Factorial !Lafuncin factorial(smbolo:!) slo quiere decir que se multiplican una serie de nmeros que descienden. Ejemplos: 4! = 4 3 2 1 = 24 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". Tambin se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anteriorEs fcil calcular un factorial desde el valor anterior:nn!

1111

22 1= 2 1!= 2

33 2 1= 3 2!= 6

44 3 2 1= 4 3!= 24

55 4 3 2 1= 5 4!= 120

6etcetc

Ejemplo: Cunto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?10! = 10 9!10! = 10 362.880 =3.628.800As que la regla es:n! = n (n-1)!lo que significa "el factorial de cualquier nmero es:el nmero por el factorial de (1 menos que el nmero", por tanto 10! = 10 9!, o incluso 125! = 125 124!Qu pasa con "0!"El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que0! = 1.Parece raro que no multiplicar ningn nmero d 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.Dnde se usa el factorial?Los factoriales se usan en muchas reas de las matemticas, pero sobre todo encombinaciones y permutacionesUna pequea listann!

01

11

22

36

424

5120

6720

75.040

840.320

9362.880

103.628.800

1139.916.800

12479.001.600

136.227.020.800

1487.178.291.200

151.307.674.368.000

1620.922.789.888.000

17355.687.428.096.000

186.402.373.705.728.000

19121.645.100.408.832.000

202.432.902.008.176.640.000

2151.090.942.171.709.400.000

221.124.000.727.777.610.000.000

2325.852.016.738.885.000.000.000

24620.448.401.733.239.000.000.000

2515.511.210.043.331.000.000.000.000

Como ves, crecen muy rpido!Algunas valores muy grandes70!es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10100, que es un poco ms grande que un Ggol (un 1 seguido de 100 ceros).100!es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10157200!es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10374Y los decimales?Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?S que puedes!Pero tienes que usar algo que se llama "funcin Gamma", y que es mucho ms complicado que lo que tratamos aqu.Factorial de un medioLo que s te puedo decir es que el factorial deun medio() esla mitad de la raz cuadrada depi= (), y que los factoriales de algunos "semienteros" son:nn!

(-)!

()!()

(3/2)!(3/4)

(5/2)!(15/8)

Y todava complen la regla deque "el factorial de un nmero es:el nmero por el factorial de (1 menos que el nmero)", por ejemplo(3/2)! = (3/2) (1/2)!(5/2)! = (5/2) (3/2)!Puedes averiguar cunto es (7/2)!?Combinaciones y permutacionesQu diferencia hay?Normalmente usamos la palabra "combinacin" descuidadamente, sin pensar en si elordende las cosas es importante. En otras palabras:"Mi ensalada de frutas es una combinacin de manzanas, uvas y bananas": no importa en qu orden pusimos las frutas, podra ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinacin de la cerradura es 472": ahorasimporta el orden. "724" no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente4-7-2.

As que en matemticas usamos un lenguaje mspreciso:Si el orden no importa, es unacombinacin.

Si el ordensimporta es unapermutacin.

As que lo de arriba se podra llamar "cerradura de permutacin"!

Con otras palabras:Una permutacin es una combinacinordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutacin...Posicin"

PermutacionesHay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podra ser "333". Sin repeticin: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primeroysegundo a la vez.1. Permutaciones con repeticinSon las ms fciles de calcular. Si tienesncosas para elegir y eligesrde ellas, las permutaciones posibles son:n n ... (r veces) = nr(Porque haynposibilidades para la primera eleccin, DESPUS haynposibilidades para la segunda eleccin, y as.)Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 nmeros para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:10 10 ... (3 veces) = 103= 1000 permutacionesAs que la frmula es simplemente:nr

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repeticinEn este caso, sereduceel nmero de opciones en cada paso.Por ejemplo, cmo podras ordenar 16 bolas de billar?Despus de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

As que tu primera eleccin tiene 16 posibilidades, y tu siguiente eleccin tiene 15 posibilidades, despus 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sera:16 15 14 13 ... = 20,922,789,888,000Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, slo 3 de ellas, as que sera solamente:16 15 14 = 3360Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.Pero cmo lo escribimos matemticamente? Respuesta: usamos la "funcin factorial"Lafuncin factorial(smbolo:!) significa que se multiplican nmeros descendentes. Ejemplos: 4! = 4 3 2 1 = 24 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 1! = 1

Nota: en general se est de acuerdo en que0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningn nmero d 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

As que si quieres elegirtodaslas bolas de billar las permutaciones seran:16! = 20,922,789,888,000Pero si slo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar despus de 14. Cmo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...16 15 14 13 12 ...= 16 15 14 = 3360

13 12 ...

Lo ves?16! / 13! = 16 15 14La frmula se escribe:

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sera:16!=16!=20,922,789,888,000= 3360

(16-3)!13!6,227,020,800

De cuntas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?10!=10!=3,628,800= 90

(10-2)!8!40,320

(que es lo mismo que:10 9 = 90)NotacinEn lugar de escribir toda la frmula, la gente usa otras notaciones como:

CombinacionesTambin hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el ordennoimporta): Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) Sin repeticin: como nmeros de lotera (2,14,15,27,30,33)1. Combinaciones con repeticinEn realidad son las ms difciles de explicar, as que las dejamos para luego.2. Combinaciones sin repeticinAs funciona la lotera. Los nmeros se eligen de uno en uno, y si tienes los nmeros de la suerte (da igual el orden) entonces has ganado!La manera ms fcil de explicarlo es: imaginemos que el orden s importa (permutaciones), despus lo cambiamos para que el ordennoimporte.Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qu 3 bolas se eligieron, no el orden.Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:El orden importaEl orden no importa

1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 11 2 3

As que las permutaciones son 6 veces ms posibilidades.De hecho hay una manera fcil de saber de cuntas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:3!= 3 2 1 = 6(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de4!= 4 3 2 1 = 24maneras distintas, prueba t mismo!)As que slo tenemos que ajustar nuestra frmula de permutaciones parareducirpor las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta frmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes parntesis, as:

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".NotacinAdems de los "grandes parntesis", la gente tambin usa estas notaciones:

EjemploEntonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:16!=16!=20,922,789,888,000= 560

3!(16-3)!3!13!66,227,020,800

O lo puedes hacer as:161514=3360= 560

3216

As que recuerda, haz las permutaciones, despus reduce entre "r!"... o mejor todava...Recuerda la frmula!Es interesante darse cuenta de que la frmula es bonita ysimtrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.16!=16!=16!= 560

3!(16-3)!13!(16-13)!3!13!

Tringulo de PascalPuedes usar eltringulo de Pascalpara calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aqu tienes un trozo de la fila 16:1 14 91 364 ...1 15 105 455 1365 ...1 16 120 560 1820 4368 ...1. Combinaciones con repeticinOK, ahora vamos con este...Digamos que tenemos cinco sabores de helado:banana, chocolate, limn, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. Cuntas variaciones hay?Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son {c, c, c} (3 de chocolate) {b, l, v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla) {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hayn=5cosas para elegir, y eligesr=3de ellas.El orden no importa, yspuedes repetir!)Bien, no puedo decirte directamente cmo se calcula, pero te voy a ensear unatcnica especialpara que lo averiges t mismo.Imagina que el helado est en contenedores, podras decir "sltate el primero, despus 3 paladas, despus sltate los 3 contenedores siguientes" y acabars con 3 paladas de chocolate!

Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrs lo que quieres.

Ahora puedes escribirlo como(la flecha es saltar, el crculo es tomar)Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir as:{c, c, c} (3 de chocolate):

{b, l, v} (uno de banana, uno de limn y uno de vainilla):

{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problemams simplepara resolver: "de cuntas maneras puedes ordenar flechas y crculos"Fjate en que siempre hay 3 crculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1 al 5).As que (en general) hayr + (n-1)posiciones, y queremos querde ellas tengan crculos.Esto es como decir "tenemosr + (n-1)bolas de billar y queremos elegirrde ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con nmeros un poco distintos. Lo podras escribir as:

dondenes el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas(Se puede repetir, el orden no importa)

Es interesante pensar que podramos habernos fijado en flechas en vez de crculos, y entonces habramos dicho "tenemosr + (n-1)posiciones y queremos que(n-1)tengan flechas", y la respuesta sera la misma...

Qu pasa con nuestro ejemplo, cul es la respuesta?(5+3-1)!=7!=5040= 35

3!(5-1)!3!4!624

En conclusinUau, es un montn de cosas que absorber, quizs tendras que leerlo otra vez para entenderlo todo bien!Pero sabercmofuncionan estas frmulas es slo la mitad del trabajo. Averiguar cmo se interpreta una situacin real puede ser bastante complicado.Por lo menos ahora sabes cmo se calculan las 4 variantes de "el orden s/no importa" y "s/no se puede repetir".Factorial

01

11

22

36

424

5120

6720

75.040

840.320

9362.880

103.628.800

151.307.674.368.000

202.432.902.008.176.640.000

2515.511.210.043.330.985.984.000.000

5030.414.093.201.713.378.043 1045

701,19785717... 10100

4501,73336873... 101.000

3.2496,41233768... 1010.000

25.2061,205703438... 10100.000

100.0002,8242294079... 10456.573

Elfactorialde unentero positivon, elfactorial denonfactorialse define en principio como elproductode todos los nmeros enteros positivos desde 1 (es decir, losnmeros naturales) hastan. Por ejemplo,

La operacin de factorial aparece en muchas reas de las matemticas, particularmente encombinatoriayanlisis matemtico. De manera fundamental, el factorial denrepresenta el nmero de formas distintas de ordenarnobjetos distintos (elementos sin repeticin). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiososhindes. La notacin actualn! fue usada por primera vez porChristian Krampen 1803.La definicin de la funcin factorial tambin se puede extender a nmeros no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemticas avanzadas, particularmente delanlisis matemtico.ndice[ocultar] 1Definicin 1.1Cero factorial 2Aplicaciones 3Productos similares 3.1Primorial 3.2Doble factorial 4Implementacin en lenguajes de programacin 5Referencias y citas 6Vase tambin 7Enlaces externosDefinicin[editar]La funcin factorial es formalmente definida mediante elproducto.La multiplicacin anterior se puede simbolizar tambin utilizando el operadorproductorio:.Tambin es posible definirlo mediante larelacin de recurrencia

En esta segunda definicin el dominio de la funcin es el conjunto de los enteros no negativos 0y el codominio es el conjunto de los enteros positivos +.1En este caso hay unasucesin recurrente, el clculo sucesivo de sus elementos se llamaproceso recurrentey la igualdadn! = (n- 1)!nse nombraecuacin recurrente.2Todas las definiciones anteriores incorporan la premisa de que

Cero factorial[editar]La definicin indicada de factorial es vlida para nmeros positivos. Es posible extender la definicin a otros contextos introduciendo conceptos ms sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier nmero real excepto para los nmeros enteros negativos y para cualquier nmero complejo exceptuando de nuevo los nmeros enteros negativos.Una extensin comn, sin embargo, es la definicin de factorial de cero. De acuerdo con la convencin matemtica deproducto vaco, el valor de 0! debe definirse como:

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la eleccin, como sigue: Para cada nmero entero positivonmayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:

vlida para todo nmero mayor o igual que 1.As, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que:

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en quen!=1 tendramos que 0! corresponde a:

Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es ms que un argumento informal y que la razn real por la cual se toma la convencin de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convencin deproducto vacousada en muchas otras ramas de las matemticas.Aplicaciones[editar]Los factoriales se usan mucho en la rama de lamatemticallamadacombinatoria, a travs delbinomio de Newton, que da loscoeficientesde la forma desarrollada de (a+b)n:

donderepresenta uncoeficiente binomial:

De igual forma se puede encontrar en la derivacin por la regla del producto para derivadas de orden superior de manera similar que el binomio de newton:

Dondef(n)es la derivada ensima de la funcion f.Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el clculo de lasprobabilidades. Intervienen tambin en el mbito delanlisis, en particular a travs del desarrollo polinomial de las funciones (frmula de Taylor). Se generalizan a losrealescon lafuncin gamma, de gran importancia en lateora de nmeros.Para valores grandes den, existe una expresin aproximada para el factorial den, dado por lafrmula de Stirling:

La ventaja de esta frmula es que no precisa induccin y, por lo tanto, permite evaluarn!ms rpidamente cuando mayor sean.El factorial denes generalizado para cualquier nmero realnpor lafuncin gammade manera que

slo paran> 0. Se puede generalizar an ms, para todo nmero complejozque no sea igual a un entero no positivo, mediante la siguiente definicin:

Productos similares[editar]Primorial[editar]Elprimorial(sucesinA002110enOEIS) se define de forma similar al factorial, pero slo se toma el producto de losnmeros primosmenores o iguales quen.Doble factorial[editar]Se define el doble factorial denmediante larelacin de recurrencia:

Por ejemplo:

La sucesin de dobles factoriales (sucesinA006882enOEIS) para:

empieza as:

Factorial de un nmero Categora:1 BachilleratoPublicado el Viernes, 27 Abril 2012 01:56Escrito por Mariano Herrero

Se definefactorial de un nmero natural(entero positivo)n y se escriben! como el producto de losn primeros nmeros naturales.

n!= 123456(n 1)n1!= 10!= 1 (por convencin)

Pongamos algunos ejemplos:

3! = 123 = 65! = 12345 = 1207! = 1234567 = 504011! = 1234567891011 = 3991680013! = 12345678910111213 = 622702080021! = 5109094217170944000029! = 8841761993739701954543616000000

El factorial de un nmero crece rpidamente a medida que crecen, de tal forma que:El clculo de 14! = 87178291200, tiene 11 cifras ( las calculadoras cientficas normales slo pueden visualizar 10), y por considerarlo nmero grande, lo pasan a notacin cientfica : 14! = 8,717829121010.69! = 1,7112245231098.70! = E => la calculadora no puede visualizar por ser un nmero demasiado grande.70! = 1,197857166996989179607278372168910100999! = 4,023872600770937735437024339231025649999! = 2,84625968091705451890641321211991035655

Propiedad:n! = n(n 1)!

Hemos visto que 5! = 120, lo que significa que todos los nmeros factoriales mayores que 5 terminan en CERO (pues todos son mltiplos de 120). El factorial tiene muchas aplicacionessobre todo en combinatoria, binomio de Newton y funcin gamma.De cuntas formas distintas se pueden sentar 5 personas en un banco?

Sencillamente son las permutaciones de 5 elementos tomados de 5 en 5, y ese nmero es el factorial de 5 => 5! = 2345 = 120Semifactorial de un nmeroSe escriben!! y queda definido:

1 si n = 0 o n = 1 246810....(n 4)(n 2)n si n es par 13579....(n 4)(n 2)n si n es impar

La hoja de clculo de Microsoft le llamadoble factorial

Algunos ejemplos:

8!! = 246810 = 384013!! = 135791113 = 135135Relacin entre factorial y semifactorial de un nmero

n! = n!!(n 1)!! pues sines par => n!! son los pares alternos y (n 1)!! son los impares alternos sines impar => n!! son los impares alternos y (n 1)!! son los pares alternos

(2n)!! = 2nn!

Demostracin: (2n)!! = 2n(2n 2)(2n 4)... 642 por la definicin y sacando el2factor comn en cada uno de losn factores queda: 2n[n(n 1)(n 2)... 321] = 2nn!Ecuacin de segundo grado: discusin de las races Categora:1 BachilleratoPublicado el Mircoles, 15 Febrero 2012 01:29Escrito por Mariano Herrero

Lafrmula de la ecuacin de segundo grado tiene una raz cuadrada, por lo que la naturaleza de las races viene determinada por el radicandob2 4ac, que se se llama discriminante.A qu llamamos Discriminante de un polinomioEs una condicin que han de satisfacer los coeficientes de un polinomio, para que ste tenga races mltiples. As el discriminante del polinomio cuadrtico ax2+ bx + c (ecuacin de segundo grado ax2+ bx + c = 0) se simboliza por la letra griega delta, y vale = b2 4ac.Segn el valor deldicriminante = b2 4ac sea mayor, igual o menor que cero se verifica:

- Si = b2 4ac > 0 entonces hay dos races reales distintas. - Si = b2 4ac = 0 entonces hay una raz doble (dos races reales iguales). - Si = b2 4ac < 0 entonces no hay races reales (dos races imaginarias conjugadas).

Ejemplo 1: Dada la ecuacin 2x23x + k + 2 = 0, determina el valor dek para que las races (soluciones) sean iguales.

Tenemos a = 2; b = 3; c = k + 2;

Para que las soluciones sean iguales el discriminante ha de ser CERO: = b2 4ac = 0, sustituyendo los valores => = (3)2 42(k + 2) = 0 => 9 8(k + 2) = 0 => 9 8k 16 = 0 => 8k 7 = 0 => 8k = 7 => k = 7/8Sik= 7/8 las dos races son iguales (una raz doble).

Ejemplo 2: Dada la ecuacin 4x2 kx + 2k 7 = 0, estudiar sus soluciones segn los valores dek

Tenemos a = 4; b = k; c = 2k 7.

Para ello, hallamos el discriminante = b2 4ac = ( k)2 44(2k 7) = k2 16(2k 7) = k2 32k + 112

Estediscriminantea su vez es una ecuacin de segundo grado enk; debemos encontrar los valores dekque la hacen menor, igual o mayor que CERO.

Se hallan resolviendo la ecuacin de segundo grado: k2 32k + 112 = 0, => los coeficientes son a = 1; b = 32; c = 112

Puesto que el coeficienteb es par y un nmero no pequeo utilizamos lafrmula mitad:b= 32/2 = 16:

Por tanto la descomposicin factorial es: k2 32k + 112 = (k 4)(k 28)

Si ponemos las races entre ( , ) en orden creciente 4 28 obtenemos los intervalos ( , 4), (4, 28) y (28, )

Dando un valor cualquiera ak dentro de cada intervalo en la ecuacin k2 32k + 112 = (k 4)(k 28) obtenemos un valor positivo o negativo en ese intervalo, que nos determina la naturaleza de las races.

En el intervalo ( , 4) damos el valork= 0 => k2 32k + 112 = 112 > 0 (positivo)En (4, 28) damos el valork= 10 => k2 32k + 112 = 100 320 + 112 = 108 < 0 (negativo)En (28, ) hacemosk= 30 => 900 960 + 112 = 52 > 0 (positivo)

Por tanto sik ( , 4) ok (28, ) =>= b2 4ac > 0 => Dos soluciones reales distintasSik= 4 k= 28 =>= 0 => Dos races reales iguales (una raz real doble).Sik (4, 28) => el discriminante< 0 => No hay soluciones reales (hay dos soluciones imaginarias conjugadas).EstadsticaBienvenidos..!! Este blog esta hecho para la mejor comprension sobre la estadstica aplicada, espero que les sirva esta informacion.martes, 21 de septiembre de 2010COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

CombinacinSon eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten aunque con distinto orden

Una combinacines una seleccin deobjetos sin importar el orden en que se escojan:

PermutacinSon eventos de tipo multiplicativo, donde el nmero de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutacin es un arreglo de un conjunto deobjetos en un orden definido. El nmero de permutaciones diferentes de estosobjetos es; esto se v fcilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de loselementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con losrestantes como segunda opcin, y as hasta llegar a la ltima eleccin, conformando el producto.El nmero de permutaciones posibles al tomarobjetos del conjunto deelementos ser, siguiendo el mismo razonamiento.

PERMUTACIONES SIN REPETICIN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ

Ejemplo:De cuntas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabraIMPUREZA?Solucin: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, as sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:87654321= 40320PERMUTACIONES CIRCULARESAhora estudiaremos algunos ejemplos de arreglos circulares, sabemos que si queremos sentar a cuatro personas una al lado de la otra en fila, el nmero de arreglos que podemos hacer es 4!; ahora bien, si las queremos sentar al rededor de una mesa circular, de cuntas formas lo podemos hacer?Observemos los siguientes arreglos:

Por cada una de las permutaciones o arreglos circulares tenemos 4 de ellos diferentes en fila; esto es, el arreglo circular 1 puede leerse en sentido contrario a las agujas del reloj de las siguientes formas: ABCD, BCDA, CDAB, y DABC, que son 4 arreglos diferentes si fueran en filas; pero es un solo arreglo circular. Entonces, en lugar de tener 4!que es el nmero de arreglos en fila, tenemos solamente.PERMUTACIONES SIN REPETICINEjemplo 7: De cuntas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un saln de clases con 25 pupitres?Solucin:El primer estudiante puede elegir entre 25 lugares, el segundo tendr 24 lugares a escoger, el tercero 23, as sucesivamente; por lo tanto el nmero de arreglos sin repeticin de 25 elementos tomados de 6 en 6 es:

Esto se simboliza por=

PERMUTACIONES CON REPETICINVeamos otra aplicacin del principio de la multiplicacin. Supongamos que tenemos 20 nios de un grupo de Preescolar y 10 sabores de helados disponibles. De cuntas formas diferentes podemos servir un helado a 20 nios?Al primer nio le podemos servir uno de los 10 sabores, al segundo nio tambin le podemos servir los 10 sabores, al tercero tambin, y as sucesivamente. A cada uno de los 20 nios le podemos servir de los 10 sabores, por lo que= nrObserve queres el nmero de veces que se repiten losnelementos.RESUMEN DE LAS PERMUTACIONESDESCRIPCINFRMULA

Permutaciones sin repeticin de n elementos tomados todos a la vez

Permutaciones circulares de n elementos!

Permutaciones sin repeticin de n elementos tomados de r en r, donde rn

Permutaciones con repeticin de n elementos tomados de r en r

Permutaciones de n elementos de los cuales p1son de un tipo, p2son de otro tipo,, pkde otro tipo, donde p1+p2++pk=n.

ExperienciaCalcular la muestra correctaEl clculo del tamao de la muestra es uno de los aspectos a concretar en las fases previas de la investigacin comercial y determina el grado de credibilidad que concederemos a los resultados obtenidos.Una frmula muy extendida que orienta sobre el clculo del tamao de la muestra para datos globales es la siguiente:

N:es el tamao de la poblacin o universo (nmero total de posibles encuestados).k:es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos. El nivel de confianza indica la probabilidad de que los resultados de nuestra investigacin sean ciertos: un 95,5 % de confianza es lo mismo que decir que nos podemos equivocar con una probabilidad del 4,5%.Los valores k ms utilizados y sus niveles de confianza son:La extensin del uso de Internet y la comodidad que proporciona, tanto para el encuestador como para el encuestado, hacen que este mtodo sea muy atractivo.K1,151,281,441,651,9622,58

Nivel de confianza75%80%85%90%95%95,5%99%

e:es el error muestral deseado. El error muestral es la diferencia que puede haber entre el resultado que obtenemos preguntando a una muestra de la poblacin y el que obtendramos si preguntramos al total de ella. Ejemplos: Ejemplo 1:si los resultados de una encuesta dicen que 100 personas compraran un producto y tenemos un error muestral del 5% comprarn entre 95 y 105 personas. Ejemplo 2:si hacemos una encuesta de satisfaccin a los empleados con un error muestral del 3% y el 60% de los encuestados se muestran satisfechos significa que entre el 57% y el 63% (60% +/- 3%) del total de los empleados de la empresa lo estarn. Ejemplo 3:si los resultados de una encuesta electoral indicaran que un partido iba a obtener el 55% de los votos y el error estimado fuera del 3%, se estima que el porcentaje real de votos estar en el intervalo 52-58% (55% +/- 3%).p:es la proporcin de individuos que poseen en la poblacin la caracterstica de estudio. Este dato es generalmente desconocido y se suele suponer que p=q=0.5 que es la opcin ms segura.q:es la proporcin de individuos que no poseen esa caracterstica, es decir, es 1-p.n:es el tamao de la muestra (nmero de encuestas que vamos a hacer).A continuacin le facilitamos gratuitamente una aplicacin para calcular el tamao muestral. Introduzca los datos correspondientes a su investigacin y pulse en "Calcular muestra":Principio del formularioN:k:e:%p:q:Calcular muestran:es el tamao de la muestraFinal del formularioVarios ejemplos: Ejemplo 1: para realizar una encuesta de satisfaccin a clientes de un determinado modelo de coche del que hemos vendido 10.000 unidades (N), en la que queremos una confianza del 95,5% que determina que k=2, deseamos un error muestral del 5% (e) y consideramos que estarn satisfechos el 50% (p=q=0.5) necesitaramos una muestra de 385 clientes. Ejemplo 2: contrastar el porcentaje de personas de un pas que ven un determinado programa de televisin. Si la poblacin del pas es de 40 millones de personas, estimamos que lo ve el 20% de la poblacin (p=0.2 y q=0.8), queremos una confianza del 95,5% que determina que k=2 y estamos dispuestos a asumir un error muestral del 5% (e) necesitaramos una muestra de 256 personas.En caso de hacer un muestreo estratificado debemos asegurarnos de que escogemos un nmero de elementos suficiente de cada grupo. Este tipo de muestreo no toma la poblacin como un todo sino en varios grupos con caractersticas distintas entre ellos (por ejemplo, edad entre 20-35, 35-50, 50-65 y ms de 65).De todos modos para calcular el tamao de la muestra habitualmente se usan criterios prcticos basados en la experiencia o la simple lgica. Algunos de los mtodos ms usados son los siguientes:1. El presupuesto de que dispongamos para la investigacin.2. La experiencia en estudios similares.3. La representatividad de cada grupo considerado: escoger de cada uno de ellos un nmero suficiente de encuestados para que los resultados sean indicativos de la opinin de ese grupo.QU TAMAO DE MUESTRA NECESITO?Escrito porCarlos Ochoael 11 de noviembre 2013Una de las secciones de nuestra web ms visitadas es laCALCULADORA DE MUESTRAS. Gracias a esta aplicacin, indicando unos datos bsicos sobre la poblacin que deseas investigar y el mximo error que ests dispuesto a tolerar, obtienes una estimacin del tamao de muestra que necesitas para tu encuesta.A menudo recibimos consultas relativas a esta calculadora: qu frmulas emplea, qu significa margen de error, nivel de confianza Hoy nos proponemos explicar cmo funciona exactamente.

El problemaEl problema a resolver es el siguiente: queremos estudiar un universo de personas (por ejemplo, personas de Brasil entre 15 y 65 aos, un total de 136 millones de personas) mediante una encuesta a una muestra de este universo. Por el hecho de que la muestra es de un tamao inferior al total del universo, vamos a cometer cierto error en los datos que observemos. Si estamos dispuestos a aceptar un % de error determinado, cul es el tamao de muestra mnimo que necesito encuestar?La forma en que mido el errorCuando quiero fijar el mximo error que estoy dispuesto a aceptar en una encuesta, lo habitual es referirnos a dos parmetros: elmargen de error y el nivel de confianza. Qu significa cada cosa?Elmargen de errores el intervalo en el cul espero encontrar el dato que quiero medir de mi universo. El dato puede ser en general de dos tipos: una media o una proporcin. Por ejemplo, si quiero calcular lamediade hijos que tienen los habitantes de Brasil entre 15 y 65 aos, me gustara poder decir que la media es 2,1 hijos/persona con un margen de error del 5%. Eso significara que espero que la media est entre 2,1 5% y 2,1 + 5%, lo que da un intervalo de 2,00 2,21.Si quisiera definir un margen de error para unaproporcin, procedera de forma similar.Por ejemplo, me gustara poder estimar el nmero de personas de Brasil entre 15 y 65 aos que viven en un piso de propiedad, afirmando que son un total de 61.35 millones personas (45% de la poblacin) con un margen del 5% de error, lo que significara que la realidad est entre 68millones (50%) y 54,5millones (40%).Elnivel de confianzaexpresa la certeza de que realmente el dato que buscamos est dentro del margen de error. Por ejemplo, siguiendo con el caso anterior, si obtenemos un nivel de confianza del 95%, podramos decir que el porcentaje de personas de mi universo que viven en un piso de propiedad, en el 95% de los casos se encontrar entre el 40% y el 50%. O dicho de otra manera, si repitiese 100 veces mi encuesta seleccionando muestras aleatorias del mismo tamao, 95 veces la proporcin que busco estara dentro del intervalo y 5 veces fuera.Relacin entre error y tamao de muestraMargen de error, nivel de confianza y tamao de la muestra siempre van de la mano. Si quiero obtener un margen de error y un nivel de confianza determinado (por ejemplo, error del 5% con confianza 95%) necesitar un tamao de muestra mnimo correspondiente. Modificar cualquiera de los 3 parmetros, altera los restantes:1. Reducir el margen de error obliga a aumentar el tamao de la muestra.2. Aumentar el nivel de confianza obliga a aumentar el tamao de la muestra.3. Si aumenta el tamao de mi muestra, puedo reducir el margen de error o incrementar el nivel de confianza.Pero, qu frmulas gobiernan la relacin entre los parmetros anteriores? El conjunto de teoremas que se conocen como LEY DE LOS GRANDES NMEROS viene a nuestro rescate. Estos teoremas son los que dan soporte matemtico a la idea de queel promedio de una muestra al azar de una poblacinde gran tamao tender a estar cerca de la media de la poblacin completa. En concreto, elteorema del lmite centraldemuestra que, en condiciones muy generales, la suma de muchasvariables aleatoriasindependientes (en el ejemplo, los habitantes de Brasil que tienen piso de propiedad) se aproxima bien a una distribucin normal(tambin llamadacampana de Gauss).Gracias al teorema del lmite central, cuando calculamos una media (p.e. hijos por persona) o una proporcin (p.e. % de personas con piso de propiedad) sobre una muestra, podemos saber cul es la probabilidad de que el universo tenga ese mismo valor o un valor parecido. El valor que calculemos en la muestra ser el ms probable para nuestro universo y a medida que nos alejamos de este valor (por arriba o por abajo) cada vez sern valores menos probables. En mi ejemplo, si el 45% de mi muestra de brasileos tiene piso de propiedad, puedo afirmar que 45% es el valor ms probable del universo estudiado. Un porcentaje de 44% ser algo menos probable, 43% an menos, etc Lo mismo sucede para valores superiores: 46% es menos probable que 45%.La forma en que disminuye la probabilidad a medida que me alejo de la media corresponde a una distribucin gaussiana. Podemos fijar un intervalo alrededor del valor ms probable, de manera que englobemos el 95% de la probabilidad (nivel de confianza). La distancia a la que me tengo que alejar del valor ms probable para englobar este 95% determina el margen de error.

Segn el grfico anterior, para una distribucin normalizada (media 0, desviacin 1) si queremos englobar los valores que cubren el 95% de los casos, tengo que definir un margen de error entre -1,96 y +1,96 de la media. Si quiero cubrir el 99% de los casos, el margen debe alejarse hasta +-2,58.Y entonces, qu est haciendo la calculadora?Conociendo la propiedad anterior, es muy fcil adaptar las frmulas de la distribucin gaussiana a cualquier caso (sea cul sea la media y desviacin).Vamos a ver con detalle el caso de la estimacin de una proporcin. Para ello usamos la siguiente frmula:

Donde:n= El tamao de la muestra que queremos calcularN= Tamao del universo (p.e. 136 millones de brasileos entre 15 y 65 aos)Z= Es la desviacin del valor medio que aceptamos para lograr el nivel de confianza deseado. En funcin del nivel de confianza que busquemos, usaremos un valor determinado que viene dado por la forma que tiene la distribucin de Gauss. Los valores ms frecuentes son:Nivel de confianza 90% -> Z=1,645Nivel de confianza 95% -> Z=1,96Nivel de confianza 99% -> Z=2,575e= Es el margen de error mximo que admito (p.e. 5%)p= Es la proporcin que esperamos encontrar. Este parmetro suele confundir bastante a primera vista: cmo voy a saber qu proporcin espero, si justamente estamos haciendo una encuesta para conocer esta proporcin?La razn de que esta p aparezca en la frmula es que cuando una poblacin es muy uniforme, la convergencia a una poblacin normal es ms precisa, lo que permite reducir el tamao de muestra. Si en mi ejemplo, yo espero que como mximo el % de personas que tengan un piso de propiedad sea un 5%, podra usar este valor como p y el tamao de mi muestra se reducira. Si por el contrario, desconozco completamente qu puedo esperar, la opcin ms prudente sera usar el peor caso: la poblacin se distribuye a partes iguales entre propietarios y no propietarios, por lo que p=50%.Como regla general, usaremos p=50% si no tengo ninguna informacin sobre el valor que espero encontrar. Si tengo alguna informacin, usar el valor aproximado que espero (ajustando hacia el 50% ante la duda).La frmula anterior podemos simplificarla cuando trabajamos con universos de tamao muy grande (se considera muy grande a partir de 100.000 individuos), resultando lo siguiente:

Ejemplo: Retomamos nuestro caso anterior. Tenemos una poblacin de 136 millones de brasileos entre 15 y 65 aos, queremos saber qu % de ellos vive en un piso de propiedad, con un margen de error del 5% y un nivel de confianza del 95%. Supondremos que no tenemos ninguna informacin previa sobre cul puede ser el % de propietarios que podemos obtener en la encuesta. En este caso puedo usar la frmula simplificada pues 136 millones > 100.000, y usaremos p=50% pues no tengo informacin previa sobre el resultado esperado:n = 1,962* 0,5 * (1 0,5) / 0,052= 384,16 ->385Debo encuestar por lo tanto a 384 personas para mantenerme dentro de los niveles de error definidos.Si a raz de un estudio realizado el ao anterior obtuvimos que el % de brasileos propietarios de su vivienda era del 20%, y se espera que el dato de este ao no haya variado en ms de 5 puntos (entre 15% y 25%), podramos reemplazar p por el peor caso esperado = 25%. El resultado sera:n = 1,962* 0,25 * (1 0,25) / 0,052= 288,12 ->289Y si estoy tratando de estimar una mediaLas frmulas anteriores se emplean para determinar el tamao de muestra que necesito cuando quiero estimar una proporcin, pero existen unas frmulas equivalentes cuando lo que trato de estimar es una media (por ejemplo, la edad media de los habitantes de un pas). Las frmulas son idnticas teniendo en cuenta quep(p-1)en realidad es una medida de la varianza de la poblacin. Si estimo una media, debo usar una estimacin de dicha varianza en la frmula, en lugar dep(p-1). De esta forma, el tamao de la muestra cuando trabajo con universos finitos es

Donde2: Es la varianza que esperamos encontrar en la poblacin (es el cuadrado de la desviacin estndar,). Nuevamente, es un dato que debemos obtener de un estudio previo o de una estimacin propia.Nuevamente, podemos simplificar esta frmula cuando el tamao del universo es muy grande.

Ejemplo: Supongamos que queremos estimar cual es el coeficiente intelectual medio de la poblacin mundial con un margen de error de +-20 y un nivel de confianza del 99% (corresponde a Z=2,575). Sabemos de un estudio anterior que la desviacin estndar de este coeficiente intelectual es 50. Usando la frmula para universos grandes (puesto que la poblacin mundial es mayor a100.000 individuos), tendramosn = 2,5752* 502/ 202= 41,44 ->42Necesito hacer estos clculos?No, por eso disponemos de unacalculadoraque hace todo el trabajo por ti. Si ests tratando de estimar una proporcin, slo debes saber que el parmetro nivel de heterogeneidad es esta proporcin esperada y, que en ausencia de informacin, debers indicar un valor de 50%. Y si lo que necesitas estimar es el tamao de una muestra para estimar una media o hacer otro clculo ms complejo, te invitamos a visitar la seccin decalculadoras avanzadas.