Factor común

En los siguientes ejercicios se usará la ley de la distributividad del producto respecto ala sumaa(b + c) = ab + acPara pasar del lado izquierdo al derecho de la igualdad, se dice que se distribuye a.Para pasar del lado derecho al izquierdo de la igualdad, se dice que se factoriza a.En esta parte del documento efectuaremos ejercicios sobre factorización de un factorcomún.

1. Factorizar 2a + 4Paso 1 Buscamos el factor común de 2a y 4.Como el factor común de 2a y 4 es 2, entonces lo factorizamos.2a + 4 = 2(a + 2),

2. Factorizar 3b + 6Paso 1 Buscamos el factor común de 3b y 6.Como el factor común de 3b y 6 es 3, entonces lo factorizamos.3b + 6 = 3(b + 2)

3. Factorizar a + a2

Paso 1 Buscamos el factor común de a y a2

Como el factor común de a y a2

es a, entonces lo factorizamos.a + a2

= a(1 + a)

Un binomio como factor común

En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio.

Factorizar x(m + n) + y(m + n)

Paso 1 Buscamos el factor común de x(m + n) y y(m + n).

Como el factor común de x(m + n) y y(m + n) es (m + n), lo factorizamos.x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y).

2. Factorizar a(x − y) + b(x − y)

Paso 1 Buscamos el factor común de a(x − y) y b(x − y).

Como el factor común de a(x − y) y b(x − y) es (x − y), lo factorizamos.a(x − y) + b(x − y) = (x − y)(a + b)

3. Factorizar r(m + n) − s(m + n)

Paso 1 Buscamos el factor común de r(m + n) y s(m + n).

Como el factor común de r(m + n) y s(m + n) es (m + n), lo factorizamos.r(m + n) − s(m + n) = (m + n)(r − s)

4. Factorizar x(a + b) − a – b

Paso 1 Factorizamos a (−1):x(a + b) − a − b = x(a + b) − (a + b)

Paso 2 Buscamos el factor común de x(a + b) y (a + b).Como el factor común de x(a + b) y (a + b) es (a + b), entonces:x(a + b) − a − b = x(a + b) − (a + b)= (a + b)(x − 1)

5. Factorizar a(c − d) + xc – xd

Paso 1 Factorizamos a x:a(c − d) + xc − xd = a(c − d) + x(c − d)

Paso 2 Buscamos el factor común de a(c − d) y x(c − d).Como el factor común de a(c − d) y x(c − d) es (c − d), entonces:a(c − d) + xc − xd = a(c − d) + x(c − d)= (c − d)(a + x)

Factorización completa

En esta serie de problemas, debemos de aplicar los dos tipos de factorización anteriores.

1. Factorizar ax + bx − ay − byax + bx − ay − by = x(a + b) − ay – by

Factorizamos a x= x(a + b) − y(a + b)Factorizamos a y= (a + b)(x − y)Factorizamos a (a + b)

2. Factorizar 2xy + y − 6x − 32xy + y − 6x − 3 = y(2x + 1) − 6x − 3Factorizamos a y= y(2x + 1) − 3(2x + 1)Factorizamos a 3= (2x + 1)(y − 3)Factorizamos a (2x + 1)

3. Factorizar 3mn + 15n − 4m − 203mn + 15n − 4m − 20 = 3n(m + 5) − 4m − 20Factorizamos a 3n= 3n(m + 5) − 4(m + 5)Factorizamos a 4= (m + 5)(3n − 4)Factorizamos a (m + 5)

4. Factorizar 2a2 + 6a − 3ab − 9b2a 2 + 6a − 3ab − 9b = 2a(a + 3) − 3ab − 9bFactorizamos a 2a= 2a(a + 3) − 3b(a + 3)Factorizamos a 3b= (a + 3)(2a − 3b)Factorizamos a (a + 3)

Diferencia de cuadrados

En esta serie de problemas, aplicaremos la fórmula de diferencia de cuadrados a2 –b2 = (a + b)(a − b). Esta fórmula puede ser fácilmente comprobada al realizar la operación (a + b)(a − b) = a2 − ab + ba – b2 = a2 – b2 .

1) Factorizar: a2 – b2

= a2 – b2

= (a + b)(a − b)Aplicando la diferencia de cuadrados

2) Factorizar: x2 – y2 = X2 – y2

= (x + y)(x − y)Aplicando la diferencia de cuadrados

3) Factorizar 9b2 – 16

9b2 − 16 = (3b)2 − (4)2

Re-escribiendo= (3b + 4)(3b − 4)Aplicando la diferencia de cuadrados

4) Factorizar 16a4 − 9b6

16a4 − 9b6 = (4a2)2 − (3b3)2

Re-escribiendo= (4a2 + 3b3)(4a2 − 3b3)Aplicando la diferencia de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

En esta serie de problemas, aplicaremos la regla de un trinomio cuadrado perfecto. Sesabe que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , entonces el lado izquierdo de la igualdad se llamatrinomio cuadrado perfecto, ya que se puede escribir como un cuadrado de una suma.Cada ves que detectemos un trinomio cuadrado perfecto podemos aplicar esta igualdad.Para detectar si un trinomio es cuadrado perfecto, hay que tomar un término, ver que esun cuadrado (a2), obtener la raíz (a), verificar si la raíz esta en otro término (2ab), ental caso verificar solo si la mitad al cuadrado de la parte restante (b2), es precisamenteel tercer término.

1) Factorizar x2 − 2xy + y2

a) x2 es el cuadrado de x.b) 2xy es el término donde aparece x.c) 2y es la parte restante del término anterior.d) y2 es la mitad al cuadrado de la parte anterior.e) y2 es en efecto, el tercer término.Por lo tanto el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.

X2 − 2xy + y2 = (x − y)2

El signo es menos, debido al signo en −2xy.

2) Factorizar x2 + 4x + 4

a) x2 es el cuadrado de x.b) 4x es el término donde aparece x.c) 2 es la parte restante del término anterior.d) 22 = 4 es la mitad al cuadrado de la parte anterior.Por lo tanto el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.

X2 + 4x + 4 = (x + 2)2

El signo es más, debido al signo en +4x

3) Factorizar y4 − 8y2 + 16

a) y4 es el cuadrado de y2.b) 8y2 es el término donde aparece y.c) 8 es la parte restante del término anterior.d) 42 = 16 es la mitad al cuadrado de la parte anterior.e) 16 es en efecto, el tercer término.Por lo tanto el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.Y 4 − 8y2 + 16 = (y2 - 4)2 El signo es menos, debido al signo en −8y

Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos)

P r o c e d i m i e n t o

1.  Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...)2.  Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (como en el Ejercicio 92)3.  Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante (como en el Ejercicio 94).4.  Se reduce, si es el caso

Factorar o descomponer en dos factores:

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

P r o c e d i m i e n t o

1.  Se ordena el trinomio2.  Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos3.  Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior4.  Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio 5.  Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término del trinomio cuadrado perfecto6.  Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere

Factorar o descomponer en dos factores:

Descomposición factorial

P r o c e d i m i e n t o

1.  Se ordena el trinomio2.  Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio3.  Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis4.  El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio5.  Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis6.  Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio7.  Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio8.  El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis9.  Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8

Factorar o descomponer en dos factores:

Descomposición factorial

 

P r o c e d i m i e n t o

Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma

   y se factoriza como en el Ejercicio 98:

1.  Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a2.  Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)3.  Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio4.  Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis5.  El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio6.  Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis7  Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio8  Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio9.  El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis10.  Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 811. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común12. Se simplificaNota: siempre es posible eliminar el denominador .

Factorar o descomponer en dos factores:

Descomposición factorial

Casos especiales  

P r o c e d i m i e n t o

Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma

   y se factoriza como en el Ejercicio 99:

1.  Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a2.  Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)3.  Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio4.  Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis5.  El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio6.  Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis7  Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio8  Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio9.  El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis10.  Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 811. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común12. Se simplificaNota1: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término.Nota2: siempre es posible eliminar el denominador .

Factorar o descomponer en dos factores:

Descomposición factorial

Factorar una expresión que es el cubo de un binomio

P r o c e d i m i e n t o

El desarrollo del cubo de un binomio es:

En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera:1.  Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra2.  Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio3.  Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo4.  Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado5.  Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado6.  Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis7.  Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal

Factorar:

Descomposición factorial

Suma o diferencia de cubos perfectos

P r o c e d i m i e n t o

1.  Se abren dos paréntesis2.  En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos3.  En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz

Descomponer en dos factores: