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CAPÍTULO 4

Factorizacióny fracciones algebraicas

4. FACTORIZACIÓNY FRACCIONES ALGEBRAICAS

Objetivos k Estructura del capítulo

Al terminar este capítulo, el lector podrá:

3 Ejecutar productos usuales en operaciones

algebraicas.3 Establecer el método adecuado para factorizar

una expresión.3 Conocer el método para la búsqueda de raíces

de un polinomio.3 Descomponer distintos tipos de polinomios de

grado n.3 Simplificar fracciones algebraicas.3 Realizar operaciones con fracciones

algebraicas.

Introducción4.1. Factorización de polinomios.4.2. Productos notables.4.3. Factorización con factor común, productos

notables y combinación de ambos.4.4. Factorización por agrupamiento.4.5. Factorización de una ecuación cuadrática.4.6. Descomposición factorial de polinomios.

4.7. Fracciones algebraicas.4.8. Simplificación mediante factorización.4.9. Multiplicación y división de fracciones

algebraicas.4.10. Suma y resta de fracciones algebraicas.4.11. Aplicaciones.4.12. Productos notables y factorización con

Mathematica.Solución a los ejercicios propuestos.

INTRODUCCIÓN

ESTE CAPÍTULO se refiere a distintas formas de descomponer un polinomio

integrado por una suma de factores; éste es el proceso de factorización,

útil cuando se requiere simplificar. Además se ampliarán las operacionesde suma, resta, multiplicación y división con fracciones aritméticas ya estudiadasen capítulos anteriores , a operaciones con fracciones algebraicas.

Se tratarán también formas de resolver ecuaciones que contengan expresiones convariables en el denominador. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones confraccio-

nes y son empleadas frecuentemente en el campo de la economía y la administración.Para desarrollar la práctica necesaria a fin de resolver este tipo de ecuaciones

con fracciones , como también ecuaciones polinomiales no lineales , el lector deberealizar un esfuerzo para manejar con agilidad la forma de factorizar , simplificarexpresiones algebraicas y resolver operaciones con fracciones algebraicas. El re-sultado de todo este esfuerzo se reflejará al final de este capítulo (tema 4 .11) y en

el siguiente.

169

170 Álgebra básica

4.1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Se ha dicho que cuando se multiplican dos números reales ay b , éstos se denomi-nan factores del producto (a)(b). Es decir, si se tiene el producto de (3)(8) = 24,entonces 3 y 8 son factores de 24.

Si un polinomio es el producto de otros polinomios, entonces a cada uno de lospolinomios anteriores se le denomina factores del polinomio original.

Como:(x-8)(x+8)=x2-64

se deduce que los polinomios x- 8 y x+ 8 son factores del polinomio x2 - 64.

El proceso de hallar los factores de un polinomio se conoce como factori-zación o descomposición del polinomio.

La factorización es importante cuando se trabaja con fracciones y se resuelvenecuaciones. También se puede decir que:

La descomposición de un polinomiop(x) consiste en expresarlo como pro-ducto de otros polinomios, de igual o menor grado que el mismo.

Antes de comenzar con factorización de polinomios, es necesario especificar elsistema del que se han de elegir los coeficientes de los factores. Generalmente esválida la regla de que si se da un polinomio con coeficientes enteros, entonces losfactores deberán ser polinomios con coeficientes enteros.

Asimismo, si se comienza con un polinomio que contiene coeficientes raciona-les, la regla es que los factores también deben tener coeficientes racionales.

Ejemplos

x2 +x- 6= (x+ 3)(x- 2) u 4x2 - 9/16= (2x-3/4)(2,r+3/4) Q= (3 + x)(-2 + x) = (-3/4 + 2x)(3/4 + 2x)

En general, no es fácil descomponer polinomios con grados altos. Hay diversastécnicas que se pueden utilizar, según sea la forma de la expresión por factorizar:por factor común, utilizando productos notables, por agrupamiento, por el métodode ensayo y error, completando cuadrados y mediante la obtención de raíces pordivisiones sucesivas, entre otras técnicas usuales.

4. Factorización yfracciones algebraicas 171

4.2. PRODUCTOS NOTABLES

Los siguientes productos de polinomios son muy usuales en álgebra, normalmenteidentificables y ayudan en el proceso de factorización de polinomios. Por tal razónse denominan productos notables.

Sean dos monomios cualesquiera denominados A y Y, sumándolos y restándo-los se obtienen los binomios : A + B y A -.9

Primero: binomio al cuadrado

(A+B)(,4+8)=(A+ 8)1

El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero másel doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(A+B)(A+B)=(A)(,4)+(A)(B)+(B)(A)+(B)(B)=A'+(214)(B)+B2

Segundo: binomio al cuadrado

(A-B)(,4-B)=(,4-B)2

El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primeromenos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(, -B)(, -B )=(A)(A)-(A)(B)-(B)(A)+(B)(B )=A2-(2A)(B)+B2

Tanto en el primero como en el segundo caso, el producto de un binomio por símismo da como resultado un binomio al cuadrado.

Tercero: binomio conjugado

(A+B)(A-B)=(A)(A)-(A)(B)+( B)(A)-(B)(B)=A 2-B2

El producto de la suma de dos monomios por la diferencia de los mismos esigual al cuadrado del primer monomio menos el cuadrado del segundo.

A este producto también se le conoce como producto de binomios conjugados ya su resultado como diferencia de dos cuadrados.


Los binomios conjugados difieren del binomio al cuadrado sólo en el signode uno de los binomios.

Aplicando estas reglas se pueden escribir directamente los resultados de lassiguientes operaciones:

(4x + 3)2 = 16x2 + 24x+ 9 = 9 + 24x+ 16x2

(2x- 5)2 = 4x2 - 20x+ 25 = 25 - 20x+ 4x2

(2x+ 1)(2x- 1) = 4x2 - 1 = -1 + 4x2

Cuarto: binomio al cubo

1. (A+B)(,4+8)(,4+8)= (A+8)3_ (,4 2 + 2AB + g2)(,4 + B)=,43 + 2,42E+.4B2 +A28+ 2,4B2 + B3=,43 + 3429+3,4, 2 +B3

2. (4-B)(4-B)(A-B)=(,^-B)3=A3- 3,42E+34B2-B3

Quinto: suma y diferencia de dos cubos

1. (,4+8)(,42 -A,9+ 92) =A3 +B3

2. (,4-B)(,42+,4B+B2) =A3 -B3

Sexto: binomio con término común

1. (Ax+B)(Cx+D)=~4Cx2+(4D+BC)x+BD

2. (,4x + By)(Cx + Dy) = ACx2 + (AD + BC)xy + BDy2

3. (x+A)(x+B) =x2+ (A+B)x+,4B

Las letras A, B, C D pueden ser números reales o expresiones algebraicas.

4. Factorizaciónyfracciones algebraicas 173

Ejemplos de 4.2

1. (2a+ 5b)2 9

Solución:Mediante la aplicación del producto notable del caso primero, donde A es 2a, B

es 5b, se tiene:

(2a+ 5b)2 = (2a)2 + 2(2a)(5b) + (5b)2= 4a2 + 20ab + 25b2

2. (t2+7)(12-2) 9

Solución:Mediante la aplicación 3 del caso sexto de productos notables, donde x es t2.

(t2 + 7)(t2 - 2) = (12)2 +(7 -2)12 +7(-2)

=t4+5t2-14

=-14+512+t4

3. (3u3+4v2)(3u3-4v2) p,

Solución:Mediante la aplicación del producto notable del caso tercero, donde A es 3 u3 y

Bes 4v2.

(3u3+ 4v2)(3 -4 V2) = (3u3)2 - (4v2)2= 9u6- 16v4

4. (5x2- 2y)(3x2+ 6y)

Solución:Mediante la aplicación del producto notable 2 del binomio con término común,

donde x es x2, y es y, A es 5, Bes -2 , Ces 3 y Des 6.

(5x2- 2y)(3x2+ 6y) = (5)(3)(x2)2+ [(5)(6) + (- 2)3]x2y+ (- 2)6y2= 15x4 + 24x2y - 12y2


Ejercicios de 4.2

Utilizar las reglas mencionadas para encontrar los siguientes productos:

1.

2.

(x- 7)(x+

(2x+ 4y)(

4 )

6x- 7y)

5. (2x- 3y)2

6. + y)2

3. 3x+2y 2x-3yJ

7. (2-Tx+4y2)(21x-4y2)

4. (a2 +4)(a2-3) 8. (a + b + c)(a + b - c)

4.3. FACTORIZACIÓN CON FACTOR COMÚN,

PRODUCTOS NOTABLES Y COMBINACIÓN DE AMBOS

4.3. I. Factorización con factor común

Esta forma de descomposición de un polinomio es una de las más útiles, ya quepermite factorizar casi todas las expresiones. Como su nombre lo indica, se factorizala expresión dada, buscando un factor común a todos los términos o, en su defecto,se obtiene el máximo común divisor.

Los pasos por seguir son los siguientes:De acuerdo con la expresión abx+ cdr+ efx

• Buscar un factor que aparezca en todos los términos. En este caso el factor

común es x.

• Al encontrar el factor común se debe multiplicar por los factores no comunes:

x(ab+cd+ef)

Ejemplos de 4.3. 7

1. Observar la factorización de los polinomios en los que se han obtenido losfactores comunes 5x2, 6x2 y 6x3, respectivamente.

Solución:25x4 - 30x3 + 5x2 = 5x2(5x2 - 6x+ 1)


12x3 - 6x2 = 6x2(2x- 1) Q30x6 - 18x3 = 6x3(5x3 - 3) Q

2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios. En el inciso b), n es un enteropositivo.

a) - lOr3s2t4- 20r3S2 11+5 rIS414 -P b) x2n+ xn+2 q

Solución:a) -1Or3S2t4- 20r 3S2 t3+ 5r2S4t4 = -5r2S2t3 (2rt+ 4r- S2 t)

b) x2n+ xn+2 = xn(x.n + x2)

4.3.2. Factorización con productos notables

Con la aplicación de los productos notables, pero en sentido contrario, se puedendescomponer algunos polinomios en producto de otros dos más simples.

Se puede aplicar el cuadrado de una suma o de una diferencia, un binomio alcuadrado , como es el ejemplo del siguiente trinomio dado p(x):

p(x) = x4 + 10x2+25

Considerando que x4 es el cuadrado de x225 es el cuadrado de 510x2 es el doble del producto de x2 por 5

entonces : p(x) = (x2 + 5)2

Si se factoriza aplicando suma por diferencia, es decir, un binomio conjugadode la forma 25x4 - 64, su resultado es:

25x4 - 64 = (5x2 + 8)(5x2 - 8)

Ejemplos de 4.3.2

1. Factorizar los siguientes polinomios, reconociendo productos notables.

x2+6x+9=(x+3)2 PJ


x2-8x+16=(x-4)2 Q9x2 - 6x+ 1 = (3x- 1)' =(3x-1)(3x-1) 9

2. El polinomio 8x6 - 27y9 se reconoce como la diferencia de dos cubos , el casoquinto de productos notables.

Solución:8x6 - 27y9 = (2x2)3 - (3y3)3 p

= (2x2 - 3y3)(4x4 + 6x2y3 + 9y6)

3. El polinomio 16x4 - (y - 2z )2 se resuelve al observar que es una diferencia dedos cuadrados , resultado de un binomio conjugado.

Solución:16x4 - (y - 2z)2= (4x2)2 - (y - 2z)2

= (4x2) + (y - 2z)] (4x2) - (y - 2z)]= (4x2 + y - 2z)(4x2 - y + 2z)

4. El trinomio x2 + 3x- 28 es de la forma del segundo miembro en la aplicación 3del binomio con término común . Éste puede factorizarse en el producto de dosbinomios x + a y x + b si hay dos enteros a y b tales que ab = -28 y a + b = 3.Los enteros -4 y 7 satisfacen estas condiciones , y de este modo se tiene:

x2 + 3x - 28 = (x - 4)(x + 7) = (-4 + x)(7 + x)

El trinomio también puede factorizarse aplicando la ley distributiva, es decir:

x2+3x-28 =x2+(-4)x+7x+(-4)(7)=x(x-4)+7(x-4)_ (x- 4)(x+ 7)_ (-4 + x)(7 + x)

5. Algunos polinomios de tres términos se resuelven mediante la aplicación 2 delcaso sexto para productos notables, de una manera sencilla y rápida, factorizandopor un método de ensayo y error que requiere memorizar una pequeña regla:

A * C= coeficiente del primer término del trinomio.B * D= coeficiente del tercer término del trinomio.fl * D+ B * C= coeficiente del segundo término del trinomio.

4. Factorízacíónyfraccíones algebraicas 177

Para factorizar el trinomio 15x2 + 7xy- 2y2 como un producto de dos binomios(Ax+By)(Cx+Dy), como el indicado en el punto 2 del caso sexto de produc-tos notables , se determinan dos números ,4 y Ccuyo producto sea 15 y dos númerosB y .D cuyo producto sea -2 , tal que AD + BC sea igual a 7. Si A y C van a serpositivos, las posibilidades deA y Cson 1 y 15, o bien, 3 y 5. Las posibilidades deB y D son 1 y -2 y -1 y 2. Mediante aproximaciones sucesivas se obtiene el térmi-no medio requerido 7xy si se escribe:

15x+ 7xy - 2y2 = (3x+ 2y)(5x - y)

4.3.3. Factorización de polinomios combinando ambos métodos

1. En el polinomio p(x) = x3 + 2x2 + x se observa un factor común x, por tanto seescribe x(x2 + 2x + 1), y este nuevo trinomio es el resultado de un binomioal cuadrado . De esta forma , combinando los dos métodos se descompone elpolinomio , expresándolo como una serie de productos:

p(x)=x3+2x2+x=x(x2+ 2x+ 1)=x(x+ 1)2=x(x+ l)(x+ 1)

2. En el trinomio 2st4 - 8s12 - 90s hay un factor común monomial 2s. De aquí eltrinomio pueda escribirse como 2s(t4 - 41,2- 45). Este nuevo trinomio puedefactorizarse y expresarlo como el producto de dos binomios, uno de los cualeses la diferencia de dos cuadrados:

2s14- 8st2-90s=2s(t4-412-45)= 2s(t2 + 5)(t2 - 9)= 2s(t2 + 5)(t+ 3)(t- 3)

Ejercicios de 4 3.3

1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa los factores de (x + 1)2(x- 1)2?

aj x2 +2x- 1b' 2x2+x- 1c) x4-x2+ 1dj x4-2x2+1


2. ¿Cuál es el resultado de factorizar 9x3 - 729xy2?

a) 3x(x- 9y2)(x+ 9y2)b) 9x2(x- 9y)(x+ 9y)c) 9X(x- 9y)(x+ 9y)d) Ninguno de los anteriores

3. ¿Cuál es el resultado de factorizar x3 + 125?

a) (x+ 5)(x2 - 5x+ 25)b) (x- 5)(x2 + 5x-f- 25)c) (x+ 5)(x2 - 5x-- 25)d) (x- 5)(x2 - 5x+ 25)

4. ¿Cuál es el resultado de factorizar 78x2y+ 117xy3 hasta el último término?

a) x(78xy + 117y3)b) xy(78x+ 117y°!)c) Todos los anterioresd) Ninguno de los anteriores

5. ¿Cuál es el resultado de factorizar x6 -y9?

a) (x2 + y3)(x4 + .r2y3 - y6)

b) (x2 +y3)(x4 - 2x2y2 + y6)

c) (x2 - y3)(x4 + x2y3 +y6)

d) (x2 - y3)(x4 - 2x2y3 + y6)

6. ¿Cuál es el resultado de factorizar 2xy5 - 32xy?

a) xy(y+4)2(y -4)2b) xy(y2+4)(y'--4)c^ 2xy(y2 + 4)(y2 -4)d) 2xy(y2+4)(y+2)(y-2)

7. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

a) (x + y)3 = x3 - 3x2y+ 3xy2 + y3b) (x + y)5 = x5 - 5x4y - 1 Ox3y2 + 1 Ox2y3 + 5xy4 + y5


e) (x - y)3 = x3 - y3d) Ninguna de las anteriores

8. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

a) 5002 -4002 = (9)(103)b) 120002 - (-13000)2 = (-2.5)(106)c) 882 -87 2 = 175d) 196(25)2 169(25)2 = 675

4.4. FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO

Es otra técnica muy sencilla, que consiste en buscar los posibles factores comunesen la expresión y agrupar los términos de acuerdo con ellos, para que después sefactorice por factor común. En esta técnica de factorízación se encuentran factoresque no son comunes a todos los términos, pero que son comunes a algunos.

Sise requiere factorizar una expresión -=^ ax+ by+ ay+ bx

Pasos por seguir:1. Identificar los términos con posibles factores comunes.

Es posible darse cuenta de que no existe un factor común a todos los términos,pero sí hay dos factores comunes a términos diferentes: x es factor común deax, bx,; y es factor común de ay, by.

2. Agrupar los factores de acuerdo con cada factor común.

ax+bx+ay+by

3. Factorizar por cada factor común.

x(a + b) + y(a + b)

4. Como se obtuvieron dos términos, se localiza nuevamente el factor común. Elfactor común de ambos términos es (a+ b).

5. Factorizar nuevamente por cada factor común, multiplicando el término comúnpor los no comunes (x, y), obteniendo como resultado:

(a+ b)(x+y)


Ejemplos de 4.4

1. Factorizar el polinomio

3x2 + 7x - 6xy - 14y 9

Solución:Se agrupan los dos primeros y los dos últimos términos, y se tiene:

(3x2 + 7x) + (-6xy - 14y)

Los dos primeros términos tienen un factor común igual a x y los dos últimostienen un factor común -2y. Por lo tanto, el polinomio puede expresarse como:

x(3x+ 7) - 2y(3x+ 7)

Se observa que hay un factor común 3x+ 7 en cada término . De aquí se tiene que:

(3x + 7)(x - 2y) _ (7 + 3x)(x - 2y)

2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:

a) 5xz-5yz-x+y Q b) 42-6u3-7v2+u3 v2

Solución:a) 5xz-5yz- x+y=5z(x-y)-l(x-y)

= (x-y)(5z- 1)= (-x+y)(1 - 5z)

b, 42-6u3-7v2 + u3 v2=6 (7- u3)- v2(7 -u3)

= (7 - u3)(6 - v2)

= (-7 + u3)(-6 + v2)

3. Factorizar 3x3 + 2x2 - 12x- 8

Solución:3x3 + 2x2 - 12x -- 8 = x2 (3x + 2) - 4(3x + 2)

_ (3x+ 2) (x2 - 4)_ (3x+ 2) (x+ 2) (x- 2)

4. Factorización yfracciones algebraicas

4.5. FACTORIZACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Un binomio al cuadrado tiene como resultado un trinomio cuadrado perfecto:

(a+ b)2=a2 +2ab+b2

181

Se le llama trinomio cuadrado perfecto porque los términos que están en los ex-tremos tienen raíz cuadrada exacta. Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto debeexpresarse como el producto de un binomio al cuadrado, pero antes hay que determi-nar si ese trinomio realmente es cuadrado perfecto.

Se requiere factorizar el siguiente polinomio

p(x): 4a2 + 16ab + 16b2

Pasos por seguir:1. Reconocer si es un trinomio cuadrado perfecto.2. Calcular la raíz cuadrada del primer y tercer términos.

=2a 16b =4b

3. El doble producto 2(2a)(4b) = l6ab, por lo tanto es un trinomio cuadradoperfecto.

4. Sustituir en la fórmula del binomio al cuadrado.

(2a + 4b)2

5. Para comprobarlo , resolver el binomio al cuadrado.

(2a + 4b)2 = (2 a)2 + 2(2a)(4b) + (4b)2 = 4a2 + 16ab + b2

Ejemplos de 4 5

1. El trinomio 16a2 + 40a + 25 tiene dos términos cuadrados perfectos, es decir,16a2 que es (4a)2, y 25 que es 52; además, el otro término es 40a, el cual es2(4a)(5). Por tanto, es un trinomio cuadrado perfecto y se aplica la fórmula delbinomio al cuadrado. En consecuencia:

16a2 + 40a + 25 = (4a + 5)2 = (5 + 4a)2 P


2. Factorizar 4x2 - 12xy+ 9y2 9

Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto . Como la raíz cuadrada de 4x2es 2x y la raíz cuadrada de 9y2 es 3y, se tiene que:

4x2 - 12xy + 9y2 = (2x - 3y)' = (-2x + 3y)2

4.5.1. FFactorización de un trinomio de segundo grado

El polinomio por factorizar es de la forma:W

14x2+Bx+C

Se plantea la siguiente expresión algebraica:

6x2 +5x-6 9

Pasos por seguir:1. Determinar los coeficientes numéricos.

A=6 B=5 C= -6

2. Encontrar dos números cuyo producto sea igual a -36(A * C) y cuya suma seaigual a 5(B).Para agilizar la búsqueda de esos dos números, es necesario descomponer elnúmero -36 en factores como:

-36 = (9)(-4) -36 = (-9)(4) -36 = (6)(-6)

3. Cuando se tengan los factores deben sumarse y así se encontrarán dos númerosque cumplan las condiciones que se piden.

9+(-4)=5 -9+4=-5 6+(-6)=0

Los números que satisfacen las condiciones son: 9 y -4.

(') Esta expresión es un trinomio de segundo grado, pero no es un trinomio cuadrado perfecto.

4. Factorizaciónyfracciones algebraicas 183

4. Tomar el término que se encuentra al centro del polinomio . En este caso 5x.

6x2+5x-6

5. Luego factorizar este término como la suma de los dos números encontrados.

5x = 9x- 4x

6. Sustituir en la fórmula original.

6x2+9x-4x-6

7. Factorizar por agrupamiento.La factorización por agrupamiento implica factorización por factor común.

6x2 + 9x= 3x(2x+ 3)-4x- 6 = -2(2x+ 3)

de donde: 3x(2x+ 3) - 2(2x+ 3)Se obtuvieron dos términos con un factor común , que es: (2x + 3).

8. Factorizar multiplicando el término común por los no comunes.

(2x+ 3)(3x- 2)(3 + 2x)(-2 + 3x)

Ejemplo de 4 51

Factorizar : 6x2 + 19x + 10 9

Solución:ac=60 b= 19

(15)(4) = 60 15 +4= 19Si 19x= 15x+4xReemplazando en el trinomio6x2+ 15x+4x+ 10


se obtiene factor común:6x2 + 15x= 3x(2x+ 5)4x+ 10 = 2(2x+ 5)

El resultado es6x2 + 19x+ 10 =: (3x+ 2)(2x+ 5) = (2 + 3x)(5 + 2x)

Ejercicios de 4.5..1

1. Factorizar los siguientes polinomios:

a) 9x2 + 24xy+ 16y2 b) 9x2 - 24xy+ 16y2C) 9x2 + 25xy+ 16y2 d' 9x2 - 145xy+ 16y2e) 9x2 - 16y2 f) 9x2 + l6y2

4.6. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

Cuando se tienen polinomios con grado n de la forma

p(.x)=anxn+a_1xn-'+an_2xn-2+...+al x+a0

considerando que ao, a,, ..., a son números reales con an ^ 0 y n es un númeroentero no negativo, es posible descomponerlo de la siguiente manera:

p(x) = (x- rl)(x- r2)(x- r3) ... (x- rr) C(x)

donde r1, r2, r3, ..., rn son raíces del polinomio p(x), que se encuentran por divisio-nes sucesivas , y C(x) es el último cociente.

A continuación se hace un recorrido para recordar estos temas: raíces de unpolinomio , teorema del residuo , división de polinomios aplicando la Regla de Ruffiniy descomposición factorial de todo polinomio de grado n.

4.6 1. Raíces de polinomios

Un número r se dice que es una raíz del polinomio p (x) si el valor numéricodel polinomio para x = r es cero , es decir, si p (r) = 0

4. Factorización y fracciones algebraicas

El polinomio p(x) = x - 3 tiene por raíz x = 3, ya que p(3) = 0El siguiente cuadro permite ver otros ejemplos.

185

Polinomio Raíz Comprobación

x2-1 1 12-1=0x2-1 -1 (-1)2-1=0

x -5x+62 2 22-5(2)+6=0X2-5x+6 3 -5(3)+6=032

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio de gradon tiene n raíces (para algunos números reales y otros complejos).

Para encontrar las raíces de un polinomio p(x) se resuelve la ecuación p(x) = 0;en el caso de ecuaciones de segundo grado véase el capítulo 5.

Si no es posible resolver la ecuación p(x) = 0, recordar que las raíces enteras deun polinomio son divisores del término independiente ayudará en la búsqueda de lasraíces enteras.

Cuando se tienen polinomios de grado superior a 2 es factible aplicar el métodode ir calculando el valor numérico del polinomio para los distintos divisores deltérmino independiente.

Los pasos para hallar las raíces del polinomio x4 + 3x3 - x2 - 3x son:

1. Se obtiene factor común xx(x3+3x2-x-3)

de donde se deduce que x = 0 es una raíz.2. Se observa que los divisores del término independiente del polinomio que que-

da dentro del paréntesis x3 + 3x2 - x- 3 son 1 , -1, 3 y -3 . Entre ellos estarán lasraíces enteras.

3. Se comprueba cuáles son raíces enteras:

Polinomio Posible raíz Comprobación ¿Es raíz?

x3+3x2-x-3 1 (1)'+3(1)2-1-3=0 Síx' +3x2-x-3 -1 (-1)'+3(-1)2-(-1)-3=0 Síx3+3x2-x-3 3 (3)'+3(3)2-3-3=48 No

x3+3x2-x-3 -3 (-3)'+3(-3)2-(-3)-3=0 Sí

4. Luego de comprobarlo, las raíces encontradas son cuatro: 0, 1, -1, -3, cuyonúmero coincide con el grado del polinomio propuesto.


4.6.2. Teorema del residuo

Sea R el residuo de la división de un polinomio p(x) entre x - r el teorema delresiduo dice que el valor numérico de p(x) para x = r coincide con R.

Si p(x) es un polinomio y r es un número real, entonces si p(x) se divideentre x- r, el residuo es p (r).

Este teorema permite determinar el residuo de la división de un polinomio porx - r sin necesidad de realizar la división.

Ejemplos de 4 6.2

1. Dividir el polinomio x4 + x3 - 5 entre x + 2 y luego encontrar el residuo pormedio del teorema del residuo.Al realizar la división del polinomio por la forma ya vista en el capítulo ante-rior, se encuentra el valor 3 como residuo.

Mediante el teorema del residuo , sip(x) se divide entre x+ 2, el residuo R debeserp(-2), porque x+ 2 = x- (-2).

Luego se comprueba quep(-2)= (-2)4 + (-2)3 - 5=16-8-5=3

que coincide con el residuo de la división.

2. Si se divide x4 - 2x2 entre x+ 5 se halla un residuo de 575.

Con la utilización del teorema, como el divisor es x+ 5 = x- (-5), entonces elnúmero r = -5 y el valor numérico de p(x) para x = res:

p(-5) _ (-5)4 - 2(-5)2 = 575

4 6.3. División por Regla de Ruffini

Una consecuencia del teorema del residuo es el teorema del factor, del cual sedesprende que res raíz de p(x) si y sólo si el residuo de dividir p(x) entre x -res cero.


Por ejemplo, x3 - 8 es divisible por x - 2, ya que el 2 es raíz p(2) = 23 - 8 = 0

Teorema delfactor Si p(x) es un polinomio y res un número real, entoncesp(x) tiene x - r como un factor si y sólo si p(r) = 0.

Ejemplo del teorema delfactor

Probar que x - 4 es un factor de 2x3 - 6x2 - 5x - 12. P

Solución:Sip(x) = 2x3 - 6x2 - 5x- 12, entonces

p(4) = 2(4)3 - 6(4)2 - 5(4) - 12= 2(64) - 6(16) - 20 - 12=128-96-32=0

Por lo tanto, del teorema del factor se deduce que x- 4 es un factor dep(x).

Regla de Ruffina: Un polinomio completo y ordenado en x, dividido por un binomiode la forma x - r da por cociente un polinomio de grado menoren una unidad que el dividendo , cuyos coeficientes son:

• El primero es el primero del dividendo.• El segundo es igual al producto del primer coeficiente por r

cambiando de signo, más el segundo del dividendo; en la mis-ma forma se obtienen los restantes.

Ejemplos de 4 663

1. Dividir 3x5 + 10x4 - 15x2 + 5 entre x+ 2

Solución:Primero hay que completar el dividendo : 3x5 + 1 Ox4 + Ox3 - 15x2 + Ox+ 5.

Como el dividendo es de quinto grado, el cociente es de cuarto grado y suprimer coeficiente es el primer coeficiente del dividendo, o sea, 3.

Como r= 2, cambiando de signo es r= -2; se multiplica 3(-2) _ -6, se agregaal segundo coeficiente 10 del dividendo y se tiene -6 + 10 = 4, que es el segundocoeficiente del cociente , y así se continúa.


Para entender mejor esta regla, conviene utilizar la siguiente distribuciónpráctica, con la colocación de los coeficientes numéricos:

3 10 0 -15 0 5

-2 3(-2) = -6 4(-2) = -8 (-8)(-2) = 16 1(-2) = -2 (-2)(-2) = 4

3 10-6=4 -8 -15+16=1 0-2=-2 5+4=9

Es decir que los coeficientes del cociente son: 3, 4, -8, 1, -2 y el residuo quese obtiene con el mismo procedimiento es 9.

Luego:3x5 + 10x4 - 15x2 + 5 entre x+ 2 tiene como cociente:

C(x) = 3x4 + 4x3 - 8x2 + x- 2 y como residuo R= 9

Una forma de comprobar si r es una raíz dep(x ) es dividirp(x) entre x - rpor la Regla de Ruffini y observar si el residuo es cero.

2. Dividirp(x)=x4-x3-4x2+ 2x+4entrex-2 Q

Solución:Al dividir se obtiene un residuo R= 0, por lo tanto se comprueba la raíz r= 2 yel cociente C(x-)= x3 + x2 - 2x- 2

=-2-2x+x2+x3

CUADRO 4.1

Para comprobar si r es una raíz de p(x), puede dividirse

p(x) entre x - r por Ruffini y observar si el residuo

es cero.

p(x) = x4 -x3 -4x2 +2x +4

1 -1 -4 2 4

2 2 2 -4 -4

1 1 -2 -2

División de p(x) Residuo

entre x - 2

4 Factorización yfracciones algebraicas 189

4. ó 4. Descomposiciónfactorial de polinomios

La descomposición factorial de polinomios implica encontrar las raíces de unpolinomio por divisiones sucesivas, utilizando la regla de Ruffini.

Como p(x) _ (x - r) C (x), en lugar de buscar las raíces de p(x) se buscan lasraíces del cociente , ya que se tiene la ventaja de que el grado de C(x) es unaunidad menor.

Ejemplo de 4 6.4

1. Descomponer el polinomio x3 + x2 - 4x - 4

Solución:Las posibles raíces son los divisores del término independiente : 1, -1, 2, -2, 4, -4.

En el cuadro 4.2 se indica el inicio de la división del polinomio por las posiblesraíces:

CUADRO 4.2

r -2

1

x3 +x2 -4x -4

1 1 -4 -4 -E-- p(x)2 6 4

3 2 0 C(x)=x2+3x+2

1 4 6 Posibles raíces

1

1 4 6 6

1 no es raíz

1,-1,2,-2

Cuando se divide por la posible raíz 2 se obtiene un residuo 0, con ello seconfirma que r = 2 es raíz . El cociente C(x) = x2 + 3x + 2 tiene como posiblesraíces 1, -1, 2, -2, todos ellos divisores del término independiente 2. Al elegir elvalor 1 se observa que no es raíz al dar un residuo distinto de cero.

Se intenta con el valor de otra posible raíz , por ejemplo -1, comprobando que r=-1 es raíz al dar un residuo de cero . El nuevo cociente es C(x) = x+ 2 que tiene


también como posibles raíces: 1, -1, 2, -2. Con el valor de -2 se obtiene la últimaraíz con un cociente de C'(x) = 1.

La operación completa se muestra en el cuadro 4.3:

CUADRO 4.3

2

1 1 -4 -4

2 6 4

1 3 2 0

-1 -2c(x)=x+2

Posibles raíces

1,-1,2,-2

-2

1 2 0

-2

1 0

Las raíces obtenidas 2, -1, -2 determinan los factores x- r en donde r se cam-bia de signo:

2=¿ (x-2) -1=(x+1) -2=> (x+2)

El polinomio descompuesto es p (x) = (x - 2)(x + 1)(x + 2)(1).

4.7. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las fracciones, también llamadas expresiones algebraicas racionales, consisten enun cociente de dos polinomios.

Se pueden simplificar fracciones que involucren exponentes y variables de lamisma manera como se hace con fracciones aritméticas. Aquí es importante recor-dar la propiedad fundamental de las fracciones:

a,x - a donde b:#- 0, x:# 0bx b


Al proceso de pasar de ax/bx a a/b se le denomina simplificación y se realizaeliminando factores idénticos del numerador y el denominador. Si a y b no tienenningún factor común, excepto 1, entonces se dice que a/b está en los términos mássimples, es irreducible.

El procedimiento de factorizar ayuda a simplificar fracciones algebraicas.

4.7.1. Propiedades de las fracciones

1. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero:

-a_ a

b -b

2.

-8=8=-42 -2

Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero:

-b b

-2020-4

-5 5

3. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero:

a-b=-1b-a

4. Propiedad de suma de fracciones

10-5 5 -5

5-10 -5 5

Si a, b y c son números reales, donde b es diferente de cero:

a ca+c 4 5 4+5 9

bb b 22 2 2

Si a, b, c y d son números reales, donde b y dson diferentes de cero:

a c ad bc ad + bc 6 2 24 16 24 +16 40

b d bd bd bd 8 4 32 32 32 32

5. Propiedad de multiplicación de fraccionesSi a, b, c y dson números reales, donde b y dson diferentes de cero:

(aJ c J- (a)(c) ac

b d (b)(d) bd

(a)(d) _ (a)(d) - a

(b)(d) (b)(fl) b

(6)(x)6x-6.k6

(5)(x) 5x 5.t 5

C5^ ^^7g _35xy


6. Propiedad de división defraccionesSi a, b, c y d son números reales, donde b, c y d son diferentes de cero:

ac(a)(d)ad

b d (b)(c) bc

Ejemplo de 4.7 1

Resolver utilizando las propiedades de multiplicación y división.

12 (2)(6) 2

18 (3)(6) 3

4.8. SIMPLIFICACIÓN MEDIANTE FACTORIZACIÓN

La simplificación de un número o cualquier expresión algebraica implica reducirla.

Ejemplos de expresiones algebraicas racionales

6x4-8 4x2+20x+25 8x50y x4+5 4y. 8z

El primer ej emplo se Llama expresión racional entera en x yy,, pues cada uno delos polinomios en el cociente es un polinomio en xy un polinomio eny. La segundaexpresión es una expresión racional en x, ya que cada uno de los polinomios en elcociente es un polinomio en x. Por razones similares , la tercera expresión es racio-nal en x, y y z. Las propiedades de las fracciones pueden ser útiles para simplificarexpresiones como las anteriores.

Ejemplos de 4.8

1. Factorizar y eliminar términos semejantes.

6x'2 + 5x - 4 _ (3x + 4)(2x -1) _ 3x+4

4x2-4x+1 (2x-1)(2x-1) 2x-1

Frecuentemente, al simplificar una expresión algebraica se factoriza pri-mero la expresión y después se utilizan las propiedades de las fraccionespara reducirla.

4. Factorización y fracciones algebraicas 193


2-9y+4 y2 4y2 -9y+2(4y-1)(y-2)_

4-y2 22-y2 (2-y)(2+y)

Se puede considerar que: (2 - y) _ -(y - 2)

(4y-1)(y-2) 4y-1

9

(y-2)(2+y) 2+y


25-x2 (5-x)(5+x)2 = Recuérdese que 5 - x= -(x- 5)

X -3x-10 (x-5)(x+2) Asíque (5-x)/(x-5)=1

--(x-5)(5+x)5+x

(x-5)(x+2) x+2

Ejercicios de 4.8

Simplificar las siguientes expresiones racionales:

3x2-5x_2 2 2-x-3x2

x2-4 6x-x-2

3 3x2 _X _10 4 6x2y -2y

x2+5x+6 4xy

4.9. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Como se ha indicado previamente, el cálculo con fracciones algebraicas se facilitaal simplificar expresiones algebraicas, y son menores los esfuerzos al resolverecuaciones con fracciones.

49.1. Multiplicación defracciones

Recordemos la forma como multiplicamos la-, fracciones numéricas.

Multiplicar 2/5 por 6/7.


Solución:

(2 6 (2)(6) _ 12

5 A7^ (5)(7) 35

Para multiplicar dos fracciones se obtiene el producto de los numeradores y elproducto de los denominadores.

La aritmética con fracciones numéricas proporciona un modelo para la aritmé-tica con fracciones algebraicas. Se multiplican las fracciones algebraicas exacta-mente en la misma forma.

Definición de producto de fracciones

Dadas dos fracciones algebraicas a/b y c/d, se define su producto

como:bd

donde b#- 0, 0

Para multiplicar expresiones racionales algebraicas se utiliza la propiedad 5 delas fracciones.

Cuando se multiplican dos expresiones racionales, los numeradores y denomi-nadores deben factorizarse completamente antes de aplicar la propiedad de la defi-nición de producto de fracciones; esto facilita la reducción al mínimo de la expre-sión racional que representa el producto.

Ejemplos de 4.9.1

1. Multiplicar y simplificar tanto como sea posible.

( 'xyj 6x3 (-x l 3x+5 1

a) 4wz (5w'y)b) +1 I ^ x_1 Jl

Soluciones:

c)(x+3)(x2x

91

3 2 3

a)6 wZ )62) Definición de multiplicación

4 wz

2

5 y (4 wz ) (5 y)


= 18x4y2Propiedades de los exponentes

20w3yz

La multiplicación está efectuada , pero tal vez la fracción resultante tenga unaforma equivalente más simple . De hecho la tiene , ya que:

18x4y2 (2)(9)x4yy20w3yz (2)(10)w3yz

Propiedad fundamental de las fracciones

9x4y

lOw3Z

b) xJ(3x+5 )- x(3x+5)

x+1 x-1 (x+l)(x-1)

Respuesta en la forma más simple

Definición de multiplicación

= 3x'+ 5xRespuesta en la forma más simple

x

2

-1

También es correcto dejar la respuesta de este problema en forma factorizada:

x(3x+5)

(x + 1)(x -1)

Si se quiere escribir la respuesta en la forma más simple, se pregunta: ¿hayfactores comunes en el numerador y el denominador?

x3 x2-9 _(x3)(x2-9)

cJ x + 3 x (x + 3)(x)

Factorícese tanto como sea posible:

Definición de multiplicación

x 3(X2_9) x 3 (x + 3)(x - 3)

(x + 3)x (x + 3)x

Se simplifican las xy los términos (x+ 3), quedando:

= x2(x - 3) o bien x3 - 3x2 Respuesta en la forma más simple

Este ejemplo sugiere que debería factorizarse tanto como sea posible antes demultiplicar los numeradores y denominadores. De esta manera, es posible descu-brir una forma simple de la respuesta.


4-9.2. División de fracciones

Recordemos que para dividir una fracción numérica entre otra, digamos 3/5 - 8/7,cambiamos el problema de división a un problema de multiplicación (invertir eldivisor y multiplicar), de este modo 3/5 - 8/7 se transforma en 3/5 * 7/8 = 21/40.

La división de fracciones algebraicas se hace exactamente de la misma manera,aplicando la propiedad 6 de las fracciones.

Definición de cociente de fracciones

Dadas dos fracciones algebraicas

b y ddonde c:# 0

su cociente es igual a

a c (a)(dl

b d b c

donde b, d :Pl- 0

Ejemplos de 4-9.2

1. Desarrollar las operaciones indicadas y simplificar tanto como sea posible.

6x2y3 6w3z'a) - -

4wz2 lOxaya

25x2-16y2 x2-4

x2+7x+10 x2 3x-10

2xy-6y2 4xy -12y2

3x3+6x2y x+2y

Soluciones:

6x2y3 2w3z3Se cambia el problema de división a una - --

4wz2 10x4y4 problema de multiplicación, de acuerdocon la definición anterior


6xzy3)iOxay4

U4 ) 2w3Z3

(6x2y3)(10x4y4) 60x6y'

(4wz2)(2w3z3) 8w4z5

(4)(15x6y') -15x6y7

(4)(2w4z5) 2w4z5

25x2-16y2 x2-4

b +3x-10i x2+7x+10 x2

Propiedades de los exponentes y defini-ción de multiplicación


Cambio a un problema de multiplicación

25x z -16yz x z +3x-10Cx2+7x+10 x2-4

(25x2 -16y2)(x2 + 3x -10)

(x2 + 7x + 10)(x2 -4)

(5x - 4y)(5x + 4y)(x + 5)(x - 2)

(x + 5)(x + 2)(x - 2)(x + 2)

_ (5x - 4y)(5x + 4y)

(x+2)(x+2)

Factorizar completamente

Respuesta de la forma más simple

No se necesita multiplicar

c 2xy-6y2 4xy-12y2

% 3x3+6x2y x+2y

2xy - 6yz x + 2y

3x3 +6x2y 4xy -12y2

(2xy - 6y2)(x + 2y)

(3x3 + 6x2y)(4xy -12y2)

Utilizar la propiedad de la definición

Buscar factores comunes

2y(x - 3y)(x + 2y)

3x2 ((x + 2y))(4y)(x - 3y)

6x2 La respuesta hasta la forma más simpleposible


Observar el ejemplo le nuevamente . ¿Cómo puede ayudar la división de frac-ciones algebraicas ? Suponiendo que estas fracciones provienen de la aplicación deun problema real, y también suponiendo que x= 1.5 yy= 2, se tiene la elecciónde: a) poner los valores (le x y y en el primer renglón del ejemplo 1 e y obtener:

2(1.5)(2) - 6(2)2 4(1.5)(2)-12(2)'

3(1.5)3 +6(1.5)2 (2) 1.5+2(2)

(lo cual implica más cálculos), o b) se puede hacer el álgebra primero (como en elejemplo le) y luego sustituir en el resultado obtenido los valores de x y y.-

1 _ 1 _ 1 -- _= 1 = 0.074 con una exactitud de tres decimales6x2 6(1.5)2 6(2.25) 13.5

Es más probable que la aritmética resulte más fácil en el segundo caso, y deesto es lo que trata la simplificación de fracciones algebraicas , de hacer los cálcu-los más fáciles.

Ejercicios de 4—9.2

Multiplicar, dividir y simplificar tanto como sea posible.

1.

2.

3.

2C 3y1 C 310 2J

x-5 1 (4x2 +12x +914x2-9)2x2-11x+`i

Cx2 -6x+91(2x-21

x2-i //II x-3

4.

5.

6.

45a-'b -75a4b

28c4d3 8c2d4

4x2 -9y2 6x2 -xy -12y2xy+y2

xy+x2

x+2 x2 -4

2x-3 2x2 -3x

4.10. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

La suma y la diferencia de expresiones racionales se determinan aplicando la pro-piedad 4 de las fracciones:

a b a+b a b a-b

d d d d d d


Para ello es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador. Si sedesea sumar o restar fracciones que no tengan el mismo denominador, se sustitu-yen por fracciones equivalentes que tengan mínimo común denominador.

El mínimo común denominador (MCDn) de expresiones racionales dadas es elpolinomio de grado mínimo que es múltiplo de cada uno de los denominadores.Para determinar este polinomio, primero se obtiene la forma completamentefactorizada de los denominadores. El MCDn es el producto de los diferentes facto-res primos que hay en alguno de los denominadores, donde la potencia de cadafactor es la potencia más elevada que aparece. Por ejemplo:

Desarrollar las operaciones indicadas.

a) g3

+7g

Soluciones:a) Considérese 3/8 + 7/8. Los denominadores ya están en unidades comunes.

Por lo tanto, se puede simplemente sumar los numeradores:

3 7 3+7 10_5

8+g= 8 = 8 4Respuesta en la forma más simple

b) Considérese 7/12 - 9/20. En este caso, los denominadores no son los mis-mos. Si se quiere volver a definir cada fracción de tal forma que los denomi-nadores estén en unidades comunes, ¿cómo debe encontrarse el MCDn de12 y 20? Tanto 12 como 20 deben dividir a este MCDn exactamente. Por lotanto, todo factor de 12 y 20 debe dividir también al MCDn. Se factoriza 12y 20 para ver cómo se obtiene el MCDn.

12 = 4(3) = (2)(2)(3)20 = 4(5) = (2)(2)(5) Factorizado en factores primos

El MCDn necesitará dos factores iguales a 2, un factor igual a 3 y un factorigual a 5. De este modo, el MCDn es (2)(2)(3)(5) = 60. Luego:

7 9 35 27 8 2

12 20 60 60 60 15Respuesta en la forma más simple

En este caso, el denominador 12 necesitaba un factor 5 para alcanzar elMCDn. El denominador 20 necesitaba un factor 3 para alcanzar el MCDn.


Cuando se determina el MCDn, es útil considerar el procedimiento deredefinición de una fracción como una multiplicación por 1 en una manera conve-niente. Por ejemplo:

2 20 ^^ (() Multiplicar por 1 no cambia nada

7)(5) (9)(3)l12)L5) L20)l3

35 27 8 2

60 60 60 15

Se ha vuelto a escribir el 1 de manera conveniente, utilizando lo que hacía faltapara el MCDn. Esto implica la propiedad fundamental de las fracciones:

7 _ 7 (5)_ (7) (5) 35 9 =( 9 _ (9) (3) 2712 - ^12 5 (12) (5) 60 20 20)(3)3(20) (3) 60

Esto es, se multiplica cada fracción por 1 en la forma de:

factores del MCDn que faltan en el numerador

factores del MCDn faltantes en el denominador

Escribir fracciones con el MCDn implica el inverso de la propiedad fundamen-tal de las fracciones:

a a 1 (a)(c) ac-

b b ()

_-

(b)(c) bc

Se suman (o se restan) fracciones algebraicas, como lo efectuado en el modeloaritmético en el ejemplo 1.

Ejemplo de 4.10

1. Desarrollar las operaciones indicadas.

a)5y+7z b)3x3x 3x x2 2y


Soluciones:

a)sy

+7z_5y+7z

Los denominadores son los mismos así3x 3x 3x

,que se suman los numeradores

3 x


b)x2

2y Primero encontrar el MCDn:2x = x(x)

2y=2(y)

33 2y! x x2

MCDn = 2x2y

x2 2y x2 2y)

6y x3

2yx2 Se multiplica por 1 en una forma conve-

niente para redefinir las fracciones

Ahora las fracciones tienen el mismo2x2y 2x2y denominador

6y-x3 -x3+6ySe restan los numeradores y se obtiene

2x2y 2x2y la respuesta

Los pasos seguidos son exactamente los mismos utilizados cuando se sumanfracciones numéricas.

4.10.1. Procedimiento para sumar (o restar) fracciones

Caso 1: Si las fracciones ya tienen el mismo denominador, sumar (restar) los nu-meradores y escribir la suma (diferencia) sobre el denominador. Luegoreducir la respuesta a la forma más simple:

a c a+c0b+b= b

-,b^

Caso 2: Si las fracciones no tienen el mismo denominador, entonces:

a) Hallar el mínimo común denominador (MCDn)1. Factorizando cada denominador completamente y2. Formando el MCDn.


b) Redefinir cada fracción con el MCDn como denominador, multiplicandopor 1 en una forma conveniente.

ej Los denominadores ahora son los mismos , así que debe procederse como enel caso 1.

a c _ a d c b _ ad cb _ ad + cb

b+d-(b)(d +1d b bd+bd bd bq d0

Ejemplos de 410.1

1. Desarrollar las operaciones indicadas y simplificar tanto como sea posible.

aj 5x + 2

zEstos denominadores son monomios

Y z xz

3 5b)

x+7 x

a b

a-b a+b

Solución:

Algunos de estos denominadores tienenmás de un término

5x 2y 5x (xJ+ 2y y2Hallar el MCDn:

a) z+ 2 2 - = z z y z(y)(.y)(z)y z xz y z x xz y xz2 = (x)(z)(z)

MCDn = xy2z2Se multiplica por 1

5xZz 2y32 2+ 2 2

xy z xy z

5xZz+2y32 2

xy z

Solución:

Los denominadores son iguales

Respuesta

Hallar el MCDn:El único factor x+ 7 es x+ 7 y de xes x, luego el MCDn es x(x + 7)


3x+7(x) x^x+7^

3x 5(x + 7)

x(x+7) x(x+7)

203

Se multiplica por 1 en formaconveniente

Se tienen los mismos denominadores

3x-5(x+ 7)

x(x + 7)

3x-5x-35

x(x+7)Puede simplificarse el numerador

-2x - 35 -35 - 2x

x(x + 7) x(7 + x)Se llega a la respuesta

Solución:

a bc +a-b a+b

= a a+b+

b a-b

a-b a+b a+b a-b

a(a+b) + b(a-b)

(a-b)(a+b) (a+b)(a-b)

a(a + b) + b(a - b)

(a- b)(a+ b)

a2+ab+ab-b2

(a-b)(a+b)

a2 + 2ab- b2

a2 - b2

MCDn = (a- b)(a+ b)

Multiplicar por 1 para redefinir

Se tienen fracciones con los mismosdenominadores

Se multiplica y se suman losnumeradores

Simplificar el numerador hasta dondesea posible

Respuesta


4.11. APLICACIONES

En ciencias sociales, especialmente en administración y economía, frecuentemen-te se encuentran funciones como: costo de producción en función de las unidadesque se fabrican , cantidades demandadas por el mercado con base en los precios,ingresos obtenidos en función de las unidades vendidas , entre otros ejemplos. Enocasiones, estas funciones pueden parecer, a simple vista, complicadas para sugraficación; sin embargo , esta situación se resuelve mediante la factorización y eluso de productos notables.

Los siguientes ejemplo s se refieren a dos funciones , donde Ces el costo deproducción y Q las unidades que se fabrican.

--1 . C(Q)=-8Q

_8Q

Q2-36 (Q+6)(Q-6)

Q+7 Q+7 1

Q'-49 (Q+7)(Q-7) Q-7

Las siguientes funciones representan al ingreso (R) en función de las cantida-des vendidas (Q).

16Q _ 16Q

3. R(Q)=Q (Q+3)(Q+5)

Q+6 Q+6Q2 +2Q-24 (Q+6)(Q-4) Q-4

Los ejemplos planteados se comprenden mejor cuando se trata de encontrar lacontinuidad de la gráfica o de la función.

4.12. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN CON MATHEMATICA

Mathematica ofrece fundamentalmente dos instrucciones que apoyan estas ope-raciones.

Para efectuar un producto de polinomios o expresiones , aun no algebraicas, seutiliza la instrucción Expand/operación deseadaj. En lo que respecta a lafactorización, la instrucc ión Factor[expresiónj realiza la factorización completa yFactorTermslexpresiónj genera los factores comunes. Como ejemplos, véanse imá-genes 4.1 y 4.2.

4. Factorización y fracciones algebraicas

IMAGEN 4.1

F ,dudes notables y iactori2aci6n con Matheinatica.nb

in [401 := Expand[ ( 3x^2-5xy^22]

0ut [4O7= 9x4 - 30 x9 ys + 25 xs y4

In[47]= Expansl[(5y + 4+3x) (5y+4-3x)1

0ut[477= 16 - 9 x= + 40 y + 25 yt

In[483 := Expant( (-2x^3y^2+5t) (2x ^ 37''2+5t)]

out 1493= 25 tE - 4x6y4

In[49]:= Expand[ ( 3x^2 -Sgrt[21) (3x ^ 2+Sgrt[2])]

out[4e3= -2 + 9x4

tn[507:= Expand[(1f2x^2- 3f5Y)^37

x6 9x''y 27 xz y, 27 y,0ut [5O1= - + -

8 20 50 125

In [577:= Expanst [( 2x+3y+4 ) ( 2x+Sy-8)]

0ut[513 -32-8x+4x=4y16xy15 yt

tn (53]:- Expand [ ( 3 x ^ 3 - 54 y ^ 2) ^ 4 ]

out [531= 81 x^2 - 5832 x9 ys + 157464x6 y4 - 1889568 x3 y6 + 8503056

IMAGEN 4.2

Ptothctos nWeWes p tar,(otizaciQ+t con Mathema(ica.t'

In1547: Fat:torienv [1 xSgrt [y] . 14x ^ 2 Sgrt [y] -215grt[y]

u(541= 7 (-3 '/ +x , 2xt

I-.95]:= Factor[ %]

Ou95(= 7 (-1+x) (3+2x) íY

n(567 Factor [ 9 y^4-O1x^2]

ou(6B7- -9 (3x -y`) (3x yt)

In(57(= FaCtOr I -4 y "2 - 144 y " 0 + 48 y" 5)

0497(. -4 yt (-l + 6 yt) t

(<. In96S) Factor 19 y ^ 2 - 30y . 253

5t[SS(- (-5.3y)`

In(591* Factor [6x"4y " 6-9x^2y"3-60]

.,Y ou[e9 (= 3 (-4+xtyt) (5 +2 xt yt)

In(60]:= Factor [0 x^3 - 125 y^ 3]

O 907= (2x-5y) (4xt.lo xy.25yt)

'? In[J 17:• Factor [x^2 _2 xy . Y"2 - z^2]

oupt)' (x -y-z) (x-Y+z)

205


Para simplificar expresiones algebraicas, el paquete brinda las instruccionessiguientes:

SimpliMexpresiónj. Busca una forma simple de expresión , utilizando transfor-maciones algebraicas.

FulíSimplMiexpresión_/ Encuentra la forma más simple de expresión , utilizandoincluso transformaciones no algebraicas.

Together jexpresiónj Coloca todos los términos sobre un común denominador.^lpartfexpresiónj. Separa términos con denominadores simples (véanse imáge-

nes 4 .3 y 4.4).Cancelfexpresiónj Cancela factores comunes entre numeradores y denomi-

nadores.

IMAGEN 4.3

L Proúa s notabtes y laciatízacíím can MatF e*ie&, b'

In 8^= t= (x-1)^2(2x)1«1+x ) (x-3)^2)

(-l+x)t (2+x)I{. aucmel°

(-3+x)t (1+x)

1,1%) Expand[í]

Dame)-2 3x x3

(-3+x)t (1+x) (-3+x)t (1+x) (-3+x )t (1+x)

mpu)= Expand )Il1[t]

2 3x X3

1 Dap2j +9 + 3x-5xt+x3 9 + 3x-5xt .x3 9+3x-5x2+x3

Iq [711:= Togetber[a]

2-3x+x3oapil=

9+3x-5xt+x3

In[72):^ Ñpart[A1]

1 3a[r21- 1.19 1

(-3+x)' 4 (-3+x) 4(1+x)

In174)=Cancel[( 3x^2-Sx - 2)J(x12-4)]

1+3xoapy= -

2+x

1-

1-

1In[5J:= Cancel[( 2-x -3x^ 2) 1 (6x^ 2-x-2)]

'l


IMAGEN 4.4

{ Oun57= 1x

.zx

I )761:• SieplifY [l óx^2Y ^ 4 (4sz^2 )((ZV^3z^3l10x^9Y^41]

15

2tis'xiyz

mp7):' Siij1ify ((( 2xY-6Y " 2) J(3x^3-ix^2Y )) (((4xy - 12Y ^ 2) ((x+2Y)11

{3 x.2yoap7)=

t 6x' (x-2y){

In (7$)= CaxCel [^]

x+zy^:, Ou (¡que

In[70)= Together[(3/x^2)-(x/2Y)]

ou^e)= 6x' Y

2xe

3 In(eq)+ Together [l5x/(y' 2 z1)+ (2Y /(xz^211]

yf+Sx=zou^op

X y'z7

Ejemplos resueltos con Mathematica

IMAGEN 4.5

Ejemplos de la sección 4.1

Factar[x^2+x-6]

(-2 + x) (3 + x)

Facto=[4 x^ 2-9116]

(-3 + 8 x) (3 + 6 x)

16

Eje~ los de la sección 4.2

Expand[ ( 2 a+5 b)^2]

4 a2 + 20 a b + 25 b2

Exgaand[ (t^2+7) (t^2-2)1

-14 + 5 t2 4+ t

Expand[ (3u^3+4v^2) (3u^3-4v^2)]

207

m

9 u6 4- 16 v


IMAGEN 4.6

Ejemplos de la sección 4.3.1

Factor(25x^4-30x^ 3+Sx^2]

5 (1 - 5 x) (1 - x) x2

Factor[12x^ 3-6x^2]

6 x2 (-1 + 2 x)

Factor[38x^ 6-18x^3]

3 36 x (-3+5 x )

IMAGEN 4.7

Ejemplos sección 4.3.1

Factor [~10r^3u ^2t^4-20r ^3w^2t ^3-!Yjr^2z-4t^41

2 2 3 2S r s t (-4 r- 2 r t+ s t)

Factor [x^(2n.)+x^(2n+1)]

- ir,

2 nx (1 + x)


IMAGEN 4.8

Sección 4.3.2

Ejemplo. 1

Factor [x^ 2+6x+9]

2(3 + x)

Factor[x^2-8x+16]

2(-4 + x)

Factor[9n '2-6x+1]

2

Ejemplo 2

Factor [8x^ 6-27y^9]

2 3 4 2 3 6( 2 x - 3 y ) ( 4 x + 6 x y + 9 y)

IMAGEN 4.9

Ejemplos de la sección 4.4

Factor[3x^2+7x-6x y-14y]

(7 + 3 x) (x - 2 y)

Ejemplos 2

Factor [5x z-5y z-x+y]

(-x + y) (1 - 5 z)

Factor[42-6u^3-7v^2+u^3 v^2]

3 2(-7 + u ) (-6 + v


IMAGEN 4.10

Sección 4.5

Ejemglo 1

Factor [16a^2+4Oa+25]

(5 + 4 a)2

Eje~lo 2

Factor[4x^2-12x y+9y^2]

2(-2 x + 3 y)

Factor [6x^2+5xc-6]

(3 + 2 x) (-2 + 3 x)

Factor[6x ^ 2+19x+1O]

(5 + 2 x) (2 + 3 x)

IMAGEN 4.11

Sección 4. 6

La división sólo se efectúa cuando el divisor es un

factor y se realiza a partir de la instruccón Sinfrlify[.]

Ejemplos

Sinsalify[( 2x^3-6x^2-5x-12)/(x-4)]

34-2x-+-2x2

5i.mplify[( x^4-x^3-4x^2+2x+4)/(x-2)]

2 32- 2 x+ x + x

Factor[x^ 3+x^2-4x-4]

(-2 + x) (1 + x) (2 + x)

4 Factorización y fracciones algebraicas 211

IMAGEN 4.12

Sección 4.8

Simpl1 ty[( 6x^2+5x-4) /(4x^2 -4x+1)]

4 + 3 x

1 + 2 x

Si1t 1ity [( 2-9y+4y^2)/(4-y^2)]

1 - 4 y

2 + y

Siii iity[ ( 25-x^2 ) / ( x^2-3x-1O) ]

5 + x

2 + x^

Sección 4.9

Cancel[ (( 3x y^2 ) f{4w z)) {6x^3/(5 r'2 y))]

49 x y

310 w z

IMAGEN 4.13

Ejemplos sección 4.9.2

Cancel[ (( 6x^2 y^3)/(4w z^2 ))/(( 2w^3 z^3)/( lOx^4 y^4))]

6 715 x y

4 52 w z

Cancel[(( 2x y-6y^2)/(3x^3+6x^2 y))/((4x y-12y^2)/( x+2y))]

1

n

Di,

11

26 x


IMAGEN 4.14

Sección 4.10

Para sacar el camón denominador se usa la instrucción

together [.]

Together [( 5y)/(21x) + (7z )/( 3x)]

5 y + 7 z

3 x

Together[3/x^2-x/(2y)]

3x + 6 y

22x y

Together [5x/(y^2z )+ 2y/(x z^2)]

3 22 y + S x z

2 2x y z

Together [3/(x-.7)-5/x]

-35 - 2 x

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Tema 4.2

1. x1-3x-28

2. 12x2 - 28y2

3. 6x2 - (1/6)y2

4. a4+a2- 12

5. 4x2-12xy+9y2

6. x+2(Íx)(: )+Y

7. 2x- 16y4


8. a2+2ab+b2-c2

Tema 43

1. d)x4-2x2+1

2. c) 9x(x- 9y)(-r+ 9y)

3. a)(x+5 )(x2-5x+25)

4. d) Ninguno de los anteriores

5. e) (x2 - -Y 3)(X4 + x2 y3 + y6)

6. d) 2xy(y2 + 4)(y + 2)(y - 2)

7. d) Ninguna de las anteriores

8. c)882 -872=175

Tema 4.5

213

1. a) El primer y tercer términos del trinomio son cuadrados perfectos , es decir,(3x)2 y (4y)2, y 24xy es 2(3x)(4y).

De aquí que se aplique el caso primero del binomio al cuadrado y se obtenga:

9x2 + 24xy + 16y2 = (3x + 4y)2

b) El primer y tercer términos son los mismos que los del inciso a), perodebido a que el término medio del trinomio es -24xy, se considera a 16ycomo (-4y). Del caso primero del binomio al cuadrado:

9x+ 25xy+ 16y= (3x- 4y)


c) Se tiene un polinomio de segundo grado del tipo que se indica en el punto 2del caso sexto del binomio con término común. Mediante aproximaciones su-cesivas se obtiene:

9x2 + 25xy+ 16y2 = (9x+ 16y)(x+y)

d) Una vez más se tiene un trinomio de segundo grado del tipo que se indica enel punto 2 del caso sexto , y nuevamente por aproximaciones sucesivas queda:

9x' - 145xy + 16y2 = (9x - y)(x - l6y)

e) Se tiene un binomio que es la diferencia de dos cuadrados , por lo que seaplica el caso tercero y resulta:

9x2 - l 6y2 = (3x + 4y)(3x - 4y)

f) Este binomio es la suma de dos cuadrados.

Tema 4.8

3x2-5x-2 (3x+1)(x-2) 3x+11.

x2-4 (x-2)(x+2) x+2

2-x-3x2 (1+x)(2-3x) -(1+x)2.

6x2-x-2 (2x+1)(3x-2) 2x+1

donde se utiliza el hecho de que (2 - 3x) = -(3x - 2). Esto explica el signomenos en la respuesta final.

3 3x2-x-10 (x+2)(3x-5)3x-5

x2 +5x+6 (x+2)(x+3) x+3

6x`y -2y _ 2y(3x2 -1) - 3x2 -14. = = - Factorizar y luego utilizar la propiedad

4xy 2y(2x) 2x fundamental de las fracciones

4 Faciorización y fracciones algebraicas 215

Tema 4.9

La multiplicación y división se manejan usando las reglas para cocientes de núme-ros reales y después se simplifica:

4x 3x2y2 _ (22x)(3x2y2)

(3y C 10 (3y)(2 * 5)1.

2x3y((2)(3y))

5((2)(3y))

2x3y

5

2.x-5 4x2+12x+9 x-5 (2x+3)2

4x2-9 2x2-1lx+5 (2x+3)(2x-3) (2x-1)(x-5)

(2x + 3)[(2x + 3)(x - 5)]

(2x - 3)(2x - 1)[(2x + 3)(x - 5)]

_ 2x+3

------------(2x - 3)(2x -1)

íx2-6x+9 2x-2 _ (x-3)2(2(x-1)) 2(x-3)

x2-1 x-3)1 ((x-1)(x+l))(x-3) x+13.

4.4x2 -9y2 6x2-xy -12y2 ((2x- 3y)(2x+3y»( x(y+x)

xy+y2 xy+x2 y(x+y) )^(2x-3y)(3y+4y))

x(2x - 3y)(2x + 3y)(y + x)

y(x + y)(2x - 3y)(3x + 4y)

x(2x + 3y)[(x+ y)(2x - 3y)]

y(3x + 4y)[(x + y)(2x - 3y)]

x(2x + 3y)

y(3x+4y)

2x2 +2xy

4y2 + 3xy


5.28C4 d' 8c d4b -((22)(7a4d3) (3)52a4b)

(2)(32)(5á3b2c2d4)(-1.2)(3)(52)(7a4bC4d3)

_ (2)(3bd(22 * 3 * 5a3bc2d3))------------------(-5)(7ac2(22 * 3 * 5a3bc2d3))

6bd

35ac2

x+2 x2-4 (.x+26.

2x-3 2x2-3x 2x-3

2 -3x) (x + 2)(x(2x - 3)) x

x2 -4 ) (2x - 3)(x + 2)(x - 2) x-2

BIBLIOGRAFÍA

Lovaglia, Florence M., el al, Álgebra, Harla, México, 1994.Swokowski, Earl W., Álgebra universitaria Compañía Editorial Continental,

México, 1971.

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