FACULTADDEMÚSICA

MAESTRÍAENMÚSICA

ALGUNOSASPECTOSTRANSFORMACIONALESEN:MOVIMIENTOSPARAPIANOY

ORQUESTADEIGORSTRAVINSKY

TesisqueparaobtenerelgradodeMaestraenMúsica:TeoríadelaMúsica

presenta:

AliciaEsterMenesesHernández

Directordetesis:Mtro.ArturoCuervasGuillaumin

Codirector:Dr.EmilAwadAbed

XALAPA,VERACRUZ;2016

ii

Agradecimientos

A mi asesor Arturo Cuevas Guillaumin por haber compartido su experiencia, su

tiempoysuperspectivacomocompositor.AlDr.EmilAwadAbedmicodirectorcuya

intervención aportó elementos indispensables para el análisis de la obra. A mi

hermanoLuisporcompartirconmigosusabiduría.AmispadresDavidyEunicepor

dejarmeviajara laazul inmensidad.Este trabajo fueterminadograciasalapoyodel

ConsejoNacionaldeCienciayTecnología.

iii

TabladeContenidos

INTRODUCCIÓN 1

CAPÍTULO1:CONTEXTOHISTÓRICO 3

ElserialismododecafónicoysuinfluenciaenStravinsky 3

LaRelaciónStravinsky-Webern 7

AnálisisPrevios 10PietervandenToorn 10MiltonBabbitt 15JosephN.Straus 16

CAPÍTULO2:CONCEPTOSTEÓRICOSYAPARATOCRÍTICO 22

Conceptos 22SerieDodecafónica 22IntervaloDirigido(I.D.) 23NúmerodeOrden(H) 23AgregadoCromático 25ParCombinatorio62 26PropiedadCombinatoriadelHexacorde. 28ÁreaEstructural 29Matriz12x12 32Rotación 36

MatricesdeRotaciónTranspuesta 361.RelaciónCanónica 392.Multiplicidaddelostonos-clasedentrodelasmatrices 433.Lasinversiones 434.Lainclusióndetodaslasdistintasáreasdelhexacordedentrodelamatriz 445.Lamaneraespecíficaenlaquesecompletanlosagregados 46

TricordesdelaMatrizdeRotaciónTranspuesta 48

iv

CAPÍTULO3:ANÁLISISDELOSMOVIMIENTOS 57

AnálisisMovimientoI 57Laformaysurelaciónconlaserie. 57Observacionessobrelapresentación. 72Observacionessobrelainstrumentación. 73

MovimientoII 75Laformaysurelaciónconlaserie. 75Observacionessobrelainstrumentación. 82

MovimientoIII 84Laformaysurelaciónconlaserie. 84Observacionessobrelapresentacióndelaidea 89Observacionessobrelainstrumentación 91

MovimientoIV 92Laformaysurelaciónconlaserie. 92Observacionessobrelapresentacióndelaidea. 97Observacionessobrelainstrumentación 99

MovimientoV 100Laformaysurelaciónconlaserie. 100

CAPÍTULO4:ANÁLISISDELOSINTERLUDIOS 110

CONSIDERACIONESFINALES 121

MovimientoIII 124

MovimientoIV 125

RelacióndelMovimientoIIconlosMovimientosIyIII. 127

RelacióndelMovimientoIVconelI. 131

RelacióndelMovimientoIVyVconelMovimientoI. 133

FormaGeneral 134

v

BIBLIOGRAFÍA 137

1

Introducción

Es,pues,mercedallibrejuegodesusfuncionescomoserevela

laobraysejustifica.Tenemoslalibertaddeadherirnosonoaese

librejuego;peronadiepuedediscutirelhechodesuexistencia.

IgorStravinsky.

Eltrabajocreativonoterminaenelmomentoenqueelcompositorvepublicada

supartitura,esentoncescuandocomienzalacooperacióninterpretativaporpartede

quienes la leen.Entre los lectoresseencuentran,ademásde los instrumentistas, los

teóricosquienesacudena laobraparaanalizarlayasídilucidar las reglasdel juego

propuestasporelcompositor.

Enestetrabajoseplanteaunanálisisdelastransformacionespresentesenlaobra

Movimientosparapianoyorquestaconelfindedarunainterpretacióndellibrejuego

desusfunciones.

Al realizar el análisis el investigador tiene que reducir al mínimo las

interpretaciones subjetivas y basarse en los datos demanera que el resultado final

respondaalarealidadobjetivaqueeslaobra.Luegodeprobarmuchoscaminospara

dar cuentade las reglasdel juegoestablecidaspor Stravisnky, la compresiónde las

relaciones de los intervalos contenidos dentro de la serie, las relaciones de los

intervalos dentro de las matrices de rotación transpuesta y las áreas estructurales

contenidasdentroellasdictóelcaminoaseguirenelanálisisdelaobra.

La reflexión comenzó con las siguientes preguntas: ¿Será cierto que ningún

teórico podrá descifrar la ortografía del orden de los tono-clases solamente

conociendo el ordende la serie? ¿Si los interludios son todos introduccionesde los

movimientos,cómosearticula la formageneraldeobra?¿EraStravinskysensibleal

concepto de área estructural en sus composiciones basadas en el sistema

dodecafónico?Labúsquedadelasrespuestasfueguiandoelcursodelainvestigación.

2

Luegodeunarduoprocesodereflexiónyanálisis,laorganizacióndeestetrabajo

sepresentadelasiguientemanera:

El capítulo I, Contexto histórico, proporciona referencias y antecedentes

puntuales del sistema dodecafónico, así como un breve recuento del desarrollo del

mismo, el cual fue adoptado y explorado por Igor Stravinsky a partir de los años

cincuenta en sus últimas composiciones. Además se mencionan tres teóricos que

abordan la obra de Stravinsky de manera analítica y cuyos análisis son punto de

partidaparaestainvestigación:PietervandenToorn,MiltonBabbittyJosephStraus.

El capítulo II, Conceptos teóricos y aparato crítico, presenta la nomenclatura

empleada en éste análisis así como la descripción de la terminología que lo

fundamenta.Estecapítuloauncumpleotrafunción,queesladedarconoceralgunos

delosconceptosteóricosqueseutilizanenelsistemadodecafónicoaloslectoresque

seencuentresinteresadosenestetipodecomposición.

El capítulo IIIAnálisis, presenta el análisis elaboradode la obra en cuestión. Se

presentan losmovimientos individualmentey, enunapartado, todos los interludios

agrupados.

El capítulo IV Consideraciones finales, propone a partir del análisis una visión

general de la obra. En él se presentan algunas conclusiones, que destacan los

resultadosdelanálisis,yfuturasvetasdeinvestigación.

3

Capítulo1:Contextohistórico

IgorStravinskyesunode losgrandescompositoresdelsigloXX,reconocidopor

su carácter innovador. Su producción de obras está catalogada en tres periodos de

desarrolloestilísticoquecorrespondenalordencronológicodecreacióndelasobras.

Elprimerodeellosessuperiodorusoendondeseencuentranubicadossusgrandes

ballets. Su segundoperiodo es el neoclásicoque comienza conPulcinella en1920 y

terminaconTheRake’sProgressen1951.Ysuúltimoperiodo,elserial,quecomienza

conCantataen1951yconcluyeconTheOwlandthePussycaten1966.

Estetercerperiodoincluyeuntotaldeveinteobrasendondeexplorayadaptaa

suspropiasideasmusicaleselsistemadecomposiciónquedesarrollaroninicialmente

Arnold Schoenberg y sus discípulos, que son conocidos como la Segunda Escuela

Vienesa. Ya que se puede trazar una influencia directa de algunos de ellos sobre la

obra de Stravinsky de su tercer periodo, en este capítulo se les presenta como

precursoresdesuformadecomponerusandoestesistema.

También en este capítulo se presentan tres teóricos sobresalientes que han

analizadolaobraserialdeStravinsky,queson:PietervandenToorn,MiltonBabbitty

Joseph Straus. Su trabajo precede y fundamenta el análisis que se presenta en esta

investigación.

ElserialismododecafónicoysuinfluenciaenStravinsky

Schoenberginicióeldesarrollodeunnuevosistemadecomposiciónenladécada

de1910.Buscabaunsistemaanálogoaltonalparalamúsicacromática1,endondese

pudieran explicar y entender las relaciones cromáticas bajo un orden determinado.

En 1921 le confió a uno de sus discípulos el haber hecho “un descubrimiento que

1El término cromático se refiere las relaciones entre los 12 tonos, las cuales se pueden dar sin serreferidosnecesariamenteauncentrotonal.Por lotantoenesta investigación ‘cromático’esutilizadoenunsentidopostonal.

4

garantizaríalasupremacíadeAlemaniaenlamúsicaalmenosporlospróximoscien

años”2.

Schoenberghablódelnacimientodelsistemadodecafónicocomounanecesidad,

comoresultadodeunprocesoenlaevolucióndelconceptodearmonía:

En los últimos cien años, el concepto de armonía cambió enormemente

medianteeldesarrollodelcromatismo…muyprontoresultódudosoelquelatónica

constituyeseel centropermanentealquehabríaquecorresponder todaarmoníao

sucesiónarmónica.Asimismo,resultódudososilatónicaqueapareciesealprincipio,

al final, o en cualquier otro lugar, tendría realmente un sentido constructivo. La

armoníadeRichardWagnerhubodepromoverelcambioenlalógicayenlafacultad

constructiva de la armonía. Una de sus consecuencias fue el llamado empleo

impresionistadearmoníaspracticadoespecialmenteporDebussy…deestamanera,

si no en la teoría, la tonalidadya fuedestronadaen lapráctica. Esto soloquizáno

hubiese causado un cambio radical en la técnica de composición, sin embargo, fue

preciso tal cambio al sumársele al desarrollo que terminó con lo que se llamó la

emancipacióndeladisonancia.3

ConesteúltimotérminoSchoenbergserefirióalmododecomprensiónconelcual

una disonancia es presentada y aceptada. En el sistemadodecafónico los intervalos

considerados tradicionalmente como disonancias y consonancias transitan con un

mismogradode independencia, locualprovocaunarenunciaal centro tonalya las

relaciones estructurales anteriormente determinadas por las armonías tonales. El

nuevoprocesodeconstrucciónmusicaldeSchoenbergconsistía,principalmente,

…en el empleo exclusivo y constante de una serie de doce sonidos

diferentes.Estosignificaporsupuesto,queningúnsonidohaderepetirse

dentro de la serie, en la que estarán comprendidos todos los

correspondientesalaescalacromática,aunqueendistintadisposición.4

2Morgan,RobertP.1991.Twentieth-CenturyMusic.W.W.Norton&Company.USA.p.1883Schoenberg,Arnold.2007.Elestiloylaidea.Madrid.MundimúsicaEdiciones,S.L.pp.102-103.4Ibidem.p.105

5

LadisposiciónoriginaldelaserieolaformaprimadelaseriesedenominaP;de

esta se derivan otras tres formas que son el retrógrado (R), la inversión (I) y el

retrógradoinvertido(RI).Cadaunadeestasformasdelaseriepuedetransportarsey

comenzarencualquierotrotono-clase.Elejemplo1muestrolaserieylasformasdela

seriedelaSuiteparapianoOp.25.

Ejemplo1

Schoenberg:Suiteparapiano,Op.25:Formasbásicasdelaserie.5

Dentrodelprimerpentagramadelejemplo1sepresentalaseriedelaSuitepara

PianoOp. 25. En los pentagramas 2 al 4 se despliegan el retrógrado de la serie, la

inversiónyelretrógradoinvertido.

LaSuiteOp.25 fueunade lasprimerasobrasen lasqueSchoenbergexplorael

sistemadodecafónico.Entre1920y1923trabajósimultáneamenteencuatropiezas,

losOpp.23al26,en lascualesexploróydesarrollóelusodesusistemademanera

másevidente.Estonosignificaquelasobrasquelesprecedieronnocontenganrasgos

delsistemadodecafónico.

5 Las alteraciones cromáticas en este y todos los ejemplos afectan únicamente a la nota queinmediatamentepreceden.

6

EnelpasajeinicialdelprimermovimientodelaSuiteparapianoOp.23cadatono

dentrodelosprimerostrescompasespuedeserderivadodeunmismoorden,locual

distinguenotablementeaestaobradelasprecedentes.Aunqueestemovimientoesla

primera composición completa en donde el orden de la serie es un principio

fundamental de la organización, ésta aun no es omnipresente6, dejando entrever la

búsquedadeSchoenbergensuetapatempranadelacomposiciónserial.

La evolución y refinamiento en el uso del sistema serial fue gradual en las

composiciones de Schoenberg. Tras terminar de componer losOpp. 23, 24 y 25, en

1923Schoenbergcomenzóaescribirsuprimeraobradodecafónicaagranescala,el

QuintetoparaalientosOp.26.7

ElQuintetoparaalientosOp.26,fuelaprimeraencontarconunaformamusical

extendida; cada uno de sus cuatromovimientos se desarrolla en un tipo de forma

Clásica: forma sonata, Scherzo con trío, forma canción y rondó. Las composiciones

instrumentales que siguieron al Quinteto son más extensas: la Suite para siete

instrumentos (1926), el Tercer cuarteto de cuerdas (1927) y las Variaciones para

orquesta (1928). Tras estas composiciones se ubica un periodo de composición

operística:laóperaenunactoDehoyamañanade1929,ylosdosprimerosactosde

laóperabíblicainconclusaMoisésyAarón(1930-1932).8

AestascomposicionesdodecafónicasescritasporSchoenbergsiguieronlasdesus

alumnosAntonWebernyAlbanBerg.EltrabajodeWebernyBergfuesimultáneoal

delmaestroytambiénconsistióenexperimentarconelnuevosistema,aunquecada

unodeelloslohizobajosupropioenfoque.

Webernabandonósusminiaturas instrumentalesenbuscadeunprocedimiento

más estricto para el manejo del cromatismo. Entre los años 1915-1926 compuso

6Haimo, Ethan. 1990. Schoenberg´s Serial Odyssey: The evolution of his twelve-tone method. OxfordUniversityPress.p.717Ibidem.p.938Morgan, Robert P. 1991. Twentieth-Century Music. W. W. Norton & Company. USA. p.189. Estatraducciónylassiguientesqueaparecenenestetrabajosonmías.

7

grupos de dos o más canciones, todas para voz sola con acompañamiento de

ensamblesdecámara,exceptuandolosLiederOp.12queesparavozypianoyelOp.

19paracoro.Enestascomposicionesexperimentóconelnuevosistema,sinembargo,

suretornoa lacomposición instrumentalysuevoluciónenel sistemadodecafónico

llegóconsuTríoOp.20.9

LadiferenciaentrelascomposicionesdeSchoenberg,WebernyBergradicaenla

maneradeentenderlaserie.Schoenberglaconcibióentérminostemáticos,seapoyó

en el proceso de su exposición temática y en el desarrollo de sus motivos para

construirestructurasagranescala.Webern,porsuparte,tomólaserieenunsentido

abstracto:paraélsuestructuraylaformaeranprácticamenteidénticas.Elconcepto

de serie para Berg fuemuchomás flexible; mientras que Schoenberg yWebern se

limitabanausarunaseriedentrodeunacomposición,Bergentendíalaseriecomoun

sujetoque,dentrodeunproceso,podíasometerseadiversastransformaciones.Solía

alterarla entre movimientos cambiando algunos de los tonos, sostenía que estos

cambiosnoalterabanlaseriesolotransformabansucarácter.10

LaRelaciónStravinsky-Webern

Enlosañoscincuenta,lasobrasdeWebernacapararonlaatenciónyelestudiode

Stravinsky.FueelCuartetoOp.22unadelasprimeraspiezasqueStravinskyestudió.

También profundizó también en el conocimiento de las Cantatas y las canciones

instrumentales.LamúsicadeWebern loatrajogradualmentea lacreenciadeque la

técnicadodecafónicaeraunmedioposibleparalacomposiciónmusical.11Stravinsky

expresósuadmiraciónduranteentrevistasyconversaciones: “Webernesparamíel

justedelamusique,ynodudoenresguardarmeenlabenevolenciaylaprotecciónde

su arte aun no canonizado”. 12 Algunas de las características que la música de

StravinskyadoptódeWeberneslaidentificacióndelaseriecomounsujetocanónico,

y la de sus transformaciones seriales (transposición, inversión, retrógrado y

9Morgan,RobertP.1991.Twentieth-CenturyMusic.W.W.Norton&Company.USA.p.20010Ibidem.pp.206-214.11Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.22.12Idem.

8

retrógrado-invertido) como imitaciones canónicas. Las primeras composiciones

seriales de Stravinsky están basadas en una textura de contrapunto imitativo. Más

tarde los cánones se volvieron parte de la estructura, absorbidos por una clase

especial de matriz en la cual Stravinsky basó sus composiciones a partir de

Movimientosparapianoyorquesta.13

Los años en torno a la Segunda Guerra Mundial marcaron un nuevomomento

paralavidadeSchoenbergyStravinsky.Ambos,pordistintasrazonesmudansulugar

deresidenciaalosEstadosUnidosdeAmérica;Schoenbergen1933perdiósupuesto

como maestro de composición en la Academia Prusiana de Artes, en Berlín y,

sintiendo que la situación en Alemania se complicaba para él, decidió partir,

estableciéndoseenLosÁngelesen1934,dondeadoptóunaposturaactivaenlavida

musical de su nueva ciudad enseñando a jóvenes compositores. Stravinsky, por su

parte, llegó a E.U.A. en 1939 para atender compromisos de conciertos y dar las

ConferenciasCharlesEliotNortonenlaUniversidaddeHarvard.Trasesteperiodo-y

exceptuando los viajes que realizó después de la Guerra- decidió permanecer en

E.U.A., instalándose en Los Ángeles a tan sólo 16 kilómetros de distancia de

Schoenberg.

A pesar de la cercanía física con Schoenberg, el trabajo de la Segunda Escuela

VienesapermanecióajenoaStravinskyquienconfesóenConversacioneshabertenido

únicamentedoscontactos,antesde1952,conlamúsicadeSchoenberg:elprimeroen

1912conPierrotLunaireOp.21,yelsegundoen1945conPreludetoGenesisOp.44.

Estos encuentros fueron previos a su periodo serial y no dejan huella de una

influencia inmediata. Sin embargo, Stravinsky reconoció el poderoso efecto que

Schoenbergejerciósobreél.14

LosañosenE.U.A.provocaron,enciertosentido,reaccionescontrariasenlosdos

compositores:Schoenbergrenovósu interéspor lacomposición tonal,mientrasque

Stravinskydioungirohacialododecafónico.Entrelosaños1933a1943Schoenberg

creó las siguientes obras basándose en el sistema tonal: Suite para Orquesta de13Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.2214Van den Toorn, Pieter C. 1983. The Music of Igor Stravinsky. New Haven and London: Yale

UniversityPress.p.373

9

Cuerdas (1934),SegundaSinfoníadeCámaraOp.38(unaobraqueteníasinterminar

desde1906y concluyeen1939),VariacionessobreunRecitativoparaÓrganoOp.40

(1941) y elTemayVariacionesparaOrquestadealientosOp.43 (1943). Schoenberg

consideraba las composiciones tonales de su último periodo como un aporte a la

armonía que transita en el intervalo comprendido entre la música tonal y la post-

tonal,unareflexiónsobrealgunasdelasposibilidadesarmónicasqueexisteneneste

espacio.

LosañosenE.U.A.lepermitieronaStravinskyacercarsealsistemadodecafónico

de composición. A un año de la muerte de Schoenberg, Stravinsky se inició en la

composiciónserial,dandoinicioconestoasutercerperiododedesarrolloestilísticoy

redirigiendosumaneradecomponer.

En1952, cuandoStravinskycomenzóa componerbajoel sistemadodecafónico,

hacíatreintaañosqueSchoenberghabíadesarrolladolasbasesdelmismo,conelcual

compuso hasta sumuerte en 1951; para entonces Babbitt ya había compuesto sus

Three Compositions for piano (1947), Composition for four instruments (1948) y

Composition for Viola and Piano (1950); Pierre Boulez ya era un reconocido

compositorconsuspropiosdiscípulos.

Mientras el sistema dodecafónico tomaba forma, Stravinsky transitaba en su

periodo neoclásico, entendido como unamanera de preservar un cierto sentido de

tonalidad,elcualfuevistopormuchosmúsicoscomolaantítesisdelamúsicaserialde

Schoenberg,BergyWebern.Sinembargolasdoscorrientesproveníandeunamisma

tradición;ambasmirabanalpasadocomopuntodepartida:laneoclásicatratandode

retomaraspectosde lamúsicaclásicacomoelbalanceyproporciónmientrasque la

segunda escuela vienesa tenía la meta de generar un desarrollo en la técnica de

composiciónimpulsadoporlosavancesdelcromatismoenelsigloXIX.

Finalmente,conlaincursióndeStravinskyalsistemadodecafónicosedesvanece

el conflicto de inicio de siglo con respecto a dos de las principales escuelas de

composición. Uno de los personajes que se consideran clave para este cambio de

técnicaenelcompositorrusoesRobertCraft.

Desde1948,RobertCraftseconvirtióenunpersonajecercanoaStravinskytanto

personal comoprofesionalmente. Comodirector de orquesta, Craft dio a conocer la

10

música de su tiempo y, en particular, se encargó de que la música de Schoenberg

tomara un fuerte impulso en las salas de conciertos. La cercanía de Stravinsky con

Craft lepermitió conocerunnuevo repertorio,provenientede la culturamusicalde

aquellos años en los Estados Unidos, el cual, se especula, le impulsó a dar un paso

haciaelserialismododecafónico.

ParaStravinsky,unafuenteimportantedeinformaciónteóricafueErnstKrenek.

El primer texto que leyó sobre la composición dodecafónica fue Studies in

CounterpointBasedontheTwelve-ToneTechnique. En el veranode1959, Stravinsky

asistió a las conferencias impartidas por el autor en el Seminario de Estudios

MusicalesAvanzadosenPrinceton, estas conferencias sepublicaronposteriormente

bajoeltítulodeTheextentsandLimitsofSerialTechnique15.

Entre las obras estudiadas por Stravinsky se encontraban las composiciones

dodecafónicas de Krenek: Parvula corona musicalis, Sestina y Lamentatio Jeremiae

Prophetae. En Lamentatio Jeremiae Prophetae, Krenek utiliza por primera vez el

sistema de la rotación transpuesta de los hexacordes de la serie el cual Stravinsky

adopta como herramienta de composición a partir de Movimientos para piano y

orquesta(1958-1959).16

AnálisisPrevios

Debidoalosobjetivosdeestainvestigaciónsehaoptadoporenfocarlasiguiente

partedelarevisiónbibliográficaentresautoresquerealizanelanálisisdelasobras

delperiodo serialdeStravinsky. Los tres autores son:Pieter vandenToorn,Milton

BabbittyJosephStraus.

PietervandenToorn

15Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress..pp.

26-33.16Ibidem.pp.26-29

11

PietervandenToornrealizóunextensoanálisisdelamúsicadeStravinsky.Ensu

libro The music of Igor Stravinsky 17se pueden encontrar los análisis de veinte

diferentes obras. Para Van den Toorn la cualidad octatónica y la interacción

octatónica-diatónica provocan la yuxtaposición de bloques dentro del discurso

musicaldeStravinsky.Sedesvaneceasíunadelasdivisionesentrelostresperiodos

decomposiciónyaque,porsupermanenciaatravésdeellos,secreanrasgosquese

entienden como distintivos en la voz del compositor. Dichos rasgos hacen

reconocibles las obras inclusodespuésde su incursión a la técnicadodecafónicade

composición. Otros rasgos distintivos del compositor que Van den Toornmenciona

sonelritmoylainstrumentación.

Para su análisis, Pieter van den Toorn desarrolla dos modelos que hacen

referenciaa lasdos formasdeconstrucciónde laescalaoctatónica:elmodeloAyel

modeloB.Elprimeroincluyelastresformasdeescalaoctatónicaconlasucesiónde

intervalodirigido(I.D.)1-2-1-2-1-2-1.ElmodeloBincluyelastresformasdelaescala

octatónicacon lasucesiónde intervalos2-1-2-1-2-1-2.Cadaunade las formasde la

escalarecibeelnombredecolección,por loqueelmodeloAestá integradoportres

colecciones diferentes (Colección I, Colección II y Colección III) y de igual manera

ocurreconelModeloB.AcontinuaciónsepresentanlosmodelosAyBendostablas.

Ejemplo2

Modelo A

Colección I E f G ab Bb b Db d (E) Colección II F f# Ab a B c D eb (F) Colección III F# g A bb C db Eb e (F#)

Número de Tono 0 1 3 4 6 7 9 10 (0) I.D. 1 2 1 2 1 2 1 (2)

17Van den Toorn, Pieter C. 1983. The Music of Igor Stravinsky. New Haven and London: Yale

UniversityPress

12

Modelo B

Colección I E d C# b Bb ab G f (E) Colección II F eb D c B a G# f# (F) Colección III F# e Eb db C bb A g (F#)

Número de Tono 0 2 3 5 6 8 9 11 (1) I.D. 2 1 2 1 2 1 2 (1)

Enlaprimeratabladelejemplo2semuestraelModeloA, lafiladoscontienela

Colección I, la fila tres la Colección II y la fila 4 la Colección III. En la fila cinco se

representanlostono-clasesdelascoleccionesquedanlalecturadelaformaprimadel

conjunto. En la fila 6 se muestran los intervalos dirigidos entre los tonos de las

ColeccionesI,IIyIII.LatabladelModeloBseleedelamismamanera.

Apartirdeestosdosmodelos,VandenToorngenerasuanálisisapoyándoseen

lasparticionesdelaescala[0,3,6,9]18comopasosoenlacesalosbloquesdiatónicos.

Dicho análisis separa los bloques o pasajes de la música de Stravinsky en dos

categorías, provocando la creación de dos listados. El primero de ellos contiene los

pasajesobloquesdeunaduración sustanciosaquehacen referencia explícita auna

colección;dichosbloquesopasajespresentanlacoleccióncompletaocasicompleta.

El segundo ubica secciones de más corta duración que parcialmente se pueden

relacionar con una colección octatónica. Estos pasajes son analizados por Van den

Toorncomomomentosquereflejanlainteracciónoctatónica-diatónicaqueconllevaa

layuxtaposicióndebloques.

Las obras del tercer periodo de Stravinsky, posteriores aCantata (1951-1952),

queseencuentrandentrodelestudiodePietervandenToornson:CanticumSacrum

(1955), Agon (1953-57), Epitaphium (1959), The Flood (1961-1962) Abraham and

Isaac (1963). A continuaciónmuestro cómo funciona el análisis de Van den Toorn

utilizando sus notas acerca de la obra deEpitaphium. Un aspecto que se necesario

notaresqueEpitaphiumyMovimientossondelmismoañodecomposición.

EnEpitaphiumobraparaflauta,clarineteyarpa,VandenToornhallaabundantes

implicacionesoctatónicas.Analizaenprimerlugarlaserie,lacualinterpretacomoun

encadenamientodelasColeccionesIIyIIIdelModeloA.Losprimeroscincotonosde

18Lanomenclaturaaquíutilizadaesexplicadaenelsegundocapítulo

13

laserielosasociaconlosnúmerosdetonos<4,6,7,9,t>delaColecciónIIIdelModelo

A;DoelúltimodeestoscincotonosdentrodelaserieeselenlaceconlaColecciónII.

LosnúmerosdetonosquetomadelaColecciónIIsonloscorrespondientesa<0,1,3,

4,6,7,9>.

En el siguiente ejemplo muestro la serie de Epitaphium y su relación con las

ColeccionesdelModeloA.

Ejemplo3 Stravinsky: Epitaphium, Serie

ElejemplomuestraaltonoG(Sol)entreparéntesis juntoalosnúmerosdetono

delaColecciónIIdebidoaqueéstenoperteneceadichaColección.Sinembargo,para

Van den Toorn la serie muestra la influencia de las sucesiones octatónicas en su

concepción.

Enel tercer compásdeEpitaphium haceunanálisis similar al de la serie: ubica

cadaunode los tono-clasede lapartituraen lasColecciones IdelModeloBy IIdel

Modelo A. Al igual que en el análisis de la serie las Colecciones se presentan

encadenadas.

Ejemplo4 Stravinsky: Epitaphium, compás 3.

14

Enelejemplo4semuestraelcompásnúmerotresdeEpitaphium.LasColecciones

hansidomarcadasconcorchetes.Talcomosepuedeobservar,enlamúsicaestasdos

Coleccionessedividenporunsilenciodecorchea.

Elejemplo5expresalosnúmerosdetonoscontenidosenelcompástresconlas

referenciaspertinentesalasdosColecciones.

Ejemplo5 Ejemplo. Análisis del Compás 3

LaColecciónIdelModeloBapareceincompletaenlaprimerapartedelcompás,

yaqueúnicamentecincodesusochomiembrosseencuentranpresentes.LaColección

IIdelModeloA,aparececasiensutotalidadfaltandosolamenteelSi.

Van den Toorn analiza los compases del 4 al 7 de la misma manera. Sobre la

armoníacomenta: “Es tambiénpertinenteel tratamientoverticalo “armónico”de la

seriealolargodelaobra,elcualescontrarioalestilousualdeStravinskydeexponer

15

las formas de la serie como “melodías” o “construcciones lineales”19. Pormedio del

análisis de los compases y la serie Van den Toorn establece que Epitaphium está

construidaporelementosdelaescalaoctatónica.

MiltonBabbitt

Se presenta a continuación un segundo análisis de la obra serial de Stravinsky

ahorabajolamiradadeMiltonBabbitt.Deentresubibliografíasehanescogidotres

artículosparalapresentacióndesumodelodeanálisis:OrderSymmetryandCentricity

in Late Satravinsky,20Stravinsky´s Verticals and Schoenberg´s Diagonals: A twist of

fate.21yRemarksontheRecentStravinsky.22

En los dos primeros artículos, Babbitt hace referencia directa a Movimientos

compartiendoentreelloslainformaciónconrespectoalanálisisquepropone.Dentro

de estos artículos describe las rotaciones transpuestas como un procedimiento que

combina dos condiciones necesarias en el serialismo: orden de los tono-clases y el

intervalodeltono-clase.23

AcontinuaciónsepresentanlascaracterísticasqueBabbittseñalaconrespectoa

lasmatricesderotacióntranspuesta.

Porprincipiodecuentas,habladecómoelordendelaserieafectaalasmatrices:

LasmatricesdeStravinskyestánsupersaturadasconlainfluenciadelosintervalosdela

serie y sus hexacordes; cada intervalo en la serie, no solo los intervalos adyacentes,

determinaelcontenidoexactodelasverticales,porloquelosintervalosenlasverticalesson

losintervalosdelosintervalosdelaserieoriginal.24

19Van den Toorn, Pieter C. 1983. The Music of Igor Stravinsky. New Haven and London: Yale

UniversityPress.p.43520Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”,en Pasler,Jann (Ede.) Confrontring

Stravinsky:Man,MusicianandModernist.LosÁngeles,California.UniversityofCaliforniaPress..pp.247-261.

21Babbitt,Milton.2003.ThecollectedessaysofMiltonBabbitt.PrincetonUniversityPress.pp.404-427.

22Ibidem.145-171.23Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”,en Pasler,Jann (Ede.) Confrontring

Stravinsky:Man,MusicianandModernist.LosÁngeles,California.UniversityofCaliforniaPress.p.249.24Ibidem.p.251.

16

Por otra parte, se puede inferir del texto de Babbitt la importancia de los

diferentesnivelesde transposicióndentrodelas líneasdelasmatrices.Cadafilade

lasmatricesrefiereaunodelosnivelesdetransposiciónycadatransposiciónocurre

enunáreadiferente,provocandoasílainclusióndetodaslasáreasdelhexacordetipo

Ddentrodelasmatricesderotacióntranspuesta.

Babbitt enfatizaelhechodequedentrode lasmatricesde loshexacordesde la

serie existe un balance en la frecuencia de aparición de los tono-clases: cada tono-

claseocurreexactamenteseisveces.Enelprimerhexacordeestánausenteslostono-

clases 3 y 9 por lo que el segundo hexacorde de la serie inicia con el tono-clase 9.

Además, notable e independientemente, Stravinsky selecciona el tono-clase final de

cadahexacorde(ey2respectivamente)paraquelasderivaciones“rotacionales”deR

yRIdesplieguenelmismobalanceenlamultiplicidaddelostono-clases.25

Además de esta multiplicidad en los tono-clases de la serie, Babbitt señala

también el hecho de que los hexacordes de esta pieza estén relacionados por

transposicióncomounacualidadúnicadentrodelasobrastardíasdeStravinskyesto

provoca que los números de transposición se identifiquen con las seis

transformacionesdelosdoshexacordes,asegurandouncierreentrelosparesde6x6

asociadosconS,I,RyRI.26

Babbittanaliza loscompases13al17delprimerode losMovimientosrefiriendo

los tonos de las líneas melódicas a las filas de las matrices de Stravinsky. En el

presentetrabajoseadoptóysedesarrollóestaformadeanálisisyseaplicóalrestode

losmovimientos.Tambiénseadoptó la referenciade la inclusiónde todas lasáreas

delhexacordeDdentrodelamatrizparaanalizar laobrabajo laperspectivade las

distintasáreas.

JosephN.Straus

25Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”,en Pasler,Jann (Ede.) Confrontring

Stravinsky:Man,MusicianandModernist.LosÁngeles,California.UniversityofCaliforniaPress.p.25526Ibidem.p.255

17

ElterceranálisisqueprecedeaestetrabajoperteneceaStraus,quienseenfocaa

lassolucionesqueStravinskypropusoparaeldesarrollodelaarmoníadentrodesus

obras.Desdeestaperspectiva,Stravinskyestabainteresadotantoenlacombinación

linealdelosintervaloscomoenla“lógicadelacombinaciónvertical”delosmismos.

La primera solución que Straus señala en Stravinsky es la verticalización de

segmentos de la serie, esta ocasiona que las mismas ideas se proyecten

simultáneamentecomomelodíayarmonía.Lasegundaeselusode lasverticalesde

lasmatricesrotacionalesparacreararmonía(loquenoocurrenenMovimientos).La

tercera solución de acuerdo con el teórico es la estratificación de las formas de la

serie.

Cuando Straus habla de la estratificación de formas de la serie se refiere a la

colecciónestándardelascuatroformasdelaserieconsussubdivisionesdedospares

ysuelaboraciónenocholíneas.Lasverticalesqueresultandelasestratificacionesse

tomancomosegmentosarmónicosdentrode lacomposición.DeacuerdoconStraus

este procedimiento para generar armonía aparece en lugares importantes con

respectoalaestructuradelaobra,particularmenteenconclusionesdeseccionesode

movimientosyprovocaunatexturadeacordestipocoral.

La estratificación estándar de las cuatro formas de la serie enMovimientos se

construiríaconlaformaprima;suinversión(comenzandoconlamismanota,Mib),su

retrógrado y la inversión del retrógrado (comenzando con la misma nota del

retrógrado,Fa)

Ejemplo6

Enelejemplo6,losnúmerosqueaparecenenlaprimerafilacorrespondenalas

doceverticalesqueproduce laestratificación.Cadaverticalestá formadaporcuatro

18

tono-clases; cuandoun tono-clase se duplica, Stravinsky lomuestra en la partitura

comoduplicacionesdeoctavas.27

Lasverticalidadesdelaestratificaciónestándardelascuatroformasdelaseriese

presentanenelejemplo7ysonlassiguientes:

Ejemplo7

Clase Verticales

0 2 1,5 0 1 2 5 2,4 0 2 4 6 3,6,8,12 0 2 6 8 7 0 1 4 7 9 0 2 6 10

0 2 3 7 11

Enlatabladelejemplo7secataloganlas12verticalidadesdeacuerdoalconjunto

clasealcualpertenecen.Lasverticalidades1y5sonclase[0,2];lasverticalidades2y

4 son clase [0, 1, 2, 5], las verticalidades 3, 6, 8 y 12 son clase [0, 2, 4, 6]. Las

verticalidades7,9,10y11pertenecencadaunadeellasaunaclasedistinta.

La estratificación estándar de las cuatro formas de la serie puede entenderse o

subdividirse en dos pares tipo I, dos pares tipo R o dos tipo RI. Los dos pares de

formasdelaserierelacionadosporIsemuestranenelejemplo8.

Ejemplo8

27Straus, JosephN.1999.Stravinsky´s“ConstructionofTwelveVerticals”:AnAspectofHarmonyin

theSerialMusic.MusicTheorySpectrum.Vol.21.No.1.p.50.

19

Laprimerafiguradelejemplo8muestraelparP+I;cadaunadelasdíadasquese

forman demanera vertical corresponden a las díadas del índice de inversión 6. La

segunda tabla muestra el par R + IR, cada una de las díadas verticales del par

correspondenalasdíadasdelíndicedeinversiónt.Losdosparesdeformasdelaserie

relacionadosporRIseencuentranenelejemplo9.

Ejemplo9

Enelejemplo9semuestranlosparestipoRformadosporlacombinacióndelas

formas P + RI y R + I. El par combinatorio tipo RI se caracteriza por una relación

simétricaentrelosintervalosverticaleseI.D.queseformanencadadíadaverticaly

lineal;laasociacióndelasdíadassedacomosigue:1-12,2-11,3-10,4-9,4-8,6-7.

Las díadas verticales e I.D. del par tipo R se relacionan simétricamente por la

operacióndeinversión.Enelejemplo10semuestradichopar.

20

Ejemplo10

En el ejemplo 10muestra la simetría por inversión entre las díadas verticales. Las

díadasseasociandelasiguientemanera:1-12,2-11,3-10,4-9,4-8,6-7.

En Movimientos la estratificación, según Straus, se puede ubicar en todo el

segundomovimientoelcualiniciacondosparesdeseries,elprimerotipoI(R+IR)y

elsegundotipoR(I+RI).Enelinterludioqueseencuentraentreelcuartoyelquinto

movimiento aparece una estratificación de ocho formas de la serie. En el quinto

movimiento,en loscompases141-150,167-171,184-186,ocurreunaestratificación

estándardecuatroformasdelaserieocupadadetalmaneraqueprovocalasiguiente

combinacióndeverticales:1+7,2+8,3+9,4+10,5+11y6+12.Larelacióndelas

verticalessemuestraenelejemplo11.

Ejemplo11

21

Elanálisisquesepresentaenestetrabajoseconcentraráenalgunosaspectosque

presentanBabbittyStraus.ElacercamientodePietervandenToornnoserátomado

encuentadebidoaqueelenfoquedeestetrabajobuscaresaltarlascontribucionesde

Stravinsky a la tradición dodecafónica y no buscar similitudes con sus periodos

anteriores.

22

Capítulo2:ConceptosTeóricosyAparatoCrítico

En este capítulo se presentan algunas definiciones y nomenclatura que serán

importanteseneldesarrollodelanálisis.

Lanomenclaturaqueseutilizaparalostonosestantolaconvencional(Do,Re,Mi,

etc.), como la representada por números enteros módulo 12. Cuando se utiliza la

nomenclatura numérica, el módulo 12 proyecta a todos los tonos cromáticos del

espectroauditivoytemperadoporintervalosigualesendoceclasesdetonosdel0al

11.Las12clasesdetonos(tono-clases)seabreviancomotcsingularytccpluralylos

números10y11serepresentanporlasletrastyerespectivamente.28

Paradenominarconjuntosdetonosenelanálisis,seemplealostérminostricorde,

tetracorde, pentacorde, hexacorde, etc. Dado que estos términos comparten el

significadodelconceptoacorde,elmismosehatomadocomoraízalacualseañaden

losprefijosnumeralescorrespondientes.29

Conceptos

SerieDodecafónica

Conjunto ordenadode las doce clases de tonos30, donde el orden se representa

por H que toma valores de numeración ascendente del 0 al 11. En este trabajo, el

término serie se utilizará como sinónimo de seriedodecafónica y será representada

porS.Elejemplo12contieneunaseriedodecafónica.

28El uso de la letra t para representar 10 y e para representar 11 es común en la literaturaespecializada. La t representa ten y e representa eleven para evitar posibles confusiones con dosintervalos o los tono-clases 1 y 0. No se utilizan los términos en español debido a que diez y oncepodríanserconfundidosporrelaDylaOconfundirseconcero.29La terminologíaenEspañolde tono-clase(pitch-class)ytricorde, tetracorde,etc. fue implementadaporEmilAwad en1994para suprogramade teoría post-tonal impartido en el Conservatoriode lasRosas,Michoacán,México.30Babbitt, Milton. 2003. D.“Remarcks on the Recent Stravinsky” en: The collected essays of MiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.152.

23

Ejemplo12

SeriedeMovimientosparaPianoyOrquesta

Los números arriba del pentagrama en el ejemplo 1 representan los tonos e

intervalosde laserieapartirdeunpuntocero.Elprimer tonode laserieesMib al

cual se leasignaelnúmero0.Laasignacióndelnúmero0al tonoclase inicialde la

serieesútilalrepresentarlaestructuramarcadaporlosintervalosenlossegmentos

delaserie.Mi-naturalesrepresentadopor1,ySib,queseencuentrasietesemitonos

arribadeMib, tomaelvalor7.Yaque ladiferenciaentre1y7esde6,que son los

semitonos correspondientes al intervalo entreMi-natural y Sib, se dice que 6 es el

intervalodirigido(I.D.)entreMiySib.

IntervaloDirigido(I.D.)

Por cada dos tono-clases a y b el intervalo ordenado entre a y b es equivalente al

productob-aenmódulo12.31

NúmerodeOrden(H)

Enelsistemadodecafónicolaserieestásubordinadaalordenlinealyesestasujeción

laquerigelasrelacionesentrelostonos;conestoSchoenbergestableceunprincipio

básicodondeelnúmerodeordenempleadoenunaseriedentrodeunaobrasepuede

31Rahn,John.1980.BasicatonalTheory.Simon&SchusleMacmillan.NewYork.p.26

24

inferir de todas o de la mayoría de las presentaciones de la serie y sus

transformaciones.32

Pararepresentarlarelaciónquemantienelaserieconsuordenlinealseutilizan

parejasdenúmeros.Cadaelementodelaseriemantieneunarelaciónunoaunodelos

elementosdelnúmerodeorden.Elprimermiembrodelaparejadesignaelnúmerode

orden lineal en el que se encuentra cada elemento de la serie; el segundo indica el

tono-clasedentrodeunaserie.

Dichasparejasseconformanconlaserie(S)yelnúmerodeorden(H)delejemplo

2.Elprimertono-clasedelaseriesetomacomoorigenysedenotaconlapareja(0,0).

Elrestodelasparejasdelaseriesonlassiguientes:(1,1);(2,7);(3,5);(4,6);(5,e);

(6,9);(7,8);(8,t);(9,3);(10,4);(11,2).Enelejemplo13semuestranlasparejasen

disposiciónverticaldentrodeunatabla.SeslaseriedodecafónicayHelnúmerode

orden.

Ejemplo13

S 0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 H 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t e

Formasdelaserie33

Existen cuatro formas de la serie, la forma Original o forma Prima34(P), su

Retrógrado (R) su Inversión (I) y su Retrógrado Invertido. Las formas de la serie

provienendelassiguientescuatrooperacionesdeorden:

Peslaidentidad,preservaelordendelosintervalos.LasoperacionesTnnoafectanel

intervalodirigidodeunsegmento.Comosemuestraenelejemplo14.

Ejemplo14

S:<0,1,7,5,6,e,9,8,t,3,4,2>I.D.<1,6,t,1,5,t,e,2,5,1,t>

32Babbitt,Milton.2003.B.“TwelveTone InvariantsasCompositionalDeterminants”en:ThecollectedessaysofMiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.p.5633Definiciones tomadas de Notas de Clase: Fundamentos Post-tonales, Emil Awad. Los ejemploscorrespondenaestetrabajo.34ElusodeSyPesarbitrarioporquesignificanlomismo.SeutilizaPporqueeslasigladeprima,queesunaformadeenunciarladisposiciónoriginaldelaserie.

25

T3(S):<3,4,t,8,9,2,0,e,1,6,7,5>I.D.<1,6,t,1,5,t,e,2,5,1,t>

.

I (inversión)presentalainversióndecadaintervalodelaserieoriginalcomenzando

porelprimeroyterminandoconelúltimo.Comosemuestraenelejemplo15.

Ejemplo15

I5(S):<5,4,t,0,e,6,8,9,7,2,1,3>I.D.<e,6,2,e,7,2,1,t,7,e,2>

R (retrógrado) presenta la inversión de cada intervalo comenzandopor el último y

terminandoporelprimero.Comosemuestraenelejemplo16.

Ejemplo16

R(S):<2,4,3,t,8,9,e,6,5,7,1,0>I.D.<2,e,7,t,1,2,7,e,2,6,e>

RI(inversiónretrógrada)presentacióndelosintervalos(idénticos)comenzandopor

elúltimoyterminandoporelprimero.Comosemuestraenelejemplo17.

Ejemplo17

RI2(S):<0,t,e,4,6,5,3,8,9,7,1,2>I.D.<t,1,5,2,e,t,5,1,t,6,1>

AgregadoCromático

El agregado cromático es la colección de los doce tono-clases. El agregado

cromático y su partición en dos partes distintas pueden ser representada por la

relacióndecomplemento:X+Y=Agregadocromático(A).Enestetrabajoeltérmino

agregadoseusarácomosinónimodeagregadocromático.

El término agregado hace referencia a los doce tono-clases dentro de una

colecciónuorden.Estrictamentetodaseriedodecafónicaesunagregado.Sinembargo

los términos no son en su totalidad intercambiables. El término serie se usa para

referirseaunaserieordenadasobrelacualestácompuestaunaobraopasaje,deesta

26

manera el usodel término agregado será reservadopara colecciones de doce tono-

clasesdistintasalasestablecidasalasordenacionesdedichopasajeuobra.35

ParCombinatorio62

Existen cuatro tipos de pares combinatorios: P, I, R y RI. Los tipos de pares

denotanlarelaciónquetienenentresídosformasdelaserie.Eltérminocombinatorio

hacereferenciaalhechodequeunhexacordededeterminadaformadelaserieyun

hexacordedeotraformadelaseriesecombinanparaformaragregadoscromáticosde

manera vertical y horizontal. Los pares combinatorios revelan la propiedad

combinatoria de los hexacordes ordenados. El ejemplo 18 contiene una figura en

dondeserepresentanlosdoshexacordesdeunaserieconlasvariablesXyY.

Ejemplo18

Elejemplo18representalaserieysusdoshexacordesX,Y.Lossignos“+”enla

figurarepresentanlaunióndeloshexacordesordenados.Laformadelaseriequese

encuentraexpresadaenlafila4construyeelparcombinatorio(PC).Losagregadosse

representanconlaletraAyseformandemaneraverticalydemanerahorizontal.Es

decir, en un par combinatorio hay cuatro maneras en las que se completan los

agregados:SX+SY=A;PCY+PCX=A;SX+PCY=A;SY+PCX=A.

A continuación se presentan los cuatro Tipos de Pares Combinatorios. Para los

ejemplosseutilizará laserie<0,1,2,6,7,8,3,4,5,9,t,e>,donde Xseráelprimer

hexacordedelaserie<0,1,2,6,7,8>yYseráelsegundohexacorde<3,4,5,9,t,e>.

35Lester, Joel. 1989. Analytic approaches to twentieth-century music. W.W. Norton & Company.

P.178

27

Enelejemplo19seocupalaserieoriginalylaserietranspuestaaT3paragenerar

elprimerparcombinatoriotipoPquepresentalaserieyTnSparageneraragregados.

Ejemplo19

En el ejemplo 19 las variables X e Y de la primera fila se sustituyeron por los

hexacordes de las serie y también las de la segunda fila se sustituyeron por los

hexacordesdelaformaT(3)delaserie.Lossignosdesumasignificanlaunióndelos

hexacordes.Losagregadossecompletandemanerahorizontalenlasfilasydemanera

verticalenlascolumnasquecontienenloshexacordes.

Enelejemplo20sepresentalaserieysuInversióneníndicecincoparagenerar

unsegundopar.

Ejemplo20

Talcomoenelejemplo19lasvariablesXeYsehansustituidoporloshexacordesde

laserieoriginalysuinversióneníndicecinco.Losagregadosigualmenteseexhiben

demanerahorizontalyvertical.Enlosejemplos21y22lalecturadelasfigurasesla

misma,únicamentelasformasdelaseriecambian.

28

Todaslasformasdelaseriequeseanemparejadasconsuretrógradotendránla

propiedad combinatoria tipo R. En el ejemplo 21 se presenta un par combinatorio

TipoR.

Ejemplo21

ElParcombinatoriotipoRIpresentalaserieyaRI(S)parageneraragregados.Enel

ejemplo22semuestraunparcombinatoriotipoIR.

Ejemplo22

PropiedadCombinatoriadelHexacorde.

La propiedad combinatoria del hexacorde se manifiesta de dos maneras,

presentándolo como totalmente combinatorio o como semi-combinatorio. Los

hexacordestotalmentecombinatoriossonaquellosquecompletansusagregadospor

mediodeparescombinatoriosqueprovienendecualquierformadelaserieenunoo

varios niveles de transposición o índices de inversión. Los hexacordes semi-

combinatoriossonaquellosquecompletansusagregadosa travésde tiposdepares

combinatoriosespecíficos.36Laformaenlaquesecompletaunagregadodeterminael

tipodepropiedadcombinatoriaalcualperteneceunhexacorde.

36Babbitt,Milton.2003.A.“SomeAspectsofTwelve-ToneComposition”en:Thecollectedessaysof

MiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.p.42-43.

29

Con respecto a las propiedades combinatorias, los diferentes hexacordes que

existen se clasifican en cinco grupos: hexacordes totalmente combinatorios,

hexacordestipoP,tipoI,tipoRytipoRI.

En el ejemplo23 se presentan los hexacordes totalmente combinatorios que se

ordenandeacuerdoasuniveldesimetría:hexacordeA(012345),hexacordeB(02

3457),hexacordeC(024579),hexacordeD(012678),hexacordeE(014589)

yhexacordeF(02468t)37.

Ejemplo23

Simetría Hexacorde Áreas

Primer Orden A, B, C 6 Segundo Orden D 3

Tercer Orden E 2 Sexto Orden F 1

Loshexacordes totalmente combinatorios se clasificande acuerdoa sunivelde

simetría: hexacordes de Primer Orden, (A, B, C); de Segundo Orden (D); de tercer

orden(E)ydeSextoOrden(F).Existeunarelacióninversamenteproporcionalentre

lasimetríayelnúmerodeáreasestructuralesenunhexacorde.

ÁreaEstructural

Lasáreasestructuralesdecadahexacordesondeterminadasporsuspropiedades

combinatorias.Enelejemplo24semuestraunatablaquedescribeelnúmerodeáreas

quepuedetenercadatipodehexacorde.

Ejemplo24 38

37Babbitt,Milton.2003.A.“SomeAspectsofTwelve-ToneComposition”en:Thecollectedessaysof

MiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.p.42.38TablatomadadeNotasdeClase:FundamentosPost-tonales,EmilAwad.

30

En la tabla del ejemplo 24 se muestra en la primera columna los tipos de

hexacorde39;enlascolumnasdela2ala5seespecificaconmarcasdeverificaciónel

número de niveles de transposición o de inversión en los cuales se combina el

hexacordeconsucomplementoparaformarunagregado.Lascrucesseñalanlostipos

de combinaciones en los cuales el hexacorde no puede generar un agregado de

ningunamanera.Laúltimacolumnaseñalaelnúmerodeáreasestructuralesposibles

paracadahexacorde.

Los hexacordes totalmente combinatorios por ser más simétricos poseen un

menornúmerodeáreasqueloshexacordessemi-combinatorios.ElhexacordetipoD

posee3áreasestructurales.

En el hexacorde tipo D las cuatro operaciones que preservan el contenido del

conjuntosondosnivelesdeTransposiciónydosíndicesdeInversión.Enelejemplo

25semuestranlascuatrooperaciones.

Ejemplo25

Hexacorde D 012678

T0 012678

T6 678012

T8I 876210

T2I 210876

Enelejemplo25semuestraenlaprimerafilaelhexacordetipoD.Enlaprimera

columnasemuestralasoperacionesquemantienenelcontenidodelhexacordeyenla39LanomenclaturaP3 e I34 corresponden al listadodeMartino,Donald. 1961. “The Source Set

anditsAggregateFormations”.JMT,Vol.5No.2.p.224.

31

segunda columna semuestra el hexacordedespuésde la aplicaciónde la operación

correspondiente.

Latransposiciónporunintervaloquenoestácontenidoenelhexacordegenerael

complementodelmismo.EnelcasodelhexacordetipoDelcomplementoesgenerado

por lastransposicionesa3y9,asícomotambiénlas inversionesdesde5ye.Por lo

tanto,lasformasdelaserieenT0yT6,enT8IyT2Iquedanunidasalasformasquelas

complementan: T3 y T9; y T5I junto con TeI. Estas ocho formas, junto con sus

retrógrados,constituyenelárea0ysemuestranenelejemplo26.

Ejemplo26

Transformaciones del Hexacorde tipo D dentro de un Área en T=012678

T0 T6 T8I T2I R0 R6 RI8 RI2 T3 T9 T5I TeI R3 R9 RI5 RIe

LasformasdelaseriedecadaunadelastresáreasdelhexacordeD,enelnivelde

transposición 012678, se generan transportando el ejemplo 26 por T0, T1 y T2. El

ejemplo27presentalastresáreasabreviandolasformasR.

Ejemplo27

La serie deMovimientos está basada en un hexacorde tipo D y el contenido de sus

áreassemuestraenelejemplo28.

32

Ejemplo28

Matriz12x12

En una matriz 12 x 12 se despliegan en 12 filas y 12 columnas todas las

operaciones de orden de la serie para revelar su estructura o la estructura de

segmentos específicos de la serie. En el ejemplo 29 se exhibe una matriz 12 x 12

realizadaconlaserieusadaenMovimientosparaPianoyOrquesta.

Ejemplo29

0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 e 0 6 4 5 t 8 7 9 2 3 1 5 6 0 t e 4 2 1 3 8 9 7 7 8 2 0 1 6 4 3 5 t e 9 6 7 1 e 0 5 3 2 4 9 t 8 1 2 8 6 7 0 t 9 e 4 5 3 3 4 t 8 9 2 0 e 1 6 7 5 4 5 e 9 t 3 1 0 2 7 8 6 2 3 9 7 8 1 e t 0 5 6 4 9 t 4 2 3 8 6 5 7 0 1 e 8 9 3 1 2 7 5 4 6 e 0 t t e 5 3 4 9 7 6 8 1 2 0

Una matriz 12 x 12 presenta las 48 formas de la serie y se construye de la

siguientemanera: únicamente la primera fila se entiende como la serie ordenada a

partirdecero.40Dentrodelamatrizseasignaelceroacadaunodeloselementosdela

serieconelfinderevelarlaestructuradelosmotivosinternosdelamisma.Losceros

40Babbitt,Milton.2003.E.“ThreeEssaysonSchoenberg”en:ThecollectedessaysofMiltonBabbitt.NewJersey.PrincetonUniversityPress.P.223-224

33

que resultan de la aplicación sucesiva a los elementos de la serie construyen la

diagonalprincipalquerepresentalatransposiciónordenadadelostonosdelaseriea

cero.EstasTndeSproducenencualquiercolumnadelamatrizlasecuenciadetonos

clasecorrespondientesaunaysolounadelas12inversionesdelaserie;porlotanto

lasfilassucesivasdelamatrizcontienenlas12transposicionesdelaserieenelorden

delainversióncerodelaserie.

Las filas de la matriz leídas de izquierda a derecha proporcionan las 12

transposiciones de la serie, leídas de derecha a izquierda proporcionan los

retrógradosdecadatransposición.Lascolumnasleídasdearribahaciaabajoenuncian

las12inversionesdelaserieyleídasdeabajohaciaarribalosretrógradosinvertidos

de la serie.Algunasde las cualidadesde los intervalosde la serie y sus formasque

revelanlasmatrices12x12semuestranenlosejemplossiguientes.Enelejemplo30

semuestralalecturadelintervalodirigidoenlamatriz12x12.

Ejemplo30

IntervalosDirigidosdeS

0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 e 0 6 4 5 t 8 7 9 2 3 1 5 6 0 t e 4 2 1 3 8 9 7 7 8 2 0 1 6 4 3 5 t e 9 6 7 1 e 0 5 3 2 4 9 t 8 1 2 8 6 7 0 t 9 e 4 5 3 3 4 t 8 9 2 0 e 1 6 7 5 4 5 e 9 t 3 1 0 2 7 8 6 2 3 9 7 8 1 e t 0 5 6 4 9 t 4 2 3 8 6 5 7 0 1 e 8 9 3 1 2 7 5 4 6 e 0 t t e 5 3 4 9 7 6 8 1 2 0

Enelejemplo30seharesaltadoladiagonalsuperioraladiagonalprincipal.Esta

diagonal proporciona una lectura de los intervalos dirigidos entre los tonos-clase

adyacentesdelaserie.Elintervaloentreelprimer(0)ysegundo(1)tonodelaserie

es1,elprimerelementodeladiagonal;elintervaloentreelsegundotonodelaserie

(1)yeltercero(7)es6;elintervaloentreeltercer(7)ycuarto(5)tonodelaseriees

34

t;yasísucesivamenteporloqueelintervaloentreelpenúltimotonodelaserie(4)y

elúltimo(2)estádescritoporelúltimoelementodeladiagonalqueest.

Enelejemplo31semuestranlosintervalosdirigidosdelaInversióndelaserie.

Ejemplo31 Intervalos Dirigidos de I

0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 e 0 6 4 5 t 8 7 9 2 3 1 5 6 0 t e 4 2 1 3 8 9 7 7 8 2 0 1 6 4 3 5 t e 9 6 7 1 e 0 5 3 2 4 9 t 8 1 2 8 6 7 0 t 9 e 4 5 3 3 4 t 8 9 2 0 e 1 6 7 5 4 5 e 9 t 3 1 0 2 7 8 6 2 3 9 7 8 1 e t 0 5 6 4 9 t 4 2 3 8 6 5 7 0 1 e 8 9 3 1 2 7 5 4 6 e 0 t t e 5 3 4 9 7 6 8 1 2 0

Ladiagonalinferioraladiagonalprincipalmuestralosintervalosdirigidosentre

lostonos-claseadyacentesdelaformaIdelaserie.Entreelprimertono-clasedeI(0)

yelsegundo(e)elintervaloese;entreelsegundotono(e)yeltercero(5)elintervalo

es 6; entre el tercer tono (5) y el cuarto (7) el intervalo es 2; el intervalo entre el

cuarto(7)tonodelaserieyelquinto(6)ese,yasísucesivamente.

Lalecturadetodoslosintervalosdelaserieestácontenidadentrodelamatriz.El

ejemplo32muestraotralecturadelosintervalosdirigidosdelaserie.

Ejemplo32

0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 e 0 6 4 5 t 8 7 9 2 3 1 5 6 0 t e 4 2 1 3 8 9 7 7 8 2 0 1 6 4 3 5 t e 9 6 7 1 e 0 5 3 2 4 9 t 8 1 2 8 6 7 0 t 9 e 4 5 3 3 4 t 8 9 2 0 e 1 6 7 5 4 5 e 9 t 3 1 0 2 7 8 6 2 3 9 7 8 1 e t 0 5 6 4 9 t 4 2 3 8 6 5 7 0 1 e 8 9 3 1 2 7 5 4 6 e 0 t t e 5 3 4 9 7 6 8 1 2 0

35

La diagonal superior a la diagonal de los intervalos dirigidos de la serie

proporcionalalecturadelosintervalosdirigidosdecadadosmiembrosdelaserie.Es

decirdelprimertonodelaserie(0)altercertonodelaserie(7)elintervalodirigido

es7;delsegundotono(1)alcuartotono(5)elintervalodirigidoes4;deltercertono

(7)alquinto (6)el intervalodirigidoese;delquinto tono(5)al séptimo tonode la

serie(e)elintervalodirigidoes6,yasísucesivamente.

Conlamatriz12x12sepuederealizartambiénelanálisisdelaestructuradeun

determinadosegmentodelaserie.Enelejemplo33semuestraelprimertetracorde

delaserieenloqueseconvierteenunamatriz4x4.

Ejemplo33 Estructura de un segmento de la serie

0 1 7 5 e 0 6 4 5 6 0 t 7 8 2 0

Delejemplo33sepuededeterminarlosiguiente:eltetracordees<0,1,7,5>;su

inversióneníndiceceroes<0,e,5,7>;suformaRes<5,7,1,0>ysuformaRIes<7,

5,e,0>.Losintervalosdirigidosde<0,1,7,5>son<1,6,t>;losintervalosdirigidos

de la forma I del tetracorde son <e, 6, 2>; los intervalos dirigidos de cada dos

miembrosdel tetracorde son7y4 los cuales se encuentranen la segundadiagonal

arribade0.La segundadiagonaldebajode0 indica los intervalosdirigidosdecada

doselementosdelaformaIdeltetracorde.Tambiénsepuededeterminarelvectorde

intervalosdeltetracordequeestáconformadoportodoslosintervalosquesepueden

encontrareneltetracorde<0,1,7,5>yqueseencuentrandispuestoseneltriángulo

superioraladiagonalprincipal.

El ejemplo34contiene ladescripcióndelvectorde intervalosdel tetracordeen

discusión.

36

Ejemplo34

Vector de intervalos de <0, 1, 7, 5>

Clase intervalo <1 2 3 4 5 6> Número de intervalos 1 1 0 1 2 1

La lectura del vector de intervalos resalta que existen cero intervalos clase 3 en el

tetracorde,unsolointervalodeclase1,unodeclase2,unodeclase6ydosintervalos

delaclase5.

Rotación

Larotacióneslapermutaciónenelnúmerodeordendeloselementosdeunaserie.

MatricesdeRotaciónTranspuesta

MovimientosparaPianoyOrquesta,composiciónqueelmismoStravinskyllamaba

lapiedraangulardetodossustrabajostardíos,inauguraunanuevaetapaensuobra

serial.Enestaobrausaporprimeravez,aunquesolodemanerahorizontal,elsistema

derotacionestranspuestasde loshexacordesde laserie,elcualsevuelvebasepara

todassuscomposicionesposteriores.41

Straussugiereque lasrotaciones transpuestasde laserie fueronproductode la

influenciadeKreneksobreStravinsky.42Comoseyasehamencionadodistintasobras

ytextosdeKrenekfueronestudiadoscuidadosamenteporStravinsky.EnTheExtents

andLimitsofSerialTechnique,Krenekdefine la rotación comounprocedimiento en

donde loselementosdeunaseriedadacambian,sistemáticayprogresivamente,sus

posiciones relativas de acuerdo a un plan que, en sí mismo, ha sido concebido

serialmente en el que los cambios ocurren en fases regulares. En el ejemplo 35 se

encuentralatabladerotacióndeKrenek.

41Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.2942Ibidem.p.26

37

Ejemplo35

LatabladerotacióndeKreneksedivideendospartesenlasquedistingueloque

llama “modos diatónicos” y “modos cromáticos” respectivamente. Los modos

diatónicos reciben este nombre porque a través de las rotaciones se conservan los

mismos tonos del hexacorde,mientras que en losmodos cromáticos los tonos que

resultandelasrotacionessondiferentesalosdelhexacordeoriginal.

EnlaprimeralíneadelmododiatónicoKrenekescribelosdoshexacordesdeuna

seriededocetonos;acadaunolopermutaindividualmenteenlaslíneasrestantesde

latablademaneraquelasegundalíneacomienceconelsegundotonodelhexacorde

originalyasísucesivamentehastallegaralaúltimanotadelhexacorde.

Enlalíneasuperiordel“modocromático”denuevoescribelosdoshexacordesde

laserie.Unavezmásloshacerotarcomoantes,peroahoratransponecadarotación

demodoquetodoscomiencenenlaprimeranotadelhexacordecorrespondiente.

Stravinsky utiliza el mismométodo para generar la rotación, nombrando a los

hexacordesdelmododiatónicoAlfayBeta, ya loshexacordesdelmodocromático

GammayDelta.Acontinuaciónenelejemplo36semuestralatabladeStravinsky.

38

Ejemplo36 43

Stravinsky somete individualmente cada hexacorde a rotación para generar los

modosdiatónicoycromáticoenlaterminologíadeKrenek.Acadaunadelasseisfilas

que se generan en la rotación las nombra de diferente manera: el nombre de la

primera corresponde al nombre de la forma de la serie que se esté sometiendo a

rotación(P,R,I,RI),mientrasquelascincorestantessedenominanconlosnúmeros

romanosI,II,III,IVyV.

Aunqueestaherramienta esusadapor ambos compositores, existendiferencias

en su forma de usarla. Krenek emplea el modo diatónico para escribirmúsica que

evoca, según Straus44, la Polifonía Renacentista. En sus composiciones emplea las

matricesdemaneraexclusivamentelineal.Porsuparte,Stravinskyhaceusodelmodo

diatónicoyelcromático,asícomodelasverticalidadesdelasmatrices.

EnelpresentetrabajoseusaránlosnombresqueStravinskyasignaalasfilasya

los hexacordes; sin embargo se habla de rotación simple para hacer referencia al

43Straus,JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.31.44Ibidem.p.32.

39

mododiatónico y rotación transpuesta para dar cuenta delmodo cromático. En los

ejemplosqueseapertinente la lecturade lasmatricessedade lasiguientemanera:

PrimerosemencionalaformadelaseriequeestásiendorotadaesdecirP,I,RoRI.

Posteriormente senombra lamatriz a la cualperteneceelhexacorde,Alfa (α),Beta

(β), Gamma (γ) oDelta (δ). Finalmente se refiere la fila en la que se encuentra; las

primerasfilasnotendránesteelementoyaqueeslaformalaquelasdenomina.

Lasmatrices de Stravinsky se generanmediante una operación compuesta que

implicaprimerolatransposiciónydespuéslarotación;estaúltimaoperacióndepende

delapermutacióncíclicadelnúmerodeordenygeneralatexturacanónica,mientras

que la transposición depende de la relación de inversión y proporciona una

combinaciónúnicayexclusivadeagregados.

Algunasde lascualidadesde lasmatricesderotación-transpuestadeStravinsky

son:

1. Implicanunarelacióncanónica.

2. Multiplicidaddelostonos-clasedentrodeellas.

3. Susverticalesseencuentranrelacionadasbajolaoperacióndeinversión.

4. LainclusióndetodaslasdistintasáreasdelhexacordeDdentrodelamatriz.

5. Lamaneraespecíficaenlaquesecompletanlosagregados.

Acontinuaciónsedesarrollancadaunadeestascualidades tomando la seriede

MovimientosparaPianoyOrquestacomobaseparalosejemplos.

1.RelaciónCanónica

Stravinsky realiza rotaciones transpuestas de los hexacordes por lo que las

matricesresultantessonde6x6.LaseriedeMovimientoseslasiguiente<0,1,7,5,6,e,

9,8,t,3,4,2>donde0representaaMib.Elprimerhexacordees:<0,1,7,5,6,e>.El

segundoes:<9,8,t,3,4,2>.Enelejemplo37sedisponelaserieporhexacordes.

Ejemplo37

40

Enelejemplo37,losnúmerosdearribadelpentagramarepresentanlostonose

intervalosdelaserieapartirdeunpuntoceroylosnúmerosdebajodelpentagrama

representanelnúmerodeordenparaelcualseutilizanlosnúmerosenterosdel1al6

asignadosacadahexacorde.

Parapodergenerarlarotación,enprimerlugar,seasignanalhexacordeunolos

númerosdeorden1,2,3,4,5,6,loscualesdesignanenquéposiciónseencuentrael

elemento dentro del hexacorde. Cada elemento del hexacorde se relaciona con un

elemento del número de orden, mediante una correspondencia uno a uno. En el

ejemplo 38 se toma el primer hexacorde de la serie y se le asigna a cada tono un

númerodeorden.

Ejemplo38

S 0 1 7 5 6 e H 1 2 3 4 5 6

Setomaexclusivamenteelconjuntodenúmerosdeordendeunhexacordepara

ejemplificarlapermutaciónquegeneralarotación.Elejemplo39presentaunamatriz

6x6quemuestralarotacióndelnúmerodeorden.

Ejemplo39

H 1 2 3 4 5 6 I 2 3 4 5 6 1 II 3 4 5 6 1 2 III 4 5 6 1 2 3 IV 5 6 1 2 3 4 V 6 1 2 3 4 5

Elnúmerodeordensepermutademaneraqueelsegundoelementodelaseriese

convierte en el primero, el tercer elemento de la serie en el segundo y así

41

sucesivamente; a cada una de las filas se le aplica la misma operación de manera

cíclica.Estaspermutacionesgeneranunatexturadecanondentrodelamatrizquese

puedeejemplificardelasiguientemanera:

Ejemplo40

P 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 I 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 II 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 III 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 IV 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 V 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Enelejemplo40lamatriz6x6estámarcadaennegritas.LafilaVseconvierteen

laprimeravozdelcanonenaparecer,lafilaIVlasegundavoz,lafilaIIIlaterceravoz,

y así sucesivamente hasta llegar a la forma P; las entradas de las voces ocurren

siempreadistanciadeunmismointervalodenúmerodeorden.

El ejemplo anterior muestra el canon del número de orden. Cuando a cada

númerodeordenselereasignaunelementodelprimerhexacorde<0,1,7,5,6,e>,el

canonseconstruyedelamanerapresentadaenelejemplo41:

Ejemplo41

0 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e I 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e II 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e III 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e IV 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e V 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e

Laaplicaciónsistemáticadeesteprocedimientogenera loqueseha llamadoen

estetrabajouna“rotaciónsimple”,quecorrespondeal tipoderotaciónqueproduce

losmodosdiatónicos,enlosejemplos35y36.

42

Para generar una matriz de rotación transpuesta se necesita una matriz 6 x 6

construida bajo el mismo principio de una matriz 12 x 12. En el ejemplo 42 se

encuentralamatriz6x6delprimerhexacordedelaserie.

Ejemplo42

0 1 7 5 6 e e 0 6 4 5 t 5 6 0 t e 4 7 8 2 0 1 6 6 7 1 e 0 5 1 2 8 6 7 0

Lafilasdelamatriz6x6desplieganseistransposicionesdiferentesdelaserie.Al

rotar el númerodeordende cadaunade las transposicionesde la serie se creaun

canontranspuestoquesepuedeejemplificardelasiguientemanera:

Ejemplo43

P 0 1 7 5 6 e 0 1 7 5 6 e I e 0 6 4 5 t e 0 6 4 5 t II 5 6 0 t e 4 5 6 0 t e 4 III 7 8 2 0 1 6 7 8 2 0 1 6 IV 6 7 1 e 0 5 6 7 1 e 0 5 V 1 2 8 6 7 0 1 2 8 6 7 0

Así como en los ejemplos de rotación simple y número de orden, la fila V se

convierteenlaprimeravozdelcanonenaparecer,lafilaIVlasegundavoz,lafilaIIIla

terceravoz,yasísucesivamentehastallegaraP.Lasentradasdelastransposiciones

vuelvenaocurrirsiempreadistanciadeunmismointervalodenúmerodeorden.El

resultadovisualqueseobtieneeseldehaberalineado ladiagonaldel0a lamisma

columna;sinembargoelefectoauditivoquesegeneraeseldeuncanontranspuesto.

Esto es lo señalado por Babbitt: la aplicación de la operación de transposición al

43

número de orden en lugar de al tono-clase crea la rotación transpuesta de

Stravinsky.45

2.Multiplicidaddelostonos-clasedentrodelasmatrices

Debido a la ausencia de tonos-clase 3 o 9 en la matriz del primer hexacorde,

Stravinsky comienza el segundo de su serie con un tono clase 9. De esta manera

aseguraunbalancede lamultiplicidadde tonos-clase:cadaunoocurreexactamente

seisvecesenlasdosmatricesgeneradasporlosdoshexacordes.Además,Stravinsky

seleccionaeltono-clasefinaldecadahexacorde(ey2respectivamente)paraquelas

derivaciones“rotacionales”deRyRIdesplieguenelmismobalanceenlamultiplicidad

delostonos-clase.46

3.Lasinversiones

Las verticalidades que resultan de la rotación transpuesta se encuentran

relacionadasporelíndicedeinversión0.Laprimeracolumnaquedaexentadeestas

relaciones porque todos sus elementos corresponden a la misma clase. Las cinco

columnas restantes se relacionan de la siguiente manera: (2, 6), (3, 5) y la cuarta

columna presenta tres elementos que se invierten en sí mismos. El ejemplo 44

muestralascolumnasrelacionadas.

Ejemplo44

45Babbitt, Milton. 1986. “Order, Simmetry and Centricity”,en Pasler, Jann (Ede.) Confrontring

Stravinsky:Man,MusicianandModernist.LosÁngeles,California.UniversityofCaliforniaPress.p.250.46Ibidem.p.253.

44

En el ejemplo 44 se señalan a través de flechas las relaciones descritas entre

columnas. Los elementos de la columna 2 (1, 6, t, 1, 5, 1) se relacionan con los

elementosdelacolumna6(e,e,6,2,e,7)delasiguientemanera:siloselementosde

la columna 2 se invierten al índice cero se obtienen (e, 6, 2, e, 7, e) los mismos

elementos de la columna 6, aunque dispuestos en un orden distinto. Cuando se

inviertenaI0loselementosdelacolumna3(7,4,e,6,6,2),seobtienenloselementos

de la columna 5 (5, 8, 1, 6, 6, t) en otro orden. Los elementos de la columna 4 se

relacionandelasiguientemanera:loselementosdelasfilas0,I,II(5,5,4)sereflejan

enloselementosdelasfilasII,IV,V(7,7,8)pormediodeI0.

4.Lainclusióndetodaslasdistintasáreasdelhexacordedentrodelamatriz

Enlarotacióntranspuestaexistendiversosíndicesdetransposición.Cadafilade

cadahexacorde tieneun índicede transposiciónpropio.Estavariedadde índicesde

transposición generauna de las característicaspeculiaresde estamatriz, que es la

inclusióndetodaslasdistintasáreasdelhexacordeDdentrodeella.

El hexacorde tipo D tiene un total de tres áreas estructurares, las cuales se

denominan:A0,A1yA2.EláreaceroincluyelastransposicionesT0,T3,T6,T9;elárea

uno se forma por las transposiciones T1, T4, T7, Tt y al área dos corresponden las

transposicionesT2,T5,T8,Te.Enelejemplo43semuestra lamatrizGammacon los

índicesdetransposicióndecadafiladesplegadosenlasegundacolumnaylosíndices

detransposicióndecadafiladelamatrizDeltaenlaúltima.

45

Ejemplo45

P I II III IV V

T Hexacorde Gamma Hexacorde Delta T T0 Te T5 T7 T6 T1

0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 T0 T1 Te T6 T5 T7

0 6 4 5 t e 9 e 4 5 3 t 0 t e 4 5 6 9 2 3 1 8 7 0 1 6 7 8 2 9 T 8 3 2 4 0 5 6 7 1 e 9 7 2 1 3 8 0 1 2 8 6 7 9 4 3 5 t e

EnelhexacordeGammalaprimerafila(P)pertenecealA0,lasfilaIyIIpertenecen

alA2,lafilaIIIalA1,lafilaIValA0yporúltimolafilaValA1.EnelhexacordeDeltala

primerafilacorrespondealA0,lafilaIalA1,lafilaIIalA2,lafilaIIIpertenecealA0,la

filaIValA2yporúltimolafilaValA1.DemaneralinealcoincidenelA0enlaprimera

fila(P),elA2enlafilaIIyenlafilaVelA1.Ysoloenestasfilassecompletaelagregado

demaneralinealenlamatrizderotacióntranspuesta.

En el ejemplo 46 se muestran los agregados lineales que se dan dentro de la

matrizderotacióntranspuesta.Elprimerpentagramacontieneloshexacordesγyδ

de la fila P; entre ellos se generaun agregado. El segundopentagrama contiene los

hexacordesγyδdelafilaII,yeltercerpentagramacontieneloshexacordesdelafila

V;ambascombinacionesformanagregados.

Ejemplo46

46

5.Lamaneraespecíficaenlaquesecompletanlosagregados

Ya que la transposición de la serie a niveles diferentes proporciona una

combinación única y exclusiva de agregados, permite que en lamatriz de rotación-

transpuestadeMovimientosseencuentrenpresenteslastresáreasdelhexacordetipo

D.Enlasrotacionessimples--omatricesAlfayBeta--elhexacordepermanecedentro

del área 0. El ejemplo 47 contiene las matrices Alfa y Beta. Los índices de

transposicióndecadafilaseubicanenlasegundayúltimacolumnasdelatabla.

Ejemplo47

P I II III IV V

T Hexacorde Alfa Hexacorde Beta T T0 T0 T0 T0 T0 T0

0 1 7 5 6 e 9 8 t 3 4 2 T0 T0 T0 T0 T0 T0

1 7 5 6 e 0 8 t 3 4 2 9 7 5 6 e 0 1 t 3 4 2 9 8 5 6 e 0 1 7 3 4 2 9 8 t 6 e 0 1 7 5 4 2 9 8 t 3 e 0 1 7 5 6 2 9 8 t 3 4

Mientrasquelarotaciónsimpleprovocaqueelhexacordepermanezcasiempreen

unamismaárea, lasmatricesderotacióntranspuestapermitenlainclusióndetodas

lasdistintasáreasdelhexacordedentrodelamatriz.

Pormedio de los diferentes niveles de transposición provocan que el agregado

solosepuedacompletardemaneralinealenlasfilasP,IIyVtalycomoseapreciaen

el ejemplo 44. El agregado en las demás filas se completa de nueve maneras

diferentes.Elagregadoen lasmatricesderotación transpuestasecompletadedoce

maneras diferentes. El ejemplo 48 muestra tres formas de generar los agregados

mediantelacombinacióndefilasdelasmatricesGammayDelta.

Ejemplo48

47

Enelejemplo48semuestrantrescombinacionesdefilasentreloshexacordesde

lasmatrices de rotación transpuesta que completan agregados. El primer agregado

estáformadoporelhexacordedelafilaIdeGammamáslafilaIIdeDelta;elsegundo

hexacordeesresultadodecombinar la fila IVdeGammacon la fila IIIdeDelta;yel

terceragregadoestáformadoporlasfilasIIIdeGammayIdeDelta.Enelejemplo49

se encuentra una tabla que comprende las diferentes combinaciones de filas de las

matricesGammayDeltaquegeneranagregados.

Ejemplo49

Área No. de Rotación

del Hexacorde Nivel de Transposición

del Hexacorde G D G D

A0 P P T0 T0

IV III T6 T6

P III T0 T6

IV P T6 T0

A1 V I T1 T1

III V T7 T7

V V T1 T7

III I T7 T1

A2 II IV T5 T5

I II Te Te

II II T5 Te

I IV Te T5

48

En total, existen 12 combinaciones diferentes para generar agregados y se

muestran en la tabla del ejemplo 39. En dicha tabla se incluyen tanto agregados

linealescomoagregadoscombinados.

TricordesdelaMatrizdeRotaciónTranspuesta

Enunaseriededocetonossepuedenformardieztricordesapartirdesegmentos

distintos de tres tono-clases adyacentes. Debido a que las matrices de rotación

transpuesta se dan a nivel de hexacorde solamente se tomarán para su análisis los

cuatro tricordes que corresponden a cada uno de los hexacordes de la serie. El

ejemplo50muestralaseriedeMovimientosdivididaensusdoshexacordes.

Ejemplo50

Losnúmerosquesepresentanarribadelpentagramadesignanlostricordes.Los

númerosqueestánabajodelpentagramamuestran loscinco intervalosdirigidosde

cadahexacorde.Lostricordes1al4seencuentranenelprimerhexacordedelaserie.

Elprimer tricorde (1) correspondea lasnotasMib-Mi-Sib conunordenamiento I.D.

<1-6>. Las siguientes tres notas de la serie (Mi-Sib-Lab) corresponden al segundo

tricorde y tienenun ordenamiento I.D. <6-t>. Las notas Sib-Lab-La forman el tercer

tricorde con un ordenamiento I.D. <t-1>. El cuarto tricorde, y último del primer

49

hexacorde de la serie, es Lab-La-Re con un ordenamiento I.D. <1-5>. En el segundo

hexacordedelaserieseencuentranlostricordes5al8,yseleendelamismamanera.

EltricordecincoestáformadoporlasnotasDo-Si-Do#conunordenamientoI.D.<e-

2>.EltricordeseisSi-Do#-Fa#conunordenamientoI.D.<2-5>.Eltricordesietecon

lasnotasDo#-Fa#-SolconunordenamientoI.D.<5-1>y,porúltimo,eltricordeocho

Fa#-Sol-FaconunordenamientoI.D.<1-t>.

Si se observan los intervalos dirigidos de cada uno de estos ocho tricordes, los

tricordesdelaserienúmerostres,cincoyochosepuedenvincularpormediodelas

transformacionescanónicasR,I,RI.Elejemplo51expresadichasrelaciones.

Ejemplo51

EltricordecincoI.D.<e-2>serelacionaconeltricordetresI.D.<t-1>pormediode

la operación de retrógrado. El tricorde ocho I.D. <1,t> se relaciona con el tricorde

cinco por medio de la operación de inversión. Por lo tanto el tricorde ocho y tres

quedanrelacionadosconlaoperaciónRI.

Gracias a la propiedad de transposición que contienen las matrices Gamma y

Delta generan nuevos tricordes, además de los ocho del ejemplo 50. El ejemplo 52

contienelostricordesporI.D.delasmatricesGammayDelta.

50

Ejemplo52 Hexacorde Gamma Hexacorde Delta

A0 <1-6> <6-t> <t-1> <1-5> <e-2> <2-5> <5-1> <1-t> A0

A2 <6-t> <t-1> <1-5> <5-1> <2-5> <5-1> <1-t> <t-7> A2

A2 <t-1> <1-5> <5-1> <1-1> <5-1> <1-t> <t-7> <7-e> A1

A1 <1-5> <5-1> <1-1> <1-6> <1-t> <t-7> <7-e> <e-2> A0

A0 <5-1> <1-1> <1-6> <6-t> <t-7> <7-e> <e-2> <2-5> A2

A1 <1-1> <1-6> <6-t> <t-1> <7-e> <e-2> <2-5> <5-1> A1

Elprocesoderotaciónañadetres tricordesmása losochotricordesde laserie,

dandountotalde11tricordes.

Elefectodecanonsegenerapor larotaciónenelnúmerodeorden.Alrotar los

númerosdeordenenelprimerhexacordesurge,enlafilaVenlostonosdel1al3,un

nuevotricordeclase[0,1,2]conordenamientoI.D.<1-1>.Estetricorde,quesegenera

por la rotación del primer hexacorde, se designa con el número 9. En el segundo

hexacordeelcanongeneradostricordesmás,lostricordes10:I.D.<7-e>y11:I.D.<t-

7>. El tricorde 10 aparece por primera vez en la fila V, en los tres primeros tonos-

clase,mientras que el tricorde 11 aparece por primera vez en la fila II, en los tres

últimostonos-clase.

Anteriormente se vincularon los tricordes 3, 5 y 8 por medio de operaciones

canónicas; los tricordes10y11 también sepuedenvinculardeestamismamanera

con los tricordes de la serie 4 y 7 respectivamente. El ejemplo 53 muestra estas

nuevasrelaciones.

Ejemplo53

51

EltricordediezI.D.<7-e>serelacionaconeltricordecuatroI.D.<1-5>pormedio

delaoperaciónderetrógrado;eltricordesieteI.D.<5-1>serelacionaconeltricorde

diezpormediodelaoperacióndeinversión;porlotanto,lostricordessieteycuatro

quedanrelacionadosconlaoperaciónRI.

El tricorde once I.D. <t-7> se relaciona pormedio de la operación canónica de

inversiónconeltricordeseisI.D.<2-5>.Elejemplo54ilustralarelación.

Ejemplo54

Lostricordespuedenvincularseporclasedelasiguientemanera:

clase[016]:1,4,7y10

clase[026]:2

clase[012]:3,5,8y9

clase[027]:6y11.

Si además se toman en cuenta las relaciones por operaciones canónicas que se

dan dentro de este grupo de once tricordes, se puede observar que solamente se

presentan cinco tricordes con ordenamiento diferente en la serie (a saber, los

números1,2,3,4y6),yunúnicotricordeconordenamientodiferente,quenacedel

52

proceso de canondentro de lamatriz (el número 9). Los tricordes 10 y 11 quedan

relacionadosconloscincotricordesdelaserie.

A continuación se presentan tres ejemplos del cuartomovimiento en donde se

puede apreciar como Stravinsky viaja a través de las líneas de las matrices para

formar agregados. De estamanera se realizó el análisis de la obra para localizar el

movimientoatravésdelaslíneasdelasmatricesylasáreas.

Elejemplo55muestralostonosdelpianodeloscompases100alprimertonodel

compás 103 divididos por una línea punteada en dos hexacordes, estos forman un

agregado cromático en área0. Para generarlo Stravinskyocupa el ordenamientode

lasfilas(Pδ)y(PγI)delamatrizderotacióntranspuesta.

Ejemplo55

Acontinuaciónseexplicacómoseasignaronlasfilas(Pδ)y(PγI)alostonosdel

piano.Loprimeroquesehizofueunreconocimientodelosintervalosdirigidosdelos

segmentos,enestecasolosintervalosdirigidosdeloscompases100y101son<2-e-

7-t-1>ylosintervalosdirigidosdelsegmentocontenidoenloscompases101al103

son <6-2-e-7-e>; los primeros intervalos dirigidos pertenecen a la fila (P δ) de la

matriz delta, los segundos intervalos dirigidos pertenecen a lamatriz gamma y se

ubican en la fila (P γ I). En el ejemplo 56 semuestran las dos primeras filas de las

matrices de rotación transpuesta en donde los tonos de las filas (P δ) y (P γ I) se

encuentransustituidostomandoencuentaque0,debidoalordenamientodelaserie,

estárepresentandoaEb.

53

Ejemplo56

A HexacordeGamma(γ) HexacordeDelta(δ) AP 0 1 7 5 6 e C B C# F# G F A0I A2 Eb A G Ab C# D 9 e 4 5 3 t

Como se observa en el ejemplo el hexacorde (P δ) se encuentra en área 0 y el

hexacorde(PγI)seencuentraenárea2.TambiénesnecesarionotarquelostonosC#

y G aparecen en ambos hexacordes lo que provoca que al unirse los hexacordes

generenunacolecciónde10tonosynounagregadocromático.

Esdecir(Pδ)∪(PγI)={Eb,A,G,Ab,C#,D}∪{C,B,C#,F#,G,F}={Eb,A,G,Ab,

C#,D,C,B,F#,F}endonde{Eb,A,G,Ab,C#,D,C,B,F#,F}∉AgregadoCromático.

ParapodergenerarelAgregadoCromáticoconelordenamientodeloshexacordes

(Pδ)y(PγI)StravinskyaplicalaoperacióndeRetrogradoalprimeroyalsegundolo

invierteeníndice5.EsdecirR(Pδ)∪T5I(PγI)={D,Ab,Bb,A,E,Eb}∪{F,G,F#,

C#,B,C}∈AgregadoCromático.

Enelejemplo57semuestran lasdosprimeras filasde lasmatricesderotación

transpuestaconelhexacordeδenretrogradoyelhexacordeγinvertido.

Ejemplo57

A HexacordeGamma HexacordeDelta A P 0 1 7 5 6 E F G F# C# B C A0 (R)

I(T5I) A0 D Ab Bb A E Eb 9 e 4 5 3 t

Sepuedeobservarcomolosdoshexacordesdespuésdehabersidotransformados

porlasoperacionesderetrogradoheinversiónpertenecenambosalárea0.

El siguiente ejemplo muestra los tonos del piano en los compases 113 al 116

divididos en dos hexacordes por una línea punteada. El ordenamiento que ocupan

estosdoshexacordeseseldelasfilasde(Pγ)y(Pδ).

Ejemplo58

54

Loshexacordesdelasfilasde(Pγ)y(Pδ)generanunagregadoenárea1ydentro

delapartituraapareceelagregadoenárea1.Enelejemplo59sepuedeobservarel

contenidodeloshexacordesde(Pγ)y(Pδ),queeseldelaserieoriginaldelaobra.

Ejemplo59

A HexacordeGamma HexacordeDelta AP A0 Eb E Bb Ab A D C B C# F# G F A0

Al transformar laseriepor laoperaciónRIt,cambiaeláreade0a1 talcomose

muestra en el ejemplo siguiente que contiene la los tonos que ahora conforman la

presentacióndelaserieenRItcontenidosenelejemplo60.

Ejemplo60

A HexacordeGamma HexacordeDelta ARIt A1 F Eb E A B Bb Ab C# D C F# G A1

EnestecasoStravinskytrabajaconlaseriecompletaynoporhexacorde,yesuno

de los casos en los que atraviesa de manera lineal por las matrices para formar

agregados.

Elejemplo61muestraloscompases105al109quesoninstrumentadosporlos

violonchelos y el piano. Los hexacordes que forman estos compases pertenecen a

ordenamientosdelasfilasdelhexacordedelta.

55

Ejemplo61

Enelejemplo62semuestralamatrizderotacióntranspuestadelhexacordedelta

completa, en ella se han sustituido los tonos de las filas (P δ) y (P δ II). Se puede

observarquelafila(Pδ)seencuentraenárea0ylafila(PδII)enárea2.

Ejemplo62

HexacordeDelta AP C B C# F# G F A0I 9 e 4 5 3 t A1II C F F# E B Bb A2III 9 t 8 3 2 4 A0IV 9 7 2 1 3 8 A2V 9 4 3 5 t e A1

TambiéncabenotarquelostonosC,F#yFaparecenenamboshexacordesloque

provoca que al unirse los hexacordes generen una colección de 9 tonos y no un

agregadocromático.Esdecir(Pδ)∪(PδII)={C,B,C#,F#,G,F}∪{C,F,F#,E,B,Bb}

= {C, B, C#, F#, G, F, E, B, Bb} en donde {C, B, C#, F#, G, F, E, B, Bb}∉ Agregado

cromático.

Para generar el agregado cromático y el contenido en área 1 del mismo, es

necesariotransformaralafila(Pδ)porRItylafila(PδII)transpornerlaaT8.Esdecir

RIt(Pδ)∪T8(PδII)={F,Eb,E,A,B,Bb}∪{G#,C#,D,C,G,F#}={F,Eb,E,A,B,Bb,G#,

C#,D,C,G,F#}donde{F,Eb,E,A,B,Bb,G#,C#,D,C,G,F#}=Agregadocromático.

56

Ejemplo63

HexacordeDelta A P(γ) F Eb E A B Bb A1 (RIt)I 9 e 4 5 3 t A1 II G# C# D C G F# A1 (T8)III 9 t 8 3 2 4 A0 IV 9 7 2 1 3 8 A2 V 9 4 3 5 t e A1

En el ejemplo 63 semuestran las filas (P δ) y (P δ II) transformadas dondeun

hexacorde gamma con ordenamiento de un hexacorde delta permite que se de un

agregadocromático.

57

Capítulo3:AnálisisdelosMovimientos

En este capítulo se presenta el análisis de la obra Movimientos para piano y

orquesta. Para su estudio, la composición se ha dividido en dos grupos, el primero

conformadoporlosMovimientosindividualesyelsegundoporlosinterludios.

AnálisisMovimientoI

Laformaysurelaciónconlaserie.

Laobrainiciaconlapresentacióndelaserieenformaexplícita,presentadaensu

totalidadporelpianoenlosprimerosdoscompasesdelaobra.Elprimermovimiento

puedeentendersecomounaformabinariaquesearticulaatravésdelárea0;laparte

Acomprende loscompases1al30y laparteA´ loscompases31al42.Unesquema

generaldelaformasemuestraenelejemplo64.

Ejemplo64

Movimiento I

Parte A A´ Compases 1-30 31-42

Dentro de la parte A puede distinguirse una estructura ternaria (a-b-a´). La

distinción entre las secciones está reforzada por la instrumentación. La primera

seccióncorreacargodelpianoycuentaconunabreveintervencióndelascuerdas;la

segunda sección corresponde a los alientos, cuya entrada está marcada por las

trompetas y la desaparición del piano; en la tercera sección vuelve a intervenir el

piano acompañado de acordes en las cuerdas en pizzicato. En el ejemplo 65 se

desarrollalaestructurainternadelaparteA.

Ejemplo65

58

Movimiento I Parte A Estructura Interna a b a´

i 7-10

ii 13-17

iii 18-22

Compases 1-7 7-22 Casilla 1:23-26 Casilla 2: 27-30

Laseccióna,correspondealoscompases1al7,lasecciónbaloscompases7al

22y laseccióna´a loscompases23-30.Lasseccionesaya´estánrelacionadaspor

hallarse en lamismaárea. Los compasesque conforman la secciónb se encuentran

relacionadosentresiportransposiciónyasuvezpuedenorganizarseen3bloques.47

Elprimerbloque(i)comprendeloscompases7al12,elsegundo(ii)estáconformado

porloscompases13al17,yeltercero(iii)porloscompases18-22.Cadaunodeestos

bloquesiniciarespectivamenteenFa,SolyMib.

Elbloque iicorrespondeaunodelosbosquejosprimariosdelaobra,acercadel

cualelmismoStravinskydijo:“ningúnteóricopodrádescifrarlaortografíadelorden

de los tono-clases solamente conociendo el orden de la serie”48. Y efectivamente

ningún teórico logró descifrarlo hasta que se dieron a conocer los bosquejos de la

obra.

Strausdescribe loque se aprecia en losbosquejosposteriores a la creacióndel

bosquejoquedioformaalaparteii,conrespectoalprocesodelacomposicióndelos

compases7al32delprimermovimiento:

En lapartiturapublicada, lamelodíade la flauta contenida en los compases13-17

comienzaenSol,peroStravinskyoriginalmenteescribiólamelodíacomenzandouna

terceraabajo,enMib.Después transpuso lamelodíauna terceramayorarribaasu

nivelactualposiblementeparaajustarloal rangode la flauta.Más tardeescribió la

músicadelpianoenloscompases7-12enelmismoniveldetransposición,también

empezandoenSol,antesdetransponerlahaciaabajountonoasunivelactualenFa.

47EstaúltimasubdivisiónfueestablecidaporStrauscuandohablodelprocesocompositivodela

parteb.p.12548Straus, Joseph N. 2001. Stravinsky’s Late Music. Cambridge,UK: Cambridge University Press.

p.65.

59

Finalmenteescribiólamúsicaenloscompases18-32ensuniveltonaloriginal,Mib,

indicando en su bosquejo, “seguir el solo de flauta anterior (misma serie)”. Así

podemos observar a Stravinsky trabajando consciente y deliberadamente con

bloquesdematerial,disponiéndolosenunpatrónparticulardetransposiciones.49

ParacomenzarconelanálisisdelaparteA,sepresentaacontinuaciónelbosquejo

delacomposicióndeloscompases13al17delaobra,quecorrespondenalaflautaen

ii,alcualseharáreferenciacomo`mosaico50dederivación´.Elejemplo66muestrael

bosquejo original de Stravinsky que comienza en Mib y para este análisis los

fragmentoshansidonumeradosdel1al10.

Ejemplo66 51Mosaico de derivación

49Straus, JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic. Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.

125.50DonaldMartino presenta en “TheSourceSetand itsAggregateFormations” (1961, Journal of

MusicTheory5/2pp.224-273)eltérminomosaicoquesepuededefinircomolaunióndedostricordesquenointersectanentresimedianteoperacionesdetransposicióny/oinversión.Apartirdelconceptodemosaico sepuedeobservarquehayuna suertedederivaciónque también sebasaenmosaicos apartirdesegmentosordenadosdelasmatricesderotaciónentrelossegmentos1y2;3y4;4y5;7y8.

Por otra parte se propone el término “Mosaico de derivación” para identificar los pasajesformadosporunconjuntodesegmentosprocedentesdelasmatricesdeRotación-transpuesta.

51Straus, JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.67.Ej.2.10a.Enelpresente trabajo se indicaentreparéntesiselbemolparael Sol (segundanotadelsegmento10),paraquecorrespondaalasucesiónP-δ-II.EstamodificaciónaltextooriginaldeStrausfuepropuestaporArturoCuevasGuillaumin.

60

Enelejemplo66sepresentalamelodíaqueestáconformadaporsietetricordes,

dostetracordesyunpentacordequesonelresultadodelaselecciónyreacomodode

fragmentosdelasmatricesderotacióntranspuesta(GammayDelta).AunqueStraus

mencionalaposibilidaddequeestefragmentohayasidotranspuestodebidoalrango

delaflauta,esposiblequeStravinskyrealizaraelbosquejodelejemplo49-queenla

obra terminada corresponderá a la flauta- pensando en generar por medio de las

matricesGammayDeltaunmaterialderivadoparaserusadoentodaunasecciónde

laobra(b),transformadoatravésdelatransposiciónysuconsecuentepermutación

demotivos.Enelejemplo63seexhiben,numeradosentrecorchetes, losfragmentos

delasmatricesderotación-transpuestaquefuerontomadosparagenerarlamelodía

delejemplo67.

Ejemplo67

Mosaico de derivación.

61

Los segmentos señalados en el ejemplo 58 corresponden a los tricordes,

tetracordes y el pentacorde del ejemplo 67. Se puede apreciar que Stravinsky, en

lugardetransitarporlasfilascompletasdelasmatrices,decideentretejersegmentos

de las mismas para formar un nuevo material derivado. Con esta selección de

segmentosdelaserieStravinskycreanuevasrelacionesdeordenentresuselementos.

Acontinuaciónsemuestraenloscompases18y19señaladosentrecorcheteslos

tresprimerosqueestáncontenidosenelmosaicobasedederivación.

Ejemplo68

Pararepresentargráficamenteelanálisisdelasseccionesiyiienlosejemplos69

y70quecorrespondenalosmosaicosdederivaciónenT2yT4sehantranspuestolas

matricesGammayDeltaaT2yT4.Debajodelasmatricessepresentanlosprimeros

compases correspondientes a cada mosaico de derivación en la partitura. Los

segmentosestánseñaladosconcorchetes.

62

Ejemplo69 Mosaico de derivación en T2

Compases 7 al 13

Ejemplo70

63

Mosaico de derivación en T4

Compases 13 y 14

Loscompases11y12,quepreparanlaentradadelmosaicodederivaciónenT4noson

partedelmosaicodederivaciónenT2.Porloqueacontinuaciónenelejemplo71se

presentaunanálisisdedichosegmento.

64

Ejemplo71 Compases 11 al 13.

En el ejemplo 71, que comienza a lamitad del compás 11 a partir del Sib que

precedealdosillo,sepresentaelprimertetracordedelhexacordeinicialenelorden

<2,0,1,3>,esdecir<Sib,Mib,Mi,Lab>,estableciendolarelación<Mib,Mi,Lab>que

más adelante será relevante para el análisis del interludio. También se presenta el

primerhexacorde<0,1,4,5,2,3>enT4.

EltetracordeenT0seenlaza,pormediodeltonocomúnLab,conlaprimeraparte

delhexacordeenT4enlamanoderechadelpiano.EstaejecutaLabySolmientrasque

el tonoclaseMipermanece sonandodesdeelúltimo tiempodeldosillodelcompás

11;Lab,SolyMisemantienenligadosmientrasquelastrompetasejecutanlaúltima

díadadelhexacordeenT4.Dichohexacordesecompletaenelcompás13,enlosdos

primerostonosdelpiano.

Enloscompases13al17sepresentaenlaflautaelmosaicodederivaciónenT4.

El acompañamiento de esta sección se da pormedio de una sucesión lineal de los

tonosdelasfilasIyIIdelasmatricesGammayDelta,quevandelpianoalclarinetey

posteriormente al clarinete bajo, en los compases 13 al 16. En el ejemplo 72 se

muestraelacompañamientodeloscompases13-16delmosaicodederivaciónenT4.

Ejemplo72 Compases 13 al 17.

65

El acompañamiento comienza con la presentación de los tonos de P-D-I en el

compás13,seguidodeP-α-IIyconcluyeconlostonosdeP-δ-II.ElhexacordeenP-α-II

secompletaconelMibqueseencuentraenlaflauta,yestetonocompletaunagregado

enárea2.Enelcompás17continúaelacompañamientoconelclarineteyelclarinete

bajo,con lapresentaciónde los tonosdeR-δ-VyR-γ-V,encadenados.Elejemplo73

presentalostonosdelacompañamientodelaflautaenelcompás17.

Ejemplo73 Compás 17.

Enelejemplo73semuestracomoeltono-claseRe,queterminalapresentación

delafilaR-δ-Vseconvierteeneltono-clasedeiniciodelafilaR-γ-V.Estoprovocaque

enestedesplieguede las filasde lasmatricesnosegenereelagregadoenárea2,al

faltar el tono-claseSib. Sinembargo, en lapartede laFlauta sepresentael Sib,que

resaltaenregistroporsereltonomásaltodelprimermovimiento.

En los compases 7 al 10 que corresponden a i, se presentan los primeros 7

fragmentosdelmosaicodederivaciónenT2.Loscompases13al17(ii)contienenen

lapartedelaflautaelmosaicodederivacióncompletoenT4.Porúltimo,loscompases

18al22presentanelmosaicodederivaciónoriginal (T0).El ejemplo74muestra la

relaciónportransposicióndelastresseccionesdeb.

66

Ejemplo74

Latransposiciónmodificalasrelacionesdenúmerodeorden.Cuandoelmosaico

de derivación se transporta a T2, los tres primeros tonos de la fila I de la matriz

Gammasetransformande(Mib,La,Sol) a (Fa,Si,La)y,alcombinarlosconlostres

últimosdelamismafiladelamatrizDeltaenT2(Sib,Lab,Mib),sederivalasiguiente

sucesióndeordenconrespectoalordenoriginaldelaserie:<e,7,4,2,3,0>.Cuando

elmosaicodederivaciónse transportaaT4 lasucesiónde losnúmerosdeordende

susprimerosseistonoseslasiguiente:<t,8,7,6,2,e>.

Paramostrar las nuevas relaciones, el ejemplo 75 contiene las seis filas de las

matrices Gamma y Delta con la nomenclatura representada por números enteros

módulo12paralostonos,acompañadasporlosnúmerosdeordencorrespondientesa

cadaunorespectodelordendelaserie.

Ejemplo75

Gamma Delta S

H0 3 0

4 1

t 2

8 3

9 4

2 5

0 6

e 7

1 8

6 9

7 t

5 e

I H0

3 0

9 4

7 t

8 3

1 8

2 5

0 6

2 5

7 t

8 3

6 9

1 8

II H0

3 0

1 8

2 5

7 t

8 3

9 4

0 6

5 e

6 9

4 1

e 7

t 2

III H0

3 0

4 1

9 4

t 2

e 7

5 e

0 6

1 8

e 7

6 9

5 e

7 t

IV H0

3 0

8 3

9 4

t 2

4 1

2 5

0 6

t 2

5 e

4 1

6 9

e 7

V H0

3 0

4 1

5 e

e 7

9 4

t 2

0 6

7 t

6 9

8 3

1 8

2 5

67

AltomarStravinskylostresprimerostonosdelafilaIdelamatrizGamma(Mib,

La, Sol)y combinarlos con los tresúltimosde lamisma filade lamatrizDelta (Lab,

Fa#,Do#),derivalasiguientesucesióndeorden:<0,4,t,3,9,8>,asícomotambién

unnuevohexacordeclase[0,1,2,3,6,8],queseharesaltadoenelejemplo71.Los

otroshexacordesquesegeneranpor lasucesiónde lossegmentosenelmosaicode

derivaciónsedanentrelossegmentos3y4,queformanunhexacordeclase[0,1,2,3,

4, 7], 4 y 5 que forman un hexacorde clase [0, 1, 2, 3, 4, 8] y, finalmente, entre los

segmentos7y8queformanunhexacordeclase[0,1,2,3,4,6].

Hasta aquí el análisis de los mosaicos de derivación se realizó pensando en el

mosaicocomobloquetranspuesto.Acontinuaciónsepresentaunanálisisaplicandoel

conceptodeáreaa losmosaicosdederivación.Paraesteanálisiscada fragmentode

cadamosaicodederivaciónhasidoubicadoenunadelastresáreasdelHexacordeD.

Aligualqueenelanálisisprevio,separtedelmosaicodederivación.Enelejemplo

76semuestranlosfragmentosnumeradosdelmismoconeláreaalacualpertenece

cadauno.

Ejemplo76

El primer segmento del ejemplo 76 (Mib, La, Sol) es un tricorde propio del

hexacordeD (comenzandoenRe)enT5;por lo tantodichosegmentoseubicaenel

área2.Lossegmentos2,3y4sonpropiosdelárea1;elsegmento5pertenecealárea

0, y los segmentos del 6 al 9 regresan al área 2, tal como el primer segmento del

mosaico.Lossegmentos8y9pertenecentantoalárea1comoala2:elfragmento8

68

existetantoenT1comoenT2yelsegmento9sepuedeubicartantoenT4comoenT5;

porocurrirdespuésdedossegmentosenárea2,seleshaasignadolamismaárea.El

pentacordequeconformaelsegmento10nose localizaensutotalidadenelárea1;

sinembargo,eltetracorde(Mib,Mi,Fa,Sib)selocalizanaturalmenteenT1ycontiene

unodelosconjuntosquedefineneláreaenloshexacordestipoD:eltricorde[0,1,2]a

partirdeMib,porloqueelconjuntosehacatalogadoenelárea1.

ElmosaicodederivaciónenT2sepresentaenelejemplo77,anotadodelamisma

maneraqueelmosaicobasedederivación.

Ejemplo77

El primer fragmento del mosaico de derivación en T2 pertenece al área 1. Los

fragmentos2,3y4sondelárea0;losfragmentosdel6al9sonnuevamentedelárea1

yelpentacordefinalseubicaenelárea0.

Porúltimo,semuestraenelejemplo78elmosaicodederivaciónenT4,marcado

delamismamaneraquelosmosaicosanteriores.

Ejemplo78

69

La lectura del ejemplo 78 es como en los ejemplos anteriores. El fragmento 1

pertenecealárea0;losfragmentos2,3y4sondelárea2;elfragmento5delárea1;

los fragmentos del 6 al 9 pertenecen al área 0 y por último el fragmento 10 se ha

ubicadoenelárea2.

Elejemplo79muestraenunatablaelresultadodelanálisisporáreadelostres

mosaicosdederivación.

Ejemplo79

Segmento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mosaico de derivación en T2 A1

T1 T0 T0 T3 T5 T1 T1 T4 T1 T0 1 0 0 0 2 1 1 1 1 0

Mosaico de derivación en T4 A0

T3 T2 T1 T5 T1 T3 T3 T0 T3 T5 0 2 1 2 1 0 0 0 0 2

Mosaico base de derivación T0 A2

T5 T4 T4 T1 T3 T5 T5 T5 T2 T1 2 1 1 1 0 2 2 2 2 1

La primera fila representa los 10 segmentos numerados. La filas subsecuentes

expresan la transposición en la que se encuentra cada segmento y el área a que

pertenece.Losmosaicosdederivaciónquesehanorganizadodearribahaciaabajode

acuerdoasuordendeapariciónenlapartitura.ElmosaicodederivaciónenT2esta

expresadoenárea1(A1).MientrasqueelmosaicodederivaciónenT4seexpresaen

área0(A0), yelmosaicobasedederivaciónocurreenárea2(A2).Lafrecuenciade

aparicióndelasáreasencadaunodelossegmentosdelosmosaicosdeterminaelárea

70

principalalquehansidoasignados.Lossegmentos8al10delmosaicodederivación

enT2seencuentransombreadosporquenoaparecenenlapartitura.

Elpatróndeapariciónde lasáreasen losmosaicosdederivaciónes siempreel

mismo,ytieneelsiguienteorden:

ElA0semuevealA2

ElA2semuevealA1

ElA1semuevealA0

Elejemplo80representaestepatróngráficamente.

Ejemplo80

Este patrón también surge entre los distintos fragmentos de los mosaicos de

derivación.

El ejemplo 81 muestra una gráfica general de la segunda parte (parte A´) del

MovimientoI,endondesepuedeapreciarlainteraccióndelasáreasenlaestructura.

Ejemplo81 Forma A´ Coda Estructura Interna a b a´ a b a´ Compases 31-33 33-36 36-41 42 42a 42a-c Área A0 A1 A0 A0 A1 A0

Fl:40-41 A1

LaparteA´sepuedeentenderendossecciones:lasecciónquevadeloscompases

31al41,ylacodaqueseencuentraapartirdelcompás42,queestádivididaencuatro

71

partes: 42, 42a, 42b, 42c. Cadaunade estas seccionespresentadentrode ellasuna

forma ternaria a-b-a´ que recuerda la forma de la parte A. En estas dos secciones

ocurreunamismasucesióndeáreas:A0-A1-A0.Laprimerademaneramásextensaque

lasegunda.

Enlosprimerostrescompasesdeestasecciónsepresentalaserieconelsiguiente

orden:

Ejemplo82

Elejemplo82muestralastresseccionesquepermaneceninvariablesdentrodel

nuevoordenamientodelaserie,enloscompases31al33(i).Aunqueelordenenla

segundapresentacióncambia,sepreservanenelprimerhexacordelasposicionesde

lostono-clases<5,6>.Eltono-clase7sigueestandoalladodelapareja<5,6>perosu

presentación es posterior. En el segundo hexacorde, los tono-clases <t, 3, 4, 2> se

muevenal iniciodelapresentacióndelhexacordeylostonos<9,8>sepresentanal

final; es decir, existe un intercambio de orden en la presentación de la díada y el

tetracorde del segundo hexacorde. Estas invariables hacen que los compases 1 y 2

quedenrelacionadosconloscompases31al33.

Loscompasesposterioresrepresentadosporiitransitanatravésdelostonosde

lasfilasVde lasmatricesDeltayGamma:P-δ-VyP-γ-V.LafilaVesunade lastres

filas donde el agregado se completa de manera lineal en las matrices de rotación

transpuestayseubicanloshexacordesdentrodelárea1.

A partir del último tono-clase del compás 36 (La) y hasta el compás 41, se

presentan varias líneas en relación de canon. Este despliegue esta formado por 5

presentaciones completas de la serie y dos presentaciones incompletas de la serie

(ambas exhiben el primer hexacorde de la serie). Dos de las cinco presentaciones

completasdelaseriesemuevenatravésdelpiano,mientrasqueeldesplieguedela

serieenlasotrastrespresentacionesserepartesiempreentredosinstrumentosque

son:arpayfagot,clarinetebajoyviola,clarinetebajoyfagot.

72

Las líneas del canon preservan los tono-clases de la serie en diferentes

ordenamientos. Esta selección de ordenamientos diferentes da origen a la relación

queexisteentrelostonosdelasentradasdelassietelíneasdelcanon.Enelejemplo

83semuestranlostono-clasesdelasentradasdelcanonnumeradosdel1al7,ensu

registrooriginal.Elnúmeroocho,queseencuentraentreparéntesis,correspondeala

últimaentradadelaseriequehacelaflautayseráanalizadaposteriormente.

Ejemplo83

En el ejemplo83 se señalanagrupadas las voces1, 2 y3, así como también las

voces4,5y6.Sepuedeobservarquelarelaciónentrelasdosprimerasentradasesde

un intervalo dirigido 7,mientras que entre la segunda y tercera entradas es de un

intervaloe.Entre lasentradas4,5y6 sepreservan losmismos intervalosdirigidos

queenentrelasentradas1,2y3.Laterceray lacuartaentradacomparteneltono-

clase inicial Mib, que reaparece en la séptima entrada en el mismo registro; al

reaparecerestetono-clasesevuelvesignificativoporsereltonoinicialdelaobra.

Observacionessobrelapresentación.

Elejemplo84muestralosprimeroscompasesdelaobra.

Ejemplo84

73

Elprimercompáscontieneelhexacorde<0,1,7,5,6,e>,formadoporlaunión

de dos tricordes [0, 1, 6]. Los tonos-clase 0 y 1 quedan acentuados por la

instrumentación, mientras que el tono-clase 6 se asocia a la primera díada por la

disposiciónrítmicadelosmotivos.Elsegundohexacordedelaserie<9,8,t,3,4,2>

sepresentaenelsegundocompás,formadopordostricordes[0,1,2];elacentoquese

presentaeneltono-clase3loenlazaconeltono-clasequeloprecede.Enestaprimera

presentación de la serie Stravinsky sienta las bases que abren el camino al

movimientoporáreas.LadíadainicialMib-MiesarticuladaconelapoyodelaflautaI,

trompetaIylosviolines.

Observacionessobrelainstrumentación.

ParaanalizareldialogoentreelpianoylaorquestaenMovimientos,sehadividido

lainstrumentaciónentresfamilias.Losalientos(x),lascuerdas(y),yelpiano(z)en

dondesehanincluidoelarpaylacelestaporaparecerensumayoríadelasveces

apoyandolapartedelpiano.Elejemplo85expresaenformadetablaelordende

aparicióndelainstrumentaciónenloscompasesdelprimermovimiento.Estoshan

sidodivididosdeacuerdoalasentradasdelosinstrumentos.

74

Ejemplo85

cc.1-2 cc.3-11 cc.12-26 cc.27-30 cc.31-36 cc.36-41 c.42

x-y-z x-y-z x-z-y z x-z-y z-y-x z

Loscompases1y2contienenlacombinaciónprimariadelainstrumentaciónque

esx-y-z.Lospatronesdeaparicióndelasfamiliasdeinstrumentosserelacionanpor

mediodelapermutacióndeloselementosdelacombinaciónprimaria.Elejemplo77

muestraunamatrizdeinstrumentación.

Ejemplo86 Matriz de instrumentación

1 x y z R1

2 y z x R2

3 z x y R3

Enlafilaunodelamatrizseencuentralacombinaciónprimaria,queprovienede

losdosprimeroscompasesdelaobra.Lasegundaylatercerafilassonresultadodela

rotacióndeloselementosdelacombinaciónprimaria.Lamatrizseleedeizquierdaa

derecha y de derecha a izquierda. El segundo modo de lectura proporciona los

retrógradosdecadafila.

Usandolamatrizdelejemplo86esposibledescribirlascombinacionespresentes

enel ejemplo68.Lasprimerasdos columnas contienen la combinaciónprimaria, la

tercerayquintacolumnas(x-z-y)correspondenaR2,ylasextacolumna(z-y-x)aR1.

75

MovimientoII

Laformaysurelaciónconlaserie.

El Movimiento II se puede entender como una forma binaria cuyas partes se

dividenasuvezendossecciones.Enlatabladelejemplo87sepresentaelsegundo

movimiento dividido por compases. A cada grupo de compases le corresponde un

área,yselehanasignadoetiquetasdeformaparafacilitarfuturasreferencias:

Ejemplo87

Forma A A’ Áreas A0-(A1) A0-(A2) A0 A0-(A1-2)

Compases cc.46-51 cc.51-55 cc.55-69 cc.60-67

Tal como se puede observar, la parte A comprende los compases 46 al 55 y la

parteA´,loscompases55al67.Cadaunadeestaspartessedivideendossecciones:

LaprimeraseccióndelaparteAabarcaloscompases46al51ycontieneagregadosen

lasáreas0y1.LasegundaseccióndelaparteAseconstituyeconloscompases51al

55ycontieneagregadosenlaáreas0y2.LaprimeraseccióndelaparteA´vadelos

compases55al59ypresentaagregadosenárea0porúltimolasegundasecciónde

estamismaparteabarcaloscompases60al67ycontieneagregadosenlasáreas0y1

ydentrode lascuerdasapartirdelcompás62figuracionesenlasuperficiedelárea

dos. Tres de las cuatro secciones se caracterizan por incluir simultáneamente

agregadoscompletosendosáreasdiferentes, endondeunáreapredominasiempre

sobrelaotra,queacompañaysemuestraentreparéntesisenelejemplo87.

Laseccióndeloscompases46al51dainicioconeltricorde<Fa#-Fa-Sol>,que

refieredirectamentealárea0.Ésteinicioestáligadoalprimercalderóndelcompás42

pormediodelaorquestación.Enambosseescuchaelpiano,seguidoporelarpacon

losmismostrestonos.Enelmomentoenqueentraelarpa,elpianocontinuaconel

desplieguedelárea1paralograrquetodalasecciónseaentendidacomocentradaen

elárea1,sinperderelcontextodelárea0.

76

Enelejemplo88semuestraeliniciodelsegundomovimiento.

Ejemplo88

Talcomosepuedeobservarenelejemplo88,el tricorde [0,1,2]querefiereal

área0hasidomarcadopormediodeuncorchete.Sinembargo,Fa#yFapertenecena

dos líneasdiferentes:Fa# eselprimer tonodelagregadoenárea1;Faeselprimer

tonodelagregadoenárea0.Losagregadossepresentanatravésdelaslíneasdelos

seis instrumentos presentes en esta sección, que son: piano, viola, violoncello,

contrabajo,trompetaIyarpa.

En el ejemplo89 semuestran los tonosde cadaagregado con los instrumentos

que los interpretan. El ejemplo está dividido por hexacordes. Los del área 1 se

muestranenelprimerpentagramaylosdelárea0,enelsegundo.

Ejemplo89

77

Enelejemplo89lasaparicionesdeSibde lasáreas1y0hasidounidoporuna

línea debido a que es el único tono que se desfasa del orden de lasmatrices en el

agregadoenárea0.Estetonoesinterpretadoenelcompás48porelpianoyelarpa,

comosegundomiembrodelsegundohexacordeenárea1;elarpalomantienehastael

compás50conunafiguradetrémolo.Demodoque,conrespectoalordenamientodel

hexacordealfaenárea0,sepresentaanticipado. Sinembargo,paraesteejemplo se

acomodóenellugarquelecorrespondesegúnelordendelretrógradodelárea0.La

lecturadelasmatricescorrespondientesalagregadodelárea0es:R-β;R-α.Yparael

agregadoenárea1esR-β-IV.Elhexacordeαsecompletamedianteotroproceso,que

seexplicamásadelante.

Al inicio del segundo movimiento la obra retoma la sonoridad de trémolo

sugeridaporlastrompetasenelcompás12delmovimientoanterior.Lostrémolosdel

segundo movimiento unen las secciones de la parte A como periodos paralelos al

disponerdeformasimilarlostonosqueabrencadasección.

Elmovimientoentre los trémolosgenerados tricordes [0,2,7].Elprimeroestá

formadocon los tonos<Fa,Sol,Do>yelsegundocon los tonos<Sib,Lab,Mib>.La

instrumentacióndeambossepresentadelamismamanera:elprimertrémolosurge

enelarpa,elsegundoenelpianoyelterceroenlatrompetaI.Así,elprimertricorde

[0,2,7]seconstituyeconuntrémoloenFapresentadoporelarpa,quevaaSolenel

pianoyterminaconunDoenlatrompetaI.ElsegundotricordecomienzaconunSib

enelarpa,quesemuevealLabenelpianoyllegaalMibdelatrompetaI,enelcompás

51,queeselpuntoendondeinicialasegundaseccióndelaparteA.Elejemplo90es

unagráficaquepresentalarelaciónqueseestableceentrelostonosdelostrémolos:

78

Ejemplo90

Enelejemplo90seobservacomolostrémolossehanagrupadoendíadasclase

cinco que están relacionadas por flechas. Las relaciones entre éstas se exhiben por

mediodeintervalosclase7queasciendenodescienden.Elprimertricordepertenece

al inicio de la parte A y el segundomarca el inicio de la segunda sección de dicha

parte.LostonosFaySibquedanunidosporelordenyeltimbre,yaqueambossedan

enlapartedelarpa.

EltrémoloenMib,queabrelasegundaseccióndelaparteA,esresultadodeun

procesomedianteelcualseordenaelhexacordeαdelárea1.Estemismoproceso,que

ordenaaMibcomoelúltimotonodelhexacordeαenserpresentado,permiteelpaso

alárea2enestasección.

El hexacorde α presenta dos características: la primera es que su distribución

linealhacequesepuedapartirenuntetracorde[0,1,6,7]yunadíada[0,6];lostonos

<Si, Sib, Fa,Mi> forman el tetracorde, y <La,Mib> constituyen la díada. La segunda

característicadelhexacordeαesqueeltetracordeseencuentradivididoeneltiempo

porelhexacordeR-αdelárea0.Estasegundacaracterísticapermitequeeltetracorde

delárea2seencuentredivididoporladíadaquecompletaelhexacorde.

Enelejemplo91semuestraunainterpretacióndelprocedimientodecambiode

área por medio de la división de los hexacordes en un tetracorde y una diada

respectivamente.Eltetracordecomún[0,1,6,7],hasidomarcadoconX,mientrasque

79

lasdíadas[0,6]hansidomarcadasconYeY’.Elpasodelárea1alárea2esposible

debidoaqueeltetracordeesinvariableenamboshexacordesyalenlazarseconYse

ubicaenárea1mientrasquealenlazarseconY’generaunhexacordeenárea2.

Ejemplo91

En el ejemplo 91 se muestra cómo el tetracorde común se enlaza con los dos

hexacordesmediante el tonoMide la violaquepermanece ligadodel compás50al

compás51.EltonoquesiguealMiesunFaqueapareceduplicadoenelpiano,yesla

líneadelpianolaquecompletalapresentaciónelhexacordeαenárea2.

LaprimeraseccióndelaparteA´comienzaconunhexacordeenárea1enelpiano

yunhexacordeenárea0enlascuerdas,enloscompases56y57.Loscompases58al

60 completan el agregado en área 0, y la sección finaliza con el hexacorde que

completaelagregadoenárea1,quepromuevetambiénelcambiodesección.

Elpasode laparteAa laparteA´sepreparadesdeelSidelcompás52–quese

presentacomolaúltimanotadelamanoizquierdadelpiano-hastaeltrémolodeLab

del compás 53 en el arpa. Estas dos notas generan una relación ambigua con el

tetracorde [0, 1, 6, 7] que las sigue. El Lab y el tetracorde forman un conjunto que

pertenece al área 1, mientras que el Si con el tetracorde generan un conjunto que

pertenece al área0. El paso a la parteA´ se da con elmismo tetracorde [0, 1, 6, 7]

transpuestoa1:lostonosDoyFa#queformabanpartedeltetracordedelasegunda

sección de la parte A y se unen por timbre al tetracorde en T1 y completan un

hexacordeenárea1.Enelejemplo92semuestraunesquemadelcambiodesección.

Ejemplo92

80

En el ejemplo 92 los tonos que pertenecen al piano se encuentran en el

pentagrama superior. La numeración que se encuentra debajo de los pentagramas

correspondealoscompasesdelapartitura.Lostetracordesestánrepresentadospor

corcheas y designados como T0 y T1. Los Fa# se representan con una ligadura

punteadaparadaraentenderqueelsegundodeellospuedeinterpretarsecomouna

repetición. El hexacorde en área 1 está entre paréntesis e incluye únicamente los

tonoscontenidosenelpiano.

EnlaprimeraseccióndelaparteA´elagregadoenárea0secompletapormedio

deladistribucióndelostonosentetracordesydíadas.Elhexacordeβsepresentaen

sutotalidadenelpianoconladuplicacióndeDoenelvioloncello;lapresentacióndel

hexacordeαsedistribuyeentreelpianoylascuerdas.Enelejemplo93serepresenta

laformacióndelagregadoenárea0:

Ejemplo93

81

En el ejemplo 93 se respeta el orden en el que se encuentran los tonos en la

partitura; el pentagrama superior contiene los tonos que pertenecen al piano. Los

tetracordes están indicados con las variables X y X’ mientras que las díadas están

indicadasconY,Y’.Losnúmerosdebajodelospentagramasindicanloscompasesen

losqueseubican los tonos.Enelejemplo94sepresentaunagráficaqueresume la

formaenlaquesecompletaelagregadoenelejemplo93.

Ejemplo94

ElcambiodelaprimerasecciónalasegundadentrodelaparteA´sedaatravés

del último hexacorde de la primera sección, que se ubica en área 1. El ejemplo 95

muestraelcambiodesecciónentrelassecciones.

Ejemplo95

Elhexacordesedespliegadetalmaneraqueladíada(Fa,Si)abrazaaltetracorde

<La,Sib,Mi,Mib>.Estetetracorde,queescomúnentrelasáreas1y0,sedespliegaen

elpianoaliniciodelasegundaseccióndeA´delcompás62al63.Elhexacordeenárea

0secompletacon ladíada(Lab,Re)enelcompás63;elLab sepresentaen laviola

82

seguidodeunSibquerefuerzaelárea0,alcrearjuntoconLabunodelosintervalos

queladefinen.

Enelejemplo96semuestraunesquemaquecontieneúnicamente lasvariables

delejemplo95.Enesteesquemasepuedeapreciarcómosegeneranloshexacordes

delárea1ydelárea0apartirdeuntetracordecomún.

Ejemplo96

Observacionessobrelainstrumentación.

En este movimiento el dialogo entre el piano y la orquesta se basa en el

retrógradode laprimerafilade lamatrizde instrumentación[z-x-y],yen latercera

rotacióndelacombinaciónprimaria[z-y-x].

Ejemplo97

Forma A A´

Compases cc.46-51 cc.51-55 cc.55-59 cc.60-67 Instrumentación z-x-y z y-x

Enelejemplo97sepresentaunagráficaqueuneelanálisisdelainstrumentación

conlaformapropuestaparaelsegundomovimiento.

83

LaparteAtienelainstrumentación[z-x-y]ylaparteA’lainstrumentación[z-y-x].

En la parte A las áreas no se muestran sobre una variable específica ya que las

entradas de las tres familias de instrumentos se dan en el compás 46, el primer

compásdelmovimiento,yunavezqueentransemantienentocandoconstantemente

alolargodelaparteA.EnlaparteA’,apartirdelcompás56,enlostonosdelpianose

establece el área0 y posteriormente en el compás60 con la entradadel violín y la

violasepresentaelárea1.Finalmenteenelcompás62mientraslastrompetasapoyan

lapresentacióndelárea1lascuerdasconsusfiguracionesestablecenlapresenciadel

área2.

84

MovimientoIII

Laformaysurelaciónconlaserie.

Eltercermovimientosepuedeinterpretarcomounaformabinaria,ycadaunade

suspartessedesarrollasobrelastresdiferentesáreasdelhexacordeD.Enelprimer

compásdelaparteAsedespliegaunagregadoenárea1,delcompás75al78hayun

movimientoalárea0ydelcompás79al80hayuncambioalárea2.EnlaA´,enlos

compases81-83,hayunregresoalárea1;dentrodeestasecciónlapresentaciónde

los agregados se da de manera encadenada. Los compases 84 al 85 presentan un

agregadocompletoenárea0posteriormenteenelcompás86hayuncambioalárea2

y el cierre del movimiento inicia en el compás 89 cuando se regresa al área 0.El

ejemplo98muestraunatablaquedescribelaformadelmovimiento.

Ejemplo98

Movimiento III

Forma A A´

Área A1 A0 A2 A1 A0 A2-0

Compases 74 75-78 79-70 81-83 84-85 86-91

Elpatróndelasáreaspresentadoenelejemplo98sepuedegraficartalcomose

muestra en el ejemplo 99. Nótese que el patrón sigue el mismo orden que la

progresióndelasáreasenlosmosaicosdederivacióndelMovimientoI

Ejemplo99

85

En los compases 79 al 85 se completan dos agregados en área 1 por el

encadenamiento de tres hexacordes diferentes. En el ejemplo 100 se muestra el

procedimientodeconstruccióndeambosagregadosencadenados.

Ejemplo100

Enelejemplo100semuestralostreshexacordesdivididosendostetracordesy

dosdíadas.LostetracordessehandenominadoXyX’,ylasdíadasYeY’.LaXcontiene

untetracordeclase[0,1,6,7];laX’transponeestemismotetracordeaT3oloinvierte

enT9I.LasdíadasYsonclase[0,6].LarelacióndeladíadaYconY’sedaporelmismo

nivelde transposiciónyelmismo índicede inversiónutilizadoen la relaciónde los

tetracordesXyX’.Lasdosdíadasydostetracordessepuedencombinarde4formas

diferentesparagenerarhexacordes;sisecombinanX+Y,obienX’+Y’secompletan

hexacordesenAn.SisecombinanX+Y’,obienX’+YseobtienenhexacordesenAn+

1.

Para completar el primer agregado, de los compases 79 al 81, ambos pares de

elementossecombinanentresformasdiferentesquegeneranlostreshexacordesdel

ejemplo101.ElprimerhexacordeseformaconlacombinaciónY+X,yseencuentra

86

enAn;elsegundoconlacombinaciónX+Y’,yseencuentraenAn+1,yeltercerocon

lacombinaciónX’+Y’yseencuentraenAn.

Ejemplo101

El ejemplo 102 dispone los tonos que forman el primer agregado encadenado,

ordenadosenunmismoregistro.

Ejemplo102

Compases79al81

Cada hexacorde ha sido etiquetado con el área a la cual corresponde. El Si del

primerhexacordeserepresentadentrodeunparéntesisporquenoseencuentraenla

partitura.Lasvariablesdelejemplo102semuestranseñaladasconplicasascendentes

odescendentes,ylasáreasalasquepertenececadahexacordeseindicanaliniciode

losmismos.

Elsegundoagregadoencadenadosemuestraenelejemplo103.

Ejemplo103

87

Aquí sepuedeobservarcómoelmismoprocedimientodeconstrucción también

secumpleenelsegundoagregado.

Lasvariablesdelejemplo101sepuedenocupartambiénparaexplicarelpasaje

de área 2 de los compases 85 al 88. En el ejemplo 104 se muestra la gráfica que

describeelpasaje.

Ejemplo104 Compases 85 al 88

Elejemplo104muestracómoladiadaY’,queprovienedelostonosDoyFa#que

permanecen ligados en el clarinetebajo y el arpa respectivamente, se enlaza conX.

LostonosdeXseencuentranenlaslíneasdelclarineteycornoinglés,éstosformanun

88

tetracorde[0,1,6,7]conlostonos(Mi,Fa,Sib,Si).Enelcompás86ladíadaYaparece

completa y se vincula con el tetracorde X’, definiendo el área 2 con un primer

agregado.Elcompás87contienetanto ladíadaYcomoa los tetracordesXyX´;por

último,enelcompás88enlaflautaIapareceladíadaY´quecompletalapresentación

delsegundoagregadoenelárea2.

Enelejemplo105sedestacanlasrelacionesentrelosmismostonosdelcompás

86,queesdondesedefineelárea2.LasvariablesX’yYocurrenenelpiano.Sepuede

observarcomoeltetracordeX’quedaabrazadopor ladíadaY,mientrasqueeloboe

anticipaunmiembrodeltetracordeXmedianteunaapoyatura(Reb).

Ejemplo105 Compás 86.

Enelejemplo106sepresentalarelacióndelasvariablesdentrodelapartedela

flautaI(compás88),dondeocurreladíadaY´,completandoasíelagregadoelsegundo

agregadoyconcluyendoconlasecciónenárea2delaparteA´delmovimiento.

Ejemplo106

Compás88.

89

Observacionessobrelapresentacióndelaidea

Lapresentacióndelaserieenestemovimientosedaconunagregadoenárea1,

cuyoprimerhexacordecontienealgunosrasgosdeldespliegueinicialdelaobraenel

Movimiento I,destacadospormediodecorcheasenelejemplo107.Elordende los

tonosgeneradostricordes[0,2,7],conlostonos<Sib,Fa,Mib>y<La,Mi,Re>;estos

tricordesseasocianalprocesodelostrémolosdelsegundomovimiento.

Ejemplo107

Compás74

Enelprimerhexacordedelcompás74segeneran4tricordesclase[0,1,6]yun

tricordeclase[0,1,2]:Porregistroquedanunidoslostonos(Sib,Mib,La)queforman

untricorde[0,1,6],presentedeformanaturalenárea0.Porordenaparecenunidos

lostonos<Mib,Mi,La>,señaladosporelcorchete,quetambiénformanuntricorde

[0,1,6],yquepuededarseenárea0óenárea1.Eltricordeformadopor(Sib,Mib,

90

Mi),queseseñalamediantelalíneapunteada,puedeperteneceralárea0óalárea1.

Lostricordesqueseformanenelpentagramasuperiorson(Fa,Mi,Si),quetambiénes

clase[0,1,6]yseencuentradentrodelárea1oelárea2;yeltricorde(Fa,Mib,Mi),

clase [0, 1, 2], que define el área 1. La saturación de tricordes [0, 1, 6] en dicho

hexacordehacereferenciaaltricordeinicialdelaobra.

El agregado del segundo hexacorde presenta un ordenamiento que mantiene

invariableslostonos<Re,Do,Si>conrespectoalapresentacióninicialdelaserie.El

hexacorde se completapormediodeun tetracorde clase [0, 1, 6, 7] ydeunadíada

clase[0,6]que,enelejemplo104,correspondenaX’yY’.Deestamanera,desdeel

iniciodelmovimientosepresentaesta formadecompletar losagregadospormedio

de la partición del hexacorde en un tetracorde y una díada. En el ejemplo 108 se

muestranlostonosdelsegundohexacorde,ylosdostonosquelesiguenqueseubican

enelfinaldelcompás74yeliniciodelcompás75.

Ejemplo108

Enelejemplo108semarcandostetracordesclase[0,1,6,7]:elprimeroesparte

delhexacordequecompletalapresentacióndelárea1(X’);elsegundoseformaconla

díadaY’y los tonosque lesiguenen lapartitura.ElFa#es tocadoporeloboey los

demástonoscorrespondenalpiano.

Enlasecciónenárea2(compases85al88)seintroducenenelclarinetedosde

lostrestonosquecierranelmovimiento<Sib,Fa>.Estostonos,juntoconelMibque

apareceenlatrompetaIaliniciodelinterludio,completaneltricorde[0,2,7]inicial

91

del movimiento. En el ejemplo 109 se señalan los tres tonos, así como los

instrumentosquelosinterpretanyloscompasesenlosqueseencuentran.

Ejemplo109

Observacionessobrelainstrumentación

Lainstrumentaciónquetieneestemovimientocorrespondealosalientos,arpay

piano,siendoelúnicoquenoincluyealascuerdasensuorquestación.Enelejemplo

110semuestralaunióndelosanálisisporinstrumentaciónyporforma.

Ejemplo110

Movimiento III

Forma A A´

Compases 74 75-78 79-70 81-83 84-85 86-91

Instrumentación z x x x-z x (z)-x-z

Puedeobservarsequelainstrumentaciónocupalosprimerosdoselementosdela

terceralíneadelamatrizdeinstrumentaciónlacualdescribeelmovimientodelpiano

hacialascuerdasqueserepresenta:[z-x].Paraelpasajeenloscompases86al89,el

piano queda representado entre paréntesis porque se ha considerado que sus

intervencionesno sedistinguenclaramente con respectoa losdemás instrumentos:

en el compás 86 prevalece el trémolo del clarinete < Sib-Fa >, mientras que en el

compás89compartelafigurarítmicaconlasflautas,queporregistrosobresalen.

92

MovimientoIV

Laformaysurelaciónconlaserie.

El cuarto movimiento puede interpretarse como una forma ternaria que se

desarrollatomandoelárea1comocentro.LaparteAvadeloscompases96al109,la

parteBdeloscompases110al122y,porúltimo,laparteA´quevadeloscompases

123 al 135. Cada una de estas partes a su vez se divide en tres secciones. Estas

generan una forma ternaria interna dentro de cada parte del movimiento. En el

ejemplo111semuestraunatablaconlaformadelmovimiento.

Ejemplo111 Forma A

B A´

Área A1 A0 A1

a

b

a´

a

b

a´

a

b

a´ A1 A0 A1 A0 A1 A0 A1 A0 A1-(A0)

Compases 96-109 110-122 123-135

Enelejemplo111sepresenta-enlatercerasección(a’)delaparteA’-elárea0se

exhibe entre corchetes debido no afecta el desarrollo en el área 1, dentro del

movimiento.

La superficie de la forma ternaria esta reforzada por dos acordes, que

permanecensostenidosyseejecutanconlaseccióndelascuerdas.Elprimerodeellos

es(La,Mi,Do#,Sol#)yseubicaen laparteA.Elsegundoes(Re,La,Fa#,Do#)yse

encuentraenlaparteB.Porúltimo,elregresoalprimeracordeenlaparteA´.

Stravinsky dispone cada uno de estos acordes como dos díadas [0, 7]. En el

ejemplo112semuestranestosdosacordesdestacadosconplicas,cadaunodispuesto

enunodelospentagramaspresentados.

93

Ejemplo112

Enelejemplo112sepuedever lasdíadas [0,7]La-MiyDo#-Sol#enelprimer

pentagramaquedisponeunagregadoenárea1.LadíadaLa-Mipertenecealprimer

hexacorde, y la díada Do#-Sol# al segundo. Las díadas del segundo acorde están

dispuestas en el segundo pentagrama que dispone un agregado en área 0, y se

presentan tambiéndivididas cadaunadentrodeunhexacorde.El primerode estos

acordesseubicademaneranaturalenelárea1yelsegundoenelárea0.

Comosemostróenelejemplo111,cadapartedelmovimientorepresentaasuvez

una formaternaria.Dentrode laspartesAyA’ laprimerasecciónestáenárea1, la

segundaenárea0ylaterceraregresaaárea1.DentrolaparteBlaprimerasección

estáenárea0,lasegundaenárea1ylaterceraenárea0.Mientrasestoscambiosde

área ocurren en cada parte del cuarto movimiento, una de las díadas del acorde

sostenidoporlascuerdaspermaneceinvariableentreellos.

En el ejemplo 113 se muestran las diadas que permanecen invariables en los

cambiosdeárea,señaladasconuncorchete.

Ejemplo113

94

El primer compás del ejemplo 113 corresponde a las partes A y A´ del

movimiento;elsegundocompásrepresentalaparteB.DentrodelaspartesAyA´,la

díadaque sepuedeubicar tanto en área0 comoen área1 es La-Mi y, dentrode la

parteB,ladíadaambivalenteesFa#-Do#.

Sino se tomaencuenta ladivisiónpordíadasde los tetracordes tenidosen las

secciones, son tres los tonos naturales al ordenamiento del hexacorde y forman un

tricordeclase[0,1,5];este tricordeafirmaelárea.Enelcasodelprimertetracorde

sonlostonos(Fa#,Do#,Re)yenelsegundotetracordesonlostonos(Mi,Lab-La).El

ejemplo114muestralostricordes.

Ejemplo114

Enelejemplo114sepuedeobservarenelprimerpentagramaeltricorde[0,1,5]

destacado con plicas descendentes, y en el segundo pentagrama el tricorde está

señaladoconplicasascendentes.

En las tres partes del movimiento se da un cambio de instrumentación en los

compases posteriores a las presentaciones de la serie: dejan de tocar los alientos y

entraelpianomientraselacordeenlascuerdaspermanece.Lasentradasdelpianoen

cadaunadelaspartesserelacionanentresi.Sedistinguentrescoleccionesdistintas

quecorrespondenalasentradasdelpiano.LaprimerasedenominacolecciónK1yse

localizaenloscompases100y101;lasegundacolecciónsedenominaK2yselocaliza

enloscompases113y114;yporúltimolaterceracolecciónquesehadenominadoK3

yselocalizaenloscompases127y128.

95

La primera relaciónque se da entre las tres colecciones es entreK1 yK2. En el

ejemplo115semuestranloscompasesquecontienenlascoleccionesylarelaciónque

seestableceentreellas.

Ejemplo115

En el ejemplo 115 la colección K1 se dispone en los primeros dos compases,

mientras que la colección K2 se presenta en el tercer y cuarto compases. La

transformacióndeK1haciaK2 sedapormediodel índicede inversión t.Seescogió

considerar la transformación de K1 hacia K2 como una inversión debido a que

provienendesegmentossimilaresdelaserie,ysuordenamientorevelaunarelación

unoaunodeinversiónentrecadaunodesustonos.

Enel ejemplo116 semuestra la colecciónK3 contenidaen los compases127y

128.

Ejemplo116

96

La colección K3 está formada por la parte α del hexacorde, y contiene un

ordenamientodiferentealossegmentosK1yK2.Porestarazónnohayunaoperación

enlaquesetransformeelordendeK1oK2enMperoelconjuntodelosprimerosseis

tonos de las colecciones K1 y K2 se proyectan cada uno en K3 por medio de las

transposicionesa9yerespectivamente.Enelejemplo117semuestraenunagráfica

lastrescoleccionescomoconjuntosqueserelacionanportransposición,ytambiénse

presentalarelaciónentrelossegmentosK1yK2.

Ejemplo117

El ejemplo 117 muestra por medio de flechas las relaciones entre las tres

colecciones. La colección K1 se proyecta en K2 por medio de la operación de

transposición a 9 y la colecciónK2 se proyecta enK3 pormediode la operaciónde

transposición a e. La flecha en la parte inferior representa la transformación del

segmentoK1enelK2pormediodelíndicetdeinversión.

Enelmovimientoexisteotrarelaciónimportanteentretrescolecciones,distintas

a las ya consideradas. Éstas también están resaltadas por un cambio en la

instrumentación que, en cada una de las partes delmovimiento, ocurre demanera

similar.Traselfinaldelosacordessostenidossepresentacadaunadelascolecciones.

La primera colección se denomina L1 y va de los compases 105 al 106; la segunda

colecciónsedenominaL2yvade loscompases119al120;y la terceracolecciónse

97

denomina L3 y va de los compases 132 al 133. Las colecciones están relacionadas

medianteoperacionesdetransposición.Elejemplo118presentalastrescolecciones.

Ejemplo118

La relación entre las colecciones L2 y L3 es de retrógrado. Los intervalos de

transformaciónentrelacolecciónL1ylascoleccionesL2yL3sonT5ounainversiónen

índice1.Elejemplo119muestraenunagráficalasrelacionesentrelascoleccionesL.

Ejemplo119

Observacionessobrelapresentacióndelaidea.

Eliniciodelcuartomovimientoestáestrechamenteligadoaliniciodelaobrapor

lapermanenciadedíadas invariables;dichasdíadasenfatizan lapresentación inicial

de los tonosmientrasqueel desplieguede la serie sedesarrolla en el área1.En el

ejemplo120semuestraeliniciodelMovimientoIV.

Ejemplo120

98

LasflautasabrenconunainversióndelritmoinicialdelMovimientoI.Lalíneade

la flauta II (Mib, Mi) en el primer compás se une a la de la flauta I en el segundo

compás (Sib, Lab) para crear el tetracorde inicial de la obra. Este tetracorde está

marcadoenelejemplo103conunalíneapunteada.Elagregadoenárea1sepresenta

en los primeros seis tonos del movimiento y está marcado por un corchete. Los

corchetesmáspequeñosseñalanlasdíadasquepermaneceninvariablesconrespecto

alapresentacióndelaserieenelprimermovimiento:lasflautasunenlostonosMi-La

quesemantienenenlasviolas;elRe-Do,enelvioloncellosolo,sedabaanteriormente

enelpasodeunhexacordeaotro,yenestapresentaciónformapartedelostonosdel

segundohexacorde.

Los compases 98 y 99 presentan el complemento del agregado en A1 en la

disposicióndedostricordes[0,2,7].Lostonosqueformanestostricordesson<Do#,

Sol#, Fa#> y <Re, Do, Sol>. Estos tricordes provienen de la segunda rotación de la

matriz, que se mantiene presente en el tercer movimiento y que dio inicio a su

exposición en el segundo, con los trémolos. En el ejemplo 121 se muestran los

compases98y99,quecontienenelhexacordeβ.

Ejemplo121

.

99

LaparteBdelmovimientosecentraenelárea0.Éstainiciaconlapresentación

delretrógradodelaserie.EnlaparteA´lapresentacióndelaseriequeda,aligualque

en la parte A, ligada al inicio de la obra. El ejemplo 122muestra los dos primeros

compasesdelaparteA´.

Ejemplo122

Enelejemplo122seseñalaconuncorcheteeltricorde[0,1,2]queseencuentra

enlapartedelpiccolo.Estetricordeconlostonos<Fa,Mib,Mi>defineelárea1.ElMi

yelLaquedanasociadosnuevamenteenestapresentación,yaqueambossetocanen

la última semicorchea del primer compás. El tetracorde inicial se articula por el

registroenelqueestáescritoelSibdelaflauta,elcualquedaenlazadoconlostonos

(Mib,Mi,Lab)delpiccolo;poresta razón sepresentaun Sib entreparéntesis enel

ejemplo.Enloscompases125y126sevuelveadarlaasociacióndetricordes[0,2,7]

enel segundohexacordede la serie; elReyelDo,quepermanecen invariables con

respectoalinicio,estavezsoninterpretadosporelclarinetebajoyreforzadosporel

trombónbajo.

Observacionessobrelainstrumentación

Enestemovimientolainstrumentaciónsebasaenlacombinaciónprimaria[x-y-z]

yenlarepeticióndesusdosúltimoselementos[y-z].Estosúltimospertenecenalas

dosprimerascolumnasdelasegundarotacióndelacombinaciónprimaria

100

Ejemplo123

A

B A´

x-y-z-(y-z) x-y-z-(y-z) x-y-z-(y-z)

Enelejemplo123semuestraunatablaendondeseasocialaformaala

instrumentación.Entreambosconjuntossegeneraunacombinación[x-y-z-y-z],que

apoyalaformaternariaocurriendotresveces.

MovimientoV

Laformaysurelaciónconlaserie.

ElquintoeselmásextensodeloscincoMovimientos.Enélsedesarrollanlastres

áreas del hexacorde que toman preeminencia unas sobre las otras a lo largo del

Movimiento. En el ejemplo124 se muestran las áreas que van tomando relevancia

dentro del movimiento y se señalan también los compases en donde inicia su

influencia.

Ejemplo124

A A´

Áreas A0

A2

A0

A1 A0 A1 A0

Compases 141-154 155-157 158-168 169-171 172-175 176-181 181-193

El ejemplo 124 tambiénmuestra la formaque se ha propuesto para entender

estemovimiento, una formabinaria. LaparteAvade los compases141al 171y la

parteA´deloscompases172al193.

Lasuperficiedelosprimeroscuatrocompasesdelquintomovimientorefierena

lastresáreasdelhexacorde.Porunapartesepresentaunagregadocompletoconel

retrógrado de la serie en área 0, que presenta la trompeta I en los dos primeros

compases y, posteriormente, pasa al clarinete, los violines y el arpa. Por otraparte,

101

mientrassuenaelretrógradodelaserie,elpianoenelprimercompásdelmovimiento

exponeelárea1,enelsegundoelárea2,eneltercerovuelvealárea1y,porúltimo,

enelcuartoseunealapresentacióndelárea0.Enelejemplo125semuestralaparte

delpianoenlosprimeroscuatrocompasesdelMovimientoV.

Ejemplo125

Enelejemplo125semuestra losnúmerosde loscompasesdebajodel segundo

pentagrama.Enel compás141 sepresentaunagregadocasi completoenárea1; el

tono que no se presenta es el Sib. Los tonos que aparecen sin plica se consideran

repeticionesdelostonosyapresentados.Eláreadosdelcompás142comienzaconla

presentación de un tricorde [0, 1, 2] que define el área <Mi, Fa, Fa#> en la mano

derecha,mientrasquelamanoizquierdatocaeltricorde[0,1,6]conlostonos<Sol#,

Do#,Re>.Estetricordetieneuncarácterambivalenteypuedeestablecersetantoenel

área1comoenla2.Lasfigurasquesiguenpertenecenexclusivamentealárea2.Enel

compás143sedaenlamanoderechaunade lasdíadas[0,2]quedefinenelárea1

conlostonos<Si,La>,mientrasquelamanoizquierdapresentaunadíadaquepuede

perteneceralárea1oalárea0.Lamismaambivalenciaocurreconlaprimerafigura

delamanoizquierdadelcompás144.Lasdemásfigurasestablecenelárea0.

El área 0 se afirma en el compás 145. En el ejemplo 126 se muestran las

relaciones que sostiene éste compás con el inicio de la obra. En este compás se

presenta el hexacorde α en el mismo orden inicial. Los primeros tres tonos son

interpretadosporlosviolines.ElMiinicialseasociabaconelLa,al iniciodelaobra,

102

porunmovimientodescendente,mientrasqueenestecompásloquelosasociaesque

elMipermanecesonandocuandosearticulaelLa.

Ejemplo126

El área 0 se establece en el compás 145 y permanece hasta el compás 154; sin

embargo, algunas figuraciones dejan entre ver otras áreas. Tal es el caso de los

compases146al148,endondeelacomododelostonospermitelapresenciadelárea

1.Enelejemplo127semuestranlostonosdeloscompases146al148.

Ejemplo127

En el ejemplo 127 los tonos que corresponden al piano se encuentran en el

pentagramasuperior.Elúltimotonodelprimertetracorde<Sib,Mib,Mi,La>presenta

unarelaciónverticalcon los tonosSiyRe;enelejemplosehaseñaladoeláreaque

formaríansiseunierancadaunoaltetracordeX.Tambiénlostetracordes[0,1,6,7]

señaladosconXyX’sepuedenasociara ladíadaY’,provocandodoshexacordesen

dosáreasdiferentes.Enelejemplo128semuestraunesquemaqueocupasolamente

lasvariablesdelejemplo127pararepresentarlasposiblesáreasdeestesegmento.

103

Ejemplo128

Enloscompases151al153hayunpasajequerecuerdaelmovimientodelarpa,

en los calderones del compás 42, y el cambio del primero al segundomovimiento.

Aparece en primer lugar un hexacorde α con un ordenamiento de un hexacorde β.

DichoordenamientocorrespondealalecturadeR-β–III;posteriormentepasalalínea

aunhexacordeP-β–IIIparaconcluirconelretrógradodelmismoqueseubicaenR-

β–III. En el ejemplo 129 se presentan los tonos, con su referencia a las filas de las

matricesalasquecorresponden.

Ejemplo129

El efecto del encadenamiento se muestra en el ejemplo 129 a través de una

ligadura que resalta la cualidad del Do# como un tono compartido entre los dos

últimoshexacordes.

Elárea2sepresentadenuevojuntoconelárea0enloscompases155al157.En

esta sección se extiende de manera lineal el agregado en área 0. Sin embargo, la

instrumentaciónrefuerzaelárea2con los tonosdelclarineteyclarinetebajo.Enel

ejemplo130semuestranlasdosáreas:elordenlinealde lostonosda la lecturadel

agregadoenárea1mientrasquelasplicasascendentesodescendentesdanlalectura

delárea2.

104

Ejemplo130

Tambiénsehanidentificadoenelejemplo130lostonosdelclarineteylostonos

delclarinetebajo.Lostonosdelclarinetebajocontienenunodelostricordes[0,2,6]

quedefinenelárea2conlostonos<La,Do#,Mib>.Lostonosdelclarinetecontienenla

díada[0,2],conlostonos<Fa#,Mi>,quetambiéndefineárea.Elprimerhexacordedel

agregadolinealcorrespondealalecturadela filaVdelhexacordeαdelamatrizen

retrógrado,mientrasqueelsegundohexacordesecompletaporeltetracorde[0,1,6,

7]yladíada[0,6].

En el ejemplo 131 se ejemplifica con las variables la manera en la que se

completanlosagregadosenelejemplo113.

Ejemplo131

Enelcompás131,elpianopresentajuntoaltrombónIunagregadocompletoen

área 0 para regresar, en los compases 159 hasta el 162, al área 2 y al área 0. A

continuaciónsepresentaelcompás162enelejemplo115.

105

Ejemplo132

En el ejemplo 132 los tonos que corresponden al piano se ubican en el

pentagramasuperior.Elhexacordeβseexhibedivididoenuntetracorde[0,1,6,7]y

dos posibles díadas [0, 6]. Las díadas estánmarcadas con Y e Y’. Los primeros seis

tonosdelpianosepuedenentendercomounhexacordeβenárea0;sinembargo,en

lostonosdelaflautaaparecealineadaladíada[0,6]conlostonos<Sib,Mi>,justoal

final de la presentación del tetracorde en el piano. Esta misma díada <Sib,Mi> se

presenta justoal términode lapresentacióndelprimerhexacordeenelpiano.Los

tonosquecontinúanelcompásdentrodelpianoson<Mi,Fa,Fa#>,tricordequedefine

elárea2y,enelclarinete,ladíada<Lab,La>quepuedeencontrarsetantoenárea0

comoenárea2.

Enelejemplo133sepresentaunesquemaqueinterpretaelcompás162apartir

delasvariablesyacomentadas.

Ejemplo133

106

Elcambiodelasáreas0y2alasáreas0y1sedaenelcompás163.Elpasoseda

atravésdeladivisióndelhexacordeenuntetracorde[0,1,6,7]ydosdíadas[0,6],

ademásdeladíada[0,7]queabreelcompás;éstadíadasecompartesolamenteentre

área1yárea2.Elejemplo134ilustralasrelacionesdelcompás163.

Ejemplo134

Enelejemplo134semuestraladíada[0,7]marcadaencorchetes,eltetracorde

estámarcadoconlavariableX,ylasdíadas[0,6]conlasvariablesYeY’.

Asícomoenlosejemplosanteriores,seincluyeenelejemplo135lagráficaconel

esquemaquerepresentalaambivalenciadeltetracordepresentadoenelejemplo134.

Ejemplo135

En los compases que van del 175 al 180 se completa un agregado en área 1, a

travésdelordenamientodeloshexacordesαdelasmatricesIRyPenlasfilasIV(P-α-

IV;IR-α-IV).Elordenamientodeloshexacordesportetracordesydíadasesevidente

gracias a la distinción de dos timbres. El primero de ellos es la reiteración en las

flautas de los tonos <Do#, Re> que ocupa los compases 177 al 179, y que hace

107

deseablelallegadadelDo;elsegundoeseltricorde[0,1,6]quepermanecesostenido

entresvioloncellos.Elejemplo136muestraunesquemadedichoscompases.

Ejemplo136

En el ejemplo 136 los tonos de las flautas se encuentran en el pentagrama

superior. Los tonos del acorde que permanece sostenido a lo largo del pasaje se

encuentranenelpentagramainferior,asícomoelDofinalquesearticulaenelpiano

enel compás180.Lasvariables señalan ladivisiónde loshexacordesypermiten la

generacióndelesquemaquesemuestraacontinuaciónenelejemplo137.

Ejemplo137

ElfinaldelMovimientosedaconlapresentacióndelaserieensuordenoriginal,

en un pasaje cadencial en el que las figuraciones rítmicas permiten percibir la

presentacióndecadatonodelaserieporúltimaocasión.

Observacionessobrelainstrumentación.

108

El diálogo entre las familias de instrumentos en movimiento V es muy activo

dondelasentradasdelosinstrumentoscorrespondeensumayoríaalacombinación

primaria de instrumentación. En el ejemplo 138 se presentan las entradas de las

familiasdeinstrumentosdivididosencompases.

Ejemplo138

x-z xyz xyz xz xyz zyx xy z yz

141-142 143-148 149-150 151-168 169-171 172-175 175-179 180-181 182-193

Los compases 141 y 142, los dos primeros compases del movimiento V,

correspondenalatrompetayelpiano,aunqueenelcompás143siguentocandoestos

instrumentos se destaca en los compases 143 y 144 la sonoridad de los clarinetes

tocandotrémolosyesaquídondedainiciolaprimerapresentacióndelacombinación

primaria de instrumentación que se da en este movimiento, posteriormente en el

compás 145 entran las cuerdas solas por dos compases y por último el piano en el

compás 147 y 148. Entre el compás 149 y 150 se da la misma combinación de

instrumentación[x-y-z]demaneramásinmediata.Despuésenloscompasesdel151

al 168 el piano entabla un dialogo junto con los alientos, para después de los

compases 169 al 171 presentar de nuevo la combinación primaria de

instrumentación.

Apartirdelcompás172sepresentaelretrogradodelacombinaciónprimariade

instrumentación es decir [z-y-x] al llegar al compás 175 el piano deja de tocar y la

sonoridaddelasflautastomaunrolprincipalhastaelcompás179,enelcompás180

losviolinesentranconuntremoloymuydecercaenelmismocompásentraelpiano

completando laúltimapresentacióncompletade lacombinación[x-y-z].Delcompás

182 al compás 193 se establece un dialogo entre los dos últimos elementos de la

combinaciónprimaria[y-z]esdecirentrelascuerdasyelpianoarpaocelesta.

109

110

Capítulo4:AnálisisdelosInterludios

DentrodeMovimientosse encuentran cuatro interludiosqueaparecenentre los

cinco movimientos. Estos interludios constituyen unidades musicales que, en una

etapatardíadelprocesodecomposición,fueroninsertadosentrelosmovimientos.En

palabrasdelmismoStravinsky:“Losinterludiosmásquecodassonintroducciones,el

director debe hacer una pausa antes de ellos. Lo que yo quiero es que las vetas y

suturasdemimúsicaseanevidentes”52.

Losinterludiossonfragmentosdemúsicadeentre3y6compasesdeextensión.

Cadavezqueapareceuninterludioserecuerdaeliniciodelaobradondeelárea0se

presenta de una manera muy vivida y contrastada a través del área 1. En la

instrumentacióndelosprimerostresinterludiosparticipanúnicamentelascuerdaso

losalientos.ElinterludioIVeselúnicoinstrumentadoparacuerdasyalientos.

Enelejemplo139sepresentaunatablaenlaquesenumeranlosinterludiosdelI

al IV. En esta también se describe el movimiento de las áreas en cada uno de los

interludios,loscompasesdelacomposiciónenlosqueseubicanysuinstrumentación.

Ejemplo139

Interludios

Interludio I II III IV Área A0 A0 A0 A0

Compases 43-45 68-73 92-95 136-140 Instrumentación x y x x-y

Todos los interludios inicianpresentandounhexacordedeárea1.Losprimeros

tresinterludioscomienzandesplegandoelmismohexacorde,elprimerodelaserieen

T1,mientrasqueelinterludioIViniciaconelsegundohexacordedelaserieenT4.El

ejemplo 140 contiene los tonos iniciales de cada interludio y muestra algunas

relacionesdeordenentrelosprimerostresinterludios.52Straus, JosephN.2001.Stravinsky’sLateMusic.Cambridge,UK:CambridgeUniversityPress.p.

71.

111

Ejemplo140

Enelejemplo140cadacompáspresentaeliniciodecadaunodelosinterludios.

LostonosqueconcluyenlapresentacióndelhexacordedelinterludioIson(Fa,Sib);

estosmismosabrenlapresentacióndelinterludioII.EnelinterludioIIsonseguidos

porlosprimerostrestonosdelinterludioI(Mib,Mi,La).EnelinterludioIIlostonos

(Fa, Sib) y (Mib, Mi, La) quedaron asociados por orden. El interludio III abre su

presentacióndelhexacordeconesoscincotonos.

A continuación se presenta el análisis de cada interludio, los interludios como

mencionaStravinskysonintroduccionesdecadamovimientoyesteanálisispropone

quesonregresosaliniciodelaobraporloqueelsiguienteanálisismuestralarelación

de cada interludio con el inicio de la obra y la relación de cada interludio con el

movimientoqueprecede.

InterludioI

ElinterludioIestáformadopordoshexacordesα,elprimerodentrodelárea1y

elsegundodentrodelárea0.Lostonosquecompletanlosagregadosenambasáreas

del interludio I lleganen el iniciodel Movimiento II, por loque loshexacordesdel

interludio presentan en realidad el inicio del movimiento. En el ejemplo 141 se

muestralarelaciónentreelinterludioIyeliniciodelMovimientoII.

Ejemplo141

112

En el ejemplo 141 se muestra en el primer compás los dos hexacordes que

pertenecenalinterludioIy,enelsegundocompás,loshexacordesquepertenecenal

iniciodelMovimiento II. Loshexacordesque completan los agregados estánunidos

porlíneaspunteadasqueseñalaneláreaalaquepertenecen.Tambiénseindicaenel

ejemplo la fila de la matriz a la que pertenecen los hexacordes, y los intervalos

dirigidosdecadaunodeellos.Ambosdatossonrelevantesporquenosololostonosse

venenlazadospara formarunagregado, sinoque también sepuedeapreciar como

Stravinskyescogemantenerlamismarelacióndeintervalosentreellos,refiriéndolos

alamismafiladelamatriz.

Eltricorde<Mib,Mi,La>conelqueiniciaelprimerinterludioesdelaclase[0,1,

6], lamismaclasedel tricorde inicialde laobraademás los tonosestánremarcados

por el gesto rítmico de los primeros cinco tonos de la serie. En el ejemplo 142 se

muestranlostonosdelcompás1.

Ejemplo142

113

Los tonos<Mib,Mi, Sib> estánunidos en la presentaciónde la serie por orden,

mientras que los tonos (Mib,Mi, La) están unidos mediante un gesto rítmico. La

operación que relaciona estos dos tricordes es la inversión en índice 7 (T7I). El

tricordeinicialdelinterludioI<Mib,Mi,La>sepresentaenaumentaciónrítmicacon

respectoalprimertricordedelaobra.

Losmovimientosdeáreapormediodetricordes[0,1,6],obiendeltetracorde[0,

1,6,7]queseformaporelencadenamientodedostricordes[0,1,6],prevalecenalo

largodelaobra.Yestánsembradosenlapresentacióndelaserieestosmovimientos

sonusadosalolargodelosinterludiospararecordarelárea0.

InterludioII

ElinterludioIIestáformadopordosagregados,elprimerodeellosestáenárea1

y ésta presentación de la serie es lamisma que abre elMovimiento III, el segundo

agregadoestáenárea0yelhexacordebetaquecompletaelagregadoseconformapor

dostricordes[0,1,6],recordandonuevamentealtricordeinicialdelaobra.

Lapresentacióndelagregadodelprimeragregadodelinterludiodosenárea1se

encuentraenelejemplo143.

Ejemplo143

Los tonos que se encuentran en los compases 68 al 71 están dispuestos en el

primercompasdelMovimientoIII,elúltimotonoF#eselprimertonodelcompás75.

Lostonosqueestánentrecorchetesdelcompás70setomaroncomorepeticionesde

lostonosdelcompás69.Eltricorde<Bb,F,Eb>queiniciael interludioprovienedel

114

tricorde[0,2,7]delcompás12yquesedesarrollóenlostrémolosdelMovimientoII.

Enelejemplo144semuestraelhexacordequecompletaelagregadoenárea1.

Ejemplo144

En el ejemplo 144 el hexacorde se dispone de tal manera que se genera un

tetracordeclase[0,1,6,7]quesecompletaconladíada[0,6].Estaclasedetetracorde

está presente en el Movimiento III dentro de los agregados encadenados, y en la

seccióndeárea2delaparteA’delmismomovimiento.

LapresentacióndelsegundoagregadodelinterludioIIesenárea0,ysedaenlos

compases71al73.Enelejemplo145semuestraladistribucióndelhexacordealfa.

Ejemplo145

ElhexacordeAlfaseescuchaenelViolinIysedisponeapartirdelaterceranegra

delquintillodelcompás71.Aunqueconcluyerápidamentesupresentaciónsealarga

115

supresenciahastalaúltimanotadelcompás73dondesevuelveatocarLayaparece

almismotiempoqueC#formandounintervaloverticalclase4.Losintervalosclase4

no sedandentrode los intervalosde lamatrizdemanera linealpor loque cuando

aparecedentrodelapartituraunintervaloclase4podemosentenderquesetratade

dos hexacordes diferentes o dos líneas diferentes. En este caso el la pertenece al

hexacordealfayelC#alapresentacióndelhexacordebeta.

El hexacorde Beta se presenta dos veces la primera comienza en el compás 71

pocoantesdelapresentacióndelhexacordealfayconcluyeconelsobreagudodelC#

queapareceduplicadoenlosviolonchelosdelcompás73.

Ejemplo146

En el ejemplo 146 semuestra la disposición de los dos tricordes [0, 1, 6] que

forman el hexacorde beta que completa el agregado. Estos tonos se presentan dos

veceslaprimeravezenlaviolaylasegundavezconlostonosdelviolonchelo.

ElinterludioIII

ElinterludioIIIestáformadoporunagregadoenárea1ydainicioconunacorde

formadoporlostonos(F,Eb,E,A),unainterpretacióndelacordeinicialsemuestraen

elejemplo147.

116

Ejemplo147

El ejemplo inicia en el compás 91 el último del Movimiento III, este compas

contienelostonos(Bb,F)queprovienendelcompás85yestánligadosaldesarrollo

del Tricorde [0, 2, 7] que se da en elMovimiento II y nace en el compás 12; en el

ejemploelFdelcompás91sepresentaligadoaldelcompás92paraejemplificarque

el tonoque completa elTricorde [0,2, 7] es elEbque se escucha junto conelF en

corcheasaliniciodelcompás.AlentenderelFcomopartedeltricorde[0,2,7]conlos

trestonosrestantesdelacorde(Eb,E,A)seformaeltricorde[0,1,6]querecuerdael

iniciodelaobra.

Otro detalle que nos lleva al inicio de la obra está presente en el Fagot en los

compases93y94.Elejemplo148muestralostonoscontenidosenloscompases.

Ejemplo148

ElD seguido de C enfatiza el orden de los tonos 5 y 6 de la presentación de la

serie, se presenta tres veces mientras los demás instrumentos comienzan con la

exposicióndelsegundohexacorde.

117

Porúltimoelfinaldeesteinterludioguardaunarelaciónconloscompases11,12

y13.Enelejemplo149semuestra larelaciónpara locual los tonosdelcompás95

quesepresentanenlapartituraenformadeacordesehandibujadoeneltiempopara

remarcarlassimilitudes.

Ejemplo149

Losúltimostrestonosdelcompás11muestranuntricorde[0,1,6]conlostonos

<Bb,Eb,E>yenelúltimoacordedelcompás94existetambiénuntricorde[0,1,6];la

partesuperiordelcompás95queestainstrumentadoporlastrompetascontienelos

mismos tonos que las trompetas tocan en el compás 12, el G# se muestra entre

corchetes por que es un sonido ausente en la partitura pero que debido a las

relacionesquesecreanpararecordaralinicioselograpercibir,losúltimostrestonos

que están instrumentados en el compás 95 por el trombón y el trombón bajo se

presentanenelejemplodesfasadoseneltiempoparapoderhacernotarlareferencia

alcompás13,estostonosdentrodelcompástreceaparecenenlapartedelpiano.

InterludioIV

Se presentan las tres áreas. Este interludio esta instrumentado para cuerdas y

alientos. Este es el único lugar en toda la obra en el que aparecen casi todos los

instrumentostocandoalavez;losúnicosinstrumentosquenoestánpresentessonel

piano,elarpaylacelesta(z).

EsteinterludiocomienzaconunhexacordeBetadentrodelainstrumentaciónde

lascuerdasenárea1hastaestemomentolosdemásinterludioscomenzaronconun

118

hexacordealfaenárea1.Dentrodelapartedelascuerdasaparecenlosmotivosdel

inicioysemuestranenelejemplo150.

Ejemplo150

En el ejemplo el pentagrama de arriba muestra los tonos del Violín I y el

pentagramadeabajomuestralasnotasqueseencuentranenlaviola,violoncheloyel

contrabajo.Elcorchetequevadelcompás136al137muestraelhexacordebetayel

área a la quepertenece, área1. Los tonosRe yDo están señalados conunaHpara

hacernotarqueesostonosenlaserieoriginalpertenecenalosnúmerosdeorden5y

6respectivamente,lostonos5y6sonelúltimotonodelprimerhexacordeyelprimer

tono del segundohexacorde dentro de un ordenamiento, a partir de estos tonos se

presentaenelviolínunretrogradodelsegundohexacordedelaserieelcualtermina

en el compás 139 presentando nuevamente los tonos Re y Do señalados con el

número de orden. En los compases 138 al 140 señalado con una línea puntada se

muestra el pentacorde que pertenece al primer hexacorde de la serie. el cual está

separado en el ejemplo por dos tricordes [0, 1, 6] donde el primero de ellos se

encuentra incompleto. Es el tono E el que acompleta el agregado en área 0, sin

embargo al final del interludio en el compás 140, en lugar de presentar el tono E

acompañado de Ab y Bb se presenta el tono E acompañado de F y B formando un

tricorde[0,1,6]existentedentrodelárea1oelárea2,aunqueparaefectosdeeste

análisissehaelegidoseñalarlocomoárea1porestarestáenunporcentajemayorde

motivos. En la sección de alientos, de manera lineal, cada instrumento presenta el

primerooelsegundohexacordedelaseriedentrodelárea1oelárea2.

119

Unadelasrelacionesquesecreanentrelosinstrumentossedapormediodelos

intervalos dirigidos de los hexacordes, En el ejemplo151 semuestra en la primera

columna el grupo al que pertenece el instrumento, en la segunda columna están

descritos los instrumentos o el instrumento de la línea analizada, en la tercera

columnaseseñalasielhexacordeesalfaobeta,enlacuartacolumnasepresentanlos

tonosenelordenenelqueaparecenenlapartituraydebajodeelloslalecturadelos

intervalosdirigidosquegeneraelorden,enlaquintacolumnaseenunciaeláreaala

que pertenece el hexacorde y en la cuarta columna se marca la operación que

representalarelaciónentrelosmiembrosdecadagrupo.

Ejemplo151

Grupo Instrumento Hexacorde Tonos Área

1

FlautaIyII Beta G G# D C C# F# A1

RI1 6 t 1 5

Oboe

Corno

Beta F# C# C D G# G A1

5 1 t 6 1

2

Clarinete,Clarinetebajo

Fagot

Beta A G G# C# D# D A2

RIt 1 5 2 e

TrompetaI Alfa E Eb F Bb B A A1

e 2 5 1 t

3

TrompetaII Beta G F# C D C# G# A1

RI1 6 t 1 5

TrombónII Alfa C F F# E Bb B A2

5 1 t 6 1

4

TrombónI Alfa A B Bb F Eb E A1

RI2 e 7 t 1

Trombónbajo Alfa Bb B A E Eb F A1

1 t 7 e 2

120

El grupo 1 contiene los tonos de las flautas I y II cuyos intervalos dirigidos se

relacionanconlosintervalosdirigidoscontenidoseneloboeycornopormediodela

operacióndeRetrogradoinvertido(RI),enelcasodelgrupo1amboshexacordesson

betayseencuentranenelárea1.Elgrupo2contieneenprimerlugarlostonosdeun

hexacorde Beta en área 2 dentro de el Clarinete, Clarinete bajo y Fagot, los cuales

estánrelacionadosporRIconlostonosdeunhexacordeAlfaenárea1enlatrompeta

I. El grupo tres presenta un hexacorde beta en área 1 dentro de la trompeta II

relacionadoporRIconunhexacordeAlfaenárea2quesuenaenel trombónII.Por

últimoenelgrupo4estánrelacionadosdoshexacordesalfaenárea1tambiénporRI

lostonoscontenidoseneltrombónIyeltrombónbajo.

121

Consideracionesfinales

Despuésdehaberpresentadoelanálisisdelosmovimientoseinterludiosenéste

capítulo se presenta las consideraciones finales resultado del análisis realizado, en

primerlugarsepresentalaunióndelosanálisisdeforma,áreaeinstrumentaciónde

cada movimiento añadiendo a este los interludios que se entienden como

introduccionesdecadamovimientoyposteriormentesehaceunacomparaciónentre

losmovimientos,paraproponerfinalmenteunavisióndeconjuntodelaobra.

MovimientoI

Acontinuaciónsearticulanelanálisisdeformageneral,elanálisisporárea,yel

análisis del diálogo entre el piano y la orquesta. En el ejemplo152 se reproduce el

orden de las entradas de las familias de instrumentos pero ahora la división no se

hacedeacuerdoaloscompasessinoalasáreasdelaobra.

Ejemplo152

Lasprimerasseisentradascorrespondenalacombinaciónprimariadenominada

combinación1(x-y-z);cincodeestasentradasocurrendentrodelárea0yenlaúltima

entradaexisteunpasoalárea1.Estepasodeáreaquedacompactadoeneliniciodela

parteA´.Lacombinación1delaparteAylaúltimacombinacióndelaparteA´quedan

relacionadaspor laoperaciónde retrógrado.Elpasodex enA´ a z en la codaes el

retrógradodelpasodelacasillaunoaliniciodelaobra(z-x).Esteanálisiscombinado

122

puedeofrecerunaexplicaciónparalarepeticiónvariadaquepresentaunaabreviatura

enelmovimientoarmónicodelárea0alárea1.

Enelejemplo74semostrólaentradadelaflautacomolaúltima(8)dentrodeun

procesodecanon.Laflauta,enloscompases40y41,contienelaseriecompletacuyo

primerhexacordeestatranspuestoenT1yelsegundohexacordeenT4,estableciendo

lapresentacióndelaserieenelárea1mientrasenlosdemásinstrumentospresentan

elárea0.Enéstemomentolaflautarecuerdalasimultaneidaddeáreasenelmosaico

dederivaciónpresentadoporellamismaenloscompases13al17.

En el ejemplo 153 se muestra el análisis por área de la parte A del primer

movimiento.Seseleccionóelárea0para loscompases13al17porserestaelárea

predominanteentalsección.

Ejemplo153

UnamaneradeinterpretarlaformadelaparteAdelMovimientoIesatravésde

uncanondeáreas.Parailustrarestainterpretaciónsetomaranloscincocambiosde

áreaquemuestraelejemplo80queseencuentranremarcadosporelmismocolor.En

el ejemplo 154 se muestra el canon por áreas que da forma a la parte A del

MovimientoI.

Ejemplo154

a’casilla 2 A2

cc.18-28

A0

cc.29-30

a´casilla1 A0

cc.13-17

A2

cc.18-22

A0

cc.23-26

b A1

cc.7-12

A0

cc.13-17

A2

cc.18-22

a A0 A1 A0

123

cc.1-6 cc.7-12 cc.13-17

Dispuestade estamanera, laqueanteriormente solo sehabíapresentado como

A0 se convierte en el área principal de la primera voz del canon que contiene la

siguiente secuenciadeáreas:A0-A1-A0. Estebloquees relevantepara interpretar la

parteA´delprimermovimiento.Laparteb(quesemuestraenelejemplo69comola

segunda voz) corresponde a la parte b presentada con anterioridad; por último, la

tercera vozdel canonpor áreas es la partea´, que se relaciona con laa por ser las

seccionesqueabrazanconáreacerolapresenciadeunáreadistinta.

El análisis final de la estructura del Movimiento I queda como se muestra a

continuación,enelejemplo155.

.

Ejemplo155

Forma A A´

a b a´ a b a´ Áreas A0 A1 A0 A2 A0 A0 A1 A0

A1 A2 Compases 1-6 7-12 13-17 18-22 23-30 31-33 33-36 37-41 42

Instrumentación x-y-z x-y

z x z-y z x-z z-y z-y-x z

MovimientoII

Al considerar el Interludio I como inicio del Movimiento II la forma continua

siendo binaria sin embargo al añadir el análisis de área del interludio es posible

diferenciar tresseccionesporáreasdentrodecadaunade laspartes.Enelejemplo

156 se presenta el conjunto de los análisis de forma, área e instrumentación del

movimientodos.

Ejemplo156

Forma A A’

124

Interludio I Movimiento II Forma A A´ Áreas A0 A0-(A1) A0-(A2) A0 A0-(A1) A0-(A2)

Compases cc.44-45 cc.46-51 cc.51-55 cc.55-59 cc.60-62 62-67 Instrumentación x z-x-y z y x

ParapoderdiferenciarlastresseccionesdentrodelaparteA´delejemplo156se

especificóelmomentodelcambiodeárea1alárea2dentrodeloscompasesdel60al

67.Dentrodelanálisisdelainstrumentaciónenestainterpretaciónquedanenlaparte

A´ relacionadas con los cambios de área las entradas de las tres familias de

instrumentos,esdecirelárea0seunealaentradadelpianoenelcambioalárea1la

instrumentacióncambiaalascuerdasyelcambioalárea2seenlazaconlapresencia

delatrompeta.

MovimientoIII

AligualqueenelMovimientoIIalincluirelinterludioenelanálisisdeformadel

movimientotressevuelvepertinentedefinirloscambiosdeáreadeloscompases86

al 91. En donde el área 2 se marca de los compases 86 al 88 y el área 0 de los

compases89al91.Enelejemplo157semuestraelconjuntodelosanálisisrealizados.

Ejemplo157

Interludio II Movimiento III

Forma A A´

Área A0 A1 A0 A2 A1 A0 A2 A0

Compases 68-73 74 75-78 79-70 81-83 84-85 86-88 89-91

Instrumentación y z x x-z x (z)-x z

Enelejemplosepuedeobservarqueelárea0contenidaenelinterludioyenlos

compases89al91abrazadossucesionesidénticasdeárea[A1-0-2].Tambiénsepuede

notar en el ejemplo las correspondencias de la instrumentación con los cambiosde

áreadentrodelassucesiones[A1-0-2].Elárea1enelcompás74espresentadaporel

pianoydentrodelaparteA´elárea1igualmentecuentaconlapresenciadelpiano,

las áreas0 y2quedan en ambaspartes representadaspor los alientos, recordando

125

que la instrumentación del piano en los compases 86 al 88 queda entre paréntesis

debidoaquesuintervenciónesbreveyapoyaaladelosalientos.

MovimientoIV

A continuación se presenta la conjunción de los tres análisis presentados en el

análisis del Movimiento IV: el de forma, área, el de las nueve colecciones y el de

instrumentación.Unidos,conformanunainterpretaciónposibleparaesteMovimiento.

Lascoleccionesylainstrumentaciónsecoordinanpormediodeloscambiosde

área.EstomuestralaimportanciadelmanejodelasáreasenMovimientosparapianoy

orquestaapesardequeesunadesusprimerasobrasdodecafónicasy,comohedicho,

era la primera vez que el compositor experimentaba con las matrices de rotación

transpuesta.Enelejemplo158semuestraunatablaqueunelostresanálisis.

Ejemplo158

Interludio

III

IV

Forma A B A´

Área 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Formainterna a b a´ a b a´ a b a

Instrumentación x y z y z x y z y z x y z y z

ColeccionesJ J1 J1 J2 J3

ColeccionesK K1 K2 K3

ColeccionesL L1 L2 L3

Enelejemploseobservacómolasentradasdelascoleccionessonconstantesen

cadapartedelMovimientoIVconrespectoalainstrumentación.Losalientosseguidos

de las cuerdas presentan los tonos de las colecciones J, posteriormente el piano

presenta lascoleccionesKyal finalizaréste laentradadelascuerdassedasiempre

conlascoleccionesL.

126

LaformageneralA,B,A´contienedentrodesuestructurainternatresconjuntos

de las tres colecciones que la refuerzan. A saber: las colecciones J1, K1 y L1 están

contenidasenlaparteA;lascoleccionesJ2,K2yL2,enlaparteB;ylascoleccionesJ3,

K3,L3enlaparteA´.Comosepuedeobservarelordendepresentaciónessiempreel

mismo,loquerefuerzalanocióndeestructuraenelMovimiento.

Los cambios de área generalmente corresponden a un cambio de la

instrumentación.LaparteAtienecuatroáreaslaparteBtienetresáreasylaparteA´

tienecuatroáreastambién.ConsideradoquelaparteAincluyeelinterludioIIIyque

la parte A carece de un elemento añadido que iguale la estructura de la parte A,

Stravinskyseveobligadoaalargarlapresenciadelárea0enlosprocesosdecambio

deinstrumentacióndelaparteBendondelasegundaentradadelárea0corresponde

alprimermomentodeejecucióndelpianoyabarcadoscambiosdeinstrumentación

más. Este alargamiento en el intervalo de presentación de las áreas permite en la

parteA´laconclusiónconárea0enconjuntoconlasegundaentradadelosalientos.

MovimientoV

Launiónde los análisis delMovimientoV se puede apreciar en el ejemplo159

dondeelinterludioIVseconvierteeneliniciodelaparteA.

Ejemplo159

Interludio

IV

MovimientoV

Forma A A´

Áreas A0 A2 A0 A1 A0 A1 A0

Instrumentación x-y (x)-z xyz xyz xz xyz zyx xy z yz

Compases 136-140 141-

142

143-

148

149-

150

151-

154

155-

157

158-

168

169-

171

172-

175

175-

179

180-

181

182-

193

La instrumentación del Movimiento V corresponde en su mayoría a la

combinación primaria de instrumentación y al añadir el interludio a la forma se

127

agrega tambiénunanuevacombinación[x-y-z]alanálisisde la instrumentación; los

primeroselementos[x-y]sepresentanduranteelinterludioIVyjustoeneliniciodel

MovimientoVseescuchalaentradadelpiano,sehapuestoentreparéntesislaxdelos

compases141y142porquelaentradadelosalientossedaenelinterludioyenestos

compasessolopermanecen.

RelacióndelMovimientoIIconlosMovimientosIyIII.

EnesteapartadoseexplicarándoselementosquerelacionanalosMovimientosI,

IIyIII.EnprimerlugarsehablaradelTricorde[0,2,7]yensegundolugardelpatrón

quegeneralasucesióndelasáreasquesedesarrollaencadaunodelosmovimientos

quelosarticulaenunaformaternaria.

EnelMovimientoIIcomienzaunprocesodetricordes[0,2,7],comentadoyaenel

análisisdedichomovimiento.Esta sucesiónde tricordesgenera tambiénel tricorde

inicial y final delMovimiento III. El tricorde [0, 2, 7] es el número 6 del listado de

tricordes del ejemplo 50, y es relevante por ser uno de los ocho tricordes que se

encuentran en la disposición original de la serie. En la presentación inicial, este

tricordeseestableceenelsegundohexacordedelaserieconlostonos<Si,Do#,Fa#>;

sin embargo, Stravinsky lo genera en la presentación del primer hexacorde en el

compás1,alunirporregistrolosprimerostonosdelpiano,dandocomoresultadoque

losprimerostonosdelamanoderechaenelpianosean(Mib,Sib,Lab).

Deltricorde[0,2,7]queseubicaenelordenoriginaldelaserie<Si,Do#,Fa#>,

Stravinskyseleccionalosdosúltimoselementosylosdesarrollajuntoconeltricorde

(Mib,Sib,Lab)en losprimeroscompasesdelMovimiento I.Ambosconjuntos tienen

reiteradaspresentacionesenlosprimerosdocecompasesdelaobra.

Eltricorde(Mib,Sib,Lab)sepresentadentrodeloscompases5,7y11,mientras

que la diada (Do#, Fa#) se presenta en los compases 2, 4, 5 y 6. En el compás 12,

finalmente,estosconjuntossedisponenunotrasdeotrouniendosupresentación.

Ejemplo160

128

Enelejemplo160sepresentanlostonosdelfinaldelcompás11yelcompás12;

losconjuntosencuestiónseseñalanconplicas.

Eltricorde(Mib,Sib,Lab)queapareceenelcompás1,setransformaen<Sib,Fa,

Mib>delcompás74(iniciodelMovimientoIII)enelMovimientoII.Anteriormente,en

el ejemplo86, sepresentaron losprimerosdos tricordes [0,2, 7] contenidosen los

trémolosdeliniciodelMovimientoII,quemarcanlasentradasdelasdosseccionesde

laparteAdelmismo.DentrodelasegundapartedeA,apartirdeltrémolodeMiben

la trompeta I (compás51) se presentan seguidos de éste el Fa, como trémolo en el

arpa, y Sib como trémolo interpretado nuevamente en la trompeta I. Es entonces,

entreloscompases51y52,quelostonosdel iniciodelMovimientoIIIseconjuntan

porprimera vez enuna sucesiónordenada. En ejemplo161 semuestrauna gráfica

queilustralatransformacióndeltricorde[0,2,7].

Ejemplo161

129

Elejemplo148muestralagráficadelejemplo86conelnuevotricorde<Mib-Fa-

Sib>,queserelacionadelamismamaneraquelosdosanteriorespordosdiadasclase

5,queseexhibenmostrandolosintervalos7.Tambiénseincluyeelprimertricorde[0,

2,7]queapareceenlaobra,elcualseproyectapormediodelainversióneníndice3

eneltricordedeloscompases46al47.Eltricordedeloscompases51y52resurge

nuevamentealiniciodelinterludioIIconlosmismostonos,enelcompás68.Deesta

maneraseenlazaelinterludioIIconeliniciodelMovimientoIII.EnelmovimientoIII

eltricorde(Sib-Fa-Mib)aparecealinicioyalfinaldelMovimiento.

ElpatrónquedescribelasucesióndeáreasenelMovimientoIquedarelacionada

conlasáreasdelMovimientoIII.

130

Ejemplo162

Forma del Movimiento I A A´

Movimiento I A0 A1 A0 A2 A0 A0 A1 A0 Movimiento III A0 A1 A0 A2 A1 A0 A2 A0

Enelejemplo162seobservanlasáreasprincipalesdelMovimientoIy laforma

dedichoMovimientocomparadoconlasáreasdelMovimientoIII.Dentrodelaparte

Aexisteunacorrelaciónde lasáreasen losprimeroscuatrocambios [A0-1-0-2], enel

Movimiento I laparteA cierra conel área0 creando loque sepodríanombraruna

formabinariacerrada,mientrasqueenelMovimientoIIIelcierresedaconelárea1

locualpodríadescribirsecomounaformabinariaabierta.LaparteA´coincideenel

hechodequeeláreaceroenambosMovimientosestáabrazandounáreadiferente.

ElMovimiento II se relaciona con lapartebde laparteAdelMovimiento I, es

decirconloscompases13al17endondeeláreaceroquesuenaenformademelodía

es acompañada del área 1 y posteriormente el área 2. Este segmento en donde se

percibelapresenciadedosáreasseextiendeenelsegundomovimientodondeelárea

0sepresentasiempreacompañadayaseadeárea1odelárea2.

Para articular la primera parte del análisis de forma general de la obra de

MovimientosparapianoyorquestaseproponequelosMovimientosI,IIyIIIarticulan

unaformaternariainternaquesedenominará(a-b-a´).

Ejemplo163

FormaInterna a b a´

Movimiento I II III

Enelejemplo163semuestralaprimerapartedelanálisisdeformageneraldelaobra.

131

RelacióndelMovimientoIVconelI.

EnelanálisisdelmovimientoIVsemostrólarelacióndesuinicioconeliniciode

la obra, y también la manera en que la combinación primaria de instrumentación

domina el mismo movimiento. Existen además otros elementos que relacionan el

movimientoIValI.LascoleccionesJ,KyLquedanrelacionadasconelmovimientoI.

LascoleccionesJrefierenalapresentacióninicialdelaseriequesedadentrodelos

primerosdoscompasesdelMovimientoI.

Ejemplo164

En el ejemplo 164 se añade la colección J que representa los primeros dos

compasesdelMovimientoI,loscualessetransformanenJ1pormediodeRI.

LarelaciónquetienenlascoleccionesKsepuedeentendersiguiendolatramade

lapresentacióndelaserieenelMovimientoIV.Traslapresentacióninicialdelaserie,

en la que se preservan distintas invariables con respecto a la serie original, la

colecciónKpresentalosúltimos7tonosdelaserieensuformaderetrógrado,enlos

compases100y101.Enelejemplo150sepresentalagráficadelejemplo165,alaque

seañadelanuevarelaciónqueenlazalascoleccionesKconelMovimientoI.

Ejemplo165

132

Enelejemplo165,lacolecciónJrepresentalosúltimossietetonosdelaserie<Re,

Do,Si,Do#,Fa#,Sol,Fa>queseunena lacolecciónJ1pormediode laoperaciónde

retrógrado,señaladapormediodeunaflecha.

Las colecciones L también pueden referirse a un punto de origen en el

Movimiento I. Entre los compases 35 y 36 que se localizan en la parte A’ del

Movimiento,despuésdelapresentacióndelaseriesedaunmovimientodelpianoa

lascuerdasconlostonos<Mib,Mi,Fa,Si,La>:éstacolecciónsedenominaL.Elprimer

tono(Mib)lopresentanlosvioloncellosjuntoconelpiano;estoesrelevanteyaquelas

colecciones L se desarrollan en los violoncellos en elMovimiento IV. Los compases

previos a las colecciones delMovimiento IV son interpretados por el piano, lo que

hace relevante la instrumentación de la colección L que se da con un movimiento

similar.Enelejemplo166sepresentalarelaciónentrelascoleccionesL.

Ejemplo166

LacolecciónLesigualalacolecciónL1;estaigualdadseexpresaconT0.Otrode

losparalelismosquesedanenelMovimientoIVconrespectoalIesquesepresentala

133

serieensuordenoriginal,enloscompases127al130.Esteesunodelosúnicostres

lugares de la obra, aparte del inicio, en donde ocurre esto; los otros dos lugares se

ubicanenelcompás42,yenloscompases187al193quemarcanelfinaldelaobra.

RelacióndelMovimientoIVyVconelMovimientoI.

LarelaciónentreestosMovimientossedatambiénporlasecuenciadelasáreas.

Enelejemplo167semuestralacomparacióndelasáreasdelosMovimientosIVyV

conrespectoaelMovimientoI.

Ejemplo167

Forma del Movimiento I A A´

a b a´ a b a´ Movimiento I A0 A1 A0 A2 A0 A0 A1 A0 Movimiento IV A0 A1 A0 Movimiento V A0 A2 A0 A1 A0 A1 A0

SisecomparalaformaylasucesióndeáreasdelMovimientoIconlasucesiónde

áreasdelosMovimientosIVyVsepuedeobservarqueelMovimientoIVrepresenta

los primeros tres cambiosde área cinco veces encadenadosque semuestran en el

ejemplo168.

Ejemplo168

134

Esta manera de ver la sucesión de áreas del Movimiento IV y todas las

correspondencias con el Movimiento I permiten interpretar dentro de la forma

generaldelaobraalMovimientoIVcomounaparteinternaquesedenominará:a.

ElMovimientoViniciaenárea0posteriormentepresentaelretrogradodela

sucesióndeáreasdelaparteinternabdelaparteAdelMovimientoI.

Ejemplo169

Forma Interna Movimiento I b

Movimiento I A1 A0 A2 Movimiento V A2 A0 A1

Enelejemplo169sepuedeobservarcomolasucesióndeáreasdelaparteinterna

besA1-0-2yenelMovimientoVsedaelretrogradodeestasucesiónresultandoenA2-0-

1.Estahaceposibleinterpretarloscompasesdel141al171comounaparteinternab

dentrodelaformageneral.

Por último los compases 172 al 193 que contienen la sucesión de áreas A0-1-0,

quedan emparejados con la parte A´ del Movimiento I. Todo lo anterior permite

interpretar al losMovimientos IV yV comouna forma interna ternaria de la forma

generalrepresentadaenelejemplo170.

Ejemplo170

FormaInterna a b a´

Movimientos IV V

cc.141-

171

172-193

FormaGeneral

Parapoderproponerunaformageneraldelaobraesnecesariomencionarquelos

interludios pasan a ser parte delMovimiento que anteceden es decir el interludio I

135

pasa a ser parte del Movimiento II, el Interludio II se entiende como el inicio del

MovimientoIII,elInterludioIIIespartedelMovimientoIVyfinalmenteelInterludio

IVespartedelMovimientoVtalcomosemuestraenelejemplo171.

Ejemplo171

Entendiendo de esta manera los interludios se hablará ya de los Movimientos

considerandoquelosinterludiossonpartedeellos.

LaformageneralpropuestaparalaobradeMovimientosparapianoyorquestade

Igor Stravinsky esuna formabinaria endonde cadaunade laspartes contieneuna

formaternaria.

Ejemplo172

Forma

General

A A´

FormaInterna a b a´ a b a´

Movimiento I II

III IV Vcc.136-171 172-193

Enelejemplo172sepuedeapreciar que laparteAde la formabinariageneral

está integrada por los Movimientos I, II y III mientras que la parte A´ por los

Movimientos IV yV.Esta estructurade la formageneral es el resultadodel análisis

transformacional y de área que se realizó a toda la obra, considerando los

paralelismosentreMovimientosysegmentosdelaserieasícomoelordendelaserie

y las propiedades de las matrices de rotación transpuesta. El análisis de la

136

instrumentación abre la posibilidad de encontrar relaciones a nivel tímbrico, otro

posible caminode investigación es el aspecto rítmicode la obra que el análisis por

áreasugirióestarligadoalaestructurafundamental

137

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