FACTORIZACION

FACTORIZACION

OBJETIVOS: Adquirir habilidad en el manejo de los diferentes casos de factorización.

Identificar los diferentes casos de factorización para aplicarlo en la solución de

ejercicios. INTRODUCCION: Hemos visto que la multiplicación consiste en obtener el producto de dos o más expresiones dadas. A continuación nos ejercitaremos en el problema inverso, que consiste en obtener los factores de un producto dado. Al proceso de expresar un polinomio como un producto se le da del nombre de factorización. La factorización es el proceso inverso de un producto notable. En este taller consideramos la factorización de cierto tipo de polinomios que serán usados en problemas posteriores. La mayor parte de éstos tipos de factorización tienen su fundamento en las fórmulas de productos notables vistas anteriormente. DESARROLLO: Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de dos o más polinomios que pueden ser primos o compuestos (no factorizables). Al factorizar un polinomio debemos tener en cuenta el número de términos que posea. Si la expresión a factorizar es un binomio, entonces, los casos a tener en cuenta son:

1. Factor común: x a + x b = x (a + b)

1. Diferencia de cuadrados: a2 – b2 = (a + b) (a – b)

1. Suma y diferencia de dos cubos: a3 + b3 = (a + b) (a2 – a b + b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + a b + b2)Si la expresión a factorizar es un trinomio, entonces, los casos a tener en cuenta son:

1. Trinomio cuadrado perfecto: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

1. Trinomios de la forma: x2 + b x + c y ax2 + b x + c

Estos casos se pueden combinar en expresiones polinómicas con un número superior a tres términos, los cuales se factorizan agrupando términos.

EJERCICIOS: Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios:

1 ) 10xy + 15xy 2

3 ) 3m 3 + 3m 2 – 18m 5 ) 64 + b 12

7 ) 18x 3y – 9x 2y + 27x 2y 2

9 ) (3a + b)(2c – d) + 2 a (2c – d)2

11 ) 3 a 2b – 12ab 2 + 9ab

2 ) 16x 2 – 9y 2

4 ) 6xy – 2xz + 8yz 6 ) ax 2 – ay + 3a + b x 2 – by + 3b 8 ) 64m 3 – 48m 2n + 12mn 2 – n 3

10 ) a n+2 – a n-1

12 ) (a – b)2 – (a + b)2

13 ) 4 a (x + 2y) – b (x + 2y) 15 ) 27 a 3 – 64b 3

17 ) 2y 2 + y – 3 19 ) – 8 a 2bc – 4abc 21 ) x 2 + y 2 + 1 + 2xy + 2x + 2y 23 ) (y – 4)2 – 5 (y – 4) + 6 25 ) 6x 2 – x – 12 27 ) 6ux – 4uy + 3vx – 2vy 29 ) a 2 b 2 – 20ab + 100 31 ) 8x 3 – 36x 2 y + 54xy 2 – 27y 3

14 ) x 2 + 2x – 15 16 ) x 2 – 12x + 32 18 ) 5mx 2 – 5mx + 10m – 2n2+2nx – 4n 20 ) 2x 2 – 5xy + 2y 2

22 ) x 3 + 64y 3

24 ) 2ax + 2ay + b x + by 26 ) x 4 – 81 28 ) 4x 2 – y 2 + 4y – 4 30 ) (2x + 1)2 – 8 (2x + 1) + 16 32 ) 5ax – by + 10b – 50a – b x + 5ay

33 ) 51x 2y 2 – 34xy 2 – 17xy 35 ) b 3 + 12 a 2 b + 6ab 2 + 8a 3

34 ) 8a 3 – b 3

36 ) 6x 4 – 11x 3 – 10x 2

37 ) 8x 3 + 27y 3

39 ) x 2 – 6x + 9 – y 2

41 ) x 2 + 2xy + y 2 – a 2 – 2ab – b 2

38 ) 4x 2 – 12xy + 9y 2 – 4 a 2 b 2

40 ) x 4 y – x 2 y 3

42 ) a 2 – b 2 + a – b

43 ) 125 z 3 + 64 y 3

45 ) a 3 – 9b 2 – 27b 3 + a 2

47 ) 8b 2 m 2 + 24b 2mn + 18b 2 n 2

49 ) 64m 3 – 27y 3

51 ) x 2a – y 2b

53 ) 16x 4 – 25y 2

55 ) 27x 3 – 54x 2y + 36xy 2 – 8y 3

57 ) 12x 2 – 29x + 15 59 ) 10m 2 – 13mn – 3n 2

61 ) 9a2 – 6ab + b2 – 25x2 + 10xy – y2

63) (x + y)2 + 2 (x + y) – 15 65) 4a2mx + 8a2nx – 2a2my – 4a2ny 67) 8x 3 – 12x 2y + 6xy 2 – y 3

69) 4x 2 + 4xy + y 2 – 18x – 9y + 18 71) 12x 2z + 8y 2z – 15wx 2 – 10y 2w 73) a 4 + 2a 3 – a 2 – 2a

44 ) y 6 – 26y 3 – 27 46 ) 16 a 4 – 24 a 2 b + 9b 2

48 ) 4x 2 + 10x – 6 50 ) 25x 2 – 36y 2

52 ) a2b3x2 – n4 + a2b3 – 3a2b3x – n4x2 + 3n4x 54 ) 4x 2y 2 – (x 2 + y 2 – z 2)2

56 ) 6b 2 + 13b – 28 58 ) (x 2 + 8x + 16) – ( y 2 + 2y + 1) 60 ) a 3 + b 3 – a 2 – 2ab – b 2 – a – b 62) x 2 – 2xy + y 2 + 6x – 6y + 8 64) 66) 6 (x + y)2 + 5 (x + y) – 6 68) m 3 + n 3 + m 2 – m n + n 2

70) 2x 3 – 28x 2 + 98x 72) 3x 2 – 17x + 10 74) x 6 + 7x 3 – 44

75) (m – n)2 – 8 (m – n) + 16 77) 20a 2 + 7a – 6 79) 3a 2 + 5a – 22

76) 6x 2 + 23x + 17 78) (a – b)2 + 2 (a –b) – 24 80) m 2 – b 2 – 2mn + n 2

Factorizar y calcular las raíces de los polinomios

1 x3 + x2

22x4 + 4x2

3x2 − 4

4x4 − 16

59 + 6x + x2

6

7x4 − 10x2 + 9

8x4 − 2x2 − 3

92x4 + x3 − 8x2 − x + 6

102x3 − 7x2 + 8x − 3

11x3 − x2 − 4

12x3 + 3x2 − 4 x − 12

136x3 + 7x2 − 9x + 2

14Factorizar los polinomios

19x4 − 4x2 =

2x5 + 20x3 + 100x =

33x5 − 18x3 + 27x =

42x3 − 50x =

52x5 − 32x =

62x2 + x − 28 =

15Descomponer en factores los polinomios

1

2xy − 2x − 3y + 6 =

325x2 − 1=

436x6 − 49 =

5x2 − 2x + 1 =

6x2 − 6x + 9 =

7x2 − 20x + 100 =

8x2 + 10x +25 =

9x2 + 14x + 49 =

10x3 − 4x2 + 4x =

113x7 − 27x =

12x2 − 11x + 30

133x2 + 10x + 3

142x2 − x − 1

Ejercicios resueltos de factorizar y calcular las raíces de los polinomios

1

x3 + x2

x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1


2

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0 ; ya que el polinomio, x 2 + 2, no tiene ningún

valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un

número positivo, por tanto es irreducible.


3

x2 − 4

x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2


4

x4 − 16

x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x 2 + 4)

Las raíces son X = −2 y X = 2


5

9 + 6x + x2

La raíz es x = −3 .


6

Las raíces son x = 3 y x = −2 .


7

x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)


8

x4 − 2x2 − 3

x2 = t

t2 − 2t − 3 = 0

x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )


9

2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división

es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al

cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado

o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo

podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2


10

2x3 − 7x2 + 8x − 3

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1) · (2x2 − 5x + 3)

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

(x −1)2 · (2x −3) = 2 (x − 3/2) · (x −1)2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1


11

x3 − x2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x2 + x + 2 )

x2 + x + 2 = 0

(x − 2) · (x2 + x + 2 )

Raíz: x = 2.


12

x3 + 3x2 − 4x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x − 2) · (x2 + 5x + 6)

x2 + 5x + 6 = 0

(x − 2) · (x + 2) · (x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.


13

6x3 + 7x2 − 9x + 2

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x2 − 5x + 1)

6x2 − 5x + 1 = 0

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

Ejercicios resueltos de factorización de polinomios

14

19x4 − 4x2 =

x2 · (9x2 − 4) =

x2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2x5 + 20x3 + 100x =

x · (x4 + 20x2 + 100) =

x · (x2 + 10)2

33x5 − 18x3 + 27x =

3x · (x4 − 6x2 + 9) =

= 3x · (x2 − 3)2

42x3 − 50x =

=2x · (x2 − 25) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

52x5 − 32x =

= 2x · (x4 − 16 ) =

2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)

62x2 + x − 28

2x2 + x − 28 = 0

2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

Ejercicios resueltos de descomposición en factores de polinomios

15

1

2xy − 2x − 3y + 6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

325x2 − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

436x6 − 49 =

= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)

5x2 − 2x + 1 =

= (x − 1)2

6x2 − 6x + 9 =

= (x − 3)2

7x2 − 20x + 100 =

= (x − 10)2

8x2 + 10x + 25 =

= (x + 5)2

9x2 + 14x + 49 =

= (x + 7)2

10x3 − 4x2 + 4x =

= x · (x2 − 4x +4) =

= x · (x − 2)2

113x7 − 27x =

= 3x · (x6 − 9) =

= 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)

12x2 − 11x + 30

x2 − 11x + 30 = 0

x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x2 + 10x + 3

3x2 + 10x + 3 = 0

3x2 + 10x + 3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

142x2 − x − 1

2x2 − x −1 = 0

2x2 − x − 1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

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