43

ÁLGEBRA

1. Calcular:

a) 8 b) 4 c) 5! d)2! e) 12

2. Simplificar:

a) b) c) d) e)

3. Simplificar:

a)90 b)150 c)156 d)146 e)140

4. Reducir:

a)255/14 b)200/17 c)250/13 d)255/7 e)55/7

5. Calcular:

a)16 b)12 c)15 d)24 e)32

6. Simplificar:

a)110/120 b)111/121 c)111/120 d)117/120 e)118/124

7. Calcular el valor de: E=

a) 1000 b) 1001 c) 1002 d) 1003 e) 1004

8. Calcular:

a)20 b)40 c)21 d)22 e)280

9. Calcular el valor de:

a)400 b)100 c)45 d)504 e)506

10. Simplificar:

a) b) c) d) e)

11. Simplificar:

a) b) c) d) e) 1

12. ¿Qué valor de “n” verifica: (2n – 4) ! = 1a) 1 b) 2 c) 3 d) 3/2 e) Existen dos

13. Señale falso (F) ó verdadero (V) en: I. –3! = -6 II. (-3)! = 6III. (2!+3!) = 5! IV. 0! = 1a) VVVV b) FFVV c) VFFVd) FFFV e) VFFF

14. Señalar la afirmación verdadera en: a) (m+n)!=m! + n!b) (m.n)! = m! . n!

c)

d) n! = (n -1)! . ne) (m -n)! = m! – n!

15. Señale falso (F) ó verdadero (V) en: I. 5! =120 II. (8)! = 7!.8III. (2!+3!) = 8 IV. 0! = 1!a) VVVV b) FFVV c) VFFV d) FFFV e) VFFF

16. Señalar la afirmación verdadera en: a) (5+3)!=5! + 3! b) (3.2)! = 3! .2!

c) d) n!n! =(n!) 2

e) (6 -3)! = 6! – 3!

17. Reducir:

a) x + 3 b) x2 + 3x c) x2 – 3 xd) x2 +3x+ 2 e) x2 + 3x - 2

18. Si: ; el valor de “n” es:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

19. Al resolver: (x-5)! + (x-4)! = x – 3, la suma de las raíces es: a) 6 b) 8 c) 10 d) 11 e) 12

20. Hallar “n” en la igualdad:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

21. Hallar el valor “n” ,si :

a) 3 b) - 5 c) 4 d) 1 e) 6

22. Hallar el valor de “x” en :

a)2 b)3 c)4 d)5 e)1

23. Hallar la suma de valores de “x” en la ecuación:

a)3/4 b)1 c)7/4 d)1/4 e)1/8

24. Sea la igualdad: (3 + x)! = 120, el valor de “x” es igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

25. Calcular valor de “n” si:

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FACTORIALES

43

ÁLGEBRA

a) 5 b)10 c)15 d)20 e)25

26. Al resolver la ecuación, dar el número de soluciones:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

27. Calcular el valor de “m”,en:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)12

28. Si: ;

Calcular:

a)2 b)3 c)1 d)20 e)4

29. Si: < > [(a!)!]b

¿Qué valor asume “a +b”?

a) 5 b) 3 c) 7 d) 8 e) 4

30. Sabiendo que:

,el valor de “n” es:

a)8 b)6 c)4 d)2 e)1

31. Simplificar:

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8

NM1: PROBLEMAS DE PLANTEO SOBRE ECUACIONES

DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

2) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple

disminuido en 5. ¿Cuál es el número?4) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son

los números?5) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el

doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número.6) La diferencia entre los cuadrados de dos números

consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?7) En el triángulo ABC, los lados y

. Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide

cada lado?8) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro

aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.9) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5

y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho.10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades,

su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?11) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12

años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

12)Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se

casaron hace 10 años y la edad de la novia era de la

edad de la novia. ¿Qué edad tienen actualmente?13)La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4

años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué edad tienen actualmente?

14) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.

15)Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?

16)Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.

17) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?

18) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada material?

19)Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

20)Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres?

21)El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3, la fracción

queda equivalente a . Hallar la fracción.

22)Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.

23)Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.

24)Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.

25)La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números.

26)La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.

27)Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.

28)Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor.

29)Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.

30)La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?

31) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.

32) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12.

33) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al

denominador de la fracción y simultáneamente

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ÁLGEBRA

restarse del numerador y del denominador de para

que las fracciones resultantes sean equivalentes?34) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en

forma de ángulo recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm.

35) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?

36)Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas?

37) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?

38)En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son”

39) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

40) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?

RESPUESTAS

1) 52) P – 33) 174) 25, 27 Y 295) 206) 51 Y 527) AB = 42 m., BC = 14 m y AC = 28 m.8) 10 m9) largo: 43,75 y ancho: 26,2510) 4 unidaes11) 8 y 28 años12) 28 y 34 años13) 14, 12 y 1 año14) Ester: 7 años; Isabel: 16 años; María: 21 años15) Andrés: 36 años; Guido: 9 años; David: 3 años16) 14 y 38 años17) Hace 10 años18) Lápiz: $ 198, cuaderno: $ 305; goma: $ 9519) Hernán: $ 126, Gladys: $ 63; María: $ 4220) 2 horas 13 minutos 20 segundos

21)

22) 51 y 5223) 67, 68 y 6924) 96 y 9825) 31, 33 y 35

26) 27) 28) 29) 30) 11040 gramos31) 30 y 6832) 99 y 8133) 734) 20 cm35) 28 alumnos36) $ 2537) 80 niños38) 4 hombres 16 mujeres39) $ 50; $ 1.250; $ 3.75040) 38 ciruelas.

1. La suma de dos números es 1250 y su diferencia 750. Encuentra los números. R. 1000 y 250.

2. El triplo de la suma de dos números es 1350 y el duplo de su diferencia 700. Encuentra los números. R. 400 y 50.

3. La mitad de la suma de dos números es 850 y el cuádruplo de su diferencia 600. Encuentra los números. R. 625 y 775.

4. Alejandro tiene 32 canicas en sus manos, en la derecha tiene 6 más que en la izquierda. ¿Cuántas canicas tiene en cada mano? R. 19 en la derecha y 13 en la izquierda.

5. La suma de dos números excede en 3 unidades a 97 y su diferencia excede en 7 a 53. Encuentra los números. R. 80 y 20

6. Las edades de un padre y su hijo suman 34 años; si el hijo nació cuando el padre tenía 22 años, ¿cuáles son sus edades actuales? R. 28 y 6

7. 8534 excede en 1400 a la suma de dos números y en 8532 a su diferencia. Encuentra los dos números. R. 3568 y 3566.

8. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Encuentra los números. R. 400 y 50

9. La suma de dos números es 3768 y su cociente 11. Encuentra los números. R. 3454 y 314

10. El duplo de la suma de dos números es 100 y el cuádruplo de su cociente 36. Encuentra los números. R. 45 y 5

11. 800 excede en 60 unidades a la suma de dos números y en 727 a su cociente. Encuentra los números. R. 730 y 10

12. La edad de A es 4 veces la de B y ambas edades suman 45 años. ¿Qué edad tiene cada uno? R. A tiene 36 años y B 9 años.

13. Entre A y B tienen $12,816 y B tiene la tercera parte de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno? R. A tiene $9,612 y B $3,204.

14. ¿Qué número sumado con su duplo da como resultado 261? R. 87 15. ¿Qué número sumado con su triplo resulta 384? R. 96 16. 638 excede en 14 unidades a la suma de un número con su

quíntuplo. ¿Cuál es ese número? R. 104. 17. La edad de Roberto es el cuádruplo de la de Luis; si ambas edades

se suman y se le añaden 17 años, el resultado es 42 años. Encuentra las edades. R. Luis tiene 5 años y Roberto 20 años.

18. ¿Qué número sumado con su duplo da como resultado 90? R. 30 19. Dos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre sí 840 km,

para encontrarse. El de A va a 50 km/h y el de B a 70 km/h. Si salieron a las 6 a.m., ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y de B? R. A la 1 p.m.; a 350 km de A y 490 km de B.

20. A las 6 a.m., sale un auto de A a 60 km/h y va al encuentro de otro que sale de B a 80 km/h, a la misma hora. Sabiendo que se encuentran a las 11 a.m., ¿cuál es la distancia entre A y B? R. 700 km.

21. La diferencia de dos números es 150 y su cociente 4. Encuentra los números. R. 200 y 50

22. El cociente de dos números es 12 y su diferencia 8965. Encuentra los números. R. 9780 y 815

23. La mitad de la diferencia de dos números es 60 y el duplo de su cociente es 10. Encuentra los números. R. 150 y 30.

24. La diferencia de dos números excede en 15 a 125 y su cociente es tres unidades menor que 11. Encuentra los números. R. 160 y 20

25. 2000 excede en 788 a la diferencia de dos números y en 1995 a su cociente. Encuentra los números. R. 1010 y 202

26. Hoy la edad de A es cuatro veces la de B, y cuando B nació A tenía 12 años. ¿Cuáles son las edades actuales? R. 16 y 4

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ÁLGEBRA

27. Dos móviles parten de M y N distantes entre sí 99 km y van al encuentro. El de M sale a las 6 am a 6 km/h y el de N a las 9 am a 3 km/h. Sabiendo que el de M descansa de 12 a 3 pm y a las 3 emprende de nuevo su marcha a la misma velocidad anterior, ¿a qué hora se encontrará con el de N que no varió su velocidad desde que salió y a qué distancia de M y N ? R. A las 8 pm; a 66 km de M y 33 km de N.

28. Dos autos salen a la misma hora de dos ciudades A y B distantes 320 km y van al encuentro. Se encuentran a la 1 pm en un punto que dista 120 km de A. ¿A qué hora salieron sabiendo que el de A iba a 30 km/h y el de B a 50 km/h? R. 9 am.

29. Dos móviles salen de dos puntos A y B que distan 236 km y van al encuentro. Si el de A sale a las 5 am a 9 km/h y el de B a las 9 am a 11 km/h, ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y de B ? R. A las 7 pm; a 126 km de A y 110 km de B.

30. Un corredor le concede a otro una ventaja de 10 metros. Si la velocidad del que tiene ventaja es de 6 m por seg. y la del otro 8 m por seg., ¿en cuánto tiempo alcanzará al primero? R. 5 seg.

31. Un auto sale de A hacia la derecha a 90 km/h a las 12 del día y en el mismo instante sale otro de B hacia la derecha a 75 km/h (B está a la derecha de A ). A alcanza a B a las 7 p.m. ¿Cuál es la distancia entre A y B ? R. 105 km.

32. Dos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre sí 100 km, ambos hacia el este (B está más al este que A ). B sale a las 6 a.m. a 60 km por hora y A sale a las 8 a.m. a 80 km/h. ¿A qué hora se encontrarán sabiendo que se han detenido, el que salió de B de 12 a 1 y el que salió de A de 12 a 2 para almorzar, reanudando después su marcha a las mismas velocidades anteriores? R. 12 p.m.

33. Dos correos salen de dos ciudades M y N (N está al oeste de M ) distantes entre sí 8 km y van ambos hacia el este. El de M sale a las 6 a.m. y anda 1 km/h y el de N sale a las 8 am y anda 3 km/h. ¿A qué hora se encontrarán y a que distancia de M y N ? R. 1 pm; a 7 km de M y 15 km de N.

34. En un colegio hay tres aulas. La 1ª y la 2ª juntas tienen 85 alumnos; la 2ª y la 3ª 75 alumnos; la 1ª y la 3ª 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada clase? R. 1ª, 45; 2ª, 40; 3ª, 35.

35. Las edades de Pedro y Juan suman 9 años; las de Juan y Enrique 13 años y las de Pedro y Enrique 12 años. Encuentra las tres edades. R. Pedro 4 años; Juan 5 y Enrique 8.

36. El lunes perdí 40 dólares, el martes gané 125, el miércoles gané el doble de lo que tenía el martes y para el jueves, después de perder la mitad de lo que tenía, me quedan 465 dólares. ¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar? R. 225 dólares.

37. ¿Con qué número sumado con 14, multiplicando esta suma por 11, dividiendo el producto entre 44 y restando 31 de este cociente se obtiene 1474? R. 6006.

38. Contaba con cierta cantidad de dinero de la que pagué una deuda de 86 dólares, pero recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté 20 dólares a un amigo. Si ahora tengo 232 dólares, ¿cuánto tenía al principio? R. 212 dólares.

39. ¿Con cuál número multiplicado por 5, añadiéndole 6 al producto y dividiendo esta suma entre 2 se obtiene 23? R. 8.

40. Si a un número le añado 23, resto 41 de la suma y multiplico la diferencia por 2, obtengo 132. ¿Cuál es el número? R. 84.

41. Un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacío y cerrado su desagüe. ¿En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo tres llaves que vierten; la 1ª, 36 litros en 3 minutos; la 2ª, 48 litros en 6 minutos y la 3ª, 15 litros en 3 minutos? R. 12 minutos.

42. Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1°, 50 litros en 5 minutos; el 2°, 91 litros en 7 minutos y el 3°, 108 litros en 12 minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60 litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vacío el estanque y abiertos los desagües, se abren las tres llaves al mismo tiempo y necesita 40 minutos para llenarse, ¿cuál es su capacidad? R. 560 litros.

43. Un estanque tiene agua hasta su tercera parte; si se abriera una llave que vierte 119 litros en 7 minutos y un desagüe por el que salen 280 litros en 8 minutos, el depósito se vaciaría en 53 minutos. ¿Cuál es la capacidad del estanque? R. 2,862 litros. 44. Si en un estanque vacío cuya capacidad es de 3600 litros se

abrieran al mismo tiempo tres llaves y un desagüe, el estanque se llenaría en 15 minutos. Por el desagüe salen 240 litros en 4 minutos.

Si el estanque tiene 600 litros de agua y el desagüe está cerrado, ¿en cuánto tiempo lo llenarán las tres llaves? R. 10 minutos.

45. Un estanque se puede llenar por dos llaves, una de las cuales vierte 200 litros en 5 minutos y la otra 150 litros en 6 minutos. El estanque tiene un desagüe por el que salen 8 litros en 4 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío, se abren al mismo tiempo las dos llaves y el desagüe, sabiendo que su capacidad es de 441 litros? R. 7 minutos.

46. Un depósito tiene tres llaves que vierten: la primera, 68 litros en 4 minutos; la segunda, 108 litros en 6 minutos y la tercera, 248 litros en 8 minutos y un desagüe por el que salen 55 litros en 5 minutos. Si el desagüe está cerrado y se abren las tres llaves al mismo tiempo, el depósito se llena en 53 minutos. ¿En cuánto tiempo puede vaciar el desagüe estando lleno y cerradas las llaves? R. 5 horas, 18 minutos.

47. Un lavabo tiene una llave que vierte 24 litros en 4 minutos y un desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si estando vacío el lavabo y abierto el desagüe se abre la llave, ¿en cuánto tiempo se llenará el lavabo si su capacidad es de 84 litros? R. 21 minutos.

48. Compré 500 sombreros a 6 dólares cada uno. Vendí cierto número en $500, a 5 dólares cada uno. ¿A cómo tengo que vender el resto para no perder? R. 6.25 dólares.

49. Compré 80 libros por 5,600 dólares. Vendí una parte en $5,400, a $90 cada uno. ¿Cuántos libros me quedan y cuánto gané en cada uno de los que vendí? R. Quedan 20 libros y la ganancia es de $20.

50. Un comerciante compró 20 trajes. Vendió 5 a 75 dólares, 6 a 60, 7 a 45 y el resto a 70, obteniendo así una utilidad de 390 dólares. ¿Cuál fue el costo de cada traje? R. 40 dólares.

51. En un teatro las entradas para adulto costaban 9 dólares y para niños de $3. Concurrieron 752 espectadores y se recaudaron 5,472 dólares. ¿Cuántos espectadores eran adultos y cuántos niños? R. 536 adultos y 216 niños.

52. Un comerciante pagó 45,900 dólares por 128 trajes de lana y de gabardina. Por cada traje de lana pagó $300 y por cada traje de gabardina $400. ¿Cuántos trajes de cada clase compró? R. 53 de lana y 75 de gabardina.

53. Cada día que un alumno aprende sus lecciones, el profesor le da 5 vales, y cada día que no las sabe el alumno, tiene que darle al profesor 3 vales. Al cabo de 18 días el alumno ha recibido 34 vales. ¿Cuántos días supo sus lecciones el alumno y cuántos no las supo? R. Las supo 11 días, no las supo 7 días.

54. Un capataz contrata a un obrero, ofreciéndole $12 por cada día que trabaje pero con la condición de que, por cada día que el obrero, por su voluntad, deje de ir al trabajo, tendrá que pagarle al capataz $4. Al cabo de 18 días el obrero le debe al capataz $24. ¿Cuántos días ha trabajado y cuántos días ha dejado el obrero de ir al trabajo? R. Trabajó 3 días, dejó de ir 15 días.

55. Para tener $12.30 en 150 monedas que son de a cinco y diez centavos, ¿cuántas deben ser de a cinco y cuántas de a diez? R. 54 de a cinco, 98 de a diez.

56. ¿Por qué número se multiplica 815 cuando se convierte en 61,125? R. Por 72.

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