FACULTAD DE INGENIERIA - U

Universidad Nacional

de Mar del Plata

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Área Electrotecnia

Método de representación de cantidades eléctricas en

valores por unidad

Autor:

Ingeniero Gustavo L. Ferro – Profesor Adjunto – Electrotecnia EDICION 2017 Sitio web: http://www3.fi.mdp.edu.ar/dtoelectrica/catedras_3e3.htm

Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Dpto. de Ingeniería Eléctrica – Área Electrotecnia Método de representación de cantidades eléctricas en valores por unidad

Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto – Electrotecnia Página 1

Índice

1. Introducción 2. Esquema Unifilar 3. Diagrama de impedancias y reactancias

4. Definiciones y relaciones principales

5. El transformador monofásico en el sistema por unidad

6. El método por unidad aplicado a sistemas trifásicos

7. Fórmula de cambio de base

8. Componentes simétricas normalizadas en por unidad

9. Selección de la base para los valores por unidad

10. Elementos constitutivos de un sistema eléctrico de potencia

11. Ejemplo de aplicación



1. Introducción

El método de representación de cantidades o magnitudes eléctricas en valores por unidad, no modifica ni agrega ningún concepto nuevo en los métodos de resolución de circuitos lineales en estado permanente. Se trata de una herramienta matemática, que permite simplificaciones en los cálculos, constituyendo una metodología muy útil en la resolución de sistemas eléctricos y en particular cuando la misma se efectúa a través de una computadora. Con este método lo que logramos es resolver un sistema eléctrico en los casos de: a) Determinación de corrientes y tensiones en todos los elementos del sistema en estudio. b) Cálculo de corrientes de cortocircuito, tanto simétricas como asimétricas. c) Análisis de sobretensiones de origen interno, en los lugares del sistema donde sea de

interés su conocimiento. Pero el método por unidad es algo mucho más amplio que lo explicitado anteriormente y se usa siempre que se quiera hacer algo a escala, o sea es una metodología matemática para hacer algo a escala o para analizar el comportamiento de un sistema sin necesidad de construir el mismo en su tamaño natural. Como ejemplos podemos citar: maquetas de obras civiles, prototipos para su estudio (turbinas) y en ingeniería eléctrica para la representación de sistemas eléctricos de potencia compuestos de generadores, líneas de transmisión y distribución de energía, transformadores, cargas, etc. En muchas situaciones de ingeniería, es útil reducir a escala o normalizar cantidades dimensionales. Esto generalmente se realiza en el análisis de sistemas de potencia y el método estándar que se utiliza se conoce como el sistema por unidad (o sistema unitario). Históricamente, esto se llevó a cabo para simplificar los cálculos que anteriormente se hacían a mano. Aunque esta ventaja se ha eliminado por el uso de computadoras, permanecen otras características como:

El método está diseñado de manera que elimina los transformadores ideales como componentes de circuito. Como el sistema de potencia común contiene cientos de transformadores, constituye una economía significativa. Se evita tener que referir las cantidades de un lado a otro de los transformadores.

Relacionado con la ventaja anterior, la tensión a través del sistema de potencia es normalmente cercano a la unidad. Se evita el trabajo con cantidades muy grandes en potencias de diez.

Las impedancias de los generadores y transformadores varían en un estrecho margen sin que dependan del tamaño de los mismos, por lo cual permiten detectar errores de cálculo.

Se evita reconocer el tipo de conexión Δ o Y en los transformadores.

Se reduce el empleo de 3 en cálculos trifásicos.

Los fabricantes en general, especifican sus equipos, en por unidad de los valores que obtienen de ensayos.

El sistema por unidad se presta por lo sencillo para el cálculo mediante computadoras. No obstante, el sistema por unidad tiene también sus desventajas, entre las que se encuentran: El sistema modifica componentes de los circuitos equivalentes, haciéndolos más

abstractos. Algunas veces, los desplazamientos de fase que están claramente presentes en un circuito que no está a escala desaparecen en el circuito unitario.



Algunas ecuaciones del caso que no está a escala se modifican cuando se gradúan por

unidades. Factores tales como 3 y 3 son eliminados o agregados por medio del método.

En el presente trabajo estableceremos los conceptos básicos, definiciones y demostraciones necesarias para posibilitar la utilización del método en el cálculo de sistemas de potencia. 2. Esquema Unifilar Sabemos que todo sistema trifásico equilibrado se puede resolver como “un circuito monofásico equivalente”, formado por una de las tres fases y un conductor neutro de retorno. Con frecuencia se hace una simplificación más, se suprime el neutro de retorno y se indican las partes componentes por medio de símbolos normalizados (ver figura Nº 1) A este tipo de representación de un sistema eléctrico se lo denomina “esquema unifilar”, es decir, todo circuito se representa con una simple línea y símbolos normalizados para las líneas de transporte y aparatos asociados de un sistema eléctrico. El objeto de un esquema unifilar es suministrar de manera concisa los datos más significativos e importantes de un sistema de potencia, la información contenida varía según el problema que se esté estudiando. Un ejemplo de esquema unifilar puede verse en la figura Nº 2.

Figura Nº 1 - Símbolos Normalizados



Figura Nº 1 – Símbolos Normalizados (continuación)



Figura Nº 1 – Símbolos Normalizados (continuación)

Figura Nº 2 – Diagrama Unifilar de un sistema eléctrico En la citada figura se representa el diagrama unifilar de un sistema muy sencillo, compuesto por dos generadores – uno puesto a tierra a través de una reactancia de neutro y el otro a través de una resistencia – conectados a una barra y a través de un transformador elevador a una línea de transmisión.



Un tercer generador, puesto a tierra a través de una reactancia, está conectado a una barra y por un transformador al otro extremo de la línea de transmisión. A esta barra está unida una carga. En el diagrama se incluyen datos sobre las cargas, régimen de los generadores y transformadores y las reactancias de las diversas partes del circuito. 3. Diagrama de impedancias y reactancias Para estudiar el comportamiento de un sistema en condiciones de carga o al presentarse un cortocircuito, el esquema unifilar tiene que transformarse en un “diagrama de impedancias”, que muestre el circuito equivalente de cada componente del sistema. La figura Nº 3 representa el diagrama detallado de impedancias correspondiente al sistema eléctrico de la figura Nº 2, en él observamos que cada generador está representado por la tensión generada en serie con valores adecuados de resistencia y reactancia. Cada transformador está representado por un cuadripolo "T" equivalente, donde se representan las resistencias y reactancias de dispersión y del brazo de excitación paso para la corriente magnetizante.

Las líneas de transporte se representan por un cuadripolo "" equivalente y en él se representan la resistencia y reactancia en serie y la capacidad total al neutro.

Figura Nº 3 – Diagrama de impedancias correspondiente al Diagrama Unifilar de la

figura Nº 2 Si queremos simplificar los cálculos, por ejemplo en la determinación de una corriente de cortocircuito, se pueden suprimir, sin cometer un error apreciable, las cargas estáticas, las resistencias y la capacidad de la línea de transporte, con lo cual el diagrama de impedancias se reduce al denominado “diagrama de reactancias”, que puede verse en la figura Nº 4.

Figura Nº 4 – Diagrama de reactancias adaptado de la figura Nº 3

Se han suprimido todas las cargas, resistencias y admitancias en paralelo. Las reactancias

están en [] referidas a los lados de alta tensión de los transformadores. Los valores entre paréntesis son reactancias expresadas en por unidad, tomando como valores base 30 MVA y 66 kV.



4. Definiciones y relaciones principales Sea una cierta variable, su valor en por unidad (variable p.u.) se define como la relación entre el valor real de la variable y un valor de referencia o base.

Valor real de la variable Variable por unidad (vpu) = ---------------------------------- Valor base de la variable

4.1. Variables eléctricas básicas en el sistema por unidad. Los sistemas eléctricos de potencia, usualmente requieren de seis variables, que están estrechamente relacionadas con la solución de la red. En la tabla 1 encontramos esas seis variables:

El tiempo es una variable que se omite cuando se hace uso de la representación fasorial y se pasa del dominio temporal al de la frecuencia. De las seis variables que se encuentran en las redes eléctricas, cuatro de ellas son función de dos básicas, de manera que al fijar dos de ellas las otras dos quedan determinadas (por ejemplo si se conocen tensión y corriente, se pueden conocer la potencia o la impedancia) Para que el sistema por unidad pueda ser correctamente empleado en los sistemas eléctricos de potencia, deben satisfacer las leyes de los circuitos eléctricos, ya conocidas, a saber:

Ley de Ohm

Leyes de Kirchhoff

Concepto de Potencia Compleja

Relaciones de tensión, corriente y potencia en sistemas trifásicos 4.1.1. Tensión y corriente en por unidad. Consideremos dos magnitudes eléctricas en estado permanente representadas fasorialmente. Sean estas la tensión U y la corriente I. Como es sabido la representación fasorial admite las expresiones polar, exponencial y cartesiana compleja de sus magnitudes. Por consiguiente podemos escribir:

U = U = U e j = U cos + j U sen = Ux + j Uy [V] [1]

I = I = I e j = I cos + j I sen = Ix + j Iy [A] [2]

Recordamos que U e I representan los valores eficaces. Sin introducir ninguna modificación conceptual, podemos escribir:

U = UB . Upu e I = IB . Ipu [3]



Donde:

UB = valor base de tensión IB = valor base de corriente Upu = valor fasorial de tensión en por unidad Ipu = valor fasorial de corriente en por unidad

El valor en por unidad (pu) de cualquier cantidad se define como la relación de la cantidad a su base y se expresa como un decimal. Por ejemplo, si se selecciona una base de voltaje de 120 kV, los voltajes de 108, 120 y 126 kV equivaldrán a 0,90, 1,00 y 1,05 en por unidad. Para hacer compatibles las ecuaciones [3] bastará con establecer las definiciones apropiadas, lo que hacemos a continuación.

Diremos que un valor base de una magnitud fasorial, es un número real arbitrario, elegido atendiendo a las comodidades prácticas del cálculo, y expresado en las mismas unidades de medida de la magnitud fasorial.

Igualmente, “un valor fasorial en por unidad” de una magnitud fasorial, es un fasor de las mismas características físicas de la magnitud fasorial, pero de módulo distinto y sin unidades de medida.

Admitidas estas convenciones, como ellas no han alterado los conceptos del método fasorial o simbólico del cálculo de circuitos eléctricos en estado permanente, podemos intuir que se deberán cumplir todas las leyes que los rigen. Las ecuaciones [3] pueden escribirse: U/UB = Upu e I/IB = Ipu [4] Las ecuaciones [4] permiten, elegidos los valores base de tensión y corriente, calcular los fasores de tensión y corriente en valores por unidad. Para cualquiera de las notaciones dadas en [1] y [2] se tendrá:

U/UB = U / UB = Upu [5] La [5] indica que para obtener el valor por unidad de una tensión bastará con dividir el módulo o valor eficaz de la tensión por el valor base.

Ejemplo 1: Si tenemos una tensión compleja de U = 200 30º [KV], adoptando como valor

base UB= 100 [KV] el valor en por unidad será: U/UB = 20030º/100= 2 30º pu. También es evidente que, conocido el valor base y él por unidad de un fasor, este se puede obtener, utilizando la [3].

Ejemplo 2: UB = 100 [KV] y Upu = 3 + j 1 pu, luego: U = UB. Upu = 200 30º [KV]. Lo anterior es extensivo a cualquier fasor eléctrico o número complejo. 4.1.2. Impedancia en por unidad

La definición de la impedancia resulta del cociente de fasores: U/ I = Z [] [6], siendo Z un número complejo y no un fasor. Sustituyendo los valores de [3] en [6] resulta:

U / I = UB / IB . Upu / Ipu = ZB . Zpu [7]

Comparando [6] y [7] vemos que: Z [] = ZB . Zpu [8] Zpu = Z [] / ZB



ZB = UB / IB es un número real y Zpu = Upu / Ipu es un número complejo

Zpu = Z e j / ZB = Z / ZB e j donde puede escribirse en forma binómica: Zpu = Rpu + j Xpu 4.1.3. Potencia Compleja en por unidad La potencia compleja está definida por:

S = U I * = U e j I e j = U I e j = U I cos + j U I sen = P + jQ [VA] [9]

Dado que - = pues , en la que P = U I cos es la potencia activa o real y Q= U

I sen es la potencia reactiva. Para este caso, la potencia reactiva es inductiva, por cuanto la corriente atrasa a la tensión

en un ángulo relativo . Si la corriente adelantara a la tensión, es decir si el circuito resultará capacitivo se tendría:

S= U I * = U e j I e j = U I e j = U I cos - U I sen = P – j Q [VA] [10]

Dado que - = - pues < , lo que indica que para la misma definición de la potencia compleja, el signo de la potencia reactiva es negativo si la potencia reactiva es capacitiva. En base a la ecuación [9] podemos escribir:

S = U I*= UB Upu IB I*pu = UB IB Upu I*pu = SB Upu e j Ipu ej = SB (Ppu+j Qpu) [VA] [12] Analizando la [12] advertimos:

La potencia aparente base es el producto de la tensión base por la corriente base: SB = UB IB [13]

La potencia compleja por unidad es el producto del fasor tensión por unidad por el fasor corriente por unidad: S = Upu I*pu = Ppu+ j Qpu [14]

El módulo de la potencia compleja por unidad es la potencia aparente por unidad.

La parte real de la potencia compleja por unidad es el valor de la potencia activa o real por unidad y la parte imaginaria, la potencia reactiva por unidad.

Se mantiene la convención de signos para la potencia reactiva por unidad, según los

casos presentados en [9], [10] y [11].

4.1.4 Relaciones de tensión, corriente y potencia en sistemas trifásicos En el caso de la transmisión y distribución de la energía eléctrica la misma se realiza utilizando sistemas trifásicos, siendo los valores base elegidos normalmente:

S [MVA] o [KVA] "Potencia trifásica aparente" U [KV] "Tensión compuesta o de línea"

En los casos en que la frecuencia se mantenga constante, como resulta cuando se estudian los cortocircuitos y los flujos de carga, ésta no se tomará como valor base, sin embargo en el caso del estudio de las sobretensiones de origen interno en sistemas de potencia debe elegirse una frecuencia base fb, adoptándose generalmente la frecuencia nominal del sistema (f n = f b)



Todas las relaciones circuitales válidas en los circuitos trifásicos equilibrados se respetan. Por lo tanto para una tensión base Vbase expresada en kV y una Sbase expresada en MVA se tiene: Si se despejan las definiciones de las variables tensión, corriente y potencia en por unidad y se sustituyen en la expresión de la potencia resulta:

De modo que para que se mantenga el hecho de que la potencia en por unidad sea el producto de la tensión y la corriente conjugada por unidad las bases deben satisfacer que:

Resumiendo, el método por unidad se basa en hacer el cociente entre dos valores expresados en la misma unidad, es decir a uno se lo denomina “valor base“[VB] y al otro “valor medido o esperado” [V], por lo que el valor denominado por unidad [V pu] es igual a: V (pu) = V / VB [15]

El sistema por unidad es simplemente un método de normalización y en su aplicación deben respetarse todas las leyes de la teoría de circuitos o sea que valen: la ley de Ohm, las leyes de Kirchhoff, el método de los lazos, el método de los nodos, el Teorema de Thevenin y de Norton, el método de las componentes simétricas, etc.

El valor por unidad tiene la ventaja de ser adimensional, las tensiones, corrientes, potencias e impedancias están relacionadas entre sí de tal forma que la elección de valores base para dos cualquiera de ellos determina los valores base de los otros dos.

5. Transformadores monofásicos en el sistema por unidad Los transformadores son uno de los elementos dentro de los sistemas de potencia de mayor uso, es por ello que se le dedica especial interés en su trato dentro del sistema por unidad. Suponga un transformador de potencia monofásico, ideal, de dos arrollamientos. Como se considera ideal, no posee asociadas pérdidas o reactancia interna, resultando en forma explícita le relación de transformación es N1/N2, el cual es conectado a una carga de impedancia Z20. Por teoría de máquinas eléctricas se conoce que en un transformador monofásico ideal, satisface que el cociente de los voltajes primario a secundario (V1/V2) es numéricamente igual al cociente del número de vueltas primario y secundario (N1/N2).

]vueltas[N

]vueltas[N

]Volt[V

]Volt[V

2

1

2

1 (a)

Seleccionemos las bases de tensión de manera que cumplan con la relación de transformación, es decir:

]kA[I]kV[V3]MVA[S*

basebasebase IV3S

baseS

]VA[S]pu[S

baseV

]V[V]pu[V

baseI

]A[I]pu[I

base*

basebase I]pu[IV]pu[V3S]pu[S



]vueltas[N

]vueltas[N

V

V

2

1

2base

1base (b)

Siendo: Vbase1 = voltaje base en la barra 1 y Vbase2 = voltaje base en la barra 2 Si se procede a igualar las ecuaciones (a) en (b)

2base

2

1base

1

2base

1base

2

1

V

]Volt[V

V

]Volt[V

V

V

]Volt[V

]Volt[V

En atención a la definición de los valores por unidad, en cada una de las barras del transformador:

2base

22

1base

11

V

]Volt[V]pu[V

V

]Volt[V]pu[V

Resultando evidente que: ]pu[V]pu[V 21

De lo antes expuesto se concluye que cuando se expresan las tensiones de un transformador en el sistema por unidad se elimina la relación de transformación, pero esto solo es cierto cuando las bases cumplen con la relación de transformación.

Por otra parte, en un transformador monofásico, se cumple que las corrientes satisfacen a la relación de transformación:

]vueltas[N

]vueltas[N

]Amp[I

]Amp[I

2

1

1

2 (c)

Si las bases de corriente son seleccionadas convenientemente para que satisfagan la relación de transformación:

]vueltas[N

]vueltas[N

I

I

2

1

1base

2base (d)

Siendo: Ibase1 : Corriente base en la barra 1 e Ibase2 : Corriente base en la barra 2 Entonces igualando las expresiones (c) y (d) se tiene:

2base

2

1base

1

2base

1base

2

1

I

]Amp[I

I

]Amp[I

I

I

]Amp[I

]Amp[I

Si se toma en cuenta la definición de los valores por unidad parta la corriente, en cada una de las barras del transformador:

2base

22

1base

11

I

]Amp[I]pu[I

I

]Amp[I]pu[I

El resultado final es: ]pu[I]pu[I 21

De manera tal que si se eligen las bases de corrientes en ambos lados del transformador para que cumplan con la relación de transformación, el valor de corriente en el sistema por unidad de un lado y otro del transformador son iguales.

Nótese que el hecho de que en los valores de tensión y corriente en el sistema por unidad, se elimina el acoplamiento magnético. En un transformador monofásico, se puede seleccionar como valores bases arbitrarias en cualquiera de las combinaciones de corriente y tensión; pero los restantes son calculados mediante el empleo de la relación de transformación.



1base

2base

2

1

2base

1base

I

I

N

N

V

V

Ahora considérese que el transformador de potencia de dos arrollamientos monofásico posee una carga Z20 conectada en la barra 2. Se puede afirmar que en variables reales, el voltaje en la carga viene dado por la ley de Ohm.

]Amp[I][Z]Volt[V 2202

Si se asume que la impedancia Z20 referida al primario es Z10, entonces es valedera la aplicación de la ley de Ohm en unidades reales al primario.

]Amp[I][Z]Volt[V 1101

Se conoce por teoría del sistema por unidad que si las bases de tensión:

2base

2

1base

1

V

]Volt[V

V

]Volt[V

Sustituyendo resulta:

2base

220

1base

110

V

]Amp[I][Z

V

]Amp[I][Z

Pero, por definición de valores por unidad, las corrientes de ambos lados resultan:

2base221base11 I]pu[I]Amp[II]pu[I]Amp[I

2base

2base220

1base

1base110

V

I]pu[I][Z

V

I]pu[I][Z

Si se cumple que:

2base

2

1base

1

I

]Amp[I

I

]Amp[I ]pu[I]pu[I 21

Finalmente:

base20

20

base10

10

2base

2base

220

1base

1base

110

Z

][Z

Z

][Z

I

V

]pu[I][Z

I

V

]pu[I][Z

]pu[Z]pu[Z 2010

De lo expuesto anteriormente se deduce que la impedancia Z20 [Ω] referida al lado primario Z10 [Ω] son iguales en cantidades por unidad, demostrando que en el sistema por unidad las impedancias [p.u] son iguales no importa de que lado del transformador se expresen.

5.2. Transformadores monofásicos reales en el sistema por unidad En los sistemas de potencia, es necesario considerar los elementos lo más cerca de la realidad posible y en el transformador de potencia real hay que tomar en cuenta para el análisis en sistemas por unidad los siguientes aspectos:

La corriente de excitación

La impedancia equivalente



En los transformadores de potencia la corriente de excitación o de magnetización se puede despreciar, debido a que por lo general es muy pequeña del orden del 5% de la corriente nominal. Para la impedancia, consideremos un transformador monofásico real, con una impedancia equivalente ZT [Ω], vista desde el primario. En la representación de un transformador monofásico real con una barra ficticia 3-3´ la cual no existe físicamente, pero que sirve para modelar el transformador real, como uno ideal en serie con su impedancia. Si se seleccionan dos valores bases Vbase1 e Ibase1, empleando el sistema por unidad se tiene que: V3 [pu] = V2 [pu]

Entonces el circuito equivalente para el transformador monofásico (1) real se puede representar por:

]pu[Z]pu[I]pu[V]pu[V T131

En los transformadores el valor de la impedancia del transformador se puede obtener de las características nominales del mismo. La placa de especificaciones técnicas del transformadores, indica el valor de ZT, normalmente el fabricante específica este valor en % dando R y X en potencia. En los transformadores de potencia usualmente se considera solo la reactancia, la cual viene expresada en forma porcentual. Este porcentaje es el valor de la Xeq expresada como el porcentaje de la caída de tensión que se produciría al circular por Xeq la corriente nominal del transformador.

%100xV

I][X[%]X%100x

V

I][R[%]R

alminno

alminnoeq

eq

alminno

alminnoeq

eq

El porcentaje representa la caída de tensión que se produce al circular por Req o Xeq la corriente nominal, de acuerdo al lado considerado. Si por ejemplo se toma como base la corriente y voltaje nominal como bases resulta:

base

eqeqZ

%100x][X[%]X

Ejemplo: Consideremos un transformador de potencia monofásico de 50 MVA y 11/132 kV y reactancia igual a X = 10 % ¿Qué significado tiene la reactancia? Resolución: El significado físico de este 10% es que la caída de tensión en Xeq cuando el transformador está trabajando a plena carga es del 10 % de la tensión nominal (132 kV) referida a secundario. Ejemplo: Dado un transformador monofásico con los siguientes datos de placa: 50 MVA, 11/132 kV, X1 = 0,242 Ω y X2 = 34,848 Ω (vista del lado de alta tensión). Determinar el valor de la reactancia porcentual vista de ambos lados. Resolución: La corriente nominal en ambos lados del transformador es:

A78,378kV132

MVA50IA45,4545

kV11

MVA50I n2n1



Los valores de reactancia en porcentaje para ambos lados del transformador:

%10%100kV132

A78,378][848,34[%]X

%100V

I][X[%]X

alta

n2

n22alta

%10%100kV11

A45,4545][242,0[%]X

%100V

I][X[%]X

alta

n1

n11baja

La reactancia del lado de alta y baja es igual, un resultado que era de esperarse atento a lo indicado al desarrollar el método por unidad.

[%]X[%]X altabaja

Generalmente, en los datos de chapa de los transformadores, se indica la tensión de cortocircuito en valor porcentual (uCC%), este valor porcentual, no es otra cosa que la impedancia de cortocircuito en valor porcentual (ZCC%) y para obtenerla en valores por unidad habrá que dividirla por cien. Supongamos que en la chapa de un transformador figura la tensión de cortocircuito uCC % = A %, donde A es un número cualquiera, siendo S su potencia aparente y U1 y U2 sus tensiones nominales de vacío. Sabemos que la tensión de cortocircuito es una tensión reducida que se aplica en el ensayo del mismo nombre, siendo condición que las corrientes en ambos bobinados, sean las nominales, por tanto: uCC% = uCC [V]/U1 .100 = uCC [V]/ U2 .100 , es decir puede estar referencia a la tensión primaria, o la secundaria. Dividiendo por la corriente nominal respectiva: uCC % = uCC [V] / I1 [A] . 100 = ZCC1 . 100 = Z CC (pu1) . 100 U1 [V] / I1 [A] ZB1

ZCC (pu1) = uCC%/100

Igualmente para uCC/U2 resulta: ZCC (pu2) .100 = uCC%

ZCC (pu2) = uCC% / 100

Lo que prueba nuevamente la igualdad de las impedancias de cortocircuito en valores por unidad aunque en este caso se han calculado los módulos. Puede mejorarse el modelo del transformador, incluyendo la impedancia o admitancia de excitación o transversal, es decir, considerando la corriente de vacío I0 que hemos despreciado; pero para los cálculos en estado permanente, se obtiene suficiente aproximación con el esquema analizado.



6. Caída de Voltaje en un Elemento en el Sistema Por Unidad Se tiene una impedancia Z12 [Ω] entre dos puntos de un sistema que puede ser la impedancia de una línea de transmisión o la equivalente de un transformador. Se conoce por definición de sistemas por unidad:

]pu[I]pu[Z]pu[V

IZ

]A[I][Z]pu[V

IV

I]A[I][Z]pu[V

V

]V[V]pu[V

121212

basebase

121212

basebase

base121212

base

1212

Se observa que la caída de tensión en una impedancia en por unidad es igual al producto de los valores en por unidad de esa impedancia por la corriente circulante.

7. El método por unidad aplicado a sistemas trifásicos Los sistemas trifásicos de potencia funcionando en régimen permanente o estacionario, cumplen con suficiente aproximación, las condiciones de “simetría y equilibrio” establecidas para los llamados sistemas “simétricos y equilibrados” Independientemente del tipo de conexión de sus fuentes y receptores, un circuito trifásico “simétrico y equilibrado”, puede representarse por “un circuito monofásico”, en el que el neutro o retorno “carece de impedancia”; es decir, es representable por una de sus fases. Consecuentemente, un sistema trifásico simétrico y equilibrado, puede representarse mediante un circuito equivalente en valores por unidad (v.p.u) Previo, a encarar la representación citada en el párrafo precedentemente, conviene recordar que se dice que un sistema eléctrico polifásico de fuentes y receptores es “simétrico” si sus f.e.m. (tensiones, corrientes) son iguales en magnitud y si cada f.e.m. (tensiones, corrientes) se retrasa en un mismo ángulo de fase respecto de la precedente, ángulo

que para sistemas polifásicos vale 2/m, siendo m el número de fases, cumpliéndose además la igualdad de las impedancias complejas de todas sus fases. En caso contrario se llama asimétrico. Por otra parte se dice que un sistema polifásico es “equilibrado” si el valor instantáneo de la potencia es constante. Como los circuitos trifásicos se resuelven como una línea simple con neutro de retorno, las bases para las magnitudes del diagrama de impedancias son [KVA] por fase y [KV] de línea a neutro. Los datos que se suministran para el estudio de los sistemas se dan generalmente como [KVA] totales o [MVA] y [KV] entre líneas. A causa de esta costumbre de especificar la tensión de línea y los KVA totales puede originarse una confusión sobre las relaciones existentes entre el valor por unidad de la tensión de línea y el valor por unidad de la tensión de fase. Aunque puede especificarse como base una tensión de línea, la tensión en el circuito monofásico será la tensión con respecto al neutro en por unidad.



La tensión básica, respecto al neutro, es la tensión básica entre líneas dividida por raíz de tres. Dado que este es también el valor de la relación entre las tensiones de línea y respecto al neutro en un sistema trifásico equilibrado, el valor por unidad de una tensión de línea a neutro, con tensión base de línea a neutro, es igual al p.u. de la tensión de línea en el mismo punto. Es decir: VL = tensión de línea

VLN = tensión de línea a neutro

Por definición: VLNbase = VLbase /3 Dado que: VL (pu) = VL /VLbase

Además: VLN (pu) = VLN / VLNbase y VLN = VL/3 Deducimos que:

)pu(VV

V

3

V

3

V

V

V)pu(V L

L

L

L

L

LN

LNLN

basebase

base

De igual forma, los KVA trifásicos son tres veces los KVA por fase y los KVA base trifásicos son tres veces los KVA base por fase. Por lo tanto, el valor por unidad de los KVA trifásicos con KVA base, es idéntico al valor por unidad de los KVA por fase con KVA por fase básicos.

Es decir será: MONTRIFMONTRIF S*3SS*3SbaseBASE

así que:

)pu(SS

S

3

S

3

S

S

S)pu(S TRIF

TRIF

TRIF

TRIF

TRIF

mon

monMON

base

base

BASE

A menos que se especifique de otra manera, el valor dado para la tensión base de un sistema trifásico es la TENSION DE LINEA y el valor de la potencia aparente base en KVA o MVA es la TOTAL TRIFASICA.

Un ejemplo numérico hará más clara estas relaciones. Por ejemplo, si: STRIFASICA base = 30.000 kVA y VLL base = 120 kV Los valores por fase para la potencia aparente y la tensión resultarán: SMONOFASICA base = 30.000 kVA / 3 = 10.000 kVA y VLN base = 120 kV/ √3 = 69,2 kV Para en voltaje de línea a línea real de 108 kV en un sistema trifásico balanceado, el voltaje de línea a neutro es 108/√3 = 62,3 kV, y



Voltaje por unidad = 108 / 120 = 62,3 / 69,2 = 0,90 Para una potencia trifásica de 18.000 kW, la potencia monofásica es 6.000 kW, y Potencia en por unidad = 18.000/ 30.000 = 6.000/10.000 = 0,6 Las impedancias base y las corrientes base pueden calcularse así:

Impedancia base en "Y"

base

base

base

base

base

base

Y

LNbase2

MON

2L

TRIF

L

2

TRIF

Z =V

S=

(V

3)

S

3

=(V )

S

Impedancias base en ""

base

base

base

base

base

baseD

L

2

MON

L

2

TRIFYZ =

(V )

S=

(V )

S

3

= 3 Z

Valores de impedancia en por unidad p.u.

ZD [] = 3 ZY [] ZY (pu) = ZY / ZYbase

ZD [pu] = ZD / ZDbase = 3 * ZY / 3 * ZYbase = ZY [pu]

ZD [pu] = ZY [pu]

La corriente de línea será:

8. Fórmula de cambio de base Cuando un fabricante especifica una resistencia y/o una reactancia de un aparato (transformadores, generadores, motores, etc.) en por unidad debe entenderse que se han adoptado para calcular dichos valores como valores base los nominales de la máquina en cuestión. Como generalmente estos valores base serán distintos de los por nosotros adoptados para la resolución del problema, debemos realizar un cambio de base para hallar los valores en por unidad de los elementos referidos a la base adoptada. Es importante recordar que todas las impedancias del sistema tienen que ser expresadas respecto de la misma impedancia base. Para un elemento cualquiera del sistema la impedancia en por unidad puede calcularse:

22base

base

]kV[)V(

]MVA[S.][Zrealimpedancia]pu[ZunidadporenpedanciaIm

Lo cual muestra que la impedancia en por unidad es directamente proporcional a los MVA base e inversamente proporcional al cuadrado del voltaje base.

base

base

base L

TRIF

L I =

S

3 * V



Por lo tanto para cambiar la impedancia en por unidad sobre una base dada a impedancia en por unidad sobre una nueva base, se aplica la siguiente ecuación:

)baseS

baseS()

baseV

baseV(]pu[Z]pu[Z

dada

nueva2

nueva

dadadadanueva

9. Componentes simétricas normalizadas en por unidad.

Las ecuaciones fundamentales estudiadas hasta aquí, se basaron en que todas las variables estaban en unidades del sistema internacional (SI). Es de utilidad interpretar las mismas ecuaciones en el sistema por unidad. Expresemos las componentes simétricas de las tensiones de fase:

V012 = [T] – 1 Vabc

Dividiendo por V LN base:

]1[V

VT

V

V

basebase LN

abc1

LN

012

O bien: V012 pu = [T] - 1 Vabc pu [2]

Similarmente: I012 pu = [T] - 1 Iabc pu [3]

Donde la corriente propia de base es IL base. Recordando que:

Z012 = [T] - 1 [Zabc] [T] [4] Dividiéndola por ZY base resulta:

1 [ Z012 ] = 1 [T] -1 [Zabc] [T] [5]

ZY base ZY base

Z012 pu = [T] –1 [Zabc pu] [T] [6] Considerando ahora la potencia:

S3 = 3 V012 I012 [7]

Dividiendo entre S3 base:

S3 = 3 V012 I*012 [8]

S3base S3base

Spu = 3 . V012 . I*012 [9]

3 . S1base

Spu = V012 . I*012 [10]

VLNbase . ILbase

Spu = V012 . I*012 [11]

VLNbase ILbase

S pu = V012 pu I* 012 pu [12]



Observe que la normalización de la tensión, corriente e impedancia, mediante las ecuaciones [2], [3] y [6], da como resultado formas idénticas a las obtenidas usando unidades del SI. La ecuación de potencia, sin embargo, es diferente en el sentido de que la ecuación [12], falta el factor 3, que figuró en la ecuación [7]. Esto es común en el sistema por unidad, ya que las ecuaciones que son correctas cuando se usan unidades SI, pueden requerir modificaciones cuando se sustituyen los valores por unidad.

10. Selección de la base para los valores por unidad La selección de los valores base de potencia [KVA] y de tensión [KV] se hace con el objeto de reducir al mínimo el trabajo exigido por el cálculo. Para proceder a la resolución de los sistemas eléctricos se procede de la siguiente manera: a) Se elige para todo el sistema una POTENCIA BASE en [KVA] o [MVA], según convenga. b) Se elige en un punto del sistema una TENSION BASE en [KV]. c) Se pasa a través de la relación de transformación de los transformadores y se eligen las

tensiones base en cada punto del sistema. Es decir:

Ub1 [KV] x (UnT1 II / Un

T1 I ) = Ub2 [KV]

Ub2 [KV] x (UnT2 II / Un

T2 I ) = Ub3 [KV] .......................................................................... Ubn-1 [KV] x (Un

T n - 1 II / UnT n - 1 I ) = Ubn [KV]

donde: Un

TiII = tensión secundaria transformador (i) Un

Ti I = tensión primaria transformador (i)

d) Se pasan todos los valores dados en p.u. de la base dada por el fabricante a la base correspondiente al lugar de emplazamiento, mediante la fórmula de cambio de base.

e) En caso de valores dados en unidades, tomando la potencia base única elegida y la

tensión base en cada lugar de emplazamiento se calculan los valores en p.u. de las impedancias y admitancias dadas.

f) Se realiza el circuito equivalente en valores por unidad p.u. g) Mediante un método de resolución de circuitos, que pueden ser: el método de los nodos

o de los lazos, se resuelve el circuito equivalente obteniéndose en cada barra o nodo del mismo las tensiones en p.u. y en cada rama las corrientes en p.u. En caso de tener que estudiar cortocircuitos o fallas, se aplica el método de las COMPONENTES SIMETRICAS.



11. Elementos constitutivos de un sistema eléctrico de potencia En un sistema eléctrico de potencia podemos encontrar básicamente los siguientes elementos: 10 a) Generadores sincrónicos o alternadores. La reactancia X (pu) se denominará, de acuerdo al estado en que se está estudiando el sistema, de la siguiente manera: XS (pu) = reactancia sincrónica o permanente; X´(pu) = reactancia transitoria; X”(pu) = reactancia subtransitoria, todas ellas son denominadas de secuencia "1" o secuencia directa. Xi(pu) = reactancia inversa. Denominadas de secuencia "2" o secuencia indirecta. Xh(pu)=reactancia homopolar. Denominada de secuencia "0" o secuencia homopolar. El hecho de que aparezcan Xs, X’ y X‘’ como dato de los generadores, se debe a que cuando en una red de energía se produce una falla, la corriente que circula viene determinada por la fem de las máquinas de la red y sus impedancias y por las impedancias de la red entre la máquina y el punto de falla. La corriente que pasa por una máquina sincrónica inmediatamente después del fallo, la que circula varios ciclos más tarde y la persistente o valor que corresponde al estado permanente del fallo son completamente distintas a causa del efecto de la corriente en el rotor sobre el flujo que genera la tensión en la máquina. La corriente varía con relativa lentitud desde su valor inicial hasta el correspondiente al estado permanente. Estos cambios en la tensión interna de la máquina, se ponen de manifiesto asumiendo que existen tres estados a considerar: el permanente, el transitorio y el subtransitorio, que dan origen a las reactancias antes definidas. La Xi, reactancia de secuencia inversa o de secuencia "2", es la impedancia que presenta el generador en régimen sincrónico, si se le aplica forzadamente un sistema inverso de tensiones. La Xh, reactancia homopolar o de secuencia "0", depende de los flujos de dispersión y es igual al cociente entre la tensión entre fase y neutro y de la corriente de fase, en el caso de que la alimentación sea una fuente de tensión monofásica, si los tres conductores principales dispuestos en paralelo constituyen el camino de ida de la corriente, y existe un cuarto conductor que actúa como retorno común. Por dicho retorno común (sistema de puesta a tierra, conductor de neutro, hilo de tierra, cubierta o armadura de un cable subterráneo, etc.) circula una corriente tres veces mayor que la homopolar (ver figura ) De acuerdo a la norma, el fabricante debe dar estos valores por unidad para su máquina, solo se dan en la chapa o placa de características de la máquina como valores dimensionales:

SIMBOLO

e g (p.u.)

Z (p.u.)

eg = fem inducida

x(p.u.) = reactancia en p.u.

circuito

equivalente

si r<< x z(p.u.)=x(p.u.)

U0

R

S

T

Z0

3 I0



Sn = Potencia aparente trifásica nominal. Un = Tensión nominal compuesta. fn = frecuencia nominal.

10b) Transformadores de potencia de dos devanados Por norma el fabricante especifica los siguientes valores nominales: UnI = tensión nominal primaria [KV] UnII = tensión nominal secundaria [KV] Sn = potencia nominal trifásica [MVA o KVA] ucc (pu)= tensión de c.c. en p.u. Pcc (pu)= potencia de c.c. en p.u. I0 (pu) = corriente de vacío en p.u. P0(pu)= potencia de pérdidas en vacío en p.u. Del ensayo de cortocircuito obtenemos: ucc (pu) y Pcc (pu) Del ensayo de vacío obtenemos: I0 (pu) y P0 (pu) Por definición cada uno de los parámetros especificados se calculan de la siguiente manera:

]AVk[S

]Wk[P)up(P;

]AVk[S

]Wk[P)up(P;

]A[I

]A[I)up(I;

]Vk[u

]Vk[u)up(u

n

0

0

n

CC

CC

n

00

n

CC

CC

Establezcamos como se relacionan estos valores obtenidos de los ensayos con los valores utilizados para conformar el circuito equivalente que represente al transformador de dos devanados. Definimos:

)up(bj)up(g)up(Yy)up(xj)up(r)up(Z 000CCCCCC

Admitamos sin demostración que:

)up(I)up(Yy)up(u)up(Z 00CCCC )up(P)up(gy)up(P)up(r 00CCCC

además: 2

0

2

00

2

CC

2

CCCC PIb;Pu)up(X

Ejemplo: Dado un transformador trifásico de 7,5 MVA de potencia y 89,250/4,160 KV, conexión estrella – estrella, tiene una tensión de cortocircuito de uCC = 6,34 %. Despreciando la admitancia transversal correspondiente a la corriente de excitación, hallar el circuito equivalente monofásico: a) Tomando como base la potencia trifásica y la tensión compuesta b) Tomando como base la potencia monofásica y la tensión al neutro c) Tomando como base una potencia trifásica de 10 MVA y una tensión compuesta de 85

KV d) Tomando como base una potencia monofásica de 10 MVA y una tensión al neutro de

85/3 KV Solución: a) Potencia trifásica base: 7,5 MVA y tensión entre fases primaria base: 89,250 KV La impedancia en p.u. del transformador vale: X (pu) = u CC / 100 = 0,0634

circuito equivalente

simbolo

Z [ P.U. ]

circuito equivalente

simbolo

Z [ P.U. ]

UI UIIg0 b0

rcc/2 xcc/2 rcc/2 xcc/2



La tensión base del lado de B.T. vale: UB2 = UB1. (4,160/89,250) = 4,160 [KV] El circuito monofásico en p.u. resulta:

b) De acuerdo a las fórmulas indicadas anteriormente resultan: La potencia base monofásica será: SBf = SB3f / 3 = 7,5 / 3 = 2,5 MVA

La tensión base monofásica será: UBf1 = UB3f /3 = 89,250/3 = 51,5285 KV La tensión base monofásica en el lado de baja tensión: UBf2 = UBf1 N2/N1 = 51,5285 KV x (4,160 / 89,250) = 2,4018 KV La reactancia del transformador en las nuevas bases: XCC pu2 = XCC pu1. (UB3f / UBf)2 . (SBf / SB3f) = 0,0634

Como se advierte la reactancia en p.u. no se modifica. El circuito equivalente es el mismo que el del caso a) pero con las tensiones base monofásicas respectivas, o sea UBf1 y UBf2

c) Al ser diferentes las bases de potencia y tensión adoptadas, de las nominales del transformador, se tendrán que efectuar las respectivas modificaciones, es decir: Potencia base trifásica adoptada: SB3f = 10 MVA Tensión base trifásica adoptada: UB3f = 85 KV Reactancia del transformador en las nuevas bases:

XCC pu2 = XCC pu1. (UB3f1/ UB3f2)2 . (SB3f2 / SB3f1) = 0.093 Tensión base en el lado de BT: UB3f2 = 85.(4,160/89,250) = 3,9619 KV El circuito equivalente en p.u. es:



d) La base de potencia monofásica del trafo será: SBf = SB3f/3 = 7,5/3= 2,5 MVA La nueva base de potencia monofásica será: SBfN = 10 MVA Las bases de tensión monofásica del transformador serán:

UBf1 = UB3f /3 = 89,250/3 = 51,5285 KV UBf2 = UBf1 (N2/N1) = 51,5285 KV (4,160 / 89,250) = 2,4018 KV La nueva base de tensión al neutro será:

UBfN1 = 85 /3 KV; UBfN12 = 85/3 (4,160/89,250)= 2,2874 KV La reactancia del transformador en las nuevas bases será:

XCC pu N = 0,0634. [ (89,250/3) / (85,000/ 3)]2. ( 10/ 2,5) = 0,2796 El circuito equivalente será:

10c) Líneas De las líneas generalmente se conocen los valores de sus

parámetros en , es decir, su resistencia, reactancia de dispersión, conductancia y capacidad. Para obtener los valores en por unidad aplicamos las siguientes relaciones: De donde:

Luego con: r [], x [], bc [Si] y g0 [Si] como datos obtenemos: De la misma manera calculamos bc (pu) y g0 (pu), luego con los valores en por unidad

representamos una línea de energía mediante su circuito equivalente (cuadripolo tipo ).

c

c

base0

0

base

b (p.u.)=b [Si]

Y [Si]; g (p.u.)=

g [Si]

Y [Si]

r(p.u. )=r[ ]

Z [ ]; x(p.u. )=

x[ ]

Z [ ]base base

x(p.u.)= x[ ] *S [MVA]

U [KV]

base

base2

base base

base

base 2

base base

base

base

base

base 2 Z =

U

I =

U

S ; Y =

I

U =

S

U

r(p. u. ) = r[ ] *

S [MVA]

U [KV ]

base

base 2 2

c c

base 0

0

base b (p. u. ) =

b [Si]

Y [Si] ; g (p. u. ) =

g [Si]

Y [Si]



10 d) Cargas Se definen de distintas maneras, según el tipo de parámetro eléctrico que se conozca, por ejemplo: P [MW] = potencia activa Q [KVAR] = pot. reactiva Un [K] = tensión de línea Sn [MVA] = potencia aparente In [A] = corriente nominal f.p. = factor de potencia

Z [] = impedancia en Ohms Consideremos el caso de una carga trifásica balanceada, conectada en estrella. En la figura 17, se da el esquema unifilar de una línea corta que parte de una subestación alimentando en su extremo una carga, de la que se conoce su potencia activa P y su factor de potencia.

Para representar la carga por una impedancia recordemos que: P3f = 3 UL I L cos con UL e IL tensión y corriente de línea.

Como: ZC = Uf / If = (UL /3) / If = (UL /3) / IL, por ser IL = If para la conexión en estrella, tendremos:

P3f = 3 . 3 ZC . IL2 cos , luego despejando ZC

ZC = P3f / 3 IL2 cos además: ZC cos = RC y XC = (Z2C – R2

C). Para hallar el circuito equivalente en valores por unidad, adoptamos: la potencia trifásica de base SB3f y la tensión trifásica de base UB3f , calculamos ZB como:

ZB = U2B3f /SB3f y IB = SB3f/3UB3f

Con los valores base y los datos del circuito dados en unidades eléctricas, calculamos los valores por unidad. Tendremos: US pu = US /UB3f , UR pu = UR / UB3f , ZL pu = ZL/ZB, Ipu = I / IB, ZR pu = ZR / ZB Con estos valores, el circuito en p.u. está representado en la figura que sigue:

Recordemos que este es un circuito monofásico. 10e) Motores Normalmente se especifican por los valores nominales en C.V. y tensión, los KVA nominales pueden determinarse solamente si se conocen el rendimiento y el factor de potencia. Si se



carece de información sobre estas magnitudes pueden utilizarse las siguientes relaciones deducidas de valores medios para cada tipo particular de motor:

MOTORES SINCRONICOS: con f.p. unidad..... KVA = 0.8 * C.V. con f.p. 0.8(L) .... KVA = 1.10 * C.V.

MOTORES DE INDUCCION: KVA = C.V.

12. Ejemplo de aplicación. Aplicaremos el método por unidad a un sistema electroenergético formado por un generador, transformadores, línea de transmisión y carga. Se solicita determinar la impedancia en por unidad (pu) de la carga, referida a los distintos sectores del circuito, dibujar el circuito equivalente y calcular las corrientes en los distintos sectores, como también la caída de tensión en la línea de transmisión. Resolución: 1º) Adoptamos como valores base: SB = 10000 KVA UB = 13.2 KV 2º) Calculamos las tensiones base en los sectores II y III del circuito: UB= UbI =13.2 KV Siendo k1= U1/U2, donde U1 y U2 representan las tensiones primaria y secundaria del transformador 1, entonces: UbII = 1/k1 * UbI = 13.2 * 10 = 132 KV, para la tensión base en el sector III será: UbIII = 1/k2 * UbII = 1/k1 * 1/k2 * UbI = 13.2 KV * 10 * 0.5 = 66 KV Las impedancias base quedan definidas así:

La impedancia de carga en por unidad valdrá:

será: Zcarga II = 300 x k2 2 = La carga referida al circuito II

1200 , en pu valdrá:

La carga referida al circuito I será: Zcarga I = Zcarga x (k2 . k1 )2 = 12 , en p.u. valdrá:

carga IZ (pu ) =12

17.42= 0.69

CONCLUSION: La impedancia en p.u. de la carga referida a cualquier parte del sistema será la misma (0.69).

G

G1 T1 L T2 carga

I II III

L : 1.2 Ohms/km ; long.:100 km

G : Un=13.2 KV ; Sn=25 MVA ; Xs=5%

T1 : 13.2/132 KV; ST1=12 MVA ; Xd=8%

T2 : 138/69 KV ; ST2=12 MVA ; Xd=6 %

carga = 300 Ohms

k1 k2

carga III

carga

base

Z (pu ) =Z

Z= 0.69

III

carga IIZ (pu ) =1200

1742.4= 0.69

base

2base

base

Z =U

S

Ibase

2

Z =13.200

10000000= 17.42 IIbase

2

Z =132.000

10000000= 1742.4

IIIbase

2

Z =66000

10000000= 435.6

G

G

base

U (pu)=U

U= 1 0

I



La tensión en por unidad será: UG (pu) = UG (V) / Ubase = 1 0° Los valores de las reactancias del generador y de los transformadores están referidas a los valores nominales de cada uno, por lo tanto habrá que pasarlos a las bases respectivas:

Z(pu ) = 0.05 * ( 13.2

13.2 ) *

10.000

25000 = 0.02 G

2

Z(pu ) = 0.06*(138

132) *

10000

12000= 0.0546T2

2

Z(pu ) = 0.08*(13.2

13.2) *

10000

12000= 0.067T 1

2

Para la línea será:

LX = 1.2 / km*100km= 120

La impedancia equivalente será:

Zeq (pu) = 0.69 + j 0.2146 = 0.722 16.93º

I (pu) = U (pu) / Zeq (pu) = 1.39 -16.93º Las corrientes base en los distintos sectores valdrán:

IBI = Sb / 3 UBI = 438 [A] ; IBII = Sb / 3 UBII = 43,8 [A] ; IBIII = Sb /3 UBIII = 87,6 [A] II = I (pu) * IBI = 608,82 [A]; III = I (pu) * IBII = 60,88 [a]; IIII = I (pu) * IBIII = 121,8 [A]

La caída de tensión valdrá: UL (pu) = I (pu) * XL (pu) = 0,096 73,1º [V]

En valor normal será: UL = Ubase II * UL (pu) = 12,67 73,1 º [KV] glf/2017

j 0.02 j 0.069

j 0.067 j 0.055

0.691 / 0º

Diagrama de impedancias

X(pu ) =X

Z= 0.0689L

L

baseII

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