TEORA DE DECISIONES

Facultad de IngenieraLicenciatura en Ingeniera CivilTeora de DecisionesSemestre agosto-diciembre 2013

Anlisis de DecisinM. I. Jos Francisco Grajales Marn

La razn que motivo al hombre a registrar datos con propsitos estadsticos, se encontr en la necesidad, de anotar aquellos hechos que aparecen como vivencias sociales transcendentes: crecimiento de poblaciones, disposiciones de alimento, fenmenos naturales, etc. 1. SNTESIS DE PROBABILIDAD

2 1.1 Principales definicionesDato: Nmero o medida que se obtiene de observaciones de una variable.

Variable: Es toda cualidad o caracterstica que toma valores diferentes en distintos objetos.

Variable aleatoria: Es aquella variable que toma valores de algn proceso al azar.Variable aleatoria continua: Es la variable aleatoria que puede tomar cualquier valor de un intervalo o dominio.

3Variable aleatoria discreta: Es la variable que slo puede tomar valores de un conjunto numerable.

Estadstica: Ciencia cuyos propsitos son la extraccin de datos y su uso en la realizacin de inferencias acerca de una poblacin, de la cual dichos datos fueron extrados.

Estadstica descriptiva: Es la que trata con la descripcin numrica o grfica de un conjunto de datos.

Estadstica inferencial: Es la que trata con la formulacin de conclusiones, estimaciones o generalizaciones acerca de parmetros poblacionales, con base en la estadstica descriptiva realizada con datos muestrales.

Poblacin: Es un grupo de datos que se toma como referencia en un estudio estadstico, y que considera todas las caractersticas de la variable definida en el problema bajo estudio.

Muestra: Es cualquier subconjunto de datos seleccionados de una poblacin.

Diseo del experimento: Estudio de los mtodos de muestreo y los problemas que con l se relacionan.

5Espacio de eventos: Coleccin de todos los resultados posibles de un experimento.

Experimento aleatorio: Experimento que rene las siguientes caractersticas: una accin, un resultado y una observacin. Evento simple: Es cada uno de los eventos que constituyen un espacio de eventos.

Estadstica descriptiva: La estadstica descriptiva hace uso de varias medidas para describir numricamente un conjunto de datos mustrales o poblacionales. La estadstica descriptiva: hace uso de variasmedidas para describir numricamente unconjunto de datos mustrales o poblacionales.

Tales medidas se pueden clasificar en:

Medidas de posicin: Este tipo de medidas indican la distribucin que guardan los datos a lo largo de su rango (el dato mayor menos el menor).

7Medidas de tendencia central: Son medidas que normalmente se localizan alrededor del centro de los datos. Dentro de este tipo de medidas se encuentran la media aritmtica, la mediana, el modo, la media armnica, la media geomtrica y la media cuadrtica.

Cuantiles: . Estas medidas indican la localizacin de los datos de acuerdo con una subdivisin que se realiza del rango de los mismos. Existen tres tipos de cuantiles: cuartiles, deciles, y percentiles.

Medidas de dispersin: Son medidas que indican el grado en el cual estn dispersos los datos con respecto a alguna medida de tendencia central. Este tipo de medidas lo conforman la variancia, la desviacin estndar, la desviacin media absoluta y el coeficiente de variacin.

Medidas de deformacin: Este tipo de medidas son relativas a la forma que tienen las curvas de frecuencias y tambin estn relacionadas con la dispersin que tienen los datos. Existe dos tipos de medidas de deformacin: el coeficiente de sesgo o asimetra y el coeficiente de kurtosis o de apuntamiento.

Rango: Se define como la diferencia entre el mayor y el menor valor de una distribucin.

Criterio de Sturges.

K = 1 + 3.3 log n

K, numero de intervalos

10 1.2 Medidas de tendencia centralMomentos con respecto al origen:

mk =Datos no ordenados

mk = Donde n=nmero de datos, m=nmero de intervalos, t=intervalo de clase, f=frecuencia de clase, k=orden del momento.

Datos ordenados

Media. Se define como el momento de primer orden con respecto al origen:

m1= =

m1= =Datos no ordenadosDatos ordenadosDonde n=nmero de datos; m=nmero de intervalos; t=intervalo de clase; f=frecuencia de clase

Modo:

=Mediana:

= 1.3 Medidas de dispersin

mk =Momentos con respecto a la media:Datos no ordenados

mk =

Datos ordenados

Variancia. Se define como el momento de orden dos con respecto a la media:

m2 =

m2 =

Datos ordenadosDatos no ordenadosDesviacin estndar:

Sx =Coeficiente de variacion:

CVx = 1.4 Medidas de asimetraAsimetra = [(q3 q2) (q2 q1)] / SxDonde q1, q2 y q3 son los cuartiles del 25 %, 50 % que corresponde a la mediana y del 75 %, Sx es la desviacin estndar. Tambin se puede calcular una medida de asimetra con el momento de orden tres con respecto a la media, con la variancia y finalmente con el parmetro b1:

m3 =

b1 = 1.5 Medidas de aplanamiento o exceso (kurtosis)

b2 =

sies mesokrticaes leptokrtica

es platokrtica 1.6 Probabilidad

1.-La teora axiomtica de probabilidades se basa en 3 axiomas:

2.-

3.-181.- La probabilidad de ocurrencia de un evento A, es un numero, P(A), que se le asigna a dicho evento, cuyo valor es menor o igual que uno.2.- Si E es el espacio de eventos asociados a un experimento3.- La probabilidad, P(C), de la union, C, de dos eventos mutuamente exclusivos, A y B, es igual a la suma de las probabilidades de estos.

Probabilidad condicionalSi P(B), es diferente de cero, se expresa:

19 1.7 Teorema de Bayes Se dice que un grupo de eventos es colectivamente exhaustivo si la unin de todos ellos es el espacio de eventos correspondientes, con lo cual se define el llamado TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

20Este resultado se conoce como TEOREMA DE BAYES. A las probabilidades P(Bj) que se asignan a los eventos Bj antes de observar el evento A, se les denomina a PRIORI; a las probabilidades P(BjIA) que se obtiene despus de observar el evento A, se les llama POSTERIORI. 1.8 Variable aleatoria Es una funcin que asocia un numero con cada punto en un espacio muestra del experimento.

Existen 2 tipos de variables aleatorias:Discretas: es aquella cuyos valores posibles forman un conjunto finito o bien se pueden listar en una sucesin infinita donde hay un primer elemento, un segundo elemento, etc.

Continuas: si su conjunto de valores posibles abarca todo un intervalo.

21Discreta: es aquella cuyos valores posibles forman un conjunto finito o bien se pueden listar en una sucesion infinita donde hay un primer elemento, un segundo elemento, etc. Una variable aleatoria es continua si su conjunto de valores posibles abarca todo un intervalo. 1.9 Distribuciones tericas de probabilidadDistribucin normal

donde: x = variable aleatoria e, = constantes = media = desviacin estndar2 = variancia

22Distribucin normal estndar

Distribucin binomial

Donde q = 1 - p p = probabilidad de xito. q = probabilidad de fracaso. Distribucin de Poisson

donde: x = variable aleatoria e = cte. = media

2. Anlisis De Decisin Se llamara decisin al proceso deelegir un acto de entre un conjunto de formas alternativas de actuar.

26Los componentes bsicas de un problema dedecisin son:

1.Sujeto de una decisin: Alguien o algn grupo debe identificarse como el que toma decisiones. Algunos problemas pueden tener dos o mas sujetos de decisin.

2. Objetivos: El que toma la decisin debe tener uno o ms objetivos. Estos objetivos pueden definirse como los resultados deseados para cada decisin. En el caso de objetivos mltiples, algunos de ellos pueden estar en conflicto. Los objetivos pueden ser cualitativos o cuantitativos. En muchos problemas tcnicos el objetivo cuantitativo puede ser maximizar una ganancia o minimizar un costo.

27Alguien o algn grupo debe identificarse como el que toma decisiones. Algunos problemas pueden tener dos o mas sujetos de decisin.El que toma la decisin debe tener uno o mas objetivos. Estos objetivos pueden definirse como los resultados deseados para cada decisin. En el caso de objetivos mltiples, algunos de ellos pueden estar en conflicto. Los objetivos pueden ser cualitativos o cuantitativos. En muchos problemas tcnicos el objetivo es cuantitativo puede ser maximizar una ganancia o minimizar un costo.El que toma las desiciones debe tener la posibilidad de elegir entre 2 o mas alternativas o cursos de accin. En muchos problemas de decisin se tiene una infinidad de cursos de accin.El que toma las desiciones debe tener alguna medida del nivel en que cada curso de accin que satisface a sus objetivos. Desde luego implcitamente se supone que en caso de existir esta medida para un problema dado no es necesariamente la misma para todas las alternativas.3. Cursos alternos de accin: El que toma las decisiones debe tener la posibilidad de elegir entre dos o ms alternativas o cursos de accin. En muchos problemas de decisin se tiene una infinidad de cursos de accin.

4. Una medida de efectividad: El que toma las decisiones debe tener alguna medida del nivel en que cada curso de accin que satisface a sus objetivos. Desde luego implcitamente se supone que en caso de existir esta medida para un problema dado no es necesariamente la misma para todas las alternativas.

TERMINOLOGA DE MODELOS DE TOMA DE DECISIONESEsta terminologa describe las tres partes esenciales de una decisin.1.Las decisiones alternativas de entre las cuales se debe elegir.2.Los estados de la naturaleza, o acciones externas que enfrenta la persona encargada de tomar las decisiones.

29Cuando el que toma desiciones enfrenta un problema que requiere una decisin, una de las acciones que debe emprender antes de llegar a una decisin, es determinar las alternativas sobre las cuales se basara la decisin final.El que toma desiciones enfrenta una situacin en la que pueden producirse resultados mltiples a partir de una estrategia determinada, enfrenta estados de la naturaleza mltiples o acciones externas mltiples. Los estados de la naturaleza son las circunstancias que afectan el resultado de la decisin pero que estn fuera del control del que toma desiciones.3.- El resultado que se obtiene por el uso de una alternativa cuando se presenta cierto esta de la naturaleza.

303.- Para cada combinacin de estrategia y estado de la naturaleza habr un resultado. Este resultado puede expresarse en trminos de utilidades, puede expresarse en trminos de alguna medida no monetaria. En general, si existen K alternativas y n estados de la naturaleza, ser necesario calcular (k x n) resultados. Con bastante frecuencia los resultados tambin se denominan pagos y una tabla de resultados se denomina matriz de pagos.2.1 rbol de decisinEl rbol de decisin es una forma clara y sencilla de el proceso de una toma de decisin, el cual esta formado por:

Nodos de accin: () Representan aquellos lugares del proceso de toma de decisiones en los que se toma una decisin.

Nodos de probabilidad: (0) Indican aquellas partes del proceso de toma de decisiones en las que ocurre algn estado de la naturaleza.

Ramas: Se utilizan para denotar las decisiones o los estados de la naturaleza.

31Nodos de accion. Representan aquellos lugares del proceso de toma de desiciones en los que se toma una decisin.Nodos de probabilidad. Indican aquellas partes del proceso de toma de desiciones en las que ocurre algun estado de la naturaleza.Ramas. Se utilizan para denotar las desiciones o los estados de la naturaleza.Ejemplo Considerar el caso de una persona que esta tratando de decidir si debe llevar o no un paraguas a su trabajo el da de hoy.32La decisin de llevar el paraguas se muestra como un nodo de accin en la figura 2.1.Al final de cada una de las ramas que parten de un nodo de accin habr un nodo de probabilidad u otro nodo de accin. Los posibles estados de la naturaleza comenzarn en los nodos de probabilidad. Tambin se muestran los posibles estados de la naturaleza para la decisin de esta persona. En este caso se han anotado tambin sobre la rama de probabilidad las probabilidades de que haya lluvia o est despejado de acuerdo con la oficina meteorolgica.

Llevar paraguas y que no llueva -1 Llevar paraguas y que llueva +20 No llevar paraguas y que no llueva +5 No llevar paraguas y que llueva -40

2.2 Anlisis de decisin bajo incertidumbreEn este trabajo se considerarn cinco de ellos: El de Bayes-Laplace El maximin de Wald El maximax de Baumol El de Hurwicz El minimax de Savage.

Criterio de Bayes-Laplace

El criterio establece que si no se dispone absolutamente de ninguna informacin sobre las probabilidades asociadas con los futuros resultados, entonces se deben asignar probabilidades iguales a cada uno de los posibles resultados y usar estas probabilidades para calcular el valor esperado de cada uno de los posibles cursos de accin.

Criterio maximin de WaldPara cada posible alternativa el ejecutivo determina cul es el peor de los posibles resultados, esto es, el que le produce mximos perjuicios o beneficios mnimos.Selecciona entonces de entre todos estos ltimos el que maximiza sus beneficios o minimiza sus prdidas.

Criterio maximax de Baumol

Al contrario del anterior, este criterio corresponde a los optimistas:

para cada curso de accin defnase cul es el mejor resultado(mximas ganancias o prdidas mnimas) y seleccinese de entre los anteriores el mximo de los mximos.

Criterio de HurwiczEl ejecutivo har un promedio ponderado entre elmejor resultado que pueda esperarse de cada curso de accin y el peor para el mismo curso.

Pesimista=3/4(Peor resultado)+1/4(Mejor resultado)

Optimista=1/4(Peor resultado)+3/4(Mejor resultado)Este criterio se ocupa del costo de oportunidad de una decisin incorrecta. A partir de la matriz de pagos se construye una nueva matriz llamada la matriz de arrepentimiento. Los elementos de esta matriz se calculan de la siguiente manera: el elemento en el rengln i y columna j de la matriz de arrepentimiento es el costo de oportunidad de elegir la i-sima alternativa cuando el resultado obtenido es el j-simo.

La prdida mxima en cada rengln se identifica y la alternativa cuyo rengln tiene el menor de los arrepentimientos es seleccionada por el ejecutivo.

Criterio minimax de Savage

Ejemplo 2.2 Toma de decisin bajo incertidumbre

Considerar la siguiente matriz de pagos y tomar una decisin aplicando cada uno de los criterios de decisin bajo incertidumbre:

Criterio de Bayes-LaplaceE(A1)=m1/3(12)+1/3(-6)+1/3(24)=10 E(A2)=1/3(36)+1/3(12)+1/3(48)=32

E(A3)=1/3(-3)+1/3(60)+1/3(30)=29 La alternativa seleccionada es A2

Criterio maximin de Wald

Criterio maximax de Baumol

Criterio de Hurwicz

Pesimista:

A1=3/4(-6)+1/4(24)=-18/4+24/4=6/4 A2=3/4(12)+1/4(48)=36/4+48/4=84/4A3=3/4(-3)+1/4(60)=9/4+60/4=51/4

Pesimista: max{6/4, 84/4, 51/4} = 84/4Seleccin: A2

Optimista:A1=1/4(-6)+3/4(24)=6/4+72/4=68/4A2=1/4(12)+3/4(48)=12/4+144/4=156/4A3=1/4(-3)+3/4(60)=-3/4+180/4=177/4

Optimista: max{68/4, 156/4, 177/4} = 177/4Seleccin: A3

Se har una extensin al criterio de Hurwicz para la toma de decisiones; se selecciona el mejor y el peor resultado de cada alternativa y cada uno de ellos es multiplicado por y por (1-) respectivamente, obteniendo as los valores de cada alternativa para los valores de establecidos:

La interseccin de A2 con A3 se encuentra en =0.5555, por lo que se puede establecer el siguiente criterio de decisin: para valores de de 0 a 0.5555 se decidir por A2 y para valores de de 0.5555 a 1.0 se decidir por A3 (valores ms altos).

Criterio de Savage

Matriz de arrepentimiento

Min{66, 48, 39} = 39La alternativa seleccionada es A3

2.3 Anlisis de decisin bajo riesgoQuien toma las decisiones se enfrenta a alternativas mltiples en las que cada alternativa tiene a su vez resultados mltiples, es una prctica comn encontrar el pago promedio para cada estrategia y elegir despus la alternativa que tenga el mayor pago promedio. En este modelo de decisin, si existen n resultados para cada alternativa con:Oij = pago para la i-sima alternativa dado el j-simo estado de la naturalezaVi = pago promedio para la i-sima alternativa Entonces:

El valor de la informacin perfectaSi se sabe con exactitud cul estado de la naturaleza ocurrir, es fcil determinar la alternativa que debe elegirse. Se elegir la alternativa que produce el mayor pago para cada estado de la naturaleza.Es posible calcular el valor monetario esperado para el caso de la informacin perfecta utilizando los pagos mximos y las probabilidades para cada estado de la naturaleza. En general, se puede plantear de la siguiente manera:

Para calcular el valor de la informacin perfecta, lo nico que se tiene que determinar es la diferencia entre el valor monetario esperado con informacin perfecta y ese mismo valor monetario esperado sin informacin perfecta:

El valor de la informacin de prueba

El clculo de la informacin de prueba es algo ms complejo que para la informacin perfecta. Para comprender el procedimiento que se utiliza para realizar estos clculos, sea:P(N|R) = la probabilidad de que ocurra en realidad el evento N,dado que el resultado de la prueba fue RPara calcular P(N|R) se usa un resultado bien conocido de la probabilidad, denominado Teorema de Bayes. Este resultado expresa:

Por lo general, dos de los valores que aparecen en esta frmula pueden obtenerse a partir de datos de prueba, y el tercero puede calcularse a partir de los otros dos. Resulta fcil calcular a partir de datos previos la probabilidad de que la prueba sea exacta, dado que se conoce el resultado real, P(R|N), y la probabilidad de que ocurra un resultado particular sin importar cul sea la prueba, P(N).

La tercera probabilidad que aparece en la Frmula de Bayes, P(R), es la probabilidad de que ocurra el resultado de prueba R. Esta probabilidad puede calcularse por medio del siguiente resultado de la teora de probabilidades:

En donde N significa no N, o negacin de N. Puesto que incluye todos los eventos que no sean N, P( N ) y P(R| N ) pueden ser sumas de diversos valores. Los valores de P(R| N ) y P(N) pueden calcularse al mismo tiempo que se obtienen P(R|N) y P(N).

Combinando las ecuaciones anteriores se llega a una versin modificada de la ley de Bayes:

El resultado final, P(N|R), la probabilidad de que ocurra el suceso N dado el resultado de prueba R, se conoce como probabilidad a posteriori, puesto que se obtiene despus del procedimiento de prueba. Una vez que se conocen los valores de la probabilidad a posteriori, es posible emplearlos para llevar a cabo el anlisis pre-posterior con el objeto de determinar si debe llevarse a cabo una prueba o un muestreo.

Ejemplo 2.3 Determinacin del valor de la informacin

Una compaa petrolera posee tierras que se supone contienen petrleo en el subsuelo. La compaa clasifica estas tierras en cuatro categoras, segn el nmero total de barriles que se espera obtener, esto es, un pozo de 500 000 barriles, uno de 200 000 barriles, uno de 50 000 barriles o un pozo seco. La compaa enfrenta el problema de perforar o no, o de rentar la tierra incondicionalmente a un perforista independiente o rentrsela condicionada a la cantidad de petrleo que se encuentre. El costo de perforacin de un pozo productivo es de $100 000 y el costo de perforacin de un pozo seco es de $75 000. Si el pozo es productivo, la ganancia por barril es de $1.50 (despus de deducir todos los costos de produccin). Si se hace un contrato incondicional, la compaa recibe $45 000 por la renta de la tierra, mientras que con el contrato condicional, recibe 50 centavos por cada barril de petrleo extrado, siempre que el pozo sea de 200 000 o 500 000 barriles; de otra manera no recibe nada.Esta informacin conduce a cuatro clasificaciones ssmicas posibles, denotadas por 1, 2, 3 y 4. La clasificacin 1 indica que es definitiva la existencia de una estructura geolgica cerrada en la zona (condicin muy favorable para encontrar petrleo); la clasificacin 2 significa que tal vez exista una estructura cerrada en la zona; la clasificacin 3 indica que existe una estructura no cerrada en la zona (condicin ms o menos desfavorable) y la clasificacin 4 dice que no hay una estructura en la zona 8condicin desfavorable). Con base en anlisis anteriores de reas geolgicas parecidas (100 estudios de este tipo), la compaa obtiene los datos que se muestran en la tabla:

Los valores entre parntesis en cada una de las celdas se pueden interpretar como probabilidades condicionales dado el estado de la naturaleza; por ejemplo, si se trata de un pozo de 200 000 barriles, entonces (3/16) se puede interpretar como probabilidad condicional de que la lectura ssmica quede clasificada como 2 (quiz una estructura cerrada en la zona)

La distribucin de probabilidades a priori de la clasificacin de la tierra es 0.10, 0.15, 0.25, y 0.50 para los estados de la naturaleza correspondientes a un pozo de 500 000, 200 000, 50 000 y 0 barriles de petrleo respectivamente.

Crear una matriz de pagos, obtener el valor de la informacin perfecta, obtener el valor de la experimentacin, conviene contratar los servicios de informacin geolgica?

La matriz de pagos es:

Se puede calcular el VME (valor monetario esperado) para cada una de las alternativas y se podra tomar la decisin por aquella que maximice el VME:Los clculos para determinar el VME son:

VME(A1)=650 000(0.10)+200 000(0.15)-25 000(0.25)-75 000(0.50) = 51 250 VME(A2)=45 000(0.10)+45 000(0.15)+45 000(0.25)+45 000(0.50) = 45 000VME(A3)=250 000(0.10)+100 000(0.15)+0(0.25)+0(0.50) = 40 000

La mejor alternativa desde el criterio de mayor VME es la alternativa A1 que corresponde a perforacin.

Valor de la informacin perfectaSe obtiene primero, el VME con informacin perfecta:VMEIP = 650 000(0.10)+200 000(0.15)+45 000(0.25)+45 000(0.50) = 128 750VIP = VMEIP-VME*VIP = 128 750 51 250 = 77 500Puesto que lo que se estara dispuesto a pagar por una informacin perfecta es mucho mayor que lo que cuesta la informacin en forma de sondeos ssmicos (77 500>12 000), entonces se justifica hacer el anlisis para obtener el valor de la informacin y decidir si conviene adquirirla o no.

Para esto es necesario calcular las probabilidades a posteriori con la frmula de Bayes, lo cual puede efectuarse como un algoritmo tabular que se muestra:

Utilizando las probabilidades a posteriori obtenidas y con la matriz de pagos se calculan los VME con los pronsticos de la clasificacin ssmica:Con pronstico de clasificacin 1:

Con pronstico de clasificacin 2:

Con pronstico de clasificacin 3:

Con pronstico de clasificacin 4:

Enseguida se calcula el VME de la informacin con los valores de la probabilidad marginal y los mximos VME calculados:

VMEINFO = 0.351(127 700)+0.2593(60 275)+0.2147(45 000)+0.1751(45000) = 78 005.77 Finalmente se puede calcular el valor neto de la informacin: VNI = 78 005.77 51 250 = 26 755.77

El valor de VNI obtenido se compara con el precio a que se vende la informacin, observando que el VNI supera al costo de la informacin; por lo que se concluye que es conveniente adquirir la informacin.