6.- Diagrama de Rouse.

10

Bases para la Solución Numérica

La ecuación de Colebrook y White puede escribirse de una manera formal como:

(27) Φ(f) = 0

con:

(28) Φ(f) = 1

f+ 2 log

k

3.71 D+ 2.51

R f

La derivada de esta función es la siguiente:

(29) Φ (f) = dΦdf

= − 0.5

f3/2− 1.09

(k/D)/3.71 + 2.51/(R f )R f3/2

Entonces, para la aplicación del método de Newton-Raphson para la solución

numérica de la función de Colebrook y White, se efectúa una aplicación recurrente de la

siguiente relación:

(30) f i+1 = f i −Φ(f i)

Φ (f i)

en la que fi simboliza el valor de f para la i-ésima iteración.

En el Apéndice "A1" se presenta una exposición detallada del Método de

Newton-Raphson, sus condiciones de convergencia y un flujograma para su implementación

computacional.

La viscosidad cinemática ν varía con la temperatura T. En este trabajo se adoptará la

siguiente función para calcular la viscosidad cinemática del agua (Fuentes y Paz Castillo,

1983) para temperaturas variables entre 0°C y 40°C (que cubre los rangos prácticos en

problemas corrientes):

(31) ν = 4.56 × 10−8 e[394.8/(107.6 + T)]

donde ν se expresa en m2/s y T en grados Celsius.

En caso que el fluido circulante no sea agua, debe especificarse la viscosidad

cinemática a través de una relación como la Ec.31 o bien en forma tabular.

Cálculo de la Pérdida de Carga

El conjunto de ecuaciones anterior define las bases para el cálculo computacional de

las pérdidas de carga en un tramo de tubería. De acuerdo con la ecuación de Darcy-Weisbach

(Ec.6), para determinar hf basta establecer el valor de f y luego aplicar la misma. En este caso

es necesario aplicar un criterio para el valor inicial de f . Dado que la función Φ(f) (Ec.28) es

11

monótonamente decreciente y no existen valores extremos ni puntos de inflexión en el

intervalo de valores prácticos que interesan, se adoptó como valor inicial de f el que resulta

de la aplicación de la función de resistencia para conductos rugosos (Ec.25), la cual es

explícita y sólo depende de la rugosidad relativa k/D. La tolerancia fijada para la

convergencia depende de la exactitud que se desee alcanzar. Para los problemas prácticos

comunes se considera aceptable un valor de ∆f = |fi - fi-1| del orden de 10-6, aproximadamente.

Cálculo del Caudal

A pesar de que la mayoría de los textos clásicos de Hidráulica y Mecánica de Fluidos

introducen una serie de procedimientos para la determinación del caudal Q, mediante el

empleo del diagrama de Moody u otros ábacos auxiliares, se puede obtener una expresión

explícita directa mediante una manipulación algebraica adecuada de las relaciones básicas.

En efecto, de la ecuación de Darcy-Weisbach, el factor de fricción puede escribirse como:

(32) f =π2 g

8

S f D5

Q2

A su vez, el número de Reynolds se puede expresar como sigue:

(33) R = V Dν =

4 Q

πν D

Entonces:

(34) R f1/2 =4 Q

πν D

π2 g

8

S f D5

Q2= 2

g0.5

ν S f1/2

D3/2 = b

(35) f−1/2 =2 2

πQ

(g Sf D5)1/2

Y considerando la ecuación de Colebrook y White, se obtiene finalmente:

(36) Q = − π

2(g S f D5)

1/2log

k

3.71 D+ 2.51

b

la cual es una relación explícita directa que evita el empleo de diagrama o ábaco auxiliar

alguno para el cálculo del caudal.

Determinación del Diámetro de una Tubería

Combinando la ecuación de Darcy-Weisbach con la de continuidad, puede escribirse

la siguiente relación:

12

(37) D =

8

π2

Q2

g S f

1/5

f1/5 = a f1/5

lo cual implica nuevamente un proceso de aproximaciones sucesivas para la determinación

del diámetro de la tubería, previo cálculo del factor de fricción f mediante la ecuación de

Colebrook y White.

De acuerdo con la definición del Número de Reynolds, se tiene:

(38) R = V Dν =

4 Q

πν D=

4 Qπ ν a f−0.2

Reemplazando este valor en la ecuación de Colebrook y White, se obtiene:

(39) ΦD(f) = 1

f+ 2 log

k

3.71 a f0.2+ 1.97 a ν

Q f0.3

= 0

la cual se puede indicar genéricamente como:

(40) ΨD[f ; Q , S f , ν , g] = 0

que permite encontrar el factor de fricción f para (Q,S,ν,g) dados, y, reemplazando su valor

en la Ec.37, se determina el diámetro D.

A los efectos de la programación, es necesario calcular la derivada de la función

indicada en la Ec.39 . La misma se expresa como sigue:

(41) ΦD(f) = − 0.5

f3/2−

0.04695 k / (a f1.2) + 0.516 ν a / (Q f1.3)

k / (3.71 a f0.2) + 1.97 ν a / (Q f0.3)

Programa Computacional

A los efectos de la implementación práctica de las relaciones desarrolladas

anteriormente, se ha elaborado un programa computacional sencillo para la solución de los

tres tipos de problemas de flujo en tuberías. El mismo está escrito en lenguaje Turbo BASIC

versión 1.0, y puede ejecutarse en un computador IBM PC XT/AT o compatible con sistema

operativo MS-DOS v. 3.0 ó mayor. De todos modos, mediante una serie de pequeñas

modificaciones, puede ajustarse a cualquier otra versión de lenguaje BASIC, FORTRAN ó

PASCAL, inclusive de calculadoras programables de bolsillo.

El programa principal consta de un pequeño menú que sirve para que el usuario

identifique el tipo de problema a resolver (es decir, cálculo de hf , Q ó D), y otras tantas

subrutinas interactivas para la entrada/salida de datos.

En el Apéndice A.2 se anexa un listado del programa de cálculo.

13

Conclusiones

Se ha presentado una revisión crítica de los conceptos de resistencia al escurrimiento

vinculados a los problemas típicos de hidráulica de conducciones cerradas. Luego de efectuar

un análisis de las propiedades matemáticas de las relaciones funcionales intervinientes en los

procesos físicos dominantes, se han elaborado algoritmos numéricos sencillos para la

solución de los problemas de proyecto y verificación de tuberías por vía computacional. Las

rutinas de cálculo desarrolladas permiten la solución rápida y eficiente para la pérdida de

carga, caudal y diámetro sin el empleo de gráficos o ábacos auxiliares.

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14

APÉNDICE A1

Método de Newton-Raphson

El Método de Newton-Raphson es un procedimiento muy popular para solución

numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentes. Sea la ecuación:

(A. 1)φ(x) = 0

La ecuación fundamental en la que se basa este método puede expresarse a través de la

siguiente fórmula:

(A. 2)xk+1 = xk −φ(xk)

φ (xk)

Si x = xr representa una raíz de la Ec. A.1, se tiene: φ(x ) = 0. O bien:

(A. 3)φ(xk − εk) = 0

Expandiendo esta función en Serie de Taylor y despreciando los términos de orden dos y

sucesivos, se llega a:

(A. 4)φ(xk − εk) ≈ φ(xk) − εk φ (xk)

Por lo tanto, una corrección aproximada para la k-ésima iteración en el proceso resolutivo de

la Ec. A.1, está dada por:

(A. 5)εk ≈ φ(xk) / φ (xk)

ecuación que justifica el empleo de la fórmula A.2.

Por su parte, si se escribe ahora (Spencer et al., 1980):

(A. 6)ψ (x) = x −φ(x)

φ (x)

se encuentra que:

(A. 7)ψ (xr) =φ(xr) φ (xr)

[φ (xr)]2

y como φ (x ) = 0 , se obtiene:

(A. 8)ψ (xk) = ψ (xr + εk) = ψ (xr) + εk ψ (xr) + ... = ϑ(εk)

a partir de la cual puede escribirse (Scheid, 1972):

(A. 9)εk ≈ −φ (xr)

2 φ (xr)εk−1

2

Este es un resultado notable, que demuestra que el método de Newton-Raphson es de

convergencia cuadrática, es decir, |εk| no sólo es inferior a |εk-1| sino que su orden de magnitud

es εk-1

2 . La implicancia numérica de ello radica en el hecho que el número de cifras o dígitos

correctos prácticamente se duplica en cada iteración, acelerando notablemente la convergencia

hacia la solución buscada (Scheid, 1972; Spencer et al., 1980).

En la Figura A.1.a se presenta una ilustración

gráfica del método. La tangente en el punto P0 a la

curva definida por la función y = φ(x) es φ'(x0) , o

también φ(x0)/(x0 - x1) , de modo tal que se obtiene

(A.10)x1 = x0 − φ(x0)/φ (x0)

ecuación ésta idéntica a la Ec. A.2 para k = 0 . La

Figura indica con claridad la manera en que los

puntos tentativos se van acercando a la solución

buscada xr . Sin embargo, es necesario tener en

cuenta que la convergencia no está completamente

garantizada en este procedimiento. En efecto, de la

Ec. A.2 se advierte que el método no se aplica cuando φ'(x) = 0 en las cercanías de x = xr , y

en particular cuando la ecuación φ(x) = 0 en esa región. Por lo tanto, es necesario tener en

cuenta estas precauciones antes de aplicar ciegamente el método. Es decir, no deben existir

máximos, mínimos o puntos de inflexión en el intervalo de búsqueda de la raíz, ni tampoco

otras raíces de la función. Estos casos se ilustran gráficamente en las Figuras A.1.b y A.1.c .

Figura A1.a.

Figura A1.b. Figura A1.c.

'*************************************************************************** '************************ PROGRAMA T UB S ******************************* '*************************************************************************** 'Solución de problemas de fricción en conductos cerrados (tuberías),mediante 'la aplicación de la fórmula de Colebrook y White (Diagrama de Moody-Rouse), 'y su solución numérica a través de procedimientos de aproximaciones 'sucesivas.****************************************************************CLEAR:CLS DEFDBL A-Z'******************* ENTRADA DE DATOS ************************************** CLEAR:CLS PRINT " PROGRAMA * T U B S 0 *": PRINT PRINT "SOLUCION COMPUTACIONAL DE PROBLEMAS DE FRICCION EN TUBERIAS " PRINT "Los tipos de problemas a resolver son los siguientes:": PRINT PRINT "1. Determinación del caudal Q" PRINT "2. Determinación de la pérdida de carga Sf" PRINT "3. Determinación del diámetro D" : PRINT INPUT "Cual es el problema que desea resolver";P : PRINTIF P=1 THEN GOSUB QQ : IF P=2 THEN GOSUB FF : IF P=3 THEN GOSUB DDEND

FF: '***** SUBRUTINA "FF" ***** PRINT "CALCULO DEL FACTOR DE FRICCION f DE DARCY-WEISBACH" PRINT "APLICANDO LA FORMULA DE COLEBROOK Y WHITE": PRINT PRINT "INTRODUCIR LOS DATOS DEL PROBLEMA":PRINT INPUT "Diámetro de la tubería (m): D =";D INPUT "Temperatura del agua (grados): T =";T INPUT "Caudal (m3/s): Q =";Q INPUT "Longitud total del tramo (m): L =";L INPUT "Rugosidad equivalente (mm): k =";K : PRINT NU=4.56E-8*EXP(394.8/(107.6+T)) : G=9.80665 : K=K/1000 DF=1E-6 : NM=100 : PI=3.141592654 : V=4*Q/(PI*D^2) : RE=V*D/NU IF RE<2000 THEN FF=64/RE GOTO 10 END IF FF=(-2*LOG10(K/(3.707*D)))^(-2) RL=200*(D/K)*FF^(-1/2) IF RE<RL THEN GOTO 20 FOR I=1 TO NM F=1/SQR(FF)+2*LOG10((K/(3.707*D))+(2.523/(RE*SQR(FF)))) F1=-0.5*FF^(-3/2)-1.09/(((K/(3.707*D))+(2.523/(RE*SQR(FF))))*RE*FF(3/2)) FF=FF-F/F1 IF ABS(F)<DF THEN 20 NEXT I PRINT "La ecuacion no converge para 100 iteraciones" : END 10 HF=FF*(L/D)*V^2/(2*G) 20 HV=(L/D)*V^2/(2*G) : HF=FF*HV PRINT "El factor de friccion de Darcy-Weisbach vale: f =";FF PRINT "La perdida de carga total en el tramo es: hf(m)=";HF PRINT RETURN

QQ: '***** SUBRUTINA "QQ" ***** PRINT "CALCULO DEL CAUDAL Q MEDIANTE" PRINT "LA FORMULA DE COLEBROOK-WHITE":PRINT PRINT "INTRODUCIR LOS DATOS DEL PROBLEMA":PRINT INPUT "Diámetro de la tubería (m): D =";D INPUT "Temperatura del agua (grados): T =";T INPUT "Pérdida de carga (m): hf=";HF INPUT "Longitud total del tramo (m): L =";L INPUT "Rugosidad equivalente (mm): k =";K : PRINT NU=4.56E-8*EXP(394.8/(107.6+T)) : G=9.80665 : K=K/1000 : PI=3.141592654 FF=(-2*LOG10(K/(3.71*D)+2.51*NU/(2*G*HF/L)))^(-2) V=SQR(2*G*D*HF/(FF*L)):A=PI*D*D/4:Q=A*V PRINT "El caudal conducido por la tubería es: Q =";Q;: PRINT " m3/s" RETURNDD: '***** SUBRUTINA "DD" ***** PRINT "CALCULO DEL DIAMETRO DE LA TUBERIA A TRAVES DEL" PRINT "EMPLEO DE LA ECUACION DE COLEBROOK Y WHITE":PRINT PRINT "INTRODUCIR LOS DATOS DEL PROBLEMA":PRINT INPUT "Caudal (m3/s): Q =";Q INPUT "Temperatura del agua (grados): T =";T INPUT "Pérdida de carga (m): hf=";HF INPUT "Longitud total del tramo (m): L =";L INPUT "Rugosidad equivalente (mm): k =";K : PRINT NU=4.56E-8*EXP(394.8/(107.6+T)) : G=9.80665 : K=K/1000 : PI=3.141592654 A0=((8*L*Q*Q)/(PI*PI*G*HF))^(1/5) DF=1E-8 : NM=100 : FF=0.015 FOR I=1 TO NM F0=FF^(-1/2)+2*LOG10(K/(3.71*A0*FF^0.2)+1.97*NU*A0/(Q*FF^0.3)) X1=0.04695*K/(A0*FF^1.2) : X2=0.516*NU*A0/(Q*FF^1.3) Y1=K/(3.71*A0*FF^0.2) : Y2=1.97*NU*A0/(Q*FF^0.3) F1=-0.5*FF^(-3/2)-((X1+X2)/(Y1+Y2)) : FF=FF-F0/F1 IF ABS(F0)<DF THEN GOTO 50 NEXT I PRINT "LA FUNCION NO CONVERGE DESPUES DE 100 ITERACIONES":END 50 D=A0*FF^0.2 PRINT "El diámetro de la tubería es : D =";D;:PRINT " mts." RETURN

APÉNDICE A2

Listado del Programa TUBS

I N I C I O

Datos

Calcular

Calcular

S

N

Incrementar

Inicializar

S

N

Imprimir "LaEcuación Diverge"

Imprimir laSolución "x"

F I N

x0 , ε , N

φ(xk) , φ (xk)

xk+1 = xk −φ(xk)

φ (xk)

xk+1 − xk < ε

k < N

x = xk+1

k = 0

k = k + 1

Diagrama de Flujo para la Implementación Computacional del Método deNewton-Raphson