Factory Physics

E = mc2

Qué es?

Qué es? - La respuesta corta:

En forma resumida, Factory Physics es la descripción sistémica del comportamiento fundamental de un sistema de manufactura. El entender este comportamiento le permitirá a la dirección y a los ingenieros trabajar a favor de las tendencias naturales del sistema de manufactura, permitiendo: • Identificar oportunidades de mejoramiento en el sistema existente.

• Diseñar nuevos sistemas que verdaderamente son efectivos.

• Facilitar las negociaciones necesarios para coordinar las políticas originadas en áreas diferentes.

- La respuesta larga:

Variabilidad - Introducción:

Qué es variabilidad? * Cualquier desviación de cierta uniformidad bajo estudio. Cuál es la diferencia entre: Variación Controlable vs. Variación Aleatoria? Ejemplos:

Variación Controlable Variación Aleatoria

-Tamaño de Lote -Cantidad Pedida

-Temperatura de Proceso -Tiempo entre Fallas (MTTF)

-Secuencia de Producción -Calidad de una Materia Prima


Cuáles pueden ser las causas de la aleatoriedad? * Interpretación No.1: La aleatoriedad ocurre por falta de información o por información imperfecta. * Interpretación No.2: El comportamiento del universo es aleatoriedad. Aunque contáramos con una descripción completa del universo y de todas las leyes físicas que lo definen, esto no seria suficiente para predecir el futuro. Si mucho nos daría unas estimaciones estadísticas de un posible futuro/comportamiento. Independientemente de las dos interpretaciones, los efectos son los mismos en el día a día, son inherentemente impredecibles. Lo anterior no quiere decir que debemos olvidarnos de la gestión de una planta, mas bien debemos dedicarnos en diseñar procesos robustos y no quedarnos estancados buscando procesos óptimos. Entonces, cuál es la diferencia entre: Procesos Robustos vs. Procesos Óptimos?


Entonces, para poder diseñar dichos procesos robustos y efectivos en un entorno aleatorio el individuo debe poseer una buena intuición probabilística. Solo así se podrá medir, entender y administrar (apalancar) la variabilidad en un sistema de manufactura. Dando como resultado una gestión efectiva del mismo.

Variabilidad - Intuición Probabilística:

La intuición juega un papel importante en nuestro día a día, la utilizamos de una manera u otra para tomar todo tipo de decisiones. Desde la forma como conducimos hasta la forma como avisamos nuestras intenciones de asistir a la fiesta de fin de año.

En la mayoría de los casos nuestra intuición es buena cuando se basa en efectos de primer orden (primer momento). Pero las cosas no son tan claras cuando basamos nuestra intuición en efectos de segundo orden (segundo momento).

Entonces, cuál es la diferencia entre:

Primer Momento vs. Segundo Momento?

Ejemplos:

Primer Momento Segundo Momento

-TH aumenta con la velocidad de una maquina. -Cuál es mas variable, tiempos de procesamiento

de una pieza o de un lote?

-TH aumenta con la disponibilidad de una

maquina.

-Cuál es mas perjudicial, paradas largas e

infrecuentes o cortas y frecuentes?

-WIP aumenta con el tamaño de lote. -Cuál brinda el mejor desempeño, reducir tiempos

de procesamiento al comienzo o al final de la

línea?

Variabilidad

La variable aleatoria de interés primario para Factory Physics es el Tiempo Efectivo de Procesamiento de un trabajo en una estación.

-Tiempo de Procesamiento

-Tiempo de Alistamiento

-Tiempo de Reparación

-Tiempo de Reproceso

-Otros tiempos

La suma de estos tiempos

nos da el Tiempo Efectivo

de Procesamiento.

Estación 1 Estación 2

¿Por qué? Son los tiempos que causan que la Estación 2 no pueda iniciar su tarea.

- Variabilidad en el Tiempo de Proceso:

Variabilidad - Medidas y clases de Variabilidad:

-Medidas de Variabilidad Absoluta: Varianza Desviación Estándar -Medidas de Variabilidad Relativa: Coeficiente de Variación al Cuadrado(SCV) Coeficiente de Variación(CV)

2

12

1

n

tt

s

n

i

i 2

1

1

n

tt

s

n

i

i

tc

2

22

tc

Variabilidad - Variabilidad Baja y Moderada:

La mayoría de los tiempos de procesos reales pueden ser representados por distribuciones que tienen una forma de campana. En estos casos el CV tiende a ser inferior a 0.75. Por lo tanto la variabilidad se puede clasificar en baja, moderada y alta.

Clase de Variabilidad CV Ejemplo

Baja (VB) c < 0.75 Tiempos de procesamientos sin

faltantes.

Moderada (VM) 0.75 ≤ c < 1.33

Tiempos de procesamientos con

ajustes menores (alistamientos).

Alta (VA) c ≥ 1.33

Tiempos de procesamientos con

ajustes mayores (reparaciones).

Variabilidad - Variabilidad Baja y Moderada:

Tiempo de Proceso Tiempo de Proceso

De

nsid

ad

de

Pro

ba

bilid

ad

De

nsid

ad

de

Pro

ba

bilid

ad

20 20

Distribución de Variabilidad Baja

Distribución de Variabilidad Baja

Distribución de Variabilidad

Moderada

Qué efectos tiene un tiempo de procesamiento con una variabilidad moderada

en una línea de producción?

- Variabilidad Alta:

Variabilidad - Causas de Variabilidad :

Incluyen: - Variabilidad Natural del proceso causada por cambio de operarios, maquinas y materiales. - Fallas aleatorios. - Alistamientos. - Disponibilidad de mano de obra. - Reproceso. Variabilidad Natural: La mayoría de los sistemas tienen una VB (c0 < 0.75) asociada a sus tiempos de procesamiento.

o

oo

tc

Desviación estándar del tiempo de

proceso natural.

Tiempo promedio del proceso natural.

Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes): Este tipo de fallas sucede aunque queramos o no, inclusive durante el mismo procesamiento de una pieza. Otros ejemplos incluyen, apagones o falta de un consumible necesario para el proceso. Obviamente, en esta categoría se incluye información de MTTF y MTTR. Entonces, para el calculo del tiempo efectivo de proceso debemos tener en cuenta la disponibilidad (Availability) del recurso bajo estudio. Esta disponibilidad se determina de la siguiente manera:

- Causas de Variabilidad :

rf

f

mm

mA

Tiempo el recurso esta disponible para

procesar.

Tiempo el recurso esta en reparación.

Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes): Ahora es necesario tener en cuenta la disponibilidad para calcular el tiempo de procesamiento efectivo promedio, este esta dado por:


A

tt

oe

Tiempo natural de proceso.

Disponibilidad.

La capacidad efectiva esta dada por:

o

oe

e Art

mA

t

mr

Capacidad

Natural.

Numero de maquinas.

Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):


o

rro

e

ee

t

mAAcc

tc 11 22

2

2

2

CV de los tiempos de reparación.

El coeficiente de variación al cuadrado (SCV) efectivo esta dado por:

La varianza del tiempo de procesamiento efectivo esta dada por:

r

orroe

Am

tAm

A

122

2

2

Varianza de los tiempos de reparación.

Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes): El coeficiente de variación al cuadrado (SCV) esta dado por:


o

rr

o

roe

t

mAAc

t

mAAcc 11 222

Variabilidad

natural del

proceso

Fallas Aleatorias, existiría aun si las

fallas fueran constantes

Componente totalmente dependiente

de la variabilidad en los tiempos de

reparación.

Variabilidad


Consideremos un ejemplo para entender el efecto de fallas sobre la variabilidad

de una maquina. En este caso tanto la maquina Tortuga como la Liebre tienen un

tiempo de proceso natural promedio To = 15 minutos y una desviación estándar

natural σo = 3.35 minutos. Por lo tanto ambas maquinas tienen una SCV = 0.05.

Ambas maquinas tienen una disponibilidad a largo plazo igual a 0.75%. Sin

embargo, en la maquina Liebre se presentan fallas de larga duración e

infrecuentes, mientras que en la maquine Tortuga se presentan fallas cortas y

frecuentes. Específicamente, el MTTF en la Liebre es de 744 minutos y el MTTR

de 248 minutos. En el caso de la Tortuga el MTTF es de 114 minutos y el MTTR de

38 minutos. Finalmente, supongamos que los tiempos de reparación son variable

y tienen un CV = 1.0, ósea una variabilidad moderada.

Entonces, debemos determinar el CV del tiempo efectivo de proceso.


Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes): Ejemplo del texto (pagina 256):


Liebre Tortuga

to 15 minutos 15 minutos

σo 3.35 minutos 3.35 minutos

mf 744 minutos 114 minutos

mr 248 minutos 38 minutos

cr 1.0 1.0

co ? ?

A ? ?

te ? ?

re ? ?

ce ? ?

Variabilidad



Liebre Tortuga

to 15 minutos 15 minutos

σo 3.35 minutos 3.35 minutos

mf 744 minutos 114 minutos

mr 248 minutos 38 minutos

cr 1.0 1.0

co 0.05 0.05

A 0.75 0.75

te 20 minutos 20 minutos

re 3 trabajos/hora 3 trabajos/hora

ce 2.5 1.0

Conclusiones: ?

Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes): Este tipo de fallas tienen que suceder pero en este caso se tiene mas control sobre cuando se llevan acabo. En este caso se puede terminar de procesar el trabajo actual para luego detener la maquina. Ejemplos incluyen, alistamientos, mantenimiento preventivo, descansos y cambio de turnos. Bajo estas condiciones utilizamos las siguientes ecuaciones para determinar la media, varianza y el coeficiente de varianza al cuadrado para el tiempo de procesamiento efectivo:


El tiempo de procesamiento efectivo promedio, este esta dado por:

s

soe

N

ttt

Tiempo de alistamiento promedio.

Numero promedio de piezas

procesadas entre alistamientos. Tiempo natural de proceso promedio.

Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes):


2

2

2

e

ee

tc

El coeficiente de variación al cuadrado (SCV) esta dado por:

La varianza del tiempo de procesamiento efectivo esta dada por:

2

2

2 12

2s

s

s

s

soe t

N

N

N

Varianza de los tiempos de alistamiento.

Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes): Ejemplo del texto:


Maquina No.1 Maquina No.2

Flexible/Sin Alistamiento ----

to 1.2 horas 1.0 horas

CV(co) 0.5 0.25

Ns ---- 10 unidades

ts ---- 2 horas

CV(cs) ---- 0.25

re ? ?

ce ? ?

Qué maquina es menos variable?

Variabilidad

Variabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes): Ejemplo del texto:


Maquina No.1 Maquina No.2

Flexible/Sin Alistamiento ----

to 1.2 horas 1.0 horas

CV(co) 0.5 0.25

Ns ---- 10 unidades

ts ---- 2 horas

CV(cs) ---- 0.25

re 0.8333 0.8333

ce 0.50 0.5575

Qué maquina es menos variable?


Variabilidad por reproceso: Qué tiene en común la variabilidad causada por fallas y alistamientos con la variabilidad causada por reproceso? Las tres causas reducen la capacidad efectiva de un recurso. Por lo tanto, mas reproceso implica mayor variabilidad y mas variabilidad causa mas congestión, mas WIP y mayores tiempos de ciclo. Lo anterior combinado con la perdida de capacidad hacen que el reproceso se considere como un verdadero problema.


Resumen de las formulas para determinar los parámetros Tiempo Efectivo de Procesamiento:

Situación Natural Fallas (AP) Fallas (BP)

Ejemplos Recurso Confiable Fallas Aleatorias Alistamientos

Parámetros

2

2

e

e

t

2ec

et2

e

ot

2, oo ct

(básicas)

(básicas mas) (básicas mas) 2

,, rrf cmm 2,, sss ctN

rf

fo

mm

mA

A

t

,

2oc

22oo ct

r

orro

Am

tAm

A

1222

2

o

rro

t

mAAcc 11 22

s

so

N

tt

2

2

2 12

s

s

s

s

so t

N

N

N

Qué seria varianza apilada (Stacked Variance)?

Variabilidad - Variabilidad en el Flujo:

En lo visto hasta ahora se ha estudiado la variabilidad en una estación aislada, sin embargo en la vida real una línea de producción esta compuesta de varias estaciones. Por esta razón es importante estudiar y entender la relación entre estaciones, lo cual nos conduce a otro tipo de variabilidad. Esta se denomina variabilidad en el flujo. El primer elemento a tener en cuenta es la tasa de llegada (arrival rate), medido en trabajos por unidad de tiempo. Para mayor consistencia las unidades de la tasa de llegada deben ser las mismas de la capacidad de la estación bajo estudio. Así como una estación se caracteriza por su tiempo promedio de proceso te, o su capacidad efectiva re la llegada a una estación también se puede caracterizar por el tiempo promedio entre llegadas. Las dos medidas anteriores son el inverso del otro, así:

a

a

tr

1

Tasa de llegada.

Tiempo promedio entre llegadas.


Para que una estación no se recargue de trabajo la siguiente relación se debe cumplir:

ae rr Capacidad Efectiva.

Tasa promedia entre llegadas.

Así como existe variabilidad en el tiempo de proceso también lo hay en el tiempo entre llegadas y se define de la misma manera que en el primer caso:

a

aa

tc

Desviación estándar de los tiempos

entre llegadas.

Tiempo promedio

entre llegadas.

Intuitivamente, un CV bajo implica llegadas regulares y espaciadas igualmente, mientras un CV alto implica llegadas irregulares y con picos.


El siguiente elemento a tener en cuenta para entender la variabilidad del flujo es la caracterización de las salidas de una estación. Para esto haremos uso de medidas similares a las usadas para describir las llegadas, específicamente el tiempo promedio entre salidas (td) y la tasa de salidas (departure rate). Las dos medidas anteriores son el inverso del otro, así:

d

d

tr

1

Tasa de salidas.

Tiempo promedio entre salidas.

El coeficiente de variación correspondiente a las salidas esta representado por cd.


Es importante considerar la siguiente condición, en una línea de producción en serie la salida de una estación i es la llegada de la siguiente estación i+1. Entonces la tasa de salida de i debe ser igual a la tasa de llegada de i+1, así:

)()1( ii da tt

Tiempo promedio entre llegadas de la estación i+1.

Por supuesto, en una línea de producción en serie sin mermas o reproceso la tasa de llegada de cada estación es igual al TH de la línea. Adicionalmente, en una línea serial donde las salidas de i son las llegadas de i+1, el CV de salida de la estación i es igual al CV de llegada de la estación i+1. Así:

Tiempo promedio entre salidas de la estación i.

)()1( ii da cc

Coeficiente de Variación de llegadas de la estación i+1.

Coeficiente de Variación de salidas de la estación i.


Gráficamente, los conceptos anteriores se pueden ver de la siguiente manera:

Estación i Estación

(i+1)

)( iar)( iac

)( ier

)( iec)1()( ii ad cc)1()( ii ad rr

)1( ier

)1( iec

Tasas:

CVs:


Finalmente, es necesario determinar como caracterizar la variabilidad de salidas de una estación a partir de la información existente de la variabilidad de llegada y del tiempo de proceso. Para lograr lo anterior se debe tener en cuenta la contribución relativa de ambos factores en la utilización de la estación bajo estudio. Recordemos que la utilización de una estación es la fracción de tiempo que está esta ocupada en el largo plazo. Formalmente se define así:

m

tru

ea ))((

Corresponde al numero de maquinas idénticas

que compone la estación.

A medida que u se acerca a 1, esto quiere decir que la estación casi siempre esta ocupada. Por lo tanto se puede esperar que el CV de salida de dicha estación sea igual al CV del tiempo de proceso. Así:

ed cc


El otro extremo, cuando u se acerca a 0, implica que la estación casi siempre esta desocupada. Por lo tanto se puede esperar que el CV de salida de dicha estación sea igual al CV de llegada. Así:

ad cc Para interpolar entre los dos extremos anteriores se puede utilizar la siguiente ecuación: Observe que cuando u=1, se obtiene cd

2 = ce2. Igualmente, cuando u=0, se

obtiene cd2 = ca

2.

22222 1 aed cucuc

Para determinar cd2 cuando hay mas de una maquina por estación, entonces:

1111 22

222 ead cm

ucuc


En este momento es importante considerar el concepto de propagación de la variabilidad.

HV

HV

LV

LV LV

LV LV

LV

HV

HV HV

HV

Caso 1: Estación con Alta Utilización

Qué podemos concluir? La variabilidad en el flujo que sale de una estación de alta utilización esta determinado primordialmente por la variabilidad en el proceso de dicha estación.


En este momento es importante considerar el concepto de propagación de la variabilidad.

HV

HV

LV

LV HV

LV LV

LV

HV

HV HV

LV

Caso 2: Estación con Baja Utilización

Qué podemos concluir? La variabilidad en el flujo que sale de una estación de baja utilización esta determinado primordialmente por la variabilidad que entra a dicha estación.

Variabilidad - Propagación de la Variabilidad:

Estación 1

(LV/HV)

Estación 1

(LV/HV)

Estación 1

(LV/HV)

Estación 1

(LV/HV)

Estación 2

(LV/HV)

Estación 2

(LV/HV)

Estación 2

(LV/HV)

Estación 2

(LV/HV)

Estación 3

(LV/HV)

Estación 3

(LV/HV)

Estación 3

(LV/HV)

Estación 3

(LV/HV)

Materiales

(LV/HV)

Materiales

(LV/HV)

Materiales

(LV/HV)

Materiales

(LV/HV)

Ma

teri

ale

s

(LV

/H

V)

Ma

teri

ale

s

(LV

/H

V)

Ma

teri

ale

s

(LV

/H

V)

Ma

teri

ale

s

(LV

/H

V)

Ma

teri

ale

s

(LV

/H

V)

Ma

teri

ale

s

(LV

/H

V)

Ma

teri

ale

s

(LV

/H

V)

Ma

teri

ale

s

(LV

/H

V)

PT PT PT PT

JIT1 JIT2 JIT3 JIT4

Variabilidad - Interacciones dentro de la Variabilidad “Colas”

Hasta el momento hemos considerado la variabilidad en los tiempos de procesamiento y en el flujo, ahora entenderemos como estos caracterizan y afectan la variabilidad de una línea de producción. Específicamente, nos interesa evaluar el impacto de estos tipos de variabilidad sobre los principales indicadores de desempeño de una línea cualquiera, siendo estos; WIP, CT y TH. Pero antes, es importante resaltar que el tiempo efectivo de procesamiento solo representa una fracción pequeña del tiempo de ciclo total dentro de una planta y que el tiempo restante es causado por que el trabajo debe esperar a algún recurso (estación de trabajo, equipo de transferencia, un operario, etc.). Por esta razón Factory Physics dedica tanto esfuerzo en entender las causas que generan esta espera. Solo después de entender esta causas podemos entrar a proponer maneras de mejorar el desempeño del sistema. La ciencia que estudia la espera en un sistema se conoce como la Teoría de Colas. Un sistema de colas tiene en cuenta todo lo visto hasta el momento; un proceso de llegadas, un proceso de “servicio” y una cola. Los procesos de llegada pueden ser constantes o aleatorios. Las estaciones pueden estar compuestas por una o varias maquinas en paralelo, las cuales pueden tener tiempos de procesamiento constantes o aleatorios. Finalmente, la cola se puede comportar FIFO, LIFO o ser administrada mediante algunas de las reglas de secuenciamiento conocidas tales como EDD, SPT.

Variabilidad - Teoría de Colas:

• ra: tasa de llegadas, especificada en trabajos por unidad de tiempo. En una línea sin reproceso, ra es igual a TH de cada estación.

• Ta: tiempo promedio entre llegadas. Igual a 1/ra.

• ca: CV de llegada.

• m: numero de maquinas en paralelo en una estación.

• b: tamaño del buffer (máximo numero de trabajos permitidos en el sistema).

• te: tiempo efectivo promedio de proceso. Capacidad efectiva de una estación es re = m/te.

• ce: CV del tiempo efectivo de proceso.

Nomenclatura

Medidas de desempeño:

• pn: probabilidad que haya n trabajos en una estación.

• CTq: tiempo de espera en cola.

• CT: tiempo esperado en la estación (tiempo en cola mas tiempo de proceso).

• WIP: nivel promedio de WIP (trabajos) en la estación.

• WIPq: WIP (trabajos) esperados en cola.


Finalmente, utilizaremos la nomenclatura de Kendell para caracterizar un sistemas de colas. Esta hace uso de 4 parámetros, siendo estos: A/B/m/b Donde A describe la distribución de tiempos entre llegadas. B describe la distribución de tiempos de proceso. m el numero de maquinas que conforman la estación y b es el numero máximo de trabajos permitidos en el sistema. En general los parámetros A y B pueden asumir cualquiera de los siguientes valores: • D: distribución constante (deterministica). • M: distribución exponencial (Markoviana). • G: distribución completamente general (normal, uniforme). Por lo general se asumen valores grandes para la cola (b), en cuyo caso la nomenclatura queda: A/B/m


Relaciones Fundamentales:

Antes de entrar a analizar cualquier sistema de colas es necesario anotar que algunas relaciones se mantiene en un sistema compuesto por una estación única. Estas son:

m

tr

r

ru

ea

e

a ))((

Utilización

Tasa de llegada

Tasa Efectiva.

Tiempo esperado en la estación

eq tCTCT Tiempo de espera esperado en cola.

Tiempo efectivo promedio de proceso.


Relaciones Fundamentales:

WIP en la estación (aplicando la Ley de Little)

CTTHWIP Throughput de la estación.

Tiempo de ciclo de la estación.

WIP en la cola (aplicando la Ley de Little)

qaq CTrWIP

tiempo de espera esperado en cola.

Tasa de llegada

Variabilidad

Este modelo asume los tiempos entre llegadas es exponencial, que esta compuesto por una sola maquina y que esta tiene un tiempo de proceso exponencial. La cola se comporta como PEPS y tiene un espacio ilimitado para trabajos en espera. Dado que este modelo es el mas sencillo, su verdadera contribución esta en entender que información se requiere para caracterizar el mismo. Como los tiempos entre llegadas y de proceso son exponencial, solamente necesitamos las medias. Entonces:

- Teoría de Colas – Caso M/M/1:

at

a

a

tr

1

et

e

e

tr

1

Tiempo promedio entre llegadas Tiempo efectivo promedio de proceso

Tasa de llegadas Tasa efectiva

Variabilidad

Fuera de lo anterior, la única otra información que necesitamos seria el numero de trabajos en el sistema. Como ambos tiempos anteriores son exponenciales, el tiempo desde la ultima llegada y el tiempo que el trabajo actual lleva en proceso son irrelevantes. Entonces, el estado del sistema se puede expresar como un solo numero n, que representa el numero de trabajos en el sistema. Con esta información se puede caracterizar el desempeño a largo plazo del sistema (CT, WIP, CTq y WIPq).

- Teoría de Colas – Caso M/M/1:

u

uMMWIP

1)1//(

Medidas de desempeño para M/M/1:

WIP Utilización

Variabilidad - Teoría de Colas – Caso M/M/1:

u

t

r

MMWIPMMCT

e

a

1

)1//()1//(


CT (a partir de la Ley de Little) Tiempo efectivo promedio de proceso

CTq (a partir de la relaciones fundamentales)

u

uttMMCTMMCT

eeq

1)1//()1//(


u

urMMCTMMWIP aqq

1)1//()1//(

2


WIPq (a partir de la Ley de Little)

Tasa de llegada, igual a TH

Conclusiones:

• WIP,CT, CTq y WIPq aumentan a medida que u aumenta. Por esta razón sistemas ocupados tienden a demuestran mayor congestión que sistemas desocupados..

• Manteniendo u fijo, CT y CTq aumentan en términos de te. Por lo tanto maquinas lentas causan mas tiempo de espera.

• Finalmente, observen que estas medidas implican congestión y todas tienen en el denominador el termino 1-u, lo que tiene como consecuencias que a medida que u se aproxima a 100 % la congestión aumenta en forma no lineal.


Ejemplo (pag. 269):

Recordemos el caso de la Tortuga, donde el tiempo entre llegadas era de 2.875 trabajos por hora. Ahora supongamos que los tiempos entre llegadas están distribuidos exponencialmente (puede ser el caso cuando los trabajos llegan de diferentes fuentes). En el caso anterior, la tasa de efectiva era de 3 trabajos por hora y el CV correspondiente era de 1.0. Determinen las medidas de desempeño correspondientes al sistema bajo estudio.

Variabilidad - Teoría de Colas – Caso G/G/1:


CTq (ecuación VUT)

eea

q tu

uccGGCT

12)1//(

22

Desafortunadamente, la mayoría de los sistemas de manufactura reales no cumplen con los supuestos del modelo M/M/1. Cuando una estación es alimentada por estaciones que tienen tiempos de procesamiento no exponenciales es difícil mantener el supuesto que el tiempo entre llegadas es exponencial. Por esta razón es necesario ampliar el modelo al caso mas general, representado pos G/G/1. Como en el caso anterior, primero se desarrolla la formulación para CTq y luego obtenemos las otras medidas de desempeño.

Termino de tiempo T

Termino de utilización U Termino de variabilidad V

Variabilidad - Teoría de Colas – Caso G/G/1:

Ejemplo (pag. 271):

De nuevo volvamos al caso de la Liebre, recordemos que dicha maquina presentaba una alta variabilidad CVS efectivo de 6.25. Asumamos que el tiempo entre llegadas esta exponencialmente distribuido y que la utilización es 0.9583. Determinen el tiempo esperado en la cola CTq. Ahora supongamos que la Liebre alimenta la Tortuga, que no hay perdidas entre las dos maquinas y que por lo tanto la tasa de llegadas de la Tortuga es la misma de la Liebre. Como ambas maquinas tienen una tasa efectiva igual, tendrán la misma utilización. Ahora queremos determinar el CTq de la Tortuga. Recuerden que:

)()1( ii da cc

Qué podemos concluir de los valores de CTq(Liebre) vs. CTq(Tortuga)?

Variabilidad - Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo M/M/1:

La ecuación VUT nos permite analizar estaciones compuestas por una sola maquina, sin embargo en el mundo real se pueden encontrar estaciones de trabajo conformadas por múltiples maquinas en paralelo. En este caso se deben hacer ajustes a la formulación original, dando:

e

m

q tum

umMMCT

1)//(

112

Ejemplo (pag. 272):

Retomando de nuevo el caso de la Tortuga, donde el tiempo efectivo de proceso presentaba un CV igual a 1 permitiéndonos utilizar el modelo exponencial. Pero ahora supongamos que las llegadas ocurren a una tasa de 207 trabajos por día, dando 2.875 trabajos por hora y tienen tiempos entre llegadas exponencialmente distribuidos (ca = 1). Como esto excede la capacidad de la Tortuga, consideremos cuando tenemos tres de estas maquinas en paralelo.

Variabilidad - Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo M/M/1:

Ejemplo (pag. 272):

Caso No.1: Caso No.2:

Tortuga No.1

Tortuga No.2

Tortuga No.3

Tortuga No.1

Tortuga No.2

Tortuga No.3

Determinar el CTq de cada caso.

Variabilidad - Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo G/G/m:

Una estación con m maquinas en paralelo, tiempos entre llegadas y de proceso generales se representa por G/G/m. Para llegar a una aproximación de esta situación, partamos de la aproximación para el caso G/G/1. Este caso se puede escribir de la siguiente manera:

e

mea

q tum

uccmGGCT

12)//(

11222

)1//(2

)1//(

22

MMCTcc

GGCT qea

q

Lo anterior sugiere que una aproximación para el caso G/G/m se puede construir basándose en la aproximación M/M/m, así:

CTq (ecuación VUT)

Termino de tiempo T

(idéntico)

Termino de utilización U

Termino de variabilidad V

(idéntico)

Variabilidad - Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:

Hasta el momento hemos considero sistemas sin ningún limite en la forma de crecimiento de las colas. En los casos presentados podemos observar como el tamaño promedio de la cola y el tiempo de ciclo crecen indefinidamente a medida que u se aproxima a 100 %. Sin embargo en el mundo real esta situación no es común, por lo general existen restricciones físicas, de tiempo o de política que limitan el tamaño permitido de la cola. Por tal motivo Factory Physics considera el caso de sistemas de colas con una capacidad finita.

Caso M/M/1/b Consideremos el caso donde los tiempos entre llegadas y de proceso están distribuidos exponencialmente como en el caso M/M/1, pero solamente hay espacio en el sistema para b unidades. Este sistema se comporta idéntico al caso M/M/1, con la excepción que cuando el sistema se llena el proceso de llegadas se detiene. Cuando esto ocurre se dice que el sistema se encuentra bloqueado.


Caso M/M/1/b En este nuevo caso el significado de u es diferente que en los casos anteriores, ya no se trata de la probabilidad a largo plazo de encontrar la maquina ocupada. Ahora representa el nivel de utilización si ningún trabajo es rechazado. Por esta razón el valor de u puede ser uno o mayor. Dado esta explicación obtenemos los siguientes casos:

Cuando u es diferente a 1

1

1

1

1

1)/1//(

b

b

u

ub

u

ubMMWIP

ab

b

ru

ubMMTH

11

1)/1//(


Caso M/M/1/b

Cuando u es igual a 1

2)/1//(

bbMMWIP

ea rb

br

b

bbMMTH

11)/1//(

En ambos casos podemos usar la Ley de Little para calcular CT, CTq y WIPq.

)/1//(

)/1//()/1//(

bMMTH

bMMWIPbMMCT

eq tbMMCTbMMCT )/1//()/1//(

)/1//()/1//()/1//( bMMCTbMMTHbMMWIP qq


Caso M/M/1/b – Ejemplo (pag.275):

Consideremos una línea de producción en serie compuesta por dos maquinas. La primera en promedio tiene un tiempo efectivo te1 = 21 minutos por trabajo. La segunda maquina toma te2 = 20 minutos. Ambas maquinas tienen tiempos de proceso exponencial (ce1 = ce2 = 1). Entre ambas maquinas hay suficiente espacio para permitir almacenar temporalmente hasta 2 trabajos. Determinen las medidas de desempeño en los siguientes casos: 1. Buffer con tamaño infinito. 2. Buffer con tamaño finito. Qué podemos concluir del análisis de los dos casos anteriores? • El reducir el tamaño de la cola entre estaciones reduce considerablemente WIP y CT, pero también lo hace al TH. Sin embargo esta ultima no es tan significativa. Por esta razón se puede ver que el implementar kanban es mas que simple reducción del tamaño de una cola. La perdida en TH es muy grande, la única manera de reducir WIP y CT sin sacrificar TH es la reducción de la variabilidad.

• Una segunda conclusión es que las colas finitas establecen estabilidad en el sistema, sin importar ra y re. La razón es sencilla, en un sistema de colas infinitas WIP y CT tienden a crecer incontroladamente.


Caso G/G/1/b

Para poder analizar el efecto de la variabilidad debemos extender el modelo M/M/1/b y considerar distribuciones de tiempo entre llegadas y de procesos mas generales. Para lograr esto, se consideran los siguientes tres casos:

• Cuando ra < re (u<1). • Cuando ra > re (u>1). • Cuando ra = re (u=1).

Tasa de llegada menor que la tasa efectiva: derivada de VUT y Little

eeea

anb ttu

uccrWIP

12

22

uu

ucc ea

12

222


Caso G/G/1/b

Del modelo M/M/1 obtenemos:

WIP

uWIPu

Usando el WIPnb obtenemos la utilización corregida:

nb

nb

WIP

uWIP


Caso G/G/1/b

Reemplazando la utilización corregida en la formulación de TH del modelo M/M/1/b obtenemos:

ab

b

ru

uTH

12

1

1

1

Para determinar WIP y CT usamos la siguiente formulación:

1,min bWIPWIP nb

TH

bWIPCT

nb 1,min


Caso G/G/1/b

Tasa de llegada mayor que la tasa efectiva: derivada de M/M/1/b “inversa”

uu

uccWIP

eanb

1

11

1

2

222

De igual forma que en el caso anterior, obtenemos:

nb

nbR

WIP

uWIP 1


Caso G/G/1/b

Ahora definimos:

R

1

En este momento estamos listos para calcular TH con la misma formulación anterior. Posteriormente usamos las mismas desigualdades para obtener unos limites de WIP y CT.


Caso G/G/1/b

Tasa de llegada igual a la tasa efectiva:

12

122

2

2

2

bcc

bccTH

ea

ea

De igual forma que en el caso anterior, usamos esta aproximación de TH y las desigualdades para obtener unos limites de WIP y CT.

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