INEM-HERENCIA DEL SABER MATEMÁTICAS VICTOR DE JESÚS OSORIO 1

INEM

JOSÉ CELESTINO MUTIS

HERENCIA DEL SABER

EDUCACIÓN DE ADULTOS

Área: Matemáticas

Tema: FACTORIZACIÓN

Ciclo IV

Profesor: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. Para factorizar un polinomio, podemos intentar averiguar si esa expresión es el

producto de otras expresiones algebraicas. Para hacer esta averiguación podemos presentar los siguientes casos:

1. Factor común a. monomio: .- se llama así al factor que aparece en cada uno de los

términos de un polinomio, es decir cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.

Ejemplo: Factorizar: 2ax2-4ay+8a2x = 2a( x² - 2y + 4a x) Donde:

2 es el MCD entre 2, 4 y 8.

Y a es la parte literal común con el menor exponente.

b. Factor común polinomio: Cuando el factor común que aparece es un polinomio.

Ejemplo: Descomponer en factores

3x(a + b) + 5y(a + b) = (a + b) (3x + 5y) Vemos que el factor común corresponde al polinomio (a + b); así en el primer término, al sacar el factor común queda 3x y en el segundo término obtenemos

5y. 2. Factor Común por agrupación de términos: Se agrupan los términos

que entre ellos exista un factor común y luego procedemos a visualizar si

se obtiene un factor común polinomio. Ejemplo: Descomponer ax + bx + ay +by = Notemos que los dos primeros términos tienen como factor común la parte literal

x y los dos últimos la parte literal y así se obtiene : ax + bx + ay +by = x(a + b)+ y( a + b) pero se puede observar que se ha formado un factor común polinomio y al factorizar esta última expresión vemos que la solución a la

descomposición sugerida es: ax + bx + ay +by = x(a + b)+ y( a + b) = (a + b)(x + y)

3. Trinomio cuadrado perfecto: Una cantidad es cuadrado perfecto, cuando es el cuadrado de otra cantidad. Un trinomio ordenado relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el

primero y tercero términos son cuadrados perfectos(o tiene raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplo: Factorar: x² - 6x + 9

X 3 2

Podemos observar que la raíz del primer término es x, y la raíz del tercer término

es 3, además al multiplicar esas raíces por 2, obtenemos el término central 6x así confirmamos que es un Trinomio cuadrado perfecto y podemos factorizarlo elevando la suma o diferencia de las raíces al cuadrado, dependiendo del signo del

segundo término del trinomio, en este caso es x² - 6x + 9= ( x - 3)²

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4. Diferencia de cuadrados perfectos: En los productos notables ya habíamos visto que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia

es igual a el cuadrado de la primera menos el cuadrado de la segunda así: (a + b)(a - b) = a² - b² de acuerdo a esto podemos definir que:

a² - b² = (a + b)(a - b) Para factorizar una diferencia de cuadrados, se extrae la raíz cuadrada a cada uno de los términos (Minuendo y Sustraendo) y se multiplica la suma de las

raíces, por la diferencia de las mismas raíces. Ejemplo: Factorizar 16x² - 25y² = Inicialmente tenemos que la raíz de 16x², es 4x y la raíz de 25y², es 5y; por

lo tanto de acuerdo a la definición se tiene que: 16x² - 25y² = (4x + 5y)(4x – 5y)

5. Trinomio de la forma X² + bX + c Este trinomio tiene las siguientes características: 1. El coeficiente del primer término es 1 2. El primer término es una letra elevada al cuadrado 3. El segundo término tiene la misma letra que el primero, pero con

exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Cuando el trinomio cumple con esas características, procedemos a factorizar.

Para el trinomio x² + 5x + 6 procedemos de la siguiente manera: a. Descomponemos el trinomio en dos factores binomios cuyo primer

término es x, es decir, la raíz del primer término del trinomio.

x² + 5x + 6 = ( x )(x ) b. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo

término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio, por el signo del tercer término del trinomio. x² + 5x + 6 = (

x + )(x + ) c. Si los dos factores binomios tienen en el medio, signos iguales, se

buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo

término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. x² + 5x + 6 = ( x + 3 )(x +2 )

d. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos, se

buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término

del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.

Nota: Está regla práctica, muy sencilla en su aplicación, se aclarará con

los ejemplos. Ejemplos: Factorizar x² + 7x +10

x² + 7x + 10 = (x + )(x + ) Entonces conseguimos dos números que al sumarlos el resultado sea 7 y al multiplicar esos dos números, el producto sea 10.

x² + 7x + 10 = (x + 2 )(x + 5 ); Porque 5 + 2 = 7 y 5 * 2 = 10. Ejemplo2: Factorizar n² - 6n - 40

n² - 6n - 40 = (n - )(n + ) Entonces conseguimos dos números que al restarlos la diferencia de 6

y al multiplicar esos dos números, el producto sea 40. Estos números son 4 y 10. El mayor, se escribe en el primer binomio y se tendrá que: n² - 6n - 40 = (n - 10 )(n + 4 ).

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Ejercicios: Factorizar: a) x²y + x²z ; b) 3a²b + 6ab – 5a³b² + 8a²bx + 4ab²m; c) m(a-b)+ n(a-b) d) (1 + 3a)(x+1) - 2a(x +1) + 3(x+1); e) am – bm + an – bn; f) 4am³ - 12amn – m² + 3n; g) (x + y)² - a²; h) (a-2b)² - (x + y)²; i) a² + 4a +3;

j) x² + 15x +56; k) m² - 20m – 300. Consulta en el algebra de Baldor ejercicios de los diferentes casos vistos y resuelve mínimo 5 de cada uno.

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-Papá, cuánto ganas por hora? El padre dirigió un gesto muy severo al niño y le contestó:

-No me molestes que estoy muy cansado. -Pero Papá- insistía-- dime por favor cuanto ganas por hora.

La reacción del padre fue menos severa. Sólo contesto:

- Ochocientos pesos por hora. -Papá me podrías prestar cuatrocientos pesos? preguntó el pequeño.

El padre montó en cólera y le dijo:

-Vete a dormir y no me molestes. Había caído la noche. El padre había meditado lo sucedido

y se sentía culpable, y queriendo descargar su conciencia dolida,

se asomó al cuarto de su hijo. En voz baja preguntó al pequeño: -Duermes hijo?

-Dime papá, contestó entre sueños. -Aquí tienes el dinero que me pediste, respondió el padre.

El pequeño le dio las gracias y metiendo la manita debajo de la

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